عامل له ثلاث مستويات

‫ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻌﺎﻣل واﺣد ﻟﮫ ﻋدة ﻣﺳﺗوﯾﺎت‬

‫ﻓﻰ اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬واﻟذي ﯾﺧص اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن وذﻟك ﺗﺣت ﺷروط ﻣﻌﯾﻧﮫ‪ .‬ﻓﻲ ﻛﺛﯾر‬ ‫ﻣن اﻷﺣﯾﺎن ﯾﺣﺗﺎج اﻟﺑﺎﺣث إﻟﻰ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻣﺗوﺳطﺎت ﺛﻼﺛﺔ ﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻓﺄﻛﺛر‪ .‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل إذا‬ ‫ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ أرﺑﻊ طرق ﻟﻠﺗﻌﻠﯾم ‪ A , B , C , D‬ﯾﺣوي اﻟواﺣد ﻣﻧﮭﺎ ﻛل اﻷطﻔﺎل اﻟذﯾن ﯾﺗﻠﻘون‬ ‫ﺗﻌﻠﯾﻣﮭم ﺑﺈﺣدى ھذه اﻟطرق واﻟﻣطﻠوب ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻣﻛﺗﺳﺑﺔ ﻓﻲ ﻛل ﻣن اﻟطرق‬ ‫اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪ .‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻣﺗوﺳطﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻟﻛل زوج ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت‬ ‫اﻷرﺑﻌﺔ ‪ ،‬أي اﺳﺗﺧدام اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟطرﯾﻘﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟطرﯾﻘﺔ ‪ B‬ﺛم اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻣرة أﺧري‬ ‫ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟطرﯾﻘﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻟطرﯾﻘﺔ ‪ C‬وھﻛذا ‪ ،‬إﻻ أن ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ ﻟﮭﺎ ﻣﺷﺎﻛل ﻛﺛﯾرة ﻣﻧﮭﺎ ‪:‬‬ ‫)أ( ﻏﯾر ﻋﻣﻠﯾﺔ ﺣﯾث ﯾزداد ﻋدد اﻟﻣﻘﺎرﻧﺎت ﺑﺳرﻋﺔ ﻛﻠﻣﺎ زاد ﻋدد اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻓﻣﺛﻼ ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل‬ ‫!‪ 4  4‬‬ ‫‪ .   ‬ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﮫ ﻋدد‬ ‫اﻟﺳﺎﺑق ﻧﺣﺗﺎج ﻹﺟراء اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬ﺳﺗﺔ ﻣرات ﻷن ‪ 6‬‬ ‫!‪ 2  2!2‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫اﻟﻣﻘﺎرﻧﺎت اﻟزوﺟﯾﺔ ﻟﻌدد ‪ k‬ﻣن اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﯾﺳﺎوى‬ ‫‪r  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2!(k‬‬ ‫‪‬‬ ‫!)‪2‬‬ ‫‪ ‬‬

‫)ب( زﯾﺎدة اﺣﺗﻣﺎل اﻟوﻗوع ﻓﻲ ﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧ وع اﻷول أي رﻓ ض ﻓ رض اﻟﻌ دم وھ و ﺻ ﺣﯾﺢ وذﻟ ك‬ ‫ﻷن ﻋ دد اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺎت اﻟزوﺟﯾ ﺔ وﻣﺳ ﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﯾرﺗﺑط ﺎن ﺑﺎﺣﺗﻣ ﺎل اﻟوﻗ وع ﻓ ﻲ ﺧط ﺄ ﻣ ن‬ ‫اﻟﻧوع اﻷول ﻣن ﺧﻼل اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪ 1  (1  )r : :‬ﺣﯾث ‪ r‬ھ ﻲ ﻋ دد اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺎت اﻟزوﺟﯾ ﺔ‬ ‫و ‪ ‬ﻣﺳ ﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾ ﺔ واﻟ ذي ﺳ وف ﯾﺣ دد ﻋﻧ د أﺟ راء ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ واﺣ دة ﻓﻘ ط ‪ .‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك إذا‬ ‫ﻛﺎﻧت ‪ r = 6‬وﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ،  = 0.05‬واﻟذي ﯾﺣدد ﻟﻛل ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ زوﺟﯾ ﺔ ‪ ،‬ﻓ ﺈن اﺣﺗﻣ ﺎل‬ ‫اﻟوﻗوع ﻓﻲ ﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻷول ھو‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1(1)  1  0.95  1  0.73509  0.26491 .‬‬ ‫أي ﻣﺎ ﯾﻘرب ﻣن ﺧﻣﺳﺔ أﻣﺛﺎل ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪   0.05‬واﻟذي ﺳ وف ﯾﺣ دد ﻋﻧ د ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ‬ ‫واﺣدة ﻓﻘط ﻟﻠﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﺳﺗﺔ ﻓﻲ آن واﺣد‪ .‬ﻟﺣﺳن اﻟﺣظ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻐﻠب ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺷ ﺎﻛل اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ‪،‬‬ ‫وﻣﺷ ﺎﻛل أﺧ رى‪ ،‬ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام اﺧﺗﺑ ﺎر إﺣﺻ ﺎﺋﻲ ﯾﺳ ﻣﻰ ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن واﻟ ذي ﯾﻌﺗﺑ ر واﺣ د ﻣ ن أﻛﺛ ر‬ ‫اﻟط رق اﻹﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ اﺳ ﺗﺧداﻣﺎ‪ .‬ﺳ وف ﻧوﺿ ﺢ أﺳ ﻠوب ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﺑﺎﻟﻣﺛ ﺎل اﻟﺗ ﺎﻟﻲ‪ .‬إذا أﺟرﯾ ت‬ ‫ﺗﺟرﺑﺔ زراﻋﯾﺔ ﻟدراﺳﺔ ﺗﺄﺛﯾر اﻷوﻗﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻟﻠزراﻋ ﺔ ) ﻓﺑراﯾ ر – ﻣ ﺎرس – ﻧ وﻓﻣﺑر – أﻛﺗ وﺑر(‬ ‫ﻋﻠ ﻰ إﻧﺗﺎﺟﯾ ﮫ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب وإذا ﻛ ﺎن اھﺗﻣﺎﻣﻧ ﺎ ھ و اﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض اﻟﻌ دم أن ﻣﺗوﺳ ط إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ‬ ‫ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب واﺣ د ﻟﻸوﻗ ﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‪ .‬ﯾﻌﺗﻣ د أﺳ ﻠوب ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن‪ ،‬ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ‪ ،‬ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﺗﺟزﺋ ﺔ اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﻛﻠ ﻲ ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات إﻟ ﻰ ﻣﻛ وﻧﯾن ﻟﮭﻣ ﺎ ﻣﻌﻧ ﻲ ﯾﺳ ﺗﺧدﻣﺎن ﻓ ﻲ ﻗﯾ ﺎس اﻟﻣﺻ ﺎدر‬ ‫اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻼﺧﺗﻼف‪ .‬اﻟﻣﻛون اﻷول ﯾﻘﯾس اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟ ذي ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ ﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ واﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﯾﻘ ﯾس‬ ‫اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟ ذي ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ ﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺑﺎﻹﺿ ﺎﻓﺔ إﻟ ﻰ اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟ ذي ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ أوﻗ ﺎت‬ ‫اﻟزراﻋﺎت اﻷرﺑﻌﺔ‪ .‬ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻓ رض اﻟﻌ دم ﺻ ﺣﯾﺢ‪ ،‬أي أن ﻣﺗوﺳ ط إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب‬ ‫واﺣدة ﻟﻸوﻗﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪ ،‬ﻓﺈن ﻛﻼ ﻣن اﻟﻣﻛوﻧﯾن ﺳ وف ﯾﻣ دوﻧﻧﺎ ﺑﺗﻘ دﯾرﯾن ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن ﻟﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ‪،‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻌﺗﻣد اﺧﺗﺑﺎرﻧﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﻛوﻧﯾن ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ‪.F‬‬ ‫ﺑﻔرض أن اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺳوف ﯾﻛون ﻓ ﻲ ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﻣﺗوﺳ ط إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب ﻋﻧ د أوﻗ ﺎت‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻟﻠزراﻋ ﺔ وﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ﺛﻼﺛ ﺔ ط رق ﻟﻠزراﻋ ﺔ )‪ .( 1, 2, 3‬اھﺗﻣﺎﻣﻧ ﺎ ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﺳ وف‬ ‫ﯾﻛ ون ﻓ ﻲ اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن اﻻﺧ ﺗﻼف ﻓ ﻲ إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ اﻟﻔ روق ﻓ ﻲ‬ ‫ﻣواﻋﯾد اﻟزراﻋﺔ أو اﻟﻔروق ﻓﻲ طرق اﻟزراﻋﺔ أو رﺑﻣﺎ اﻟﻔروق ﻓﻲ ﻛﻼھﻣ ﺎ‪ .‬ﯾﻌﺗﻣ د ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن‬ ‫‪ ،‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺗﺟزﺋﺔ اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﻛﻠ ﻲ ﻹﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب إﻟ ﻰ ﺛﻼﺛ ﺔ ﻣﻛوﻧ ﺎت ‪،‬‬ ‫‪١‬‬

