Matematika 11 Kl 2 Dalis by Dovile Brun

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

UDK 51(075.3) Ma615

Autoriai REGINA DALYTË ÐILEIKIENË, VILIJA DABRIÐIENË, DRÀSUTË JATKONIENË, VERONIKA BIRUTË SIRVYDIENË, JANINA ÐULÈIENË, ALDONA NAVICKIENË Sudarë doc. dr. REGINA DALYTË ÐILEIKIENË ir doc. dr. VILIJA DABRIÐIENË Redaktorë ZITA ÐLIAVAITË Lietuvos Respublikos ðvietimo ir mokslo ministerijos rekomenduota 200 , Nr. ... Pirmasis leidimas

2004

ISBN 5-430-03784-2

Regina Dalytë Ðileikienë, 2004 Vilija Dabriðienë, 2004 Dràsutë Jatkonienë, 2004 Veronika Birutë Sirvydienë, 2004 Janina Ðulèienë, 2004 Aldona Navickienë, 2004 Sudarymas, Regina Dalytë Ðileikienë, Vilija Dabriðienë, 2004 © Leidykla Ðviesa , 2004

Laipsninë funkcija

3. FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS (tæsinys) 3.5. LAIPSNINË FUNKCIJA Ásiþiûrëkime á mums jau gerai þinomø funkcijø y=b, y=kx, y=ªxª, 1 y=ax2+bx+c, y=x3, y= x , y= 3 x , y= iðraiðkas. Kaip manote, kas tarp x jø yra bendra? Visose ðiose funkcijø iðraiðkose nesunku pastebëti kintamojo x këlimo laipsniu veiksmà. Taigi tokias funkcijas galëtume pavadinti vienu vardu lìipsninëmis f÷nkcijomis. Apibrëþimas. Funkcija, kurià galima iðreikðti formule f(x)=xp (x kintamasis, p skaièius), vadinama laipsnine funkcija. Atskirø laipsniniø funkcijø (paminëtø skyrelio pradþioje) grafikus ir savybes jau nagrinëjome þemesnëse klasëse. Dabar, prisimindami jas bei skaièiø ar reiðkiniø këlimo laipsniu savybes ir paeiliui praplësdami laipsnio rodikliø aibæ nuo N (natûraliøjø skaièiø aibës) iki Q (racionaliøjø skaièiø aibës), atskleisime funkcijos f(x)=xp (p ± Q) ypatumus, t. y. iðsiaiðkinsime, kokià átakà apibrëþimo bei reikðmiø srièiai ir, suprantama, grafikui turi laipsnio rodiklis. Tyrimo duomenis pateikiame lentelëje, o joje nurodytø funkcijø grafikus braiþome kompiuteriu, naudodami specialias matematines programas (be abejo, galima braiþyti ir pagal formulæ sudarius atitinkamø reikðmiø lentelæ, taèiau tai uþtruktø ilgiau). Eil. Veiksmas Nr.

an, n ± N0

Funkcija y=xp, p ± Q a) y=1, y=x2, y=x4, y=x6, ..., y=x2n b) y=x, y=x3, y=x5, y=x7, ..., y=x2n+1

Apibrëþimo sritis D(y)

Reikðmiø sritis E(y)

º<x<+º, arba x ± ( º; +º), arba x±R

0¡y<+º º<y<+º, arba y±R

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Tæsinys Eil. Veiksmas Nr.

a n, n±N

Funkcija y=xp, p ± Q

1 a) y = 1 , y = 3 , x x 1 1 y = 5 , ..., y = 2 n − 1 x x 1 , y = 14 , x2 x 1 , ..., 1 y = 2n y= 6 x x

b) y =

a) y = x , y = 4 x , 3.

a, n±N n

y = 6 x , ..., y = 2n x 5 b) y = 3 x , y = x

y = 7 x , ..., y = 2 n +1 x

Apibrëþimo sritis D(y)

x¥0, arba x ± ( º; 0)¹ ¹(0; +º)

y = x , y = x , ... 2

0¡x<+º

0¡y<+º

º<x<+º

º<y<+º

0¡y<+º º<x<+º

3 5 7 b) y = x 5 , y = x 7 , y = x 3 , ...

am ,

c) y = 4 x 3 , y = x 3 , y = 6 x 5 , ...

m = p ∈ Q, 1 1 4. n d) y = 3 2 , y = 5 2 , ... n ± N, x x m±Z

e) y =

f) y =

1 3

1 4

, y=

1 5

1 6

º<y<+º

0¡x<+º

x¥0, arba x ± ( º; 0)¹ ¹(0; +º)

, ...

y¥0, arba y ± ( º; 0)¹ ¹(0; +º)

0<y<+º

3 3 a) y = x 2 , y = x 4 , ... 5

Reikðmiø sritis E(y)

0<x<+º

0¡y<+º

0<y<+º

y¥0, arba º<y<0, 0<y<+º

0<y<+º

LaipsninĂŤ funkcija

2 4 6 8 10 1 y=1; 2 y=x ; 3 y=x ; 4 y=x ; 5 y=x ; 6 y=x .

1 y=x; 2 y=x3; 3 y=x5; 4 y=x7; 5 y=x9.

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

1 y= 12 ; 2 y= 14 ; 3 y= 16 ; x x x

1 y=

4 y=

1 . x8

1 1 1 1 ; 2 y= 3 ; 3 y= 5 ; 4 y= 7 . x x x x

LaipsninĂŤ funkcija

1 y= x ; 2 y= 3 x ; 3 y= 4 x ; 4 y= 5 x ; 5 y= 6 x ; 6 y= 7 x .

3 2 1 y= x ; 2 y= x ; 3 5 y= x 4 ;

4 3 3 y= x ; 4 y=x;

6 y= x 3 ;

3 7 y= x 5 .

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

1 y=

1 1 1 ; 2 y= 3 ; 3 y= 4 . x x x

1 u þ d u o t i s. Analizuodami lentelëje pateiktø funkcijø grafikus, nurodykite ðias jø savybes: Eil. Nr. 1.

→

Lyginumas

Maþëjimo ( ) intervalai

Didëjimo ( →) intervalai

a) Lyginë

( ∞; 0)

(0; + ∞ )

Kitimo sparta 0<x<1 didëja lëtai

1<x<+º didëja sparèiai

b) ...

Apibendrindami uþduoties rezultatus, galime teigti, kad laipsninë funkcija gali bûti lyginë arba nelyginë, arba nei lyginë, nei nelyginë (pastaroji yra ta, kuri apibrëþta tik su teigiamomis arba neneigiamomis x reikðmëmis). Ðias funkcijø savybes (lyginumà, maþëjimo bei didëjimo intervalus) galima nurodyti ir nesinaudojant grafikais. Tam pakanka turëti tik funkcijø iðraiðkà. Antai nustatydami funkcijos f(x) lyginumà, jau ne kartà rëmëmës tokia taisykle: jei su kiekviena x reik me i funkcijos f(x) apibrëþimo srities, simetriðkos koordinaèiø pradþios atþvilgiu, f( x)=f(x), tai funkcija f(x) yra lyginë, jei f( x)= f(x) nelyginë. O kaip suþinoti didëjimo ir maþëji-

Laipsninë funkcija

mo intervalus? Prisiminkime, jog funkcijà vadiname didëjanèia tam tikrame intervale, jeigu didesnæ argumento reikðmæ atitinka didesnë funkcijos reikðmë ir, atvirkðèiai, maþëjanèia, jeigu didesnæ argumento reikðmæ atitinka maþesnë funkcijos reikðmë. Kitaip tariant, jeigu su bet kuriomis reikðmëmis x1 ir x2 (x1<x2) i to intervalo f(x1)<f(x2), tai funkcija yra didëjanti, jeigu f(x1)>f(x2) maþëjanti. Vadinasi, pasirinkæ x1<x2, funkcijos f(x) didëjimo bei maþëjimo intervalus galime nustatyti pagal skirtumo d=f(x1) f(x2) þenklà. Kai d<0, tai f(x1)<f(x2), todël funkcija f(x) yra didëjanti ( →), → kai d>0, tai f(x1)>f(x2), taigi funkcija f(x) yra maþëjanti ( ). 1 p a v y z d y s. Nustatykime ðiø funkcijø didëjimo ir maþëjimo intervalus: 1 a) f(x)=x3; b) f(x)=x4; c) f(x)= 3 ; x d) f ( x) =

1 ; x4

e) f (x) =

1 ; x

f) f (x) = 4 x .

Pirmiausia pastebëkime, kad lyginës arba nelyginës funkcijos kitimo pobûdá pakanka tirti imant tik teigiamas x reikðmes, paskui, remiantis funkcijos apibrëþimo srities simetriðkumu, padaryti atitinkamà iðvadà ir dël neigiamø x reikðmiø. Spræsdami visais atvejais laikysime, kad x1>0 ir x2>0, be to, x1<x2.

)

a) d= x13 − x23 = ( x1 − x2 )( x12 + x1 x2 + x22 )<0, vadinasi, intervale (0; +º) <0

funkcija f(x)=x3 yra didëjanti. Atsiþvelgæ á tai, kad funkcija f(x)=x3 yra nelyginë, darome iðvadà, jog ji yra didëjanti su visais x ± R.

) ) )

b) d= x14 − x24 = ( x12 − x22 )( x12 + x22 ) = ( x1 − x2 )( x1 + x2 ) ( x12 + x22 ) < 0 , taigi su <0

x ± (0; +º) funkcija f(x)=x yra didëjanti. Ði funkcija lyginë, todël su x<0 ji yra maþëjanti. Galiausiai trumpai galime raðyti:

] , kai x ≤ 0, → f(x)=x4:   Z→, kai x ≥ 0. c) d = cija f(x)=

x23 − x13 ( x2 − x1 ) ( x22 + x1 x2 + x12 ) 1 1 − = = > 0 , todël nelyginë funk3 x13 x23 ( x x )3 ( x1 x2 ) 1 2 1 yra maþëjanti visoje savo apibrëþimo srityje (x¥0). x3

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

d) d =

x24 − x14 ( x2 − x1 )( x2 + x1 ) ( x22 + x12 ) 1 1 − = = > 0 , todël intervale 4 x14 x24 ( x x )4 x x ( ) 1 2 1 2

1 yra maþëjanti. Kadangi ði funkcija lyginë, tai su x4 neigiamomis x reikðmëmis ji yra didëjanti. (0; +º) funkcija f(x)=

e) d = =

x1 x2

(

1 1 − = 3 x 3 x 1 2

x2 − 3 x1 3

x2 − x1 3

x + x1 x2 + x 2 2

2 1

x1 x2

)

(

x2 − 3 x1 3

x1 x2

(

)(

x22 + 3 x1 x2 + 3 x

x22 + 3 x1 x2 + 3 x12

)

1 > 0 , todël intervale (0; +º) funkcija f(x)= 3 x

yra maþëjanti. Atsiþvelgæ á tai, kad ji nelyginë, teigiame, jog ji yra maþëjanti ir visoje apibrëþimo srityje. f) d = 4 x1 − 4 x2 =

( (

x1 − x2 4

x1 + 4 x2

)( )(

(

x1 + x2 x1 + x2

x1 − 4 x2 4

)= ) (

)(

x1 + 4 x2

x1 − x2 4

x1 + 4 x2

)(

x1 + x2

x1 + 4 x2

)

< 0 , taigi funkcija f(x)= 4 x

yra didëjanti. 2 p a v y z d y s. Nubraiþæ funkcijø y=x, y=x1,5, y=x1,73 ir y=x2 grafikus, aptarkime, koks yra funkcijos y= x 3 grafikas. Nurodytø funkcijø grafikus nubraiþome toje paèioje koordinaèiø plokðtumoje:

1 y=x;

2 y=x1,5; 3 y=x1,73; 4 y=x2; 5 y= x 3 .

Laipsninë funkcija

Kaip þinome, skaièius

3 yra iracionalus. Jo artiniai:

1,7< 3 <1,8, 1,73< 3 <1,74, 1,732< 3 <1,733, 1,7320< 3 <1,7321, 1,73205< 3 <1,73206 ir t. t. Ið brëþinio matyti: kai x>0, visos funkcijos yra didëjanèios. Todël galime daryti iðvadà, kad su ta paèia teigiamàja x reik me x1,73< x 3 <x1,74<x2. Imdami tikslesná 3 artiná, gautume laipsninës funkcijos su racionaliuoju rodikliu reikðmes, dar artimesnes funkcijos y= x 3 reikðmëms. Vadinasi, jø grafikai beveik sutaptø. I v a d a. Funkcija f(x)= x α , kurios x>0, yra laipsninë funkcija su bet kuriuo realiuoju laipsnio rodikliu α. 2 u þ d u o t i s. Ið p. 3 4 pateiktos lentelës pasirinkæ po vienà 1 4 tipo laipsninæ funkcijà y=xp (p ± Q), uþpildykite ðià lentelæ (a reikðmæ pasirinkite patys): Eil. Nr. 1.

Funkcija y(x)=0

Pastovaus þenklo intervalai y(x)<0

y(x)>0

Lygèiø ir nelygybiø sprendiniai y(x)=a

y(x)<a

y(x)>a

a) b)

...

Laipsninëmis funkcijomis apibûdinami ávairûs gamtoje vykstantys reiðkiniai, procesai ar dydþiai, kaip antai: 1 materialiojo kûno laisvasis kritimas, vykstantis pagal dësná s(t)= gt2; 2 èia s kûno nueitas kelias, g laisvojo kritimo pagreitis, t laikas; planetø judëjimas aplink Saulæ, nusakomas treèiuoju Keplerio dësniu T 2=ca3; èia T laiko tarpas, per kurá planeta elipse apskrieja aplink Saulæ, a elipsës pusaðë, c konstanta; atviros staèiakampës dëþutës tûris V(x)=x(160 2x)(90 2x).

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

3 p a v y z d y s. Duotos funkcijos f(x)= x + 2 ir h(x)=x 4. Grafiðkai raskime ðiø lygèiø bei nelygybiø sprendinius: a) f(x)=h(x);

b) f(x)¢h(x);

c) f(x)<h(x).

Sprendimas. Toje paèioje koordinaèiø sistemoje nubraiþome funkcijø f(x) ir h(x) grafikus. Atkreipiame dëmesá á tai, kad funkcijos f(x)= x + 2 grafikà gauname pastumdami kreivæ y= x i ilgai Ox aðies per 2 vienetus á kairæ.

a) Kaip jau þinome, lygties x + 2 =x 4 sprendinys yra nubraiþytø grafikø sankirtos taðko A abscisë. Taigi x=7. Iðspræskime ðià lygtá algebriniu bûdu keldami abi jos puses kvadratu: x+2=(x 4)2, x+2=x2 8x+16, 2 x 9x+14=0, x1=2, x2=7. Tikriname: kai x1=2, Ats.: {7}.

kai x2=7,

2 + 2 ¥2 4, todël x1=2 ne sprendinys; 2 + 7 =7 4, arba 3=3, taigi x2=7 sprendinys.

b) Nelygybës x + 2 ¢x 4 sprendiniai priklauso intervalui [ 2; 7], o ðis susideda ið dviejø intervalø: intervalo [ 2; 4), kuriame tiesës taðkai yra þemiau Ox a ies, ir intervalo [4; 7], kuriame abu grafikai iðsidëstæ virð Ox a ies. Algebriniu bûdu nelygybës sprendinius rastume iðsprendæ sistemas  x − 4 ≥ 0,   x − 4 < 0, arba   x + 2 ≥ 0, x + 2 ≥ 0  2  x + 2 ≥ ( x − 4 ) . Ats.: [ 2; 7]. c) Nelygybës x + 2 <x 4 sprendiniai priklauso intervalui (7; +º), kuriame f(x)= x + 2 grafikas yra þemiau uþ h(x)=x 4 grafikà.

Laipsninë funkcija

Sprendþiant algebriniu bûdu, ðià nelygybæ reikëtø pakeisti jai ekvivalenèia nelygybiø sistema  x − 4 ≥ 0,   x + 2 ≥ 0,  2  x + 2 < ( x − 4 ) . Ið èia

 x ≥ 4,  ( x − 2 )( x − 7 ) > 0;

 x ≥ 4,  2  x − 9 x + 14 > 0;

x>7, arba x ± (7; +º).

Ats.: (7; +º). 4 p a v y z d y s. Raskime ðiø lygèiø bei nelygybiø sprendinius: a)

( x − 3)

= 4;

( x − 3)

≤ 4;

( x − 3)

> 4.

Pirmiausia iliustruokime uþduotá grafiðkai:

a) Ið brëþinio matyti, kad x= 5 ir x=11. Tokius pat sprendinius gautume ir algebriniu bûdu, t. y. abi lygties puses pakëlæ kubu ir pertvarkæ: ªx 3ª=8; (x 3)2=64; x 3= 8 arba x 3=8, x= 5 arba x=11. b) Kai (x 3)2¡64, tai ªx 3ª¡8; ið èia 8¡x 3¡8, arba 5¡x¡11. Tai matyti ir i grafiko. c) Nelygybæ 3 ( x − 3 ) > 4 pakeitæ jai ekvivalenèia nelygybe ªx 3ª>8, gauname: x 3>8 arba x 3< 8; ið èia x ± ( º; 5)¹(11; +º). 2

Ats.: a) { 5; 11}; b) 5¡x¡11; c) x ± ( º; 5)¹(11; +º). Taigi dar kartà pabrëþiame, kad lygtá ar nelygybæ iliustruodami grafiðkai galime iðvengti klaidø, kurios daþnai pasitaiko atliekant ekvivalenèiuosius pertvarkius.

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Uþdaviniai 299. Remdamiesi funkcijø f(x)=x, g(x)= x ir h(x)= 3 x grafikais, iðspræskite ðias lygtis ir nelygybes: x−2 = x−2,

a) b)

x −2 > x −2,

x−2 = x−2,

x−2 = x−2 ,

x −2 ≤ x −2;

x −2 > x −2,

x −2 ≤ x −2;

x−2 > x−2 ,

x−2 ≤ x−2 .

300. Nustatykite, kuris skaièius yra maþesnis: a) 0,84 ar 0,810;

b) ( 0,6)3 ar ( 0,6)5;

d) (0,7) 5 ar (0,7) 7;

e) ( 1,6) 4 ar ( 1,6) 8;

f) i)

0,4 ar 1 ar 0,3

0,4 ;

1 ; 0,3

(0,21)3

(0,21)2 ;

1 ar 2,2

3 c)  −  2  

−7

−5

3 ar  −  ; 2  

h) (1,3 )3 ar (1,3 )2 ;

1 . 2,2

301. Pasinaudodami funkcijos f(x)=xα (α ± R) grafiku, nubraiþykite ðiø funkcijø grafikus: a) g(x)=(x 2)3+1; d) u(x)= 2 − g) h(x)= 3

( x + 2)

1 ; x+4

;

b) h(x)=(x+3)4 2;

c) y(x)= 1 +

e) v(x)= 2 + 3 x − 2 ;

f) g(x)= 3 3 ( x + 2 ) ;

h) z(x)=

( x − 1)

;

1 . x −3

302. Iðspræskite lygtis: 1

a) 2 + ( x − 2 )3 = 1 ; 3

d) 2 ( x − 2 )4 = 8 ;

b) 2 + ( x − 2 )3 = 11 ;

c) (3x)1,3·(3x)4,7=64;

e) (x 2)2,5=32;

f) (2x+1)3,2·(2x+1)0,8=81.

303. Nustatykite ðiø funkcijø apibrëþimo bei reikðmiø sritis, nubraiþykite grafikus ir nusakykite kitimo pobûdá: 3

x3 ; a) f ( x ) = − 3

x b) f ( x ) = ; 3

x −1 c) f ( x ) = ; 2

d) f ( x ) = − 3 x ;

e) f ( x ) =

f) f ( x ) =

g) f ( x ) =

1 5 x ; 2

x ; 5

h) f ( x ) = x 4 ;

i) f ( x ) =

x ; x +1 .

Iracionaliosios lygtys, nelygybës ir jø sistemos

3.6. IRACIONALIOSIOS LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS Su iracionaliosiomis lygtimis ir nelygybëmis (t. y. lygtimis bei nelygybëmis, kuriø kintamasis yra po ðaknies þenklu) jau ðiek tiek susipaþinome IX klasëje. Tada nagrinëjome paèias paprasèiausias lygtis (nelygybes) su kvadratinëmis ðaknimis, kaip antai pateiktas 3.5 skyrelio 3 pavyzdyje. Dabar, prisimindami jø sprendimo bûdus, aptarsime sudëtingesnes lygtis, be to, turinèias bet kokio laipsnio ðaknø. Iracionaliosios lygtys (nelygybës) sprendþiamos pertvarkant jas á racionaliàsias. Tai daþniausiai daroma taikant keitiná arba keliant abi lygties (nelygybës) puses laipsniu (kvadratu, kubu ir t. t.). Taèiau, keldami laipsniu, galime gauti lygtá (nelygybæ), kurios ne visi sprendiniai tinka pradinei iracionaliajai lygèiai (nelygybei). Tokie netinkantys sprendiniai vadinami paðalîniais, todël juos reikia atmesti. Vadinasi, iðsprendus iracionaliàjà lygtá, bûtinai reikia patikrinti gautus sprendinius. O kà daryti su iracionaliàja nelygybe, paprastai turinèia be galo daug sprendiniø? Juk visø jø neámanoma patikrinti. Tada svarbu, prieð keliant laipsniu abi nelygybës puses, uþraðyti sàlygas, kuriomis gauta nelygybë yra ekvivalenti pradinei. Kai lygtis ar nelygybes sudarantys iracionalieji reiðkiniai yra sudëtingesni, juos pertvarkant arba vartojant keitiná (ávedant naujà kintamàjá), gaunamos paprasèiausios lygtys arba nelygybës, kurios toliau sprendþiamos jau aptartais bûdais. Iliustruokime jø sprendimà pavyzdþiais. 1 p a v y z d y s. Iðspræskime lygtá ir nelygybæ: a)

( x − 2)

x2 − 2x − 3 = 0 ;

Sandauga lygi nuliui, kai x 2=0 arba x2 2x 3=0; ið èia x1=2 arba x2= 1, x3=3. Tikriname: kai x1=2, 4 − 4 − 3 neturi prasmës, todël skaièius 2 ne sprendinys; kai x2= 1,

(− 1 − 2 ) (−1)

− 2 ⋅ ( − 1) − 3 =

= − 3 1+ 2 −3 = 0, kai x3=3,

(3 − 2 )

( x − 2)

x2 − 2x − 3 < 0 .

Nelygybë turi prasmæ, kai:  x 2 − 2 x − 3 > 0,   x − 2 < 0,

( x + 1)( x − 3 ) > 0,   x < 2. Nelygybiø sprendinius pavaizduojame skaièiø aðyse vienodu masteliu ir, lygiuodami pagal vertikalæ, randame bendrus sprendinius:

32 − 2 ⋅ 3 − 3 =

= 9 − 6 − 3 = 0, vadinasi, x2= 1 ir x3=3 yra pradinës lygties sprendiniai. Ats.: { 1; 3}.

Ats.: x ± ( º; 1).

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

2 p a v y z d y s. Raskime lygties 3 x +3 4 + =2 3 5 2+ x

sprendinius. Pritaikykime keitiná

x = t . Tada

2 + t ≠ 0,  20 + ( t + 3 )( t + 2 ) = 10 ( t + 2 );

t+3 4 + = 2 ; ·5 (2+t)¥0 2+t 5

20+t2+3t+2t+6=10t+20, t2 5t+6=0, t1=2, t2=3.

Apskaièiuojame x:

x =2, x1=8;

x =3, x2=27.

Ats.: {8; 27}.

3 p a v y z d y s. Iðspræskime nelygybæ 2

2 x 5 − 5x 5 > 3 . 2

 1 Paþymëkime: x = x = t . Tada x =  x 5  = t2 ir   2 2 2t 5t>3, arba 2t 5t 3>0. 1  1 Kvadratinio trinario ðaknys yra t1= ir t2=3, todël 2  t +  ( t − 3) > 0 . 2  2 1 5

2 5

1 t ±  − ∞ ; −  ¹(3; +∞ ). 2  Randame x reikðmes:

1 2 1 5 x <− , 2 1 x<− ; 32

−∞ < 5 x < −

arba

1  Ats.: x ±  − ∞; − ¹ (243; + ∞ ) . 32  

3 < 5 x < +∞ ; 5

x >3,

x>35, x>243.

Iracionaliosios lygtys, nelygybës ir jø sistemos

Iracionaliøjø lygèiø ar nelygybiø sistemos sprendþiamos pertvarkant jas á racionaliàsias sistemas. 4 p a v y z d y s. Iðspræskime lygèiø sistemà

 x + y = 3,   y = x − 1. Ið antrosios lygties iðreiðkiame x ir áraðome já á pirmàjà lygtá:  y2 = x − 1,   y > 0;

 y > 0,  2  x = y + 1,  y2 + 1 + y = 3; 

ið èia y2+y 2=0;

y1= 2<0, todël netinka; y2=1, tada x=2. Ats.: (2; 1).

Uþdaviniai 304. Iðspræskite lygtis: a)

x = 3;

2 x = 5;

2 y = 12;

x + 4 = 7;

2 x 1 = 1;

6 x = 3;

x + 4 = 6 x ;

h) 4 2 x 5 = 5 x + 1;

i) 3 2 x = 2 5x 4; k)

4 x 2 7 x 1 = 1;

m) 8 x + 6 = 28 3 x ; o)

52 3 5 x + 6 = 2 10;

2 x + 5 10 x 3 = 0;

l) 10 = 6 x 2 2 x + 40; n) 48 5 x = 6 x + 4; p)

25 + 5 2 x + 1 = 5 2.

305. Iðspræskite lygtis bei lygèiø sistemas: a)

6 x + x+9 +4 = 2 x ;

b) (16 − x 2 ) x 2 + 4 x − 5 = 0 ;

x+3 2x − 1 5 ; + = x+3 2 2x − 1

4 x + 8 − 2 = 3x − 2 ;

x − 3 + 6 = 54 x − 3 ;

x 5 x − 5 x x = 56 ;

g) 515 x 22 + 15 x14 x − 2215 x7 = 0 ;

x + 26 x = 3 ;

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

1 + 2x + 1 = 8 − x ;

k) x 2 − 3x + x 2 − 3x + 5 = 7 ;

m) o) r)

5 x + 5+ x

−

5 x − 5+ x

= 6;

4 1 3 − = ; 2 2 x+ x +x x− x +x x

2 + 4 cos x =

1 + 3 cos x ; 2

x 2 + 5x − 3 − 4 x 2 + 5x − 3 = 6 ; 3

5+ x + 35− x = 35;

15 − 3x + 5 = 10 − x ; 10 − x

p) 5 2 x + 3 − 18 x − 5 = s)

4 ( x + 3) 2x + 3

5 − 2 sin x = 6 sin x − 1 ;

 x−y = 10,  t)  x − y   xy = 16;

 x y −y = 30, x x u)  y  x + y = 20; 

 3x − 2 y 2x + = 2,  2x 3x − 2 y v)   x2 − 8 = 2x 2 y − 3 ; ( ) 

 6x x+y 5 + = ,  z)  x + y 6x 2  xy − x − y = 0. 

306. Duota funkcija f(x)= x2 + 6 x . a) Nustatykite jos apibrëþimo sritá. b) Raskite lygties f(x)=3x 2 sprendinius.

 f ( y ) = 3x + 4, c) Iðspræskite lygèiø sistemà   y − x = 2. 2 d) Iðspræskite nelygybæ (f(x)) <16. 2x − 4 . x −1 Nustatykite jos apibrëþimo sritá. Nurodykite, kuris ðiø skaièiø yra artimesnis 1 Iðspræskite lygtá f ( x ) = x − 2 . 3 Nubraiþykite funkcijos y=(f(x))2 grafikà.

307. Duota funkcija f ( x ) = a) b) c) d)

x −1 . x −3 a) Nustatykite jos apibrëþimo sritá. 3 b) Suprastinkite reiðkiná f(π)·f   . π

308. Duota funkcija f(x)=

2 : f(3) ar f(0).

;

Iracionaliosios lygtys, nelygybës ir jø sistemos

1− x . x+3 d) Nubraiþykite funkcijos y=f(x) x − 3 grafikà.

c) Iðspræskite lygtá f(x)=

309. Duota funkcija f(x)= x + 3 x. a) Iðspræskite lygtá f(x)=1.

1 b) Nustatykite funkcijos y= f   apibrëþimo sritá. x c) Palyginkite skaièius ªf( 1)ª ir ªf(5)ª.

 y = f ( x ), d) Iðspræskite lygèiø sistemà   x = f ( y ). 310. Duota funkcija f(x)= x − 1 − 1 . 1 a) Nustatykite reiðkinio f(x)·f   apibrëþimo sritá. x b) Iðspræskite lygtá f(x)=x 4. c) Nurodykite, kuris ðiø skaièiø yra artimesnis 1: f(4) ar f(6). d) Grafiðkai nustatykite, kiek realiøjø sprendiniø turi lygèiø  y = f ( x ), sistema   y = 5 − x 2 .

311. Duota funkcija f(x)=

(

x+2 −x

)(

)

x+2 −3 .

a) Iðspræskite lygtá f(x)=0. b) Iðspræskite nelygybæ f(x)<0.

312. Duota funkcija f(x)= 2 x + 6 − a x − 2 . a) Iðspræskite lygtá f(x)=4, kai a=1. b) Raskite nelygybës f(x)¢0 sprendinius, kai a=1.  y = f ( x ), c) Nurodykite a reikðmes, su kuriomis sistema   y = a 2 x + 6 − x − 2 turi sprendiniø.

Raskite ðiø nelygybiø sprendinius: 313. a) c) 314. a) c)

+ 2 ) ⋅ x2 − 2x + 1 ≤ 0 ;

7 − 3x > x − 1 ;

x2 − 6x + 5 > x − 4 ;

x + 4 > x + 2x − 6 .

x2 − 6 x ≤ 0 ; x + 4 − x < x −1 .

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

315. a) c) 316. a) c) 317. a) c) 318. a) c)

x + 3 < −2 ;

x 2 − 5x − 6 < 9 − x ;

x + 5 > 2x − 5 ;

9 − 2x > 3 − 2x ;

2x − x2 < x − 1 ;

2 + x − x2 < 3 − x ;

2x − x − 5 < x − 1 .

x2 − 6x + 9 ⋅ ( x2 + 3) ≤ 0 ; 6 − x > 2 − x + − 2 − 2x .

9x2 − 6x + 1 < 0 ; x+2 < x−2 + x−3 .

x2 − 4 > − 5 ; x + 5 − x < x +1 .

x+2

319. a) c)

x − 2x + 3 2

≤ 0;

x +1 + x −2 > x .

Prisiminkite 1

320. 1) Suprastinkite reiðkiná mæ, kai x=1,(03). 2) Iðspræskite lygtis: a) x5+32 0;

x2 + 1

1 2

3 2

1 + x + x x 1

ir apskaièiuokite jo reikð-

b) x4 81=0;

x + 2 4 x − 3 = 0.

3) Suprastinkite: a b2

1 2

;

(

a a b

a+ b

)

+ 4 ab ;

a7 + 4 a4 , kai a¡0.

4) Apskaièiuokite: a)

95 14 ⋅ 4 95 + 14 ;

(3 10 ) 10; 3

4 1 3  1  c)  12 3 ⋅ 18 3 ⋅ 6 3,5  3 4 ⋅ 9 8 .   5) Palyginkite: 5

 b)  

17 13 ir 4 14;

2 ir

( ) 5

  

ir 52,5 ; e)

1 c)   7

ir 7 2,75 ;

7 ir 0,(63). 11

Iracionaliosios lygtys, nelygybës ir jø sistemos

1 x 1 x 0,5

 1 + x1,5  ⋅ x 0,5  ir apskaièiuokite  1 x + x 

321. 1) Suprastinkite reiðkiná jo reikðmæ, kai x=0,(1). 2) Iðspræskite lygtis: a) 27x3+1=0;

b) x6+64=0;

x + 3 4 x 4 = 0.

3) Suprastinkite: a b

1 3

;

a b 4) Apskaièiuokite:

u+8

2 3

;

u 2 u + 4 3

75 + 11 ⋅ 6 75 11 ;

a7 + 4 a4 , kai a ¢ 0.

(3 10 )

+ 10;

0 c) (5,6 ) + 0,027 3 3 1 + 265 0,75  1  .  6

5) Palyginkite: 5

2 ir

31;

37 14 ir 6 15;

( 5) 4

5 3

ir 4 5 1 : 3 25;

7 ir 10 47;

5 e) 11 ir 0,(384615).

2 2 2 322. 1) Suprastinkite reiðkiná x + x + 1 x ir apskaièiuokite jo reikð1 x 1+ x mæ, kai x=0,(31). 2) Iðspræskite lygtis: b) x6 64 = 0; c) 3 x 6 x 2 = 0. a) x5 + 243 = 0;

3) Suprastinkite: a)

a b 1 2

1 2

;

(

ab a b

)

a + b 4 ab ;

a5 + 4 a4 , kai a¢0.

4) Apskaièiuokite: a)

7 33 ⋅ 4 7 + 33 ;

1 c)  4   

3 2

+3 (0,0081 )

0,25

(3 10 )

+ 10 ;

0,75

1 +    16 

5) Palyginkite: a)

11 21 ir

17 ir

 b)  

( 3)

10 22 ;

  

ir 31,5 ;

1 c)   ir 3 2,25 ; 3 1 ir 0,1428(57). e) 7

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS 1

323. 1) Suprastinkite reiðkiná mæ, kai x=0,(25).

x2 + 1

1 2

ir apskaièiuokite jo reikð-

1 + x + x x2 x 2

2) Iðspræskite lygtis: a) 8x3 1=0;

b) x4+16=0;

x + 3 6 x = 18.

3) Suprastinkite: a+b

1 3

;

1 3

2 3

a +b b

8v + 1

;

a3 + 4 a4 , kai a¡0.

4v 2 3 v + 1

4) Apskaièiuokite: a)

9 17 ⋅ 6 9 + 17 ; 5

c) 15 2 ⋅ 45 3 : 75

1 3

(3 10 )

+ 10;

+ 24 ⋅ 48 ,

5) Palyginkite: 3

3 ir

21 5 ir

28 ;

( ) 3

5 4

1 23 ⋅9 ; 3

c) e)

20 6;

Atsakymai

{

}

80 ir

7 ir 0,32(12). 20

13 ; 1 ; d) {2; 34}; e) {19; 84}; 2 700 5 9 ; m) { 2; 2}; n) − ; 5 ; o) − 1; ; p) {3}; f) {210}; g) {0; 4}; h) {1}; k) { 1; 4}; l) 27 4 16 n π π r) ± + 2πn , n ± Z; s) ( − 1) ⋅ + π n , n ± Z; t) (4; 64); u) (16; 4); v) (4; 2); (2; 1); 3 6 304. o) {2}; p) {12}. 305. a) {49}; b) { 5; 1; 4}; c) −

{

}

{ } }

{

{ } {

}

 24 ; 24   3; 3  z)   ;  2  . 306. a) ( º; 6]¹[0; +º); b) {2}; c) (0; 2); d) ( 8; 6]¹[0; 2).  23    1 307. a) ( º; 1)¹[2; +º); c) {10}. 308. a) ( º; 1]¹(3; +º); b) ; c) { 1; 1}. 309. a) {1}; 3 1   b)  − ∞; −  ¹(0; +º); d) (1; 1). 310. a) 1; b) {5}; c) f(6); d) vienà. 311. a) {2; 7}; 3  b) ( 2; 2)¹(7; +º). 312. a) 40 + 8 22 ; b) x¢2; c) a=1. 313. b) ( º; 2);

{

}

87  29 − 2 . 314. b) ( º; 1] ¹(5,5; +º); c) [1; +º). 315. b) ( º; 1] ¹ 6; ;  13   2 c) 3 + 13; + ∞ . 316. a) {3}; c) 4 − 29; − 1 . 317. a) ®; c)  1 + 21; + ∞  .  3   2   318. a) ( º; 2]¹[2; +º); c)  21 − 2; + ∞  . 319. b) ( 1; 2); c) [2; +º). 3  c) 3; 

(

)

(

Rodiklinë funkcija

3.7. RODIKLINË FUNKCIJA Augimo ir nykimo procesai 1 p a v y z d y s. Brëþinyje pavaizduotas bakterijos skilimas:

Fiksuotais laiko tarpais stebëdami tokias bakterijas, matytume, kad jø skaièius kaskart padidëja. Jei pradiniu momentu populiacijà sudarë 3 bakterijos, tai po n skilimø bakterijø bus P=3·2n.

2 p a v y z d y s. Kas pusvalandá registruojant tam tikros rûðies bakterijø skaièiø N, gauti tokie bandymo duomenys: t, h

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

N¦106

14,2

15,4

16,6

18,0

19,4

21,0

22,7

24,6

26,6

28,7

Kad galëtume juos palyginti, sudarome gretimø reikðmiø skirtumø bei santykiø lentelæ: t, h

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

Skirtumas

1,2

1,4

1,6

1,7

1,9

2,0

2,1

Santykis

1,08

Santykio reikðmës ðimtøjø tikslumu yra lygios. Vadinasi, ðiø bakterijø kas pusvalandá padaugëja 8 %. Aptarkime, kaip vyksta augimo procesas. Pirmoje lentelëje nurodytos bakterijø skaièiaus N reikðmës tam tikrais laiko momentais t, taigi N yra t funkcija: N=N(t). Kiekvienà antrosios

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

 1 lentelës reikðmæ N  t +  apytikriai galima gauti dauginant N(t) reikðmæ 2  ið daugiklio q=1,08: 1 N  t +  £1,08·N(t), 2 

1 N(t+1)£1,08· N  t +  =1,082·N(t), 2 

3 1 N  t +  £1,08·N(t+1) =1,08·1,08· N  t +  =1,082·1,08·N(t)=1,083·N(t), 2 2   3 N(t+2)£1,08· N  t +  =1,08·1,08·N(t+1)=1,084·N(t) ir t. t. 2  Taigi ðios populiacijos augimo dësná galëtume paraðyti taip:

1 N  t + ⋅ n  £1,08n·N(t). 2   N(t) reikðmæ galime pasirinkti bet kurià ið nurodytø lentelëje, o po jos einanèias kitas reikðmes skaièiuoti apytiksliai. 1 u þ d u o t i s. Bandymas atliktas su 100 mg masës radioaktyviojo polonio gabalëliu. Kas penkias dienas matuojant nesuskilusio polonio kieká, gauti tokie rezultatai: t, d.

m, mg

100

97,5

95,1

92,7

90,2

88,1

85,9

83,8

81,7

79,7

Sudaræ gretimø masës reikðmiø santykiø lentelæ, apibûdinkite polonio skilimo procesà, t. y. nurodykite, kaip kinta laikui bëgant nesuskilusio polonio kiekis m(t). Palyginkite apytiksliai apskaièiuotas m(t+10), m(t+20), m(t+30), m(t+40) reikðmes su lentelëje pateiktomis m(t) reikðmëmis. Apibendrinkime èia pateiktus bandymø rezultatus: jei funkcijos reikðmë fiksuojama vienodais laiko tarpais h (h>0), tai tos funkcijos reikðmæ bandymo momentu t+h galima rasti dauginant jos reikðmæ momentu t ið teigiamo skaièiaus q, nustatyto ðiam bandymui: f(t+h)=q·f(t). Apskaièiuokime gretimø funkcijos reikðmiø skirtumà: f(t+h) f(t)=q·f(t) f(t)=(q 1)·f(t)=c·f(t). Kai q>1, arba q 1=c>0, tai funkcijos f(t) reikðmës didëja ir turime augimo procesà; kai 0<q<1, tai funkcijos reikðmës maþëja ir kalbame apie nykimo procesà: f(t) f(t+h)=f(t) q·f(t)=(1 q)·f(t)=c·f(t); èia 0<c<1.

Rodiklinë funkcija

Atskiru atveju, kai h=1, pradëdami skaièiuoti nuo f(t) reikðmës, atitinkanèios t=0, turime: f(1)=f(0+1)=q·f(0), f(2)=f(1+1)=q·f(1)=q·(q·f(0))=q2·f(0), f(3)=f(2+1)=q·f(2)=q·(q2·f(0))=q3·f(0), ..., f(t)=qt·f(0), t ± N. Paþymëkime: f(0)=c. Tada f(t)=c·qt. Gavome funkcijà, kurios kintamasis t ± N yra laipsnio rodiklis. Prisiminkime, kad indëlio dydá po n metø apskaièiuojame pagal sudëtiniø palûkanø formulæ n

p   Sn= S0  1 +  ; 100   èia S0 pradinis indëlis (piniginiais vienetais), p metinë palûkanø norma (procentais), n metø (tarpsniø) skaièius, Sn kaupiamasis indëlis (piniginiais vienetais). Taigi dydis Sn taip pat priklauso nuo laipsnio rodiklio n ± N. Sudëtinës palûkanos gali bûti skaièiuojamos kasmet, kas pusmetá, kas ketvirtá, kas mënesá ar net kas dienà. IX klasëje buvo pateiktas pavyzdys, iliustruojantis, kaip kinta kaupiamojo indëlio dydis ir sudëtinës palûkanos (piniginiais vienetais). Priminsime já. 3 p a v y z d y s. Á bankà, mokantá 4 % sudëtiniø metiniø palûkanø, padëtas 10 000 Lt indëlis. Apskaièiuokime, iki kurios sumos ðis indëlis iðaugs per ketverius metus, kai sudëtinës metinës palûkanos bus skaièiuojamos skirtingais tarpsniais: Intervalas

Tarpsniø skaièius n

Skaièiavimas

Suma

4=4·1

10 000·(1,04)4

11 699

Kas pusmetá

8=4·2

10 000·(1,02)

11 717

Kas ketvirtá

16=4·4

10 000·(1,01)16

Kasmet

11 726 48

Kas mënesá

48=4·12

10 000·(1,0033)

Kasdien

1460=4·365

10 000·(1,00010959)1460

11 732 11 735

Skaièiuojame pagal formulæ 4k

p   ; èia k=1, 2, 4, 12, 365. S4k= S0  1 + 100 ⋅ k   Matome, kad indëlininkui bûtø pelningiausia, jei sudëtines palûkanas bankas skaièiuotø kasdien.

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Skirtingai nei ankstesniuose pavyzdþiuose, èia kinta ir laipsnio rodiklis, ir laipsnio pagrindas, vis artëdamas prie 1. Todël dar panagrinëkime kaupiamojo indëlio formulæ, laikydami, kad indëlis padëtas á bankà N metams su p % sudëtiniø metiniø palûkanø norma. Paþymëkime:

p 1 = ; 100 ⋅ k r

Tada

pr =k; 100

p   SN= S0  1 + 100 k  

Npr = kN . 100 Npr

1 100 = S0  1 +  ; r  Np

r 100  1  Sn = S0   1 +   ; r  

èia r priklauso nuo pasirinkto palûkanø skaièiavimo bûdo, t. y. nuo skaièiaus k ± N.

1  Lentelëje pateikiame kai kurias dydþio  1 +  r  r

reikðmes, kai r ± N:

1 + 1   r  

2,00000

1000

2,71692484

10 000

2,71814671

2,25000

1001

2,7169253

10 001

2,71816405

2,37037

1002

2,71692781

10 002

2,71815502

2,44141

1003

2,71692798

10 003

2,71815472

2,48832

1004

2,71693023

10 004

2,71814558

2,52163

1005

2,7169315

10 005

2,71816271

2,54650

1006

2,71693313

10 006

2,71815346

2,56578

1007

2,71693424

10 007

2,71815293

2,58117

1008

2,71693486

10 008

2,71816991

2,59374

1009

2,71693853

10 009

2,71816050

1010

2,71693864

10 010

2,71815102

r ± [1000; 1010]

1 + 1   r  

r ± [10 000; 10 010]

1 + 1   r  

1  Matydami, kaip kinta dydþio  1 +  reikðmës, suprantame, kad jos r  yra artiniai tam tikro skaièiaus, kurio tikslesnes reikðmes galima rasti imant vis didesnes r reikðmes. Formaliai tai uþraðoma vartojant ribos, kai r artëja prie begalybës, simbolá lim (lot. limes riba, pasienio linija) ir nurodant r kitimà:

r→∞

lim  1 + r →∞ 

1 =e=2,71828 ...; r  2<e<3.

1 1   Uþraðas lim  1 +  =e skaitomas taip: dydþio  1 +  riba, kai r artëja r →∞  r r  prie begalybës, lygi skaièiui e. Taigi gavome dar vienà iracionaløjá skaièiø. Daþniausiai vartojamas jo artinys e£2,7, taèiau jeigu reikia skaièiuoti tiksliau, pavyzdþiui, 10 4 tikslumu, imama reikðmë e=2,7183¤10 4. Su ðiuo skaièiumi susidursime dar ne kartà ir plaèiau suþinosime apie ádomias jo savybes bei taikymà ávairiose mokslo srityse. Kaupiamojo indëlio formulæ su skaièiumi e galime uþraðyti taip: Np

SN = S0 ⋅ e 100 . Np Ðioje iðraiðkoje laipsnio rodiklis 100 ne visada yra natûralusis skaièius, todël èia turime bendresná atvejá.

Funkcija y = ax (a > 0, a¥1) Apibrëþkime kà tik aptartas naujos rûðies funkcijas, kuriø nepriklausomasis kintamasis yra laipsnio rodiklyje. Apibrëþimas. Funkcija, kurià galima uþraðyti formule f(x)=ax

(a > 0,

a ≠ 1), vadinama rodîkline f÷nkcija.

Kadangi laipsninës funkcijos y=xα laipsnio rodiklis α ± R, tai galime teigti, jog ir rodiklinë funkcija y=ax yra apibrëþta su visomis realiosiomis x reikðmëmis (x ± R). Atsiþvelgdami á këlimo laipsniu veiksmà, skirsime du rodiklinës funkcijos atvejus: 2) y=ax, kai a>1. 1) y=ax, kai 0<a<1; Pagal laisvai pasirinktas argumento x reikðmes ir skaièiuotuvu apskaièiuotas atitinkamas rodiklinës funkcijos reikðmes nubraiþykime funkcijø x x 1 1 y=2x, y=3x, y=5x, y=   ir y=   grafikus. Jø tikslumas priklausys 2 3 nuo gretimø x reikðmiø skirtumo, t. y. nuo skaièiavimo þingsnio h. Pavyzdþiui, intervale [ 3; 2] x reikðmes imdami kas 1 (èia h=1), koordinaèiø plokðtumoje galëtume paþymëti tik keletà taðkø ir, suprantama, per juos nubrëþtas grafikas bûtø netikslus. Pasirinkæ h=0,5, gautume daugiau taðkø, o pasirinkæ h=0,1 dar daugiau, todël grafikas bûtø gerokai tikslesnis. Iðanalizavæ grafikus, galime nurodyti tokias rodiklinës funkcijos y=ax (a>0, a¥1) savybes:

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

1 1 1 y=2x; 2 y=3x; 3 y=5x; 4 y=   ; 5 y=   . 3 2

1) funkcijos apibrëþimo sritis yra visø realiøjø skaièiø aibë, arba D(y)=( º; +º), arba D(y)=R; reikðmiø sritis visø teigiamøjø realiøjø skaièiø aibë, arba E(y)=(0; +º), arba E(y)=R+; 2) funkcija yra nei lyginë, nei nelyginë, nes jos grafikas nëra simetriðkas nei Oy aðies atþvilgiu, nei koordinaèiø pradþios atþvilgiu. 3) kai a>1, funkcija visoje savo apibrëþimo srityje yra didëjanti, kai 0<a<1 maþëjanti. x

1 Pastebëkime, kad funkcijø y=ax ir y=   (a>1), pavyzdþiui, y=2x ir a x x 1 1 x y=   arba y=3 ir y=   , grafikai yra simetriðki Oy aðies atþvilgiu, 3 2 −x 1 x nes a =   . a 2 u þ d u o t i s. Toje paèioje koordinaèiø sistemoje nubraiþykite ðiø funkcijø grafikus: x

3 2 1 a) y=   , y=ex, y=4x, y=10x; b) y =   , y=e x, y =   , y=10 x. 2 3 4 Remdamiesi jais, atsakykite á tokius klausimus: 1) Kuris plokðtumos taðkas ypatingas visoms rodiklinëms funkcijoms? 2) Kodël funkcija y=ax yra maþëjanti, kai 0<a<1, taèiau didëjanti, kai a>1? 3) Kurios funkcijos reikðmës maþëja (didëja) sparèiau ir kodël? 4) Kaip galima algebriðkai pagrásti rodiklinës funkcijos kitimo pobûdá?

Rodiklinë funkcija

Rodiklinës lygtys, nelygybës ir jø sistemos Apibrëþimas. Rodîklinëmis lygtimîs arba nelyg¾bëmis vadinamos lygtys arba nelygybës, kuriø kintamasis yra laipsnio rodiklyje. Pavyzdþiui,

lygtys

2x=8,

− x −3

= 27 ,

52x+5x+1+9=5,

nelygybës

 3  < 1 , 45 2x¡0,25, 9 x − 28 + 1 > 0 ir pan. yra rodiklinës. 7 32 x − 1 3   Paprasèiausia rodiklinë lygtis, kurios iðraiðka ax=b (a>0, a¥1), turi sprendiniø tik tada, kai b>0, be to, su kiekviena teigiama b reikðme ji turi vienintelá sprendiná tiesë y=b kerta funkcijos y=ax grafikà tik viename taðke. Kai b¡0, lygtis sprendiniø neturi.

