ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد
) (١ﻣﻌﺎﻣ ل اﻟﺗﺣدﯾ د ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ ﻣﺗﻐﯾ ر ﻣﺳﺗﻘل واﺣد
) (١-١ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟﺧطﻲ اﻟﺑﺳﯾط
ﻓ ــﻲ ﺣﺎﻟ ــﺔ اﻻﻧﺣ ــدار اﻟﺧط ــﻲ اﻟﺑﺳ ــﯾط ﺣﯾ ــث ﯾوﺟ ــد ﻣﺗﻐﯾ ــر ﻣﺳ ــﺗﻘل واﺣ ــد xوﻣﺗﻐﯾ ــر
ﺗـﺎﺑﻊ Yﻓـﺈن اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت ﺗﻣﺛـل ﺑــﺄزواج اﻟﻣﺷـﺎﻫدات(x i , yi), i 1,2,..., n
.ﺳــوف
ﻧﻌــرف ﻛــل ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷـواﺋﻲ Yi Y | x iﺑﻧﻣــوذج إﺣﺻــﺎﺋﻲ Statistical model وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن ﻛل اﻟﻣﺗوﺳطﺎت Y|x iﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺧط ﻣﺳﺗﻘﯾم ﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿـﺢ
ﻓــﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ .وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﻛــل ﻣﺗﻐﯾــر Yiﯾﻣﻛــن وﺻــﻔﺔ ﺑﻧﻣــوذج اﻧﺣــدار ﺑﺳــﯾط
ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ:
)(١-١
Yi Y|xi i 0 1x i i ,
ﺣﯾث اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ، iﺧطﺄ اﻟﻧﻣوذج ،ﻻﺑد أن ﯾﻛون ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر
١
ﺗﺷ ﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ 1ﻓ ﻲ ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار ) ،(١-١وھ ﻰ ﻣﯾ ل ﺧ ط اﻻﻧﺣ دار إﻟ ﻰ اﻟﺗﻐﯾر ﻓﻲ ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ Yﻟﻛ ل وﺣ دة زﯾ ﺎدة ﻓ ﻲ .xأﻣ ﺎ اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ 0ﻓﺗﻣﺛ ل اﻟﺗﻘ ﺎطﻊ اﻟﺻ ﺎدي ﻟﺧ ط اﻻﻧﺣ دار .وإذا اﺣﺗ وى ﻣ دى اﻟﻧﻣ وذج ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘﯾﻣ ﺔ x 0ﻓ ﺎن 0ﺗﻌط ﻲ ﻣﺗوﺳ ط اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾ ر Yﻋﻧ دﻣﺎ . x 0وﻟﯾس ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ 0أي ﺗﻔﺳﯾر ﺧﺎص ﺑﮭﺎ ﻛﺣ د ﻣﻧﻔﺻ ل ﻓ ﻲ ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار إذا ﻟم ﯾﺗﺿﻣن ﻣﺟﺎﻟﺔ اﻟﻘﯾﻣﺔ . x 0 ﯾﻘ ﺎل ﻋ ن اﻟﻧﻣ وذج ) (١-١اﻧ ﮫ ﺑﺳ ﯾط وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌ ﺎﻟم وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳﺗﻘل .ﻓﮭو ﺑﺳﯾط ﻷﻧﮫ ﯾﺳﺗﺧدم ﻣﺗﻐﯾرا ﻣﺳﺗﻘﻼ واﺣدا ﻓﻘط ،وﺧطﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌ ﺎﻟم ﻷﻧ ﮫ ﻻ ﺗظﮭر أى ﻣﻌﻠﻣﮫ ﻛ ﺄس أو ﻣﺿ روﺑﺔ ﺑﻣﻌﻠﻣ ﮫ أﺧ رى ،وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل ﻻن ھ ذا اﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻻ ﯾظﮭ ر إﻻ ﻣرﻓوﻋ ﺎ ﻟ ﻸس اﻟواﺣ د .أﯾﺿ ﺎ ﯾﻌ رف اﻟﻧﻣ وذج )(١-١ ﺑﺎﻟﻧﻣوذج ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ اﻷوﻟﻰ
) (٢-١أﺳﻠوب ﺗﺣﻠﯾل اﻻﻧﺣدار Analysis of variance approach ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻹﺣﺻﺎء Tﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم H 0 : 1 0ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل H 0 : 1 0و ذﻟ ك ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﺟ ودة ﺧ ط اﻻﻧﺣ دار اﻟﻣﻘ در .ﻏﺎﻟﺑ ﺎ ﯾﺟ رى اﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔرض اﻟﺳﺎﺑق ﺑﺄﺳ ﻠوب ﺗﺣﻠﯾ ل اﻻﻧﺣ دار ﺣﯾ ث ﯾﺟ زئ اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﻛﻠ ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗﺎﺑﻊ إﻟﻰ ﻣﻛوﻧﺎت ذات ﻣﻌﻧﻰ .ﺑﻔرض ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن nﻧﻘ ﺎط اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻓ ﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﻌ ﺎدي ) ( x i , yiواﻧ ﮫ ﺗ م ﺗﻘ دﯾر ﺧ ط اﻻﻧﺣ دار .ﻓ ﻲ أﺳ ﻠوب ﺗﺣﻠﯾ ل اﻷﻧﺣ دار ﺳوف ﻧﺑدأ ﺑﺎﻟﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: )(٢-١
( yi y) ( yˆi y) ( yi yˆi ) . ٢
واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ً ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ
ﺑﺗرﺑﯾﻊ طرﻓﻲ ) (٢-١واﻟﺟﻣﻊ ﻋﻠﻰ ﻛل ﻗﯾم اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ nﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ : n
n
n
i 1
i 1
i 1
) y) 2 ( yˆ i y) 2 ( yi yˆ) 2 2 ( yˆ i y)( yi yˆi
n ( yi i 1
)(٣-١ اﻟﺣد اﻟﺛﺎﻟث ﻋﻠﻰ اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﻣن ﻣن ) (٣-١ﯾﻣﻛن إﻋﺎدة ﻛﺗﺎﺑﺗﮫ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ: n
n
n
i 1
i 1
i 1
) 2 ( yˆi y)( yi yˆi ) 2 yˆ i ( yi yˆi ) 2 y ( yi yˆ i n
n
i 1
i 1
2 yˆi ei 2 y ei 0 .
