امثلة على توزيع ذى الحدين

‫ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ‪Binomial Distribution‬‬ ‫ﻓـﻲ ﻛﺛﯾـر ﻣـن اﻷﺣﯾــﺎن ﻗـد ﺗﺷـﺗﻣل ﺗﺟرﺑــﺔ ﻣـﺎ ﻋﻠـﻲ ‪ n‬ﻣـن اﻟﻣﺣــﺎوﻻت اﻟﻣﺗﻛـررة اﻟﻣﺳـﺗﻘﻠﺔ ﺑﺣﯾــث‬ ‫ﯾﻛون ﻟﻛل ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻧﺗﯾﺟﺗﯾن اﺛﻧﺗﯾن ﻓﻘط ‪ ،‬ﺗﺳﻣﻲ اﻷوﻟﻲ ﻧﺟﺎح وﺗﺳﻣﻲ اﻷﺧرى ﻓﺷـل ‪ ،‬ﺣﯾـث اﺣﺗﻣـﺎل‬ ‫اﻟﻧﺟـﺎح ‪ p‬واﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻔﺷــل ‪ . q = 1-p‬ﺗﺳــﻣﻲ اﻟﺗﺟرﺑــﺔ اﻟﺗــﻲ ﺗﺣﻘـق ﻫــذﻩ اﻟﺷــروط ﺑﺗﺟرﺑــﺔ ﺛﻧــﺎﺋﻲ‬ ‫اﻟﺣدﯾن ‪ .binomial experiment‬ﻓﻌﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧد إﻟﻘـﺎء ﻋﻣﻠـﺔ ﻣﺗزﻧـﺔ ‪ 5‬ﻣـرات ﺣﯾـث ﻛـل‬ ‫ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻗد ﺗﻛون ﺻورة أو ﻛﺗﺎﺑﺔ وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن اﻟﻧﺟﺎح ﻫو ظﻬـور اﻟﺻـورة ‪ .‬ﻫﻧـﺎ اﻟﻣﺣـﺎوﻻت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ . p ‬وﯾﺟـب‬ ‫اﻟﻣﺗﻛررة ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻛﻣـﺎ أن اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻧﺟـﺎح ﺛﺎﺑـت ﻣـن ﻣﺣﺎوﻟـﺔ إﻟـﻲ أﺧـرى وﯾﺳـﺎوي‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻼﺣظــﺔ أﻧــﻪ ﯾﻣﻛــن ﺗﻌرﯾــف اﻟﻧﺟــﺎح واﻟﻔﺷــل ﻋﻛــس ذﻟــك ﺗﻣﺎﻣــﺎً ‪ ،‬أي ﺟﻌــل ظﻬــور اﻟﻛﺗﺎﺑــﺔ ﻧﺟــﺎح ‪،‬‬ ‫وﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﺗﺑدل ﻗﯾﻣﺗﻲ ‪. p , q‬‬ ‫وﻫﻧﺎك أﻣﺛﻠﺔ ﻛﺛﯾرة ﻋﻠﻲ ﺗﺟـﺎرب ذي اﻟﺣـدﯾن ﻣﺛـل اﺧﺗﯾـﺎر ﻋﯾﻧـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم ‪) n‬ﻣـﻊ‬

