نيوتن رافسون توزيع كوشى

‫ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻰ‬‫ﺗﻘدﯾرات اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر ﻟﻣﻌﺎﻟم ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻰ‬ ‫ﺑﻔ ـ ـ ــﺮض أن ‪ n‬ﻣ ـ ـ ــﻦ اﻟﻮﺣ ـ ـ ــﺪات وﺿ ـ ـ ــﻌﺖ ﻟﻼﺧﺘﺒ ـ ـ ــﺎر وان اﻻﺧﺘﺒ ـ ـ ــﺎر ﻳﻨﺘﻬ ـ ـ ــﻲ ﺑﻌ ـ ـ ــﺪ ﻓﺸ ـ ـ ــﻞ ﻛ ـ ـ ــﻞ اﻟﻮﺣ ـ ـ ــﺪات ‪ .‬ﺑﻔ ـ ـ ــﺮض أن‬ ‫‪ X1 , X 2 , , X n‬ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﲤﺜﻞ أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ وان أزﻣﻨﺔ اﻟﻔﺸﻞ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻰ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1   x   ‬‬ ‫‪f  x;   ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1  2   x   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ ‬ﻫﻮ وﺳﻴﻂ ا ﺘﻤﻊ )ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻮﻗﻊ( و ‪ ‬ﻣﻌﻠﻤﺔ اﳌﻘﻴﺎس‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر أن اﻟﻌﻴﻨﺔ ‪ x 1 , x 2 ,...x n‬ﰎ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺮﻏﺐ ﰲ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﻌﺎﱂ ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻰ ‪2 , ‬‬

‫‪.‬‬

‫داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪L      2   x i    ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ln L   n ln   n ln    ln    x i   ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2  x  ‬‬ ‫‪ ln L n‬‬ ‫‪ 2 i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1     x    ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n  1    x i     2  x i    x i   ‬‬ ‫‪ 2 ln L‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪  2   x i   2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪  2   x i   2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4  x i  ‬‬

‫‪2   x i  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬

 2 ln L n  2  x i    .2  2  i 1 2   x   2  i   n   x i    4 2 2 i 1  2    x     i    ln L n n 2   2   i 1    x i   2    2 2  2 ln L n n 2    x i     2.2  2 2  2  i 1   2   x i   2    n n n 1 4 2   2  2 2  2 2 2  i 1     x     i 1     x     i i     n   ln L  x    then  2  2 i 2   i 1     x     i   n   x     0   2 i 2 i 1     x     i   n  ln L n    2 2 0 2   i 1     x    i  

‫ ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ اﻧﻴﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام‬ˆ ‫ و‬ˆ ‫ أي ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫ و‬ ‫وﳝﻜﻦ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ‬ . Mathematica ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ﻋﻠﻰ اﳊﺎﺳﺐ اﻻﱃ ﻣﺜﻞ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ‬ ‫ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ‬k,h ‫ﻛﻤﺎ ﳝﻜﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﺣﺪ اﻟﻄﺮق اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻛﻄﺮﻳﻘﺔ ﻧﻴﻮﺗﻦ راﻓﺴﻮن وذﻟﻚ ﺑﺎﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬ : ‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬   2 ln L  2 0  2   ln L   00

 2 ln L    ln L    0 0  h   0       2 ln L   k    ln L        02   0 

  2 ln L 2     0   h   0       k    2  ln L    0   00

 2 ln L  0 0   2  ln L   02 

1

  ln L      0  .  ln L        0 

‫ﺣﻴﺚ ‪ 0‬و ‪  0‬ﻗﻴﻤﺘﲔ ﻣﺒﺪﺋﻴﺘﲔ‪ .‬ﻧﺴﺘﻤﺮ ﰱ ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﺘﻜﺮارات ‪ iteration technique‬ﺣﱴ‬ ‫اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬ ‫ˆ‪ ‬و ˆ‪ ‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن اﻟﻔﺮق ﺑﲔ ‪   0‬و ‪   0‬ﺻﻐﲑ ﺟﺪاً ‪.‬‬