اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط وﻣﯾل اﻻﻧﺣدار ﻓــﻲ ﺣﺎﻟــﺔ اﻻﻧﺣــدار اﻟﺧطــﻲ اﻟﺑﺳــﯾط ﺣﯾــث ﯾوﺟــد ﻣﺗﻐﯾــر ﻣﺳــﺗﻘل واﺣــد xوﻣﺗﻐﯾــر
ﺗﺎﺑﻊ Yﻓﺈن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﻣﺛل ﺑﺄزواج اﻟﻣﺷﺎﻫدات . ( x i , yi), i 1,2,..., nﯾﻌرف ﻛـل
ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ Yi Y | x iﺑﻧﻣـوذج إﺣﺻـﺎﺋﻲ Statistical modelوذﻟـك ﺗﺣـت ﻓرض أن ﻛل اﻟﻣﺗوﺳطﺎت Y|x iﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺧـط ﻣﺳـﺗﻘﯾم ﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿـﺢ ﻓـﻲ اﻟﺷـﻛل
اﻟﺗﺎﻟﻰ .وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻛل ﻣﺗﻐﯾر Yiﯾﻣﻛن وﺻﻔﻪ ﺑﻧﻣوذج اﻧﺣدار ﺑﺳﯾط ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ: )(١
Yi Y|xi i 0 1x i i ,
ﺣﯾث اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ، iﺧطﺄ اﻟﻧﻣوذج ،ﻻﺑد أن ﯾﻛون ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر.
ﺗﺷﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ 1ﻓﻲ ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار )) (١واﻟﺗﻲ ھﻲ ﻣﯾ ل ﺧ ط اﻻﻧﺣ دار( إﻟ ﻰ اﻟﺗﻐﯾر ﻓﻲ ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ Yﻟﻛ ل وﺣ دة زﯾ ﺎدة ﻓ ﻲ .xأﻣ ﺎ ١
اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ 0ﻓﺗﻣﺛ ل اﻟﺗﻘ ﺎطﻊ اﻟﺻ ﺎدي ﻟﺧ ط اﻻﻧﺣ دار .وإذا اﺣﺗ وى ﻣ دى اﻟﻧﻣ وذج ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘﯾﻣ ﺔ x 0ﻓ ﺎن 0ﺗﻌط ﻲ ﻣﺗوﺳ ط اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾ ر Yﻋﻧ دﻣﺎ . x 0وﻟﯾس ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ 0أي ﺗﻔﺳﯾر ﺧﺎص ﺑﮭﺎ ﻛﺣ د ﻣﻧﻔﺻ ل ﻓ ﻲ ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار إذا ﻟم ﯾﺗﺿﻣن ﻣﺟﺎﻟﮫ اﻟﻘﯾﻣﺔ . x 0 ﯾﻘ ﺎل ﻋ ن اﻟﻧﻣ وذج ) (١اﻧ ﮫ ﺑﺳ ﯾط وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌ ﺎﻟم وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳﺗﻘل .ﻓﮭو ﺑﺳﯾط ﻷﻧﮫ ﯾﺳﺗﺧدم ﻣﺗﻐﯾرا ﻣﺳﺗﻘﻼ واﺣدا ﻓﻘط ،وﺧطﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌ ﺎﻟم ﻷﻧ ﮫ ﻻ ﺗظﮭر أي ﻣﻌﻠﻣﮫ ﻛ ﺄس أو ﻣﺿ روﺑﺔ ﺑﻣﻌﻠﻣ ﮫ أﺧ رى ،وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل ﻻن ھ ذا اﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻻ ﯾظﮭ ر إﻻ ﻣرﻓوﻋ ﺎ ﻟ ﻸس اﻟواﺣ د .