معامـل الارتبـاط الخطى البسيـط

‫ﻣﻌﺎﻣـل اﻻرﺗﺑـﺎط اﻟﺧطﻰ اﻟﺑﺳﯾـط‬ ‫‪The Simple Linear Correlation Coefficient‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻻﻧﺣدار ﯾﻛون اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﺗﻧﺑﺄ ﺑﻣﺗﻐﯾر وذﻟك ﻣن اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻟﻣﺗﻐﯾرات‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ‪ ،‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻓﻲ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻻرﺗﺑﺎط ﯾﻛون اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﻓﻲ ﻗﯾﺎس اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن أو أﻛﺛر‪ .‬ﻗﯾم‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﺗﻛون ﺛﺎﺑﺗﺔ ﻓﻲ ﻣﺷﻛﻠﺔ اﻻﻧﺣدار ‪.‬اﻵن ﺳوف ﯾﺧﺗﻠف اﻟوﺿﻊ‪ .‬ﺳوف ﻧﻌرف‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺧطﻰ ﺑﺄﻧﮫ ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ‪ .X,Y‬وﺳوف ﻧرﻣز ﻟﮫ‬ ‫ﺑﺎﻟرﻣز‪ . r‬ﺳوف ﻧﻔﺗرض أن اﻟﻣﺗﻐﯾران ‪ X,Y‬ﻟﮭﻣﺎ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﺛﻧﺎﺋﻲ‪.‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺧطﻰ ﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن أزواج اﻟﻣﺷﺎھدات ) ‪. ( x , y‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ﻧﻘﺎط ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﺗﺗرﻛز ﻓوق وﺣول ﺧط اﻧﺣدار ﻟﮫ ﻣﯾل ﻣوﺟب ‪ ،‬ﻓﮭذا ﯾدل ﻋﻠﻰ‬ ‫ارﺗﺑﺎط ﻣوﺟب ﻗوى ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ) ارﺗﺑﺎط طردي ( ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ ﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ )‪. (a‬‬ ‫وﻣن ﻧﺎﺣﯾﺔ أﺧرى ‪ ،‬إذا ﻛﺎﻧت ﻧﻘﺎط ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﺗﺗرﻛز ﻓوق وﺣول ﺧط اﻧﺣدار ﻟﮫ ﻣﯾل ﺳﺎﻟب‬ ‫ﻓﮭذا ﯾدل ﻋﻠﻰ ارﺗﺑﺎط ﻗوى ﺳﺎﻟب ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ) ارﺗﺑﺎط ﻋﻛﺳﻲ ( ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ ﺷﻛل‬ ‫)‪ (b‬ﻛﻠﻣﺎ زاد اﻧﺗﺷﺎر ﻧﻘﺎط ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﺣول وﻓوق ﺧط اﻻﻧﺣدار ﻓﺈن اﻻرﺗﺑﺎط ﯾﻘل ﻋددﯾﺎ ﺑﯾن‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ ،‬إذا ﻛﺎﻧت ﻧﻘﺎط ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﺗﻧﺗﺷر ﺑطرﯾﻘﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﻓﻲ ﺷﻛل ) ‪ ( c‬ﻓﮭذا‬ ‫ﯾﻌﻧﻰ أن ‪ r  0‬وﻧﺳﺗﻧﺗﺞ ﻋدم وﺟود ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن ‪ .X,Y‬وﻟﻣﺎ ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ اﻟﺧطﯾﮫ ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪ r  0‬ﺗﻌﻧﻰ ﻗﺻور ﻓﻲ اﻟﺧطﯾﺔ وﻟﯾﺳت‬ ‫ﻗﺻور ﻓﻲ اﻻرﺗﺑﺎط ‪ .‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻗد ﺗﻛون ھﻧﺎك ﻋﻼﻗﺔ وﻟﻛﻧﮭﺎ ﻋﻼﻗﺔ ﻏﯾر ﺧطﯾﮫ ‪ .‬ﻓﻌﻠﻰ‬ ‫ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل إذا وﺟدت ﻋﻼﻗﺔ ﻗوﯾﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X,Y‬ﻛﻣﺎ ھوﻣوﺿﺢ ﻓﻲ‬ ‫ﺷﻛل )‪ ( d‬ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن ‪. r  0‬‬