‫اﻹرﺟـﺎع( ﻣــن ﻣﺟﺗﻣـﻊ ﺗﺣــت اﻟد ارﺳــﺔ ‪ .‬ﻛـل وﺣــدﻩ ﻓـﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣــﻊ ﺗﺻــﻧف إﻟـﻰ واﺣــد ﻣـن ﻧــوﻋﯾن وذﻟــك‬ ‫وﻓﻘــﺎً ﻟﺧﺎﺻــﯾﺔ ﻣــﺎ‪ .‬ﻋﻠ ـﻲ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل ‪ ،‬اﻟوﺣــدة ﻗ ــد ﺗﻛــون ﺷــﺧص واﻟﺻــﻔﺔ ﻗــد ﺗﻛــون ﻣــﺎ إذا ﻛ ــﺎن‬ ‫اﻟﺷﺧص ﻗﺎل ﻧﻌم أوﻻ ﻓﻲ اﻟﺗﺻـوﯾت ﻋﻠـﻲ ﺗﺄﯾﯾـد ﺷـﺧص ﻣـﺎ ‪ .‬إذا ﻛﺎﻧـت اﻟوﺣـدة ﺟـزء ﻣـن آﻟـﻪ‪ ،‬ﻫـذﻩ‬ ‫اﻟﺻﻔﺔ ﻗد ﺗﻛون ﻣﺎ إذا ﻛﺎن اﻟﺟزء ﺳﻠﯾم أو ﺗﺎﻟف ‪ .‬إذا ﻛﺎﻧـت اﻟوﺣـدة ورﻗـﺔ ﺷـﺟرة ﻓﺎﻟﺻـﻔﺔ ﻗـد ﺗﻛـون‬ ‫اﻟورﻗﺔ ﺗﺎﻟﻔﺔ ﻣن اﻹﺻﺎﺑﺔ ﺑﺎﻟﺣﺷرات أم ﻻ ‪ .‬أﯾﺿﺎ ﻓﻲ ﻋﻠم اﻟوراﺛﺔ ﻓﺈن اﻟﺻـﻔﺎت اﻟوارﺛﯾـﺔ ﺗﺣﻔـظ ﻋﻠـﻲ‬ ‫اﻟﺟﯾﻧــﺎت ) ﺣﺎﻣﻠــﺔ اﻟﺻــﻔﺎت ( ﻫــذﻩ اﻟﺟﯾﻧ ـﺎت ﺗظﻬــر ﻓــﻲ أزواج ﻋﻠــﻲ اﻟﺷــﻛل ‪ AA‬أو ‪ aa‬أو ‪) Aa‬‬ ‫وﯾﺟب ﻣﻼﺣظﺔ أن ‪ Aa‬و ‪ aA‬ﻻ ﯾﺧﺗﻠﻔﺎن (‪ .‬ﻓﻌﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ‪ A‬ﻗد ﺗﻛـون ﺻـﻔﺔ اﻟﺷـﻌر اﻟﻧـﺎﻋم‬ ‫و ‪ a‬ﺻﻔﺔ اﻟﺷـﻌر اﻟﻣﺟﻌـد ‪ .‬إذا ﻛـﺎن اﻵﺑـﺎء اﻹﻧـﺎث ﻣـن اﻟﻔﺋـران ﯾﺣﻣﻠـون ‪ ) aa‬ﺻـﻔﺔ اﻟﺷـﻌر اﻟﻣﺟﻌـد‬ ‫( واﻟذﻛور اﻵﺑﺎء ﯾﺣﻣﻠـون ‪ ) aA‬ﺻـﻔﺔ اﻟﺷـﻌر اﻟﻧـﺎﻋم ( وﻋﻠـﻲ ذﻟـك طﺑﻘـﺎً ﻟﻘـﺎﻧون ﻣﻧـدل ﻓـﺈن ﻛـل ﻓـﺄر‬ ‫ﻓﻲ اﻟذرﯾﺔ ﺳوف ﯾﺣﻣـل ‪ ) aA‬اﻟﺷـﻌر اﻟﻧـﺎﻋم ( ﺑﺎﺣﺗﻣـﺎل ‪ .5‬أو ‪ ) aa‬اﻟﺷـﻌر اﻟﻣﺟﻌـد ( ﺑﺎﺣﺗﻣـﺎل ‪.5‬‬

‫وﻋﻠـﻲ ذﻟـك وﺗﺣـت ﻓـرض أن ﺻـﻔﺔ اﻟﺷـﻌر ﻓـﻲ أي ﻓــﺄر ﻣﺳـﺗﻘﻠﺔ ﻋـن ﺻـﻔﺔ اﻟﺷـﻌر ﻓـﻲ ﻓـﺄر آﺧـر ﻓــﻲ‬ ‫ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن اﻟوﺣدة ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺳوف ﺗﻛون اﻟﻔﺄر واﻟﺻﻔﺔ ﺗﻛون ‪ aA‬أو ‪. aa‬‬ ‫ﻋﻣوﻣﺎً ﯾﻣﻛن اﻟﻘول أن ﺗﺟرﺑﺔ ذي اﻟﺣدﯾن ﻫﻲ اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﻘق اﻟﺷروط اﻵﺗﯾﺔ ‪:‬‬

‫أ‪ -‬اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺗﻛون ﻣن ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻣﺗﻛررة ‪.‬‬