‫اﻷول ﯾﻘﯾس ﺧطﺄ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻓﻘط واﻟﺛﺎﻧﻲ ﯾﻘﯾس ﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺑﺎﻹﺿ ﺎﻓﺔ إﻟ ﻰ أي اﺧ ﺗﻼف ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ‬ ‫ﻣواﻋﯾ د اﻟزراﻋ ﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ‪ ،‬واﻟﺛﺎﻟ ث ﯾﻘ ﯾس ﺧط ﺄ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺑﺎﻹﺿ ﺎﻓﺔ إﻟ ﻰ أي اﺧ ﺗﻼف ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ‬ ‫ط رق اﻟزراﻋ ﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ‪ .‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻓ ﺈن ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ اﻟﻣﻛ ون اﻷول ﺑﺎﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﺳ وف ﯾﻣ دﻧﺎ ﺑﺎﺧﺗﺑ ﺎر‬ ‫اﻟﻔرض أن ﻣﺗوﺳط إﻧﺗﺎﺟﯾﺔ ﻣﺣﺻول اﻟﻘﺻب واﺣدة ﻋﻧد ﻣواﻋﯾ د اﻟزراﻋ ﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‪ .‬ﺑ ﻧﻔس اﻟﺷ ﻛل‬ ‫ﯾﻣﻛ ن اﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔ رض أن ﻣﺗوﺳ ط إﻧﺗﺎﺟﯾ ﺔ ﻣﺣﺻ ول اﻟﻘﺻ ب واﺣ د ﻟط رق اﻟزراﻋ ﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻋ ن‬ ‫طرﯾق ﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟﻣﻛون اﻷول ﺑﺎﻟﺛﺎﻟث‪.‬‬ ‫إذا ﺻ ﻧﻔت اﻟﻣﺷ ﺎھدات وﻓﻘ ﺎ ً ﻟﺻ ﻔﺔ )ﺧﺎﺻ ﯾﺔ( واﺣ دة ﻣﺛ ل اﻻﺧ ﺗﻼف ﻓ ﻲ ط رق اﻟزراﻋ ﺔ أو‬ ‫اﻟﺟ ﻧس أو اﻟﻌﻣ ر‪ ...‬اﻟ ﺦ ﻓﺳ وف ﯾﻛ ون ﻟ دﯾﻧﺎ ﺗﺻ ﻧﯾف أﺣ ﺎدي ‪ . one-way classification‬أﻣ ﺎ‬ ‫إذا ﺻ ﻧﻔت اﻟﻣﺷ ﺎھدات وﻓﻘ ﺎ ﻟﺻ ﻔﺗﯾن ﻣﺛ ل أﺻ ﻧﺎف اﻟﻘﻣ ﺢ وأﻧ واع اﻷﺳ ﻣدة ﻓﺳ وف ﯾﻛ ون ﻟ دﯾﻧﺎ‬ ‫ﺗﺻ ﻧﯾف ﺛﻧ ﺎﺋﻲ ‪ . two-way classification‬ﻓ ﻲ اﻟﺑﻧ ود اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ ﺳ وف ﻧﺗﻧ ﺎول ط رق ﺗﺣﻠﯾ ل‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻓﻲ ﻛﻼ اﻟﺗﺻﻧﯾﻔﯾن‪.‬‬

‫اﻟﺗﺻﻧﯾف اﻷﺣﺎدي‪:‬‬

‫‪One-way Classification‬‬

‫ﺑﻔرض أن ﻋﯾﻧﺎت ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﺎ ﻣن ‪ k‬ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت‪ .‬ﺳوف ﻧﻔﺗرض‬ ‫أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪ k‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ وﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت طﺑﯾﻌﯾﺔ ﺑﻣﺗوﺳطﺎت ‪μ1,μ 2 ,,μ K‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 1   2  ...   k‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‪:‬‬ ‫واﺣد ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ‪ i‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﺑﺎﻗﻲ ‪H1 :‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ xij‬ﺗرﻣز ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ j‬اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ رﻗ م ‪ i‬وأن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺗ م ﺗرﺗﯾﺑﮭ ﺎ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ‪ Ti .‬ﺗرﻣز ﻟﻣﺟﻣوع ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ رﻗ م‬ ‫‪ i‬و ‪ x i .‬ﺗرﻣ ز ﻟﻣﺗوﺳ ط ﻛ ل اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﻣﺧﺗ ﺎرة ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ رﻗ م ‪ i‬و ‪ T..‬ﺗرﻣ ز‬ ‫ﻟﻣﺟﻣوع ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪ nk‬و ‪ x ..‬ﺗرﻣز ﻟﻣﺗوﺳ ط ﻛ ل اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪nk‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪x k1‬‬

‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت‬ ‫…‪2‬‬ ‫…‪i‬‬ ‫‪x 21.... x i1...‬‬

‫‪x 22 .... x i2 ... x k2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x 2n .... x in ... x kn‬‬ ‫‪T..‬‬ ‫‪x..‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x11‬‬ ‫‪x12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1n‬‬

‫‪T1. T2.... Ti.... Tk.‬‬

‫‪x 2.... x i.... x k.‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن ﻛل ﻣﺷﺎھدة وﻓﻘﺎ ً ﻟﻠﻧﻣوذج اﻟرﯾﺎﺿﻲ اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪x ij  i  ij ,‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪x1.‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط‬

‫ﺣﯾث ‪ ij‬ﯾﻘﯾس اﻧﺣراف اﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ j‬ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ رﻗ م ‪ i‬ﻋ ن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ رﻗ م ‪ .i‬وﺑوﺿ ﻊ‬ ‫‪ i     i‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪ i‬‬

‫‪  i 1‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪,‬‬

‫ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﻧﻣوذج أﻋﻼه ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪x ij    i  ij ,‬‬ ‫‪k‬‬

‫ﺗﺣ ت ﺷ رط أن ‪   i  0‬ﺣﯾ ث ‪ i‬ﺗﻌﺑ ر ﻋ ن ﺗ ﺄﺛﯾر اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ رﻗ م ‪ . i‬وﺑﺎﺳ ﺗﻌﻣﺎل اﻟﻧﻣ وذج‬ ‫‪i 1‬‬

‫اﻷﺧﯾر ﯾﺻﺑﺢ ﻓرض اﻟﻌدم ‪H 0 : 1   2  ...   k‬‬ ‫ﻣﻛﺎﻓﺊ ﻟﻠﻔرض‪:‬‬ ‫‪H 0 : 1   2  ...   k  0‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‪:‬‬ ‫واﺣد ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ‪  i‬ﻻ ﯾﺳﺎوى ﺻﻔرا ً ‪H1 :‬‬

‫اﺧﺗﺑﺎرﻧﺎ ﺳوف ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺗﻘدﯾرﯾن ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن ﻟﺗﺑ ﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ .  2‬ﯾ ﺗم اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﺗﻘ دﯾرﯾن ﺑﺗﺟزﺋ ﮫ اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﻛﻠ ﻲ ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات إﻟ ﻰ ﻣﻛ وﻧﯾن ‪ .‬ﻣ ن اﻟﻣﻌ روف أن اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻟﻛ ل‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣﺟﺗﻣﻌﮫ ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ واﺣدة ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ nk‬ﯾﻌطﻰ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪k n‬‬

‫) ‪  (x ij  x..‬‬

‫‪i 1 j1‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪nk  1‬‬ ‫اﻟﺑﺳ ط ﻓ ﻲ اﻟﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ ﯾﺳ ﻣﻰ ﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﻛﻠ ﻲ ‪ total sum of squares‬واﻟ ذي‬ ‫ﯾﻘﯾس اﻻﺧﺗﻼف اﻟﻛﻠﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪k n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1 j1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  (x ij  x .. )  n  (x i.  x.. ) ‬‬ ‫‪k n‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪  (x ij  x i. ) .‬‬

‫‪i 1 j1‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن اﻟﺣدود ﻓﻲ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟرﻣوز ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪SSTO = SSC + SSE‬‬ ‫ﺣﯾث ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﻛﻠﻲ ھو ‪:‬‬ ‫‪k n‬‬

‫‪SSTO    (x ij  x.. )2 ,‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫وﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻣﺗوﺳطﺎت اﻷﻋﻣدة ‪ sum of squares for columns means‬ھو‬ ‫‪k‬‬

‫‪SSC  n  (x i.  x.. ) 2 ,‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫وﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻠﺧطﺄ ‪ error sum of squares‬ھو ‪:‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪k‬‬

‫‪n‬‬

‫‪SSE    (x ij  x i. ) 2 ,‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫أﯾﺿﺎ ﺗﺟزئ درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪nk-1= k-1 + k (n-1).‬‬ ‫ﻋ ﺎدة ﯾﺷ ﺎر ﻟﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت ﻟﻣﺗوﺳ طﺎت اﻷﻋﻣ دة ﻣ ن ﻗﺑ ل ﻛﺛﯾ ر ﻣ ن اﻟﻣ ؤﻟﻔﯾن ﺑﻣﺟﻣ وع‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ‪ . treatment sum of squares‬وھ ذه اﻟﺗﺳ ﻣﯾﺔ ﺗرﺟ ﻊ إﻟ ﻰ اﻟﺣﻘﯾﻘ ﺔ أن ‪k‬‬ ‫ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻏﺎﻟﺑﺎ ً ﻣﺎ ﺗﺻﻧف ﺗﺑﻌﺎ ً ﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ وﻋﻠ ﻲ ذﻟ ك ﻓ ﺈن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ‪xij‬‬ ‫)‪ ;(j = 1,2,…,n‬ﺗﻣﺛل ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺔ رﻗ م ‪ . i‬اﻵن ﻛﻠﻣ ﺔ ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ ﺗﺳ ﺗﺧدم‬ ‫أﻛﺛر ﻟﺗوﺿﯾﺢ اﻟﺗﺻﻧﯾﻔﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺳ واء أﺳ ﻣدة ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ أو ﻣﺻ ﺎﻧﻊ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ أو ﻣﻧ ﺎطق ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻓ ﻲ‬ ‫ﻣدﯾﻧﺔ ﻣﺎ أو ﻣﺣﻠﻠﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﯾن‪.‬‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر اﻷول ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ،  2‬ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻲ ‪ k-1‬درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ،‬وﯾﻌطﻲ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ ‪:‬‬ ‫‪SSC‬‬ ‫‪MSC ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺛﺎﻧﻲ اﻟﻣﺳﺗﻘل ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪  2‬ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻲ )‪ k(n-1‬درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ وﯾﻌطﻲ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ ‪:‬‬

‫‪SSE‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪k (n  1‬‬

‫‪MSE ‬‬

‫ﻧﻌرف ﻣﻣﺎ ﺳﺑق أن اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻛل ﻣﺷﺎھدات اﻟﻌﯾﻧﺔ‪ ،‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ، nk-1‬ھو ‪:‬‬

‫‪SSTO‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪nk  1‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫اﻟﻧﺳﺑﺔ‪:‬‬

