التوزيعات المختلطة والمراقبة

‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠطﺔ واﻟﻣراﻗﺑﺔ‬ ‫‪Mixed Distributions and Censoring‬‬ ‫ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت ﯾوﺟد اﻧـدﻣﺎج ﺑـﯾن ﻣﺗﻐﯾـرات ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﻘطـﻊ ﻣـﻊ ﻣﺗﻐﯾـرات‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ‪ .‬وﯾﻣﻛن ﺗوﺿﯾﺢ ذﻟك ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛـﺎل ‪ :‬ﻓــﻲ اﺧﺗﺑـﺎر ﻟﻌﻣــر ﻣﺻـﺑﺎح ‪ ،‬ﯾوﺿـﻊ اﻟﻣﺻــﺑﺎح ﺗﺣـت اﻻﺧﺗﺑــﺎر ﻟﻣـدة ﺳــﺎﻋﺔ ﺛـم ﯾﻐﻠــق ‪.‬‬ ‫ﻟــﯾﻛن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎُ ﯾﻣﺛــل زﻣــن اﻟﺣﯾــﺎة ﻟﻠﻣﺻــﺑﺎح ﺧــﻼل ﺳــﺎﻋﺔ ‪ .‬ﻓــﻲ ﻫــذا اﻻﺧﺗﺑــﺎر ﻫﻧــﺎك‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن ﻻ ﯾﻌﻣل اﻟﻣﺻﺑﺎح ﻋﻧد ﺗﺷﻐﯾﻠﻪ وﻫذا ﯾﺣدث ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ﻣوﺟب أي أن = ‪P (X‬‬ ‫‪ . 0 ) > 0‬أﯾﺿﺎ ﻗد ﯾﺣﺗرق اﻟﻣﺻﺑﺎح ﺧﻼل ﻓﺗرة زﻣﻧﯾﺔ طوﻟﻬﺎ ﺳﺎﻋﺔ أي أن ‪:‬‬ ‫‪P(0<X<1) > 0‬‬ ‫ﺣﯾـث ‪ P (X = x) = 0‬ﻋﻧـدﻣﺎ )‪ .X  (0,1‬أﯾﺿـﺎ ﻣـن اﻟﻣﻣﻛـن أن ‪P (X = 1) > 0‬‬ ‫وﻋﻧــدﻣﺎ ﻻ ﯾﺣﺗ ــرق اﻟﻣﺻ ــﺑﺎح ﺧ ــﻼل اﻻﺧﺗﺑ ــﺎر ﻓﻬ ــذا ﯾﻌﻧ ــﻰ أن زﻣ ــن اﻟﻔﺷ ــل اﻟﺣﻘﯾﻘ ــﻰ ﻻ ﯾﻣﻛ ــن‬ ‫ﻣﻼﺣظﺗﻪ واﻟذى ﯾﺳﻣﻰ اﻟﻣراﻗﺑﺔ ‪ censoring‬واﻟذي ﺳوف ﺗﺗﻧﺎوﻟﻪ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﯾﺔ ﻫذا اﻟﺑﻧد ‪.‬‬ ‫داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌــﻰ ﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺧــﺗﻠط ﺳــوف ﺗﻛــون اﻧــدﻣﺎج ﻟﻧوﻋﯾــﺔ )‬

‫اﻟﻣﺗﺻـل واﻟﻣﺗﻘطـﻊ ( ‪ .‬وﻋﻠـﻰ ذﻟـك ﻋﻧــد ﻛـل ﻧﻘطـﺔ ﻟﻬـﺎ اﺣﺗﻣـﺎل ﻣوﺟــب ﻓـﺈن داﻟـﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ ﺳــوف‬ ‫ﺗﻛون ﻏﯾـر ﻣﺗﺻـﻠﺔ وﺑﺎﻟﺗـﺎﻟﻰ ﻓـﺈن طـول اﻟﻘﻔـزة ﺳـوف ﺗﺳـﺎوى اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﻘﺎﺑـل ‪ .‬ﺑﯾﻧﻣـﺎ ﻋﻧـد ﻛـل‬ ‫اﻟﻧﻘط اﻷﺧرى ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﺳوف ﺗﻛون ﻣﺗﺻﻠﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ﺑﻔرض أن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻌطﺎة ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬

‫‪x0‬‬

‫‪F( x )  0‬‬

‫‪x 1‬‬ ‫‪0  x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  x.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪P(X  0)  F(0)  F(0) ‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺑﯾﺎن )‪ F(x‬ﻣوﺿﺢ ﻓـﻲ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗـﺎﻟﻰ ‪ .‬ﻧﻼﺣـظ أن )‪ F(x‬ﻟﯾﺳـت داﻟـﺔ ﻣﺗﺻـﻠﺔ وﻟﯾﺳـت داﻟـﺔ‬ ‫ﺳ ــﻠﯾﻣﺔ‪ .‬وﻋﻠ ــﻰ ذﻟ ــك ‪ ،‬ﻓ ــﺈن داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻹﺣﺗﻣ ــﺎل اﻟﻣﻘﺎﺑﻠ ــﺔ ﺳ ــوف ﺗﻛ ــون ﻏﯾ ــر ﻣﺗﺻ ــﻠﺔ وﻏﯾ ــر‬ ‫ﻣﺗﻘطﻌﺔ‪ .‬وﺳوف ﺗوﺻف ﺑﺎﻟداﻟﺔ اﻟﺧﻠﯾط ‪.‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪0  x 1‬‬