‫ب ‪-‬ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻛل ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﯾﻣﻛن ﺗﺻﻧﯾﻔﻬﺎ إﻟﻲ ﻧﺟﺎح أو ﻓﺷل ‪.‬‬ ‫ج‪ -‬اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح ‪ ،‬وﻫو ‪ p‬ﯾﺑﻘﻲ ﺛﺎﺑت ﻣن ﻣﺣﺎوﻟﺔ إﻟﻲ ﻣﺣﺎوﻟﺔ ‪.‬‬ ‫د ‪ -‬اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻣﺗﻛررة ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﺑﻌﺿﻬﺎ ﻋن ﺑﻌض ‪.‬‬

‫ﻗـد ﺗﺷــﺗﻣل ﺗﺟرﺑــﺔ ﻋﻠــﻲ ﻣﺗﺗﺎﺑﻌـﺔ ) ﻋــددﻫﺎ ‪ ( n‬ﻣــن اﻟﻣﺣــﺎوﻻت اﻟﻣﺳـﺗﻘﻠﺔ ﺣﯾــث ﯾوﺟــد أﻛﺛــر ﻣــن‬ ‫ﻧﺗﯾﺟﺗــﯾن ﻓــﻲ أي ﻣﺣﺎوﻟــﺔ ‪ .‬ﻓــﻲ ﻫــذﻩ اﻟﺣﺎﻟــﺔ ﯾﻣﻛــن اﻋﺗﺑﺎرﻫــﺎ ﺗﺟرﺑــﺔ ذي اﻟﺣــدﯾن ﺑﻌــد ﺗﻘﺳــﯾم اﻟﻧﺗــﺎﺋﺞ‬

‫‪١‬‬

‫اﻟﻣﻣﻛﻧ ــﺔ إﻟ ــﻲ ﻣﺟﻣ ــوﻋﺗﯾن ‪ .‬ﻋﻠ ــﻲ ﺳ ــﺑﯾل اﻟﻣﺛ ــﺎل إذا أﻟﻘﯾﻧ ــﺎ زﻫـ ـرة ﻧ ــرد ﻣﺗزﻧ ــﺔ ‪ 10‬ﻣـ ـرات ٕواذا ﻛ ــﺎن ‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﺗﻐﯾـ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑ ــﻊ ذي اﻟﺣ ــدﯾن وﯾﻣﺛ ــل ظﻬ ــور اﻟ ــرﻗم واﺣ ــد ) ﻧﺟ ــﺎح( ﺑﺎﺣﺗﻣ ــﺎل ‪ p ‬ﻓ ــﺈن ﻗ ــﯾم‬ ‫‪6‬‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﺳوف ﺗﻛون ‪ .0, 1, 2, …, 10‬اﻟﻔﺷل ﻫﻧﺎ ﻫو ﻋدم ظﻬور ‪ 1‬أي ظﻬور ‪2,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 3,…,6‬واﻟﻔﺷل ﯾﺣدث ﻫﻧﺎ ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪. q ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﻋدد ﺣـﺎﻻت اﻟﻧﺟـﺎح ‪ X‬ﻓـﻲ ‪ n‬ﻣـن اﻟﻣﺣـﺎوﻻت ﻟﺗﺟرﺑـﺔ ذي اﻟﺣـدﯾن ﯾﺳـﻣﻲ ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ‬ ‫ﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ‪. binomial random variable‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﺗﺑـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن ﯾﺳـﻣﻲ ﺗوزﯾـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن ‪binomial‬‬ ‫‪ distribution‬وﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز )‪ b(x; n, p‬وذﻟك ﻷن ﻗﯾﻣـﺔ ﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻲ ﻋـدد اﻟﻣﺣـﺎوﻻت‬

‫واﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح ﻓﻲ ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻣﻌطﺎة ‪.‬‬

‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪ n  x nx‬‬ ‫= )‪ x  p q , x  0,1,2,..., n b (x; n, p‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓ ــﻲ ﻣﺻ ــﻧﻊ ﻹﻧﺗ ــﺎج اﻟﺻ ــﻣﺎﻣﺎت اﻟﻛﻬرﺑﺎﺋﯾ ــﺔ أﺷ ــﺎرت اﻹﻧﺗﺎﺟﯾ ــﺔ ﻟﻔﺗـ ـرة طوﯾﻠ ــﺔ ﺑ ــﺎن ﻧﺳ ــﺑﺔ اﻟﺗ ــﺎﻟف ﻣ ــن‬ ‫اﻟﺻــﻣﺎﻣﺎت ﻫــو‪ 4%‬ﻓــﺈذا أﺧــذﻧﺎ ﻋﯾﻧــﺔ ﻣــن ‪ 20‬ﺻــﻣﺎم ﻛﻬرﺑــﺎﺋﻲ ﻣــﺎ ﻫــو اﺣﺗﻣــﺎل ﺑــﺎن ﻛــل اﻟﺻــﻣﺎﻣﺎت‬ ‫ﺳــﻠﯾﻣﺔ و ﻣــﺎ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﺑــﺎن ﺛﻼﺛــﺔ ﺻــﻣﺎﻣﺎت ﺗﺎﻟﻔــﺔ ؟ وﻣــﺎ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﺑــﺎن اﻗــل ﻣــن أرﺑﻌــﺔ ﺻــﻣﺎﻣﺎت‬