‫‪MSC‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪MSE‬‬ ‫ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ F‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ )‪ 1  k  1,  2  k(n  1‬ﻋﻧ دﻣﺎ‬ ‫‪ H 0‬ﺻ ﺣﯾﺢ‪ .‬ﻟﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ ‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ) ‪ F  f  (1,  2‬ﺣﯾ ث ) ‪f  (1,  2‬‬ ‫ﺗﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﻓﻲ ﻋﻧ د ‪  = 0.05‬أو ﻓ ﻲ ﻣﻠﺣ ق )‪ (٧‬ﻋﻧ د ‪ . = 0.01‬إذا‬ ‫وﻗﻌت ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺎ ً ﯾﺗم أوﻻ ً ﺣﺳﺎب ‪ SSTO , SSC‬ﺛم ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻲ ‪ SSE‬ﺑطرح ‪ SSC‬ﻣن ‪ SSTO‬أي أن‪:‬‬ ‫‪SSE = SSTO – SSC.‬‬ ‫ﺑﺈﻣﻛﺎﻧﻧ ﺎ ﺣﺳ ﺎب اﻟﺻ ﯾﻎ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ واﻟﻣﻌرﻓ ﺔ ﻟﻛ ل ﻣ ن ‪ SSTO‬و ‪ SSC‬ﺑطرﯾﻘ ﺔ ﺣﺳ ﺎﺑﯾﺔ ﻣﺑﺳ طﺔ‬ ‫)ﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟﻶﻟﺔ اﻟﺣﺎﺳﺑﺔ ( ﻋﻠﻲ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪x ij2  CF ،‬‬

‫‪k n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫‪SSTO ‬‬

‫‪T..2‬‬ ‫‪ CF ‬ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺻﺣﯾﺢ ‪ .correction factor‬أﯾﺿﺎ‪:‬‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫‪nk‬‬

‫‪ CF .‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ Ti.‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪٤‬‬

‫‪SSC ‬‬

‫ﻋﺎدةً اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت ﻓﻲ ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﺗﻠﺧ ص ﻓ ﻲ ﺟ دول ﯾﺳ ﻣﻲ ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ‪Analysis of‬‬ ‫‪ ) Variance‬ﻋﺎدة ﯾﺳﻣﻰ ‪ ( ANOVA‬واﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪f‬‬ ‫اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ‬

‫ﻣﺗوﺳط اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬

‫‪MSC‬‬ ‫‪MSE‬‬

‫‪SSC‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪SSE‬‬ ‫‪MSE ‬‬ ‫)‪k (n  1‬‬ ‫‪MSC ‬‬

‫ﻣﺟﻣوع‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪SSC‬‬

‫درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ‬

‫ﻣﺻدر اﻻﺧﺗﻼف‬

‫‪k-1‬‬

‫ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷﻋﻣدة‬

‫‪SSE‬‬

‫)‪k(n-1‬‬

‫‪SSTO‬‬

‫‪nk-1‬‬

‫اﻟﺧطﺄ‬ ‫اﻟﻛﻠﻲ‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١‬‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗﻣﺛل اﻟطول ) ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺳﻧﺗﯾﻣﺗر ( ﻟﻧﺑﺎﺗﺎت ﺗم زراﻋﺗﮭﺎ ﻓﻲ ﺛﻼﺛ ﺔ أوﺳ ﺎط‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ‪ 5 ) A, B, C‬ﻧﺑﺎﺗﺎت ﻓﻲ ﻛل وﺳط (‪ .‬أوﺟد ﺟدول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن وأﺧﺗﺑ ر ﻓ رض اﻟﻌ دم‬ ‫أن ‪ 1   2   3‬وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوي ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.=0.05‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫اﻷوﺳﺎط‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬

‫‪H 0 : 1   2  3‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‪:‬‬ ‫واﺣد ﻋﻠﻲ اﻷﻗل ﻣن ‪ i‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﺑﺎﻗﻲ ‪H1 :‬‬ ‫‪  0.05  .‬‬ ‫‪ f.05 (2,12) = 3.89‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﻋﻧد درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪1  2,  2  12‬‬ ‫‪ .‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪. F > 3.89‬‬

‫‪x ij2  CF‬‬

‫‪k n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫‪SSTO ‬‬

‫‪(216) 2‬‬ ‫‪ 10  14  ...  10  13 ‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ 3304  3110 .4  193.6,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪2‬‬

‫‪k‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ Ti‬‬

‫‪SSC  i 1‬‬

‫‪ CF‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪692  892  582 (216)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ 3209.2  3110.4  98.8.‬‬ ‫ﺗﻠﺧص اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ‬

‫ﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪49.4‬‬ ‫‪7.9‬‬

‫*‪6.25316‬‬

‫ﻣﺟﻣوع‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪98.8‬‬ ‫‪94.8‬‬ ‫‪193.6‬‬

‫ﻣﺻدر اﻻﺧﺗﻼف‬

‫درﺟﺎت‬ ‫اﻟﺣرﯾﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬

‫ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷﻋﻣدة‬ ‫اﻟﺧطﺄ‬ ‫اﻟﻛﻠﻲ‬

‫وﺑﻣ ﺎ أن ‪ (6.25316) f‬ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧ رﻓض ‪ H 0‬وﻧﻌﺗﺑ ر أن ھﻧ ﺎك ﻓروﻗ ﺎ ً‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷوﺳﺎط اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪ .‬اﻟﻧﺟﻣﺔ * ﺗﻌﻧﻲ أن اﻟﻔرق ﻣﻌﻧوي ﻋﻧد ‪.   0.05‬‬ ‫اﻵن ﺑﻔ رض أن اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪ k‬ذات أﺣﺟ ﺎم ‪) n1, n2, …,nK‬ﻋ دم ﺗﺳ ﺎوى ﺣﺟ وم‬ ‫‪k‬‬

‫اﻟﻌﯾﻧﺎت( ﺣﯾث ‪. N   n i‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ﺳ وف ﺗﺻ ﺑﺢ )‪ (N-1‬ﻟﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﻛﻠﯾ ﺔ ‪ SSTO‬و )‪ (k-1‬ﻟﻣﺟﻣ وع‬ ‫ﻣرﺑﻌﺎت ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷﻋﻣدة ‪ SSC‬و ‪ N-1-(k-1) = N-k‬ﻟﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢‬‬ ‫أﺟرﯾ ت ﺗﺟرﺑ ﺔ ﻟدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر أرﺑﻌ ﺔ أﻧ واع ﻣ ن اﻷدوﯾ ﺔ ‪ A, B, C, D‬ﻋﻠ ﻰ اﻟﺷ ﻔﺎء ﻣ ن ﻣ رض‬ ‫ﻣﻌﯾن‪ .‬اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻷﯾﺎم اﻟﻼزﻣ ﺔ ﻟﻠﺷ ﻔﺎء ‪ .‬اﺳ ﺗﺧدم طرﯾﻘ ﺔ‬ ‫ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن ھﻧ ﺎك ﻓ رق ﻣﻌﻧ وي ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗوﺳ طﺎت ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‬ ‫‪.   0.05‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫أﻧواع اﻷدوﯾﺔ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 1   2   3   4‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬

‫واﺣد ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ‪ i‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﺑﺎﻗﻲ ‪H1 :‬‬ ‫‪  0.05 ‬‬ ‫‪ f.05(3,20)=3.1‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﻓ ﻲ ﻣﻠﺣ ق ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ‬ ‫‪ . 1  3,  2  20‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪. F > 3.1‬‬

