اﺧﺗﺑﺎرات ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ) ( ١اﺧﺗﺑﺎر ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻟﺟودة اﻟﺗوﻓﯾق Chi-square Goodness-of-fit Test أن ﻋﻣﻠﯾ ﺔ اﻟﺗﻌ رف ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻟ ذي اﺧﺗﯾ رت ﻣﻧ ﮫ ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺷروط اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﺗطﺑﯾق ﺑﻌض اﻻﺧﺗﺑﺎرات ﻛﻣﺎ أوﺿﺣﻧﺎ ﻓﻲ اﻟﺑﻧ د اﻟﺳ ﺎﺑق .ﯾﺳ ﺗﺧدم اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣرﺑ ﻊ ﻛﺎي ﻟﺟ ودة اﻟﺗوﻓﯾ ق ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﺎ إذا ﻛﺎﻧ ت ﻣﺷ ﺎھدات ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﺗ م اﺧﺗﯾﺎرھ ﺎ ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻟ ﮫ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻣﻌﯾن . ﺗﺗﻛون اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر ﻣن ﻋﯾﻧ ﮫ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م nﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ . ﺗﺻﻧف اﻟﻣﺷﺎھدات إﻟﻰ kﻣن اﻟﻔﺋﺎت اﻟﺷﺎﻣﻠﺔ اﻟﻣﺎﻧﻌﺔ ) اﻟﺧﻼﯾﺎ (cellﻛﻣﺎ ھ و ﻣوﺿ ﺢ ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗﺎﻟﻰ .ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻓﺋﺔ ﻣﻌطﺎة ﺗﺳ ﻣﻰ اﻟﺗﻛ رار اﻟﻣﺷ ﺎھد observed frequency ﻟﮭذه اﻟﻔﺋﺔ ﺣﯾث Oiﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻔﺋﺔ رﻗم . i 1, 2,..., k ، i K Ok
… …
I Oi
2 O2
… …
1 O1
اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺷﺎھد
اﻟﻔﺋ ﺎت ﻗ د ﺗﻛ ون أﺳ ﻣﯾﺔ )وﺻ ﻔﯾﺔ( أو ﻋددﯾ ﺔ .ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻗ د ﺗﻧﺗﻣ ﻲ ﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻌﯾﻧ ﺔ إﻟ ﻰ واﺣدة ﻣن اﻟﻔﺋﺗﯾن اﻻﺳﻣﯾﺗﯾن ذﻛر وأﻧﺛ ﻰ .أﯾﺿ ﺎ إذا ﻛ ﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ ھ و اﻟﻌﻣ ر ﻓ ﺈن ﻣﺷﺎھدات اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻗد ﺗﺗﺑﻊ واﺣدة ﻣن اﻟﻔﺋﺎت اﻟﻌﻣرﯾﮫ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: ﻹﺟراء اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧﻌرف اﻻﺣﺗﻣ ﺎل ،ﺳ وف ﯾرﻣ ز ﻟ ﮫ ﺑ ﺎﻟرﻣز ،Piﺑ ﺄن ﻣﺷ ﺎھدة اﺧﺗﯾ رت ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ً ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻟﻧظ ري ) اﻟﻣﻔﺗ رض ( ﺳ وف ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ اﻟﻔﺋ ﺔ رﻗ م iوﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻧﻌ ﯾن اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻻت P1,P2 ,...,Pkﻟﻠﻔﺋ ﺎت i 1, 2,..., kﻋﻠ ﻰ اﻟﺗ واﻟﻲ .ﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻛ ون ﻓ رض اﻟﻌ دم ﺻ ﺣﯾﺢ ،ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن ﺣﺳ ﺎب اﻟﺗﻛ رارات اﻟﻣﺗوﻗﻌ ﺔ ﻟﻛ ل ﻓﺋ ﺔ أي n1P1 ,n 2 P2 ,...,n k Pkﻟﻠﻔﺋ ﺎت i 1, 2,..., k ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗ واﻟﻲ واﻟﺗ ﻲ ﺳ وف ﯾرﻣ ز ﻟﮭ ﺎ ﺑ ﺎﻟرﻣز . E1 ,E 2 ,..., E kﻓ رض اﻟﻌ دم واﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل ﺳوف ﯾﻛوﻧﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : : H 0اﻟﻌﯾﻧﺔ اﺧﺗﯾرت ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻣﻌﯾن . : H1اﻟﻌﯾﻧﺔ اﺧﺗﯾرت ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻻ ﯾﺗﺑﻊ ھذا اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﻣﻌﯾن . ﻟﻠﻌﯾﻧﺎت اﻟﻛﺑﯾرة وﺑﻔرض أن H 0ﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈن :
(Oi E i )2 . Ei i 1 k
2
ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷ واﺋﻲ X 2ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ً ﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾ ﻊ 2ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ . k 1ﻟﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﻓ ﺈن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض X 2 2ﺣﯾ ث أن 2ﺗﺳ ﺗﺧرج ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ 2ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ . k 1إذا وﻗﻌ ت 2ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻧ رﻓض . H 0ﯾﻛ ون اﻟﺗﻘرﯾ ب ﻣﻘﺑ وﻻ ً إذا ﻛ ﺎن ﻋ دد ١
ﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻌﯾﻧ ﺔ أﻛﺑ ر ﻣ ن 50واﻟﺗﻛ رار اﻟﻣﺗوﻗ ﻊ اﻟﻣﻧ ﺎظر ﻟﻛ ل ﻓﺋ ﺔ ﻻ ﯾﻘ ل ﻋ ن . 5ﻓ ﻲ ﺑﻌ ض اﻷﺣﯾﺎن ﺗﺳﺗﺧدم ﻣﺷﺎھدات اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﻠﻣﺔ أو اﻛﺛر ﻣن ﻣﻌﺎﻟم اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺛم ﯾﺳﺗﺧدم ھذا اﻟﺗﻘدﯾر ﻓﻲ ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ .ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻋدد اﻟﻣﻌﺎﻟم اﻟﻣﻘدرة ھ و mﻓﺈن درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﺻﺑﺢ ). (k m 1
ﻣﺛﺎل ﻓﻰ إﺣدى ﻣﻌﺎرض اﻟﺳﺎﻋﺎت ،أﺧذت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن 500ﺳ ﺎﻋﺔ وﻟ وﺣظ اﻟوﻗ ت ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ،ﻓﻛﺎﻧ ت اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ: 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11 اﻟﻔﱰة اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ 39
41
47
33
37
45
41
39
49
54
34
41
اﻟﺘﻜﺮار O i
ھل ﯾﻣﻛن اﻟﻘول إن اﻟوﻗت اﻟﻣﻼﺣظ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05
اﻟﺣــل: : H 0اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم. : H1اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم.