وذﻟ ك ﻷن ﻣﺟﻣ وع اﻟﺑ واﻗﻲ داﺋﻣ ﺎ ً ﺗﺳ ﺎوي ﺻ ﻔر وﻣﺟﻣ وع اﻟﺑ واﻗﻲ اﻟﻣ رﺟﺢ ﺑ ﺎﻟﻘﯾم اﻟﻣﻘدرة yˆiأﯾﺿﺎ ً ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر وﻋﻠﻰ ذﻟك : )(٤-١
n
n
i 1
i 1
y) 2 ( yˆ i y) 2 ( y i yˆi ) 2
n ( yi i 1
اﻟﺟﺎﻧ ب اﻷﯾﺳ ر ﻣ ن ) (٤-١ﯾﺳ ﻣﻰ ﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﻣﺻ ﺣﺢ ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات yi ) ، SYY ، (corrected sum of squaresواﻟ ذي ﯾﻘ ﯾس اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﻛﻠ ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺷﺎھدات .yiاﻟﻣﻛوﻧﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﻣ ن ﻣ ن ) (٤-١ﯾﻘﯾﺳ ﺎن ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗ واﻟﻲ ﻛﻣﯾ ﺔ اﻻﺧﺗﻼف ﻓﻲ اﻟﻣﺷﺎھدات yiاﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن ﺧط اﻻﻧﺣدار واﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﺑ ﺎﻗﻲ واﻟ ذي ﻟ م ﯾﻔﺳر ﺑﺧط اﻻﻧﺣدارﺣﯾث y) 2
n ˆi (y i 1
SSR ﯾرﻣز ﻟﻣﺟﻣ وع ﻣرﺑﻌ ﺎت اﻻﻧﺣ دار
٣
the regression sum squaresو أﻣ ﺎ yˆi ) 2
n ( yi i 1
SSE ﻓﯾرﻣ ز ﻟﻣﺟﻣ وع
ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺑواﻗﻲ .وﻋﻠﻰ ذﻟك ) (٣-١ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ: )(٥-١
SYY SSR SSE .
أن ﻋﻣﻠﯾ ﺔ ﺗﺟزﺋ ﺔ درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ﺗ ﺗم ﻛﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ .اﻟﻣﺟﻣ وع SYYﻟ ﮫ n-1درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ وذﻟ ك ﻻن درﺟ ﺔ ﺣرﯾ ﺔ واﺣ ده ﻓﻘ دت ﻧﺗﯾﺟ ﺔ ﻟﻠﻘﯾ د y) 0
n (yi i 1
ﻋﻠ ﻰ
اﻻﻧﺣراﻓﺎت . yi yiاﻟﻣﺟﻣوع SSRﻟﮫ درﺟﺔ ﺣرﯾ ﺔ واﺣ ده وذﻟ ك ﻷن SSRﯾﻘ در ﻛ ﺎﻣﻼ ﺑﻣﻌﻠﻣ ﺔ واﺣ ده وھ ﻲ . b1وﻓ ﻲ اﻟﻧﮭﺎﯾ ﺔ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻌﻠ م ﺳ ﺎﺑﻘﺎ ً أن SSEﻟﮭ ﺎ n-2 درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ وذﻟ ك ﻟوﺟ ود ﻗﯾ دﯾن ﻋﻠ ﻰ اﻻﻧﺣراﻓ ﺎت yi yˆiﻓ ﻲ ﻋﻣﻠﯾ ﺔ ﺗﻘ دﯾر . b 0 , b1وﻷن درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ﻟﮭ ﺎ ﺧﺎﺻ ﯾﺔ اﻟﺗﺟﻣﯾ ﻊ ﻓ ﺈن ) . n-1=1+(n-2ﻻﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔرض H 0 : 1 0ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل H1 : 1 0ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﻠ م أﻧ ﮫ ﺗﺣ ت ﻓ رض اﻟﻌ دم ﯾﻣﻛ ن أﺛﺑ ﺎت أن SSE / 2و SSR / 2ﻣﺗﻐﯾ رﯾن ﻋﺷ واﺋﯾﯾن ﯾﺗﺑﻌ ﺎن ﻣرﺑ ﻊ ﻛﺎى ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ n-2و 1ﻋﻠﻰ اﻟﺗ واﻟﻲ .أﯾﺿ ﺎ ً SYY / 2ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ﯾﺗﺑ ﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ . n-1وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻻﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔ رض اﻟﺳ ﺎﺑق ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺳ ﺗﺧدم اﻹﺣﺻﺎء Fواﻟذي ﯾﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ :
)(٦-١
SSR / 1 MSR MSR )SSE /(n 2 MSE S2
F
وﺑﻣ ﺎ أن MSRو MSEﻣﺗﻐﯾ رﯾن ﻋﺷ واﺋﯾﯾن ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن وﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻛ ون ﻓ رض اﻟﻌ دم H 0 : 1 0ﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈن اﻹﺣﺻﺎء Fﻓﻲ ) (٦-١ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ Fﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ n- 2و . 1إذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ Fاﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻛﺑﯾرة ﻓﺈن ھ ذا ﯾﻌﻧ ﻲ أن اﻟﻣﯾ ل . 1 0وﻋﻠ ﻰ ذﻟك ﻹﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض H 0 : 1 0ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻼﺣﺻ ﺎء Fوﻧ رﻓض H 0إذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ Fاﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﺗزﯾد ﻋ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ اﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ F ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻣوﺿﺣﺔ ﺑﺎﻟﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻣظﻠﻠﮫ ﻓﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ. ﻋ ﺎدة ﺗﻠﺧ ص اﻟﺣﺳ ﺎﺑﺎت ﻓ ﻲ ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن أو أﺧﺗﺻ ﺎرا ً ﺟ دول ANOVA واﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ.
