Matematika 11 kl. 1 dalis

1

MATEMATIKA MOKOMOJI KNYGA XI KLASEI IR GIMNAZIJØ III KLASEI I dalis

Kaunas viesa

UDK 51(075.3) Ma615

Autoriai REGINA DALYTË ÐILEIKIENË, VILIJA DABRIÐIENË, DRÀSUTË JATKONIENË, VERONIKA BIRUTË SIRVYDIENË, JANINA ÐULÈIENË, ALDONA NAVICKIENË

Sudarë doc. dr. REGINA DALYTË ÐILEIKIENË ir dr. doc. VILIJA DABRIÐIENË Recenzavo Redaktorë ZITA ÐLIAVAITË Lietuvos Respublikos ðvietimo ir mokslo ministerijos rekomenduota 200... ... ..., Nr. ...

Pirmasis leidimas

2004

© © © © © © ©

ISBN 5-430-034739-7

Regina Dalytë Ðileikienë, 2004 Vilija Dabriðienë, 2004 Dràsutë Jatkonienë, 2004 Veronika Birutë Sirvydienë, 2004 Janina Ðulèienë, 2004 Aldona Navickienë, 2004 Sudarymas, Regina Dalytë Ðileikienë, Vilija Dabriðienë, 2004 © Leidykla viesa , 2004

3

ÁVADAS Ðis vadovëlis paraðytas laikantis tø paèiø principø, kaip ir vadovëliai IX bei X klasei. Jame mokomoji medþiaga pateikiama taip, kad kiekvienas pagrindinës mokyklos kursà iðëjæs moksleivis galëtø sëkmingai mokytis matematikos vienuoliktoje klasëje, nesvarbu ið kurio matematikos vadovëlio mokësi anksèiau.

Pirmajame skyriuje supaþindinama su vektoriaus sàvoka ir ji pirmiausia siejama su þiniomis apie geometrines figûras bei jø savybes, taip pat su pavyzdþiais ið geometrijos ir praktinio turinio uþduotimis. is skyrius yra labai svarbus mokantis fizikos, nes vienuoliktos klasës fizikos kursas pradedamas kinematika.

Taigi èia rasite nemaþai uþduoèiø, kurios susies fizikos ir matematikos þinias, reikalingas tam tikram reiðkiniui ar procesui apibûdinti iðsamiau, o ne tik pasakyti, kas jis yra.

Antrajame skyriuje glaustai pateikiamos svarbiausios þinios apie skaièius, jø savybes bei veiksmus, kuriuos jau mokëjote atlikti. Be to, ðis skyrius sudaro galimybæ pasitikrinti, kaip greitai ir teisingai galima atlikti ávairius veiksmus, ypaè tada, kai reikalinga modulio sàvoka. Ðio skyriaus nauja medþiaga yra natûraliojo laipsnio (n>2) ðaknis, jos savybës bei veiksmai, taip pat laipsnis su racionaliuoju rodikliu, jo savybës ir veiksmai.

Treèiajame skyriuje nagrinëjamos trigonometrinës funkcijos, taip pat laipsninë, rodiklinë bei logaritminë funkcija, jø savybës ir taikymas sprendþiant lygtis, nelygybes bei jø sistemas. Prie ðio skyriaus bus pateikta mokomoji kompiuterinë programa, vaizdþiai susiejanti veiksmus su funkcijø grafikais ir skirta tiek mokytis, tiek þinioms pasitikrinti (savikontrolei).

Ketvirtajame skyriuje, ávedus sekos sàvokà, pateikiama iðsamesnës informacijos apie funkcijà, jos savybes. Èia, remiantis anksèiau iðnagrinëtomis funkcijomis, apibrëþiama atvirkðtinë ir sudëtinë funkcija. Aiðkinant sekos ribos bei funkcijos ribos ir tolydumo sàvokas, akcentuojama jø svarba tiriant funkcijos savybes, jos kitimo pobûdá, kai funkcijos iðraiðka yra sudëtingesnë negu iki ðiol nagrinëtø funkcijø. Aptariant kai kuriuos praktinius uþdavinius, supaþindinama su funkcijos iðvestinës sàvoka ir iðvestinës skaièiavimo taisyklëmis bei formulëmis.

4

Kiekviename skyriuje, be teorinës dalies, kurios svarbiausi teiginiai, taisyklës, teoremos ar formulës árëmintos, pateikiama bûdingiausiø uþdaviniø sprendimo pavyzdþiø. Uþdaviniai iðdëstyti pradedant nuo paprastesniø, lengvesniø. Ðiek tiek sunkesni uþdaviniai paþymëti þenklu , o dar sudëtingesni þenklu . Tokiais pat þenklais iðskirti ir kai kurie skyreliai ar jø fragmentai, taip pat sunkesni pavyzdþiai.

Neprivaloma teorinë medþiaga, taip pat su ja susijæ pavyzdþiai pateikti rausvame fone, kaip antai r Bet kurio vektoriaus a kryptá nurodo vienetinis jo vektorius r r a0 . Paþymëkime vektoriaus a ir koordinaèiø aðiø sudaromus a smailiuosius kampus: ¨M2M1K=α, ¨M2M1L=β. Tada cos α = rx , a a a cos β = ry . Kadangi β = π − α, tai cos β = cos  π − α  = sin α = ry .

2 a a 2  Apskaièiuojame 2 2  ax   a y  2 2 2 2 cos α+cos β=cos α+sin α=1 ir  r  +  r  = 1.  a   a 

Ðie skyreliø fragmentai ar net iðtisi skyreliai bus naudingi tiems, kas mëgsta matematikà ir nori daugiau þinoti. Neprivalomà medþiagà atitinkanèiø uþdaviniø bei jø atsakymø numeriai yra nuspalvinti, pavyzdþiui, 70., 9), a).

Skyriø pabaigoje yra nemaþai uþduoèiø þinioms prisiminti ir kartoti. Daugelio uþdaviniø pateikti atsakymai. Be to, pradëdami treèiuoju skyriumi, siûlome iðbandyti grupinio darbo uþduotis, kuriø tematika skirta veiksmø atlikimo ágûdþiams formuoti arba akcentuoti jø taikymà sprendþiant praktinio turinio uþdavinius.

Tikimës, kad jos padës geriau suvokti vidinius dalyko ryðius ir matematikos taikymo galimybes.

Lauksime moksleiviø ir mokytojø pasiûlymø, pastabø bei atsiliepimø, kurie skatins mus, autorius, tobulinti vadovëlá, padaryti já patrauklesná ir mokiniui, ir mokytojui.

5

1. VEKTORIAI

1.1. SÀVOKOS IR ÞYMENYS Daþnai girdime sinoptikø praneðimus apie oro temperatûrà ir vëjo greitá. Juose temperatûra nusakoma vien skaièiumi, pavyzdþiui, 12 °C, o vëjo greitis skaièiumi ir kryptimi pagal kompasà. Antai sakoma: pûs pietvakariø vëjas 15 km/h greièiu (kitaip tariant, vëjas pûs ðiaurës rytø kryptimi). Norëdami tai pavaizduoti, vertikaliai paþymime ðiaurës kryptá (N), o jai statmenai rytø kryptá (E) ir ið pasirinkto vietovës taðko A kampu α=45° su rytø kryptimi nubrëþia- W me spindulá, kuriame pasirinktu masteliu atidedame 15 vienetø ilgio S atkarpà. Gauname vadinamàjà kryptînæ ãtkarpà AA1, t. y. atkarpà, kurios nurodyta pradþia (A) ir pabaiga (A1). Kampà α þymime N45°E. Taip pat galëtume vëjo greitá pavaizduoti ir kituose tos paèios vietovës taðkuose: B, C, D, ... .

Imkime kità pavyzdá. Trikampá ABC perstumdami lygiagreèiai su jo kraðtinëmis per jø ilgá, gauname naujà trikampá. Pavyzdþiui, trikampá BHD gauname uuur perstûmæ trikampá ABC kryptimi AB ; trikampá CDE perstûmæ tà patá trikampá ABC kryptimi uuuur AC ; trikampá DGF uuur perstûmæ trikampá CDE kryptimi AB .

Dvi kryptinës atkarpos, sutampanèios su trikampio ABC kraðtinëmis ir turinèios bendrà pradþià, vienareikðmiðkai nusako trikampio ABC padëtá. Kiekvienas naujo trikampio taðkas gaunamas perstumiant atitinkamà pradinio trikampio taðkà nurodyta kryptimi tuo paèiu atstumu, lygiu tø kryptiniø atkarpø ilgiui.

6

VEKTORIAI

Apibrëþimas. Kryptinë atkarpa vadinama vçktoriumi.

Vektorius (lot. vector veþëjas, neðëjas) brëþiniuose vaizduojamas atkarpa su rodykle, kuri rodo to vektoriaus kryptá, ir þymimas dviem didþiosiomis raidëmis su rodykle virðuje arba viena maþàja raide su rodykle virð uuur r jos, pavyzdþiui, AB arba a . Pirmoji raidë (A) rodo vektoriaus pradþià, antroji (B) jo pabaigà.

uuur r Vçktoriaus AB (vektoriaus a ) ilgi÷, arba kitaip móduliu, vadinamas atkarpos AB (atkarpos a) ilgis. uuur r Vektoriaus modulis þymimas AB , AB, a arba a.

Vektorius, kurá apibûdina jo ilgis bei kryptis ir kurio pradþios taðkà galima pasirinkti laisvai, vadinamas laisvõoju vçktoriumi. Toks vektorius vaizduoja lygiagretøjá postûmá. Laisvojo vektoriaus pavyzdþiu galime laikyti ið fizikos þinomà dydá standþiojo kûno slenkamojo judëjimo greitá. Taèiau fizikos kurse susidursite ir su kitokiais vektoriais, kitaip tariant vektorîniais d¿dþiais, kuriø reikës nurodyti ne vien kryptá bei modulá, bet ir pradþios taðkà (pavyzdþiui, jëgos veikimo taðkà). Sakykime, ið pabûklo nevienodu pradiniu greièiu iððaunami keli tokio pat dydþio sviediniai. Jie lekia skirtingomis trajektorijomis ir po tam tikro laiko tarpo nukrinta ant þemës. Sviediniø trajektorija skiriasi dël ávairiø prieþasèiø, dël kuriø kinta sviedinio judëjimo greitis kiekvienu laiko momentu.

Kiekvieno sviedinio trajektorijà bûtø galima nusakyti jo greièio vektoriumi r v(t) , kuris ávairiuose taðkuose turi vis kitokià skaitinæ vertæ ir yra nukreiptas iðilgai liestinës, nubrëþtos per pasirinktà trajektorijos taðkà. Akivaizdu, kad toks vektorius nëra laisvasis.

Skyrelio pradþioje minimos kryptinës atkarpos yra laisvieji vektoriai.

Matematikoje nagrinësime tik tokius vektorius.

7

Sàvokos ir þymenys

Apibrëþimas. Vektoriai, kuriø ilgis yra vienodas, o kryptis sutampa, vadinami lygiaïsiais vçktoriais.

Galima sakyti ir taip: vienodo ilgio ir tos paèios krypties vektoriai yra r r r lygûs. Pavyzdþiui, ðiame brëþinyje pavaizduoti keturi vektoriai a, b, c ir r d yra lygieji:

r r r r a = b = c = d.

1 p a v y z d y s. Lygiagretainio KLMN kraðtinëse LM ir KN paþymëti vektoriai yra uuuur uuuur uuur uuuuur lygûs, t. y. LM = KN , tuo tarpu KL ≠ MN , nes jø kryptys nesutampa, nors ilgis ir vienodas.

2 p a v y z d y s. Staèiakampio gretasienio matmenys yra 4 cm, 2 cm ir 3 cm.

Apskaièiuokime su ðio gretasienio briaunomis bei jo sienø ir gretasienio ástriþainëmis sutampanèiø vektoriø ilgá ir iðrinkime lygius vektorius. uuur uuur Pagal sàlygà, AB = 4 cm, BC = 2 cm, uuuur BB1 = 3 cm. Kitose briaunose esanèiø vektoriø ilgis atitinkamai lygus nurodytø vektoriø ilgiui: uuuuuur uuuuuur uuur uuur A1 B1 = C1 D1 = CD = AB = 4 cm, uuuur uuuuur uuuuuur uuur AD = B1C1 = A1 D1 = BC = 2 cm, uuuuur uuuuur uuuur uuuur AA1 = D1 D = C1C = BB1 = 3 cm. Ástriþainëse esanèiø vektoriø ilgá randame taikydami Pitagoro teoremà: uuuuur uuuur uuuur A1C1 = AC = 16 + 4 = 2 5 (cm); DB = 2 5 cm; uuuuur uuuuur AD1 = BC1 = 9 + 4 = 13 (cm); uuuuur uuuur A1 B = CD1 = 16 + 9 = 5 (cm);

uuuuur BD1 = DB2 + DD12 = 20 + 9 = 29 (cm).

8

VEKTORIAI

Iðrinkime vektorius, kurie lygûs briaunose esantiems vektoriams: uuur uuuur uuuuuur uuuuuur AB = DC = A1 B1 ≠ C1 D1 ; uuuur uuuur uuuuur uuuuur BB1 = CC1 = AA1 ≠ D1 D; uuur uuuur uuuuur uuuuuur BC = AD = B1C1 = A1 D1 . uuuuur uuuuur uuuur uuuuur Kiti lygûs vektoriai: AD1 = BC1 , AC = A1C1 .

Kaip jau þinome, kiekvienos ðio gretasienio sienos abi ástriþainës yra lygios (nes staèiakampio ástriþainës lygios), taèiau su jomis sutampantys vektoriai nelygûs, nes skiriasi jø kryptis. Tà patá galima pasakyti ir apie ðio gretasienio ástriþaines.

P a s t a b o s. 1) Vektorius, kurio pabaiga su pradþia, uuursutampa uuur uuuu r jo r vadinamas n÷liniu vçktoriumi ir þymimas AA = BB = XX = 0. Nulinio vektoriaus modulis lygus nuliui, o kryptis yra bet kuri. is vektorius vaizduojamas ta ku.

2) Dydþiai, kurie apibûdinami tik skaièiais, vadinami skaliãriniais d¿dþiais arba tiesiog skaliãrais (lot. scalaris laipti kas).

Uþdaviniai 1. Kurie ðiø dydþiø yra vektoriniai: tûris, laikas, energija, masë, sunkis, talpa, jëga, amþius, greitis, elektros krûvis, pagreitis, medþiagos tankis?

2. Pavaizduokite nurodytà vëjo greitá diagrama: a) 10 km/h, N50°W; b) 5 km/h, E40°S; c) 25 km/h, S; d) 40 km/h, N10°E; e) 30 km/h, W; f) 4 km/h, S45°E. 3. Brëþinyje pavaizduotas kvadratas PQRS; K, L, uuuur r M, N jo kraðtiniø vidurio taðkai. PK = a, uuuur r uuur r NS = b, OR = c. Nurodykite vektorius, kurie yra lygûs ðiems vektoriams: r r r a ; a) b) b; c) c.

4. Duota: H ABC, AB=BC, ¨A=30°, AD=DC, BE=EC, BD=12 cm. uuuur uuur uuur uuuur uuur Raskite: OD , OB , AB , EC , CA .

5. Duota: ABCD lygiagretainis, ¨A=45°, BE ´ AD, AE=ED, BE=4. uuuur uuuur uuur uuuur uuur Raskite: AE , ED , AB , BD , BC .

Sàvokos ir þymenys

6. Duota: KLMN staèiakampis, PKLMN=44 cm, KN : NM=3 : 8. uuuur uuuuur uuuur uuuur uuuur Raskite: KN , NM , NL , KO , MO .

7. Duota: ABCD rombas, PABCD=20 cm, AC : BD=2. uuur uuuur uuur uuur Raskite: AB , BD , CA , OC ; nurodykite vekuuur uuur toriams AB ir OC lygius vektorius.

8. Duota: ABCD trapecija, AB=CD, EF ´ AD, EF=FB=4, AB=5. uuuur uuur uuuur Raskite: AD , CB , BD .

9.

Nurodykite, kurie ðiø vektoriø yra lygûs:

10. ABCDEFA1B1C1D1E1F1 taisyklingoji ðeðiakampë prizmë. Papildæ brëþiná, nurodykite visus vektorius, kurie yra lygûs ðiems vektoriams: uuuur uuur b) FA1 ; a) BC; uuuur uuuuuur c) BB1 ; d) B1 D1 .

9

10

VEKTORIAI

uuur uuur uuur uuuur 11. Nuo ta ko P atidëkite vektorius, lygius vektoriams AB, CB, CD, DE, uuur uuuur EF ir AF.

a)

b)

A, B, C, D, E, F ± α

A, F ± α; B, C, D, E ² α

uuur 12. Apskaièiuokite vektoriaus EF modulá, kai yra þinoma, kad: a) A, E, B ± α, AD«BC, b) EF ´ α, E ± α, DF=FC, AE=EB, OE=OA=OB, 3 AD ´ α, AD=10, BC=6; OE= EF, C=18π.

4

13. Duota: AB ± α, DC«α, BC=AD, AB«DC, AB=9 dm, DC=21 dm, E, F ± α, AL ´ DC, BK ´ DC, AL=BK=8 dm, AF=BE=5 dm. uuur uuuur Raskite: CE , DF . uuur uuuur Ar CE = DF ?

Vektoriø algebra

11

14. Duota: L, M, N ± α, KL ´ α, KL=9 cm, ¨KML=30°, ¨KNL=45°, ¨MKN=90°. uuuuur Raskite: MN .

15. Duota: AB ´ α, B, C, D ± α, AC=23 cm, AD=33 cm, BC : BD=2 : 3. uuur Raskite: AB .

16. Duota: A, B, C ± α, AK ´ α, AB=BC=AC=6 cm, AK=13 cm. uuur uuuur Raskite: AL , LK .

Atsakymai 12. a) 8; b) 12. 13. 5 3 dm. 14. 9 6 cm. 15. 9 cm.

16. 3 3 cm ir 14 cm.

1.2. VEKTORIØ ALGEBRA Vektoriaus daugyba ið skaièiaus r r Vektoriaus a ir skaièiaus k (k>0) sandauga vadinamas vektorius ka, r kuris yra tos paèios krypties, kaip ir vektorius a , ir kurio modulis (ilgis) r r r lygus k a , t. y. ka = k a .

r r r r Vektoriai a ir ka vadinami vienakr¿pèiais ir þymimi a ↑↑ ka.

12

VEKTORIAI

r r Kai k<0, tai vektoriaus a ir skaièiaus k sandauga ka yra vektor rius, kurio kryptis prieðinga vektoriaus a krypèiai, o modulis lygus r r ka = k ⋅ a .

r r iuo atveju vektoriai a ir ka vadinami prie r r prie îniais ir þymimi a ↑↓ ka. Kai k= 1, tai vekr r torius a yra tokio pat ilgio, kaip ir vektorius a , tik prie ingos krypties, t. y. r r −a = a . uuur r Apibrëþimas. Nenulinio vektoriaus a (vektoriaus AB ) príe inguoju vçktoriumi vadinamas to paties ilgio prie prie inis vektorius, kuris r uuur þymimas −a ( BA). Nulinio vektoriaus prie inguoju vektoriumi vadinamas tas pats nulinis vektorius. r r r 1 p a v y z d y s. Pagal vektoriø a pavaizduokime vektorius a , 1 a , 2 −

3 r 3 r 5 r a, a ir − a : 4 4 2

Ðiuos vektorius galima atidëti tiesëje b nuo to paties ta ko O: r uuur r uuur 1 r uuuur 3 r uuuur 3 r uuuur 5r u a = OA, − a = OB, a = OC, − a = OD, a = OE, − a = O 2 4 2 4

Apibrëþimas. Nenuliniai vektoriai, esantys vienoje tiesëje arba lygiagreèiose tiesëse, vadinami kolineariaïsiais.

Nulinis vektorius laikomas kolineariu su kiekvienu vektoriumi. Taigi r vektoriai, gauti vektoriø a padauginus ið skaièiaus k, yra kolinearûs. Vek-

13

Vektoriø algebra

r r toriø k a paþymëjæ raide b, gauname tokià algebrinæ vektoriø kolinearumo iðraiðkà: r r r r a«b, kai b = ka.

Kadangi kolinearieji vektoriai gali bûti vienakrypèiai arba prieðprieðiniai, tai jø sàsaja þymima lygiagretumo simboliu.

r r Apibrëþimas. Vektoriaus a vienetini÷ vçktoriumi a0 vadinamas tos paèios krypties vektorius, kurio ilgis lygus 1. r 1 r r r r Kitaip tariant, a0 = r ⋅ a, arba a = a ⋅ a0 . a r Vienetinis vektorius a0 kartais dar vadinamas òrtu.

Vektoriø sudëtis

uuuur r uuur r uuur r Dviejø vektoriø AB = a ir BC = b suma yra vektorius AC = c : r r r r r r b) a ↑↑ b c) a ↑↓ b a) a « b

uuuur r AC = c

uuuur r AC = c

uuuur r AC = c

Apibrëþimas. Jei du vektoriai yra atidëti taip, kad antrojo vektoriaus pradþia sutampa su pirmojo pabaiga, tai tø vçktoriø sumâ vadinamas vektorius, kurio pradþia sutampa su pirmojo dëmens pradþia, o pabaiga su antrojo dëmens pabaiga. uuur uuur uuuur r r r Ra ome: AB + BC = AC, arba a + b = c. Ði lygybë, iðreiðkianti vadinamàjà vektoriø sudëties trîkampio tais¿klæ, kartais ávardijama kaip Chaslio ir Mëbijaus formulë*. r Prie bet kurio vektoriaus a pridëjæ nuliná vektoriø, gausime tà patá r vektoriø a : r r r a + 0 = a. * Ði formulë taip pavadinta pagerbiant jos atradëjus Fransua Michelá Chaslá (F. M. Chasles; 1793 1880) ir Augustà Ferdinandà Mëbijø (A. F. Möbius; 1790 1868).

14

VEKTORIAI

Sudëkime du nekolinearius vektorius, kurie: a) turi bendrà pradþios taðkà; b) neturi në vieno bendro taðko.

Nuo ta ko B atidedame vektoriø uuuur uuuur BD, lygø vektoriui AC :

Tada, pagal vektoriø sudëties uuuur trikampio taisyklæ, vektorius AD uuur uuuur bus vektoriø AB ir AC suma, t. y.

vektoriø uuurNuo ta ko B atidedame uuur BE , lygø vektoriui CD :

uuuur uuur Vektorius AE bus vektoriø AB uuur ir CD suma, t. y. uuur uuur uuur uuur uuuur AB + CD = AB + BE = AE.

uuur uuuur uuur uuuur uuuur AB + AC = AB + BD = AD.

r r Abiem atvejais nekolineariø vektoriø a ir b suma yra ið jø sudaryto r lygiagretainio ástriþainës vektorius c. Ðis vektoriø sudëties bûdas vadinamas lygiagretaïnio taisyklç. Ja remdamiesi, galime teigti, kad r r uuuur uuuur uuur r r a + b = AD = AC + CD = b + a, vadinasi, r r r r a + b = b + a,

taigi vektoriø sudëèiai bûdingas perstatomumo (komutatyvumo) dësnis. r r r Atskiru atveju a + (− a) = 0.

Vektoriø algebra

15

2 p a v yrz d y s. Sudëkime tris nekolinearius r r vektorius a, b ir c .

Kadangi vektoriø sudëèiai bûdingas perstatomumo dësnis, tai ðiuos vektorius galime sudëti bet kuria eilës tvarka:

Ið ðio pavyzdþio iðplaukia, kad, norint sudëti tris, keturis ar daugiau vektoriø, reikia nuo pirmojo vektoriaus pabaigos atidëti antràjá vektoriø, nuo jo pabaigos treèiàjá vektoriø ir t. t., tada pirmojo vektoriaus pradþià sujungti su paskutinio vektoriaus pabaiga. Taip gautas vektorius bus visø atidëtø vektoriø suma: uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur AB + BC + CD + DE + EF + FG = AG. is keleto vektoriø sumos radimo bûdas vadinamas vektoriø sudëties daugiãkampio taisyklç.

Jei pirmojo vektoriaus pradþia sutampa su paskutinio vektoriaus pabaiga, tai tø vektoriø suma yra nulinis vektorius: uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = AA = 0.

Vektoriø atimtis r r r r Dviejø vektoriø a ir b skirtumà, þymimà a − b, rasime taikydami vektoriø sudëties taisyklæ r r r r a − b = a + (− b), r r r t. y. prie vektoriaus a pridëdami vektoriui b prieðingà vektoriø b :

16

VEKTORIAI

r r a) a « b

r r b) a ↑↑ b

uuuur r uuuur r AB = a, BC = − b

r r c) a ↑↓ b

uuuur r uuuur r AB = a, BC = − b

r r r r r r r uuuur r r uuuur a + ( − b ) = d = a − b; a − b = AC; a − b = AC. r r r r r r d yra vektoriø a ir b skirtumas, vektorius Jei d = a − b, tai vektorius r r a turinys, o vektorius b atëminys.

r r Jei nekolinearieji vektoriai a ir b turi bendrà pradþios taðkà, tai jø skirtumo vektorius jungia jø pabaigos taðkus ir yra nukreiptas ið atëminio á turiná. r r 3 p a v y z d y s. Duoti vektoriai m ir n . r r 1r Nuo ta ko P atidëkime vektoriø p = 2m + n, o 3 r r r nuo taðko R vektorius q = n − 2m ir r r r r = n + 2m. r r Pirmiausia vektorius m ir n atidedame r 1r nuo bendro pradþios ta ko P, paskui nubrëþiame vektorius 2 m bei n ir 3 sudedame juos pagal vektoriø sudëties trikampio arba lygiagretainio tair syklæ; tada, panaðiai samprotaudami, gauname q :

r r I ð v a d a. Jei vektoriai a ir b yra lygiagretainio kraðtinës, tai tø vektoriø suma ir skirtumas sutampa su jo ástriþair r nëmis c ir d : r r r r r r c = a + b, d = a − b.

17

Vektoriø algebra

1 u þ d u o t i s. Remdamiesi vektoriaus daugybos ið skaièiaus ir vektoriø sudëties apibrëþimais bei geometriniu jø vaizdavimu, pagráskite ðiuos dësnius: 1) perstatomumo (komutatyvumo) r r r r a + b = b + a; 2) jungiamumo (asociatyvumo)

r r (k ⋅ m) ⋅ a = k ⋅ (m ⋅ a); r r r r r r r r r a + b + c = a + (b + c ) = (a + b) + c ;

3) skirstomumo (distributyvumo) r r r (k + m) ⋅ a = k ⋅ a + m ⋅ a; r r r r k ⋅ (a + b) = k ⋅ a + k ⋅ b. Ðie dësniai leidþia reiðkinius su vektoriais pertvarkyti laikantis tø paèiø taisykliø, kaip ir pertvarkant skaitinius reiðkinius. Be to, vektoriai padeda iðspræsti daugelá geometrijos uþdaviniø, árodyti nemaþai teoremø.

4 p a v y z d y s. Árodykime, kad vidurinë trikampio linija yra lygiagreti su treèiàja to trikampio kraðtine ir lygi jos pusei.

1 bûdas

uuur 1 uuur uuuur 1 uuuur EA = BA, AF = AC. 2 2 uuur uuur Árodykime: EF « BC, uuur 1 uuur EF = BC .

2 uuur uuur uuuur 1 uuur 1 uuuur EF = EA + AF = BA + AC = 2 2 1 uuur uuuur 1 uuur = ( BA + AC) = BC, 2 2 uuur uuur vadinasi, EF « BC ir uuur 1 uuur EF = BC .

2

Duota:

2 bûdas

uuuur 1 uuur uuuur 1 uuuur AE = AB, AF = AC. 2 2 uuur uuur Árodykime: EF « BC, uuur 1 uuur EF = BC .

2 uuur uuur Vektorius BC ir EF i reik kime skirtumu: uuur uuuur uuur BC = AC − AB, uuur uuuur uuuur 1 uuuur 1 uuur EF = AF − AE = AC − AB = 2 2 uuuu r uuur uuur 1 1 = ( AC − AB) = BC, 2 2 uuur uuur uuur 1 uuur todël EF « BC ir EF = BC .

2

Duota:

18

VEKTORIAI

5 p a v y z d y s. Apskaièiuokime sumà: uuuur uuur uuuur uuuur uuur r p = 4 AD + 2 AB + 6 DA + 10 DB + 12 BC. uuuur uuuur uuuur uuur uuuur Þinome, kad AD = − DA, o DB + BC = DC, todël uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur r p = − 4 DA + 2 AB + 6 DA + 10 DB + 10 BC + 2 BC = uuuur uuur uuuur uuur uuur = (6 − 4) DA + 2 AB + 10( DB + BC ) + 2 BC = uuuur uuur uuuur uuur = 2 DA + 2 AB + 10 DC + 2 BC = uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur = 2( DA + AB + BC) + 10 DC = 2 DC + 10 DC = 12 DC. r r r r r r 6 p a v y z d y s. Árodykime: jei x = 2a − 3b, o y = a − b, tai vektorius r r r r a ir b galima iðreikðti vektoriais x ir y . r r r r r r 2a − 3b = x, 2a − 3b = x, r r r r r r a − b = y ⋅2 a − b = y ⋅3 r r r r r r − a = x − 3 y, ⋅ (−1) − b = x − 2 y, ⋅ (−1) r r r r r r a = − x + 3 y. b = − x + 2 y; Pertvarkant vektorines lygybes, jø narius galima kelti ið vienos lygybës pusës á kità, tik reikia tø nariø þenklà pakeisti prieðingu. r r r r Sakykime, duota lygybë a + b = x + y. Prie abiejø jos pusiø pridëkime r vektoriø − b : r r r r r r a + b + (− b) = x + y + (− b), arba r r r r r r r r r r a = x + y − b, nes b + (− b) = 0 ir a + 0 = a.

7 p a v y z d y s. Ásitikinkime, kad, sujungæ gretimø staèiakampio kraðtiniø vidurio taðkus, gausime lygiagretainá. uuur uuur r uuur uuur r Paþymëkime: PQ = SR = a, PS = QR = b. uuur 1 uuur 1 r uuuur 1 uuur 1 r Tada PB = PQ = a, DR = SR = a, 2 2 2 2 uuur 1 uuur 1 r uuur 1 uuur 1 r PA = PS = b, CR = QR = b.

2 2 2 2 uuur uuur uuur r 1 1r 1 r r Todël AB = AP + PB = − b + a = (a − b), 2 2 2 uuuur uuuur uuuur 1 r 1 r 1 r r DC = DR + RC = a − b = (a − b).

2 2 2 uuur uuuur Taigi AB = DC. Ið èia iðplaukia, kad prieðingos keturkampio kraðtinës yra lygios ir lygiagreèios. Vadinasi, ABCD lygiagretainis.

Vektoriø algebra

8 p a v y z d y s. Duoti trys erdvës vektoriai. Gretasienio briaunos yra su ðiais vektor r r riais kolinearûs vektoriai 2a, 3b ir − 2c. Pavaizduokime vektoriø r r r r d = 2a + 3b − 2c. uuur r Nuo ta ko A atidedame vektorius AB = 2a, uuuur uuuur r uuuu r uuuu r r AC = 3b ir AK = −2c. Kadangi BD = AC, o uuuuur uuuur DM = AK , tai r uuur uuuur uuuuur uuuur d = AB + BD + DM = AM , taigi nuo gretasienio virðûnës A skirtingose jo briaunose atidëtø trijø vektoriø suma lygi vektoriui, sutampanèiam su gretasienio ástriþaine.

Nesunku pastebëti, kad r r r uuuur uuur uuuuur uuuur 3b + 2a − 2c = AC + CD + DM = AM. 9 p a v y z d y s. H ABC yra plok tumoje α, o ta kas O ðalia tos plokðtumos. Árodykime: jei D trikampio ABC pusiaukraðtiniø sankirtos taðkas, tai uuuur 1 uuur uuur uuur OD = (OA + OB + OC).

3 uuur r uuur r uuur r Paþymëkime: OA = a, OB = b, OC = c. Tada uuuur uuur uuuur OD = OE + ED. uuur uuur uuuur uuur 1 uuur Bet OE = OA + AE = OA + AB = 2 uuur 1 uuur uuur r 1 r r r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r r = O A + (O B - O A )= a + (b - a)= a + b - a = a + b = (a + b), 2 2 2 2 2 2 2

uuuur 1 uuuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuur E D = E C = - C E = - (C A + A E )= - O A - O C + (O B - O A ) = 3 3 3 3Ł 2 ł

=-

1 r r 1r 1r 1 1r 1r r 1 r 1r 1r a - c+ b - a = a + b - c = c- a - b , 2 ł 3Ł 2 2 ł 3 Ł2 2 ł 3Ł 2

uuuur 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r r r todël OD = a + b +  c − a − b  = (a + b + c ).

2 2 3 2 2  3

19

20

VEKTORIAI

Skaliarinë dviejø vektoriø daugyba

r r Du nenulinius vektorius a ir b atidëjæ nuo to paties taðko O, turësime du spindulius, kuriuose bus minëti vektoriai: r r r r r r a) a « b b) a ↑↑ b c) a ↑↓ b

Apibrëþimas. Kamp÷ ta³p dviejý nen÷liniø vçktoriø, atidëtø nuo to paties taðko, vadinamas kampas tarp iðeinanèiø ið to paties taðko spinduliø, kuriuose yra ðie vektoriai. r r Kampo tarp nenuliniø vektoriø didumas þymimas ( a, b )=ϕ. Kai ϕ= r r = 90°, sakoma, kad vektoriai yra statmeni, ir þymima a ⊥ b. Taigi su bet kuriais nenuliniais vektoriais teisinga nelygybë r r 0°¡( a, b )¡180°.

Kartais bûna svarbu vieno vektoriaus padëtá kito atþvilgiu apibûdinti jø sudaromu kampu, kai tas kampas yra: a) smailusis; b) bukasis. r Atidëkime abu vektorius nuo to paties ta ko O ir i vektoriaus b pabair gos ta ko B nuleiskime statmená á tiesæ, kurioje yra vektorius a :

21

Vektoriø algebra

Ið staèiojo trikampio OCB i plaukia, kad r r r OC = b ⋅ cos ϕ, OC = b ⋅ cos (180° − ϕ) = − b ⋅ cos ϕ, 0°<ϕ<90°;

90°<ϕ<180°. r r r Matome, kad sandauga b ⋅ cos ϕ yra teigiama, kai vektoriai a ir b sudaro smailøjá kampà, ir neigiama, kai jie sudaro bukàjá kampà. i sanr r dauga vadinama vçktoriaus b projçkcija vçktoriaus a kryptyjç ir þymima r r ba = prar b = b ⋅ cos ϕ.

Pavyzdþiui, mechanikoje darbas, kaip fizikinis dydis, reiðkiamas poslinkio modulio ir jëgos projekcijos ur poslinkio kryptyje sandauga.

Sakykime, F trinkelæ veikianti jëga, ur r s trinkelës poslinkis, Fs jëgos F projekr cija poslinkio s kryptyje. Mechaniná darbà, kaip áprasta, paþymëjæ raide A bei atsiþvelgæ á darbo apibrëþimà, gauname: A=Fs·s. ur Jëgos projekcija Fs=F·cos ϕ, todël jëgos F atliktas darbas A=F·s·cos ϕ.

Apibrëþimas. Dviejø nenuliniø vektoriø ilgiø (moduliø) bei kampo tarp jø kosinuso sandauga vadinama skaliãrine tø vektoriø sìndauga. r r r r Skaliarinë vektoriø a ir b sandauga þymima a · b . Vadinasi, pagal apibrëþimà, r r r r r r a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ, ϕ = (a, b). ur Mechaninë ðios sandaugos prasmë tokia: kai jëgos F veikiamas kûnas r atlieka poslinká s , tai fizikos poþiûriu ðios jëgos atliktas darbas A lygus ur r ur r r r skaliarinei vektoriø F ir s sandaugai, t. y. jei a = s , o b = F , tai ur r A= F · s .

Ið skaliarinës vektoriø sandaugos apibrëþimo iðplaukia tokios jos savybës: r r r r 1) a · b >0, kai 0<ϕ<90°; a · b <0, kai 90°<ϕ<180°; r r r r 2) a · b =0, kai vektoriai a ir b yra vienas kitam statmeni, nes tada cos ϕ=0, taigi r r r r vektoriø a ir b statmenumo sàlyga yra a · b =0;

22

VEKTORIAI

r r r r r r r r 3) kai a = b , tai a · b = a · a . Skaliarinë sandauga a · a vadinama r r skaliãriniu vçktoriaus a kvadrat÷ ir þymima a2 .

Tada r r r r r r 2 a2 = a ⋅ a = a ⋅ a ⋅ cos 0° = a , nes cos 0°=1.

Vadinasi, 3 savybæ galime formuluoti taip: skaliarinis vektoriaus kvadratas lygus to vektoriaus ilgio kvadratui: r r 2 a2 = a .

P a s t a b a. Jeigu ið dviejø vektoriø nors vienas yra nulinis, tai skaliarinë tø vektoriø sandauga lygi nuliui.

10 p a v y z d y s. Remdamiesi brëþinio duomenimis, apskaièiuokime r r r r r r r r a · a , a · b , b ⋅ c ir a ⋅ c. r r a · a =4·4·cos 0°=16, r r 1 a · b =4·5·cos 60°= 4 ⋅ 5 ⋅ = 10, 2 r r 3 = 10 3, b ⋅ c = 5 ⋅ 4 ⋅ cos 30° = 5 ⋅ 4 ⋅ 2 r r a ⋅ c =4·4·cos 90°=16·0=0.

Skaliarinës vektoriø daugybos dësniai yra panaðûs á skaièiø daugybos dësnius: 1) perstatomumo (komutatyvumo) dësnis r r r r r r r r r r a ⋅ b = b ⋅ a, nes b ⋅ a = b ⋅ a ⋅ cos (− ϕ) = b ⋅ a ⋅ cos ϕ; 2) jungiamumo (asociatyvumo) dësnis r r r r r r (ka) ⋅ b = a ⋅ (kb) = k(a ⋅ b), r r r r r r nes (ka) ⋅ b = ka ⋅ b ⋅ cos ϕ = k(a ⋅ b), a ⋅ (kb) = a ⋅ kb ⋅ cos ϕ = k ⋅ a ⋅ b ⋅ cos ϕ = r r = k(a ⋅ b); 3) skirstomumo (distributyvumo) dësnis r r r r r r r a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c .

Jis iðplaukia ið brëþinio ir skaliarinës sandaugos apibrëþimo: r r r r r r r a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + c ⋅ cos ϕ = a ⋅ AD; r r r r r r r r a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ AC + a ⋅ CD = a ( AC + CD) = a ⋅ AD,

23

Vektoriø algebra

r r r r nes atkarpa AD = b + c ⋅ cos ϕ yra vektoriaus b + c projekcija vektoriaus r r a kryptyje, atkarpa AC vektoriaus b projekcija, o atkarpa CD vekr r toriaus c projekcija vektoriaus a kryptyje.

11 p a v y z d y s. Árodykime Pitagoro teoremà. uuur r uuur r uuur r r Paþymëkime: BC = a, CA = b, BA = a + b, r r be to, a ⊥ b.

Apskaièiuokime staèiojo trikampio ABC áþambinës AB ilgá, taikydami skaliarinës sanr2 r daugos 3 savybæ a = a2 ir skaliarinës daugybos dësnius: uuur 2 r r2 r r r r r r r r r r r AB = a + b = (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + a ⋅ b + b ⋅ a + r r r r r r Kadangi a ⊥ b, tai a ⋅ b = b ⋅ a = 0, todël uuur 2 r r AB = a2 + b 2 .

(

Vadinasi,

uuur AB

2

)

uuur 2 uuur 2 = BC + CA , arba AB2=BC2+AC2.

12 p a v y z d y s. Apskaièiuokime kampo tarp dviejø vienetiniø vektoriø uuuur uuuur OM bei ON kosinusà ir iðreikðkime já kampø ¨AON=α bei ¨AOM=β (pasirinkdami α>β, 0¡α¡2π, 0¡β¡2π) siuuuur uuuur nusu ir kosinusu, kai ( OM , ON )=α β.

Jau þinome, kad vienetinio apskritimo taðkø M ir N koordinates galima iðreikðti kampø β ir α kosinusu ir sinusu: M(cos β; sin β) ir N(cos α; sin α).

Kadangi KM=xM xK=cos β cos α, o KN=yN yK=sin α sin β, tai ið staèiojo uuuuur trikampio MKN randame vektoriaus MN ilgá, t. y. atkarpos MN ilgá: MN 2=KM 2+KN 2, MN2=(cos β cos α)2+(sin α sin β)2= 2 =cos β 2 cos α cos β+cos2 α+sin2 α sin α sin β+sin2 β= =cos2 β+sin2 β+cos2 α+sin2 α 2(cos α cos β+sin α sin β), taigi MN 2=2 2(cos α cos β+sin α sin β). uuuuur uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur Vektorius MN yra vektoriø ON ir OM skirtumas: MN = ON − OM , o skaliarinis jo kvadratas

24

VEKTORIAI

uuuuur 2 uuuur uuuur uuuur 2 uuuur uuuur uuuur 2 MN = (ON − OM )2 = ON − 2 ⋅ ON ⋅ OM + OM = uuuur uuuur = 2 − 2 ⋅ OM ⋅ ON cos (α − β) = 2 − 2 cos (α − β). uuuuur 2 Pagal skaliarinës sandaugos 3 savybæ, MN = MN 2 , todël 2 2 cos (α β)=2 2(cos α cos β+sin α sin β), arba cos (α β)=cos α cos β+sin α sin β.

Kai α<β, tai cos (α β)=cos ( (β α))=cos (β α), o β α>0.

2 u þ d u o t i s. Kampà β pakeitæ kampu β, apskaièiuokite cos (α+β),

π  π  paskui, pasinaudodami savybe sin (α¤β)= cos  − (α ± β)  = cos  − α  m β ), 2 2     gaukite sin (α¤β) iðraiðkà, taigi árodykite, kad: cos (α+β)=cos α cos β sin α sin β, sin (α¤β)=sin α cos β¤cos α sin β.

13 p a v y z d y s. Apskaièiuokime: sin 105°=sin (60°+45°)=sin 60° cos 45°+cos 60° sin 45° = =

3 2 1 2 2 ( 3 + 1). ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 4

I ð v a d a. Kai α=β, gauname dvigubo kampo formules: sin 2α=2 sin α cos α ir cos 2α=cos2 α sin2 α.

Remdamiesi jomis, rasime tg 2α bei ctg 2α: tg 2a =

ctg 2a =

2 tg a sin 2a 2 sin a cos a 2 sin a cos a = , = = cos 2a cos2 a - sin 2 a cos2 a (1 - tg2 a ) 1 - tg2 a

cos 2a cos2 a - sin 2 a sin 2 a (ctg2 a - 1) ctg2 a - 1 = . = = 2 ctg a os a sin 2a 2 sin a cos a 2 sin a co

Tapatybæ 1=sin2 α+cos2 α panariui sudëdami su lygybe cos 2α= = cos2 α sin2 α ir ið jos atimdami, gauname labai daþnai reikalingas iðraiðkas: 1+cos 2α=2 cos2 α ir 1 cos 2α=2 sin2 α.

Vëliau ðias formules taikysime pertvarkydami trigonometrinius reiðkinius bei spræsdami trigonometrines lygtis ir nelygybes.

25

Vektoriø algebra

r r ka « a, k ± R

Veiksmai su vektoriais

r r lb « b, l ± R

r r xm « m, x ± R

Skaliarinë daugyba

Atimtis

Sudëtis r r r r a+b+m = n

r r r a+b = c

Daugyba ið skaièiaus

Santrauka

r r r c = a+b r r r r r d = a − b = a + −b

( )

r r r r a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ r r 1) a ⋅ b > 0, kai 0°<ϕ<90°, r r a ⋅ b < 0, kai 90°<ϕ<180°; r r r r 2) a ⋅ b = 0, kai a ⊥ b; r r 2 r r 3) a2 = a , a = a2 .

26

VEKTORIAI

Veiksmø su vektoriais dësniai Daugybos ið skaièiaus ir sudëties

Skaliarinës daugybos

r r r r a+b =b+a

r r r r a⋅b = b ⋅a

Perstatomumo dësnis

r r r r k ⋅ (la) = l ⋅ (ka) = ( kl) a r r r r r r r r r r r r r r (k ⋅ a) ⋅ b = a ⋅ (kb) = k ⋅ (a ⋅ b) a + b + m = m + (a + b) = (b + a) + m r r r r r r r r r r (k + l) ⋅ a = ka + la ( a + b) ⋅ m = a ⋅ m + b ⋅ m r r r r k ⋅ (a + b) = ka + kb

Jungiamumo dësnis Skirstomumo dësnis

Primename sin2 α+cos2 α=1, 1 + tg 2 α =

1 1 , 1 + ctg 2 α = , 2 cos α sin2 α

α

0°

30°

45°

60°

90°

sin α

0

1 2

2 2

3 2

1

cos α

1

3 2

2 2

1 2

0

tg α

0

3 3

1

3

ctg α

3

1

3 3

0

tg α·ctg α=1.

sin (α¤β)=sin α cos β¤cos α sin β, cos (α¤β)=cos α cos β m sin α sin β, sin 2α=2 sin α cos α, cos 2α=cos2 α sin2 α, 2 tg α tg 2α = , 1 − tg 2 α ctg 2 α − 1 , ctg 2α = 2 ctg α 1+cos 2α=2 cos2 α, 1 cos 2α=2 sin2 α.

Uþdaviniai r 17. Duotas vektorius c . Nubraiþykite iuos vektorius: r r r r a) 2 c ; b) 3 c ; c) 2c − 3c ; r r d) −2c − c ;

e)

1r c; 3

1r f) − c ; 3

 r 1 r g) 2  − c − c  ; 3  

2 r h) 6  −  c;  3

i)

r 31 r c + 3c  ; 4  3 

r 2r j) −2  c − 2c  ; 3 

r r k) −3  − 1 c + 2 c  .

3   2

27

Vektoriø algebra

18. Pavaizduokite nurodytø vektoriø sumà: a)

b)

c)

d)

e)

f)

19. Remdamiesi brëþiniu, nurodykite, kuriuos skaièius reikia áraðyti vietoj daugtaðkiø: uuuur uuur a) AC = ... AB; uuuur uuuur b) AM = ... AE; uuur uuur c) FD = ... EF ; uuur uuuur d) EA = ... BN .

r r 20. Duoti du vektoriai: a ir b . Nubraiþykite vektorius: r r r r r r b) a − b; c) a + 2b; a) a + b; r r 2r 1r 1r 3r d) 2a − 4b; e) a + b; f) a + b; 3 3 4 2 r 2r 1r 1r g) − a + b; h) a + b.

3 2 2 r r 21. Paþymëkite brëþinyje ir iðreikðkite vektoriais a ir b ðiuos vektorius: uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur b) AC, OC, BC; c) CE, ED, AM , a) OC, BC, CA, uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur AB, BA, OM ; OM , AC, EB.

AC«OB, AC=2OB

M taisyklingojo e iakampio centras

28

VEKTORIAI

22. Brëþinyje pavaizduota figûra yra sudaryta ið lygiø lygiagretainiø. Vekr r toriais a ir b iðreikðkite nurodytus vektorius:

uuur a) OA; uuur f) OC; uuur uuuur k) OA + FD;

uuur b) AB; uuur g) OF ; uuuur uuuur l) KC + GC;

uuur c) BC; uuuur h) OG; uuuur uuuur m) KF GC;

uuur uuur d) CD; e) CE; uuur uuur uuuur i) KL; j) OB + OE; uuuur uuuur n) 2 AF + LD.

23. ABCD lygiagretainis. Ta kas E dalija ástriþainæ AC santykiu 2 : 1, skaièiuojant nuo virðûnës A, o ta kas M yra kraðtinës CD vidurio taðkas. Árodykite, kad taðkai B, E ir M yra toje paèioje tiesëje.

24. Ið apskritimo centro nubrëþti keturi spinduliai: OA, OB, OC ir OD. Jei uuur uuur uuur uuuur r OA + OB + OC + OD = 0, tai ABCD staèiakampis. Árodykite.

25. P, Q, R ir S yra keturkampio OACB kraðtiniø taðkai. uuur vidurio r uuur r Vektoriais OA = a, OB = b ir uuur r OC = c iðreikðkite ðiuos vektorius: uuur uuur uuuur a) OP ; b) OS; c) OQ; uuur uuur uuur d) PQ; e) OR; f) SR; uuur uuur uuur g) QR; h) PS; i) PR. Kaip vadinamas keturkampis PQRS? Pasiûlykite, kaip dar bûtø galima nustatyti to keturkampio rûðá.

29

Vektoriø algebra

uuur r 26. Duotas gretasienis, kurio OA = a, uuur r uuur r OB = b , OC = c . uuuur uuur uuur uuuur a) Vektorius OD, OE, OF ir OG r r r i reik kite vektoriais a, b ir c. b) Árodykite, kad uuuur 1 r r r OM = (a + b + c ); 2 èia M gretasienio ástriþainiø sankirtos taðkas.

uuur r 27. Duota piramidë OABC. Jos OA = a, uuur r uuur r OB = b , OC = c . Jei P, R ir T yra ðoniniø briaunø vidurio taðkai, tai D, E ir F pagrindo kraðtiniø vidurio taðkai. Árodykite.

28. Trikampio kraðtinëse vekuuur ABC uuur paþymëti r uuur r r = b ir CA = c. Paraðykitoriai AB = a, BC r r r te vektorius a, b ir c siejanèià lygybæ. Árodykite, kad: r r r r a) a + b ≤ a + b ; r r r r b) a − b ≤ a − b . r r r 29. Vektoriø x iðreikðkite vektoriais a ir b , kai: a) AP=PB;

b) AP : PB=3 : 2;

c) AK=KL=LB

uuur r 30. Ta kas O yra trikampio ABC pusiaukraðtiniø sankirtos taðkas, AB = c , uuuur r r r AC = b. Vektoriais b ir c iðreikðkite ðiuos vektorius: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) OA; c) AB − OC; d) OA + OB + OC. a) BC; uuur r uuuur r 31. ABCD trapecija, kurios AD«BC, AD=4BC, AB = a, AD = b. Vektor r riais a ir b i reik kite iuos vektorius: uuuur uuuur uuur uuuur uuuur b) AC; c) BD; d) AC − BD. a) CD;

30

VEKTORIAI

r r r r 1r 1r r 1 r r 32. Yra þinoma, kad m = 2a − b, n = a + b, p = (a + b). I reik kite vek3 4 2 r r toriais a ir b ias sumas: r r r r r r r r r a) 2m + 3n + p; b) 4n − m − 2 p; c) m + n − p.

33. Árodykite, kad: uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur r a) AB − CB + CD + DE − FE + FG − AG = 0; uuuur uuur uuuur uuuuur uuuur r b) AC + CD − KM + DM − AK = 0.

34. Suprastinkite iuos vektorinius rei kinius, pavaizduodami juose nurodytus vektorius: uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur b) BC + BD + CD; c) KL + ML + LM ; a) BA + AD + DC; uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur d) AC + CD − AM ; e) AB − CD − AC + BE; uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur f) MT − KE − MK + AT − AE; g) DK − EA − AB + KB − DB.

35. Remdamiesi brëþinio duomenimis, raskite nurodytus dydþius: r r r r r r r a) s − v ; b) kampà tarp vektoriø p ir p + q; c) a + b .

uuur 36. Vëjui puèiant kryptimi BC 3 m/s greièiu, paraðiutininkas leidosi sudarydamas su vertikale 45° kampà. Kokiu greièiu leidosi paraðiutininkas?

37. Ðaulys paleido strëlæ statmenai vëjo, puèianèio 4 m/s greièiu, krypèiai. Taèiau ji lëkë sudarydama su vëjo kryptimi kampà α, kurio tangentas 3 apytiksliai lygus . Kokio didumo greièiu lëkë 4 strëlë?

38. Berniukas plaukia upe 3 3 km/h greièiu statmenai upës krantams, upës tëkmës greitis lygus 3 km/h. Kokio didumo kampà su upës tëkme sudaro berniuko plaukimo trajektorija?

31

Vektoriø algebra

39. Pagal brëþinio duomenis apskaièiuokite: r r r r r r a) a ⋅ a; b) a ⋅ b; c) b ⋅ a; r r r r r ur d) b ⋅ c ; e) a ⋅ c; f) a ⋅ d.

40. Brëþinyje pavaizduotø vektoriø ilgis yra r r toks: a = 4, b = 5. Apskaièiuokite skaliarinæ ðiø vektoriø sandaugà, kai: a) ϕ=0;

b) ϕ =

π ; 2

c) ϕ=π;

d) ϕ =

π ; 4

3π 2π 5π ; f) ϕ = π ; ; h) ϕ = . g) ϕ = 4 3 3 6 41. Remdamiesi brëþiniø duomenimis, apskaièiuokite kiekvienos vektoriø r r a ir b poros skaliarinæ sandaugà:

e) ϕ =

a)

b)

c)

d)

e)

uuuur 42. Brëþinyje pavaizduotus vektorius OX uuuur uuur r ir OY iðreikðdami vektoriais OA = u uuur r ir OB = v, árodykite, kad OA=2OB. 43. ABC lygia onis uuur uuuur trikampis, kurio AC=8, AB=BC, AD=DC. Apskaièiuokite AB ⋅ AD. 44. Trikampio ABC uuur uuuurplotas lygus 10, o kampo A tangentas lygus 4. Apskaièiuokite AB ⋅ AC. 45. Lygiaðonë trapecija ABCD (AD«BC) apibrëþta apie apskritimà. Apuuur uuuur skaièiuokite AB ⋅ AD, kai BC=6, AD=8. uuur uuuur r r r r 46. Dvi trikampio kraðtinës yra AB = 2 p + 3q ir AC = 4 p − 5q. Apskaièiuor r kite treèiosios kraðtinës ilgá, kai p = 3, q = 1, o kampas tarp vekr r toriø p ir q lygus 30°. r r r 47. Dvi lygiagretainio kra tinës sutampa su vektoriais m = 3a + 2b ir r r r r n = a + 2b. Apskaièiuokite to lygiagretainio ástriþainiø ilgá, kai a = 3, r r r b = 4, o kampas tarp vektoriø a ir b lygus 120°.

48. Kokio didumo kampu susikerta lygiagretainio, sudaryto ið vektoriø r r r r r r r r p = 8a + 4b ir q = 4a + b, ástriþainës, jeigu a ir b yra vienetiniai vienas kitam statmeni vektoriai?

32

VEKTORIAI

r r r r r r r 49. Yra þinoma, kad a ⊥ b ir a = b . Ar vektoriai m = 3a + 5b ir r r r n = 10a − 6b yra vienas kitam statmeni? r r r r r r 50. Kokio didumo kampà sudaro vektoriai a ir b , kai (2a + 3b) ⊥ (a − b) ir r r a = 5, o b = 2? r r r r r r 51. Apskaièiuokite kampà ϕ tarp vektoriø a ir b , kai (3a − 5b) ⊥ (2a + b) r r r r ir (a + 4b) ⊥ (b − a).

52. Suprastinkite: r r r r r r r r r r r r r b) (a + b)(a − b) + 3(a + 2b)(a − 2b); a) (a + b)2 − a ⋅ (a + 2b); r r r r r r r r r r r r r r c) (a − 3b)2 + 2a ⋅ (a + 3b); d) a ⋅ (2a − 6b) + (2a + b)(2 a − b) + (a + 3b)2 ; r r r r r r r r e) (3a − b)2 + 2(2a + b)2 − (2a − b)(4 a + 3b); r r r r r r r r r f) (a + b)(2b a) + b 2 + (2a − 3b)(a + b).

53. Apskaièiuokite: a) sin 15°; b) sin 75°; f)

c) cos 105°;

sin 20° cos 50° + cos 20° sin 50° ; cos 20° cos 50° − sin 20° sin 50°

g)

d) tg 165°;

e) ctg 105°;

sin 23° cos 32° − cos 23° sin 32° ; cos 23° cos 32° + sin 23° sin 32°

h) cos 10°+cos 11° cos 21°+cos 69° cos 79°; i) sin 20°+sin 13° sin 57° sin 33° sin 77°.

54. Apskaièiuokite ðiø reiðkiniø reikðmes: a) 2 sin

π π cos ; 12 12

b) cos2

π π − sin 2 ; 12 12

c) sin 4

3π 3π − cos4 ; 8 8

d) cos2 73°+cos2 17°+2 sin 47° sin 43°; e) sin3

α α α α cos + cos3 sin .

5 5 5 5

Atsakymai

r uuur r uuuur r uuuuur r uuuur r r uuuur r r uuuur r r 21. c) CE = b, ED = − a, AM = b, OM = a + b, AC = a + b, EB = 2a − b. 22. e) − b − r r r r r r 1 r r 4r 2r r 2r 3r − 3a; i) 5a − 3b; j) 2a + 2b. 29. a + b; c) (b − a). 30. c) c − b. 31. d) 2a − 3b.

3 3 3 5 5 r 5r uuuur uuuur 32. b) b − a. 34. e) DE; g) BE. 41. a) 2; d) 2; e) 3. 44. 5. 45. 8.