‫ﯾﻌﺗﺑر ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺧطﻰ ) ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﻟﻼرﺗﺑﺎط ( أو اﺧﺗﺻﺎرا ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط أﻛﺛر‬ ‫ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺧطﻰ اﻧﺗﺷﺎرا‪.‬‬ ‫ﯾﺗم ﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪١‬‬

x i y i n r 2  2 ( x i )   2 ( y i ) 2  x i    y i   n n    x i y i 



SXY  SXX.SYY

‫ﻣﺛﺎل‬ (Y) ‫( وﺗرﻛﯾز اﻟﻛرﺑون‬PPM ‫( )ﻣﻘﺎس‬X) Ozone ‫ﻟدراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﺗرﻛﯾز اﻷوزون‬ : ‫ ( ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ g / m3 ‫)ﻣﻘﺎس‬ x y x y

0.066 4.6 0.112 8.0

0.088 11.6 0.055 7.0

0.120 9.5 0.154 20.6

0.050 6.3 0.074 16.6

0.162 13.8 0.111 9.2

0.186 15.4 0.140 17.9

0.057 2.5 0.071 2.8

0.100 11.8 0.110 13.0

. ‫أوﺟد ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺑﺳﯾط‬

: ‫اﻟﺣــل‬ n  16 , x i  1.656 , yi  170.6 , x i2  0.196912 , x i yi  20.0397 , yi2  2253.56.

x i yi n (1.656)(170.6)  20.0397  16 = 2.3826, ( x i ) 2 2 SXX  x i  n 2 (1.656)  0.196912   0.025516, 16 (yi ) 2 (170.6) 2 SYY  yi2   2253.56  n 16 = 434.5375.

SXY  x i yi 

٢

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪SXY‬‬ ‫‪2.3826‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.716.‬‬ ‫‪SXX.SYY‬‬ ‫)‪(0.025516)(434.5375‬‬

‫‪r‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺎﻗﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟم ﻧﺿﻊ ﻓروض ﻗوﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذي اﺧﺗﺑرت ﻣﻧﮫ اﻟﻌﯾﻧﺔ وذﻟك‬ ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬واﻟﺗﻲ ﺗرﻣز إﻟﻰ ﻣﻌﺎﻣل ارﺗﺑﺎط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ‪ .‬ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ (1  )100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬أو اﺧﺗﺑﺎرات ﻓروض ﺗﺧص ‪ ‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻔﺗرض أن اﻟﻌﯾﻧﺔ‬ ‫ﻣﺄﺧوذة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ ‪ the bivarate normal distribution‬أي‬ ‫أن ‪ X , Y‬ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﺣﯾث داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﮭﺎﻣﺷﯾﺔ ﻟﻛل ﻣن ‪ Y , X‬ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﻲ ‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫اﺧﺗﺑﺎرات ﻓروض وﻓﺗرات ﺛﻘﺔ ﺗﺧص‬ ‫‪Tests Hypotheses and Confidence Intervals Concerning ‬‬ ‫ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪ H 0 :   0‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ H1 :   0‬أو اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‬ ‫‪ H1 :   0‬أو اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ H1 :   0‬وﺑﺎﻓﺗراض ﺻﺣﺔ ﻓرض اﻟﻌدم ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪r n2‬‬

‫‪t‬‬

‫‪1  r2‬‬ ‫ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ T‬ﻟﮫ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ .   n  2‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ‬ ‫‪ ‬وﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ ) H1 :   0‬اﺧﺗﺑﺎر ذي ﺟﺎﻧﺑﯾن ( ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﺳوف ﺗﻛون‬ ‫‪ T   t  / 2 or T  t  / 2‬ﺣﯾث ‪ t  / 2‬ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ‪ t‬اﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬ ‫‪ .   n  2‬ﻟﻠﺑدﯾل ‪ H1 :   0‬ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ T  t ‬وﻟﻠﺑدﯾل ‪ H1 :   0‬ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ‬ ‫اﻟرﻓض ‪. T   t ‬‬

‫ﺑﻔرض أن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﻣﺄﺧوذة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم‪ H 0 :   0 :‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ H1 :   0‬وذﻟك ﻋﻧد‬ ‫ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.01‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪ 3.84.‬‬

‫‪0.716 14‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪r n2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪t‬‬

‫‪1 r‬‬ ‫)‪1  (0.716‬‬ ‫‪ t0.01= 2.624‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪.   n  2  16  2  14‬‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ . T > 2.624‬وﺑﻣﺎ أن ‪ t‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ ،‬ﻧرﻓض ‪. H0‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن ‪ ‬ﯾﻘﯾس ﻗوة اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺧطﻰ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X,Y‬ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻓﺈن ﻓرض اﻟﻌدم‬ ‫‪ H 0 :   0‬ﯾدل ﻋﻠﻰ ﻋدم وﺟود ارﺗﺑﺎط ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪ .‬ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن‬ ‫‪ t  r n  2 / 1  r 2  b1 / s 2 / SXX‬وھذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻻﺧﺗﺑﺎرﯾن ﻣﺗﻛﺎﻓﺋﯾن ‪ .‬وﻋﻠﻰ‬ ‫‪٣‬‬

