ﻣﺣﺎﺿرة ﻋن اﺳﺗﺧدام اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻼﺣﺗﻣـﺎل
واﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻓﻰ ﺗﺣدﯾد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل
اوﻻ :اﺳــﺗﺧدام اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣوﻟــدة ﻟﻼﺣﺗﻣــﺎل ﻓــﻰ ﺗﺣدﯾــد داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻷي ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﻣﻌرف ﻋﻠﻰ ﻗﯾم ﺻﺣﯾﺣﺔ وﻏﯾـر ﺳﺎﻟﺑﺔ. ) (١-١ﻣﻘدﻣﺔ ﻋن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻌزم اﻟﻣﺿروب )اﻟﻌزم اﻟﻌﺎﻣﻠﻲ ( The Factorial Moment Generation Function إذا ﻛــﺎن Xﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطﻌــﺎً ﯾﺄﺧــذ ﻗﯾﻣــﺎً ﻏﯾــر ﺳــﺎﻟﺑﺔ وﻛﺎﻧــت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ داﻟﺗــﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ ﻫــﻲ ) f(xﻓﺈﻧــﻪ ﯾﻛــون ﻣــن اﻟﺳــﻬل اﺷــﺗﻘﺎق اﻟﻌــزوم ﺑﺎﺳــﺗﺧدام ﻋــزوم اﻟﻣﺿــروب واﻟﺗــﻲ ﺗﻘــوم ﺑﺗوﻟﯾــدﻫﺎ داﻟﺔ ﺗﺳﻣﻰ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻌزم اﻟﻣﺿروب واﻟﺗﻲ ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ :
G X t E t X t x f (x). x X وذﻟـك إذا ﻛـﺎن اﻟﺗوﻗـﻊ ) E(tﻣوﺟـود ﻟﺟﻣﯾـﻊ ﻗـﯾم tﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة . 1-h < t<1+hﯾوﺟـد ﻋﻼﻗـﺔ ﺑـﯾن
اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم
tx
)e f(x X
MX (t) وﺑﯾن اﻟداﻟﺔ G X t ﺣﯾث :
G X t E t X E e X ln t
M X ln t ﺗذﻛر :اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻌزم اﻟﻣﺿروب ﻻ ﺗﺳﺗﺧدم إﻻ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﻓﻘط . ﻧظرﯾﺔ :إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ) G X (tﻓﺈن:
)G X (1) E(X ])G X (1) E[X(X 1 ])G (Xr ) (1) E[X(X 1) (X r 1 r وﻣن اﻟﻣﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟﻌزوم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﺻـﻔر، E(X ) ،ﻣـن ﻋـزوم اﻟﻣﺿـروب .ﻓﻌﻠـﻰ
ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل :
1
]E[X(X 1)] E[X 2 X ) E(X 2 ) E(X وﻋﻠﻰ ذﻟك :
])E(X2 ) E(X) E[X(X 1 ﻛﻣــﺎ أن اﻟﻣﺷــﺗﻘﺎت ﻣــن اﻟــدرﺟﺎت اﻟﻌﻠﯾــﺎ ﯾﻣﻛــن إﯾﺟﺎدﻫــﺎ ﺑﺳــﻬوﻟﺔ ﻣــن اﻟداﻟــﺔ ) GX(tﺑﻌﻛــس اﻟﺣــﺎل ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم .
ﻣﺛﺎل)(١ اﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل: ﺑﻔرض أن Xﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷو ً
e x f (x) , x = 0,1,2, ... !x = 0 , e.w.
أوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن X 2
ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ ) G x (t؟
اﻟﺣــل:
x GX (t) E(t ) t e !x 0 (t) x t e . e !x x 0
X
x
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
) d r (e t (t) r e t . r dt
وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻓﺈن:
(1) r
)(r X
)(r X
G
E [ X ( X 1) ...( X r 1) ] G
2X E[(X(X 1)] E(X) [E(X)]2
2 2 . ﻣﺛﺎل)(٢ اﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل: إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷو ً
2
n f(x) px (1 p)nx x = 0 , e.w.
