اوﻻ :ﺣﻞ اﻟﺴﺆال اﻻول وﳌﺰﻳﺪ ﻣﻦ اﻟﺘﻔﺎﺻﻴﻞ ﳝﻜﻨﻚ اﻟﺮﺟﻮع اﱃ ﻛﺘﺎﰉ ﻋﻠﻰ اﳌﻨﺘﺪى اﺳﺘﺨﺪام اﻻﺳﺘﺪﻻل اﻻﺣﺼﺎﺋﻰ اﻟﺒﻴﻴﺰى ﰱ اﺧﺘﺒﺎرات اﳊﻴﺎة اﻟﻔﺼﻞ اﳋﺎﻣﺲ ﺗﻘدﯾر اﻻﻣﻛﺎن اﻻﻛﺑر ﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﯾﺎة ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ اﺧﺘﺒﺎر اﳊﻴﺎة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻣﺮاﻗﺒﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﻟﺜﺎﱐ وﺑﻔﺮض ان y1 y 2 y rﻫﻰ ال rاﻻوﱃ ﻣﻦ اﳌﺸﺎﻫﺪات اﳌﺮﺗﺒﺔ واﳌﺎﺧﻮذة ﻣﻦ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﳊﺠﻢ nﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻰ ﲟﻌﻠﻤﺔ ﺣﻴﺚ r nو y y1 , y 2 , , y rواﳌﻄﻠﻮب ﺗﻘﺪﻳﺮ ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة . داﻟﺔ اﻹﻣﻜﺎن ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻵﰐ : r !n f (yi )[1 F(yr )]n r (n r)! i 1
L(y1 , y 2 ,..., y n | ) L y
y
r !n ) 1 ( i ) ( r [ e ][e ]n r (n r)! i 1 r
1
] yi (n r) y r n! 1 ( [ i 1 e . (n r)! r
ﻣﻘﺪر اﻹﻣﻜﺎن اﻷﻛﱪ MLEﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ﻫﻮ اﳊﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ : ln L 0 ˆ
وﻳﺘﻢ ﺑﺎﳋﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: r
] [ y i (n r)y r i 1
ln L r ln
r
] [ yi (n r)y r .
i 1
2
ln L r
ﺑﻮﺿﻊ : ln L 0. ˆ
١
r
y
(n r)y r r i 1 i ˆ ˆ 2 r u ˆ ,u= y i (n r)y r . r i 1 . ˆ اﻻن ﻳﺘﻢ دراﺳﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﳌﻀﺒﻮط ﻟﻠﻤﻘﺪر
:داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﰲ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ r
1 g(y1 , y 2 ,..., y r ) r exp(
[ y i (n r)y r ] i 1
)
r
. U [ Yi (n r)Yr ] اﻻن اﳌﻄﻠﻮب اﳚﺎد ﺗﻮزﻳﻊ i 1
:ﺑﻔﺮض اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻷﺣﺎدﻳﺔ
Z1 n (Y1 Y0 ), Z2 (n 1)(Y2 Y1 ) Z3 (n 2)(Y3 Y2 ) Zi (n i 1)(Yi Yi1 ) , i 1,2,...,r , Y0 0 :واﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﳍﺎ ﻫﻲ Z Z Zi Yi 1 2 ... , i 1,2,,r, n n 1 n i 1 : وﻫﺬا ﻳﻌﲎ ان r
r
Y (n r)Y Z i
r
i 1
i
U .
i 1
:وﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﻢ اﳚﺎد ﺟﺎﻛﻮﺑﻴﺎن اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ
y1 z1 y 2 J z1 y r z1
y1 z 2
y1 z r
y 2 y 2 n! z 2 z r . (n r)! y r z 2
y r z r : وﻣﻨﻬﺎ
٢
r
zi
) 1 ( i 1 g(z1 ,z 2 ,...,z r ) r e . ﳑﺎ ﻳﻌﲏ إن اﳌﺘﻐﲑات Z iﻣﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ وﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ . Zi E xp() U G(, r).
ﺣﻴﺚ ان ﺗﻮزﻳﻊ Uﻫﻮ : u > 0.