أﯾﺿ ﺎ ﯾﻌ رف اﻟﻧﻣ وذج )(١ ﺑﺎﻟﻧﻣوذج ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ اﻷوﻟﻰ . ﻓﻲ ﻣﻧﺎﻗﺷﺗﻧﺎ ﻟﻼﻧﺣدار اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻔﺗرض أن xﻣﺗﻐﯾر ﺗﺣت اﻟﺗﺣﻛم ﯾﻘﺎس ﺑﺄﺧطﺎء ﯾﻣﻛن اھﻣﺎﻟﮭﺎ وأن Yﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ .ﺗﺷ ﺗﻣل ﻛﺛﯾ ر ﻣ ن اﻟﺗطﺑﯾﻘ ﺎت ﻟﺗﺣﻠﯾ ل اﻻﻧﺣ دار ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﻻت ﯾﻛ ون ﻓﯾﮭ ﺎ ﻛ ل ﻣ ن X,Yﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ وﻣﺳ ﺗوﯾﺎت Xﻻ ﯾﻣﻛ ن اﻟ ﺗﺣﻛم ﻓﯾﮭ ﺎ .ﻓ ﻲ ﺗﻠ ك اﻟﺣ ﺎﻻت ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻋ ﺎدة ﻧﻔﺗ رض أن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ) ( X, Yﺣﯾ ث i 1,2,..., nﻟﮭﻣ ﺎ ﺗوزﯾ ﻊ اﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ﻣﺷ ﺗرك .ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﺑﻔ رض أﻧﻧ ﺎ ﻧرﯾ د إﯾﺟﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻧﺣدار ﻣﻘدره ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺑ ﯾن ﻣﺑﯾﻌ ﺎت اﻟﻣﺛﻠﺟ ﺎت ودرﺟ ﺔ اﻟﺣ رارة اﻟﻌظﻣ ﻰ اﻟﯾوﻣﯾﺔ .ﻣن اﻟواﺿﺢ أﻧﻧﺎ ﻻﯾﻣﻛ ن اﻟ ﺗﺣﻛم ﻓ ﻲ درﺟ ﺔ اﻟﺣ رارة اﻟﻌظﻣ ﻰ .ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن nﻣن اﻷﯾﺎم وﻧﻼﺣظ درﺟ ﺔاﻟﺣرارة اﻟﻌظﻣ ﻰ x iوﻣﺳ ﺗوى اﻟﻣﺑﯾﻌ ﺎت y i ﻟﻛل ﯾوم .وﻋﻠﻰ ذﻟك ) ( x i , y iﻟﮭﻣﺎ ﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺷ ﺗرك .ﻋﻧ دﻣﺎ X,Yﻛﻼھﻣ ﺎ ﻣﺗﻐﯾ رﯾن ﻋﺷواﺋﯾن ﻓﺈن اﻟﻧﻣوذج ) (١ﯾﺻ ﺑﺢ . Y= 0 1X وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﺳ وف ﯾﻛ ون ﻟﮭﻣ ﺎ داﻟ ﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل اﻟﻣﺷ ﺗرﻛﺔ وﯾﻣﻛ ن إﯾﺟ ﺎد ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط correlation coefficientﺑﯾن X,Yﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: )Cov(X, Y {Var(X)Var(Y)}1 / 2
ﺣﯾ ث ) Cov (X,Yھ و ﺗﻐ ﺎﯾر . X,Yﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻛ ون داﻟ ﮫ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل اﻟﻣﺷ ﺗرﻛﺔ ) f(x,yﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﻓﺎن : Cov (X, Y )
} f ( x , y )dxdy , {x X }{y Y
f ( x , y)dxdy ,
٢
2 ( x X ) Var ( X )
2 ) (y Y
Var ( Y ) f ( x , y)dxdy ,
ﺣﯾث : E(X)
E ( Y) Y
X = x f(x, y) dxdy ,
y f(x, y) dxdy .
ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻛ ون داﻟ ﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل اﻟﻣﺷ ﺗرﻛﺔ ﻣ ن اﻟﻧ وع اﻟﻣﺗﻘط ﻊ ﯾﺳ ﺗﺑدل اﻟﺗﻛﺎﻣ ل ﺑﺎﻟﻣﺟﻣوع ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ .ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن .1 -1اﻟﻛﻣﯾ ﮫ ﺗﻌﺗﺑ ر ﻣﻘﯾ ﺎس ﻟﻼرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن . X,Yﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ دﻣﺎ = 1ﻓ ﺎن X,Yﻟﮭﻣ ﺎ ارﺗﺑ ﺎط ﺗ ﺎم ﻣوﺟ ب .ﻋﻧ دﻣﺎ = 0ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻘ ﺎل أن اﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن ﻏﯾ ر ﻣ رﺗﺑطﯾن ،أي ﻻ ﯾوﺟ د ﻋﻼﻗ ﺔ ﺧطﯾ ﮫ ﺑﯾﻧﮭﻣ ﺎ .وھ ذا ﻻ ﯾﻌﻧ ﻲ أن X,Yﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن .ﻋﻧ دﻣﺎ = -1 ﻓﺎن X,Yﯾﻛوﻧﺎن ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ ارﺗﺑ ﺎط ﺗ ﺎم ﺳ ﺎﻟب ٠ﻏﺎﻟﺑ ﺎ ﻓ ﻲ ﺗﺣﻠﯾ ل اﻻﻧﺣ دار ﯾﻔﺗ رض أن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ) f(x,yﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن X,Yﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ ﺣﯾث : 1 x X 2 x X y Y y Y 2 exp ([ () 2 () () ) ] , 2 X Y Y 2(1 ) X 2XY 1 2 1
f (x, y)
x , y
ﺣﯾ ث Y , 2Yھﻣ ﺎ اﻟﻣﺗوﺳ ط واﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر Yو 2X , Xھﻣ ﺎ اﻟﻣﺗوﺳ ط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xو:
) E(Y-Y )(X X 12 X Y X Y
ھ و ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن . X,Yاﻟﺣ د 12ھ و اﻟﺗﻐ ﺎﯾر ﺑ ﯾن . X,Yاﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yإذا ﻋﻠﻣت ﻗﯾﻣﺔ xھو : 1 1 y 0 1x 2 ( [exp ] ) 2 12 212
ﺣﯾث :
٣
f (x, y)
)(٢
0 Y x Y , X ,
1 Y X
2 12 2y (1 2 ) .
وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ،اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺷ رطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر Yإذا ﻋﻠ م xطﺑﯾﻌ ﻲ ﺑﻣﺗوﺳ ط 2 . 12وﯾﺟب أن ﻧﻌﻠم أن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺷ رطﻲ E(Y|x)= 0 1xوﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Yإذا ﻋﻠم xھو ﻧﻣوذج ﺧط ﻣﺳﺗﻘﯾم .وأﻛﺛر ﻣن ذﻟك ﯾوﺟد ﻋﻼﻗﮫ ﺑﯾن ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط واﻟﻣﯾل . 1ﻣ ن) (٢ﻧﺟ د أﻧ ﮫ ﻋﻧ دﻣﺎ =0ﻓ ﺎن 1 0واﻟﺗ ﻲ ﺗﻌﻧ ﻲ ﻋ دم وﺟ ود ﻋﻼﻗ ﮫ ﺧطﯾ ﮫ ﺑ ﯾن ، X,Yأي أن اﻟﻣﻌﻠوﻣ ﺎت ﻋ ن xﻻ ﺗﺳ ﺎﻋد ﻓ ﻲ اﻟﺗﻧﺑ ﺄ ﻋن . Yﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻻﻣﻛﺎن اﻷﻋظم ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﺎﻟم 0 , 1ﺣﯾث ﻣﻘ درات اﻻﻣﻛﺎن اﻷﻋظم ﻟﻠﻣﻌﺎﻟم 0 ,1ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ : )(٣ )(٤
b 0 y b1x , SXY SXX
) x 2
yi (x i
) x
(xi
b1
