مقدمة فى الانحدار الخطى المتعدد

‫ﻣﻘدﻣـﺔ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻐﺎﻟب ﺗﻛون اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﺳواء اﻹﻗﺗﺻﺎدﯾﺔ أو اﻹﺟﺗﻣﺎﻋﯾﺔ أو‬ ‫اﻟﺳﯾﺎﺳﯾﺔ ﻣﻌﻘدة ﯾﻣﺛل ﻓﯾﮭﺎ ﻣﺗﻐﯾر واﺣد ﺗﺎﺑﻊ وﻋدد ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ‪ .‬وﻣن‬ ‫اﻷﻣﺛﻠﺔ اﻟﻌدﯾدة ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻹﻗﺗﺻﺎد ﻧﺟد أن اﻟﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﺳﺗﮭﻠﻛﺔ ﻣن ﺳﻠﻌﺔ ﻣﺎ‬ ‫ﺗﺗﺄﺛر ﺑﺳﻌر اﻟﺳﻠﻌﺔ ذاﺗﮭﺎ ﻋﻼوة ﻋﻠﻰ أﺳﻌﺎر اﻟﺳﻠﻊ اﻟﺑدﯾﻠﺔ وأﯾﺿﺎ ً ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ذوق‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﮭﻠك‪ .‬ﻛذﻟك ﻛﻣﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎج ﺗﺗﺄﺛر ﺑﺎﻟﻌﻣل ورأس اﻟﻣﺎل واﻟﻣوارد اﻟوﺳﯾطﯾﺔ وﻏﯾرھﺎ‬ ‫ﻣن ﻋﻧﺎﺻر اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎﺟﯾﺔ‪ .‬وﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟﺗﺄﻣﯾن ﯾﺗوﻗف اﻟﻘﺳط اﻟﺗﺄﻣﯾﻧﻲ ﻋﻠﻰ ﻋﻣر‬ ‫اﻟﻣؤﻣن ودﺧﻠﮫ وﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺛﯾﻘﺔ وطول ﻓﺗرات اﻟﺗﺄﻣﯾن‪.‬‬ ‫ﻧﻣوذج اﻹﻧﺣدار اﻟذي ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ أﻛﺛر ﻣن ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل ﯾﺳﻣﻰ ﻧﻣوذج‬ ‫اﻹﻧﺣدار اﻟﻣﺗﻌدد‬ ‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻹﺳﺗﺟﺎﺑﺔ اﻟﻣﻘدرة ﻣن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻹﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪yˆ  b 0  b1x 1    b k x k ,‬‬

‫ﺣﯾث ‪bi ,i  0,1,2,...,k‬‬ ‫اﻟﺻﻐرى‪.‬‬

‫ﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ وذﻟك ﺑﺈﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت‬

‫ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﺎﻟم ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﻋﻧد ﺗوﻓﯾق ﻧﻣوذج اﻹﻧﺣدار اﻟﺧطﻲ اﻟﻣﺗﻌدد وﺧﺻوﺻﺎ ً ﻋﻧدﻣﺎ ﯾزﯾد ﻋدد‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن اﺛﻧﯾن ‪ ،‬ﻓﺈن ﻣﻌﻠوﻣﺗﻧﺎ ﻓﻲ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت ﯾﻣﻛن أن ﺗﺳﮭل‬ ‫اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت اﻟﺣﺳﺎﺑﯾﺔ‪ .‬ﺑﻔرض أن اﻟﻘﺎﺋم ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻟدﯾﮫ ‪ k‬ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ‬ ‫‪ x 1 , x 2 , , x k‬و‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ y1 , y 2 , , y n‬وﻛل ﻣﺷﺎھدة ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر‬ ‫ﻋﻧﮭﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪y j  b 0  b1x 1j  b 2 x 2 j    b k x kj  e j , j  1,2,..., n‬‬