‫ﺗﺎﻟﻔﺔ ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪ 20 ‬‬ ‫‪P(X  0)    (.04)0 (.96) 20‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫‪P(X  3)    (.04)3 (.96)17‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪P(X  4)  P(X  0)  P(X  1)  P(X  2)  P(X  3).‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬

‫‪٢‬‬

‫‪1‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ﻧﺳﺑﺔ اﻹﻧﺎث ﻓﻲ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫)أ( ﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون ﻛل أﻓراد اﻟﻌﯾﻧﺔ إﻧﺎث‬

‫‪ . p ‬أﺧذت ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ‪ 10‬أﺷﺧﺎص ‪:‬‬

‫)ب( ﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾوﺟد ﻋﻠﻲ اﻷﻗل ‪ 8‬إﻧﺎث ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ‬ ‫)‪P (4  X  6‬‬ ‫)ج(‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪10  1 1‬‬ ‫‪P(X  10)    ( )10 ( ) 0‬‬ ‫‪10  2 2‬‬

‫أ(‬ ‫ب(‬

‫‪10  1 1‬‬ ‫‪P(X  8)     ( ) x ( )10x .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 8  x  2‬‬ ‫‪10‬‬

‫ج(‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10  1 1‬‬ ‫‪P(4  X  6)    ( ) x ( )10 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 4  x  2‬‬ ‫أو ﯾﻤﻜﻦ اﺳﺘﺨﺪام ﺟﺪول ذى اﻟﺤﺪﯾﻦ ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(4  X  6)   b(k;10, )   b(k;10, )  .828  .172  .656.‬‬ ‫‪2 k 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓــﻲ ﻓﺗ ـرة زﻣﻧﯾــﺔ طوﯾﻠــﺔ وﺟــد أن دواء ﻟــﻪ ﺗــﺄﺛﯾر ﻋﻠــﻰ ‪ 30%‬ﻣــن اﻟﺣــﺎﻻت اﻟﺗــﻲ وﺻــف ﻟﻬــﺎ ‪ ٠‬إذا‬ ‫أﻋطــﻲ اﻟطﺑﯾــب ﻫــذا اﻟــدواء إﻟــﻲ ‪ 4‬ﻣرﺿــﻲ ﻣــﺎ ﻫــو اﻻﺣﺗﻣــﺎل أﻧــﺔ ﺳــوف ﯾﻛــون ﻟــﻪ ﺗــﺄﺛﯾر ﻓــﻲ ﺛﻼﺛــﺔ‬

‫ﻣرﺿﻲ ﻋﻠﻲ اﻷﻗل‪.‬‬ ‫)‪P(X  3)  P(X  3)  P(X  4‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪   (.3)3 (.7)1    (.3)4 (.7)0 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬

‫ﻓﻲ أﺳرة ‪ 4‬أطﻔﺎل ‪ ،‬ﻣﺎ ﻫو اﻻﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون ﻓﻲ اﻷﺳرة ذﻛرﯾن ﺑﺎﻟﺿﺑط ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪p ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4 1 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪P(X  2)    ( )2 ( )2  .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 2 2 2‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬

‫‪1‬‬ ‫ﻓـﻲ ﻣدﯾﻧــﺔ ﻣــﺎ ‪ ،‬اﺣﺗﻣــﺎل أن أﺳـرة ﺗــرزق ﺑﺄطﻔــﺎل ﻟﻬــم ﺷــﻌر اﺻـﻔر ﻫــو‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل أن ﻧﺻﻔﻬم ﻟﻪ ﺷﻌر اﺻﻔر ‪.‬‬