٤
Mean Squares MS
F
Degrees Of Freedom df
Source Of Variance S.O.V
Sum Of Squares SS
SSR
1
اﻻﻧﺣدار
SSE
n-2
اﻟﺧطﺄ
SST
n-1
اﻟﻛﻠﻲ
ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﻤﺮﺑﻌﺎت ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻤﺮﺑﻌﺎت
MSR / s 2
MSR
SSE n2
s2
درﺟﺎت اﻟﺤﺮﻳﺔ
ﻣﺼﺪر اﻻﺧﺘﻼف
ﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎﻧت ﺗﻛﺎﻟﯾف ﺻﯾﺎﻧﺔ ﺳﯾﺎرات اﻟﺷﺣن ﺗزﯾد ﻣﻊ ﻋﻣر اﻟﺳﯾﺎرة .اﺳﺗﺧدم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﻰ: )أ( ﺗﻘدﯾر ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدر اﻟﺧطﻲ )ب( اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم H 0 : 1 0ﺿ د اﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل H1 : 1 0 ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05
4.5
x
6.0
6.0
5.0
5.0
5.0
5.5
5.0
4.0
5.0
4.0
4.5
619 1049 1033 495 723 681 890 1522 987 1194 163 182 764
y
اﻟﺣـل 64 4.92308, 13
n xi i 1
n
10302 792.462 , 13
٥
x و n 13
n yi i 1
n
y
4.5
n
n
n
SXY x i yi x i yi 50648.5 i 1
i 1 i 1 n ( xi )2 i 1
(64)(10302) 69.0385 , 13
(64) 2 SXX 320 4.92308 , n 13 SXY 69.0385 b1 14.0234 , SXX 4.92308 b 0 y b1x 792.464 ( 14.0234)(4.92308) 861.5 . n 2 xi i 1
: ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ھﻲ yˆ 861.5 14.0234 x .
.واﻟﻣﻣﺛﻠﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﻊ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر 1600 1400 1200 1000 800 600 400 2
3
4
5
6
7
: اﻵن ﻧﺣﺳب n
, SYY
n yi2 i 1
( yi ) 2
i 1
n
(10302) 2 9933940 1.77001 10 6 13
(SXY) 2 ( 69.0385) 2 , SSR b1SXY 968.157 SXX 4.92308 ,
: ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰSYY ﻣنSSR وﺑطرح
SSE SSY SSR 1.77001 106 968.157 1.76904 106 SSR 968.157 MSR 968.157 , 1 1 SSE 1769040 MSE 160821 .8 . n2 11 ٦
ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ
وﺑﻣﺎ أن ﻗﯾﻣﺔ ، Fاﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻣ ن اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق أﻗ ل ﻣ ن ﻗﯾﻣ ﺔ Fاﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ وھ ﻰ : F0.05 (1,11) 4.84ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘﺑ ل ﻓ رض اﻟﻌ دم . H 0 : 1 0و ﯾﺟ ب اﻟﺗﻧوﯾ ﮫ ھﻧ ﺎ أﻧ ﮫ ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻗﯾﻣﺔ Fاﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ أﻗل ﻣن اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌ دم ﺑ دون اﻟﻧظر إﻟﻰ ﻗﯾﻣﺔ Fاﻟﺟدوﻟﯾﺔ . اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن F , t وﻋﻧد اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم : H 0 : 1 0 ,
ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل : H1 : 1 0 ,
اﺧﺗﺑﺎر tﯾﻛﺎﻓﺊ اﻻﺧﺗﺑ ﺎر اﻟ ذي ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾ ﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن اﻟﻣﻌط ﻰ ﻓ ﻰ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق وذﻟك ﻟﻔرض ﺑدﯾل ذي ﺟﺎﻧﺑﯾن ﺣﯾث اﻣﻛن اﺛﺑﺎت ان : MSR , MSE اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻻﺳﺎﺳﯾﺔ ﺑﯾن ﺗوزﯾﻊ tﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ وﺗوزﯾﻊ Fﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ و 1ﺣﯾث n 2ھﻲ : t2
t 2 / 2 () F [1, ] .
ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘ ﺔ ،إن اﺧﺗﺑ ﺎر tﯾﺳ ﻣﺢ ﺑﺎﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ن ﺟﺎﻧ ب واﺣ د ﺑﯾﻧﻣ ﺎ اﺧﺗﺑ ﺎر Fﻣﻔﯾ د ﻓ ﻲ اﺧﺗﺑﺎر ذو ﺟﺎﻧﺑﯾن .
) (٣-١ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد Coefficient of determination ﻋﻠﻣﻧﺎ ﻓﻲ اﻟﺑﻧد اﻟﺳﺎﺑق أن : SYY =SSE + SSR ٧
وﺑﻘﺳﻣﺔ طرﻓﻲ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻰ SYYﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ : SSE SSR SYY SYY
1
أي ان: SSR SSE = 1SYY SYY
R2
ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد واﻟذى ﻣ ن اﻟﺳ ﮭل ﺣﺳ ﺎﺑﮫ ﻣ ن ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن وﯾﻌﺗﺑ ر ﻣ ن اﻛﺛ ر اﻟﻣﻘ ﺎﯾﯾس اﻟوﺻ ﻔﯾﺔ ﺷ ﯾوﻋﺎ ﻟوﺻ ف اﻟﻌﻼﻗ ﺔ اﻟﺧطﯾ ﺔ ﺑ ﯾن xو Yوﺧﺻوﺻ ﺎ ﻓ ﻲ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﺗﻌدد ٠ﺑﻣﺎ ان 0 SSE SYYﻓ ﺎن ھ ذا ﯾﻌﻧ ﻲ ان ، 0 R 2 1 وﻗﯾﻣﺔ R 2اﻟﻘرﯾﺑ ﺔ ﻣ ن 1ﺗﻌﻧ ﻲ ان ﻣﻌظ م اﻟﺗﻐﯾ ر ﻓ ﻲ yﯾﻔﺳ ر ﻣ ن ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار٠ ﯾﻣﺛ ل ﻣﻌﺎﻣ ل اﻟﺗﺣدﯾ د ﻧﺳ ﺑﺔ ﻣﺳ ﺎھﻣﺔ ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار اﻟﻣﻘ درة ﻓ ﻲ ﺗﻔﺳ ﯾر او ﺷ رح اﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻓﻲ ﻗﯾم yﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ، yاو اﻟﻧﺳﺑﺔ ﺑﯾن اﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟﻣوﺿﺣﺔ إﻟﻰ اﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟﻛﻠﯾﺔ ٠ﻓﻣ ﺛﻼ ﻟ و ﻛﺎﻧ ت R 2 0.9ﻓﮭ ذا ﯾﻌﻧ ﻲ ان 90% ﻣن اﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻓﻲ ﻗﯾم yﺗم ﺷرﺣﮭﺎ او ﺗﻔﺳﯾرھﺎ ﺑواﺳطﺔ ﻗ ﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل xأو ان ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار اﻟﻣﻘ درة ﺗﻘ در 90%ﻣ ن اﻻﻧﺣراﻓ ﺎت اﻟﻛﻠﯾ ﺔ ﻓ ﻲ ﻗ ﯾم yوان 10%ﻣن اﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻻ ﺗزال ﻏﯾر ﻣوﺿﺣﺔ اذ ﻣن اﻟﻣﺣﺗﻣل ان ﺑﻌ ض اﻟﻌواﻣ ل ﻟ م ﺗؤﺧ ذ ﻓ ﻲ اﻻﻋﺗﺑ ﺎر ﻓ ﻲ ﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﻧﻣ وذج اﻟﻣﻘﺗ رح أو أن اﻟﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﻣﻘﺗرﺣ ﺔ ھ ﻲ ﺑﺎﻷﺻ ل ﻏﯾ ر ﻣﻼﺋﻣ ﺔ ﻟﻠﺗﻌﺑﯾ ر ﻋ ن اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾ رات ﻣﻣ ﺎ ﯾ ؤدي اﻟ ﻰ وﺟ ود اﻧﺣراﻓ ﺎت ﻏﯾ ر ﻣوﺿ ﺣﺔ .ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻘ ﻊ ﻛ ل ﻗ ﯾم y iﻟﻠﻌﯾﻧ ﺔ ﻋﻠ ﻰ ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار ( yi yˆi ) e iﺳ وف ﺗﺳ ﺎوي ﺻ ﻔر وﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ﻓ ﺎن SSE=0و اﻟﻣﻘ درة ﻓ ﺎن ﻛ ل ﻋﻠﻰ ذﻟك : SSR=SYY – SSE = SYY .
وﻋﻠﻰ ذﻟك : SSR SYY 1. SYY SYY
R2
ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وذﻟك ﺑﺎﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺧط اﻧﺣدار ﻣﺿﺑوط . 6.5
5.5
4.5
2.5
1.5
6.5
5.5
4.5
3.5
X
٨
2.5
1.5
0.5 0.5
Y
3.5
وﻣن ﻧﺎﺣﯾﺔ اﺧرى ﻓﺎن R 2 0ﺗﺣدث ﻋﻧدﻣﺎ ﻻﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ اﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن )ﺣﯾ ث yˆ i yﻟﻛ ل ( iوﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك SSR=0و ﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻓ ﺎن SSEﺳ وف ﺗﺳ ﺎوي SYYوﻣﻧﮭﺎ SSR= SYY - SSE = 0و ﻋﻠﻰ ذﻟك : 0 0 SYY
R2
وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺎن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ﺳ وف ﺗﻛ ون ﻣوازﯾ ﺔ ﻟﻠﻣﺣ ور اﻻﻓﻘ ﻲ ، أي ان b1 0ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ.
ﻋﺎدة ﻓﻲ اﻟﺗطﺑﯾق R 2ﺗﻘﻊ ﺑﯾن 0و ٠ 1ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻘﺗرب R 2ﻣـن 1ﻓﻬـذا ﯾﻌﻧـﻲ ان ﻫﻧـﺎك درﺟ ــﺔ ﻣ ــن اﻟﻌﻼﻗـ ــﺔ اﻟﺧطﯾ ــﺔ اﻻﺣﺻـ ــﺎﺋﯾﺔ ﻓ ــﻲ اﻟﻣﺷـ ــﺎﻫدات ٠ﻛﻣ ــﺎ ﯾﺗﺿـ ــﺢ ﻣ ــن ﺷـ ــﻛل
اﻟﺗ ــﺎﻟﻰ ﺣﯾ ــث R 2 0.9025ﺣﯾ ــث ﺗﻘﺗ ــرب اﻟﻣﺷ ــﺎﻫدات ﺑدرﺟ ــﺔ ﻛﺑﯾـ ـرة ﻣ ــن ﻣﻌﺎدﻟ ــﺔ اﻻﻧﺣـ ــدار اﻟﻣﻘـ ــدرة وذﻟـ ــك ﺑﺎﻟﻣﻘﺎرﻧـ ــﺔ ﻣـ ــﻊ اﻟﻣﺷـ ــﺎﻫدات ﻓـ ــﻲ اﻟﺷـ ــﻛل اﻟﺗـ ــﺎﻟﻰ ﻟـ ــﻪ ﺣﯾـ ــث ٠ R 2 0.3249
٩
10
8
6
Y 4
2
0 8
6
7
4
5
2
3
0
1
X
9 8 7 6 5
y 4 3 2 1 0 8
7
6
5
4
3
2
1
0
x
ﯾﻌﺗﺑر R 2ﻣﺟرد ﻣﻘﯾﺎس وﺻﻔﻲ ﺣﯾث ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن ان اﻟﻘﯾم اﻟﻛﺑﯾرة ﻣﻧﮫ دﻟﯾل ﻋﻠﻰ ﺟودة اﻟﺗوﻓﯾق ﻟﺧط اﻻﻧﺣ دار واﻟﻘ ﯾم اﻟﺻ ﻐﯾرة ﻣ ن R 2ﺗﻌﻧ ﻲ رداءة ﻓ ﻲ اﻟﺗوﻓﯾ ق ٠وﻟﻛن ھذا ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ ﻓﻲ ﻛل اﻻﺣوال ٠وﯾﺟب اﺳﺗﺧدام اﻻﺣﺻﺎء R 2ﺑﺷﻲء ﻣن اﻟﺣذر ﻻﻧ ﮫ ﻣ ن اﻟﻣﻣﻛ ن ﺟﻌ ل R 2ﻛﺑﯾ ر ﺑﺎﺿ ﺎﻓﺔ ﺣ دود ﻛﺎﻓﯾ ﺔ اﻟ ﻰ اﻟﻧﻣ وذج ٠وﻋﻠ ﻰ اﻟ رﻏم ﻣ ن أن R 2ﯾزﯾ د ﺑﺎﺿ ﺎﻓﺔ ﻣﺗﻐﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘل اﻟ ﻰ اﻟﻧﻣ وذج ﻓ ﺈن ھ ذا ﻻﯾﻌﻧ ﻲ ﺑﺎﻟﺿرورة ان اﻟﻧﻣ وذج اﻟﺟدﯾ د اﻛﻔ ﻰء ﻣ ن اﻟﻧﻣ وذج اﻟﻘ دﯾم ٠اﯾﺿ ﺎ ﻗﯾﻣ ﺔ R 2ﺗﻌﺗﻣ د ﻋﻠﻰ اﻟﻣدى ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﺳﺗﻘل ٠ﻋﻣوﻣﺎ R 2ﺳوف ﯾزﯾد ﻛﻠﻣﺎ زاد اﻧﺗﺷﺎر ﻗﯾم xوﯾﻘل ﻛﻠﻣﺎ ﻗل اﻧﺗﺷﺎر ﻗﯾم ٠ x اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن Fو R 2