1 y=2x; 2 y=3x; 3 y =  1  . 3

Ið ðio brëþinio matyti, kad: 2x=2 ir 3x=3, kai x=1; x

 1  = 3, kai x= 1; 2x=4, kai x=2; 2x>2, 3x>3, kai x>1; 3   x

 1  > 3, kai x < 1; 2x<2, 3x<3, kai x<1;  1  3  3  < 3, kai x > 1.    

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Taèiau, remdamiesi tuo paèiu brëþiniu, apie lygèiø 2x=b,

3x=b

 1  =b 3  

sprendinius tegalime pasakyti, kad tai yra skaièiai x1, x2 ir x3. Panaðiai nurodytume ir nelygybiø, pavyzdþiui, 3x>b ar 3x<b, sprendinius. Vadinasi, sprendþiant lygtá ax=b, reikia skirti du atvejus: 1) b=ar;

2) b¥ar, r ± R.

Lygties ax=ar sprendiná randame remdamiesi laipsniø su vienodu pagrindu savybe: x=r. Atvejá, kai skaièius b nëra skaièiaus a laipsnis, aptarsime vëliau. Nelygybiø ax>ar ir ax<ar sprendiniai priklauso nuo pagrindo a reikðmës, t. y. nuo rodiklinës funkcijos kitimo pobûdþio:

a) kai 0<a<1 (funkcija yra maþëjanti), tai nelygybë

b) kai a>1 (funkcija yra didëjanti), tai nelygybë

a x1 > a x2 ekvivalenti nelygybei x1<x2;

a x1 < a x2 ekvivalenti nelygybei x1<x2.

4 p a v y z d y s. Raskime ðiø lygèiø ir nelygybiø sprendinius: x

 2  5 a)   =4;  5

 2  3 c)   > 4.  3

 2  5 b)   > 4;  5

Sprendimas. a) Pertvarkæ deðiniàjà lygties pusæ, gauname: x

todël x= 2.

−2

 2   2    =  ,  5  5

Rodiklinë funkcija

b) Spræsdami nelygybæ, pirmiausia atkreipiame dëmesá á tai, kad a=

2 < 1 , ir toliau deðiniàjà pusæ pertvarkome taip pat kaip lygties: 5 −2 x  2   2    >  .  5  5

Ði nelygybë ekvivalenti nelygybei x< 2, vadinasi, pradinës nelygybës sprendiniai yra x ± ( º; 2). c) Ðiuo atveju a= niàjà nelygybës pusæ:

2 > 1 . Samprotaudami panaðiai, pertvarkome deði3 −2

 2   2    >  .  3  3 Ið èia x> 2, arba x ± ( 2; +º). Ats.: a) { 2}; b) x ± ( º; 2); c) x ± ( 2; +º). Sudëtingesnës rodiklinës lygtys, nelygybës ar jø sistemos sprendþiamos panaðiai kaip ir kitos lygtys, t. y. ekvivalenèiai pertvarkant jas sudaranèius reiðkinius: vienodinant laipsniø pagrindus, prieð skliaustus iðkeliant bendràjá daugiklá, taikant keitinius ir pan. 5 p a v y z d y s. Iðspræskime lygtis ir nelygybes: x

1  1 b)   > 8  64   

a) 8 ⋅ 3x =243 ⋅ 2 x − 2 ;

4 x

;

−6−2x

2 =  1  ; d) 23x+1 23x+23x 1¡12.  3 Sprendimas. Visais atvejais pertvarkydami reiðkinius, suvienodinsime laipsniø pagrindus. a) Abi lygties puses padalijæ ið sandaugos 8·3x, kuri yra visada teigiama, ir pertvarkæ, gauname: c)

(0,6 )

x2 − 3 x + 2

243 ⋅ 2 x 2 = 1, 8 ⋅ 3x

2 3  

x 5

35 ⋅ 2 23 ⋅ 3 x

x 2

= 1,

2 x 2 3 = 1, 3x 5

2 =   , x 5 = 0, x = 5. 3

Ats.: {5}. b) Kadangi

1 1 = 2 6 , o = 2 3 , tai pradinæ nelygybæ perraðome taip: 64 8

(2 − 6 ) > x

(2 − 3 )

4 x

, arba 2 − 6 x > 2

3 x 12 2

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Ið èia

6 x >

3x 12 12 , 12 x 3x > 12, 15x > 12, x < 2 15

Sprendinius uþraðome intervalu: x ∈ ( ∞; 0,8 ). Ats.: ( ∞; 0,8 ). c)

(0,6 )

x2 − 3 x + 2 6

5 =   3

−6−2x

(0,6 )

x2 − 3 x + 2 6

= (0,6 )

2x +6

x 2 − 3x + 2 = 2 x + 6, 6

x2 3x+2=12x+36,

x2 15x 34=0,

D=152+4·34=361=192,

x1, 2=

15 ± 19 , 2

x1=17, x2= 2.

Ats.: { 2; 17}. d) Kairiojoje nelygybës pusëje prieð skliaustus iðkëlæ 23x 1, gauname: 23x 1(23x+1 (3x 1) 23x (3x 1)+1)¡12, 23x 1(22 2+1)¡12, 23x 1¡4,

23x 1¡22,

3x 1¡2, nes a=2>1;

3x¡3,

Ats.: ( º; 1].

23x 1 · 3¡12, x¡1.

6 p a v y z d y s. Raskime lygties ir nelygybës sprendinius: a) 7x 72 x=48;

( 3) + ( 3) 5

x − 10

≥ 84;

c) 4 ·25x 9·20x+5·16x=0.

Sprendimas. a) Pertvarkome lygtá: 7x 72·7 x=48. Pritaikæ keitiná 7x=t (èia t>0), gauname: 49 =48, t2 48t 49=0, t t 48 ± 50 t1, 2= , D=482+4·49=2500=502, 2 t1=49, t2= 1<0 (netinka), todël 7x=49, 7x=72, x=2. Ats.: {2}.

Rodiklinë funkcija

b) Pertvarkome kairiàjà nelygybës pusæ: x

35 + 3

x − 10 10

≥ 84,

3 5 + 310 ⋅ 3−1 ≥ 84 .

1 Paþymëkime: 310 = t , t>0. Tada t2 + t ≥ 84 , ·3 3 D=1+4·3·252=552,

t1=9, t2= 9

 1  t + 9  ( t − 9 ) ≥ 0, 3  t > 0; 

3t2+t 252¢0,

1 ; 3

t¢9. Taigi 3

x 10

≥9, 3

x 10

≥ 32 ,

Ats.: [20; +º).

x ≥ 2 , x¢20. 10

c) Abi lygties 4·25x 9·20x+5·16x=0 puses dalijame ið 20x>0: 4⋅

25x 16 x 25 16 9 5 + ⋅ = 0, 4 ⋅   9 + 5 ⋅   = 0, 20 x 20 x  20   20  x

5 4 4 ⋅   + 5 ⋅   9 = 0. 4 5 x

5 Paþymëkime:   = t; èia t>0. Áraðæ ðá keitiná, gauname lygtá 4 5 4t + 9 = 0, arba 4 t 2 9t + 5 = 0. t Jos sprendiniai yra t1 = 1, t2 = 5 , todël 4 x

 5  = 1, 4   x

Ats.: {0; 1}.

 5 = 5, 4 4  

5 = 5 , 4 4    

x1 = 0;

x2 = 1.

82 x + 1 = 32 ⋅ 24 y − 1 , 7 p a v y z d y s. Iðspræskime lygèiø sistemà  5 ⋅ 5x − y = 252 y + 1 . Sprendimas. Suvienodiname kiekvienos lygties laipsniø pagrindus: 23(2 x + 1) = 25 + 4 y − 1 ,   1 ⋅ 2 (2 y + 1) 5x − y + 1 = 5 2 ;

2 6 x + 3 = 2 4 y + 4 ,  x − y +1 = 52 y + 1. 5

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Sulyginæ laipsniø rodiklius, gauname tiesiniø lygèiø sistemà ir jà iðsprendþiame: x = 3 y ,  6 ⋅ 3 y − 4 y − 1 = 0;

6 x − 4 y − 1 = 0,   x − 3 y = 0;

6 x + 3 = 4 y + 4,   x − y + 1 = 2 y + 1;

1 1 3 , x = 3⋅ . = 14 14 14

14y=1, y =

 3 1  Ats.:  ; .  14 14 

Uþdaviniai 324. Iðspræskite lygtis: a)  49   16 

x +1

4 =   ; 7

x −1

3 2 9 d)   ⋅ ; e) = 4 16   3 2 6x 3−15 g) −15 = 12 −12 x ; h) 2 6  2 j) 4 x + 2 x − 2 =  2 + 32 −  325. Iðspræskite nelygybes:

g) 2

x+2

c) 10

8 ; 2

(0,5) ⋅ 2 2 x + 2 = x2

= 3 10; x

1 f)  ⋅ 8 x  = 25 x − 6 ; 16  

;

i) 2 x ⋅ 5 x = 0,1 ⋅ (10 x − 1 ) ;

b) 9 > 1 ; 3

 53 4 c)  < ;  5  4 

3 0,9 x + 0,36

x 5

 2 ≥  ;  8 

2 x 1

x 3

6 1 5 . +4 2  2

3 a)  1  > 7; 7

d) 0,125 ⋅ 4

b) 2 x 1 = 2 2;

e) 324 3 x ≤

1 h)   3

≥ 16;

(

8 ; 0,25 2

x2 x 1

f) 55

)

1 x

≤5

x 4

;

1 2 <   . 9

326. Raskite ðiø lygèiø bei nelygybiø sprendinius: a) 4x+1 + 4x=320; d) 5 ⋅ 2

− 3⋅2

g) 3 ⋅ 2

x −1

b) 32x+2+ 32x=30; = 56 ;

≤ 14;

e) 2 x − 2 x 4 15 < 0; f) 30,5 x + 30,5 x 2 > 30; h) 100 x ≥ 625 ⋅ 4 x ;

j) 32(2 x + 5) ⋅ 52(3 x + 1) ≤ 155 x + 6 ; k) l) 9 x 2 n) 3

6 x 3 x

1 2

≤2

2 x 1 3x

7 2

o) 5

i) 22(2 x + 3) ⋅ 52(3 x + 2) = 105 x + 5 ;

3x 56 7 3x 60 = 162;

 1  32 x 1 ; m)    225 

< 0;

c) 2 ⋅ 16x − 24 x 42 x−2 = 15;

9 x 2 x

x −1

1  +   289  

3 x 4 2x

≥ 0.

x −1

+ 153 − 2 x − 173 − 2 x = 0 ;

Rodiklinë funkcija

327. Iðspræskite lygtis: a) 9 x 75 ⋅ 3x 1 54 = 0;

b) 52 x 1 + 5x + 1 = 250;

c) 100 x 70 ⋅ 10 x 1 30 = 0;

d) 9 ⋅ 3 x + 3 x = 10;

e) 3x + 2 + 31 x = 28; g) 4x+6x=2·9x;

f) 6 ⋅ 2 x 4 x = 8; h) 64 ⋅ 9 x 84 ⋅ 12 x + 27 ⋅ 16 x = 0;

i) 9 ⋅ 5

+ 2 ⋅ 15 x 75 ⋅ 3

k) 1 + 2

tg x

2 x

= 0;

1 1 π  sin  x  ⋅ 4  cos x 2

=3⋅4

;

j) 4 cos 2 x + 4 cos l)  1  3

cos x 2 tg

x 2

= 3, x ∈ [0; 5]; 6

 3 81  =  .  3 

328. Raskite nelygybiø sprendinius: a) 49x 8·7x+7>0;

b) 7x 8·70,5x+7<0;

c) 24 x + 9 3 ⋅ 22 x + 5 + 4 < 0;

d) 32 x 2 + 3 x 1 ≥ 12;

e) 3x + 2 + 9 x +1 ≤ 810;

f) 98 7x

i) 12 ⋅

( 3) − ( 3)

2 x

≥ 27 ;

k) 2 x (6 0,5 x 2 x + 3 ) > 0; 1

+ 5 x 48

≥ 49x

1 h) 22 x + 1 + 4 ⋅   2

g) 9x+31 2x>4; 1 x

2x +3

+ 5 x 49

;

> 2;

j) 4 x (2 x + 25 x 12 ) ≤ 0; l) 8x+18x<2·27x;

m) 5 ⋅ 25 x + 3 ⋅ 10 x > 2 ⋅ 4 x . ; 329. Iðspræskite lygèiø sistemas:  y − x = 3, a)  y x 3 ⋅ 2 = 972;

( ) ( )

 3  d)   3 

+ 2 y = 11, − 2 y = 7;

2 x ⋅ 9 y = 648, g)  x y 3 ⋅ 4 = 432;

 y + 3x = 0,5, b)  2 y ⋅ 8 x = 8 2 ;

2 x − 2 y = 1, c)  y +1 3,5 ⋅ 2 = 146 − 20 x ;

3 ⋅ 2 x + 2 ⋅ 3 y = 11 ,  4 e)  2 x − 3 y = − 3 ; 4 

2 x ⋅ 3 y = 144, f)  x y 3 ⋅ 2 = 324;

5x − 1 ⋅ 5 y − 1 = 125, h)  x − 1 y −1 5 + 5 = 30;

32 x 2 y = 725, i)  x 0,5 y = 25; 3 2

273 x − 1 = 81 ⋅ 32 y + 1 , 92 tg x + cos y = 3, j)  k)  cos y − 81tg x = 2; 9  74 x + 2 = 7 ⋅ 7 x − y ;

1  cos x + 2 cos y = 5, 2 l)  1 2cos x ⋅ 2 cos y = 4. 

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

330. Raskite sprendinius: a)

( x − 2)

x2 − 4 x + 5

d) x − 3 g) x − 3 i)

x 2 − 8 x + 15 x −2

2 x2 − 7 x

= 1;

b) xx+5=x3;

=1;

e) x − 2

>1;

10 x2 − 3 x − 1

=1;

x −1

f) x − 3

= 1;

3 x2 − 10 x + 3

= 1;

h) (x2 5x+6)x 3¢1;

x+5

+ x + 1) x + 2 ≥ ( x 2 + x + 1) ; 3

x −3

x +1

= 3 x −3

x −2

;

 x y = 2, l)  y2 (2 x ) = 64 ( x > 0 ); 2 ( x 2 + y ) ⋅ 2 y − x = 1, n)  2 x2 − y 9 ⋅ ( x + y ) = 6 .

 x x − y − 16 = 1, k)   x − y = 2 ( x > 0 ) ; 2

x c)   2

 x y − 7 y + 10 = 1, m)   x + y = 8 ( x > 0 ); 2

Pakartokite 331. 1) Su kuriomis x reik mëmis funkcijø f(x) ir g(x) reikðmës yra lygios: a) f ( x) = 5 x 1, g ( x) = 7 5 x ; c) f ( x) = 2 x + 1 , g ( x) =

( 2)

2 x + 3

b) f ( x) = 3 3 x 1 5, g ( x) = 33 3 x ; 2x + 1 , g ( x) = ; d) f ( x) = 5

( 5)

4 x + 3

2) Raskite didþiausià sveikàjá nelygybës sprendiná: a) 4 ⋅ 4 x < 7 ⋅ 2 x + 2;

b) 3 ⋅ 9 x < 8 ⋅ 3x + 3.

3) Apskaièiuokite: a) 3 x + 3 x , kai 9 x + 9 x = 14;

b) 2 x 2 x , kai 4 x + 4 x = 7.

4) Kiek sprendiniø turi kiekviena ðiø lygèiø: a) 4 c)

x 1

(

4 x + 3 ) = 0;

b) 2

x 2 4 = 0; 3x 9

)

8 ( x + 1) = 0;

9 x 4 ⋅ 3 x + 3 = 0? x 2 4 x + 3

5) Su kuriomis x reikðmëmis funkcija f(x) yra apibrëþta: a) f ( x) =

c) f ( x) =

;

b) f ( x ) =

4 x 32 x ; 8 ⋅ 3 243 ⋅ 2 x 2

d) f ( x) =

27  3  64  4  x

6 x + 10 x2

x 2

2x ; 34 2 x

x ; 35 ⋅ 72 x 4 25 x 1

Rodiklinë funkcija 1

e) f ( x) = 0,5 x

f) f ( x) = 54 ⋅ 33 x 2 ⋅ 3 x 3 ;

0,125 + 2;

g) f ( x) = 4 2 ⋅ 3x +

7 61 ⋅ 3 x 12; 3x

(

)

x 5x 5 +2 ? x

h) f ( x) =

332. Raskite lygèiø bei nelygybiø sprendinius: 2 x

 32  a) 0,125 ⋅ 47 x 2 =   ;  8  c) 1 ⋅ 27 x 3x ⋅ 9 x + 32 x + 2 = 25; 3 x +5

x +17

e) 32 x 7 = 0,25 ⋅ 128 x 3 ;

( 5)

1 2

> 5 ⋅ (0,04 )

4 ; ⋅ 2

d) 11x 32 x + 45 ⋅ 32 x 45 ⋅ 11x = 0;

f) 12 ⋅ 2 x 4 x = 32;

2 x 1

0,2

b) 8 3 x 5 =

i) 22 x

;

4 x + 4

g) 2 x + 1 + 22 x = 9;

+ 22 x

4 x + 3

+ 4( x

> 7 ⋅ 28.

333. Iðspræskite lygtis ir nelygybes:

a) 0,0625 ⋅ 83 x 1

 2  =   128 

x 3

b) 32 4 3 x =

;

8 ; 0,25 ⋅ 2

c) 212 x 1 46 x 1 + 84 x 1 163 x 1 = 1280; 3 x +16

x +2

d) 52 x 7 x 35 ⋅ 52 x + 35 ⋅ 7 x = 0;

e) 1 ⋅ 9 x 4 = 81 x 5. 9

f) 9 x 3x = 6;

g) 7 x 72 x = 48;

( 2)

x 3

0,25

< 4 ⋅ (0,125 )

1 3

i) 33 x

;

6 x + 5

+ 33 x

6 x + 1

+ 27( x 1) < 13 ⋅ 327 . 2

334. 1) Duota funkcija f ( x) = 31 x. a) Apskaièiuokite f( 2), f( 1), f(0), f(1), f(2). b) Nubraiþykite funkcijos y = f(x) grafikà ir nurodykite jos savybes. c) Remdamiesi grafiku, raskite ðiø lygèiø ir nelygybiø sprendinius: 31 x=2;

31 x=0,5;

31 x= 3;

31 x ≥ 3;

31 x< 2;

31 x ≤ 1;

2) Iðspræskite lygtis ir nelygybæ: 1

 1 x  1  a) 5 = 625 5; b) 6 + 6 = 3 3 + 3 ; c)  3  ≥  3  .     3) Raskite nelygybës 64 x 5 ⋅ 8 x + 4 ≤ 0 sprendiniø intervalo vidurio taðkà. x2 3 x 5,5

x +1

x +2

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

4) Nustatykite visus Ox aðies taðkus, kuriuose funkcija g ( x ) = 1

= 3 ⋅ 81 x 10 ⋅ 9 x + 3 yra neapibrëþta.  3x + 22 y = 77, 5) Iðspræskite lygèiø sistemà  0,5 x + 2 y = 7.  3 2 x +1

1 335. 1) Duota funkcija f ( x) =   . 2 a) Apskaièiuokite f( 2), f( 1), f(0), f(1), f(2). b) Nubraiþykite funkcijos y = f(x) grafikà ir nurodykite jos savybes. c) Remdamiesi grafiku, raskite ðiø lygèiø ir nelygybiø sprendinius:

1 2   1 2  

2 x+1

= 3;

1 2  

< 4;

1 2  

2 x+1

1 2  

= 0,3;

2 x+1

1 2  

= 1;

2 x+1

≥ 2;

≥ 1.

2) Iðspræskite lygtis ir nelygybæ: 1

x a) 3 = 81 3 b) 6 + 6 = 2 + 2 + 2 ; c)  1  ≥  1  . 2 2 x x 3) Raskite nelygybës 81 4 ⋅ 9 + 3 ≤ 0 sprendiniø intervalo vidurio taðkà. 4) Nustatykite visus Ox aðies taðkus, kuriuose funkcija x 2 3 x 5,5

x +1

x +2

h( x) = 3 ⋅ 81 x 10 ⋅ 9 x + 3 yra apibrëþta.

3x 22 y = 77, 5) Iðspræskite lygèiø sistemà  0,5 x y 3 2 = 7.

Atsakymai 324. g) {3; 9}; h) { 0,3; 1,2}; i) {12}; j) { 3; 1}. 325. f) {25; +º}; g) ( º; 6]¹[2; +º); h) ( º; 3)¹(3; +º). 326. j) ( º; 4]; k) {68}; l) ( º; 1,5]; m) {1};

{

}

{(

}

π 4 k + 1) , k ± Z; 4 1 1 , k ± Z. 328. a) ( ∞; 0 ) ¹ (1; + ∞ ) ; f) [ 10; 5]; i)  ;  ; l) {1}; 4 2 π  πk ; ± π + 2πk   8;− 8 m) ( º; 1)¹(0; +º). 329. j)   , k ± Z; l)  2 (2k + 1) ; ,  ; k)  3     11 11  π  1 (6k ± 1)  k ± Z. 330. d) {5; 4}; f) 3 ; 2; 4 ; g) ( º; 0)¹(2; 3)¹(3; 3,5)¹(4; +º); h) [1; 3  1 1 3]¹[5; +º); i) ( 2; 1]¹  − ; 0  ; j) {2; 3; 4; 11}; l) 2 ; 2 ,  3 4 ; − 3  ; m) (3; 5), 2   2  (1; 7), (6; 2); n) − 3 ; 1 , 3; 1 .

1 n)  0;  ; o) 2  π l) ( 4 k + 1) 2

{

}

 −∞ ; − 2  ¹(0; +º). 327. f) {1; 2}; j)  5  

{

(

) (

)

}

π 3π 5π ; ; ; k) 4 4 4

(

)

Logaritmai ir jo savybës

3.8. LOGARITMAS IR JO SAVYBËS Kaip buvo þadëta, iðspræskime lygtá ax=b, kai b¥ar, r ± R. Akivaizdu: kai b>0, ði lygtis turi vienintelá sprendiná, taèiau nëra simbolio, kuriuo galëtume já uþraðyti. Aiðku tik tiek, kad laipsnio rodiklio x radimo veiksmas yra atvirkðèias skaièiaus a këlimui laipsniu x. Apibrëþimas. Rodiklis laipsnio, kuriuo reikia pakelti skaièiø a, norint gauti skaièiø b, vadinamas to skaièiaus logaritm÷*. Skaièius a vadinamas logarîtmo pãgrindu, b logaritmõojamu skaïèiumi. Skaièiaus b logaritmas pagrindu a þymimas loga b. Vadinasi, jei ax=b, tai x=loga b; èia a>0, a¥1, b>0. Ið logaritmo apibrëþimo iðplaukia, kad alog a b = b .

Ði lygybë vadinama pagrindinç logarîtmø tapat¾be. Logaritmas, kurio pagrindas lygus 10, vadinamas deðimtaini÷ logaritm÷ ir þymimas simboliu lg: log10 b=lg b. Logaritmas, kurio pagrindas yra skaièius e=2,718..., vadinamas natûraliõoju logaritm÷ ir þymimas simboliu ln: loge b=ln b. 1 p a v y z d y s. Apskaièiuokime x: b) log33 3 x = −

a) 4x=3;

3 ; 2

c) logx 0,125= 2.

Taikome logaritmo apibrëþimà. a) x=log4 3; kol kas jokios kitos skaitinës reikðmës èia nurodyti negalime;

( ) 3

b) x= 3 3

−

3 2

 1+ 1  = 3 3   

−

3 2

−

4 3 ⋅ 3 2

= 3 −2 =

1 ; 9

* Terminas logaritmas kilæs ið graikø kalbos þodþiø logos santykis ir arithmos skaièius.

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

1 , x 2=2 3, 8 x2=8, x1 = 2 2 , o x2 = − 2 2 < 0 (netinka); taigi galiausiai x= 2 2 . Atvejais b) ir c) skaitinæ x reikðmæ radome atlikdami jau þinomà këlimo laipsniu veiksmà, o atvejo a) nepavyko iki galo iðspræsti, tad tenka toliau aiðkintis, kaip rasti skaièiaus logaritmo reikðmæ. c) x 2=0,125, x − 2 =

log 8 3 − log 4 2

. 2 p a v y z d y s. Suprastinkime reiðkiná A= 2 ⋅ 64 2 Ðá reiðkiná pertvarkykime remdamiesi laipsnio savybëmis ir pagrindine logaritmø tapatybe: 1

A= 2 ⋅ 64 2

log 8 3

⋅ 64 − log4 2 = 2 ⋅ 8

2⋅

1 log 8 3 2

(

⋅ 4 − 3 log4 2 = 2 ⋅ 8 log8 3 ⋅ 4 log4 2

)

−

3 . 4 Logaritmø idëjos visø skaièiø reiðkimo to paties pagrindo laipsniais uþuomazgø galima aptikti jau Archimedo (Archimedes; apie 287 pr. Kr. 212 pr. Kr.) veikaluose. Taèiau tik 1614 metais logaritmo apibrëþimà bei jo savybes pirmasis iðdëstë ðkotø matematikas Dþonas Neperis (J. Napier; 1550 1617) savo veikale Nepaprastos logaritmø lentelës apraðymas . Jis sukûrë logaritmø teorijà, sudarë detalias logaritmø lenteles. Praktiniams logaritmø reikðmiø skaièiavimams ilgà laikà buvo plaèiai naudojama logaritminë liniuotë, kurios veikimas pagrástas logaritmo savybëmis, svarbiomis pertvarkant reiðkinius. Vëliau jà pakeitë tobulesni skaièiuotuvai. Logaritmo savybës: 1) loga 1=0, nes a0=1; b) loga a=1, nes a1=a; 3) loga am=m, nes am=am; 4) loga (b1·b2)=loga b1+loga b2; b 5) log a 1 = log a b1 − log a b2 . b2 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2− 3 =

Árodysime 4-àjà ir 5-àjà logaritmo savybæ. Paþymëkime: x1=loga b1, arba b1= a x1 , x2=loga b2, arba b2= a x2 . Sandaugai b1b2 ir dalmeniui

x +x

b1 pritaikæ logaritmo apibrëþimà, gauname: b2

jei b1·b2= a 1 2 , tai loga (b1·b2)=x1+x2=loga b1+loga b2;

jei

log a

b1 = a x1 − x2 , tai b2

b1 =x1 x2=loga b1 loga b2. b2

Logaritmas ir jo savybës

6) loga bk=k loga b. Norëdami árodyti ðià savybæ, paþymëkime: loga b=x. Tada abi lygybës ax=b puses pakëlæ k-tuoju laipsniu ir pritaikæ logaritmo apibrëþimà gauname: akx=bk, arba loga bk=kx=k loga b. 7) loga c =

logb c , logb a

log ak c =

1 log a c , k

log a b =

1 . logb a

Árodysime 7-àjà savybæ, dar vadinamà logaritmo pagrindo keitimo savybe. Paþymëkime: loga c=x, arba ax=c. Apskaièiuokime lygybës ax=c kiekvienos pusës logaritmà pagrindu b, kitaip tariant, logaritmuokime abi tos lygybës puses pagrindu b: logb ax=logb c. Atsiþvelgæ á 6-àjà savybæ, gauname: x logb a=logb c. Ið èia

logb c logb c , arba loga c= . log b a logb a

Pritaikykime ðià lygybæ: log ak c =

log a b =

log a c log a c 1 = = log a c ; k k ⋅ log a a k log a a

logb b 1 = , nes loga a=logb b=1. logb a logb a

Svarbu loga 1=0;

loga a=1;

log a am = m

Sandaugos logaritmas: loga (b1·b2)=loga b1+loga b2 Dalmens logaritmas: log a

b1 = log a b1 − log a b2 b2

Laipsnio logaritmas: log a bk = k log a b Logaritmo pagrindo keitimas:

log a c =

logb c ; log b a

log ak c =

1 log a c ; k

log a b =

1 logb a

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

3 p a v y z d y s. Apskaièiuokime: 7 1  a) log2 7 log2 14+log2 8= log2 + log2 8 = log2  ⋅ 8  = 14 2  2 = log 2 4 = 2 , nes 2 =4; −4

b) 361 − 2 log6 2 = 36 ⋅ 36 −2 log6 2 = 36 ⋅ 6 − 4 log6 2 = 36 ⋅ 6 log6 2 = 36 ⋅ 2 1 9 1 = 36 ⋅ = =2 ; 16 4 4 c) b, kai log625 b+log25 b+log5 b=3,5. Pertvarkome logaritmø pagrindus: 625=54, 25=52. Tada

log54 b + log 52 b + log 5 b = 3,5;

1 1 log5 b+ log5 b+log5 b=3,5; 2 4 1 1 7 7  + + 1  ⋅ log b = 3,5; log 5 b = ; log5 b=2; b=52=25. 4 2  5 4 2   1 Ats.: a) 2; b) 2 ; c) 25. 4 4 p a v y z d y s. Spausdami rojalio klaviðus, skambiname logaritmais. Ir tai nenuostabu, nes ðiuolaikinë gama remiasi logaritmais, kuriø pagrindas lygus 2. Pagráskime ðá teiginá. Tarkime, kad þemiausios oktavos jà vadinsime nuline natà do apibrëþia n virpesiø (svyravimø) per sekundæ. Tada pirmosios oktavos do per sekundæ susvyruos n kartø, o m-tosios oktavos n·2m kartø ir t. t. Paþymëkime rojalio chromatinës gamos visas natas numeriais p, laikydami kiekvienos oktavos pagrindiná garsà nuliniu; tada garsas sol bus septintasis, la devintasis ir t. t.; dvyliktasis garsas vël bus do, tik oktava aukðtesnis. Kadangi tolygiai temperuotos chromatinës gamos kiekvieno garso virpesiø skaièius 12 2 kartø didesnis uþ prieð já esanèio garso, tai bet kurio garso virpesiø skaièiø galima iðreikðti formule Npm= n ⋅ 2m Iðlogaritmavæ gauname:

( 2) 12

lg Npm= lg n + m lg 2 + p arba

lg 2 , 12

p  lg N pm = lg n +  m + lg 2 . 12   Taræ, kad paties þemiausio garso do svyravimø skaièius lygus vienetui (n=1), ir visus deðimtainius logaritmus pakeitæ logaritmais, kuriø pagrindas lygus 2, turime: p . log2 Npm= m + 12 Ið èia matyti, kad rojalio klaviðø numeriai atitinka garso virpesiø skaièiaus logaritmus.

Logaritmas ir jo savybës

Uþdaviniai 336. Ðias iðraiðkas pakeiskite lygybëmis su logaritmu: a) 23=8, 26=64, 2 1=0,5,

2 2=0,25;

b) 102=100,

10 2=0,01,

100=1,

10 3=0,001;

c) 4 = 2 ,

49 = 7 ,

0,25 = 0,5 ,

2,25 2 = 1,5 ;

5 1=0,2,

125

log2 0,25,

log2 1024,

log2 0,0625;

log 1 16 ,

log 1

1 2

d) 25

−

1 2

= 0,2 ,

337. Apskaièiuokite: 1 a) log2 , 8 1 b) log 1 , 4 2

log 1 2

1 2

1 , 32

−

1 3

= 0,2 ,

0,04 2 = 0,2 .

1 ; 2

c) log0,1 1000,

log2,5 6,25,

log2,5 1,

log27 3;

d) log2 2 5,

log 5 5 ,

log 7 3 7 ,

log 4 3 4 ;

e) lg 10 4,

lg 3 10 ,

lg 5 100 ,

lg 10 3 ;

f) 2log2 4 ,

7log7 1 ,

10lg 24,

9log9 7 .

338. Apskaièiuokite: a) 5log25 2 ,

49 log7 3 , 1 2 + log 36 16 4

−

2 log4 3 ,

100lg 9 ;

101 2 lg 5 ;

b) 32 3 log3 3 ,

c) log15 3 + log15 5,

lg 17 lg 170,

lg 4 + lg 25;

d) log 4 160 log 4 40,

lg 8 + lg 125,

log 0,2 25 log0,2 125;

e) log 3 log 2 8,

log2 log3 81,

1 log 2 log 2 3 ; 8 (2 lg 5 lg 2 ) : ( lg 7 + lg 2 );

(log 25 log 36 ) ⋅ log 49, g) (3 log 3 lg 1)( log 4 + 3 log 3 ); f)

2 5

2 6

2 7

h) log121 11 + log144 12 ,

log 2 2 + log

2 + log 2 1.

339. Nurodykite, tarp kuriø natûraliøjø skaièiø yra ðie skaièiai: a) log2 30; b) log2 512; c) lg 11; d) lg 61; e) log5 26; f) log5 100; g) log3 244; h) log3 730. 340. Suprastinkite reiðkinius: 1 log a 2 , a) loga a3, a

log a

1 , a

log a a ;

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

log a 4 a3 ,

b) log a 5 a ,

log a

m n

log a n a ,

c) loga an,

log a

a ; a

log a3 4 a .

log a a ,

341. Apskaièiuokite:

1 a)   2 d)

4 + log2 16

2 − log 1 81

b) 3

;

32 − 0,5 log3 16 ;

e) 64 2

log2 3

c) 5 2

;

log 5 25

;

: 2log4 25 ;

1 1 + log9 4 2

f) log3 log 2 16 2 + 4− log4 3 ;

g) 814

h) log 6 3 ⋅ log 3 36 ;

i) log 4 8 ⋅ log 3 81 + 0,8 1 + 9 log3 8

j) log3 5 ⋅ log 4 9 ⋅ log5 2 ;

k) log 1 ( log 2 3 ⋅ log 3 4 ) + (log 7 9 )

+ 25log625 8 ;

(

)

log 65 5

log 2 1

; .

342. Dydá A pakeiskite dydþiu lg A su leistinosiomis kintamøjø reikðmëmis: a) A =

3mx 2 ; 4 5mx

b) A =

a2b ab d) A = ; a2 − b2

e) A =

6a 2 ( a − b ) ⋅ c 5 (a − b)

x3 y

2y x

;

c) A =

a2 a ; b3 4 c 2

 1  f) A =   . 4  a2 b c 3 

;

343. Raskite A, kai yra þinomas lg A: 1 b) lg A=1+2 lg 2 3 lg 5+lg 3; a) lg A= 3 lg 2 + lg 4 − lg 8 ; 3 2 1 1 d) lg A= lg 5 + lg 2 + lg a − 2 lg p ; c) lg A=1+2 lg 3 lg 125; 3 2 2 1 1 3 3 e) lg A= lg a −  lg a − lg b  + lg b ; 2 3 4  4 1 1 2 2 1 f) lg A= lg a +  lg b − lg a + lg ( a − b ) − lg ( a + b )  ; 2 4 3 3 2  1 1  g) lg A= 5 +  lg ( c + 3 ) + lg ( c − m ) − lg m − 1  ; 2 3  1 h) lg A= m + (2 lg a − 3 lg b ) − 3 lg ( a2 − b2 ) . 3 344. Pirmiausia dydá x iðlogaritmuokite pagrindu 10, paskui deðimtøjø tikslumu apskaièiuokite jo reikðmæ:

(

a) x = c) x =

)

5,2052 ⋅ 3 5,205 3

29,21 ⋅ 0,09158

12,483 ⋅ 4 5,76 1,842 ⋅ 3 673,8

;

⋅ 0,017 .

b) x =

0,4533 ⋅ 0,42 ⋅ 3 0,0186 ; 10,35−3

Logaritminë funkcija

345. Raskite x:

3 b) log 4 3 4 x = − ; 4 1 e) log2 2 = x ; 8

a) log0,04 5=x; d) log3

1 = −x ; 27

h) log x 2 = 4 ;

g) log 2 2 2 = x ; j) 4 log2 2

1 + lg

= 100

1 =2; 9 1 f) log x = −2 ; 27 1 i) log x =4; 32 c) log x

1 2

l) log3 (12 x)=2;

;

k) 9

(

log 9 25 x2

) = 2 ⋅ 100 2 lg 8 + 2 lg 2 ;

3 m) log 1  −  = 4 ; x 2 

1 n) log 1 (2 x 2 − 2 x − 1) = − . 2 9

Atsakymai 341. i) 16; j) 1; k) 1 . 344. a)£23,8; b)£24,3. 2

3.9. LOGARITMINË FUNKCIJA Logaritminës funkcijos grafikas ir savybës Logaritmà apibrëþianèioje lygybëje vietoj skaièiaus b>0 áraðæ kintamàjá y>0, galime nurodyti taisyklæ, pagal kurià randamas laipsnio rodiklis x su kiekviena y reikðme: jei ax=y, tai x=loga y (èia a>0, a¥1). Norëdami grafiðkai pavaizduoti tiesioginá veiksmà (y reikðmiø apskaièiavimà pagal laisvai pasirinktas x ± R reikðmes) ir jam atvirkðèià veiksmà (x ± R reikðmiø apskaièiavimà pagal laisvai pasirinktas y>0 reikðmes), lygybës x=loga y kintamuosius x ir y sukeièiame vietomis, t. y. ieðkomàjá laipsnio rodiklá paþymime y: y=loga x, a>0, a¥1, x>0. Ði y reikðmiø radimo taisyklë vadinama logarîtmine f÷nkcija. Apibrëþimas. Funkcija, kurià galima uþraðyti formule y=loga x (a>0, a¥1, x>0), vadinama logaritmine funkcija. Sudarykime funkcijø y=ax ir y=loga x reikðmiø lentelæ, nurodydami kiekvienos funkcijos grafiko taðkø koordinates: y=ax

 − 2; 1    a2  

 − 1; 1   a  

(0; 1)

(1; a)

(2; a2)

y=loga x

 1 ; − 2  2  a 

 1 ; − 1 a   

(1; 0)

(a; 1)

(a2; 2)

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Akivaizdu, kad atitinkami grafikø taðkai iðsidëstæ simetriðkai tiesës y=x atþvilgiu. Pasirinkæ konkreèià pagrindo a reikðmæ, pavyzdþiui, a=2 ir 1 a= , pagal lentelës duomenis pavaizduokime rodiklinæ ir logaritminæ 2 funkcijà:

1 1 y =   ; 2

1 y=2x; 2 y=log2 x; 3 y=x.

2 y = log 1 x ;

3 y=x

Ið logaritminës funkcijos grafikø ir apibrëþimo iðplaukia, kad jos apibrëþimo sritis yra teigiamieji realieji skaièiai, t. y. D(y)=(0; +º)=R+, o reikðmiø sritis visi realieji skaièiai, t. y. E(y)=( º; +º)=R. Logaritminë funkcija, kaip ir rodiklinë, yra nei lyginë, nei nelyginë, nes jos grafikas nëra simetriðkas nei Oy aðies, nei koordinaèiø pradþios atþvilgiu. 1 u þ d u o t i s. Remdamiesi pateiktais grafikais (þr. p. 47 virðuje), apibûdinkite logaritminæ funkcijà, kurios a>1 (a atvejis) ir kurios 0<a<1 (b atvejis). Gautus duomenis suraðykite lentelëje: f(x)=loga x f(x)=0 f(x)>0 f(x)<0 Didëjimas, maþëjimas Kitimo sparta

a>1

0<a<1

Logaritminë funkcija

a) a>1

1 y=log2 x; 2

b) 0<a<1

y=ln x;

3 y=log3 x; 4 y=lg x.

1 y = log 1 x;

2 y = log 1 x;

3 y = log 1 x;

4 y = log 1 x.

Ið logaritminës funkcijos grafiko nesunku pastebëti toká dësná: kai x ± (0; 1), maþà argumento reikðmiø pokytá atitinka didelis funkcijos reikðmiø pokytis, o kai x>1, didelá x reikðmiø pokytá atitinka maþas funkcijos reikðmiø pokytis.

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

2 u þ d u o t i s. Brëþinyje pavaizduoti trijø logaritminiø funkcijø grafikai. Pagal charakteringus jø taðkus paraðykite kiekvienos kreivës lygtá.

Logaritminës funkcijos taikomos situacijoms modeliuoti, kai duomenys, pavyzdþiui, statistiniai, pateikiami grafiðkai arba kai vartotojui reikia labai maþus arba labai didelius dydþius pateikti patogesne skale. Antai chemijoje tirpalo rûgðtingumui arba ðarmingumui nusakyti vartojama logaritminë vandenilio jonø rodiklio pH skalë, mat ðio rodiklio skaitinë reikðmë lygi vandenilio jonø koncentracijos neigiamam deðimtainiam logaritmui: pH= lg c H+ . Jei, pavyzdþiui, druskos rûgðties tirpalo cH + =10 2 mol/l, tai pH=2. Kitas pavyzdys ið astronomijos. Regimasis þvaigþdës spindesys A yra logaritminë tikrojo spindesio B funkcija (b konstanta, priklausanti nuo spindedesio matavimo vienetø): A=b lg B.

Logaritminës lygtys, nelygybës ir jø sistemos Apibrëþimas. Lygtys arba nelygybës, kuriø kintamasis yra po logaritmo þenklu, vadinamos logarîtminëmis lygtimîs arba nelyg¾bëmis. Prie ðio tipo lygèiø arba nelygybiø priskiriamos, pavyzdþiui, lygtys log5 x=3, log3 (x+2)=5, log2 (x2+4x+3)=3, lg (x2 10)=lg (3x+8), nelygybës log 52 x + log

x − 3 ≥ 0 , log 1 2

2 x2 − 4 x − 6 ≤ −1 , log 4 (19 − 3 x ) < 2 . Logaritmines 4 x − 11

Logaritminë funkcija

lygtis bei nelygybes, kaip ir rodiklines lygtis ar nelygybes, pradëkime nagrinëti nuo paèiø paprasèiausiø, kuriø bendroji iðraiðka yra loga x=b (a>0, a¥1) arba loga x=loga b (èia a>0, a¥1, b>0). Lygtis loga x=b su kiekviena b ± R reikðme turi vienintelá sprendiná x=ab, nes tiesë y=b kerta funkcijos y=loga x grafikà tik viename taðke, kurio koordinatës yra (ab; b).  x > 0, Kai b>0, lygtis loga x=loga b yra ekvivalenti sistemai  todël ðios x = b, sistemos sprendiniai sutampa su logaritminës lygties sprendiniais. Kai b¡0, lygtis loga x=loga b sprendiniø neturi. Nelygybiø loga x<loga b ar loga x>loga b sprendiniai priklauso nuo pagrindo a reikðmës, t. y. nuo logaritminës funkcijos kitimo pobûdþio: b) kai a>1 (funkcija yra didëjana) kai 0<a<1 (funkcija yra mati), nelygybë þëjanti), nelygybë loga x1<loga x2 loga x1>loga x2 ekvivalenti nelygybiø sistemai ekvivalenti nelygybiø sistemai

 x1 > 0,   x2 > 0,   x1 < x2 , o nelygybë loga x<loga b sistemai  x > 0,  b > 0, x > b; 

 x1 > 0,   x2 > 0,   x1 < x2 , o nelygybë loga x<loga b sistemai  x > 0,  b > 0, x < b. 

1 p a v y z d y s. Raskime ðiø lygèiø bei nelygybiø sprendinius: 1 1 b) loga x= log a 12 − log a 3 ; èia a>0, a ≠ 1; a) log2 (2 x)= 2; 2 2 c) logx 2 (2x2 11x+16)=2; d) log3 (x+2)¡ 1; e) log0,16 (x+2)> 0,5.

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Sprendimas. a) Lygtá log2 (2 x)= 2 galime spræsti dvejopai: taikyti logaritmo apibrëþimà arba deðiniosios pusës skaièiø 2 pakeisti laipsnio logaritmu pagrindu 2. Taigi 2 − x > 0,  2 2 − x = 2

arba

log2 (2 x)= log 2 2 2.

Pastaroji lygtis yra ekvivalenti pagal logaritmo apibrëþimà paraðytai sistemai. Iðsprendæ jà, gauname:  x < 2,   1 7 3 x= , x = 1 < 2, 2 − x = 4 , 4 4 3 yra lygties sprendinys. todël reikðmë x = 1 4 b) Remdamiesi logaritmo savybëmis, pertvarkome deðiniàjà lygties pusæ: 1 1 12 , loga x=loga 2. loga x= log a log a x = log a 4 2 , 2 3 Ið èia x=2. c) Ðiuo atveju reikia atsiþvelgti á papildomas sàlygas, keliamas logaritmo pagrindui x 2 (a>0 ir a¥1), todël pradinë lygtis bus ekvivalenti sistemai 2 x 2 − 11x + 16 > 0,   x − 2 > 0,  x − 2 ≠ 1,  2 x 2 − 11x + 16 = ( x − 2 )2 . 

Pirmoji sistemos nelygybë yra teisinga su visomis reikðmëmis x ± R, nes a=2>0, o D=112 4·2·16= 7<0. Taigi kai x>2 ir x¥3, sprendþiame sistemos lygtá: 2x2 11x+16=x2 4x+4, x2 7x+12=0, x1=3 (netinka), x2=4. Vadinasi, pradinës lygties sprendinys yra x=4. d) Deðiniàjà nelygybës pusæ pakeiskime logaritmu: log3 (x+2)¡ log3 3−1 , o gautà nelygybæ ekvivalenèia nelygybiø sistema (pastebëkime, kad a=3>1):  x + 2 > 0,   1  x + 2 ≤ 3 ;

 x > − 2,   1  x ≤ − 2 + 3 ;

 x > − 2,   5  x ≤ − 3 .

5  Taigi pradinës nelygybës sprendiniai yra x ±  − 2; −  . 3 

Logaritminë funkcija

e) Pertvarkæ analogiðkai ir atsiþvelgæ á logaritmo pagrindo reikðmæ (a=0,16<1), turime: 1

log0,16 (x+2)> log 0,16 (0,16 ) 2 , −

 x + 2 > 0,  x + 2 < 1 ;  0,16 

 x > − 2,   5  x < − 2 + 2 ;

 x > − 2,   1  x < 2 .

1  Ið èia x ±  − 2;  . 2  3 5 1   Ats.: a) 1 ; b) {2}; c) {4}; d)  − 2;  ; e)  − 2;  . 4 3 2   Sudëtingesnës logaritminës lygtys ar nelygybës, taip pat jø sistemos sprendþiamos pertvarkant jas á paprasèiausias lygtis ar nelygybes arba vartojant keitiná. Pertvarkant remiamasi logaritmo savybëmis. 2 p a v y z d y s. Iðspræskime lygtis ir nelygybes: a) lg (x3+8) 0,5 lg (x2+4x+4)=lg 7;

{ }

b) log4 x 3 logx 2 log 4 x = 1 ; c) x3 4 lg x=0,1; d) log9 x+ log3

(

)

x − 1 < log3 log 5 5 ;

e) logx+1 (x+3)>2; f) log 22 x − 5 log 2 x + 6 ⋅ sin 4 ≥ 0 . Sprendimas. a) Kai x> 2, kairiàjà lygties pusæ pertvarkome taikydami logaritmo savybes: lg

x3 + 8

(x + 2)

= lg 7 ,

( x + 2 )( x2 − 2 x + 4 ) x+2

= lg 7 ,

lg (x2 2x+4)=lg 7. Gauta lygtis ekvivalenti lygèiai x2 2x+4=7, arba x2 2x 3=0. Jos sprendiniai yra x1= 1 ir x2=3. Abu jie tinka nelygybei x> 2, todël kartu yra ir pradinës lygties sprendiniai. b) Kadangi x yra ir logaritmo pagrindas, tai lygtá pertvarkome atsiþvelgdami á jo apribojimà:  x > 0, x ≠ 1,   x 3 log 4 2 − = 1. log 4 log 4 x x 

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Sprendþiame sistemos lygtá:

log 4 x −

3 =1, 2 log 4 x

1 3 =1. log 4 x − 2 2 log 4 x

Paþymime: log4 x=t, t¥0, nes x¥1. Tada 1 3 = 1 , ·2t¥0 t− 2 2t t2 3 2t=0, t2 2t 3=0, t1= 1, t2=3. Randame x: log4 x= 1, 1 x1= 4−1 = ; 4

log4 x=3, x2=43=64.

c) Ði lygtis yra apibrëþta su x>0, nes lygtyje yra lg x. Todël abi lygties puses galima logaritmuoti: lg x3 4 lg x=lg 0,1; (3 4 lg x)·lg x= 1. Pasirinkæ keitiná lg x=t (t ± R), toliau sprendþiame kvadratinæ lygtá: (3 4t)·t+1=0, 2 3t 4t +1=0, 4t2 3t 1=0; 3±5 1 t1, 2 = , t1=1, D=9+16=52, t2 = − . 8 4 Gráþtame prie kintamojo x: lg x=1,

1 lg x= − , 4

x1=10;

x2= 10

−

1 4

d) Nelygybæ pertvarkome panaðiai kaip logaritminæ lygtá:

( x − 1) < log log 1 log x + log ( x − 1) < log log 2 log x ( x − 1) < log 2 . log32 x + log3 3

Ði nelygybë ekvivalenti nelygybiø sistemai

 x    x 

( (

) x − 1) < 2.

x − 1 > 0,

5, 5,

Logaritminë funkcija

Tai iracionaliøjø nelygybiø sistema, kurià paprasèiau spræsti vartojant keitiná. Todël, pasirinkæ x = t , kurio t¢0, gauname sistemà

t ≥ 0,  t ( t − 1) > 0,  t ( t − 1) < 2. Pertvarkykime paskutinæ nelygybæ: t2 t 2=t2 1 (t+1)=(t+1)(t 1) (t+1)=(t+1)(t 2); (t+1)(t 2)<0. Taigi galutinë sistemos iðraiðka yra tokia:

t ≥ 0,  t ( t − 1) > 0,  ( t + 1)( t − 2 ) < 0. 1<t<2. Raskime x: 1 < x < 2 . Dvigubà nelygybæ pakeitæ nelygybiø sistema, gauname:  x ≥ 0,   x > 1,  x < 4; 

 x > 1,   x < 2;

1<x<4.

e) Pradinæ nelygybæ pakeiskime ekvivalenèia nelygybe logx+1 (x+3)>logx+1 (x+1)2. Kadangi logaritmo pagrindas yra kintamas, tai ði nelygybë ekvivalenti tokioms dviem sistemoms: 0 < x + 1 < 1,   x + 3 > 0,  2  x + 3 < ( x + 1)

arba

 x + 1 > 1,   x + 3 > 0,  2  x + 3 > ( x + 1) .