‫إذا ﻛــﺎن ﻟﻸﺳـرة ‪ 4‬أطﻔــﺎل‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪4‬‬ ‫ﺑﻣﺎ أن اﻷطﻔﺎل ﻋددﻫم ‪ 4‬أي أن ﻧﺻف ﻋدد اﻷطﻔﺎل ﻫو‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4 1 3‬‬ ‫‪P(X  2)    ( ) 2 ( ) 2 .‬‬ ‫‪ 2 4 4‬‬

‫‪ .2 ‬أي أن اﻟﻣطﻠوب ﻫو ‪:‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ط ــﺎﺋرة ﺗﺷ ــﺗﻐل ﺑ ــﺎرﺑﻊ ﻣﺣرﻛ ــﺎت ﻣﺳ ــﺗﻘﻠﺔ ﻋـ ــن ﺑﻌﺿ ــﻬﺎ اﻟ ــﺑﻌض و اﺣﺗﻣ ــﺎل ﺗوﻗ ــف أي ﻣﻧﻬ ــﺎ ﯾﺳـ ــﺎوي‬ ‫‪ 0.002‬وﻟﻛﻲ ﺗواﺻل اﻟطﺎﺋرة رﺣﻠﺗﻬﺎ ﯾﺟب أن ﯾﺷـﺗﻐل ﻋﻠـﻰ اﻷﻗـل اﺛﻧـﺎن ﻣـن ﻫـذﻩ اﻟﻣﺣرﻛـﺎت ‪ ،‬ﻓـﺈذا‬

‫ﻗﺎﻣت اﻟطﺎﺋرة ﺑرﺣﻠﺔ ﺟوﯾﺔ ﻓﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل أﻧﻬﺎ ﺳﺗﻛﻣل اﻟرﺣﻠﺔ ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻫــذﻩ اﻟﺗﺟرﺑــﺔ ﺗﺗﺿــﻣن أرﺑﻌــﺔ ﻣﺣــﺎوﻻت ﻣﺳــﺗﻘﻠﺔ ﻋــن ﺑﻌﺿــﻬﺎ اﻟــﺑﻌض وﻛــل ﻣﺣﺎوﻟــﺔ ﺗﺗﺿــﻣن أﻣــﺎ‬

‫ﻣﺣــرك ﯾﺷــﺗﻐل ) ﻧﺟــﺎح ( أو ﻻ ﯾﺷ ــﺗﻐل ) ﻓﺷــل ( و ﻋﻠﯾــﻪ إذا ﻛ ــﺎن ‪ p‬ﯾﻣﺛــل اﺣﺗﻣــﺎل أن اﻟﻣﺣ ــرك‬ ‫ﯾﺷـﺗﻐل ﻓـﺈن ‪ p = 1-0.002=0.998‬وﻫـو ﻣﺗﺳـﺎوي ﻟﻛـل ﻣﺣـرك وﻋﻠـﻰ ذﻟـك ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ‬ ‫ﯾﻣﺛـل ﻋـدد اﻟﻣﺣرﻛـﺎت اﻟﺗـﻲ ﺗﺷـﺗﻐل ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـﯾن ‪n = 4‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪p(X  2)     (0.998) x )0.002) 4 x‬‬ ‫‪x 2  x ‬‬ ‫‪= 1-P(X < 2)= 1-  P(X = 0) + P(X = 1).‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬

‫‪٤‬‬

‫‪p = 0.998 ,‬‬

‫أﺛﺑﺗـت اﻟﺗﺟــﺎرب ﺣـدوث ﺗﻠــف ﻓـﻲ اﻟﺗﻣﺛﯾــل اﻟﻐـذاﺋﻲ ﻟطﻔــل واﺣــد ﻣـن ﺑــﯾن ‪ 100‬ﯾوﻟـدون ‪.‬ﻧﻔــرض أﻧــﻪ‬ ‫ﺗﺗم وﻻدة أرﺑﻌﺔ أطﻔﺎل ﻓﻲ ﯾوم ﻣﻌﯾن ﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫) ب ( ﻋدم ﺣدوث ﺗﻠف ‪.‬‬

‫) أ ( ﻟﯾس أﻛﺛر ﻣن طﻔل واﺣد ﻟدﯾﻪ ﺗﻠف‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫)أ(‬

‫‪1‬‬ ‫‪, n=4‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 4   1   99 ‬‬ ‫‪P(X  1)     ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 0  x   100   100 ‬‬ ‫‪p‬‬