1 ﺗﺣت ﻓرض اﻟﻌدم ﻓﺈن ,i 1,2,...,12 12 ﻟﺣﺳﺎب 2ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: 11 39 41.17
10 11 47 41.17
9-10 41 41.17
78 33 41.17
8-9 37 41.17
6-7 41 41.17
. Pi
5-6 45 41.17
4-5 49 41.17
2-3 54 41.17
3-4 39 41.17
1-2 34 41.17
0-1 41 41.17
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
(Oi Ei )2 9.999 Ei i 1 12
2
وﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ 2ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ k 1 12 1 11وﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ﻓﺈن . 2 0.05 19.675وﺑﻣﺎ أن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض X 2 19.675و 2ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم . H 0
ﻣﺛﺎل اﺧﺗﯾر 178رﻗم ﻣن أﺣد اﻟﺟداول ﻋﺷواﺋﯾﺎ ً وﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻟﮭذه اﻷرﻗﺎم ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗﺎﻟﻲ : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 اﻟرﻗم 15
20
22
29
15
20
22
18
17
اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺷﺎھد
أﺧﺗﺑ ر ﻓ رض اﻟﻌ دم ،ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ، 0.05أن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛ ن ﺗوﻓﯾﻘﮭ ﺎ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم . ٢
اﻟﻔﺗرة اﻟزﻣﻧﯾﺔ
Oi Ei
اﻟﺣــل: (Oi Ei )2 / Ei
(Oi Ei )2
Oi Ei
Ei
Oi
7.7284 3.1684 4.9284 0.0484 22.8484 85.0084 4.9284 0.0484 22.8484
-2.78 -1.78 2.22 0.22 -4.78 9.22 2.22 0.22 -4.78
19.78 19.78 19.78 19.78 19.78 19.78 19.78 19.78 19.78 178
17 18 22 20 15 29 22 20 15 178
ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻔﺤﺺ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 اﻟﻤﺠﻤﻮع
0.3907 0.1602 0.2492 0.0002 1.1551 4.2977 0.2492 0.0002 1.1551 7.5676 : H 0اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم. : H1اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻻ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم. 1 ﺗﺣت ﻓرض اﻟﻌدم ﻓﺈن . Pi ,i 1,2,...,9اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﺗم 9 1 ﺣﺳﺎﺑﮭﺎﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ E i nPi (178)( ) 19.78ﺣﯾث . i 1, 2,...,9ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 9 2 .05واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ 2ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 0.05ﻓﺈن 15.507 2 2 . k 1 9 1 8وﺑﻣﺎ أن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض . X 15.507و ﻻ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم . H 0
ﻣﺛﺎل ﯾﻌطﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻷطوال 40ﺑطﺎرﯾ ﺔ .ھ ل اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﺗﺗﻔق ﻣﻊ اﻟﻘ ول أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ ﯾﻌط ﻰ ﺗوﻓﯾ ق ﺟﯾ د ﻟﺗوزﯾ ﻊ أﻋﻣ ﺎر اﻟﺑطﺎرﯾ ﺎت وذﻟ ك ﻋﻧ د ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05 اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺷﺎھدة اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ 1.45 - 1.95 2 0.6 1.95 – 2.45 1 2.6 2.45 – 2.95 4 6.8 2.95 – 3.45 15 10.7 3.45 – 3.95 10 10.3 3.95 – 4.45 5 6.1 4.45 – 4.95 3 2.2 40 اﻟﻣﺟﻣوع 40 ٣
اﻟﺣــل: : H 0اﻟﻌﯾﻧﺔ اﺧﺗﯾرت ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ . : H1اﻟﻌﯾﻧﺔ اﺧﺗﯾرت ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻻ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ . اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻓﻲ اﻟﺟدول ﺗم ﺣﺳﺎﺑﮭﺎ ﻣن ﻣﻧﺣﻧﻰ طﺑﯾﻌﻲ ﻟﮫ ﻧﻔس اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﺣﯾث s 0.697 , x 3.4125أي أﻧﻧﺎ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم ) s , xﺑدﻻ ﻣن , اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذي اﺧﺗﯾرت ﻣﻧﮫ اﻟﻌﯾﻧﺔ ( ﻓﻲ ﺣﺳﺎب ﻗﯾم .zﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ﻓﺈن : 2.95 3.4125 z1 0.67, 0.697 3.45 3.4125 z2 0.054. 0.697 وﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﺑﯾن z1 0.67 z 2 0.054.ھﻲ : )P(0.67 Z 0.054 ) P(0 Z 0,67) P(0 Z 0.054 . 0.2486 0.0199 0.2685 وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ھﻲ : E 4 (0.2685)(40) 10.7 . k
ﺣﯾث أن . Oi 40اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗوﻗﻊ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷوﻟﻲ ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮫ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ i 1
ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎر اﻟﻘﯾﻣﺔ ) 1.95اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷوﻟﻰ( .ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷﺧﯾرة اﺳﺗﺧدﻣت اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾن اﻟﻘﯾﻣﺔ ) 4.45اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷﺧﯾرة ( .اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗﺑﻘﯾﺔ ﺗم ﺣﺳﺎﺑﮭﺎ ﺑﻧﻔس اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺗﻲ ﺷرﺣﻧﺎھﺎ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟراﺑﻌﺔ .ﺑدﻣﺞ اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻔﺋﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﻛراراﺗﮭﺎ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ أﻗل ﻣن 5ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ. اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺷﺎھدة 1.45 – 2.95 7 10 2.95 – 3.45 15 10.7 3.45 – 3.95 10 10.3 3.95 – 4.95 8 8.3 ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن : k (O E ) 2 i i 2 2.648. Ei i 1 2 .05واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ 2ﺑدرﺟﺎت ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ﻓﺈن 3.843
ﺣرﯾﺔ . k m 1 4 2 1 1ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض . X 2 3.843وﺑﻣﺎ أن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل . H 0 ٤
2ﺗﻘﻊ ﻓﻲ
ﻣﺛﺎل ﻧﻔرض إن ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: 0.61- 1.21- 1.81- 2.41- 3.01- 3.614.21اﻟﻔﺻول 1 3 4 65 180 328 408 Oi 4.81- 5.41- 6.01- 6.61- 7.21- 7.81- 8.41-9.0 اﻟﻔﺻول 284 83 13 1 1 0 1 Oi اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ھل ھذه اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ أم ﻻ وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى 0.05 .
اﻟﺣــل: : H 0اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ. : H1اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ. ﻹﯾﺟﺎد اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧوﻓق أوﻻ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺛم ﻧﺧﺗﺑر ﺟودة اﻟﺗوﻓﯾق ﻛﺎﻷﺗﻲ:
اﻟداﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻟﮭﺎ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ:
1 x exp (x ) 2 / 2 2 . 2 ﺣﯾث أن , ھﻲ اﻟﻣﻌﺎﻟم ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ،ﺗﺑدأ ﻋﻣﻠﯾﺔ اﻟﺗوﻓﯾق ﺑﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟم اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑطرﯾﻘﺔ اﻟﻌزوم وذﻟك ﻣن اﻻدﻟﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﯾن: f x ˆ i i 4.32, fi f (x)
n fi x i 2 ( fi x i ) 2 (0.81)2 . )n(n 1
ˆ 2