‫‪dF( x ) 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x0‬‬

‫‪f (x) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺛــﺎل ‪ :‬ﺑﻔــرض أن زﻣــن اﻟﻣﻛﺎﻟﻣــﺔ اﻟﺗﻠﯾﻔوﻧﯾــﺔ ﺑﺎﻟــدﻗﺎﺋق اﻟﻣطﻠوﺑــﺔ ﻟﻣﻛــﺎن ﺑﻌﯾــد ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ‬ ‫ﺑداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ‪:‬‬

‫‪x0‬‬ ‫‪x0‬‬

‫‪F( x )  0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫]‪ 1  e ( x / 3)  e [ x / 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﯾث ] ‪ [ y‬ﻫو أﻛﺑر ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻏﯾر ﺳﺎﻟب أﻗل ﻣن أو ﯾﺳﺎوى ‪. y‬‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ ﻫﻧ ــﺎ ﻣﺗﻐﯾ ــر ﺧﻠ ــﯾط ) ﻟ ــﯾس ﻣﺗﺻ ــل وﻻ ﻣﺗﻘط ــﻊ (‪ .‬ﺑﯾ ــﺎن )‪ F(x‬ﻣوﺿ ــﺢ ﻓ ــﻲ‬ ‫اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫]‪P(X  4)  P(X  4)  F(4)  1  e ( 4 / 3)  e[4 / 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1  e ( 4 / 3)  e1  .684.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪٣‬‬

‫وذﻟك ﻻن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻋﻧد اﻟﻧﻘطﺔ ‪ 4‬وﻟذا ﻓﻼ ﺗوﺟد ﻗﻔزات ﻋﻧد ‪. 4‬‬

‫)‪P(5  X  9‬‬ ‫)‪P( X  5‬‬ ‫)‪F(9)  f (9)  F(5‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1  F(5‬‬ ‫)‪1 ( 5 / 3‬‬ ‫‪(e‬‬ ‫) ‪ e1  e 3  e 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪1 (5 / 3‬‬ ‫‪(e‬‬ ‫) ‪ e1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.187‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .670,‬‬ ‫‪.279‬‬

‫‪P (X  9 X  5) ‬‬

‫)‪P(5  X  9) F(9)  f (9)  F(5‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪P( X  9‬‬ ‫)‪F(9)  f (9‬‬ ‫)‪1 (5 / 3‬‬ ‫‪(e‬‬ ‫) ‪ e1  e 3  e 2‬‬ ‫‪.187‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .206.‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪908‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪1  (e  e‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪P (X  5 X  9) ‬‬

‫ﻣﺛﺎل ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻰ )‪ F(x‬اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪F( x )  0‬‬

‫‪x0‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0  x 1‬‬ ‫‪1 x  2‬‬ ‫‪2 x3‬‬ ‫‪3  x.‬‬ ‫ﺑﯾﺎن )‪ F(x‬ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﺑﺎﺳﺗﺧدام )‪ . F(x‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P ( 0  X  1)  ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P ( X 1)  ,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 1 5‬‬ ‫‪P (1 X  2 )    .‬‬ ‫‪3 4 12‬‬ ‫‪P ( 0  X  1) ‬‬

‫ﻣﺛﺎل ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻰ ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪F( x )  0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x0‬‬ ‫‪0  x 1‬‬ ‫‪1 x  2‬‬ ‫‪2  x.‬‬ ‫ﺑﯾﺎن )‪ F(x‬ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ‪ X‬ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺧـﺗﻠط ) إذا ﻛـﺎن ﺟـزء‬

‫ﻣﻧﻬﺎ ﻣﺗﻘطﻊ وﺟزء ﻣﺗﺻل ( ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫) ‪F( x )  a F1 ( x )  (1  a ) F2 ( x‬‬

‫ﺣﯾث )‪ F1(x‬و )‪ F2(x‬ﻫﻣﺎ داﻟﺗﺎ ﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻘطﻊ وﻣﺗﺻﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﯾب و ‪. 0 < a < 1‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ‪ :‬ﺑﻔرض أن ﺳﺎﺋق ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﺷﺎﻫد إﺷـﺎرة اﻟﺗوﻗـف أﻣـﺎ اﻧـﻪ ﯾﻧﺗظـر ﻟﻔﺗـرة زﻣﻧﯾـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻗﺑـل‬ ‫أن ﯾﺗﺣرك أو اﻧﻪ ﯾﺗﺣرك ﻓﻲ اﻟﺣﺎل ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻧﻣوذج زﻣن اﻻﻧﺗظﺎر ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪x  0‬‬