١٠
ﻟﺗوﺿﯾﺢ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن Fو R 2ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻹﺣﺻﺎء Fﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ : SSR )SSE ( n 2
F
ﺣﯾث اﻹﺣﺻﺎء Fﻟﮫ درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ n-2و . 1 و ﺑﻘﺳﻣﺔ اﻟﺑﺳط و اﻟﻣﻘﺎم ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻰ SYYﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ : )(SSR SYY )(SSE SYY) (n 2 SSR SYY SSR (1 )) (n 2 SYY R2 )(1 R 2 ) ( n 2
F
ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن R 2ﺗﻛون : 6
1.76904 10 SSE R 1 1 0.000548 . 6 SYY 1.77001 10 2
) (٢ﻣﻌﺎﻣ ل اﻟﺗﺣدﯾ د ﻓ ﻰ وﺟود اﻛﺛر ﻣن ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل
) (١-٢ﻣﻘدﻣـﺔ
ﻓﻲ اﻟﻐﺎﻟب ﺗﻛون اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﺳواء اﻻﻗﺗﺻﺎدﯾﺔ أو اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾﺔ أو اﻟﺳﯾﺎﺳﯾﺔ ﻣﻌﻘدة ﯾﻣﺛل ﻓﯾﮭﺎ ﻣﺗﻐﯾر واﺣد ﺗﺎﺑﻊ وﻋدد ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ .وﻣن اﻷﻣﺛﻠﺔ اﻟﻌدﯾدة ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻻﻗﺗﺻﺎد ﻧﺟد أن اﻟﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﺳﺗﮭﻠﻛﺔ ﻣن ﺳﻠﻌﺔ ﻣﺎ ﺗﺗﺄﺛر ﺑﺳﻌر اﻟﺳﻠﻌﺔ ١١
ذاﺗﮭﺎ ﻋﻼوة ﻋﻠﻰ أﺳﻌﺎر اﻟﺳﻠﻊ اﻟﺑدﯾﻠﺔ وأﯾﺿﺎ ً ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ذوق اﻟﻣﺳﺗﮭﻠك .ﻛذﻟك ﻛﻣﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎج ﺗﺗﺄﺛر ﺑﺎﻟﻌﻣل ورأس اﻟﻣﺎل واﻟﻣوارد اﻟوﺳﯾطﯾﺔ وﻏﯾرھﺎ ﻣن ﻋﻧﺎﺻر اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎﺟﯾﺔ .وﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟﺗﺄﻣﯾن ﯾﺗوﻗف اﻟﻘﺳط اﻟﺗﺄﻣﯾﻧﻲ ﻋﻠﻰ ﻋﻣر اﻟﻣؤﻣن ودﺧﻠﮫ وﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺛﯾﻘﺔ وطول ﻓﺗرات اﻟﺗﺄﻣﯾن. ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟذي ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ أﻛﺛر ﻣن ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل ﯾﺳﻣﻰ ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﺗﻌدد.. ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ kﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ x 1 , x 2 , , x kﻓﺈن ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺗﻐﯾر Y | x1, x 2 ,..., x kﯾﻌطﻰ ﺑﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻧﺣدار اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: )(١-٢
Y|x1 ,x 2s ...,x k 0 1x1 2 x 2 k x k
ﺣﯾث 0ﯾﻣﺛل اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻣﺳﺎوﯾﺔ ﻟﻠﺻﻔر وﯾﺻﻌب ﺗﻔﺳﯾر 0إذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺗﮫ ﺳﺎﻟﺑﺔ وﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻣوﺟﺑﺔ .ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻟﻣﻌﺎﻣل iﯾﻣﺛل اﻟﺗﻐﯾر ﻓﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻋن ﺗﻐﯾر اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﺳﺗﻘل x iﺑﺎﻓﺗراض ﺛﺑﺎت ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻷﺧرى x iو . i i ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻻﻧﺣدار ) iﺣﯾث ( i 1,2, , kﺗﺳﻣﻰ ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻻﻧﺣدار اﻟﺟزﺋﯾﺔ. إن اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻲ ﻟﻠﻧﻣوذج ) (١-٢ھو ﺳطﺢ ذو أﺑﻌﺎد k 1ﺣﯾث kﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ .ﻓﻔﻲ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ) ( k 2ﻓﺈن اﻟﺳطﺢ اﻟﻣﻼﺋم ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ھو ﺳطﺢ ذو ﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ.
١٢
وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻻﺳﺗﺟﺎﺑﺔ اﻟﻣﻘدرة ﻣن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: yˆ b 0 b1x 1 b k x k ,
ﺣﯾث ﻛل ﻣﻌﻠﻣﺔ iﺗﻘدر ﺑواﺳطﺔ biﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﮫ وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى.