ﯾﻼﺣظ ﺗﺄﺛﯾر ھذه اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ ﻋﻠﻰ درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ ﻓﯾﻣﺎ ﺑﻌد .ﻧﺳﺗﺧدم ھذه اﻟﺗﻘدﯾرات وداﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣذﻛورة ﻓﻲ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺗوﻗﻊ Piﻟﻛل ﺧﻠﯾﺔ ﺛم ﺑﺎﻟﺿرب ﻓﻲ ﻣﺟﻣوع اﻟﺗﻛرارات وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗوﻗﻊ ﻟﻛل ﺧﻠﯾﺔ ﻛﺎﻷﺗﻲ: ﻹﯾﺟﺎد اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺗوﻗﻊ Piﻧﻔرض أن اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ iھو x iﻧﺣول ذﻟك اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ إﻟﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﯾﺎرﯾﺔ ﺑطرح اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ اﻟﻣﻘدر واﻟﻘﺳﻣﺔ ﻋﻠﻰ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري اﻟﻣﻘدر ﻛﺎﻷﺗﻲ: ˆ ˆ z (x ) / . ﻋﻠﻰ ﻓرض أن z iھو اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻔﺋﺔ iﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺣدود اﻟدﻧﯾﺎ اﻟﻣﻌﯾﺎرﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ .ﯾﺳﺗﺧدم ﺟدول اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻟﻠﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻓﻲ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﻧﺎظرة ﻟﻠﺣدود اﻟدﻧﯾﺎ z1 ,z 2 ,...اﻟﻰ ) . P(z ziﻓﻲ ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ھذا ﻧﻼﺣظ أن ﻣﺟﻣوع اﻟﺗﻛرارات أﻛﺑر ﻣن 30وﻟﻛن اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗوﻗﻊ ﻟﺑﻌض ﯾﻘل ﺳﯾﻘل ﻋن ﺧﻣﺳﺔ ﻓﻧﻘوم ﯾدﻣﺞ ٥
ﺑﻌض اﻟﺧﻼﯾﺎ اﻟﻣﺗﺟﺎورة ﻣﻊ اﻷﺧذ ﻓﻲ اﻻﻋﺗﺑﺎر ﺗﺄﺛﯾر ذﻟك ﻋﻠﻰ درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ .ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ وھو ﯾﻣﺛل ﺗوﻓﯾق اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت إﻟﻰ ﻣﻧﺣﻧﻰ طﺑﯾﻌﻲ ﺑطرﯾﻘﺔ اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت وﻧﺣن ﻧﻘول ﺑطرﯾﻘﺔ اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت ﻷﻧﮫ ﺗوﺟد طرﯾﻘﺔ أﺧرى ﻟﻠﺗوﻓﯾق اﻟﻌﻣود Piﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮫ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰPi : P1 P z z1 ,
P2 P z z 2 P1, P3 P z z3 p 2 p1 P4 P z z 4 p3 p 2 p1 7
P8 P z z8 pi i 1
8
P9 1 pi i 1
ﯾطﻠق ﻋﻠﯾﮭﺎ اﺳم طرﯾﻘﺔ اﻹﺣداﺛﯾﺎت ﺳﻧﺗﻌرف ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ: اﻟﺣدود اﻟدﻧﯾﺎ xi أﻗل ﻣن2.4 2.41 3.01 3.61 4.21 4.81 5.41 6.01 أﻛﺑر ﻣن6.6
Oi
)P(z 2
zi
8 65 180 328 408 284 83 13 3
-2.37037 -2.358025 -1.617284 -0.876543 -0.135802 0.604938 1.345679 2.08642 2.814815
0.0091 0.0526 0.1894 0.4443 0.7257 0.9115 0.9817 0.9977
Pi
Ei
(E i Oi )2 / Ei
0.0091 0.0435 0.1368 0.2549 0.2814 0.1858 0.0702 0.016 0.0023
12.4852 59.682 187.6896 349.7228 386.0808 254.9176 96.3144 21.952 3.1556
1.611269266 0.473863543 0.315041154 1.349297329 1.244432069 3.317879934 1.840568465 3.65061516 0.007672506 13.81063943
1372
اﻟﻣﺟﻣوع وﻋﻠﻰ ذﻟك 13.8. ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي اﻟﺟدوﻟﯾﺔ ﻧﺣدد أوﻻ درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ﻓﻧﺟ د ﻋ دد اﻟﺧﻼﯾ ﺎ ﺑﻌ د اﻟ دﻣﺞ ھ و 9وﺑﺧﺻ م ﺛ ﻼث درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ ﻣ ﻧﮭم درﺟﺗ ﯾن ﻣﻘﺎﺑ ل ﺗﻘ دﯾر اﻟوﺳ ط واﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻓﺗﻛ ون درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ھ ﻲ .6ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ 0.05ﻧﺟ د أن ﻛ ﺎي اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ ھ ﻲ 2 12.592وﺑ ذﻟك ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم طﺎﻟﻣﺎ أن 2أﻛﺑر ﻣن اﻟﺟدوﻟﯾﺔ. 2
ﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ وﻓ ق إﻟ ﻰ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ ﺑطرﯾﻘ ﺔ اﻹﺣ داﺛﯾﺎت واﺧﺗﺑ ر ﺟ ودة اﻟﺗوﻓﯾ ق ﻋﻧ د . 0.05 40-45
35-
30-
25-
20-
اﻟﻔﺻول
8
27
33
25
7
Oi
٦
اﻟﺣــل: : H 0اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ. : H1اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ. ﺣﯾث أن , ھﻲ اﻟﻣﻌﺎﻟم ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ،ﺗﺑدأ ﻋﻣﻠﯾﺔ اﻟﺗوﻓﯾق ﺑﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟم اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑطرﯾﻘ ﺔ اﻟﻌ زوم ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﯾن: f x ˆ i i 32.7, fi
n f i x i 2 ( fi x i ) 2 ˆ (5.314)2 . )n(n 1 ﯾ ﺗم اﻟﺗوﻓﯾ ق ﻟﻠﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام طرﯾﻘ ﺔ اﻹﺣ داﺛﯾﺎت ﺑﺎﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘ ﯾم اﻟﻣﻌﯾﺎرﯾ ﺔ اﻟﻣﻧ ﺎظرة ﻟﻣراﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺎت ﺛ م ﻧﺳ ﺗﺧرج ﻣ ن ﺟ دول اﻟﺧ ﺎص ﺑﺈﺣ داﺛﯾﺎت اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ اﻹﺣداﺛﻲ اﻟرأﺳﻲ اﻟﻣﻧﺎظر ﻟﻠﻘﯾم اﻟﻣﻌﯾﺎرﯾﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ )أو ﯾﺗم ﺣﺳﺎﺑﮫ ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﺣﺎﺳ ب اﻵﻟ ﻲ( ﺛم ﻧﺣﺳب اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗوﻗﻊ ﺑﺿرب اﻹﺣداﺛﯾﺎت ﻓﻲ ﻣﺟﻣوع اﻟﺗﻛرارات ﻓﻲ طول اﻟﻔﺋ ﺔ واﻟﻘﺳ ﻣﺔ ﻋﻠﻰ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ . 2
ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺎت x
اﻟﺗﻛرار Oi
اﻟﺣدود اﻟدﻧﯾﺎ
Ei f z ˆx ˆ 20 7 22.5 -1.9 0.06562 6.2 25 25 27.5 -0.9 0.26609 25.1 30 33 32.5 0 0.39894 37.7 35 27 37.5 0.9 0.26609 25.1 40 8 42.5 1.9 0.06562 6.2 وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك 2 1.3559 :وﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ﻣرﺑ ﻊ ﻛ ﺎي وﻋﻧ د درﺟﺗ ﯾن ﺣ رﯾﺗﯾن ﻧﺟ د أن 2 . .05وﺑﻣﺎ أن 2 5.99وﺑذﻟك ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم . H 0 5.99
z
ﻣﺛﺎل ﯾﻌطﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻋدد اﻟوﻓﯾﺎت ﻓﻲ اﻷﺳﺑوع xواﻟﺗﻲ وﻗﻌت ﻓﻲ 10ﻣدن ﺧ ﻼل 200أﺳ ﺑوع واﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن ﺣوادث اﻟﺳﯾﺎرات . 0 1 2 3 4 x 109 65 22 3 1 اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺷﺎھدة ھل اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﺗﺗﻔق ﻣﻊ اﻟﻔرض اﻟﻘﺎﺋل أن ﻋدد اﻟوﻓﯾﺎت ﻓﻲ اﻷﺳﺑوع واﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن ﺣوادث اﻟﺳﯾﺎرات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ؟ اﺳﺗﺧدم ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05
اﻟﺣــل: : H 0ﻋدد اﻟوﻓﯾﺎت ﻓﻲ اﻷﺳﺑوع واﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن ﺣوادث اﻟﺳﯾﺎرات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون . : H1ﻋدد اﻟوﻓﯾﺎت ﻓﻲ اﻷﺳﺑوع واﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن ﺣوادث اﻟﺳﯾﺎرات ﻻ ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون . ﺑﻔرض أن H 0ﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈن اﻟداﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ھﻲ : ٧
e i P(X i) ,i 1,2,... !i وﺣﯾث أن ﻏﯾر ﻣﺣددة ﻣن ﻓرض اﻟﻌدم ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن ﺗﻘدﯾرھﺎ ﻣن ﻣﺷﺎھدات اﻟﻌﯾﻧﺔ وأﻓﺿل ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ھو اﻟوﺳﯾط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدات واﻟذي ﯾﺗم ﺣﺳﺎﺑﮫ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﺣﯾث أن : x O 122 ˆ x i i 0.61. Oi 200 ﺑﺎﺳﺗﺑدال ﻓﻲ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ ˆ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ :
(0.61)i e 0.61 Pi P(X i) , i 0,1,2,3, 4. !i اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻌدد اﻟوﻓﯾﺎت ﻓﻲ اﻷﺳﺑوع واﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن ﺣوادث اﻟﺳﯾﺎرات ، ، E i nPi ,i 0,1, 2,3,4ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ. اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌـﺔ (0.61)0 e .61 108.7. !0
x
200.P(X 0) 200
0
(0.61)1 e .61 66.3. !1
200.P(X 1) 200
1
(0.61)2 e .61 20.2. !2
200.P(X 2) 200
2 3
(0.61)3 e.61 4.1. !3
200.P(X 3) 200
(0.61)4 e .61 0.7. !4
200.P(X 4) 200
4
وﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺷﺎھدة واﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﺑﻌد ﺗﻘرﯾﺑﮭﺎ . اﻟﻣﺟﻣوع
>5
4
3
2
1
0
200
0
1
4
20
66
109
200
0
1
3
22
65
109
x اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺷﺎھدة
ﺑﺎﻟﻧظر إﻟﻰ اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻧﺟد أن ھﻧﺎك ﺗﻛرارﯾﯾن ﻛل ﻣﻧﮭﻣﺎ أﻗل ﻣن 5
وھﻣﺎ اﻟﺗﻛرار اﻟراﺑﻊ واﻟﺗﻛرار اﻟﺧﺎﻣس وﺑذﻟك ﻻ ﯾﺻﻠﺢ ﺗطﺑﯾق اﺧﺗﺑﺎر ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى إﻻ ﺑﻌد اﻟﺗﻐﻠب ﻋﻠﻰ ھذه اﻟﻣﺷﻛﻠﺔ وذﻟك ﺑدﻣﺞ اﻟﺗﻛرارﯾﯾن ﻛﻣﺎ ھو ﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ : >3 5 4
2 20 22