Iðsprendæ jas, gauname: − 1 < x < 0,   x > − 3,  x + 3 < x 2 + 2 x + 1; 

 x > 0,   x > − 3,  x + 3 > x 2 + 2 x + 1; 

− 1 < x < 0,  2  x + x − 2 > 0;

 x > 0,  2  x + x − 2 < 0;

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

−1 < x < 0,  ( x + 2 )( x − 1) > 0;

 x > 0,  ( x + 2 )( x − 1) < 0;

0<x<1 4 f) Þinome, kad π<4< π ir sin 4<0, vadinasi, pradinë nelygybë yra 3 teisinga tik tada, kai log22 x 5 log2 x+6=0. Pritaikæ keitiná log2 x=y, gauname kvadratinæ lygtá y2 5y+6=0, kurios sprendiniai yra y1=2 ir y2=3. Todël log2 x=2 arba log2 x=3; x1=4, x2=8.

{ }

 −1  1 ; 64 ; c) 10 4 ; 10 ; d) (1; 4); e) (0; 1); f) {4; 8}. 4   3 p a v y z d y s. Iðspræskime lygèiø sistemas:

Ats.: a) { 1; 3}; b)

 x y = 312 ,  lg x + lg y = 5, a)  b)   lg x − lg y = 3;  y − log3 x = 1. Sprendimas. a) Ðià sistemà spræsime sudëdami lygtis ir ið vienos jø atimdami kità: 2 lg x=8, lg x=4, x=104; 2 lg y=2, lg y=1, y=10. b) Kadangi sistemoje yra log3 x, tai x>0, todël abi pirmosios lygties puses galime logaritmuoti (logaritmo pagrindà pasirenkame lygø 3): log3 xy=log3 312. Tada  y log3 x = 12,   y − log3 x = 1. Vartodami keitiná log3 x=t, kurio t ± R, gauname:  y = t + 1,  t2+t 12=0; t ( t + 1) = 12; Todël y1= 3, y2=4. Apskaièiuojame x reikðmes: log3 x=3, log3 x= 4, 1 −4 ; x2=33=27. x1= 3 = 81  1  Ats.: a) (104; 10); b)  ; − 3  ir (27; 4).  81   y ⋅ t = 12,   y − t = 1;

ið èia t1= 4, t2=3.

Logaritminë funkcija

Uþdaviniai 346. Remdamiesi logaritminës funkcijos grafiku, nustatykite ðiø reiðkiniø þenklà: 3π 4π b) lg sin ; c) lg tg ; a) log0,3 100 log0,3 9; 4 3 1 e) log1,7  (1 − log7 3 )  ; d) log0,5 (a2+4); 2  15 10 g) log0,2  ( log2 5 − 1)  . f) log0,3  ( log2 5 − 1)  ;  7   7  347. Raskite ðiø lygèiø sprendinius: a) 16log4 x − 4 ⋅ 4log4 x + 3 = 0;

b) 25log5 x − 3 ⋅ 5log5 x + 2 = 0 ;

c) 23 lg x·5lg x=1600;

d) lg (8 3x2 5x)= ( log3 19 )

e) g)

( log (x 5

+ 1)

x + 3x − 10 2

lg ( x 2 − 10 ) lg (3x + 8 )

1 i)   7

log 1

3 x −1 2x +3

log 2 1

) = 0;

=1;

f) h)

=1;

1 ln ( x + 1) = ln ( x + 2 ) ; 2 m) log2 x ⋅ log3 x = log3 2 ; k) ln 2 +

o) log x − 2 (7 − 2 x ) = 2 ; 2

( log ( x 2

+ 1)

x − 3x − 4 2

lg ( x 2 − 10 ) lg (5x + 4 )

) = 0;

=1;

1 lg ( x + 7 ) = lg ( x − 5) − 2 lg 2 ; 2

l) log

x − log2 x = 2 log 2 ( x − 2 ) ;

n) log5 x ⋅ log 4 x = log5 4 ; p) logx 1 (2x 4)=2;

r) logx 2 (x 7x+13)=1;

s) lg (x 2)4 lg ªx 2ª=3;

t) 3 log2 (1 3x)4=2 log2 ª3x 1ª;

2 log 3 ( − x ) = log 3 x ;

;

2 log 8 ( − x ) = log 8 x 2 ;

z) log 5 (2 − x ) = 2 log5 x − 2 .

348. Iðspræskite nelygybes: a) log2 (3x 5)<2;

b) log 1 (3x − 5) > 3 ;

c) lg x + 7 > lg ( x − 5 ) − 2 lg 2 ;

ln 7 − x d) 5 ( ) ⋅ lg 7x ≥ 0 ;

2 log x

log x

2 1 1 2 e)   − 3 ⋅   +2 > 0; 2 2 g) log0,2 (x2 9x+20)<log0,2 (x+11);

i) log0,3 5

x −1 2

< 0;

(0,2 )

log 1

3 x −1 2x +3

>1;

h) lg (x+3) lg (27 x)¡lg 5 1; j) log4 (19 3x)<2;

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS 2

k) log 1 3−1 − x ≤ − x ;

l) log 1

3 m) log x ≥ −2 ; 8 − 2x

o) log 1 log 6 3

2x + 1 1 1 + > ; x+3 2 2

x2 + x >0; x+4

(0,2 )

log x

8 − 12 x x−6

1 ; 25

p) log 1 ( x + 1) > log x ( x − 2 ) ; x

r) logx 2 (x2 5x+7)¢1;

  s)  log 1 115 + log 8 64  ⋅ log 1 (4 x + 5 ) ≤ 0 ; 2 3  

t) log x ( x 2 − 8 x + 16 ) ≥ 0 ;

(log

9 − log

)

7 ⋅ log2,2 (5x + 1) ≥ 0 ;

v) logªx 4ª (2x2 9x+4)>1. 349. Raskite maþiausià sveikàjá nelygybës

log

x −5 ≥ 0 sprendiná. (x − 4) − 1 2

350. Pasirinkæ tinkamiausià keitiná, raskite ðiø lygèiø bei nelygybiø sprendinius: a) lg 6 − x = c)

(0,4 )

1 + lg 2 x

−1 ; 1 − 3 lg (6 − x )

= (6,25 )

2 − lg x3

;

b) log 4 x + log x2 4 = 1 ; d) lg (3x 26)+lg 3x=lg 108 2 lg 2; x2 = 8; 8

e) lg2 10x+lg x=19;

f) log 20,5 4 x + log 2

g) lg lg x+lg (lg x3 2)=0;

h) 2 log x 3 ⋅ log 3 x 3 = log 9 x 3 ;

i) log3 x

3 + log32 x = 1 ; x

j) x

k) 0,1x 2+lg x=100; m)

x lg

o) log 21 9 x + log 3 3

n) x 9 ≤ 9; x2

t) x

1 log 1 x 2 2

3 − 2,5 log 1 x

v) x log2 x + 16 x − log2 x < 17 ;

;

= 10 x 3 ;

2 − lg x2 −

1 lg x 4

= 10− 0,25 ;

5 3 − log 1 x 2

≥ (0,5 )

= (0,5 )

p) 4 log 21 2 x + 4 log 4

r) 9 log 82 ( − x ) + 3 log8 x 2 ≤ − 1 ; −3+

l) x 2 lg

= 10 ;

1 log 1 x − 3 2

x2 ≥ 13 ; 4

1 − 9 log 21 x > 1 − 4 log 1 x ; 8

u) 2 log 3 x 2 − 2 ≥ log x −2 z) log 2 x ⋅ log 1

1 ; 3

x2 1 ⋅ log 4 16 ≥ 0 . 2 ⋅x 2 7

Logaritminë funkcija

351. Iðspræskite lygèiø sistemas:

 y − x = 6, a)  log3 x + log3 y = 3;

log ( x − y ) = 1, b)  3 log 4 x − log 4 y = 2;

log x − log 9 y = 0, c)  23 4 y − 17 x 2 = − 4;

3x ⋅ 2 y = 576, d)   log 2 ( y − x ) = 4;

32 x − y = 81, e)  lg xy = 1 + lg 3;

3x ⋅ 9 y = 81, f)  2 lg ( x + y ) = lg 9;

 x + y ⋅ 3y − x = 5 , ( ) 27 g)  3 log 5 ( x + y ) = x − y ; 

( x + y )x = ( x − y )y , h)   log2 x − log2 y = 1.

352. Nustatykite funkcijø apibrëþimo sritá: a) y =

1 ⋅ log8 ( x2 − 4 x + 3) ; x +1

b) y =

d) y = 4 − x 2 ⋅ ln ( x − 1) ; 2

c) y = 9 − x 2 ⋅ lg x 2 ; e) y = 6 − x +

1 ⋅ log 3 ( x 2 − 4 x − 5 ) ; 4 − x2

lg ( x − 1) ; x −5

y = 3 x + 2 − lg (3 x + 2 + 3 x − 1 − 28 ) ;

y = log 1

3x − 1 2π ; − cos x+3 3

10 − x ; x 5 − ( ) ⋅ lg ( x − 1)

h) y = 5 −

5x + 7 ln (3 − x ) ; + x+2 x

(9 − x ) ⋅ lg (5 − x ) ;

k) y=lg (x2 5x+4) lg (x2 7x+6);

y = ln

m) y = 52 − 3 lg ( x + 16) − log 1 ( x + 2 ) ;

n) f(x)=logx 1 (5 x);

o) h(x)=logx (3 x);

p) f(x)=logx+1 (6+x x2);

r) g(x)=logx+3 (30+x x2);

x2 − 5x + 4 ; x2 − 7x + 6

f (x) = 4

y = − log 8 sin2 x cos x −

1 + log 9 x − log 3 5x − log 1 ( x + 3 ) ; 2 3

x+3 . x x log 1  sin + cos2 x  + log 3  sin − sin x  2 2    3 

1 ; 2

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Prisiminkite 1 353. 1) Ar teisinga lygybë (0,25) 2+100·(2,5) 2+3 3·   9 x − 2 − y− 2 x − 1 y− 1 : . 2) Suprastinkite reiðkiná − 1 x + y − 1 ( y − x )−1

−3

+ 5 ⋅ (0,9 ) = 64 ? 0

3) Apskaièiuokite bikvadratinës lygties x4 5x2 36=0 sprendiniø sandaugà. 4) Raskite didþiausià lygties ª2x 5ª=x 1 sprendiná. 5) Apskaièiuokite lygties x2 x+1+ x2 − x + 1 = 2 sprendiniø sumà. 6) Grafiðkai iðspræskite lygèiø sistemà  y − x 2 = 0,   x + y = 6. 7) Raskite maþiausià sveikàjá nelygybës (1 x)(x 2)(x 3)2¢0 sprendiná. 12 π , o 0 < α < , apskaièiuokite reiðkinio 8) Þinodami, kad sin α = 2 13 6 ctg α reikðmæ. 9) Kurie lygties sin 2x=sin x sprendiniai priklauso uþdarajam intervalui [0; 360°]? 10) Nustatykite funkcijos g(x)=logx 1 (x 4) apibrëþimo sritá. 11) Raskite maþiausià sveikàjá nelygybës 5x+3·5x 2>140 sprendiná. 12) Apskaièiuokite lygties lg2 10x+lg x 19=0 sprendiniø sandaugà. 13) Su a) b)

kuriomis m reikðmëmis ðie vektoriai yra statmeni: r r 2; 5}; a ={3; 4; m} ir b ={m; r r a ={m; 4; 4} ir b ={m; 3; 1}?

14) Iðspræskite lygèiø sistemà  x 2 + y2 + x + y = 18,  2 2  x − y + x − y = 6.

15) Keturkampio virðûnës yra taðkai O(0; 0), A(2; 4), B(9; 4) ir C(7; 0). Nustatykite to keturkampio rûðá ir apskaièiuokite jo perimetrà bei plotà. 2 4 − 1 − 3 ⋅   3 354. 1) Apskaièiuokite: −1 1 5 −   2

−2

2) Suprastinkite reiðkiná 2 18 + 3 8 − 50 + 3 32 + 4 162 .

Logaritminë funkcija

3) Raskite didþiausià lygties ª2x 7ª+ª2 5xª=4x+6 sprendiná.

x y  − = 1, 4) Iðspræskite lygèiø sistemà  2 3  x + 2 y = 8.  4 3 5) Iðspræskite nelygybæ (9 x2)(x2 25)2¢0. 6) Apskaièiuokite lygties x3+x2 12x=0 sprendiniø sumos modulá. 7) Grafiðkai iðspræskite nelygybæ ªx 3ª¡2. 8) Padalykite: a2 5a 66 a + 6 9) Su kuriomis x reikðmëmis reiðkiniø

7 5 ir reikðmës yra x+3 x −1

lygios? 10) Su kuriomis m reikðmëmis reiðkiniai m+4 ir

m + 6 yra lygûs?

11) Nubraiþykite ðiø funkcijø grafikus ir raskite jø bei Ox ir Oy aðiø sankirtos taðkø koordinates: a) y=ªx+2ª 3; b) y= ªxª+2. x 12) Nubraiþykite funkcijø f(x)=2 cos x ir g(x)= sin grafikus interva2 le [0; 2π]. Nustatykite, kiek sprendiniø ðiame intervale turi lygtis x 2 cos x= sin . 2 13) Grafiðkai iðspræskite lygtis: a) 2x=3x 1; b) log2 2x=x. 14) Iðspræskite lygtá 3 log2 x2+ log 1 x =15. 2

15) Keturkampio virðûnës yra taðkai A( 4; 0), B( 2; 4), C(3; 4) ir D(6; 0). Nustatykite to keturkampio rûðá ir apskaièiuokite jo plotà. 16) Ðias periodines deðimtaines trupmenas pakeiskite paprastosiomis: a) 0,(9); b) 0,12(3); c) 1,5(7); d) 5,14(13). 355. 1) Apskaièiuokite:

(

3 +1

) :9 2

2) Apskaièiuokite lygties (x +5x)2 2(x2+5x)=24 sprendiniø sumos kvadratà. 2 x + y = 8, 3) Iðspræskite lygèiø sistemà  3x + 4 y = 7.

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

4) Raskite didþiausià sveikàjá nelygybës 5) Nustatykite funkcijos f(x)= 6 − x +

x2 + x 6 < sprendiná. x −5 x −5

lg ( x − 1) apibrëþimo sritá. x−5

6) Iðspræskite lygtá 2 cos x+ 2 =0. 7) Apskaièiuokite: a)

(

2 −5

)

+ 2 −1 ;

8) Ar ekvivalenèios lygtys

1 + log 2 5 b) 4 .

x2 − 9 = 4 ir x+3=4? x −3

9) Iðspræskite lygtá 6x+1+35·6x 1=71. 10) Nubraiþykite funkcijos y=cos 2x grafikà intervale [0; 360°] ir raskite jo bei Ox aðies sankirtos taðkø abscises, iðreikðtas laipsniais. 11) Iðspræskite lygtá log9 (1 x)2=1. 2 12) Apskaièiuokite reiðkinio 3 + 4 cos 2α reikðmæ, kai tg α=0,2. r r 13) Kampas tarp vektoriø m ir n lygus 120°. Apskaièiuokite r r r r r r (m + 2n )(2m − n ) , kai m = 3 , o n = 2 . 14) Kvadrato, kurio plotas 3 m2, ástriþainë padalyta á 3 lygias dalis. Vidurinë jos dalis yra maþesnio kvadrato ástriþainë. Apskaièiuokite maþesnio kvadrato plotà. 15) Iðspræskite lygtá

− 4) x + 1 = 0 .

356. 1) Atstumas nuo Alytaus iki Ðakiø þemëlapyje lygus 22 cm, vietovëje 88 km. Koks yra þemëlapio mastelis? 2) Trikampio kraðtiniø ilgis sutinka kaip 2 : 5 : 4, o panaðaus á já trikampio perimetras lygus 55 m. Kokio ilgio yra ðio trikampio kraðtinës? 3) Trikampio kraðtiniø ilgis lygus 3, 7 ir 8. Raskite panaðaus á já trikampio kraðtiniø ilgá, kai to trikampio plotas yra 4 kartus didesnis uþ pradinio plotà. 4) Trapecijos ABCD ðoninës kraðtinës lygios 3,9 cm ir 4,2 cm, o pagrindai 5 cm ir 8 cm. Pratæstos ðoninës kraðtinës susikerta taðke E. Apskaièiuokite trikampiø AED ir BEC perimetrà. 5) Apskritimo styga, kurios ilgis 8 cm, kerta kità stygà ir dalija jà á 3 cm ir 4 cm ilgio atkarpas. Á kokio dydþio dalis sankirtos taðkas dalija pirmàjà stygà?

Logaritminë funkcija

6) Staèiojo trikampio áþambinës ir ábrëþtinio apskritimo lietimosi taðkas dalija áþambinæ á 5 cm ir 12 cm ilgio atkarpas. Apskaièiuokite trikampio statiniø ilgá. 7) Á 12 cm spindulio apskritimà ábrëþtas taisyklingasis trikampis, á tà trikampá apskritimas, o á maþesná apskritimà kvadratas. Apskaièiuokite kvadrato plotà. 8) Lygiaðonës trapecijos pagrindai ir plotas atitinkamai lygûs 8 cm, 14 cm ir 44 cm2. Raskite ðoniniø trapecijos kraðtiniø ilgá. 357. 1) Atstumas nuo Kaiðiadoriø iki Varënos þemëlapyje lygus 14,2 cm, vietovëje 71 km. Koks yra þemëlapio mastelis? 2) Trikampio kraðtiniø ilgis sutinka kaip 4 : 5 : 6, o panaðaus á já trikampio trumpiausia kraðtinë lygi 1,2 cm. Kokio ilgio yra to trikampio kraðtinës? 3) Trikampio kraðtiniø ilgis lygus 15, 18 ir 27. Raskite panaðaus á já trikampio kraðtiniø ilgá, kai to trikampio plotas yra 9 kartus maþesnis uþ pradinio plotà. 4) Per lygiaðonës trapecijos ðonines kraðtines nubrëþtos tiesës susikerta staèiuoju kampu. Trapecijos plotas lygus 12 cm2, o aukðtinë 2 cm. Apskaièiuokite trapecijos kraðtiniø ilgá. 5) Apskritimo styga, statmena skersmeniui, dalija já á 12 cm ir 3 cm ilgio atkarpas. Kokio ilgio yra ði styga? 6) Á statøjá trikampá, kurio statiniai yra 8 cm ir 15 cm ilgio, ábrëþtas apskritimas. Á kokio ilgio atkarpas apskritimo ir áþambinës lietimosi taðkas dalija áþambinæ? 7) Á apskritimà ábrëþtas taisyklingasis trikampis, á tà trikampá apskritimas, o á maþesná apskritimà kvadratas, kurio plotas lygus 18 cm2. Apskaièiuokite didesnio apskritimo spindulá. 8) Staèiosios trapecijos pagrindai lygûs 16 ir 25, o trumpesnë ástriþainë statmena ðoninei kraðtinei. Apskaièiuokite: a) ðios ástriþainës ilgá; b) trapecijos plotà.

Atsakymai 347.

l) {4};

{ }

1 ; 2 ; 2

{ }

1 ;4 ; 4

®;

{5};

1 − 2 1 + 2   2 ; t)  ; u) { 64; 1}; v) { 9; 1}; z) { 23}. 348. a)  1 ; 3   3  3 17 1 3 1  c) (5; 29); d) [0; 7); e)  0;  ¹(1; +º); f)  − ∞ ; −  ¹ ( 4; + ∞ ) ; g) 24  2 2  

s) { 8; 12};

2 3  ; b)  1 ;   3 ( 11; 1)¹(9;

1  4   +º); h) ( 3; 7]; i) (1; +º); j) (1; log319); k) ®; l)  − ; − 1  ¹  − 1; −  ; m) (0; 1)¹ 2  3  

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

 1 + 13  2  1 ; + ∞  ; r) (3; +º]; ¹  1 ; 4  ; n)  ; 1  ¹(2; 6); o) ( 3; 2)¹(2; 8); p)  2 3   3    2 −   v) ( º; 0)¹(5; +º). 349. 5. 350. a)  4; 6 10 3  ; b) {4}; c) {10; 105}; d) {3};    −1  1 6 3 7 2 e) {10 ; 10 }; f) {2 ; 2}; g) {10}; h) ; 9 ; i) {3 ; 1; 3}; n) 10 9 ; 10  ; p) (0; 2 8]¹ 9   ¹[4; +º); r)

{ } −

{ }

1  1  1 ; s)  ; 1  ; u) (3; +º); v)  ; 1  ¹(1; 4); z) [2 7; 1]¹[28; +º]. 2 4  2 

2 1 1 1 351. c)  ;  ; (2; 4); e) (25; 36); f) (2; 1), ( 10; 7); g) (4; 1); h)  ;  . 352. b) ( º; 2 4 9 9   2)¹( 2; 1)¹(5; +º); c) [ 3; 0)¹(0; 3]; e) (1; 5)¹(5; 6]; f) (1; 2)¹(2; 5)¹(5; 10]; 1  i)  ; 7  ; l) ( º; 1)¹(1; 4)¹(6; +º); m) ( 16; 2)¹( 2; +º); o) (0; 1)¹(1; 3); 3  3π π r) ( 3; 2)¹( 2; 6); s) ®; t) (0; 3)¹(3; +º); u) x¥( 1)k · +πk, x¥ +2πk, 2 6 k ± Z.

Grupinio darbo uþduotys 1. 1) Raskite ðiø lygèiø bei nelygybiø sprendinius: a)

x + 5 − x = x +1 ;

4 x − 4 x2 < 2x − 1 ;

x2 − 9 > − 5 ; 4

x 4 > 2 − x2 .

2) Grafiðkai nustatykite lygties sprendiniø skaièiø: x b) 3·4 x=4 x2; c) 1+ln (x+2)=(x+1)3. a) ª2x 1ª= sin ; 3 x

1 3) Duota funkcija f(x)= 3 ⋅   . 2   1 a) Apskaièiuokite f  log3 − log 1 2  . 54 3   b) Iðspræskite nelygybæ f( 3 x)¢f(x) 6.

 f ( y ) − f ( x ) = − 6, sprendinius. c) Raskite lygèiø sistemos   f ( x + y ) = 24 4) Duota funkcija f ( x ) =

2 lg x . 1 + lg x

a) Iðspræskite lygtá f(x)=3. b) Tarkime, kad f(2)=a. Iðreikðkite lg 5 dydþiu a. c) Raskite nelygybës f(x)<3 sprendinius.

Logaritminë funkcija

2. 1) Raskite ðiø lygèiø bei nelygybiø sprendinius: a)

x+2 = x−2 + x−3 ;

7 − 2x > 1 − 2x ;

9x2 − 6x + 1 ≤ 0 ; 4

− 3) ≤ 2 . 4

2) Grafiðkai nustatykite lygties sprendiniø skaièiø: a)

x + 1 = cos x ;

c) log2 x = 1 +

b) 2 x 1=32x;

x . 3

3) Duota funkcija f(x)=log3 (x2 6x+8). a) Nustatykite jos apibrëþimo sritá.

3 1 b) Apskaièiuokite f   − f  −  . 2  2 1 c) Iðspræskite lygtá 2 ⋅   4

f (x)

1 +   2

f (x)

= 1.

2x . 2 −1 a) Apskaièiuokite f(log2 3).

4) Duota funkcija f ( x ) =

b) Iðspræskite nelygybæ f ( x ) ≥

. 2 (2 − 1 ) c) Nustatykite, ar ði funkcija yra lyginë, ar nelyginë. x

3. 1) Raskite ðiø lygèiø bei nelygybiø sprendinius: a)

7 − x = 2 − x + − 2 − 2x ;

x + 5 ≥ 2x − 5 ;

+ 3) x2 − 6 x + 9 ≤ 0 ;

(2 − x ) 2

<3.

2) Grafiðkai nustatykite lygties sprendiniø skaièiø: a) x2 2=

23 x +1 ; 3

b) 1+3 x=2x 1;

c) ln (x+2)=ex+1.

3) Duota funkcija f(x)=log2 x·log2 4x. a) Iðspræskite lygtá f(x)=ªf(4x)ª. b) Iðspræskite nelygybæ f(x)<3. 4) Duota funkcija f(x)=4x 2x+2. a) Apskaièiuokite f(log2 3). b) Raskite taðkø, kuriuose ðios funkcijos grafikas susikerta su koordinaèiø aðimis, koordinates.

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

c) Iðspræskite nelygybæ f(x)> 3. d) Palyginkite skaièius f  3  2

ir f  5  . 2

4. 1) Raskite ðiø lygèiø bei nelygybiø sprendinius: a)

x + 5 = x + 2x − 6 ;

7 − 3x ≥ x − 1 ;

+ 5) x x

+ 2x +1

≤0;

+ 4x + 4) > 5 . 2

2) Grafiðkai nustatykite lygties sprendiniø skaièiø: b) 3 x 1= 2 −

a) 3 ⋅ 3 x + 2 = 2 − 2 x − x 2 ;

x ; 2

c) ªxª 3=ln ªx 1ª.

3) Duota funkcija f(x)= 2·3x.

  a) Apskaièiuokite f  log2 56 + log 1 7  . 2   b) Raskite nelygybës f(x)=f(3 x) 12 sprendinius.

 f ( x ) − f ( y ) = − 12, c) Iðspræskite lygèiø sistemà   f ( x + y ) = − 54. 4) Duota funkcija f(x)=log2 x·log3 3x. a) Apskaièiuokite 3

1 f  2

b) Iðspræskite lygtá f(x)=1+log3 x. c) Raskite nelygybës f(x)<2 log2 x sprendinius. 5. 1) Raskite ðiø lygèiø bei nelygybiø sprendinius: a)

x − x −5 = x −4 ;

x 2 − 5x − 6 > 9 − x ;

x2 − 3 < − 3 ; 6

(4 x

− 4 x + 1) < 1 . 3

2) Grafiðkai nustatykite lygties sprendiniø skaièiø: a)

x + 2 − 3 cos x = 0 ;

b) ªxª 2 log2 x=0;

c) 3x=log0,3 (x+1).

3) Duota funkcija f(x)=log3 (8 x) log3 ( x). a) Iðspræskite nelygybæ f(x)>1. −1  b) Raskite lygties f(x)= log 1  sprendinius. 2 x + 5  3  c) Kuris ið skaièiø f( 3) ir f( 5) artimesnis skaièiui 1?

Logaritminë funkcija

4) Duota funkcija f ( x ) =

2− x − 2 . 2− x + 3

  a) Apskaièiuokite f  log 2 7  .   2   1 b) Iðspræskite nelygybæ f(x)¡ . 2

c) Árodykite, kad nelygybë f(x)<a yra teisinga su visomis x reikðmëmis, jei a¢1. 6. 1) Raskite ðiø lygèiø ir nelygybiø sprendinius: x −1 − x − 6 = x − 5 ;

c) 10 − x ≤ x 2 − 7 x ;

8x3 − 1 > − 3 ;

( x + 1)

< 2.

2) Grafiðkai nustatykite lygties sprendiniø skaièiø: a)

x 2 = sin 3 x ;

b) 2+32 x=3ªx 4ª;

c) 2 4x+log3 (x+2)=0.

3) Duota funkcija f(x)=log2 (x x2+12). a) Nurodykite maþiausià sveikàjá skaièiø, priklausantá ðios funkcijos apibrëþimo srièiai.

1 b) Iðspræskite nelygybæ   5

f (x)

1 ≥   5

log 2 (3 x + 12 )

c) Raskite lygties f(x)=f(x 2) sprendinius. 4) Duota funkcija f(x)=8x 3·2x. a) Iðspræskite lygtá f(x)= 2. b) Raskite nelygybës f(x)<4x+0,5 sprendinius. c) Su kuriomis x reikðmëmis funkcijos grafikas yra þemiau Ox aðies? 7. 1) Raskite ðiø lygèiø bei nelygybiø sprendinius: a)

x +1 − x −3 = x − 4 ;

2 + x − x2 ≥ 3 − x ;

x+2 x − 2x + 3 2

(3 − 2 x )

> 0;

>1.

2) Grafiðkai nustatykite lygties sprendiniø skaièiø: a) 3 x2+2 sin (x 1)=0;

b) 1 2x=ª2 xª;

c) log3 (x+1)=3x 1.

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

3) Duota funkcija f ( x ) =

3x . 3 −1 2x

a) Apskaièiuokite f(log3 2). b) Iðspræskite lygtá f ( x ) =

3 . 2 ⋅ 3x + 2

c) Nustatykite, ar ði funkcija yra lyginë, ar nelyginë.

4−x . x −1 3 7 a) Apskaièiuokite f   , kai f   = a . 2 2

4) Duota funkcija f ( x ) = log2

b) Iðspræskite lygtá f(x)=log4 (25x2 40x+16). c) Raskite nelygybës 3+f(x)<log2 (13 3x) sprendinius. 8. 1) Raskite ðiø lygèiø bei nelygybiø sprendinius: a)

x + 4 − x = x −1 ;

x2 − 6x + 5 > x − 4 ;

2x2 + 3 x2 − 6x 5

(9 x

≤0;

− 4 ) < −1 . 3

2) Grafiðkai nustatykite lygties sprendiniø skaièiø: a) (x+1)3= 2 3 x + 1 ;

b) 2x+1=3x;

c) log4 x=ªxª 3.

3) Duota funkcija g(x)= log 1 ( x 2 − 7 x + 10 ) . 2

a) Apskaièiuokite g(10) g(17). b) Iðspræskite lygtá 91+g(x)+8·3g(x)=1. c) Raskite nelygybës 91+g(x)+8·3g(x) 1¢0 sprendinius. 4) Duota funkcija f ( x ) =

2x . 1 + 22 x

a) Apskaièiuokite f(log2 6). b) Iðspræskite nelygybæ 2·f(x)<2x. c) Iðspræskite lygtá f ( x ) =

4 . 3 ⋅ 2x + 5

Funkcijos ir atitiktys

4. RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË 4.1. FUNKCIJOS IR ATITIKTYS Prisiminkime, kad taisyklë, pagal kurià vieno dydþio (kintamojo) reikðmei priskiriama vienintelë kito dydþio (kintamojo) reikðmë, vadinama f÷nkcija. Jà, kaip þinome, galime iðreikðti ávairiai: þodþiais, formule, lentele ar grafiku. Iðnagrinësime keletà funkcijø. 1 p a v y z d y s. Plokðtumoje nubrëþtø trikampiø aibæ paþymëkime raide T. Tada kiekvieno trikampio t ± T plotà S(t) apskaièiuosime pagal formulæ (taisyklæ) S. Aiðku, kad ta taisyklë yra funkcija, apibrëþta aibëje T ir uþraðoma S=S(t). 2 p a v y z d y s. Sakykime, X yra parduotuvëje esanèiø prekiø aibë, o jos elementai x konkreèios prekës. Kiekviena prekë turi kainà y. Raide p paþymëkime taisyklæ, pagal kurià nustatomos prekiø kainos. Tarus, kad kiekviena prekë turi tik vienà kainà (paprastai taip ir bûna), taisyklæ p galima vadinti prekiø kainos funkcija y=p(x), kurios reikðmës yra teigiamieji realieji skaièiai. 3 p a v y z d y s. Brëþinyje matome tris kreives: pirmàsias dvi nubrëþë seismogrãfas (gr. seismos þemës drebëjimas, grapho raðau), t. y. prietaisas Þemës plutos svyravimams uþraðyti, o treèioji yra kardiograma, vaizduojanti normalios ðirdies darbà. Pirmoji kreivë (dar vadinama seismograma) gauta, kai Þemës pluta rami, antroji kai sklinda þemës drebëjimo signalai. Ið seismogramos galima nustatyti poþeminiø smûgiø stiprumà bei pobûdá, o ið kardiogramos spræsti apie ligonio ðirdies veiklà. Matematine kalba tai reiðkia, kad nagrinëjamos tam tikros funkcijos. 4 p a v y z d y s. Atliekant bandymà, stebëjimo rezultatai suraðomi lentelëje, kurioje i rezultato eilës numeris, xi argumento reikðmë, yi reikðmæ xi atitinkanti funkcijos reikðmë: i

7,3

9,4

12,3

15,3

17,6

20,6

22,1

25,2

27,1

29,3

31,4

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Koordinaèiø plokðtumoje paþymëjæ taðkus (xi; yi), galëtume apytikriai nusakyti ðios funkcijos kitimo pobûdá, taèiau neástengtume apskaièiuoti jos reikðmiø, esanèiø tarp nurodytø lentelëje, nes neþinoma formulë (taisyklë). 5 p a v y z d y s. Per 4 s ratas tolygiai apsisuka 10 kartø. Per kiek laiko jis apsisuks x kartø? Kadangi ratas sukasi tolygiai, tai nesunku suþinoti, kad 1 kartà jis 2 2 sekundës, o x kartø per x sekundþiø. Ðis priklausoapsisuka per 5 5 mumas yra tiesioginio proporcingumo, t. y. tiesinë funkcija, apibrëþta su neneigiamosiomis x reikðmëmis. Kartais, kalbant apie realøjá skaièiø x, reikia nurodyti jo þenklà, sveikàjà arba trupmeninæ dalá. Ðioms x ± R savybëms reikðti vartojami specialûs simboliai, kuriø mums prireiks ir tiriant kitokius dydþius. Norint nurodyti skaièiaus x ± R þenklà, raðomas simbolis sgn x (lot. signum þenklas). Todël, kiekvienam realiajam skaièiui x priskyræ jo þenklà, gauname funkcijà y=sgn x, kurios grafikas kiek neáprastas:  1, kai x<0,  sgn x=  0, kai x=0,  1, kai x>0. 

Skaièiaus x ± R sveikoji dalis þymima simboliu [x], o trupmeninë dalis simboliu {x}. Taigi kiekvienà realøjá skaièiø x galima pakeisti jo sveikosios bei trupmeninës dalies suma: x=[x]+{x}. Ðis faktas jums jau seniai þinomas, nes mokate kiekvienà realøjá skaièiø, uþraðyti sveikojo skaièiaus ir trupmenos suma, pavyzdþiui: 10,27=10+0,27=[10,27]+{10,27};

{ }

1 4 1 1 = 4 + =  3  + 3 . 5 5  5 5

Apibrëþimas. Skaièiaus x ± R sveikäja dalimî [x] vadinamas didþiausias sveikasis skaièius, ne didesnis uþ x.

 1 Pavyzdþiui, [5,6]=5, [0,8]=0, [ 3,51]= 4,  2  = 3.  3

Funkcijos ir atitiktys

Kiekvienam realiajam skaièiui x (t. y. x ± R) pagal apibrëþimà priskyræ sveikàjà to skaièiaus dalá, galime nubraiþyti funkcijos y=[x], kurios apibrëþimo sritis D(y)=R, o reikðmiø sritis E(y)=Z, grafikà:

Trupmeninæ skaièiaus x (x ± R) dalá {x} galima iðreikðti kaip funkcijà y=x [x], arba y={x}, kurios apibrëþimo sritis D(y)=R, o reikðmiø sritis E(y)=[0; 1):

Apibendrindami pateiktus pavyzdþius, priminsime, kad toliau nagrinësime tik skaïtines f÷nkcijas, t. y. funkcijas, kuriø argumentai ir reikðmës yra realieji skaièiai. Taigi skaitinæ funkcijà y=f(x) galime apibrëþti ir taip: jeigu kiekvienà kintamojo x reikðmæ ið skaièiø aibës D atitinka tik viena kintamojo y=f(x) reikðmë ið skaièiø aibës E, tai y yra kintamojo x funkcija. Kintamasis x vadinamas nepriklaùsomuoju kintamõoju arba argument÷, o kintamasis y priklaùsomuoju kintamõoju. Aibæ D, vadinamà funkcijos f(x) apibrëþimo sritimi D(f), sudaro tos argumento reikðmës, su kuriomis y ágyja baigtines realiàsias reikðmes, t. y. su kuriomis y turi prasmæ. Aibæ E funkcijos reikðmiø sritá E(f) sudaro f(x) reikðmës. Funkcijos f(x) apibrëþimo sritis kartais dar þymima Df, o reikðmiø sritis Ef. Turint funkcijos f(x) grafikà, jos reikðmiø sritá Ef nurodyti labai paprasta, taèiau tai padaryti pagal funkcijos iðraiðkà daþniausiai bûna sudëtinga. Kyla klausimas: kokius veiksmus turime atlikti, kad galëtume nustatyti bet kurios funkcijos reikðmiø sritá? Toliau tai ir aiðkinsimës ðiame skyriuje.

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Kadangi dviejø dydþiø tarpusavio priklausomumo iðraiðka yra taisyklë, tai gal ji gali vieno dydþio (kintamojo) reikðmei priskirti ne tik vienà, bet ir dvi ar daugiau kito dydþio (kintamojo) reikðmiø? 6 p a v y z d y s. Aibës D={1; 2; 3; 4; 5; 6} elementams priskirkime jø daliklius pagal dvi skirtingas taisykles ir pavaizduokime tai lentele bei grafiku: a) aibës D elementui priskiriame b) aibës D elementui priskiriame jo dalikliø skaièiø: kiekvienà jo daliklá: Skaièius n

Jo dalikliø skaièius

Paþymëjæ skaièiaus n dalikliø skaièiø d(n), aibëje D turime funkcijà d=d(n), kurios reikðmiø sritis Ed={1; 2; 3; 4}.

Skaièius n

Jo dalikliai

1 2

1 3

1 2 4

1 5

1 2 3 6

Ðis aibës D elemento ir jo dalikliø priklausomumas yra ne funkcija, nes, pavyzdþiui, skaièius 4 turi tris, o skaièius 6 keturis daliklius.

Vadinasi, nagrinëjant dviejø dydþiø priklausomumà, apskritai tiriama atitiktîs, kuri pagal kokià nors taisyklæ vieno dydþio (aibës A) elementui a priskiria vienà arba kelis kito dydþio (aibës B) elementus b. Taigi taisyklë atspindi atitikties esmæ. Pailiustruosime tai. a) Pagal taisyklæ y=2x kiekvienai x ± X reikðmei priskiriama viena y ± Y reikðmë: èia sutvarkytos skaièiø poros yra

1  (1, 2), (3, 8), (0, 1) ir  − 2,  . 4 

Funkcijos ir atitiktys

b) Pagal taisyklæ y= ± x kiekvienai x ± X reikðmei priskiriamos dvi y ± Y reikðmës: èia sutvarkytos skaièiø poros yra tokios:

(

(25, 5), (25, 5), 7,

) (

)

7 , 7, − 7 , (0, 0).

c) Pagal taisyklæ y=x2+1 vienai ar kelioms x ± X reikðmëms priskiriama viena y ± Y reikðmë: ðiuo atveju sutvarkytos skaièiø poros yra tokios: (0, 1), ( 2, 5), (2, 5), ( 4, 17), (4, 17).

d) Pagal taisyklæ x2+y2=4 vienai x ± X reikðmei priskiriamos dvi y ± Y reikðmës: èia sutvarkytos skaièiø poros yra

(1, 3 ) , (1, − 3 ) , (−1, 3 ) , (−1, − 3 ) , ( 3, 1) , ( 3, −1) , (− 3, 1) , (− 3, − 1) . Paþymëjæ nurodytus taðkus koordinaèiø plokðtumoje, pagal juos galime ðias taisykles pavaizduoti grafiðkai: a) y=2x

b) y= ± x

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

c) y=x2+1

d) x2+y2=4

a) atveju kiekviena tiesë, lygiagreti su koordinaèiø aðimis, kerta per paþymëtus taðkus nubrëþtà kreivæ tik viename taðke, t. y. vienà x reikðmæ atitinka viena y reikðmë ir, atvirkðèiai, vienà y reikðmæ viena x reikðmë. Ðia taisykle nusakyta atitiktis vadinama apgræþiamäja f÷nkcija. b) atveju tiesë, lygiagreti su Oy aðimi, kerta nubrëþtà kreivæ dviejuose taðkuose, o tiesë, lygiagreti su Ox aðimi, tik viename taðke. Vadinasi, ðis kintamøjø x ir y tarpusavio priklausomumas yra ne funkcija kintamojo x atþvilgiu (nes vienai x reikðmei priskiriamos dvi y reikðmës), taèiau jis bûtø funkcija kintamojo y atþvilgiu (vienai y reikðmei priskirtume vienà x reikðmæ x=y2). Taigi ðiuo atveju sakome, kad y priklausomumas nuo x yra atitiktis. c) atveju tiesë, lygiagreti su Oy aðimi, kerta kreivæ tik viename taðke, o tiesë, lygiagreti su Ox aðimi, dviejuose taðkuose. Taigi atitiktis, nusakyta taisykle y=x2+1, yra funkcija, taèiau ji neapgræþiama, nes vienai y reikðmei priskiria ne vienà, o dvi x reikðmes. d) atveju kiekviena tiesë, lygiagreti su koordinaèiø aðimis, kerta kreivæ (apskritimà) dviejuose taðkuose, todël x priklausomumas nuo y ir y priklausomumas nuo x yra atitiktis, taèiau ne funkcija.

Uþdaviniai 358. Apskaièiuokite f(0), f(1,5), f( 1), kai: 2x − 1 2x − 1 a) f(x)= ; b) f(x)= ; c) f(x)=tg πx; 2x − 3 2x + 3

d) f(x)=ln ªx 1ª.

359. Yra þinoma, kad f(x)=6 5x2. Raskite x reikðmes, su kuriomis: a) f(x)=1; b) f(x)=6; c) f(x)=9. 360. Su kuriomis x reikðmëmis g(x)=0, kai: x2 − 4 x x2 − 4 x − 5 ; b) g(x)= ; a) g(x)= ln x 5− x

c) g(x)=

1 − cos 4 x ? tg x

Funkcijos ir atitiktys

361. Nustatykite funkcijø apibrëþimo sritá: 5 5 a) y = ; b) y = ; 7 − 5x 7 + x2 6 2 4 ln (7 x − x 2 ) x − 5x + 4 d) y = ; e) y = ; lg (6 − x ) 4 3x + 3 2 x − 8 ( )( ) g) y =

x + 2ctg x 5

7 4 x

;

h) y =

3x + 2

x2 − x − 6

;

c) y=7 5 tg x; f) y = 4 i) y =

2x + 3 ; 8 − 4x

3 x + 2 lg ( x − 2 ) x2 − x + 6

362. Grafikas vaizduoja, kaip oro temperatûra T (Celsijaus laipsniais) priklauso nuo paros laiko t (valandomis):

Remdamiesi grafiku, atskleiskite ðias funkcijos T=T(t) savybes: a) raskite jos apibrëþimo sritá D; b) raskite jos reikðmiø sritá E; c) nustatykite, kelintà valandà oro temperatûra buvo lygi nuliui; d) nurodykite, kuriuo paros metu oro temperatûra buvo neigiama; e) nurodykite, kuriais laiko tarpais oro temperatûra kilo, o kuriais krito; f) nustatykite, kelintà valandà oro temperatûra buvo þemiausia, kelintà aukðèiausia. 363. Dviratininkas t sekundþiø vaþiavo v metrø per sekundæ greièiu. Brëþinyje pavaizduota, kaip kito dviratininko greitis. Nurodykite: a) kada dviratininko greitis didëjo; b) kada tas greitis maþëjo; c) kada dviratininkas vaþiavo pastoviu greièiu.

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

364. Kubo pavirðiaus plotas y (cm2) priklauso nuo to kubo briaunos ilgio x (cm). Funkcijà y=f(x) apibrëþkite formule. Nubraiþykite ðios funkcijos grafikà. Ið jo nustatykite: a) kubo pavirðiaus plotà, kai briaunos ilgis lygus 0,9 cm; 1,8 cm; b) briaunos ilgá, kai kubo pavirðiaus plotas sudaro 6 cm2; 30 cm2. 365. Græþinio gylá apytiksliai galima suþinoti iðmatavus laikà (sekundëmis), per kurá nuo græþinio virðaus laisvai paleistas akmuo nukrinta ant dugno. Sekundþiø skaièius, pakeltas kvadratu ir padaugintas ið 4,9, lygus græþinio gyliui metrais. a) Apskaièiuokite græþinio gylá, kai yra þinoma, kad paleistas akmuo pasiekia dugnà per 1 s; 3 s; 5 s; 8 s. b) Paraðykite formulæ græþinio gyliui apskaièiuoti. c) Nubraiþykite græþinio gylio priklausomumo nuo akmens kritimo laiko grafikà. d) Apskaièiuokite, kiek apytiksliai laiko akmuo krinta á græþinius, kuriø gylis 20 m ir 78 m. 366. Brëþinyje pavaizduotas kintamøjø x ir y priklausomumas. Nurodykite, kuri kreivë yra: a) ne funkcijos x atþvilgiu, taèiau funkcijos y atþvilgiu grafikas; b) ne funkcijos ir x, ir y atþvilgiu grafikas; c) apgræþiamosios funkcijos grafikas.

Atvirkðtinë funkcija

367. Kintamøjø x ir y priklausomumas iðreikðtas ðiomis lygybëmis: a) 3x+4y 12=0; b) x (y 4)=12; c) y log2 (x 3)=1; e) xy2=4; f) y=5+32x; d) 8(x 2)2+4y=16; g) (x 1)2+(y+2)2=4; h) y2=8 x; i) y 4 x = 2 . Kuri ið jø nusako: 1) apgræþiamàjà funkcijà; 2) ne funkcijà x atþvilgiu; 3) ne funkcijà ir x, ir y atþvilgiu?

4.2. ATVIRKÐTINË FUNKCIJA Treèiajame vadovëlio skyriuje nagrinëtas paprasèiausias lygtis galëtume uþraðyti bendra iðraiðka f(x)=b, laikydami, kad f yra kuri nors ið þinomø taisykliø (funkcijø). Sprendþiant ðià lygtá, t. y. ieðkant jos neþinomojo (kintamojo) x reikðmës, atliekamas veiksmas, atvirkðèias funkcijos f(x) reikðmës apskaièiavimui su nurodyta x reikðme. Iliustruokime tai pavyzdþiais. 1 x − 1 = b , kai b ± [0; 1,5]. 1 p a v y z d y s. Iðspræskime lygtá 2 1 Nubraiþykime funkcijos y= x − 1 grafikà 1 tiesæ ir apskaièiuokime 2 keletà lygties kintamojo x reikðmiø:

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

1 x 1 2

y=2x+2

1 x 1=0, o x=2; 2 1 x 1=1, o x=4; kai b=1, tai 2 1 1 kai b=1,5, tai x 1=1,5, x=2,5, x=5. 2 2 Remdamiesi ðiais duomenimis, galime teigti, kad su nurodytomis dydþio 1 x 1=b sprendiniai, priklauso inb reikðmëmis x reikðmës, t. y. lygties 2 tervalui [2; 5]. Ið lygties raskime x reikðmes, atitinkanèias bet kurià reikðmæ b ± [0; 1,5]: 1 x 1=b, ·2 2 x 2=2b, x=2b+2. Matome, kad vienai b reikðmei priskiriama viena x reikðmë. Kadangi b reikðmæ pasirenkame laisvai, o atitinkamà x reikðmæ apskaièiuojame, tai b galime laikyti argumentu ir pakeisti, kaip áprasta, raide x, o priklausomàjá dydá x pavadinti funkcija ir paþymëti raide y. Pavaizduokime ðá priklausomumà grafiðkai, t. y. toje paèioje koordinaèiø plokðtumoje nubraiþykime funkcijos y=2x+2 grafikà, kai x ± [0; 1,5], o y ± [2; 5]. Ðá atvirkðèià veiksmà iliustruoja 1 tiesës atkarpa, kuri yra simetriðka 2 tiesës atkarpai tiesës y=x (pirmojo ir treèiojo ketvirèio pusiaukampinës) atþvilgiu. kai b=0, tai

Atvirkðtinë funkcija

Iðspræskime tà paèià lygtá, vietoj b áraðæ y (èia y ± [0; 1,5], o x ± [2; 5]) ir paskui sukeitæ x ir y vietomis: 1 x 1=y; 2 1 y 1=x; y 2=2x, 2 y=2x+2, x ± [0; 1,5], y ± [2; 5]. 1 x 1=y kintamàjá x iðreiðkæ kintamuoju y Pastebëkime: jei, lygties 2 (x=2y+2), kintamøjø nesukeistume vietomis, tai priklausomumas grafiðkai bûtø vaizduojamas ta paèia atkarpa; sukeitus gaunama tiesës y=x atþvilgiu simetriðka atkarpa. 2 p a v y z d y s. Raskime lygties sin x= intervalui:

3 sprendinius, priklausanèius 2

π π c)  − ;  .  2 2 3 π Remdamiesi funkcijos y=sin x grafiku ir þinodami, kad sin = , ga3 2 lime nurodyti ðiuos sprendinius: 2π 2π 7π 8π π π a) x1= , x2= ; b) x1= , x2= , x3= , x4= ; 3 3 3 3 3 3 π c) x1= . 3 3 Dël funkcijos f(x)=sin x savybiø lygties sin x = sprendiniø skaièius 2 priklauso nuo pasirinkto x reikðmiø intervalo, nes tiesë, lygiagreti su Ox aðimi, kerta funkcijos grafikà be galo daug kartø. Èia dar atkreipsime dëmesá á tai, kad intervale x ±  − π ; π  lygtis  2 2  sin x=b, kurios ªbª¡1, turi vienintelá sprendiná x=arcsin b. Taigi kyla klausimas, kaip uþraðyti atvirkðèià veiksmà apibûdinanèià iðraiðkà ir kaip pavaizduoti jà grafiðkai? a) (0; π);

b) (0; 3π);

Apibrëþimas. Funkcija, ágyjanti kiekvienà reikðmæ tik viename apibrëþimo srities taðke, vadinama apgræþiamäja. 1 , kai x<0, y=kx+b, 2 x 2 y=log2 x yra apgræþiamosios, o funkcijos y=x , y= (x+2)2+3 neapgræþiamosios.