اﻟﺗﻘ دﯾرات ﻓ ﻲ ) (٣و) (٤ھ ﻲ ﻧﻔﺳ ﮭﺎ اﻟﺗ ﻲ ﺗ م اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾ ﮫ ﺑطرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺻﻐرى ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻓﺗراض أن xﻣﺗﻐﯾر ﺗﺣت اﻟﺗﺣﻛم . ﻋﻣوﻣ ﺎ ﻓ ﺈن ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار ﻋﻧ دﻣﺎ X,Yﻣﺗﻐﯾ رﯾن ﻋﺷ واﺋﯾن ﯾﺗﺑﻌ ﺎن اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ ﯾﻣﻛن ﺗﺣﻠﯾﻠﮫ ﺑ ﺎﻟطرق اﻟﺳ ﺎﺑﻘﮫ اﻟﺗ ﻲ اﺳ ﺗﺧدﻣﻧﺎھﺎ ﻋﻧ دﻣﺎ ﻛ ﺎن xﻣﺗﻐﯾ ر ﺗﺣت اﻟﺗﺣﻛم .وذﻟ ك ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻲ أن اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ Yإذا ﻋﻠ م xﻣﺳ ﺗﻘل وﯾﺗﺑ ﻊ 2 . 12ھذه اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ أﯾﺿﺎ ﺗﺗﺣﻘق اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﻣﺗوﺳط 0 1xوﺗﺑﺎﯾن ﺛﺎﺑت ﻷي داﻟﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﮫ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن X,Yﺑﺣﯾث أن اﻟداﻟﺔ اﻟﺷرطﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر Yإذا ﻋﻠم xﺗﻛون طﺑﯾﻌﯾﺔ . ﯾﻣﻛن إﺟراء اﺳﺗدﻻﻻت ﻋن ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﻓﻲ ھذا اﻟﻧﻣوذج .اﻟﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﮫ ھو ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺑﺳﯾط rﺣﯾث :
٤
.
SXY SXX.SYY
) x )( y i y y) 2
n (x i i 1
n x ) 2 ( yi i 1
n (x i i 1
r
وﯾﺟب أن ﻧﺗذﻛر أن : )(٥
SYY r . SXX
b1
وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻣﯾل b1ھو ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺑﺳﯾط rﻣﺿروب ﻓﻲ ﻣﻌﺎﻣل ﯾﻣﺛل اﻟﺟ ذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ" ﻻﻧﺗﺷﺎر" ﻗﯾم yﻣﻘﺳ وﻣﺎ ﻋﻠ ﻰ "اﻧﺗﺷ ﺎر" ﻗ ﯾم . xوﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك r , b1ﺑﯾﻧﮭﻣ ﺎ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﺎﻟرﻏم ﻣن أن ﻛل واﺣد ﯾﻌطﻲ ﻣﻌﻠوﻣﮫ ﻣﺧﺗﻠﻔﮫ .ﻓﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط rھو ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻼرﺗﺑﺎط ﺑﯾن X,Yﺑﯾﻧﻣﺎ b1ﯾﻘﯾس اﻟﺗﻐﯾر اﻟﻣﺗﻧﺑﺄ ﺑﮫ ﻟـ yﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺗﻐﯾر xﺑﻣﻘدار وﺣده واﺣده .ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون xﺛﺎﺑﺗﮫ ﻓﺎن rﻻ ﯾﻛون ﻟﮭﺎ ﻣﻌﻧﻰ .اﻟﻣﻌﺎدﻟ ﺔ ) (٥ﺗﻌﻧ ﻲ أن إﺷ ﺎرة ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ھﻲ ﻧﻔس إﺷﺎرة . b1 أﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ (٥) ،ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : SXX SYY b SXY SSR = 1 = = SYY SYY
r 2 b12
R2 .
ﺣﯾث R 2ھو ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد .أي أن ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد R 2ھو ﻧﻔﺳﮫ ﻣرﺑﻊ ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن . X, Yﺑ ﺎﻟرﻏم ﻣ ن أن اﻻﻧﺣ دار واﻻرﺗﺑ ﺎط ﺑﯾﻧﮭﻣ ﺎ ﻋﻼﻗ ﺔ ﻗوﯾ ﺔ ﻓ ﺈن اﻻﻧﺣ دار ﯾﻌﺗﺑ ر اﻷداء اﻷﻛﺛ ر ﻛﻔ ﺎءة ﻓ ﻲ ﻛﺛﯾ ر ﻣ ن اﻟﺣ ﺎﻻت .ﻓﺎﻻرﺗﺑ ﺎط ﻓﻘ ط ﻣﻘﯾ ﺎس ﻟﻼرﺗﺑﺎط وﻗﻠﯾل اﻻﺳﺗﺧدام ﻓﻲ اﻟﺗﻧﺑؤ.
٥