0 109 109
1 66 65
ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن : ٨
x اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ Oi
(Oi E i ) 2 0.41515. Ei i 1 k
2
2 .05واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ 2ﺑ درﺟﺎت ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ﻓﺈن 5.992
ﺣرﯾ ﺔ . k m 1 4 1 1 2ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض . X 2 5.992وﺑﻣ ﺎ أن 2ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل . H 0
ﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎﻧ ت اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻵﺗﯾ ﮫ ﺗﺑ ﯾن ﻋ دد اﻟﺣراﺋ ق اﻟﺷ ﮭرﯾﺔ ﻓ ﻲ ﻣدﯾﻧ ﮫ ﻣ ﺎ ﺧ ﻼل ﺳ ﺗﯾن ﺷ ﮭرا ً ﻣﺎﺿ ﯾﮫ أﺧذت ﻋﺷواﺋﯾﺎ ً: ﻋدد اﻟﺣراﺋق اﻟﺷﮭرﯾﺔ A i 0 3 5 6 1 2 4 ﻋدد اﻟﺷﮭور Oi 16 10 7 6 5 2 14 ﻓﮭل ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑ ﺎر أن ﻋ دد اﻟﺣراﺋ ق اﻟﺷ ﮭرﯾﺔ )اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ( Xﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾ ﻊ ﺑواﺳ ون ﻋﻧ د ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.01
اﻟﺣــل: : H 0اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون. : H1اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون. وھذا ﯾﻌﻧﻲ أن ﺻﯾﻐﺔ داﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ، xﻋﻧد ﺻﺣﺔ اﻟﻔرﺿﯾﺔ ، H 0ھﻲ:
x x P(X x) e x 0,1,... 0 !x وھو ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠﻣﺔ واﺣدة ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﺔ ، وأﻓﺿل ﺗﻘدﯾر ﻟﮭذه اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ھو ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ :x 17 162 ˆ x Oi x i 2.7. n1 60 وﻋﻠﯾﮫ ﯾﻣﻛن ﺑﻧﺎء اﻟﺟدول اﻷﺗﻲ: اﻟﻔﺋﺎت A i 0 3 5 6 1 2 4 اﻟﺗﻛرارات Oi 16 10 7 6 5 2 14 اﻻﺣﺗﻣﺎل Pi 0.067 0.181 0.245 0.220 0.149 0.080 0.058 اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ E i 4.02 10.86 14.70 13.2 8.94 4.8 3.48 وﺑﻣﺎ أن O1 5ﺗﺿﺎف اﻟﻔﺋﺔ A1إﻟﻰ A 2ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ: اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺷﺎھدة Oi 18 10 7 6 5 14 3.48
4.8
8.94
13.2
14.70
14.88
اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ E i
1.52
1.2
1.94
3.2
0.7
3.12
Oi E i
0.66
0.30
0.42
0.78
0.03
0.65
(Oi Ei )2 / Ei
ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: ٩
(Oi E i )2 2.84. Ei i 1 وﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ 2ﻧﺟد أن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ اﻟﻣواﻓﻘﺔ ﻟـ n m 1 6 1 1 4درﺟﺎت n
2
2 . .05وﺑﻣﺎ أن X 2 9.488و ﺣرﯾﺔ وﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ اﻟﻣﻌطﻰ 0.05ﺗﺳﺎوي 9.488
2ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم . H 0
ﻣﺛﺎل ﻗﺎﻣت ﺷرﻛﺔ ﻟﻠﺗﺄﻣﯾن ﻋﻠ ﻰ اﻟﺳ ﯾﺎرات ﺑﺗﺳ ﺟﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﺧﺎﺻ ﺔ ﺑﻌ دد اﻟﺣ وادث xاﻟﺗ ﻲ ﺗﻌرﺿ ت ﻟﮭﺎ اﻟﺳﯾﺎرات اﻟﻣؤﻣن ﻋﻠﯾﮭﺎ واﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 >9 10 40 100 150 200 125 75 50 30 20 اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺷﺎھد ھل ﯾﻣﻛن اﻟﻘول أن ﻋدد اﻟﺣوادث اﻟﺗﻲ ﺗﺗﻌرض ﻟﮭﺎ اﻟﺳ ﯾﺎرات اﻟﻣ ؤﻣن ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﺗﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾ ﻊ ﺑواﺳ ون وذﻟكـﻞ:ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05 اﻟﺤـ : H 0ﻋدد اﻟوﻓﯾﺎت ﻓﻲ اﻷﺳﺑوع واﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن ﺣوادث اﻟﺳﯾﺎرات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون . : H1ﻋدد اﻟوﻓﯾﺎت ﻓﻲ اﻷﺳﺑوع واﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن ﺣوادث اﻟﺳﯾﺎرات ﻻ ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون . ﺑﻔرض أن H 0ﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈن اﻟداﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ھﻲ :
e i ,i 1,2,... !i وﺣﯾث أن ﻏﯾر ﻣﺣددة ﻣن ﻓرض اﻟﻌدم ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن ﺗﻘدﯾرھﺎ ﻣن ﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻌﯾﻧ ﺔ وأﻓﺿ ل ﺗﻘ دﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ھو اﻟوﺳﯾط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدات واﻟذي ﯾﺗم ﺣﺳﺎﺑﮫ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﺣﯾث أن : x O 3335 ˆ x i i 4.16875. O i 800 ﺑﺎﺳﺗﺑدال ﻓﻲ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ ˆ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ : P(X i)
(4.16875)i e 4.16875 Pi P(X i) , i 0,1, 2,...,9 . !i اﻟﺗﻛ رارات اﻟﻣﺗوﻗﻌ ﺔ ﻟﻌ دد اﻟوﻓﯾ ﺎت ﻓ ﻲ اﻷﺳ ﺑوع واﻟﻧﺎﺗﺟ ﺔ ﻣ ن ﺣ وادث اﻟﺳ ﯾﺎرات ، ، E i nPi ,i 0,1,2,...,9ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ : x اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌـﺔ (4.16875)0 e 4.16875 800.P(X 0) 800 12.4 . !0 (4.16875)1 e 4.16875 800.P(X 1) 800 51.6 . !1 (4.16875) 2 e 4.16875 800.P(X 2) 800 107.5 . !2
١٠
0 1 2
3
(4.16875)3 e 4.16875 800.P(X 3) 800 149.4 . !3 (4.16875) 4 e 4.16875 800.P(X 4) 800 155.8 . !4 (4.16875)5 e 4.16875 800.P(X 5) 800 129.9 . !5 (4.16875)6 e 4.16875 800.P(X 6) 800 90.2 . !6
4 5 6 7
(4.16875)7 e 4.16875 800.P(X 7) 800 53.7 . !7 (4.16875)8 e 4.16875 800.P(X 8) 800 28 . !8 (4.16875)9 e 4.16875 800.P(X 9) 800 13 . !9
8 9
وﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺷﺎھدة واﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﺑﻌد ﺗﻘرﯾﺑﮭﺎ . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 20
50
75
125
200
150
100
40
10
28 13
54
90
130
156
149
108
52
12
x اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺷﺎھد اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗوﻗﻊ
ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ: 2
) (Oi Ei 19.29. Ei
k
2 i 1
2 .05واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ 2ﺑ درﺟﺎت ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ 0.05ﻓ ﺈن 15.507
ﺣرﯾ ﺔ . k m 1 10 1 1 8ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض . X 2 15.507وﺑﻣ ﺎ أن 2ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض . H 0
ﻣﺛﺎل ﻓﻲ ﻣﻌرﻛﺔ ﺣرﺑﯾﺔ ﻛﺎن ﻋدد اﻟﻣﻧﺎطق m yاﻟﺗﻲ ﺗﺳﺗﻘﺑل yﺿرﺑﺎت ﻛﺎﻵﺗﻲ: y 0 1 2 3 4 5 229 211 93 35 7 1 اﺧﺗﺑ ر ﻓ رض اﻟﻌ دم أن ﻋ دد اﻟﺿ رﺑﺎت ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾ ﻊ ﺑواﺳ ون ﺑﻣﻌﻠﻣ ﺔ ﻋﻧ د ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ﺑﻔرض أن 3.25ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05 my
١١
اﻟﺣــل: : H 0اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون. : H1اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون. ﺗﺣت ﻓرض اﻟﻌدم H 0ﻓﺈن:
(3.25) x 3.25 P(X x) e x 1, 2,... !x وﻻﺧﺗﺑﺎر ﺻﺣﺔ H 0ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺟدول اﻷﺗﻲ: ﻋدد اﻟﺣوادث اﻷﺳﺑوﻋﯾﺔ A i 5 0 3 1 2 4 229 211 93 35 7 1 اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺷﺎھدة Oi 0.039 0.126 0.205 0.222 0.180 0.278 Pi 22.464 72.576 118.08 127.872 103.68 131.328 اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ E i nPi ﺑدﻣﺞ اﻟﻔﺋﺔ اﻷﺧﯾرة ﻣﻊ اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﮭﺎ ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺟدول اﻷﺗﻲ: 0
Ai
4
3
2
1
229
Oi
8
35
93
211
Pi
0.408
0.222
0.205
0.126
0.039
E i nPi Oi E i
235.008
127.872
118.08
72.576
22.464
227.008
92.872
25.08
138.424
206.536
وﻋﻠﻲ ذﻟك : 2
2454.98 وﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ 2ﻓﺈن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ اﻟﻣواﻓﻘﺔ ﻟـ ـ k 1 5 1 4درﺟ ﺔ ﺣرﯾ ﺔ وﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ھﻲ 2 0.05 9.488وﺑﻣﺎ أن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟ رﻓض X 2 9.488و 2ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ، H 0أي أن ﻋدد اﻟﺿرﺑﺎت ﻻ ﺗﺧﺿﻊ ﻟﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون.