3 r r r 63 192 . 51. cos2 ϕ = . 52. a) b 2 ; b) 4 a2 − 13b 2 ; 46. 2 7. 47. 6 ir 4 13. 48. cos ϕ = 65 25 ⋅ 43 r r r r2 r2 r2 2 r2 2 2 2 2 ( 3 + 1); ( 3 − 1); b) c) 3a + 9b ; d) 7a + 8b ; e) 9a + 6b ; f) a . 53. a) 4 4 2 (1 − 3); d) 2 − 3; e) 2 + 3; f) ctg 20°; g) tg 9°. c) 4

Vektoriaus koordinatës

33

1.3. VEKTORIAUS KOORDINATËS Vektorius plok tumoje Koordinaèiø plokðtumoje Oxy nuo koordinaèiø pradþios taðko O atidëkir r r r me du vienetinius vektorius i ir j : vektoriø i Ox aðyje, vektoriø j Oy a yje. Tuos vektorius vadinsime koordinãtiniais vçktoriais, arba òrtais. Tada pasirinkime kurá nors plokðtumos taðkà M(x; y) ir ið koordinaèiø pradþios uuuur r O á já nubrëþkime vektoriø OM = r. Ðá vektoriø vadinsime taðko M viétos vçktoriumi.

Kiekvienas plokðtumos taðkas turi savo vietos vektoriø. uuuur Susiekime vietos vektoriø OM su r r koordinatiniais vektoriais i ir j . Vekuuuur toriø OM pakeiskime dviejø vektoriø suma: uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur OM = OK + KM = OK + ON , nes KM = ON . uuuur uuuur r r uuuur uuuur r r Kadangi OK = OK ⋅ i = x ⋅ i , ON = ON ⋅ j = y ⋅ j , tai uuuur r r r r r OM = x ⋅ i + y ⋅ j , arba r = x ⋅ i + y ⋅ j . r r r Taigi vietos vektoriø r iðreiðkëme koordinatiniais vektoriais i ir j . r r r r Apibrëþimas. Vektoriai x ⋅ i ir y ⋅ j vadinami vçktoriaus r r kompone²tëmis (lot. componens sudarantis): x ⋅ i i komponente, r r r y ⋅ j j komponente, o skaièiai x ir y vçktoriaus r koordinãtëmis.

Vektoriaus koordinatës raðomos tarp riestiniø skliaustø po vektoriaus r r þymens: r {x; y} arba r ={x; y}.

1 p a v y z d y s. Remdamiesi brëþinio duomenimis, paraðykime taðkø A, B, C, D, E, F, G ir H vietos vektoriø koordinates: uuur r r OA = 3i + 4 j = {3; 4}; uuur r r OB = 5i + 2 j = {5; 2}; uuur r r OC = 6i − j = {6; − 1};

34

VEKTORIAI

uuuur r r OD = 4i − 4 j = {4; − 4}; uuur r r OF = −2i + 0 ⋅ j = {−2; 0}; uuuur r r OH = −2i + 4 j = {− 2; 4};

uuur r r OE = 0 ⋅ i − 3 j = {0; − 3}; uuuur r r OG = −4i − 4 j = {− 4; − 4}; uuuur r r OK = −4i + 4 j = {− 4; 4}. uuuur uuuur Kaip matyti ið brëþinio, OD ir OK yra prieðingieji vektoriai. Vektoriui uuuur uuuur uuuur OD prieðingos yra ir vektorius AO = −OD = {− 4; 4}.

I v a d o s. 1) Bet kurio plok tumos ta ko M vietos vektoriaus koordinatës lygios taðko M koordinatëms. r 2) Ta ko M vietos vektoriaus r koordinatës yra to vektoriaus projekcijos koordinaèiø aðyse. r r 3) Jei r nulinis vektorius, tai abi jo koordinatës lygios nuliui: 0{0; 0}. r r 4) Vektoriaus r ilgis (modulis) lygus r = x 2 + y 2 . r r Vienetiniais vektoriais i ir j galima iðreikðti ne tik vietos vektoriø, bet ir kiekvienà koordinaèiø plokðtumos vektoriø, jei þinomos jo pradþios bei pabaigos taðkø koordinatës. Koordinaèiø plokðtumoje Oxy paþymëkime uuuuuuu r r du taðkus: M1(x1; y1), M2(x2; y2), ir nubrëþkime vektoriø M1 M2 = a. Ðis vektorius lygus dviejø vietos vektoriø skirtumui: uuuuuuur uuuuuur uuuuur r r r r r r M 1 M 2 = O M 2 - O M 1 = (x2 i + y2 j)- (x1i + y1 j)= = (x2 - x1 )i + (y2 - y1 )j.

Ið èia uuuuuuu iðplaukia, kad vekr toriaus M1 M2 koordinatës uuuuuuur yra M1 M2 {x2 x1; y2 y1}, vauuuuuuur dinasi, vektoriaus M1 M2 koordinatës lygios jo pabaigos taðko M2 ir pradþios ta ko M1 atitinkamø koordinaèiø skirtumui.

Skirtumas x2 x1=ax vadir namas vektoriaus a projekcija Ox a yje, o y2 y1=ay jo projekcija Oy a yje.

Taigi r r r a = ax i + a y j = {ax ; ay }.

uuuuuuur uuur uuur Vektoriai AB, CD ir M1 M2 yra lygûs, jø projekcijos koordinaèiø aðyse taip pat lygios. Vadinasi, lygiagreèiai perstumto vektoriaus koordinatës nepakinta.

35

Vektoriaus koordinatës

Ásitikinsime, kad vektoriaus koordinatës vienareikðmiðkai apibûdina vektoriø, t. y. kad, þinant jo koordinates, galima rasti jo ilgá ir nurodyti kryptá. Sakykime, vektor riaus a koordinatës yra tokios: r a ={x2 x1; y2 y1}={ax; ay}. Staèiajam trikampiui M1KM2 pritaikæ Pir tagoro teoremà, randame a :

r a

M1 M22 = M1 K 2 + KM22 , 2

= ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 ,

r a = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 , arba

r a = ax2 + a2y .

r r Bet kurio vektoriaus a kryptá nurodo vienetinis jo vektorius a0 . Paþyr mëkime vektoriaus a ir koordinaèiø aðiø sudaromus smailiuosius kamay a pus: ¨M2M1K=α, ¨M2M1L=β. Tada cos α = rx , cos β = r . Kadangi a a a π π β = − α, tai cos β = cos  − α  = sin α = ry . Apskaièiuojame 2 a 2  2

2

 a   ay  cos α+cos β=cos α+sin α=1 ir  rx  +  r  = 1.  a   a  r Todël vienetinio vektoriaus a 0 koordinatës yra tokios: 2

2

2

2

ay  r  a a0 =  rx ; r  = {cos α; cos β} = {cos α; sin α}. a   a

r Vadinasi, vektoriaus a kryptá nurodo kosinusai kampø, kuriuos tas vektorius sudaro su koordinaèiø aðimis.

2 p a v y z d y s. Staèiakampio OACB kraðtinëje OA atidëtas vienetinis r r vektorius i , kraðtinëje OB vienetinis vektorius j , be to, yra þinoma, kad M ir N kraðtiniø BC ir AC vidurio taðkai. uuur uuuur uuuur uuuuur a) Iðreikðkime vektorius OB, OM , ON ir MN vienetiniais vektoriais uuur uuur r r i ir j kai OA = 4, OB = 6. uuuuur uur b) Raskime vektoriaus MN = m vienetiná vektoriø.

36

VEKTORIAI

Sprendimas. a) Þinodami staèiakampio OACB virðûniø koordinates O(0; 0), A(4; 0), C(4; 6) ir B(0; 6), galime nurodyti vidurio taðkø M ir N padëtá, taigi M(2; 6) ir N(4; 3). Tada vietos vektorius galësime iðreikðti taip: uuur r uuuur r r uuuur r r OB = 6 j , OM = 2i + 6 j , ON = 4i + 3 j. uuuuur uuuur uuuur Vektorius MN lygus vektoriø ON ir OM skirtumui, todël r r r r r uuuuur uuuur uuuur m = MN = ON − OM = 4i + 3 j − 2i + 6 j = r r = 2i − 3 j = {2; − 3}. uuuuur b) Vektoriaus MN koordinates galëjome rasti ir kitaip ið taðko N koordinaèiø atimdami atitinkamas taðko M koordinates, t. y. uuuuur MN ={4 2; 3 6}={2; 3}. r r Vektoriaus m vienetiná vektoriø m0 rasime taip: r  2 r m 1 3  m0 = r = ; − ⋅ {2; − 3} =  .

2 m 13   13 2 2 + ( −3 )

(

) (

)

r 2 3 >0, o sin α = <0, tai vektorius m su Ox aðimi 13 13 sudaro smailøjá, o su Oy aðimi bukàjá kampà. uuur r 1 u þ d u o t i s. Vektorius AB = a sudaro su koordinaèiø aðimis bukuosius kampus α ir r β. Ar jo vienetinio vektoriaus a0 koordinatës lygios ðiø kampø kosinusams? Pagráskite.

Kadangi cos α =

Vektorius erdvëje Per erdvës taðkà O nubrëþkime tris viena kitai statmenas tieses, pasirinkime atkarpø matavimo vienetà ir kiekvienoje tø tiesiø nuo r r taðko O atidëkime vienetinius vektorius i , j r r ir k. Vektoriaus i kryptimi nubrëþkime Ox r aðá, vektoriaus j kryptimi Oy aðá, vektor riaus k kryptimi Oz aðá. Taip parinktos a ys vadinamos erdv½s koordinãèiø aðimîs ir sudaro staèiaka±pæ erdv½s koordinãèiø

37

Vektoriaus koordinatës

sistçmà, þymimà Oxyz. Ox a is vadinama abscîsiø aðimî, Oy a is ordinãèiø aðimî, Oz a is aplikãèiø aðimî. Trys plokðtumos, einanèios per koordinaèiø aðis, vadinamos koordinãèiø plokðtumomîs ir þymimos Oxy, Oxz bei Oyz. Erdvës taðko M koordinatës nusakomos panaðiai kaip ir plokðtumos taðko koordinatës, taèiau per taðkà M brëþiamos ne koordinaèiø aðims statmenos tiesës, bet plokðtumos ir paþymimi jø bei koordinaèiø aðiø Ox, Oy, Oz sankirtos ta kai M1, M2, M3. Ta ko M abscisç vadinama ta ko M1 koordinatë x=OM1, ordinatç ta ko M2 koordinatë y=OM2, aplikatç ta ko M3 koordinatë z=OM3. Taigi ta ko M padëtá erdvëje apibûdina trys skaièiai taðko M koordinatës. Jos uþraðomos taip: M(x; y; z).

Erdvës koordinaèiø sistemoje nuo taðuuuur r ko O atidëkime vektoriø OM = r. Kaip ir r analogiðkas plokðtumos vektorius r , jis vadinamas tãðko M viétos vçktoriumi. uuuuur r r uuuuur r uuuuur Kadangi OM1 = xi , OM2 = yj , OM3 = zk ir uuuur jø suma yra vektorius OM , tai uuuur uuuuur uuuuur uuuuur r r r OM = OM1 + OM2 + OM3 = xi + yj + zk, arba

r r r r r = xi + yj + zk.

r r r r Vektoriai xi , yj ir zk vadinami viétos vçktoriaus r kompone²r r tëmis, o skaièiai x, y, z vçktoriaus r koordinãtëmis. Þymima: r {x; r y; z} arba r ={x; y; z}.

Bet kurio erdvës taðko koordinatës lygios jo vietos vektoriaus koordinatëms, o ðios savo ruoþtu yra to vektoriaus projekcijos koordinaèiø r aðyse. r Jei r nulinis vektorius, tai visos jo koordinatës lygios nuliui: 0{0; 0; 0}. r Vektoriaus r ilgis apskaièiuojamas pagal formulæ r r = x 2 + y2 + z2 ,

nes, pagal Pitagoro teoremà, ON 2= OM12 + OM22 = x2+y2 ir OM 2=ON 2+MN 2=x2+y2+z2. r Vektorius r sudaro su erdvës koordinaèiø aðimis kampus α=¨M1OM, β=¨M2OM ir γ=¨M3OM, kuriø kosinusus apskaièiuojame panaðiai kaip plokðtumos vektoriaus:

y x z cos α = r , cos β = r , cos γ = r . r r r

38

VEKTORIAI

r r Vektorius r0 ={cos α; cos β; cos γ} yra vietos vektoriaus r vienetinis vektorius, nes r2 r x 2 + y2 + z2 2 2 2 = r 2 = 1. cos α+cos β+cos γ= r2 r r r Bet kurá erdvës vektoriø a (ne tik vietos vekr r toriø) r galima iðreikðti vienetiniais vektoriais i , j ir k (kurie dar vadinami koordinatiniais vektor riais), jei þinomos vektoriaus a pradþios ir pabaigos taðkø koordinatës, taigi galima rasti bet kurio vektoriaus koordinates (projekcijas koordinaèiø aðyse). Erdvës koordinaèiø sistemoje Oxyz paþymëkime du taðkus: M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), uuuuuuur r ir nubrëþkime vektoriø M1 M2 = a. Jis lygus taðkø M2 ir M1 vietos vektoriø skirtumui: uuuuuuur uuuuur uuuuur r r r r r r M1 M2 = OM2 − OM1 = ( x2 i + y2 j + z2 k) − ( x1i + y1 j + z1 k) = r r r = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z2 − z1 )k, uuuuuuur uuuuuuur todël vektoriaus M1 M2 koordinatës yra tokios: M1 M2 ={x2 x1; y2 y1; z2 z1}.

r Skirtumas x2 x1=ax yra vektoriaus a projekcija Ox a yje, y2 y1=ay jo projekcija Oy a yje, z2 z1=az jo projekcija Oz a yje. Tada r r r r a = ax i + a y j + az k = {ax ; a y ; az }.

r Vektoriaus a pradþios taðkà perkeldami á koordinaèiø pradþià ir nekeisdami vektoriaus krypties, gausime vietos vektoriø, kurio koordinatës r þinomos. Vadinasi, vektoriaus a ilgá (modulá) galime apskaièiuoti kaip ir r vektoriaus r : r a = ax2 + a2y + az2 .

3 p a v y z d y s. Duotos trikampio ABC virðûniø koordinatës: A(1; 2; 3), B(3; 2; 2) ir C(0; 1; 1). Apskaièiuokime: a) atstumà tarp taðkø A ir B; b) atkarpos AB vidurio ta ko koordinates; c) trikampio ABC pusiaukraðtinës CD ilgá; d) trikampio ABC pusiaukraðtiniø sankirtos taðko koordinates.

39

Vektoriaus koordinatës

r r r uuur r Sprendimas. Paþymëkime: a = OA = i + 2 j + 3k = {1; 2; 3}, r uuur r r r b = OB = 3i + 2 j − 2k = {3; 2; − 2}, r r r r uuur c = OC = 0 ⋅ i − j + k = {0; − 1; 1}. uuur a) Raskime vektoriaus AB koordinates: uuur r r AB ={3 1; 2 2; 3 ( 2)}={2; 0; 5} = 2i + 5k. uuur Atstumas tarp taðkø A ir B lygus vektoriaus AB ilgiui: uuur AB = AB = 22 + 02 + 52 = 29. b) Pagal vektoriø sudëties lygiagretainio taisyklæ, viena to lygiagretainio ástriþainë lygi kraðtiniø vektoriø sumai, o kita jø skirtumui, be to, þinome, kad lygiagretainio ástriþainës susikirsdamos dalija viena kità pusiau, todël atkarpos AB vidurio ta ko D vietos vektorius uuuu r 1 r r 1 r r r r r r 1 r r r r r 1r O D = (a + b)= (i + 2 j+ 3k + 3i + 2 j- 2k)= (4i + 4 j+ k)= 2i + 2 j+ k.

2 2 2 uuuur 2 Ta ko D koordinatës yra tokios pat, kaip vektoriaus OD , taigi 1 D  2; 2;  .

2  uuur c) Randame vektoriaus CD koordinates: uuur 1 1 CD = 2 − 0; 2 − (−1); − 1 = 2; 3; − .

2 2

{

}{

uuur 1 1 1 Tada CD = CD = 4 + 9 + = ⋅ 16 + 36 + 1 = 53.

4 2 2

}

40

VEKTORIAI

d) Remdamiesi 1.2 skyrelio 9 pavyzdþiu, galime ra yti: uuuu r 1 uuur uuur uuuu r 1 r r r r r r r r O E = (O A + O B + O C )= (i + 2 j+ 3k + 3i + 2 j- 2k - j+ k)= 3 3 r r r 1 4r r 2 r 4 2 . = (4i + 3 j + 2k) = i + j + k = ; 1; 3 3 3 3 3

{

}

4 2 Taigi ta ko E koordinatës yra E  ; 1;  .

3 3   2 u þ d u o t i s. C atkarpos AB vidurio taðkas. Remdamiesi vektoriais, árodykite, kad x + xB y + yB z + zB , yC = A , zC = A . xC = A 2 2 2

3 u þ d u o t i s. Trikampio ABC pusiaukraðtiniø sankirtos taðko koordinates iðreikðkite to trikampio virðûniø koordinatëmis.

Uþdaviniai 55. Koordinaèiø plokðtumoje nurodyti du taðkai:uuur A(5; 2) ir B(10; 4). a) Toje plokðtumoje pavaizduokite vektoriø AB. uuur b) Brëþinyje paþymëkite vektoriaus AB projekcijas Ox ir Oy a yse. uuur c) Apskaièiuokite vektoriaus AB koordinates ir ilgá. r r r r r r r r r r 56. Nurodykite vektoriø a = 4i − 3 j , b = −2 j , c = −7i ir d = 3i + 2,5 j koordinates.

r r r r 57. Vektorius m = {− 4; 0}, n = {6; − 2}, l = {0; 5} ir k = {− 1; 1} i reik kite r r vienetiniais vektoriais i ir j .

58. Nustatykite trikampio ABC rûðá, kai þinomos jo virðûniø koordinatës: a) A(1; 2), B(3; 4), C( 1; 4); b) A( 5; 2), B(3; 6), C(4; 6); c) A(3; 2), B( 1; 1), C(11; 6).

59. Koordinaèiø sistemoje nubraiþykite lygiagretainá, kurio dvi kraðtinës r r r r yra vektoriai m{2; 1} ir n = i − 2 j . Apskaièiuokite: a) to lygiagretainio kraðtiniø ilgá; b) kosinusus kampø, kuriuos kiekviena lygiagretainio kraðtinë sudaro su Ox ir Oy a imi; r r c) vektoriø m0 ir n 0 koordinates.

60. Staèiakampëje erdvës koordinaèiø sistemoje paþymëkite taðkus A(4; 2; 3), B(0; 2; 3), C(4; 3; 5), D( 6; 0; 3), E(5; 0; 0), F(0; 0; 7).

61. Pavaizduokite taðkø P(3; 3; 2) ir R(5; 6; 3) vietos vektorius bei vekuuur toriaus PR projekcijas koordinaèiø aðyse.

62. Paraðykite koordinates: r r r ðiø r vektoriø r r r r a) a = 6i − 2 j − 3k; b) b = 5i ; c) c = − 3k;

Vektoriaus koordinatës

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

41

r r r r r r r r r d) d = − 2i + 5k; e) e = − i + 3 j ; f) f = − j + k. iuos vektorius i reik kite r koordinatiniais vektoriais: r r a) a {4; 0; 0}; b) b {0; 3; 0}; c) c {0; 0; 7}; r r r d) d { 4; 6; 5}; e) e { 3; 0; 2}; f) f {1; 3; 4}.

Nustatykite trikampio rûðá, þinodami jo virðûniø koordinates: a) A( 1; 2; 4), B( 4; 2; 0), C(3; 2; 1); b) K(3; 2; 1), L(5; 1; 1), M(1; 2; 1); c) D(1; 2; 1), E(3; 1; 7), F(7; 4; 2).

Lygiagretainio virðûnës yra ðie taðkai: A( 3; 2; 0), B(3; 3; 1), C(5; 0; 2) ir D( 1; 1; 1). Árodykite, kad jo ástriþainiø ilgiø kvadratø suma lygi visø kraðtiniø ilgiø uuuur kvadratø sumai.

Apskaièiuokite vektoriaus NP {3; 1; 4} pabaigos taðko P koordinates, kai pradþios ta kas yra N(1; 8; 3).

Nustatykite, kuris Oy aðies taðkas yra vienodai nutolæs nuo taðkø C(2; 1; 1) ir D(0; 1; r3). r r Vektoriai a {3; 4; 5}, b {1; 4; 1} ir c {1; 3; 2} sutampa su gretasienio r r r briaunomis. Pavaizduokite ðá gretasiená, vektorius a , b ir c atidëdami nuo koordinaèiø pradþios taðko O, ir nurodykite kitø gretasienio virðûniø koordinates.

Vienalytës trikampës plokðtelës virðûnës yra taðkai M(5; 1; 12), N(11; 3; 8) ir P(2; 5; 0). Apskaièiuokite tos plokðtelës sunkio centro koordinates.

Raskite ðiø vektoriø vienetinius vektorius ir 1° tikslumu nurodykite, r kokio didumo kampà kiekvienas jø sudaro su vienetiniu vektoriumi : i r r r a) a {2; 3}; b) b { 2; 5}; c) c { 1; 1}. r Raskite vektoriaus a projekcijas koordinaèiø aðyse, kai yra þinomas to vektoriaus ilgis ir kampas α, kurá jis sudaro su teigiamàja Ox pusa e: r r a) a = 5, α=30°; b) a = 10, α=120°; r r c) a = 8, α=135°; d) a = 6, α=150°. uuur Kokio didumo kampus su koordinaèiø aðimis sudaro vektorius KL, kai K( 3; 2; 3) ir L( 5; 1; 1)? r Vektorius a sudaro su Ox ir Oy a imis kampus, atitinkamai lygius 45° ir 120°, o su Oz aðimi smailøjá kampà. Apskaièiuokite vektoriaus r r a koordinates, kai a = 2. r Ar gali vektorius a sudaryti su koordinaèiø aðimis kampus α, β ir γ: a) α=45°, β=120°, γ=120°; b) α=135°, β=150°, γ=120°; c) α=120°, β=45°, γ=60°; d) α=45°; β=45°, γ=45°?

42

VEKTORIAI

Atsakymai  2 1   1 2  59. c)  ; ,  ; −  . 64. a) Statusis. 66. P(4; 7; 1). 67. (0; 1; 0).

5  5 5  5 2  r 69.  6; 3; 6  . 70. b) £112°. 73. a{ 2; − 1; 1}. 74. b) Negali.

3 

1.4. VEIKSMØ SU VEKTORIAIS, PATEIKTAIS KOORDINATËMIS, TAISYKLËS Spræsdami kai kuriuos 1.3 skyrelio uþdavinius, taikëme vektoriaus daugybos ið skaièiaus bei vektoriø sudëties ir atimties dësnius. Taèiau skaièiuoti bûtø paprasèiau, taikant ðias taisykles.

1) Kiekviena vektoriaus ir skaièiaus sandaugos koordinatë lygi atitinkamos vektoriaus koordinatës ir to skaièiaus sandaugai. r r r Kai a = ax i + a y j = {ax ; a y }, tai r r r l ⋅ a = l ( ax i + a y j ) = r r = (l ⋅ ax )i + (l ⋅ a y ) j = {l ⋅ ax ; l ⋅ a y };

r r r r kai a = ax i + a y j + az k = {ax ; a y ; az }, r r r r tai l ⋅ a = l(ax i + a y j + az k) = r r r = ( l ⋅ a x )i + ( l ⋅ a y ) j + ( l ⋅ az ) k =

= {l ⋅ ax ; l ⋅ ay ; l ⋅ az }.

2) Kiekviena dviejø vektoriø sumos koordinatë lygi tø vektoriø atitinkamø koordinaèiø sumai. r r Kai a = {ax ; a y }, b = {bx ; by }, tai r r r r r r a + b = (ax i + a y j ) + (bx i + by j ) = r r = (ax + bx )i + (a y + by ) j =

= {ax + bx ; a y + by };

r r kai a = {ax ; a y ; az }, b = {bx ; by ; bz }, r r r r r tai a + b = (ax i + a y j + az k) + r r r + (bx i + by j + bz k) = r r r = (ax + bx )i + (a y + by ) j + (az + bz )k =

= {ax + bx ; ay + by ; az + bz }.

3) Kiekviena dviejø vektoriø skirtumo koordinatë lygi tø vektoriø atitinkamø koordinaèiø skirtumui. r r r r r r a − b = (ax i + a y j ) − (bx i + by j ) = r r = (ax − bx )i + (a y − by ) j =

= {ax − bx ; ay − by };

r r r r r a − b = ( ax i + a y j + az k ) − r r r − (bx i + by j + bz k) = r r r = (ax − bx )i + (a y − by ) j + (az − bz )k =

= {ax − bx ; ay − by ; az − bz }.

43

Veiksmø su vektoriais, pateiktais koordinatëmis, taisyklës

4) Skaliarinë dviejø vektoriø sandauga lygi tø vektoriø atitinkamø koordinaèiø sandaugø sumai. r r r r r r a ⋅ b = (ax i + a y j )(bx i + by j ) = r r r = (ax ⋅ bx )i 2 + (ax ⋅ by )i ⋅ j + r r r + (a y ⋅ bx ) j ⋅ i + (a y ⋅ by ) j 2 =

= ax ⋅ bx + a y ⋅ by , r r2 nes i 2 = i = 1, r2 r2 r r r r j = j = 1 ir i ⋅ j = 0 (i ⊥ j );

r i r j

r i

r j

1

0

0

1

Santrauka r r r a = ax i + a y j = {ax ; a y }, r r r b = bx i + by j = {bx ; by } r {l·ax; l·ay} l⋅a r r a±b {ax¤bx; ay¤by} r r a⋅b ax·bx+ay·by

r r r r r r r r a ⋅ b = (ax i + a y j + az k)(bx i + by j + bz k) = r r r r r = (ax ⋅ bx )i 2 + (ax ⋅ by )i ⋅ j + (ax ⋅ bz )i ⋅ k + r r r r r + (a y ⋅ bx ) j ⋅ i + (a y ⋅ by ) j 2 + (a y ⋅ bz ) j ⋅ k + r r r r r + (az ⋅ bx )k ⋅ i + (az ⋅ by )k ⋅ j + (az ⋅ bz )k 2 =

= ax bx + ay by + az bz , r r r nes i 2 = j 2 = k 2 = 1, r r r r r r r r i ⋅ j = 0 (i ⊥ j ), i ⋅ k = 0 (i ⊥ k), r r r r j ⋅ k = 0 ( j ⊥ k). r r r i k j r i r j r k

1

0

0

0

1

0

0

0

1

r r r r a = ax i + a y j + az k = {ax ; a y ; az }, r r r r b = bx i + by j + bz k = {bx ; by ; bz }

{l·ax; l·ay; l·az} {ax¤bx; ay¤by; az¤bz} ax·bx+ay·by+az·bz

I ð v a d a. Kolineariøjø vektoriø atitinkamos koordinatës yra proporcingos. r r r r Árodykime. Kai a«b, tai b = m ⋅ a, m ± R. Uþraðykime ðià lygybæ plokðtumos ir erdvës vektoriø koordinatëmis: {bx; by}=m·{ax; ay}; {bx; by; bz}=m·{ax; ay; az}; ið èia bx=m·ax, by=m·ay; bx=m·ax, by=m·ay, bz=m·az; by by b b b , , m= z ; m = x ir m = m= x , m= ay ay ax ax az todël

bx by = . ax a y

bx by bz = = . ax ay az

44

VEKTORIAI

r 1 p a v y z d y s. Su kuriomis x ir y reikðmëmis vektoriai a {x; 2; r 5} ir b {1; y; 3} yra kolinearûs? r r Vektoriai a ir b yra kolinearûs, jeigu jø atitinkamos koordinatës proporcingos, todël x −2 5 ; = = y −3 1 ið èia 5 2 x = − 5 , x = − = −1 ,  3 3 3  6 1 2 = 5; y = =1 .

5 5  y 3 Ats.: su x = −1

2 1 ir y = 1 .

3 5

r r r 2 p a v y z d y s. Raskime vektoriaus m = 2a − b vienetinio vektoriaus r r r r r m0 koordinates, kai a = −2i + j , o b { 1; 2}. Apskaièiuokime kampo, kurá ðis vektorius sudaro su Ox a imi, kosinusà. r Pirmiausia randame vektoriaus m koordinates: r m =2·{ 2; 1} { 1; 2}={ 4; 2} { 1; 2}= ={ 4+1; 2+2}={ 3; 4}. r  mx my  r Þinome, kad m0 = m r =  r ; r  , vadinasi, dar reikia apskaièiuoti m m   m r vektoriaus m ilgá: r m = (−3)2 + 4 2 = 9 + 16 = 5. r Dabar jau galime uþra yti m0 koordinates: r 3 4 . m0 − ; 5 5 Vienetinio vektoriaus koordinatës lygios jo su koordinaèiø aðimis sudar romø kampø kosinusui, todël kampo α tarp vektoriaus m0 ir Ox aðies

{

}

3 kosinusas bus lygus cos α = − .

5 r 3 4 3 ; cos α = − .

Ats.: m0 − ; 5 5 5

{

}

r 3 p a v y z d y s. Su kuria x reik me skaliarinë vektoriø a {6; x} ir

r b {5; 3} sandauga lygi 24? r r Skaliarinæ vektoriø sandaugà a · b iðreiðkæ tø vektoriø koordinatëmis, gauname: 6·5+x·3=24, 3x= 6, x= 2.

Ats.: su x= 2.

Veiksmø su vektoriais, pateiktais koordinatëmis, taisyklës

45

r r r 4 p a v y z d y s. Apskaièiuokime kampo tarp vektoriø m = 2a + b ir r r r r r r 1r r r r n = a − b kosinusà, kai a = i + k, o b = 6i − 2 j + 4 k.

2 Prisiminæ skaliarinës dviejø vektoriø sandaugos r r apibrëþimà, pritaikykime já vektoriø m ir n sudaror r mo kampo ϕ=( m , n ) kosinusui apskaièiuoti: r r r r r r m⋅n m ⋅ n = m ⋅ n ⋅ cos ϕ; ið èia cos ϕ = r r . m ⋅ n r r Randame vektoriø m ir n koordinates: r m =2·{1; 0; 1}+{6; 2; 4}={2; 0; 2}+{6; 2; 4}= ={8; 2; 6}=2·{4; 1; 3}; r 1 n ={1; 0; 1} − ·{6; 2; 4}={1; 0; 1} {3; 1; 2}={ 2; 1; 1}.

2 Apskaièiuojame tø vektoriø modulius ir skaliarinæ sandaugà: r r m =2·{4; 1; 3}, m = 2 42 + (−1)2 + 32 = 2 26,

Taigi

r r n ={ 2; 1; 1}, n = (−2)2 + 12 + (−1)2 = 6, r r m · n =2·(4·( 2)+( 1)·1+3·( 1))=2·( 12)= 24. cos ϕ =

Ats.: cos ϕ = −

−24 12 12 6 39 2 39 . =− =− =− =− 39 13 2 26 ⋅ 6 156 2 39

2 39.

13

5 p a v y z d y s. Nustatykime keturkampio KLMN rûðá, kai jo virðûnës yra taðkai K(3; 2), L(1; 3), M( 1; 2) ir N(1; 7).

Sprendimas. Paþymëjæ nurodytus taðkus koordinaèiø plokðtumoje, pamatytume, koks tai keturkampis. Taèiau, taikydami vektorinio skaièiavimo taisykles, pagrásime tai veiksmais.

Taigi pirmiausia apskaièiuojame su kraðtinëmis sutampanèiø vektoriø koordinates: uuur KLr={1 3; 3 2}={ 2; 5}, uuuu LMr ={ 1 1; 2 ( 3)}={ 2; 5}, uuuuu MN ={ 1 ( 1); 7 2}={2; 5}, uuuur NK ={3 1; 2 7}={2; 5}. uuur uuuuur uuuur uuuur Pastebime, kad KL « MN ir LM « NK , be to, visø vektoriø ilgis vienodas. Gal keturkampis KLMN yra rombas?

46

VEKTORIAI

Randame su to keturkampio ástriþainëmis sutampanèiø vektoriø koordinates: uuuur uuuur KM ={ 1 3; 2 2}={ 4; 0} ir LN ={1 1; 7 ( 3)}={0; 10}. uuur uuuur uuuur uuuur Patikrinkime, ar vektoriai KM ir LN , taip pat KL ir LM yra statmeni vienas kitam. Apskaièiuojame skaliarinæ jø sandaugà: uuur uuuur uuuur uuuur KM · LN = 4·0+0·10=0, KL · LM = 2·( 2) 5·5¥0. uuuur uuuur Kadangi pirmoji skaliarinë sandauga lygi nuliui, tai KM ´ LN ; antroji uuur uuuur sandauga nelygi nuliui, todël KL ´ LM . Visos nagrinëjamo keturkampio kraðtinës yra to paties ilgio, be to, prieðingosios kraðtinës lygiagreèios, ástriþainës statmenos, o kampai nestatûs, todël ðis keturkampis rombas.

Jei keturkampio virðûnës bûtø erdvës taðkai, spræstume analogiðkai. uur uur uur 6 p a v y z d y s. Jëgø F1 = {3; − 4; 2}, F2 = {2; 3; − 5} ir F3 = {−3; − 2; 4} veikiamas kûnas pasislinko ið taðko A(5; 3; 7) á taðkà B(4; 1; 4). Koká darbà atliko ðiø jëgø atstojamoji? ur uur uur uur r uuur Paþymëkime: F = F1 + F2 + F3 , s = AB. Kaip jau þinome, jëgos atliktas darbas lygus tos jëgos ir kûno poslinkio vektoriø skaliarinei sandaugai: ur r A = F ⋅ s, ur r todël, norëdami jà apskaièiuoti, turime þinoti vektoriø F ir s koordinates. Raskime jas: ur F ={3; 4; 2}+{2; 3; 5}+{ 3; 2; 4}= ={3+2 3; 4+3 2; 2 5+4}={2; 3; 1}, r s ={4 5; 1 3; 4 ( 7)}={ 1; 4; 11}.

Tada ur r A = F ⋅ s = 2·( 1)+( 3)·( 4)+1·11= 2+12+11=21 (J).

Ats.: 21 J.

Uþdaviniai r r 75. Raskite vektoriaus 2c − d koordinates, kai: r r r r r r r a) c {3,5; − 1,5}, d = − 4i − j ; b) c {0; − 2}, d = − 3 j ; r r r 3 r 1r r r 1 3r 1 r c) c ; − ; − 2 , d = − i − k; d) c = k − j , d = −2i .

2 2 2 2 2 76. Kokio didumo kampus su koordinaèiø aðimis sudaro vektorius r 1r 1r m = a + b, kai: 2 3 r r r r r r r r r a) a {− 4; − 2}, b = − 6 j ; b) a = − 6i − 8 j , b = 3i − 6 j ; r r r r r r r r r c) a {− 2; − 4; 0}, b = {3; 0; − 3}; d) a = 4 j − 2k, b = −3i − 6 j + 3k ?

{

}

47

Veiksmø su vektoriais, pateiktais koordinatëmis, taisyklës

r r 77. Ar kolinearûs vektoriai m ir n : r 3 1 r 2 1 a) m ; , n ; ; 7 2 7 3

{ } { } { } {

}

r 1 1 1 r 6 3 , n ; 1; − ; c) m − ; − ; 7 6 4 7 2

{ { r

} { } } { }

r 3 r 9 9 b) m − ; 6 , n ; − ; 2 8 2

r 3 2 r 1 2 ? d) m ; 3; − , n ; − 1; 4 3 4 9 r 78. Su kuria t ± R reik me vektoriai a ir b yra kolinearûs: r r r r a) a ={t 6; 18}, b = 0,4i − 1,2 j ; r r r r r r b) a = (2t + 3)i + 6 j , b = i − 3 j ; r r r r r c) a = i + tj + 3k, b = {− t; − 4; − 6}; r r r r r d) a {3t + 7; 1; t}, b = 3i − 2 j + 6k ? uuur uuur uuur uuuur uuuur 79. Kurie ðiø vektoriø AB, BC, CD, BD, AD yra kolinearûs, kai: a) A(1; 1), B(7; 3), C( 4; 5), D(5; 2); b) A(6; 6), B(1; 1), C(5; 4), D(2; 1); c) A(2; 4; 4), B(1; 1; 3), C( 2; 0; 5), D( 1; 3; 4); d) A(3; 1; 2), B(1; 2; 1), C( 1; 1; 3), D(3; 5; 3)?

80. Koordinaèiø plokðtumoje nubraiþykite keturkampá ABCD, kurio A(1; 2), B(4; 2), C(7; 1) ir D( 3; 1). Nustatæ jo rûðá, apskaièiuokite plotà. r r r r r 81. Keturkampio kraðtinës sutampa su vektoriais a = − 6 j , b = 5i + 3 j , r r c = {10; 6} ir d = {−5; 3}. Nustatykite to keturkampio rûðá ir apskaièiuokite su jo ástriþainëmis sutampanèiø vektoriø koordinates. r r 82. Apskaièiuokite skaliarinæ vektoriø m ir n sandaugà, kai: r r r r a) m{2; 4}, n = −i + 2 j ; r r r uuur r b) m = 2i − 3 j , n = AB, o A( 3; 2), B(3; 5); r r r r r r r r c) m = a − b, n = a + b, o a{2; − 4}, b{3; − 1}. r uuur r uuur d) m = AB, n = CD, A(3; 2), B( 5; 1), C(1; 4), D(2; 3); r uuur r uuuur e) m = AB, n = AC, A(3; 2; 3), B(5; 1; 1), C(1; 2; 1); r r r r r r r r r r r f) m = 2a + b, n = a − b, o a = 2i + 4 j + k, b = {3; 5; 7}. r r 83. Dvi lygiagretainio kraðtinës yra vektoriai a ir b . Apskaièiuokite to lygiagretainio kampus 1° tikslumu, kai: r r r r r r a) a = 2i − j , b = i − 3 j ; r r r r r r b) a = 2m, b = 3i − 4m, m{1; − 2}; r r r r r r r c) a = 2 p, b = p − i + 3k, p = {2; 3; − 1}; r uuur r uuur d) a = AB, b = BC; èia A(2; 3; 4), B(1; 1; 3), C(1; 2; 3) lygiagretainio ABCD virðûnës.

48

VEKTORIAI

84. Ta kai A, B ir C yra trikampio ABC virðûnës. Apskaièiuokite to trikampio kampus ir smailøjá kampà (1° tikslumu) tarp jo pusiaukraðtiniø, nubrëþtø ið virðûniø A ir C, kai: a) A(2; 4), B( 2; 2) ir C(8; 8); b) A(2; 4; 1), B(1; 3; 5) ir C(1; 1; 3).

85. Nustatykite, ar keturkampis ABCD yra staèiakampis, kai: a) A(1; 2), B(3; 4), C( 1; 4), D( 3; 2); b) A(1; 1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; 1; 1).

86. Piramidës ABCD virðûnës yra taðkai A(3; 0; 1), B( 1; 4; 1), C(5; 2; 3) ir D(0; 5; 4). Apskaièiuokite atstumà nuo taðkouuuu Ar iki sienos BCD pusiaukraðtiniø sankirtos taðko E ir vektoriaus AE su briaunomis AB, AC ir AD sudaromø kampø kosinusus. r r 87. Su kuria t reik me vektoriai a ir b yra statmeni: r r a) a {4; 5}, b {t; 6}; r r b) a {1 t; 1}, b {3; 2t+7}; r uuuur r c) a {t 7; t; t+1}, b = PK , P(2; 3; 4), K(3; 5; 1); r uuuuur r d) a {t; t+1; t+2}, b = MN , M(3; 5; 2), N(2; 3; 4)? r r 88. Su kuria t reikðme skaliarinë vektoriø m ir n sandauga lygi 5, kai: uuur r r a) m {t 7; t; t+1}, n = PR, R(3; 2; 2), P(1; 3; 5); r r r r r r r r b) m = i + 3 j + tk, o n = 3i − j − 5k; r r r c) m = tn, o n ={ 1; 2; 3}? r 89. Apskaièiuokite vektoriaus a {x; y; 3} koordinates, þinodami, kad r r r r r a ´ b {4; 1; 2}, a ⋅ c = 10, o c {3; 2; 1}. r 90. Apskaièiuokite vektoriaus b koordinates, kai: r r r r a) b « a {1; 2; 3} ir a · b =28; r r r r r b) b « a {6; 4; 2}, b · c =5, o c {2; 3; 7}. r r 91. Vektorius p { 6; y; z} yra kolinearus su vektoriumi a {2; 4; 4} ir su r Ox aðimi sudaro bukàjá kampà. Apskaièiuokite vektoriaus p koordinates ir kosinusus kampø, kuriuos jis sudaro su koordinaèiø aðimis.

92. Su kuria t reik me ta kai K(3; 1; 2), L(1; 2; 1) ir M( 1; t; 4) priklauso tai paèiai tiesei?

93. Yra þinomos trys lygiagretainio ABCD virðûnës: A( 1; 2; 4), B( 4; 2; 0) ir C( 3; 2; 2). Apskaièiuokite: a) ketvirtosios virðûnës koordinates; b) smailøjá kampà tarp ástriþainiø 1° tikslumu; c) kraðtinës AB projekcijos ástriþainëje AC ilgá; uuuur d) vektoriaus MD koordinates, kai BM : MC= =3 : 1.

Veiksmø su vektoriais, pateiktais koordinatëmis, taisyklës

49

94. Duotos keturiø gretasienio ABCDA1B1C1D1 virðûniø koordinatës: A(3; 0; 2), B(2; 4; 5), D(7; 1; 2) ir A1(5; 3; 1). Raskite: a) kitø jo virðûniø koordinates; b) gretasienio briaunø ilgá; c) kampo tarp gretasienio ástriþainiø sinusà. ur 95. Apskaièiuokite darbà, kurá atlieka jëga F , perkeldama materialøjá taðkà ið A á B, kai: ur r r r , r A( 1; 2; 0),uurB(2; 1; 3); a) F ur = i + 2 j + kuu uur b) F jëgø F1 {3; − 4; 2}, F2 {2; 3; − 5} ir F3 {−3; − 2; 4} atstojamoji, A(5; 3; 7), B(4; 1; 4).

Pakartokite 96. 1) ABCD trapecija, kurios AD«BC. Ta kai M, N, K

uuur AB, uuuur uuuu r kraðtiniø r CD, AD vidurio taðkai. Apskaièiuokite KM + KN , kai BA = c , uuur r CD = b. r 2) Su kuriomis m reikðmëmis vektoriai (m2+6)· b ir (m(2 m) (3 r m2)) b yra prieðprieðiniai? r r r r r 3) Apskaièiuokite vektoriaus p = 3a + 2b ilgá, kai a = 4, b = 10, r r π ϕ = (a, b) = .

3 r r r r 4) Yra þinoma, kad m ´ n ir m = n . Patikrinkite, ar vektoriai r r r r r r p = − 3m − 5n ir q = 15m − 9n yra statmeni.

5) Duota piramidë MDEF. Þinodami, kad MD=5 cm, DE=4 cm, DF= =3 cm, ¨EDF=90°, ¨MDE=60° ir ¨MDF=45°, apskaièiuokite virðûnës D atstumà iki trikampio MEF pusiaukraðtiniø sankirtos taðko. r r r r r r 6) Lygiagretainis sudarytas ið vektoriø m = 2a − b ir n = b − 3a. Apr r skaièiuokite smailøjá jo kampà, kai a ={ 1; 2; 0}, o b ={1; 1; 4}.

7) Duotos keturkampio virðûniø koordinatës: A(1; 2; 2), B(1; 4; 0), C( 4; 1; k), D( 5; 5; 3). Su kuria k reikðme jo ástriþainës AC ir BD yra statmenos?

8) Nustatykite, ar keturkampis ABCD yra trapecija, kai A(3; 1; 2), B(1; 2; 1), C( 1; 1; 3) ir D(3; 5; 3). Jei taip, raskite su vidurine linija sutampanèio vektoriaus koordinates. r r r r 9) Apskaièiuokite vektoriaus p = 2m + 3n vienetinio vektoriaus p0 kor r r r r r r r ordinates, kai m = −2i + j + k ir n = 5i − j + k. Kokio didumo kampà (1° tikslumu) jis sudaro su Ox a imi? r r r r r 10) Duoti vektoriai m = i − 2 j + 3k ir n =(2; 1; 4). Lygiagretainio kraðr r r r r r tinës sutampa su vektoriais p = 3m + 2n ir q = 5m − 4n. Apskaièiuokite smailøjá lygiagretainio kampà ir kraðtiniø vienetiniø vektoriø koordinates.

50

VEKTORIAI

11) Duoti ta kai A(1; 3; uuur 0), B(2; uuuur 2; 2) ir C( 4; 0; 1). Þinodami, kad uuur uuuur r r p BC AC, raskite: = − m = 2 AB − AC, o r2 r a) m ; b) p0 ; r r r c) vektoriaus m projekcijà vektoriaus p kryptyje (prpr m); 0 r r d) kampo tarp vektoriø m ir p sinusà.

97. 1) Traukinys atvyko ið Vilniaus á Kaunà. Ar toká pat kelià nuvaþiavo jo lokomotyvas ir paskutinis vagonas?

2) Plaukikas du kartus perplaukë (pirmyn ir atgal) 30 m ilgio baseinà. Pasirinkæ atskaitos sistemà, nustatykite plaukiko trajektorijos pradinio, vidurinio bei galinio taðko koordinates ir nuplauktà kelià.

3) Prieð sugráþdamas á garaþà, troleibusas vienà dienà padarë 10 reisø, kità dienà daugiau. Kurià dienà jis nuvaþiavo ilgesná kelià?

Kurià dienà didesnis buvo jo poslinkis? Kodël?

4) Kokios formos trajektorija turi judëti materialusis taðkas, kad jo nueitas kelias bûtø lygus poslinkio moduliui?

5) Brëþinyje pavaizduota kûno judëjimo ið taðko A á taðkà F trajektorija ABCDEF. Nurodykite taðkø A, B, C, D, E ir F koordinates. Apskaièiuokite kûno nueità kelià, poslinká (vektoriø ir jo modulá) bei jo projekcijas koordinaèiø aðyse.

6) Nuskridæs tiesiu keliu 300 km, lëktuvas pasisuko 120° kampu ir áveikë dar 200 km. Apskaièiuokite lëktuvo nuskristà kelià ir poslinkio modulá (kilometro tikslumu).

7) Slidininkas nusileido 300 m nuo kalno laito, pasvirusio á horizontà 34° kampu. Nustatykite slidininko poslinkio vertikaliàja ir horizontaliàja kryptimi modulá metro tikslumu. Iðtirkite, kaip kinta slidininko poslinkis horizontaliàja kryptimi, kalnui statëjant. r r r r 8) Vektoriai a ir b yra kolinearûs. Nubrëþkite vektoriø a b .

A)

B)

r r uuur a b = BC

r r uuur a b = CB

Veiksmø su vektoriais, pateiktais koordinatëmis, taisyklës

C)

9)

10)

98. 1)

2) 3)

4)

5) 6) 7)

51

D) Në vienas ið pateiktø atsakymø neteisingas.

r r uuuur a b = AC r r r Ar r gali vektoriaus ra + b r ilgis bûti maþesnis uþ vektoriaus a arba b ilgá. (Vektorius a ir b vaizduojanèios atkarpos yra nelygiagreèios.) r r r r r r Kà galima pasakyti apie vektorius a ir b , kai − a − b = a + b ? r r r r A) a = b B) a ir b yra bet kokie vektoriai r r r r r r C) a = 0 D) a = 0 arba b = 0 Tomas iðvyko á mokyklà, esanèià uþ 10 km nuo jo namø, ir po pietø gráþo namo. Pasirinkæ atskaitos sistemà, nustatykite Tomo trajektorijos pradinio, vidurinio bei galinio taðko koordinates ir nuvaþiuotà kelià. Laikykite, kad autobusiukas mokinius á mokyklà veþa tiesiu þvyrkeliu.

Krepðinio kamuolys, nukritæs ið 5 m aukðèio, atðoko nuo þemës ir vël pakilo á 3 m aukðtá. Kokio ilgio kelià nuëjo kamuolys ir koks buvo jo poslinkis?

Tolygiai skrendanèio lëktuvo posûkio trajektorija yra pusapskritimis. Brëþinyje pavaizduokite lëktuvo kelià bei poslinká per visà posûkio laikà ir per vienà ketvirtàjà to laiko. Kiek kartø abiem atvejais lëktuvo kelias yra didesnis uþ atitinkamo poslinkio modulá?

Brëþinyje pavaizduota kûno judëjimo ið taðko A á taðkà F trajektorija ABCDEF. Nurodykite taðkø A, B, C, D, E ir F koordinates. Apskaièiuokite kûno nueità kelià, poslinká (vektoriø ir jo modulá) bei jo projekcijas koordinaèiø aðyse.

Oro balionas ið pradþiø pakilo á 200 m aukðtá, paskui vëjas já nuneðë 300 m á pietus. Apskaièiuokite baliono nueità kelià ir poslinkio modulá.

Nuskridæs 15 km á pietus, gandras pasuko á pietvakarius ir dar áveikë 20 km. Grafiðkai nustatykite gandro poslinkio modulá bei kryptá.

Slidininkas uþðliuoþë 300 m á kalnà, kurio ðlaitas pasviræs á horizontà 46° kampu. Apskaièiuokite slidininko poslinkio vertikaliàja ir horizontaliàja kryptimi modulá metro tikslumu. Iðtirkite, kaip kinta slidininko poslinkis vertikaliàja kryptimi, kalnui statëjant.

52

VEKTORIAI

r uuur r uuuur 8) Vektoriai b = BC ir c = BD yra nekolinearûs. Nubrëþkite vektoriø r r c b .

A)

B)

r r uuur c b = CD

r r uuuuur c b = DC1 C)

D) Në vienas ið pateiktø atsakymø neteisingas .

r r uuuuur c b = C1 D

r r r 9) Ar gali vektoriaus a + b ilgis bûti maþesnis uþ vektoriaus a arba r r r b ilgá. (Vektorius a ir b vaizduojanèios atkarpos yra lygiagreèios.) r r r r r r 10) Kà galima pasakyti apie vektorius a ir b , kai a + b = a − b ? r r r r A) a =rb B) a = b r r r r r C) a = 0 D) a = 0 arba a ´ b 99. 1) Vairuotojas tiesiu keliu pro ðviesoforà pravaþiavo 55 km/h greièiu ið vakarinës miesto dalies á rytinæ. Kur buvo vairuotojas prieð pusvalandá ir kur bus po valandos, jei yra þinoma, kad jis vaþiuoja tolygiai? Vairuotojo buvimo vietà nurodykite stebëtojo, stovinèio prie viesoforo, atþvilgiu.

2) Traukinys, kurio ilgis 100 m, per minutæ pervaþiuoja 400 m ilgio tunelá. Kokiu greièiu vaþiuoja traukinys?

3) Du draugai vienu metu iðëjo á darbà. Atstumas tarp draugø namø lygus 21 m. Arèiau darbovietës gyvenantis draugas eina 2,5 m/s greièiu. Kokiu greièiu turi eiti antras draugas, kad pirmàjá pasivytø po 6 sekundþiø?

Veiksmø su vektoriais, pateiktais koordinatëmis, taisyklës

53

4) Automobilio judëjimas apibûdinamas lygtimi y=15t 165, o pësèiojo, einanèio to paties kelio pakraðèiu, lygtimi y= 1,5t. Nubraiþykite kûnø judëjimo grafikus ir, remdamiesi jais, nurodykite automobilio bei pësèiojo padëtá pradiniu laiko momentu. Kokiu greièiu ir kuria kryptimi judëjo kiekvienas kûnas? Kada ir kur jie susitiko? r r r r r r 5) Vektoriai a, b, c , d, e ir f yra tokie:

r r r r r r r 1r Pavaizduokite vektorius a + b, c + 2d, e − f ir 2a − b.

3 6) Kûnà veikia dvi 20 N didumo jëgos, sudaranèios viena su kita 50° kampà. Grafiðkai nustatykite atstojamosios jëgos didumà.

7) Remdamiesi brëþinio duomenimis, apskaièiuokite ðiø vektoriø ilgá: uuur uuur uuur uuuur a) AB + BC + CD + DE; uuur uuuur b) AB + AE; uuuur uuur c) BD + EA; uuur uuuur uuuur uuuur 4 d) AB + DE + DC + DB; uuur uuur e) BC + EA. 100. 1) Þvejys eþeru pro stebëtojà praplaukë 6 m/min greièiu ið rytinës eþero pusës á vakarinæ. Kur buvo þvejys prieð 5 min ir kur bus po 4 min 30 s, jei yra þinoma, kad jis iriasi tolygiai? Þvejo buvimo vietà nurodykite stebëtojo atþvilgiu.

2) Traukinys vaþiuoja 60 km/h greièiu. Per kiek laiko 100 m ilgio traukinys pervaþiuos 400 m ilgio tunelá?

3) Du draugai vienu metu iðëjo á mokyklà. Atstumas tarp draugø namø lygus 30 m. Arèiau mokyklos gyvenantis draugas eina 3 m/s greièiu, o gyvenantis toliau 5 m/s greièiu. Po kiek laiko abu draugai eis á mokyklà kartu?

4) Dviratininko judëjimas apibûdinamas lygtimi y=2t 16, o pësèiojo, einanèio to paties kelio pakraðèiu, lygtimi y= 2t. Nubraiþykite kûnø judëjimo grafikus ir, remdamiesi jais, nurodykite dviratininko bei pësèiojo padëtá pradiniu laiko momentu. Kokiu greièiu ir kuria kryptimi judëjo kiekvienas kûnas? Kada ir kur jie susitiko?

54

VEKTORIAI

r r r r r r 5) Vektoriai a, b, c , d, e ir f yra tokie:

r r r r r r r 1r Pavaizduokite vektorius a + b , 2c + d, f − e , 2a − b.

3 uur uur uur uur 6) Kûnà veikia dvi jëgos: F1 ir F2 . Þinodami, kad F1 = 2 F2 , o kampas tarp jëgø vektoriø lygus 120°, apskaièiuokite atstojamosios jëgos didumà.

7) Remdamiesi brëþinio duomenimis, apskaièiuokite ðiø vektoriø ilgá: uuur uuur uuur uuuur a) AB + BC + CD + DA; uuur uuuur b) AB + AD; uuur uuur c) AB + CD; uuur uuuur uuur uuuur uuuur d) AB + AD + CD + AE + ED; uuuur uuuur e) AD + DE. Prisiminkite r 101. 1) Kurie du ið ðiø vektoriø yra vienas kitam statmeni: a ={ 1; 1; 5}, r r r b ={3; 3; 0}, c ={ 1; 5; 1}, d ={3; 2; 0}?

2) Árodykite, kad taðkai A(1; 1), B(3; 4) ir C(0; 6) yra staèiojo trikampio virðûnës.

3) Árodykite, kad taðkai A(2; 1), B(6; 3), C(5; 5) ir D(1; 3) yra staèiakampio virðûnës. r r 4) Tarkime, kadr a ={1; 4; 1}, o b ={3; x; 2}. Su kuria x reik me vekr toriai a ir b yra: a) statmeni; b) kolinearûs?

5) Remdamiesi vektoriais, árodykite, kad staèiakampio ástriþainës yra statmenos tik tada, kai tas staèiakampis kvadratas.

6) Árodykite, kad lygiaðonio trikampio kampai, esantys prieð lygias kraðtines, yra lygûs. Árodykite tai dviem bûdais: a) taikydami trikampiø lygumo poþymius; b) taikydami vektorius. r r r r a b 2 , o vek= a b ir , kai 7) Apskaièiuokite rkampà tarp vektoriø r r r r r toriai m = 2a + b ir n = a − 3b yra statmeni.

8) Su kuriomis t rreikðmëmis ie nenuliniai vektoriai yra statmeni: r a) a={2t; t}, b ={2; r 2t}; r b) a={t; 5; 0}, b ={2t; t; 0}?

Veiksmø su vektoriais, pateiktais koordinatëmis, taisyklës

55

9) Dviem viena kitai statmenomis gatvëmis pastoviu 50 km/h ir 60 km/h greièiu prie sankryþos artëja du automobiliai. Þinodami, kad tam tikru laiko momentu automobiliai yra atitinkamai 2 km ir 3 km atstumu nuo sankryþos, nustatykite, po kiek laiko atstumas tarp jø bus maþiausias. uuuuur 10) Ta kai M( 3; 3) ir N(3; 1) yra vektoriø MN atitinkanèios atkarpos galai. uuuuur uuuuuuur a) Nubrëþkite vektoriø M1 N1 , simetriðkà vektoriui MN tiesës y=2 atþvilgiu; ta ko A( 1; 0) uuuuu r atþvilgiu. b) Para ykite vektoriaus MN koordinates. uuuuuuur c) Nurodykite vektoriaus M1 N1 koordinates. uuuuur uuuur uuuuuuur d) Palyginkite vektoriø MN ir M1 N1 ilgá su vektoriaus MA ilgiu. uuuuur e) Pavaizduokite ir iðmatuokite kampà tarp vektoriø MN bei uuuuuuur M1 N1 .