1 ( )r u h(u) = u r-1 e )(r
,
r
ﻛﻤﺎ ﳝﻜﻦ ﳝﻜﻦ إﳚﺎد ﺗﻮزﻳﻊ U Ziﻣﻦ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ : i 1
1
M Zi (t) (1 t) ,i 1, 2,...r (t) (1 t) r .
r
M
Zi i1
واﻟﱵ ﲤﺜﻞ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﳌﺘﻐـﲑ ﻋﺸـﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒـﻊ ﺟﺎﻣـﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘـﲔ ). (, rاﻟﺘﻮزﻳـﻊ اﳌﻀـﺒﻮط ﻟﻠﻤﻘـﺪر ˆ ﳝﻜـﻦ اﳚـﺎدﻩ ﻣـﻦ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﻛﺎﻟﺘﺎﱃ : t r ) . r
(t) (1
r
Zi i1
Mˆ (t) M U (t) M r
r
r
واﻟﱵ ﲤﺜﻞ اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪة ﻟﻠﻌﺰوم ﳌﺘﻐﲑ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﲟﻌﻠﻤﺘﲔ ). ( , r ﻹﳚﺎد اﻟﺘﻮﻗﻊ واﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﺘﻮزﻳﻊ ˆ ) اﳌﻀﺒﻮط ( exactﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ: أي ان ˆ ﻣﻘﺪر ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ . اﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ﻟﻠﻤﻘﺪر ˆ ﳛﺴﺐ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ :
1 1 E(ˆ ) E(U) (r) . r r . 1 r ) Zi r i 1
(Var(ˆ ) = Var n
) Var(Z i
i 1
1 n2
1 2 2 (r =) . r2 r
وداﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻠﻤﺘﻐﲑ ˆ ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﱄ :
٣
= =
ˆ > 0.
,
r ( )n ˆr r 1 ˆ ˆ f() e )(r
ﻻﺛﺒﺎت أن اﳌﻘﺪر ˆ ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﺑﺄﻗﻞ ﺗﺒﺎﻳﻦ أي MVUEﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﺎﱃ .: 2 ln L r u 2 2 3. 2 2 ln L r 2r r (E ) 2 3 2 2 2 2 1 ˆ) . (Var 2 ln L r r ( E ) 2
أي أن اﳌﻘﺪر ˆ ﻫﻮ ﻣﻘﺪر ﻏﲑ ﻣﺘﺤﻴﺰ ﺑﺄﻗﻞ ﺗﺒﺎﻳﻦ أي . MVUE ﻹﺛﺒﺎت أن ˆ إﺣﺼﺎء ﻛﺎﰲ sufficientﻧﺘﺒﻊ اﻵﰐ : u
1 L= r e
u
L = (1).(-r e ) , N(x) . K(u,). u
ﺣﻴﺚ N(x) =1و . K(u,)=-r e U sufficient for . ˆ sufficient for . r U U= Ziإﺣﺼﺎء ﻛﺎﰲ ﻟﻠﻤﻌﻠﻤﺔ وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈن n i=1
ˆ إﺣﺼﺎء ﻛﺎﰲ أﻳﻀﺎ .
ﺛﺎﻧﯾﺎ :اﻟﺳؤال اﻟﺛﺎﻧﻰ ﯾﻣﻛﻧك ﺗﺗﺑﻊ اﻟﻣﺛﺎﻟﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن وﺳوف ﺗﺣﻠﻪ ان ﺷﺎء اﷲ
ﻣﺛﺎل ﺑﻔرض أن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ٕ ،واذا ﻛﺎن Y X 2ﻓﺈن : ) FY (y) P[X 2 y] P[ y X y] FX ( y) FX ( yأوﺟد )f Y (y
اﻟﺣــل: ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Yﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻬﺎ ﺑدﻻﻟﺔ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ
اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xوذﻟك ﻷن :
٤
d [FX ( y) FX ( y)] dy d d f X ( y) y f X ( y) ( y) dy dy 1 [f X ( y) f X ( y)] y0 2 y
f Y (y)
= 0 ,
e.w. ﻣﺛﺎل : ﻫﻲX إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر
f (x)
1 8
, 2x6 . Y = X2 أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر :اﻟﺣــل
f Y (y) f Y (y)
1 f 2 y X
y f X
y
1 1 1 0y4 8 2 y 8 1
f 2 y X
1 0 8 2 y
y 0
, 4 y 36
: ﻫﻲY أي أن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر 1 8 y f Y (y) 1 16 y
,
0 y 4.
, 4 y 36.
٥