‫ذﻟك إذا ﻛﺎن اﻻھﺗﻣﺎم ﻓﻘط ﺑﻘﯾﺎس ﻗوة اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X , Y‬وﻟﯾس اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻻﻧﺣدار اﻟﺧطﻰ ﻓﺈن اﺧﺗﺑﺎر ‪ H 0 :   0‬ﯾﻛون اﺳﮭل ﻣن اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬ﻷﻧﮫ ﯾﺗطﻠب ﻛﻣﯾﺔ ﻗﻠﯾﻠﺔ ﻣن‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت‪.‬‬

‫اﻷﺳﻠوب اﻟﻣﺳﺗﺧدم ﻻﺧﺗﺑﺎر ‪ H 0 :   0‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪ 0  0‬ﻻ ﯾﻛﺎﻓﺊ أي طرﯾﻘﺔ ﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﺗﺣﻠﯾل اﻻﻧﺣدار‪ .‬ﺑﻔرض أن أزواج اﻟﻣﺷﺎھدات ) ‪ (x1 , y1), (x2 , y2 ),…,(xn , yn‬ﺗﻣﺛل‬ ‫ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺄﺧوذة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟطﺑﯾﻌﻲ وإذا ﻛﺎﻧت ‪ n‬ﻛﺑﯾرة وﺑﺎﻓﺗراض‬ ‫ﺻﺣﺔ ﻓرض اﻟﻌدم ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1 1 r ‬‬ ‫‪v  ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 1 r ‬‬

‫‪1  1  0 ‬‬ ‫‪ln ‬‬ ‫ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ V‬ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﻣﺗوﺳط ‪‬‬ ‫‪2  1  0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ، 2V ‬ﺣﯾث اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ‪ ، ‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫وﺗﺑﺎﯾن‬ ‫‪n 3‬‬ ‫‪1  1  0 ‬‬ ‫‪v  ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  1  0 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪1/ n  3‬‬

‫‪V ‬‬

‫ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ Z‬ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ‪ .‬اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻌطﻰ اﻟﻔروض‬ ‫اﻟﺑدﯾﻠﺔ وﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻟﻛل ﻓرض ﺑدﯾل ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﻔروض اﻟﺑدﯾﻠﺔ‬

‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‬ ‫‪Z  z  / 2 or Z  z / 2 .‬‬ ‫‪Z > z‬‬ ‫‪Z < - z‬‬

‫‪H1 :   0‬‬ ‫‪H1 :    0‬‬ ‫‪H1 :   0‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟدﯾك اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪n  20 , yi  690.30 , yi2  29040.29 ,‬‬ ‫‪x i yi  10818.56 , x i  285.90 x i2  4409.55,‬‬

‫أﺧﺗﺑر اﻟﻔرض ‪ 0.5  p  0.8‬ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪  = 0.05‬؟‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫أي أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر ‪:‬‬ ‫‪ =0.05.‬‬ ‫وﺣﯾث أن ‪ r  .733‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪H1 :   0.5‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪H 0 :   0.5 ,‬‬

‫‪1  1  .733 ‬‬ ‫‪v  ln ‬‬ ‫‪  .935,‬‬ ‫‪2  1  .733 ‬‬ ‫‪1  1  .5 ‬‬ ‫‪V  ln ‬‬ ‫‪  .549.‬‬ ‫‪2  1  .5 ‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪v  ln  (1  0 ) /(1  0 ) ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪1/ n  3‬‬ ‫‪ (.935  .549) 17  1.59.‬‬ ‫‪ z0.05= 1.645‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ‪ .‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪Z > 1.645‬‬ ‫‪ .‬وﺑﻣﺎ أن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ‪. H0‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ (1-)100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪e 2 c2  1‬‬ ‫‪e 2 c2  1‬‬

‫‪z / 2‬‬ ‫ﺣﯾث أن‬ ‫‪n3‬‬ ‫ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪n  20,‬‬

‫‪c1  v ‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪e 2c1  1‬‬ ‫‪e 2 c1  1‬‬

‫‪z / 2‬‬ ‫‪n3‬‬

‫‪v  0.935‬‬

‫‪c2  v ‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪r  0.733‬‬

‫‪c1  .935  1.96 / 17  .460,‬‬ ‫‪c2  .935  1.96 / 17  1.410‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪e 2(1.410)  1‬‬ ‫‪e2(1.410)  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪e 2(.460)  1‬‬ ‫‪e2(.460)  1‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪0.43 <  < 0.89‬‬

‫‪٥‬‬