11) Þinomos trikampio ABC virðûniø koordinatës: A(0; 3), B(5; 0) ir C(1; 0). a) Nustatykite trikampio rûðá. b) Iðsiaiðkinkite, kuri jo kraðtinë yra trumpiausia. c) Apskaièiuokite trikampio perimetrà. d) Apskaièiuokite jo plotà.

102. 1) I rinkite lygius vektorius.

r r r r r r A) a, b, c , d, e ir f r r r r C) a ir c , b ir e

r r B) a ir c r r D) b ir e

r 2) Nurodykite vektoriaus a koordinates. r r B) a ={3; 0} A) a ={0; 3} r r C) a ={3; 2} D) a ={2; 3} r 3) Apskaièiuokite vektoriaus a ilgá.

A) C) 1

5

B)

3

D) 2 2

56

VEKTORIAI

r r 4) Ar lygybë a = − a yra teisinga? uuur 5) Raskite vektoriaus AB ={ 2; 3; 0} modulá.

A) 1 B) 5 5 C) D) 13 6) Duoti du ta kai: 1) ir N( 1; 2). Raskite: uuuuuM(2; r a) vektoriaus MN koordinates; A) {3; 1) B) C) { 3; 1} D) { 3; 1} uuuuu{1; r 3} b) vektoriaus MN ilgá.

A) 2 B) 8 C) 10 D) 2 7) Kûnas juda tolygiai 4 km/h greièiu. a) Paraðykite formulæ, apibûdinanèià to kûno per laiko tarpà t (h) nueità kelià s (km). b) Sudarykite s reikðmiø lentelæ, kai t=0, 1, 2, 3, 4. c) Remdamiesi gautais duomenimis, nubraiþykite kûno nueito kelio priklausomybës nuo judëjimo laiko grafikà. d) Ið grafiko nustatykite, kokio ilgio kelià kûnas nuëjo per 3,5 h. e) Ið grafiko nustatykite, per kiek laiko kûnas nueis 10 km. f) Árodykite, kad grafiko bet kurio taðko ordinatës ir abscisës santykis lygus 4.

8) Martynas pastebëjo, kad traukinys pro já pravaþiavo per 10 s, o pro visà stotá, kurios ilgis 308 m, per 24 s. Apskaièiuokite traukinio ilgá.

103. 1) Iðrinkite vienakrypèius vektorius.

r r A) a ir c r r r C) a , c ir d

r B) a , r D) a, r 2) Nurodykite vektoriaus b A) {2; 0} C) {0; 2}

r r r r c ir d , taip pat b ir e r r r r b, c, d ir e koordinates.

B) {2; 3} D) {3; 2}

r 3) Apskaièiuokite vektoriaus b ilgá.

A)

8

B) 2

C)

2

D)

13

57

Veiksmø su vektoriais, pateiktais koordinatëmis, taisyklës

r r 4) Ar lygybë a = − a yra teisinga? uuur 5) Raskite vektoriaus AB ={ 3; 0; 4} modulá.

A) 7 B) 12 C) 1 D) 5

6) Duoti du ta kai: K(1; 2) ir L( 3; 1). Raskite: uuur a) vektoriaus KL koordinates; A) { 4; 1}

B) { 2; 3} uuur b) vektoriaus KL ilgá.

A)

13

B)

17

C) {4; 1} C)

5

D) {2; 3} D) 17

7) Apskritimu, kurio ilgis 100 cm, tolygiai juda du materialieji taðkai. Judëdami vienas prieðais kità, jie susitinka kas 4 s, o judëdami vienas paskui kità kas 20 s. Apskaièiuokite kiekvieno taðko greitá.

8) Atstumas tarp dviejø vietoviø lygus 378 km. Dvi turistø grupës tuo paèiu metu iðëjo ið ðiø vietoviø viena prieðais kità. Po 4 h atstumas tarp grupiø sumaþëjo iki 2 km, o dar po 3 h pirmajai grupei iki antrosios vietovës liko nueiti 7 km maþiau negu antrajai iki antrosios vietovës. Kokiu greièiu ëjo kiekviena grupë?

9) Paulius per 2 h motorine valtimi upe nuplaukë 12 km pasroviui ir 4 km prieð srovæ. Koks buvo savasis valties greitis, kai upës tëkmës greitis lygus 4 km/h? r r r r 104. 1) Suprastinkite reiðkiná 2a + (− b) − 2a + 3b ir apskaièiuokite gauto r r vektoriaus ilgá, kai a = 2 cm, o b = 3 cm. r r r A) 2b; 5 cm B) 4 a + 4b; 20 cm r r C) 2b; 6 cm D) 4b; 6 cm r r r r 2) Su kuria x reikðme lygybë b = xa yra teisinga, kai a = 5b ?

1 1 A) 5 B) C) 5 D) 5 5 r 3) Iðspræskite lygtá m +{1; 2; 3,4}={3; 4; 2}.

A) {2; 6; 1,4} B) {4; 2; 5,4} C) {2; 2; 1,4} D) {4; 6; 5,4} r r r r r r 4) Kurios ið ðiø lygybiø yra teisingos: a + 0 = 0 (1), a + 0 = a (2), r r r r −1a = − a (3), 2b = − 2b (4)?

A) (2) ir (3) B) (2), (3) ir (4) C) Visos teisingos D) (1) 5) Kiek skirtingø vektoriø gauname sujungæ iðkilojo keturkampio virðûniø poras?

A) 6 B) 4 C) 12 D) 8 6) Greitasis dangoraiþio liftas kyla 3 m/s greièiu. Nubraiþykite lifto poslinkio grafikà ir ið jo nustatykite, per kiek laiko liftas pakils á 90 m aukðtá (26-àjá dangoraiþio aukðtà).

58

VEKTORIAI

7) Pirmàjà pusæ kelio automobilis vaþiavo 80 km/h greièiu, antràjà pusæ 40 km/h greièiu. Apskaièiuokite vidutiná automobilio greitá metro per sekundæ tikslumu.

8) Traukiniu, kurio greitis 40 km/h, vaþiuojantis keleivis 3 s mato prieðprieðiais riedantá kità traukiná. Kokiu greièiu vaþiuoja ðis traukinys, jeigu jo ilgis lygus 75 m?

9) Laivelis plaukia skersai upës statmenai krantams 2 m/s greièiu.

Upës tëkmës greitis lygus 5 km/h. Kokiu kampu krantams statmenos krypties Oy atþvilgiu ir kokiu greièiu vandens atþvilgiu turi irkluoti valtininkas?

10) Per laikà t (s) vertikaliai þemyn krintantis akmuo áveikia atstumà h=5t2 (m). Ar nuo Þemës pavirðiaus paleistas tas pats akmuo per 4 s pasieks 120 m gylio ðachtos dugnà? O per 5 s? r r r r 105. 1) Suprastinkite reiðkiná 2m − (− n) − 2m + 3n ir apskaièiuokite gauto r r vektoriaus ilgá, kai m = 2 cm, o n = 3 cm. r r r r r A) 2n; 12 cm B) 4m + 2n; 6 cm C) 4 n; 12 cm D) 2n; 14 cm r r r r 2) Su kuria x reikðme lygybë n = xm yra teisinga, kai m = 3n ?

1 1 A) B) C) 3 D) 3 3 3 r 3) Iðspræskite lygtá a +{2; 1; 10}={3; 4; 5,6}.

A) {5; 3; 4,4} B) {1; 3; 4,4} C) {5; 3; 4,4} D) {1,5; 4; 0,56} r r r r r r 4) Kurios ið ðiø lygybiø yra teisingos: a − 0 = 0 (1), 0 − a = a (2), r r r r 1a = a (3), − a = a (4)?

A) Visos B) (3) ir (4) C) (1) ir (3) D) (2) 5) Kiek skirtingø vektoriø gauname sujungæ rombo virðûniø poras?

A) 8 B) 12 C) 6 D) 4 6) Nuo Vilniaus iki Madrido, esanèio uþ 2736 km nuo Vilniaus, lëktuvas nuskrido per 3,8 h. Apskaièiuokite lëktuvo greitá, laikydami, kad jis yra pastovus.

7) Mënulis apskrieja aplink Þemæ per 27 paras 7 h 43 min 11 s. Per kiek laiko jis apskries aplink Þemæ 12 kartø?

8) Atstumas nuo aukðèiausio tilto taðko iki vandens pavirðiaus lygus 12 m. Po kiek laiko akmuo, nustumtas nuo ðio tilto (ið aukðèiausios vietos), ákris á vandená? Atsakymà pateikite sekundës deðimtøjø daliø tikslumu. gt2 N u r o d y m a s. Remkitës ið fizikos kurso þinoma formule s = ; 2 èia s kûno laisvojo kritimo kelias (ðiuo atveju s=12 m), t laikas (já reikia rasti), o g laisvojo kritimo pagreitis (laikykite, kad g=9,8 m/s2).

9) Atstumas tarp dviejø vietoviø plaukiant upe yra 80 km. Ðá atstumà valtimi pasroviui galima nuplaukti per 4 h, o prieð srovæ per 5 h. Apskaièiuokite upës tëkmës greitá ir savàjá valties greitá.

Veiksmø su vektoriais, pateiktais koordinatëmis, taisyklës

59

10) Minutinës laikrodþio rodyklës ilgis 2 cm, o valandinës 1,5 cm.

Kiek kartø minutinës rodyklës smaigalio greitis didesnis uþ valandinës rodyklës smaigalio greitá?

106. 1) Kokias savybes?

Pateikite pavyzdþiø. uuur uuurþinote vektoriø sudëties uuuur uuuu r 2) AB = CD. Árodykite, kad AC = BD. uuur uuur 3) Sugalvokite ir nubrëþkite du erdvës vektorius AB ir CD. Pavaizduokite: a) ðiø vektoriø sumà dviem bûdais; uuur uuur 1 uuur uuur b) vektoriø AB − 2CD; c) vektoriø CD − AB. 3 4) Ar gali trijø vektoriø sumos modulis bûti: a) lygus vieno vektoriaus moduliui; b) didesnis uþ kiekvieno ið tø vektoriø modulá?

Atsakymus iliustruokite brëþiniais. r r 5) Raskite vektoriø m ir n koordinates bei ilgá ir pavaizduokite kampà tarp tø vektoriø, kai r r r r r r r r m = a + b + c , o n = a + b − c.

107. 1) Kokias þinote vektoriaus daugybos ið skaièiaus savybes? Pateikite pavyzdþiø. uuur uuur uuur uuuur 2) AB = CD. Árodykite, kad CA = DB. 3) Sugalvokite ir nubrëþkite du erdvës uuur uuur vektorius AB ir CD. Pavaizduokite: a) ðiø vektoriø sumà dviem bûdais; uuur uuur b) vektoriø 2 AB − CD; c) vektoriø 1 uuur uuur 2 CD + AB. 3 4) Ar gali trijø vektoriø sumos modulis bûti: a) lygus ilgesnio vektoriaus moduliui; b) maþesnis uþ kiekvieno ið vektoriø modulá?

Atsakymus iliustruokite brëþiniais. r r 5) Raskite vektoriø m ir n koordinates bei ilgá ir pavaizduokite kampà tarp ðiø vektoriø, kai r r r r r r r r m = a + b + c , o n = a − b + c.

60

VEKTORIAI

r r 108. 1) Raskite vektoriø m ir n koordinates bei ilgá ir pavaizduokite kampà tarp ðiø r r r r vektoriø, kai m = a + b − c , o r r r r n = a − b + c.

Kokià figûrà sudarytø vektor r r riai a, b ir c , atidëti nuo koordinaèiø pradþios taðko? Apskaièiuokite kuo daugiau tos figûros duomenø.

2) Árodykite, kad keturkampis ABCD yra trapecija, kai A( 2; 1), B( 1; 4), C(4; 3), D(2; 3).

Kà dar galite pasakyti apie ðá keturkampá? uuur uuur 3) AB = CD. Árodykite, kad su bet kuriuo taðku O yra teisinga lygybë uuuur uuur uuur uuur OD − OA = OC − OB. 4) Ið vietovës A 8 valandà 50 km/h greièiu iðvaþiavo sunkveþimis, o 9 valandà ta paèia kryptimi 75 km/h greièiu autobusas. Koordinaèiø plokðtumoje (laikydami, kad Ox aðyje 2 cm ilgio atkarpà atitinka 1 h, Oy aðyje 1 cm ilgio atkarpà 50 km) nubraiþykite sunkveþimio ir autobuso judëjimo grafikus. Remdamiesi jais, nustatykite: a) kelintà valandà autobusas pavys sunkveþimá ir koká atstumà jie tuo metu bus nuvaþiavæ nuo vietovës A; b) koks atstumas bus tarp sunkveþimio ir autobuso 10 valandà.

5) Ið 5 m aukðèio vertikaliai aukðtyn 50 m/s pradiniu greièiu paleista strëlë. Jos pakilimo aukðèio h (m) priklausomybë nuo laiko t (s) i rei kiama formule gt 2 h = 5 + 50t − ; 2 èia g£10 m/s2 kûno laisvojo kritimo pagreitis. a) Ásitikinkite, kad strëlës pakilimo aukðèio formulæ galima uþraðyti taip: h= 5(t 5)2+130. b) Nubraiþykite grafikà, vaizduojantá strëlës pakilimo aukðèio h kitimà. c) Apskaièiuokite, per kiek sekundþiø nuo paleidimo momento strëlë nukris ant þemës. d) Nustatykite, kiek metrø nuo þemës buvo pakilusi strëlë aukðèiausiame taðke.

Veiksmø su vektoriais, pateiktais koordinatëmis, taisyklës

61

r r 109. 1) Raskite vektoriø m ir n koordinates bei ilgá ir pavaizduokite kampà tarp ðiø r r r r vektoriø, kai m = a − b + c , o r r r r n = a + b − c.

Kokià figûrà sudarytø vekr r r toriai a, b ir c , atidëti nuo taðko A( 3; 2)? Apskaièiuokite kuo daugiau susidariusios figûros duomenø.

2) Ar keturkampis MNKL yra trapecija, kai M( 4; 3), N( 2; 3), K(2; 1), L(1; 4)?

Kà dar galite pasakyti apie ðá uuurketurkampá? uuur 3) AB = CD. Árodykite, kad su bet kuriuo taðku O yra teisinga lygybë uuur uuuur uuur uuur OA − OD = OB − OC. 4) Tomas savo þaislinæ raketà paleidþia vertikaliai aukðtyn nuo staliuko pavirðiaus, esanèio 50 cm aukðtyje virð þemës. Raketos pakilimo aukðèio h (m) priklausomybë nuo laiko t (s) i rei kiama formule h=50+45t 5t2. a) Nustatykite, po keliø sekundþiø raketa nukris ant þemës. b) Nubraiþykite raketos judëjimo grafikà.

5) Á elektriná arbatiná ápilto vandens pradinë temperatûra lygi 6 °C. Ájungus arbatiná, kaistanèio vandens temperatûra kas minutæ pakyla 2 °C. a) Vandens temperatûros T (°C) priklausomybæ nuo kaitinimo laiko t (min) i reik kite formule. b) Nustatykite, ar funkcija T(t) yra tiesinë. c) Apskaièiuokite T(20), T(31). c) I siai kinkite, po kiek laiko vanduo uþvirs. d) Nurodykite, ar temperatûra yra vektorinis dydis. r r 110. 1) Raskite vektoriaus a + b koordinates.

A) {4; 2} B) {4; 6} C) {4; 3} D) { 4; 2} 2) ABCDA1B1C1D1 gretasienis. Nurodykite vektoriø, kurio pradþia ir pabaiga yra gretasienio virðûnës ir kuris lygus: uuur uuuur uuuuur uuuur uuuur uuuuur b) DA + DC + DD1 ; a) AB + AD + AA1 ; uuuuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuuuur uuur c) A1 B1 + C1 B1 + BB1 ; d) A1 A + A1 D1 + AB; uuuuuur uuuur uuur e) B1 A1 + BB1 + BC.

62

VEKTORIAI

uuuur uuuuuur 3) Duotas gretasienis ABCDA1B1C1D1. Árodykite, kad AD + A1 D1 = uuuuur uuur = B1C1 + BC. 4) Staèiakampio gretasienio ABCDA1B1C1D1 matmenys yra tokie: AD=9 AB=8 cm, AA1=12 cm. Apskaièiuokite vektoriø uuuuur uuuucm, r uuuuur DC1 , DB ir DB1 ilgá. uuur uuuur uuuur uuur 5) Duotas tetraedras ABCD. Árodykite, kad AB + BD = AC + CD. r r 111. 1) Raskite vektoriaus a + b koordinates.

A) {4; 2} B) {4; 1} C) {4; 3} D) { 4; 2} 2) ABCDA1B1C1D1 gretasienis. Kurie trys ðiø vektoriø yra kolinearûs: uuur uuuur uuuuur uuuur uuuur uuuuur b) AB, AD ir AA1 ; a) AA1 , CC1 ir BB1 ; uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur uuuuuur c) B1 B, AC ir DD1 ; d) AD, CC1 ir A1 B1 ?

3) Duotas uuur gretasienis uuuuur uuuuur ABCDA1B1C1D1. Árodykite, kad CD + BC1 = BD1 .

4) Staèiakampio gretasienio ABCDA1B1C1D1 matmenys yra tokie: AD=8 cm, uuur AB=9 cm, AA1=12 cm. Apskaièiuokite vektoriø uuuur uuur CC1 , CB ir CD ilgá. uuur uuur uuuur uuuur 5) Duotas tetraedras ABCD. Árodykite, kad AB + BC = DC + AD. r r 112. 1) Apskaièiuokite kampà tarp nenuliniø vektoriø a ir b , kai r r r r r r (a − b)2 + (2a − b)2 = 56, a = 2 ir b = 3. uuuuur 2) Ta kai M( 4; 1) ir N(2; 5) yra vektoriø MN atitinkanèios atkarpos galai.

uuuuur a) Nubrëþkite vektoriø MN bei jam simetriðkà abscisiø aðies atuuuuuuur þvilgiu vektoriø M1 N1 . uuuuur b) Raskite vektoriaus MN koordinates. uuuuuuur c) Raskite vektoriaus M1 N1 koordinates.

23. uuuuur e) Pavaizduokite ir i matuokite kampà tarp vektoriø MN bei uuuuuuur M1 N1 .

d) Palyginkite tø vektoriø ilgá su skaièiumi

3) Apibûdinkite trikampá ABC, kurio virðûniø koordinatës yra A(0; 3), B(5; 0), C(0; 0). r r 113. 1) Apskaièiuokite kampà tarp nenuliniø vektoriø a ir b , kai r r r r r r (b − a)2 + (b − 2a)2 = 56, a = 3 ir b = 2. uuuuur 2) Ta kai M( 5; 3) ir N(3; 1) yra vektoriø NM atitinkanèios atkarpos galai.

uuuuur a) Nubrëþkite vektoriø NM bei jam simetriðkà ordinaèiø aðies uuuuuuur atþvilgiu vektoriø N1 M1 .

Veiksmø su vektoriais, pateiktais koordinatëmis, taisyklës

63

uuuuur b) Raskite vektoriaus NM koordinates. uuuuuuur c) Raskite vektoriaus N1 M1 koordinates. d) Palyginkite tø vektoriø ilgá su skaièiumi 29. uuuuur uuuuuuur e) Pavaizduokite ir iðmatuokite kampà tarp vektoriø NM bei N1 M1 .

3) Kà galite pasakyti apie trikampá ABC, kurio virðûniø koordinatës yra A( 1; 0), B( 15; 6), C(7; 0)? uuur 114. 1) Ta kai C(1; 2) ir D( 2; 4) yra vektoriø CD atitinkanèios atkarpos galai.

uuuuuur uuur a) Nubrëþkite vektoriø C1 D1 , simetriðkà vektoriui CD tiesës y=1 atþvilgiu.

uuur b) Raskite vektoriaus CD koordinates. uuuuuur c) Raskite vektoriaus C1 D1 koordinates.

17. uuur e) Pavaizduokite ir iðmatuokite kampà tarp vektoriø CD bei uuuuuur C1 D1 . d) Palyginkite ðiø vektoriø ilgá su

2) Trikampio MNP virðûniø koordinatës yra M(0; 30), N(15; 0), P(20; 0). Nustatykite: a) trikampio MNP rûðá; b) kuri jo kraðtinë yra trumpiausia; c) trikampio perimetrà; d) jo plotà.

3) Árodykite, kad trapecijos vidurinës linijos ilgis lygus pusei jos pagrindø ilgiø sumos. uuuur 115. 1) Ta kai C( 2; 4) ir D(4; 1) yra vektoriø DC atitinkanèios atkarpos galai.

uuuuuur uuuur a) Nubrëþkite vektoriø D1C1 , simetriðkà vektoriui DC tiesës x=1 atþvilgiu.

uuuur b) Raskite vektoriaus DC koordinates. uuuuuur c) Raskite vektoriaus D1C1 koordinates. d) Palyginkite tø vektoriø ilgá su

19.

uuuur uuuuuur e) Pavaizduokite ir iðmatuokite kampà tarp vektoriø DC bei D1C1 .

2) Trikampio MNP virðûniø koordinatës yra M( 15; 0), N( 2; 0), P(0; 14). Nustatykite: a) trikampio MNP rûðá; b) kuri jo kraðtinë yra ilgiausia; c) trikampio perimetrà; d) jo plotà.

3) Árodykite, kad rombo ástriþainës susikerta staèiu kampu.

64

VEKTORIAI

116. 1) Þinomos trikampio kraðtiniø vidurio taðkø koordinatës D( 1; 2), E(2; 3) ir F( 3; 1). Raskite jo pusiaukraðtiniø sankirtos taðko koordinates.

2) Þinomos trikampio ABC virðûniø koordinatës A(2; 1) ir B( 3; 5), taip pat pusiaukraðtiniø sankirtos taðko koordinatës K(1; 1). Apskaièiuokite virðûnës C koordinates.

3) Raskite trikampio ABC kampo A pusiaukampinës AD vienetinio vektoriaus koordinates, kai A(1; 1; 1), B(3; 0; 1), C(0; 3; 1).

4) Árodykite, kad bet kurio trikampio ABC 3 cos α + cos β + cos γ ≤ .

2 5) Tiesë, lygiagreti su trikampio ABC pusiaukraðtine CM, kerta tieses BC, CA ir AB taðkuose A1, B1 ir C1. Árodykite, kad uuuuuur uuuuur uuur uuur A1 C1 + B1C1 = CA + CB. 6) Tiesëje 5x 2y+9=0 raskite taðkà A, vienodai nutolusá nuo taðkø B( 2; 3) ir C(4; 1). Apskaièiuokite trikampio ABC plotà. ur r ur r 7) Yra þinoma, kad a + b = a b . Árodykite, ur r kad a ⊥ b.

Atsakymai r r 77. c) Kolinearûs; d) nekolinearûs. 78. d) a « b. 83. c) £50°; £130°; d) £35°; £145°. r ur 1 2 5 87. c) Su t=2; d) su t=2. 88. c) Su t = . 89. a {1; 2; 3}. 90. b) b { 3; 2; 1}. 91. − ; ; 3 3 14 2 − . 92. Su t=5. 93. a) D(6; 2; 5); c) 0; d) {19; 0; 16}. 94. a) C(6; 5; 5), B1(4; 7; 4), 3 3 37 1 r r C1(8; 8; 4), D1(9; 4; 1); c) cos ϕ = . 96. 1) − (b + c ); 2) m < ; 3) 28; 4) taip; 2 2 7 93 r r  1 48 5 2  1 ; 70 + 15 2 ; 9) £25°; 11) a) m 2 = 107; b) p0 − ; − ; −  ; c) − 3 30 30 30 30   d) £0,5313. 97. 6) 500 km ir 265 km; 7) 168 m ir 249 m. 98. 1) 20 km; 2) 8 m ir 2 m; π kartø; 5) 500 m ir 100 13 m; 7) 216 m ir 208 m. 99. 1) 27,5 km; 55 km; 3) 2 r r 2) 30 km/h; 3) 6 m/s. 100. 2) Per 0,5 min; 3) po 15 s. 101. 1) a ir b; 4) a) su x= 1,25;

5)

b) ®; 7) 60°; 9) po 2,7 min. 102. 8) 220 m. 103. 7) 15 cm/s; 10 cm/s; 8) 5 km/h; 4 km/h; 9) 8 km/h. 104. 6) 30 s; 7) 15 m/s; 8) 90 km/h; 9) 33,6°. 105. 6) 720 km/h; 8) 1,6 s;

 2  2 2  2 9) 2 km/h; 18 km/h; 10) 12 kartø. 116. 1)  − ; −  ; 3)  ; ; 0  ; 6) A( 1; 2).

2 2 3 3    

64

Skaièiaus sàvokos formavimasis. Natûralieji skaièiai

65

2. SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI 2.1. SKAIÈIAUS SÀVOKOS FORMAVIMASIS. NATÛRALIEJI SKAIÈIAI Skaièiaus sàvoka yra viena svarbiausiø matematikos sàvokø. Pirminë jos reikðmë kiekis. Ði sàvoka formavosi tûkstantmeèius ir tik ið pirmo þvilgsnio atrodo paprasta. Kiekvienas þmogus jau pirmaisiais savo gyvenimo metais susipaþásta su skaièiais. Vaikystëje mokydamasis skaièiuoti, atlikti pirmuosius aritmetinius veiksmus ir vëliau mokykloje susipaþindamas su vis sudëtingesniais skaièiais, jis tarsi atkartoja þmonijos nueità paþinimo kelià. Todël trumpai apþvelgsime skaièiaus sàvokos formavimàsi.

Pirmieji skaièiai, kuriais buvo skaièiuojami daiktai, þmonijos þinomi taip seniai, kad neámanoma atsekti jø atsiradimo datos. Ne veltui jie vadinami natûraliaisiais skaièiais. Jø egzistavimas yra toks natûralus, kad garsus matematikas L. Kronekeris (L. Kronecker) yra pasakæs: Dievas sutvërë natûraliuosius skaièius, o þmogus visa kita . Taèiau ir kiti skaièiai þinomi jau labai seniai. Praktiniai þmogaus poreikiai netrukus privertë já vartoti paprastàsias trupmenas, t. y. skaièiaus dalis. Juk reikëjo matuoti ir dalyti þemës sklypus, atstumus, indø talpà ir pan. Nors daugelá amþiø trupmenos buvo laikomos ne skaièiais, o tik vieneto dalimis, taèiau jau senovës veikaluose galima aptikti daugybæ matematiniø uþdaviniø su trupmenomis.

Palyginti labai seniai pasidarë aiðku, kad ne visus skaièius galima iðreikðti paprastàja trupmena, t. y. racionaliuoju skaièiumi. Praktinis uþdavinys kvadrato ástriþainës ilgio skaièiavimas þinant jo kraðtinës ilgá stulbino senovës matematikus. Paaiðkëjo, kad nëra skaièiaus, galinèio jà iðreikðti. Ðis atradimas tapo iracionaliøjø skaièiø atsiradimo pagrindu.

Dar vienas stulbinantis þmonijos atradimas, susijæs su skaièiais, yra pozicinë skaièiavimo sistema. Skaièiavimams ypaè patogi deðimtainë skaièiavimo sistema. Kad ir koks didelis bûtø skaièius, já galima uþraðyti tik deðimèia skaitmenø. Skaitmens reikðmë priklauso nuo jo vietos, t. y. pozicijos. Skaièiuojame deðimtimis: deðimt vienetø sudaro vienà deðimtá, deðimt deðimèiø vienà ðimtà ir t. t. Tokia skaièiavimo sistema leido þmonijai sukurti aritmetiniø veiksmø algoritmus supaprastinti veiksmus su kiek norima dideliais skaièiais.

Labai ádomi skaièiaus 0 ir neigiamøjø skaièiø atsiradimo istorija. Simbolis 0 pradëtas vartoti kaip þenklas trûkstamiems skaièiaus skyriams

66

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

pozicinëje skaièiavimo sistemoje þymëti. Tik gerokai vëliau jis virto savarankiðku skaièiumi, su kuriuo galima atlikti veiksmus. Palyginti vëlai, tik apie XVI amþiø, pripaþinti ir neigiamieji skaièiai. Nors ávairiø jø egzistavimo pëdsakø galima aptikti ankstesniuose matematikos veikaluose, taèiau net jø pavadinimai klaidingi skaièiai , absurdiðki skaièiai , skola rodo, kad ðie skaièiai sunkiai iðsikovojo savo vietà matematikoje.

Ið þemesniøjø klasiø jums jau þinomos ðios skaièiø aibës: N natûraliøjø skaièiø aibë; Z sveikøjø skaièiø aibë; Q racionaliøjø skaièiø aibë; I iracionaliøjø skaièiø aibë; R realiøjø skaièiø aibë, kurià sudaro racionalieji ir iracionalieji skaièiai.

Galimos ir kitokios skaièiø aibës: lyginiø, nelyginiø, pirminiø, sudëtiniø skaièiø, skaièiaus k (k¢2) kartotiniø. Visos èia paminëtos aibës yra begalinës. Taèiau yra ir baigtiniø skaièiø aibiø, kaip antai maþesniø uþ 6 natûraliøjø skaièiø aibë, kurià sudaro penki skaièiai: 1, 2, 3, 4 ir 5.

Toliau apþvelgsime veiksmus su skaièiais, átvirtinsime ágytas þinias, o apibendrindami pateiksime naujos informacijos apie skaièiø savybes.

Natûralieji skaièiai tai pirmieji skaièiai, su kuriais mes susiduriame gyvenime ir kuriuos pradedame nagrinëti dar pradinëje mokykloje. Ðie skaièiai paprastai apibrëþiami kaip skaièiai, kuriais skaièiuojami daiktai.

Toks apibrëþimas nëra tikslus, bet, kaip jau þinome, natûraliøjø skaièiø sàvoka yra viena ið pirminiø matematikos sàvokø ir nëra tiksliai apibrëþiama. Todël pakanka paaiðkinti, kad natûralieji skaièiai tai skaièiai 1, 2, 3, 4, ... . Pats maþiausias natûralusis skaièius yra 1, tuo tarpu didþiausio natûraliojo skaièiaus nëra, nes natûraliøjø skaièiø aibë begalinë. Paskui kiekvienà natûraløjá skaièiø n eina skaièius n+1, o prieð kiekvienà natûraløjá skaièiø n (iðskyrus 1) skaièius n 1.

Didesni uþ 9 natûralieji skaièiai uþraðomi poziciniu principu. Pavyzdþiui, skaièiaus 256 pirmasis skaitmuo rodo ðimtø skaièiø, antrasis deðimèiø skaièiø, treèiasis vienetø skaièiø, taigi 256=2·100+5·10+6.

Kiekvienà natûraløjá skaièiø n deðimtainëje skaièiavimo sistemoje galima iðreikðti suma: n=ak·10k+ak 1·10k 1+...+a1·10+a0; èia ak gali ágyti reikðmes 1, 2, ..., 9, o a0, a1, ..., ak 1 reikðmes 0, 1, 2, ..., 9. Poziciniu bûdu tà patá skaièiø galime uþraðyti trumpiau:

n = ak ak−1 ...a2 a1 a0 .

67

Skaièiaus sàvokos formavimasis. Natûralieji skaièiai

Skaièius 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ir 9 vadiname skaitmenimis.

Kiekvienà sudëtîná skaïèiø n galima i reik ti pirmîniø skaïèiø sandauga: n = p1m1 p2m2 ... pkmk ;

èia p1, p2, ..., pk pirminiai skaièiai, k, m1, m2, ..., mk natûralieji skaièiai.

1 p a v y z d y s. Iðreikðkime skaièius 264, 360 ir 8400 pirminiais skaièiais: a) 264=2·2·2·3·11=23·3·11; b) 360=2·2·2·3·3·5=23·32·5; c) 8400=2·2·2·2·3·5·5·7=24·3·52·7.

Remiantis tokia skaièiaus iðraiðka, apskaièiuojamas keliø skaièiø didþiausiasis bendrasis daliklis (DBD) ir maþiausiasis bendrasis kartotinis (MBK).

Dalyba natûraliøjø skaièiø aibëje yra galima tik tada, kai egzistuoja toks natûralusis skaièius k, su kuriuo n=k·m; k, m, n ± N. Skaièius k vadinamas skaièiaus n dalikli÷, o skaièius n skaièiaus k kartótiniu, be to, a : 1=a, a : a=1.

Primename natûraliøjø skaièiø dalumo poþymius: Skaièius n dalijasi i : 2 3 arba 9

Dalumo poþymis

Pavyzdys

Skaièiaus n paskutinis skaitmuo yra lyginis, t. y. 0, 2, 4, 6 arba 8

12 446 : 2=6223

Skaièiaus n skaitmenø suma dalijasi ið 3 arba ið 9

273 : 3=91, nes 2+7+3=12, o 12 : 3=4; 468 : 9=52, nes 4+6+8=18, o 18 : 9=2

4

Skaièiaus n paskutiniai du skaitmenys sudaro skaièiø, kuris dalijasi ið 4

316 : 4=79, nes 16 : 4=4

5

Skaièiaus n paskutinis skaitmuo yra 0 arba 5

13 525 : 5=2705

10

Skaièiaus n paskutinis skaitmuo yra 0

13 470 : 10=1347

25

Skaièiaus n paskutiniai du skaitmenys sudaro skaièiø, kuris dalijasi ið 25 (00; 25; 50; 75)

475 : 25=19, nes 75 : 25=3

10m

Skaièiaus n paskutiniai m skaitmenys yra nuliai

2 300 000 : 10 000= =230

68

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

2 p a v y z d y s. Árodykime, kad skaièius m=774 1 dalijasi ið 10.

Sprendimas. 1 bûdas. Skaièius 772 baigiasi skaitmeniu 9, todël já galima iðreikðti suma 772=10⋅k+9, k ∈ N. Tada 774=(772)2=(10k+9)2=100k2+180k+81= =10 ⋅ 10k2+10 ⋅ 18k+10 ⋅ 8+1=10 ⋅ l+1; 2 èia l=10k +18k+8 ir l ∈ N. Atsiþvelgæ á tai, skaièiø m uþraðome taip: m=10 ⋅ l+1 1=10l.

Dabar jau akivaizdu, kad jis dalijasi ið 10.

2 bûdas. Pastebëkime, kad skaièius 774 baigiasi skaitmeniu 1, todël skaièius 774 1 baigsis skaitmeniu 0. Vadinasi, jis dalysis ið 10.

3 p a v y z d y s. Patikrinkime, ar skaièius m=8926 4525 yra lyginis.

Sprendimas. Skaièius 892 baigiasi skaitmeniu 1, todël 8926=(892)13=(10k+1)13=10 ⋅ l+1, k, l ∈ N. Skaièius 4525 baigiasi skaitmeniu 5, vadinasi, galime raðyti 4525=10 ⋅ j+5, j ∈ N. Tada m=(10l+1) (10 ⋅ j+5)=10l+1 10j 5= =10(l j) 4=2(5l 5j 2).

Ið èia matyti, jog skaièius m tikrai yra lyginis.

4 p a v y z d y s. Árodykime, kad skaièius m=n3 n dalijasi i 6, kai n ± N. Sprendimas. Skaièiø n3 n i skaidome: m=n3 n=n(n2 1)=(n 1)n(n+1).

Atsiþvelgiant á sàlygà, skaièiø n galima i reik ti taip: n=6k+l; èia k ± N arba k=0, o skaièius l ágyja vienà ið reikðmiø 0, 1, 2, 3, 4 arba 5.

Iðnagrinësime visus galimus atvejus: 1) kai l=0, tai n=6k, vadinasi, n dalijasi ið 6, o dël to ir m dalijasi i 6; 2) kai l=1, tai n=6k+1, ið èia n 1=6k, todël m dalijasi i 6; 3) kai l=2, tai n=6k+2, o tada skaièius m yra toks: m=(6k+1)(6k+2)(6k+3)=(6k+1)·2(3k+1)·3(2k+1)= =6(6k+1)(3k+1)(2k+1), vadinasi, jis dalijasi i 6; 4) kai l=3, tai n=6k+3, todël m=(6k+2)(6k+3)(6k+4)=2(3k+1)·3(2k+1)·2(3k+2) ir taip pat dalijasi i 6.

Toliau panaðiai reikðdami skaièiø m skaièiumi n, sandaugoje gautume 6 ir padarytume tà paèià iðvadà, kaip 1 4 atveju. Taigi galime teigti, jog skaièius m=n3 n=(n 1)n(n+1) dalijasi i 6.

69

Skaièiaus sàvokos formavimasis. Natûralieji skaièiai

Kadangi èia n yra bet kuris natûralusis skaièius, o n 1, n ir n+1 trys ið eilës vienas po kito einantys skaièiai, tai ðio uþdavinio rezultatà galima formuluoti trumpai: trijø vienas po kito einanèiø natûraliøjø skaièiø sandauga dalijasi ið 6.

Natûraliøjø skaièiø aibëje galioja ðie sudëties ir daugybos dësniai: Dësnio pavadinimas

Sudëtis

Daugyba

Perstatomumo (komutatyvumo) dësnis

m+n=n+m

m·n=n·m

Jungiamumo (asociatyvumo) dësnis

(m+n)+k=m+(n+k)

m(n·k)=(m·n)k

Skirstomumo (distributyvumo) dësnis

(m+n)k=m·k+n·k

Jais pagrásta daugiaþenkliø skaièiø sudëtis ir daugyba stulpeliu, taip pat skaièiavimo eilute supaprastinimas.

5 p a v y z d y s. a) Sudëkime stulpeliu skaièius 123 ir 1236: + 123 1236 1359 Atlikdami ðá veiksmà, rëmëmës sudëties perstatomumo bei jungiamumo dësniais: 123+1236=(100+20+3)+(1000+200+30+6)= =1000+(100+200)+(20+30)+(3+6)= =1000+300+50+9=1359. b) Sudauginkime stulpeliu skaièius 26 ir 43: ¦

26 43

78 104(0) 111 8 Èia rëmëmës daugybos perstatomumo bei skirstomumo dësniais: (26¦43)=26¦(40+3)=26¦3+26¦40= =78+1040=1118. c) Apskaièiuodami skaitinio reiðkinio n=3·53+11·53+4·53 reikðmæ, taikome skirstomumo dësná: n=53·(3+11+4)=53·18.

70

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

Uþdaviniai 117. Skaièiai A ir B yra natûralieji. Kurie ið ðiø skaièiø: A·B, A , A+B, B A B visada yra natûralieji?

118. Kurie ðiø teiginiø yra teisingi: a) dviejø lyginiø skaièiø suma yra lyginis skaièius; b) dviejø nelyginiø skaièiø suma yra nelyginis skaièius; c) jei trijø natûraliøjø skaièiø suma yra nelyginis skaièius, tai kiekvienas dëmuo nelyginis skaièius; d) jei trijø natûraliøjø skaièiø suma yra nelyginis skaièius, tai bent vienas dëmuo yra nelyginis skaièius?

119. Uþraðykite ðiuos skaièius vienu skaièiumi: a) 6·102+3; b) 7·105+8·104+5; c) 109+4·107+8·104+6.

120. Kiek yra vienaþenkliø, dviþenkliø, triþenkliø, ..., n-þenkliø natûraliøjø skaièiø?

121. Kiek skaitmenø reikës 1146 knygos puslapiams sunumeruoti?

122. Kiek puslapiø turi knyga, jei jiems sunumeruoti prireikë 2454 skaitmenø?

123. Paraðykite lyginiø ir nelyginiø skaièiø bendràjà iðraiðkà.

124. Paraðykite skaièiø, kurie dalijasi ið 3, 5 ir 7, bendràjà iðraiðkà.

125. Ar teisingi ie teiginiai: a) jei a ± N, tai 3a ± N; b) jei 15a ± N, tai a ± N; c) jei a ± N ir b ± N, tai 2a+3b ± N. 126. Kuriuo skaitmeniu baigiasi sandauga 71·72·73·...·79?

127. Koks yra didþiausias skaièiaus 3 laipsnis, ið kurio dalijasi sandauga 1·2·3·...·100?

128. Kuriuo skaitmeniu baigiasi skaièius 32000?

129. Iðskaidykite pirminiais daugikliais ðiuos skaièius: a) 1152; b) 2970; c) 2431.

130. Raskite didþiausiàjá bendràjá ðiø skaièiø daliklá ir maþiausiàjá bendràjá jø kartotiná: a) 1260 ir 756; b) 252 ir 1260; c) 462, 770 ir 420.

131. Kurie ið ðiø skaièiø yra pirminiai: 1, 3, 6, 9, 11, 15, 37, 67, 91, 421?

132. Iðkylautojus, kuriø yra ne maþiau kaip 80 ir ne daugiau kaip 90, galima susodinti po 4 arba po 6 vienoje valtyje. Abiem atvejais valtyse neliks tuðèios vietos. Kiek yra iðkylautojø?

133. Koks yra natûraliojo skaièiaus a maþiausiasis ir didþiausiasis daliklis?

Skaièiaus sàvokos formavimasis. Natûralieji skaièiai

71

134. Á tris parduotuves atveþta obuoliø, sudëtø á vienodas dëþes. Pirmoji parduotuvë gavo 1800 kg obuoliø, antroji 4848 kg, treèioji 2520 kg.

Kiek dëþiø obuoliø gavo kiekviena parduotuvë, jei yra þinoma, kad dëþës svërë kiek ámanoma daugiausiai?

135. Kurie ið toliau pateiktø skaièiø dalijasi ið 6, 15, 18, 30: 2838; 22 350; 10 062; 22 344; 11 991; 54 276?

136. I skaitmenø 1, 5, 5, 0 ir 7 sudarykite penkis skirtingus penkiaþenklius skaièius, kurie dalytøsi ið 15, 25, 18, 45, 30.

137. Ar skaièius 123 572 610 dalijasi ið 2, 3, 5, 6, 15, 10, 9, 18, 30?

138. Árodykite, kad skaièius: b) 10n+8 dalijasi ið 8; a) 10n+2 dalijasi ið 3; d) 10k 4 dalijasi ið 3. c) 4110 1 dalijasi ið 10; 139. Patikrinkite, ar skaièius l yra skaièiaus k kartotinis: a) l=92m+14, k=5; b) l=678 1, k=10; c) l=4646 1, k=5; d) l=333555+555333, k=37.

140. Raskite skaièiaus 3xy6 natûraliuosius skaitmenis x ir y, kai yra þinoma, kad ðis skaièius dalijasi ið 72.

141. Ið kurio skaièiaus dalijasi kiekvieno dviþenklio skaièiaus ir skaièiaus, uþraðyto tais paèiais skaitmenimis, tik atvirkðèia tvarka, skirtumas?

142. Kiek triþenkliø skaièiø, sudarytø ið nesikartojanèiø skaitmenø 0, 3 ir 6, be liekanos dalijasi ið 6?

143. Triþenkliame skaièiuje *3* vietoj þvaigþduèiø reikia paraðyti tokius skaitmenis, kad gautas skaièius dalytøsi ið 18. Kiek sprendiniø turi ðis uþdavinys?

144. Árodykite, kad vienas ið dviejø vienas po kito einanèiø lyginiø skaièiø dalijasi ið 4.

145. Ar skaièius 1042+8 dalijasi be liekanos i 2, 3, 5, 9, 10?

146. Reiðkiná abcd − dcab iðreikðkite daugianariu.

147. Árodykite, kad dviþenklio skaièiaus ir skaièiaus, uþraðyto tais paèiais skaitmenimis, tik atvirkðèia tvarka, suma dalijasi ið 11.

148. Árodykite, kad bet kuris triþenklis skaièius, uþraðytas vienodais skaitmenimis, dalijasi ið 37.

149. Dviþenklio skaièiaus skaitmenø suma lygi 15. Ðis skaièius yra 9 vienetais didesnis uþ skaièiø, uþraðytà tais paèiais skaitmenimis, tik atvirkðèia tvarka. Raskite tà skaièiø.

150. Jei prie skaièiaus ið deðinës priraðysime skaitmená 2, tai gautas skaièius, sumaþintas 9 kartus, bus 58 vienetais didesnis uþ pradiná. Raskite pradiná skaièiø.

151. Apskaièiuokite liekanà, kuri gaunama skaièiø 64325+82564 dalijant i 9.

152. Árodykite, kad bet kuris vienetu sumaþintas skaièiaus 5 lyginis laipsnis yra skaièiaus 4 kartotinis.

72

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

153. Árodykite, kad ðie skaièiai yra sudëtiniai: b) 210 512; a) 212+59; 3 2 c) 8n 12n +6n+26; d) n3 6n2+12n+117.

154. Jei, dalydami kurá nors skaièiø ið 9, gauname liekanà, lygià 1 arba 8, tai, dalydami to skaièiaus kvadratà ið 9, gausime liekanà, lygià 1. Árodykite.

155. Jei, dalydami skaièiø ið 9, gauname liekanà, lygià 2 arba 7, tai, dalydami ðio skaièiaus kvadratà ið 9, gausime liekanà, lygià 4. Árodykite.

156. Jei, dalydami skaièiø ið 9, gauname liekanà, lygià 1, 4 arba 7, tai, dalydami to skaièiaus kubà ið 9, gausime liekanà, lygià 1. Árodykite.

Atsakymai 129.

132.

143.

151.

120. 9; 90; 900; ...; 9·10n 1. 121. 3477. 122. 854. 126. 0. 127. 348. 128. 1. a) 27·32; b) 2·33·5·11; c) 11·13·17. 130. a) 252; 3780; b) 252; 1260; c) 14; 4620.

84. 133. 75; 202; 105. 140. x=8, y=1 arba x=4, y=5. 141. I 3 ir 9. 142. Trys.

Penkis: 234; 432; 630; 738; 936. 146. 990a+99b 90c 999d. 149. 87. 150. 520.

2.

2.2. SVEIKIEJI SKAIÈIAI Natûraliøjø skaièiø aibëje ne visada galima atlikti atimties ir dalybos veiksmus. Be to, ir kasdienis gyvenimas bei praktiniai þmogaus poreikiai rodo, kad ðiø skaièiø tikrai nepakanka. Todël ði aibë iðpleèiama prijungiant prie jos skaièiø 0 bei neigiamuosius skaièius, t. y. natûraliesiems prieðingus skaièius.

Prie natûraliøjø skaièiø aibës N={1; 2; 3; ...} prijungæ nulá, gauname skaièiø aibæ, kurià þymime N0. Toks natûraliøjø skaièiø aibës iðplëtimas leidþia atlikti lygiø skaièiø atimties veiksmà: a a=0.

Be to, 0 yra neutralus sudëties atþvilgiu: a+0=0+a=a.

Skaièiø 0 laikydami atskaitos pradþia, aibæ N0 galime pavaizduoti skaièiø spindulyje:

Skaièiø vaizdavimas skaièiø spindulyje labai patogus, nes èia gerai matyti skaièiø iðsidëstymo tvarka, todël juos lengva lyginti: didesnis skaièius visada yra deðinëje maþesniojo pusëje.

Skaièiui a prîe ingu skaïèiumi vadiname toká skaièiø a, su kuriuo a+( a)=0.

Natûralieji skaièiai, jiems prieðingi skaièiai ir 0 sudaro sveikýjø skaïèiø ìibæ Z.

73

Sveikieji skaièiai

Taigi Z={...; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; ...}.

Sveikuosius skaièius taip pat galima pavaizduoti skaièiø tiesëje. Joje prieðinguosius skaièius atitinkantys taðkai iðsidëstæ simetriðkai atskaitos pradþios (0) atþvilgiu: a±N

Sveikuosius skaièius, pavaizduotus skaièiø tiesëje, galime nesunkiai palyginti: kiekvienas skaièius yra didesnis uþ kitus skaièius, kurie toje tiesëje yra kairiau:

c>a, a>b, c>b.

Skaièiaus atstumas nuo atskaitos taðko 0, kaip þinome, vadinamas to skaièiaus absoliuèiõoju didum÷, arba mòduliu:

Taigi kiekvienà sveikàjá skaièiø apibûdina jo absoliutusis didumas ir þenklas, t. y. padëtis skaièiø tiesëje. Nulio deðinëje esantis skaièius yra teigiamas, nulio kairëje neigiamas.

Prisiminkime sveikøjø skaièiø sudëties, atimties ir daugybos taisykles, kai m, n natûralieji skaièiai, k sveikasis skaièius: 1) ( m)+( n)= (m+n); ( m)+0= m;

 − (m − n), kai m > n,  ( m)+n= n − m, kai m < n, 0, kai n = m;  2) ( m)·n= m·n; ( m)·( n)=m·n; ( m)·0=0; ( n)=n; n m=n+( m).

3)

k=n·p+r, p ± Z, 0¡r<n.

Kai r=0, skaièius k dalijasi i n be liekanos; kai r¥0, skaièius k dalijasi i n su liekana r. Pavyzdþiui, k= 159 dalijasi i 3 be liekanos, t. y.

159=3·( 53), tuo tarpu skaièiø k= 632 dalijant i 3, gaunama liekana 1: 632=3·( 211)+1, nes 633+1= 632.

1 p a v y z d y s. Kokià liekanà gausime skaièiø 381 padalijæ ið 4?

Sprendimas. Iðnagrinëkime liekanas, kurias gauname skaièiaus 3 laipsnius padalijæ ið 4: 31 : 4=4 ⋅ 0+3;

74

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

32 : 4=4 ⋅ 2+1; 33 : 4=4 ⋅ 6+3; 34 : 4=4 ⋅ 20+1; 5 3 : 4=4 ⋅ 60+3 ir t. t.

Matome: kai skaièiaus 3 laipsnis yra nelyginis, padalijæ já ið 4, gauname liekanà 3, kai lyginis liekanà 1. Taigi 381 padalijæ ið 4, gausime liekanà 3.

2 p a v y z d y s. Árodykime, kad skaièius k=m(m2+5) dalijasi ið 6 be liekanos; èia m ± Z. Skaièiø k=m(m2+5) pertvarkykime: k=m3+5m=(m3 m)+6m.

Kadangi m3 m dalijasi i 6, kai m ± N (þr. p. 68 4 pavyzdá), tai jis dalijasi i 6 ir kai m ± Z. Vadinasi, teiginys árodytas.

3 p a v y z d y s. Raskime visus skaièius, kuriuos dalijant ið 17 gaunama liekana 2, o dalijant ið 5 liekana 3.

Sprendimas. Pagal sàlygà, bet kurá skaièiø p ± Z galima iðreikðti dviem bûdais: pk=17k+2, k ± Z ir pl=5l+3, l ± Z. Kadangi dalijamas tas pats skaièius, tai galime paraðyti tokià lygybæ: 17k+2=5l+3, 5l=17k 1=15k+(2k 1).

Kad 17k 1 dalytøsi ið 5, turi dalytis ið 5 skaièius 2k 1, todël já galime uþraðyti taip: 2k 1=5m, m ± Z. Tada 2k=5m+1=4m+m+1. O tai rei kia, kad m+1 turi dalytis i 2, t. y. m+1=2n, n ± Z. Skaièius k ir l iðreiðkiame skaièiumi n: m=2n 1, 2k=10n 5+1=10n 4, k=5n 2; 5l=17(5n 2) 1=85n 34 1=85n 35.

Taigi pl=85n 35+3=85n 32; pk=17(5n 2)+2=85n 34+2=85n 32.

Ats.: p=85n 32, n ± Z. 4 p a v y z d y s. Raskime sveikuosius skaièius x ir y, tenkinanèius sàlygà (x 3)(xy+5)=1.

Sprendimas. Kai x, y ± Z, èia galimi du atvejai:  x − 3 = 1,   xy + 5 = 1

arba

 x − 3 = −1,   xy + 5 = −1;

Sveikieji skaièiai

75

 x = 2,  x = 4,   2 y + 5 = −1,  4 y + 5 = 1, 4y= 4, 2y= 6, y= 1; y= 3.

Ats.: (4; 1) ir (2; 3).

P a s t a b a. Sveikøjø skaièiø sudëèiai ir daugybai galioja perstatomumo, jungiamumo ir skirstomumo dësniai.

Uþdaviniai 157. Ar galima teigti, kad: a) sveikøjø skaièiø suma yra sveikasis skaièius; b) sveikøjø skaièiø skirtumas yra sveikasis skaièius; c) sveikøjø skaièiø sandauga yra sveikasis skaièius; d) sveikøjø skaièiø dalmuo yra sveikasis skaièius; e) jei dviejø sveikøjø skaièiø suma yra lyginis skaièius, tai abu ðie skaièiai lyginiai; f) jei dviejø sveikøjø skaièiø suma yra nelyginis skaièius, tai abu ðie skaièiai nelyginiai; g) jei trijø sveikøjø skaièiø suma yra nelyginis skaièius, tai kiekvienas dëmuo nelyginis skaièius; h) jei trijø sveikøjø skaièiø suma yra nelyginis skaièius, tai bent vienas ið ðiø skaièiø nelyginis?

158. Apskaièiuokite: a) ( ( 2+3·( 2)))·( 2); b) 1·(6 2·2) 3ª 4·( 2) 6ª; 159.

160.

161.

162.

d) 6·25 10·25 ª 7·25ª. c) (−2)2 + 3 ⋅ − 4 − 6; Raskite ðiø lygèiø sprendinius: a) ªx+6ª=8; b) ª4 xª=2; c) ªxª·ªx+3ª=0; d) ªx 2ª+ª2 xª=4; e) ªªªx 1ª+2ª 3ª=8.

Kiek sveikøjø sprendiniø turi ðios nelygybës: a) 227¡x<563; b) ªa 2ª<1; c) 2<ªaª¡7; d) ª1 2aª<3?

Kurie teiginiai yra teisingi, kai n ± Z: 1) kiekvienà nelyginá skaièiø galima iðreikðti taip: a) 2n 1; b) 2n+7; c) 4n+1; d) 2n2+3; 2 f) 2n 9; e) 2n +2n+1; 2) kiekvienà lyginá skaièiø galima iðreikðti taip: g) 2n+4; h) 4n+2; i) 2n 2; j) 2n+2; k) n2+2?

Palyginkite skaièius, kai n ± N: b) ( 2)2n+1 ir 22n+1; a) ( 2)2n ir 22n; 2n 2n+1 d) ( 2)2n ir ( 2)2n+1; c) 2 ir 2 ; 2n 2n+1 e) 2 ir ( 2) ; f) ( 2)2n ir 22n+1.

76

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

163. Árodykite, kad, nelygaus vienetui nelyginio skaièiaus kvadratà dalijant ið 8 gaunama liekana, lygi 1.

164. Árodykite, kad k=m(m+1)(2m+1) dalijasi i 6 be liekanos, kai m ± Z. 165. Raskite sveikuosius skaièius x ir y, tenkinanèius sàlygà: a) (x+1)(y 2)=2;

b) (y+1)(xy 1)=3;

d) x2=4y2;

e) y2 5x2=6;

2 x; 3 f) xy=x+y;

 x + y > 14,  g) 2 x < y + 18, 2 y < x; 

 x + y > 29,  h)  x − 2 > 3 y, 3 x − 2 y < 60; 

 x > y,  i) 2 x + y < 32,  x + 2 y > 28. 

c) y =

Atsakymai 158. a) 16; b) 8; c) 8. 159. a) { 14; 2}; b) {2; 6}; d) {0; 4}; e) { 8; 10}.

159. a) 790; d) 2. 165. a) (0; 4), ( 2; 0), (1; 3), ( 3; 1); b) (1; 2), (1; 2), (0; 4); c) x=3m, y=2m, m ± Z; e) nëra; f) (0; 0), (2; 2); g) (11; 5); h) (24; 7); i) (11; 9).

2.3. RACIONALIEJI SKAIÈIAI Kad galëtume atlikti dalybos veiksmà, sveikøjø skaièiø aibæ turime iðplësti prijungti prie jos trupmenas, nes, kaip jau minëjome, natûraliøjø ir sveikøjø skaièiø aibëse dalyba be liekanos ne visuomet galima. a (b¥0), dar VI klasëje pavaSveikøjø skaièiø a ir b dalmená, iðreikðtà b dinome paprastäja tr÷pmena. Kai a<b, i trupmena yra taisyklingoji, kai a>b netaisyklingoji. Kai a=b, trupmenos reikðmë lygi vienetui. a Natûraliojo skaièiaus ir teigiamos taisyklingosios trupmenos suma n + b paprastai vadinama miðriuoju skaièiumi ir þymima praleidþiant sumos þenklà: n a . Trupmenos turi tokià savybæ, vadinamà pagrindinç tr÷pb menos savybç: jeigu trupmenos skaitiklá ir vardiklá padauginsime arba padalysime ið to paties sveikojo skaièiaus, nelygaus nuliui, tai gausime trupmenà, lygià pradinei. Pagrindinë trupmenos savybë leidþia prastinti trupmenas, t. y. dalyti jø skaitiklá ir vardiklá ið bendro daliklio. Suprastinæ gauname trupmenà, lygià pradinei: 360 36 6 2 = = = .

540 54 9 3 Kai skaitiklis ir vardiklis neturi bendrø dalikliø, trupmenos neámanoma suprastinti, todël tokia trupmena vadinama nesuprastinamäja: 1 5 13 , , .