Pavyzdþiui, funkcijos y=2x+1, y= x + 1 , y =

Apibrëþimas. Funkcija g, ágyjanti kiekviename apgræþiamosios funkcijos f reikðmiø srities taðke x tokià reikðmæ y, su kuria f(y)=x, vadinama f÷nkcijos f atvirkðtinç f÷nkcija.

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

y−b Pavyzdþiui, tiesinës funkcijos y=kx+b atvirkðtinë funkcija yra x= , k k¥0, nes tiesinë funkcija yra apgræþiamoji ir ið jos iðraiðkos iðplaukia, kad y−b , k¥0. y b=kx, arba x= k Matome, kad kintamasis y yra atvirkðtinës funkcijos nepriklausomasis kintamasis, o kintamasis x priklausomasis kintamasis, vadinasi, funkcijos f(x) atvirkðtinës funkcijos g(y) apibrëþimo sritis sutampa su funkcijos f(x) reikðmiø sritimi, o jos reikðmiø sritis su f(x) apibrëþimo sritimi: Dg=Ef, Eg=Df. Jei taðkas A(a; b) priklauso funkcijos f(x) grafikui, tai tos funkcijos atvirkðtinës funkcijos reikðmë g(b) lygi a, taigi funkcijø g(y) ir f(x) grafikas yra ta pati kreivë. Norint atvirkðtinës funkcijos g(y) grafikà pavaizduoti áprastinëje koordinaèiø sistemoje, reikia jos iðraiðkoje x=g(y) kintamuosius x ir y sukeisti vietomis, t. y. paþymëti kaip áprasta: nepriklausomàjá kintamàjá x, priklausomàjá y. Tada atvirkðtinë funkcija ágis iðraiðkà y=g(x). Nustatykime atvirkðtinës funkcijos y=g(x) grafiko padëtá funkcijos y=f(x) grafiko atþvilgiu. Tam tikslui pasirinkime kurá nors funkcijos f(x) grafiko taðkà A(a; b). Tada B(b; a) bus funkcijos f(x) atvirkðtinës funkcijos grafiko taðkas. Kokia yra tø taðkø tarpusavio padëtis koordinaèiø plokðtumoje? Taðkus A ir B sujungæ tiesiø atkarpomis su koordinaèiø pradþia ir atitinkamai su Ox bei Oy aðimis, gausime du trikampius OEB ir OAD, kurie yra lygûs (nes OD=OE=a, EB=AD=b, ¨E=¨D=90°). Ið èia iðplaukia, kad ³AOB yra lygiaðonis. Tiesë y=x yra I ir III koordinatinio ketvirèio kampø, taigi ir kampo AOB, pusiaukampinë, todël OC yra kartu ir trikampio AOB aukðtinë, ir pusiaukraðtinë, vadinasi, OC´ AB ir

Atvirkðtinë funkcija

AC=CB. Remdamiesi pusiaukampinës savybe, galime teigti, kad taðkai A ir B yra simetriðki tiesës y=x atþvilgiu. Tokià pat savybæ turi ir bet kurie kiti du taðkai, priklausantys funkcijos f(x) bei jos atvirkðtinës funkcijos g(x) grafikui. Ið èia iðplaukia tokia bendra iðvada: funkcijos f(x) atvirkðtinës funkcijos g(x) grafikas yra simetriðkas f(x) grafikui tiesës y=x atþvilgiu. 3 p a v y z d y s. Raskime funkcijos f(x)= x − 2 atvirkðtinæ funkcijà ir nubraiþykime abiejø funkcijø grafikus. Sprendimas. 1) Nustatome funkcijos f(x) apibrëþimo sritá Df: kvadratinë ðaknis yra apibrëþta tik su neneigiamosiomis realiosiomis poðaknio reikðmëmis, todël x 2¢0, x¢2, arba x ± [2; +º) ir Df=[2; +º). 2) Funkcijos f(x) reikðmiø sritis Ef=[0; +º), nes f(2)=0 ir, didëjant poðaknio reikðmëms, funkcija f(x) taip pat ágyja vis didesnes reikðmes. 3) Funkcija f(x) yra apgræþiamoji, nes kiekvienà reikðmæ ið Ef ji ágyja tik viename apibrëþimo srities Df taðke. Todël ði funkcija turi atvirkðtinæ funkcijà g(x), kurios grafikà 2 braiþome atidëdami taðkus, simetriðkus funkcijos f(x) grafiko 1 taðkams tiesës y=x atþvilgiu. 4) Randame atvirkðtinës funkcijos iðraiðkà. Tai galime padaryti dviem bûdais. a) Abi lygybës y= x − 2 puses pakëlæ kvadratu, kintamàjá x iðreiðkiame kintamuoju y: y2=x 2, x=y2+2.

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Gauta funkcija x=y2+2 yra duotosios atvirkðtinë, tik jos argumentas y þymimas vertikalioje aðyje. Todël ðios funkcijos grafikas sutampa su funkcijos y= x − 2 grafiku. Kintamuosius x ir y sukeitæ vietomis, turësime áprastinæ koordinaèiø sistemà, kurios horizontalioje aðyje atidedamos argumento reikðmës, o vertikalioje funkcijos reikðmës. Taigi atvirkðtinës funkcijos iðraiðka bus tokia: y=x2+2, arba g(x)=x2+2. Ðios funkcijos Dg=[0; +º), o Eg=[2; +º). b) Taikome atvirkðtinës funkcijos apibrëþimà (pagal já, f(y)=x yra funkcijos y=f(x) atvirkðtinë funkcija): x= y − 2 ; ið èia x2=y 2, y=x2+2, arba g(x)=x2+2. Taigi funkcijos f(x)= x − 2 atvirkðtinë funkcija yra g(x)=x2+2. 4 p a v y z d y s. Iðsiaiðkinkime, kaip nustatyti atvirkðtiná priklausomumà, kai y= 4(x 2)2+6. Pirmiausia nubraiþome funkcijos y= 4(x 2)2+6 grafikà, t. y. parabolæ, þinodami, kad jos ðakos nukreiptos þemyn, o virðûnë yra taðkas V(2; 6), be to, Dy=R, o Ey=( º; 6]. Ði funkcija kiekvienà savo reikðmæ ágyja su viena arba dviem skirtingomis argumento x reikðmëmis ið Dy, vadinasi, ji nëra apgræþiamoji, todël atvirkðtinës funkcijos neturi. Atskirai nagrinëkime kairiàjà ir deðiniàjà parabolës ðakà. Kiekviena ið jø vaizduoja funkcijà, kuri jau yra apgræþiamoji. Skirtingos parabolës ðakos atspindi skirtingas apgræþiamàsias funkcijas, nors jos iðreiðkiamos ta paèia formule y= 4(x 2)2+6. Norëdami apibrëþti ta paèia formule apibûdinamas skirtingas funkcijas, nurodome tø funkcijø apibrëþimo sritá. Taigi ðiuo atveju nagrinëjame dvi funkcijas: a) y= 4(x 2)2+6, kurios x ± ( º; 2]; b) y= 4(x 2)2+6, kurios x ± [2; +º). Kiekviena ið jø turi atvirkðtinæ funkcijà, o jos iðraiðka yra x= 4(y 2)2+6; èia x ± ( º; 6]. Kintamàjá y iðreiðkæ kintamuoju x, gauname: 1 x 6= 4(y 2)2, (y 2)2= (6 x), 4 ªy 2ª=

1 6−x . 2

Atvirkðtinë funkcija

a) Kai y ± ( º; 2], tai 1 6 − x , arba y 2= 2 1 y=2 6−x ; 2

b) kai y ± [2; +º), tai 1 6 − x , arba y 2= 2 1 y=2+ 6−x . 2

Toje paèioje koordinaèiø plokðtumoje nubraiþykime viena kitai atvirkðtiniø funkcijø grafikus: a)

Vadinasi, kai turime neapgræþiamosios funkcijos atvirkðtinæ funkcijà galime rasti tik atskiruose jos apibrëþimo srities intervaluose, kuriuose ta funkcija yra apgræþiama. Ið pateiktø pavyzdþiø matyti, kad didëjanèiosios funkcijos atvirkðtinë funkcija yra didëjanti, maþëjanèiosios maþëjanti. Jeigu funkcija f(x) savo apibrëþimo srities vienuose intervaluose yra didëjanti (maþëjanti), o kituose maþëjanti (didëjanti), tai visoje apibrëþimo srityje atvirkðtinë funkcija neegzistuoja, taèiau jà galima rasti atskiruose intervaluose, kuriuose funkcija f(x) yra arba tik didëjanti, arba tik maþëjanti. 1 u þ d u o t i s. Koordinaèiø plokðtumose (þr. p. 82) pavaizduotos funkcijø a) y=sin x,

b) y=cos x,

c) y=tg x,

d) y=ctg x

grafikø dalys 1 ir atitinkamø atvirkðtiniø funkcijø grafikai 2 . Remdamiesi jais: 1) paaiðkinkite, kodël pavaizduotos bûtent ðios funkcijø grafikø dalys; 2) nurodykite dar nors po vienà x reikðmiø intervalà, kuriame bûtø galima nubraiþyti tø funkcijø atvirkðtiniø funkcijø grafikus.

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

 π sin  −  = 1,  2 π arcsin ( 1)= − ; 2 sin π =1, 2 arcsin 1= π ; 2

sin 0=0,

cos 0=1,

arcsin 0=0;

arccos 1=0;

cos π =0, 2 arccos 0= π ; 2

cos π= 1, arccos ( 1)=π;

1 y=sin x, x ±  − π ; π  , y ± [ 1; 1];  2 2  2 y=arcsin x, x ± [ 1; 1], y ±  − π ; π  .  2 2 

1 y=cos x, 0¡x¡π, 1¡y¡1; y=arccos x, 1¡x¡1, 0¡y¡π.

 π tg  −  = 1,  4 π arctg ( 1)= ; 4 π tg =1, 4 π arctg 1= ; 4

π =1, 4

tg 0=0,

ctg

arctg 0=0;

arcctg 1=

1 y=tg x, x ±  − π ; π  , y ± ( º; +º);  2 2 2 y=arctg x, x ± ( º; +º), y ±  − π ; π  .  2 2

ctg

π ; 4

π =0, 2

arcctg 0=

π ; 2

1 y=ctg x, 0<x<π, º<y<+º; y=arcctg x, º<x<+º, 0<y<π.

Atvirkðtinë funkcija

2 u þ d u o t i s. Kiekvienos 1 uþduotyje nurodytos trigonometrinës funkcijos ir jos atvirkðtinës funkcijos grafikà persibraiþæ á savo sàsiuviná skirtingomis spalvomis, apibûdinkite funkcijas: a) y=arcsin x, b) y=arccos x, c) y=arctg x, d) y=arcctg x, nurodydami jø apibrëþimo bei reikðmiø sritá, kitimo pobûdá (didëjanti ar maþëjanti), intervalus, kuriuose jos ágyja teigiamas ar neigiamas reikðmes.

Uþdaviniai 368. Duotos ðios funkcijos: a) y=4x 7; 4 d) y= 1 + ; x g) f(x)= 2 x − 6 ; j) n(x)=

3 6; x +1

b) g(x)=(x+4)2; e) y=2+ªxª; h) y= − 4x ; k) g(x)=

2 ; x

c) h(x)=2(x 1)2 2; −2 f) k(x)= ; x−4 i) y= 8 − x ; l) y=

4 . x2

Nurodykite kiekvienos jø: 1) apibrëþimo sritá; 2) reikðmiø sritá; 3) atvirkðtinæ funkcijà; 4) atvirkðtinës funkcijos apibrëþimo bei reikðmiø sritá. 369. Nustatykite ðiø funkcijø apibrëþimo sritá: x −1 b) y=arcsin ; a) y= arcsin x ; 2 2 d) y=arccos ; e) y=arctg (3 2x); 1− x 1− x g) y=3 arcsin (1+2x); h) y=arccos ; x 370. Raskite ðiø funkcijø reikðmiø sritá: a) y= arcsin x ; d) y=

2 arctg x; 3

b) y=arccos ªxª; e) y=

3 arcsin (x 1); 5

371. Nubraiþykite ðiø funkcijø grafikus: 1 1 b) y= arcsin (x 3); a) y= arcsin x; 2 2 1 2 e) y= arcctg x; d) y= arccos x; 2 3 x g) y=arccos ; h) y=arcsin (ªxª 2); 2 j) y=

arcsin x ; arcsin x

k) y=

arccos x ; arccos x

c) y=arccos 2x; f) y=arctg i) y=arccos

1 ; x

1 ; 1 + x2

c) y=ªarcsin xª; f) y=2 arcctg x+π.

c) y=2 arccos x; f) y=arcsin

x ; 2

i) y=arctg 2x; l) y=

arctg x ⋅x . arctg x

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

372. Remdamiesi ið atvirkðtinës funkcijos apibrëþimo iðplaukianèiomis lygybëmis π π sin (arcsin x)=x, ªxª¡1; arcsin (sin x)=x, − ≤x≤ ; 2 2 cos (arccos x)=x, ªxª¡1; arccos (cos x)=x, 0¡x¡π; π π tg (arctg x)=x, x ± R; arctg (tg x)=x, − <x< ; 2 2 ctg (arcctg x)=x, x ± R; arcctg (ctg x)=x, 0<x<π, árodykite ðias tapatybes ir nurodykite leistinàsias x reikðmes: a) tg (arcsin x)=

x 1− x

;

b) sin (arctg x)=

c) arcctg ( x)=π arcctg x; e) ctg (arcsin x)=

1 − x2 ; x

x 1 + x2

;

π arcctg x; 2 1 f) cos (arctg x)= . 1 + x2

d) arctg x=

Atsakymai 369. a) [0; 1]; b) [1; 3]; d) ( º; 1)¹[3; +º); g) ®; h)  1 ; + ∞  ; i) R.  2 

π π π 3π 3π  ; f) (π; 3π). 370. a) [0; 1]; b) 0 ;  ; d)  − ;  ; e)  − ; 2   3 3  10 10 

4.3. FUNKCIJOS KITIMO CHARAKTERISTIKOS Kai funkcija y=f(x) iðreikðta grafiku, nesunku nurodyti, kuriuose jos apibrëþimo srities intervaluose ta funkcija yra didëjanti (kylanti kreivë), kuriuose maþëjanti (nusileidþianti kreivë), o kuriuose ágyja tà paèià reikðmæ (pastovi). Be to, ið grafiko matyti, kuriuose taðkuose funkcijos reikðmës lygios nuliui (tie grafiko taðkai yra abscisiø aðyje), kuriuose teigiamos (atitinkami grafiko taðkai yra virð Ox aðies) ir kuriuose neigiamos (grafiko taðkai þemiau Ox aðies). Taèiau jeigu funkcijà apibûdina formulë, be skaièiavimo pagal tam tikras taisykles nusakyti jos kitimo pobûdþio nepavyks.

Funkcijos lyginumas ir jos grafiko simetriðkumas Tarkime, kad funkcijos y=f(x) apibrëþimo sritis Dy yra simetriðka koordinaèiø pradþios atþvilgiu. Tada tokios funkcijos grafikas gali bûti: a) simetriðkas Oy aðies atþvilgiu;

b) simetriðkas koordina- c) nesimetriðkas èiø pradþios taðko O at- nei Oy aðies, nei þvilgiu; taðko O atþvilgiu.

Funkcijos kitimo charakteristikos

f( x)=f(x)

f( x)= f(x)

Lyginë funkcija

Nelyginë funkcija

Funkcijos reikðmës neturi a) ir b) atvejais nurodytø savybiø Nei lyginë, nei nelyginë funkcija

1 p a v y z d y s. Kurià ðiø savybiø turi tiesinë funkcija f(x)=kx (k¥0)? Ði funkcija apibrëþta su visais x ± R, todël jos apibrëþimo sritis simetriðka koordinaèiø pradþios taðko O atþvilgiu. Tikriname: kai f(x)=kx, tai f( x)=k·( x)= kx= f(x); vadinasi, funkcija f(x) yra nelyginë. Nubraiþykime, pavyzdþiui, funkcijos y=3x grafikà. Ði funkcija apibrëþta su visais x ± R, todël jos apibrëþimo sritá sudaro du skaièiø spinduliai. Grafiko taðkai A(1; 3) ir B( 1; 3) yra simetriðki taðko O atþvilgiu. Taigi ir grafiðkai nustatome tà paèià funkcijos y=kx (k¥0) savybæ funkcija yra nelyginë. 2 p a v y z d y s. Þinome, kad atitiktis, kuri kiekvienam realiajam skaièiui x priskiria jo kvadratà, vadinama kvadratine funkcija f(x)=x2. Nustatykime jos lyginumà. Kvadratinë funkcija apibrëþta su visais x ± R, o jos grafikas simetriðkas Oy aðies atþvilgiu; be to, kai f(x)=x2, tai f( x)=( x)2=x2, t. y. f( x)=f(x). Taigi ði funkcija yra lyginë. 3 p a v y z d y s. Kuriø ið ðiø funkcijø grafikai yra simetriðki Oy aðies atþvilgiu, o kuriø koordinaèiø pradþios taðko O atþvilgiu: 4 12 a) f(x)= 3x4; b) p(x)= ; c) g(x)= 3 ; 3 + x2 x d) f(x)=3x4 x2+5; e) f(x)=5x 1; f) h(x)=x7+2x3? Visø ðiø funkcijø apibrëþimo sritys simetriðkos koordinaèiø pradþios atþvilgiu. Funkcijos, kuriø argumento x laipsniø rodikliai lyginiai skaièiai,

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

t. y. a), b) ir d) funkcijos, yra lyginës, nes, pakeitus x þenklà, funkcijø iðraiðka nepasikeièia: ( x)2=x2 ir ( x)4=x4. Vadinasi, ðiø funkcijø grafikai simetriðki Oy aðies atþvilgiu. c) ir f) funkcijos, kuriø argumento x laipsniø rodikliai nelyginiai skaièiai, savo apibrëþimo srityse yra nelyginës, nes ( x)3= x3, ( x)7= x7, t. y., pakeitus x þenklà, pasikeièia ir funkcijos þenklas. Taigi ðiø funkcijø grafikai simetriðki koordinaèiø pradþios O atþvilgiu. e) funkcija yra ypatinga, nes f( x)=5·( x) 1= 5x 1¥ f(x). Vadinasi, ðios funkcijos grafikas yra nesimetriðkas nei Oy aðies, nei koordinaèiø pradþios taðko O atþvilgiu.

Funkcijos nuliai ir pastovaus þenklo intervalai Prisiminkime, jog funkcijos nuliais pavadinome jos argumento reikðmes, su kuriomis funkcijos reikðmë lygi nuliui. Brëþinyje pavaizduotos funkcijos nuliai yra reikðmës x1, x2 ir x3. Taðkai, turintys abscises, lygias x1, x2 ir x3, padalija funkcijos f(x) apibrëþimo sritá á keturis intervalus, kuriuose tos funkcijos reikðmës yra arba neigiamos, arba teigiamos. Kadangi funkcijos reikðmiø þenklas tuose intervaluose nesikeièia, jie vadinami f÷nkcijos pastovaùs þênklo intervãlais. Taigi nagrinëjamu atveju y>0, kai x1<x<x2 arba x3<x<+º, o y<0 su likusiomis realiosiomis x reikðmëmis, nes f(x) apibrëþta su visais x ± R. 4 p a v y z d y s. Raskime 6 + 2x nulius ir funkcijos y = 2 x +5 pastovaus þenklo intervalus. Ðiuo atveju y=0, kai 6+2x=0, nes x2+5¥0 su visais x ± R. Iðsprendæ lygtá, gauname: x= 3. Taigi taðkas, kurio abscisë lygi 3, dalija Ox aðá á du intervalus: ( º; 3] ir ( 3; +º). Kai 6+2x<0, arba x< 3, funkcija ágyja neigiamas reikðmes, o jos grafikas yra þemiau Ox aðies. Kai 6+2x>0, arba x> 3, funkcija ágyja teigiamas reikðmes; jos grafikas ðiame intervale yra virð Ox aðies. Kai x= 3, funkcijos grafikas kerta Ox aðá, todël f( 3)=0.

Funkcijos monotoniðkumas Sakykime, intervalas (a; b) priklauso funkcijos f(x) apibrëþimo srièiai. Tada funkcija f(x) vadinama didëjanèia intervale (a; b), jeigu ið nelygybës x1< x2 (èia x1 ± (a; b), x2 ± (a; b)) iðplaukia nelygybë f(x1) < f(x2). Jeigu ið nelygybës x1 < x2 iðplaukia nelygybë f(x1) > f(x2), tai funkcija f(x) vadinama maþëjanèia intervale (a; b).

Funkcijos kitimo charakteristikos

Didëjanti funkcija

Maþëjanti funkcija

Kai x1<x2, tai f(x1)<f(x2), t. y. maþesnæ argumento reikðmæ atitinka maþesnë funkcijos reikðmë.

Kai x1<x2, tai f(x1)>f(x2), t. y. maþesnæ argumento reikðmæ atitinka didesnë funkcijos reikðmë.

Jeigu ið nelygybës x1 < x2 (kurios x1 ± (a; b), x2 ± (a; b)) iðplaukia nelygybë f(x1) ¡ f(x2), tai funkcija f(x) vadinama nemaþëjanèia, o jeigu iðplaukia nelygybë f(x1) ¢ f(x2) nedidëjanèia intervale (a; b). Nemaþëjanti funkcija

Nedidëjanti funkcija

f(x1)=f(x2), f(x2)<f(x3);

f(x1)>f(x2), f(x2)=f(x3).

Apie kuriame nors intervale tik didëjanèià (nemaþëjanèià) arba tik maþëjanèià (nedidëjanèià) funkcijà sakome, kad ji kinta monotoniðkai, o paèià funkcijà vadiname monotònine f÷nkcija. Pavyzdþiui, tokia yra skyrelio pradþioje aptarta tiesinë funkcija y=3x. Apskritai funkcija visoje savo apibrëþimo srityje kinta nebûtinai monotoniðkai (kaip antai 2 pavyzdyje nagrinëta funkcija f(x)=x2), taèiau daþniausiai jos apibrëþimo sritá galima padalyti á keletà intervalø, kuriø kiekviename funkcija yra arba didëjanti (nemaþëjanti), arba maþëjanti (nedidëjanti), t. y. monotoninë. Tokie intervalai vadinami atitinkamai f÷nkcijos did¼jimo arba maþ¼jimo intervãlais, kitaip tariant, f÷nkcijos monotoniðk÷mo intervãlais. Turint funkcijos grafikà, ðiuos intervalus nustatyti labai paprasta (tai jau ne kartà darëme spræsdami ávairius pavyzdþius), taèiau jei funkcija iðreikðta formule, jø kol kas rasti negalësime.

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Sudëtinë funkcija Remdamiesi funkcijos y=f(x) savybëmis, esame grafiðkai iðnagrinëjæ funkcijos h(x)=A f(kx+a)+b kitimo pobûdá (èia f suprantamas kaip laipsninës, rodiklinës, logaritminës ar trigonometrinës funkcijos pavadinimas). Pertvarkykime ðios funkcijos iðraiðkà, vartodami keitiná g(x)=kx+a. Turësime: h(x)=A f(g(x))+b. Gavome funkcijà h(x), kuri yra kitos funkcijos, t. y. g(x), funkcija. Tokia funkcija vadinama sudëtinç f÷nkcija. Jei g(x) bûtø kitokia funkcija, h(x) grafiko taip paprastai negalëtume nubraiþyti remdamiesi funkcijos f(x) grafiku. Pavyzdþiui, funkcijos h(x)=(x 2)2 grafikà gauname pastumdami parabolæ f(x)=x2 Ox aðies kryptimi per 2 vienetus, taèiau funkcijos p(x)=(sin x)2 grafiko tokiu bûdu, t. y. pastumiant f(x)=x2 grafikà, gauti nepavyks. Kà daryti, jeigu vis dëlto funkcijos p(x)=sin2 x savybës mums yra svarbios? Sprendþiant lygtis ir nelygybes, daþnai tekdavo nustatyti tam tikro reiðkinio apibrëþimo sritá. Pavyzdþiui, ieðkodami funkcijos u(x)= 4 4 − x2 apibrëþimo srities, pastebime, kad ðios funkcijos kintamojo x reikðmiø apribojimà sàlygoja lyginio laipsnio ðaknis, taigi funkcijà u(x) tarsi suskaidome á dalis: ið pradþiø á f(x)= 4 x , paskui á g(x)=4 x2, todël u(x)= 4 g ( x ) ir g(x)¢0. Vadinasi, funkcija u(x) yra sudëtinë funkcijos g(x) funkcija. Akivaizdu, kad funkcijø u(x) ir g(x) apibrëþimo sritys skirtingos ir funkcijos u(x) kitimo apibûdinti tik funkcijos f(x)= 4 x savybëmis neámanoma. Aptarsime, kaip ið dviejø ar daugiau funkcijø galima sudaryti naujas funkcijas, kuriø kitimo pobûdþiui nusakyti þinomø veiksmø nepakanka. Ið funkcijø f(x) ir g(x) galima sudaryti tokias sudëtines funkcijas: 1) funkcijà h(x)=f(g(x)), kuri gaunama f(x) iðraiðkoje vietoj x áraðant g(x) iðraiðkà; 2) funkcijà k(x)=g(f(x)), kuri gaunama, kai g(x) iðraiðkoje kintamasis x pakeièiamas funkcijos f(x) iðraiðka. Bendruoju atveju h(x) ≠ k(x). Kartais sudëtinë funkcija uþraðoma vartojant tarpiná kintamàjá (pavyzdþiui, u arba t): h(x)=f(u), o u=g(x) arba k(x)=g(t), o t=f(x). 5 p a v y z d y s. Duotos funkcijos f(x)=ln x ir g(x)=x2. Kokias sudëtines funkcijas galima ið jø sudaryti?

Funkcijos kitimo charakteristikos

Ið funkcijø f(x) ir g(x) galime sudaryti dvi sudëtines funkcijas: u(x)=f(g(x)), arba u(x)=ln (x2)

v(x)=g(f(x)), arba v(x)=ln2 x. Apskaièiuokime u(e) ir v(e): u(e)=ln (e2)=2 ln e=2·1=2; v(e)=(ln e)2=12=1. Taigi, norëdami apskaièiuoti sudëtinës funkcijos reikðmæ su nurodyta argumento reikðme x=x0, jà áraðome á tos funkcijos iðraiðkà ir atliekame atitinkamus veiksmus su x0. Jeigu iðraiðka bûtø sudëtingesnë, pirma galëtume apskaièiuoti tarpinio kintamojo g(x) arba f(x) reikðmæ, o kitu þingsniu funkcijos reikðmæ u(x0) arba v(x0). 6 p a v y z d y s. Iðsiaiðkinkime, kurios funkcijos sudaro ðias sudëtines funkcijas: b) k(x)= 3 tg 2 3x ; a) l(x)= 3 tg 2 x ; 2x c) f(x)=lg (3+e ); d) h(x)=A f(kx+a)+b. 2

Sprendimas. a) Reiðkiná 3 tg 2 x galima uþraðyti taip: ( tg x )3 . Todël sudëtinæ funkcijà l(x) sudaro dvi funkcijos: 2

f(x)= x 3 ir g(x)=tg x, taigi

l(x)=f(g(x)). b) Panaðiai samprotaudami nustatome, kad k(x) sudaryta ið trijø funk2

cijø: f(x)= x 3 , g(x)=tg x ir h(x)=3x, vadinasi, k(x)=f(g(h(x))). c) Nesunku pastebëti, kad ðiuo atveju su argumentu x reikia atlikti daugiau veiksmø, o kiekvienas veiksmas yra tarpinis kintamasis. Todël ðià sudëtinæ funkcijà sudarome ið keturiø paprasèiausiø funkcijø: 1 g(x)=lg x, h(x)=3+x, k(x)= 2 ir m(x)=ex, x 1 nes k(m(x))= x 2 =e 2x, h(k(x))=3+e 2x, o g(h(x))=lg (3+e 2x). (e ) Vadinasi, funkcijà f(x) galime uþraðyti taip: f(x)=g(h(k(m(x)))). d) Kaip jau þinome, ðios funkcijos grafikas gaunamas ið funkcijos f(x) grafiko, já lygiagreèiai pastumiant iðilgai koordinaèiø aðiø ir suspaudþiant arba iðtempiant iðilgai Oy aðies. Iðsiaiðkinkime, kokios funkcijos sudaro h(x). Vartodami tarpiná kintamàjá, gauname: h=Au+b, u=f(t), t=kx+a, todël t(x)=kx+a, u(x)=f(x), h(x)=Ax+b.

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Taigi sudëtinës funkcijos grandinëlëje yra dvi tiesinës funkcijos, kuriø kitimo bûdas ir sudaro galimybæ jau þinomais veiksmais nubraiþyti h(x) grafikà pagal f(x) grafikà. I ð v a d a. Dauguma anksèiau nagrinëtø funkcijø buvo sudëtinës, tik jø taip neávardijome pateikdami pakankamai daug informacijos apie funkcijos kitimà jos apibrëþimo srityje. Sudëtinës funkcijos sàvokos svarbà iliustruosime tos funkcijos ir jos atvirkðtinës funkcijos sàryðiu, paþymëdami funkcijos f(x) atvirkðtinæ funkcijà f 1(x), kaip ji þymima kompiuterinëse programose bei skaièiuotuvuose, pavyzdþiui, f(x)=ax ir f 1(x)=loga x; f(x)=sin x ir f 1(x)=asin x (asin x vietoj arcsin x). 7 p a v y z d y s. Sudarykime funkcijos f(x)=5x+3 ir jos atvirkðtinës f 1(x) sudëtinæ funkcijà. Sprendimas. Pirmiausia raskime funkcijos f(x) atvirkðtinæ funkcijà 1 f (x). Tam tikslui paþymëkime: f(x)=y, t. y. y=5x+3. Atvirkðtinës funkcijos iðraiðkà gausime kintamuosius x ir y sukeitæ vietomis ir kintamàjá y iðreiðkæ kintamuoju x: x −3 . x=5y+3, 5y=x 3, y= 5 x −3 . Taigi f 1(x)= 5 Ið f(x) ir f 1(x) galime sudaryti dvi sudëtines funkcijas: x −3 1 +3= b) f 1(f(x))= ((5x+3) 3)= a) f(f 1(x))=5· 5 5 1 =x 3+3=x; = (5x+3 3)=x. 5 Taigi abiem atvejais gavome tà patá rezultatà: f(f 1(x))=f 1(f(x))=x. Ði lygybë yra teisinga su bet kuria funkcija f(x). U þ d u o t i s. Patikrinkite, ar teisinga lygybë f(f 1(x))=x=f 1(f(x)), ir nurodykite funkcijos f(x) bei jos atvirkðtinës funkcijos f 1(x) apibrëþimo sritá, kai: 3 1 ; c) f(x)=2+ ; a) f(x)=6x+4; b) f(x)= 2x − 1 x −3 x 3 e) f(x)=x ; f) f(x)=sin x; d) f(x)=a ; g) f(x)=cos x; h) f(x)=tg x; i) f(x)=ctg x.

)

8 p a v y z d y s. Raskime funkcijos g(x) iðraiðkà, kai g(x 1)=x2+2. 1 bûdas. Pertvarkykime g(x 1) iðraiðkà taip, kad ji bûtø funkcija, kvadratinë dvinario x 1 atþvilgiu: x2+2=x2 2x+1+2x 1+2=(x 1)2+2x 2+2+1=(x 1)2+2(x 1)+3, vadinasi, g(x 1)=(x 1)2+2(x 1)+3. Remdamiesi sudëtinës funkcijos sàvoka, turime: g(x)=x2+2x+3.

Funkcijos kitimo charakteristikos

2 bûdas. Paþymëkime: x 1=u. Tada x=u+1 ir g(u)=(u+1)2+2, arba g(u)=u2+2u+3. Tarpiná kintamàjá u pakeitæ kintamuoju x, gauname: g(x)=x2+2x+3.

Uþdaviniai 373. Nustatykite, ar ðiø funkcijø grafikas yra simetriðkas Oy aðies atþvilgiu, ar koordinaèiø pradþios taðko O atþvilgiu, ar nesimetriðkas nei Oy aðies, nei taðko O atþvilgiu: 3 cos x 8 tg x b) y= ; c) y= ; a) y=1 5x2; 4 + 3x 4 + 2x2 sin 2x ; e) y=7x 5 3 x ; f) y=x2 4x+1. d) y=4x x3 374. Kuriuose taðkuose ðiø funkcijø grafikai kerta Ox aðá, kuriuose yra virð Ox aðies, kuriuose þemiau Ox aðies: 7 2 − 5x 5x2 − 9 ; b) y= ; c) y= ; a) y= 2 − 5x 7 3 2 2 2 d) y=(x +17)(x 6)(x+2); e) y=(x 1) (x 3); f) y=(x 15x)(x2 36)? 375. Naudodamiesi pateiktais grafikais, raskite kiekvienos ðiø funkcijø apibrëþimo sritá D, kitimo sritá E, nulius, pastovaus þenklo intervalus, maþiausià bei didþiausià reikðmæ ir monotoniðkumo intervalus: a)

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

376. Nubraiþykite scheminá funkcijos f(x) grafikà, þinodami, kad intervaluose ( 8; 2) ir (4; 10) ji yra didëjanti, o intervaluose ( º; 8), (2; 4) ir (10; +º) maþëjanti, be to, f( 10)=f(2)=f(10)=0, f( 8)= 4; f(4)= 8. 377. Funkcijos apibrëþimo sritis yra intervalas [ 4; 4]. Nubraiþykite scheminá tos funkcijos grafikà, kai f( 2)=f(2)=2, o f( 4)=f(0)=f(4)=0. 378. Duotos tokios funkcijø f(x) ir g(x) poros: a)

f(x)

3x+4 x2+2x 9 x2

g(x)

2x 1

1 x

x2+1

sin x

4 6x

lg x

10 x

x2 1

tg x

x2+3 2+

1 x2

3 x

1) Sudarykite sudëtines funkcijas h(x)=f(g(x)) ir k(x)=g(f(x)). 2) Apskaièiuokite h(2) ir k(2). 3) Nurodykite sudëtiniø funkcijø h(x) ir k(x) apibrëþimo sritá. 379. Ávardykite funkcijas, ið kuriø sudarytos ðios sudëtinës funkcijos: b) p(x)=17 5x3; c) s(x)=(x 6)2; a) h(x)=7x2+23; d) g(x)=5(x+7)2;

e) q(x)= 6 − 7x ;

g) r(x)= 3(8x+3)2+7;

h) n(x)= 9 3 (7 x + 2 ) 4;

i) d(x)=5e9 x+6; k) t(x)=4 cos2 x2 8;

j) c(x)=8(4 sin x 1)7 5; l) l(x)=ln3 (4 3 sin 3x).

f) m(x)=e4x+2; 4

380. Raskite g(x), kai: x a) g   =4 6x 3x2; 8 4x − 5 ; c) g(2x 3)= 2x − 3 e) g( x 1)=5x3+15x2+15x+8;

b) g(x+7)=3e2 x+5; d) g(x+1)=

x2 + 2x ; x + 2x + 3 2

f) g( x)=x lg (x2+2).

4.4. PROGRESIJOS Ðiame skyrelyje nagrinësime toká dviejø dydþiø tarpusavio priklausomumà, kai nepriklausomasis kintamasis ágyja tik natûraliàsias reikðmes, taigi vietoj funkcijos f(x), kurios x ± R, èia kalbësime apie funkcijà f(n), kurios n ± N. Spræsdami praktinius uþdavinius, atrasime naujø tiesinës funkcijos f(x)=kx+b (èia k¥0, k, b ± R) ir rodiklinës funkcijos f(x)=kax (èia a>0, a¥1, k¥0) savybiø, kai x=n, o n ± N. Apibrëþimas. Skaitinë funkcija f(n), apibrëþta natûraliøjø skaièiø aibëje N, vadinama skaïèiø sekâ.

Funkcijos kitimo charakteristikos

Bendruoju atveju skaièiø sekà galime uþraðyti taip: f(1), f(2), f(3), ..., f(n), ...; èia n ± N. Funkcijos f reikðmës, t. y. sekà sudarantys skaièiai, vadinami tos sekôs nariaïs: f(1) pirmuoju nariu, f(2) antruoju nariu, ..., f(n) n-tuoju nariu. Kai funkcija f(n) yra skaièiø seka, daþniausiai vietoj f(1) raðoma a1, vietoj f(2) a2, ..., vietoj f(n) an, t. y. f(1)=a1, f(2)=a2, ..., f(n)=an, o pati skaièiø seka þymima simboliu {an} arba (an). Be abejo, sekos narius galima þymëti ir bet kuria kita raide, pavyzdþiui, b1, b2, b3, ..., bn, ...; c1, c2, c3, ..., cn, ... . Seka gali turëti be galo daug nariø arba jø skaièius gali bûti baigtinis. Antai seka {xn}=x1, x2, x3, ..., xn 1, xn, ... turi be galo daug nariø ir tai paþymime, po pirmøjø n (n ± N) nariø dëdami daugtaðká, kuris yra tarsi uþuomina, kad sekos nariø gali bûti daugiau negu n. Tokia seka vadinama begalinç. Seka {xn}=x1, x2, ..., xn 1, xn turi baigtiná skaièiø nariø, t. y. n nariø, ir vadinama baigtinç.

Aritmetinë progresija Pabandykime atsakyti á tokius klausimus: 1) Per kiek dienø moksleivis perskaitë 300 puslapiø knygà, jei yra þinoma, kad pirmàjà dienà jis perskaitë 60 puslapiø, o vëliau kasdien perskaitydavo po 10 puslapiø daugiau nei praëjusià dienà? 2) Kiek laikrodþio dûþiø girdësime per parà, kai tas laikrodis muð valandas ir pusvalandþius? 3) Kokio ilgio kelià per 10 s tuðtumoje nueina laisvai krintantis kûnas, kuris per pirmàjà sekundæ áveikia 4,9 m, o per kiekvienà tolesnæ sekundæ 9,8 m daugiau? 4) Kokia oro temperatûra buvo birþelio 1 dienà, jei nuo birþelio 1 d. iki 1 12 d. áskaitytinai ji kasdien kilo po °C, o vidutinë temperatûra ðiuo lai2 3 kotarpiu buvo 18 °C? 4 5) Kiek kraðtiniø turi iðkilasis daugiakampis, kurio maþiausias kampas lygus 120°, o gretimø kampø didumai skiriasi 5°? Atlikdami nesudëtingus veiksmus, pastebime visoms uþduotims bendrà poþymá: þinodami tam tikrà pradinæ dydþio reikðmæ (t. y. pirmàjá nará), galime apskaièiuoti antràjà, treèiàjà ir t. t. to dydþio reikðmæ, tereikia pridëti prie pradinës arba atimti ið jos tà patá skaièiø. Ðias dydþio reikðmes suraðæ á vienà eilæ, gauname skaièiø sekà a1, a2, a3, ..., an, ..., kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus prieð já einanèio nario ir to paties skaièiaus d sumai. Uþraðykime keletà jos nariø:

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

a2=a1+d, a3=a2+d, a4=a3+d, ................. an 2=an 3+d, an 1=an 2+d, an=an 1+d. Sudëkime panariui ðias lygybes: a2+a3+a4+...+an 2+an 1+an= =a1+a2+a3+...+ +an 3+an 2+an 1+d(n 1). Sutraukime panaðiuosius narius: an=a1+d(n 1). Gavome formulæ bet kuriam nagrinëjamos skaièiø sekos nariui apskaièiuoti, kai þinomas pirmasis jos narys ir tas pats pridedamas skaièius d, lygus gretimø nariø skirtumui. Turëdami galvoje, kad a1=f(1), a2=f(2), ..., an=f(n), ..., o n ± N, pavaizduokime ðià sekà koordinaèiø plokðtumoje. Tam tikslui paþymime joje taðkus (1; a1), (2; a2), ..., (n; an), ... . Matome, kad visi ðie taðkai yra tiesëje. Apibrëþimas. Skaièiø seka a1, a2, a3, ..., an 1, an, ..., kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus prieð já esanèio nario ir to paties skaièiaus d sumai, vadinama aritmçtine progrçsija*. Skaièius d vadinamas aritmçtinës progrçsijos skîrtumu. Vadinasi, skaièiø seka {an}=a1, a2, ..., an, ..., kurios n ± N, yra aritmetinë progresija, kai an=a1+d(n 1). Ði formulë vadinama aritmçtinës progrçsijos bet kuriô nãrio fòrmule arba n-tojo nãrio fòrmule. Aritmetinës progresijos nariø savybës: 1) a2 a1=a3 a2=...=an an 1=d; 2) bet kuris aritmetinës progresijos narys, iðskyrus pirmàjá ir paskutiná, yra gretimø jo nariø aritmetinis vidurkis, todël ir progresija vadinama aritmetine: a + a3 ; kadangi a2 a1=a3 a2, tai 2a2=a1+a3, arba a2= 1 2 kai ak 1, ak, ak+1 (2¡k¡n 1) yra trys ið eilës einantys aritmetinës progresijos nariai, tai vidurinis narys yra kraðtiniø nariø aritmetinis vidurkis: a + ak + 1 ; ak ak 1=ak+1 ak, arba ak= k − 1 2 3) kai d>0, aritmetinë progresija vadinama didëjanèia, kai d<0 maþëjanèia; kai d=0, aritmetinæ progresijà sudaro vienodi skaièiai; * Lot. progressio augimas, paþanga.

Progresijos

4) aritmetinës progresijos nariø, vienodai nutolusiø nuo jos pradþios ir pabaigos, sumos yra lygios. Ið tikrøjø a1+an=a1+a1+d(n 1)=2a1+d(n 1), a2+an 1=a1+d+a1+d(n 2)=2a1+d(n 1), a3+an 2=a1+2d+a1+d(n 3)=2a1+d(n 1) ir t. t. Apskaièiuokime aritmetinës progresijos pirmøjø n nariø sumà. Paþymëkime jà Sn: Sn=a1+a2+a3+...+an 1+an. Suraðykime dëmenis jø numeriø maþëjimo tvarka: Sn=an+an 1+...+a3+a2+a1. Abi ðias lygybes panariui sudëkime: 2Sn=(a1+an)+(a2+an 1)+...+(an 1+a2)+(an+a1). Kadangi progresijos nariø, vienodai nutolusiø nuo jos pradþios ir pabaigos, sumos yra lygios, tai 2Sn=(a1+an)·n; ið èia

Sn=

a1 + an ⋅n. 2

Gavome aritmçtinës progrçsijos pirmýjø n nariý sumôs fòrmulæ. U þ d u o t i s. Kartais progresijos n nariø sumà patogu skaièiuoti, kai þinomas pirmasis jos narys ir skirtumas: Sn =

2a1 + d (n − 1) ⋅n . 2

Árodykite. Plaèiau susipaþinæ su aritmetine progresija bei jos savybëmis, jau galime atsakyti á skyrelio pradþioje iðkeltus klausimus. 1) Moksleivis knygà skaitë n dienø, a1=60, d=10, o a1+a2+...+an= =Sn=300, todël, pagal aritmetinës progresijos pirmøjø n nariø sumos formulæ, 300=

2 ⋅ 60 + 10 ⋅ (n − 1) ⋅n . 2

Atlikæ veiksmus, gauname kvadratinæ lygtá n2+11n 60=0, kurios vienas sprendinys lygus 15, o kitas lygus 4. Taigi moksleivis knygà perskaitë per 4 dienas. 2) Laikrodþio dûþiø skaièiø N sudaro 24 dûþiai kas pusvalandá ir dvigubas skaièius dûþiø kas valandà, t. y. 2(1+2+...+12) dûþiai. Todël N=24+2·

1 + 12 ·12=24+2·13·6=180. 2

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

3) Per 10 s kûnas tuðtumoje nuëjo atstumà S10 (metrais). Kai a1=4,9 m, o d=9,8 m, tai 2 ⋅ 4,9 + 9,8 ⋅ 9 9,8 ⋅ 10 S10= ·10= ·10=490 (m). 2 2 4) Birþelio 1 d. oro temperatûra buvo lygi a1, o birþelio 12 d. 1 1 a12=a1+ ·11, nes d= . Vidutinë oro temperatûra nagrinëjamu laikotar2 2 a1 + a12 3 = 18 . Áraðæ á ðià lygybæ a12 iðraiðkà, gauname: piu yra 2 4 a1+a1+5,5=2·18,75, 2a1=37,5 5,5, 2a1=32, a1=16. Vadinasi, birþelio 1 d. oras buvo suðilæs iki 16 °C. 5) Iðkilojo daugiakampio kampø suma lygi 180°(n 2); èia n daugiakampio kraðtiniø skaièius. Pagal sàlygà, a1=120, d=5, todël, pritaikæ progresijos n nariø sumos formulæ, gauname lygtá 180°(n 2)=

2 ⋅ 120o° + 5o° (n − 1) ⋅ n. 2

Jà iðsprendæ, randame: n1=9, n2=16. Sprendinys n=16 netinka, nes a16=120°+(16 1)·5°=195°. Taip bûti negali, mat daugiakampis yra iðkilasis ir kiekvieno jo kampo didumas turi bûti maþesnis uþ 180°. Todël daugiakampis turi 9 kraðtines. Akivaizdu, kad, atpaþinus uþdavinio tipà, svarbu tinkamai pasirinkti formules ir, remiantis jomis, rasti reikalingà dydá. 1 p a v y z d y s. Árodykime, kad seka, kurios n-tasis narys iðreiðkiamas formule an=6n 11, yra aritmetinë progresija. Sekà laikome aritmetine progresija, jeigu jos an+1 an=d; èia d bet koks skaièius. Kadangi nurodytos sekos an = 6n 11, o an+1= =6(n+1) 11, tai an+1 an=6(n+1) 11 (6n 1)=6n 11 6n+11=6. Taigi seka {an } yra aritmetinë progresija, be to, jos d=6. 2 p a v y z d y s. Aritmetinës progresijos antrasis narys lygus 5, o septintasis 20. Apskaièiuokime deðimtàjá jos nará. Pagal sàlygà, a2=5, a7=20. Sudarome ir iðsprendþiame lygèiø sistemà:

a1 + d = 5,  a1 + 6d = 20; 5d= 15, Tada a10=a1+d·9=2+3·9=29. Ats.: 29.

d=3,

a1=2.

Progresijos

3 p a v y z d y s. Aritmetinës progresijos S10 S9=10, S11 S10=11. Paraðykime ðià progresijà. Pagal pirmøjø n progresijos nariø sumos apibrëþimà, S10 S9=a10, o S11 S10=a11. Todël a11=11, o a10=10. Tada d=a11 a10=11 10=1. Raskime a1: a10=a1+9·d, 10=a1+9·1, a1=1. Ats.: 1, 2, 3, 4, ..., 10, 11. 4 p a v y z d y s. Aritmetinës progresijos n nariø suma apskaièiuojama pagal formulæ Sn=4n2 3n. Raskime deðimtàjá progresijos nará. Akivaizdu, kad S1=a1=4·12 3·1=1, S2=a1+a2, todël S2=4·22 3·2=16 6=10; a1+a2=10, a2=9; d=a2 a1=9 1=8. Kai a1=1, o d=8, tai a10=1+8·9=73. Ats.: 73.

Geometrinë progresija Prisiminkime keletà þemesnëse klasëse spræstø uþdaviniø. 5 p a v y z d y s. Jeigu indëlis banke laikomas ilgiau nei vienerius metus, tai, jiems pasibaigus, palûkanos priskaièiuojamos prie pradinio indëlio ir dar po metø jau ir uþ jas mokamos palûkanos. Taigi kalbama apie sudëtines palûkanas (palûkanø palûkanas). Kai palûkanø norma lygi p %, pasibaigus pirmiesiems metams, pradinis indëlis S0 padidëja iki S1=S0+S0·

p p   = S0  1 +  =S0·q; 100 100  

p yra palûkanø koeficientas; 100 pasibaigus antriesiems metams iki

èia q = 1 +

p p   2 = S1  1 +  =S1·q=S0·q ; ...; 100 100   pasibaigus n-tiesiems metams iki

S2=S1+S1·

p   n Sn=S0  1 +  =S0·q . 100   Trumpai tariant, jei uþ pradiná indëlá mokamos sudëtinës palûkanos, tai po kiekvienø metø indëlis padidëja q kartø. 6 p a v y z d y s. A1C1 yra trikampio ABC vidurinë linija, A2C2 trikampio A1BC1 vidurinë linija, A3C3 trikampio A2BC2 vidurinë linija ir t. t. Trikampio ABC plotas lygus 768 cm2. Apskaièiuokime trikampio A9BC9 plotà.