ﻣﺛﺎل ﻗﺎم ﻣﺳﺋول ﻣراﻗﺑﺔ اﻟﺟودة ﻓﻲ ﻣﺻﻧﻊ ﻹﻧﺗﺎج وﺣ دات ﻣﻌﯾﻧ ﺔ ﺑﺎﺧﺗﺑ ﺎر 200وﺣ دة ﻣ ن ﻧﺎﺣﯾ ﺔ ﻋ دد اﻟﺳطوح اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ وﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 0 1 2 3 4 5 > 6 ﻋدد اﻟﺳطوح اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ 90 62 31 13 3 1 0 اﻟﺗﻛرار اﺳﺗﺧدم ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻟﺗوﻓﯾق ھذه اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت واﺧﺗﺑر ﺟودة اﻟﺗوﻓﯾق ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05 ١٢
اﻟﺣــل: : H 0اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون. : H1اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون.
17 180 0.9. Oi x i n1 200
x
وﻋﻠﯾﮫ ﯾﻣﻛن ﺑﻧﺎء اﻟﺟدول اﻷﺗﻲ: 3
6
5
4
0 0.0003 0.06
1 0.002 0.4
3 0.011 2.2
1
0
62 0.366 73.2
90 0.407 81.4
2
31 13 0.165 0.049 33 9.8
اﻟﻔﺋﺎت اﻟﺗﻛرارات Oi اﻻﺣﺗﻣﺎل Pi اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ E i nPi
ﺑدﻣﺞ اﻟﻔﺋﺎت اﻟﺛﻼث اﻷﺧﯾرة ﻣﻊ اﻟﻔﺋﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ : 17
31
62
90
اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺷﺎھدة Oi
12.46
33
73.2
81.4
اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ E i nPi
4.6
2
11.2
8.6
Oi E i
1.714
0.909
(Oi Ei )2 / Ei
0.121 1.706
ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: 2
) (Oi Ei 4.4499 Ei
k
2 i 1
وﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ 2ﻧﺟد أن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ اﻟﻣواﻓﻘﺔ ﻟـ k 1 4 1 3درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 2 . .05وﺑﻣﺎ أن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض وﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ اﻟﻣﻌطﻰ 0.05ﺗﺳﺎوي 7.815
X 2 7.815و 2ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم . H 0
ﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ وﻓق ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن: 2 3 4 5 اﻟﻣﺟﻣوع 5 16 30 23 80 ﺛم اﺧﺗﺑر ﺟودة اﻟﺗوﻓﯾق ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى . 0.05
1 4
اﻟﺣــل: اﻟﻣطﻠوب ﺗوﻓﯾق ﻣﻧﺣﻧﻰ ذي اﻟﺣدﯾن واﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔروض اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: ١٣
0 2
x Oi
: H 0اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺧﺿﻊ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن. : H1اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ ﺗﺧﺿﻊ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن. ﺑﻣﺎ ان ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠﻣﺗﯾن وھﻣﺎ p,nﺣﯾث أ ﻣﺟﮭوﻟﮫ واﻟداﻟﺔ ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : n P(X x) p x q n x , x 1,2,...,n x ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ﻧﺟد أن n 5وﯾﻛون اﻟﻣطﻠوب ﺗﻘدﯾر pﺣﯾث : x x Oi x i / Oi 3.7125 , pˆ , n ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ˆ pوھو: pˆ Oi x i / n Oi 0.7425. ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﺑﻌد اﻟﺗﻌوﯾض ﻋن ﻗﯾﻣﺔ ﻛل ﻣن ˆ ˆ n q,p,ﺣﯾث ˆ qˆ 1 pﻛﺎﻷﺗﻲ: 5 P(X x) (0.7425)x (0.2575)5 x x 1, 2,...,5 x ھذه اﻟداﻟﺔ ﺗﺳﺗﺧدم ﻓﻲ إﯾﺟﺎد 2ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ: Ei (Oi Ei )2 / Ei 8.927 0.481 21.306 1.504 31.306 0.054 18.053 1.356 2 80 5.212
Oi 11 16 30 23 80
x 2
3 4 5
ﺗم دﻣﺞ اﻟﺧﻠﯾﺔ اﻷوﻟﻰ واﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻟﺗﺣﻘ ق ﺷ روط ﺗطﺑﯾ ق اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣرﺑ ﻊ ﻛ ﺎي .ﻣ ن ﺟ داول ﻣرﺑ ﻊ ﻛ ﺎي 2 0.05 .05وﺑﻣ ﺎ أن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض 2وﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ) (٢وﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ 5.991 . X 2 5.991وﺑﻣﺎ أن 2ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم . H 0
ﻣﺛﺎل أﻟﻘﯾت أرﺑﻊ ﻗطﻊ ﻧﻘود ﻋﺷرﯾن ﻣرة وﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 0 1 2 3 4 ﻋدد اﻟﺻور x i 3
5
5
3
4
اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺷﺎھد Oi
اﻟﻣطﻠوب اﺳﺗﺧدام اﺧﺗﺑﺎر ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻟﺟودة اﻟﺗوﻓﯾق ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﺗﺗﻔق ﻣ ﻊ ﺗوزﯾ ﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ﻧﺟﺎح ½ وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.01
١٤
اﻟﺣــل: : H 0اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺧﺿﻊ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن. : H1اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ ﺗﺧﺿﻊ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن. ﺑﻣﺎ أن ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠﻣﺗﯾن وھﻣﺎ p,nﺣﯾث أ ﻣﺟﮭوﻟﺔ واﻟداﻟﺔ ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ : n P(X x) p x q n x , x 1,2,...,n x ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ﻧﺟد أن n 4وﯾﻛون اﻟﻣطﻠوب ﺗﻘدﯾر pﺣﯾث 41 x x Oi x i / Oi 2.05 , pˆ , 20 n ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ˆ pوھو: pˆ Oi x i / n Oi 0.41. ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﺑﻌد اﻟﺗﻌوﯾض ﻋن ﻗﯾﻣﺔ ﻛل ﻣن q,p, nﻛﺎﻷﺗﻲ: 5 P(X x) (0.41) x (0.59)5 x x 1, 2,...,4 x ھذه اﻟداﻟﺔ ﺗﺳﺗﺧدم ﻓﻲ إﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء 2ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ: Oi Ei x (Oi Ei )2 / Ei 0.8310 0.5272 0.0085 1.0655 2 2.4322
7 5 5 3 20
4.9681 6.9084 4.7983 1.6672 20
1
2 3 4
ﺗم دﻣﺞ اﻟﺧﻠﯾﺔ اﻷوﻟﻰ واﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻟﺗﺣﻘق ﺷروط ﺗطﺑﯾق اﺧﺗﺑﺎر ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي .ﻣن ﺟداول ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي 2 2 . .05وﺑﻣﺎ أن ﻣﻧطﻘﺔ وﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ) (2وﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ﻧﺟد أن 5.995
اﻟرﻓض . X 2 5.99وﺑﻣﺎ أن 2ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم . H 0