3 7 18

Racionalieji skaièiai

77

Racionaliýjø* skaïèiø ìibei Q priklauso visi trupmena a , kurios b a ± Z, b ± N, uþraðomi skaièiai. Teigiamieji racionalieji skaièiai þymimi Q+, neigiamieji Q .

Natûraliuosius ir sveikuosius skaièius taip pat galime uþraðyti papras2 8 tàja trupmena: 2 = ; − 4 = − .

1 2 Du racionalieji skaièiai, kuriø sandauga lygi 1, laikomi atvirk tiniais, 3 4 2 6 1 ir , 2,5 ir , − ir −1 . pavyzdþiui, 4 3 5 7 6 Racionaliuosius, kaip ir sveikuosius, skaièius galima vaizduoti skaièiø tiesës taðkais. Jie þymi vienetinës atkarpos dalis.

Kiekvienam racionaliajam skaièiui priskiriamas vienintelis tiesës taðkas. Taèiau atvirkðtinë atitiktis, t. y. racionaliojo skaièiaus priskyrimas taðkui, ne visada yra vienareikðmë.

Tarp bet kuriø dviejø racionaliøjø skaièiø yra be galo daug racionaliøjø skaièiø. Tuo ðiø skaièiø aibë skiriasi nuo natûraliøjø ir sveikøjø skaièiø aibiø. Antai tarp natûraliøjø skaièiø 1 ir 2 nëra në vieno natûraliojo skai1 1 ir visada rasime koká nors èiaus, o tarp racionaliøjø skaièiø 202 201 2 . racionaløjá skaièiø, pavyzdþiui, 403 Trupmena, kurios skaitiklis yra bet koks sveikasis skaièius, o vardiklis skaièiaus 10 laipsnis, vadinama de imtaïne tr÷pmena. Tokias trupmenas patogiau uþra yti taip: 3 1 12 = 0,03; 5 = 5,001; = 1,2.

100 1000 10 Skaitmenis, esanèius á deðinæ nuo kablelio, vadiname deðimtainiais þenklais. Kai jø skaièius yra baigtinis, turime baigtinæ deðimtainæ trupmenà, kai begalinis begalinæ. Daþnai skaitmenys, esantys á deðinæ nuo kablelio, pradeda kartotis. Tokius pasikartojanèius skaitmenis vadiname deðimtainës trupmenos periodu, o paèià trupmenà periodine. Pavyzdþiui, deðimtainës trupmenos 0, 3333...=0,(3),0,353535...=0,(35) yra grynosios periodinës, o 2,3278278...=2,3(278), 14,3271666...=14,3271(6) miðriosios periodinës.

Racionaløjá skaièiø galima uþraðyti baigtine deðimtaine trupmena tik 3 1 3 tada, kai jo vardiklis yra skaièiø 2 ir 5 laipsnis, pavyzdþiui, , , .

8 125 400 Kitais atvejais gaunama begalinë periodinë trupmena. * Lot. rationalis protingas.

78

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

Kiekvienà racionaløjá skaièiø galima uþraðyti baigtine ar begaline periodine deðimtaine trupmena ir, atvirkðèiai, kiekvienà baigtinæ ar begalinæ periodinæ deðimtainæ trupmenà galima uþraðyti racionaliuoju skaièiumi.

Prisiminkime, kaip tai daroma. Paprastàjà trupmenà reikðdami deðimtaine, skaitiklá dalijame ið vardiklio ir sveikàjà trupmenos dalá raðome 1 7 = 0,5, = 2,333... = 2,(3).

2 3 Norëdami baigtinæ deðimtainæ trupmenà iðreikðti paprastàja, skaitiklyje raðome po kablelio esanèius skaitmenis, o vardiklyje vienetà ir tiek

prieð kablelá, pavyzdþiui,

nuliø,

kiek

skaitmenø

yra

po

kablelio,

pavyzdþiui,

3,62 = 3

62 , 100

73 .

1000 Begalinæ deðimtainæ periodinæ trupmenà taip pat galima uþraðyti paprastàja. Pateiksime keletà pavyzdþiø.

2,073 = 2

1 p a v y z d y s. Sakykime, turime trupmenà x=3,(2). Padauginkime ðià lygybæ ið 10. Gausime: 10x=32,(2). Ai ku, kad 32,(2)=29+3,(2). Taigi 29 2 10x=29+3,(2), arba 10x=29+x. Ið èia 9x=29, x = =3 .

9 9 2 Ats.: 3,(2)= 3 .

9 2 p a v y z d y s. Skaièiø 2,3(42) uþraðykime paprastàja trupmena.

Paþymëkime: x=0,3(42). Padauginæ ðià lygybæ ið 10 (nes prieð periodà yra vienas deðimtainis þenklas), turime: 10x=3,(42).

(1) Gautà lygybæ dar padauginame ið 100 (nes periodà sudaro du deðimtainiai þenklai): 1000x=342,(42).

(2) Ið (2) lygybës atimame (1): 990x=339, 339 . x= 990 339 113 Vadinasi, 2,3(42)= 2 . =2 990 330 113 Ats.: 2,3(42)= 2 .

330 3 p a v y z d y s. Deðimtainæ trupmenà 0,(9) uþraðykime paprastàja.

Paþymëkime: x=0,(9). Tada 10x=9,(9), 10x=9+x, 9x=9, x=1.

Ats.: 0,(9)=1.

79

Racionalieji skaièiai

Racionaliøjø skaièiø aibëje visada galima atlikti sudëties, atimties, daugybos ir dalybos ið nelygaus nuliui skaièiaus veiksmus, be to, kelti laipsniu, kurio rodiklis sveikasis skaièius. Gautas rezultatas yra racionalusis skaièius. Racionaliøjø skaièiø aibëje sudëèiai ir daugybai galioja perstatomumo, jungiamumo bei skirstomumo dësniai.

Uþdaviniai 166. Atlikite veiksmus:  1 + 0,1 + 1  :  1 + 0,1 − 1  ⋅ 2,52 6 15   6 15   ; a)  0,5 − 1 + 0,25 − 1  :  0,25 − 1  ⋅ 7  3 5   6  13  2 −2 + 50 b) + 4,75; −2 2  −2 −2 (0,5) − 5 ⋅ (−2) +   3  13,75 + 9 1  ⋅ 1,2  6,8 − 3 3  ⋅ 5 5   6  5  6   1 + − 27 . c) 6  10,3 − 8 1  ⋅ 5  3 2 − 3 1  ⋅ 56     2 9 6   3

167. Uþraðykite ðiuos skaièius deðimtainëmis trupmenomis: 5 3 5 ; c) 4 ; d) − ; 21 13 7 2 8 24 3 ; e) ; f) g) 2 ; h) − .

9 123 33 19 168. De imtaines trupmenas iðreikðkite paprastosiomis: a) 3,45; b) 3,4(5); c) 0,(2); d) 9,(9); e) 6,21(3); f) 0,(26); g) 1,4(51); h) 3,1(45).

169. Palyginkite skaièius: a) 0,34 ir 0,(34); b) 0,(34) ir 0,3(4); c) 2,7(34) ir 2,734;

a) 2

3 ; 35

b) −

3 ir 0,42857; e) 0,6(45) ir 0,64(5); f) 0,6(45) ir 0,64(54).

7 170. Kaip ir kiek kartø pasikeis trupmenos reikðmë, jeigu jos skaitiklá padidinsime n kartø, o vardiklá sumaþinsime m kartø (n, m ± N)?

d) −

5 reikðmë, kai jos skaitiklá ir vardiklá: 8 a) padidinsime 3 vienetais; b) padidinsime 3 kartus; c) sumaþinsime 3 vienetais?

Apibendrinkite.

171. Kaip pasikeis trupmenos

80

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

172. Kaip ir kiek pasikeis trupmenos

10 reikðmë, kai jos skaitiklá ir 7

vardiklá: a) padidinsime 3 vienetais; b) padidinsime 3 kartus; c) sumaþinsime 3 vienetais?

Apibendrinkite.

173. Taikydami sudëties perstatomumo ir jungiamumo dësnius, atlikite veiksmus: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17 −  −  −  −  −  −  −  −  −  −  .

4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 174. Nebendravardiklindami trupmenø, apskaièiuokite jø sumà 1 1 1 1 . + + + ... + 10 ⋅ 11 11 ⋅ 12 12 ⋅ 13 19 ⋅ 20 175. Paraðykite ðiø skaièiø atvirkðtinius skaièius: a) 0,75; b) 0,(31); c) 0,0(23).

176. Keturiø skaièiø aritmetinis vidurkis lygus 9,5. Ketvirtasis tø skaièiø 3,1 maþesnis uþ pirmàjá, antrojo ir treèiojo skaièiaus suma lygi 19,5, o treèiasis skaièius 3 kartus ir dar 2,3 didesnis uþ antràjá. Raskite tuos skaièius.

177. Dviejø skaièiø sandauga lygi 20,125. Jei prie vieno daugiklio pridëtume 1,8(3) ir gautà sumà padaugintume ið kito daugiklio, gautume 26,541(6). Raskite tuos skaièius.

178. Jei ið vieno skaièiaus atimtume, o prie kito skaièiaus pridëtume 2,47(2), rezultatas bûtø tas pats. Padalijæ pirmàjá skaièiø ið antrojo, gautume 1,(45). Raskite ðiuos skaièius.

Atsakymai 1 1 . 176. 10,8; 4,3; 166. a) 3; b) 5; c) 1. 170. Padidës nm kartø. 173. 17 . 174.

9 20 15,2; 7,7. 177. 5,75; 3,5. 178. 10,8(7); 15,8(2).

2.4. IRACIONALIEJI SKAIÈIAI Kaip jau minëjome, racionaliuosius skaièius visada galima uþraðyti baigtinëmis arba begalinëmis deðimtainëmis periodinëmis trupmenomis.

Taèiau þinome, kad egzistuoja ir begalinës neperiodinës trupmenos, pavyzdþiui, 0,01001000100001..., 0,12131415... .

Kiekvienas skaièius, kuris i rei kiamas begaline de imtaine neperiodine trupmena, vadinamas iracionaliõoju* skaïèiumi. * Lot. irrationalis neprotingas.

Iracionalieji skaièiai

81

Nors racionaliøjø skaièiø aibëje galima atlikti visus keturis aritmetinius veiksmus (sudëti, atimti, dauginti, dalyti ið nelygaus nuliui skaièiaus), taèiau ðià aibæ reikia iðplësti papildant jà iracionaliaisiais skaièiais, mat racionaliøjø skaièiø aibëje neámanoma iðspræsti daugelio uþdaviniø, kaip antai: rasti kvadrato, kurio kraðtinë 1, ástriþainës; rasti apskritimo ilgio ir jo skersmens santykio; iðspræsti lygèiø x2=2, x2=3.

Iracionaliøjø skaièiø aibëje galima apibrëþti lygties x2=3 sprendiná.

Tam tikslui vartojama aritmçtinës kvadrãtinës ðakniés sàvoka. Kaip þinome, aritmetine kvadratine ðaknimi ið neneigiamojo skaièiaus a vadinamas neneigiamasis skaièius, kurio kvadratas lygus a. Taigi b = a , jei b2=a (a¢0, b¢0).

1 p a v y z d y s. Ásitikinsime, kad skaièius 3 nëra racionalus.

3 racionalus. Tada já galima m m2 uþraðyti nesuprastinamàja paprastàja trupmena: 3 = . Ið èia 3 = 2 , n n arba 3n2=m2 (1).

2 Aiðku, kad skaièius m yra skaièiaus 3 kartotinis, nes jei m dalijasi i 3, tai ir m dalijasi ið 3 (árodykite tai savarankiðkai). Todël paþymëkime: m=3k. Tada m2=9k2. Ðià m2 reikðmæ áraðæ á (1) lygybæ, gauname: 3n2=9k2, arba n2=3k2. Matome, kad skaièius n yra skaièiaus 3 kartotinis. Taèiau m yra suprastinamoji, nes jos skaitiklis ir vardiklis dalitada trupmena n jasi ið 3. O tai prieðtarauja ið pradþiø padarytai prielaidai.

Panaðiai árodomas ir skaièiø 2, 5 ir t. t. iracionalumas.

Taigi su kai kuriais iracionaliaisiais skaièiais jau susipaþinome. Kiti daþnai pasitaikanèiø iracionaliøjø skaièiø pavyzdþiai: ávairios aritmetinës ðaknys (jei po ðaknimi esantis skaièius nëra racionaliojo skaièiaus kvadratas); skaièius π (π£3,1415926...); racionaliojo spindulio apskritimo ilgis ir skritulio plotas; racionaliojo spindulio sferos plotas arba rutulio tûris; kai kuriø kampø trigonometriniø funkcijø reikðmës.

Iracionaliøjø skaièiø veiksmams bûdingos tos pat savybës, kaip ir racionaliøjø skaièiø. Sudëèiai ir daugybai galioja perstatomumo, jungiamumo bei skirstomumo dësniai. Taèiau praktiðkai matuojant ir skaièiuojant atlikti veiksmus su iracionaliaisiais skaièiais labai nepatogu, todël tie skaièiai reiðkiami deðimtainëmis trupmenomis ir apvalinami norimu tikslumu. Ið tikrøjø jei racionaliøjø skaièiø aibëje nëra skaièiaus, kurio kvadratas lygus 3, tai joje yra skaièiø, kuriø kvadratai kiek norima maþai skiriasi nuo 3, pavyzdþiui, 1,7< 3 <1,8, 1,73< 3 <1,74 ir t. t. Lieka tik, atsiþvelgiant á apytikslio skaièiavimo taisykles, skaièiaus 3 artinius suapvalinti reikiamu tikslumu ir atlikti veiksmus kaip su Tarkime, kad yra prieðingai skaièius

82

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

racionaliaisiais skaièiais taikant nelygybiø savybes.

Iracionalieji skaièiai, kaip ir racionalieji, bûna ir teigiami, ir neigiami, pavyzdþiui, 3 ir 3 . Juos galima pavaizduoti skaièiø tiesëje. Tarkime, kad iracionalusis skaièius 2 yra kvadrato, kurio kraðtinës ilgis lygus 1, ástriþainës ilgis (pagal Pitagoro teoremà). Skriestuvu já galima nesunkiai pavaizduoti skaièiø tiesëje.

2 p a v y z d y s. Pavaizduokime skaièiø tiesëje iracionaløjá skaièiø 3 .

Darome taip: pirmiausia pavaizduojame skaièiø 2 , tada nubrëþiame statøjá trikampá, kurio vienas statinis minëto kvadrato ástriþainë, o kitas statinis vienetinio ilgio atkarpa. Ðio trikampio ástriþainës ilgis bus lygus

3

(( 2)2 + 12 = ( 3)2 ). Skriestuvu já taip pat galime paþymëti skaièiø tiesëje.

Praktikoje ðiø metodø paprastai netaikome, o skaièiø tiesëje þymime apytiksles iracionaliøjø skaièiø reikðmes.

3 p a v y z d y s. Patikrinkime, ar teisinga lygybë 1 1 1 1 1 + + + + = 1.

5 +2 6+ 5 7+ 6 8+ 7 9+ 8

Kiekvienos trupmenos vardiklá ir skaitiklá dauginame ið tokio iracionaliojo reiðkinio, kad trupmenø vardiklyje gautume kvadratø skirtumà (panaikintume iracionalumà): 5 −2 6− 5 7− 6 8− 7 + + + + 2 2 2 2 2 2 ( 5) − 2 ( 6) − ( 5) ( 7) − ( 6) ( 8)2 − ( 7)2 3

= 5 − 2 + 6 − 5 + 7 − 6 + 8 − 7 + 3 − 8 = −2 + 3 = 1.

Ats.: lygybë yra teisinga.

4 p a v y z d y s. Árodykime, kad

21 − 5 > 20 − 6.

Taikydami skaitiniø nelygybiø savybes, pradinæ nelygybæ pirmiausia pertvarkome taip, kad neliktø reiðkiniø skirtumo:

21 + 6 > 20 + 5.

83

Iracionalieji skaièiai

Dabar jau galime abi nelygybës puses kelti kvadratu (nes abi jos yra teigiamieji skaièiai): 21 + 2 ⋅ 21 ⋅ 6 + 6 > 20 + 2 ⋅ 20 ⋅ 5 + 5, 27 + 2 126 > 45, 2 126 > 45 − 27, 126 > 9, 126>81.

Ats.: pradinë nelygybë yra teisinga.

5 p a v y z d y s. Patikrinkime, ar skaièius m= 2 + 3 yra racionalusis.

Apskaièiuokime m2: m2 =

(

2+ 3

)

2

= 2 + 2 6 + 3 = 5 + 2 6. Jei skaièius

m2 − 5 yra racionalieji. Taèiau 2 2 ið gautos iðraiðkos m2 = 5 + 2 6 iðplaukia, kad m − 5 = 6. Vadinasi, skai2 èius m nëra racionalusis.

m yra racionalusis, tai skaièiai m2, m2 5 ir

6 p a v y z d y s. Árodykime, kad skaièius

m = 3 2+ 5 + 3 2− 5

yra racionalusis.

Apskaièiuokime m3. Kadangi skaièius m yra dviejø skaièiø suma, pavyzdþiui, m=a+b, tai m3=(a+b)2 ⋅ (a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)= 3 =a +2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.

Taikydami ðià formulæ, skaièiuojame toliau: m3 =

(

3

2+ 5

) ( 3

+3⋅

3

)

2

2 + 5 ⋅ 3 2 − 5 + 3⋅ 3 2 + 5 ⋅

( 2− 3

= 2 + 5 + 3⋅ 3 2 + 5 ⋅ 3 4 −5 + 3⋅ 3 4 −5 ⋅ 3 2 − 5 + 2 − 5 = = 4 + 3 ⋅ (−1) ⋅ 3

3

( 2+ 3

)

5 + 3 2 − 5 = 4 − 3m,

t. y. m =4 3m, arba m +3m 4=0.

Iðskaidykime kairiàjà gautos lygties pusæ daugikliais: m3+3m 4=(m3 1)+(3m 3)=(m 1)(m2+m+1)+3(m 1)= =(m 1)(m2+m+1+3)=(m 1)(m2+m+4).

Kvadratinis trinaris m2+m+4 realiøjø ðaknø neturi (D<0), o koeficientas prie m2 yra teigiamas, todël m2+m+4>0 su visais m ± R. Tada gauta lygtis (m 1)(m2+m+4)=0 yra ekvivalenti lygèiai m 1=0. Ið èia m=1.

84

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

Taigi 3

2 + 5 + 3 2 − 5 = 1.

7 p a v y z d y s. Palyginkime skaièius 13 − 12 ir 12 − 11.

Pertvarkykime kiekvienà skaièiø taip, kad tarp ðaknø bûtø ne minusas: 13 − 12 =

( 13)2 − ( 12)2 13 − 12 1 = = ; 13 + 12 13 + 12 13 + 12

12 − 11 =

( 12)2 − ( 11)2 12 − 11 1 = = .

12 + 11 12 + 11 12 + 11

Kadangi funkcija y = x yra didëjanti, kai x¢0, tai galima teigti, kad 1 1 , t. y. < 13 + 12 12 + 11

13 − 12 < 12 − 11.

Uþdaviniai 179. Iðrinkite racionaliuosius skaièius: 1 a) 1 ; 6

b) 2,(7); c)

π2 ;

d)

1

9 ; 16

e)

4 1 ; 9

f)

5;

g) 0,3(5);

π π π ; j) ctg ; k) cos 0°; l) sin ; m) ª3 πª.

4 6 2 180. Nurodykite, kurios ið ðiø skaièiø porø yra prieðingieji, o kurios atvirkðtiniai skaièiai:

h) sin 60°; i) tg

d) g)

2 − 3;

c)

(3 − 2)2 ir

e) 3 − 2 ir 3 + 2;

f)

1 3 ; ir − 3 3

b) 3 − 2 ir

a) 5 ir 0,2; 5 3 5 ; ir 3 5

1 2 3 5 3 ; ; h) 7 − 4 3 ir − ir 5 6 4 3 +7

181. Apskaièiuokite:

 4 3 1 28  −1 + + a)   : (6 − 3) ;  5 − 3 2 − 3 1 − 15  b)

7 + 13 ⋅ 7 − 13 −2

125  5  3 ⋅ ⋅ 27  3  5

;

i) cos

( 2 − 3)2 ;

4π π . ir sin 3 6

85

Iracionalieji skaièiai

3  2 3  2 6 +2 − 4  3 − 12 − 6  ; c)  3 2  3 2  1 1 1 1 . + + ... + + d) 2 +1 3+ 2 99 + 98 10 + 99 182. Patikrinkite, ar ðios nelygybës yra teisingos: a)

7 + 15 < 7;

b)

c)

2 + 11 < 3 + 3;

7 + 2 > 4;

1+ 3 2 . > 1− 3 1− 2 183. Árodykite, kad ðiø skaitiniø reiðkiniø reikðmë yra racionalusis skaièius:

d)

7 + 10 > 3 + 19; e)

a)

3+ 2 − 2 6; 3− 2

b)

c)

3 + 2 2 + 6 − 4 2;

d)

5 2 + 7 − 3 5 2 − 7;

f)

e)

3

11 − 10 < 6 − 5;

17 − 7 5 126 − 54 5 3

3

+

f)

5 ; 3

5 + 2 − 3 5 − 2;

20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 .

184. Apskaièiuokite: a)

11 − 6 2 + 22 + 12 2 + 27 − 10 2 ;

b)

5 5 15 − 5 − 16 ; − 5 − 3 +1 7 − 2 15

c)

2− 2+ 2+ 3 ⋅ 2+ 2+ 2+ 3 ⋅ 2+ 2+ 3 ⋅ 2+ 3

d)

( 5 − 11)( 33 + 15 − 22 − 10) ; 75 − 50 200

200

 5 +1  5 −1 ⋅ e)    .  2   2  185. Erdvëlaivis iðskriejo á planetà x, nutolusià nuo Þemës 220 km. Áveikæs lygiai ketvirtadalá ðio atstumo, jis prarado ryðá su Þeme. Taèiau uþ 219 km nuo Þemës ryðá pavyko atstatyti. Kiek kilometrø erdvëlaivis skriejo be ry io su Þeme?

Atsakymai 181. a) 33; b) 6; c) − 2; d) 9. 182. a) Taip; b) taip; c) taip; d) ne; e) taip; f) taip.

6 184. a) 10 + 2; b) 3; c) 1; d) − . 185. 218.

5

86

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

2.5. REALIEJI SKAIÈIAI Realiýjø skaïèiø ìibæ R sudaro skaièiai, priklausantys racionaliøjø skaièiø aibei Q arba iracionaliøjø skaièiø aibei I. Teigiamieji realieji skaièiai þymimi R+, neigiamieji R .

Du realieji skaièiai a ir b laikomi lygiais (a=b), jeigu jø iðraiðkos begalinëmis deðimtainëmis trupmenomis yra vienodos.

Kiekvienam skaièiø aðies taðkui priskiriamas vienintelis realusis skaièius pagal tokià taisyklæ: 1) ta kui O priskiriamas skaièius 0; 2) kiekvienam teigiamosios pusaðës taðkui A priskiriamas teigiamasis skaièius a, kuris yra atkarpos OA ilgis; 3) kiekvienam neigiamosios pusaðës taðkui B priskiriamas neigiamasis skaièius ªbª; èia ªbª yra atkarpos OB ilgis.

Taigi skirtingiems skaièiø aðies taðkams priskiriami skirtingi realieji skaièiai ir nëra në vieno realiojo skaièiaus, kuris nebûtø priskirtas kuriam nors skaièiø aðies taðkui. Vadinasi, èia galioja abipusiðkai vienareikðmë atitiktis: kiekvienà racionaløjá ar iracionaløjá skaièiø atitinka vienintelis skaièiø tiesës taðkas ir, atvirkðèiai, kiekvienà skaièiø tiesës taðkà atitinka vienintelis racionalusis arba iracionalusis skaièius.

Realieji skaièiai lyginami pagal tas paèias taisykles, kaip racionalieji: 1) du realieji skaièiai a ir b yra lygûs, jeigu jø skirtumas lygus nuliui (a b=0); 2) skaièius a yra didesnis uþ skaièiø b, jeigu skirtumas a b yra teigiamas (a b>0); 3) skaièius a yra maþesnis uþ skaièiø b, jeigu skirtumas a b yra neigiamas (a b<0).

Realiøjø skaièiø lygybëms bûdingos tokios savybës: 1) jei a=b ir b=c, tai a=c; 2) jei a=b ir c=d, tai a+c=b+d ir a c=b d; a b = ; 3) jei a=b ir c=d (c¥0), tai ac=bd, c d 3a) jei a=b, tai an=bn, n ± N ir, atvirkðèiai, jeigu an=bn, n ± N ir a·b>0, tai a=b; 4) jei a=b, tai a+c=b+c ir a c=b c; a b = .

5) jei a=b ir c¥0, tai ac=bc ir c c Realiøjø skaièiø nelygybiø savybës analogiðkos jau þinomoms racionaliøjø skaièiø nelygybiø savybëms:

87

Realieji skaièiai

1) jei a>b ir b>c, tai a>c; 2) jei a>b ir c>d, tai a+c>b+d; 3) jei a>b ir c<d, tai a c>b d;

a b > ; d c 4a) jei a>b>0, tai an>bn, n ± N ir, atvirkðèiai, jei a>0, b>0 ir an>bn, n ± N, tai a>b; 5) jei a>b, tai a+c>b+c ir a c>b c; a b > ; 6) jei a>b ir c>0, tai ac>bc ir c c 7) jei a>b ir c<0, tai ac<bc ir a < b . c c P a s t a b a. I vardytos nelygybiø savybës tinka ir negrieþtoms nelygybëms a¢b arba a¡b.

Skaièiaus a absoliuèiojo didumo (modulio) savybës:

4) jei a>b>0 ir c>d>0, tai ac>bd ir

 a, kai a ≥ 0, 1) a =   − a, kai a < 0; 2) ªaª¢a; ªa·bª=ªaª·ªbª; ª aª=ªaª;

3)

a a , b¥0; = b b

4) ªaª ªbª¡ªa+bª¡ªaª+ªbª; 5) ªaª ªbª¡ªa bª¡ªaª+ªbª.

1 p a v y z d y s. Pagal modulio apibrëþimà, ª 5ª=5; ª0ª=0; ªsin 4ª= sin 4; ªcos 3ª= cos 3; ªtg 135°ª= tg 135°; ªctg 27°ª=ctg 27°;

3 − 7 = − ( 3 − 7) = 7 − 3.

2 p a v y z d y s. Apskaièiuokime skaitinio reiðkinio a = +

(1 − 3 )

2

(4 − 3 )

2

+

reikðmæ.

(

)

Kadangi 4 − 3 > 0, tai 4 − 3 = 4 − 3, 1 − 3 = − 1 − 3 , nes 1 − 3 < 0.

(

)

Todël a= 4 − 3 + 1 − 3 = 4 − 3 − 1 − 3 = 4 − 3 − 1 + 3 = 3.

3 p a v y z d y s. Suprastinkime reiðkiná A = Pertvarkykime ðá reiðkiná:

2 c2 + c4 − c . c

c 2 + c2 − c . c −c 2 2 Kai c>0, A1 = c + c2 − c2 = 1; kai c<0, A2 = + c − c = −1. c c A=

c2 + c4 − c c

2

=

88

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

Taigi

c2 + c4 − c c

2

1, kai c > 0, =  −1, kai c < 0.

a a−3 . a2 − 5a + 6 Vardiklá iðskaidæ tiesiniais daugikliais, gauname: a a−3 .

A= (a − 2)(a − 3) a(a − 3) a = ; Kai a>3, A1 = (a − 2)(a − 3) a − 2 − a(a − 3) −a = . Taigi kai a<3, A2 = (a − 2)(a − 3) a − 2  a , kai a > 3, a a−3 a − 2 = a2 − 5a + 6  a − , kai a < 3.  a−2 5 p a v y z d y s. Suprastinkime reiðkiná

4 p a v y z d y s. Suprastinkime reiðkiná A =

B = b2 − (b + 1)2 + (b − 1)2 .

Iðtraukæ ðaknis, gauname: B=ªbª ªb+1ª+ªb 1ª.

1) 2) 3) 4)

Kai Kai Kai Kai

b¡ 1, B1= b+(b+1) (b 1)= b+b+1 b+1=2 b.

1<b¡0, B2= b (b+1) (b 1)= b b 1 b+1= 3b.

0<b¡1, B3=b (b+1) (b 1)=b b 1 b+1= b. b>1, B4=b (b+1)+(b 1)=b b 1+b 1=b 2.

2 − b, kai b ≤ −1,  − 3b, kai − 1 < b ≤ 0,  Vadinasi, b2 − (b + 1)2 + (b − 1)2 =   − b, kai 0 < b ≤ 1, b − 2, kai b > 1.

6 p a v y z d y s. Iðspræskime lygtá ªx 3ª=ªx+2ª.

Kadangi kiekvieno skaièiaus modulis yra neneigiamas, tai, abi lygties puses pakëlæ kvadratu, gausime ekvivalenèià lygtá: ªx 3ª2=ªx+2ª2, (x 3)2=(x+2)2, 2 x 6x+9=x2+4x+4, 10x= 5, x=0,5. Ðià lygtá galima spræsti ir geometriðkai: jos sprendinys yra atkarpos [ 2; 3] vidurio taðkas x = −2 + 3 = 1 .

2 2 1 Ats.: 2 .

{}

Realieji skaièiai

89

7 p a v y z d y s. Raskime lygties ªx 1ª+ªx 5ª=4 sprendinius.

1 bûdas. Skaièiai x=1 ir x=5 dalija skaièiø aðá á tris intervalus, kuriuose x 1 ir x 5 yra teigiami arba neigiami. Todël pradinë lygtis yra ekvivalenti trims lygtims su tam tikromis sàlygomis, keliamomis lygties kintamajam. Taigi turime: 1)  x<1, 2)  1 ≤ x<5, 3)  x¢5,    (x 1) (x 5)=4; (x 1) (x 5)=4;  (x 1)+(x 5)=4;   x+1 x+5=4; x 1 x+5=4, 2x=10, 2x= 2, 4=4; x=5. x=1; sprendiniai x ∈ [1; 5); sprendiniai ®; Ats.: [1; 5].

2 bûdas. Iðspræskime ðià lygtá grafiðkai, tik pirma paraðykime jà taip: ªx 5ª=4 ªx 1ª.

Pasinaudodami funkcijos y=ªxª grafiku, toje paèioje koordinaèiø plokðtumoje nubraiþome funkcijø y=ªx 5ª ir y=4 ªx 1ª grafikus. Jie sutampa intervale x ∈ [1; 5].

Vadinasi, ðios x reikðmës yra pradinës lygties sprendiniai.

Galbût jûs galite pasiûlyti ir kitø lygties sprendimo bûdø?

8 p a v y z d y s. Iðspræskime nelygybes: a) ªx+3ª< 4; b) ª2x 3ª¢ 7; c) ªx 1ª+ªx 5ª>8.

Sprendimas. Prisiminkime, jog nelygybës ªxª ≤ a (a¢0) sprendiniai yra skaièiai x ∈ [ a; a], o nelygybës ªxª> a sprendiniai skaièiai x ∈ ( º; a) ¹ (a; +º).

a) ªx+3ª<4, 4<x+3<4, 7<x<1. b) Nelygybë ª2x 3ª¢ 7 yra ekvivalenti dviem nelygybëms: 1) 2x 3 ≤ 7 arba 2) 2x 3¢7, 2x ≤ 4, 2x¢10, x ≤ 2, x¢5, x ∈ ( º; 2]; x ∈ [5; +º). c) Ði nelygybë ekvivalenti trims nelygybiø sistemoms: 1)  x < 1, 2)  1 ≤ x ≤5, 3)  x > 5,    (x 1) (x 5)> 8; (x 1) (x 5)> 8;  (x 1)+(x 5)> 8.  

90

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

Iðsprendæ jas, gauname:  x>5,  1 ≤ x <5,  x<1,     2x 6>8;  x 1 x+5>8;  x+1 x+5>8;  x>5,  1 ≤ x ≤ 5,  x<1,    2x>2; 0 ⋅ x>4;  2x>14;   sprendiniø nëra;  x>5,  x<1,   x< 1;  x>7;  x< 1; x>7.

Ats.: a) ( 7; 1); b) ( º; 2] ¹ [5; +º); c) ( º; 1) ¹ (7; +º).

U þ d u o t i s. Pertvarkæ c atvejo nelygybæ taip: ªx 5ª> 8 ªx 1ª, iðspræskite jà grafiðkai. Palyginkite abu sprendimo bûdus, nurodykite kiekvieno jø privalumus bei trûkumus.

Uþdaviniai 186. Nurodykite leistinàsias ðiø reiðkiniø kintamøjø reikðmes: 1 1 b a2 x 2 − y 2 m2 − n2 + + ; ⋅ xy; a) b) 3 + c) ; a b +1 c xy m−n a 1 1 1 b ; d) x 2 − 9 + 9 − x 2 + e) 2 + − . x+3 b + b − 2 b2 − 4 b + 3 a 187. Ar su nurodytomis kintamøjø reikðmëmis ðie reiðkiniai yra tapaèiai lygûs: a)

12a2 − 8a ir 3a 2, kai a>0; 4a

1 2 b) x + ir 1 + , kai x¡0; x −1 x −1

c)

c 2 + 2c + 1 1 ir c + , kai c<0; c −1 c2 − 1

d)

b−3 ir b2 − 9

1 , kai b¢3; b+3

x2 + 5 1 2 − , kai x¢5? ir x − 2 ( x + 1)2 x − 3x − 2 188. Su kuriomis kintamøjø reikðmëmis ðie reiðkiniai yra tapaèiai lygûs: x2 − 1 x2 ⋅ a) ir x 1; b) x x − 2 ir x 2 ( x − 2); x +1 x

e)

3

c) ( xy )2 + 3 ir xy+3; e)

(a + 2)2 − a2 − 2a + 1 ir 1;

d)

a2 + (a + 1)2 ir 2a 1;

f)

a−b ⋅ ( x 2 − 1) ir 1 x2 ?

2 a − 2ab + b

189. Iðspræskite lygtis:

2

x −1 = 1; b) 0,6 ⋅ªx 0,3ª=x2+0,27; x+3 d) ª2 xª=5 4x; e) x2 4ªxª+3=0; a)

g)

x−3 x − 2 −1

2

= 1;

c) ªx2 5x+4ª=4; f) ªx+2ª+ªx 3ª=5;

2 1 10 h)  3 x + 1 +  = 6 ( x + 1) + .

3 9 

91

Aibës ir veiksmai su jomis

190. Iðspræskite nelygybes: a) d)

x−3 ⋅ x+2 x −1

≤ 0;

x − 3 ⋅ ( x + 5) x−6

< 0;

g) ªx2+2x 4ª>4;

b)

x−3 ⋅ x+2 x −1

> 0;

e) ª6 xª+ªx 6ª<10;

c) ªx+3ª(x+2)¢0; f)

3⋅ x + 2 x −1

> 6;

h) ªx2 8x+15ª<x 3.

Atsakymai 186. d) x=3; e) b¥ 2, b¥1, b¥3, a¥0. 188. a) x=1; b) x¢2; c) xy¢0;

{ }

d) a ≤ 1; e) a=0; f) a<b. 189. a) { 1}; b) { 0,3}; c) {0; 5}; d) 1; 1

2 ; e) { 3; 1; 1; 5

 2 −2 10 − 2  3}; f) [ 2; 3]; g) [3; +º); h) − ;  . 190. a) { 2; 3}; b) ( º; 2)¹( 2; 3  3  1)¹(1; 3)¹(3; +º); c) [ 2; +º)¹{ 3}; d) ( º; 5); e) (1; 11); f) (0; 1)¹(1; +º); g) (   º; 4)¹( 2; 0)¹(2; +º), h) (4; 5)¹  5; 9 + 13  .

2  

2.6. AIBËS IR VEIKSMAI SU JOMIS Á ibës sàvoka yra viena ið pirminiø matematikos sàvokø, todël, kaip ir kitos pirminës sàvokos (taðkas, tiesë, natûralieji skaièiai ir kt.), neapibrëþiama. Aibës terminas vartojamas kalbant apie visumà tam tikrø daiktø ar objektø, turinèiø kurià nors mus dominanèià savybæ. Ðie objektai vadinami á ibës eleme²tais.

Aibës þymimos didþiosiomis raidëmis, pavyzdþiui, A, B, M, N, X, o jø elementai maþosiomis raidëmis, kaip antai: a, b, m, n, x. Kai elementas a priklauso aibei A, ra oma a ± A, kai tas elementas nepriklauso aibei A a ² A. Taip pat jûs jau susipaþinote su aibiø sankirtos, sàjungos bei skirtumo sàvokomis. Priminsime, kad aibë, sudaryta ið aibiø A ir B visø bendrø elementø, vadinama tø á ibiø sáá nkirta (þymima A¸B), o aibë, kurià sudaro visi elementai, priklausantys bent vienai ið aibiø A arba B, tø á ibiø säjunga (þymima A¹B). Grafiðkai aibiø sankirtà ir sàjungà galima pavaizduoti taip:

92

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

Aibiø A ir B skirtumu, þymimu A\B, pavadinome aibæ, sudarytà ið tø aibës A elementø, kurie nepriklauso aibei B. Grafiðkai aibiø skirtumas vaizduojamas taip: Paaiðkinsime keletà naujø aibiø sàvokø: poaibio, papildinio ir plëtinio.

Aibës A póaibiu B vadinama tokia aibë, kurios visi elementai priklauso aibei A:

Þymima B ⊂ A. Pavyzdþiui, N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R, I ⊂ R. Matome, kad visi aibës B elementai kartu yra ir aibës A elementai.

Taèiau ne visi aibës A elementai yra aibës B elementai. Tie aibës A elementai, kurie nepriklauso aibei B, vadinami ìibës B pìpildiniu ir þymimi BA. Ðiuo atveju aibæ A galima laikyti ìibës B pl¼tiniu, nes ji gaunama prie aibës B prijungus naujus elementus. Akivaizdu, kad galioja lygybë A\B=BA.

Uþdaviniai 191. Duotos trys aibës: A={2; 4; 7; 8; 9}. Raskite: a) A¸B; b) A¹B; e) (A¹B)¸C; f) A¸B¸C; i) A\C; j) C\A; m) AB; n) CA;

6; 8; 10}; B={5; 7; 9; 11} ir C={4; 5; 6; c) A¹C; g) A¸(B¹C); k) (A¹B)\C; o) (A¹B)C;

d) A¸C; h) A¹B¹C; l) (A¹C)\B; p) (A¸B)C.

192. Kiekvienam brëþiniui priskirkite atitinkamà aibiø sàryðá: a)

b)

c)

d)

e)

1.

2.

3.

4.

5.

A¹B¹C

(A\B)¸C

A¸B¸C

C

A ¹B

(A¹B)¸C

93

Aibës ir veiksmai su jomis

193. Nurodykite, ar ie teiginiai yra teisingi; jei neteisingi, i taisykite klaidas: a) 0, 1, 2, 3, 4 ± N; b) 0, 1, 2, 3 ± Z; c) 5, 6, 6 ± I; d) 5, 6, 6 ± R;

195.

196.

197.

198.

199.

4 , 6 ± Q; 9

f) 5π, π2, 6 ± I;

9 2 , 4 , 9 ± Q. 16 3 Kurie ðiø uþraðø yra teisingi: 1) I ⊂ Q; 2) Q ⊂ I; 3) N ⊂ R; 4) 1 ± N; 5) 1 ± Z; 6) 0 ± N; 7) 0 ± Z; 8) N ¹ Z=N; 9) N ¹ Z=Z; 10) Z ¸ R=Z; 11) Z ¸ R=R; 12) R \ Q=I; 13) R \ Q=Q; 14) R \ I=Q; 15) R \ I=I; 16) Q \ I=Q; 20) I ¸ Q=®.

17) I \ Q=I; 18) Q ¹ I=R; 19) Q ¹ I=Q; Kurie ðiø teiginiø yra teisingi: a) kiekvienas natûralusis skaièius yra racionalusis; b) kiekvienas natûralusis skaièius yra iracionalusis; c) kiekvienas natûralusis skaièius yra sveikasis; d) kiekvienas sveikasis skaièius yra natûralusis; e) natûraliesiems skaièiams prieðingi skaièiai yra sveikieji; f ) natûraliesiems skaièiams atvirkðtiniai skaièiai yra sveikieji?

6 Kuriai ðiø aibiø priklauso skaièius : 7 N; Z; Q; R; I; [0; 1]; [0,5; 1]; [ 1; 1]; [0,85; 1]?

Kurie ið skaièiø 7, 0, 6, 4, 2,7, 4,5, 5 priklauso aibei Z¸[ 7,3; 4,6]?

Sakykime, A=[ 3; 7], B=[ 7; 3], o C=[0; 6]. Raskite: a) A ¹ B ¸ C; b) A ¹ B ¹ C; c) A ¸ B ¹ C; d) A ¸ B ¸ C; B A A B g) B ; h) B ¸ A ; i) BA ¹ AB. e) A \ B; f) A ; a) Klasëje yra 26 mokiniai. 20 ið jø mokosi anglø kalbos, 15 vokieèiø kalbos. Kiek mokiniø mokosi abiejø kalbø, jei kiekvienas mokinys mokosi bent vienos tø kalbø? b) 36 mokiniai papildomai mokosi anglø arba vokieèiø kalbos: 23 tik anglø kalbos, o 13 anglø ir vokieèiø kalbos. Kiek mokiniø mokosi tik vokieèiø kalbos? c) Visi klasës mokiniai þaidþia krepðiná arba futbolà. Yra þinoma, kad 11 ið jø þaidþia krepðiná, 15 futbolà, o 5 ir krepðiná, ir futbolà.

Kiek mokiniø yra ðioje klasëje?

g)

194.

e) 3, 5,

1

Atsakymai 191. a) ®; b) {2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}; c) {2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}; d) {4; 6; 8}; e) {4; 5; 6; 7; 8; 9}; f) ®; g) {4; 6; 8}; h) {2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}; i) {2; 10}; j) {5; 7; 9}; k) {2; 10; 11}; l) {2; 4; 6; 8; 10}; m) {5; 7; 9; 11}; n) {2; 10}; o) ®; p) {4; 5; 6; 7; 8; 9}. 192. a 3; b 4; c 2; d 1; e 5. 193. a) Neteisingas; 0 ∉ N; b) teisingas; c) neteisingas; 5, 6, 6 ± I; d) teisingas; e) teisingas; f) neteisingas; 6 ± I; g) teisingas. 197. 7, 0, 4. 198. a) [0; 6]; b) [ 7; 7]; c) [ 3; 6]; d) [0; 3]; e) (3; 7]; f) [ 7; 3); g) (3; 7]; h) ®; i) [ 7; 3)¹(3; 7]. 199. a) 9; b) 13; c) 21.

94

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

2.7. NATÛRALIOJO LAIPSNIO AKNIS Su kvadratine ðaknimi ið skaièiaus a, t. y. skaièiumi, kurio kvadratas lygus a, jau esame iðsamiai susipaþinæ. Taigi þinome, kad kiekvienam teigiamajam skaièiui a galima priskirti dvi kvadratinës ðaknies reikðmes (racionaliàsias arba iracionaliàsias): vienà teigiamàjà ( a ), kità neigiamàjà (− a ), prieðingà pirmajai. Skaièiø a (a¢0) pavadinome aritmçtine kvadrãtine aknimî.

Toje paèioje koordinaèiø plokðtumoje nubraiþæ funkcijos y=x2 grafikà bei tiesæ y=a, galime iliustruoti aritmetinës kvadratinës ðaknies apibrëþimà. Ið brëþinio matyti, kad nëra në vieno realiojo skaièiaus, kurio kvadratas bûtø neigiamas, nulio kvadratas lygus nuliui, o tà patá teigiamàjá realøjá skaièiø a galima gauti pakëlus kvadratu du prieðinguosius skaièius a ir a .

Panaðiai kaip kvadratinë ðaknis apibrëþiama ir bet kurio natûraliojo laipsnio ðaknis ið skaièiaus a.

Apibrëþimas. n-tojo lìipsnio aknimî i skaièiaus a vadinamas toks realusis skaièius, kurio n-tasis laipsnis lygus a (èia n ± N).

Pagal ðá apibrëþimà, n-tojo laipsnio ðaknis ið skaièiaus a yra bet kuris lygties xn=a sprendinys. Tokià ðakná þymime n a ; skaitome: n-tojo laipsnio aknis i a; èia skaièiø n vadiname akniés rodikli÷, a póðaknio rêiðkiniu, arba póðakniu. Ið apibrëþimo iðplaukia, kad ( n a )n = a, n ± N.

Iliustruokime apibrëþimà grafiðkai, koordinaèiø plokðtumoje pavaizduodami funkcijas y=x3 ir y=x4. Ðios funkcijos apibrëþtos su visais x ± R, taèiau jø reikðmiø sritys yra skirtingos.

95

Natûraliojo laipsnio ðaknis

Akivaizdu, kad kiekviena a ± R reikðme lygtis x3=a turi tik vienà realøjá sprendiná x1, nes su Ox aðimi lygiagreti tiesë kerta funkcijos y=x3 grafikà tik viename ta ke; be to, kai a¢0, x1¢0, kai a<0, x1<0.

Su kiekviena teigiama a reik me lygtis x4=a turi du realiuosius sprendinius, bûtent teigiamàjá x1 ir neigiamàjá x2; be to, x2= x1.

Kai a=0, lygtis x4=a turi vienà sprendiná x1=0, o kai a<0, neturi realiøjø sprendiniø, nes visi kreivës taðkai yra virðutinëje pusplokðtumëje.

1 p a v y z d y s. Raskime realiuosius ðiø lygèiø sprendinius tûkstantøjø tikslumu: b) x3= 2; c) x4=2. a) x3=2; Kadangi x3>0, kai x>0, ir x3<0, kai x<0, tai spræsime tik lygtá x3=2, o lygties x3= 2 sprendinio artiná gausime paëmæ apytikslá lygties x3=2 sprendiná su minuso þenklu.

Pritaikykime realiøjø teigiamøjø skaièiø palyginimo savybæ: jei 0<b<a, tai 0<bn<an, n ± N. Gausime: 1,2 < 3 2 <1,3,

1,728 <2<2,197,

1,25 < 3 2 <1,26,

1,953125 <2<2,000376,

1,259 < 3 2 <1,260, .................................

1,995616979 <2<2,000376, ................................................

Tæsdami ðá skaièiavimo procesà, galime gauti vis tikslesnius sprendinius. Lygties x3=2 sprendinys, apskaièiuotas tûkstantøjø tikslumu, yra toks: x=1,259¤0,001. Tada lygties x3= 2 sprendinys bus x1= 1,259 ¤ ¤ 0,001.

Analogiðkai sprendþiame ir lygtá x4=2: 1,1 < 4 2 <1,2,

1,4641 <2<2,0736,

4

1,18 < 2 <1,19, 1,189 < 4 2 <1,190, ..................................

1,93877776 <2<2,00533921, 1,998607065841 <2<2,00533921, .......................................................

Ji turi du sprendinius, kuriø artiniai x1=1,189¤0,001 ir x2= 1,189¤0,001.

Remiantis n-tojo laipsnio ðaknies apibrëþimu, realiuosius ðiø lygèiø sprendinius galima uþraðyti taip: a) x = 3 2; Skaitome: ið 2.

b) x = − 3 2; 3

c) x1 = − 4 2 ir x2 = 4 2.

2 kubinë ðaknis ið 2;

4

2 ketvirtojo laipsnio ðaknis

96

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

Kai n=5, 7, 9, ... arba n=6, 8, 10, ..., funkcijos y=xn grafikas yra panaðus á funkcijø y=x3 arba y=x4 grafikus:

Taigi bendruoju atveju lygtis xn=a (n ± N) turi tokius realiuosius sprendinius: a) kai n=2k+1 (k ± N), o a ± R, yra vienintelis sprendinys x = 2 k+1 a ; b) kai n=2k (k ± N), galimi trys atvejai:

x1 = 2 k a ir x2 = −2 k a , kai a>0; x=0, kai a=0; lygtis neturi realiøjø sprendiniø, kai a<0.

Kai a¢0, reiðkinys n a turi prasmæ tiek su lyginiu, tiek su nelyginiu n, be to, jo reikðmë yra tik neneigiamas skaièius, kuris vadinamas aritmçtine n-tojo lìipsnio aknimî i a.

Apibrëþimas. Aritmetine n-tojo laipsnio ðaknimi ið neneigiamojo skaièiaus a vadinamas neneigiamasis skaièius n a , kurio n-tasis laipsnis lygus a.

Nelyginio n-tojo laipsnio ðakná ið neigiamojo skaièiaus galime iðreikðti to paties laipsnio aritmetine ðaknimi:

− 3 27 = −3, o skaièius

3

3

−27 = − 3 27, nes

3

−27 = −3 ir

27 yra aritmetinë ðaknis.

P a s t a b a. Lygties xn=a realusis sprendinys, kai n nelyginis (n=2k+1), o a<0, taip i rei kiamas aritmetine n-tojo laipsnio aknimi: x = − 2 k+1 − a .

Pavyzdþiui, lygties x7= 9 realusis sprendinys x = − 7 −(−9) = − 7 9; èia 7

9 yra aritmetinë ðaknis.

97

Natûraliojo laipsnio ðaknis

2 p a v y z d y s. Apskaièiuokime: 3

a)

8

f)

125;

b)

3

−8;

0;

g)

5

− 0,00001;

Sprendimas. a)

3

c)

3

0,027;

d)

4

h)

4

1;

e)

6

− 64;

0,0625.

3 125 = 5, nes 5 =125;

b)

3

− 8 = − 3 8 = −2, nes ( 2)3= 8;

c)

3

0,027 = 0,3;

d)

4

1 = 1;

e) reiðkinys 6 − 64 neturi prasmës, nes nëra në vieno realiojo skaièiaus, kurio lyginis natûralusis laipsnis bûtø lygus neigiamajam skaièiui; f)

8

0 = 0, nes 08=0;

g)

5

− 0,00001 = − 0,1, nes ( 0,1)5= 0,00001;

h)

4

0,0625 = 0,5, nes (0,5)4=0,0625.

Pertvarkydami reiðkinius, turinèius kvadratiniø ðaknø, taikëme tokias taisykles: a ⋅ b = a ⋅ b , kai a¢0, b¢0; a a , kai a¢0, b>0; = b b

a ⋅ b = a2 ⋅ b , kai a¢0, b¢0; a2 ⋅ b = a ⋅ b , kai a¢0, b¢0.

Analogiðkomis taisyklëmis remiamasi ir atliekant veiksmus su aritmetinëmis n-tojo (n>2) laipsnio aknimis.

Teorema. Jei

n

a ir

n

b yra aritmetinës ðaknys, tai:

n

a ⋅ b = n a ⋅ n b , kai a¢0, b¢0;

n

a na , kai a¢0, b>0; = b nb

n k nk

a = nk a , kai a¢0, k, n ± N;

amk = n am , kai a>0, k, n ± N, m ± Z.

Árodymas. Pirmosios lygybës teisingumà pagrásime apskaièiuodami kiekvienos jos pusës n-tàjá laipsná. Kadangi a¢0 ir b¢0, tai a·b¢0,

n

a ≥ 0,

98

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

n

b ≥ 0 bei n a ⋅ b ≥ 0. Pagal n-tojo laipsnio aritmetinës ðaknies apibrëþimà ir sandaugos këlimo n-tuoju laipsniu taisyklæ,

(

taigi

n

)

n

a⋅b

= a ⋅ b ir

(

n

a⋅b

(

n

a⋅nb

) =( n

n

) = ( a) ⋅( b) n

n

a⋅n b

)

n

n

n

n

= a ⋅ b,

= a ⋅ b.

Teiginys árodytas.

1 u þ d u o t i s. Analogiðkai samprotaudami, pagráskite n-tojo laipsnio aritmetinës ðaknies traukimo ið trupmenos taisyklæ.

Treèioji teoremos lygybë iðreiðkia taisyklæ, kuria remiantis galima iðtraukti skirtingø natûraliøjø laipsniø ðakná ið neneigiamojo skaièiaus. Kai a¢0, n k a ≥ 0 ir nk a ≥ 0, todël, pakëlæ deðiniàjà ir kairiàjà treèiosios lygybës pusæ nk-tuoju laipsniu, gauname:

( ) ( )

k

n k   =  n k a  = k a = a.   Skaièius n ir k sukeitæ vietomis, gautume tà patá rezultatà:

( ) nk

a

nk

= a ir

n k

a

nk

( )

k n

a = nk a .

Ketvirtoji teoremos lygybë iðplaukia ið treèiosios: nk

amk = n k amk = n k (am )k = n am .

Vadinasi, jei ðaknies rodiklis ir poðaknio laipsnio rodiklis turi bendrà daugiklá, tai ið jo suprastinus abu rodiklius ðaknies reikðmë nepasikeièia.

P a s t a b a. Kai a¢0 ir b¢0, ákeliant daugiklá po ðaknies þenklu arba iðkeliant já prieð ðaknies þenklà, galima remtis lygybëmis a ⋅ n b = n an ⋅ b ir

n

anb = a n b.

3 p a v y z d y s. Pertvarkykime rei kinius: a)

4

625 ⋅ 16 = 4 54 ⋅ 24 = 4 54 ⋅ 4 24 = 5 ⋅ 2 = 10;

b)

3

3 8 8 2 =3 = ; 125 5 125

c)

5

−7

d)

3

8 − 37 ⋅ 3 8 + 37 = 3 (8 − 37)(8 + 37) = 3 8 2 − ( 37) 2 =

19 243 35 3 = −5 = − 5 5 = − = −1,5; 32 32 2 2

= 3 64 − 37 = 3 27 = 3;

e) f)

3 4

27 y = 3 33 ⋅ y = 3 3 y ; 5a5 = 4 5 ⋅ a4 ⋅ a = a 4 5a (a¢0);

99

Natûraliojo laipsnio ðaknis

g)

4

4 3 4 = 4 3 43 ⋅ 4 = 12 44 = 3⋅4 41⋅4 = 3 4;

h)

8

a16 = 8 (a2 )8 = a2 ;

i)

8

j)

10

k)

a8 = a ;

8

3

a30 = 10 (a3 )10 = a3 = a ;

a12 =

3

a ;

 a 4 b = 4 a4 ⋅ 4 b = 4 a4 b , kai a ≥ 0,  l) a 4 b =  − a 4 b = − 4 a4 ⋅ 4 b = − 4 a4 b , kai a < 0.

2 u þ d u o t i s. Ðias aritmetines ðaknis pakeiskite ekvivalenèiomis ðaknimis: a) 6 a4 ; b) 4 b6 ; c) 4 c12 ; d)

4

d8 ;

e)

6

m14 ;

f)

6

a28 .

Suformuluokite lyginio aknies rodiklio ir lyginio poðaknio laipsnio rodiklio prastinimo taisyklæ.

Rei kiniai su n-tojo (n¢2) laipsnio aknimis vadinami iracionaliaïsiais rei kiniaïs. Tai gali bûti vienanariai, daugianariai arba trupmenos; ið iracionaliøjø reiðkiniø gali bûti sudarytos tapatybës, lygtys, nelygybës ar jø sistemos.

4 p a v y z d y s. Nustatykime, su kuriomis kintamojo reikðmëmis ðie reiðkiniai turi prasmæ: a)

22 − p + 6 p − 10 + 3 p;

b)

4

5 x − 6 = 9 − 2 x;

c)

3

t t : 4 (2 − 3t)6 .

Sprendimas. a) Kadangi nelyginio laipsnio ðaknis turi prasmæ su visomis poðaknio p reikðmëmis, o lyginio laipsnio ðaknis tik su teigiamomis arba neneigiamomis poðaknio reikðmëmis, tai kintamojo p reikðmës turi tenkinti nelygybiø sistemà 22 − p ≥ 0,   p − 10 ≥ 0.

Iðsprendæ jà, gauname:  − p ≥ −22,   p ≥ 10;

 p ≤ 22,   p ≥ 10;

10¡p¡22.

b) Kairiojoje lygties pusëje esanti ketvirtojo laipsnio aritmetinë ðaknis yra apibrëþta, kai poðaknis neneigiamas, o lygtis kai neneigiama ir deðinioji jos pusë, todël kintamojo x reikðmës turi tenkinti nelygybiø sistemà 5 x − 6 ≥ 0,  9 − 2 x ≥ 0.

100

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

Ið èia 5 x ≥ 6,   −2 x ≥ −9;

 x ≥ 1,2,   x ≤ 4,5;

1,2¡x¡4,5.

c) Kintamasis t turi tenkinti ðias sàlygas:  t ≥ 0,  2 − 3t ≠ 0;

t ≥ 0,   2 t ≠ 3 ;

 t ≥ 0,  3t ≠ 2,

2 2 t ∈ 0;  U  ; + ∞  .  3 3  2 2 Ats.: a) [10; 22]; b) [1,2; 4,5]; c) 0;  U  ; + ∞  .

3 3    

Uþdaviniai 200. Apskaièiuokite ðiø reiðkiniø reikðmes: 5

4

a)

3

1000;

b)

e)

3

125 ⋅ (−343);

f)

4

0,0016 ⋅ 0,0625;

h)

3

216 ; 343

i)

4

7

c)

243;

58 ; 81

j)

5

625;

−7

19 ; 32

d)

6

64;

g)

5

243 ⋅ 1010 ;

k)

4 4

3 .