‫)ب(‬ ‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ 4   1   99 ‬‬ ‫‪P(X  0)    ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪ 0   100   100 ‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ 20%‬ﻣن ﺳـﺎﺋﻘﯾن ﺳـﯾﺎرات اﻷﺟـرة اﻟـذﯾن ﯾﺻـﻠون إﻟـﻰ ﻣوﻗـف اﻟﺳـﯾﺎرات ﯾﻌطـون إﺷـﺎرات‬ ‫ﺣﻣـ ـراء ﻓ ــﻲ ﻛ ــل اﻹﺗﺟﺎﻫ ــﺎت ) ﯾﺗﺑﻌ ــون اﻷﻧظﻣ ــﺔ ( ﻓ ــﺈذا أﺧﺗﯾ ــر ‪ 20‬ﺳ ــﺎﺋﻘﺎً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﻣ ــن اﻟ ــذﯾن ﺗ ــم‬

‫وﺻوﻟﻬم إﻟﻰ ﻣوﻗف اﻟﺳﯾﺎرات ‪ .‬أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬

‫) ب ( ﺑﺎﻟﺿﺑط ‪ 10‬ﯾﺗﺑﻌون اﻟﻧظﺎم ‪.‬‬

‫) أ ( ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر ‪ 6‬ﯾﺗﺑﻌون اﻟﻧظﺎم ‪.‬‬ ‫) ج ( ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ‪ 12‬ﯾﺗﺑﻌون اﻟﻧظﺎم ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪q = 0.8‬‬

‫‪,‬‬

‫‪p = 0.2‬‬

‫‪n = 20‬‬

‫‪,‬‬

‫ﻣﻦ ﺟﺪول ذى اﻟﺤﺪﯾﻦ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫)أ(‬

‫‪P(X  6)   b(k 20 0.2)  0.913.‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫)ب(‬

‫‪ P(X  10)  P(X  9).‬‬

‫‪10‬‬

‫‪ 0.8 ‬‬

‫‪10‬‬

‫)ج(‬

‫‪20‬‬ ‫‪P(X  10)  b(10 20 0.2)   10‬‬ ‫‪  0.2 ‬‬

‫)‪P(X  12)  1  P(X  12‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪ 1  P(X  11)  1   b(k 20 0.2)  1  1  0.‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬

‫‪٥‬‬

‫اﺳﺗﺧدم ﺟدول ذي اﻟﺣدﯾن ﻓﻲ إﯾﺟﺎد اﻷﺣﺗﻣﺎﻻت ‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫‪p = 0.4 .‬‬

‫‪P( X = 4 ) ,‬‬

‫‪n = 15 ,‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪P(X  4)   b(k15,0.4)   b(k 15,0.4‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫‪k 0‬‬

‫‪ 0.217  0.091  0.126‬‬

‫‪P(X  4),n  20, p  0.1‬‬

‫)ب(‬

‫‪4‬‬

‫‪P(X  4)   b(k 20,0.1)  0.957.‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫) ج(‬

‫‪P(5  X  11),n  20 , p  0.2.‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪4‬‬

‫‪P(5  X  11)   b(k;20,0.2)   b(k;20,0.2)  1  0.630  0.37.‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫)د(‬

‫‪, p = 0.5 .‬‬

‫‪k 0‬‬

‫‪P(X  6) , n = 15‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪P(X  6)   b(k15,0.5)   b(k15,0.5)  0.304  0.151  0.153.‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫) ﻫـ(‬

‫‪, p = 0.5 .‬‬

‫‪k 0‬‬

‫‪P(X  8) , n = 15‬‬ ‫)‪P(X  8)  1  P(X  8‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪= 1-P(X  7) = 1-  b(k;15,0.5)  1  0.500  0.5.‬‬ ‫‪k=0‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛــﺎن اﺣﺗﻣــﺎل إﺟﺎﺑــﺔ اﻟﻣﺑﺣــوث ﻋﻠــﻰ اﺳــﺗﻣﺎرة ﻣرﺳــﻠﺔ إﻟﯾــﻪ ﺑﺎﻟﺑرﯾــد ﻫــو ‪ .2‬أوﺟــد اﺣﺗﻣــﺎل اﻟﺣﺻــول‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ 0,1,2,3,4‬إﺟﺎﺑﺔ ﻣن اﻻﺳﺗﻣﺎرات اﻟﻣرﺳﻠﺔ إﻟﯾﻪ وﻋددﻫﺎ ﺧﻣﺳﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻫﻧﺎ ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻻﺷﺧﺎص اﻟـذﯾن ﯾﺟﯾﺑـون ﻋـن اﻻﺳـﺗﻣﺎرات اﻟﻣرﺳـﻠﺔ ﺣﯾـث ‪x‬‬ ‫‪ p = .2 ، n = 5 ، = 0,1,2,3,4,5‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟداﻟﺔ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪f (x)  P(X  x)    (.2) x (.8)5x .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻓﻲ ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﺣﯾث‪:‬‬