) (٢اﺧﺗﺑﺎر ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ﻟﻼﺳﺗﻘﻼل The Chi-square Test of Independent ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻷﺣﯾﺎن ﯾرﻏب اﻟﺑﺎﺣث ﻓﻲ اﻟﺗﻌرف ﻋﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت ھﻧﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن ﺻ ﻔﺗﯾن ﻣن ﺻﻔﺎت ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ .ﻓﻌ ل ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻗ د ﯾرﻏ ب ﻣﺳ ﺋول اﻟﺗﻐذﯾ ﺔ ﻓ ﻲ ﻣدرﺳ ﺔ ﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺗﻌ رف ﻋﻣ ﺎ إذا ﻛﺎﻧ ت اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻐذاﺋﯾ ﺔ ﻟﻠطﺎﻟ ب ﻟﮭ ﺎ ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑﻛﻔﺎءﺗ ﮫ اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﯾ ﺔ .أﯾﺿ ﺎ ﻗ د ﯾرﻏ ب ﺑﺎﺣ ث ﻓ ﻲ ﻣﺟﺎل اﻟوراﺛﺔ ﻓﻲ اﻟﺗﻌرف ﻋﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت ھﻧﺎك ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻟون اﻟﺷﻌر وﻟون اﻟﻌﯾﻧﯾن … اﻟﺦ . ﻹﺟراء اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م nﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ .ﺗﺻ ﻧف ﻣﺷﺎھدات ھذه اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺣﺳب ﻣﺳﺗوﯾﺎت ﻛل ﻣن اﻟﺻﻔﺗﯾن ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ ﻓﻲ ﺟدول ﻣ زدوج ﯾﺳ ﻣﻰ ١٥
ﺟ دول اﻟﺗواﻓ ق . Contingency tableﺑﻔ رض أن A1,A 2 ,..., A kﺗرﻣ ز ﻟﻣﺳ ﺗوﯾﺎت اﻟﺻ ﻔﺔ Aو B1, B2 ,...,Bkﺗرﻣ ز ﻟﻣﺳ ﺗوﯾﺎت اﻟﺻ ﻔﺔ Bﻓ ﺈن ﺟ دول اﻟﺗواﻓ ق ﯾﻛ ون ﻋﻠ ﻰ اﻟﺷ ﻛل اﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ،ﺣﯾث أن Oijﺗرﻣز ﻟﻌدد اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﯾﺗ وﻓر ﻓﯾﮭ ﺎ اﻟﻣﺳ ﺗوى A i
ﻣن اﻟﺻ ﻔﺔ Aو اﻟﻣﺳ ﺗوى B jﻣ ن اﻟﺻ ﻔﺔ Bﺣﯾ ث i 1,2,...,rو . j 1,2,...,cأﯾﺿ ﺎ n i c
ﺗرﻣ ز ﻟﻌ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﯾﺗ وﻓر ﻓﯾﮭ ﺎ اﻟﻣﺳ ﺗوى A iﻣ ن اﻟﺻ ﻔﺔ Aأي أن . n i. Oij j1
أﯾﺿ ﺎ n.jﺗرﻣ ز ﻟﻌ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﯾﺗ وﻓر ﻓﯾﮭ ﺎ اﻟﻣﺳ ﺗوى B jﻣ ن اﻟﺻ ﻔﺔ Bأي أن r
. n j. Oijوﻋﻠﻰ ذﻟك : i 1
r
c
r
c
i 1
j1
n. j n i. Oij. j1 i 1
ﯾﺣﺗوي ﺟدول اﻟﺗواﻓق ﻋﻠﻰ ﺧﺎﻧﺎت ) ﺧﻼﯾﺎ ( ﻋددھﺎ ) (r x cﺧﻠﯾﺔ.
اﻟﻣﺟﻣوع n1.
… BC ... O1c
B2
B1
O12
O11
A1
n 2.
O 21 O 22 ... O 2c
A2
n r.
O r2 ... O rc
O r1
n 2.
n1.
n c.
...
Ar
n ﻓرض اﻟﻌدم واﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﺳوف ﯾﻛوﻧﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : : H 0اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . : H1اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . ﯾﻌﺗﻣ د اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣرﺑ ﻊ ﻛ ﺎي ﻟﻼﺳ ﺗﻘﻼل ﻋﻠ ﻰ ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ اﻟﺗﻛ رارات اﻟﻣﺷ ﺎھدة ﺑ ﺎﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻓﻲ ﻛل ﺧﻠﯾﺔ ﻋﻧدﻣﺎ H 0ﺻ ﺣﯾﺢ .إذا ﻛ ﺎن ) P(A iﯾرﻣ ز ﻻﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﺗ وﻓر ﻟﻣﺷ ﺎھدة ﻣ ﺎ اﻟﻣﺳ ﺗوى A iﻣ ن اﻟﺻ ﻔﺔ Aوإذا ﻛ ﺎن ) P(Biﯾرﻣ ز ﻻﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﺗ وﻓر ﻟﻣﺷ ﺎھدة ﻣ ﺎ اﻟﻣﺳﺗوى B jﻣن اﻟﺻﻔﺔ Bوإذا ﻛﺎن Pijﯾرﻣز ﻻﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺗوﻓر ﻟﻣﺷﺎھدة ﻣﺎ اﻟﻣﺳ ﺗوى A iﻣ ن اﻟﺻﻔﺔ Aو اﻟﻣﺳﺗوى B jﻣن اﻟﺻﻔﺔ Bﻓﺈن:
Pij P(Ai B j ). وﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻻﺳﺗﻘﻼل ﺑﯾن اﻟﺻﻔﺗﯾن ) A , Bﺗﺣت ﻓرض اﻟﻌدم ( ﻓﺈن : Pij P(Ai ) P(B j ). ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾر ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل Pijﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : ١٦
n n. j Pij i. . n n وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
; j 1,2,...,c.
n n .j E ij n i. n n n i. n.j ,i 1,2,...,r, n
ﺑﺎﻓﺗراض أن H 0ﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈن :
.
(Oij Eij )2 Eij
r
c
2
j1 i 1
ﻗﯾﻣ ﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ X 2ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾ ﻊ 2ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ) (r 1)(c 1ﺣﯾ ث rﻋ دد اﻟﺻ ﻔوف و cﻋ دد اﻷﻋﻣ دة ﻓ ﻲ ﺟ دول اﻟﺗواﻓ ق .ﻟﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﻓ ﺈن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض X 2 2ﺣﯾ ث 2ﺗﺳ ﺗﺧرج ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ 2ﻓ ﻲ ﻣﻠﺣ ق ) (٥ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ) . (r 1)(c 1إذا وﻗﻌت 2ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض . H 0
ﻣﺛﺎل ﯾﻌﺗﻘد اﻷطﺑﺎء أن ﻋدد ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻧوم ﻟﺳﯾدة ﻟدﯾﮭﺎ أطﻔﺎل ﯾﺧﺗﻠف ﻋن ﻋدد ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻧوم ﻗﺑ ل إﻧﺟﺎﺑﮭ ﺎ. ﺑﻔرض إﻧﮫ ﺗم ﺳؤال 60ﺳﯾدة ﻟدﯾﮭﺎ أطﻔﺎل وﺳﺟﻠت اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ .ﻣ ﺎ ھ و اﻻﺳ ﺗدﻻل اﻟذي ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮫ ﻣن ھذه اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ؟ ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05 ﻋدد اﻷطﻔﺎل اﻟﻧوم اﻟﺣﺎﻟﻲ ﺑﺎﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻗﺑل اﻹﻧﺟﺎب اﻟﻣﺟﻣوع أﺣﺳن
ﻧﻔﺳﮫ
أﻗل
30 15 15
0 1 3
5 4 7
25 10 5
1 2 3أو أﻛﺛر
60
4
16
40
اﻟﻣﺟﻣوع
اﻟﺣــل: : H 0ﻋدد ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻧوم وﻋدد اﻷطﻔﺎل ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . : H1ﻋدد ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻧوم وﻋدد اﻷطﻔﺎل ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ :
١٧
أﺣﺳن 2 1 1
اﻟﻧوم اﻟﺣﺎﻟﻲ ﺑﺎﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻗﺑل اﻹﻧﺟﺎب ﻧﻔﺳﮫ 8 4 4
ﻋدد اﻷطﻔﺎل أﻗل 20 10 10
1 2 3أو أﻛﺛر
اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺷﺎھدة واﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﺑﻌد دﻣﺞ ﺑﻌض اﻟﺗﻛرارات ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدوﻟﯾن اﻟﺗ ﺎﻟﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ وذﻟك ﺣﺗﻰ ﯾﺗﺣﻘق اﻟﺷرط أن ﻋدد اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻓﻲ ﻛل ﺧﻠﯾﺔ ﻻ ﯾﻘل ﻋن . 5 ﻋدد اﻷطﻔﺎل اﻗـل ﻧﻔﺳﮫ أو أﺣﺳن 1 25 5+0=5 2 10 4+1=5 3أو أﻛﺛر 5 7 + 3 = 10 ﻧﻔﺳﮫ أو أﺣﺳن 10 5 5 ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑﻘﯾن ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب :
اﻗـل 20 10 10
11.25.