48

201. Suprastinkite: a) e)

4

h)

3

a 4 b4 ;

b)

a 2 b2 ;

c)

4

a 4 b4 ;

( x − 3)4 ;

f)

a2 : ab ;

g)

6

a 4 b4 ;

x5 y2 z ; x 2 y −1 z −2

i)

m4 n2 3 m2 p2 ; ⋅ p2 q5 n5 q

j)

3

4

a3 4 c 2 : . a c2

202. Apskaièiuokite: b) ( 3 54 − 3 3 16 + 3 128) : 3 2;

a) ( 28 + 7 − 63) : 7;

c) 3 4 + 2 2 ⋅ 3 4 − 2 2 ; d) 4 + 7 ⋅ 4 23 − 8 7 .

203. Ákelkite daugiklá po ðaknies þenklu: a) 3 2; b) 3 3 2; c) a ⋅ 4 5 (a>0); d) b ⋅ 6 2 (b<0);

e) c ⋅ 10 3c 2 (c¢0).

204. Iðkelkite daugiklá prieð ðaknies þenklà: a)

4

16m ;

b)

3

81 y ;

d)

4

5a 6 (a<0);

e)

6

128a13 (a>0).

c)

3

250 x 3 ;

d)

3

a3b3 ;

101

Natûraliojo laipsnio ðaknis

205. Ðiuos reiðkinius uþraðykite kaip sandaugà a ⋅ n b ; èia a racionalusis, b natûralusis skaièius: 18 3 2 7 ; ; ; a) b) 3 ; c) 3 d) 4 216 5 2 49 2 15 6 4 ; . e) f) 3 ; g) 4 ; h) 4 12 5 7 32 206. Suprastinkite: a)

3

6;

b)

3

e)

3

34 3 ;

f)

3

h)

9

a6 ;

i)

10

c)

7; m 3 m2 ;

g)

m15 ;

j)

4 3

d)

3;

3 4

3;

p 4 p3 ; 15

p10 .

207. Panaikinkite iracionalumà trupmenø vardiklyje: 1 ; b) 3−32 3 ; 3 3 d) 4 − 10 + 3 25

a)

3

3 ; 5+34

3

e)

3

c)

4 ; 2 − 33 2

6 .

4− 6+39 3

208. Patikrinkite, ar ðios lygybës yra teisingos: a)

3

12 + 4 5 ⋅ 3 12 − 4 5 = 4;

b) ( 3 2 − 3 5)( 3 4 + 3 10 + 3 25) = − 3; c)

6

(4 − 2 3) ⋅ 3 1 + 3 ⋅ 3 4 = 2;

d)

4

32 3 4 + 4 64 3

4

7 3 54 + 15 3 128

e)

f)

3

3

4

1 − 3 3 2 4 2 = 12 32; 2

4

4 32 + 9 162

3 ; 5

=

5 3 4 3 192 + 7 3 18 3 81 3

3

3

3

8 24 + 6 250 3

=

31 .

32

209. Nurodykite rei kiniø apibrëþimo sritá: 5

a)

3

e) i)

y −7 3− y

4

x+3 ; b) 6 2−x

3x + 7 ;

f)

3 5

(3 x + 4)−4 ;

j)

4

3

6

;

8

c)

1 + 3p

8

p+2

;

d)

6

1 + 3p ; p+2

(

4 3

2 − 3x ;

g)

3

4x − 5 ;

h)

x+3 ;

k)

8

(6 x − 5)3 ;

l)

9

2 − 5x

)

(5 x + 7)− 4 .

−1

;

102

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

210. Iðspræskite lygtis: a)

6

x − 0,1 = 0;

b)

3

x + 2 = 0;

c)

10

x + 5 = 0;

d)

5

x − 2 = 1;

e)

4

x2 + 4 = 4 4x ;

f)

5

x + 3 = −2;

g) 3 3 3 x − 4 = 2 3 7 x − 1;

h)

4

4 x 2 − 8 x + 12 = 3;

i) x + x = 6;

j) x − x = 20;

l)

6

x + 2 3 x − 1 = 0;

x − 5 4 x + 6 = 0;

m)

k)

3

x − 2 6 x = 0;

n)

4

x − 2 8 x = 3.

Atsakymai m2 a 2 ; , a>0, b>0; h) xyz; i) 200. e) 35; g) 300; i) 1 ; j) 1,5; k) 0,5. 201. f) b 3 nq2 a 1 j) , a>0, c>0. 202. a) 0; b) 1; c) 2; d) 3. 205. e) 3; h) 4 8. 207. a) 3 9 + 3 6 + 3 4; c 3 6 1 3 b) ( 3 25 − 3 20 + 3 16); d) ( 3 2 + 3 5); e) ( 3 2 + 3 3). 210. a) 10 6; b) 8; c) ®; d) 3; 5 3 7 1 3 ; ; i) 4; j) 25; k) {0; 64}; l) 2 6; m) {16; 81}; n) 38. e) 2; f) ®; g) 4; h) 2 2

{ }

2.8. LAIPSNIS SU RACIONALIUOJU RODIKLIU Atlikdami veiksmus su n-tojo (n ± N) laipsnio aritmetinëmis ðaknimis, pastebëjome, kad, suprastinæ kai kuriuos reiðkinius, gauname reiðkiná be ðaknø. Pavyzdþiui, 5 715 ⋅ 3 (−7)− 6 = 5 (73 )5 ⋅ 3 (7−2 )3 = 73 ⋅ 7−2 = 73−2 = 7. Vadinasi, kai ðaknies rodiklis ir poðaknio laipsnio rodiklis turi bendrà daugiklá, tai, dalydami poðaknio laipsnio rodiklá ið ðaknies rodiklio, gauname tos 15

−

6

ðaknies reikðmæ, t. y. 5 715 = 7 5 = 73 ir 3 7− 6 = 7 3 = 7−2.

Nesunku pastebëti: jei a>0, m sveikasis, o n natûralusis skaièius, be to, m dalijasi (be liekanos) i n, tai lygybë

n

m

am = a n yra teisinga. Jeigu

m trupmena, tai n visas laipsniø su natûraliaisiais bei sveikaisiais rodikliais savybes galëtume taikyti ir laipsniams, kuriø rodiklis trupmeninis, taèiau tas savybes reikëtø pagrásti.

laikytume, kad ði lygybë yra teisinga ir tada, kai

Apibrëþimas. Skaièiaus a (a>0) lìipsniu su racionaliõoju rodikm (m ± Z, n ± N) vadinamas skaièius n am : li÷ n m

a n = n am .

103

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

Taigi pagal apibrëþimà: 3 8

8

8

1,2

2 = 2 = 8; 3

4

−

1 7

1 7  

6

6

1 5 1 =   = 5   = 5 7−6 ; 7 7

−1

= 4 7 = 7 4 −1 = 7

m

1 1 = .

4 74

m > 0 ir m, n ± N; n m < 0; neturi prasmës, kai n

P a s t a b o s. 1) 0 n = 0, kai m

2) laipsnis 0 n

m

3) laipsnio 0 n , kurio m=0, èia nenagrinëjame, nes a0=1, kai a¥0; 4) kai a<0, laipsnis su trupmeniniu rodikliu bendruoju atveju nem nagrinëjamas, taèiau su konkreèiomis reikðmëmis, remiantis apibrën m þimu, galima nurodyti a n reikðmæ.

Taigi laipsniams su racionaliaisiais rodikliais galioja visi penki jau þinomi laipsniø dësniai, bûtent: Su visais a>0, b>0 p, r ± Q

Daugyba

Dalyba

Këlimas laipsniu

laipsniø su vienodais pagrindais

ap·ar=ap+r

ap : ar=ap r

(ap)r=apr

laipsniø su vienodais rodikliais

ap·bp=(ab)p

ap  a  =  bp  b 

p

Árodysime juos. m Tarkime, kad p = k ir r = , n ± N, k, m ± Z. Tada, sudauginæ laipsn n nius su vienodais pagrindais, gauname: k

k+m

m

k

a p ⋅ a r = a n ⋅ a n = n ak ⋅ n am = n a k ⋅ am = n a k + m = a n = a n vadinasi, ap·ar=ap+r.

I ð v a d a. Ið ðio dësnio iðplaukia, kad 1 a − p = p , kai a>0. a Ið tikrøjø, kai a>0, a p·ap=a0=1.

U þ d u o t i s. Samprotaudami analogiðkai, árodykite laipsniø su vienodais pagrindais dalybos dësná. l Pagráskime laipsnio këlimo laipsniu dësná, kai p = ir r = m , k, n ± N, k n m l, m ± Z: m l n lm m   = n k alm = kn alm = a kn = (a p ) r =  a k  = k a l n = n k a l   vadinasi, (ap)r=apr.

( )

( )

104

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

I v a d a. Kai p ± Q, o n ± N, tai n

p

ap = an

(a>0).

m , m ± Z, k ± N, keldami sandaugà a·b racionak liuoju laipsniu p, gauname:

Kai a>0 ir b>0, o p = m

m

m

(ab) p = (ab) k = k (ab)m = k am ⋅ bm = k am ⋅ k bm = a k ⋅ b k = a t. y. (a·b)p=ap·bp. a pakeisdami sandauga a·b 1 ir b taikydami ketvirtàjá dësná. Atlikite tai savarankiðkai.

Penktàjá dësná árodytume, trupmenà 1 p a v y z d y s. Apskaièiuokime: 1

a) 64 3 = 3 64 = 3 43 = 4; 5

b) 16 4 = 4 165 = 4 24 ⋅ 5 = 4 (25 )4 = 25 = 32; c) 27

−

−4

4 3

1

d) 3 2 ⋅ 3 1

= 27 3 = 3 27− 4 = 3 (33 ) − 4 = 3 (3− 4 )3 = 3− 4 = −

1 3

−

1 2

e) a 3 ⋅ a

1

= 32

+

−1 3

1

1 1 − 3

= 32

1 1 1 − + 2 4

⋅ a4 = a3

2

=3

=a

3−2 6

1

= 3 6 = 6 3;

4−6+3 12

2

1 ; 81

1

= a12 = 12 a ; 2

2

f) (mn2 ) 3 ⋅ (m2 n) 3 = (mn2 ⋅ m2 n) 3 = (m3 n3 ) 3 = m2 n2 ; 1 1 1 1  54 x5 y2  13 5 2 4 3 4 3 3 x y x y = = = 3x (27 ) (3 ) g) (54 x y ) 3: (2 xy) 3 =   xy 2   1 1 1 = 3 x ⋅ x 3 y 3 = 3 x ( xy) 3 = 3 x 3 xy ;

h)

=a i)

6

3 −2

ac

9

4 −1

: a c

1 3 −2 6

1 4 −1 9

= (a c ) : ( a c ) =

1

a2 c 4 9

a c 9−8 18

⋅c

− 3 +1 9

1 18

= a ⋅c

−

2 9

1 1 2 9

1 −2 9

1

−

1 3

1 − 9

1

= a2

−

4 9

⋅c

−

1 1 + 3 9

=

1

= (a ) ⋅ ( c ) = (a 2 ⋅ c − 2 ) 9 = 9 a ⋅ c −

1 1 1

1

1 1

1 1 1 1+ + 3 6 2

c 3 c c = (c ⋅ (c ⋅ c 2 ) 3 ) 2 = (c ⋅ c 3 ⋅ c 6 ) 2 = (c

) = (c

6 + 2 +1 1 6 2

) =

Pertvarkant reiðkinius su ðaknimis, daþnai yra paprasèiau jas pakeisti laipsniais, kuriø rodikliai trupmeniniai, ir taikyti gerai þinomas greitosios daugybos formules: (a¤b)2=a2¤2ab+b2, a2 b2=(a b)(a+b), 3 a ¤b3=(a¤b)(a2 ab+b2), (a¤b)3=a3¤3a2b+3ab2¤b3. ¤

105

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

2 p a v y z d y s. Suprastinkime: a) (3 m + 3 x)2 - (3 m - 3 x)2 = (m 2

1

1

2

1

1 3

1

+ x3 )2 - (m

1

1 3

1

- x3 )2 = m

2 3

+2 m

1 3

1

2

x3 + x3 -

1

− m 3 + 2 ⋅ m 3 ⋅ x 3 − x 3 = 2 ⋅ 2m 3 ⋅ x 3 = 4(mx) 3 = 4 3 mx ;

b) 1

1

1

= ( p 2 − 1)( p 2 + 1) = ( p 2 )2 − 12 = p − 1;

c)

1 1 2

1 2

1

1

1

1

(a2 )- (b2 )(a + a2 b2 + b)

= a +b -

1

1

1 2

1 2

= a +b -

(a2 )2 - (b2 )2

1

a + a2 b2 + b 1

1

=

a2 + b2

3 p a v y z d y s. Kintamàjá b i reik kime kintamuoju p, kai b>0 ir p>0: 2 3

−

−

3 2

b) p = b ;

a) p = b ;

2

b 3 c) p = .

6

Uþduotá atliksime taikydami këlimo laipsniu dësná: 3

2 3

3

a) p 2 = (b 3 ) 2 ; b = p 2 ; b = p3 ; −

3

b) (b 2 ) c) b

−

2 3

−

2 3

−

2

−

2

= p 3 ; b = p 3 ; b = 3 p−2 = −

2

= 6 p; (b 3 )

−

3 2

−

3

3

1 ; p2

−3

= (6 p) 2 ; b = (6 p) 2 = (6 p)−3 =

1 .

216 p3

Uþdaviniai 211. Ðakná iðreikðkite laipsniu su racionaliuoju rodikliu:

b)

a) 5 32 ;

e)

(

6

m7

)

−1

;

7

1 ; 7

f ) 4 m 3 p7 ;

( p − 1)

5

c) 4 216;

d)

g) 5 a −2 c3 ;

h) 4 a3 : b−5 .

3

;

106

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

212. Laipsná iðreikðkite ðaknimi, iðkeldami daugiklá prieð ðaknies þenklà: 1

a) a1,4;

2

−

b) b 7 ;

1

−

4

f) n 3 ; e) a 3 ; 213. Apskaièiuokite: 1

−

1

b) 4 2 ;

f) 81−0,25 ;

g) 0,125 3 ; 1 4

8 k)    27 

;

g) p 2,(5);

h) k1,(21).

1

c) 0 4 ; 2

−

d) m 3,6;

1

a) 16 2 ;

81  j)    625 

6

c) c 5 ;

−

4 3

1

−

243  l)    32 

−

e) 8 3 ; −

h) 1000 3 ; ;

2

d) 17 ; 1

i) 0,0625 4 ;

1 5

1  m)    1024 

;

−

1 10

.

214. Suprastinkite pagal laipsniø su trupmeniniais rodikliais dësnius: a) 10

−

2 3

−

3

5

3

1

−

2

5

e) a 5 ⋅ a15 ⋅ a 3 ; i)

4

1

2

3

j)

1

1

c; 1

m) 12 2 ⋅ 3 2 ;

1

n) 2 3 ⋅ 4 3 ;

1

1

1

1

1

1

3

3

3 7

k) (c y

1

1

1

−

1

p) 2

⋅ 27 4 ; t) (c2 x)

−

2 3

1

−

1

1

0,2

1

1

−

2 5

1

1

1

1

1

1 2

1 ⋅  ⋅ 81−1  16   1

p) (xy)0,5(x 0,5 y1,5);

1

1

r) (8 2 + 2)2 ⋅ (4 3 − 3 2)(32 3 − 3 16) −1 ; 1

1

−

1

1

−

n) (a 4 + c 4 )(a 8 + c 8 )(a 8 − c 8 );

o) ( x 2 + a 2 )( x − x 2 a 2 + a);

1

3

 2 l)  3 24 ⋅ 3 2  3  

) ⋅c ⋅ y ;

1

1

1

2

s) (2 3 − 5 3 )(4 3 + 10 3 + 5 3 ).

−

2

1 3

⋅ (cx 2 ) 3 .

j) (a 4 x 3 ) 4 ⋅ a0,7 ⋅ x 0,8 ; 2 7

−0,4 3

1

1 4

b −3 : 8 b −6 ; p−1 ⋅ 3 p ;

3

h) 2 4 (8 4 − 128 4 );

1

1

1

−

3

m) (3 p 2 − c)(3 p 2 + c); 1

l)

f) (6 − 2 5) 4 ⋅ (6 + 2 5) 4 ;

i) (9 3 + 72 3 )3 3 ; −

a2 3 a ;

1

g) 2 3 (4 3 + 32 3 ); 1

5

d) (6 + 11) 2 ⋅ (6 − 11) 2 ;

e) (2 − 3) 5 ⋅ (2 + 3) 5 ; 1

k)

4

b) (2a2 ) 4 ⋅ (4ab3 ) 4 ⋅ (3ab) 4 ;

c) (3 − 2) 2 ⋅ (3 + 2) 2 ;

1

h)

1

a) 3 2 ⋅ 8 2 ⋅ 6 2 ;

1

a4 : 10 a7 ;

s) (ab3 ) 5 ⋅ (a4 b2 ) 5 ;

215. Sudauginkite: 1

5

o) 3

3

d) a 5 : a 5 ;

g)

1

r) (4 x) 3 ⋅ (16 x 2 ) 3 ;

2

c) a 0,4·a0,8;

f) (a 3 : a 3 ) : a 3 ;

m : 5 m; 1

−

b) 7 24 ⋅ 7 8 ;

⋅ 10 2 ;

1 4

;

−

1

⋅ 32 3 ;

107

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

216. Patikrinkite, ar teisingos ðios lygybës: 1 a)   4

−

3 2

+ 3 ⋅ 0,0081

0   5   − ⋅ 6 4 b)   16      

c) (0,001) d) 1000

−

2 3

−

1 3

−2

(

)

1 4

1 +   16  

1 4

= 26;

−1

2

−

− 0,75

1 − 2 2 +   − 81 2 ⋅   3   9

− 2 −2 ⋅ 64 3 − 8

1 +   27  

 e)  32 ⋅ 3 4   

−

4 3

−

4 3

−1

= 1,25;

+ (90 )2 ⋅ 5 = 10

15 ; 16

− 625 − 0,75 = 81,002;

1 1  5 4 −   1 +  64 ⋅ 3  − 3(2 4 2) 3  ⋅ 2 12 = 1;  2    1

2 3 2  1  12 5  3  3   7π 2  − 2 sin = 2.

5 −  −  −5  f) 2 2 4       

217. Iðreikðkite pirminio skaièiaus laipsniu su racionaliuoju rodikliu: a)

6

54 ⋅ 6 ⋅ 3 2;

c)

9

9 4 2 6 12 ⋅ ⋅ 2 ⋅ 3; 4 3

e) 2 3 2 ⋅ 4 g)

1 43 ⋅ ; 3 4 2 1 4 ; d) 2 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 6 5 4 25

1 6 ⋅ 8; 2

27 ⋅ 3 3 4 3 ⋅ 3

1 1 27 ; 3 3

b)

3

f)

4 5

h)

4

2⋅6

81 ⋅ 3 5 34 ⋅

3

9;

125 3 25 5 ⋅ 3 4 5−3 .

218. Apskaièiuokite:  1   49  a)  

−

1 2

1 −   8

64

1 3

2 3

 15 ⋅ 5 c)   − 23 23  6 ⋅2 2 − 3

−

1 − 3

1

−

1

27 3 − 81 4 ⋅ 5 36

−2

  ;  

  6 − 4  0 − ⋅ (0,3) f)      5  

1 − 2

 12 ⋅ 4 d)   − 34 34  6 ⋅2 3 − 4

1 − 4

− 0,25

⋅ (0,36)

;

−

1 2

b)

−3

  ;  

7( 3 − 5)2 ; 20(2 − 4 15)(2 + 4 15) 1 3

1  (0,04) ⋅ 0,125 −    121  e) −1  3  2  −1   −    4 3 

⋅ (0,0001)−1 ;

− 0,5

−

−

1 2

;

108

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

g) 5 48 3 i)

(0,1)

 1  h)  ⋅ 81− 1   16 

2 9 + 32 3 − 11 3 12 8 ; 3 4 2 ⋅    13 

−4

 2 −4  ⋅      3  

0

− 0,5 −

−

1 4

 2 ⋅  3 24 ⋅ 3 2  3 

1

: (0,81) 2 ;

−3

1 − 1 2 ⋅ 4 −2 + (81 2 )3 ⋅   1 − 9  2 j) + 36 ; 2 2 − 1 − 1 1     0 125 3 ⋅   + ( 3) ⋅  −  5  2

1 (0,1) − 0,4 ⋅   2 −1

−2

0

121  +    4 

−

1 2

. −3 −1 1 − 2 2 1  3 2 ⋅   − 2 ⋅  −  ⋅ 27 3 3  3 219. Suprastinæ reiðkiná, apskaièiuokite jo reikðmæ:

k)

4 1 −  7 2 ⋅ a b 100 a)  1  c3 

   

−

7 2

⋅

10 000b c

−

1 6

1 4

, kai a=2, b=16, c =

1 ; 8

3 4

1  − 12  3 ⋅ m m  , kai m=0,0625; b)   m ⋅ 3 m −1     a +1 a −1  a c)  , kai a=1; − : a 4 − a+4 a +4  a +2 3

3

3

c2 − a2

d)

1 2

−

1 2

1 2

a+a c +c 3 2

3 2

3

a2 + c2

, kai a=0,09, c=0,16;

1 2

a−a c +c −

2

a 33 a−b : , kai a=1,2, b=0,6; e) 2 − a a b b 2 3 (a − ab) a +b 1

f)

1

m − m2n2 + n 3 2

m +n

3 2

1

−

1

m + m2n2 + n 3 2

m −n

3 2

, kai m=0,4, n=0,36;

−2

1

−2

 :  u + v  , kai u=4, v=9.      u−v 

 4 x 3 y − 4 xy3 1 + xy   y y 2 + + g)  , kai x=9, y=0,04;  ⋅ 1 + 2 4  x x  y− x xy   

h)  

(

4

4

u− v

) +( −2

4

4

u+ v

)

2

−

1 2

;

109

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

220. Suprastinkite: −

2 3

2 3

1

e)

1 3

1

m2 − 2

6m 2

+

1 2

m + 2m + 4

3 2

1

+

m −8

3 1 −  8 b4 c 64 c)  1  a6 

3

1 3 − −  2 16 b 8 c 32 x − 3x p − 4q  ⋅ ; ; b) a) ; 1 1 1 1  3 4 5 x − 15 a 5 p3 + 10q 3  1 x 4 d) ⋅ (1 + 2 x + x 2 )−1 ⋅ (1 + x)( x 2 − 1) − 4 x 5 (1 − x −1 ) + x 2 4 x −3 − 2 2 2 3

;

1 2

m −2

 1  y − 1  y3 1  + ; g) 2 1 1  y −1  3 3 3 y +y  y −1 

3 b+ 2 b−32 − ; f) 3 b − 6 2b + 3 2 6 b − 6 2

h)

2 5

2 5

1 5

1 5

a −b a +b

+

3 5

a +b

2 5

1

1

3 5

1

2

1 1 1 2  12 1 1  x + y2 y3 − x3 6 6   i) , x<y; −x y − 1 1 1  16  6 6 6 x +y x +y 

;

a − a 5 b5 + b5

1

 4 a3 + 8 2 a−4 a j) − 4 − 2 4 a  , kai a<16; 4 3 a −2 a  a +2  1

1 1   3 3 3 x x −1 x +1 k)  2 ; − ⋅ 1 x + 1  32  3 3  x − x +1  x −1

m) o)

a +1

x

−

1 2

−

x − x −2 1

x2 − x

−

1 2

+

1 − x −2 1

x2 + x

1 1 −  3 3 a a 3 − 4 p)  2 1 1 −  3  a − 2a 3 a 3 − a 3 4

r)

−

1 2

a

;

23 3 − 2 ⋅ 6 5 + 2 6 + a +

1

l)

+

1 a 2

3

n)

;

x2

−1

−1   −  1 − 2a  ;   3a − 2  

1

 c :  1 − 3 3  − 3 a2 ; a  a + 3 3 ac + 9c  2 3

a 3 − 27a 3 c

2 3

−1

2 3  (a − b)( ab )  8  a 3 b   ab2   ; ⋅ + s)   4   b 3 a   8 a5b7   a−4b   8

−2

−1

−1

 cx   4 cx − x   4 c + 4 x  t)  cx −  ⋅  .  c + cx   c − x   4 x 3  

−

1 3

a 2 + ab−1 −

1 6

−a b

−

1 3

+b

−

2 3

−

a ; b

3

5 − 2 ⋅ 4 9 + 4 5 + 3 a2 − 3 a 5 +2⋅4 9−4 5 +a

;

110

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

221. Patikrinkite, ar ðios nelygybës yra teisingos: a)

4

17 + 12 2 − 2 > 3 − 1;

b)

6

9 + 4 5 + 3 2 + 5 ⋅ 3 5 − 2 − 2,1 < 0;

c) 2( 4 3 + 4 5 + 4 7) − ( 3 + 5 + 7) < 3; d) 3 2 + 3(1 + 2 + 3) > 2 4 6(1 + 4 2 + 4 3).

Pakartokite 222. 1) Apskaièiuokite: 4  1  4 3  −   1 4 4 +  4 − 0,25 − (2 2)− 3  .       8       2) Atlikite veiksmus: a)

3 4

b4 b b 3 b2

:5

3

4

n3 ; b) n2

c c3 ⋅ c 4 (3 c )

−

1 2

−1

1

;

⋅ (c2 )12

4 6  1 m  3 m − 6 mn2 + 3 n2 m +6 . d)  4 − ⋅ 4 −1 3 2 + +3n m m n m ⋅ m n ( )   3) Iðspræskite lygtis:

a) x

2 3

−

4

= 9;

b) (t − 4) 5 = 4;

1

c) x 2 + 4 x

−

1 2

= 5.

223. 1) Apskaièiuokite: 4  1  4 3  9− 4 +  1    9 −0,25 − (3 3)− 3  .       27       2) Atlikite veiksmus:

a)

c)

4

m 3 m2

3

3

m4 m

⋅5

x2 ; 4 3 x

4 a ⋅ a3 125 ⋅  1  −  a 2

b)

3

x 2 y5 ⋅ x 3 6

xy ⋅ y

−

1 2

;

1 2

  ⋅ 1 ;  a −2 

 2 2 4 c  3 c − 6 cb2 + 3 b2 3 −2 26 c ⋅ + b ( ) . d)  4 − ⋅ 1 6 c +b c+3b  c ( c )2

3) Iðspræskite lygtis: a) y

−

4 3

= 16;

3

b) ( z + 2) 5 = 27;

1

 2  2 a ⋅ a3 ; c)  3  ⋅ −1  27  a 6 ⋅ a a a2 ⋅ 3

c)

5

x − 10 x = 2.

111

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

224. 1) Periodinæ deðimtainæ trupmenà 2,37(1) uþraðykite paprastàja.

1 3 2) Paraðykite kurá nors iracionaløjá skaièiø, esantá tarp ir .

3 4 3) Panaikinkite iracionalumà trupmenø vardiklyje:

7b ; 3 4) Iðspræskite lygtis: a)

b)

a) ª7 5xª=13;

b)

5 .

17 − 2 3

(x

2

1

− 1)3 = 2.

5) Kuriuos skaitmenis reikia áraðyti vietoj þvaigþduèiø skaièiuje 7*1*, kad gautas skaièius dalytøsi ið 15?

6) Triþenklio skaièiaus vienetø skaitmuo 3 vienetais didesnis uþ deðimèiø skaitmená. Kiek skaièius, gautas sukeitus paskutinius du skaitmenis vietomis, yra didesnis uþ pradiná?

7) Suprastinkite: a)

x2 4 x 3 x2 x 6 x6 x

;

8) Apskaièiuokite: a) 16 0,75 ⋅ 25 0,5+ 64 b)

( a − 1)

c)

3 −2 − 3−2 3 .

2

a − 3 b2 ; 4 a−3b

b)

−

4 3

c)

a1,5 − b1,5 . b−a

⋅ 91,5 100 0,5;

+ a2 + 2a + 1, kai a= 0,(897);

9) Iðspræskite nelygybes: a) x < 7; b) ªx 3ª≤ 2;

c) ª2x 3ª<3x.

225. 1) Periodinæ deðimtainæ trupmenà 3,1(45) uþraðykite paprastàja.

2) Paraðykite kurá nors racionaløjá skaièiø, esantá tarp

5 ir

7.

3) Panaikinkite iracionalumà trupmenø vardiklyje:

2a ; 5 4) Iðspræskite lygtis: a)

1

b)

3 .

2 5+ 3

 1 5 a)  x 2 − 1  = 1; b) ª3 2xª=5.   5) Raskite visus keturþenklius 65xy iðraiðkos skaièius, kurie dalijasi ið 18.

6) Dviþenklio skaièiaus skaitmenø suma lygi 15. Sukeitus to skaièiaus skaitmenis vietomis, jis padidëja 27 vienetais. Raskite pradiná skaièiø.

112

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

7) Suprastinkite: a)

a3 a a

;

a 6 a5 a 8) Apskaièiuokite:

1 a)    27 

−

1 3

b)

4

a−6b ; a−3b

c)

x +2 . x +8 1,5

4

− 20 ⋅4 + 0,25−0,5 + 27 3 ⋅ 91,5 ; 81

b)

m2 − 6m + 9 −

c)

(3 − 2 )

2

(m + 3)

2

, kai m= 3,(768);

+ 3 − 2 2.

9) Iðspræskite nelygybes: a)

x > 4;

Prisiminkite

b) ªx 5ª>3;

c) ª3x+1ª≤ 8x.

2 3 226. 1) Duotos funkcijos f (x)=2x 3, y ( x) = − , u (x)=2+3x, g ( x) = , x x x v (x)=3x, z ( x) = − , h (x)= 2 3x.

3 a) Kurios ið ðiø funkcijø yra tiesioginio proporcingumo? b) Kuriø funkcijø grafikai yra hiperbolës? c) Kurios funkcijos savo apibrëþimo srityje yra didëjanèios? d) Kuriø funkcijø grafikai eina per taðkà M(2; 1)?

3x − 4 .

2) Funkcija iðreikðta formule f ( x) = 2 2 a) Apskaièiuokite f ( 4), f   , f (t+1). 3 b) Su kuria kintamojo reikðme f (x)=6? k 3) a) Nurodykite k reikðmæ, jei yra þinoma, kad funkcijos f ( x) = x 1   grafikas eina per taðkà A  − ; 4  .  2  b) Funkcijos, iðreikðtos formule f (x)=kx+3, grafikas eina per taðkà A(3; 12). Raskite koeficientà k. Ar ði funkcija yra didëjanti, ar maþëjanti? Atsakymà pagráskite. c) Yra þinoma, kad funkcijos f (x)=ax2+2 grafikui priklauso taðkas M( 4; 18). Raskite koeficientà a.

4) Su kuria koeficiento k reikðme tiesës y=kx+6 ir y=0,5 2,5x yra lygiagreèios?

5) Duota funkcija f (x)= x2+2x. Nurodykite: a) jos grafiko virðûnës koordinates bei simetrijos aðá; b) taðkus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinaèiø aðis;

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

6)

7) 8)

9)

10) 11)

12) 13) 14) 15)

4)

113

c) intervalus, kuriuose funkcija yra didëjanti, maþëjanti; d) didþiausià funkcijos reikðmæ.

Nubraiþykite ðios funkcijos grafikà.

Ar taðkas A(2; 5) priklauso ðiø funkcijø grafikams: 12 ; a) f (x)=2x2+x 5; b) g ( x) = c) h(x)=2x+1? x Paraðykite tiesës, einanèios per taðkus A(2; 3) ir B(1; 2), lygtá.

Parabolë kerta abscisiø aðá taðkuose A( 1; 0) ir B(3; 0). a) Paraðykite funkcijos, apibûdinanèios ðià parabolæ, lygtá. b) Nubraiþykite scheminá tos funkcijos grafikà. c) Nurodykite funkcijos didëjimo ir maþëjimo intervalus.

Paaiðkinkite, kaip reikia perkelti parabolæ y= x2, kad ji virstø parabole: b) y= x2+3; c) y= (x 3)2+2. a) y= (x+3)2; Iðspræskite nelygybes: a) 2x2+3x 2>0; b) x2 4x+4¡0; c) 3x2 4x+2<0.

Remdamiesi brëþiniu (ABDCA1B1D1C1 kubas): a) nurodykite tiesiø AB ir AA1, AB ir D1C1, CA1 ir BD1 tarpusavio padëtá; b) paraðykite, kurios tiesës yra statmenos plokðtumai BDD1B1, o kurios su ja lygiagreèios; c) nustatykite, kokio didumo kampus sudaro tiesës AA1 ir CB, AB ir DD1, AB ir A1B (pagráskite); d) nubrëþkite plokðtumà, einanèià per taðkus C, A1 ir B. Apskaièiuokite pjûvio perimetrà, kai kubo briaunos ilgis lygus b. Kokia yra tiesës AA1 padëtis ðios plokðtumos atþvilgiu?

Ið to paties taðko nubrëþtos dvi pasvirosios plokðtumai: viena 20 cm, kita 15 cm ilgio. Pirmosios pasvirosios projekcija plokðtumoje lygi 16 cm. Raskite antrosios pasvirosios projekcijà.

Pasvirosios projekcija plokðtumoje lygi pusei pasvirosios. Apskaièiuokite kampà tarp pasvirosios ir plokðtumos.

Apskaièiuokite trikampio ABC plotà, kai jo virðûnës yra taðkai A( 2; 1; 1), B( 1; 0; 1) ir C( 7; 1; 0).

Duotas staèiakampis gretasienis ABCDA1B1C1D1, kurio AB=BC=a, BB1=2a. Apskaièiuokite kosinusà kampo tarp: uuur uuuur a) vektoriø BC ir CD1 ; b) ástriþainiø AC ir AC1; c) tiesiø, kuriose yra gretasienio briauna A1B1 ir sienos DCC1D1 ástriþainë D1C. Apskaièiuokite:

114

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

227. 1) Iðskaidykite daugikliais: a) 2x3y 8x2y2+8xy3;

b)

4 4 a − m2 n2 ; 25

c) 64p3 27.

2) Suprastinkite reiðkiná: a)

125 x3 + 8 y3 4 y2 − 25x2 ⋅ ir apskaièiuokite jo reikðmæ, kai (5 x + 2 y)2 25x2 − 10 xy + 4 y2

1 7 x=− , y= ; 5 2

b)

v v , kai v<2; + v − 3 ªv − 2ª

a5 + a6 + a7 ab−1 − a −1 ⋅ ir apskaièiuokite jo reikðmæ, kai a −5 + a −6 + a −7 a −1 − b−1 a= 1, b=5.

c)

−2

−2

 n2 + 1   n2 + 1  3) Árodykite, kad  + 2   = 1.  2n   n −1  4) Apskaièiuokite: 5,1 ⋅ 105 ; b) (8,4·104) : (200·10 8); c) (2,08·10 3)( 5·104).

9,6 ⋅ 109 1 g vandens yra 3,346·1022 molekuliø. Kiek molekuliø yra 18 g vandens?

Ar taðkas A( 1,2; 5) priklauso funkcijos g (x)=(x+2)2 (x 1)2 grafikui?

Sklypo ilgis 400 m. Koks yra ðio sklypo ilgis plane, kurio mastelis 1 : 10 000?

Ritinio spindulys 60,0 mm, o sudaromoji 8,28 cm. Apskaièiuokite ritinio tûrá deðimtøjø tikslumu.

Staèiakampio perimetras lygus 12 cm. a) Trumpesniàjà staèiakampio kraðtinæ paþymëjæ x, staèiakampio ploto priklausomybæ nuo kraðtinës x ilgio iðreikðkite formule. b) Nubraiþykite ðios priklausomybës grafikà. c) Nurodykite x reikðmæ, su kuria staèiakampio plotas ágyja didþiausià reikðmæ. d) Apskaièiuokite didþiausià staèiakampio ploto reikðmæ.

Duotos trikampio ABC virðûniø koordinatës: A( 2; 4), B(6; 5) ir C(1; 1). Patikrinkite, ar tas trikampis yra statusis (dviem bûdais).

Keturkampio ABCD virðûniø A ir B koordinatës yra A( 3; 2) ir B(1; 1). Virðûniø C ir D koordinates parinkite taip, kad keturkampis turëtø simetrijos centrà. Nubraiþykite brëþiná ir nustatykite keturkampio rûðá, taikydami vektorius.

a)

5) 6) 7) 8) 9)

10)

11)

115

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

228. 1) Iðkelkite daugiklá prieð ðaknies þenklà: 72;

a)

480;

128;

112 ⋅ 8;

84 ⋅ 10;

4 , kai x<0; x2

1 2 a , kai a¢0; 9 2) Suprastinkite:

b)

25 x 6 ;

50a9b4 .

b) 0,1 5m − 0,45m + 2 80m ;

a)

27 + 108 − 12;

c) −

y6 3x2 ⋅ , kai x<0, y>0; 5 y3 9 x 2

2

2 3 d) 7m n  2m2  , kai m<0, n<0.

2  7n 

3) Sudauginkite: b) (2 3 − 7)(2 3 + 7);

a) ( 15 + 5) 5;

 3  3 6− . d)  6 −   5  5  

1 1 5 − 1   1 + 5  ; c)  2 2   4) Apskaièiuokite: a) ( 72 − 5 2)2 ;

b) ( 63 − 2 5 − 2 7) 7 + 2 35;

xy , kai x = 5 + 2 6, y = 5 − 2 6. x+y 5) Panaikinkite iracionalumà trupmenø vardiklyje:

c) (9 + 3 2)(3 − 2);

a)

4−3 m ; 3 m

b) Kai x<2, tai

8 ; 7− 5

b)

6) a) Kai a>8, tai

d)

c)

9( 3 − 1) .

2 3 +3

(7 − a)2 = ... x 2 − 6 x + 9 = ...

7) Ar reiðkinys x 2 − 3 x turi prasmæ intervale [3; +º)?

8) Su kuriomis realiosiomis x reikðmëmis reiðkinys: 3− x a) 2 − 3x neturi prasmës; b) turi prasmæ? x2 − 3x + 2 9) Nustatykite funkcijos f ( x) = 2 x 2 − 7 x + 8 apibrëþimo sritá.

10) Iðspræskite lygtis: a)

2 x + 3 = 5;

b)

6 − 2 x = x + 9;

c) (4 − x)2 = 5; d) x + 4 + x − 4 = 2.

11) Raskite nelygybiø sprendinius: b) ( x 2 − 4) 1 − x ≥ 0; a) 3 − 4 x ≤ 2; 229. 1) Iðkelkite daugiklá prieð ðaknies þenklà: a)

45;

320;

96;

b)

15a2 , kai a¢0;

72 ⋅ 18;

c)

x 2 + 3 x + 2 > 3 + x.

36 ⋅ 7;

21b2 , kai b<0;

16a10 ;

32m5 b2 .

116

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

2) Suprastinkite: a)

b) 5 3a +

3 + 27 + 243;

c) 2 x 3 ⋅

1 12a − 10 0,03a ; 2 2

8 y2 , kai x>0, y<0; x6

d)

1  8a10  kai a<0, b<0. , 2 8ab  b3 

3) Sudauginkite: b) ( 7 − 2)( 7 + 2);

a) ( 2 − 22) 2;

 3  3 12 − . d)  12 −   4  4  

1 1 3 − 1   1 − 3  ; c)  5 5   4) Apskaièiuokite:

a) ( 20 − 5)2 ;

b) (3 6 − 3 + 108) 6 − 15 2;

c) (2 3 − 8)( 3 + 4);

d) x + y , kai x = 11 + 3, y = 11 − 3. xy

5) Panaikinkite iracionalumà trupmenø vardiklyje: a)

4 a +3 ; 2 a

b)

6) a) Kai c¢10, tai b) Kai a<3, tai

15 ; 2+ 3

c)

4( 2 + 1) .

3 2 −4

(9 − c)2 = ...

25 − 10a + a2 = ...

7) Ar reiðkinys 4x − x 2 turi prasmæ intervale [0; 3]? Atsakymà pagráskite.

8) Su kuriomis realiosiomis kintamojo x reikðmëmis reiðkinys: a)

1 − 2x turi prasmæ;

b)

x+5 neturi prasmës? x2 + 3x + 2

9) Nustatykite funkcijos f ( x) = 3 x 2 + 2 x − 8 apibrëþimo sritá.

10) Iðspræskite lygtis: a)

x − 4 = 3;

b)

5 x − 6 = 2 x − 9;

c)

(8 − x)2 = 11;

d)

x + 4 − x − 4 = 2.

11) Raskite nelygybiø sprendinius: a)

6 − 2 x ≥ 4;

b) ( x2 − 9) 5 − x ≥ 0;

c)

x 2 − 3 x − 10 > 8 − x.

232. 1) Nustatykite: a) ar skaièius 7 yra lygties x2=5x 14 sprendinys; b) kokia turëtø bûti k reikðmë, kad lygtis kx2 7x+6=0 turëtø sprendiná, lygø 2.

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

117

2) Iðspræskite lygtis: a) 4+8z=(z+4)2; b) 7 x2=0; 2 c) x +5=2; d) t3+6t2+7t=0.

3) Su kuriomis z reikðmëmis daugianariai z2+1+z ir 3 4z+3z2 ágyja lygias reikðmes?

4) Kvadratiná trinará 3x2 5x 8 iðskaidykite tiesiniais daugikliais.

5) x=1 yra kvadratinio trinario 3x2+px 2 ðaknis. Raskite koeficiento p reikðmæ ir iðskaidykite trinará tiesiniais daugikliais.

6) Suprastinkite trupmenas: 25 − a2 (3m − 12)2 6a 2 − 7a − 3 ; . a) b) c) ; 2 2 10 + 3a − a m2 − 8m + 16 2a − a − 3 7) Su kuriomis a reikðmëmis kvadratinë lygtis: a) x2+6x a=0 turi du realiuosius sprendinius; b) x2+(a+2)x+8a+1=0 neturi realiøjø sprendiniø?

8) Sudarykite kvadratinæ lygtá, kurios sprendiniai bûtø: 1 b) 1,5 ir 3,2; c) 2 − 3 ir − 2 − 3. a) 1 ir ; 2 9) Raskite kintamojo reikðmes, su kuriomis ðios lygybës yra teisingos: a) 9x4+2=9x2; b) (x2+2x)2 14(x2+2x)=15.

10) Su kuria teigiamàja k reikðme lygties x2 kx+k2 3k+5=0 sprendiniø suma lygi jø sandaugai? r 1 r r r r r 11) Nubraiþykite vektoriø p = 2(a − 3b) − (c − 4 a) + b, kurio pradþia r2 r r r r yra taðke A( 2; 3) ir kurio a = i − 2 j , b{ − 1; − 3}, c{4; − 6}. r r 12) Vektoriai a ir b yra nekolinearûs. Apskaièiuokite x irry reikðmes, r r r r r su kuriomis vektoriai c = xa + yb ir d = ( y + 1)a + (2 − x)b yra lygûs.

233. 1) Nustatykite: a) ar skaièius 5 yra lygties 13x= 40 x2 sprendinys; b) kokia turi bûti k reikðmë, kad lygtis 3x2+kx 8=0 turëtø spren1 diná, lygø 1 .

3 2) Iðspræskite lygtis: a) 6x 3,2x2=0; b) x2 13=12; 2 d) m3 8m2+13m=0. c) (x 3) =3 6x; 3) Su kuriomis x reikðmëmis daugianariai 3x2 4x+3 ir x2+x+1 ágyja lygias reikðmes?

4) Kvadratiná trinará 4x2+4x+3 iðskaidykite tiesiniais daugikliais.

5) x=2 yra kvadratinio trinario 4x2 14x+c ðaknis. Raskite koeficiento c reikðmæ ir iðskaidykite trinará tiesiniais daugikliais.

6) Suprastinkite trupmenas: a2 + 8a + 16 c2 − 9 2c2 + 8c − 90 . ; a) b) c) ; 2 (2a + 8)2 3 + 2c − c 3c2 − 36c + 105

118

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

7) Su kuriomis p reikðmëmis kvadratinë lygtis: a) 4x2 5x+p=0 turi du realiuosius sprendinius; b) x2+2(p+1)x+9p 5=0 neturi realiøjø sprendiniø?

8) Sudarykite kvadratinæ lygtá, kurios sprendiniai bûtø: a) −

1 ir 2; 4

b) 0,8 ir 1,3;

c) 5 + 2 6 ir 5 − 2 6.

9) Raskite kintamojo reikðmes, su kuriomis ðios lygybës yra teisingos: a) 4x4+4=17x2; b) (x2+5x)2 2(x2+5x)=24.

10) Su kuria a reikðme lygties 2x2 a2x+4(a 1)=0 sprendiniø suma lygi jø sandaugai? r r r r r r r 11) Duoti vektoriai a = 5i + 2 j ir b = 7i − 3 j . Raskite toká vektoriø c , r r r r su kuriuo a ⋅ c = 38, o b ⋅ c = 30.

12) Tiesë l kerta lygiagretainio kraðtines AB ir AD bei ástriþainæ AC uuuuur uuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur taðkuose B1, D1 ir C1. Jei AB1 = λ1 AB, AD1 = λ 2 AD, AC1 = λ 3 AC, 1 1 1 tai = + . Árodykite. λ 3 λ1 λ 2 232. 1) Su kuriomis t reikðmëmis ðios lygtys turi vienà realøjá sprendiná: b) 6x2+tx+1=0? a) tx2 6x+1=0; 2) Su kuriomis m reikðmëmis funkcijos y=x2 12x+m grafikas lieèia abscisiø aðá?

3) Nubraiþykite funkcijø y=x2 ir y=2x grafikus. Raskite jø sankirtos taðkø koordinates.

4) Nebraiþydami nurodytos parabolës ir tiesës, raskite jø sankirtos taðkø koordinates: b) y=3x2+11x 41 ir y= 10x+49. a) y=(x+4)2 ir y=3x+40; 5) Keliuose taðkuose ðios parabolës kerta abscisiø aðá: a) y=9x2+6x+1; b) y=5x2+9x+4; c) y=2x2 4x+5?

6) Kiek realiøjø sprendiniø turi ðios kvadratinës lygtys: a) y2 10y+25=0; b) 3t2 3t+1=0; c) x2+2x 80=0?

7) Iðspræskite lygtis: a)

y2 + 5 14 =− ; y−3 3− y

c)

6 x +1 x+4 − = . x2 − 2x x2 + 2x x2 − 4

b)

8 7 x − = ; x − 2 x2 − 4 x + 2

8) Kiek yra x reikðmiø, su kuriomis ðiø funkcijø grafikai susikerta: 3 ir y=2x 1; x Atsakymà pagráskite.

a) y = −

b) y =

8 ir y=3x+5? x

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

119

9) Staèiojo trikampio ABC statinis AC=4 cm, o ¨CAB=30°. Ið virðûnës A nubrëþtas 3 cm ilgio statmuo AD trikampio plokðtumai. Apskaièiuokite: a) taðko C koordinates; b) kampo DCB didumà; c) dvisienio kampo DBCA didumà 1° tikslumu.

233. 1) Su kuriomis a reikðmëmis ðios lygtys turi vienà realøjá sprendiná: b) 5x2+ax+1=0? a) x2+6x a=0; 2) Su kuriomis k reikðmëmis funkcijos y=kx2 12x+9 grafikas lieèia abscisiø aðá?

3) Nubraiþykite funkcijø y= x2 ir y= 3x grafikus. Raskite jø sankirtos taðkø koordinates.

4) Nebraiþydami nurodytos parabolës ir tiesës, raskite jø sankirtos taðkø koordinates: a) y=(2x 3)2 ir y=11x 19; b) y=5x2 20x+15 ir y=10x 25.

5) Keliuose taðkuose ðios parabolës kerta abscisiø aðá: a) y=25x2 10x+1; b) y=4x2 9x+5; c) y=3x2+5x+6?

6) Kiek realiøjø sprendiniø turi ðios kvadratinës lygtys: a) x2 12x+36=0; b) 5x2 9x+6=0; c) x2+4x 21=0?

7) Iðspræskite lygtis: 6 + y2 15 18 1 x − = ; a) y − 3 = − 3 − y ; b) 2 + − x x 3 3 x −9 8 x+2 x −1 − = . c) 2 x − 3x x2 + 3x x2 − 9 8) Kiek yra x reikðmiø, su kuriomis ðiø funkcijø grafikai susikerta: 6 4 ir y=x 2; b) y = − ir y=5x 3? a) y = x x 9) Ið taðko M á staèiakampio ABCD plokðtumà nuleistas statmuo MD. Taðkas M nutolæs nuo virðûniø A, B ir C 6 cm, 9 cm ir 7 cm. Apskaièiuokite taðkø M, A, B ir C koordinates, nustatykite trikampiø MAB bei MCB rûðá ir 1° tikslumu raskite kampà tarp pasvirosios MB bei plokðtumos ABCD. 234. 1) Iðspræskite nelygybes: 1 ≤ 2; a) 12x 31<7; b) x −1 c) 4x2+20x 25¢0; d) ª5 xª¡2.

120

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

2 2) Raskite sveikuosius nelygybës x − ≤ 0 sprendinius. x −5 x +1 2 ≥ 3) Apskaièiuokite sveikøjø nelygybës sprendiniø sumà.

5−x 3 4) Nurodykite didþiausià teigiamàjà sveikàjà x reikðmæ, su kuria x2 − 6x + 9 yra neigiama. trupmena x−4 1 5) Su kuriomis x reikðmëmis funkcijos y = − x + 8 reikðmë priklauso 3 intervalui ( 1; 1)? x2 − 7x + 6 turëtø 6) Kokios turi bûti x reikðmës, kad reiðkinys 4−x prasmæ?

1− x apibrëþimo sritá. x+5 8) Su kuriomis x reikðmëmis funkcijos f (x)=x2 2x 1 grafikas yra virð Ox aðies?

9) Nubraiþykite funkcijos y=x2+6x+5 grafikà ir, remdamiesi juo, nustatykite, su kuriomis x reikðmëmis: a) funkcijos reikðmë lygi nuliui; b) funkcija ágyja teigiamas reikðmes; c) funkcijos reikðmës maþesnës uþ nulá.

10) Ar gali to paties kampo sinusas ir kosinusas arba tangentas ir kotangentas bûti atitinkamai lygûs: 1 2 ir − ; b) −1 + 2 ir 1 + 2 ? a) 3 3 Atsakymà pagráskite.

7) Nurodykite funkcijos f ( x) =

11) Raskite maþiausià nelygybës 4 x 2 + 4 x + 2( 2 x + 1)2 ≤ 34 sprendiná.

235. 1) Iðspræskite nelygybes: a) 13x+21¡11; c) 9x2+12x 4¢0;

1 ≥ 3; x −1 d) ª3x+1ª>4.

b)

5 2) Raskite sveikuosius nelygybës x + ≤ 0 sprendinius. x+2

3) Apskaièiuokite sveikøjø nelygybës

2,5 x + 0,5 5 sprendiniø san≥ 4−x 2

daugà.

4) Nurodykite didþiausià teigiamàjà sveikàjà x reikðmæ, su kuria x2 − 4x + 4 yra teigiama. trupmena 3−x 1 5) Su kuriomis x reikðmëmis funkcijos y = − x + 7 reikðmë priklauso 2 intervalui ( 2; 2)?

121

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

6) Kokios turi bûti x reikðmës, kad reiðkinys prasmæ?

7) Nurodykite funkcijos f ( x) =

x+4 turëtø x2 + 7x + 6

x +1 apibrëþimo sritá.

5−x

8) Su kuriomis x reikðmëmis funkcijos y=2x2+7x 15 grafikas yra po Ox aðimi?

9) Nubraiþykite funkcijos y=x2 5x+4 grafikà ir, remdamiesi juo, nustatykite, su kuriomis x reikðmëmis: a) funkcijos reikðmë lygi nuliui; b) funkcija ágyja teigiamas reikðmes; c) funkcijos reikðmës maþesnës uþ nulá.

10) Suprastinkite: a) ctg2 α cos2 α ctg2 α cos2 α; c)

sin 4 α − cos 4 α − 1 . cos4 α − sin 4 α − 1

b)

1 1 ; + 1 − cos α 1 + cos α

11) Raskite didþiausià nelygybës 4 x 2 − 4 x + 2( 1 − 2 x )2 ≤ 34 sprendiná.

1 kintamàjá y iðreikðkite kintamuoju x. x 2 b) Reiðkinio (y+4) (x+3)=64+y3 kintamàjá x iðreikðkite kintamuoju y.

2) Nubrëþkite tieses y=3x+2 bei y=2 3x ir nurodykite jø tarpusavio padëtá. Jei tiesës kertasi, raskite jø sankirtos taðko koordinates.

3) Kokia yra tiesiø 4x 3y 12=0 ir 2x=6+1,5y tarpusavio padëtis?

4) Kiek sprendiniø turi ðios lygèiø sistemos:

236. 1) a) Reiðkinio xy + 1 =

8 y − x = 4, a)  0,25 x − 2 y = −1;

2 x − 21 y = 2, b)  8 y − x = 4;

0,5 x − 4 y = 1, c)  2 x − 16 y = 7 ?  x − y = −2,  5) Ar skaièiø pora ( 1; 1) yra lygèiø sistemos 8 y − 3 x = − 5, spren3 y − 2 x = 5  dinys? 2 x + y = 8, 6) Iðspræskite lygèiø sistemà  3 x − 4 y = 7.

7) Raskite tokià skaièiø porà (c; d), kuri tenkintø lygèiø sistemà 3c = 4d − 7,   1 − 3c 4 − 2d  4 = 3 . ( x − 1)2 − ( x + 2)2 = 9 y, 8) Apskaièiuokite lygèiø sistemos  sprendiná.

2 2 ( y − 3) − ( y + 2) = 5 x

122

SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI

9) Lygèiø 2x y=6, 2y+x=8 ir y=6 grafikai riboja trikampá. Raskite to trikampio virðûniø koordinates: a) vienoje koordinaèiø plokðtumoje nubraiþæ nurodytus grafikus; b) nebraiþydami nurodytø lygèiø grafikø.

10) Apskritimo spindulys lygus 1. a) Suteikite pavadinimus atkarpoms OA, AB, CD ir EF. b) Nesinaudodami skaièiuotuvu, iðdëstykite maþëjimo tvarka skaièius sin 70°, cos 70°, tg 70°, ctg 70°. c) Árodykite, kad OD cos α=1 ir OE sin α=1.

2 kintamàjá y ið237. 1) a) Reiðkinio 2 + xy = x reikðkite kintamuoju x. b) Reiðkinio (5+x)(3 y)2=27 y3 kintamàjá x iðreikðkite kintamuoju y.

2) Nubrëþkite tieses y=4x 1 bei y=1 4x ir nurodykite jø tarpusavio padëtá. Jei tiesës kertasi, apskaièiuokite jø sankirtos taðko koordinates.

3) Kokia yra tiesiø 4x 3y 12=0 ir 4x+3y=12 tarpusavio padëtis?

4) Kiek sprendiniø turi ðios lygèiø sistemos: 12 x − 14 y = 80, 6 x − 7 y = 40, 5 y − 2 x = − 8, b)  c)  a)   −1,5 x + 1,75 y = −10; 3 x − 3,5 y = −20; 6 x − 7 y = 40 ?

5 x − y = − 6,  5) Ar skaièiø pora ( 1; 1) yra lygèiø sistemos 2 y − 3 x = 5, sprenx + y = 2  dinys? 3 x − y = 5, 6) Iðspræskite lygèiø sistemà  5 x + 2 y = 23.

7) Raskite tokià skaièiø porà (x; y), kuri tenkintø lygèiø sistemà  4 x − 3 y = 1,   2x + 1 9 − 5 y  6 = 8 .

(7 + u)2 − (5 + u)2 = 6v, 8) Apskaièiuokite lygèiø sistemos  sprendiná.

2 2 (2 − v) − (6 − v) = 4u 9) Lygèiø 2x+y=4, y x=4 ir y=2 grafikai riboja trikampá. Raskite to trikampio virðûniø koordinates: a) vienoje koordinaèiø plokðtumoje nubraiþæ nurodytus grafikus; b) nebraiþydami nurodytø lygèiø grafikø.

123

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

10) Apskritimo spindulys lygus 1. a) Suteikite pavadinimus atkarpoms OA, AB, CD ir EF. b) Nesinaudodami skaièiuotuvu, iðdëstykite didëjimo tvarka skaièius sin 20°, cos 20°, tg 20°, ctg 20°. c) Árodykite, kad OD cos α=1 ir OE sin α=1.

Atsakymai 214. r) 4x; s) ab; t) 4

1 . 215. n) c2 x 2 17

35

217. f) 3 5 ; g) 3 24 ; h) 5 24 . 218. e) k)

3

1

1

3 ; f) 200; g) 4

6

27 ⋅ 32 ; h) 3; i) 40; j)

8 . 219. c) 2 ; d) 0,6; e) 2,52; f) 30; g) 0,64; h) 10. 220. d) 0; e) 11 3

1

g) 1 +

y p)

3

a − c ; o) x 2 + a 2 ; p) y 2 − x 2 y 2 ; r) 9; s) 3.