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

~ Kadangi A1C1«AC, tai ³ABC ³A1BC1. Kaip þinote, panaðiøjø trikampiø plotø santykis lygus tø trikampiø atitinkamøjø kraðtiniø kvadratø santykiui, todël 2 S³ A BC  A1C1  1 1 =  , S³ ABC  AC  arba S³ A BC = 1

nes A1C1 =

1 S , 4 ³ABC

1 AC . 2

~ Analogiðkai ³A1BC1 ³A2BC2 ir S³ A BC

taigi

S³ A BC

AC  1 1 =  2 2  , S³ A BC = S³ A BC , nes A2 C2 = A1C1, 2 2 1 1 A C 4 2  1 1

S³ A BC = 2

1 1 1 ⋅ S =   ⋅ S³ ABC . 4 4 ³ ABC  4 

Tuo paèiu bûdu galime apskaièiuoti trikampio A3BC3 plotà, nes ~ ³A2BC2 ³A3BC3. Todël S³ A BC 3

S³ A BC

AC  1 =  3 3  , S³ A BC = S³ A BC , arba 3 3 2 2 A C 4  2 2 2

1 1 1 ⋅ ⋅ S³ ABC =   ⋅ S³ ABC . 3 3 4  4  4 Pastebime, kad kiekvieno naujo trikampio plotas yra 4 kartus maþesnis nei prieð já esanèio trikampio. Taigi devintojo trikampio plotas S³ A BC =

1 1 3 ⋅ 256 = S³ A BC =   ⋅ S³ ABC =   ⋅ 768 = 9 9 4 4 218     3 ⋅ 28 3 3 = 18 = 10 = (cm2). 1024 2 2

Ats.:

3 cm2. 1024

I ð v a d a. Tokio tipo uþdaviniø sprendimà galëtume pavadinti tam tikrø skaièiø sekø nariø skaièiavimu, kai kiekvienas tolesnis narys, pradedant antruoju, gaunamas padauginus prieð já esantá nará ið to paties skaièiaus. Apibrëþimas. Skaièiø seka b1, b2, ..., bn, ..., kurios pirmasis narys nelygus nuliui, o kiekvienas kitas narys, pradedant antruoju, lygus prieð já esanèiam nariui, padaugintam ið to paties nelygaus nuliui skaièiaus q, vadinama geomçtrine progrçsija.

Progresijos

Pastovus daugiklis q vadinamas geomçtrinës progrçsijos vardikli÷. Kitaip tariant, {bn}=b1, b2, ..., bn, kurios b1¥0, n ± N, yra geometrinë pro-

b2 b3 b = = ... = n = q . b1 b2 bn −1 Ið geometrinës progresijos apibrëþimo iðplaukia, kad b2=b1·q, b3=b2·q, b4=b3·q, ..................... bn 1=bn 2·q, bn=bn 1·q. Sudauginkime panariui ðias lygybes (jø yra n 1): b2·b3·b4·...·bn 1·bn= =b1·b2·b3·...·bn 2·bn 1·qn 1. Abi gautos lygybës puses padalykime ið bendrø daugikliø: gresija, kai

bn=b1·qn 1. Turime formulæ, siejanèià geometrinës progresijos n-tàjá, pirmàjá nará, vardiklá ir nariø skaièiø. Ji vadinama geomçtrinës progrçsijos bet kuriô nãrio fòrmule arba n-tojo nãrio fòrmule. Geometrinës progresijos nariø savybës: 1)

b2 b3 b = = ... = n = q ≠ 0 ; b1 b2 bn − 1

2) bet kuris geometrinës progresijos, sudarytos ið teigiamøjø skaièiø narys, iðskyrus pirmàjá ir paskutiná, yra gretimø jo nariø geometrinis vidurkis, todël progresija ir vadinama geometrine: kadangi

b2 b3 = , tai b22 = b1 ⋅ b3 , arba b2 = b1 ⋅ b3 ; b1 b2

kai bk 1, bk ir bk+1 (2¡k¡n 1) yra trys ið eilës einantys teigiamieji geometrinës progresijos nariai, tai vidurinis narys yra kraðtiniø nariø geometrinis vidurkis: bk + 1 bk = , arba bk = bk − 1 ⋅ bk + 1 ; bk − 1 bk

3) kai ªqª>1 ir q¥0, geometrinë progresija vadinama didëjanèia, kai ªqª<1 ir q¥0 maþëjanèia; kai q=1, geometrinæ progresijà sudaro vienodi skaièiai, pavyzdþiui, 5, 5, 5, ...; kai q= 1, geometrinæ progresijà sudaro skaièiai, kuriø modulis vienodas, o þenklas kaitaliojasi, pavyzdþiui, 5, 5, 5, 5, ...;

100

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

4) geometrinës progresijos nariø, vienodai nutolusiø nuo jos pradþios ir pabaigos, sandaugos yra lygios: b1·bn=b1·b1·qn 1= b12 ·qn 1, b2·bn 1=b1·q·b1·qn 2= b12 ·qn 1, b3·bn 2=b1·q2·b1·qn 3= b12 ·qn 1 ir t. t. Raskime geomçtrinës progrçsijos pirmýjø n nariý s÷mà. Paþymëkime jà Sn: Sn=b1+b2+b3+...+bn 1+bn. Abi lygybës puses padauginkime ið q (èia q¥1): Sn·q=b1q+b2q+b3q+...+bn 1q+bnq= =b2+b3+b4+...+bn+bnq. Ið antrosios lygybës panariui atimkime pirmàjà: Sn·q Sn=b2+b3+b4+...+bn+bnq (b1+b2+b3+...+bn 1+bn)=bnq b1, Sn(q 1)=bnq b1, Sn=

bn q − b1 , q¥1. q −1

Á ðià formulæ vietoj bn áraðykime b1qn 1. Gausime kità geometrinës progresijos pirmøjø n nariø sumos iðraiðkà: S n=

b1 qn − b1 , q −1

arba Sn=

b1 ( qn − 1) q −1

, q¥1.

P a s t a b a. Kai q=1, kiekvienas geometrinës progresijos narys lygus pirmajam nariui ir Sn=b1·n. 7 p a v y z d y s. a) Seka 2, 8, 32, 128, ... yra geometrinë progresija, nes 8 32 128 = = = 4 ; jos b1=2, q=4. 2 8 32 1 b) Seka 27, 9, 3, 1, , ... taip pat yra geometrinë progresija, nes 3 1 − −3 1 9 1 = = = 3 = − ; jos b1= 27, q= 1 . 9 1 3 − 27 −3 3

Progresijos

101

8 p a v y z d y s. Aðtuntasis geometrinës progresijos narys lygus 64, o deðimtasis 256. Apskaièiuokime septintàjá nará. Þinome, kad b8=64, b10=256, be to, b10=b8·q2. Todël q2=4, q=¤2. 256=64·q2, Kadangi b7=

b8 , tai q

b7= Ats.: 32 arba 32.

64 64 = 32 arba b7 = =32. 2 −2

9 p a v y z d y s. Paraðykime geometrinæ progresijà, kurios b1= 16, o 1 q= . 2 Raskime ðios progresijos n-tojo nario iðraiðkà: n −1

1 1 1 bn = − 16 ⋅   = − 24 ⋅ n − 1 = − 24 − n + 1 = − n − 5 . 2 2 2   Tada progresija bus tokia:

{b } = n

{ } −

1 1 1 = 16, 8, 4, 2, 1, , ..., − n − 5 . 2 2n − 5 2

10 p a v y z d y s. Kiek reikia sudëti geometrinës progresijos 2; 3; 4,5; ... nariø, kad jø suma bûtø lygi 8 Ðios progresijos b1= 2, q= nariø sumos formulæ,

5 ? 16

3  3 , bn= 2·  −  2  2

n −1

. Pagal pirmøjø n jos

n −1

3 3 − 2 ⋅  −  ⋅   + 2 2 2 5     , = 8 16 3 − −1 2 n 5 5 3 8 ⋅  −  = −2 ⋅  −  + 2 , : ( 2) 16  2   2 n

133 ⋅ 5  3  729  3  = − − 1, = − , 16 ⋅ 4  2  16 ⋅ 4  2  6

 3 = − 3  2   2  , n=6.     Ats.: reikia sudëti 6 narius. 11 p a v y z d y s. Apskaièiuokime pirmøjø devyniø geometrinës progresijos nariø sumà, kai b1= 6 , o q= 2 .

102

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Taikome geometrinës progresijos pirmøjø n nariø sumos formulæ: 6   S9 =

(

( 2)

− 1  6 4 2 −1 2 +1 = = 2 −1 2 −1 2 +1

= 6 4 2 −1

)(

)

(

(7 + 3 2 )

)(

(

)(

)

2 +1 = 6 8 − 2 + 4 2 −1 =

(

= 7+3 2 Ats.:

(

)

12 p a v y z d y s. Apskaièiuokime geometrinës progresijos b10, kai b7 b5=2592, o b4 b2=96. Sudarome lygèiø sistemà:

b1 q4 ( q2 − 1) = 2592,  arba 2 b1 q ( q − 1) = 96. Pirmàjà jos lygtá padalijame panariui ið antrosios: q3=27, q=3. Randame b1: b1·3(9 1)=96, b1=4. Tada b10=4·39=78 732. Ats.: 78 732. 6 4 b1 q − b1 q = 2592,  3 b1 q − b1 q = 96,

Nykstamoji geometrinë progresija Spræsdami ávairius aritmetinës ir geometrinës progresijos uþdavinius, tikriausiai atkreipëte dëmesá, kad iki ðiol daþniausiai buvo nagrinëjama baigtinë progresija, tad dabar aptarkime begalinæ geometrinæ progresijà. 13 p a v y z d y s. Prisiminkime, kaip vadiname skaièiø 3,(12). Aiðku, kad tai yra periodinë deðimtainë trupmena, kurià galima iðreikðti sveikojo skaièiaus ir deðimtainiø trupmenø suma: 3,(12)=3,12121212...=3+0,12+0,0012+0,000012+... . Matome, jog, pradedant antruoju dëmeniu, deðimtainës trupmenos sudaro maþëjanèià geometrinæ progresijà, kurios b1=0,12, o q=0,01. Apskaièiavæ jos nariø sumà, galëtume gauti kità periodinës deðimtainës trupmenos iðraiðkà, taèiau mokame rasti tik n geometrinës progresijos nariø, arba baigtinës progresijos, sumà. Kyla klausimas: ar galima suþinoti begalinës maþëjanèios geometrinës progresijos sumà? Á ðá klausimà atsakysime ðiek tiek vëliau, o kol kas pastebëkime, kad sumos dëmenys greitai maþëja ir, pavyzdþiui, tûkstantojo dëmens átaka sumai yra labai menka. 14 p a v y z d y s. Atkarpà AB taðku B1 padalykime pusiau, paskui atkarpà B1B taðku B2 taip pat pusiau ir t. t. Tarkime, kad atkarpos AB ilgis lygus 2 vienetams. Tada atkarpø AB1, B1B2, B2B3, B3B4 ir t. t. ilgis

Progresijos

103

bus atitinkamai lygus 1,

1 1 1 , , , ... . 2 4 8

Ðie skaièiai sudaro begalinæ geometrinæ progresijà, nes dalijimo procesà galime tæsti kiek norime ilgai. Tik èia, skirtingai nei pirmajame pavyzdyje, sekos nariø suma yra þinoma tai visos atkarpos AB ilgis, todël 1 1 1 1+ + + + ...=2. 2 4 8 Taèiau, norëdami suþinoti begalinës geometrinës progresijos nariø sumà, galime samprotauti ir kitaip: ið pradþiø apskaièiuoti pirmøjø n atkarpø ilgiø sumà, paskui tirti tos sumos kitimà, kai atkarpø skaièius neribotai didëja. Taigi apskaièiuokime begalinës geometrinës progresijos, kurios 1 b1=1, o q= , pirmøjø n nariø sumà Sn: 2  1 n  1 1 ⋅    − 1  −1 n 2 2 1 1 1 1 1 1   2 Sn=1+ + 2 + 3 + 4 + ... + n = = = 2 − n = 2 − n −1 . 2 2 1 1 2 2 2 2 2 −1 − 2 2 1 Kai dëmenø skaièius n neribotai didëja, kiekvienos trupmenos n − 1 2 reikðmë artëja prie nulio, pavyzdþiui: 1 1 = £0,001953125; 9 512 2 2 1 1 1 £0,000061035; kai n=15, n−1 = 14 = 16 384 2 2

kai n=10,

n−1

kai n=20,

1 1 1 = = £0,000001907; 2n−1 219 524 288

kai n=22,

1 1 1 = = £0,000000476. 2n−1 221 2 097 952

1 , taigi ir nagrinëjamos begalinës geometrinës 2n−1 progresijos pirmøjø n nariø suma, artëja prie skaièiaus 2. Skaièius 2 vadi1 1 1 1 , ... nariø suma: namas begalinës geometrinës progresijos 1, , , , 2 4 8 16 1 1 1 1 1+ + + + +...=2. 2 4 8 16 Pereikime prie bendrojo atvejo, t. y. nagrinëkime geometrinæ progresijà b1, b1q, b1q2, b1q3, ..., kurios ªqª<1.

Todël skirtumas 2 −

104

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Apibrëþimas. Geometrinë progresija b1, b2, ..., bn, ..., kurios vardiklio q modulis yra maþesnis uþ vienetà, vadinama nykstamäja.

1 1 , , 3 9 1 1 1 , ... (ªqª= <1); 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001, ... (ªqª=0,1<1); 6, 1, , 27 3 6 1 1 , ... (ªqª= <1). 36 6 Pirmøjø n jos nariø sumà pertvarkykime taip: Pavyzdþiui, nykstamosios yra tokios geometrinës progresijos: 1,

Sn =

b1 ( qn − 1) q −1

b1 qn − b1 b1 − b1 qn b b = = 1 − 1 ⋅ qn . 1− q 1− q 1− q q −1

Ðioje iðraiðkoje, kintant nariø skaièiui n, kinta tik daugiklis qn. Kai ªqª<1, minëto daugiklio n-tojo laipsnio reikðmë bus tuo maþesnë, kuo didesnis n (prisiminkite, kaip 14 pavyzdyje, didëjant n, maþëjo trupmenø 1 reikðmë, kai buvo q= ). Taigi nariø skaièiui neribotai didëjant (n → º), 2 daugiklio qn reikðmë artës prie nulio, o sumos Sn reikðmë kiek norima maþai skirsis nuo

b1 b1 reikðmës, t. y. suma Sn artës prie . 1−q 1−q

b1 lygus nykstamosios geometrinës progresijos b1, b1q, 1−q 2 b1q , ... sumai. Þymima:

Skaièius

S=b1+b1q +b1q2+...=

b1 , ªqª<1. 1−q

P a s t a b a. Kai ªqª¢1, pirmøjø n progresijos dëmenø suma Sn, neribotai didinant n, neartëja prie jokio skaièiaus. Todël begalinë geometrinë progresija turi sumà tik tada, kai ªqª<1, t. y. kai progresija yra nykstamoji. Gráþkime prie 13 pavyzdyje nagrinëto skaièiaus 3,(12) ir iðkelto klausimo. Atsakymas á já jau aiðkus: kadangi geometrinë progresija, sudaryta ið deðimtainiø trupmenø, yra maþëjanti, jos sumà rasti galime, todël

0,12 3,(12)=3+0,12+0,0012+0,000012+...=3+ 1 − 0,01 = = 3+

0,12 4 4 703 = 3+ =3 = 0,99 33 33 33 .

Dabar visiðkai pagrástai galime tvirtinti, kad periodinë deðimtainë trupmena yra racionalusis skaièius.

105

Progresijos

15 p a v y z d y s. Miðriàjà periodinæ deðimtainæ trupmenà 0,4(6) iðreikðkime paprastàja trupmena. 0,4(6)=0,4+0,06+0,006+0,0006+...=0,4+

0,06 = 1 − 0,1

7 4 0,06 4 6 36 + 6 42 + = + = = = 10 0,9 10 90 90 90 15 .

Santrauka Aritmetinë progresija

Geometrinë progresija

an=a1+d(n 1)

bn=b1qn 1, q¥0

n-tasis narys n nariø suma

Sn=

2a + d ( n − 1) a1 + an n= 1 n 2 2

Nykstamosios geometrinës progresijos suma

Sn=

bn q − b1 b1 ( q n − 1) = , q¥1 q −1 q −1

b1 1−q

Uþdaviniai 381. Duotos tokios skaièiø sekos: a) 2, 6, 10, 14, 18; b) 0, 1, 3, 6, 10; c) 0,2, 0,1, 0, 0,1, 0,2, 0,3; d) 1, 2, 4, 9, 16. Kurios ið jø yra aritmetinës progresijos? 382. Paraðykite pirmuosius ðeðis aritmetinës progresijos narius, kai: b) a1= 4, d=1,5; a) a1=5, d=3; c) a1=1, d= 0,8; d) a1=7, d=0. 383. Paraðykite aritmetinës progresijos n-tojo nario formulæ, kai: b) a1= 5, d= 2; a) a1=7, d=3; d) a1=3, a2=3. c) a1= 0,4, a2= 0,6; 384. Raskite pirmàjá, treèiàjá ir septintàjá ðiø progresijø nará: b) {cn}={ 5(n 1)}; a) {an}={4+3(n 1)}; d) {xn}={ 3+(n 1)·0}. c) {bn}={ 0,5+1,5(n 1}; 385. Ar skaièiai (a+b)2, a2+b2 ir (a b)2 sudaro aritmetinæ progresijà? 386. Paraðykite aritmetinæ progresijà, kurios: b) a7+a8= 4, c) a3+a5=12, a) a3+a4=2, a8+a9=22; a1+a12=0; a4+a6=18. 387. Aritmetinës progresijos S13 S12=28, an+1=4+an. Raskite a18. 388. Ar seka {xn} yra aritmetinë progresija, kai pirmøjø n jos nariø suma Sn apskaièiuojama pagal formulæ: a) Sn=3n n2; b) Sn=2n2 1; c) Sn=n2+2n 8; d) Sn=6n+5?

106

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

389. Apskaièiuokite: a) S12, kai d= 0,4, a4=2,4; b) an, kai a1= 35, d=5, Sn=250; 1 c) n, kai d= , an=50, Sn=2525; 2 1 1 d) d, kai a1= , an= 29 , Sn= 450; 2 2 e) d, kai a10=1, S16=4. 390. Uþpildykite lentelæ: a1

0,5

3,3

45 000 0,7

53,3

391. Trikampio perimetras lygus 24 cm, o kraðtiniø ilgiai sudaro aritmetinæ progresijà. Ar galima rasti kurios nors trikampio kraðtinës ilgá? Jei galima, tai kaip? 392. Aritmetinës progresijos pirmasis narys lygus 6, o skirtumas lygus 7. Apskaièiuokite jos nariø nuo 8-ojo iki 22-ojo imtinai sumà. 393. Kiek nariø turi aritmetinë progresija, kurios: a) Sn=11n+n2, an=50; b) Sn=5n+n2, an 1=20? 394. Daugiakampio perimetras lygus 158, o kraðtiniø ilgiai sudaro aritmetinæ progresijà, kurios skirtumas 3. Kiek kraðtiniø turi ðis daugiakampis, jei ilgiausioji lygi 44? 395. Ið dviejø vietoviø, tarp kuriø yra 268 km, vienas prieðais kità iðvaþiavo du dviratininkai. Vienas jø per pirmàjà valandà nuvaþiavo 30 km, o toliau kas valandà greitá didino 2 km/h; kitas dviratininkas per pirmàjà valandà nuvaþiavo 40 km, o toliau kas valandà greitá maþino 4 km/h. Po kiek laiko jie susitiko? 396. Aritmetinës progresijos dvylikos nariø suma lygi 354. Paraðykite ðios progresijos bet kurio nario formulæ, atsiþvelgdami á tai, kad nariø su lyginiais numeriais suma sutinka su nariø, turinèiø nelyginius numerius, suma kaip 32 : 27. 397. Apskaièiuokite sumà natûraliøjø skaièiø: a) ne didesniø uþ 150; b) esanèiø tarp 20 ir 120, áskaitant 20 ir 120; c) skaièiaus 7 kartotiniø ir ne didesniø uþ 130; d) maþesniø uþ 200, kuriuos dalijant ið 3 gaunama liekana 2.

Progresijos

107

398. Kokias reikia pasirinkti x reikðmes, kad tiesës y=3x 2 taðkø ordinatës sudarytø aritmetinæ progresijà? Ar seka {zn}={3xn 2}, kurios 2n − 1 , yra aritmetinë progresija? Jei taip, paraðykite pirmuosius xn = 5 tris jos narius. 399. Vandens atrakcionà sudaro nuoþulni èiuoþykla, átvirtinta ant 7 atramø taip, kad trumpiausios atramos ilgis lygus 0,8 m, o ilgiausios 4,1 m (gretimos atramos vienodai nutolusios viena nuo kitos). Kokio ilgio yra kiekviena atrama ir kiek metrø medþiagos reikia jai padaryti, kai átvirtinimui sunaudojama 7 % visø atramø ilgiø sumos? 400. Vienodo dydþio rutuliukai sudëti taip, kaip parodyta brëþinyje. Á kiek eiliø (pilnø) sutalpinta 120 rutuliukø? Kiek reikia turëti rutuliukø, kad susidarytø 35 eilës? 401. Skaièiø sekos {an}, {bn}, {cn} ir {dn} apibûdinamos taip: b1=9, bn+1=bn 5; a1=8, an+1= an; d1= 8, dn+1= 2dn. c1=10, cn+1=3cn+4; Nustatykite, kuri ðiø sekø yra: a) aritmetinë progresija ir koks yra jos skirtumas; b) geometrinë progresija ir koks yra jos vardiklis. 402. Paraðykite pirmuosius penkis ðiø geometriniø progresijø narius: b) b1=10 4, q=10; a) b1= 4, q= 2; d) b1= 3, q= 1. c) b1=7, q=1; 403. Paraðykite geometrinës progresijos n-tojo nario formulæ, kai: a) b1=7, q=3; b) b1= 7, q= 1; c) b1= 2 , q= 2 ;

d) b1=a10, q=a.

404. Ásitikinkite, kad geometrinës progresijos {xn} x1·x15=x10·x6. 405. Apskaièiuokite raidëmis paþymëtus ðiø baigtiniø geometriniø progresijø narius: 5 , c, c; b) b1, 0,72, b3, b4, 720, b6; a) c1, 10, c3, 2 5 6 1 1 c) , a2, a3, , a5, a6; d) 3 , a2, 3 3 , a4, a5. 81 3

108

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

406. Paraðykite pirmuosius tris geometrinës progresijos narius, kai: b1 + b2 = 9,  c)  3 b1 − q = 2 4 . 407. Geometrinës progresijos S5 S4=16, b2=2. Apskaièiuokite jos vardiklá q. 408. Apskaièiuokite: 1 a) S3, kai bn+1= bn; b) S4, kai b3=9, S6 S5=243; 2 d) b1, kai q=2, S8=765; c) n, kai q=2, bn=96, Sn=189; 1 n e) q, kai Sn= (2 − 1) . 4 409. Uþpildykite lentelæ:

b8 − b6 = 72, a)  b9 − b7 = 216;

b − b = 28, b)  7 10 b9 − b12 = 7;

625

1 5

4 1 2

4 2

1024 63,5

410. Raskite tris skaièius, sudaranèius didëjanèià geometrinæ progresijà, kai jø suma lygi 26, o jø kvadratø suma lygi 364. 411. Trijø skaièiø, sudaranèiø didëjanèià geometrinæ progresijà, suma lygi 91. Prie tø skaièiø pridëjæ atitinkamai 25, 27 ir 1, gautume tris skaièius, sudaranèius aritmetinæ progresijà. Raskite tuos skaièius. 412. Trys skaièiai, sudarantys geometrinæ progresijà, kartu yra pirmasis, ketvirtasis ir dvideðimt penktasis aritmetinës progresijos narys. Raskite tuos skaièius, kai jø suma lygi 114. 413. Geometrinæ progresijà sudaro septyni nariai. Pirmøjø trijø jos nariø suma lygi 0,875, o paskutiniø trijø 14. Raskite visus progresijos narius. 414. Keturi skaièiai sudaro aritmetinæ progresijà. Ið jø atëmæ atitinkamai 2, 6, 7 ir 2, gautume skaièius, kurie sudarytø geometrinæ progresijà. Raskite tuos skaièius. 415. Suprastinkite: a) 1+x+x2+x3+x4, kai x¥0, x¥1; b) 1 x+x2 x3+x4 x5+x6, kai x¥0, x¥ 1. 416. Iðspræskite lygtis: a) 1+3+5+...+x=289; b) 11+6+1+...+y= 52; 13 c) 9+3+1+...+t= 13 . 27

109

Progresijos

417. Apskaièiuokite ðias sumas: 2

) )

1 1 1 a)  x +  +  x2 + 2  + ... +  x n + n  ; x  x  x    b) 1+11+111+...+111...1; n skaitmenø

c) 5+55+555+...+555...5.

n skaitmenø

418. Raskite penktàjá didëjanèios geometrinës progresijos nará, þinodami, kad pirmasis jos narys lygus 7 3 5 , o kiekvienas tolesnis narys, pradedant antruoju, lygus gretimø nariø skirtumui. 419. Patikrinkite, ar ðiø geometriniø progresijø vardiklis ªqª<1, ir apskaièiuokite jø sumà: 1 1 1 2 4 8 a) 2, , , ...; b) , , , ...; c) 5 , 1, , ...; 2 8 3 9 27 5 2 3 3 3 3 , − 1, , − , e) , ... . d) 3 3 , 3, 3 , ...; 2 4 8 3 420. Iðreikðkite paprastàja trupmena ðias deðimtaines trupmenas: a) 0,(3); b) 0,(6); c) 0,2(3); d) 2,1(6); e) 0,(5); f) 1,21(4); g) 7,1(12); h) 0,32(21). 421. Á apskritimà, kurio spindulys 6 cm, ábrëþtas taisyklingasis trikampis, á tà trikampá apskritimas, á apskritimà vël trikampis ir t. t. Apskaièiuokite: a) visø trikampiø perimetrø sumà; b) visø trikampiø plotø sumà; c) visø apskritimø ilgiø sumà; d) visø skrituliø plotø sumà; e) trikampiø perimetrø sumos ir apskritimø ilgiø sumos santyká; f) trikampiø plotø sumos ir skrituliø plotø sumos santyká. 422. Á kvadratà ábrëþtas skritulys, á tà skritulá kvadratas, á antrà kvadratà vël skritulys ir t. t. Apskaièiuokite visø skrituliø plotø sumos bei visø kvadratø plotø sumos santyká. 423. Antrasis nykstamosios geometrinës progresijos narys lygus 18, o jos suma lygi 81. Apskaièiuokite S S20 su dviem tiksliaisiais reikðminiais skaitmenimis. 424. Iðspræskite lygtis: a)

1 2 1 1 x = 1 + + + ... ; 2 2 4

1 c) 2x+1+x2 x3+x4 x5+...= 2 ; 6

1 2 1 1 x = 1 + + + ... ; 6 3 9 1 d) +x+x2+x3+...=3,5, ªxª<1. x b)

110

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

425. Geometrinës progresijos pirmøjø n nariø sumai Sn suteikdami paprastà iðraiðkà, apskaièiuokite sumas S: a)

1 1 1 1 + + + ... + + ... = S ; 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n (n + 1)

1 1 1 1 + + + ... + =S. 1⋅3 3⋅5 5⋅7 (2n − 1)(2n + 1)

Pakartokite 426. 1) Apskaièiuokite raidëmis paþymëtus baigtinës aritmetinës progresijos 15,2, a2, 14,3, a4, a5 narius. 2) Aritmetinës progresijos pirmasis narys lygus 5,3, o skirtumas lygus 0,7. Nurodykite jos nario xn=17,2 numerá. 3) Seka {cn} aritmetinë progresija. Árodykite, kad c3+c27=c1+c29. 4) Kiek neigiamø nariø turi aritmetinë progresija, kurios pirmasis narys lygus 20, o skirtumas lygus 1,3? 5) Þinomi du aritmetinës progresijos nariai: y5=8,2 ir y10=4,7. Kiek teigiamø nariø turi ði progresija? 6) Ar skaièius 132 yra aritmetinës progresijos 7, 12, 17, ... narys? Kiek nariø yra tarp skaièiø 20 ir 100? 7) Iðspræskite lygèiø sistemà

( k − 1) x + 2ky = −2,  2kx + ( k − 1) y = k − 1;

èia k parametras. 8) Laisvai krintantis kûnas per pirmàjà sekundæ nukrinta 4,9 m, o per kiekvienà tolesnæ sekundæ 9,8 m daugiau. Ið tam tikro aukðèio buvo paleistas vienas kûnas, o po 5 s ið to paties aukðèio kitas kûnas. Ar, praëjus 7 s, atstumas tarp kûnø bus 220,5 m? Atsakymà pagráskite. 9) Kopdamas á kalnà, turistas per pirmàjà valandà pakilo 800 m, o per kiekvienà tolesnæ valandà 20 m maþiau nei per ankstesnæ. Ar ákops turistas per 6 valandas kalnu 5700 m? 10) Ar moksleivis spës per 12 dienø perskaityti 336 puslapiø knygà, jeigu yra þinoma, kad pirmàjà dienà jis perskaitë 50 puslapiø, o kiekvienà kità dienà ketina perskaityti 4 puslapiais maþiau negu praëjusià dienà? 11) Apskaièiuokite: a)

9 9 1 4 :1 + − 10 10 5 5 ; 1 50 − 2

1 1 9 1 4 : ⋅3 − : 5 3 50 10 . b) 1 3 8 −4 5 5

Progresijos

111

12) Suprastinkite:  a b   ( a + b ) a)  − − 1 ;  2   4b 4 a   ( a − b )   13) Iðspræskite lygèiø sistemas: 2

x−y x+ y 2y  − −1. y − x  x 2 + y 2  y

 x 3 + y3 = 9,  x − y = 2,  x + y = 5, b)  c)  2 a)  2 2  x − xy + y = 3.  x − xy − x − y = 2;  xy + y + x − 2 y = 15; 427. 1) Apskaièiuokite pirmøjø penkiø geometrinës progresijos nariø sumà, kai b1+b3=20 ir b2+b4= 40. 2) Metams baigiantis, miestelyje gyveno 5200 þmoniø. Per metus miestelio gyventojø skaièius padidëjo 4 %. Kiek gyventojø miestelis turëjo metø pradþioje? Laikydami, jog kasmet miestelio gyventojø skaièius padidëja 4 %, apskaièiuokite, kiek þmoniø miestelyje gyvens: a) po 5 metø; b) po 10 metø; c) po n metø. 3) Apskaièiuokite penktàjá geometrinës progresijos nará, kai S4=195, o 8b1 27b4=0. 4) Geometrinës progresijos pirmøjø n nariø suma apskaièiuojama pagal formulæ Sn=3,5·(4n 1). Raskite b4 ir bk+3. 5) Reiðkiná a a2+a3 a4+a5 a6+a7 (èia a¥0, a¥ 1) pakeiskite trupmena. 6) Apskaièiuokite septintàjá geometrinës progresijos nará, kai antrasis jos narys lygus 486, o ketvirtasis 216. 7) Jei seka {cn} yra geometrinë progresija, tai c8·c12=c6·c14. Patikrinkite. 8) Árodykite, kad seka {an}, kurios an=43n+1, yra geometrinë progresija. 9) Apskaièiuokite raidëmis paþymëtus baigtinës geometrinës progresijos c1, c2, 1, c4, 4, c6 narius. Progresijos vardiklis yra neigiamas. 10) Nykstamosios geometrinës progresijos pirmasis narys lygus 66, o jos suma lygi 110. Paraðykite ðià progresijà. 11) Geometrinës progresijos, kurios ªqª<1, suma lygi 9, o jos nariø kvadratø suma lygi 40,5. Paraðykite progresijà. 12) Apskaièiuokite sumà

3 +1 1 1 + + + ... = S, 3 −1 3 − 3 6 ásitikinæ, kad pirmieji trys jos dëmenys sudaro geometrinæ progresijà, ir laikydami, kad tolesni dëmenys sudaromi pagal geometrinës progresijos dësná.

Progresijos 112

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

13) Apskaièiuokite sumà nykstamosios geometrinës progresijos, turin16 , èios tokià savybæ: jeigu ið pirmojo progresijos nario atimsime 27 tai pirmieji trys jos nariai sudarys aritmetinæ progresijà; jeigu pas16 , tai ðie trys skaièiai vël sudarys kui ið treèiojo nario atimsime 189 geometrinæ progresijà. 14) Kvadratas padalijamas pusiau, jo pusë vël pusiau, gautosios pusës pusë dar kartà pusiau ir t. t. Apskaièiuokite n-tosios figûros plotà. Kaip iðreikðti visø gautø figûrø plotø sumà, kai kvadrato plotas lygus 1? 428. 1) Funkcija f(x) iðreikðta tokiu grafiku:

a) Raskite ðios funkcijos apibrëþimo ir reikðmiø sritá; didëjimo bei maþëjimo intervalus; nulius; didþiausià reikðmæ intervale [ 11; 8], maþiausià reikðmæ intervale [ 2; 1]; nelygybiø f(x)>0 bei f(x)¢ 2 sprendinius; f( 3) ir f(2); lygèiø f(x)=4 bei f(x)=9 sprendinius; nelygybës f(x)¢f( 14) sprendinius. b) Nurodykite bent tris intervalus, kuriuose funkcija f(x) yra apgræþiama. c) Nubraiþykite funkcijos f(x) intervale [ 3; 2] atvirkðtinës funkcijos grafikà. 2) Nustatykite ðiø funkcijø apibrëþimo sritá: a) y =

arcsin ( x − 1)

;

2 b) y = 9 − x . tg x

x −4 3) Nustatykite ðiø funkcijø reikðmiø sritá: a) y=2 cos 3x; b) y=x2 4. 2

113

4) Kurios ið ðiø funkcijø yra lyginës: a) y=2 cos 3x; b) y=ªx 2ª; c) y=arcsin ªxª; d) y = x − 2 ? 5) Apskaièiuokite pirmà neigiamà aritmetinës progresijos nará, kai pirmasis jos narys lygus 32, o skirtumas d= 2,7. 6) Paraðykite pirmuosius tris aritmetinës progresijos {cn} narius ir c + c = 76, (k+4)-àjá jos nará, kai  3 9 c5 + c8 = 82. 7) Sekos {an} nariai didëjimo tvarka einantys natûralieji skaièiai, kuriuos padalijus ið 4 gaunama liekana 3. Iðreikðkite ðià sekà jos n-tojo nario formule. 8) Aritmetinës progresijos pirmøjø n nariø suma apskaièiuojama pagal formulæ Sn=1,2n2 14n. Raskite aðtuntàjá sekos nará.  x − 1) 5 − x ≥ 0, 9) Iðspræskite nelygybiø sistemà (  x 2 − 6 x + 5 ≤ 0. 429. 1) Funkcija f(x) iðreikðta tokiu grafiku:

a) Raskite ðios funkcijos apibrëþimo ir reikðmiø sritá; didëjimo bei maþëjimo intervalus; nulius; didþiausià reikðmæ intervale [4; 9], maþiausià reikðmæ intervale [ 5; 3]; nelygybiø f(x)¡0 bei f(x)¡ 2 sprendinius; f(7) ir f( 2); lygèiø f(x)=3 bei f(x)=8 sprendinius; nelygybës f(x)¡f( 6) sprendinius. b) Nurodykite bent tris intervalus, kuriuose funkcija f(x) yra apgræþiama. c) Nubraiþykite funkcijos f(x) intervale [ 2; 2] atvirkðtinës funkcijos grafikà. 2) Nustatykite ðiø funkcijø apibrëþimo sritá: arccos ( x + 4 ) arctg x 1 ; b) y = . a) y = − lg x + 1 x log 2 ( x + 2 )

114

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

3) Nustatykite ðiø funkcijø reikðmiø sritá: a) y = 1 − x 2 ;

b) y=2 arctg x.

4) Kurios ið ðiø funkcijø yra nelyginës: x a) y = ; b) y=ªarctg xª; c) y=3 sin x; x

d) y=sin3 3x?

5) Per pirmàjà valandà dviratininkas nuvaþiuoja 15 km, o per kiekvienà kità valandà 1 km maþiau negu per praëjusià. Per kiek valandø jis nuvaþiuos 54 km? 3 6) Aritmetinës progresijos S17 S16= 4, an+1=an − . Apskaièiuokite 2 pirmøjø vienuolikos nariø sumà. 7) Sekos {bn} n-tasis narys iðreiðkiamas formule bn=12n 10. Ar ði seka yra aritmetinë progresija? Atsakymà pagráskite. 8) Ar teisinga lygybë u5+u17=u10+u12, kai {un} yra aritmetinë progresija? (1 − x 2 ) 3 − x ≥ 0, 9) Iðspræskite nelygybiø sistemà   x 2 + x − 2 ≥ 0. 430. 1) Brëþinyje pavaizduoti funkcijø y=3 x, y=3x+2, y= 3 x, y= log3 x, y=log3 x 2, y= log3 ( x) grafikai:

a) Kuris grafikas yra kurios funkcijos? b) Nurodykite kiekvienos ðiø funkcijø apibrëþimo ir reikðmiø sritá. c) Raskite visas viena kitai atvirkðtiniø funkcijø poras.

115

Progresijos

2) Nustatykite ðiø funkcijø apibrëþimo sritá:

arctg x . arcsin x 2 3) Nustatykite ðiø funkcijø reikðmiø sritá: 1 a) y= sin 2x; b) y=x2 9. 3 4) Kurios ið ðiø funkcijø yra lyginës: a) y=2 sin x; b) y=arctg 2x; a) y = 4 lg x ;

c) y=x3+ 3 x ;

b) y =

log x d) y = 2 8 ?

5) Raskite funkcijos f(2x) atvirkðtinæ funkcijà, kai f(x)=2x. 6) Apskaièiuokite geometrinës progresijos pirmøjø penkiø nariø sumà, kai b3 b2=30, o b1 b3=90. 3 7) Geometrinës progresijos y5=81, q= . Kelintas tos progresijos na4 rys lygus 144? 8) Paraðykite skaièiø sekos 32, 16, 8, 4, ... n-tojo nario ir pirmøjø n nariø sumos iðraiðkà. 9) Geometrinës progresijos pirmøjø n nariø suma apskaièiuojama pagal formulæ Sn=2·(5n 1). Raskite b4 : b5. 10) Iðspræskite nelygybæ

x2 −

431. 1) Nubraiþyti ðeði grafikai:

(

15 − x x −6

)

− 30

≤

3x + 1 . 2

116

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Kurie ið jø vaizduoja: a) didëjanèiàjà, kurie maþëjanèiàjà funkcijà; b) periodinæ funkcijà; c) ne funkcijà; d) neneigiamàjà, kurie neteigiamàjà funkcijà; e) lyginæ funkcijà; f) nelyginæ funkcijà; g) apgræþiamàjà funkcijà? 2) Nustatykite ðiø funkcijø apibrëþimo sritá: 9 − x2 a) y=arcsin ªx 2ª; b) y = . x2 − 4 3) Nustatykite ðiø funkcijø reikðmiø sritá: x −2

8 . x 2−x 4) Kurios ið ðiø funkcijø yra maþëjanèiosios visoje apibrëþimo srityje: a) y = 16 ; b) y= arcsin x; x d) y=ªlog2 xª? c) y=x2+4; 1 5) Raskite funkcijos f(x+2) atvirkðtinæ funkcijà, kai f(x)= . x 6) 25 cm ilgio þvakë degdama kas valandà sutrumpëja 2 cm. Koks bus þvakës ilgis l po t valandø? Nubraiþykite þvakës ilgio kitimo grafikà ir ið jo nustatykite, per kiek laiko þvakë sudegs. a) y =

;

b) y =

x −1 x − 2 x − 3 1 + + + ... + = 3 . x x x x 8) Kokio dydþio indëlis, esant 5 % palûkanø normai, po 4 sudëtiniø palûkanø skaièiavimo metø padidës iki 24 310 Lt? 7) Iðspræskite lygtá

 x 2 − 4 y2 = xy − 8, 9) Iðspræskite lygèiø sistemà   x + 2 y = 8. 3x2 + 4 7x + 2 = 8 sprendiná. 10) Raskite maþiausià lygties x 3x + 4 432. 1) Nubraiþyti ðeði grafikai:

Progresijos

117

b) y =

cos x − 1 . x−π

3) Nustatykite ðiø funkcijø reikðmiø sritá: a) y = cos x − 1 ;

b) y=2x+1.

4) Kurios ið ðiø funkcijø yra neneigiamosios: a) y=arcsin x; b) y = x − 3 ; c) y=arccos x; d) y=2x 3? 5) Raskite funkcijos f( x) atvirkðtinæ funkcijà, kai f(x)=sin x. 6) Vidurnaktá lauko termometras rodë 3 °C, paskui oro temperatûra kas valandà kilo po 2 °C. Raskite oro temperatûrà T, praëjus t valandø po vidurnakèio, nubraiþykite temperatûros kitimo grafikà ir ið jo raskite t reikðmes, su kuriomis T=9 °C ir T=15 °C. 7) Apskaièiuokite sumà 3+33+333+...+333...3.

)

n skaitmenø

8) Aritmetinës progresijos pirmøjø n nariø suma apskaièiuojama pagal formulæ Sn=2n2 27n. Raskite maþiausià n, su kuriuo an>0. 3 x + y − 6 = 0, 9) Iðspræskite lygèiø sistemà  2 2 9 x − y = xy − 3. 10 6 − 2 = 1 sprendiná. 10) Raskite didþiausià lygties 2 x − 6 x + 10 x − 6 x + 11

118

433.

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

1) Brëþinyje pavaizduoti funkcijø y= x3, y = 3 x − 1 , y = 3 x − 2 , y = 3 x − 1 grafikai:

y=x3+1,

y=(x+2)3,

a) Kuris grafikas yra kurios funkcijos? b) Kurios ið ðiø funkcijø yra didëjanèiosios; maþëjanèiosios; lyginës; nelyginës; c) Raskite brëþinyje visas viena kitai atvirkðtiniø funkcijø poras. 2) Nykstamosios geometrinës progresijos pirmøjø trijø nariø suma 1 lygi 2 , o progresijos suma lygi 2. Apskaièiuokite pirmàjá tos pro4 gresijos nará. 3) Maþëjanèios geometrinës progresijos pirmøjø trijø nariø sandauga 14 . Apskaièiuokite ðios lygi 64, o jø aritmetinis vidurkis lygus 3 progresijos pirmøjø penkiø nariø sumà. 4) Iðspræskite lygtá x2 x4+x6 x8+...=6, kai ªxª<1. 5) Sekos {bn} n-tojo nario formulë tokia: bn=12n 10. Ar ði seka yra aritmetinë, ar geometrinë progresija? Atsakymà pagráskite.

119

434. 1) Brëþinyje pavaizduoti funkcijø y= y= cos

1 1 sin x , y=sin 2x, 2 2

x , y= sin x, y= cos 2x, y=2 cos x grafikai: 2

120

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

2) 3) 4)

5) 6)

a) Kuris grafikas yra kurios funkcijos? b) Nurodykite kiekvienos ðiø funkcijø periodà, nulius, monotoniðkumo intervalus, lyginumà. c) Pasirinkite intervalus, kuriuose ðios funkcijos yra apgræþiamosios, ir paraðykite jø atvirkðtiniø funkcijø iðraiðkà. Nustatykite atvirkðtiniø funkcijø apibrëþimo bei reikðmiø sritá, nubraiþykite jø grafikus. Didëjanèiosios aritmetinës progresijos nariai a1, a5 ir a11 sudaro geometrinæ progresijà. Apskaièiuokite a20, kai a1=24. Nykstamosios geometrinës progresijos pirmøjø trijø nariø suma ly3 gi 1 , o progresijos suma lygi 2. Paraðykite tà progresijà. 4 Lygiaðonio trikampio pagrindas lygus 8, o á já nubrëþta aukðtinë lygi 3. Apskaièiuokite trikampio pagrindo vidurio taðko atstumà iki ðoninës kraðtinës. 2 − 3x Iðspræskite nelygybæ − 2 ≤ ≤ 3. x+3 x+4 1 − 5x −4 ≥ 3 sprendiná. Raskite didþiausià sveikàjá nelygybës x+4 1 − 5x

Atsakymai 387. 48. 388. a) Taip; d) ne. 391. Taip. 395.

Po 4 h. 396.

an=2+5(n 1).

397.

392.

1560.

393.

a) 20.

394.

c) 1197; d) 6565. 405. a) 20; 5;

5 5 ; ; 4 8

1 1 1 , , . 408. c) 6; e) 2. 410. 2, 6, 18. 411. 7, 21, 63. 27 9 3 76 209 1 1 1 , . 413. , , , 1, 2, 4, 8. 416. b) 24; c) 3 3. 417. a) 2n+ 412. 19, 3 3 8 4 2 ( x2n − 1)( x2n + 2 + 1)  1  10n − 10 1 − n  . 418. 2. 425. a) Sn=1 + ; b) ; b) Sn= 2 2n ( x − 1) x 9  9 n +1 

d) 3; 9; 9 3 . 406. a)

1 1  1− . 2  2n + 1 

4.5. SKAIÈIØ SEKØ REIÐKIMO BÛDAI IR SAVYBËS Susipaþinome su paprasèiausiomis skaièiø sekomis aritmetine bei geometrine progresija. Nurodydami kurià nors progresijà, paprastai n-tàjá jos nará iðreikðdavome kintamuoju n, t. y. pateikdavome formulæ, rodanèià, kaip apskaièiuoti bet kurá progresijos nará an. To visiðkai pakanka progresijai (sekai) apibrëþti. Vadinasi, sekà galima apibrëþti jos n-tojo nario formule. Kai n-tojo nario formulë yra labai sudëtinga arba jos neámanoma uþraðyti, seka apibûdinama þodþiais. Sekà taip pat galimareikðti grafiku (þr. p. 95, 100) arba paprasèiausiai iðvardyti visus jos narius. Taikomojoje matematikoje ypatingas vaidmuo tenka skaièiø sekoms, kuriø pagrindu sudaromos kompiuterinës programos: kiekvienas naujai ap-

Skaièiø sekø reiðkimo bûdai ir savybës

121

skaièiuotas narys vël áraðomas á tam tikrà formulæ ir skaièiavimas kartojamas, kol pasiekiamas norimas rezultato tikslumas. 1 p a v y z d y s. Seniausias þinomas tokio skaièiavimo pavyzdys yra graikø matematiko Herono Aleksandrieèio (Heron Alexandrinos, apie 100 m. pr. Kr.) apraðytas kvadrato ástriþainës racionaliøjø artiniø skaièiavimas, kai kvadrato kraðtinë lygi 1. Pirmuoju artiniu Heronas pasirinko 2 a1=2, kuris yra didesnis uþ 2 . Tada yra maþesnis uþ 2 . Antràjá a1 2 aritmetiná vidurká: artiná jis pasirinko kaip a1 ir a1 1 2 a2=  a1 +  a1  2 ir ðià iðraiðkà pakeitë bendresne formule: 1 2  a1=2, an+1=  an + , n ± N. 2 an  Pateikiame penkis ðios sekos narius: a1 =2,000000000; 3 =1,500000000; a 2= 2 17 =1,416666667; a 3= 12 577 a 4= =1,414215686; 408 665 857 =1,414213562. a 5= 470 832

Reikðmæ 2 =a5 rodo ir skaièiuotuvas. Kiekvienas tolesnis sekos narys randamas áraðant apskaièiuotà reikðmæ á tà paèià formulæ, t. y. gráþtant atgal. Tokio tipo sekos matematikoje pasitaiko gana daþnai ir apibrëþiamos vadinamàja rekurenèiàja* formule, siejanèia sekos n-tàjá nará su prieð já einanèiu nariu, be to, dar nurodomas vienas ar keletas pirmøjø sekos nariø. Rekurenèiuoju bûdu galima apibûdinti bet kurià sekà, tarp jø ir mûsø jau iðnagrinëtà aritmetinæ bei geometrinæ progresijà (þr. 401, 408 uþdaviná, taip pat 428 uþdavinio 7 uþduotá). 2 p a v y z d y s. Fibonaèio seka apibrëþiama taip: a1=1, a2=1, an+2=an+1+an. Remdamiesi rekurenèiàja formule, uþraðykime dar penkis ðios sekos narius: a3=a2+a1=1+1=2, a4=a3+a2=2+1=3, a5=a4+a3=3+2=5, a6=a5+a4=5+3=8, a7=a6+a5=8+5=13. Taigi Fibonaèio seka yra 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... . * Lot. recurrens (kilm. recurrentis) gráþtantis.

122

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

3 p a v y z d y s. Rekurenèiuoju bûdu uþraðytai sekai galima suteikti kità pavidalà. Paraðykime kelis sekos a1=1, an+1=an+2n narius: a2=a1+2=1+2=3, arba a2=22 1, a3=a2+22=3+4=7, arba a3=23 1, a4=a3+23=7+8=15, arba a4=24 1, a5=a4+24=15+16=31, arba a5=25 1. Vadinasi, ios sekos an=2n 1, n=1, 2, 3, ... . Pavaizduokime jos narius grafi kai. n-tojo nario formulëje kintamàjá n (sekos nario numerá) pakeitæ kintamuoju x (èia x ± R), turime rodiklinæ funkcijà f(x)=2x 1, kuri apibrëþta su visais x ± R, todël galime laikyti, kad bet kurios funkcijos, apibrëþtos natûraliøjø skaièiø aibëje, reikðmiø aibë sudaryta ið tam tikrø realiøjø skaièiø, t. y. f(n)=an (n ± N), kuriuos vadiname sekos nariais. πx 4 p a v y z d y s. Funkcijos f(x)=cos reikðmës, atitinkanèios x=n 6 nπ (n ± N), yra sekos an=2 cos nariai: 3 , 1, 0, 1, 3 , 2, ... . Gra6 fiðkai juos vaizduoja kai kurie kosinusoidës taðkai.