, x = 1, 2,...,n
؟
2
أوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن :اﻟﺣــل
n GX (t) E(t ) tx px (1 p)nx x0 x n
X
: وﻋﻠﻰ ذﻟك
n x nx n (tp) (1 p) [tp (1 p)] x0 x n
G X (t) np[tp (1 p)]n 1 E (X ) G X (1) np E (X 2 ) E[X (X 1)] E (X ), G X (t) n (n 1)p 2 [tp (1 p)]n 2 E[X (X 1)] G (1) n (n 1)p 2 2 E[X (X 1)] E (X ) [E (X )]2 n (n 1)p 2 np n 2 p 2 np[(n 1)p 1 np] np[np p 1 np] np(1 p).
(٣)ﻣﺛﺎل :اﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ً ﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷوX إذا ﻛﺎن
f (x) 2 x
,
x = 1,2,...
. وأوﺟد ﻋزوم اﻟﻣﺿروب اﻟﺧﻣﺳﺔ اﻷوﻟﻰ، X ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲG x (t) أوﺟد اﻟداﻟﺔ :اﻟﺣــل x
t GX (t) E(t ) t 2 x1 x1 2 x
3
x x
t t 2 . t 2t 1 2 ﻋزوم اﻟﻣﺿروب : )(2 t) ( t 2 2 )(2 t (2 t) 2 2 GX (1) 2 (2 1) 2 GX (t)
)(2 t)2 (0) (2)( 2)(2 t 4 4 )(2 t (2 t)3 4 GX (1) 4 (2 1)3 3 2 GX (t)
12
2 t 4
2 t 0 4 3 2 t 2 t 6 12 .
12 4
) 2 (21 1
G x t G x 1
(2 t) 4 (0) (12)(4)(2 t) 3 48 8 )(2 t (2 t) 5 48 )G (4 48, X (1) (2 1)5 )G (4 X (t)
(2 t)5 (0) (48)( 5)(2 t) 4 240 G (t) 10 )(2 t (2 t)6 240 )G (5 240. X (1) (2 1)6 )(5 X
) (٢-١اﺳﺗﺧدام اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻼﺣﺗﻣـﺎل ﻓـﻰ ﺗﺣدﯾـد داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾـر
ﻋﺷواﺋﻰ ﻣﻌرف ﻋﻠﻰ ﻗﯾم ﺻﺣﯾﺣﺔ وﻏﯾر ﺳﺎﻟﺑﺔ
ﺗﺳ ــﻣﻰ اﻟداﻟ ــﺔ ) G X (tﻓ ــﻲ ﺑﻌ ــض اﻷﺣﯾ ــﺎن ﺑﺎﻟداﻟ ــﺔ اﻟﻣوﻟ ــدة ﻟﻼﺣﺗﻣ ــﺎل .أي أﻧ ــﻪ ﺑوﺿ ــﻊ اﻟداﻟ ــﺔ
) G X (tﻋﻠــﻰ اﻟﺻــورة اﻟﺗﺎﻟﯾــﺔ GX (t) f(0) tf(1) ... trf(r) ... :
4
،ﯾﻛــون ﻣﻌﺎﻣــل t r
x ﻓ ـ ــﻲ ﻣﻔﻛ ـ ــوك اﻟداﻟ ـ ــﺔ ) G X (tﻫ ـ ــو ) f (r) P(X rأي أن ، GX (t) f (0) t f (x) : x 1
واﻟذي ﯾﻌﻧﻲ أن :
)1 ( r G X (0) P(X r) , r = 1,2,... !r أي أن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ﺗﺣدد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻷي ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ Xﻣﻌـرف ﻋﻠـﻰ ﻗـﯾم ﺻﺣﯾﺣﺔ وﻏﯾر ﺳﺎﻟﺑﺔ.