1 3

1

a ; r) 0; s) 2a − 1 2

1

; h) 2a 5 ; i) 2 y 6 ; j) 4 − a ; k)

1

x3 − 1 1 3

x +1 4

a + 4 b ; t) cx.

5

; l) a 6 ; m)

7 ; 18

2 ; f) 0; m −2

1 a ; o) 0; ; n) a +1 1+ 3 a

124

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

3. FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

3.1. BET KURIO KAMPO TRIGONOMETRINËS FUNKCIJOS Funkcijos sàvoka bei kai kurios funkcijos jums jau yra þinomos ið pagrindinës mokyklos matematikos kurso. Vienas tø funkcijø (tiesinæ, kvadratinæ) esate iðnagrinëjæ iðsamiai, su kitomis (pavyzdþiui, trigonometrinëmis) tik susipaþinæ, o dar apie kitas në negirdëjote. Todël paþintá su funkcijomis ðiais metais tæsime ir pradësime nuo jums jau ðiek tiek paþástamø trigonometriniø funkcijø: sinuso, kosinuso, tangento bei kotangento. Taèiau pirmiausia prisiminkime, kà þinome apie kampø matavimà: kiekvienà plokðèiàjá kampà galima laikyti centriniu kampu, t. y. kampu, kurio virðûnë yra apskritimo centras; πR apskritimo lanko ilgis l = ⋅ α°; èia R ap180° skritimo spindulys, α centrinis kampas, atitinkantis ilgio l lankà; kampai matuojami laipsniais (taip pat jø dalimis minutëmis bei sekundëmis ir radianais); 1° tai centrinis kampas, atitinkantis apskritimo lankà, kurio ilgis 1 apskritimo ilgio; 1°= 60′ , 1′ = 60′′; lygus 360 1 rad tai centrinis kampas, atitinkantis apskritimo lankà, kurio ilgis lygus to apskritimo spinduliui; laipsninis ir radianinis kampo matas yra susijæ vienas su kitu sàryðiu 180°=π (rad); π α° kampo radianinis matas α = ⋅ α°; 180 ° 180 1 rad kampas turi laipsniø, t. y. π 180° ≈ 57,3°; 1 rad = π

125

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

π radianø, t. y. 1° = π rad ≈ 0,0175 rad; 180 180 kai kuriø daþniau pasitaikanèiø kampø laipsninio ir radianinio mato sàryðis:

1° kampas turi

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

270°

360°

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

π

3π 2

2π

Panagrinëkime kampus, kuriø modulis didesnis uþ 360°. Koordinaèiø plokðtumoje taip nubrëþkime vienetiná apskritimà, kad jo centras sutaptø su koordinaèiø pradþia, ir to apskritimo pradiná spindulá OA pasukime kampu α prieð laikrodþio rodyklës sukimosi kryptá. Jis sutaps su apskritimo spinduliu OB. Pasuktas tokio pat didumo kampu α pagal laikrodþio rodyklës sukimosi kryptá, pradinis spindulys sutaps su spinduliu OC. Centrinis kampas, kurá gauname sukdami pradiná spindulá prieð laikrodþio rodyklës sukimosi kryptá, kaip þinome, vadinamas teigiamuoju posûkio kampu, o sukdami pagal laikrodþio rodyklës sukimosi kryptá neigiamuoju posûkio kampu. Taigi ¨AOB=α, o ¨AOC= α.

Nesunku pastebëti, kad yra be galo daug kampø, kuriais pasuktas pradinis spindulys OA sutampa su spinduliu OB arba spinduliu OC, nelygu kuria kryptimi sukama (prieð ar pagal laikrodþio rodyklës sukimosi kryptá). Pavyzdþiui, spindulá OA pasukdami kampais α+360°, α+360°·2 ir t. t., já taip pat sutapdinsime su spinduliu OB, o pasukdami kampais α 360°, α 360°·2 ir t. t. su spinduliu OC. Trumpai tariant, spindulys OA, pasuktas kampais α+360°·n (èia n ± Z), sutaps su spinduliais OB arba OC. Kampas α laikomas to koordinatinio ketvirèio, kuriame atsiduria spindulys OB arba OC, kampu. Vadinasi, mûsø nagrinëjamas kampas α yra I ketvirèio kampas, o kampas α IV ketvirèio kampas. Apskritai π kai α ± (0°; 90°), arba α ∈  0;  , tai α yra I ketvirèio kampas, 2   π kai α ± (90°; 180°), arba α ∈  ; π  II ketvirèio kampas, 2  3π   III ketvirèio kampas, kai α ± (180°; 270°), arba α ∈  π; 2   kai α ∈ (270°; 360°), arba α ∈  3π ; 2π  IV ketvirèio kampas.  2  Kampai 0°, ¤90°, ¤180°, ¤270°, ¤360°, ... nepriklauso jokiam ketvirèiui.

126

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Prie kampo α pridëjæ sveikà skaièiø apsisukimø (α+360°·n, n ± Z), gauname to paties ketvirèio kampà. Antai 1125° kampas yra I ketvirèio kampas, nes 1125°=360°·3+45°, o 45° ± (0°; 90°).

Jei skaièiø tiesës pradþià sutapdinsime su pradinio spindulio OA galu A ir teigiamàjà pustiesæ vyniosime ant apskritimo prieð laikrodþio rodyklës sukimosi kryptá, o neigiamàjà laikrodþio rodyklës sukimosi kryptimi, tai skaièius α ir α+2πn (èia n ± Z, α ± R) atitiks tas pats apskritimo taðkas. Taigi aibæ R padalysime á intervalus [2πn; 2π(n+1)), n ± Z. Jeigu α ± [2πn; 2π(n+1)), tai skaièiui α priskiriamas toks apskritimo taðkas M, kad lanko AM ilgis lygus α 2πn, kai lanku einama prieð laikrodþio ro3π 5π π dyklës sukimosi kryptá. Aibës R taðkai 0, ± , ¤π, ± , ¤2π, ± , ...

2 2 2 vaizduojami kampais, kurie nepriklauso jokiam ketvirèiui.

1 p a v y z d y s. Koordinaèiø plokðtumoje pavaizduokime ðiuos posûkio kampus: a) 130°; 45°; 250°; 190°; b) 405°; 550°; 810°; c) π ; 4 π ; − 9π .

4 3 2

2 p a v y z d y s. Nustatykime ðiuose brëþiniuose pavaizduotø kampø α didumà ir nurodykime, kuriame ketvirtyje yra tie kampai:

127

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

a) α=2·2π+π=5π; kampas α nepriklauso jokiam ketvirèiui; b) α= 2·360°+( 170°)= 890°; α yra III ketvirèio kampas; c) α= 360°+( 215°)= 575°; α yra II ketvirèio kampas.

I ð v a d a. Kiekvienà kampà, kurio modulis yra didesnis uþ 360°, arba 2π, galima pakeisti suma 360°·n+α (èia n ± Z, 0°¡α<360°), arba 2π·n+α (èia n ± Z, 0¡α<2π).

Prisiminkime, kaip X klasëje apibrëþëme staèiojo trikampio ABC smailiojo kampo α sinusà, kosinusà, tangentà ir kotangentà: sin α=

prieð kampà α esantis statinis a = , áþambinë c

cos α=

prie kampo α esantis statinis b = , c áþambinë

tg α=

prieð kampà α esantis statinis a = , b prie kampo α esantis statinis

ctg α=

prie kampo α esantis statinis b = . prieð kampà α esantis statinis a

Perkelkime ðá trikampá á koordinaèiø plokðtumà taip, kad jo statinis AC bûtø Ox aðyje, o smailiojo kampo virðûnë A sutaptø su koordinaèiø pradþios taðku. Tada nubrëþkime vienetiná apskritimà, kurio centras taðkas A. Ðio apskritimo ir trikampio ABC áþambinës AB (arba jos tæsinio) sankirtos taðkà paþymëkime raide M, o apskritimo ir statinio AC (arba jo tæsinio) sankirtos taðkà raide D. Ið taðko M nuleiskime statmená á Ox aðá. Gausime statøjá trikampá AME. Rasime taðko M(x; y) koordinates (x=AE ir y=ME). Kadangi trikampiai AME ir ABC yra panaðûs, tai

arba

ME AM AE AM ME AE AE ME , , , , = = = = BC AB AC AB BC AC AC BC y 1 = , a c

x 1 = , b c

y x = , a b

x y = . b a

128

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Ið èia y=

arba

a b y a x b = , = , , x= , c c x b y a

y=sin α, x=cos α,

y = tg α, x

x = ctg α. y

Taigi vienetinio apskritimo taðko, esanèio pirmajame ketvirtyje (α smailusis kampas), ordinatë lygi kampo α sinusui, o abscisë to kampo kosinusui. Tada taðko M koordinates, iðreikðtas kampu α, galime uþraðyti taip: M(cos α; sin α).

Kaip suþinoti kituose ketvirèiuose esanèiø vienetinio apskritimo taðkø koordinates?

Koordinaèiø plokðtumoje nubrëþkime vienetiná apskritimà, kurio centras koordinaèiø pradþios taðkas, bet kokio didumo centπ riná kampà α ∈  0;  ir kampus π α, π+α 2  bei 2π α. Atsiþvelgdami á tai, kad taðkai M1, M2, M3 ir M4 yra simetriðki koordinaèiø aðiø atþvilgiu, taðkø M2, M3 ir M4 koordinates galime iðreikðti taðko M1 koordinatëmis, t. y.

M1(cos α; sin α): M2( cos α; sin α), M3( cos α; sin α), M4(cos α; sin α).

(1) Antra vertus, taðkø M2, M3 ir M4 koordinates galime iðreikðti per tuos taðkus nubrëþtø vienetinio apskritimo spinduliø bei teigiamosios Ox pusaðës sudaromø kampø kosinusu ir sinusu: M2(cos (π α); sin (π α)), M3(cos (π+α); sin (π+α)), M4(cos (2π α); sin (2π α)).

(2) Palyginæ (1) ir (2) iðraiðkas, gauname: cos (π α)= cos α, cos (π+α)= cos α, cos (2π α)=cos α,

sin (π α)=sin α, sin (π+α)= sin α, sin (2π α)= sin α.

M1, M2, M3 ir M4 yra vienetinio apskritimo taðkai, todël jø koordinatës tenkina to apskritimo lygtá x2+y2=1 (èia (x; y) bet kurio apskritimo taðko koordinatës). Áraðæ á jà koordinaèiø iðraiðkà, gauname: (¤cos α)2+(¤sin α)2=1, cos2 α+sin2 α=1, taigi ði lygybë yra teisinga su visais α ± [0; 2π].

129

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

I ð v a d a. Vienetinio apskritimo bet kurio taðko M(x; y) koordinates galima iðreikðti jo spindulio OM ir teigiamosios Ox pusaðës sudaromo kampo α ± (0; 2π) kosinusu ir sinusu: M(cos α; sin α).

Atkreipkime dëmesá, kad taðko M4 koordinates galima iðreikðti ir neigiamojo kampo ( α) kosinusu bei sinusu, t. y.

M4(cos ( α); sin ( α)).

Bet M4(cos (2π α); sin (2π α))=M4(cos α; sin α), todël cos ( α)=cos α, sin ( α)= sin α.

Vadinasi, kampo (argumento) þenklà pakeitus prieðingu, kosinuso þenklas nesikeièia, o sinuso pasikeièia prieðingu.

1 u þ d u o t i s. Uþpildykite kampø π¤α bei 2π¤α trigonometriniø funkcijø reiðkimo kampo α ± (0; π) trigonometrinëmis funkcijomis lentelæ: Funkcija

sin β

β

π α 180° α

α

π+α 180°+α

2π α 360° α

sin α

cos β

cos α

tg β ctg β

ctg α

π 2 u þ d u o t i s. Yra þinoma, kad M1(cos α; sin α), α ∈  0;  , ∠ AON1 = 2   π 3π π 3 π = − α, ∠ AON 2 = + α, ∠ AON3 = − α, ∠ AON 4 = + α. Pagráskite ðiuos 2 2 2 2 sàryðius:

π −α 2

π +α 2

3π −α 2

3π +α 2

90° α

90°+α

270° α

270°+α

sin β

cos α

cos α

cos α

cos α

cos β

sin α

sin α

sin α

sin α

tg β

ctg α

ctg α

ctg α

ctg α

ctg β

tg α

tg α

tg α

tg α

β Funkcija

130

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Abiejose lentelëse pateikti sàryðiai vadinami red÷kcijos fòrmulëmis.

Remdamiesi jomis, bet kurio kampo trigonometrines funkcijas galime iðreikðti teigiamojo smailiojo kampo trigonometrinëmis funkcijomis. Neiðsigàskite tø formuliø atsiminti nereikia, uþtenka þinoti jø sudarymo taisyklæ, vadinamà red÷kcijos taisyklç: prieð redukuotàjà funkcijà raðomas toks pat þenklas, kurá turi pradinë funkcija, kai α yra I ketvirèio kampas; jeigu formulëje pavartoti kampai π¤α ir 2π α, trigonometrinës funkcijos pavadinimas nekeièiamas, jeigu 3π π ± α keièiamas (sinusas á kosinusà, kosinusas á si± α ir 2 2 nusà, tangentas á kotangentà, kotangentas á tangentà). Ðià taisyklæ toliau plaèiai taikysime prastindami reiðkinius, apskaièiuodami jø reikðmes ir pan.

P a s t a b o s. 1) Kai kampø modulis yra didesnis uþ 2π, arba 360°, teisingos ðios lygybës: sin (2πn+α)=sin α, cos (2πn+α)=cos α.

2) Kai M(x; y) yra bet kuris plokðtumos taðkas, tai spindulio OM bei teigiamosios Ox pusaðës sudaromo kampo α trigonometrines funkcijas galima iðreikðti to taðko koordinatëmis ir atstumu iki koordinaèiø pradþios.

Remdamiesi staèiøjø trikampiø EON ir DOM panaðumu, sudarome proporcijà OD DM OM . = = OE EN ON Paþymëkime: ¨DOM=α, OM=R. Kadangi OE=cos α ir EN=sin α, tai sudarytà proporcijà galime perraðyti taip: y x R = = . cos α sin α 1 Ið èia x=R cos α, y=R sin α.

Vadinasi,

sin α =

y y x x , cos α = , tg α = , ctg α = .

R R x y

Gauti santykiai priklauso tik nuo kampo α didumo, bet nepriklauso nuo spindulio R.

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

131

y Þinodami bet kurio plokðtumos taðko koordinates, ið sàryðio tg α = x galime apskaièiuoti kampo α, kurá sudaro per tà taðkà einanti tiesë su π 3π teigiamàja Ox pusaðe, tangentà, jeigu α ≠ , , ... .

2 2 Ið árëmintø lygybiø matyti, kad bet kurio kampo trigonometriniø funkcijø reikðmiø þenklai pareina nuo x ir y þenklø, t. y. nuo to, kurio ketvirèio yra ðis kampas:

3 p a v y z d y s. Nubraiþykime kampà α, kai: 2 2 a) sin α = 4 ; b) cos α = − 1 ; c) tg α = ; d) ctg α = − .

3 3 5 5 Braiþysime taikydami kampo α sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento apibrëþimus. y , tai brëR þiame apskritimà, kurio spindulys lygus 5, o centras yra koordinaèiø pradþios taðkas O. Randame to apskritimo taðkus B ir C, turinèius ordinatæ, lygià 4. Spinduliø OB ir OC su teigiamàja Ox pusaðe sudaromi kampai ir yra ieðkomieji, taigi ¨AOB=α1, ¨AOC=α2.

a) Kadangi sin α =

b) Ieðkomojo kampo α kosinusas lygus apskritimo, kurio spindulys R=5, taðko abscisës ir spindulio santykiui, todël, norint nubraiþyti nurodytà kampà, reikia rasti tuos apskritimo taðkus B ir C, kuriø abscisë lygi 1. Ðiuo atveju abu kampai yra bukieji: ¨AOB=α1, ¨AOC=α2.

132

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Þinant tangento ar kotangento reikðmæ, patogu brëþti vienetiná apskritimà ir per taðkà A nubrëþtoje liestinëje atidëti tangento ar kotangento reikðmæ. c) Taigi AB= 2 , o ¨AOB=α1, d) Èia AC= 2 , taèiau C yra á 3 3 ¨AOC=α2 yra ieðkomieji kampai. kairæ nuo Oy aðies, nes ctg α<0.

Ieðkomieji kampai yra α1=¨BOC ir α2=¨BOD.

3 u þ d u o t i s. Uþpildæ ðià lentelæ, nurodykite sin α, cos α, tg α ir ctg α reikðmiø intervalus: α

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2 π 3π 3 4

5π 6

π

7π 6

5 π 4 π 3π 3 2 4

5π 3

7π 11π 2π 4 6

1 2

sin α cos α

0

tg α

3

ctg α

1

4 p a v y z d y s. Apskaièiuokime: 31π  41π  ; b) cos  − c) ctg a) 2 sin (− 945°); .  6 6   Sprendimas. Pertvarkæ kiekvienos trigonometrinës funkcijos argumentà, taikysime redukcijos taisyklæ ir lentelëje rasime skaitinæ funkcijos reikðmæ. a) 2 sin (− 945°) = − 2 sin 945° = − 2 sin (2 ⋅ 360° + 225°) = − 2 sin 225° = = − 2 sin (180° + 45°) = − 2 (− sin 45°) = 2 sin 45° = 2 ⋅ 2 = 1; 2 π 41π  41π 5  5π   b) cos  −  = cos 6 = cos  3 ⋅ 2π + 6 π  = cos 6 = cos  π − 6  =    6   

= − cos c) ctg

3 π ; =− 6 2

π π 31π 7π  7π = ctg  π +  = ctg = 3. = ctg  2 ⋅ 2π + = ctg 6 6 6 6  6  

133

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

5 p a v y z d y s. Ar teisingos ðios lygybës: 3 ; 2 b) cos2 253°+cos2 163°+2 sin 47°·sin 43°=2 cos2 2°;

a) cos4 1095° sin4 915°=

19π sin  + 4α   3  π = − cos  2α +  ? c) 6   13π 5π  4 sin  + α  sin  α − 12   12   Sprendimas. a) cos4 1095° sin4 915°=cos4 (3·360°+15°) sin4 (2·360°+195°)= =cos4 15° sin4 195°=cos4 15° sin4 (180°+15°)= =cos4 15° ( sin 15°)4=cos4 15° sin4 15°= =(cos2 15°+sin2 15°)(cos2 15° sin2 15°)= 3 ; =cos2 15° sin2 15°=cos 30°= 2 b) cos2 253°+cos2 163°+2 sin 47°·sin 43°=cos2 (180°+73°)+ +cos2 (180° 17°)+2 sin 47°·sin (90° 47°)=( cos 73°)2+ +( cos 17°)2+2 sin 47°·cos 47°=cos2 73°+cos2 (90° 73°)+ +sin (2·47°)=cos2 73°+sin2 73°+sin 94°=1+sin 94°= =1+sin (90°+4°)=1+cos 4°=2 cos2 2°; sin

c)

19p + 4a Ł 3 ł

p sin 3 2p + + 4a 3 Ł ł =

13p 5p 4 sin + a sin a 12 ł Ł 12 ł Ł

sin

p + 4a Ł3 ł

=-

2 sin

= 5p p - 4 sin p + + a sin -a Ł 12 ł Ł12 ł

p p + 2a cos + 2a 6 6 ł Ł ł Ł

=2 sin

p + 2a 6 Ł ł

2 sin

p + 2a 6 Ł ł

p = - cos + 2a . Ł6 ł

Taigi pertvarkydami reiðkinius su bet kurio kampo trigonometrinëmis funkcijomis, keièiame jas smailiojo kampo trigonometrinëmis funkcijomis ir skaièiavimà uþbaigiame arba gautus reiðkinius suprastiname pagal

134

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

þinomas formules. Trumpai tai pateikiame schema ir drauge primename svarbiausias formules: Pasirenkame α α>0

Taip

Ne

α funkcijà keièiame á α funkcijà α<2π

Taip

Ne

Keièiame α=2πn+ϕ, n ± Z, 0<ϕ<2π Redukuojame Apskaièiuojame funkcijos reikðmæ arba reiðkiná pertvarkome pagal kitas formules

sin2 α+cos2 α=1, tg α·ctg α=1, 1 1 + tg 2 α = , cos2 α 1 , 1 + ctg 2 α = sin2 α sin (α¤β)=sin α cos β¤cos α sin β, cos (α¤β)=cos α cos β m sin α sin β, sin 2α=2 sin α cos α, cos 2α=cos2 α sin2 α, 2 tg α , 1 − tg 2 α 1+cos 2α=2 cos2 α, 1 cos 2α=2 sin2 α. tg 2α =

4 u þ d u o t i s. Remdamiesi kampø α ir β algebrinës sumos sinuso ir kosinuso formulëmis, árodykite trigonometriniø funkcijø sandaugos keitimo suma ir sumos keitimo sandauga formules: 1 (sin (α + β) + sin (α − β)), 2 1 cos α cos β = (cos (α + β) + cos (α − β)), 2 1 sin α sin β = (cos (α − β) − cos (α + β)); 2

sin α cos β =

6

α±β αmβ cos , 2 2 α+β α −β cos α + cos β = 2 cos cos , 2 2 α+β α−β cos α − cos β = − 2 sin sin .

2 2

sin α ± sin β = 2 sin

p a v y z d y s. Pertvarkæ reiðkiná, apskaièiuokime jo reikðmæ:

sin α + sin β , kai α + β = 2π , α − β = π ; sin α − sin β 3 3 sin 2α + sin 4α + sin 6α , kai α=10°. b) 4 cos α cos 2α α +β α −β π π sin cos sin α + sin β 2 sin 2 cos 2 3 6 Sprendimas. a) = = = sin α − sin β α −β α+β π π sin cos 2 sin cos 6 3 2 2 π π = tg ⋅ ctg = 3 ⋅ 3 = 3; 3 6

a)

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

b)

135

sin 2α + sin 4α + sin 6α (sin 2α + sin 4α) + sin 6α = = 4 cos α cos 2α 4 cos α cos 2α =

2 sin 3α cos α + 2 sin 3α cos 3α 2 sin 3α (cos α + cos 3α = 4 cos α cos 2α 4 cos α cos 2α

=

sin 3α ⋅ 2 cos 2α cos α 1 = sin 3α = sin 30° = .

2 cos α cos 2α 2

7 p a v y z d y s. Apskaièiuokime nesinaudodami lentelëmis bei skaièiuotuvu, bet pakeisdami funkcijø sandaugà jø suma: 3 ; 2 1 1 b) cos2 33° cos 63° cos 3°=cos2 33° (2 cos 63° cos 3°)=cos2 33° ¦ 2 2 1 ¦(cos 66°+cos 60°)= (2 cos2 33° cos 66° cos 60°)= 2 1 1 1 1 1 =  1 + cos 66° − cos 66° −  = ⋅ = .

2 2 2 2 4

a) 2 sin 10° sin 40°+cos 50°=cos 30° cos 50°+cos 50°=cos 30°=

8 p a v y z d y s. Skirtumà sin α cos α iðreikðkime sandauga.

Sprendimas. Kad galëtume taikyti sinusø skirtumo keitimo sandauga formulæ, cos α pakeiskime reiðkiniu sin(90° α). Tada α − (90° − α ) α + 90° − α = sin α cos α=sin α sin (90° α)=2 sin cos 2 2 2 =2 sin (α 45°) cos 45°=2 ⋅ sin (α 45°)= 2 sin (α 45°).

2 α reikðmæ, kai cos α= 0,8 ir 9 p a v y z d y s. Apskaièiuokime tg 2 3π . π<α< 2 Sprendimas. Taikydami formules 1 cos 2α=2 sin2 α ir 1+cos 2α=

α α  α ir cos α →  :  2 2  2 + 1 0,8 α − α α 1 + cos α 1 − 0,8 1 cos = = 0,9; cos2 = = = 0,1. sin 2 = 2 2 2 2 2 2

=2 cos2 α, rasime sin

3π , tai, dalydami ðià nelygybæ ið 2, suþinome, jog 2 π α 3π α . Vadinasi, < < yra II ketvirèio kampas. Todël 2 2 2 4 Kadangi π < α <

sin

3 1 α α , o cos = − 0,1 = − . = 0,9 = 2 2 10 10

136

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

α Dabar jau galime apskaièiuoti tg reikðmæ: 2 α sin α 2 = 3 : −1 = −3. tg = 2 α 10 10 cos 2

Uþdaviniai 238. Ðiuos kampus iðreikðkite laipsniais 0,1° tikslumu: 2π 7π a) b) c) 3π ; d) 0,4π; e) 1; ; ; 3 6 4 239. Iðreikðkite ðiuos kampus radianais, palikdami π: a) 225°; b) 330°; c) 700°; d) 110°; e) 810°.

240. Ar yra toks kampas, kurio sinuso reikðmë lygi: π a) − ; 6

f) 0,6.

2 −2 ; ; c) d) π ; e) − π ?

3 7 3 2 Atsakymà pagráskite.

241. Raskite kampà α (jei toks yra), kurio kosinuso reikðmë lygi:

b)

2 8 ; b) − ; c) 5; d) − 1 .

3 7 3 Atsakymà pagráskite.

242. Ar gali bûti vienetinio pusapskritimio taðko ordinatë lygi: 2 5 ; ; a) b) c) 7; d) 0,7?

2 5 Atsakymà pagráskite.

243. Kokio didumo kampà spindulys OA sudaro su teigiamàja Ox pusaðe, kai taðko A koordinatës yra:

a)

b) A(− 3; 1); c) A( 1; 1)?  1 3  1 1 244. Patikrinkite, ar A(1; 0), B  − ;  ir C  − 2 ; 2  yra vienetinio pus2 2     apskritimio taðkai. Paraðykite kampo AOB (¨AOB=α) sinuso, kosinuso ir kotangento iðraiðkà. a) A(0; 5);

245. Nubraiþykite kampà α, kai cos α = − tg α reikðmæ.

2 , o sin α > 0. Apskaièiuokite 7

3 246. Nubraiþykite kampà α, kai sin α = , o cos α<0. Apskaièiuokite ctg α 5 reikðmæ.

247. Apskaièiuokite: a) sin2 60° cos2 60°+tg2 60°+3 ctg2 60°; b) 2 cos2 45° sin2 45° 3 tg 45°+2 ctg 45°;

137

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

9 , o α ± (90°; 180°); 41 9 d) tg α, kai sin α = − , o α ∈  3π ; 2π  ; 42  2  tg α 1 , kai sin α = − ; e) tg α + ctg α 2

c) ctg α, kai sin α =

f)

ctg α + tg α 4 , kai tg α = . ctg α − tg α 5

248. Suprastinkite: 3π π + α  ; a) sin  − α  − cos (π − α) + tg (π − α) − ctg  2   2 

b) 3 tg 200°+2 sin ( 80°)+ctg 290°+2 cos ( 10°); c) sin (180° α)+cos (90°+α) tg (360° α)+ctg (270° α); d)

tg (180° − α) cos (180° − α) tg (90° − α) ; sin (90° + α) ctg (90° + α) tg (90° + α)

e)

sin (− α) tg (90° − α) cos α ; − + sin (180° − α) ctg α sin (90° + α)

f)

tg (90° + α) ctg (180° − α) + cos 0° ; sin (180° + α) cos (270° − α) ctg 2 (180° − α)

g)

tg (270° + α) ctg (180° − α) + cos 0° ; sin (180° − α) cos (270° + α) ctg 2 α

h)

cos 3° cos 63° − cos 87° cos 27° ; cos 132° cos 72° − cos 42° cos 18°

i) sin 20° cos 10° + cos 160° cos 100° . sin 21° cos 9° + cos 159° cos 99° 249. Apskaièiuokite: a) sin 810°;

b) cos 49π ; 6

c) cos ( 1710°);

e) cos 765°;

f) sin ( 405°);

g) cos 1485°;

i) cos ( 1470°); j) cos 25π ; 6 m) cos

13π ; 3

k) ctg 390°;

7π n) cos ( 1500°); o) cos  −  ;  3 

7π ; 2 17π  h) tg  − ;  4 

d) cos

37π  l) cos  − ;  6 

p) tg 780°.

138

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

250. Persibraiþykite á sàsiuviná lentelæ ir jà uþpildykite: a)

x

π 6

−

π 6

−

7π 6

−

5π 6

23π 6

29 π 6

35π 6

41π 6

π 4

−

π 4

−

5π 4

−

3π 4

15π 4

23π 4

27 π 4

29 π 4

π 3

−

π 3

−

4π 3

2π 3

11π 3

13π 3

19π 3

22 π 3

sin x

b)

x cos x

c)

x tg x

251. Nustatykite skaièiaus þenklà: a) cos 0,8; c) cos (2,4+π); e) sin ( 2,5) cos ( 0,75); g) cos (4,2+π) sin 7,2; i) cos 2 ctg 3; k) cos

11π 4π  − tg  − ; 6  3 

b) cos 5,8; d) cos ( 5,8); f) sin 3 cos 4; h) tg ( 70°)+tg 301°; j) ctg ( 110°)+ctg 10°; l) tg 273° ctg 173°;

4π 11π n) sin 5π tg 7π . ; + cos 3 6 4 4 252. Paraðykite keletà teigiamø kampø, su kuriais: a) sin α<0 ir tg α<0; b) cos α>0, o ctg α<0; c) sin α ctg α<0; d) cos2 α tg α>0; e) sin2 α ctg ( α)<0; f) sin α cos ( α)<0.

253. Apskaièiuokite:

m) ctg

a) cos ( 1125°) 3 cos 765° 2;

b)

3 tg

19π 37π  tg  − ; 3  6 

17π 25π  + 3 sin  − d) 2 − 2 cos (−1845°) cos 750°;  − 2; 4  4  e) sin 395° sin 505°+cos 575° cos 865°+tg 606° tg 1104°; f) sin 1150°+cos 1100°+cos 1060° sin 650° cos 880°.

254. Iðreikðkite sandauga: a) sin 2α+sin 4α; b) cos 2α cos 6α; α c) sin α+2 sin 3α+sin 5α; d) 1 + cos α + cos ; 2 α 2 2 α 2 e) 1+sin 4α 2 cos 2α; f) cos α − 4 sin cos2 ; 2 2

c) sin

139

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

π π  3π − α  − cos2  11π + α  ; g) 1 + 2 ctg  + 3α  cos2  − 3α  ; h) cos2    8 4   8 4  3  6  5π 7π i) cos2  + α  − sin 2  + α  ; 8 8     α k) 1 − sin ; l) 1+2 cos α; 3 255. Suprastinkite:

11π 3π j) 1 + 2 ctg  − 2α  cos2  + 2α  ; 4 4    

m) 1 − 2 sin α. sin 22° + sin 8° ; sin 14°

a)

1 − 2 cos 12° + cos 24° ; 1 + 2 cos 12° + cos 24°

b)

c)

sin 14° + sin 28° − sin 42° ; sin 42° + sin 14° − sin 56°

d) sin3

e)

2 sin 2 70° − 1 ; 2 ctg 115° cos2 155°

f)

g) sin 16°+cos 16° tg 37°;

h)

i) 96 3 sin k)

1 + cos 60° ; ctg 15° − tg 15°

3(1 − 2 sin2 735°);

π π π π π cos cos cos cos ; 48 48 24 12 6

3 cos 50° − 4 sin 140° ; cos 130°

π π π π cos sin ; + cos3 12 12 12 12

j) 2 cos 40° − cos 20° ; sin 20°

l) 8( 3 − 2) sin 52°30′ cos 7°30′.

256. Árodykite tapatybes: sin 4α − sin 2α a) = tg α; cos 4α + cos 2α

b)

sin α + sin

α 1 + cos α + cos 2

3π 1 + sin 2α + sin  − 2α  2   c) = tg α; 3π   1 + sin 2α − sin  + 2α   2  sin (60° + α) α = cos  30° +  ; d) 2  α α   4 sin  15° +  sin  75° −  4 4     e)

f)

sin 2α + sin α + sin 3α 3α ; = sin α 2 4 cos cos α 2 cos2 (270° − α) 1 − = sin (90° + α); cos α cos (360° + α)

π  π  1 g) sin 2 α + cos  − α  cos  + α  = . 3  3  4

α 2

= tg

α ; 2

140

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

257. Apskaièiuokite ðiø reiðkiniø reikðmes: a) cos 2α, kai tg α =

1 ; 5

b) cos (2α π), kai sin α = 0,2; c) cos α, kai tg α = 1 ; 2 2 π 7 α , o α ∈  0;  ; d) 21 cos , kai cos α = 2 18 2  1 7π ; + 2α  , kai cos α = e) tg −2   2  3 1 π f) tg 2  − α  , kai sin 2α = ; 3 4  π π  g) ctg  − α  , kai sin (π α)=a, o α ∈  − π; −  ; 2 2   3π  π ; h) cos  − α  , kai tg (α+π)=a, o α ∈  π; 2  2   π α i) sin α, kai ctg  −  = 3; 4 2 

j)

1 − sin 2 (4α − 540°) , kai sin 2α = 3 2 .

2 cos (4α − 540°)

258. Su kuriomis k reikðmëmis yra teisingos ðios lygybës: a) 2 sin 4α (cos4 2α sin4 2α)=sin kα; 1 b) sin 4 α + sin 2 (2α + π) = (sin α)k ; 4 1 + cos α α c) = k ctg ? sin α 2 Prisiminkite 259. 1) Pagal brëþinio duomenis tûkstantøjø tikslumu apskaièiuokite ðiø reiðkiniø reikðmes: a) cos α; b) sin α; c) tg α.

2) Iðspræskite statøjá trikampá, kurio ¨A=42°, BC=14.

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

141

3) Apskaièiuokite x reikðmæ.

4) Remdamiesi kelio þenklu, 0,01° tikslumu apskaièiuokite kelio posvyrio kampà.

5) Elektra tiekiama namui dviem vienodo ilgio laidais. Remdamiesi brëþiniu, apskaièiuokite, kiek metrø laido panaudota ðiai linijai, jeigu yra þinoma, kad laido álinkis sudaro 5 % tikrojo ilgio.

6) Raskite spindulá OB, kai visi trys apskritimai yra lygûs, o AN=10 cm.

7) Suprastinkite reiðkiná (1 sin α)(1+sin α)+2 cos2 α.

8) Raskite funkcijø f (x)=x2 2 ir g(x)=2x 2 grafikø sankirtos taðkø koordinates.

9) Figûrà sudaro du lygiakraðèiai trikampiai ABC ir MPT, uþeinantys vienas ant kito. Kiekvieno trikampio plotas lygus 12 3 cm2. Apskaièiuokite nuspalvintos dalies plotà.

3 3π , ctg jø didëjimo tvarka.

3 11 1 11) Nubraiþykite kampà ϕ, kai sin ϕ = − .

2

10) Suraðykite skaièius ctg 20°,

142

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

260. 1) Duota:

KP=8 cm, LP=10 cm.

Raskite: sin α, cos α, tg α, ctg α.

2) Nubraiþykite kampà α, kai sin α=0,8.

3) Raskite brëþinyje pavaizduoto trikampio ABC kampo A didumà laipsniais.

4) Iðspræskite statøjá trikampá, kurio (statiniø ilgá suapvalinkite iki deðimtøjø, o kampø didumà iki vienetø): a) a=7 cm, ¨A=48°; b) a=8,2 cm, b=4 cm.

4 .

5 Raskite: cos α, tg α, ctg α.

6) Suprastinkite reiðkinius:

5) Duota:

a)

sin α =

sin 2 α ; 1 − cos2 α

b) (1 + tg 2 α)

1 . cos2 α

7) Apskaièiuokite be skaièiuotuvo: π π + cos .

6 4 8) Laikrodis rodo 19 h 15 min. Kokio didumo kampà sudaro jo valandinë ir minutinë rodyklë?

a) cos 45°+ctg 45° cos 60°;

b) sin

9) Taisyklingosios keturkampës piramidës ðoninë briauna, kurios ilgis 10 cm, sudaro su pagrindo plokðtuma 30° kampà. Apskaièiuokite ðios piramidës ðoninio pavirðiaus plotà.

261. 1) Duota: MP=8 cm, NP=6 cm.

Raskite: sin γ, cos γ, tg γ, ctg γ.

2) Nubraiþykite kampà A, kai cos ¨A=0,6.

3) Raskite brëþinyje pavaizduoto trikampio kampo α didumà laipsniais.

4) Iðspræskite statøjá trikampá, kurio (kraðtiniø ilgá suapvalinkite iki ðimtøjø, o kampø didumà iki vienetø): a) c=1,2 cm, ¨A=25°; b) a=2,4 cm, c=3,5 cm.

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

143

4 .

5 Raskite: sin α, tg α, ctg α.

5) Duota:

cos α =

6) Suprastinkite reiðkinius: 1 − sin 2 α 1 ; . a) b) (1 + ctg 2 α) cos2 α sin2 α 7) Apskaièiuokite be skaièiuotuvo: b) cos π + sin π .

3 4 8) Kiek laipsniø turi kampas, kurá valandinë laikrodþio rodyklë nua) sin 30°+cos 60°+tg 45°;

brëþia per 3 1 h?

6 9) Piramidës pagrindas yra statusis trikampis, kurio áþambinë 4 cm, o smailusis kampas 60°. Dvisienis kampas prie pagrindo lygus 45°.

Apskaièiuokite piramidës tûrá.

7 262. 1) Apskaièiuokite sin α ir cos α, kai tg α = − .

24 2) Apskaièiuokite reiðkinio 3 cos 30° − sin 45° − cos 135° reikðmæ.

3) Suprastinkite reiðkiná cos2 α tg2 α+2 sin2 α.

4) Aikðtës taðke A guli futbolo kamuolys, nutolæs nuo vartø virpstø pagrindø B ir C per 12 m ir 10 m. Vartø plotis 3 m. Futbolininkas spiria kamuolá á vartus. 1° tikslumu apskaièiuokite kamuolio pataikymo á vartus kampà α.

5) Remdamiesi brëþiniu, apskaièiuokite atstumà tarp dviejø taðkø A ir B, esanèiø skirtinguose upës krantuose. Atsakymà uþraðykite 1 m tikslumu.

6) Lygiagretainio kraðtinës yra 8 cm ir 16 cm, o ástriþainë 20 cm ilgio.

1 cm tikslumu apskaièiuokite antros lygiagretainio ástriþainës ilgá.

7) Trikampio kraðtinë yra 18 cm ilgio, o prieð jà esantis kampas lygus 60°. Apskaièiuokite apie tà trikampá apibrëþto apskritimo spindulá.

144

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

8) Iðspræskite trikampá ABC, kurio a=14 cm, b=18 cm, o kampas tarp jø lygus 24°.

5 ⋅ 104 ⋅ (3 ⋅ 105 )2 reikðmæ.

9) Apskaièiuokite reiðkinio 3 ⋅ 10 − 3 10) Duotos penkios atkarpos:

a) Kiek galimybiø yra ið jø parinkti tris atkarpas? b) Kiek trikampiø galima sudaryti ið ðiø atkarpø? c) Kokia tikimybë, kad, parinkæ bet kurias tris atkarpas, sudarysime trikampá?

11) Iðspræskite lygtá (x 1)2=16.

12) Trys lygûs kvadratai ábrëþti á apskritimà taip, kaip 16 parodyta brëþinyje. Kvadrato kraðtinë a = . Ap17 skaièiuokite apskritimo ilgá.

13) SABCD taisyklingoji keturkampë piramidë. a) Nubraiþykite pjûvá, einantá per dvi prieðingas ðonines piramidës briaunas. b) Apskaièiuokite gauto piramidës pjûvio plotà. c) 1° tikslumu apskaièiuokite dvisienius kampus, kuriuos sudaro ðoninës sienos su pagrindo plokðtuma.

263. 1) Duotos dvi trikampio kraðtinës ir vienas kampas: b = 8 3, a=11, ¨C=30°. Apskaièiuokite treèios kraðtinës ilgá ir trikampio plotà.

2) Trikampio kraðtiniø ilgis 9, 5 ir 6. a) Nustatykite trikampio rûðá. b) Apskaièiuokite maþiausià trikampio kampà.

3) Duotas trikampis ABC, kurio AB=3 cm, BC=6 cm, ¨A=150°. Apskaièiuokite AC. 4) Lygiaðonio trikampio ðoninë kraðtinë lygi 32, o kampo tarp ðoniniø kraðtiniø kosinusas lygus 0,28. Apskaièiuokite to trikampio plotà.

5) Atstumas nuo stadiono iki parko lygus 1 km, o nuo parko iki baseino 1,2 km. Ar atstumas nuo baseino iki stadiono gali bûti lygus 3 km? Kodël?

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

145

6) Upës plotis lygus 6 m. Kuriuo atstumu vienas nuo kito Justas ir Aidas turi atsistoti ant kranto, kad medá, augantá kitame upës krante, Justas matytø 52° kampu, o Aidas 37° kampu? Atsakymà suapvalinkite iki deðimtøjø.

7) Ið 20 m aukðèio bokðto virðûnës (taðko A) upës taðkas C matomas 45° kampu, o taðkas B 60° kampu. Apskaièiuokite upës plotá. Atsakymà uþraðykite 1 m tikslumu.

8) Ritinio aðinio pjûvio ploto ir pagrindo ploto santykis lygus 4 : 3 π.

Raskite kampà tarp ritinio aðinio pjûvio ástriþainës ir pagrindo plokðtumos.

Atsakymai 3 1 1 ; e) 1 ; f ) 4 5 . 248. a) 2 cos α; b) 2 tg 20°; 247. a) 4 ; b) − ; c) − 4 4 ; d) − 2 9 2 4 9 187 4 4 1 ; g) ; h) tg 24°; i) 1. 249. c) 0; h) 1; m) ; p) 3. c) 2 tg α; e) 1; f ) 2 2 sin 2α sin 2α 2 2 4− 3  2 π 253. b) − 3; d) + 3α  ; i) sin 2α. 255. e) 1; ; e) 2. 254. f ) cos 2α; g) 2 cos  2 2  12  12 1 ; b) 0,6; c) 0,6; d) 17 ; e) 8; f ) 3 ; g) 1; h) 1,5; i) 9; j) 3; k) 1; l) 2. 257. a) 13 2 4 a a f ) 0,5; g) − ; h) − ; i) 0,8; j) 8. 258. a) Su k=8; b) su k=2; c) su k=1.

1 − a2 1 + a2

Grupinio darbo uþduotys 1. 1) Iðreikðkite sandauga: a) sin α+cos α; c) cos 2α+cos 6α+cos 10α+cos 14α;

b) sin 3α+sin 5α; d) cos2 3α cos2 2α.

146

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

2) Suprastinkite reiðkinius: a) c)

e)

sin (α + β ) − cos α sin β sin (α − β ) + cos α sin β

b) cos 32° cos 58° sin 212° cos 32°;

;

cos α ; α α cos + sin 2 2 1 + cos ( π + α ) sin ( π − α )

d)

;

sin 2α ; 1 + cos2α

f) 4 cos

2π + α 2π − α α cos cos .

4 4 2

3) Árodykite tapatybes: a) sin 2α tg α=cos 2α tg α;

b) ctg α tg α =2 ctg α.

2 2

c) 3+cos 4α 4 cos 2α 8 sin4 α=0;

d)

ctg α e) = cos2 α; ctg α + tg α

3π 1 + cos  − 2α  2   = 1. f) π π     tg  − α  sin  − 2α  4  2 

2. 1) Iðreikðkite sandauga: a) sin 40°+cos 16°; c) sin 5α sin 6α sin 7α+sin 8α;

ctg α + ctg 3 α = ctg 4 α; tg 3 α + tg α

b) cos 2α cos 4α; d) sin2 α sin2 2α.

2) Suprastinkite reiðkinius:

c) e)

b)

2cos2 α tg α ; cos2 α − sin 2 α sin (α − β ) + 2 cos α sin β

2 cos α cos β − cos (α − β )

(sin α + cos α )

2

sin130° + sin110° a) ; cos130° + cos110°

1 + sin 2α

;

d) sin 137° cos 52° cos 137° sin 128°; ;

f) 2cos2 π + α − 2sin 2 π + α .

4 4

3) Árodykite tapatybes: a) 4 sin α cos α cos 2α=sin 4α; c)

1 1 ; − 1 − tg ϕ 1 + tg ϕ

e) 8 cos4 α 8 cos2 α+1 cos 4α=0;

b)

1 − cos2α + sin 2α ; 1 + cos2α + sin 2α

d)

cos2 α − sin 2 α = sin 2 α cos2 α; ctg 2 α − tg 2 α

3π 1 + cos  − 2α  2   = 1. f) π π   tg  α −  sin  2α −  4 2  

147

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

3. 1) Iðreikðkite sandauga: a) sin 45° cos 15°; c) sin 2α+sin 4α+sin 6α+sin 8α; 2) Suprastinkite reiðkinius:

b) cos 4α cos 2α; d) sin2 α cos2 2α.

1 + cos2ϕ ; 1 − cos2ϕ sin 4ϕ ; d) 2cos2ϕ cos ( α + β ) + sin α sin β . f) cos (α − β ) − sin α sin β

a) cos68° − cos22° ; sin 68° − sin 22°  sin α + sin α  sin 2α; c)    1 + cos α 1 − cos α 

b)

e) 1+tg2 β (sin β 1); 3) Árodykite tapatybes: a)

cos β cos β − = 2 tg β; 1 − sin β 1 + sin β

b)

sin α ; 2 α 2 cos 2 cos2α − cos4α e) = tg 3α tg α; cos2α + cos 4α

c)

d) (sin α+cos α)2 sin 2α=1; f)

4. 1) Iðreikðkite sandauga: a) cos π − cos π ; 10 20 c) cos 2α+cos 4α cos 6α cos 8α; 2) Suprastinkite reiðkinius:

d) cos2 2α sin2 α.

sin10° + sin 50° − cos20° ; 1 − cos85° − cos35° + cos25°

b)

c)

2sin α + sin 2α ; 2sin α − sin 2α

d)

e)

e) ctg α sin 2α=ctg α cos 2α;

1 − 2cos2 2α = 1. π    2π 2 tg  − 2α  cos  − 2α  4  4 

b) sin 6α sin 4α;

a)

sin 3 α + cos3 α + sin α cos α; sin α + cos α 3) Árodykite tapatybes: tg α a) = sin 2 α; tg α + ctg α cos3 α − sin 3 α = cos α − sin α; c) 1 + sin α cos α

1 + tg 2 α 1 = ; 2 α cos2 1 − tg α

f)

b)

1 + cos2α ; sin 2α cos (α − β ) − 2sin α sin β

2sin α cos β − sin (α − β )

;

sin 2α + sin 6α . cos2α + cos6α

sin 2 α − cos2 α + cos4 α = tg 4 α; cos2 α − sin 2 α + sin 4 α

d) ctg2 α cos2 α ctg2 α cos2 α=0; f)

2 cos2 α − 1 1 = .

2 π π 4 tg  − α  cos2  − α  4  4 

148

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

5. 1) Iðreikðkite sandauga: a) cos2 α cos2 2α; b) cos 2α cos 6α+cos 10α cos 14α; d) 1 − ctg α +

c) (sin α sin β)2+(cos α cos β)2;

1 . sin α

2) Suprastinkite reiðkinius: a) 1+cos4 α sin4 α+cos (π+2α) sin 2α; b) 1 cos 8α 8 sin2 2α; c) sin 2α ctg 2α ctg 4α sin 2α;

d)

1 + cos α 1 + cos 2α . ⋅ sin 2α cos α

3) Árodykite tapatybes: a) 3+cos 4α 4 cos 2α 8 sin4 α=0; (cos2 2α − sin 2 α) sin α = ctg 3α; b) (cos2 α − cos2 2α) cos α c)

ctg α + ctg α = ctg 4 α; tg 3 α + tg α 3

d)

  3 π tg  + α   1 + cos  π − 2α   4  2  π sin  2α −  2  

6. 1) Iðreikðkite sandauga: α 3 a) sin 2  α + π  − sin 2  − π  ; 2  2 

= −1.

b) sin 5α sin 6α sin 7α+sin 8α;

c) (sin 2α sin α)2 (cos 2α+cos α)2;

d)

sin α + tg α . cos α − sin 2 α

2) Suprastinkite reiðkinius: a) cos4 2α sin4 2α+sin2 2α;

1 1    + ctg 2α   1 − + ctg 2α  ; b) sin2 2α  1 + α α sin 2 sin 2   

π c) cos 2α ctg  − 2α  − sin 2α; 2  

d)

1 + cos α α ⋅ tg 2 − cos2 α.

1 − cos α 2

3) Árodykite tapatybes: a) 8 cos4 α 8 cos2 α+1 cos 4α=0; 1 + cos 3α − cos2 2α − cos2 α α = 2 sin 2 ; cos 3α 2   3 π ctg  − α   1 + cos  π − 2α   4 2     2 cos2 α − 1   1 = sin 4α; = 1. c) d) ctg α − ctg 2α 2 π   sin  2α +  2  7. 1) Iðreikðkite sandauga: a) cos2 4α 2 cos2 2α+1; b) sin 2α+sin 4α+sin 6α; 2 2 c) sin α sin 2α; d) 1 cos α+sin (90° 2α).

b)

149

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

2) Suprastinkite reiðkinius: a) 1 − sin 4 c)

2α 2α − cos4 ; 3 3

sin 2α + cos 2α ctg α ; sin 2α − cos 2α tg α

3π  ; b) 2 sin α − 2 sin3 α + sin α sin  2α + 2   1 + sin 3α − cos 3α . d) 1 + cos 3α + sin 3α

3) Árodykite tapatybes: a) ctg α sin 2α cos 2α ctg α=0; b)

sin 2 4α − cos2 2α + cos 6α = 2 sin 2 α; cos 6α

c)

tg α ctg α − = −2 ctg 2α; 1 + ctg 2 α 1 + tg 2 α

d)

1 − 2 cos2 2α = 1. π π 2 tg  − 2α  sin2  + 2α  4  4 

8. 1) Iðreikðkite sandauga: a) 2 cos2 α+cos2 2α 1;

b) sin 2α+cos 4α sin 6α;

c) cos2 2α sin2 α;

d) 1+sin α+cos α+tg α.

2) Suprastinkite reiðkinius: a) 1 − cos4 α − sin 4 α ; 2 2

π b) cos 2α cos α + 2 sin  + α  − 2 cos3 α; 2 

α 2; c) α sin α − cos α tg 2

d)

sin α + cos α ctg

1 + cos 4α + sin 4α .

1 + sin 4α − cos 4α

3) Árodykite tapatybes: a) ctg2 α cos2 α ctg2 α cos2 α=0; b)

cos2 2α − sin 2 α + cos 3α α = 2 cos2 ; cos 3α 2

c)

tg α = cos 2α; tg 2α − tg α

9. 1) Iðreikðkite sandauga: a) cos2 2α 2 cos2 α+1; c) cos2 α sin2 2α;

d)

2 cos2 α − 1 1 = .

2 π    2 π 4 tg  − α  sin  + α  4 4    

b) sin α+sin 2α+sin 3α; d) 1 sin α+cos α tg α.

150

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

2) Suprastinkite reiðkinius: a) sin4 α+cos4 α 1; c)

sin 2α − cos 2α tg α ; sin 2α + cos 2α ctg α

b) 2 sin α − 2 sin3 α + sin α sin  2α + 3π  ; 2   1 + sin 4α − cos 4α d) .

1 + cos 4α + sin 4α

3) Árodykite tapatybes: a) tg2 α sin2 α tg2 α sin2 α=0; c)

tg α ctg α + = sin 2α; 1 + tg 2 α 1 + ctg 2 α

b) d)

10. 1) Iðreikðkite sandauga: a) cos2 α sin2 2α; b) sin (5α+β)+sin (3α+β)+sin 2α; c) (sin 3α sin α)2+(cos 3α+cos α)2; d) tg4 α 4 tg2 α+3.

sin 2 α − cos2 2α − cos α = −1; cos2 α − sin 2 2α + cos α 1 − 2 cos2 α = −1. π    2 π 2 tg  − α  sin  + α  4  4 

2) Suprastinkite reiðkinius: 3 a) 2 − 3 cos2 α − cos4  π − α  + cos4 α; 2  1 1    + tg α   1 − + tg α  ; b) cos α  1 + cos cos α α    1 + sin 2α − cos 2α c) cos 4α sin 4α ⋅ ctg 2α; d) .

1 + sin 2α + cos 2α

3) Árodykite tapatybes: a) 1 cos2 α sin2 2α+sin α sin 3α=0; b)

(sin 2 2α − sin 2 α) cos 3α = tg α; (cos2 α − sin2 2α)sin 3α

c)

ctg α − ctg 3 α = ctg 4 α; tg 3 α − tg α

d)

  3 π ctg  + α   1 − cos  π − 2α   4  2 

5 cos  2α − π  2   11. 1) Iðreikðkite sandauga:

= ctg 2α.

a) sin 2 (π − 2α) − 3 cos2 (π + 2α); b) sin α+sin 3α+sin 7α+sin 5α; c) sin2 α sin2 β; d) 1 cos (270° α)+cos (540°+α) tg α.

151

Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos

2) Suprastinkite reiðkinius: a) 1 2 cos2 α sin4 α+cos4 α; b) cos2 2α cos2 α+sin α sin 3α; c)

sin 2α − cos 2α tg α ; sin 2α+cos 2α ctg α

d)

3 − 4 cos2 2α + cos 4α .

3 − 4 sin 2 2α − cos 4α

3) Árodykite tapatybes: a) tg 2α sin 4α+cos 4α tg 2α=0; b)

cos2 2α − sin 2 α + cos α 3α = 2 cos2 ; cos α 2

c)

cos 4α tg 2α − sin 4α = − tg 2 2α; cos 4α ctg 2α + sin 4α

π 5 2 ctg  + 4α  cos2  π − 4α  4  4  = 1. d) 2 1 − 2 sin 4α

12. 1) Iðreikðkite sandauga: a) sin 2α 2 cos2 α+1; c) cos2 2α sin2 α; 2) Suprastinkite reiðkinius: a) sin4 α cos4 α+cos2 α;

b) sin 2α+sin 3α+sin 5α; d) 1 cos α+sin α tg α. 3  b) 2 sin α cos2 α − cos  π + α  + 2 sin3 α; 2 

sin 2α + cos 2α ctg α 4 sin 2 α − 1 + cos 2α ; d) . α 4 cos2 α − cos 2α − 1 cos α + sin α tg 2 3) Árodykite tapatybes: a) ctg α sin 2α cos 2α ctg α=0;

c)

b) c)

sin 2 2α − cos2 α + cos 3α α = 2 sin 2 ; cos 3α 2 ctg α tg α − = 2 ctg 2α; 1 + tg 2 α 1 + ctg 2 α

d)

1 − 2 cos2 2α π 2 tg  − 2α  sin 2 4 

 π + 2α    4 

= −1.

13. 1) Iðreikðkite sandauga: a) 1+sin α+cos α; b) cos 3α+sin 4α+cos 7α; c) (sin 3α sin α)2+(cos 3α cos α)2; d) 2 tg 4α ctg 4α.

2) Suprastinkite reiðkinius: a) cos4 α sin4 α+sin 2α; 3 5 b) 4 cos2  2α − π  + cos (2α − π) + sin  π − 6α  ; 2   2  c) sin 2α tg α cos 2α tg α; d) 1 − cos 2α + cos 4α . sin 4α − sin 2α

152

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

3.2. TRIGONOMETRINIØ FUNKCIJØ GRAFIKAI, SAVYBËS, TAIKYMAS Funkcija O = sin N Kaip jau iðsiaiðkinome, vienetinio apskritimo judanèio spindulio galo ordinatë yra sinusas kampo, kurá tas spindulys sudaro su teigiamàja Ox pusaðe. Grafiðkai iliustruokime ordinatës kitimà, paþymëdami spindulio sudaromà kampà raide x ir iðreikðdami já radianais. Pirmiausia nubraiþykime kreivës dalá, kurios x ± [0; 2π]. Detaliai tai jau darëme X klasëje, todël dabar tik prisiminsime.

Koordinaèiø plokðtumoje nubrëþkime vienetiná apskritimà (jo spindulys lygus 1), jo centrà pasirinkdami bet kuriame abscisiø aðies taðke (pavyzdþiui, C). Pradiná apskritimo spindulá CA0 sukime prieð laikrodþio rodykπ π π 2π 5π lës sukimosi kryptá ávairaus didumo kampais x: 0, , , , , , π, 6 3 2 3 6 7π 4 π 3π 5π 11π , , , , ir 2π. Ðis spindulys kaskart sutaps su atitinkamu 6 3 2 3 6 apskritimo spinduliu: CA0, CA1, CA2, CA3, ... . Ordinaèiø aðyje paþymëkime taðkus (0; 1) ir (0; 1), abscisiø aðyje taðkus, atitinkanèius pasirinktas kampo x reikðmes (atsiþvelgdami á tai, kad π£3,14), ir per juos nubrëþkime statmenis abscisiø aðiai.