‫‪F(x)  0‬‬

‫‪x  0‬‬

‫‪ .3‬‬

‫‪x  0‬‬

‫) ‪ ( 1 - e x‬‬

‫أﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ )‪ F(x‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫) ‪F(x)  .3 F1 ( x )  .7 F2 ( x‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪ ، F2 ( x )  1  e x , F1 ( x )  1‬ﺣﯾ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــث ) ‪ ، (   0‬إذا ﻛﺎﻧ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــت ‪ x  0‬ﺑﯾﻧﻣ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ‬ ‫‪ F1 ( x )  0, F2 ( x )  0‬ﻋﻧـدﻣﺎ ‪ . x < 0‬ﺑﯾـﺎن )‪ F(x‬ﻣوﺿـﺢ ﻓـﻲ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗـﺎﻟﻰ ‪ .‬وﻋﻠـﻰ‬ ‫ذﻟك اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺣرك ﻓﻲ اﻟﺣﺎل ﻫـو ‪ . P ( X =0) = .3‬اﺣﺗﻣـﺎل أن ﯾﻛـون زﻣـن اﻻﻧﺗظـﺎر أﻗـل‬ ‫ﻣن ‪ .4‬دﻗﯾﻘﺔ ﻫو ‪:‬‬

‫‪P X  .4   .3  .7 ( 1 - e .4 ) .‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪ X‬إذا ﻋﻠم أن ‪ X > 0‬ﻫو ‪:‬‬

‫] ‪P [0  X and X  x‬‬ ‫]‪P[0 X‬‬

‫‪P[ X x 0X ] ‬‬

‫] ‪P[ 0 X  x‬‬ ‫] ‪P[ 0 X‬‬

‫‪‬‬

‫‪F(x) - F(0) 3.  .7(1  e  x )  .3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1 - F(0‬‬ ‫‪1  .3‬‬ ‫) ‪(1  e  x‬‬ ‫‪ .7‬‬ ‫‪ (1  e  x ).‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫ﻋـﺎدة ﻓـﻲ اﺧﺗﺑـﺎرات اﻟﺣﯾــﺎة ‪ ،‬ﻧﻌـرف أن طـول اﻟﻌﻣـر ‪ ،‬ﻟــﯾﻛن ‪ ، X‬ﯾزﯾـد ﻋـن ﻋـدد ‪ b‬وﻟﻛــن‬ ‫اﻟﻘﯾﻣــﺔ ﺑﺎﻟﺿــﺑط ﺗﻛــون ﻏﯾــر ﻣﻌﻠوﻣــﺔ ‪ .‬وﻫــو ﻣــﺎ ﯾﺳــﻣﻰ ﺑﺎﻟﻣراﻗﺑــﺔ ‪ .‬ﻋﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل ﻋﻧــدﻣﺎ‬ ‫‪٦‬‬

‫‪٧‬‬

‫ﯾﺧﺗﻔــﻲ ﻣ ـرﯾض ﺑﺎﻟﺳــرطﺎن ﻗﺑــل اﻧﺗﻬــﺎء اﻻﺧﺗﺑــﺎر و ﯾﻌﻠــم اﻟﻘــﺎﺋم ﺑﺎﻻﺧﺗﺑــﺎر أن اﻟﻣ ـرﯾض أﺳــﺗﻣر‬ ‫ﺧــﻼل اﻻﺧﺗﺑــﺎر ﻟﻘﯾﻣــﺔ ﻣــﺎ ﺑﺎﻟﺷــﻬور ‪ ،‬وﻟﻛــن زﻣــن اﻟﺣﯾــﺎة ﺑﺎﻟﺿــﺑط ﯾﻛــون ﻏﯾــر ﻣﻌــروف ‪ .‬أﯾﺿــﺎ‬ ‫ﻓـﻲ اﻟﺗﺟـﺎرب اﻟﺗـﻲ ﺗـﺗم ﻋﻠــﻰ ﺣﯾواﻧـﺎت اﻟﺗﺟـﺎرب ﻗـد ﺗﻔﻘـد ﺑﻌــض اﻟﻔﺋـران أو أن ﯾﻛـون اﻟﻘـﺎﺋم ﻋﻠــﻰ‬ ‫اﻟﺑﺣث ﻟﯾس ﻟﻪ اﻟوﻗت اﻟﻛﺎﻓﻲ ﻻﺗﻣﺎم اﻟﺗﺟرﺑﺔ أو ﻋﻧد اﻟرﻏﺑﺔ ﻓـﻲ ﺗﻘﻠﯾـل ﺗﻛـﺎﻟﯾف اﻟﺗﺟرﺑـﺔ ٕواﻧﻬﺎﺋﻬـﺎ‬

‫ﻋﻧد زﻣن ﻣﺎ ‪.‬‬

‫‪٧‬‬