ﻣﺛﺎل )(٤ ﻓﻲ ﻣﺛﺎل)، (١
GX(t) eواﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
t
e 2 e2 GX (t) e t t ... 1 !2
وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻓﺈن :
P(X 0) G X (0) e G X (0) e !1 !1 G (0) e 2 P(X 2) X . !2 !2 P(X 1)
ﻣﺛﺎل )( ٥ إذا ﻛﺎﻧت اﻟداﻟﺔ ) G X (tﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة:
ﺣﯾث 0 t 1,
pt و ، 0<p<1 1 (1 p)t
أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . X اﻟﺣــل: ﻓﺈن :
5
GX (t)
f (0) G X (0) 0 p p [1 (1 p)0]2 1 )1 2p(1 p f (2) G X (0) ) p(1 p 2 2 [1 (1 p)0]3 f (1) G X (0)
ﻋﻣوﻣﺎً ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن , x=1,2,… :
f (x) p(1 p) x 1
ﺛﺎﻧﯾــﺎ :اﺳــﺗﺧدام اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣﻣﯾ ـزة ﻓــﻰ ﺗﺣدﯾــد داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻷي ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ . X ) (١-٢ﻣﻘدﻣﺔ ﻋن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة The Characteristic Function ﻣن اﻟﻣﻌروف ان اﻟﻌﯾب اﻟرﺋﯾﺳﻲ ﻟﻛل ﻣـن اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم )MX (t) etxf(x X
) X (tواﻟداﻟﺔ ) G X (tأﻧﻬﻣﺎ ﻏﯾر ﻣوﺟودﯾن ﻟﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾـﺔ .ﻋﻠـﻰ ﺧـﻼف ذﻟـك ﻓـﺈن اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة )أو ﺗﺣوﯾﻠـﻪ ﻓـورﯾر (Fourier transformﻣﻌرﻓـﺔ ﻟﺟﻣﯾـﻊ اﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ
.اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﺗﻌرف ﻛﺎﻵﺗﻲ:
)X (t) eitxf(x X
ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﺑﯾﻧﻣﺎ:
X (t) eitx f (x) , - < t <
ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻـل .ﻫﻧـﺎ i 1
أي اﻟﻌـدد اﻟﺗﺧﯾﻠـﻲ .ﻗـﯾم اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة
ﻗـد ﺗﻛـون ﻣرﻛﺑـﺔ وﻋﻠــﻰ ذﻟـك ﻓـﺈن ﻓﻬـم واﺳــﺗﺧدام ﻫـذا اﻟﻧـوع ﻣـن اﻟــدوال اﻟﻣوﻟـدة ﯾﺣﺗـﺎج إﻟـﻰ ﻣﻌﻠوﻣــﺎت
ﻓــﻲ ﻧظرﯾــﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾـرات اﻟﻣرﻛﺑــﺔ .وﺗﺑﻌــﺎ ﻟــذﻟك ﻓــﺈن د ارﺳــﺔ اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة ﯾﻘﺗﺻــر ﻋﻠــﻰ اﻟﻛﺗــب اﻟﻣﺗﻘدﻣــﺔ ﻓﻲ ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل.ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺑﯾن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﯾﻣﻛـن اﺷـﺗﻘﺎﻗﻬﺎ ﺑﺳـﻬوﻟﺔ ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة أﻛﺛر ﻣن اﺳﺗﺧدام داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ . ﺧﺻﺎﺋص اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة: أ(
X (0) 1
ب( اﻟﻣراﻓق اﻟﻣرﻛب ﻟﻬذﻩ اﻟداﻟﺔ ﯾﺳﺎوي
)X ( t 6
أي أن :
X (t) X ( t) .
ج( اﻟداﻟﺔ ) (tﻣﺣدودة ﻟﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻣن tأى ان . X (t) 1 اﻟﻌزوم ﺑدﻻﻟﺔ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة : tووﺿـ ــﻊ t 0ﻓـ ــﺈن . x (0) iاﯾﺿـ ــﺎ
ﺑﺗﻔﺎﺿـ ــل اﻟداﻟـ ــﺔ اﻟﻣﻣﯾ ـ ـزة ﺑﺎﻟﻧﺳـ ــﺑﺔ إﻟـ ــﻰ x (0) i 22
ﻋﻣوﻣﺎ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ rﺣول اﻟﺻﻔر ﻫو:
)1 (r (0). ir
ﻋﻼﻗﺎت ﻣﻬﻣﺔ :
r
اﺋﯾﺎ ﺑداﻟﺔ ﻣﻣﯾزة )ٕ X (tواذا ﻛﺎن Y=aX+bﻓﺄن: إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷو ً
Y (t) e itb (at) . ﺑوﺿﻊ itﺑدﻻ ﻣن tﻓﻰ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدﻩ ﻟﻠﻌزوم ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟداﻟﻪ اﻟﻣﻣﯾزة .اى أن M X (it) X (t).
ﻣﺛﺎل )(٦
إذا ﻛﺎن X ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل: ًا
x , a 0 .