Kaip matyti ið pateiktø pavyzdþiø, sekas galima apibûdinti kaip ir funkcijas. Funkcijas, kuriø didesnæ argumento reikðmæ atitinka didesnë funkcijos reikðmë, vadinome didëjanèiosiomis, o kuriø didesnæ argumento reikðmæ atitinka maþesnë funkcijos reikðmë maþëjanèiosiomis. Analogiðkai apibrëþiame ir didëjanèiàsias bei maþëjanèiàsias skaièiø sekas. Apibrëþimas. Seka {an} vadinama maþëjanèiäja, kai jos an+1<an, ir didëjanèiäja, kai jos an+1>an su visomis n ± N reikðmëmis.

123

Skaièiø sekø reiðkimo bûdai ir savybës

5 p a v y z d y s. Nustatykime, ar ðios sekos yra didëjanèiosios, ar maþëjanèiosios: 3n ; b) {lg n}. a) 2n − 1

{ }

Sprendimas. a) Á nagrinëjamos sekos n-tojo nario an iðraiðkà vietoj n áraðydami n+1, gausime (n+1)-ojo nario an+1 iðraiðkà: an+1=

3 (n + 1)

2 (n + 1) − 1

3n + 3 . 2n + 1

Apskaièiuokime gretimø nariø skirtumà: an an+1= =

3n 3n + 3 3n (2n + 1) − (3n + 3 )(2n − 1) − = = 2n − 1 2n + 1 (2n − 1)(2n + 1)

6n2 + 3n − 6n2 − 3n + 3 3 = > 0 , n ± N. n n n 2 1 2 1 2 1 − + − ( )( ) ( )(2n + 1)

Vadinasi, an>an+1, todël ði seka yra maþëjanèioji. b) Sekos (n+1)-ojo ir n-tojo nario skirtumà pertvarkykime taikydami logaritmo savybes: an+1 an=lg (n+1) lg n= lg nes 1+

n +1 1 = lg  1 +  > 0, n n  

1 >1. Ið èia iðplaukia, kad an+1>an, taigi seka yra didëjanèioji. n

Apibrëþimas. Jeigu yra toks skaièius r, su kuriuo teisinga nelygybë an¢r, kai n ± N, tai seka {an} vadinama aprëþtâ ið apaèiôs. Jeigu yra toks skaièius s, su kuriuo teisinga nelygybë an¡s, kai n ± N, tai seka {an} vadinama aprëþtâ ið virðaùs. Jeigu r¡an¡s, tai seka {an} vadinama aprëþtäja. Kitaip tariant, aprëþtàja laikoma skaièiø seka, kuri yra aprëþta ir ið apaèios, ir ið virðaus. Kai ði sàlyga netenkinama, seka yra neaprëþtoji.

124

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

6 p a v y z d y s. Iðsiaiðkinkime, ar seka {an}, kurios an=

10n − 7 , yra n2

aprëþtoji. Kai n¢1, tai an>0, vadinasi, r=0, todël seka {an} aprëþta ið apaèios. Norëdami suþinoti, ar ði seka aprëþta ið virðaus, turime iðsiaiðkinti, su kuriomis s reikðmëmis yra teisinga nelygybë

10n − 7 ≤ s , n ± N. n2

Ji ekvivalenti nelygybei 10n 7 sn2¡0, arba sn2 10n+7¢0. 100 25 Kai D=100 28s¢0, s¡ = <4. 28 7 Vadinasi, kai n ± N, 0<an<4.

Uþdaviniai 435. Paraðykite ir pavaizduokite grafiðkai pirmuosius aðtuonis sekos {bn} narius: n n 1 πn b) bn= sin ; c) bn= ( −1) ⋅ ; a) bn = 1 + ; 4 2 n n n 1 πn  e) bn=  1 +  ; f) bn= 2 ⋅ ( −1) ⋅ sin . d) bn=0,1(10 n2); n 6  436. Kurie sekos {cn} nariai tenkina nelygybæ 10<cn<20, kai: a) cn=2n 1; b) cn=n2; c) cn=2+ n ? 437. Pagal keletà pirmøjø sekos nariø paraðykite tos sekos n-tojo nario iðraiðkà: 1 1 1 1 2 3 4 , , , ...; b) , , , , ...; a) 1, 2 3 4 2 3 4 5 1 4 9 16 c) , , , , ...; d) 1, 1, 3, 5, ...; 2 3 4 5 1 2 3 , , , ...; f) 1, 1, 1, 1, 1, ...; e) 0, 3 4 5 1 g) 4, 2, 1, , ...; h) 1, 3, 7, 15, ... . 2

125

Skaièiø sekos riba ir savybës

438. Paraðykite pirmuosius penkis rekurenèiuoju bûdu pateiktos skaièiø sekos narius: 1 1 b) a1= , an+1= an; a) a1=1, an+1= an; 2 2 d) a1=1, a2=2, an+2=an+an+1. c) a1=3, an+1=3an; 439. Nustatykite, ar ðios sekos yra didëjanèiosios, ar maþëjanèiosios: a)

{ }

n +1 ; n

d) {2 ln (n+1};

{ } { } n −1 ; n

e) 1 − sin

π ; n +1

c) {3 2n};

{

f) cos

}

π . n+2

440. Árodykite, kad skaièius r yra sekos {an} apatinis rëþis, o s virðutinis rëþis, kai:

n +1 , r=1, s=2; n n 5 , r=0, s= ; c) an= 2 2 n +1

a) an=

3 − 6n , r= 3, s=0; 2n + 1 −8n − 1 d) an= 2 , r= 4, s=1. n +2

b) an=

4.6. SKAIÈIØ SEKOS RIBA IR JOS SAVYBËS 4.5 skyrelyje nagrinëtø skaièiø sekø n-tojo nario kitimà galëtume apibûdinti þodþiais artëja prie . Kodël? Gráþkime prie minëtame skyrelyje aptartø sekø, pavyzdþiui, 1) a1=2, an+1=

1  2  a + ; 2  n an 

2) an=

10n − 7 ; èia n ± N. n2

Imdami vis didesnes n reikðmes, pastebime, kad kiekvienos sekos {an} nariai vis maþiau skiriasi nuo tam tikro skaièiaus: pirmosios sekos nuo 2 , antrosios nuo 0. Sakome, kad sekos nariai artëja prie to skaièiaus, o ðá skaièiø vadiname sekôs {an} ribâ. Trumpiau ðá teiginá galime uþraðyti taip: kai n →+º, tai: 1) an → 2 ; 2) an → 0. Vartodami mums jau þinomà ribos simbolá lim, gautume dar trumpesná teiginio uþraðà: 1) lim an = 2 ; n →+ ∞

2) lim an = 0 . n →+ ∞

Skaitome, pavyzdþiui: sekos an riba, kai n artëja prie begalybës, lygi 2 . Taigi sekos riba gana gerai atskleidþia sekos nariø kitimo pobûdá. Taèiau ar, norint suþinoti sekos ribà, bûtinai reikia skaièiuoti jos nariø reikðmes arba sekà vaizduoti grafiðkai? Gal yra paprastesniø bûdø sekos ribai rasti?

126

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Kad geriau suvoktume sekos ribos apibrëþimà, pateikiame dar keletà pavyzdþiø, iliustruojanèiø sekos nariø kitimà, kai jie artëja prie kurio nors skaièiaus. 2 1 p a v y z d y s. Pavaizduokime grafiðkai sekà , kurios nariai yra funkn 2 reikðmës, atitinkanèios argumento reikðmes x=n, n ± N. cijos f ( x ) = x

{}

Ið brëþinio matome, kad á pasirinktà intervalà ( 0,6; 0,6) patenka visi 2 sekos nariai, pradedant nuo a4 = = 0,5 , o á intervalà ( 0,3; 0,3) pra4 2 dedant nuo a7 = ≈ 0,286 . Jeigu imtume dar maþesná intervalà (0; 0,01), 7 n 2 tai á já áeitø nariai, tenkinantys nelygybæ <0,01; ið èia >100, arba 2 n n>200. Taigi á intervalà (0; 0,01) patektø nariai, pradedant nuo a201. Ið

2 = 0 , o seka aprëþta ið apaèios skaièiumi 0. n 2 p a v y z d y s. Kai sekos nariai an apskaièiuojami pagal formulæ 2 2 f(x)= 1 + , kurios x=n, t. y. kai an= 1 + , á tokio pat ploèio juostas pax n tenka sekos nariai su tais paèiais numeriais, tik juostos yra apie tiesæ y=1. 2  Taigi akivaizdu, jog lim  1 +  = 1 , o seka aprëþta ið apaèios skaièiumi 1. n →+ ∞  n

grafiko aiðku, jog lim

n →+ ∞

3 p a v y z d y s. Brëþinyje kreivë vaizduoja funkcijos f(x)=

{

}

2 πx sin , x 2

πn 2 sin nariai yra teigiami n 2 arba neigiami skaièiai, kuriø modulis maþëja. Intervalui ( 0,6; 0,6) priklauso visi sekos nariai, pradedant nuo a4, o intervalui ( 0,3; 0,3) na-

x ± [1; +º), grafikà. Taðkais paþymëti sekos

127

Skaièiø sekos riba ir jos savybës

riai, pradedant nuo a6. Siaurinant juostà, pavyzdþiui, imant ( 0,002; 0,002), á jà patektø nariai, tenkinantys nelygybæ 2 πn sin < 0,002 . n 2 πn 2 1 ≤ 1 , tai Kadangi sin <0,002, arba <0,001; ið èia n>1000. Va2 n n dinasi, intervalui ( 0,002; 0,002) priklauso a1001 ir visi kiti tolimesni naπn 2 riai. Taigi lim sin = 0. n →+ ∞ n 2 4 p a v y z d y s. Pavaizduokime skaièiø tiesëje sekos {an}, kurios n (−1) , narius. Ðios sekos nariai yra tokie skaièiai: a n= 1 + n 3 2 5 4 7 6 9 8 a1=0, a2= , a3= , a4= , a5= , a6= , a7= , a8= , a9= , ... . 2 3 4 5 6 7 8 9

Pavyzdþiui, á intervalà (0,9; 1,1) patenka a11£0,909, a12£1,083 ir t. t. Nariai su vis didesniais numeriais bûtø dar artimesni 1. Taigi n  − 1) (  lim 1 + n →+ ∞  n 

  =1.  

Apibrëþimas. Skaièius a vadinamas sekos {xn} riba, jeigu visi tos sekos nariai, pradedant nuo nario su numeriu n0, tenkina nelygybæ ªxn aª<ε, kai n>n0, ε>0 pakankamai maþas skaièius, o n0=n0(ε). Þymime: lim xn = a . Skaitome: sekos {xn} riba, kai n artëja prie began →+ ∞ lybës, lygi a. Iliustruokime ðá apibrëþimà grafiðkai. Nelygybë ªxn aª<ε yra ekvivalenti dvigubajai nelygybei a ε<xn<a+ε. Tai reiðkia, kad visi sekos {xn}

128

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

nariai, pradedant nuo xn + 1 , patenka á intervalà (a ε; a+ε), kurio ilgis 2ε. 0 Ðis intervalas dar vadinamas tãðko a ε aplinkâ. Akivaizdu, jog, maþinant ε, á taðko a ε aplinkà pateks vis tolimesni sekos nariai. 5 p a v y z d y s. Remdamiesi sekos ribos apibrëþimu, patikrinkime,

{

}

2n − 1 2 yra sekos riba, ir nurodykime nará, nuo kurio 5n + 2 5 pradedant visi kiti ðios sekos nariai patenka á intervalà (0,39; 0,41). Sprendimas. Atsiþvelgiant á nurodytà intervalà, sekos n-tojo nario ir 2 skirtumo modulis turi bûti maþesnis uþ ε=0,01, todël skaièiaus a= 5 2n − 1 2 10n − 5 − 10n − 4 − < 0,01, < 0,01 , 5n + 2 5 5 (5n + 2 )

ar skaièius a=

9 −9 < 0,01, < 0,01 , 5 (5n + 2 ) 5 (5n + 2 )

5 (5n + 2 ) 900 >100, 5n+2> , 5n+2>180, 9 5 5n>178, n>[35,6] ir n0=35. Vadinasi, intervalui (0,39; 0,41) priklausys visi sekos nariai, pradedant 2n − 1 2 nuo a36£0,39011. Taigi lim = . n →+ ∞ 5n + 2 5 Sekos ribos savybës:

1) Jei skaièiø seka turi baigtinæ ribà, tai ji yra vienintelë. Árodymas. Tarkime, kad seka {xn} turi dvi ribas: a ir b. Tada ªxn aª<ε, kai n>n1, ir ªxn bª<ε, kai n>n2. Ið èia iðplaukia nelygybës a ε<xn<a+ε, b ε<xn<b+ε, kuriø n>n0, o n0 yra didesnysis ið skaièiø n1 ir n2. Ið vienos nelygybës panariui atëmæ kità, gauname: a − b < 0, a b<0<a b, arba  a − b > 0. Ði nelygybiø sistema sprendiniø neturi. Vadinasi, prielaida, kad seka turi ne vienintelæ ribà, yra neteisinga.

2) Ribà turinti seka yra aprëþta. Árodymas. Pagal sekos ribos apibrëþimà, a ε<xn<a+ε, kai n>n0.

129

Skaièiø sekos riba ir jos savybës

Paþymëkime: a ε=r, o a+ε=s. Turësime: r<xn<s; èia n>n0, o r, s ± R. Taigi visi sekos nariai, pradedant nuo jos xn +1-ojo nario, tenkins ðià ne0 lygybæ. a Jei pasirinktume ε < , tai, remdamiesi modulio savybëmis, gautume: 2 a xn − a < , 2 a a < xn < a + , a− 2 2 3a a , arba ªxnª<K; èia K>0. < xn < 2 2 1 Kai a¥0, seka   taip pat aprëþta, nes  xn  2 1 2 > > , 3a a xn 1 2 , arba < a xn

1 < M ; èia M>0. xn

3) Jei sekos {an} ir {bn} turi baigtines ribas a ir b, t. y. jei lim an = a , n →+ ∞

o lim bn = b , tai: n →+ ∞

a) lim ( an + bn ) = a + b ;

b) lim ( an − bn ) = a − b ;

c) lim ( an ⋅ bn ) = a ⋅ b ;

d) lim

n →+∞

n →+ ∞

an a = , kai b¥0. bn b

Árodymas. Ðie teiginiai iðplaukia ið sekos ribos apibrëþimo, 1-osios bei 2-osios sekos ribos savybës, taip pat modulio savybiø. Þinome, kad ªan aª<ε1, kai n>n1; ªbn bª<ε2, kai n>n2. Patikrinkime, ar teisinga b) savybë, t. y. ar a b yra sekos {an bn} riba: ª(an bn) (a b)ª=ª(an a) (bn b)ª¡ ¡ªan aª+ªbn bª<ε1+ε2<ε,

ε , o n0 bus didesnysis ið skaièiø n1 ir n2. 2 Taigi lim ( an − bn ) = a − b .

jei pasirinksime ε1=ε2= n →+ ∞

Norëdami ásitikinti, kad c) savybë yra teisinga, t. y. kad sekos {an·bn} riba lygi a·b, samprotaujame panaðiai nagrinëjame sekos n-tojo nario ir skaièiaus a·b skirtumo modulá, pridëdami prie skirtumo ir atimdami ið jo a·bn:

130

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

ªanbn abª=ªanbn a·bn+a·bn abª= =ª(an a)bn+a(bn b)ª¡ªan aª·ªbnª+ªaª·ªbn bª. Kadangi seka {bn} aprëþta, tai ªbnª<K, K>0. Èia pasirenkame ε1 = o ε2 =

ε . Tada 2a

ε , 2K

ε ε ε ε ⋅K + a ⋅ = + = ε. 2K 2a 2 2 Taigi ªanbn abª<ε, kai n>n0, o n0 yra didesnysis ið skaièiø n1 ir n2.

ªanbn abª<

Todël lim ( an ⋅ bn ) = a ⋅ b . n →+ ∞

an a = (b¥0). bn b Árodydami remkitës ið 2-osios savybës iðplaukianèiu teiginiu: jei {bn} turi U þ d u o t i s. Ásitikinkite, kad lim ( an + bn ) =a+b ir lim n →+ ∞

ribà, tai yra teisinga nelygybë

n →+ ∞

1 < M (M>0). bn

P a s t a b a. Jei an=c, tai, pagal sekos ribos apibrëþimà, lim an = c . n →+ ∞

6 p a v y z d y s. Þinodami dviejø paprastø sekø ribas lim

n →+ ∞

lim

n →+ ∞

3n 3 ir = 2n − 1 2

2n − 1 2 = , apskaièiuokime tø sekø sumos, skirtumo ir sandaugos ribas: 5n + 2 5

 3n + 2n − 1  = lim 3n + lim 2n − 1 = 3 + 2 = 1 a) lim  n →+ ∞  2n − 1 5n + 2  n →+ ∞ 2n − 1 n →+ ∞ 5n + 2 2 5 1 3n 2n − 1  3n 2n − 1 3 2 1 − = lim − lim = − = b) lim  n →+ ∞  2n − 1 5n + 2  n →+ ∞ 2n − 1 n →+ ∞ 5n + 2 2 5

; ;

 3n ⋅ 2n − 1  = lim 3n ⋅ lim 2n − 1 = 3 ⋅ 2 = 0,6 . c) lim   n →+ ∞ 2n − 1 n →+ ∞ 5n + 2 2 5 n →+ ∞  2n − 1 5n + 2  Jei po ribos þenklu esanèias trupmenas sudaugintume, tektø apskai-

{

}

3n ribà. Taèiau èia taikyti trupmenos ribos skaièiavimo 5n + 2 taisyklës negalëtume, nes ir skaitiklio, ir vardiklio ribos nëra baigtinës. Todël pirmiausia turëtume pertvarkyti n-tàjá sekos nará iðreiðkianèià trupmenà, padalydami jos skaitiklá ir vardiklá ið n, ir tik paskui skaièiuoti santykio ribà: 3n 3 3 = lim = , lim n →+ ∞ 5n + 2 n →+ ∞ 2 5 5+ n 2 nes lim = 0 , o skaièiaus (konstantos) riba yra tas skaièius. n →+ ∞ n èiuoti sekos

131

Skaièiø sekos riba ir jos savybës

7 p a v y z d y s. Apskaièiuokime sekos ribà, taikydami jos savybes:

πn  πn     2n + 2 + 1 3n + sin 2   1 sin 2  1 1   ⋅ a) lim   4 + n  ⋅ nlim  = nlim  2 + 6n  =4· 2 = 2, n n →+ ∞ →+ ∞  →+ ∞ 6n 2 2          πn sin 1 πn 2 riba ágyja reikðmes 1, 0 arba 1, todël nes lim n = 0 , o sin n→+ ∞ 2 6n 2 lygi nuliui. 2 (3n + 5 ) 10  2  = lim  6 + = 6. b) lim  ⋅ (3n + 5 )  = lim n →+ ∞  n n n →+ ∞ →+ ∞ n n    Anksèiau, spræsdami sudëtiniø palûkanø skaièiavimo kasdien uþdaviná,

n  1  iðsiaiðkinome, kad laipsnio pagrindas yra sekos  1 +   riba, kai n    n

1  n →+º, t. y. lim  1 +  =e£2,718... n →+ ∞  n 8 p a v y z d y s. Apskaièiuokime: 2

n   2 2 2    a) lim  1 +  = lim   1 +   = e2 . n →+ ∞  n →+ ∞   n n    n

 3n + 2  b) lim   n →+ ∞  3n + 7 

4 n +1

= a . Pastebime, kad 4n+1 →+º. Kadangi laipsnio

2 n → 1, kai n →+º, tai, pertvarkæ ðá reiðkiná taip, 7 3+ n kad atsirastø dëmuo 1 ir trupmena, artëjanti prie nulio, galësime taikyti skaièiaus e formulæ:

3n + 2 = pagrindas 3n + 7

4 n +1

−5  = lim  1 + n →+ ∞  3n + 7 

)

  3n + 2 a= lim  1 +  − 1   n →+ ∞  3n + 7  

→0

)

3n +7   −5 5 −    = lim   1 + n →+ ∞   3n + 7    

−5 ⋅(4 n +1) 3n +7

→e

lim

= e n→+ ∞

−5(4 n +1) 3n + 7

 1 −5 4 +   n 7 n→+ ∞ 3+ n lim

−20 3

4 n +1

132

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

3   c) lim  2 + n →+ ∞  n + 1 

2 n +1

= lim 22n +1 = + ∞ . n →+ ∞

2  1 d) lim  + n →+ ∞  3 3n + 1 

n +2

1 = lim   n →+ ∞  3 

n +2

= 0.

9 p a v y z d y s. Raskime sekos {an}, kurios an= 3n + 4 − 3n − 1 , ribà. Pirmiausia pastebime, kad, didëjant n, kiekvienos ðaknies reikðmë neribotai didëja, todël apie ðio skirtumo ribà kol kas negalima pasakyti nieko aiðkaus. Sekos n-tàjá nará iðreikðkime trupmena, ðaknø skirtumà daugindami ir dalydami ið jungtinio iracionaliojo reiðkinio. Gausime: lim

n →+ ∞

(

3n + 4 − 3n − 1

= lim

n →+ ∞

)

( = lim n →+ ∞

(3n + 4 ) − (3n − 1) = lim 3n + 4 + 3n − 1

n →+ ∞

3n + 4

) −( 2

3n − 1

3n + 4 + 3n − 1

)

5 = 0, 3n + 4 + 3n − 1

nes, vardikliui neribotai didëjant, trupmenos reikðmë artëja prie nulio. Apþvelgdami 8 ir 9 pavyzdá, pastebime, kad daþniausiai tenka tam tikru bûdu pertvarkyti pradinës sekos n-tojo nario iðraiðkà, kad bûtø galima taikyti ribos skaièiavimo taisykles. Reiðkiniai, kuriuos reikia pertvarkyti, laikomi neapibrëþtais arba tiesiog neapibrëþtumais. Jie simboliðkai þymimi taip: trupmena

an  ∞  , kai an → º, bn → º; : bn  ∞ 

sandauga an·bn : (0·º), kai an → 0, bn → º; suma an¤bn : (º º), kai an →+º, bn →+º; laipsnis

(a )

: (1º), kai an → 1, bn →+º.

0 Dar gali bûti neapibrëþtumai   , (00) ir (º0). Su jais susidursime nag0 rinëdami kitokias ribas. a a = 0 (èia a¥0) trumpai galime pateikti taip:   =0, o ∞ bn   a a   = ∞ (èia a¥0) taip:   = ∞ . uþraðà lim n →+ ∞ b 0 n Uþraðà lim

n →+ ∞

133

Skaièiø sekos riba ir jos savybës

Uþdaviniai 441. Remdamiesi sekos ribos apibrëþimu, patikrinkite, ar skaièius a yra ðios sekos riba, ir nurodykite sekos nará, kuriuo pradedant visi tolimesni nariai pateks á intervalà (a 0,001; a+0,001):

(− 1) , a= 3; 1 , a=2; b) bn= 3+ n +1 n 4n − 3 5 , a=2; d) an= , a=0. c) cn= 2n + 2 7n − 3 Kiekvienos sekos pirmøjø deðimt nariø pavaizduokite grafiðkai. 442. Taikydami 3-iàjà ribø savybæ, apskaièiuokite: 4 3n + 5 3−n ; b) lim ; c) lim ; a) lim n →+ ∞ 2n + 3 n →+ ∞ 3n + 1 n →+ ∞ 4n + 1 n

a) xn=2+

7n + 1 ; n →+ ∞ 3 − 4n

e) lim

5n2 − n + 1 ; n →+ ∞ 3 − 2n − 4 n 2

d) lim g) lim

n2 + 1 ; 2n + 3

j) lim

n →+ ∞

n 2 − 2n + 3 ; n →+ ∞ 3n + 1

m) lim

n2 + 2 ; n →+ ∞ n 2 + 1

f) lim

h) lim

n3 + 4 ; n →+ ∞ n 3 + 3

i) lim

2n − 3 ; 4n 2 + 1 3n + 1 n) lim 2 ; n →+ ∞ n − 2n + 3

n+2 n ; 3n − n 10n2 − 4n + 1 o) lim 3 ; n →+ ∞ n + 3n + 4

3n2 − 4 ; n →+ ∞ 2n2 + 1

n4 − 2 ; n →+ ∞ n 4 + 3

k) lim

n →+ ∞

l) lim

n →+ ∞

5n − 4 n − 3  ⋅ p) lim  ; n →+ ∞  1 − 7n 2n + 5 

 3n2 − 5n n−3 − r) lim  2 ; n →+ ∞ 6n + 7n − 8 n + 2  

 2 n 2 − 3 4 − 3n 3  ⋅ s) lim  2 ; n →+ ∞ n + 7n + 8 5n3 + 4  

 1 − 2n 3n − n2 + 1  + t) lim  ; n →+ ∞ 3 + 5n n + n  

 4n − 1 n  − u) lim  ; n →+ ∞  1+ n 3− n 

 2 4n + 5  ⋅ v) lim  . n →+ ∞  3n + 2 7n − 2 

443. Apskaièiuokite:  (n + 1)3 + (n − 1)3  ; a) lim  n →+ ∞   n 3 − 2n  

b) lim

(

n2 + n − n2 + 4n ;

n3 + n − n2 + 4n ;

d) lim

(

n2 + 4n + 3 − n2 + 4n ;

c) lim

n →+ ∞

(

1 + 2 + 3 + ... + n ; e) lim n →+ ∞ n2

)

n →+ ∞

)

1 1 1 + + ... + n 2 4 2 ; f) lim n →+ ∞ 1 1 1 1 + + + ... + n 3 9 3 1+

)

134

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

 1 + 2 + 3 + ... + n n  g) lim  − ; n →+ ∞ 2 n+2  n

1 i) lim  1 −  ; n →+ ∞  n

3  j) lim  1 − ; n →+ ∞  5n + 2  2n

 n2  ; k) lim  1 + 3 →+ ∞ n 3n + 1    3n2 + 1  m) lim  2  n →+ ∞ 3n + 4  

o) lim  4n − 3  n →+ ∞  3n + 2 

3  h) lim  1 +  ; n →+ ∞  n

n 2 +1

;

3n + 2

6n + 7  l) lim   n →+ ∞  6n + 4 

3n +2

3n + 5  n) lim   n →+ ∞  5n − 2 

; n +1

; 3n

;

  p) lim  11n + 1  . n →+ ∞  11n − 1 

4.7. FUNKCIJOS RIBA, KAI x → º Remdamiesi funkcijos grafiku, apibûdinkime jos reikðmiø kitimà, kai x → º ir x →+º, t. y. kai taðkas tolsta kreive nuo koordinaèiø pradþios. Akivaizdu, jog èia galima pavartoti ribos simbolá. Vadinasi, 1 1 lim x2 = + ∞ ir lim x 2 = + ∞ ; x →− ∞ 4 x →+ ∞ 4 1 1 lim x 3 = − ∞ , o lim x3 = + ∞ ; x →− ∞ 2 x →+ ∞ 2 lim (2 − 3x ) = 2 , o lim (2 − 3 x ) = − ∞ . x→− ∞

x→+ ∞

Funkcijos riba, kai x → º

135

Jei funkcija y=f(x) yra apibrëþta ne su visomis x ± R reikðmëmis, tai galimi ávairûs atvejai. Pavyzdþiui, apibûdindami funkcijos f(x)= x + 1 kitimà, galime raðyti tik lim x + 1 =+º, nes Df=[ 1; +º). x→+∞

1 Funkcijos y=1 grafiku tolstantys taðkai artëja prie tos paèios tiex sës y=1, tik viena ðaka artëja virð tos tiesës, o kita þemiau jos. Tai 1 1 uþraðome: lim  1 −  = 1 , lim  1 −  = 1 . x →− ∞  x →+ ∞  x x

Aiðku, kad, didëjant ªxª, trupmenos

1 modulis maþëja, o funkcijos x

1 reikðmës vis maþiau skiriasi nuo 1. Taigi galime raðyti x 1 lim  1 −  = 1 . x →∞  x Kaip galima suþinoti, ar funkcijos f(x), apibrëþtos su visais x ± R arba x ± ( º; a) ¹ (b; +º), reikðmës artëja prie kurio nors skaièiaus, kai x → º? Tam, kaip skaièiø sekos atveju, reikalinga funkcijos ribos sàvoka. y=1

Apibrëþimas. Skaièius b vadinamas f÷nkcijos f(x) ribâ, kaï x → º, jei ªf(x) bª<ε, kai ªxª>M; èia M>0 pakankamai didelis skaièius, kurio reikðmë priklauso nuo pasirinktos ε>0 reikðmës. 1 p a v y z d y s. Pritaikykime funkcijos ribos apibrëþimà funkcijai 1 y=1 , t. y. ásitikinkime, kad skaièius b=1 yra ðios funkcijos riba, kai x x → º ir x →+º, arba tiesiog x → º.

136

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Pasirinkdami skirtingas ε reikðmes, nurodysime, nuo kuriomis x reikðmëmis pradedant, funkcijos reikðmës skirsis nuo ribos b=1 maþiau negu ε: 1 −1 1 1 a) jei ε=0,05, tai  1 −  − 1 <0,05, <0,05, <0,05, ªxª> , 0,05 x x x 

ªxª>20, t. y. M=20, ir x< 20 arba x>20; b) jei ε=0,004, analogiðkai samprotaudami gauname:

1 <0,004, x

ªxª>250, taigi M=250, o tai reiðkia, kad nelygybë ªf(x) bª<ε yra teisinga su reikðmëmis x< 250 arba x>250; c) pasirinkdami ε=0,0001=10 4, nustatome, kad ªxª>104, todël M=104 pakankamai didelis skaièius, o funkcijos reikðmës skirsis nuo 1 maþiau negu 10 4, jei bus x< 10 000 arba x>10 000. Taigi akivaizdu, kad skaièiaus M reikðmë priklauso nuo ε reikðmës. 2 p a v y z d y s. Prisiminæ funkcijø: a) y=arctg x, b) y=arcctg x, grafikus, iliustruosime skaièiaus M priklausomumà nuo pasirinktos ε

reikðmës. Pirma aptarsime atvejá, x →+º. b) Kadangi y=arcctg x grafikas a) Funkcijos grafikas yra kai þemiau π yra virð tiesës y=0, tai sudarome tiesës y= , todël sprendþiame ne2 nelygybæ lygybæ arcctg x 0<0,01; π arctg x<0,01; ið èia 2 arcctg x<0,01, ið èia arctg x<

π +0,01, 2

π 0,01, 2 x>99,997; vadinasi, M=100; arctg x>

x>ctg 0,01, 1 x> , tg 0,01 x>99,997; taigi M=100.

Funkcijos riba, kai x → º

137

Abiem atvejais, kai ε=0,01, M=100. Kadangi grafikai simetriðki koordinaèiø pradþios atþvilgiu, tai galime teigti, kad analogiðka iðvada yra teiπ singa, kai x → º, tik tada arctg x → , o arcctg x → π ir su ε=0,01 2 x reikðmës tenkina nelygybæ x< 100. Kai ε=0,006, ªxª>167, kai ε=0,0006, ªxª>1667 ir t. t. Taigi M=M(ε). 3 p a v y z d y s. Patikrinkime, ar skaièius b=1 yra funkcijos f(x)= riba, kai x → º.

2 x

Sprendimas. Pagal funkcijos ribos apibrëþimà,

2 −1 < ε ; x èia ε yra teigiamasis ir pakankamai maþas skaièius. Sprendþiame nelygybæ: 2−x <ε, x  x − 2 > −ε ,  x   x − 2 < ε;  x

x−2 <ε, x

ε<

 x − 2 + εx > 0,  x  2 − − εx x  < 0; x 

x −2 <ε, x

 (1 + ε ) x − 2 > 0,  x   (1 − ε ) x − 2 < 0.  x

Pasirenkame ε=0,1. Tada 1,1x − 2 > 0,  x   0,9 x − 2 < 0;  x

 x − 20  11  x > 0,   x − 20 9 < 0.   x

Ðios nelygybiø sistemos sprendinius pavaizduojame skaièiø tiesëje:

Taigi sudaryta nelygybë yra teisinga, kai

20 20 . Matome, kad x neartëja prie be<x< 11 9 galybës, todël pasirinktas skaièius b=1 nëra 2 riba, kai x → º. funkcijos f(x)= x

138

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Vadinasi, remdamiesi funkcijos ribos apibrëþimu, galime tik patikrinti, ar pasirinktas skaièius yra tam tikros funkcijos riba, ar ne. Tada vël kyla klausimas: kaip galima apskaièiuoti funkcijos ribà? Prisiminæ skaièiø sekos ribos skaièiavimo taisykles (3-iàjà savybæ), pritaikysime jas funkcijai. Jeigu, sekos n-tojo nario formulëje kintamàjá n pakeitæ kintamuoju x (x ± R), gausime funkcijà, kuri apibrëþta: a) tik su teigiamomis realiosiomis x reikðmëmis, tai galësime ieðkoti jos ribos, kai x →+º, t. y. lim f ( x ) ; x →+ ∞ b) tik su neigiamomis realiosiomis x reikðmëmis, tai galësime nagrinëti jos ribà lim f ( x ) ; x →− ∞ c) su visais x ± R, tai reikës nagrinëti abu atvejus, t. y. x → º arba x →+º.

Uþraðà lim f ( x ) = b suprasime taip: tà paèià ribà b funkcija turi, kai x →∞ x → º ir x →+º. Funkcijos ribos skaièiavimo taisyklës: jei funkcijos u(x) ir v(x) turi baigtines ribas a ir b, t. y. jei lim u ( x ) = a ir lim v ( x ) = b , x →∞

tai:

x →∞

a) lim (u(x)+v(x))=a+b;

b) lim (u(x) v(x))=a b;

c) lim (u(x)·v(x))=a·b;

d) lim

x→∞

x →∞

u (x) v(x)

a , b¥0. b

4 p a v y z d y s. Apskaièiuokime ðiø funkcijø ribà, kai x → º: 1 − 2 x2 2x + 5 a) f(x)= ; b) g(x)= 2 ; x 3x + 4 c) h(x)=

x2 − 5x ; 3x + 7

d) k(x)=

Sprendimas. a) lim x →∞

3x + 7 . x2 − 5x

2x + 5  ∞  5 5 =   = lim  2 +  =2+ lim =2+0=2; →∞ x →∞ x x x x ∞ 

1 1 x 2  2 − 2  −2 2 x 1 − 2 x2  ∞    x lim lim lim = = = b) =  ∞  x →∞ x →∞ 3 x 2 + 4 x →∞ 4 4   3+ 2 x 2  3 + 2  x x   1 lim  2 − 2  x →∞  x  = − 2 = −2 = ; 3 3 4 lim  3 + 2  x →∞  x 

Funkcijos riba, kai x → º

139

5 5 x 2  1 −  1− x x − 5x  ∞   x ⋅ lim x = 1 ⋅ l =   = lim = lim c) lim x →∞ 3 x + 7 3 x  ∞  x →∞ x  3 + 7  x →∞ 3 + 7 x →∞   x x   7 3+ 3x + 7 x ⋅ lim 1 =3·0=0. = lim d) lim 2 x →∞ x − 5 x x →∞ 5 x →∞ x 1− x 2

5 p a v y z d y s. Apskaièiuokime: lim

x →+ ∞

(

= lim

x →+ ∞

x +1 − x −1

)

( = (∞ − ∞ ) = lim x →+ ∞

) −( 2

x −1

)

x +1 + x −1

x →+ ∞

( x + 1) − ( x − 1) = lim x +1 + x −1

x +1

;

2 =0. x +1 + x −1 n

1  6 p a v y z d y s. Remdamiesi lygybe lim  1 +  =e, n →∞  n x

1  apskaièiuokime lim  1 +  . x →∞  x Pastebëkime, kad èia turime neapibrëþtumà (1º). a) Nagrinësime atvejá, kai x>0. Tada n¡x<n+1 (n ± N),

1 1 1 < ≤ , n +1 x n 1 1 1 1+ <1+ ≤1+ , n +1 x n n

1 + 1  < 1 + 1  < 1 + 1    n + 1  x   n    1  Apskaièiuokime: lim  1 +  n →+ ∞  n

n +1

1 1 = lim  1 +  ⋅ lim  1 +  =e·1=e; n →+ ∞  n  n →+ ∞  n 1

⋅n

n n +1 n 1 n lim  1  1   + n→+ ∞ n +1 lim  1 + = lim   1 + = = e. e    n →+ ∞  n →+ ∞  n +1 n + 1   

Taigi galime daryti iðvadà, kad x

1 lim  1 +  = e . x →+ ∞  x x

1  b) lim  1 +  rasime vartodami naujà kintamàjá z= x, kuris ágyja x →− ∞  x teigiamàsias reikðmes, be to, z →+º, kai x → º:

140

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË x

1 1  lim  1 +  = lim  1 + →+∞ x →− ∞  z − z  x 

−z

= e.

1  Vadinasi, lim  1 +  = e . x →∞  x Apskaièiuokime ðiø funkcijø ribà, kai x → º:

7 p a v y z d y s. 2 x +1

4 x +3

2x − 1   3x − 1  b) g(x)=  ; c) h(x)=    . + 3 4 x 3    x+2 2 Sprendimas. a) Kadangi 1+ → 1, o 2x+1 → º, kai x → º, tai taikyx sime skaièiaus e formulæ: 2  a) f(x)=  1 +  x 

;

2 lim  1 +  x →∞  x

2 x +1

⋅ (2 x + 1 )

lim

x →∞

2 (2 x + 1) x

)

x x   2 2   ∞  = (1 ) = lim  1 +  x →∞   x   

→e

b) Patikrinkime, ar funkcija g(x) yra to paties tipo (1º): 1 x  3 −  x 3x − 1  lim = lim = 1 , o 4x+3 → º, kai x → º. Taigi g(x) ribà x →∞ 3 x + 4 x →∞ 4 x  3 +  x 

skaièiuosime panaðiai kaip a) atveju: 3x − 1  lim   x →∞  3 x + 4 

4 x +3

  3x − 1 = (1∞ ) = lim  1 +  − 1   x →∞  3x + 4  

 −5  = lim   1 + x →∞   3x + 4  

3x+4 −5

   

−5 ⋅ (4 x + 3 ) 3x+4

lim

= e x→∞ x

−5(4 x + 3 ) 3x+4

4 x +3

 3 − x ⋅ 5 4 +  x  x →∞  4 x  3+   x lim

  1 x x  x  2 − x   2x − 1  2   = lim   = = lim  c) lim   x →∞  3 x + 2  x →∞ x →∞  3   x3 + 2       x   x  2 lim  x →− ∞    + ∞,  3 = = x  0,  2    xlim →+ ∞  3 

kai x → − ∞ , kai x → + ∞ .

−5  = lim  1 + x →∞  3 x + 4 

−20 3

4 x +3

Funkcijos riba, kai x → º

141

Uþdaviniai 444. Apskaièiuokite:

 10 − 7  b) lim  ; x →∞  x + 2  x2 + 4 x d) lim 2 ; x →+ ∞ 3 x + 5 2x3 + x + 5 f) lim ; x →∞ 7x3 − 4 x+5 h) lim 2 ; x →∞ x + 4 x

3x2 + 4 x − 7 ; x →∞ x2 5 − 3x ; lim x →∞ 7 x + 2 x2 + 4 x lim 2 ; x →− ∞ 3 x + 5 x2 + 4 x ; lim x →− ∞ x + 5 5x + 3 lim ; x →∞ 4 x2 + 1 3x 4 − 2 lim ; x →∞ x6 + 4

a) lim c) e) g) i) k)

j) lim 7 x + 2 ; x →+ ∞ 4 x − 3 16 x 2 − 9 l) lim ; x →∞ 1 + 2 x4 + 2

 x3  − x; m) lim  x →∞ x 2 + 1  

( lim (

)

o) lim

2x + 3 − 2x − 3 ;

x + 2 − 2 x −1 ;

x →+ ∞

t) lim x →∞

(

 x3 x2  − n) lim ;  2 x →∞ 2 x − 1 2 x + 1  

p) lim x x →∞

)

s) lim

x →+ ∞

)

(

)

x2 + 1 − x ;

)

x2 − 2x − 1 − x2 − 7 x + 3 ;

x2 + 8x + 3 − x2 + 4 x − 2 . x

1  445. Remdamiesi rodiklinës funkcijos savybëmis ir lygybe lim  1 +  = e , x →∞  x apskaièiuokite ðiø funkcijø ribà, kai x → º: x

x +1   a) f(x)=  1 − 2  ; x +2   x2 − x + 1  c) g(x)=   2  x +3  x

 4x + 1  e) p(x)=   ;  3x + 5 

x +1

 7x − 3  b) h(x)=    7x + 8 

2 x +1

; x

 2x + 1  ; d) m(x)=   ;  3x + 2   11x − 4  f) r(x)=    11x + 5 

3 x −1

;

g) u(x)=x2 (ln (x2+1) ln (x2 1)).

Atsakymai 5 ; j) 0; k) +º; l) 8; m) 0; 2 27 − t) 2. 445. a) e 1; c) e 1; f) e 11 ; g) 2. 444. i)

1 ; 4

o) 0;

1 ; 2

r) º;

5 ; 2

141

142

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

4.8. FUNKCIJOS RIBA TAÐKE Aptarsime, kaip galima apibûdinti funkcijos kitimà arti pasirinktos argumento reikðmës x=a. Argumento reikðmës, esanèios arti reikðmës a, gali bûti maþesnës arba didesnës uþ a. Jos vadinamos reikðmës x=a aplinkâ. Pavaizduokime ðià aplinkà skaièiø aðyje, nurodydami x reikðmes ið kairës nuo a (jas þymësime x → a ) ir ið deðinës nuo a (x → a+). Reikðmës x=a aplinkà sudarys reikðmës x ± (a h; a)¹(a; a+h); èia h maþas teigiamasis skaièius:

Tada funkcijos f (x) kitimà arti taðko a galësime apibûdinti jos reikðmiø ribomis, kai x artëja prie a ið kairës ir ið deðinës, t. y. funkcijos riba ið kairës ir riba ið deðinës: lim f ( x) (riba ið kairës);

x → a−

lim f ( x) (riba ið deðinës).

x → a+

Ðios ribos vadinamos vienp÷sëmis f÷nkcijos ribomîs. Jeigu abi jos yra lygios, sakome, kad funkcija f (x) turi ribà, kai x → a. Þinant funkcijos ribas ið kairës ir ið deðinës, t. y. vienpuses ribas, galima pateikti svarbios informacijos apie funkcijos kitimà. Iliustruosime tai pavyzdþiais. 6 1 p a v y z d y s. Nustatykime, kaip kinta funkcija f ( x) = , kai x → 2. x Apskaièiuojame funkcijos f (x) reikðmes taðko x=2 aplinkoje: x

1,9

1,99

1,999

...

2,001

2,01

2,1

f (x)

3,2

3,02

3,002

...

2,998

2,98

2,9

lim

x→2−

6 =3 x

Funkcijos ribos ið kairës ir ið deðinës, kai x → 2, yra lygios, vadinasi, 6 lim = 3. x →2 x

lim

x→2+

6 =3 x

Funkcijos riba taðke

143

2 p a v y z d y s. Funkcija f (x) apibrëþta realiøjø skaièiø aibëje R formule

( x + 1)2 , kai x ≤ 1; f ( x) =   x + 4, kai x > 1. Nustatykime jos ribà, kai x → 1. Ið funkcijos f (x) grafiko matome, kad lim f ( x) = lim− ( x + 1)2 = 4,

x → 1−

x →1

lim f ( x) = lim+ ( x + 4) = 5.

x → 1+

x →1

Funkcijos f (x) vienpusës ribos, kai x → 1, yra skirtingos, todël ði funkcija neturi ribos, kai x → 1. 3 p a v y z d y s. Iðnagrinëkime funkcijà f ( x) = kai x¥0, t. y. kurios Df=( º; 0)¹(0; +º).

x , kuri yra apibrëþta, x

Pertvarkæ funkcijos f (x) iðraiðkà, nubraiþome jos grafikà: − x , kai x < 0,  f ( x) =  x  x , kai x > 0, x

arba − 1, kai x < 0, f ( x) =  1, kai x > 0.

Ði funkcija taip pat neturi ribos, kai x → 0, nes lim−

x →0

x x = − 1, o lim+ = 1. x →0 x x

4 p a v y z d y s. Panagrinëkime funkcijà f ( x) =

2x2 + x taðko x=0 x

aplinkoje. Kai x=0, ði funkcija yra neapibrëþta, todël skaièiuojame vienpuses jos ribas: lim−

x →0

2x2 + x x (2 x + 1) = lim− = lim− (2 x + 1) = 1; x →0 x →0 x x

2x2 + x = lim+ (2 x + 1) = 1. x →0 x →0 x (Èia trupmenà galëjome suprastinti, nes ji buvo po ribos þenklu, o tai reiðkia, kad x → 0, bet x¥0.) lim+

144

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Nors ði funkcija taðke x=0 yra neapibrëþta, taèiau, kai x → 0, ji turi 2x2 + x baigtinæ ribà, lygià 1, t. y. lim = 1. x →0 x 2x2 + x Nustatykime, su kuriomis x reikðmëmis funkcijos f ( x) = reikðx 2 2x + x mës maþai skiriasi nuo 1. Kadangi trupmena yra ekvivalenti sumai x 2x+1, kai x¥0, tai skirtumas ªf (x) 1ª=ª(2x+1) 1ª=ª2xª=2ªxª. Jo reikðmës yra maþesnës uþ maþà teigiamà skaièiø ε, pavyzdþiui, ε=10 2 arba ε=10 3, t. y. 2ªxª<ε; èia ε>0. Tada

ε ε ε , arba − < x < . 2 2 2 Pasirinkime ε=0,1. Tuomet x ± ( 0,05; 0,05). x 2 − 3x + 2 5 p a v y z d y s. Iðtirkime funkcijos f ( x) = 2 kitimà taðkø x=2 x + x−6 ir x= 3 aplinkoje. Pertvarkykime funkcijos f (x) iðraiðkà, iðskaidydami kvadratinius trinarius tiesiniais daugikliais: x <

( x − 2)( x − 1) . ( x − 2)( x + 3) Taigi ði funkcija yra apibrëþta, kai x¥2 ir x¥ 3. Iðtirkime funkcijos kitimà apie taðkus x=2 ir x= 3: f ( x) =

lim x →2

( x − 2)( x − 1) x −1 1 = lim = ; ( x − 2)(x + 3) x → 2 x + 3 5

lim

x → − 3−

( x − 2)( x − 1) x −1 = lim = + ∞, ( x − 2)( x + 3) x → −3− x + 3

( x − 2)( x − 1) x −1 = lim = − ∞, ( x − 2)( x + 3) x → −3+ x + 3 nes kai x< 3, tai x+3<0, be to, x+3 yra artimas nuliui, o kai x> 3, tai x+3>0 ir x+3 yra artimas nuliui. lim

x → − 3+

Apibrëþimas. Skaièius b vadinamas f÷nkcijos f (x) ribâ taðkç x=a, jeigu kiekvienà kiek norima maþà skaièiø ε>0 atitinka toks skaièius h=h(ε), kad su visomis x¥a reikðmëmis, tinkanèiomis nelygybei ªx aª<h, yra teisinga nelygybë ªf (x) bª<ε. Þymima: lim f ( x) = b arba f (x) → b, kai x → a. Ðá apibrëþimà iliustruox→a

kime brëþiniu.

Funkcijos riba taðke

145

Jame pavaizduota funkcija f (x) neturi ribos, kai x → a1 ir x → a2, o lim f (a) = f ( x0 ) ir lim f ( x) = − ∞. Be to, maþindami ε reikðmæ, pavyzdþiui, x → a3 ε imdami , pastebime, kad sumaþëja ir taðko x=a aplinka. 2 x → a0

6 p a v y z d y s. f ( x) =

Apskaièiuokime funkcijos

sin x ribà, kai x → 0. x

sin x yra neapix brëþta, nes trupmenos skaitiklis ir vardiklis lygus nuliui. Ðios funkcijos kitimà taðko x=0 aplinkoje nagrinësime remdamiesi sinuso bei tangento apibrëþimu. Koordinaèiø plokðtumoje nubrëþkime vienetiná apskritimà bei spindulá OB, sudarantá su π pradiniu spinduliu OA kampà x; èia 0 < x < . Per 2 taðkà A nubrëþkime apskritimo liestinæ, o spindulá OB pratæskime tiek, kad jis susikirstø su liestine taðke C. Tada atkarpos AC ilgis bus lygus tg x reikðmei. Statmens BD ilgis sin x reikðmë.

Kai x=0, funkcija f ( x) =

146

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Ið brëþinio matome, kad skritulio iðpjova AOB yra didesnë uþ trikampá AOB, bet maþesnë uþ trikampá AOC. Vadinasi, jos plotas tenkina nelygybæ S³AOB<Siðpj. AOB<S³AOC. Kadangi

S³ AOB =

1 1 ⋅ OA ⋅ BD = ⋅ 1 ⋅ sin x, 2 2

Si pj. AOB = S³ AOC = tai

1 1 1 sin x < x < tg x, arba 2 2 2

1 1 ⋅ OA ⋅ l∪ AB = ⋅ 1 ⋅ x, 2 2

1 1 ⋅ OA ⋅ AC = ⋅ 1 ⋅ tg x , 2 2

sin x<x<tg x.