Ið apskritimo taðkø (spinduliø galø) A0, A1, A2 ir A3 nubrëþæ statmenis abscisiø aðiai, gausime staèiuosius trikampius. Atkarpas, lygias vertikaliesiems jø statiniams, atidëkime statmenyse, nubrëþtuose per abscisiø aðies taðkus, þyminèius atitinkamas kampo x reikðmes. Taip koordinaèiø plokðtumoje gausime taðkus, kuriø ordinatës sutaps su taðkø A0, A1, A2 ir A3 ordinatëmis, o abscisës bus atitinkamos x reikðmës. Linija sujungæ gautus taðkus, turësime tam tikrà kreivæ. Matome, kad, didëjant kampui x, prieð já esantis staèiøjø trikampiø statinis ilgëja, o áþambinë yra tokio pat ilgio, taigi kampui x didëjant, jo sinuso reikðmës didëja.

3π Kai kampas x yra tarp π ir π  2π , 5π ir π  , taip pat tarp π ir 2 6 2  3  3π bei ir 2π, tai atitinkamø apskritimo spinduliø galai yra simetriðki 2

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas

153

taðkams A0, A1 ir A2 atitinkamai spindulio CA3 arba CA6, arba CA0 atþvilgiu. Atsiþvelgdami á tai, koordinaèiø plokðtumoje analogiðkai gauname taðkus, kuriø ordinatës lygios taðkø A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10 ir A11 ordinatëms, o abscisës yra atitinkamos kampo x reikðmës.

Kaip ir anksèiau, sujungæ gautus taðkus, matome, kad, kampui x diπ dëjant nuo iki π, staèiøjø trikampiø vertikalusis statinis trumpëja, nuo 2 3π 3 ilgëja, o nuo π iki 2π vël trumpëja, tuo tarpu áþambinë π iki 2 2 visada lieka tokio pat ilgio.  π 3π  maþëja, Taigi kampui x didëjant, jo sinuso reikðmës intervale  ;  2 2  3π o intervale  ; 2π  didëja.  2  Kaip jau þinome, kampo x reikðmiø modulis gali bûti didesnis uþ 2π ir tada sin (2π _ n+x)=sin x, n ∈ Z, x ∈ [0; 2π].

Tai reiðkia, kad intervaluose [2π; 4π], [4π; 6π], [6π; 8π], ... funkcija y=sin x ágyja tas paèias reikðmes, kaip ir intervale [0; 2π]. Kai pradinis spindulys CA0 sukamas laikrodþio rodyklës sukimosi kryptimi, kampo x reikðmës yra neigiamos, o grafiko taðkai intervale [ 2π; 0] simetriðki koordinaèiø pradþios taðko atþvilgiu tos funkcijos grafiko taðkams intervale [0; 2π]. Intervaluose ..., [ 6π; 4π], [ 4π; 2π] funkcijos grafikas yra toks pat, kaip ir intervale [ 2π; 0]. Ði funkcijos y=sin x savybë, kaip þinome, vadinama periodiðkum÷, o pati funkcija periòdine f÷nkcija.

Dydis T=2πn yra f÷nkcijos periòdas, 2π maþiìusias teïgiamas periòdas.

Atsiþvelgdami á ðià savybæ, galime nubraiþyti funkcijos y=sin x grafikà su visomis x reikðmëmis. Uþtenka intervale [0; 2π] gautà grafikà pakartoti á deðinæ ir á kairæ nuo to intervalo. Kreivë nesibaigia nei teigiamàja, nei neigiamàja Ox aðies kryptimi. Funkcijos y=sin x grafikas vadinamas sinusòide.

Ásigilinæ á grafikà, jame áþvelgsime svarbiausias funkcijos y=sin x savybes: 1) funkcijos apibrëþimo sritis D(y)=( º; +º), arba x ± R; reikðmiø sritis E(y)=[ 1; 1]; 2) funkcijos grafikas yra simetriðkas koordinaèiø pradþios taðko atþvilgiu, taigi funkcija yra nelyginë, nes sin ( x)= sin x.

154

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

3) funkcija yra periodinë ir jos periodas T=2πn, o maþiausias teigiamas periodas T1=2π: sin (x+2πn)=sin x, kai n ± Z; 4) funkcijos nuliai, t. y. taðkai, kuriuose jos grafikas kerta Ox aðá, yra x=0, ¤π, ¤2π, ¤3π, ...; trumpai juos galime nurodyti taip: x=πn; èia n ± Z; 5) kai x ± (0+2πn; π+2πn), funkcija ágyja teigiamas reikðmes, kai x ± (π+2πn; 2π+2πn) neigiamas reikðmes; èia n ∈ Z; 3π π 6) kai x ∈ 0 + 2πn; + 2πn  U  + 2πn; 2π + 2πn  , funkcija yra didë2   2  3π π   janti, kai x ∈  + 2πn; + 2πn  maþëjanti; èia n ∈Z; 2 2  π 7) taðkuose x = + 2πn funkcija y=sin x ágyja didþiausià reikðmæ M = 2 3π π   = sin  + 2πn  = 1, o taðkuose x = + 2πn maþiausià reikðmæ m = 2  2 3π = sin  + 2πn  = −1; èia n ∈ Z. 2  

Remiantis funkcijos y=sin x grafiku, labai patogu spræsti lygtis arba nelygybes, kuriø iðraiðka yra sin x=a arba sin x> <a; èia a ± R. Tokio pavidalo lygtys arba nelygybës vadinamos paprasèiìusiomis trigonomçtrinëmis lygtimîs arba nelyg¾bëmis. Kaip tai daroma, þinote ið X klasës kurso. Dabar ðá sprendimà prisiminsime, be to, susipaþinsime su dar vienu tokios rûðies lygèiø bei nelygybiø sprendimo bûdu vienetinio apskritimo taikymu.

Sprendþiant lygtá sin x=a, toje paèioje koordinaèiø plokðtumoje nubraiþomi kiekvienoje lygties pusëje esanèiø funkcijø grafikai sinusoidë y= =sin x bei tiesë y=a ir randamos visø jø sankirtos taðkø abscisës.

Kadangi sinusas yra periodinë funkcija, tai ieðkoti visø sankirtos taðkø nereikia, pakanka rasti tik tuos, kuriø abscisës priklauso pagrindiniam intervalui [0; 2π] arba bet kuriam kitam 2π ilgio intervalui, ir prie gautø abscisiø reikðmiø pridëti 2πn, n ± Z.

Analogiðkai sprendþiama ir taikant vienetiná apskritimà. Kadangi sin x yra vienetinio apskritimo taðko ordinatë, tai, sprendþiant lygtá sin x=a,

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas

155

reikia rasti tuos apskritimo taðkus, kuriø ordinatë lygi a, kitaip tariant, vienetinio apskritimo ir tiesës y=a sankirtos taðkus. Tam tikslui toje paèioje koordinaèiø plokðtumoje nubraiþomas vienetinis apskritimas x2+y2=1 bei tiesë y=a ir randami per jø sankirtos taðkus A ir B einanèiø spinOx pusaðës sudaromi kampai x1 ir x2=π x1. Paskui, remiantis sinuso periodiðkumo savybe, prie jø pridedama po 2πn, n ± Z. Ið brëþiniø matyti, kad tuo atveju, kai ªaª>1 (t. y. kai a>1, a< 1), funkcijos y=sin x grafikas ir vienetinis apskritimas nesikerta su tiese y=a, todël lygtis sin x=a sprendiniø neturi. Kai ªaª¡1, lygtis turi be galo daug sprendiniø, pavyzdþiui: sin x=1, sin x= 1, sin x=0, 3 π π x=πn, n ± Z. + 2πn, n ± Z; x= x = + 2πn, n ± Z; 2 2 Kai 0<ªaª<1, uþraðyti lygties sprendinius yra sudëtinga, nes ið grafikø sunku tiksliai nustatyti jø sankirtos taðkø abscises, nebent tuos grafikus braiþytume labai tiksliai, pavyzdþiui, ant milimetrinio popieriaus.

Suprantama, kad, kintamàjá x reikðdami radianais, t. y. skaièiumi π (π£3,14), lygties sprendinius galëtume rasti tik nurodytu tikslumu.

1 .

2 1 Tiesë y = kerta vienetiná apskritimà x2+y2=1 arba sinusoidæ y=sin x 2 5π π dviejuose intervalo [0; 2π] taðkuose A ir B. Jø x1 = ir x2 = .

6 6 Pritaikæ periodiðkumo savybæ, randame visø sankirtos taðkø abscises, 1 taigi ir lygties sin x = sprendinius: 2 5π π + 2πn, n ± Z. x = + 2πn arba x = 6 6

1 p a v y z d y s. Iðspræskime lygtá sin x =

156

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Uþraðykime keletà ðios lygties sprendiniø: 5π π π − 6π = − − 5π; − 6 π arba x = 6 6 6 5π π π kai n= 2, x = − 4 π arba x = − 4 π = − − 3π; 6 6 6 5π π π kai n= 1, x = − 2π arba x = − 2π = − − π; 6 6 6

kai n= 3, x =

kai n=0, x =

5π π π + 0 ⋅ π = − + π; + 0 ⋅ π arba x = 6 6 6

kai n=1, x =

π + 2π arba x = 5π + 2π = − π + 3π; 6 6 6

5π π π + 4 π = − + 5π ir t. t. + 4π arba x = 6 6 6 Pastebime, kad jie kinta pagal tam tikrà taisyklæ, kurià galime uþraðyti formule π x = (−1)n ⋅ + πn, n ± Z. 6

kai n=2, x =

Vietoj n áraðykite á jà reikðmes 0, ¤1, ¤2, ¤3, ... ir ásitikinsite, kad ji teisinga. Taigi visus pradinës lygties sprendinius iðreiðkëme smailiuoju π kampu .

6 2 p a v y z d y s. Lygtá sin x = − 1 iðspræskime dviem bûdais.

2 1 bûdas. Toje paèioje koordinaèiø plokðtumoje nubraiþome sinusoidæ y=sin x bei tiesæ y = − 1 ir randame jø sankirtos taðkus. Pagrindiniame 2 intervale tokiø taðkø yra du, o jø abscisës lygios 7π 11π , ir x2 = 6 6 vadinasi, visi lygties sprendiniai yra x1 =

x=

arba

7π + 2 πn 6

11π + 2πn, n ± Z. 6 Iðreiðkæ juos neigiamuoju kampu, gauname: x=

π x = (−1)n ⋅  −  + πn, n ± Z.  6

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas

157

2 bûdas. Toje paèioje koordinaèiø plokðtumoje nubraiþæ vienetiná apskritimà x2+ 1 +y2=1 ir tiesæ y = − , randame jø san2 kirtos taðkus M1 ir M2, t. y. vienetinio ap1 skritimo taðkus, kuriø ordinatë lygi − .

2 Spinduliai OM1 ir OM2 bei teigiamoji Ox pusaðë sudaro kampus 7π π π π = π + , x2 = 2π − , arba x2 = − .

6 6 6 6 Kiekvienà ðiø spinduliø sveikà skaièiø kartø pasukæ kampu 2π prieð arba pagal laikrodþio rodyklës sukimosi kryptá, gausime tuos paèius kampus, taigi π π x1 = + (2n + 1)π, x2 = − + 2πn, n ± Z. 6 6 Sujungæ ðias iðraiðkas á vienà, gauname: x1 =

π x = (−1)n ⋅  −  + πn, n ± Z. 6   Apibendrindami ðiuos pavyzdþius bei remdamiesi sinuso grafiku, galime teigti, kad su visais ªaª¡1 lygtis sin x=a  π π intervale  − 2 ; 2  turi vienintelá spren 

diná skaièiø b. X klasëje já pavadinome skaièiaus a arksinusu (lot. arcus lankas, sinus iðlinkimas) ir paþymëjome arcsin a=b. Priminsime arksinuso apibrëþimà.

Apibrëþimas. Skaïèiaus a arksînusu vadinamas intervalo  − π ; π   2 2   π π kampas, kurio sinusas lygus a ( a ≤ 1 ) ; vadinasi, arcsin a ±  − 2 ; 2  .   1 π 1 π = , o arcsin  −  = − . Tada visus lygèiø 2 6 2 6   1 1 ir sin x = − sin x = 2 2 sprendinius galime uþraðyti formulëmis 1 1 x = (−1)n arcsin + πn ir x = (−1)n arcsin  −  + πn, n ± Z. 2  2 Bendruoju atveju lygties sin x=a (ªaª¡1) sprendinius randame pagal formulæ

Ið èia iðplaukia, kad arcsin

x=( 1)n arcsin a+πn, n ± Z.

158

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

I ð v a d a. Trigonometrinæ lygtá sin x=a galima spræsti trimis lygiaverèiais bûdais: 1) remiantis sinuso grafiku; 2) taikant vienetiná apskritimà; 3) taikant sprendiniø formulæ.

P a s t a b a. Sinuso ir arksinuso reikðmes nurodytu arba pasirinktu tikslumu galima rasti lentelëse arba skaièiuotuvais. Ásiminkite Kai sin x=a (ªaª¡1), tai x=( 1)n arcsin a+πn, n ± Z. Ieðkodami nelygybës sin x> <a sprendiniø, taip pat galime remtis funkcijø y=sin x ir y=a grafikais arba vienetiniu apskritimu. Spræsti nelygybæ, taikydami sinuso grafikà, jau mokame, todël èia iðsiaiðkinsime antràjá sprendimo bûdà, drauge pakartodami ir pirmàjá.

Spræsdami abiem bûdais, ið pradþiø randame nelygybës sprendinius pagrindiniame intervale [0; 2π], paskui, atsiþvelgdami á sinuso periodiðkumo savybæ (pridëdami po 2πn, n ± Z), ir visus nelygybës sprendinius.

Kaip þinome, sprendiniai pagrindiniame intervale yra tam tikrø sinusoidës lankø projekcijos Ox aðyje, pavyzdþiui, nelygybiø sin x>a ir sin x< a sprendiniai intervale [0; 2π] yra brëþinyje pastorintø atitinkamø sinusoidës lankø AB ir CD projekcijos Ox aðyje (paþymëtos maþais pasvirais brûkðneliais), t. y. intervalai (x1; x2) bei (π+x1; 2π x1).

Pagal vienetiná apskritimà nelygybës sprendiniø intervale [0; 2π] ieðkome kaip tam tikrus ðio apskritimo lankus atitinkanèiø kampø. Antai nelygybës sin x>a sprendiniai yra apskritimo taðkai, priklausantys lankui AB, o nelygybës sin x< a sprendiniai lanko CD taðkai. Lankà AB atitinka kampai nuo x1 iki π x1, o lankà CD kampai nuo π+x1 iki 2π x1, kitaip tariant, intervalai

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas

159

(x1; π x1) ir (π+x1; 2π x1). Prisiminæ arksinuso apibrëþimà, ðiuos intervalus galime pakeisti intervalais (arcsin a; π arcsin a) ir (π+arcsin a; 2π arcsin a), be to, dar atsiþvelgæ á sinuso periodiðkumo savybæ, intervalais (arcsin a+2πn; π arcsin a+2πn) ir (π+arcsin a+2πn; 2π arcsin a+2πn), n ± Z. teisinga su x ± R. Akivaizdu, kad tuo atveju, kai a>1, nelygybë sin x¢a sprendiniø neturi, nes tiesë y=a nei kerta, nei lieèia sinusoidæ, o nelygybë sin x¡a yra Kai a< 1, nelygybë sin x¡a sprendiniø neturi, o nelygybë sin x¢a yra teisinga su x ± R. 3 p a v y z d y s. Iðspræskime nelygybes: 1 1 a) sin x ≥ ; b) sin x < .

2 2 Sprendimas. a) 1 bûdas. Pasinaudokime vienetiniu apskritimu. Pradinës nelygybës sprendiniai yra taðkai, 1 kuriø ordinatës ne maþesnës uþ , 2 taigi jie sudaro pastorintà apskritimo lankà AB kartu su taðkais A ir B (nes nelygybë negrieþta), todël x1 ≤ x ≤ π x1.

Atsiþvelgæ á sinuso periodiðkumà ir 1 π á tai, kad x1 = , nelygybës sin x ≥ sprendinius galime uþraðyti nelygybe 2 6 π 5π + 2 πn ≤ x ≤ + 2 πn, n ∈ Z , 6 6 arba intervalu 5π π  + 2πn  , n ∈ Z. x ∈  + 2πn; 6 6   2 bûdas. Remkimës sinuso grafiku. Ðios nelygybës sprendiniai bus in1 tervalai, kuriuose sinusoidë yra virð tiesës y = : 2

160

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Taigi juos galime paraðyti nelygybe

arba intervalu

π 5π + 2πn ≤ x ≤ + 2πn, n ∈ Z , 6 6

5π π  + 2πn  , n ∈ Z. x ∈  + 2πn; 6 6 

1 2 sprendiniai yra intervalai, kuriuose sinusoidë iðsidësèiusi þemiau tiesës 1 y = , tai ið brëþinio matyti, kad nelygybës sprendinius galime uþraðyti 2 trejaip:

b) Pasinaudokime a pavyzdþio brëþiniu. Kadangi nelygybës sin x <

π    5π  + 2πn; 2π + 2πn  , n ∈ Z ; x ∈  2πn; + 2πn  U  6    6  13π  5π  + 2πn; + 2πn  , n ∈ Z ; x∈ 6  6  π  5π  + 2πn; + 2πn  , n ∈ Z. x∈− 6 6  

Laikykime, kad 0 ≤ a ≤ 1. Tada sin x ≥ a, kai x ∈ [arcsin a+2πn; π arcsin a+2πn]; sin x<a, kai x ∈ (π arcsin a+2πn; 2π+arcsin a+2πn); sin x ≥ a, kai x ∈ [2π arcsin a+2πn; π+arcsin a+2πn]; sin x< a, kai x ∈ (π+arcsin a+2πn; arcsin a+2πn), n ∈ Z.

1 u þ d u o t i s. Remdamiesi funkcijos y=sin x grafiku arba vienetiniu apskritimu, raskite sprendinius: a) lygties

b) nelygybës

1) sin 4x=0

1) sin 4x ≤ 0

2) sin 2x=

3 2

2  x 3) sin  −  = − 2  4

2) sin 3x > 3) sin

3 2

x 2 <− 2 2

161

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas π 1  4) sin  4 x −  = − 6 2  1 5) ªsin 3xª= 4 1 2 x = 6) sin 3 2

π 1  4) sin  4 x −  > − 6 2  1 5) ªsin 2xª> 4 3 2 6) sin x < 4

 3π  7) sin ( π − x ) − cos  − x = 1 2  

7) − 2 sin x > 3

8)

x ≤2 4 9) sin2 x > a, a < 0

8) −

2 sin x = −2

9) sin2 x=a

3 sin

Funkcija y=cos N Vienetinio apskritimo judanèio spindulio galo abscisë yra kosinusas kampo, kurá tas spindulys sudaro su teigiamàja Ox pusaðe. Ðá kampà paþymëjæ raide x ir iðreiðkæ radianais, galime grafiðkai pavaizduoti abscisës kitimà.

2 u þ d u o t i s. Ðá kitimà pavaizduokite savarankiðkai, prisimindami, kaip tai darëte X klasëje, bei remdamiesi ordinatës kitimo apraðu, pateiktu skyrelio pradþioje. Atkreipkite dëmesá á tai, kad vertikaliuose statmenyse reikia atidëti atkarpas, lygias ne atitinkamø taðkø ordinatëms, o abscisëms. Gausite tokià kreivæ:

Ið jos matyti, kad, kampui x didëjant, kosinuso reikðmës intervale (0; π) maþëja, o intervale (π; 2π) didëja.

Kai kampo x reikðmiø modulis yra didesnis uþ 2π, tai cos (2π _ n+x)=cos x, n ∈ Z, x ∈ [0; 2π], vadinasi, intervaluose [2π; 4π], [4π; 6π], ... funkcija y=cos x ágyja tas paèias reikðmes, kaip ir intervale [0; 2π].

Kai pradinis spindulys sukamas laikrodþio rodyklës sukimosi kryptimi,  π  kampo x reikðmës yra neigiamos ir kosinusas intervale  − ; 0  ágyja tei 2 

162

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

π  3π giamas reikðmes, intervale  − ; −  neigiamas reikðmes, o intervale 2 2   3π   2 ; − π − vël teigiamas reikðmes. Taigi funkcijos y=cos x grafiko tað 2   kai intervale [ 2π; 0] yra simetriðki Oy aðies atþvilgiu tos funkcijos grafiko taðkams intervale [0; 2π].

Intervaluose ..., [ 6π; 4π], [ 4π; 2π] funkcijos y=cos x grafikas bus toks pat, kaip ir intervale [ 2π; 0].

I ð v a d a. Kadangi cos (2πn+x)=cos x, kai n ∈ Z, o x ∈ [0; 2π] tai funkcija y=cos x yra periodinë, o maþiausias teigiamas jos periodas lygus 2π.

Funkcijos y=cos x grafikà su visomis x reikðmëmis braiþome panaðiai kaip ir sinuso intervale [0; 2π] gautà jos grafikà pakartodami á deðinæ ir á kairæ nuo pagrindinio intervalo. Funkcijos y=cos x grafikas vadinamas kosinusòide.

Ið grafiko galime nustatyti tokias funkcijos y=cos x savybes: 1) funkcijos apibrëþimo sritis D(y)=( º; +º), arba x ∈ R; reikðmiø sritis E(y)=[ 1; 1]; 2) funkcijos grafikas yra simetriðkas Oy aðies atþvilgiu, taigi funkcija yra lyginë, nes cos ( x)=cos x; 3) funkcija yra periodinë ir jos periodas T=2πn, o maþiausias teigiamas periodas T1=2π: cos (x+2πn)=cos x, kai n ∈ Z; 4) funkcijos nuliai, t. y. taðkai, kuriuose jos grafikas kerta Ox aðá, yra 3π π π , ..., arba trumpiau x = ± (2n − 1); èia n ∈ Z; x=± ,± 2 2 2 π  π  + 2πn  , funkcija ágyja teigiamas reikðmes, kai 5) kai x ∈  − + 2πn; 2 2   3π π  + 2πn  neigiamas reikðmes; èia n ∈ Z; x ∈  + 2πn; 2 2  6) kai x ∈[2πn; π+2πn], funkcija yra maþëjanti, kai x ∈ [π+2πn; 2π+ +2πn] didëjanti; èia n ∈ Z; 7) taðkuose x=2πn funkcija ágyja didþiausià reikðmæ M=cos (2πn)=1, o taðkuose x=π+2πn maþiausià reikðmæ m=cos (π (2n+1))= 1; èia n ∈ Z.

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas

163

Paprasèiausios trigonometrinës lygtys ir nelygybës, kuriø iðraiðka yra cos x=a bei cos x> <a (èia a ∈ R), sprendþiamos remiantis kosinuso grafiku analogiðkai lygèiai sin x=a bei nelygybëms sin x> <a nubraiþomi funkcijø y=cos x ir y=a grafikai, randamos jø sankirtos taðkø abscisës x1 ir x2 pagrindiniame intervale ir, atsiþvelgiant á funkcijos periodiðkumà, uþraðomos visø sankirtos taðkø abscisës.

Beje, atidþiai ásiþiûrëjæ á grafikà, galime pastebëti, kad ðiuo atveju patogiau iðskirti ne pagrindiná intervalà [0; 2π], bet intervalà [ π; π], kuriame sankirtos taðkai x1 ir x3= x1 yra simetriðki Oy aðies atþvilgiu.

Lygties cos x=a, kaip ir lygties sin x=a, sprendinius galima gauti ir taikant vienetiná apskritimà. Kadangi kosinusas yra to apskritimo taðko abscisë, tai, sprendþiant lygtá cos x=a, reikia rasti apskritimo taðkus, kuriø abscisë lygi a, taigi vienetinio apskritimo ir tiesës x=a sankirtos taðkus. Lygties sprendiniai bus per ðiuos taðkus (A ir B) einanèiø spinduliø OA ir OB bei teigiamosios Ox pusaðës sudaromi kampai x1 ir x2 (arba x1 ir x1).

Ið brëþiniø matyti: kai a > 1, lygtis cos x=a neturi sprendiniø, nes tiesë në viename taðke nekerta ir nelieèia kosinusoidës bei vienetinio apskritimo. Kai a ≤ 1, lygtis cos x=a turi be galo daug sprendiniø, mat kosinusas yra periodinë funkcija. Pavyzdþiui: cos x=1, cos x= 1, cos x=0, π x=2πn, n ∈ Z; x=π+2πn=(2n+1)π, n ∈ Z; x= (2n − 1) , n ∈ Z. 2

164

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

1 .

2 1 bûdas. Randame kosinusoidës ir tiesës sankirtos taðkus pagrindi5π π niame intervale. Jø abscisës yra x1 = ir x2 = : 3 3

4 p a v y z d y s. Iðspræskime lygtá cos x =

Atsiþvelgdami á kosinuso periodiðkumà, paraðome visus pradinës lygties sprendinius: π 5π x = + 2πn ir x = + 2πn, n ∈ Z. 3 3 Iðskyræ ne pagrindiná intervalà [0; 2π], o intervalà [ π; π], gautume π π 1 x1 = ir x3 = − , taigi visus lygties cos x= sprendinius uþraðytume 3 3 2 taip: π 5π x = + 2πn arba x = + 2πn, n∈Z. 3 3 arba trumpiau: π x = ± + 2πn, n ∈ Z. 3 2 bûdas. Vienoje koordinaèiø plokðtumoje nubraiþome vienetiná apskritimà 1 x2+y2=1 ir tiesæ x = . Jie susikerta 2 taðkuose A ir B. Lygties sprendiniai bus ðiuos taðkus atitinkantys kampai π π x1 = ir x2 = − x1 = − .

3 3 Atsiþvelgæ á kosinuso periodiðkumà, galime paraðyti visus pradinës lygties sprendinius: π π x = + 2πn ir x = − + 2πn, n ∈ Z , 3 3 arba trumpiau: π x = ± + 2πn, n ∈ Z. 3 Ið funkcijos y=cos x grafiko (þr. p. 163) matyti, kad intervale [0; π] ði funkcija yra maþëjanti ir ágyja visas reikðmes y ∈[ 1; 1], be to, kiekvienà jø tik vienà kartà. Todël su visais a ≤ 1 tame intervale lygtis cos x=a

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas

165

turi vienintelá sprendiná b. Jis, kaip þinome, vadinamas skaièiaus a arkkosinusu (lot. arcus lankas, co su, kartu, sinus iðlinkimas) ir þymimas arccos a=b. Priminsime arkkosinuso apibrëþimà.

Apibrëþimas. Skaïèiaus a arkkòsinusu vadinamas intervalo [0; π] kampas, kurio kosinusas lygus a ( a ≤ 1) ; taigi arccos a ∈[0; π].

2π 2π 1  1 < π , todël arccos  −  = = − ir 0 < 3 3 2  2 4π 1 2π 1 π 1 π = − , galima tik pa= = π − = π − arccos , nes arccos = . Kai cos 3 2 3 3 2 2 3

Pavyzdþiui, þinome, kad cos

4π 4π neegzistuoja, nes > π.

3 3 Dël funkcijos y=cos x grafiko simetriðkumo Oy aðies atþvilgiu lygtis cos x = a 2π ilgio intervale [ π; π] turi du sprendinius x1, 2=± arccos a (sutampanèius, kai a=1), vadinasi, atsiþvelgæ á funkcijos periodiðkumà, visus tos lygties sprendinius randame pagal formulæ

sakyti, kad arccos

x=± arccos a+2πn, n ∈ Z. 4 5 p a v y z d y s. Iðspræskime lygtá cos x = − .

5 Pritaikæ sprendiniø formulæ, gauname:

 4 x = ± arccos  −  + 2πn, n ∈ Z.  5 Skaièiuotuvu randame apytikslæ x0=arccos ( 0,8) reikðmæ, pavyzdþiui, 10 4 tikslumu: x0=2,4981 ± 10 4. Taigi lygties sprendiniai yra x=± x0+2πn, n ∈ Z, x0 ≈ 2,4981.

P a s t a b a. Kai 0 ≤ a ≤ 1, arccos ( a) reikðmæ galime rasti pagal formulæ arccos ( a)=π arccos a, nes cos (π arccos a)= cos (arccos a)= a. Ásiminkite Kai cos x=a ( a ≤ 1) , tai x=± arccos a+2πn, n ∈ Z. Kai 0 ≤ a ≤ 1, tai arccos ( a)=π arccos a.

Nelygybës cos x ≥ a arba cos x ≤ a sprendþiamos panaðiai kaip ir nelygybës sin x ≥ a bei sin x ≤ a, t. y. naudojantis kosinuso grafiku arba vienetiniu apskritimu.

166

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

6 p a v y z d y s. Raskime nelygybës cos x< 0,8 sprendinius.

Nubraiþome kosinusoidæ y=cos x ir tiesæ y= 0,8:

Jø sankirtos taðkø abscises tam tikru tikslumu, pavyzdþiui, 10 3, apskaièiuojame ið brëþinio arba skaièiuotuvu: x1=arccos ( 0,8) ≈ 2,4981 ≈ 2,498; x2=π+(π x1)=2π arccos ( 0,8) ≈ 2 _ 3,1416 2,4981= =3,7851 ≈ 3,785.

Intervale [0; 2π] nelygybei cos x< 0,8 tinka tos x reikðmës, kurios tenkina nelygybæ x1<x<x2, todël visi pradinës nelygybës sprendiniai priklauso intervalams x ∈(arccos ( 0,8)+2πn; 2π arccos ( 0,8)+2πn), n ∈Z. O dabar ðià nelygybæ iðspræskime naudodamiesi vienetiniu apskritimu. Randame jo ir tiesës x= 0,8 sankirtos taðkus A ir B. Juos atitinka pradinio spindulio posûkio kampai x1 ir x2: x1, 2=± arccos ( 0,8) ± 2πn, n ∈ Z, todël nelygybës cos x< 0,8 sprendiniai yra arccos ( 0,8)+2πn<x< arccos ( 0,8)+2πn, n ∈ Z. Kadangi arccos ( 0,8)=π arccos 0,8, tai arba

π arccos 0,8+2πn<x<arccos 0,8 π+2πn, n ∈ Z, arccos 0,8+(2n+1)π<x<arccos 0,8+(2n 1)π, n ∈ Z.

Laikykime, kad 0 ≤ a ≤ 1. Tada cos x ≥ a, kai x ∈ [ arccos a+2πn; arccos a+2πn]; cos x ≤ a, kai x ∈ [arccos ( a)+2πn; π arccos ( a)+2 (n+1)π];

cos x ≤ a , kai x ∈ [arccos a+2πn; arccos ( a)+2πn] U U [ arccos ( a)+2(n+1)π; arccos ( a)+2πn], n ∈ Z.

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas

167

3 u þ d u o t i s. Pasirinkdami jums priimtinà bûdà, iðspræskite: a) lygtá 2x =0 3 2) 2 cos 2x= 5

b) nelygybæ 3x >0 2 2) 2 cos 2x< − 2

1) cos

1) cos

3) 4 cos2 x 1=0

3) 4 cos2 x¢3

1  2x π  − =− 4) cos  2  3 6  3π  5) cos ( π − x ) + sin  − x = 1  2  2 6) cos (40° − x) = 2

2π   4) 2 cos  x − <1 3  

7)

7)

2 cos (30° − x ) = 2

5) cos 5 x > 1 − 5 1 3 3 cos 3 x < 2

6) cos x <

Funkcija O = tg N Dabar per vienetinio apskritimo taðkà A0 nubrëþkime to apskritimo liestinæ l, spindulá CA0 pasukime prieð laikrodþio rodyklës sukimosi kryptá laisvai pasirinkto didumo kampais x ir kaskart gautus spindulius pratæskime, kol jie susikirs su liestine taðkuose A1, A2, A3, A4, A5, A6 ir A7.

Abscisiø aðyje atidëjæ kampø reikðmes (radianais) ir iðkëlæ ið paþymëtø taðkø statmenis Ox aðiai, juose ta paèia tvarka atidëkime liestinës atkarpas A0 A1, A0 A2, ..., A0 A7. Kuo labiau kampas x artës prie staèiojo kampo, π tuo aukðèiau apskritimo spindulys kirs liestinæ, o kai jis bus lygus , tas 2 spindulys pasidarys lygiagretus su liestine, t. y. jos nekirs. Statmenyse atidëtø atkarpø galus sujungæ lanku, nubrëþkime kreivæ. Ji vaizduoja vienetinio apskritimo liestinës atkarpos ilgio y priklausomybæ nuo kampo, kurá sudaro to apskritimo spindulys su teigiamàja Ox pusaðe, kai kampas kinta I ketvirtyje. Analogiðkai gauname ðià priklausomybæ vaizduojanèià π   3π   3π  kreivæ, kai x ∈  ; π  , x ∈  π; ir x ∈  ; 2π  . Remdamiesi nubrëþtu  2  2   2  grafiku, galime teigti, kad intervale [0; 2π] vienetinio apskritimo liestiniø atkarpø ilgis du kartus ágyja tà paèià reikðmæ.

Jeigu pradiná spindulá CA0 pasuktume kampu x pagal laikrodþio rodyklës sukimosi kryptá, tai pratæstas jis susikirstø su liestine taðkuose B1, B2, ..., B7, paskui paeiliui pasikartotø taðkai A1, A2, ... ir vël B1, B2, ... .

Vadinasi, pradiná spindulá CA0 pasukæ prieð arba pagal laikrodþio rodyklës sukimosi kryptá kampu, kuris nuo x arba x skiriasi π kartotiniu, gauname tuos paèius spinduliø sankirtos su liestine taðkus.

168

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Iðreikðkime liestinës atkarpos A0 A=y ilgá taðko M(a; b) koordinatëmis. Ið trikampiø AOA0 ir MON panaðumo iðplaukia, kad A0 A OA0 A A MN = , arba 0 = .

MN ON OA0 ON MN b = = tg x , tai ið proporcijos Kadangi ON a turime: y=tg x.

Taigi nubraiþytas grafikas vaizduoja funkcijà, kuri vadinama kampo x tìngentu. Funkcijos y=tg x grafikas vadinamas tangentòide. Ásiþiûrëjæ á grafikà, galime nurodyti tokias funkcijos y=tg x savybes: 3π π π 1) taðkuose ± , ± , ..., ± (2n − 1), n ∈ N , funkcija yra neapibrëþta, 2 2 2 π  π  todël jos apibrëþimo sritis D ( y ) =  − + πn; + πn  , n ∈ Z ; reikðmiø sritis 2  2  E(y)=( º; +º);

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas

169

2) funkcijos grafikas yra simetriðkas koordinaèiø pradþios taðko atþvilgiu, taigi funkcija yra nelyginë ir tg ( x)= tg x; 3) funkcija yra periodinë ir jos periodas T=πn, o maþiausias teigiamas periodas T1=π: tg (x+πn)=tg x, n ∈ Z; 4) funkcijos nuliai, arba taðkai, kuriuose jos grafikas kerta Ox aðá, yra x=0, ± π, ± 2π, ..., t. y. x=πn, n ∈ Z; π  π   + πn  , funkcija ágyja teigiamas reikðmes, o kai x ∈  − + 5) kai x ∈  πn; 2  2    + πn; πn  , neigiamas reikðmes; èia n ∈ Z;  6) funkcija yra didëjanti visoje savo apibrëþimo srityje.

Funkcijos y=tg x grafikas naudojamas sprendþiant paprasèiausias trigonometrines lygtis ir nelygybes, kuriø iðraiðka tg x=a ir tg x> <a.

Ieðkant lygties tg x=a sprendiniø, nubraiþomi funkcijø y=tg x bei y=a grafikai, randamos jø sankirtos taðkø abscisës bet kuriame π ilgio intervale, pavyzdþiui, in π π tervale [0; π) arba  − ;  , ir, atsiþvelgus  2 2 á tangento periodiðkumà, uþraðomos visø sankirtos taðkø abscisës.

170

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

 π π Intervale  − ;  funkcija y=tg x yra didëjanti ir ágyja visas reikðmes  2 2 y ∈ R, be to, kiekvienà jø tik vienà kartà. Todël kai a bet kuris  π π realusis skaièius, intervale  − ;  lygtis tg x = a turi vienintelá spren 2 2 diná b, vadinamà skaièiaus a arktangentu ir þymimà arctg a=b. Prisiminkime arktangento apibrëþimà.

Apibrëþimas. Skaïèiaus a arktìngentu vadinamas intervalo  π π  π π  − 2 ; 2  kampas, kurio tangentas lygus a; vadinasi, arctg a ∈  − ;  .    2 2

Dël tangento periodiðkumo visi lygties tg x=a sprendiniai apskaièiuojami pagal formulæ x=arctg a+πn, n ∈ Z, a ∈ R. Reiðkinio arctg a reikðmës nurodytu tikslumu randamos ið grafiko, lenteliø arba skaièiuotuvu.

Remiantis tangentoide ir lygties tg x=a sprendiniais, nesunku uþraðyti ir nelygybiø sprendinius: π   + πn  , n ∈ Z ; tg x ≥ a, kai x ∈ arctg a + πn; 2    π  tg x ≤ a, kai x ∈  − + πn; arctg a + πn  , n ∈ Z. 2  

Èia nurodyti intervalai yra tam tikros tangentoidës dalies projekcijos π  π  + πn  , n ∈ Z (brëþinyje Ox aðyje. Pavyzdþiui, tg x ≥ 1, kai x ∈  − + πn; 2  4  atitinkama tangentoidës dalis pastorinta, o jos projekcija paþymëta pasvirais spalvotais brûkðneliais).

Kai tg x=a (a ∈ R), tai x=arctg a+πn, n ∈Z. π   + πn  , n ∈ Z , Kai tg x ≥ a (a ∈ R), tai x ∈ arctg a + πn; 2    π  kai tg x ≤ a (a ∈ R), tai x ∈  − + πn; arctg a + πn  , n ∈ Z.  2 

171

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas

4 u þ d u o t i s. Iðspræskite: a) lygtá 1) tg 2x=0 2) 3 tg 2x = 1 3) 3 tg

2x = −3 3

b) nelygybæ 1) tg 2x<0 2) 3 tg x> − 3 3) ªtg 2xª¢1 1 3

4) tg2 x=3

4) tg 2 x <

 3π  5) 2 ctg  − x = 1  2 

 3π  + x > 1 5) ctg   2 

Funkcija O = ctg N 5 u þ d u o t i s. Laikydamiesi tangento grafiko braiþymo schemos, pavaizduokite vienetinio apskritimo liestinës atkarpos ilgio priklausomybæ nuo spindulio posûkio kampo x, kai liestinë yra lygiagreti su Ox aðimi. Gausite kreivæ, pavaizduotà deðinëje.

Jeigu pradiná spindulá pasuktumëte prieð arba pagal laikrodþio rodyklës sukimosi kryptá kampu, kuris skiriasi nuo x π kartotiniu, gautumëte tuos paèius spinduliø sankirtos su liestine taðkus, kaip ir intervale (0; π).

Liestinës atkarpos A0′ A = y ilgá iðreikðkime taðko M(a; b) koordinatëmis.

Remdamiesi staèiøjø trikampiø AOA0′ ir MOK panaðumu, gauname: A ′ A KM OA0′ A0′ A . = , arba 0 = OA0′ OK OK KM Atsiþvelgæ á kotangento apibrëþimà, KM a = = ctg x ir y=ctg x. turime: OK b Funkcijos y = ctg x grafikas vadinamas kotangentòide.

Funkcijos y = ctg x savybës: 1) funkcijos apibrëþimo sritis D(y)=(πn; π+πn), n ∈ Z; reikðmiø sritis E(y)=( º; +º);

172

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

2) funkcijos grafikas yra simetriðkas koordinaèiø pradþios taðko atþvilgiu, taigi funkcija yra nelyginë ir ctg ( x)= ctg x; 3) funkcija yra periodinë ir jos periodas T=πn, o maþiausias teigiamas periodas T1=π: ctg (x+πn)=ctg x, kai n ∈ Z; 4) funkcijos grafikas kerta Ox aðá taðkuose, kuriø abscisës x = n ∈ Z;

π ( 2n − 1 ) , 2

π π   5) kai x ∈  πn; + πn  , funkcija ágyja teigiamas reikðmes, kai x ∈  + 2 2    + πn; π + πn  neigiamas reikðmes; èia n ∈ Z;  6) funkcija yra maþëjanti visoje savo apibrëþimo srityje.

6 u þ d u o t i s. Lygtá ctg x=a ir nelygybes ctg x ≤ a bei ctg x ≥ a iðspræskite analogiðkai lygèiai tg x=a bei nelygybëms tg x ≤ a, tg x ≥ a ir pagráskite teiginius: kai ctg x=a, kai ctg x ≥ a, kai ctg x ≤ a, tai x=arcctg a+ tai x ∈ (πn; arcctg a+ tai x ∈ [arcctg a+ +πn, n ∈ Z; +πn], n ∈ Z; +πn; π+πn), n ∈ Z. Paraðykite ðiø lygèiø ir nelygybiø sprendinius: 1) ctg 4x=0;

 x 2) ctg  −  = 3;  3

3) ctg

4) ctg2 2x=1;

5) ªctg xª= 2;

 3π  6) 3 tg 2  − x  > −1.  2 

2x < −1; 3

173

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas

Kai a ≤ 1, π π − ≤ arcsin a ≤ , 2 2 0 ≤ arccos a ≤ π; Lygtis

kai a ∈ R, π π − < arctg a < , 2 2 0<arcctg a<π,

kai 0<a ≤ 1, arcsin ( a)=arcsin a, arccos ( a)=π arccos a.

ir jos sprendiniai (n ∈ Z) a ∈( 1; 0) U (0; 1)

a= 1 π + 2 πn 2

a=0

a=1

x=πn

x=

sin x=a

x=( 1)n arcsin a+πn

x=−

cos x=a

x=± arccos a+2πn

x = (2 n + 1 ) π

tg x=a

x=arctg a+πn

x=−

π + πn 4

x = πn

ctg x=a

x=arcctg a+πn

x=−

π + πn 4

x = ( 2n + 1 )

x = (2n + 1 )

π 2

π 2

+ 2 πn

x = 2 πn x=

π 4

+ πn

π π x = + πn 4 2

 2x π  7 p a v y z d y s. Apibûdinkime funkcijà f ( x ) = 3 + 2 cos  + .  3 6 Jos apibrëþimo sritis D(f )=R.  2x π  +  ≤ 1, tai E (f ) galime nustatyti remdamiesi skaiKadangi −1 ≤ cos   3 6 tiniø nelygybiø savybëmis:  2x π  −2 ≤ 2 cos  +  ≤ 2; + 3  3 6  2x π  1 ≤ 3 + 2 cos  +  ≤ 5.  3 6 Taigi E (f )=[1; 5], todël maþiausioji ðios funkcijos reikðmë m=1, o didþiausioji M=5.

Ið funkcijos reikðmiø srities iðraiðkos matyti, kad f (x)>0, kai x ∈ R. Funkcija yra nei lyginë, nei nelyginë, nes   2x π    −2 x π  f ( − x ) = 3 + 2 cos  +  = 3 + 2 cos  −  −  = 6  3   3 6 

 2x π  = 3 + 2 cos  −   3 6

≠ f (x) ≠ − f (x)

Remdamiesi funkcijos f (x)=cos x periodiðkumu, tiriamos funkcijos maþiausià teigiamà periodà T1 nustatome ið sàlygos 0≤

2x π + ≤ 2π, 3 6

174

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

nes tik nuo ðio dydþio priklauso f (x) kitimas. Taigi sprendþiame sudarytà nelygybæ: π 2x π π 2 x 11π − ≤ ≤ 2π − , − ≤ ≤ , 6 3 6 6 3 6 11π π . − ≤x≤ 4 4 11π  π  12π Tada T1 = −−  = = 3π.

4 4  4 Patikrinkime, ar T=3πn yra nagrinëjamos funkcijos periodas:  2 ( x + 3πn ) π  f ( x + 3πn ) = 3 + 2cos  +  = 3 6  π  2x  2x π  = 3 + 2 cos  + 2πn +  = 3 + 2 cos  + + 2πn  = 3 6 3 6      2x π  = 3 + 2 cos  +  = f (x ) .  3 6 Ið tikrøjø nagrinëjamos funkcijos periodas lygus 3πn, n ∈ Z. Atsiþvelgdami á funkcijos f (x)=cos x kitimà pagrindiniame intervale [0; 2π], tiriamos funkcijos maþëjimo ir didëjimo intervalus randame ið ðiø nelygybiø: f (x) yra maþëjanti, kai f (x) yra didëjanti, kai 2x π 2x π 0< + < π, π< + < 2 π, 3 6 3 6 5π 2 x 11π π 2 x 5π , , − < < < < 6 3 6 6 3 6 π 5π 5π 11π − <x< ; <x< .

4 4 4 4  2x π  +  yra maþëjanti, kai Taigi funkcija f ( x ) = 3 + 2 cos   3 6

ir didëjanti, kai

π 5π   + 3πn  , x ∈  3πn − ; 4 4   11π  5π  + 3πn; + 3πn  , n ∈ Z. x∈ 4  4 

Panaðiai galima apibûdinti ir kitas trigonometrines funkcijas.

8 p a v y z d y s. Apskaièiuokime:  π  1 1   1  a) sin  arcsin − arccos  −   = sin  −  π − arccos   = 2 2 6 2       1 π π π  π = sin  − π +  = sin  −  = − sin = − ; 6 3 2 2 2    

175

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas

b) arcsin (sin 5)=arcsin ( sin (2π 5))= arcsin (sin (2π 5))= (2π 3π 5) = 5 2π, nes < 5 < 2π ir todël sin 5 reikia pakeisti sinusu argu2  π π  π π mento, priklausanèio intervalui  − ;  . Kadangi 2π 5 ∈  − ; , o  2 2  2 2 sin (2π 5)= sin 5, tai sin 5= sin (2π 5). π π ≤t≤ 2 2 arccos (cos t)=t, kai 0 ≤ t ≤ π π π arctg (tg t)=t, kai − < t < 2 2

arcsin (sin t)=t, kai −

sin (arcsin t)=t, kai t ≤ 1 cos (arccos t)=t, kai t ≤ 1 tg (arctg t)=t, kai t ∈ R

Ðioje lentelëje pateiktos priklausomybës dar kartà vaizdþiai atskleidþia veiksmø, nusakomø simboliais sin, cos, tg ir arcsin, arccos, arctg atvirkðtiná sàryðá.

9 p a v y z d y s. Iðspræskime lygtá arctg x=2 arcctg x.

Jà pertvarkome remdamiesi kà tik lentelëje pateiktoms formulëms analogiðkomis formulëmis ctg (arcctg t)=t, kai t ∈ R, bei arcctg (ctg t)=t, kai 0<t<π: ctg (arctg x)=ctg (2 arcctg x); 1 1 ctg (arctg x ) = = , x ≠ 0; tg (arctg x ) x cos(2 arcctg x) cos2 (arcctg x)- sin 2 (arcctg x) ctg (2 arcctg x)= = = sin (2 arcctg x) 2 sin (arcctg x)cos(arcctg x)

Taigi pradinë lygtis ágyja iðraiðkà

Jà iðsprendæ, gauname: 3 − x2 = 0, 2x

Ats.:

{−

3 − x 2 = 0,

}

3; 3 .

1 x2 − 1 . = 2x x x 2 = 3,

x = ± 3.

176

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Uþdaviniai 264. Remdamiesi trigonometriniø funkcijø savybëmis, nurodykite ðiø funkcijø apibrëþimo sritá D (y), reikðmiø sritá E (y) ir maþiausià teigiamà periodà T1: 4x 2x a) y=sin 2x ; b) y=cos ; c) y=-- tg ; 3 3 x f) y=2+cos 4x; d) y=ctg 3x ; e) y=3 sin ; 5 π  x π  h) y= ctg  −  ; i) y= 3 sin 3x; g) y= tg  2 x +  ; 3 3 3  3x 3x j) y= cos ; k) y= 3 + 2 tg ; l) y = 1 − 4 sin ( −2 x ) ; 4 5 π  n) y = 5 tg (3 x + 2 ) . m) y= −2 + 3 ctg  x +  ; 6  265. Raskite ðiø funkcijø nulius ir nurodykite x reikðmiø intervalus, kuriuose funkcijos ágyja neteigiamas reikðmes: 3 3x + tg a) y=sin 2x ; b) y=cos 3x ; c) y= ; 3 4 x 2x d) y= ctg ; e) y= 1 + sin ; f) y=1+2 cos 2x ; 2 5 x h) y=1 ctg 2x; i) y=2+sin 2x; g) y=1 + tg ; 4 x x k) y= 3 + tg 2x ; l) y =1 + 2 sin . j) y=2 − 2 cos ; 2 3 266. Nurodykite funkcijø maþëjimo ir didëjimo intervalus: π x 3x  a) y=sin ; b) y = 1 + cos ; c) y=2 + tg  x −  ; 4 2 2   π x  e) y= 3 sin 2x; f) y= 1 − cos ; d) y=ctg  x +  ; 6 3  g) y=3 tg 2x;

h) y=2 ctg 3x.

267. Kiek yra x reikðmiø, su kuriomis ðios funkcijos yra neapibrëþtos: x+2 5 3x + 1 ; b) y= ; c) y= ; a) y= 2 x − cos x x − 2 sin x x − 1) − sin x ( 1 x2 + 1 sin x d) y= 2 ; e) y= ; f) y= ?

2 x − cos x ( x + 1) − tg x tg x − 1 − x 2 Parodykite tai grafiðkai.

268. Kurios ðiø funkcijø yra lyginës, o kurios nelyginës: a) f (x)=2x+sin x;

b) f (x)=2x2+sin 2x;

c) f ( x ) = sin πx ;

d) f (x)=sin (cos x);

e) f (x)=cos (sin x);

f) f (x)=cos (tg x);

177

Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas

1 ; x j) f ( x ) = 1 + sin x2 ;

g) f (x)= cos

sin x ; sin x k) f (x)=tg (x2+2x);

3 ; cos x l) f (x)=cos x, x ∈[0; 2π]?

h) f (x)=

i) f (x)=

269. Pertvarkydami funkcijø iðraiðkas, nustatykite jø reikðmiø sritá: a) f (x)=sin x+cos x; b) f (x)=sin x cos x; 4 4 c) f (x)=cos x sin x; d) f (x)=4 sin x cos x cos 2x; f) f (x)=cos2 (45°+x)+(sin x cos x)2; e) f (x)=5 cos2 x+4 sin2 x; h) f (x)=sin2 (x+45°)+(sin x cos x)2. g) f (x)=cos2 x+sin 2x+sin2 x; 270. Ar reikðmës x1=120°, x2=150°, x3=415°, x4=720° yra ðiø nelygybiø sprendiniai: 1 x a) 0<sin 2x<1; b) −1 ≤ sin ≤ 0; c) − ≤ cos2 x < 0; 2 2 3 x 2x ; d) 1 ≤ tg 3x ≤ 1; e) −2 < ctg < f) − 3 < tg ≤ 3?

2 3 3 Raskite visus ðiø nelygybiø sprendinius.

271. Apskaièiuokite: 1  1  1 a) arcsin − 2 arcsin  −  ; b) 3 arccos 0 − arccos  −  ; 2  2  2

(

)

c) arctg − 3 − 3 arcsin

3 ; 2

d) arcctg 1 − arccos

3 ; 2

2  1 e) arcsin  −  − 2 arcsin + 3 arcsin 1; 2  2  1 2 1 f) arccos  −  − arctg 3 + arccos ( −1).  3 2  2 

272. Pagráskite lygybiø teisingumà ar klaidingumà:  2  3π ; a) arccos  −  =   2  4  1  7π c) arcsin  −  = ;  2 6 5π ; e) arctg − 3 = 6 273. Apskaièiuokite:

(

 a) sin  arcsin    c) cos  arccos  

)

3 1 − arcsin  ; 2 2  2  1  − arccos  −   ; 2  2  

b) arccos

1 π = ; 2 3

π  1 d) arccos  −  = − ; 3  2

f) arcsin 2=0.

 2 1 − arcsin  ; b) cos  arccos 2 2    3 d) cos2 arctg 3 + sin  arccos .  2  

(

)

178

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

279. Raskite x: c) 6 arcsin (x 2+4x 4,5)=π;

1 arccos (2 x − π ) = 0 ; 2 d) 4 arctg (x2 3)= π;

e) 3 arccos (3x+2)=2π;

f) 4 arcctg (2x 2 1)=3π.

a) 3 arcsin (x 1)=π;

280. Apskaièiuokite: a) arcsin (sin 2); c) arccos (cos 3); e) arctg (tg 3);

b)

38π   ; b) arcsin  sin 3   d) arccos (cos 3°);  17π  f) arcctg  tg .

3  

Atsakymai 264. b) T1 = 3π; d) T1 =

π π π + n, n ∈ Z ; i) E ( y ) = − 4; − 2; l) E ( y ) = ; g) x ≠ 12 2 3

π + πn, n ∈ Z ; E ( y ) = ( −∞; + ∞ ) ; T1 = π. 269. e) [4; 5]; f) [0; 3]; g) [0; 2]; 6 1 5π 5π 5 3 ; f) . 273. a) ; d) . 274. c) {− 5; 1}; d) − 2; 2 ; e) − ; h) [1; 2]. 271. e) 2 6 12 6 4 = − 3; 1; m) x ≠ −

{

f) 0. 275. a) π 2; b)

}

π π ; c) 3; d) 3°; e) 3 π; f) − .

3 6

3.3. TRIGONOMETRINËS LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS Ávairios sudëtingesnës lygtys, nelygybës ar jø sistemos, kuriose yra trigonometriniø funkcijø, kaip antai 3  2 3 sin x ⋅ sin y = , ,  cos4 x sin4 x=1, 2 sin2 x cos x ≤ 1, tg x ctg x = 4 3 tg x ⋅ tg y = 3, sprendþiamos pertvarkant jas sudaranèius reiðkinius taip, kad bûtø gautos jau iðnagrinëtos paprasèiausios trigonometrinës lygtys ar nelygybës.

Tam tikslui taikomos þinomos trigonometrijos formulës bei algebriniø lygèiø, nelygybiø ar jø sistemø sprendimo bûdai: kintamojo keitimas, skaidymas daugikliais ir pan. Pateikiame keletà pavyzdþiø.

3 x x x x cos + sin ⋅ cos3 = − .

3 3 3 3 4 Sprendimas. Kairiojoje lygties pusëje prieð skliaustus iðkëlæ bendruosius daugiklius, gauname: 3 x x x x sin cos  sin 2 + cos2  = − .

3 3 3 3 4

1 p a v y z d y s. Iðspræskime lygtá sin 3

179

Trigonometrinës lygtys, nelygybës ir jø sistemos

x x  Kadangi sin 2 + cos2 =1, tai pradinë lygtis ágyja iðraiðkà: 3 3  3 x x . + sin cos = − 3 3 4

Abi ðios lygties puses padauginæ ið 2, turësime: 3 x x cos = − .

3 3 2 2x x 2x 3 cos = sin , todël sin . Ið èia =− 3 3 3 2  3 n = ( −1) arcsin  −  + πn, n ∈ Z ,   2  2sin

x 3 2x 3

Þinome, jog 2sin

2x 3 n +1 = ( −1) arcsin + πn, n ∈ Z , 3 2 2x 3 n +1 π = ( −1) ⋅ + πn, n ∈ Z , ⋅ 3 3 2 3π n +1 π x = ( −1 ) ⋅ + ⋅ n, n ∈ Z. 2 2

2 <−

p a v y z d y s. Raskime nelygybës sin

x x x x cos  sin 4 − cos4  < 2 2 2 2

3 sprendinius, priklausanèius intervalui [ 3π; 2π].

8

Sprendimas. Pirmiausia pertvarkysime kairiàjà nelygybës pusæ, iðskaidydami jà daugikliais: 3 x x  x x  x x sin cos +  sin 2 − cos2  sin 2 + cos2  < − .

2 2  2 2  2 2 8 Kaip þinome, sin 2

x x x x + cos2 = 1, o sin 2 − cos2 = − cos x. Todël 2 2 2 2 − sin

3 x x cos cos x < − .

2 2 8

Padauginkime abi nelygybës puses ið 2 ir pritaikykime dvigubo kampo sinuso formulæ. Turësime: 3 sin x cos x > .

4 Ðià nelygybæ padauginæ ið 2, gauname paprasèiausià trigonometrinæ nelygybæ 3 sin 2 x > .

2

180

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Jos sprendinius paraðykime remdamiesi vienetiniu apskritimu arba grafiku:

π 2π + 2 πn < 2 x < + 2 πn, n ∈ Z , 3 3 π π + πn < x < + πn, n ∈ Z. 6 3 Imdami ávairias n reikðmes ið ðios iðraiðkos rasime nurodytam intervalui priklausanèius nelygybës sprendinius: π π 7π 4π <x< ; <x< ; kai n=1, tai kai n=0, tai 6 3 6 3 13π 7π kai n=2, tai (netinka); <x< 6 3 5π 2π 11π 5π kai n= 2, tai − kai n= 1, tai − <x<− ; <x<− ; 6 3 6 3 17π 7π kai n= 3, tai − (netinka). <x<− 6 3 5π   5π 2π   π π   7π 4 π   11π ; − Ats.: x ∈  −  U  − 6 ; − 3  U  6 ; 3  U  6 ; 3 .

6 3        

3 p a v y z d y s. Iðspræskime lygtis: b) cos2 2x+cos2 3x = 1. a) 1 4 sin 4x=(sin x+cos x)2; Sprendimas. a) Pertvarkæ lygtá, gauname: 1 4 _ 2 sin 2x cos 2x=sin2 x+2 sin x cos x+cos2 x, 1 8 sin 2x cos 2x=1+sin 2x, 8 sin 2x cos 2x sin 2x=0, sin 2x (8 cos 2x+1)=0.