‫ھذا اﻟﻧﻣـوذج ﯾﻣﺛل ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻻت‪ .‬ﺑﺈﺳﺗﺧدام رﻣوز اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت ﯾﻣﻛن ﻛﺗـﺎﺑﺔ‬ ‫اﻟﻧﻣـوذج ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫(‬

‫‪y  Xb  e,‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1 x11  x k1 ‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪ x k2 ‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 x1n  x kn ‬‬ ‫‪b 0 ‬‬ ‫‪e1 ‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪e   2 .‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪e n ‬‬ ‫‪b k ‬‬ ‫ﻋﻣوﻣﺎ ً‪ y ،‬ﻣﺗﺟﮫ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ n  1‬ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات و ‪ X‬ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣن ﻣﺳﺗوﯾﺎت‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ p  k  1 n  p‬ﺣﯾث ‪ p‬ﻋدد اﻟﻣﻌﺎﻟم ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻧﻣوذج و ‪ b‬ﻣﺗﺟﮫ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ p  1‬ﻣن ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻹﻧﺣدار و ‪ e‬ﻣﺗﺟﮫ ﻣن اﻟدرﺟﺔ‬ ‫‪ n  1‬ﻣن اﻟﺑواﻗﻲ‪ .‬اﻟﻣﺗﺟﮫ ﻣن ﺗﻘدﯾرات اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ‪ b‬ھو ‪:‬‬ ‫‪ y1 ‬‬ ‫‪y ‬‬ ‫‪y   2 ,‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪y n ‬‬

‫‪b  XX 1 Xy ,‬‬

‫ﺗﺣت ﺷرط أن اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ‪ X X 1‬ﻣوﺟودة ﺣﺗﻰ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺣل وﺣﯾد‪.‬‬ ‫اى ان اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ‪ X X‬ﯾﻛون ﻟﮭﺎ ﻣﺣدد ﻻ ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﺗﺄﺛر ﻣﺣﺻول اﻟﻔراوﻟﺔ ﺑﻛﻣﯾﺔ اﻷﻣطﺎر ‪ x1‬وﻛﻣﯾﺔ اﻟﺳﻣﺎد اﻟﻣﺳﺗﺧدم ‪. x 2‬‬ ‫اﺳﺗﺧدم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻓﯾق ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻧﺣدار ﺧطﻲ ﻣﺗﻌدد ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻛﻣﯾﺔ‬ ‫اﻷﻣطﺎر وﻛﻣﯾﺔ اﻟﺳﻣﺎد ﻛﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ‪.‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪450‬‬ ‫‪1200‬‬ ‫‪700‬‬ ‫‪800‬‬ ‫‪1100‬‬ ‫‪1050‬‬ ‫‪1150‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪950‬‬ ‫‪1300‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪510‬‬ ‫‪450‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪425‬‬ ‫‪450‬‬ ‫‪475‬‬ ‫‪515‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪490‬‬ ‫‪510‬‬ ‫‪525‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﺣـل‬ ‫ﻹﯾﺟﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة‬ ‫‪yˆ  b 0  b1x1  b 2 x 2 , .‬‬

‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ‪ X‬واﻟﻣﺗﺟﮫ ‪ y‬ﯾﻛوﻧﺎن‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪ 450 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1200‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪700 ‬‬ ‫‪800 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y  110 ‬‬ ‫‪1050‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1150‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪950‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1300‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪16 510 ‬‬ ‫‪22 450‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪23 500 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪13 425 ‬‬ ‫‪13 450 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪25 475‬‬ ‫‪18 515 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪20 500 ‬‬ ‫‪21 490 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪19 510 ‬‬ ‫‪22 525 ‬‬

‫و‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ‪ X X‬ﺳﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪1 16 510‬‬ ‫‪ 1 1  1 ‬‬ ‫‪1 22 45 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪X X  16 22  22 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪510 450 525 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 22 525‬‬ ‫‪ 10700 ‬‬ ‫‪X ' y   213250  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5.2652  10 ‬‬

‫ﺗﻘدﯾرات اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﺳوف ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪b   XX  Xy .‬‬ ‫‪1‬‬