) (٢-٢ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﺎﻟم ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت ﻋﻧد ﺗوﻓﯾق ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟﺧطﻲ اﻟﻣﺗﻌدد وﺧﺻوﺻﺎ ً ﻋﻧدﻣﺎ ﯾزﯾد ﻋدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن اﺛﻧﯾن ،ﻓﺈن ﻣﻌﻠوﻣﺗﻧﺎ ﻓﻲ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت ﯾﻣﻛن أن ﺗﺳﮭل اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت اﻟﺣﺳﺎﺑﯾﺔ .ﺑﻔرض أن اﻟﻘﺎﺋم ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻟدﯾﮫ kﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ x 1 , x 2 , , x kو nﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات y1 , y 2 , , y nوﻛل ﻣﺷﺎھدة ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﮭﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ: )(٢-٢
y j b 0 b1x 1j b 2 x 2 j b k x kj e j , j 1,2,..., n
ھذا اﻟﻧﻣـوذج ﯾﻣﺛل nﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻻت .ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﻣوز اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت ﯾﻣﻛن ﻛﺗـﺎﺑﺔ اﻟﻧﻣـوذج ) (٢-٢ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ: )(٣-٢
y Xb e,
ﺣﯾث: 1 x11 x k1 1 x 12 x k 2 X , 1 x1n x kn b 0 e1 b e 1 b , e 2 . e n b k ﻋﻣوﻣﺎ ً y ،ﻣﺗﺟﮫ ﻣن اﻟدرﺟﺔ n 1ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات و Xﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣن ﻣﺳﺗوﯾﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ p k 1 n pﺣﯾث pﻋدد اﻟﻣﻌﺎﻟم ﻓﻲ y1 y y 2 , y n
١٣
اﻟﻧﻣوذج و bﻣﺗﺟﮫ ﻣن اﻟدرﺟﺔ p 1ﻣن ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻻﻧﺣدار و eﻣﺗﺟﮫ ﻣن اﻟدرﺟﮫ n 1ﻣن اﻟﺑواﻗﻲ .ﺗﻘدﯾرات اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﺗﺟﮫ ھو: b XX 1 Xy ,
)(٤-٢
ﺗﺣت ﺷرط أن اﻟﻣﺻ ﻔوﻓﺔ X X 1ﻣوﺟ ودة ﺣﺗ ﻰ ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﺣ ل وﺣﯾد .إن اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ X X 1داﺋﻣﺎ ً ﺗﻛون ﻣوﺟودة ﻓﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ ﻋ دم وﺟ ود أي ﻋﻣ ود ﻓﻲ اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ Xﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮫ ﻛﺗرﻛﯾﺑﺔ ﺧطﯾﺔ ﻣن اﻷﻋﻣ دة اﻟﺑﺎﻗﯾ ﺔ.وﺑﺻ ورة أﺧرى اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ X Xﯾﻛون ﻟﮭﺎ ﻣﺣدد ﻻ ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر ﻣﺛﺎل ﯾﺗﺄﺛر ﻣﺣﺻول اﻟﻔراوﻟﺔ ﺑﻛﻣﯾﺔ اﻷﻣطﺎر x1وﻛﻣﯾﺔ اﻟﺳﻣﺎد اﻟﻣﺳﺗﺧدم . x 2 اﺳﺗﺧدم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻓﯾق ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻧﺣدار ﺧطﻲ ﻣﺗﻌدد ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻛﻣﯾﺔ اﻷﻣطﺎر وﻛﻣﯾﺔ اﻟﺳﻣﺎد ﻛﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ.
y 1000 450 1200 700 800 1100 1050 1150 1000 950 1300
x2
x1
510 450 500 425 450 475 515 500 490 510 525
16 22 23 13 17 25 18 20 21 19 22
اﻟﺣـل ﻹﯾﺟﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة yˆ b 0 b1x1 b 2 x 2 , .
وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ Xواﻟﻣﺗﺟﮫ yﯾﻛوﻧﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ:
١٤
1 1 1 1 1 X 1 1 1 1 1 1
16 510 22 450 23 500 13 425 13 450 25 475 18 515 20 500 21 490 19 510 22 525
و
1000 450 1200 700 800 y 110 1050 1150 1000 950 1300
: ﺳﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲX X اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ 1 16 510 1 1 1 1 22 45 , X X 16 22 22 510 450 525 1 22 525 10700 X ' y 213250 . 6 5.2652 10
:ﺗﻘدﯾرات اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﺳوف ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ bˆ X X 1 X y .
:أي 216 5350 b 0 11 b 216 4363 105410 1 6 b 2 5350 105410 2.6124 10
١٥
1
10700 213250 6 502652 10
0.0271387 0.0460394 10700 23.0157 0.0271387 0.0092292 0.000316848 213250 0.0460394 0.000316848 0.000107453 5026525 106 1928.24 9.61221 . 5.57653
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﺗﻌدد اﻟﻣﻘدرة ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل: yˆ 1928.24 9.61221x1 5.57653x 2 .
وﯾﻣﻛن ﺗﻔﺳﯾر اﻟﺗﻘدﯾر b 0ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﯾﻣﺛل اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﻘدرة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﺗﺳﺎوي اﻟﺻﻔر .وﻓﻲ اﻟواﻗﻊ ﻓﺈن ھذا اﻟﺗﻔﺳﯾر ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ ﻓﻲ ﻛل اﻟﺣﺎﻻت .ﻓﺑﺈﺗﺑﺎع ھذا اﻟﺗﻔﺳﯾر ﻧﺟد أن ﻣﺣﺻول اﻟﻔراوﻟﺔ ﯾﻛون ﺳﺎﻟﺑﺎ ً 1928.24ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻛﻣﯾﺔ اﻷﻣطﺎر ﺗﺳﺎوي ﺻﻔر وﻛﻣﯾﺔ اﻟﺳﻣﺎد ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر وھذا ﻏﯾر ﻣﻧطﻘﻲ .ﻛﻣﺎ أن ﻣﺷﺎھدات اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻻ ﺗﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ﻗﯾم ﺻﻔرﯾﺔ ﻟﻛل ﻣن ﻛﻣﯾﺔ اﻷﻣطﺎر وﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﺣﺻول.
) (٣-٢اﺧﺗﺑ ﺎر ﯾﺧ ص ﺟﻣﯾ ﻊ ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻻﻧﺣدار اﻟﺟزﺋﯾﺔ ﯾﻘ در اﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﻓﯾﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺧطﯾ ﮫ ﺑ ﯾن ﻣﺗﻐﯾ ر اﻻﺳ ﺗﺟﺎﺑﺔ Yوأي ﻣ ن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ x 1 , x 2 ,..., x kوﺑﻌﺑﺎرة أﺧرى ھل ھﻧﺎك ﺗﺄﺛﯾر ﻣﻌﻧوي ﻟﺟﻣﯾﻊ )أو ﺑﻌض ( اﻟﻣﺗﻐﯾرات
اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾر Y
.