‫‪f(0) = 1 (.2)0 (.8)5‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪f(1) = 5 (.2) (.8)4‬‬ ‫‪f(2) = 10 (.2)2 (.8)3‬‬ ‫‪f(3) = 10 (.2)3 (.8)2‬‬ ‫‪f(4) = 5 (.2)4 (.8)1‬‬ ‫‪f(5) = 1 (.2)5 (.8)0‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺗﻌﻣــل ‪ 10‬ﻣﺎﻛﯾﻧــﺎت ﺣﯾﺎﻛــﺔ ﻓــﻲ ﻣﺻــﻧﻊ ﻣــﺎ ‪ ،‬ﻓــﺈذا ﻛــﺎن اﺣﺗﻣــﺎل أﻧــﻪ ﻓــﻲ ﻧﻬﺎﯾــﺔ اﻟﯾــوم ﺳــوف ﺗﻌطــل‬ ‫اﻟﻣﺎﻛﯾﻧ ـ ــﺔ ﻫ ـ ــو ‪ٕ ، 0.2‬واذا ﻛﺎﻧ ـ ــت اﻟﻣﺎﻛﯾﻧ ـ ــﺎت ﺗﻌﻣ ـ ــل ﺑﺻ ـ ــورة ﻣﺳ ـ ــﺗﻘﻠﺔ ﻋ ـ ــن ﺑﻌﺿ ـ ــﻬﺎ أوﺟ ـ ــد اﻟﺗوزﯾ ـ ــﻊ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﻣﺎﻛﯾﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﻌﻣل ﺣﺗﻰ ﻧﻬﺎﯾﺔ اﻟﯾوم؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪p = 0.2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪n  10‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﻣﺎﻛﯾﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﻌﻣل ﺣﺗﻰ ﻧﻬﺎﯾﺔ اﻟﯾوم ﻫو ‪-:‬‬

‫‪x = 0,1,...,10.‬‬

‫‪10 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f(x)=  x ‬‬ ‫‪(.2)x (.8)10x ,‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺑﻔــرض أﻧــﻪ ﯾوﺟــد ﺑــﯾن ﻛــل ‪ 400‬ﺳــﯾﺎرة ﻣــن إﻧﺗــﺎج ﻣﺻــﻧﻊ ﻣﻌــﯾن ﻹﻧﺗــﺎج اﻟﺳــﯾﺎرات ‪ 20‬ﺳــﯾﺎرة ﻏﯾــر‬ ‫ﺳــﻠﯾﻣﺔ ‪ ،‬أي ﻏﯾــر ﺻــﺎﻟﺣﺔ ﻟﻼﺳــﺗﻌﻣﺎل ‪ .‬ﺳــﺣﺑﻧﺎ ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻣﻛوﻧــﺔ ﻣــن ‪ 3‬ﺳــﯾﺎرات ﻣــن إﻧﺗــﺎج‬ ‫ذﻟك اﻟﻣﺻﻧﻊ ‪ ،‬أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون ﺑﯾﻧﻬﺎ ﺳﯾﺎرﺗﯾن ﻏﯾر ﺳﻠﯾﻣﺔ ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 2 19 3-2‬‬ ‫( ) ( = )‪P (X=2‬‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪19‬‬ ‫(‪=3‬‬ ‫( )‬ ‫‪).‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪57‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪8000‬‬ ‫=‪p‬‬