π reikðmëmis visi nelygybës nariai ir cos x yra 2 teigiami, todël ðià nelygybæ galime panariui dalyti ið sin x, o paskui pakeisti atvirkðtiniø dydþiø nelygybe: Su pasirinktomis 0 < x <

tg x x ; < sin x sin x

1 x < ; sin x cos x

cos x <

sin x < 1. x

Pagal funkcijos y=cos x apibrëþimà, lim+ cos x = 1, o funkcijos x →0

sin x x

sin x = 1. reikðmës yra maþesnës uþ 1, todël galime teigti, kad lim+ x →0 x sin x π Kai x<0, t. y. kai − < x < 0, atsiþvelgæ á tai, kad funkcija f ( x) = x 2 sin x taðko x=0 aplinkoje yra lyginë, turime: lim− = 1. x →0 x sin x Taigi funkcija f ( x) = turi ribà taðke x=0: x

lim x →0

sin x = 1. x

Kadangi kx → 0, kai x → 0 (k¥0), tai teisinga ir bendresnë iðraiðka lim x →0

sin kx = 1. kx

P a s t a b a. Funkcijos ribà taðke apskaièiuosime remdamiesi tomis paèiomis taisyklëmis, kaip ir skaièiø sekos ar funkcijos ribà, kai x → º.

Funkcijos riba taðke

147

7 p a v y z d y s. Apskaièiuokime ðiø funkcijø ribas, kai x → 0:

tg 4 x sin 3x 1 − cos 2 x . ; b) f ( x) = c) f ( x) = ; 2 x sin 7 x x Sprendimas. Remsimës bendresne trigonometrinës funkcijos ribos iðraiðka: a) f ( x) =

sin 3 x sin 3 x lim ⋅ 3x sin 3 x 3 x → 0 3x 3 3 x a) lim = lim = = ; x → 0 sin 7 x x → 0 sin 7 x 7 sin 7 x 7 ⋅ 7x lim x →0 7x 7x

b) lim

1 − cos 2 x 2 sin 2 x  sin x sin x  = = 2 lim  ⋅ = 2; lim 2 2 → → 0 0 x x x  x x  x

c) lim

tg 4 x sin 4 x  sin 4 x 1  = lim = lim  ⋅ = → → 0 0 x x cos 4 x  x x cos 4 x  x

x →0

= lim x →0

sin 4 x 1 ⋅ 4 ⋅ lim = 1 ⋅ 4 ⋅ 1 = 4. x → 0 cos 4 x 4x

Uþdaviniai 446. Apskaièiuokite funkcijø ribas: a) lim ( x 3 − 2 x 2 − 7x ); b) lim sin πx; x →2

x+9 ; d) lim x →2 x − 7

x →0

( x + 9)(x − 1) e) lim ; x →1 x −1

c) lim cos 3x; x→π

f ) lim

6x2 + 9x ; 5x x2 − 1 ; x4 − 1

x →0

g) lim

(3 + x)2 − 9 ; x

h) lim

x 2 − 5x + 6 ; x−2

i) lim

j) lim

x3 + 8 ; x2 − 4

k) lim

8 − x3 ; x 4 − 16

l) lim

n) lim

2− x+2 . x2 − 4

x →0

x → −2

m) lim x →4

x −2 ; 3− x +5

x →2

x →1

x →7

x− 7 ; x −7

447. Apskaièiuokite: a) lim

x2 − 6x + 5 5 − 14 x − 3 x 2 12 − 5 x − 2 x 2 ; ; b) lim 3 ; c) lim 2 2 x → −4 x + 4 x + 2 x + 8 x →5 x + 5 x + 3 x + 15 2 − x −1

d) lim

2− 5− x ; 3− 8+ x

g) lim

3 x −2 x3 + 1 . ; h) lim x →8 2 3 − x − 1 − 15x x + 1 − 2x − 7

x → −5

x →1

x → −1

e) lim x →1

x −1 ; x −1

f ) lim x →1

1− 3 x ; x −1

148

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

448. Remdamiesi trigonometriniø funkcijø savybëmis ir lygybe

sin x = 1, apskaièiuokite ðias funkcijø ribas: x sin 3x sin 2 x tg 4 x ; ; ; b) lim c) lim a) lim x →0 → x 0 x → 0 sin 5 x 5x sin 3x lim x →0

d) lim x →0

g) lim x →0

sin 5 x + sin 7 x ; x 1 − cos x 2 ; 1 − cos x

e) lim x →0

h) lim x →0

x − sin 4 x ; x

f ) lim x →0

2 sin x + cos x − 1 ; 4x

1 + sin x − 1 − sin x ; tg 5x

 1 1  − i) lim  ; x →0  sin 2 x tg 2 x 

 x π  j) lim  sin ⋅ tg  ( x + 2)   ; x →0 3 4  

 π  k) limπ   − x  ⋅ tg 2  x→   2

l) lim

 x ; 

x →0

cos (α + x) − cos (α − x) . tg 5x

449. Raskite nurodytà funkcijos f (x) ribà, jeigu funkcija jà turi: 4 − x 2 , kai x ≤ 2, a) lim f ( x); èia f ( x) =  x →2  x − 2, kai x > 2;  1 , kai x < −1,  b) lim f ( x); èia f ( x) =  x x → −1  x, kai x ≥ −1;

3, kai x ≤ 5, c) lim f ( x); èia f ( x) =  x →5  x − 6, kai x > 5; 2 x , kai x ≤ 3, d) lim f ( x); èia f ( x) =  2 x →3 12 − ( x − 1) , kai x > 3; ( x − 2)3 , kai x < 0, e) lim f ( x); èia f ( x) =  2 x →0  x − 9, kai x ≥ 0.

Atsakymai 446. g) 6; h) 1; i)

4 1 1 3 3 ; m) − ; n) − 1 . 447. a) ; ; j) 3; k) − ; l) 7 2 8 2 16 2 7

3 1 1 11 1 24 4 ; c) 16; d) − ; e) ; f) − ; g) ; h) − . 448. c) ; d) 12; e) 3; 2 3 2 18 4 11 5

1 ; g) 2

2; h)

1 2 ; i) 0; j) 0; k) 1; l) − sin α. 5 5

Funkcijos tolydumas

149

4.9. FUNKCIJOS TOLYDUMAS Prisiminkime funkcijos ribos taðke apibrëþimo grafiná vaizdà. Brëþinyje tarp taðkø, kuriuose funkcija turi ribà, yra tokiø, kuriuose ði riba lygi funkcijos reikðmei tuose taðkuose, be to, tokiø taðkø yra daugiausia. Apibrëþkime tiksliau ðià funkcijos savybæ. Apibrëþimas. Funkcija f (x) vadinama tolydþiâ taðkç x=a, jeigu ji tame taðke: 1) yra apibrëþta; 2) turi ribà, lygià funkcijos reikðmei ðiame taðke, t. y. lim f ( x) = f (a). x→a

Tai galima iliustruoti grafiðkai:

Taðkuose b, c ir d funkcija f (x) yra netolydi (dar sakoma trûki), o taðke a tolydi. Ji taip pat yra tolydi ir kiekviename taðke, kuris priklauso intervalams ( º; b), (b; c), (c; d) bei (d; +º). Jeigu funkcija yra tolydi kiekviename kurio nors intervalo taðke, tai sakoma, kad ji yra tolydî tame intervalç. Vadinasi, brëþinyje pavaizduota funkcija f (x) yra tolydi intervaluose ( º; b), (b; c), (c; d) ir (d; +º). Intervalas, kuriame funkcija yra tolydi, vadinamas funkcijos tolyd÷mo interval÷. Tolydþiosios funkcijos grafiko dalis, atitinkanti ðá intervalà, yra iðtisinë, t. y. nenutrûkstanti, kreivë. Jà galima nubrëþti neatitraukiant pieðtuko nuo popieriaus lapo. Taigi galime teigti, kad funkcijos y=xn (n ± N), y=sin x, y=cos x, y=ax yra tolydþios visoje realiøjø skaièiø aibëje, o funkcija y=loga x teigiamøjø realiøjø skaièiø aibëje, nes ðiuose intervaluose jø grafikai yra nenutrûks1 1 tanèios linijos. Tuo tarpu funkcijos y = , y = 2 , y=tg x, y=ctg x realiøjø x x skaièiø aibëje yra netolydþios: pirmoji ir antroji trûki taðke x=0, treèio-

150

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

π + πn, ketvirtoji taðkuose x=πn; èia n ± Z. Taèiau 2 1 tam tikruose intervaluose jos gali bûti tolydþios, kaip antai funkcija y = x intervaluose ( º; 0) ir (0; +º) yra tolydi. 1 p a v y z d y s. Funkcija apibrëþta formule ji taðkuose x =

 1, kai x < 0,  π f ( x) = cos x, kai 0 ≤ x < , 2   x − 1, kai x ≥ π .  2 Iðtirkime ðios funkcijos tolydumà tokiuose taðkuose: π b) x2 = . a) x1=0; 2 Nubraiþykime funkcijos grafikà. Sprendimas. Tikriname tolydumo sàlygas taðke x1=0: 1) funkcija taðke x=0 yra apibrëþta, t. y. f (0)=cos 0=1; 2) randame vienpuses funkcijos f (x) ribas, kai x → 0: lim f ( x) = lim− 1 = 1, lim+ f ( x) = lim+ cos x = 1.

x → 0−

x →0

Kadangi ðios ribos lygios, tai funkcija f (x) turi ribà, kai x → 0, be to, lim f ( x) = f (0) = 1. Vadinasi, nagrinëjamoji funkcija taðke x1=0 yra tolydi. x →0 π Tiriame taðkà x2 = : 2  π π 1) f   = − 1, taigi ðiame taðke funkcija yra apibrëþta; 2 2 π 2) tikriname, ar f (x) turi ribà, kai x → : 2 π lim− f ( x) = lim− cos x = 0, lim+ f ( x) = lim+ ( x − 1) = − 1, 2 π π π π x→ x→ x→ x→ 2 π 2 2 2 todël funkcija f (x) neturi ribos, kai x → . Kadangi antroji sàlyga netenki2 π nama, tai funkcija f (x) taðke x2 = yra netolydi. 2 Nubraiþome funkcijos grafikà:

Funkcijos tolydumas

151

2 p a v y z d y s. Iðsiaiðkinkime, ar funkcija, apibrëþta formule  x −3 , kai x ≠ 9,  f ( x) =  4 − 2 x − 2 −1, kai x = 9, 

yra tolydi taðke x=9. Sprendimas. Pirmoji tolydumo sàlyga tenkinama, nes f (9)= 1. Todël

0 x −3 =   . Neapibrëþtumà pa4 − 2x − 2  0  naikinsime daugindami trupmenos skaitiklá ir vardiklá ið jiems jungtiniø iracionaliøjø reiðkiniø. Tada tikrinsime tik antràjà: lim f ( x) = lim x →9

lim f ( x) = lim x →9

x →9

( x − 3)( x + 3)(4 + 2 x − 2) = (4 − 2 x − 2)(4 + 2 x − 2)( x + 3)

  x − 9 4 + 2x − 4 + 2x − 2  x −9 = lim  ⋅ = lim  ⋅  x →9 x + 3  x → 9  2(9 − x) x +3  16 − (2 x − 2)

1 4 + 2x − 2 1 8 2 = − ⋅ lim =− ⋅ =− . 2 x →9 2 6 3 x +3 Kadangi lim f ( x) = − x →9

2 ≠ f (9), tai funkcija f (x) taðke x=9 yra netolydi. 3

3 p a v y z d y s. Nustatykime, ar ðios funkcijos yra tolydþios taðke x0:  ( x + 3)2 , kai x ≠ − 3,  a) f ( x) =  x 2 − 9 x0= 3; 0, kai x = − 3;

b) f ( x) =

( x + 3)2 ; x0=3. x2 − 9

Sprendimas. a) Pirmoji tolydumo sàlyga tenkinama, nes f ( 3)=0. Skaièiuojame ribà:

lim f ( x) = lim

x → −3

( x + 3)2  0  0 x+3 =   = lim = = 0. 2 → − x 3 x − 3 −6 x −9 0

Vadinasi, tenkinama ir antroji sàlyga, todël funkcija f (x) taðke x= 3 yra tolydi. ( x + 3)2 yra neapibrëþta, taigi ðiame taðke x2 − 9 ji yra netolydi. Èia galime nurodyti jos ribas ið kairës ir ið deðinës taðko x=3 aplinkoje: ( x + 3)2 ( x + 3)2 lim− 2 = − ∞, lim+ 2 = + ∞. x →3 x →3 x −9 x −9

b) Kai x=3, funkcija f ( x) =

152

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Uþdaviniai 451. Duoti tokie funkcijø grafikai:

Remdamiesi brëþinio duomenimis, nurodykite: a) funkcijø ribas ið kairës ir ið deðinës taðke x=a; b) funkcijø ribas taðke x=a (jei jos egzistuoja); c) ar funkcijos ðiame taðke yra tolydþios. 451. Ar tolydþios funkcijos, tenkinanèios ðias sàlygas: a) f ( 2)= 3, lim f ( x) = − 3; x → −2

b) f ( 1)=2, lim− f ( x) = 2, lim+ f ( x) = 2; x → −1

x → −1

c) f (0)= 4, lim− f ( x) = − 3, lim+ f ( x) = − 4; x →0

d) f (3)=4, lim f ( x) = 5; x →3

 x2 − 4 , kai x ≠ 2,  e) f ( x) =  x − 2 4, kai x = 2 ?

Atsakymà pagráskite.

x →0

153

Funkcijos tolydumas

452. Iðtirkite funkcijos tolydumà nurodytuose taðkuose ir nubraiþykite jos grafikà:   x + 1, kai x ≤ − 2,  a) f ( x) = 3 − x 2 , kai − 2 < x < 2,  x − , kai x ≥ 2;  2 x1= 2, x2=2; 2 − x 2 , kai x ≤ − 1,  c) f ( x) = 1, kai − 1 < x < 2,  x, kai x ≥ 2; 

 x + 1, kai x ≤ 0,  b) f ( x) =  x 2 + 1, kai 0 < x ≤ 2, 2, kai x > 2; 

x1=0, x2=2; arcsin x , kai x ≤ 1,  2 d) f ( x) =  −ªx − 3ª, kai x > 1;

x1= 1, x2=2; − 2 , kai x ≤ −2,  x  e) f ( x) = 2 x + 2 , kai − 2 < x ≤ 0, ª4 − xª, kai x > 0;   x1= 2, x2=0; arctg x, kai x ≤ 0,  1 g) f ( x) =  , kai 0 < x < 2, x log 4 x, kai x ≥ 2;

x=1; ( x + 2)2 , kai x ≤ 0,  f ) f ( x) = 4 sin x, kai 0 < x ≤ π, ctg x, kai x > π; 

x1=0, x2=π; 3  x , kai x < 0,   π = f x ( ) h) cos x, kai 0 ≤ x < , 2  log x, kai x ≥ π ;  π 2  2

x1 = 0, x2 =

x1=0, x2=2;

π . 2

453. Ar funkcija f (x) yra tolydi taðke x0:  x3 + 8 , kai x ≠ − 2,  2 a) f ( x) =  x − 4 2, kai x = − 2;

x0= 2;

 x− 3  x − 3 , kai x ≠ 3, c) f ( x) =  1  , kai x = 3;  2 3

x0=3?  tg 3x , kai x ≠ 0,  b) f ( x) =  x 5, kai x = 0;

x0=0;

154

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

4.10. TOLYDÞIOSIOS FUNKCIJOS POKYTIS IR IÐVESTINË Funkcijos pokytis Aptarsime funkcijos kitimà jos tolydumo taðko aplinkoje. 1 p a v y z d y s. Remdamiesi grafikais, iðtirsime ðiø funkcijø kitimà taðko x=1 aplinkoje: a) f (x)=2x+1;

b) f (x)=x2.

Koordinaèiø plokðtumose nubraiþome abiejø funkcijø grafikus, paþymime taðko x=1 aplinkà (1 h; 1)¹(1; 1+h) ir apskaièiuojame atkarpø KM bei AL ilgá, brëþinyje paþymëtà simboliu ∆y:

KM=f (1+h) f (1)=2(1+h)+1 (2·1+1)=2+2h+1 2 1=2h; A L =f (1) f (1 h)=2·1+1 2(1 h) 1=3 2+2h 1=2h, taigi KM=AL. Kai h yra maþas teigiamasis skaièius, tai f (1 h) f (1)=2·( h)<0, o f (1+h) f (1)=2·h>0.

KM=f (1+h) f(1)=(1+h)2 1 =1+2h+h2 1=h2+2h= =h(2+h); AL=f (1) f (1 h)=12 (1 h)2= =1 1+2h h2=2h h2=h(2 h). Ðiuo atveju KM¥AL. Kai h yra maþas teigiamasis skaièius, tai f (1 h) f (1)= h·(2 h)<0, o f (1+h) f (1)=h(2+h)>0. 2

155

Tolydþiosios funkcijos pokytis ir iðvestinë

Abiem atvejais paskutiniàsias dvi iðraiðkas galime paraðyti kaip vienà, tardami, kad h gali bûti teigiamas arba neigiamas, taèiau ªhª maþas skaièius: a) f (1+h) f (1)=2h; b) f (1+h) f (1)=h(2+h). Skirtumas f (1+h) f (1) rodo, kiek pakito funkcijos reikðmë f (1) taðko x=1 aplinkoje. Ðá skirtumà vadiname f÷nkcijos pókyèiu, atitinkanèiu argumento pokytá h, ir þymime ∆f arba ∆y. Skaitome: delta ef arba delta ygrek. Taigi ∆ f=∆ f (1)=f (1+h) f (1) ir ∆ f → 0, kai h → 0. Atkreipkime dëmesá á tai, kad tiesinës funkcijos (a atvejis) pokytis ∆ f yra tiesiogiai proporcingas h. Èia proporcingumo koeficientas 2 lygus ðià ∆y = 2. Kvadratinës funkcijà vaizduojanèios tiesës krypties koeficientui h ∆y = 2 + h, be to, ðis santykis lygus kirstinës AM (kai funkcijos (b atvejis) h h>0) arba kirstinës AN (kai h<0) krypties koeficientui, kuris priklauso nuo h reikðmës. 1 u þ d u o t i s. Raskite ðiø funkcijø pokytá ∆f (a) taðko x=a aplinkoje: b) f (x)=x2;

a) f (x)=kx+b;

c) f (x)=x3;

d) f ( x) =

1 . x

Bendruoju atveju nagrinëdami tolydþiàjà funkcijà, jos argumento x pokytá þymësime ∆x, t. y. laikysime, kad h=∆x. Jo þenklas priklausys nuo pasirinkto taðko padëties taðko x=a atþvilgiu. Taigi kai taðkas a+∆x yra kairëje nuo taðko x=a, tai ∆x<0, kai deðinëje ∆x>0. Tada funkcijos f (x) pokytis taðko x=a aplinkoje lygus skirtumui ∆y=∆f (a)=f (a+∆x) f (a). Funkcija f (x) taðke x=a yra tolydi, todël: 1) ji tame taðke yra apibrëþta ir ágyja reikðmæ f (a); 2) lim f ( x) = f (a), arba lim ( f (x) − f (a)) = 0. x→a x→a Funkcijos tolydumui nusakyti pritaikykime argumento pokyèio ir funkcijos pokyèio simbolius. Kadangi bet kurià x reikðmæ ið taðko x=a aplinkos galime iðreikðti suma a+∆x (x=a+∆x), tai x a=∆x, o lim f ( x) = lim f ( x) =

= lim f ( x). Taigi

x→a

x−a →0

∆x → 0

lim ( f (a + ∆ x) − f (a)) = 0,

∆x → 0

arba lim ∆y = 0. ∆x → 0

156

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Vadinasi, funkcija f (x) yra tolydi, jeigu maþà argumento pokytá ∆x atitinka maþas funkcijos pokytis ∆y. Iðnagrinëkime ðiø pokyèiø san∆y . Kirstinës AM bei teigiamotyká ∆x sios Ox pusaðës sudaromà kampà KAM paþymëkime raide β. Staèiojo trikampio AKM statiniai AK ir KM lygûs atitinkamai AK=∆x>0, KM= =∆y>0, todël

∆y = tg β = kAM , ∆x t. y. funkcijos ir argumento pokyèiø santykis lygus kirstinës krypties koeficientui. Kai ∆x → 0, kirstinë sudaro su Ox aðimi vis maþesná kampà ir artëja prie tam tikros ribinës savo padëties AT. Tiesë AT vadinama kreiv½s liestinç, nubrëþta per taðkà A. Kaip nesunku matyti ið brëþinio, kai ∆x<0 ir ∆x → 0, kirstinë taip pat artëja prie tos paèios liestinës. Abiem atvejais tg β → tg α, jei egzistuoja funkcijos ir argumento pokyèiø santykio riba, kai ∆x → 0, taigi

lim

∆x → 0

arba

lim

∆x → 0

∆y = tg α = kliest , ∆x

f (a + ∆ x) − f (a) = tg α = kliest . ∆x

Vadinasi, kreivës liestinës krypties koeficientas parodo liestinës, o kartu ir tos kreivës pasvirimà taðke x=a. 2 p a v y z d y s. Nustatykime 1 pavyzdyje nagrinëtø funkcijø liestiniø pasvirimà taðke x=1 ir taðke x=2. Sprendimas. a) Kai f (x)=2x+1, tai ∆y=2∆x ir

lim

∆x → 0

2∆ x f (1 + ∆ x) − f (1) = lim = 2, ∆x → 0 ∆ x ∆x

taigi tg α=2; b) kai f (x)=x2, tai

lim

∆x → 0

∆ x (2 + ∆ x) f (1 + ∆ x) − f (1) = lim = lim (2 + ∆ x) = 2, ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x

todël tg α=2. Apskaièiuokime tø paèiø funkcijø pokyèius taðko x=2 aplinkoje ir kliest:

Tolydþiosios funkcijos pokytis ir iðvestinë

157

a) ∆y=2(2+∆x)+1 (2·2+1)=4+2∆x+1 4 1=2∆x;

kliest = lim

∆x → 0

2∆ x = 2, taigi tg α=2; ∆x

b) ∆y=(2+∆x)2 22=4+4∆x+(∆x)2 4=4∆x+(∆x)2=(4+∆x)∆x;

kliest = lim

∆x → 0

(4 + ∆ x)∆ x f (2 + ∆ x) − f (2) = lim = lim (4 + ∆ x ∆ → ∆x → 0 x 0 ∆x ∆x

vadinasi, tg α=4. Matome, kad skirtinguose tiesës taðkuose tg α reikðmë yra vienoda (tg α=2), tuo tarpu per skirtingus parabolës taðkus nubrëþtos liestinës pasvirusios á Ox aðá nevienodais kampais. Kai funkcija yra maþëjanti (kairioji parabolës ðaka a) brëþinyje), per kiekvienà jos grafiko taðkà nubrëþta liestinë sudaro su teigiamàja Ox pusaðe bukàjá kampà, kai didëjanti (deðinioji parabolës ðaka a) brëþinyje) smailøjá kampà. Vadinasi, þinodami per funkcijos grafiko taðkà nubrëþtos liestinës krypties koeficientà (tg α), galime nusakyti funkcijos kitimo pobûdá. Brëþinyje b) ðalia kreivës nurodytas koeficiento kliest=tg α þenklas.

158

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Per virðûnæ nubrëþta parabolës liestinë sutampa su Ox aðimi, todël èia kliest=0. Ið c) brëþinio matyti, kad pagal funkcijos grafiko liestiniø krypties koeficientø þenklus bei skaitines reikðmes galima nustatyti funkcijos didëjimo ir maþëjimo intervalus, taip pat taðkus, kurie skiria tuos intervalus, nes ðiuose taðkuose kliest=0 (tg α=0), taigi ir α=0. Kadangi kiekviename kreivës taðke tg α ágyja vis kitokià reikðmæ, tai jà galima laikyti tam tikros funkcijos reikðme pasirinktame taðke. Apibrëðime ðià funkcijà. U þ d u o t i s . Apskaièiuokite funkcijos f ( x) = 6 pokytá taðkø x0 = 1 ir x 2 x1 = 4 aplinkoje, kai ∆x=0,6. Pavaizduokite tai grafiðkai.

Funkcijos iðvestinë ir geometrinë jos prasmë Tolydþios taðke x=a funkcijos y=f (x) pokytis ∆y ðio taðko aplinkoje, kaip þinome, lygus skirtumui ∆y=f (a+∆x) f (a); èia ∆x argumento pokytis. Santykis

∆y f (a + ∆ x) − f (a) = ∆x ∆x iðreiðkia vidutiná funkcijos f (x) kitimo greitá, kai funkcijos kitimas lyginamas su argumento kitimu. Ðio santykio riba, kai ∆x → 0, apibûdintø funkcijos kitimo greitá taðke x=a. Apibrëþimas. Tolydþiosios funkcijos y=f (x) pokyèio ∆y ir já atitinkanèio argumento pokyèio ∆x santykio baigtinë riba, kai ∆x artëja prie nulio, vadinama f÷nkcijos f (x) iðvestinç (x atþvilgiu) taðke x=a. Jà þymime f ′(a) arba y′(a). Vadinasi, iðvestinës apibrëþimà trumpai galime uþraðyti taip:

lim

∆x → 0

∆y f (a + ∆ x) − f (a) = lim = f ′(a) = y′(a). ∆ → x 0 ∆x ∆x

3 p a v y z d y s. Apskaièiuokime pastoviosios funkcijos f (x)=c iðvestinæ taðke x=a. Sprendimas. Kadangi pastovioji funkcija visoms x reikðmëms, tarp jø ir reikðmei x=a, priskiria tà patá skaièiø c, tai ðios funkcijos pokytis kiekvieno taðko aplinkoje lygus nuliui, todël c−c = 0, f ′(a) = c′ = lim ∆x → 0 ∆ x t. y.

c′ = 0.

Tolydþiosios funkcijos pokytis ir iðvestinë

159

4 p a v y z d y s. Apskaièiuokime funkcijos f ( x) = x iðvestinæ taðke x=a. Pirmiausia randame ðios funkcijos pokytá taðko x=a aplinkoje: ∆ f (a) = a + ∆ x − a ,

paskui taikome iðvestinës apibrëþimà:

f ′(a) = lim

∆x → 0

= lim

∆x → 0

( a + ∆x − a a + ∆x − a ∆ f (a) = lim = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x ( a +

∆x a + ∆x − a = lim = lim ∆x → 0 ∆ x ( a + ∆x + a) ∆ x ( a + ∆ x + a ) ∆x → 0 a

Jeigu a yra bet kuri x reikðmë ið funkcijos f ( x) = x apibrëþimo srities, tai galime raðyti:

f ′( x) = ( x )′ =

1 2 x

3 u þ d u o t i s. Atlikdami pirmàjà uþduotá (þr. p. 155), radote funkcijø

1 pokyèiø taðko x=a aplinkoje iðx raiðkas. Remdamiesi jomis, árodykite, kad: b) f ′(a) =2a; a) f ′(a) =k; f (x)=kx+b, f (x)=x2, f (x)=x3 ir f ( x) =

c) f ′(a) =3a2;

d) f ′(a) =

1 . a2

Paraðykite ðiø funkcijø iðvestiniø iðraiðkas su bet kuria x reikðme. Pabandykite apibendrinti, kokia bûtø funkcijos y = x n iðvestinë. Turbût pastebëjote, kad

( x )′ = nx n

n 1

. Ðá faktà árodysime vëliau.

f (a + ∆ x) − f (a) neegzistuoja, tai tolydþioji funkcija ∆x f (x) taðke x=a iðvestinës neturi. P a s t a b a. Jei lim

∆x → 0

5 p a v y z d y s. Nustatykime, ar ðios tolydþiosios funkcijos turi iðvestinæ taðke x=0: a) f (x)=x2+x;

b) f (x)=ªxª;

Sprendimas. a) lim

∆x → 0

= lim

∆x → 0

c) f ( x) = 3 x ;

∆y ((0 + ∆ x)2 + 0 + ∆ x ) − (02 + 0) = lim = ∆ x ∆x → 0 ∆x

(∆ x ) + ∆ x = lim (∆ x + 1) = 1 = f ′(0); ∆x → 0 ∆x 2

d) f ( x) = 3 x 2 .

160

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË + ∆y ª0 + ∆ xª− 0 ª∆ xª 1, kai ∆ x → 0 , = lim = lim = − ∆x → 0 ∆ x ∆ x ∆x → 0 ∆x −1, kai ∆ x → 0 ,

b) lim

∆x → 0

∆ x, kai ∆ x > 0, nes ª∆ xª=  −∆ x, kai ∆ x < 0.

Kadangi pokyèiø santykis neturi ribos, kai ∆x → 0, tai taðke x=0 funkcija f (x)=ªxª neturi iðvestinës. Tai reiðkia, kad per taðkà x=0 negalima nubrëþti funkcijos f (x)=ªxª grafiko liestinës. Per kitus taðkus, turinèius abscisæ x, nubrëþtos grafiko liestinës sutampa su pustiesëmis, kurios yra funkcijos f (x)=ªxª grafiko dalys. c) Prisiminkime funkcijos f ( x) = 3 x grafikà:

ir apskaièiuokime ðios funkcijos lim

∆x → 0

∆y ribà, kai ∆x → 0: ∆x

3 3 ∆x 0 + ∆x − 3 0 ∆y 1 = lim = lim = lim = +∞ ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 3 ∆ x ∆x → 0 ∆x (∆ x)2

Ði riba yra nebaigtinë, todël funkcija f ( x) = 3 x taðke x=0 iðvestinës neturi. Tai reiðkia, kad per taðkà O(0; 0) nubrëþta ðios funkcijos grafiko liestinë yra statmena Ox aðiai, nes tg α=+º. d) Funkcijos f ( x ) = 3 x 2 grafikas taip pat þinomas, o lim

∆x → 0

3 (0 + ∆ x)2 − 3 02 ∆y = lim = ∆ x ∆x → 0 ∆x

= lim

∆x → 0

(∆ x)2 1 = lim . ∆x → 0 3 ∆x ∆x

Tolydþiosios funkcijos pokytis ir iðvestinë

Kadangi lim− ∆x → 0

1 = − ∞, o lim+ ∆x → 0 ∆x

161

1 = + ∞, tai koordinaèiø pradþios tað∆x

ke x=0 funkcija f (x) iðvestinës neturi ir per ðá taðkà negalima nubrëþti jos grafiko liestinës. Taigi ne kiekviena tolydi tam tikrame taðke funkcija turi tame taðke iðvestinæ, kaip ir ne kiekviena turinti kuriame nors taðke baigtinæ ribà funkcija yra tolydi tame taðke. Tai galime iliustruoti ðia schema:

lim f (x) = b x→a

b baigtinis dydis

Riba

+ f (x) apibrëþta taðke x=a ir b=f (a) f (x) tolydi taðke x=a

Tolydumas

+ funkcijos grafikas turi liestinæ taðke x=a f (x) turi iðvestinæ taðke x=a

Iðvestinë

4 u þ d u o t i s. Duotas funkcijos f (x) grafikas ir nurodytos jos argumento x reikðmës, lygios a, b, c, d, e, f, g, h:

162

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Iðrinkite taðkus, kuriuose funkcija: a) neturi ribos; b) turi ribà; c) yra tolydi; d) turi iðvestinæ; e) neturi iðvestinës; f ) turi ribà, bet yra netolydi; g) yra tolydi, bet neturi iðvestinës. I ð v a d a. Jeigu funkcija f (x) taðke x=a turi iðvestinæ, tai jos reikðmë f ′(a) lygi per taðkà A(a; f (a)) nubrëþtos funkcijos grafiko liestinës krypties koeficientui, arba liestinës ir teigiamosios Ox pusaðës sudaromo kampo α tangentui:

f ′(a) =kliest=tg α. Ði lygybë atspindi geometrinæ iðvestinës prasmæ.

Funkcijos diferencialas Kaip þinome, tg α =

ið èia

KT . Vietoj AK ir tg α áraðæ jø iðraiðkas, gauname: AK KT ; f ′(a) = ∆x KT= f ′(a) ·∆x.

Atkarpa KT yra per taðkà A nubrëþtos liestinës ordinatës pokytis, kuris maþai skiriasi nuo funkcijos pokyèio ∆y=MK, kai ∆x yra labai maþas. Apibrëþimas. Sandauga f ′(a) ·∆x vadinama funkcijos f (x) diferencial÷ taðke x=a, kai f ′(a) ¥0. Diferencialas þymimas taip: dy=d(f (a))= f ′(a) ·∆x. Taigi funkcijos pokytis ∆y maþai skiriasi nuo jos diferencialo: ∆y£dy.

Tolydþiosios funkcijos pokytis ir iðvestinë

163

P a s t a b a. Iðvestinë, apskaièiuota su bet kuria kintamojo x reikðme, yra to kintamojo funkcija. Vadinasi, jei y=f (x), tai

y′ = f ′( x) ir dy= f ′(x) ·∆x.

∆x (x + ∆ x) − x = lim = 1, todël dy= (x)′ ·∆x, arba ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x ∆x dx=1·∆x, arba ∆x=dx; èia dx argumento diferencialas. Tada Kai y=x, tai y′ = lim

dy= f ′(x) ·dx,

f ′( x) =

dy . dx

Dël tokios iðvestinës iðraiðkos funkcija, turinti iðvestinæ, vadinama diferencijuojamäja f÷nkcija, o funkcijos iðvestinës skaièiavimas f÷nkcijos diferencijãvimu. Taigi funkcijos iðvestinë bet kuriame taðke gali bûti þymima ávairiai: df ( x) dy f ′( x), y′( x), y′, , . dx dx

Mechaninë iðvestinës prasmë Tarkime, kad materialusis taðkas juda tiese ir jo judëjimo dësnis reiðkiamas funkcija s=s(t). Momentu t jis yra taðke s(t), o momentu t+∆t taðke s(t+∆t). Vadinasi, per laiko tarpà ∆t tas taðkas nueina kelià, lygø ∆s=s(t+∆t) s(t), o vidutinis jo greitis ðiuo laikotarpiu ∆s . vvid = ∆t Tada materialiojo taðko greitis laiko momentu t bus vidutinio greièio riba, kai ∆t → 0:

v (t) = lim

∆ t →0

s (t + ∆ t) − s (t) = s′(t), ∆t

jei ði riba egzistuoja. Materialiojo taðko greitis laikotarpiu nuo t iki t+∆t pakinta dydþiu ∆v=v(t+∆t) v(t). Ðá pokytá padalijæ ið laiko tarpo ∆t, suþinosime greièio kitimo greitá, t. y. vidutiná pagreitá avid = materialiojo taðko pagreitá momentu t:

a (t) = lim

∆ t →0

∆v . Jo riba, kai ∆ t → 0, iðreikð ∆t

v (t + ∆ t) − v (t) = v′(t). ∆t

164

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

5 u þ d u o t i s. Remdamiesi pateiktais funkcijø f (x) grafikais bei atsiþvelgdami á geometrinæ iðvestinës prasmæ, nurodykite ðiø funkcijø iðvestinës þenklus ávairiuose intervaluose ir taðkus, kuriuose funkcijø iðvestinë lygi nuliui arba neegzistuoja. Atlikdami uþduotá, persibraiþykite grafikus á sàsiuviná ir paþymëkite kiekvieno grafiko taðkø abscises bei ordinates, reikalingas funkcijoms apibûdinti.

Vadinasi, þinodami funkcijos f (x) iðraiðkà ir mokëdami apskaièiuoti jos iðvestinæ f ′(x) , funkcijos kitimà galëtume apibûdinti ir nebraiþydami jos grafiko. Pakaktø iðspræsti atitinkamas nelygybes arba lygtis. Taigi lieka iðsiaiðkinti iðvestiniø radimo galimybes.

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës

165

4.11. IÐVESTINIØ SKAIÈIAVIMO TAISYKLËS IR FORMULËS Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës Tikriausiai jau spëjote suprasti, kad iðvestinës sàvoka gali bûti taikoma labai plaèiai. Todël svarbu mokëti apskaièiuoti ávairiausiø funkcijø iðvestines. Atrodytø, tai visiðkai paprasta. Pakanka pritaikyti iðvestinës apibrëþimà funkcijos pokytá padalyti ið argumento pokyèio ir rasti gauto santykio ribà, kai argumento pokytis artëja prie nulio. Taèiau ðis iðvestinës ieðkojimo bûdas nelabai patogus, ypaè kai funkcijos iðraiðka yra sudëtinga. Todël, remdamiesi iðvestinës apibrëþimu bei ribø skaièiavimo taisyklëmis, árodysime, kad funkcijø iðvestines galima rasti paprasèiau. Tereikia mokëti keletà taisykliø. 1. Dviejø diferencijuojamøjø (t. y. turinèiø iðvestinæ) funkcijø algebrinës sumos iðvestinë lygi tø funkcijø iðvestiniø algebrinei sumai: (u ( x) + v ( x))′ = u′(x) + v′(x).

Árodymas. Taikome iðvestinës apibrëþimà:

(u ( x) + v (x))′ = lim

∆x → 0

= lim

∆x → 0

(u ( x + ∆ x) + v (x + ∆ x )) − (u (x ) + v (x )) = ∆x

(u ( x + ∆ x) − u (x)) + (v (x + ∆ x ) − v (x )) = ∆x

= lim

∆x → 0

∆u ∆v + lim = u′( x) + v′(x). ∆ x ∆x → 0 ∆ x

1a. Baigtinio skaièiaus diferencijuojamøjø funkcijø algebrinës sumos iðvestinë lygi tø funkcijø iðvestiniø algebrinei sumai: (u ( x) + v ( x) + ... + w( x))′ = u′( x) + v′( x) + ... + w′( x).

2. Dviejø diferencijuojamøjø funkcijø sandaugos iðvestinë apskaièiuojama taip: (u ( x) ⋅ v ( x))′ = u′( x) ⋅ v ( x) + u ( x) ⋅ v′( x).

Árodymas. Kadangi u(x+∆x) u(x)=∆u, o v(x+∆x) v(x)=∆v, tai galime raðyti u(x+∆x)=u(x)+∆u, v(x+∆x)=v(x)+∆v ir

(u ( x) ⋅ v (x))′ = lim

∆x → 0

u ( x + ∆ x ) ⋅ v ( x + ∆ x ) − u (x ) ⋅ v (x ) = ∆x

166

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

= lim

∆x → 0

= lim

∆x → 0

= v (x) ⋅ lim

∆x → 0

(u ( x) + ∆u)(v (x) + ∆v) − u (x ) ⋅ v (x ) = ∆x

u ( x) ⋅ v ( x) + v ( x ) ⋅ ∆ u + u ( x ) ⋅ ∆v + ∆u ⋅ ∆v − u ( x ) ⋅ v ( x ) ∆x

∆u ∆v ∆u + u (x) ⋅ lim + lim ⋅ lim ∆v = v (x) ⋅ u′ ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x

nes lim ∆ v = 0 dël funkcijos v(x) tolydumo. ∆x → 0

2a. Pastovø daugiklá galima iðkelti prieð iðvestinës þenklà:

 u ( x) ′ 1 ′ (c ⋅ u ( x))′ = c ⋅ u′(x) arba   = ⋅ u ( x).  c  c 3. Dviejø diferencijuojamøjø funkcijø dalmens iðvestinë apskaièiuojama taip:

 u (x) ′ u′(x) ⋅ v (x) − u (x) ⋅ v′(x) , v(x)¥0.  v ( x)  = v2 (x)   Árodymas.

 u ( x) ′ 1  u (x + ∆ x) u (x)  ⋅ −  v ( x)  = ∆lim = x →0 ∆ x    v ( x + ∆ x) v ( x) 

= lim

1  u ( x) + ∆ u u ( x)  1 v ( x)(u ( x) + ∆ u) − ⋅ − = lim ⋅ ∆ x  v ( x) + ∆ v v ( x)  ∆x → 0 ∆ x v ( x)(v ( x

= lim

1 u ( x) ⋅ v (x) + v (x ) ⋅ ∆u − u (x ) ⋅ v (x ) − u (x ) ⋅ ∆v ⋅ = ∆x v (x)(v (x) + ∆v)

∆x → 0

= lim

∆x → 0

∆u ∆v ∆u ∆v − u ( x) ⋅ − u (x) ⋅ lim v ( x) ⋅ lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆ x ∆x ∆x = = v ( x)(v (x) + ∆v) v (x) ⋅ lim (v (x ) + ∆v)

v ( x) ⋅

∆x → 0

u′(x) ⋅ v (x) − u ( x) ⋅ v′( x) . v2 (x)

4. Jeigu y=f (u), o u=u(x) yra diferencijuojamosios funkcijos, tai sudëtinës kintamojo x funkcijos y=f (u(x)) iðvestinë lygi iðvestiniø f ′(u) ir u′(x) sandaugai:

( f (u(x)))′ = f ′(u) ⋅ u′(x), arba y′( x) = y′(u) ⋅ u′( x).

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës

167

Ðios lygybës kartais uþraðomos taip: ( f (u ( x)))′x = fu′ ⋅ ux′ arba yx′ = yu′ ⋅ ux′ .

∆f ∆u = f ′(u), o lim = u′( x), tai funkcijos x 0 ∆ → ∆u ∆x y=f (u(x)) iðvestinæ rasime kaip jos pokyèio bei argumento x pokyèio santykio ribà: lim

Árodymas. Kadangi

∆u → 0

∆ f ∆ f ∆u , = ⋅ ∆ x ∆u ∆ x

fx′ = lim

∆x → 0

∆f ∆f ∆u ∆f ∆u = lim ⋅ lim = lim ⋅ lim = fu′ ⋅ ux′ ∆ x ∆x → 0 ∆u ∆x → 0 ∆ x ∆u → 0 ∆u ∆x → 0 ∆ x

nes ∆u → 0, kai ∆x → 0. 5. Jeigu tolydþioji monotoninë funkcija f (x), kurios x ± [a; b], kiekviename to intervalo taðke turi nelygià nuliui iðvestinæ yx′ = f ′( x) , tai jos atvirkðtinës funkcijos x=g (y) iðvestinë x ′y = g ′( y) apskaièiuojama taip:

x′y =

1 . yx′

Árodymas. Kaip jau þinome, tolydi funkcija f (x), turinti monotoniðkumo savybæ tam tikrame intervale, turi atvirkðtinæ funkcijà g (y) su tomis paèiomis savybëmis, t. y. tolydþià ir kintanèià monotoniðkai. Raskime funkcijos g (y) pokytá, atitinkantá jos argumento y pokytá ∆y: ∆x=g (y+∆y) g (y). Kadangi funkcija x=g (y) yra didëjanti (maþëjanti), tai ∆x¥0, kai ∆y¥0. ∆x 1 ∆y . Þinome, kad lim = = yx′ ≠ 0, be to, ∆x → 0 ∆ x ∆y ∆y ∆x funkcija x=g(y) yra tolydi, taigi ∆x → 0, kai ∆y → 0, ir todël

Vadinasi, galime raðyti:

x′y = lim

∆y → 0

∆x = ∆y

∆y lim ∆x → 0 ∆ x

1 . yx′

Ði formulë, siejanti kurios nors funkcijos ir jos atvirkðtinës funkcijos iðvestines, taikoma ieðkant f ′( x), kai yra þinoma g ′( y), todël jà patogiau uþraðyti ðitaip: yx′ =

1 . x ′y

168

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Remdamiesi árodytais teiginiais, iðspræskime keletà konkreèiø pavyzdþiø. Ðiam tikslui mums teks prisiminti kai kurias jau apskaièiuotas funkcijø iðvestines: c′ = 0; x ′ = 1; ( x 2 )′ = 2 x;

1 ′ 1 1 ( x 3 )′ = 3x 2 ;   = − 2 ; ( x )′ = . x x 2 x Taip pat galime naudotis pastebëtu sàryðiu ( x n )′ = nx n 1 . 1 p a v y z d y s. Apskaièiuokime ðiø funkcijø iðvestines: a) f (x)=x2+5; d) p ( x) =

5 ; x2

b) g(x)=x3+x2 x 3; e) r (x) =

3 ; x

c) h ( x) = x 3 ⋅ x ; f ) f ( x) =

1− x . x3

Sprendimas. a) f ′( x) = ( x 2 + 5)′ = ( x 2 )′ + 5′ = 2 x + 0 = 2 x; b) g ′( x) = ( x 3 + x 2 − x − 3)′ = ( x 3 )′ + ( x 2 )′ − x ′ − 3′ = 3 x 2 + 2 x − 1

1 c) h′( x) = ( x3 ⋅ x )′ = ( x3 )′ ⋅ x + x3 ⋅ ( x )′ = 3x2 ⋅ x + x3 ⋅ 2 x =

3x2 ⋅ x ⋅ 2 x + x3 6 x3 + x3 7 x3 = = ; 2 x 2 x 2 x

2 2 ′ ′ 2 ′ d) p′( x) =  52  = 5 ⋅ x −252⋅ ( x ) = 0 ⋅ x −45 ⋅ 2 x = −104 x = − 10 x x x (x ) x  1 −3 ⋅ ′   ′ ′ 2 x = −3 = − 3 e) r′( x) =  3  = 3 ⋅ x − 3 ⋅ ( x ) = 2 x ( x) 2x x 2 x  x

1 − ⋅ x3 −  1 − x ′ (1 − x )′ ⋅ x 3 − (1 − x ) ⋅ ( x 3 )′ x 2 f ) z′( x) =  = = 3 ( x 3 )2  x 

=−

x 3 + 2 x ⋅ (1 − x ) ⋅ 3x 2 x 2 ( x + 6 x − 6 x) 5 x − 6 x =− = 2 x ⋅ x6 2 x ⋅ x6 2x4 x

2 p a v y z d y s. Pritaikykime sudëtinës funkcijos iðvestinës skaièiavimo taisyklæ ðiø funkcijø iðvestinëms rasti: a) f (x)=(7x+1)3;

b) g (x)=(3 5x2)2;

c) h ( x) = ( x − 2 x )3 ;

d) p ( x) = 4 − x 3 ;

e) r (x)=(2 5x)3·(2x+3)2;

f ) t ( x) =

(1 + x 2 )3 . ( x 3 + 2)2

169

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës

Sprendimas. a) Funkcijà f (x)=(7x+1)3 galima apibûdinti kaip funkcijà f (u)=u3, kurios u=7x+1, ir taikyti sudëtinës funkcijos iðvestinës skaièiavimo taisyklæ f ′( x) = f ′(u) ⋅ u′( x), arba fx′ = fu′ ⋅ ux′ :

fx′ = ((7 x + 1)3 )′ = (u3 )u′ ⋅ (7x + 1)′x = 3u2 ⋅ 7 = 3 ⋅ (7x + 1)2 ⋅ 7 = Nesunku pastebëti, kad rezultatà gautume greièiau, jei sudëtinës funkcijos iðraiðkoje apsieitume be tarpinio kintamojo u. b) g ′( x ) = ((3 − 5 x 2 )2 )′ = 2 ⋅ (3 − 5 x 2 )1 ⋅ (3 − 5 x 2 )′ = = 2(3 − 5 x 2 ) ⋅ (−10 x) = −20 x (3 − 5x 2 );

h′( x) = (( x − 2 x )3 )′ = 3(x − 2 x ) 2⋅ (x − 2 x )′ = 3(x − 2 x ) 2⋅

= 3( x − 2 x )2 ⋅

x − 1 3( x )2 ⋅ ( x − 2)2 ⋅ ( x − 1) = = 3 x( x x x

d) p′( x) = ( 4 − x3 )′ =

1 2 4 − x3

⋅ (4 − x3 )′ =

− 3x2 2 4 − x3

;

e) r′(x) = ((2 − 5x)3 ⋅ (2 x + 3)2 )′ = ((2 − 5x )3 )′ ⋅ (2x + 3)2 + + (2 − 5 x)3 ⋅ ((2 x + 3)2 )′ = 3(2 5x)2·( 5)·(2x+3)2+(2 5x)3·2(2x+3)·2= =(2 5x)2(2x+3)( 15(2x+3)+4(2 5x)= =(2 5x)2(2x+3)( 30x 45+8 20x)= =(2 5x)2(2x+3)( 50x 37);

 (1 + x 2 )3 ′ ((1 + x 2 )3 )′ ⋅ ( x 3 + 2)2 − (1 + x 2 )3 ⋅ (( x 3 + 2 = f ) t′( x) =  3 2  ( x 3 + 2)4  (x + 2) 

3(1 + x2 )2 ⋅ 2 x ⋅ ( x3 + 2)2 − (1 + x2 )3 ⋅ 2( x3 + 2) ⋅ 3 x2 = ( x3 + 2)4

6 x(1 + x2 )2 ( x3 + 2)( x3 + 2 − x(1 + x 2 )) 6 x(1 + x 2 )2 ( x3 + 2 − = ( x3 + 2)4 ( x3 + 2)3

6 x(1 + x2 )2 (2 − x) . ( x3 + 2)3

3 p a v y z d y s. Apskaièiuokime ðiø funkcijø iðvestines: a) y = 3 x ;

b) y = 4 x ;

c) y = 3 2 − 8 x 2 ;

d) y = 4 x 3 + 2.