ﻋدد اﻷطﻔﺎل 1 2 3أو أﻛﺛر
(Oij E ij )2 Eij
r
c
2
j1 i 1
2 .05واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ 2ﻓ ﻲ ﻟﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ 0.05ﻓ ﺈن 5.992
ﻣﻠﺣ ق ) (٥ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ . 2 1 2ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض . 2 5.992وﺑﻣ ﺎ أن 2ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض . H 0
ﻣﺛﺎل ﯾﻌطﻲ ﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ﺗﺻﻧﯾف ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن 2764ﺷﺧص ﺣﺳب اﻟ دﺧل ﺑﺎﻟ دوﻻر و اﻟﻔﺗ رة ﻣﻧذ آﺧر زﯾﺎرة ﻻﺳﺗﺷﺎرة طﺑﯾب .و اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن ھﻧ ﺎك اﺳ ﺗﻘﻼل ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن )اﻟدﺧل و زﯾﺎرة اﻟطﺑﯾب ( وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05 . اﻟﻣﺟﻣوع
أﻛﺛر ﻣن ﺳﻧﺔ
ﻣن 7ﺷﮭور ﻟﺳﻧﺔ
ﻣﻧذ 6ﺷﮭور
اﻟدﺧل
259 326 375 607 1197
35 45 78 140 259
38 54 78 112 285
186 227 219 355 653
أﻗﻞ ﻣﻦ 3000 3000-4999 5000-6999 7000-9999 أﻛﺜﺮ ﻣﻦ 10,000
2764
557
567
1640
اﻟﻣﺟﻣوع
اﻟﺣــل: ١٨
: H 0اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . : H1اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﺗﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ: ﻣﻧذ 6ﺷﮭور أﻛﺛر ﻣن ﺳﻧﺔ ﻣن 7ﺷﮭور ﻟﺳﻧﺔ 153.68 53.13 52.19 193.43 66.87 65.70 222.504 76.93 75.57 360.16 124.52 122.32 710.33 245.55 241.22 2 وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
.
(Oij Eij )2 E ij
5 3
اﻟدﺧل أﻗل ﻣن 3000 3000-4999 5000-6999 7000-9999 أﻛــﺜﺮ ﻣــﻦ 10,000
2
i 1 j1
2 .05واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ 2ﺑدرﺟﺎت ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ﻓﺈن 15.507
ﺣرﯾﺔ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض . 2 15.507وﺑﻣﺎ أن 2وﯾﺗرك اﻟﺣل اﻟﻧﮭﺎﺋﻲ ﻟﻠطﺎﻟب.
ﻣﺛﺎل أﺧذت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن 200رﺟل ﻣﺗزوج وﺗم ﺗﺻﻧﯾﻔﮭم ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗﺑﻌﺎ ً ﻟﻠﺗﻌﻠ ﯾم وﻋ دد اﻷطﻔﺎل : اﻛﺛر ﻣن 3 32 17 10
اﻟﺗﻌﻠﯾم
ﻋدد اﻷطﻔﺎل 2- 3 37 42 17
0-1 14 19 12
ﺑﺳﯾط ﻣﺗوﺳط ﺟﺎﻣﻌﻰ
اﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌدم ان ﻋدد اﻷﻓراد ﻓﻲ اﻷﺳرة ﻏﯾر ﻣ رﺗﺑط ﺑ ﺎﻟﺗﻌﻠﯾم وذﻟ ك ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ . 0.05
اﻟﺣــل: اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﮫ ﻣﻌطﺎه ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ : 39.84 24.485 37.44 23.01 18.72 11.505 2 .01ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ ﺗﺳ ﺎوي 4و 13.2767 2 .01ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم.
١٩
18.675 17.55 8.775 .2 7.46439وﺑﻣ ﺎ أن 2اﻛﺑ ر ﻣ ن
إذا ﻛﺎن ﻟﻛل ﻣن اﻟﺻﻔﺗﯾن A , Bﻣﺳﺗوﯾﺎن ﻓﻘط ﻓﺈن اﻟﺟدول اﻟﻧﺎﺗﺞ ﯾﺗﻛ ون ﻣ ن ﺻ ﻔﯾن وﻋﻣ ودﯾن )أي أرﺑ ﻊ ﺧﻼﯾ ﺎ ( .ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﺟ دول اﻟﻧ ﺎﺗﺞ ﺟ دول اﻻﻗﺗ ران) .(2×2اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛ ل ﺟ دول اﻗﺗران .ﻋدد درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗرﺗﺑط ﺑﺟدول اﻻﻗﺗران ﺳوف ﺗﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ. اﻟﺻﻔﺔ اﻷوﻟﻰ
اﻟﺻﻔﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ B2
B1
ab
b
a
A1
cd
d
c
A2
n
bd
ac
ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ﺻﯾﻐﺔ ﺑﺳﯾطﺔ ﻟﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﺔ
2
ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
n(ad bc) 2 . )(a c)(b d)(c d)(a b 2
ﻣﺛﺎل ﻟدراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻧوم ﻟ ﯾﻼ ً واﻟﺗ دﺧﯾن اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن 56ﺷﺧﺻ ﺎ ً واﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ : اﻟﺗدﺧﯾن اﻟﻧــوم اﻟﻣﺟﻣوع ﻻ
ﻧﻌم
36
16
20
20 56
14 30
6 26
ﻧﻌم ﻻ اﻟﻣﺟﻣوع
اﻟﻣطﻠ وب اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﺎ إذا ﻛﺎﻧ ت ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟﻧ وم ﻟ ﯾﻼ ً واﻟﺗ دﺧﯾن وذﻟ ك ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05
اﻟﺣــل: : H 0اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . : H1اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن :
٢٠
n(ad bc) 2 )(a c)(b d)(c d)(a b 2
56[(20)(14) (16)(6)]2 3.376 . )(26)(30)(20)(36 2 .05واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ 2ﺑ درﺟﺎت ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ﻓﺈن 3.843 ﺣرﯾﺔ واﺣدة .ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض . X2 > 3.843وﺑﻣﺎ أن 2ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل . H 0 ﺳ ﺑق أن ذﻛرﻧ ﺎ أن اﻟﺗﻛ رارات اﻟﻣﺗوﻗﻌ ﺔ ﻓ ﻲ ﻛ ل ﺧﻠﯾ ﺔ ﯾﺟ ب أن ﻻ ﯾﻘ ل ﻋ ن 5وإذا ﺣ دث وﻛﺎن أﺣد اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ أﻗ ل ﻣ ن 5ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ وم ﺑ دﻣﺞ اﻟﺗﻛ رارات .وﻋﻠ ﻰ أي ﺣ ﺎل ﻓ ﺈن ھ ذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﻻ ﺗﺳﺗﺧدم ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺟدول اﻻﻗﺗران .وﻗد أﻗﺗ رح ) Yates (1934ﺗﺻ ﺣﯾﺣﺎ ً ﯾﺳ ﺗﺧدم ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺎ إذا ﻛﺎن أﺣد اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ أﻗل ﻣن . 5وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗﺻﺣﯾﺢ ﯾﺻﺑﺢ ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻ ﺎء اﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﯾﮫ ﻗراراﻧﺎ ھو : n n(| ad bc | )2 2 2 )(a c)(b d)(c d)(a b ﺑﺗطﺑﯾق ﺗﺻﺣﯾﺢ Yatesﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء ﺗﺻﺑﺢ : 56 56[ (20)(14) (16)(6) ]2 2 2 )(26)(30)(20)(36
2.427. ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل إﻟﻰ ﻧﻔ س اﻻﺳ ﺗﻧﺗﺎج اﻟ ذي ﺣﺻ ﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾ ﮫ ﺑ دون ﺗﺻ ﺣﯾﺢ، أي إﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل . H 0
ﻣﺛﺎل اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﺑﯾن 49ﺷﺧﺻﺎ ً ﻣﻘﺳﻣﯾن ﺣﺳب اﻟﺗدﺧﯾن واﻟﺗﻌﻠﯾم : ﻏﯾر ﻣﺗﻌﻠم 25 37
ﻣﺗﻌﻠم 62 78
اﻟﺗدﺧﯾن ﯾدﺧن ﻻﯾدﺧن
اﻟﻣطﻠو اﺧﺗﺑﺎر اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﺗدﺧﯾن واﻟﺗﻌﻠﯾم ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05
اﻟﺣــل: : H 0اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . : H1اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . 2 .05ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﯾﺳﺎوى واﺣ د ﺻ ﺣﯾﺢ و . .2 0.0104348وﺑﻣ ﺎ أن 3.84146 2 .05ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم. 2اﺻﻐر ﻣن
٢١
) (٣اﺧﺗﺑﺎر ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻟﻠﺗﺟﺎﻧس The Chi-square Test of Homogeneity ﺑﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻋددھﺎ rوﺟﻣﯾﻌﮭﺎ ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ ﻣن ﺣﯾث اﻟﺗﺻﻧﯾف وﺑﻔرض أن c ھﻲ ﻋدد ﻓﺋﺎت اﻟﺗﺻﻧﯾف ﻓﻲ ﻛل ﻣﺟﺗﻣﻊ .ﺑﻔرض أن Pj|iﯾرﻣز ﻟﻧﺳﺑﺔ ﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ رﻗم i اﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺋﺔ رﻗم . jﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل ھذه اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ . اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻓﺋﺎت اﻟﺗﺻﻧﯾف 1 2 … j … c 1 1 P1|1 P2|1 ... Pj|1 ... Pc|1 1 2 P1|2 P2|2 ... Pj|2 ... Pc|2
1
Pc|i
1
...