‫‪٧‬‬

‫‪,‬‬

‫‪n=3‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﺄﺧذ ﻣراﻗب ﺟودة إﻧﺗﺎج ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 10‬ﺻﻣﺎﻣﺎت ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن ﺷـﺣﻧﺔ ﻛﺑﯾـرة ﻣـن اﻟﺻـﻣﺎﻣﺎت‬ ‫ﻣﻌـروف ﻋﻧﻬــﺎ أﻧﻬــﺎ ﺗﺣﺗــوي ﻋﻠــﻰ ‪ 30%‬ﺻــﻣﺎﻣﺎً ﻣﻌﯾﺑـﺎً ‪ ،‬ﻣــﺎ ﻫــو اﺣﺗﻣــﺎل أن ﯾﻛــون ﻋــدد اﻟﺻــﻣﺎﻣﺎت‬ ‫اﻟﻣﻌﯾﺑﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ أﻛﺛر ﻣن أو ﯾﺳﺎوى ‪ 2‬؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫‪n = 10 , p = .3.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪P(X  2) =    (.3)x (.7)10-x‬‬ ‫‪x 2  x ‬‬ ‫)‪= 1 - P (X < 2) = 1 - P (X  1‬‬

‫‪10 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪10-x‬‬ ‫‪ x  (.3) (.7) =1-0.149.‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪= 1-‬‬

‫‪x 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ .77‬ﻣن اﻟﻣﺳﺗﻬﻠﻛﯾن ﯾﺳﺗﺧدﻣون ﻣﺳﺣوق ﻣﺎ ‪ .‬ﻓﻣﺎ ﻫو اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ‪ 10‬ﻣﺳﺗﻬﻠﻛﯾن‬

‫أ‪ -‬ﺑﺎﻟﺿﺑط أرﺑﻌﺔ ﯾﺳﺗﺧدﻣون اﻟﻣﺳﺣوق ‪.‬‬

‫ب‪ -‬ﻋﻠﻰ اﻷﻗل أرﺑﻌﺔ ﯾﺳﺗﺧدﻣون اﻟﻣﺳﺣوق ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪p = .77 ,‬‬

‫)أ(‬

‫‪,‬‬

‫‪n  10‬‬

‫‪10 ‬‬ ‫‪P(X  4)    (.77)4 (.23)6 .‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫)‪P(X  4)  1  P(X  4‬‬

‫)ب(‬

‫)‪ 1  P(X  3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪10  x‬‬ ‫‪=1-    .77  .23 .‬‬ ‫‪x=0  x ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛــﺎن ‪ 90%‬ﻣــن اﻟﻣﺗﻘــدﻣﯾن ﻟوظﯾﻔــﺔ دﺑﻠوﻣﺎﺳــﻰ ﯾﻔﺷــﻠون ﻓــﻰ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠــﺔ اﻷوﻟــﻰ ﻓــﺈذا اﺧﺗﺑــر ‪12‬‬

‫ﺷﺧﺻﺎً ﻣن اﻟﻣﺗﻘدﻣﯾن أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أﻧﻪ ‪.‬‬ ‫أ‪ -‬ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ‪ 5‬ﯾﻔﺷﻠون ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬ﻣن ‪ 10‬إﻟﻰ ‪ 12‬ﯾﻔﺷﻠون ‪.‬‬

‫‪٨‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪p = .9.‬‬

‫)أ(‬

‫‪n = 12‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪P(X  5)  1  P(X  5‬‬ ‫)‪ 1  P(X  4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ 1   b(x;12,.9).‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫)‪P(10  X  12)  P(X  10)  P(X  11)  P(X  12‬‬

‫)ب(‬

‫‪12 ‬‬ ‫‪    (.9) x (.1)12 x .‬‬ ‫‪x 10  x ‬‬ ‫‪12‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا اﻟﻘﯾت زﻫرة ﻧرد ﻣﺗزﻧﺔ ‪ 6‬ﻣرات ‪ .‬أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل ظﻬور اﻟرﻗم ‪ 5‬أرﺑﻊ ﻣرات ﺑﺎﻟﺿﺑط ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻫﻧـﺎ ﯾﻌﺗﺑــر ظﻬـور اﻟــرﻗم ‪ 5‬ﻧﺟــﺎح وﻋﻠـﻰ ذﻟــك اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻧﺟــﺎح ﻓــﻲ ﻛـل ﻣﺣﺎوﻟــﺔ ﻣـن اﻟﻣﺣــﺎوﻻت اﻟﺳــﺗﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .‬ﺑﻔرض أن ‪ X‬ﺗﻣﺛل ﻋدد ﻣرات ظﻬور اﻟرﻗم ‪ 5‬وﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻫو‬ ‫‪6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪b(x;n,p)    p x q n x , x  0,1,2,...,n.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ﺣﯾث ‪, n = 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻫو ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1  6 1   5 ‬‬ ‫‪b(4;6, )        .‬‬ ‫‪6  4 6   6 ‬‬

‫‪٩‬‬