اﻟﻔرض اﻟﻣﻧﺎﺳب ھو :
H 0 : 1 2 ... k 0 ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﻟﯾﺳت ﻛل i i 1,.., k ﺗﺳﺎوى ﺻﻔر : ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﯾوﺟد واﺣد ﻣن x 1 , x 2 ,..., x kﯾرﺗﺑط ﻣﻌﻧوﯾﺎ ﺑﺎﻟﻧﻣوذج .ﯾﻌﺗﺑ ر ھ ذا اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﺗﻌﻣ ﯾم ﻟﻼﺧﺗﺑ ﺎر . H1رﻓ ض
H 0 : i 0
ﯾﻌﻧ ﻲ أﻧ ﮫ
اﻟﻣﺳﺗﺧدم ﻓﻲ اﻻﻧﺣدار اﻟﺧطﻲ اﻟﺑﺳﯾط .ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﻛﻠ ﻲ ﯾﺟ زئ إﻟ ﻰ ﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﺗﻌ ود إﻟ ﻰ اﻻﻧﺣدار وﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﻌود إﻟﻰ اﻟﺧطﺄ )ﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺑواﻗﻲ ( .أي أن :
SYY= SSR +SSE ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن .ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم
H 0 : i 0
ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﮫ ﻟﻺﺣﺻﺎء : ١٦
MSR MSE
.
ﻧ رﻓض
H0
واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ
k
SSR
)( n k 1
SSE
F
ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻛ ون ﻗﯾﻣ ﺔ Fاﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ أﻛﺑ ر ﻣ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ
ﻣن ﺟدول Fﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ
]F [ k, n k 1
.
ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ :
F
MS
MSR/MSE
SS
df
S.O.V
MSR=SSR/k
SSR
k
اﻻﻧﺣدار
MSE=SSE/n-k1
SSE
n-k-l
SYY
n-1
ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق اﺧﺗﺑر ﻣﻌﻧوﯾﺔ اﻻﻧﺣدار ؟
اﻟﺣـل
( y j ) 2 n
SYY y y
(10700) 2 11000000 11 591818 ,
( y j ) 2
SSR b X' y
n 1077942708 10408181 .8 371246 ,
SSE y y b X' y
SYY SSR 591818 371246 220572 . ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ١٧
اﻟﺧطﺄ
اﻟﻛﻠﻲ
F
MS
SS
df
S.O.V
6.73243
185623.
371246.
2
اﻻﻧﺣدار
-
27571.5
220572.
8
-
-
591818.
10
اﻟﺧطﺄ اﻟﻛﻠﻲ
ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم :
H 0 : 1 2 0 . ﺳوف ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﮫ ﻟﻺﺣﺻﺎء Fﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : .
MSR 185623 6.73243 MSE 27571.5
F
وﺑﻣ ﺎ أن ﻗﯾﻣ ﺔ Fاﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﺗزﯾ د ﻋ ن ﻗﯾﻣ ﺔ Fاﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ اﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ F 0.05و ، F.05 [2,8] 4.46ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺳ ﺗﻧﺗﺞ أن Yﺗ رﺗﺑط ﻣ ﻊ x1و )أو( x 2 ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﻓﺈن ھذا ﻻﯾﻌﻧﻲ أن ھذه اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟﻠﺗﻧﺑؤ ﺑﺎﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ﻛداﻟﮫ ﻓﻲ
x 2 , x1
ﻋﻧ د .ﻓﻲ
.
) (٤-٢ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد Coefficient of Multiple Determination ﯾﻘﯾس ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد ﻧﺳﺑﺔ اﻟﺗﺑﺎﯾن أو اﻟﺗﻐﯾر ﻓﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ Yاﻟﺗ ﻲ ﺗﻔﺳ رھﺎ اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ، x 1 , x 2 ,..., x kأي أﻧ ﮫ ﯾﻘ ﯾس ﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻓ ﻲ Yاﻟﺗ ﻲ ﯾﻣﻛ ن ﺗﻔﺳ ﯾرھﺎ ﺑﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار اﻟﻣﺗﻌ دد
اﻟﻣﻘدرة .وﻛﻣﺎ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﺑﺳﯾط ﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾ د ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ k
ﻣ ن اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ﯾﺣﺳ ب ﻣ ن
اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
SSR SSE 1 . SYY SYY
R2
ﺣﯾث ﯾﺳﺗﺧدم ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد اﻟﻣﺗﻌدد ﻓﻲ ﺗﻘﯾﯾم ﺟودة ﺗوﻓﯾق ﺧط اﻧﺣدار اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻘﯾم ﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ Y 2 .ﻛﻣﺎ ھو اﻟﺣ ﺎل ﻓ ﻲ اﻻﻧﺣ دار اﻟﺧط ﻲ اﻟﺑﺳ ﯾط ﻓ ﺈن . 0 R 1ﻓ ﻲ ﺑﻌ ض اﻷﺣﯾ ﺎن ﻓ ﺈن ﻛﺑ ر Rﻻﯾﻌﻧ ﻲ 2 ﺑﺎﻟﺿرورة أن ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار ﺟﯾد .إن إﺿﺎﻓﺔ ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل إﻟﻰ اﻟﻧﻣوذج داﺋﻣﺎ ﯾؤدى إﻟﻰ زﯾ ﺎدة Rﺑﺻ رف اﻟﻧظر ﻋن ﻣﺎ إذا ﻛﺎن ھذا اﻟﻣﺗﻐﯾر ﺿروري ﻟﻠﻧﻣوذج أم ﻻ .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣ ن اﻟﻣﻣﻛ ن ﻟﻠﻧﻣ ﺎذج اﻟﺗ ﻲ ﺑﮭ ﺎ ﻗ ﯾم R 2 2 ﻋﺎﻟﯾﺔ أن ﺗﻛون ﻧﻣ ﺎذج ردﯾﺋ ﺔ .اﻟﺟ ذر اﻟﺗرﺑﯾﻌ ﻲ ﻟ ـ Rھ و ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟﻣﺗﻌ دد ﺑ ﯾن Yوﻓﺋ ﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ . x1 , x 2 ,...x k أي أن:
١٨
R R2 أى أن ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﻣﺗﻌدد ﯾﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺎ ﻏﯾر ﺳﺎﻟﺑﮫ وھو ﯾﺧﺗﻠف ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺻ ﻔﺔ ﻋ ن ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟﺑﺳ ﯾط اﻟذي ﯾﻣﻛن ان ﯾﺎﺧذ ﻗﯾﻣﺎ ﺳﺎﻟﺑﮫ ،أي أن:
0 R 1
ﺣﯾث Rﻣﻘﯾﺎس ﻟﻘوة اﻟﻌﻼﻗ ﺔ اﻟﺧطﯾ ﺔ ﺑ ﯾن Yو . x 1 , x 2 ,...x kو R 2 ﻣﺗﺟﮫ اﻟﻣﺷﺎھدات yوﻣﺗﺟﮫ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻘدرة ˆ .y
ھ و ﻣرﺑ ﻊ ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن
وﯾﻔﺗرض R 2اﻟﻘﯾﻣﺔ 0ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛ ون ﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﻣﻘ ﺎدﯾر i 1,2,...p 1, b i 0 وﯾﺄﺧ ذ R 2
اﻟﻘﯾﻣ ﺔ
1ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻘ ﻊ ﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﻣﺷ ﺎھدات y
ﻣﺳ ﺎوﯾﺔ ﻟﻠﺻ ﻔر
ﻋﻠ ﻰ ﺳ طﺢ اﻻﺳ ﺗﺟﺎﺑﺔ اﻟﺗ وﻓﯾﻘﻲ ﻣﺑﺎﺷ رة ،أي ﻋﻧ دﻣﺎ
2 ﯾﻛون ˆ i y i yﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم . iوﻷن ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد Rداﻟﺔ ﺗزاﯾدﯾﺔ ﻟﻌدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻓﺈﺿﺎﻓﺔ أي ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل ﻟﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار ﺗزﯾ د ﻗﯾﻣ ﺔ اﻟﻣﻌﺎﻣ ل ﺑﻐ ض اﻟﻧظ ر ﻋ ن ﻣﺳ ﺎھﻣﺔ ھ ذا اﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻓ ﻲ ﺗﻔﺳ ﯾر ﺗﺑ ﺎﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ .وﻟذا وﻟﻐرض اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻘﯾﺎس أﻓﺿل ﻟﻘﯾﺎس ﻣ دى ﻗﺎﺑﻠﯾ ﺔ ﻣﺟ ﺎﻣﯾﻊ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺗﻐﯾ رات ﻟﺗﺣﻠﯾل اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻗﯾد اﻟدراﺳﺔ وﻓﻲ ﻧﻔس اﻟوﻗت إذ ﯾﺄﺧذ ﻓﻲ اﻻﻋﺗﺑﺎر ﻋدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻓﻲ اﻟﻧﻣوذج ﻓﺈﻧﮫ ﻗ ﯾم ﺣﺳ ﺎب ﻣﺎ ﯾﻌرف ﺑﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد اﻟﻣﻌدل adjust coefficientواﻟذي ﯾﺄﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
SSE / n k 1 SYY / n 1
R2 1
ﺣﯾث kﻋدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ .وﯾﻣﻛن ﺑﺳﮭوﻟﺔ اﺷﺗﻘﺎق ﺻﯾﻐﺔ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن
SSE / n k 1 SYY / n 1 )(٥-٢
)SYY SSR /(n k 1 SYY / n 1
, R2
2
Rﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ:
R2 1
1
وﺑﺣل ) (٥-٢ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ: )(٦-٢
1 R 2 n 1 R 1 n k 1 2
وﯾﻣﻛن أن ﯾﺻﺑﺢ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد اﻟﻣﻌدل اﺻﻐر ﻋﻧ د إدﺧ ﺎل ﻣﺗﻐﯾ ر آﺧ ر إﻟ ﻰ اﻟﻧﻣ وذج ﻻن اﻟ ﻧﻘص ﻓ ﻲ
SSE
ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون اﻛﺑر ﻣن أن ﯾﻌوض ﻋن ﻧﻘص درﺟﺔ ﺣرﯾﺔ واﺣ دة ﻓ ﻲ اﻟﻣﻘ ﺎم .n-pﯾﻼﺣ ظ اﻵﺗ ﻲ ﻓ ﻲ ﻣﻌﺎﻣ ل اﻟﺗﺣدﯾد اﻟﻣﻌدل:
ﯾﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺎ أﻗل ﻣن ﻗﯾم ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد ﻏﯾر اﻟﻣﻌدل.
ﯾﻣﻛن أن ﯾﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺎ ﺳﺎﻟﺑﺔ ﻓﻲ ﺣﯾن ﻧﺟد أن ﻗﯾم ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد ﻏﯾر اﻟﻣﻌدل ﺗﻛون داﺋﻣﺎ ﻣوﺟﺑﺔ.
ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد R 2
ﺗﺣﺳب ﻣن ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﺣﯾث:
SSR 371246 .627. SYY 591818 ١٩
R2
أي أن ﺣ واﻟﻲ 0.627ﻣ ن اﻻﺧﺗﻼﻓ ﺎت اﻟﻣوﺟ ودة ﻓ ﻲ Yﺗرﺟ ﻊ أﺳ ﺑﺎﺑﮭﺎ إﻟ ﻲ ﺗ ﺄﺛﯾر اﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن اﻟﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن . x1 , x 2 أﻣﺎ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد اﻟﻣﻌدل ﻓﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
SSE / n k 1 SYY / n 1 220572 / 8 1 591818 / 10 0.534.
R2 1
أي أن 0.534ﻣن اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻓﻲ Yﺗرﺟﻊ إﻟﻰ ﺗﺄﺛﯾر اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن . x1 , x 2
ﻛﺛﯾرا ﻣن ﺑراﻣﺞ اﻟﺣﺎﺳب اﻵﻟﻲ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻻﻧﺣدار اﻟﻣﺗﻌدد ﺗﺣﺳب ﻛل ﻣن R 2 , R 2 R2
ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر أﻓﺿل اﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻓﻲ اﻟﻧﻣوذج.
٢٠
.اﯾﺿﺎ ﯾﺗﺿﺢ أھﻣﯾﺔ