170

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Sprendimas. Visais ðiais atvejais patogu taikyti atvirkðtinës funkcijos iðvestinës skaièiavimo taisyklæ yx′ =

1 . x ′y

a) Èia y = 3 x ir x=y3 yra viena kitai atvirkðtinës funkcijos, todël yx′ = ( 3 x )′ =

1 1 1 1 = = = . ( y3 )′ 3 y2 3( 3 x )2 3 3 x 2

Taigi

( 3 x )′ =

1 . 3 x2 3

b) Panaðiai skaièiuojame ir funkcijos y = 4 x iðvestinæ: yx′ = ( 4 x )′ =

1 1 1 1 1 1 = = = = = = ( y 4 )′ (( y2 )2 )′ 2 y2 ⋅ ( y2 )′ 2 y2 ⋅ 2 y 4 y3 4( 4 x )3 4

taigi ( 4 x )′ =

1 4

4 x3

c) Ðiuo atveju pasinaudosime funkcijos y = 3 x iðvestinës iðraiðka, atsiþvelgdami á tai, kad pavyzdþio sàlygoje nurodyta funkcija yra sudëtinë: yx′ = ( 3 2 − 8 x 2 )′ =

d) yx′ = (4 x 3 + 2)′ =

−16 x 1 ⋅ (2 − 8 x 2 )′ = . 2 2 3 3 (2 − 8 x ) 3 (2 − 8 x2 )2 3

1 4 4 ( x 3 + 2)3

⋅ (x 3 + 2)′ =

3x2 4 4 ( x 3 + 2)3

P a s t a b a. Laipsninës funkcijos y=xα, kurios α ± R, iðvestinës skaièiavimo formulæ iðvesime vëliau.

Logaritminës ir rodiklinës funkcijos iðvestinë Imkime logaritminæ funkcijà y=loga x, kurios a>0, a¥1 ir x>0. Suteikime jos argumentui x pokytá ∆x ir apskaièiuokime atitinkamà funkcijos pokytá ∆y: ∆y=loga (x+∆x) loga x= log a

x + ∆x = log a x

∆x   1 + x .  

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës

171

Tada logaritminës funkcijos iðvestinë bet kuriame taðke x bus lygi  1 ∆x  ∆x   ⋅ log a  1 + = lim log a  1 + y′ = (log a x)′ = lim    ∆x → 0 ∆ x ∆ → 0 x x  x    1

x  x 1 ∆x ∆x   1  = log a lim  1 + = log a e x = log a e.  ∆x → 0   x x    

Pritaikæ logaritmø savybæ log a b =

y′ =

log c b , gauname: log c a

1 ln e 1 . = x ln a x ln a

Taigi logaritminës funkcijos iðvestinë apskaièiuojama pagal formulæ (log a x )′ =

1 . x ln a

Ið èia iðplaukia, kad

(ln x)′ =

1 . x

Apskaièiuokime rodiklinës funkcijos y=ax, kurios a>0, a¥1 ir x ± R, iðvestinæ bet kuriame jos apibrëþimo srities taðke x. Jà patogu rasti taikant atvirkðtinës funkcijos iðvestinës skaièiavimo taisyklæ, nes logaritminës funkcijos x=loga y (y>0), kuri yra rodiklinës atvirkðtinë, iðvestinæ jau þinome. Turime:

y′ = (a x )′ =

1 = (log a y)′

1 = y ln a = a x ln a. 1 y ln a

Vadinasi, rodiklinës funkcijos iðvestinë apskaièiuojama pagal formulæ (a x )′ = a x ln a;

(e x )′ = e x .

4 p a v y z d y s. Apskaièiuokime ðiø funkcijø iðvestines: a) f (x)=x2+3 ln x;

b) g (x)=x ln x;

c) h (x) = 1 − 3 ln x ;

d) p (x)=ln (1 3x);

e) r (x) = ln (x − 4 x );

f ) s(x)=log2 (1 ln3 x).

172

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

3 Sprendimas. a) f ′( x) = ( x2 + 3 ln x)′ = ( x2 )′ + 3 ⋅ (ln x)′ = 2 x + ; x 1 b) g ′( x) = ( x ln x)′ = x′ ⋅ ln x + x ⋅ (ln x)′ = 1 ⋅ ln x + x ⋅ = 1 + ln x x c) h′( x) = ( 1 − 3 ln x )′ =

1 1 ⋅ (1 − 3 ln x)′ = 2 1 − 3 ln x 2 1 − 3 ln

−3 ; 2 x 1 − 3 ln x

d) p′( x) = (ln (1 − 3x))′ =

−3 1 ; ⋅ (1 − 3x)′ = 1 − 3x 1 − 3x

e) r′( x) = (ln ( x − 4 x ))′ =

 1 1 1 ⋅ ( x − 4 x )′ = ⋅ 1 − 4 4 4 3 x− x x− x  4 x

f ) s′( x) = (log 2 (1 − ln 3 x))′ =

1 ⋅ (1 − ln 3 x)′ = (1 − ln x) ⋅ ln 2 3

− 3 ln 2 x 1  − 3 ln 2 x ⋅ 1  = ⋅ .   x  (1 − ln 3 x)x ⋅ ln 2 (1 − ln 3 x) ⋅ ln 2 

I ð v a d a. Sudëtinës logaritminës funkcijos iðvestinë apskaièiuojama taip: (log a u ( x ))′ =

1 1 ⋅ u′( x ) arba (ln u ( x))′ = ⋅ u′( x). u ( x) u ( x) ⋅ ln a

5 p a v y z d y s. Apskaièiuokime: a) (x 2 ⋅ 2 x )′ = (x 2 )′ ⋅ 2x + x 2 ⋅ (2x )′ = 2x·2x+x2·2x ln 2=x·2x(2+x ln 2); b) (( x + 3e x )3 )′ = 3(x + 3e x )2 ⋅ (x + 3e x )′ = 3(x+3ex)2·(1+3ex); c) (e − x )′ = e − x ⋅ (− x )′ = e − x ⋅ (−1) = − e − x ; 1  4 − 1 x3 ′ 4 − 1 x3 1 3 ′ 4 − x3   1 2 d)  3 3  = 3 3 ⋅ ln 3 ⋅  4 − x  = 3 3 ⋅ ln 3 ⋅  − ⋅ 3 x  = − 3 3       e) (e − x ⋅ ln x)′ = (e − x )′ ln x + e − x ⋅ (ln x )′ = e − x ⋅ (−2x ) ⋅ ln x + e − x 2

1 − x2 e (1 − 2 x 2 ). x

I ð v a d a. Sudëtinës rodiklinës funkcijos iðvestinë apskaièiuojama ðitaip: (au ( x ) )′ = au ( x ) ⋅ ln a ⋅ u′( x) arba (e u ( x ) )′ = e u ( x )⋅ u′( x).

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës

173

Laipsninës funkcijos iðvestinë Apskaièiuokime laipsninës funkcijos y=xα, kurios α ± R, o x>0, iðvestinæ bet kuriame taðke x. Remdamiesi logaritmø tapatybe a log a b = b, kai a=e, galime raðyti x=eln x, o laipsninæ funkcijà y=xα iðreikðti taip: y=xα=(eln x)α=eα ln x. Pritaikæ sudëtinës funkcijos iðvestinës skaièiavimo taisyklæ, gauname:

α 1 = xα ⋅ = α xα − x x Taigi laipsninës funkcijos iðvestinë apskaièiuojama pagal formulæ ( x α )′ = (e α ln x )′ = e α ln x ⋅ (α ln x)′ = e α ln x ⋅ α ⋅

( x α )′ = α x α − 1 .

I ð v a d a. Sudëtinës laipsninës funkcijos iðvestinë apskaièiuojama taip: ((u ( x )α )′ = α (u ( x))α − 1 ⋅ u′( x ).

6 p a v y z d y s. Apskaièiuokime: 3 ′ 15 a)  x 5 + 5  = ( x 5 )′ + 3 ⋅ ( x − 5 )′ = 5 x 4 + 3 ⋅ (−5) ⋅ x − 6 = 5 x 4 − 6 ; x  x 

′ ′ ′  1   1   − 1  1 1 −1 1 − 1 −1 1 − 4 1 b)  5 x + 3  =  x 5  +  x 3  = x 5 − ⋅ x 3 = x 5 − x 3 5 3 x     5  1 1 = − ; 5 4 3 4 5 x 3 x  3 c)   7 (2 − 3x)5  =−

5 ′ 5 ′ −  − −1   5  = 3 ⋅  (2 − 3x) 7  = 3 ⋅  −  ⋅ (2 − 3x) 7 ⋅ (2 −  7   

12 − 15 45 ; ⋅ (2 − 3x) 7 ⋅ (− 3) = 7 7 7 (2 − 3x)12

1 4 1 ′  1 − x + 2 3 x 4 + x 2 ⋅ 4 x ′  − 1 −1 −1 1+  d)   =  x − x 2 + 2 x 3 + x 4  = x     1 1 5 ′ 3 2 1 −   1 − 1 − 5 =  x − 1 − x 2 + 2 x 3 + x 4  = − x −2 + x 2 + 2 ⋅ x 3 + x 4 = 2 3 4  

=−

1 1 2 5 + + + 4 x. x2 2 x 3 33 x 2 4

174

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

Trigonometriniø funkcijø iðvestinës Apskaièiuokime trigonometriniø funkcijø sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento iðvestines bet kuriame jø apibrëþimo srities taðke x. Pradëkime nuo funkcijos f (x)=sin x, kurios x ± R. Raskime jos pokytá taðko x aplinkoje: x + ∆x − x x + ∆x cos ∆ (sin x) = sin ( x + ∆ x) − sin x = 2 sin 2 2 = 2 sin

∆x ∆x   cos  x + . 2 2  

Dabar jau galime taikyti iðvestinës apibrëþimà: ∆ (sin x) = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x

(sin x)′ = lim

= lim

∆x → 0

2 sin

∆x ∆x   cos  x + 2 2   = ∆x

∆x ∆x  2  ⋅ lim cos  x + = 1 ⋅ cos x = cos x. 2  0 x ∆ → ∆x  2

sin

Taigi sinuso iðvestinë bet kuriame taðke apskaièiuojama pagal formulæ

(sin x)′ = cos x. Kadangi sinuso iðvestinæ jau þinome, tai funkcijos f (x)=cos x, kurios x ± R, iðvestinæ bet kuriame taðke x patogu ieðkoti, kosinusà pakeièiant papildomojo kampo sinusu, o paskui taikant sudëtinës funkcijos iðvestinës skaièiavimo taisyklæ: ′  ′ π π π (cos x)′ =  sin  − x   = cos  − x  ⋅  − x  = sin x ⋅ (−1 2  2  2  

Vadinasi, kosinuso iðvestinæ bet kuriame taðke x galima rasti pagal formulæ (cos x)′ = − sin x. π (2n − 1), n ± Z, iðvestinæ 2 sin x bei dalmens iðvestinës bet kuriame taðke x, remsimës formule tg x = cos x skaièiavimo taisykle:

Skaièiuodami funkcijos f (x)=tg x, kurios x ≠

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës

175

 sin x ′ (sin x)′ ⋅ cos x − sin x ⋅ (cos x)′ = (tg x)′ =   = cos2 x  cos x  =

cos x ⋅ cos x − sin x ⋅ (− sin x) cos2 x + sin 2 x 1 . = = 2 2 cos x cos x cos2 x

Vadinasi, (tg x)′ =

Prisiminæ, kad (ctg x)′ =

1 . cos2 x

cos x , panaðiai randame ir funkcijos f (x)=ctg x, sin x

kurios x¥πn, n ± Z, iðvestinæ bet kuriame taðke x:

 cos x ′ (cos x)′ ⋅ sin x − cos x ⋅ (sin x)′ = (ctg x)′ =   = sin 2 x  sin x  − sin x ⋅ sin x − cos x ⋅ cos x − sin 2 x − cos2 x − (sin 2 x = = sin 2 x sin 2 x sin Galiausiai =

(ctg x)′ = −

1 . sin 2 x

7 p a v y z d y s. Apskaièiuokime: 4 x ′ 4 x ′  = (sin 3 x)′ −  sin = 3 sin 2 x ⋅ (sin x)′ a)  sin 3 x − sin  3  3    − cos

4 x  4 x ′ 4 4x ⋅ = 3 sin 2 x cos x − cos ;  3  3  3 3

′ b)  cos 2 x + 2 tg 3x − 4 ctg x  = − sin 2 x ⋅ (2 x)′ + 2 ⋅ 12 ⋅( 2 cos 3x 

   1   x ′ 2 4 1 −4 ⋅− ⋅   = − sin 2 x ⋅ 2 + ⋅3 + ⋅ =  2 x x 2 2 cos 3x  sin 2    sin 2 2 2  = − 2 sin 2 x +

6 2 + . cos2 3 x sin 2 x 2

176

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

I ð v a d a. Sudëtiniø trigonometriniø funkcijø iðvestinës apskaièiuojamos taip:

(sin u ( x))′ = cos u ( x) ⋅ u′(x); (tg u ( x))′ =

1 ⋅ u′( x); cos u ( x) 2

(cos u (x))′ = − sin u (x) ⋅ u′(x); (ctg u ( x))′ = −

1 ⋅ u′( x). sin u ( x) 2

Atvirkðtiniø trigonometriniø funkcijø iðvestinës Atvirkðtiniø trigonometriniø funkcijø iðvestines bet kuriame taðke x rasime panaðiai, kaip ieðkojome kitø atvirkðtiniø funkcijø iðvestiniø remdamiesi atvirkðtinës funkcijos iðvestiniø skaièiavimo taisykle yx′ =

1 . x ′y

 π π Funkcijos y=arcsin x, kurios x±[ 1; 1], o y ∈  − ;  , atvirkðtinë funk 2 2 cija yra x=sin y. Tada (arcsin x)′ =

1 1 1 1 = = = . 2 (sin y)′ cos y 1 − sin y 1 − x2

Taigi (arcsin x)′ =

1 1 − x2

Ieðkodami funkcijos y=arccos x, kurios x ± [ 1; 1], o y ± [0; π], iðvestinës bet kuriame taðke x, samprotaujame analogiðkai: 1 1 1 1 = =− =− (arccos x)′ = . 2 (cos y)′ − sin y 1 − cos y 1 − x2 Galutinai

(arccos x)′ = −

1 1 − x2

U þ d u o t i s. Taikydami atvirkðtinës funkcijos iðvestinës skaièiavimo taisyklæ, árodykite, kad (arctg x)′ =

1 1 , (arcctg x)′ = − ; èia x ± R. 1 + x2 1 + x2

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës

177

Ásiminkite Taisyklës

Formulës

1. c′ = 0

1. ( x α )′ = α ⋅ x α − 1

2. x′ = 1

2. (a x )′ = a x ln a

3. (u + v)′ = u′ + v′;

2a. (e x )′ = e x

1 3. (log a x)′ = x ln a

èia u=u(x), v=v(x) 3a. (u1 + u2 + ... + un )′ = u1′ + u2′ + ... + un′ ;

3a. (ln x)′ =

èia ui=ui(x), i=1, 2, ..., n 4. (u ⋅ v)′ = u′v + uv′;

1 x

4. (sin x)′ = cos x 5. (cos x)′ = − sin x

èia u=u(x), v=v(x)

1 cos2 x 1 7. (ctg x)′ = − sin 2 x

4a. (c ⋅ u)′ = c ⋅ u′; èia u=u(x)

6. (tg x)′ =

 u ′ u′v − uv′ ; 5.   = v2 v

1 1 − x2 1 8a. (arccos x)′ = − 1 − x2 1 9. (arctg x)′ = 1 + x2

èia u=u(x), v=v(x)¥0

8. (arcsin x)′ =

6. y′x = yu′ ⋅ u′x ; èia y=y(u), u=u(x) 1 7. y′x = ; x′y èia y=y(x), o x=x(y)

9a. (arcctg x)′ = −

1 1 + x2

Uþdaviniai Raskite ðiø funkcijø iðvestines, taikydami jø skaièiavimo taisykles ir formules: 454. a) f ( x ) = x 4 ,

g ( x) = 2 x 3 ,

b) f (t) = t 5 ,

f ( x) = 4 x 2 ,

c) f ( x) = 2 x 3 , d) f ( x) = 3 x

h( x) = 3x 5 ,

g ( x) = 4 x 3 ,

2x2 h( x ) = , x

e) f (t) = t 1 t 1 ⋅ 3 t 2 ,

g ( x) = 5 x 5 ,

f ( x) =

u( x) = 3x 2 ; 2 3 h( x ) = x 4 ; 3

m( x) = 3 x 2 , 2 g ( x) = 2 3 , x x⋅3x 23 x2

;

l( x ) =

1 2x

2 3

;

178

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

f) g ( x) =

1 , x2

f ( x) =

455. a) y =

4 3

x x4 v( x) = , x

g) u( x) = 2 x3 3 x , h) f ( x) =

2 x , x3

g ( x) =

1 6 x 3x 2 + 2; 3

63 x , x

h( x ) =

3 ; x3

z( x) =

2x3 ; x3

h( x ) =

6 b) y = x x + 1 ; 7 2 7

d) y = 5 x 6 3 x 2 + 4 x;

e) y = 7 x 4 3 x 2 + 2 x;

x 2 + ; 2 x 1 + x 2; j) y = x + x

h) y =

m) y = x 3 5 x + 5x 3 x ;

n) y = x 5 (2 x );

g) y =

p) y =

x 1 6

;

5 x5

;

o) y = (3 x 5 ) 3 x ;

r) y =

x3 ; x +2

s) y =

3x 5 + x 3 + 5 ; x6 + 2

u) y =

x 3 4 ; x +1

v) y =

x +1 . 5x + 2

b) y = (3 x 3 + 2 x 6 ) ;

456. a) y = (2 x + 3) ;

d) y =

3 c) y = x x + 3; 2 3 5x ; f) y = 3 3 4 i) y = 5 + x 3 ; x 1 6 l) y = 6 + x 5 ; x

3 6 x + ; x2 x 3

k) y = 5 x 2 x 5

x3 + 2 ; x2

t) y =

1 . x2

1 ; 3x 5

e) y =

g) y = 5 1 2; x

5 3

(3 x + 2 )

c) y = 5 x + 3; 4

f) y =

;

2 h) y = 13 + ( x 3 ) ; x 3

k) y = (5 x ) ⋅ (7 x 3 ) ;

l) y = (2 x 1) ⋅ ( x + 2 ) ;

m) y =

n) y = 3 4 x 2 + p) y =

2x 7

3 x 2

3 4 x 2 5 ; 7

2 s) y = 5 x 1 ; x

+ 3;

1 1 ; + 2 1 x + 3x 2 2 3x + 1 o) y = ; x2 + 3 3 r) y = 3x + x + 1 ; 3x3 + x + 1

t) y = 4 3 4 x . x+3

j) y = (4 x 1) ⋅ (2 x ) ; 2

;

(4 x ) y = (2 x x )

;

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës

179

b) y = 32 x ;

c) y = 35 x + 4 ;

d) y = 3x2 2 x ;

e) y = e 5 x + 2 ;

f) y = e

g) y = log5 x;

h) y = log 5 (2 x + 3 );

i) y = log 5 ( x 2 + 6 x );

j) y = lg (3x 4 );

k) y = lg ( x 2 5 x ) ;

l) y = ln (5 x 3 2 x + 1) ;

m) y = cos 5 x;

n) y = cos x 2 ;

o) y = cos (6 x 2 2 x );

p) y = cos2 x;

r) y = tg (5 x + 3 );

s) y = cos  x x 2  ; 2 

t) y = 2sin x ;

u) y = e x ;

v) y = cos5 2 x.

b) y = cos3 ( x 2 + 1);

c) y = cos2 x ;

d) y = cos x ;

e) y = tg e x ;

f) y = ln sin x;

g) y = ctg x ;

i) y =

j) y = sin 2πx ; 3

h) y = 1 ; ln x sin x k) y = ; 3

m) y = 2ln x ;

n) y = e x2 + e3 ;

o) y = 3cos3 2 x.

b) y=x·ex+e2;

c) y = x x ⋅ 3x ;

457. a) y = 3x ;

458. a) y = log32 x;

459. a) y=2x+x2+2;

1 x 2

;

1 ; cos x

l) y = e tg x ;

d) y =

ex + 3 1 − ; e x

e) y =

1 x ⋅ ln x; 5

f) y =

log 3 x + 3x ; x3

g) y =

2x − 3x10 ; log 2 x

h) y =

x ⋅ 5x ; x2 + 1

i) y =

2 x ⋅ log 2 x ; x2

k) y = ln (3 − 2 x + 3);

j) y = 1 − 2 x ⋅ (1 − ln x)3 ;

1 1 + ; 5 ln 2 ln x π n) y = t cos t − sin t + sin ; 3 p) y=(x+1)·ctg x; s) y=tg t+ctg t; l) y = 31 −

5x + 6

r) y=x·sin2 x; u) y = 3 tg

m) y=t sin t+cos t; o) y=x3·tg x;

t) y=sin4 x cos4 x cos2 x;

x 2 − 2 tg + tg 2 x; x 2

v) y = 3 ctg 3

2x 2 − ctg 2 + 3 ctg x . x 3

180

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

460. a) y=log3 (x e sin x);

b) y=ln sin 5x ln cos 5x;

c) y = 3 cos5 e − x ;

d) y=tg3 (x·e 3x);

f) y=sin4 (x·ln x);

g) y = 3 x − ln tg

i) y = cos e1 − 4 x ;

j) y = 5

l) y=x·(arctg 2x+3);

m) y = 1 − x 2 ⋅ arcsin x; n) y=arcsin x2;

o) y=arctg (x·e 2x);

p) y = ln arcsin x ;

3 − ctg3

x 3

e) y=23 2 ln tg x; 3 ; x

h) y = ln 4 ctg

3 ; x

k) y = ctg ( x ⋅ cos 2 x );

;

r) y = ln 2 arctg 4 x .

461. Suprastinæ funkcijos iðraiðkà, raskite jos iðvestinæ: a) y =

3π  sin (π − x) ⋅ cos  x − 2   π 3π + x  ⋅ tg (π + x) cos  + x  ⋅ cos  2   2 

c) y =

3 − 4 cos 2 x + cos 4 x ; 3 + 4 cos 2 x + cos 4 x

e) y =

tg x − tg ( x − 1) ; 1 + tg x ⋅ tg (x − 1)

 4 x3 − 4 x 1 + x  + 4 g) y =   x   1− x h) y =

d) y = f) y =

b) y =

;

 2 1 ⋅ 1 + +  x x 

cos 4 x ⋅ tg 2 x − sin 4 x ; cos 4 x ⋅ ctg 2 x + sin 4 x

sin 2 x ⋅ cos 3x + cos 2 x ⋅ sin 3x ; cos 3x ⋅ cos 2 x − sin 3x ⋅ sin 2 x

− 0,5

⋅

x 4 + x9 6 − 10 − 96

x 6 + 6 x3 + 9 + x2 + 6 x + 9 − 6 ⋅ (16log2 x + 9log3 x ); 4( x 4 + x 2 )

 cos2 x − ctg 2 x  2 2 i) y =  ctg 2 x −  ⋅ sin x ⋅ tg x; 2 x sin   j) y = 1 + sin 4 x −

(1 + tg 2 x)2 − 2 tg2 2x . 1 + tg 2 2 x

462. Apskaièiuokite ðiø funkcijø iðvestinës reikðmæ taðke x0: a) f ( x) = 0,8 4 x +

x3 1 + , x0=1; 0,3 5x 2

b) g ( x) = ( 3 x − 2 x )3 , x0=1; c) h ( x) =

2 lg x 1 − x − log2 5, x0=2; lg e 4

1 − cos 8 x ; 1 − sin 2 2 x

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës

181

d) k ( x) = ln (6 x − x 2 ) + e 2 ln x + x , x0=1; e)

l ( x) = 4 3 − 2 x 2 +

m ( x) =

n ( x) =

p ( x) = e x

2 ⋅ 3 x , x0=1; ln 3

x − 3x2 , x0=4; log 2 x

π 1 5 sin x ⋅ tg 2 x + cos x, x0 = ; 2 2 2 3

+ 2 sin x

, x0=0;

π 1 + sin 2 x , x0 = ; 2 4 j) u(x)=e x·sin5 6x, x0=0; k) v(x)=(x2 2x)·tg x, x0=0.

r ( x) =

463. Apskaièiuokite per funkcijos grafiko taðkà x0 nubrëþtos liestinës posvyrio kampà 1° tikslumu: a) f ( x) = 1 + x , x0=4; b) h(x)=ex+2, x0=0; x −  1  2x 2 + e e  , x0=2 ln 2; 2   π d) u(x)=cos2 4x, x0 = ; 6 π 3 2 e) v(x)=cos 2x cos x, x0 = . 8

c) g ( x) =

464. a) Materialusis taðkas juda pagal dësná, iðreikðtà formule s (t)=

1 = − t3 + 3t2 − 5 (m). Raskite to taðko greitá po 7 s nuo judëjimo pradþios. 6 b) Materialusis taðkas juda pagal dësná, iðreikðtà formule s (t)= 3t + 1 (m). Apskaièiuokite to taðko greitá ir pagreitá momentu t+2 t=3 s. c) Ásitikinkite, kad judantá materialøjá masës m0 taðkà veikianti jëga 1 . yra tiesiogiai proporcinga jo nueito kelio kvadratui, kai s(t) = (t − 2)2 d) Kûnas, paleistas nuo þemës pavirðiaus laiko momentu t=0 greièiu =

gt 2 (m); 2 èia g=10 m/s2. Kuriuo laiko momentu kûno greitis bus 4 kartus maþesnis uþ pradiná?

v0=20 m/s, juda pagal dësná, reiðkiamà formule h(t)=v0t

182

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

e) Kûnas, paleistas ið 4 m aukðèio vertikaliai aukðtyn 8 m/s pradiniu greièiu, juda pagal dësná, reiðkiamà formule h(t)=4+8t 5t2 (m). Apskaièiuokite greitá, kuriuo kûnas palies þemæ. f ) 2 kg masës materialusis taðkas juda tiesiai pagal dësná, reiðkiamà formule s(t)=13t+2t2 (m). Apskaièiuokite jëgà, veikianèià uu taðkà r urmomentu t=4 s. (Remkitës ið fizikos kurso þinoma formule F = ma. ) g) 3 kg masës materialusis taðkas juda tiesiai pagal dësná, reiðkiamà formule s(t)=18t+3t2 (m). Kokio uur urdidumo jëga veikia ðá taðkà momentu t=3 s? (Primename, kad F = ma. ) h) 4 kg masës materialusis taðkas juda tiesiai pagal dësná, reiðkiamà 1 formule s(t)=4t+t2 − t3 (m). Apskaièiuokite jëgà, veikianèià tà taðkà 6 momentu t=2 s. i) Materialusis taðkas juda tiesiai pagal dësná, reiðkiamà formule 1 s(t)=5t+4t2 − t3 (m); èia laikas t matuojamas sekundëmis. Apskai3 èiuokite: 1) kuriuo laiko momentu t0 taðko pagreitis bus lygus nuliui; 2) taðko greitá tuo laiko momentu. j) Kûnas, kurio masë m0, juda tiesiai pagal dësná, reiðkiamà formule 2 s( t) = . Árodykite, kad kûnà veikianti jëga yra tiesiogiai propor2t − 1 cinga to kûno nueito kelio kubui. Pakartokite 465. 1) Apskaièiuokite f ′(0) − g ′(2), kai f ( x) =

2x , o g(x)=3x3 4,5x2+ x −1

+2x+5. 2) Raskite lygties h ( x) = h′( x) sprendiniø sumà, kai h ( x) = 2 +

x . 2−x

3) Iðspræskite nelygybæ f ′(5) ≤ g ( x), kai f (x)=x3+x 1, o g(x)=4x 5¦ ¦40,5(x 1)+77. 4) Kuriuose taðkuose funkcijos f ( x) = nuliui?

32 x − 4 ⋅ 3x + 1 − 32 x iðvestinë lygi ln 3

x+2 grafiko liestinë su teigiax −2 màja Ox pusaðe sudaro 135° kampà?

5) Kuriuose taðkuose funkcijos g ( x) =

6) Raskite taðkus, kuriuose funkcijos h ( x) = tinë yra lygiagreti su Ox aðimi.

2 ln 2 x + 3 ln x grafiko liesx

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës

183

7) Du materialieji taðkai juda tiese. Jø judëjimà apibûdina lygtys s1(t)=3t2 4t+2 ir s2(t)=t2+3t 3 (s nueitas kelias metrais, t laikas sekundëmis). Kuriuo laiko momentu pirmojo taðko greitis bus dvigubai didesnis uþ antrojo? 8) Apskaièiuokite funkcijos g(x)=x3 4x2+3x+1 grafiko liestinës, nubrëþtos per taðkà, kurio abscisë x0=1, posvyrio kampà 1° tikslumu. 9) Raskite parametrus a ir b, kai f ( x) = e ax

+ bx + 1

, o f (1) = f (0) = f ′(0).

10) Su kuriomis x reikðmëmis funkcijø f(x)=2 ln (x 3)+5 ir g(x)= =ln (x 5) 7 iðvestiniø skirtumas yra teigiamas? 11) Raskite tuos funkcijos f(x)=x (x 4)3 grafiko taðkus, per kuriuos nubrëþtos grafiko liestinës yra lygiagreèios su tiese y=5 2x. 466. 1) Raskite lygties cos2 x 2 f ′(x) =sin x· f ′(x) sprendiná, tenkinantá sàlygà 180°<x<270°, kai f(x)=cos x.

π  2) Nurodykite visus taðkus, kuriuose funkcijos f ( x) = 3 − 2 sin  2 x −  8  iðvestinë ágyja reikðmæ, lygià 2 2. π  3) Apskaièiuokite funkcijos f ( x) = cos  x +  iðvestinës taðke x0=α 2  α 1 reikðmæ, kai tg = . 2 2 π  π 1  π 4) Apskaièiuokite f   + f ′   , kai f(x)=x ctg 2x − 2 sin  + x  . 8 4 8 8       1 + cos2 2 x sprendinius, kai f(x)=2x 5) Raskite lygties f ′( x) = 2 − 2 x x +cos (270°+x) cos (180° x), o x±(0; 90°). π  6) Nustatykite funkcijos f ( x) = 2 cos2  4 x −  iðvestinës reikðmiø sritá. 3  1 sin 3x kerta abscisiø aðá? 7) Kuriuo kampu sinusoidë f ( x) = 3 1 π  8) Nustatykite, per kuriuos funkcijos f ( x) = sin  4 x −  grafiko tað2 3  kus, priklausanèius intervalui [0; π], nubrëþta liestinë sudaro su Ox aðimi 60° kampà. 2

9) Raskite taðkus, kuriuose funkcijos f ( x) = x ⋅ e x − x grafiko liestinë yra lygiagreti su Ox aðimi. 3 2 10) Raskite parametro a reikðmes, su kuriomis funkcijos h ( x) = e ax + 3 x iðvestinë ágyja tik teigiamas reikðmes. 11) Du materialieji taðkai juda tiese. Jø judëjimà apibûdina lygtys s1(t)=3t2+2t ir s2(t)=t2+8t (s nueitas kelias metrais, t laikas sekundëmis). Kokiu greièiu juda kiekvienas materialusis taðkas tuo momentu, kai jø nueitas kelias yra vienodas?

184

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË − 10

1 467. 1) Reiðkinio   3 A) 7 B) 12

 −1  ⋅ 27− 3 + (0,2)− 4 ⋅ 25− 2 +  64 9    C) 8 D) 3

2) Apskaièiuokite reiðkinio 3) Suprastinkite reiðkiná

−3

reikðmë lygi:

4 + 7 1 − 2 7 23 − 7 + − reikðmæ. 9 4− 7 4+ 7

6ax 8ax 9m2 − 1 1 − 3m + : : . m2 − 2m 3m − 6 5m − 10 3m − 6

1 4) Raskite x, kai logx (27 sin2 54°+27 cos2 54°)=  −   3 5) a) Kurie ðiø skaièiø 5 ir 0,2; 3 − 2 ir

cos 180°

2 − 3;

. (3 − 2)2

1 3 ir − yra prieðingi? 3 3 5 3 5 2 3 5 3 ; 3 − 2 ir 3 + 2; ir ir b) Kurie ðiø skaièiø ; 3 5 5 6 2 + 1 ir 2 − 1 yra atvirkðtiniai? ( 2 − 3)2 ;

6) Kuris skaièius yra maþesnis: log 5 (0,2 ⋅ 4 125) ar 91 − log3 2 + 22 log 2 4 −1 ? 7) Jei logπ x=logπ tg 28°+logπ ctg 28°, tai x=... . 8) Kai a< 2,5, reiðkinio A) 0 B) 2a 5 9) Apskaièiuokite: a)

ª2a + 5ª 7,5 + 3a reikðmë lygi: − 2 3 C) 2a+5 D) 5 2a E) 5+2a

( 3 − 2)2 − ( 3)2 − ( 3 − 2)( 3 + 2); −3

−1 0   3   +  4  − 7. − ⋅ 7 5 b)   17   7 8       10) Nustatykite skaièiaus þenklà: a) sin 2·sin 3·sin 5; b) log π tg 1;

c) lg arctg 1.

2 ? 7+4 3 D) x>y

468. 1) Kurià sàlygà tenkina skaièiai x = 7 − 4 3 ir y = A) 2x=y

B) x<y

C) x¥y

2) Kuris teiginys, apibûdinantis skaièiø A) Ðis skaièius yra maþesnis uþ 3. B) Ðis skaièius yra racionalusis. C) Nurodytas skaièius lygus

32 3 , yra teisingas?

33 ⋅ 3 3 .

D) Në vienas ið pateiktø atsakymø neteisingas.

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës

185

3) Koks yra skaièius

1997 ⋅ 1998 + 2 ? 19972 + 1999

A) Natûralusis

B) Didesnis uþ

1998 1997

A) 0

B) 1

C) 8

D) 2

  

C) Lygus 1 D) Maþesnis uþ 1 4) Skaièius x yra 50 % didesnis uþ skaièiø y. Ar galima teigti, kad skaièius y yra maþesnis uþ skaièiø x: 1 a) taip pat 50 %; b) 100 %; c) 33 %? 3 5) Kuris ðiø skaièiø yra skaièiaus 123456799...9 dalybos ið 9 liekana? n devynetø

6) Turime du indus, kuriø kiekvieno talpa (2 + 3) l ir (2 − 3) l. Koká skysèio tûrá galime tiksliai iðmatuoti tais indais? A) 4 l B) 2 l C) 2 3 l D) 3 l 7) Kurtas 10 min vijosi mechaniná triuðá 30 km/h greièiu, paskui

2 pradinio greièio. Kuris ðiø skaièiø 3 iðreiðkia vidutiná kurto greitá? A) 25 km/h B) 27 km/h C) <25 km/h D) 30 km/h

15 min bëgo greièiu, lygiu

8) Ar skaièiø x = 2 + 3 ir y = 2 − 3 dalmuo yra: a) iracionalusis skaièius;

b) 1;

c) 7 + 4 3 ?

9) Uþ kurá ðiø skaièiø yra didesnis skaièius 3 A) 3 3 B) 7 7 C) D) 5 7 2

10) Kuris teiginys, apibûdinantis skaièiø x = 3 5 + 2 − 3 5 − 2, yra teisingas? A) skaièius x yra iracionalusis. B) skaièius x yra natûralusis. C) skaièius x priklauso intervalui [1; 3). D) Në vienas ið pateiktø atsakymø neteisingas. 469. 1) Trikampio priekampis lygus 100°. Jam negretutiniai trikampio kampai yra lygûs. Apskaièiuokite trikampio kampus. 2) Per lygiagretainio ABCD ástriþainiø sankirtos taðkà O nubrëþta atkarpa MN, kertanti kraðtines AB ir CD. Apskaièiuokite lygiagretainio kraðtiniø ilgá, kai to lygiagretainio perimetras lygus 26 cm, o AM=6 cm, DN=2 cm. 3) Staèiakampio pusiaukampinë dalija ilgesnæ kraðtinæ santykiu 2 : 3. Kokio ilgio yra staèiakampio kraðtinës, jeigu jo perimetras lygus 30 cm?

186

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

4) Staèiojo trikampio statiniai yra 6 dm ir 8 dm ilgio. Á kokio ilgio atkarpas staèiojo kampo aukðtinë dalija áþambinæ? 5) Kiek sprendiniø turi ðios lygtys: 1 a) 2x+1=6 (1 x)2; b) log2 ªx+3ª= (3x+1)? 4 6) Raskite ðiø nelygybiø sprendinius: x 2 − 5 > − 3;

((2 x − 3)2 )3 ≥ 1.

7) Iðspræskite nelygybæ f (x)>h(x), kai f (x)=2 log2 x, h(x)=log2 x¦ ¦log3 3x. 1) Sode auga daugiau negu 14 obelø ir kriauðiø. Jei obelø skaièiø padidintume 2 kartus, o kriauðiø skaièiø 18, tai kriauðiø bûtø daugiau. Jei kriauðiø skaièiø padvigubintume, o obelø skaièiaus nekeistume, tai obelø vis tiek bûtø daugiau. Kiek obelø ir kriauðiø auga sode? Sprendiná raskite grafiðkai. 2) Iðspræskite lygtis: b) ªx 3ª= ªx 1ª+2. a) k2(x+1) 2k(x+3)=3(x 3); x + 2 x + 1 2x + 1 . < < 3) Iðspræskite nelygybæ 9 12 18 4) Paraðykite tiesinæ funkcijà f (x), kuri tenkintø ðias sàlygas: 1) f (1)=3, 2) f (x)=f (x+1) 2.

aªa − 3ª , kurios a< 2, lygi: a2 − a − 6 a B) − a+2

471. 1) Suprastinta trupmena A)

a a−2

C) a

a−3 a−2

2) Kurios funkcijos grafiko eskizas pavaizduotas brëþinyje? 1 A) y=1 ªxª B) y = x C) y=ªx+1ª D) y=ªxª+1

a 1 ir suma 3) Su kuriomis kintamojo a reikðmëmis trupmenø a a−4 lygi jø sandaugai? A) 2 B) 2 ir 2 C) 4 D) ( º; +º) E) 2 2 4) Trikampio kraðtinës lygios 5 ir 2 , o kampas tarp jø lygus 60°. 3 Treèioji trikampio kraðtinë lygi: A) 4

B) 2,4

C) 4

1 3

D) 3,3

E) 4,3

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës

187

 4π + x  + cos  2π + x  = ... 5) cos    3   3    A) cos x

B) sin 2x

C) cos x log

1 sin x 2

6) Suprastinkite reiðkiná a a , kai a>0 ir a¥1. 1 B) a C) 16 D) loga 4 A) 16 2 7) Funkcijos y=3x 6x+5 reikðmiø sritis yra: A) [2; +º) B) [ 2; +º) C) ( º; +º) D) ( º; 2] 8) Jei {bn} geometrinë progresija, kurios S7=b8 b1, tai ðios progresijos vardiklis q lygus: 1 1 A) 4 B) C) D) 2 2 4 9) Raskite visas parametro a reikðmes, su kuriomis lygtis sin x=a2 2a turi realiøjø sprendiniø. A) (− ∞; 1 − 2] U [1 + 2; + ∞)

B) [1 − 2; 0) U (0; 1 + 2]

C) [1 − 2; 1 + 2] D) [1 + 2; + ∞) a 10) Jei b = 2 arccos , tai a=... 5 b b b a B) 5 cos C) 2 cos D) 5 arccos A) cos 2 5 2 5 472. 1) Palyginkite π1,5 ir 3,141,5. 2) Raskite skaièiø, kai yra þinoma, kad 0,15 to skaièiaus sudaro 0,6 skaièiaus 17,5. 3) Apskaièiuokite: ( 2) 2 22·22. 5) Sudauginkite: ( 3 9 + 3 6 + 3 4)( 3 3 − 3 2). 6) Iðspræskite nelygybæ: c) ªx 1ª¡ 1. a) x·lg 2<0; b) (x 1)2¡0; 7) Atlikite veiksmus: (x3n+2·xn 5)3 : (xn 4)2. 8) Jonas sutvarko butà per 2 h, o Petras per 4 h. Per kiek laiko jie kartu sutvarkys butà? 9) Kuriuo skaitmeniu baigiasi skaièius 32002? 10) Kuris ðiø skaièiø yra didþiausias: 11) Ar ekvivalenèios nelygybës: a) (x+3)(x 2)2¡0 ir x 3¡0;

2 ⋅ 3;

2 ⋅ 3 3;

33 2 ;

3 2?

b) (x+3)(x 2)2<0 ir x+3<0?

12) Þinodami, kad 2,1 < x < 2,2, ávertinkite − 5 − 3 x .

Atsakymai 463. a) 14°; b) 45°; c) 21°; d) 74°; e) 125°. 464. b) 0,2 m/s; 0,08 m/s2; d) 1,5 s; e) 16 m/s; f ) 8 N; g) 18 N; h) 0 N; i) 1) 4 s; 2) 21 m/s.

188

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

NAUDOTA LITERATÚRA 1. A l e k s i ú n a s M., G o d v a i ö a B. ir kt. Matematika. Vilnius: Mintis, 1970. 2. A p y n i s A., N a g e l é A. Matematikos kartojimo uûdaviniai. Vilnius: Leidybos centras, 1997. 3. A t a n a s i a n a s L. ir kt. Geometrija: Vadovélis X XII klasei. Kaunas: Öviesa, 1996. 4. B i k e l i e n é V. Tikimybiù teorijos uûdavinynas. Vilnius: VU leidykla, 1987. 5. B o b y l e v N. A. 3000 konkursnych zadaæ po matematike. Moskva: Airis, 1997. 6. B o g a t y r i o v J. G., B o k o v n e v O. A. Matematika. Moskva: Nauka, 1988. 7. B o g o m o l o v N. V. Praktiæeskije zaniatija po matematike. Moskva: Vysöaja ökola, 1990. 8. B o l t i a n s k i s V., S i d o r o v a s J., Ö a b u n i n a s M. Elementariosios matematikos paskaitos ir uûdaviniai. Kaunas: Öviesa, 1982. 9. D a l y T., C o d y M., General mathematics applications. Sydney: McGrawHill Book Company, 1994. 10. D a l y T., C o d y M., W a t s o n R. Further mathematics. Sydney: McGrawHill Book Company, 1994. 11. D i l l e y C., A., M e i r i n g S., P., T a r r J., E., T a y l o r R. Algebra with trigonometry: DC Heath and Company, 1990. 12. F l e e n o r R. Ch. Investigating School Mathematics. California: Wesley publishing company, 1994. 13. F r e y H., F e l m y W.-G. Matematikos ûinynas. Kaunas: Öviesa, 1996. 14. G o d v a i ö a B., Ö i l e i k i e n é R., Ö i n k ú n a s J. Matematika. Vilnius: Mokslas, 1992. 15. G r e b e n i æ e n k a i t é P., T u m é n a i t é E. Probleminiai ir nestandartiniai uûdaviniai su sprendimais. Öiauliai: Öiaurés Lietuva, 2000. 16. J a b l o n s k i e n é O., S i æ i ú n i e n é V. Planimetrijos kurso sisteminimas. Vilnius: LMMA, 1995. 17. J a k u ö e v a E., P o p o v A., J a k u ö e v A. 2000 zadaæ i upraûnenij po matematike. Moskva: Ekzamen, 1998. 18. K i s e l i o v a s G. Geometrija: Pirmoji dalis. Planimetrija vidurinéms mokykloms. Kaunas: Valstybiné pedagoginés literatúros leidykla, 1953. 19. K i s e l i o v a s A. Matematika: Vadovélis aukötosioms mokykloms. Vilnius: Mokslo ir enciklopedijù leidykla, 1994. 20. K l o p s k i s V. ir kt. Geometrija: Mokymo priemoné IX XI klasei. Kaunas: Öviesa, 1978. 21. L e y J., Fuller M. Insight mathematics. Melburne: Oxford universitety press, 1997. 22. K u b i l i u s J. Tikimybiù teorija ir matematiné statistika. Vilnius: VU leidykla, 1996.

189 23. L a u t e r J. Mathematik 10. Schuljahr. Berlin: Cornelsen Verlag, 1993. 24. M a k a r y æ e v a s J. ir kt. Algebra: Vadovélis IX X klasei. Kaunas: Öviesa, 1999. 25. M a t e m a t i k o s u û d a v i n y n a s stojantiems ì aukötàsias technikos mokyklas / Orig. red. M. Skanavis. Kaunas: Öviesa, 1992. 26. M e y e r H. G., U n g e r K. H., V o g l e r M. Neues Mathematisches Arbeitsbuch 3. Frankfurt am Main: Diesterweg, 1982. 27. M o c k u s V. ir kt. Pasiruoökime pagrindinés mokyklos baigiamajam egzaminui. Öiauliai: Öiauliù universiteto leidykla, 1999. 28. M o c k u s V. ir kt. Pagrindinés mokyklos matematikos teminio kartojimo uûdavinynas 8 10 klasei. Öiauliai: Öiauliù universiteto leidykla, 2001. 29. M o c k u s V. ir kt. Pasiruoökime baigiamajam matematikos egzaminui. Öiauliai: Öiauliù universiteto leidykla, 1998. 30. P e k a r s k a s V., N a r k e v i æ i u s J., A n t a n a i t i s Z. Matematika: Mokymo priemoné stojantiems ì aukötàsias mokyklas. Kaunas: Öviesa, 1984. 31. P l i k u s a s A. Kombinatorikos, tikimybiù teorijos ir statistikos pradmenys: Mokomoji knyga XI XII klasei. Kaunas: Öviesa, 2000. 32. P o g o r e l o v a s A. Geometrija: Mokymo priemoné VII XII klasei. Kaunas: Öviesa, 1990. 33. R a û i n s k a i t é I. Matematikos kontroliniai darbai. Kaunas: Gabija, 1997. 34. R i b k i n a s N. Geometrijos uûdavinynas: I d. Planimetrija. Kaunas: Vaivos bendrové, 1924. 35. S i r v y d i e n é B. Viskas apie modulì. Vilnius: LPKI, 1995. 36. W a t s o n R., M c L a r e n R., J a c k s o n D. McGraw-Hill Senior Mathematics: Mathematical methods. Sydney: McGraw-Hill Book Company, 1994. 37. S t a n e l i e n é I. Algebros ir analizés pradmenys. Kaunas: Kauno Antano Snieækaus politechnikos institutas, 1984. 38. S u r v i l a P. Kombinatorikos, tikimybiù teorijos ir statistikos uûdaviniù rinkinys. Vilnius: Leidybos centras, 1994. 39. Ö i k ö n y s M. Geometrija: Aukötesniùjù mokyklù vadovélis. Kaunas: Övyturio bendrové, 1926. 40. V a i æ e k a u s k a s K. Geometrijos vadovélis IV ir V gimnazijos klasei. II d. Kaunas: Varpo spaustuvé, 1939. 41. V a ö k a s P., S u r v i l a P. Pakartokime matematikà: Apibendrinamoji medûiaga aukötesniùjù klasiù mokiniams. Kaunas: Öviesa, 1997. 42. Z a b u l i o n i s A. Matematikos brandos egzaminai. Vilnius: Leidybos centras, 1999.

190

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË

TURINYS 3.

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS (tæsinys) ..............................................................................................

3.5. Laipsninë funkcija ............................................................................

3.6. Iracionaliosios lygtys, nelygybës ir jø sistemos...........................

3.7. Rodiklinë funkcija ............................................................................ Augimo ir nykimo procesai ............................................................ Funkcija y=ax (a>0, a¥1) ............................................................ Rodiklinës lygtys, nelygybës ir jø sistemos .................................

23 23 27 29

3.8. Logaritmas ir jo savybës ................................................................

3.9. Logaritminë funkcija ........................................................................

Logaritminës funkcijos grafikas ir savybës .................................. Logaritminës lygtys, nelygybës ir jø sistemos ............................

45 48

RIBA. TOLYDUMAS. IÐVESTINË ................................................

4.1. Funkcijos ir atitiktys ....................................................................... 4.2. Atvirkðtinë funkcija ......................................................................... 4.3. Funkcijos kitimo charakteristikos .................................................. Funkcijos lyginumas ir jos grafiko simetriðkumas ..................... Funkcijos nuliai ir pastovaus þenklo intervalai .......................... Funkcijos monotoniðkumas ............................................................. Sudëtinë funkcija ............................................................................. 4.4. Progresijos ......................................................................................... Aritmetinë progresija ....................................................................... Geometrinë progresija ...................................................................... Nykstamoji geometrinë progresija ................................................. 4.5. Skaièiø sekø reiðkimo bûdai ir savybës ...................................... 4.6 Skaièiø sekos riba ir jos savybës .................................................. 4.7 Funkcijos riba, kai x → º ............................................................... 4.8. Funkcijos riba taðke ........................................................................ 4.9. Funkcijos tolydumas ........................................................................

67 75 84 84 86 86 88 92 93 97 102 120 125 134 142 149

191

4.10. Tolydþiosios funkcijos pokytis ir iðvestinë .................................... Funkcijos pokytis ............................................................................. Funkcijos iðvestinë ir geometrinë jos prasmë ............................. Funkcijos diferencialas .................................................................... Mechaninë iðvestinës prasmë .........................................................

154 154 158 162 163

4.11. Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ir formulës ................................ Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës ..................................................... Logaritminës ir rodiklinës funkcijos iðvestinë ............................. Laipsninës funkcijos iðvestinë ........................................................ Trigonometriniø funkcijø iðvestinës .............................................. Atvirkðtiniø trigonometriniø funkcijø iðvestinës .........................

165 165 170 173 174 176

Naudota literatûra ................................................................................. 188

Regina Dalytë Ðileikienë, Vilija Dabriðienë, Dràsutë Jatkonienë ir kt. MATEMATIKA Vadovëlis XI klasei ir gimnazijø III klasei II dalis Brëþiniai Alminos Zajauskienës ir Elvio Zovës Redaktorë Zita Ðliavaitë Virðelis Rûtos Deltuvaitës Leid. Nr. 15 474. Uþsak. Nr. Uþdaroji akcinë bendrovë leidykla Ðviesa , Vytauto pr. 25, 44352 Kaunas. El. p. mail@sviesa.lt Interneto puslapis http://www.sviesa.lt Spausdino AB spaustuvë Auðra , Vytauto pr. 23, 44352 Kaunas. El. p. ausra@ausra.lt Interneto puslapis http://www.ausra.lt Sutartinë kaina