‫‪x ij2  CF ,‬‬

‫‪k n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i 1 j1‬‬

‫‪SSTO ‬‬

‫‪(134) 2‬‬ ‫‪ 3  4  ...  10  9 ‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ 1030  748.17  281.83 ,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Ti2.‬‬ ‫‪ CF‬‬ ‫‪ni‬‬

‫‪2‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪SSC‬‬

‫‪152 352 182 662 (134) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪964.04  748.17  215.87 ,‬‬ ‫‪SSE  281.83 - 215.87  65.96 .‬‬ ‫ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌطﻲ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ‬ ‫ﻣﺟﻣوع‬ ‫ﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬ ‫‪3‬‬ ‫‪215.87‬‬ ‫‪71.9567‬‬ ‫*‪21.818‬‬ ‫ﻣﺗوﺳط اﻷﻋﻣدة‬ ‫‪20‬‬ ‫‪65.96‬‬ ‫‪3.298‬‬ ‫اﻟﺧطﺄ‬ ‫‪23‬‬ ‫‪281.83‬‬ ‫اﻟﻛﻠﻲ‬ ‫وﺣﯾث أن ‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ )‪ (21.818‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ‪ . H 0‬أي أن ھﻧ ﺎك ﻓ رق‬ ‫ﻣﻌﻧوي ﺑﯾن اﻟﻣﺗوﺳطﺎت‪.‬‬ ‫درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ‬

‫ﻣﺻدر اﻻﺧﺗﻼف‬

‫ﻓ ﻲ اﻷﻣﺛﻠ ﮫ اﻟﺗﺎﻟﯾ ﮫ ﺳ وف ﻧﻛﺗﻔ ﻰ ﺑﺈﯾﺟ ﺎد ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﺣﺗ ﻰ ﻧﺳ ﺎﻋد ﻣﺳ ﺗﺧدﻣﻰ اﻟﻛﺗ ﺎب‬ ‫ﻟﻠﺗدري ﻋﻠﻰ ﺣل اﻷﻣﺛﻠﺔ واﻟوﺻول إﻟﻰ اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ‪.‬‬

‫اﺧﺗﺑﺎرات ﺗﺟﺎﻧس ﻋدة ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ‪:‬‬ ‫‪Test for the Equality of Several Variances‬‬ ‫)أ( اﺧﺗﺑﺎر ﻛوﻛران ‪Cochran:‬‬ ‫ھﻧﺎك اﻓﺗراﺿﺎت أﺳﺎﺳﯾﺔ وﺿرورﯾﺔ ﻹﺟراء ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن وھم ‪ :‬أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﺗﻲ‬ ‫ﻋددھﺎ ‪ k‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ وﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت طﺑﯾﻌﯾﺔ ﺑﻣﺗوﺳطﺎت ‪ 1,  2 ,...,  k‬وﺗﺑﺎﯾن ﻣﺷﺗرك ‪.  2‬‬ ‫‪٧‬‬

‫ھﻧﺎك اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻟطرق اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : σ12  σ 22  ...  σ k2‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪H1 :‬‬ ‫اﻗﺗرح ‪ [ Winer et al (1991)] Cochran‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫أﻛﺒﺮ ‪s 2‬‬ ‫‪s1.2‬‬

‫‪c‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ C‬وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن ‪ H 0‬ﺻﺣﯾﺢ‪ .‬اﻟﻘﯾم اﻟﺣرﺟﺔ ) ‪c  (1,  2‬‬ ‫ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ C‬ﺗﺳ ﺗﺧرج ﻣ ن ﺟ دول ‪ Cochran‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪ 1  k ,  2  n  1‬وذﻟ ك‬ ‫ﻋﻧد ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ =0.05‬أو ‪ . =0.01‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ) ‪ . C  c  (1 ,  2‬إذا وﻗﻌ ت‬ ‫‪ c‬ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬ ‫ﺑﻔ رض أن اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪ k‬ذات أﺣﺟ ﺎم ‪) n1, n2, … ,nk‬ﻋ دم ﺗﺳ ﺎوى ﺣﺟ وم اﻟﻌﯾﻧ ﺎت (‬ ‫وإذا ﻛﺎﻧ ت اﻷﺣﺟ ﺎم ﻣﺗﻘﺎرﺑ ﺔ ﻓ ﯾﻣﻛن اﺳ ﺗﺧدام أﻛﺑ ر ‪ni‬ﺑ دﻻ ً ﻣ ن ‪ n‬ﻓ ﻲ ﺣﺳ ﺎب درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ‬ ‫اﻟﻼزﻣﺔ ﻹﯾﺟﺎد ) ‪. c  (1 ,  2‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٣‬‬ ‫ﯾرﻏب ﺑﺎﺣث ﻓﻲ اﻟﻌﻠوم اﻟﺑﯾوﻟوﺟﯾﺔ ﻓﻲ دراﺳﺔ ﺗﺄﺛﯾر اﻟﻣﺳﺗوﯾﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن اﻹﺛﯾﺎﻧول ﻋﻠﻰ زﻣن‬ ‫اﻟﻧوم‪ .‬اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 5‬ﻓﺄر ) ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟوزن واﻟﻌﻣر ( ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ‪ .‬وﻗد ﺗم‬ ‫ﺣﻘن ﻛل ﻓﺄر ‪ .‬وﻗد ﺗم ﺗﺳﺟﯾل ﺳرﻋﺔ ﺣرﻛﺔ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﻲ زﻣن اﻟﻧوم ‪rapid eye movement‬‬ ‫‪sleep time‬ﺧﻼل ﻓﺗرة ‪ 24‬ﺳﺎﻋﺔ واﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫)أ( أوﺟد ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن؟‬ ‫)ب( أﺧﺗﺑر ﻣﻌﻧوﯾﺔ اﻟﻔروق ﺑﯾن اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت اﻟﺛﻼﺛﺔ ؟‬ ‫)ج( أﺳﺗﺧدم اﺧﺗﺑﺎر ‪ Cochran‬ﻟﻠﺗﺄﻛد ﻣن ﺗﺟﺎﻧس اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪. =0.01‬‬ ‫‪75.2‬‬ ‫‪71.5‬‬ ‫‪38.7‬‬ ‫‪22.7‬‬

‫‪68.0‬‬ ‫‪50.1‬‬ ‫‪56.3‬‬ ‫‪25.2‬‬

‫‪73.2‬‬ ‫‪53.9‬‬ ‫‪59.5‬‬ ‫‪39.6‬‬

‫‪91.4‬‬ ‫‪69.2‬‬ ‫‪40.2‬‬ ‫‪45.3‬‬

‫‪88.6‬‬ ‫‪63.0‬‬ ‫‪44.9‬‬ ‫‪31.0‬‬

‫‪0 g/kg‬‬ ‫‪1 g/kg‬‬ ‫‪2 g/kg‬‬ ‫‪4 g/kg‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : μ1  μ 2  μ 3  μ 4‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬

‫واﺣد ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ‪ i‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﺑﺎﻗﻲ ‪H1 :‬‬ ‫‪α=0.01‬‬ ‫‪ f.01(3,16) = 5.29‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪. 1  3,  2  16‬‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪. F > 5.29‬‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ‪:‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪21.0922‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪mss‬‬ ‫‪1960.79‬‬ ‫‪92.9625‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ANOVA‬‬ ‫‪df‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪ss‬‬ ‫‪5882.36‬‬ ‫‪1487.4‬‬ ‫‪7369.76‬‬

‫‪S.V‬‬ ‫‪bet‬‬ ‫‪within‬‬ ‫‪total‬‬

‫وﺑﻣﺎ أن ‪ (21.0922) f‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧ رﻓض ‪. H 0‬أى أن ھﻧ ﺎك ﻓروﻗ ﺎ ً ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‬ ‫ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻷوﺳﺎط اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪H 0 : 1   2  3   4‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪H1 :‬‬ ‫وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪. =0.01‬‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻌطﻲ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ وﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪91.512‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪89.512‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪87.313‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪103.652‬‬ ‫‪371.988‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪103.652‬‬ ‫‪4‬‬

‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ‪i‬‬

‫‪si2‬‬ ‫‪ni‬‬

‫‪2‬‬

‫أﻛﺒﺮ ‪s‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬

‫‪s 2i‬‬

‫‪c‬‬

‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪=0.278643‬‬ ‫وﺑﻣ ﺎ أن اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪ 4‬ذات أﺣﺟ ﺎم ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﻓﺳ وف ﻧﺄﺧ ذ ‪ n = 4‬ﺣﯾ ث ‪ 4‬ھ ﻲ ﻋ دد‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪ 1  4,  2  4  1  3‬و ‪ . c.01 (4,3)  0.7814‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض‬ ‫‪ . C  0.7814‬وﺑﻣﺎ أن ‪ c= 0.278643‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ‪. H 0‬‬

‫اﺧﺗﺑﺎر ﻧﯾوﻣن‪-‬ﻛﻠز ﻟﻠﻣدى اﻟﻣﺗﻌدد‪:‬‬ ‫‪Multiple Range Test‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ ‪ f‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻣن ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻏﯾر ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻓﮭذا ﯾدل ﻋﻠ ﻰ أن اﻟﻔ روق ﺑ ﯾن‬ ‫ﻣﺗوﺳ طﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ﻟﯾﺳ ت ﻓ روق ﺣﻘﯾﻘﯾ ﺔ وإﻧﻣ ﺎ ﺗﻌ زى ﻟﻣﺟ رد اﻟﺻ دﻓﺔ ‪ ،‬وﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘﺑ ل‬ ‫ﻓرض اﻟﻌ دم ‪ . H 0 : 1   2  ...   k‬إذا ﻛﺎﻧ ت ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ f‬ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﻓﮭ ذا ﯾ دل ﻋﻠ ﻰ أن ﺑﻌ ض‬ ‫اﻟﻔروق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت أو ﻛﻠﮭﺎ ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ،‬وﻟﻛن ھذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻻ ﯾوﺿ ﺢ ﻟﻧ ﺎ أي ﻣ ن ھ ذه‬ ‫اﻟﻔروق ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ،‬وﻟذﻟك ﻓﺈن اﻟﺑﺎﺣث ﻻ ﺑد أن ﯾﺟري ﻋدة ﻣﻘﺎرﻧ ﺎت ﺑ ﯾن ھ ذه اﻟﻣﺗوﺳ طﺎت وھ ذا ﻣ ﺎ‬ ‫ﯾﺳﻣﻰ ﺑﺎﻟﻣﻘﺎرﻧﺎت اﻟﻣﺗﻌددة‪ .‬ھﻧ ﺎك ﻋ دة ط رق ﺗﺳ ﺗﺧدم ﻟﮭ ذا اﻟﻐ رض ‪ .‬ﺳ وف ﺗﻘﺗﺻ ر دراﺳ ﺗﻧﺎ ﻓ ﻲ‬ ‫ھذا اﻟﺑﻧد ﻋﻠﻰ اﺧﺗﺑﺎر ﻧﯾ وﻣن ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧ ﺎت اﻟﻣﺗﻌ ددة ‪ .‬ﯾ ﺗﻠﺧص اﺧﺗﺑ ﺎر ﻧﯾ وﻣن ﻓ ﻲ إﯾﺟ ﺎد ﻋ دة ﻓ روق‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ذات ﻗﯾم ﻣﺗزاﯾدة واﻟﺗﻲ ﺗﺗوﻗف ﺣﺟﻣﮭﺎ ﻋﻠﻰ ﻣدي اﻟﺑﻌد ﺑﯾن اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﺑﻌد ﺗرﺗﯾﺑﮭﺎ‪.‬‬ ‫وﺗﺗﻠﺧص ﺧطوات ﺗﻧﻔﯾذھﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)أ( ﻧرﺗب ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ً‪.‬‬ ‫‪٩‬‬

‫‪MSE‬‬ ‫)ب( ﻧوﺟ د اﻟﺧط ﺄ اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﻣﺗوﺳ ط‬ ‫‪n‬‬

‫‪ s x ‬ﺣﯾ ث ‪ MSE‬ھ و ﻣﺗوﺳ ط ﻣﺟﻣ وع‬

‫ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ واﻟذي ﯾﻌﺗﺑر ﺗﻘ دﯾر ﻟﻠﺗﺑ ﺎﯾن ‪ ،  2‬وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾ ﮫ ﻣ ن ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ‪ .‬وإذا‬ ‫ﻛﺎﻧت أﺣﺟ ﺎم اﻟﻌﯾﻧ ﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ﻏﯾ ر ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﻓ ﺈن اﺧﺗﺑ ﺎر ﻧﯾ وﻣن ﯾﺳ ﻣﺢ ﺑﺎﺳ ﺗﺑدال ‪ n‬ﻓ ﻲ ﺻ ﯾﻐﺔ‬ ‫‪ s x‬ﺑﺎﻟوﺳط اﻟﺗواﻓﻘﻲ ﻟﻠﻘﯾم ‪ n1, n2, …, nk‬ﺣﯾث اﻟوﺳط اﻟﺗواﻓﻘﻲ ‪:‬‬

‫‪k‬‬

‫~‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ... ‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪nk‬‬

‫ﺗﺣ ت ﺷ رط أن أﺣﺟ ﺎم اﻟﻌﯾﻧ ﺎت ﺗﻛ ون ﻣﺗﻘﺎرﺑ ﺔ ﻣ ن ﺑﻌﺿ ﮭﺎ ‪ .‬ھ ذا وﯾﻣﻛ ن اﺳ ﺗﺑدال ‪ n‬ﻓ ﻲ ﺻ ﯾﻐﺔ‬ ‫‪ s x‬ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ n.‬ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪n (1) n (k‬‬