‫أي‪:‬‬ ‫‪ 10700 ‬‬ ‫‪ 213250 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪502652  10 ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪216‬‬ ‫‪5350‬‬ ‫‪ b 0   11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ b    216‬‬ ‫‪4363‬‬ ‫‪105410 ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ b 2  5350 105410 2.6124  10 ‬‬

‫‪ 0.0271387‬‬ ‫‪ 0.0460394  ‬‬ ‫‪10700‬‬ ‫‪ 23.0157‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   0.0271387‬‬ ‫‪0.0092292‬‬ ‫‪ 0.000316848   213250 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪  0.0460394  0.000316848 0.000107453  5026525  10 ‬‬ ‫‪  1928.24‬‬ ‫‪  9.61221  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5.57653 ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﺗﻌدد اﻟﻣﻘدرة ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬ ‫‪yˆ  1928.24  9.61221x1  5.57653x 2 .‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﺗﻔﺳﯾر اﻟﺗﻘدﯾر ‪ b 0‬ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﯾﻣﺛل اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﻘدرة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ﻋﻧدﻣﺎ‬ ‫ﺗﻛون ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﺗﺳﺎوي اﻟﺻﻔر‪ .‬وﻓﻲ اﻟواﻗﻊ ﻓﺈن ھذا اﻟﺗﻔﺳﯾر ﻏﯾر‬ ‫ﺻﺣﯾﺢ ﻓﻲ ﻛل اﻟﺣﺎﻻت‪ .‬ﻓﺑﺈﺗﺑﺎع ھذا اﻟﺗﻔﺳﯾر ﻧﺟد أن ﻣﺣﺻول اﻟﻔراوﻟﺔ ﯾﻛون ﺳﺎﻟﺑﺎ ً‬ ‫‪  1928.24‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻛﻣﯾﺔ اﻷﻣطﺎر ﺗﺳﺎوي ﺻﻔر وﻛﻣﯾﺔ اﻟﺳﻣﺎد ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر‬ ‫وھذا ﻏﯾر ﻣﻧطﻘﻲ‪ .‬ﻛﻣﺎ أن ﻣﺷﺎھدات اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻻ ﺗﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ﻗﯾم ﺻﻔرﯾﺔ ﻟﻛل ﻣن ﻛﻣﯾﺔ‬ ‫اﻷﻣطﺎر وﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﺣﺻول‪ .‬ﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ y ‬و اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻘدرة ‪yˆ ‬‬ ‫واﻟﺑواﻗﻲ ‪. e‬‬ ‫ˆ‪e  y  y‬‬

‫ˆ‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪-69.5825‬‬

‫‪1069.58‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪-342.664‬‬

‫‪792.664‬‬

‫‪450‬‬

‫‪118.897‬‬

‫‪1081.1‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪133.258‬‬

‫‪566.741‬‬

‫‪700‬‬

‫‪55.3967‬‬

‫‪744.603‬‬

‫‪800‬‬

‫‪4‬‬

‫‪139.0859‬‬

‫‪960.914‬‬

‫‪1100‬‬

‫‪-66.6896‬‬

‫‪1116.689‬‬

‫‪1050‬‬

‫‪97.7338‬‬

‫‪1052.266‬‬

‫‪1150‬‬

‫‪-6.1131‬‬

‫‪1006.11‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪-148.419‬‬

‫‪1098.419‬‬

‫‪950‬‬

‫‪89.09629‬‬

‫‪1210.9‬‬

‫‪1300‬‬

‫وھﺬه اﻟﺒﻮاﻗﻰ ﻣﮭﻤﺔ ﻓﻰ اﻟﻜﺸﻒ ﻋﻦ اﻟﻤﺨﺎﻟﻔﺎت ﻟﻔﺮوض ﻧﻤﻮزج اﻻﻧﺤﺪار اﻟﺨﻄﻰ‬ ‫اﻟﻤﺘﻌﺪد وﺗﺤﻨﺎج اﻟﻰ ﻣﻮﺿﻮع اﺧﺮ ‪.‬‬

‫‪5‬‬