P2|i ... Pj|i
P1|i
... Pc|r
P2|r ... Pj|r
P1|r
P2 Pj Pc
1
i r
P1
ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟﻧﺳب Pj|iﻣﺟﮭوﻟﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﻣﻌرﻓﺔ ﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ r ﻣﺗﺟﺎﻧﺳﺔ أي إﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم : H 0 : Pj|1 Pj|2 .... Pj|r Pj
; j 1, 2,....c. ﻹﺟراء اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺎت ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻋ ددھﺎ rواﺣ دة ﻣ ن ﻛ ل ﻣﺟﺗﻣ ﻊ وأﺣﺟﺎﻣﮭ ﺎ ھ ﻲ n1,n 2 ,..., n rﻋﻠ ﻰ أن ﺗﻛ ون اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ﻋ ن ﺑﻌﺿ ﮭﺎ اﻟ ﺑﻌض .ﺑﻔﺣ ص ﻣﺷﺎھدات ھذه اﻟﻌﯾﻧﺎت ووﺿﻊ ﻛل ﻣﺷﺎھدة ﺣﺳب ﺗﺻﻧﯾﻔﮭﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ: اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ 1 2 … j … c n1 n2
... O1 j ... O1c
ni
O12
O11
O 22 ... O 2 j ... O 2c
O 21
O ic
nr
N
n.2 … n. j … n.c c
j1
i
Oi1 Oi 2 ... Oij
O r1 O r 2 ... O rj ... O rc
ﺣﯾث n i Oijو
1 2
r
اﻟﻣﺟﻣوع
n.1
r
c
r
i 1
j1
i 1
n .j Oijو . n n i n .j
إذا ﻛﺎن ﻓرض اﻟﻌدم ﺻﺣﯾﺢ وﺣﯾث أن اﻟﻧﺳب ﻣﺟﮭوﻟﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘوم ﺑﺗﻘدﯾر Pjﺣﯾث أن :
٢٢
،
n .j n
Pj
n .j E ij n i. Pj n i. , n وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن : 2
.
) (Oij Eij Eij
r
c
2 j1 i 1
ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ X2اﻟذي ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ 2ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ )(r 1)(c 1 .ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺧطوات اﻟﺗ ﻲ اﺳ ﺗﺧدﻣﻧﺎھﺎ ﻓ ﻲ اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣرﺑ ﻊ ﻛﺎي ﻟﻼﺳﺗﻘﻼل .
ﻣﺛﺎل ﯾﺑﯾن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ وﺟود وﻏﯾﺎب اﻋراض ﺿﯾق اﻟﺗﻧﻔس ﻟﻼطﻔﺎل ﻓﻲ ﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن ،اﻟﻣﺟﻣوﻋﮫ اﻻوﻟﻰ ﺗﺗﻛون ﻣن 42طﻔل اﻟﺗﻲ ﻣُزﻗت اﻏﺷﯾﺗﮭﺎ اﻟﺟﻧﯾﻧﯾﮫ ﻓﻲ ﺧﻼل 42ﺳﺎﻋﮫ او اﻗل ﻗﺑل اﻟﺗﺳﻠﯾم،ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻟﻣﺟﻣوﻋﮫ اﻟﺛﺎﻧﯾﮫ واﻟﻣﻛوﻧﮫ ﻣن 22طﻔل واﻟﺗﻲ ﻣُزﻗت اﻏﺷﯾﺗﮭﺎ ﺧﻼل اﻛﺛر ﻣن 24 ﺳﺎﻋﮫ ﻗﺑل اﻟﺗﺳﻠﯾم .اﺳﺗﺧدم ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﮫ . 0.05 اﻟﻣﺟﻣوﻋﮫ ﻧﻌم ﻻ اﻟﻣﺟﻣوع
اﻟﺣــل:
42 22 ﺑﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن 64
27
15
1 2
7 15 30ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن34ﻣﺗﺟﺎﻧﺳﯾن)ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﯾن(. ھﻣﺎ اﻟﻣﺟﻣوع
: H 0اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن اﻟﻣﺗﻣﺛﻠﯾن : H1اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻏﯾر ﻣﺗﺟﺎﻧﺳﯾن. ﻧﻔرض ﺻﺣﺔ ، H 0وﻧﻘوم ﺑﺣﺳﺎب اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﮫ ﻛﻣﺎﯾﻠﻲ: nj E ij n i ( ). n وﻋﻠﻰ ذﻟك:
)(42)(34 22.3225 , 64 )(42)(30 E12 19.6875 , 64 )(22)(34 E21 11.6845 , 64 )(22)(30 E22 10.3125 , 64 E11
(27 22.3225) 2 (15 19.6875)2 (7 11.6875)2 (15 10.3125)2 6.11. 22.3225 19.6875 11.6875 10.3125 2
درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﮫ ﻟﮭذا اﻻﺧﺗﺑﺎرھﻲ: ٢٣
(r 1)(s 1) (2 1)(2 1) 1. 2
وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘﯾﻣ ﮫ اﻟﺣرﺟ ﮫ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ﻣرﺑ ﻊ ﻛ ﺎي ﻓﻧﺟ دھﺎ . 3.843وﻧﺟ د ان 6.11 3.843اذن ﻧ رﻓض اﻟﻔ رض H 0وﻧﻘﺑ ل اﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل H1وﻧﺟ د ان اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ﻏﯾ ر ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﯾن.
ﻣﺛﺎل ﻗﺎﻣت ﺷرﻛﺔ ﻟﻠﻣﯾﺎه اﻟﻐﺎزﯾﺔ ﺑدراﺳﺔ ﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻣﺎ إذا ﻛ ﺎن ھﻧ ﺎك اﺧ ﺗﻼف ﺑ ﯾن ﺷ راﺋﺢ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣ ن ﻧﺎﺣﯾ ﺔ اﻟﺗﻔﺿ ﯾل ﻟﺛﻼﺛ ﺔ أﻧ واع ﻣ ن اﻟﻣﺷ روﺑﺎت .اﺳ ﺗﺧدﻣت ﻟﮭ ذه اﻟدراﺳ ﺔ أرﺑ ﻊ ﻋﯾﻧ ﺎت ﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ واﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ ﻣﻌط ﺎة ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ .اﺳ ﺗﺧدم اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣرﺑ ﻊ ﻛ ﺎى ﻟﻠﺗﺟ ﺎﻧس ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم : H 0 :اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻷرﺑﻌﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﯾن ﻓﻲ ﺗﻔﺿﯾل اﻟﻣﺷروب. ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل : H1 :اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻷرﺑﻌﺔ ﻏﯾر ﻣﺗﺳﺎوﯾﯾن ﻓﻲ ﺗﻔﺿﯾل اﻟﻣﺷروب. وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05 اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻷرﺑﻌﺔ ﻧوع اﻟﻣﺷروب اﻟﻣﺟﻣوع 100 200 47 300 647
C
B
A
5 20 17 100 142
20 130 25 100 275
75 50 5 100 230
رﺑﺎت اﻟﺑﯾوت رﺟﺎل اﻷﻋﻣﺎل ﻋﻣﺎل طﻠﺑﺔ اﻟﻣﺟﻣوع
اﻟﺣــل: اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﺗم ﺣﺳﺎﺑﮭﺎ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ : ﻧوع اﻟﻣﺷروب اﻟﻣﺟﻣوع B C 42.50 21.95 100 85.01 43.89 200 19.98 10.32 47.01 127.51 65.84 300 275 142 647.01
اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻷرﺑﻌﺔ A 35.55 71.10 16.71 106.65 230.01
ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
(Oij E ij )2 Eij
r
c
2
j1 i 1
149.72.
٢٤
رﺑﺎت اﻟﺑﯾوت رﺟﺎل اﻷﻋﻣﺎل ﻋﻣﺎل طﻠﺑﺔ اﻟﻣﺟﻣوع
2 .05واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ﻓﺈن 12.592
ﺣرﯾ ﺔ . r c 3 2 6ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض . X 2 12.592وﺑﻣ ﺎ أن 2ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض . H 0
٢٥