‫‪n. ‬‬

‫و أن ‪:‬‬ ‫)‪ = n(1‬ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻷﺻﻐر ﻣﺗوﺳط ﻋﯾﻧﺔ ‪.‬‬ ‫)‪ = n(k‬ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻷﻛﺑر ﻣﺗوﺳط ﻋﯾﻧﺔ ‪.‬‬ ‫)ج( ﺗﺳ ﺗﺧرج ﻗ ﯾم ) ‪ ) q( p, ‬ﺗﺳ ﻣﻰ أﻗ ل ﻣ دي ﻣﻌﻧ وي ﻗﯾﺎﺳ ﻲ ‪least significant‬‬ ‫‪ (studentized range‬ﻣن ﺟدول ﻧﯾوﻣن ﻟﻠﻣدى اﻟﻣﻌﻧوي ﺣﯾ ث ‪ p = 2, 3,…, k‬و‬ ‫‪ ‬ھﻲ ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ و ‪ ‬ھﻲ درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪.MSE‬‬ ‫)د( ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ أﻗل ﻣدى ﻣﻌﻧوي ‪ Rp least significant range‬وذﻟك ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻛل = ‪p‬‬ ‫‪ 2,3, …, k‬ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺣو اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪R p  q  (p, )s x , p  2,3,..., k.‬‬ ‫)ھ ـ( ﻧﻘ ﺎرن اﻟﻔ روق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت وﻧﺑ دأ ﺑﻣﻘﺎرﻧ ﺔ اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن أﻛﺑ ر ﻣﺗوﺳ ط وأﻗ ل‬ ‫ﻣﺗوﺳط ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ Rk‬ﺛ م ﻧﻘ ﺎرن اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن أﻛﺑ ر ﻣﺗوﺳ ط وﺛ ﺎﻧﻲ أﺻ ﻐر ﻣﺗوﺳ ط ﺑﺎﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪Rk-1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫وﻧواﺻل ھذه اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ وإﻟﻰ أن ﺗﺗم ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻛل اﻷزواج وﻋ ددھﺎ ‪ .    k(k  1) / 2‬إذا‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻛﺎن اﻟﻔرق اﻟﻣﺣﺳوب ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﯾن ﯾﺳﺎوى أو أﻋﻠﻰ ﻣن ‪ Rp‬ﻓﯾﻛون ذﻟك اﻟﻔرق ﻣﻌﻧوﯾﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﻠﺧ ص ﻧﺗ ﺎﺋﺞ اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﺑوﺿ ﻊ ﺧط وط ﻣﺷ ﺗرﻛﺔ ﺗﺣ ت اﻟﻣﺗوﺳ طﺎت اﻟﺗ ﻲ ﻟ م ﺗﻛ ن ﻓروﻗﮭ ﺎ‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ،‬ﻣﻊ اﻹﺑﻘﺎء ﻋﻠﻰ ﺗرﺗﯾب اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٤‬‬ ‫ﻟﺗوﺿﯾﺢ طرﯾﻘﺔ ﻧﯾوﻣن ﻟﻠﻣدى اﻟﻣﺗﻌدد ﻓﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﻣﺛﺎل )‪ ( ٢‬وﻧﺗﺑﻊ‬ ‫اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻧرﺗب ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ً ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪7.00‬‬ ‫‪3.75‬‬ ‫‪2.25‬‬ ‫‪١٠‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪9.43‬‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط‬

‫)ب( ﻣ ن ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن اﻟﺧ ﺎص ﺑﻣﺛ ﺎل )‪ (٢‬ﻓ ﺈن ‪ MSE = 3.298‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ‬

‫‪MSE‬‬ ‫‪ .   20‬ﻧوﺟ د اﻟﺧط ﺄ اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﻣﺗوﺳ ط‬ ‫‪n‬‬

‫‪ s x ‬وﺑﻣ ﺎ أن أﺣﺟ ﺎم اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ﻏﯾ ر‬

‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺳب اﻟوﺳط اﻟﺗواﻓﻘﻲ ﻟﻠﻘﯾم ‪ n1, n2, …, nk‬ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 n 2 n 3 n 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5.5721 ,‬‬ ‫‪1 1 1 1 .7178571‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪4 5 8 7‬‬ ‫‪MSE‬‬ ‫‪3.298‬‬ ‫‪MSE  3.298,SX ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.7693.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5.5721‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺗﻠﺧﯾص اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻟﻠﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ﻗﯾم )‪ q 0.05 (p,20‬ﺗﺳﺗﺧرج ﻣن‬ ‫ﺟدول ﻧﯾوﻣن‪-‬ﻛﻠز ﺣﯾث ‪. p  2,3,4,   20‬‬ ‫اﻟﻘﯾم )‪ R p , q 0.05 ( p, 20‬ﻣﻌطﺎه ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3.96‬‬ ‫‪3.05‬‬

‫‪3.58‬‬ ‫‪2.75‬‬

‫‪2.95‬‬ ‫‪2.27‬‬

‫)‪q 0.05 (p, 20‬‬ ‫‪Rp‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺗﻠﺧﯾص اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﻧﺣو اﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪7.00‬‬ ‫‪3.75‬‬ ‫‪2.25‬‬ ‫‪Rp‬‬ ‫‪3.05‬‬ ‫‪2.75‬‬ ‫‪2.27‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫*‪7.18‬‬ ‫*‪4.75‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪-‬‬