,
a 1 x2 a2
f (x)
)أي ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻲ( .اﻟﻣطﻠوب أﺛﺑﺎت أن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻏﯾر ﻣوﺟودة ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻣوﺟودة . اﻟﺣــل:
a e tx M X (t) E(e ) 2 أ( x a 2 واﻟﺗ ــﻲ ﺗﻛ ــون ﻏﯾ ــر ﻣوﺟ ــودة إذا ﻛﺎﻧ ــت tﻋ ــدد ﺣﻘﯾﻘ ــﻲ وﻋﻠ ــﻰ ذﻟ ــك ﻓﺈﻧـ ـﻪ ﯾﻣﻛ ــن إﺛﺑ ــﺎت ذﻟ ــك ﻋﻧ ــدﻣﺎ x 0و t 0ﺣﯾث: tX
t 2x 2 t2x2 e 1 tx ... !2 2 tx
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
7
a etx at 2 x2 2 2 dx 2 2 dx x a 2 0 x a واﻟﺗﻛﺎﻣل ﻓﻲ اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﻣن ﺗﺑﺎﻋدي. ب(
a eitx X (t) E(e ) 2 dx x a 2 itx
S in a!tx sin tx a C o s tx a cos ai tx dx dx 2 2 dx 2 2 xdx 2 2 2 2 x a a x a x a
2a cos tx C o s tx 2a dx.2 2 dx 2 2 0 x a
x a
ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن اﻟﺗﻛﺎﻣل اﻷﺧﯾر ﻣوﺟود وﯾﺳﺎوي
e at
اﻟﺗوزﯾﻊ.
وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟداﻟﻪ اﻟﻣﻣﯾزﻩ ﻣوﺟودة ﻟﻬذا
ﻣﺛﺎل )(٧ أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌـزوم و اﻟﻌـزوم اﻟﺧﻣﺳـﺔ اﻻوﻟـﻰ ﺣـول اﻟﺻـﻔر ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ Xﯾﻣﺛـل ﻋـدد ﻣرات اﻟظﻬور رﻗم 6ﻋﻧد إﻟﻘﺎء زﻫرﺗﯾن ﻣرة واﺣدة ﺛم أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة اﻟﻣﻣﯾزة؟ اﻟﺣــل: داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﻫﻲ: 1 2 1/36
10/36
8
0
x
25/36
)F(x
25 10 1 ) ( )) e t (1) ( ) e t (2 36 36 36 25 t 10 1 M X (t) ) ( e ( ) e 2t 36 36 36 10 2 12 1 M X (t) t 0 e t ( ) e 2t ( ) t 0 36 36 36 10 4 14 2 MX (t) t 0 e t ( ) e 2t ( ) t 0 36 36 36 10 8 18 3 M X (t) t 0 e t ( ) e 2t ( ) t 0 36 36 36 26 t 10 2t 16 )4 M (4 )(t e ( ) e ( ) X t 0 t 0 36 36 36 32 42 t 10 )5 M (5 ) e 2t ( ) t 0 . ( X (t) t 0 e 36 36 36 ( )M X (t) e tx f (x) e t (0
ﻹﯾﺟﺎد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ : ﺑﻣﺎ أن:
1 (25 10e t e 2 t ) . 36
X (t)
ﻓﺈن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ Xﻫﻲ:
1 ) (25 10eit e 2it 36 25 10 it 1 2it X (t) e e . 36 36 36 X (t) M X (it)
ﻣﺛﺎل )(٨
إذا ﻛﺎن X ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻل ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل : ًا
1 , 2a
, a X a أوﺟد :أ( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر X؟
f (x)
)ب( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ؟
اﻟﺣــل: أ( 9
a tx
M X (t) E(e )
e
tx
f (x)dx
a a
1 1 e tx tx e dx 2a a 2a t
a a
1 ta ta (e e ). 2at (ب a
1 itx X (t) E(e ) e dx 2a a itx
1 eitx a a 2a it 1 (eita e ita ). 2ait
: أو ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟداﻟﻪ ﻟﻠﻌزوم واﻟداﻟﻪ اﻟﻣﻣﯾزة ﺣﯾث M X (it) X (t)
=
1 eita e ita . 2a it
(٩) ﻣﺛﺎل : أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزﻩ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔاﻹﺣﺗﻣﺎل
f (x)
1 , ba
0
axb
, e.w. وأوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن ؟ :اﻟﺣــل :اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻫﻲ
10
itx
X (t) E(e )
e
itx
f (x)dx
b
b
eitx 1 dx eitx dx ba ba a a b
1 eitx 1 eitb eita b a it a b a it it eitb eita it(b a) 1 E(X r ) r rX (0) i
r 1,2,3,...