Ið èia

sin 2x=0 arba Sprendþiame kiekvienà lygtá: 2x=πn, x=

π ⋅ n, n ∈ Z ; 2

8 cos 2x+1=0.

1 cos2 x = − , 8 1  2 x = ±  π − arccos  + 2πk, k ∈ Z , 8  1 1 x = ±  π − arccos  + πk, k ∈ Z. 2 8

Trigonometrinës lygtys, nelygybës ir jø sistemos

181

b) Pirmiausia paþeminame lygties laipsná, padvigubindami kampus, t. y., padauginæ abi lygties puses ið 2, taikome trigonometrijos formulæ 2 cos2 α=1+cos 2α: 1+cos 4x+1+cos 6x=2, cos 4x+cos 6x=0.

Paskui sumà iðreiðkiame sandauga: 2 cos

4 x + 6x 4 x − 6x cos = 0, 2 2 cos 5x cos x=0.

Ið èia cos 5x=0 arba cos x=0. Iðsprendæ kiekvienà lygtá, gauname: π π 5 x = + πn, n ∈ Z , x = + πn, n ∈ Z. 2 2 π πn + , n ∈ Z; x= 10 5 π  1 1 Ats.: a)  n; ±  π − arccos  + πk  , n, k ∈ Z ; 2 8 2   π πn π  ; + πn  , n ∈ Z. b)  + 10 5 2 

4 p a v y z d y s. Raskime didþiausià neigiamà lygties 2 sin2 x=3 cos x sprendiná.

Sprendimas. Sinusà iðreiðkæ kosinusu (sin2 x=1 cos2 x), gauname: 2(1 cos2 x) 3 cos x=0, 2 cos2 x+3 cos x 2=0. Ðià kvadratinæ lygtá cos x atþvilgiu patogu spræsti vartojant keitiná cos x=t, ªtª ≤ 1. Taigi 2t2+3t 2=0, D=9 4 ⋅ 2 ⋅ ( 2)=25, −3 − 5 −3 + 5 1 = − 2, (netinka, nes ª 2ª>1). = , t2 = t1 = 4 4 2 Vadinasi, cos x = Ið èia

1 .

2 x = ± arccos x=±

π Ats.: − .

3

1 + 2πk, k ∈ Z , 2

π + 2πk, k ∈ Z .

3

182

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

1 1 cos x − ≤ 0 sprendinius.

2 2 Sprendimas. Sinusà iðreiðkæ kosinusu ir cos x paþymëjæ raide t ( t ≤ 1), gauname nelygybiø sistemà  t ≤ 1,   1 1 2 1 − t − t − ≤ 0, 2 2 

5 p a v y z d y s. Raskime nelygybës sin 2 x −

kurios pertvarkyta antroji nelygybë yra tokia: 2t 2+t 1 ≥ 0.

Randame kvadratinio trinario ðaknis: 2t 2+t 1=0, t1, 2 =

Baigiame spræsti sistemà:  −1 ≤ t ≤ 1,   1  2 ( t + 1)  t − 2  ≥ 0;    1  t ∈  ; 1 U {−1}. 2  Randame x reikðmes: cos x= 1,

x = π + 2πn, n ∈ Z;

−1 ± 1 + 8 −1 ± 3 ; = 4 4 1 t1 = −1, t2 = .

2

1 ≤ cos x ≤ 1, 2 π π − + 2πn ≤ x ≤ + 2πn, n ∈ Z. 3 3

π  π  Ats.: x ∈  − + 2πn; + 2πn  U {π (2n + 1)}, n ∈ Z. 3 3   6 p a v y z d y s. Raskime ðiø lygèiø sprendinius; a) 2 sin x+5 cos x=0; b) 2 sin2 x+3 sin x cos x+cos2 x=0.

Sprendimas. Abi lygtys turi vienà bendrà poþymá kintamieji sin x ir cos x jose yra to paties laipsnio. Tokios lygtys vadinamos homogçninëmis. Lengva pastebëti, jog anksèiau taikyti lygèiø pertvarkymo bûdai èia netinka dël neptogiø koeficientø. Kadangi sin x ir cos x kartu nelygûs nuliui, o tg x=0, kai sin x=0, bet cos x¥0, tai, a lygties abi puses padalijæ ið cos x, o b lygties ið cos2 x, gausime lygtis tg x atþvilgiu. Toliau bus patogu vartoti keitiná tg x=t, t ∈ R. a) 2 sin x+5 cos x=0, ª : cos x¥0 5 5 2 tg x+5=0, tg x = − , x = −arctg + πn, n ∈ Z. 2 2

Trigonometrinës lygtys, nelygybës ir jø sistemos

183

b) 2 sin2 x+3 sin x cos x+cos2 x=0, ª : cos2 x 2 tg2 x+3 tg x+1=0, tg x=t, t ∈ R; 2t2+3t+1=0, D=9 4·2·1=1, 1 t1 = , t2 = −1; 2 1 tg x = − , 2

tg x = −1;

 1 x = arctg   + πk, k ∈ Z ,  2

x = arctg ( 1) + πn, n ∈ Z ,

x = − arctg

1 + πk, k ∈ Z; 2

π x = + πn, n ∈ Z. 4

1 π 5     Ats.: a)  − arctg + πn  , n ∈ Z ; b)  − arctg + πk; − + πn  , k ∈ Z. 2 4 2    

7 p a v y z d y s. Iðspræskime lygtá sin x+7 cos x 5=0.

Sprendimas. Ðià lygtá nesunku pertvarkyti á homogeninæ. Tereikia  cos x ir sin x iðreikðti pusës argumento ðiø funkcijø kvadratu  cos x =  x x x x  = cos2 − sin 2  arba sandauga  sin x = 2 sin cos  , o laisvàjá nará pa2 2 2 2  keisti tø funkcijø kvadratø suma, padauginta ið paties laisvojo nario: x x x x x x   2sin cos + 7  cos2 − sin 2  − 5  sin 2 + cos2  = 0.

2 2 2 2 2 2  

Sutraukæ panaðiuosius narius, turime: x x x x x 2 cos2 − 12 sin 2 + 2 sin cos = 0, : 2 cos2 ≠ 0, 2 2 2 2 2 x 2 x 1 − 6 tg + 2 tg = 0.

2 2 x Sakykime, tg = t, t ∈ R. Tada 2 6t2 t 1=0, D=1 4 ⋅ 6 ⋅ ( 1)=25, 1 1 t1 = , t2 = − .

2 3 Gráþtame prie pradinio kintamojo: 1 x 1 x tg = , tg = − , 2 2 2 3

184

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

1 x = arctg + πn, n ∈ Z , 2 2 1 x = 2 arctg + 2 πn, n ∈ Z ; 2

x  1 = arctg  −  + πk, k ∈ Z , 2  3  1 x = 2 arctg  −  + 2 πk, k ∈ Z.  3

1 1   Ats.: − 2 arctg + 2 πk; 2 arctg + 2 πn  , k, n ∈ Z. 3 2   P a s t a b a. Homogeninës pirmojo laipsnio lygties bendroji iðraiðka yra a sin x+b cos x=0, antrojo laipsnio a sin2 x+b sin x cos x+c cos2 x=d, o pakeièiamos homogenine antrojo laipsnio lygtimi a sin x+b cos x=c; èia a, b, c, d ± R.

5π  , x−y= 8 p a v y z d y s. Iðspræskime lygèiø sistemà  3 sin x = 2 sin y.

Sprendimas. Jà sprendþiame keitimo bûdu: 5π   x = y+ 3 ,   sin  y + 5π  = 2 sin y.   3  

Antrosios lygties kairiàjà pusæ pertvarkome taikydami kampø sumos formulæ 5π 5π sin y cos + cos y sin = 2 sin y.

3 3 Apskaièiuojame: 5π π π 1  cos = cos  2π −  = cos = , 3 3 3 2  sin

5π 3 π π  . = sin  2π −  = − sin = − 3 3 3 2  

Taigi antroji sistemos lygtis virsta tokia: 1 3 sin y − cos y = 2 sin y.

2 2 Jà iðsprendæ, gauname: 3 3 cos y = sin y, : cos y ≠ 0 − 2 2

π  y = − + πn, n ∈ Z , 3 3 3  6 ,  − = tg y, tg y = − 2 2 3 π  y ≠ + πn, n ∈ Z.  2

185

Trigonometrinës lygtys, nelygybës ir jø sistemos

Randame x :

x=−

π 5π 3π + πn + = + πn, n ∈ Z. 6 3 2

π  3π  + πn; − + πn  , n ∈ Z. Ats.:  6  2 

9 p a v y z d y s. Su kuriomis a reikðmëmis lygtis 6 sin x cos x=2a 5 neturi realiøjø sprendiniø?

Sprendimas. Pertvarkome kairiàjà lygties pusæ: 6 sin x cos x=3 _ 2 sin x cos x=3 sin 2x.

Tada pradinë lygtis ágyja iðraiðkà 2a − 5 .

3 sin 2x=2a 5, arba sin 2 x = 3 2a − 5 > 1, t. y. Þinome, kad tokia lygtis neturi realiøjø sprendiniø, kai 3 kai 2a − 5 < −1 3 2a 5< 3, 2a<2, a<1; Ats.: su a ∈ ( − ∞; 1) U (4; + ∞ ).

arba

2a − 5 > 1; 3 2a 5>3, 2a>8, a>4.

U þ d u o t i s. Analizuodami pateiktas lygtis ir nelygybes, suformuluokite jø sprendimui bûdingus veiksmus: Lygtys

Nelygybës

I 1. sin3 x cos x+cos3 x sin x = − 1

2. 2 sin x cos x cos 2x= − 3. cos4 x sin4 x= −

1 4

4

3

2 4. 7+4 sin x cos x+3 sin 2x=0 − 5. sin x+

1 − cos2 x 1 tg x= sin 2 x 2

6. cos x cos 2x=1+sin x sin 2x 7. sin2 x tg x ctg x= sin

(sin 2x − cos 2x )

2

8.

2

≥ sin x

x 2 x + cos 6 6

1. sin3 x cos x cos3 x sin x ≤

1 4

2. 1 8 sin2 x cos2 x ≤ 0

3  3π  + x < 3. cos (π x) cos   2  4 4. 4 sin  π + x  sin ( π− x ) ≤ 1 2  5. 2 sin2 x+3 cos2 x > 2,25 6. sin 3x cos x ≤ 1+sin x cos 3x 7. 3 sin x ctg x+1 ≥ cos ( x) 8.

(cos 2x − sin 2x )

2

≥ sin x

186

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS Lygtys

Nelygybës

II 1. 2 cos2 x=2+3 sin x

1. sin2 x+sin x 6 ≤ 0

2. 3 cos 2x=7 sin x

2. 2 sin2 x cos x ≤ 1

  3. 2 cos2 (x π)+1= 5 sin  3π − x   2  2 3 4. tg x ctg x = 3 5. 3 cos x + sin x = 0

3. tg 2 x −

(

)

3 + 1 tg x + 3 ≥ 0

4. 3 sin 3 x + 3 cos 3 x ≤ 0 5. 4 sin2 2x 3 cos2 2x<0 6. 2+tg 2x+ctg 2x ≤ 0 10 7. tg2 x+ctg2 x < 3

6. 8 sin2 x+sin x cos x+cos2 x=4 7. 8 sin2 x 5 sin 2x=12 cos2 x III  3  1. (1, 2 − cos x )  − cos x  = 0  2    3. sin 2x+cos 2x+1=0

 3  + sin x  ≤ 0 1. (1, 03 − sin x )    2   3  2 − cos x  ≥ 0 2. sin x   2    3. (sin 3x sin x cos 2x)(cos 2x) 1<0

4. cos x cos 3x+cos 5x cos 7x=0

4. sin 6 x + cos6 x >

2. sin x+sin 3x=0

5. 2 cos2 x=1+sin 6x

5 8 5. sin x+sin 5x<2 sin 3x

6. sin x+cos 5x = 2 (cos 2 x − sin 2 x )

6. sin2 x>cos2 x

7. 9 cos4 x sin4 x=2 sin2 2x

7. sin 2 x + cos 2 x ≥ 1, x ∈ 0; π

IV 1. sin x − sin x = 2 cos x 2. ( x − 2 ) cos x = cos x 2

3. 25 − 4 x 2 (3 sin 2πx + 3 sin πx ) = 0 2

4.

1 1   sin x − 2  = sin x − 2  

1 3 + =4 cos x sin x 3 + 2 cos x = −1 6.

2 cos x − 3 5.

V

1  2 + 1,  tg x = tg x − 2 cos x 1.   tg x ≥ 0 

2 sin 2 x − sin x ≤ 0, 2.  2 sin x − 3 > 0  cos 2 x  sin x ≤ 0, 3.   3π ≤ x ≤ 3π  4 2

1  4 y + 3 cos x = − , 2 1.   28 y + 4 3 cos x = 1 

 tg x + tg y = 1,  2.  π x+ y = 4 

1   cos x + cos y = , 4.  2  tg x + tg y = 2 

3   sin x sin y = , 5.  4 tg x tg y = 3 

1  2 2 sin x + sin y = 2 , 3.   x − y = 4π  3 7  2 2  sin x + sin y = 4 ,  1 6.  cos x + cos y =  2

187

Trigonometrinës lygtys, nelygybës ir jø sistemos

Uþdaviniai Iðspræskite lygtis, nelygybes bei jø sistemas: 2x = 3; 276. a) sin (3x 2)= 1 − 2; b) 4 cos2 3 π  d) 3 ctg 2  − x  = 1; 3   x x f) sin cos = sin 2 x cos2 x; 2 2

c) 3 + 3 tg 2x = 0; e) cos x ctg x=0; g)

sin 2 x = 0; tg x

h) sin 3 x cos x − cos3 x sin x =

277. a) cos x 1+2 sin x tg x=0;

b) 7 + 4 sin x cos x +

3 ; 2 e) cos x ctg x=0;

c) sin x tg x =

3 (tg x + ctg x ) = 0; 2

d) cos2 x+tg2 x sin2 x=1; f) cos x cos 2x sin x sin 2x=1;

π  g) 4 sin  + x  sin ( x − π ) = 1; 2  

h) cos 2x cos 4x=cos 6x. b) cos2 2x sin2 2x=

278. a) cos 3x cos 4x=cos 7x; c)

1 .

4

4 ctg x + sin 2 2 x + 1 = 0; 1 + ctg 2 x

8 ; 3

d) 3 sin2 x+4 cos2 x=13 sin x cos x;

x x cos = sin 2 x cos 2 x; 2 2 g) sin 3x+sin 7x=2 sin 5x;

e) sin

279. a) sin x=1 cos x;

13π sin 5 x + 1 = cos 10 x; 6 h) cos 5x+cos 7x=cos (π+6x).

f) 2 sin

b) 4 cos2 x+sin x cos x+3 sin2 x=3; 2

x x  c) 1 sin 3x=  sin − cos  ; 2 2 

d) cos2 x+cos2 2x+cos2 3x+cos2 4x=2.

e) ªcos xª ⋅ (x 2)2=cos x;

f)

g) 7 cos x = sin x +

1 ; cos x

280. a) sin x+cos x=cos 2x;

h)

π  3 − 2 cos  2 x +  ≤ 0; 4  3 + 2 cos x 2 cos x − 3

= −1.

b) sin2 x+cos x 1>0;

1  x−y= ,  3  3π    2 sin ( π − x ) sin  , + x > c)   2  4 d)  cos2 πx − sin 2 πy = 1 .  cos 0; x ≤   2

188

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

281. a) sin2 x 0,5 sin x 0,5>0;

2 sin 2 x − sin x ≤ 0,  c)  2 sin x − 3 > 0; 282. a) cos 2 x − 3 sin 2 x + 1 = 0; 1 3 1 c) cos x + sin x < ; 2 2 2

5 5π π   b) sin  x +  cos  x +  > sin ; 3 6 6   1  cos x cos y = 4 , d)  ctg x ctg y = 1 .  3 b) 5 sin2 x+sin2 2x>4 cos 2x;

π  x+ y= ,  6 d)  5 (sin 2 x + sin 2 y ) = 2 (1 + cos2 ( x − y )) 

1 π − arctg x = ; f) ªsin xª sin x=2 cos x.

2 4 π π   b) 4 arctg (x2 3x+3)=π; 283. a) cos  x +  + cos  x −  = 2 cos 3 x; 4 4   π c) 4 sin3 x<2 sin x+cos 2x; d) arcsin 6x+arcsin 6 3 x = − ; 2  cos2 x 2  sin x ≤ 0, 1 1  e)  − sin x  = sin x − ; f)  2 2   3π ≤ x ≤ 3 π .  4 2 1 284. a) sin 3x<sin x; b) sin x cos x > ; 4 7 2 cos x − 3 sin x + y = 6, c) sin4 x+cos4 x= ; d)  8 5 cos x − 2 sin x + y = 4.

e) 2 arctg

(

e)

1 3 + = 4; cos x sin x

f)

tg 2 x = tg x −

)

1 + 1.

2 cos x

285. Kiek lygties sprendiniø priklauso nurodytam intervalui: a)

3 sin 3 x − cos 3 x = 1; x ∈( 3; 2);

b) sin2 x sin2 2x=sin2 3x; x ∈( 3; 4)?

286. Raskite sumà lygties 2 sin2 2x+6 sin2 x=5 sprendiniø, priklausanèiø intervalui (0°; 300°).

287. Raskite lygties sprendinius, tenkinanèius nurodytas sàlygas: a)

3 sin 2 x + cos 2 x = 2; x ∈[0; 2π];

b) cos (x+45°)+cos (x 45°)= 2 cos 3 x; x ∈[ 30°; 100°]; 2 3; 450°<x<540°. c) tg x ctg (π+x)= 3

189

Trigonometrinës lygtys, nelygybës ir jø sistemos

 2 sin x + cos y = 1, 288. Apskaièiuokite lygèiø sistemos  sprendinius 10 1 2 2 16 sin cos 1 x y + =  tikslumu, kai x < 4, − 8 < y < 2.

289. Duota funkcija f ( x ) = sin x .

1 .

4 b) Árodykite, kad f (3x) f (x) cos 2x=(2 sin x 1)(1 2 sin2 x).

a) Apskaièiuokite cos 2x reikðmæ, kai f ( x ) = c) Iðspræskite lygtá f (3x) f (x)=cos 2x. d) Iðspræskite nelygybæ

f (3 x ) − f ( x ) − cos 2 x cos 2 x

< 0 , kai 0 ≤ x ≤ π.

1 + 3 sin x . sin x a) Suprastinkite reiðkiná f (x)+f (x π). b) Iðspræskite lygtá f (x)=4.

290. Duota funkcija f ( x ) =

π π c) Palyginkite skaièius f   ir f   . 2 7

d) Raskite tokias parametro a reikðmes, su kuriomis skaièius lygties f (x)=a sprendinys.

π yra 6

π x 291. Duota funkcija f (x)=2 sin x cos2  −  . 4 2 a) Iðspræskite lygtá f (x)=0.

b) Raskite nelygybës f (x)>2 sin x sprendinius, priklausanèius intervalui ( π; π). f (x) π  c) Kiek sprendiniø turi lygtis = 0 atkarpoje  − π;  , atsi2 sin x − a  þvelgiant á a?

292. Duota funkcija f (x)=cos x cos 2x. a) Árodykite, kad lygybë

f (x )

1 + 2 cos x b) Iðspræskite lygtá f (x) sin x=0.

= 1 − cos x yra teisinga.

c) Raskite nelygybës f (x)<1 sprendinius, priklausanèius intervalui 5π    π; 2  .   d) Nustatykite, su kuriomis parametro b reikðmëmis lygtis f (x)=b  π π atkarpoje  − ;  turi keturis sprendinius.  2 2

190

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Atsakymai π 2  π  276. e)  (2n + 1) , n ∈ Z; f)  πn; (2n + 1) , n ∈ Z; g) x= πn ; n¥¤1, n ± Z; 3 5   2  2  π πn  πn   π  n +1 π  h) − + +  , n ∈ Z. 277. a) {2 πn} , n ∈ Z; b) ( −1)  , n ∈ Z; c)  ± + 2πn  , n ∈ Z; 12 2   8 2   3   1    πn πk  π   d) πn; ± + πn  , n ∈ Z. 278. a)  ;  , n, k ∈ Z; d) arctg 4 + πn; arctg + πk  , n, k ∈ Z. 3 4   3 4    π π π π π      279. b)  (2n + 1) ; − + πn  , n ∈ Z; c) πn; (2n + 1) , n ∈ Z; d)  (2n + 1) ; (2n + 1) , 2 4 4 4   10     2π π  π  π   π  n n + πn  , n ∈ Z. 280. a)  − + π ; 2 π  , n ∈ Z; b)  − + 2πn; + 2 πn  , n ∈ Z; c)  + πn; 3 2  4  3   2  π 1  5π  1   π n ∈ Z; d)  + k; − + k  , k ∈ Z. 281. a)  − + 2πn; − + 2πn  , n ∈ Z; b)  − + πn; 6 6  6  6   6 π  π  π   π π  + πn  , n ∈ Z; d)  ± + π (n + k ) ; ± + π (n − k )  , n, k ∈ Z. 282. a)  ± + + πn  , n ∈Z; 3 3 6     3 6  1  π π  π π   2π  b) ∅; c)  − πn; ± + + πn  , n ∈ Z; e)  7  . + 2 πn; 2π + 2 πn  , n ∈ Z; d)  ± +   6 12  6 12   3  9π 7π  7π   5π  π  + 2πn; + 2πn  U  + 2πn; + 2πn  , n ∈ Z; 283. a)  n; πn  , n ∈ Z; b) {1; 2} ; c)  6 4 4 4 2      

 1 3π 5π π     7π  + 2 πn  U  π + 2 πn; + 2 πn  U  + 2πn; 2π + 2πn  , n ∈ Z;  . 284. a)  + 2πn; 4 4 4 4 12        

d) −

11π 5π 5π  π  7π   π   π  b)  + πn; + πn  U  + πn; + πn  , n ∈ Z; c)  ± + πn; ± + πn , n∈ Z; d)  − + 12 12 12  2  12   12   12   + 2πn; 3 ; (2 arctg 5+2πn; 9), n ∈ Z. 285. a) 5; b) 7. 286. 405°. 287. b) {0°; 90°} ; c) 510°.  7 1 π πn     π   5π  π ; π .

288.  πn; ± arccos + 2 πn  , n ∈Z. 289. a) ; c)  + πn; +  , n ∈ Z; d) 0;  U  8 5 6 4 2    6  6    π π  290. a) 6; b)  + 2πn  , n ∈ Z; c) f   < 2 2  

π π f   ; d) 5. 291. b) ( −π; 0 U   ; c) kai a ≠ 0, 7 2 

a ≠ 1 tris sprendinius; kai a=0 vienà sprendiná; kai a= 1 du sprendinius.

1 π  3π   5π 7 π  π  292. b)  + πk; 2πm; + 2πn  , k, m, n ∈ Z; c)  π;  U  3 ; 3  ; d) 1 ≤ b < 1 8 .

2 4 2      

Grupinio darbo uþduotys 1. 1) Iðspræskite lygtis: 1 a) 2 sin x cos x cos 2x= ; b) sin2 4 x π  c) 1 cos x= sin ; d) sin  − 2 x  = 1; 2 6 

π   2 − x  3 cos (4π+x)=4;  

e) 1+cos 2x+cos x=0.

191

Trigonometrinës lygtys, nelygybës ir jø sistemos

2) Raskite didþiausià neigiamà lygties tg (x+40°)+tg (50° x)= = 4 sin 390° sprendiná laipsniais.

3) Iðspræskite nelygybes: x a) 2 sin x< 1; b) tg > 3; 6 x c) sin 2 x cos ≥ 0; d) cos2 x¢0,5.

3 2. 1) Iðspræskite lygtis: π  a) 4 sin  + x  sin ( π − x ) = 1; 2  2 2 c) sin x cos x=cos2 2x;

b) 2 tg 2 x tg x 3=0; d) 1 − 3 cos x = 10 sin 2 x.

e) 1+cos2 x=3 sin x cos x.

2) Raskite maþiausià teigiamà lygties tg (x+20°)+tg (70° x)= = 2 tg 405° sprendiná laipsniais.

3) Iðspræskite nelygybes: x < −1; 2 x 2 c) cos sin ≤ 0; 3 3. 1) Iðspræskite lygtis:

a)

3 tg

π  a) cos  + x  − sin ( π − x ) = 1; 2  c) 1 cos 4x+sin 2x=0; e) sin 2x=sin x.

2) Raskite maþiausià lygties diná.

3) Iðspræskite nelygybes: a)

2 sin x < −1;

c) sin2 x tg x<0; 4. 1) Iðspræskite lygtis:

b) sin

3 x ; >− 6 2

d) cos2 x ≤ 0,5.

b) cos 2x=2 sin x 0,5; d) 3 sin x=2 cos2 x; πx   25 − x 2 ⋅  sin πx + 3 sin  = 0 spren2   1 x ≥− ; 6 2 d) sin2 x¢0,75.

b) cos

3 ; 2 2 2 c) 6 sin x+2 sin 2x=5;

a) cos4 x − sin 4 x = −

b) 2 sin2 x+3 cos x=0; π   3π  d) cos  − 3 x  = cos  + x ; 2 2     e) 3 sin2 x 2 sin 2x+5 cos2 x=2.

2) Raskite didþiausià lygties (sin 2πx + 5cos πx ) ⋅ 9 − x2 = 0 sprendiná.

3) Iðspræskite nelygybes: x a) 3 ctg x > −1; b) 2 cos < −1; 3 c) cos2 x ctg x>0; d) sin2 x ≤ 0,75.

192

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

5. 1) Iðspræskite lygtis: π  a) sin x+sin 2x=cos x+2 sin2  − x  ; 2  3π  π  b) 2 sin2 2x+3 cos 2x=0, kai x ∈  ; ; 2 2  2 2 c) cos 2x+cos 3x=1;

d) 2 sin 2x cos 2x cos 4x=

3 .

4

1  sin x cos y = − 2 , 2) Raskite lygèiø sistemos  sprendinius.  cos x sin y = 1  2 1 3) Su kuriomis x reikðmëmis yra teisinga nelygybë sin (2x 1) > − ?

2 4) Iðspræskite lygtá sin 2 x = sin x + 2 cos x.

5) Iðspræskite lygtá cos x sin a=2 cos 3x sin (a 3x).

6. 1) Iðspræskite lygtis: π  π  a) sin 2  + x  = sin x + sin 2  − x  ; 8  8  b) sin3 x cos3 x=0;

π  c) 2 cos 3 x = 3 cos x + cos  x +  ; 2   π  2 x 2 x = −1, kai x ∈  ; π  . d) 2 cos − 2sin 2 2 2 

3 y + 2 tg x = 4, sprendinius.

2) Raskite lygèiø sistemos   2 y + 3 tg x = 1

3) Iðspræskite nelygybæ 2 cos2 x + 2 2 sin x − 3 ≥ 0.

4) Iðspræskite lygtá

sin x

(x − 4)

2

+ sin 2 x = 0.

5) Iðspræskite lygtá sin 3x+sin 2x=a sin x.

7. 1) Iðspræskite lygtis: a) sin x + cos x = 2 sin 5 x; b) sin (π x)+sin 2x=tg x; 1 c) sin 2 2 x − sin 4 x = 0; 2 π  d) cos  + x  − sin ( π − x ) = 1, kai x ∈[0; π].

2  

Trigonometrinës lygtys, nelygybës ir jø sistemos

193

 x − y = 6,5π, 2) Iðspræskite lygèiø sistemà  2  cos x − 4 cos y = 1.

3) Raskite nelygybës 2 cos2 x+7 sin x 5 ≥ 0 sprendinius.  sin x = sin x + 2 cos x, 4) Iðspræskite sistemà   sin x ≤ 0.

2 5) Iðspræskite lygtá cos x 3 cos x+a=0.

8. 1) Iðspræskite lygtis: 1 π  π  sin 2 x + cos  − x  cos  + x  + 1 = 0; a) 4 3 3      3π  b) 4 sin 2 6 x + 16 cos2  + 3 x  = 13; 2   c) sin 2x=cos 2x sin2 x+1; x x  3π  d) 4 sin cos = −1, kai x ∈  ; 2π  .

2 2 2  sin x + sin ( y + 2π ) = 1,  2) Iðspræskite lygèiø sistemà  π x + y = .

3  3) Raskite nelygybës cos2 2x 4 cos 2x+3 ≤ 0 sprendinius.

1 π  4) Iðspræskite lygtá ctg  2 x −  = − 1.

2  cos2 2 x  5) Iðspræskite lygtá sin a tg2 x 2 cos a tg x+1=0.

9. 1) Iðspræskite lygtis:  3π  a) sin 2 x − cos2  − x  = 2 sin x − 4 cos x; 2   b) 2cos2 3x − 3 sin 3x + 1 = 0, kai x ∈[0; π]; π  c) sin 2 x + sin 2 2 x − cos2  − 3 x  − sin 2 ( π − 4 x ) = 0; 2  1 4 4 d) cos 2 x − sin 2 x = − .

2 1  sin x cos y = 2 , 2) Iðspræskite lygèiø sistemà  sin y cos x = 1 .  2 π  3) Raskite nelygybës sin  2 x −  ≤ −1 sprendinius.

4   4) Su kuriomis x reikðmëmis yra teisinga lygybë tg x = tg x −

5) Iðspræskite lygtá cos 3x=a cos x.

1 ? cos x

194

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

10. 1) Iðspræskite lygtis: a) cos2 2x sin2 2x= 2 sin 2x cos (π+2x); b) cos x cos 3x=cos 5x cos 7x; c) 3 sin 2 x + cos 2 x = 2; 3  d) cos ( π − x ) + sin  π − x  = 1, kai x ∈[0; 2π].

2   1  2 2 sin x + sin y = 2 , 2) Iðspræskite lygèiø sistemà   x − y = 4 π.  3 2 3) Raskite nelygybës 2 cos 2x+5 sin 2x 4>0 sprendinius.

1  , ctg x = ctg x + 4) Kurios x reikðmës tinka sistemai  sin x ctg x < 0 ?

2 5) Raskite x, kai sin x+3 cos x=a+1.

11. 1) Iðspræskite lygtis: π π  a) cos 2 x sin  − x  = sin 7 x sin 6 x + 5 cos ; 2 2   3π  1 + x  + sin 2 x − cos2 x = 2; b) 6 cos2   2  2 c) sin2 6x+8 sin2 3x=0;

d)

3 − tg x = 2 tg ( π + x ), kai x ∈[ π; π].

2   x + y = 3 π, 2) Iðspræskite lygèiø sistemà   sin x = 2.  sin y

3) Raskite nelygybës cos2 x 3 sin x 1 ≤ 0 sprendinius.

4) Su kuriomis x reikðmëmis lygybë singa?

( x − 2)

2

cos x = cos x yra tei-

3.4. PASIKARTOJANTIS JUDËJIMAS IR TRIGONOMETRINËS FUNKCIJOS Mus supanèiame pasaulyje yra paplitæ savotiðki periodiðkai pasikartojantys judesiai, vadinami svyravimais arba virpesiais. Svyruoja medþiø ðakos vëjyje, nuo vertikalës nukreiptos sûpuoklës, traukinio vagonai ant lingiø, uþgautos muzikos instrumentø stygos, garsiakalbiø membranos ir pan. Ðie svyravimai ar virpesiai plinta erdvëje, ir taip susidaro bangos. Kai kurie ið jûsø tikriausiai esate matæ nenupjautø rugiø laukà vëjuotà dienà.

Pasikartojantis judëjimas ir trigonometrinës funkcijos

195

Rugiø stiebai nuo vëjo palinksta, atsitiesia, vël palinksta, ir atrodo, kad lauku kaþkas slenka. Imkime kità pavyzdá. Vienà ilgos virvelës galà átvirtinkime, o kità judinkime. Matysime, kad virvele tarsi kaþkas bëga, nors abu jos galai lieka savo vietoje. Tas kaþkas ir yra banga erdvëje sklindantis svyravimas. Antai virpanti muzikos instrumento styga priverèia svyruoti aplink jà esanèias oro daleles, ir ðis svyravimas, plisdamas oru, pasiekia mûsø ausis kaip garso banga.

Ið fizikos kurso þinote, kad miesto apðvietimo tinklais tekanèios kintamosios elektros srovës stipris i nuolat kinta pagal dësná, kurá galima iðreikðti formule i=I0 sin (ωt+ϕ0); èia i srovës stiprio vertë bet kuriuo laiko momentu t, I0 didþiausia srovës stiprio vertë, ω kampinis virpesiø (svyravimø) daþnis, ϕ0 pradinë fazë.

Tyrinëdami ðià iðraiðkà, pagal sinuso savybes galime nustatyti, kuriais momentais srovës stipris elektrinëje grandinëje yra didþiausias ir kuriais lygus nuliui. Be to, trigonometriniø funkcijø savybës praverèia ieðkant atstojamàjá svyravimà apibûdinanèios funkcijos iðraiðkos. O sumuoti ávairius svyravimus, kuriø daþnis vienodas, bet skiriasi pradinë fazë, praktikoje tenka gana daþnai.

Iðsiaiðkinkime, kaip priklauso apskritimu judanèio taðko M projekcijos P padëtis ordinaèiø aðyje nuo to taðko padëties. Pradiniu momentu t=0 taðkas uþima padëtá M0, apibûdinamà kampu ϕ0. Praëjus laiko tarpui t, jis uþims padëtá M, kurià bus galima nusakyti kampu ωt+ϕ0; èia ω prieð laikrodþio rodyklës sukimosi kryptá pastoviu greièiu tolygiai judanèio taðko kampinis greitis radianais. Tuo metu, kai taðkas M juda apskritimu, jo projekcija P ordinaèiø aðyje svyruoja iðilgai skersmens CD, uþimdama èia aukðèiausià padëtá C, èia þemiausià padëtá D. Kaip jau þinome, taðko M ordinatæ y galima uuuuriðreikðti kampo ωt+ϕ0, kurá su teigiamàja Ox pusaðe sudaro vektorius OM , sinuso bei apskritimo spindulio OM ilgio sandauga: y= OM ⋅ sin (ωt+ϕ0). Spindulio ilgá paþymëjæ raide A, turime: y=A sin (ωt+ϕ0). Ði formulë apibûdina taðko M projekcijos svyravimo dësná.

Kadangi ávairiø procesø vyksmà fiksuojantys prietaisai informacijà perduoda grafiðkai, tai ypaè svarbu mokëti atpaþinti ir analizuoti tuos grafikus. Kiekvienà praktikoje pasitaikanèià sudëtingà periòdinæ f÷nkcijà galima iðreikðti begaline suma paprasèiausiø periodiniø funkcijø, 2π kartotinis. IeðT kant periodinës funkcijos reiðkimo svyravimus apibûdinanèiø funkcijø

nusakanèiø svyravimus, kuriø daþnis yra skaièiaus ω =

196

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

suma bûdo, atsirado svarbi ðiuolaikinës matematikos ðaka harmòninë f÷nkcijø anãlizë. Ji glaudþiai susijusi su optikos skyriumi, nagrinëjanèiu spektrus. Dël ðios prieþasties toliau nagrinësime funkcijos y=f (x) grafiko naudojimà braiþant funkcijos y=Af (k(x a))+b grafikà, kai A, k, a, b ∈R, o f þymi kurá nors trigonometrinës funkcijos pavadinimà: sin, cos, tg ar ctg. Pirmiausia prisiminkime, kaip, remdamiesi funkcijos f (x)=x2 grafiku, t. y. parabole y=x2, braiþëme ávairiø kvadratiniø funkcijø grafikus, kai tø funkcijø iðraiðka y=ax2+bx+c buvo pertvarkyta á iðraiðkà y=a (x m)2+n; èia taðkas V (m; n) parabolës virðûnë, skaièius a apibûdina parabolës ðakø padëtá Oy aðies atþvilgiu.

U þ d u o t i s. Paraðykite ðiø paraboliø lygtis:

197

Pasikartojantis judëjimas ir trigonometrinës funkcijos

Aptarkime funkcijos

y=A sin (k(x a))+b

iðraiðkoje esanèiø konstantø átakà funkcijos y=sin x grafikui.

1) y=sin x+b Su ta paèia x reikðme funkcijos y=sin x+b reikðmë b vienetø skiriasi nuo funkcijos y=sin x reikðmës, vadinasi, funkcijos y=sin x+b grafikà galima gauti ið funkcijos y=sin x grafiko (Q), pastûmus já iðilgai Oy aðies per b vienetø á virðø, kai b>0 (S), arba per b vienetø þemyn, kai b<0 (R).

Q y=sin x;

R y= 2+sin x;

S y=

3 + sin x.

2

2) y=sin (x a) Tarkime, kad taðkas (x; y) priklauso funkcijos y=sin x grafikui. Tada funkcijos y=sin (x a) grafikui priklausys taðkas (x+a; y), nes sin (x+a a)=sin x=y. Taigi taðkas (x+a; y) gaunamas pastumiant taðkà (x; y) iðilgai Ox aðies. Todël, norëdami gauti funkcijos y=sin (x a) grafikà, turime funkcijos y=sin x grafikà (Q) pastumti iðilgai Ox aðies per a vienetø á kairæ, kai a<0 (S), arba per a vienetø á deðinæ, kai a>0 (R).

198

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

3π   π  .

Q y=sin x; R y = sin  x −  ; S y = sin  x + 4  4  

3) y=A sin x

Jeigu taðkas (x ; y) priklauso funkcijos y=sin x grafikui, tai taðkas (x ; Ay) priklausys funkcijos y=A sin x grafikui. Vadinasi, norëdami gauti funkcijos y=A sin x grafikà, turime funkcijos y=sin x grafiko taðkø ordinates padauginti ið skaièiaus A. Tai reiðkia, kad funkcijos y=sin x grafikà (Q) reikia

1 Q y=sin x; R y=3 sin x; S y = − sin x.

3

Pasikartojantis judëjimas ir trigonometrinës funkcijos

199

iðtempti nuo abscisiø aðies, jeigu A>1 (R), arba suspausti, jeigu 0<A<1 (S). Kai A<0, tai funkcijos y=sin x grafikà reikia pirma iðtempti arba suspausti, o paskui simetriðkai atvaizduoti Ox aðies atþvilgiu arba braiþyti ið karto, kaip brëþinyje pavaizduotà S kreivæ.

4) y=sin kx Tarkime, kad taðkas (x; y) priklauso funkcijos y=sin x grafikui. Tada x  funkcijos y=sin kx grafikui priklausys taðkas  ; y  , nes tokià pat reikðk  x  x mæ y ði funkcija ágis su argumento reikðme, lygia : sin  k ⋅  = sin x = y. k  k x a) Kai k>1, taðkas yra k kartø arèiau koordinaèiø pradþios nei k taðkas x (taðko abscisë k kartø sutrumpëja).

1 x = lx yra l kartø toliau nuo b) Kai 0<k<1, pavyzdþiui, k = , taðkas l k 1 kartø pailgëja). koordinaèiø pradþios nei taðkas x (taðko abscisë k Abiem atvejais keièiasi funkcijos periodas. a) k>1

Q y=sin x; R y=sin 2x ; S y=sin 3x.

R ir S grafikas gaunamas spaudþiant Q grafikà prie Oy aðies. b) 0<k<1

Q y=sin x; R y = sin

x 2x ; S y = sin .

2 3

R ir S grafikas gaunamas tempiant Q grafikà nuo ordinaèiø aðies.

200

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

1 p a v y z d y s. Remdamiesi nubraiþytais funkcijø grafikais (Q U), tas funkcijas iðreikðkime formulëmis:

Q y=sin x;

R y=sin 2x;

S y= 3 sin 2x;

π  U y = 1 − 3 sin 2  x +  .

8   Taigi transformuodami funkcijà y=sin x, galiausiai gavome funkcijà π y=A sin (k(x a))+b, kurios A= 3, b=1, k=2 ir a= − .

8 Ið ðio pavyzdþio matyti, kad koeficientai A ir k keièia kreivës formà taðko ordinatæ arba abscisæ dauginant ið kurio nors skaièiaus, grafikas deformuojasi (plg. Q grafikà su R ir S), o koeficientai a ir b jos padëtá koordinaèiø aðiø atþvilgiu (plg. S grafikà su T ir U): S grafikas pirπ ma pastumiamas aukðtyn per 1 vienetà, paskui á kairæ per , kitaip 8 uuuur  π  tariant, vektoriaus OO ′ =  − ; 1 kryptimi. Vadinasi, praktiðkai funkcijos  8  π  y = 1 − 3 sin 2  x +  grafikà U patogu braiþyti tokia tvarka: koordinaèiø 8  uuuur sistemà Oxy pastumti vektoriaus OO′ kryptimi ir naujoje koordinaèiø sis π  temoje O′ x′ y′, kurios pradþia taðkas O′´ − ; 1  , O′ x′ Ox, O′ y′ Oy , ið  8 

T y=1 3 sin 2x;

Pasikartojantis judëjimas ir trigonometrinës funkcijos

201

pradþiø nubraiþyti funkcijos y′=sin x′ grafikà, paskui funkcijos y′= =sin 2x′ ir galiausiai funkcijos y′= 3 sin 2x′ grafikà, kuris ir bus ieðkomasis.

2 p a v y z d y s. Laikydamiesi tokios paèios tvarkos, nubraiþykime funk1 cijos y = 3 − ctg (2 x + 8 ) grafikà.

2 Norëdami suþinoti, kiek ieðkomasis grafikas bus pasislinkæs Ox aðies atþvilgiu, turime pertvarkyti funkcijos iðraiðkà: 1 y = 3 − ctg (2 ( x + 4 )) ; 2 èia a= 4 ir b=3. Vadinasi, koordinaèiø sistemà Oxy reikia pastumti vekuuuur toriaus OO = {− 4; 3} kryptimi. Gauname naujà koordinaèiø sistemà O′ x′ y′ , kurios O′ x′ ir O′ y′ aðys yra atitinkamai lygiagreèios su Ox ir Oy aðimis; O′ ( 4; 3) tos sistemos pradþios taðkas. Naujoje sistemoje pradinës funkcijos iðraiðka supaprastëja: 1 y′ = − ctg 2 x ′. ′ 2 . Ðios funkcijos grafikà galime gauti ið funkcijos y′ = ctg x′ grafiko, já du kartus deformuodami: ið pradþiø 2 kartus suspausdami prie O′ y′ aðies (nes k=2>1), paskui tà suspaustà grafikà 2 kartus iðtempdami nuo abscisiø aðies (nes 0< A < 1) ir dar atvaizduodami simetriðkai Ox aðies atþvilgiu (ðiuos du þingsnius galime atlikti ið karto). Be to, kadangi funkcija y = ctg x yra periodinë, tai tarpinius grafikus galima braiþyti tik pagrindiniame intervale (0; π), tada gautà grafikà reikia pakartoti ir kituose π ilgio intervaluose.

202

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Ið nubraiþytø grafikø galime lengvai nustatyti bûdingiausias funkcijos savybes, taèiau tik apytiksliai pavyks nurodyti nepriklausomojo kintamojo (argumento) x reikðmes, su kuriomis funkcija turi minëtas savybes. Èia reiktø prisiminti anksèiau nagrinëtus pavyzdþius ir gautà grafikà suderinti su skaièiavimo rezultatais.

Apibendrindami pavyzdþius, nusakysime du bûdus, kuriais ið funkcijos y=f (x) grafiko galima gauti funkcijos y=Af (k(x a))+b grafikà.

1 bûdas. Ieðkomasis grafikas braiþomas ðiais etapais: 1) nubraiþomas funkcijos y=f (x) grafikas; 2) já transformuojant, gaunamas funkcijos y=f (kx) grafikas: a) kai k>1, pradinis grafikas suspaudþiamas prie Oy aðies; b) kai 0<k<1, iðtempiamas nuo Oy aðies; c) kai k<0, suspaudþiamas prie Oy aðies arba nuo jos iðtempiamas, be to, dar simetriðkai atvaizduojamas Oy aðies atþvilgiu; 3) transformuojant 2 etape nubraiþytà grafikà, gaunamas funkcijos y= =Af (kx) grafikas: a) kai A>1, grafikas iðtempiamas nuo Ox aðies; b) kai 0<A<1, suspaudþiamas prie Ox aðies; c) kai A<0, iðtempiamas nuo Ox aðies arba prie jos suspaudþiamas, be to, dar simetriðkai atvaizduojamas Ox aðies atþvilgiu; 4) funkcijos y=Af (kx) grafikà stumiant iðilgai Ox aðies, gaunamas funkcijos y=Af (k(x a)) grafikas: a) kai a>0, stumiama per a vienetø á deðinæ; b) kai a<0, per a vienetø á kairæ; 5) 4 etape nubraiþytà grafikà stumiant iðilgai Oy aðies, gaunamas galutinis, t. y. funkcijos y=Af (k(x a))+b, grafikas: a) kai b>0, stumiama per b vienetø aukðtyn; b) kai b<0, per b vienetø þemyn.

2 bûdas. Ðá sprendimo bûdà galima suskirstyti á tokius uuuur etapus: 1) koordinaèiø aðys Ox ir Oy pastumiamos vektoriaus OO′ = {a; b} kryptimi taip, kad bûtø O′ x′ Ox ir O′ y′′ Oy ; èia O′′ ( a; b) naujos koordinaèiø sistemos O′ x′ y′ pradþios taðkas; 2) uþraðoma pradinës funkcijos iðraiðka naujoje koordinaèiø sistemoje: y′ = Af ( kx′ ) ; 3) nubraiþomas funkcijos y′ = f ( x′ ) grafikas; 4) laikantis 1 bûdo 2 etape nurodytø taisykliø, nubraiþomas funkcijos y′ = f ( kx′ ) grafikas; 5) transformuojant 4 etape nubraiþytà grafikà pagal 1 bûdo 3 etape pateiktus nurodymus, gaunamas funkcijos y′ = Af ( kx′ ) grafikas; pradinës koordinaèiø sistemos Oxy atþvilgiu jis yra funkcijos y= =Af (k(x a))+b grafikas.

203

Pasikartojantis judëjimas ir trigonometrinës funkcijos

Þinodami ðiuos etapus, galësime lengviau atpaþinti kompiuteriu ar kuriuo nors kitu prietaisu nubraiþytus grafikus.

Gráþkime prie skyrelio pradþioje minëtø svyravimø bei bangø, apibûdinamø lygtimi y=A sin (ωt+ϕ0).

Ið fizikos kurso þinome, kad toje paèioje erdvës srityje, netrukdydamos viena kitai, gali sklisti kelios bangos. Pasiekusios tuos paèius taðkus, jos 2π sutampa, be to, pradiniø faziø ϕ0 susideda. Jeigu tø bangø daþnis ω = T skirtumas yra pastovus (bangos sklinda sinchroniðkai), tai stebimas tø bangø sudëties rezultatas interferencinis vaizdas: vienuose taðkuose svyravimas sustiprëja, kituose jo visai nëra. Kyla klausimas: kaip suþinoti atstojamàjá svyravimà apibûdinanèià funkcijà? Iliustruosime tai pavyzdþiais.

3 p a v y z d y s. Atstojamasis svyravimas susideda ið dviejø svyravimø, kuriuos nusako funkcijos: a) y1 = 2 sin 5t , y2 = 2 cos 5t ; 2π   b) y1=2 sin 3t, y2 = 2 sin  3t − ; 3   π π   c) y1 = 8 sin  2t −  , y2 = −15 cos  2t −  .

6 6   Paraðykime atstojamàjá svyravimà apibûdinanèià funkcijà.

Sprendimas. Kiekvienu atveju pagal trigonometrijos formules pertvarkæ atstojamàjá svyravimà apibûdinanèios funkcijos iðraiðkà, gauname: a)

= 2 (cos45o sin 5t + sin 45o cos5t ) = 2sin (5t + 45o ) ; 2p 2p b) y = y1 + y2 = 2 sin 3t+ 2 sin 3t= 2 sin 3t+ 2 sin 3tcos 3 3 Ł ł Ł 2p 1 3 - cos3tsi in = 2 sin 3t+ 2 sin 3t - - cos 3t = 3 ł 2 ł Ł 2ł Ł

-

3 p p p ; cos3t = 2 cos sin 3t- sin cos3t = 2 sin 3t2 3 3ł ł Ł ł Ł 3

c) , nes 82+152=64+225=289=172, 8 = cos α 17

  152 + 82 2 2 α + α = = 1 . sin cos  2 17  

15 = sin α , 17

204

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

Taigi  π π    y = 17  cos α sin  2t −  − sin α cos  2t −   , 6 6     

arba

15 π   . y = 17 sin  2t − − α  ; èia α = arcsin 17 6  

Uþdaviniai Nubraiþykite ðiø funkcijø grafikus ir nurodykite jø periodus bei reikðmiø sritis: 293. a) y =2 sin (3x 12); c) y =

1 4π   tg  2 x + ; 3 3  

x  e) y = 1 + 2 cos  1 −  ; 2  

294. a) y = 3 sin 2 x − 2; x  c) y = 2 tg  − 3  ; 2  

b) y=5 2 cos (2x+9); d) y =

5 x  ctg  − 2  ; 2 2 

f) y =

1 tg 2

b) y = − sin d) y = ctg

π   4 − 2x  .   2x ; 3

2x .

3

295. Pertvarkæ ðiø funkcijø iðraiðkas, apskaièiuokite maþiausià ir didþiausià tø funkcijø reikðmæ, nubraiþykite funkcijø grafikus: a) y = sin

3x 3x − 3 cos ; 2 2

b) y = 4 + 3 sin

x x + cos ; 2 2

π π   c) y = 2 sin  2 x +  + 2 cos  2 x −  ; 3 3  

π  d) y = 3 sin 2 x + 2 sin  2 x +  ; 3  

e) y = 3 − 5sin 2 x + 12 cos 2 x ;

f ) y = 3 sin 3 x + 2 2 cos 3 x .

296. Grafiðkai nustatykite, kiek sprendiniø turi ðios lygtys nurodytuose intervaluose: π x  a) tg = x − 2, x ∈ ( −3π; 3π ); b) tg  2 x −  = 2 − x 2 , x ∈ ( −5; 3 ) ; 3 2  x c) 2 sin 2 x = 1 − , x ∈ ( −4; 5 ) ; 4

d) ctg

2x = − sin x, x ∈ ( −2π; 2π ) .

3

205

Pasikartojantis judëjimas ir trigonometrinës funkcijos

Pakartokite 297. 1) Apskaièiuokite: a) cos 960°;

b) ctg ( 315°);

 2  1  − arccos  −   ; c) sin  arcsin 2  2      2  d) tg (arcsin 0 ) − ctg  arccos  −   ;   2   1  3π  . e) cos 2α; kai cos α = − , o α ∈  π; 3 2   2) Suprastinkite:

a)

ctg (180° − α ) tg (90° + α ) cos2 (90° + α )

ctg 2 (180° − α ) cos (270° − α ) sin (180° + α ) sin α + sin 3α ; b) c) cos 2 α cos2 α; cos α + cos 3α d) 1 cos 2α 2 cos2 α.

3) Árodykite tapatybes: a) cos4 α sin4 α=cos 2α;

;

1 + cos 2α + sin 2α = ctg α.

1 − cos 2α + sin 2α 4) Sumà sin 16°+sin 24°+sin 40° iðreikðkite sandauga.

5) Raskite ðiø funkcijø apibrëþimo bei reikðmiø sritá, didëjimo ir maþëjimo intervalus, nubraiþykite scheminius grafikus: b)

x b) y= − 3 tg .

3 x 6) Kiek sprendiniø turi lygtis cos = 1 intervale [ 18π; 24π]?

3 7) Iðspræskite lygtis: a) 2 sin2 x+5 cos x 4=0; b) 2 sin2 x+3 sin x cos x=2 cos2 x; c) sin x cos x+cos2 x=0.

8) Iðspræskite nelygybes:

a) y=2+2 cos 2x;

a) cos4 x sin4 x <

2 ; 2

c) sin x tg x ≤ 0; 9) Iðspræskite lygèiø sistemà sin ( x − y ) = 1,   1 sin ( x + y ) = .

2 

b) ctg x 2<0; d) sin 2 x ≤

1 .

2

206

FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS

10) Duota funkcija f(x)=1+cos 2x 2 sin2 x. a) Suprastinkite jos iðraiðkà. π b) Apskaièiuokite f   . 3 c) Nustatykite, su kuriomis a reikðmëmis lygtis f(x)=3a 4 turi sprendiniø.

298. 1) Apskaièiuokite:    2 3  ; + arccos  − a) sin ( 1125°); b) cos  arcsin  −    2     2     1  c) tg 300°; d) cos  − arcsin  − tg (arcsin 0 ); 2  4  3π  e) sin 2α, kai sin α = − , o α ∈  ; 2π  .

5  2  2) Suprastinkite:

a)

cos (180° − α ) tg (90° − α ) tg (180° − α )

tg (90° + α ) sin (90° + α ) ctg (90° + α ) c) cos 2x+sin2 x; 3) Árodykite tapatybes: a)

1 − cos 2α + sin 2α = tg α; 1 + cos 2α + sin 2α

;

sin α − sin 3α ; cos α − cos 3α d) 1+cos 2x 2 sin2 x.

b)

b) sin4 x cos4 x=1 2 cos2 x.

4) Sumà sin 6°+sin 56°+sin 50° iðreikðkite sandauga.

5) Raskite funkcijø apibrëþimo bei reikðmiø sritá, didëjimo ir maþëjimo intervalus, nubraiþykite scheminius grafikus: x a) y = 3 − 2 sin ; b) y= 3 ctg 2x.

2 6) Kiek sprendiniø turi lygtis sin 2x=0 intervale [ 12π; 8π]?

7) Iðspræskite lygtis: b) 3 sin2 x+sin x cos x=2 cos2 x; a) 2 cos2 x sin x+1=0; c) sin x cos x sin2 x=0.

8) Iðspræskite nelygybes: 1 b) tg x 3<0; a) cos2 x sin2 x< ; 2 1 c) cos x ctg x>0; d) sin2 x¢ .

2 9) Iðspræskite lygèiø sistemà cos ( x − y ) = 1,  cos ( x + y ) = 0,5.

10) Duota funkcija g (x)=1 cos 2x 2 cos2 x. π a) Suprastinkite jos iðraiðkà. b) Apskaièiuokite g   . 3

207

TURINYS Ávadas ..........................................................................................................

1. VEKTORIAI ...........................................................................................

1.1. Sàvokos ir þymenys ..........................................................................

1.2. Vektoriø algebra ................................................................................

Vektoriaus daugyba ið skaièiaus ....................................................

Vektoriø sudëtis ................................................................................

Vektoriø atimtis ................................................................................

Skaliarinë dviejø vektoriø daugyba ...............................................

1.3. Vektoriaus koordinatës .....................................................................

Vektorius plokðtumoje ......................................................................

Vektorius erdvëje ...............................................................................

1.4. Veiksmø su vektoriais, pateiktø koordinatëmis, taisyklës .........

3 5 5 11 11 13 15 20 33 33 36 42

2. SKAIÈIAI IR SKAIÈIAVIMAI ............................................................ 65 2.1. Skaièiaus sàvokos formavimasis. Natûralieji skaièiai .................. 65 2.2. Sveikieji skaièiai ................................................................................ 72 2.3. Racionalieji skaièiai ........................................................................... 76 2.4. Iracionalieji skaièiai .......................................................................... 80 2.5. Realieji skaièiai .................................................................................. 86 2.6. Aibës ir veiksmai su jomis .............................................................. 91 2.7. Natûraliojo laipsnio ðaknis .............................................................. 94 2.8. Laipsnis su racionaliuoju rodikliu ................................................... 102 3. FUNKCIJOS. LYGTYS, NELYGYBËS IR JØ SISTEMOS .............

3.1. Bet kurio kampo trigonometrinës funkcijos .................................

3.2. Trigonometriniø funkcijø grafikai, savybës, taikymas ................

Funkcija y=sin x ...............................................................................

Funkcija y=cos x ...............................................................................

Funkcija y=tg x .................................................................................

Funkcija y=ctg x ...............................................................................

3.3. Trigonometrinës lygtys, nelygybës ir jø sistemos ........................

3.4. Pasikartojantis judëjimas ir trigonometrinës funkcijos ..............

124 124 152 152 161 167 171 178 194

208

Regina Dalytë Ðileikienë, Vilija Dabriðienë, Valentinas Ðaltenis ir kt.

MATEMATIKA Vadovëlis XI klasei ir gimnazijø III klasei I dalis Brëþiniai Alminos Zajauskienës ir Elvio Zovës Redaktorë Zita Ðliavaitë Virðelis Tir. egz. Leid. Nr. 15 429. Uþsak. Nr. Uþdaroji akcinë bendrovë leidykla Ðviesa , Vytauto pr. 25, LT-3000 Kaunas.

El. p. mail@sviesa.lt Interneto puslapis http://www/sviesa.lt Spausdino AB spaustuvë Auðra , Vytauto pr. 23, LT-3000 Kaunas.

El. p. ausra@ausra.lt Interneto puslapis http://www.ausra.lt Sutartinë kaina