‫*‪5.68‬‬ ‫*‪3.25‬‬ ‫‪-‬‬

‫*‪2.43‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪9.43‬‬ ‫‪-‬‬

‫اﻟﺗرﺗﯾب‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ‬ ‫‪9.43‬‬ ‫‪7.00‬‬ ‫‪3.75‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫ﺣﯾ ث وﺿ ﻌت ﻛ ل اﻟﻔ روق اﻟﻣﻣﻛﻧ ﮫ ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗوﺳ طﺎت داﺧ ل اﻟﺟ دول وﺗﻣ ت ﻣﻘﺎرﻧﺗﮭ ﺎ ﺑﻘ ﯾم ‪R p‬‬ ‫اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ‪ .‬ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق أن اﻟﻔ روق ﻋﻠ ﻰ ﻛ ل ﻗط ر ﻗﯾﻣ ﮫ ﻣ ن اﻟﻣﻠ ﻰ اﻟﯾﺳ ﺎر إﻟ ﻰ اﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﺑﻣﯾﻣن ﻟﮭﺎ ﻧﻔس ﻗﯾﻣﺔ ‪ . p‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل اﻟﻔ روق ‪ 2.43 , 3.25 , 1.5‬ﺗﻘ ﻊ ﻋﻠ ﻰ ﻗط ر واﺣ د‬ ‫وﻟﮭ ﺎ ‪ . p  2‬اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺣرﺟ ﮫ ﻟﮭ ذه اﻟﻔ روق ھ ﻰ أﺧ ر ﻗﯾﻣ ﺔ ﻓ ﻰ اﻟﻌﻣ ﺔد اﻷﺧﯾ ر )‪ . (2.27‬اﯾﺿ ﺎ‬ ‫اﻟﻔروق ‪ 5.68 , 4.75‬ﺗﻘﻌﻊ ﻋﻠﻰ ﻗط ر واﺣ د وﻟﮭ ﺎ ‪ p  3‬وﺗﻘ ﺎرن ﺑﺎﻟﯾﻣ ﺔ ‪) 2.75‬اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺛﺎﺑﺗ ﺔ‬ ‫ﻓﻰ اﻟﻌﻣود اﻷﺧﯾر( ‪ .‬أﺧﯾرا اﻟﻔرق ‪ 7.18‬ﯾﻘﺎرن ﻋﻧ د ‪ p  4‬ﺑﺎﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺣرﺟ ﺔ ‪ 3.05‬وھ ﻰ اﻟﻘﯾﻣ ﺔ‬ ‫اﻻوﻟ ﻰ ﻓ ﻰ اﻟﻌﻣ ود اﻻﺧﯾ ر‪ .‬اﻟﻧﺟﻣ ﺔ * ﻓ ﻰ اﻟﺟ دول ﺗ دل ﻋﻠ ﻰ ﻓ رق ﻣﻌﻧ وى وذﻟ ك ﻋﻧ د اﺳ ﺗﺧدام‬ ‫‪ .   0.05‬ﻟﻠﺳﮭوﻟﺔ ﯾﻣﻛن ﺗﻠﺧﯾص ﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق وذﻟك ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ‪ .‬ﻧﻼﺣ ظ أﻧﻧ ﺎ‬ ‫ﻟم ﻧرﺻد ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻔرق ﺑﯾن أي اﻟﻣﺗوﺳطﯾن ﻣوﺿﻊ اﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻛﻣﺎ ﻛﻧ ﺎ ﻧﻔﻌ ل ﻣ ن ﻗﺑ ل ﺑ ل رﺻ دﻧﺎ ﻓﻘ ط‬ ‫ﻧﺟﻣﺔ‪.‬‬ ‫‪١١‬‬

‫‪3‬‬ ‫*‬ ‫*‬

‫‪1‬‬ ‫*‬ ‫*‬

‫‪2‬‬ ‫*‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٥‬‬ ‫ﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ ذات ﺗﺻﻣﯾم ﺗﺎم ﻟﻠﺗﻌﯾﺷﺔ ﺑﺳﺑﻌﺔ ﻣﻌﺎﻟﺟﺎت وﺧﻣﺳﺔ ﻣﺷﺎھدات ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ‪ .‬وﺑﻔرض أن‬ ‫ﻣﺗوﺳط ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ھو ‪ MSE = 0.8‬وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ‬ ‫‪ F‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻣن ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌﻧوﯾﺔ‪ .‬اﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ ﻧﯾوﻣن ﻹﺟراء ﻛل اﻟﻣﻘﺎرﻧﺎت‬ ‫اﻟزوﺟﯾﺔ ‪ ،‬ﺣﯾث ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ وذﻟك ﺑﻌد ﺗرﺗﯾﺑﮭﺎ ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ً‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪5.0‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪4.4‬‬ ‫‪3.6‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪2.0‬‬ ‫ﻧﺳﺗﺧرج ﻗﯾم )‪ q  ( p, ‬ﻣن اﻟﺟدول ﻓﻲ ﻣﻠﺣق )‪ (٩‬وﯾﺗم ﺣﺳﺎب ﻗﯾم ‪ Rp‬واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﻓ ﻲ ﺟ دول‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث اﻟﺧطﺄ اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻣﺗوﺳط ﯾﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳطﺎت‬

‫‪M SE‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.4,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪R p  q 0.01 (p, 28) (S Y ), p  2, 3, ... , 7 .‬‬

‫‪SX ‬‬

‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم )‪ q 0.01 ( p, 30‬وذﻟك ﻟﻌدم وﺟود )‪ q 0.01 ( p, 28‬ﻓﻲ اﻟﺟدول ﻣن ﻣﻠﺣق )‪.(٩‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3.89‬‬ ‫‪4.45‬‬ ‫‪4.80‬‬ ‫‪5.05‬‬ ‫‪5.24‬‬ ‫‪5.40‬‬ ‫)‪q 0.01( p, 30‬‬ ‫‪Rp‬‬ ‫‪1.556‬‬ ‫‪1.78‬‬ ‫‪1.92‬‬ ‫‪2.02‬‬ ‫‪2.096‬‬ ‫‪2.16‬‬ ‫اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻣﻌطﻲ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪4.4‬‬ ‫‪3.6‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪2.0‬‬ ‫‪ 5.0‬اﻟﻣﺗوﺳط‬ ‫‪p‬‬ ‫‪g‬‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪Rp‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‬‫‪.2‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫*‪1.4 2.4* 2.6‬‬ ‫*‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2.16‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‬‫‬‫‪0.4‬‬ ‫*‪1.2 2.2* 2.4* 2.8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2.096‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‬‫‬‫‬‫*‪0.8 1.8* 2.0* 2.4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2.02‬‬ ‫‬‫‬‫‬‫‬‫‪1.0‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1.92‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‬‫‬‫‬‫‬‫‬‫‪0.2‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1.78‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‬‫‬‫‬‫‬‫‬‫‬‫‪0.4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.556‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‬‫‪c‬‬ ‫ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ أن اﻟﻔروق ﻋﻠﻲ اﻟﻘط ر اﻟواﺣ د ﻣ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻰ أﻋﻠ ﻲ اﻟﯾﺳ ﺎر اﻟ ﻰ اﻟﻘﯾﻣ ﺔ‬ ‫اﻟﺗﻲ أدﻧﻲ اﻟﯾﻣﯾن ﻟﮭﺎ ﻧﻔس ﻗﯾم ‪ p‬و ﻋﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻔروق‪:‬‬ ‫‪0.2 , 0.4 , 0.8 , 1.0 , 0,2 , 0.4‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﻘ ﻊ ﻋﻠ ﻲ ﻗط ر واﺣ د ﻟﮭ ﺎ ‪ p = 2‬واﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺣرﺟ ﺔ ﻟﮭ ذه اﻟﻔ روق ھ ﻲ آﺧ ر ﻗﯾﻣ ﺔ ﻓ ﻲ اﻟﻌﻣ ود‬ ‫اﻷﺧﯾر )‪ . (1.556‬أﯾﺿﺎ اﻟﻔروق‪:‬‬ ‫‪0.6 , 1.2 , 1.8 , 1.2 , 0.6‬‬ ‫‪١٢‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻲ ﻗطر واﺣد وﻟﮭﺎ ‪ p = 3‬ﺗﻘﺎرن ﺑﺎﻟﻘﯾﻣﺔ ‪)1.78‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺧﺎﻣﺳﺔ( ﻓﻲ اﻟﻌﻣود اﻷﺧﯾر‪.‬‬

‫‪١٣‬‬