X (t)
(ix)e
itx
f (x)dx
b
b
b ix 2 ixeiox ix X (0) dx dx b a b a 2(b a) a a a
i i(b a)(b a) (b 2 a 2 ) 2(b a) 2(b a) i b a a b i
2 b a
2
b a
b
b
1 1 x 3 (b3 a 3 ) X (0) (ix) dx 3 3(b a) b a b a a a 2
(b a)(b 2 2ab a 2 ) (a 2 2ab b 2 ) 3(b a) 3 1 i(a b) (a b) E(X) X (0) i 2i 2 2 2 1 (a 2ab b ) E(X 2 ) 2 X (0) i 3 2 2 V ar(X) E(X ) 2 2 2 2 (b 2 ab a 2 ) (a b) a b 2a b a 3 2 12 2
11
) (٢-٢اﺳــﺗﺧدام اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣﻣﯾــزة ﻓــﻰ ﺗﺣدﯾــد ﻓــﻰ ﺗﺣدﯾــد داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻻى ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ X
ﺗﻌرﯾـف: إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ) f(xوﻛﺎن :
) X (t) eitx f (xﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون Xﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﻘطﻊ و f (x)dx
itx
e
X (t)
ﻋﻧـدﻣﺎ ﯾﻛـون Xﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣﺗﺻـل ﻓﺈﻧـﻪ ﺑﺎﺳـﺗﺧدام ﻧظرﯾـﺔ ﺗﺣوﯾﻠـﻪ ﻓـورﯾر ﯾﻣﻛـن ﺑﺳـﻬوﻟﺔ ﺗﻘــدﯾر داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻣن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﺣﯾث :
1 f (x) e itx X (t) dt . 2 واﻟﻣﺳ ــﻣﺎة اﻟﺻ ــﯾﻐﺔ اﻟﻣﺣوﻟ ــﺔ formula
. Fourier transform
inversionأو ﺗﺣوﯾﻠ ــﻪ ﻓ ــورﯾر اﻟﻌﻛﺳ ــﯾﺔ
inverse
ﺑﺄﺳﻠوب ﻣﻘﺎرب ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ. ﻣﺛﺎل )(١٠ إذا ﻛﺎن
t2 2
(t) eﺗﻣﺛل اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ Xﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ،أوﺟد
اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر Xﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻣﺣوﻟﻪ. اﻟﺣــل: 2
t 1 itx f (x) e e 2 dt 2
1 ) (t 2 2itx 1 dt . e 2 2
وﺑﺈﻛﻣﺎل اﻟﻣرﺑﻊ داﺧل اﻟﻘوس ﻓﻲ اﻟﺗﻛﺎﻣل اﻷﺧﯾر ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ :
12
dt
1 2 2 2 itx ix (ix) 2
1 2 t f x e 2 π
1 2 2 1 2 t ix ix dt e 2 π 1 t ix 2 2 dt.
ix 2
2
e
وﺑﻔرض أن :
1 e 2π
z t ixﻓﺈن dt dzوﻋﻠﯾﻪ :
1 z2 e 2 dz
x2 e2
1 2π
1 2 z e 2 dz
2
1 2
x 1 2 2π e . 2π
ﺣﯾث x
ix 2
1 f x e 2π
1 2
1 2 x e 2π
. وﻫﻲ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ .
اﻟﺳؤال اﻵن ﻛﯾف ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﺑدﻻﻟـﺔ اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣﻣﯾـزة ﻓـﻲ ﺣﺎﻟـﺔ ﻋـدم ﻣﻌرﻓـﺔ ﻧـوع اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫل ﻫو ﻣﺗﺻل أم ﻣﺗﻘطﻊ؟ اﻟﺟواب ﻫو ان ﻧوع اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﺗﺣدد ﺗﺑﻌﺎً ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر اﻟﺗﺎﻟﻲ : ﻧﻔرض اﻟداﻟﺔ اﻵﺗﯾﺔ : c
LC eitx x (t)dt c
ﺣﯾ ـ ــث أن اﻟﻔﺗـ ـ ـرة c,c ﻫ ـ ــﻲ ﻓﺋ ـ ــﺔ ﺟزﺋﯾ ـ ــﺔ ﻣ ـ ــن ﻓﺿ ـ ــﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ــر اﻟﻌﺷـ ـ ـواﺋﻲ ،ﻓ ـ ــﺈذا ﻻﺣظﻧ ـ ــﺎ أن LC 0 limﻓــذﻟك ﯾﻌﻧــﻲ أن ) f(xﻣﺗﺻــﻠﺔ ،ﻏﯾــر ذﻟــك ﻧﻘــول أﻧﻬــﺎ داﻟــﺔ ﺗوزﯾــﻊ اﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺗﻘطــﻊ. c 2c ﻓﻔﻲ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻧﺟد أن : 2
1
2
1
Lc 1 1 2 x c 2 z e dz e 2c 2 2c c وﻋﻠﻰ ذﻟك : 2
1
2
1
c z Lc 1 2 x 1 lim e . lim ( ). lim e 2 dz 0. c 2c c c c c 4 13
وﻫذا ﯾﻌﻧﻲ أن اﻟداﻟﺔ ﻣﺳﺗﻣرة ﻋﻧد أﯾﺔ ﻗﯾﻣﺔ xﻣﻌرﻓﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ). (, أي أن اﻟداﻟﺔ ﺗﻣﺛل داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻣﻌﯾﺎري . ﻣﺛﺎل )(١١
اﺋﯾﺎ ﯾﺄﺧذ اﻟﻘﯾم x k kﺑﺎﺣﺗﻣﺎﻻت p kﺣﯾث k 1, 2,... n إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷو ً
أوﺟد :
)ب( p kﺑدﻻﻟﺔ اﻟداﻟﺔ )X (t
)أ( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر . X
.
اﻟﺣــل: n
)أ (
px.
itk
X (t) E(eitx )
e
k n
ﻋــﺎدة ﺗﺳــﻣﻰ اﻟﻣﻌﺎدﻟــﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ ﻣﺳﻠﺳــﻠﺔ ﻓــورﯾر ﻟـ ـ )) X (tﻗــد ﺗﻛــون nﻏﯾــر ﻣﻧﺗﻬﯾــﺔ ( ،و p k ﺗﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣﻼت ﻓورﯾر. وأﺧـ ــذ اﻟﺗﻛﺎﻣ ــل ﺑﺎﻟﻧﺳـ ــﺑﺔ إﻟ ــﻰ tﻣـ ــن 2 0
)ب( ﺑﺿ ــرب طرﻓـــﻲ اﻟﻣﻌﺎدﻟ ــﺔ اﻟﺳـــﺎﺑﻘﺔ ﻓ ــﻲ e ijt ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ :
2
dt 2p k
i(k j)t
n
p e k
0
2
x (t)dt
ijt
k n
e 0
ﻋﻧدﻣﺎ k jﻓﺈن : 2
ei(k j)t dt 0 i(k j) 0
2 i(k j)t
e 0
وذﻟك ﻷن : 2
e i ( k j) t e i ( k j)( 2 ) e i ( k j)0 i(k j) 0 )i(k j )(e i ( k j)( 2 ) 1 )i(k j ﺣﯾث:
ei(k j)(2 ) C os (k j)(2) iSin (k j)(2) 1 ﻋﻧدﻣﺎ k jﻓﺈن : 14
2
e
i( k j) t
dt 2
0
: وﻋﻠﻰ ذﻟك 2
2
e
ijt
0
x (t)dt p k dt 0
2p k 2
1 pj e itjx (t)dt. 2 0 : ﻓﺈنk ﺑﺎﻟﺣرفj او اﺳﺗﺑدال 2
1 pk e itk x (t)dt. 2 0
(١٢ ) ﻣﺛﺎل ؟Cos(t) أوﺟد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل إذا ﻛﺎﻧت اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻫﻲ :اﻟﺣــل : ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲf(x) ﻓﺈنCos(it) إذا ﻛﺎﻧت اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻫﻲ 2
1 pk e itk C os(it) dt 2 0 1 2
2
1 4
2
e 0
e 0
itk
eit e it dt 2 2
i(1 k )t
1 dt e i(1 k )t dt 4 0
. p1
. p 1 15
1 ﻓﺈنk=1 ﻋﻧدﻣﺎ 2
1 ﻓﺈنk=-1 وﻋﻧدﻣﺎ 2
ﻟﻜﻞ اﻟﻘﯿﻢ اﻻﺧﺮى ﻣﻦ kﻓﺈن p k 0
أي أن :
x 1 x 1
1 2 f (x) 1 2
16