اﻟﻘوة وﺗﻘدﯾر ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﺎدة ،ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻧﻣوذج ﺛﺎﺑت )ﻧﻣوذج (Iﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻘوم اﻟﺑﺎﺣث ﺑﺈﺟراء اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻓﺈﻧﮫ ﻻ ﯾﻌرف ﻣدى ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻰ ﯾﺧﺗﺎرھﺎ .ﻋﻧد اﻟﺗﺧطﯾط ﻟﺗﺻﻣﯾم ﺗﺎم ﻟﻠﺗﻌﯾﺷﺔ ﻟﻌﺎﻣل واﺣد ﺣﯾث ﺣﺟوم اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ، n ،ﯾﻛون اﻟﮭدف اﻷﺳﺎﺳﻲ ﻟﻠﻘﺎﺋم ﻋﻠﻲ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ھو اﺧﺗﺑﺎر ﺗﺳﺎوى ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت اى اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم: H 0 : 1 2 ... k 0, ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل H1 : ﻋﻠﻲ اﻻﻗل واﺣد ﻣن iﻻﯾﺳﺎوى ﺻﻔر ﻣرة اﺧرى اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻌﺎﻣل واﺣد ﺗﻌطﻲ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺗﯾن اﻵﺗﯾﺗﯾن: n i2 SSTr 2 E MSTr E 2 n 2 , k 1 k 1
SSE 2 . E MSE E k (n 1) وﻋﻠﻲ ذﻟك:
i2 )( k 1
2 n
2
EMSTr )E(MSE
)n ( i2 ) /(k 1 1 2 1 . k 1 ﺣﯾث .
n 2i 2
)اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ iﯾﻔﺗ رض اﻧﮭ ﺎ ﺛﺎﺑﺗ ﺔ ﺣﯾ ث .( i 0ﺗﺳ ﻣﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ﺑﻣﻌﻠﻣ ﺔ ﻋ دم اﻟﻣرﻛزﯾ ﺔ . parameter noncentralityﺗﺣ ت ﻓ رض اﻟﻌ دم أن 1 2 ... k 0ﻓ ﺈن MSTr ، F ھو ﺗوزﯾﻊ Fاﻟﻣرﻛزي F [(k-1 , 0وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻺﺣﺻﺎء ، F MSE ]) . k(n-1ﻋﻧ دﻣﺎ 0ﻓ ﺈن اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻌﯾﻧ ﻰ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء Fﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾ ﻊ Fاﻟﻐﯾ ر ﻣرﻛ زى ]) F[( k 1), k ( n 1); واﻟ ذى ﯾﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ . ﻋﻧ دﻣﺎ f 2ﺗﻣﺛ ل درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ﻟﻠﻣﻘ ﺎم وذﻟك ﻟﻺﺣﺻﺎء ، Fﻓﺈن:
f2 . f2 2
F) اﻟﻣرﻛزﯾﺔ( E ١
ﻟﻺﺣﺻﺎء اﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى ﻓﺈن
f 2 (f1 1) 2 1 , f 2 2 f1
F ) اﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى( E
ﺣﯾث:
. k
n 2i k2
ﻋﻧدﻣﺎ 0ﻓﺈن: F).اﻟﻐﯾر ﻣرﻛزﯾﺔ( F ) = Eاﻟﻣرﻛزﯾﺔ( E ﻋﻧدﻣﺎ 0 ) Fاﻟﻐﯾر ﻣرﻛزﯾﺔ ( F ) < Eاﻟﻣرﻛزي( E ﻟﺣﺳﺎب ﻗوة اﺧﺗﺑﺎر Fﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل واﻟذي ﯾﺣدد ﺑﻘﯾﻣ ﺔ ﻓﮭﻧ ﺎك ﺟ داول ﻟﺗوزﯾ ﻊ Fاﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ﻋدم اﻟﻣرﻛزﯾ ﺔ . ﻣﺛ ل ھ ذه اﻟﺟ داول ﻣﺗ وﻓرة ﻟﻌ دد ﻣﺣ دود ﻣ ن ﻗ ﯾم ]) .[Tiku (1967ﺗوزﯾ ﻊ Fاﻟﻐﯾ ر ﻣرﻛ زى ﯾﻌﺗﺑ ر ﺣﺎﻟ ﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ ﻣ ن ﺗوزﯾ ﻊ Fاﻟﻣرﻛ زى ﻋﻧ دﻣﺎ . 0ﻣﻌظم اﻟﺟداول ﻟﺗوزﯾﻊ Fاﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ داﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ وﻟ ﯾس ﺣﯾ ث اﻟداﻟﺔ ﻓﻲ ﺗﺄﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
. k
n i2 k 2
ﺳ وف ﻧرﻣ ز ﻟﺗوزﯾ ﻊ Fاﻟﻐﯾ ر ﻣرﻛ زى ﺑ ﺎﻟرﻣز ] F[( k 1), ( k( n 1); اى ﺗوزﯾ ﻊ Fاﻟﻐﯾ ر ﻣرﻛ زى ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ) k-1 , k (n-1وﻣﻌﻠﻣ ﺔ . ﺟ دول Fاﻟﻐﯾ ر ﻣرﻛزﯾ ﺔ ﻣﻌط ﻰ ﻓ ﻰ اﻟﺟ دول ﻓ ﻲ اﻟﻣﻠﺣ ق ) (١٣ﺣﯾ ث ﺗﻌط ﻰ ﻗﯾﻣ ﺔ . اﻟﻘ وة ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ( 0.05) Fﺑﺎﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل اﻟﻣﺣدد ﺑﻘﯾﻣﺔ 1.00ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ .اﯾﺿﺎ اﺣﺗﻣﺎل اﻟوﻗوع ﻓ ﻲ ﺧط ﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ اﻟﻣوﺿﺢ ﺑﺎﻟﻣﻧطﻘﺔ . ﻗوة اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻋددﯾﺎ ﺗﺳﺎوى .1
ﺑﻣﺎ أن ﺗﻌﺗﻣد ﺟزﺋﯾ ﺎ ً ﻋﻠ ﻰ nﻓ ﺈن ﻗ وة اﺧﺗﺑ ﺎر Fاﯾﺿ ﺎ ﺗﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ . nﺑﺟﻌ ل nﻛﺑﯾ رة ﺑدرﺟ ﺔ ﻛﺎﻓﯾ ﺔ ﻓ ﺈن ﻗ وة اﺧﺗﺑ ﺎر Fﯾﻣﻛ ن ﺟﻌﻠﮭ ﺎ ﻛﺑﯾ رة ﺑدرﺟ ﺔ ﻣﻧﺎﺳ ﺑﺔ ﻻي ﻗﯾﻣ ﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ ﻏﯾ ر ﺻ ﻔرﯾﺔ ﻣ ن 2i / 2اي أﻧ ﮫ ﻟﻘﯾﻣ ﺔ ﺛﺎﺑﺗ ﮫ ﻣ ن 2i / 2وﻛﻠﻣ ﺎ ﻛﺑ رت nﻓ ﺈن ﺗﻛﺑ ر ﻓ ﻲ اﻟﻣﻘﺎﺑ ل. ٢
ﻟﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﺛﺎﺑ ت ﻓﺈﻧ ﮫ ﻛﻠﻣ ﺎ ﻛﺑ رت ﻓﺈﻧ ﮫ ﺗﻘ ل وﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ﺗزﯾ د ﻗ وة اﺧﺗﺑ ﺎر .Fﺑﻣﺟ رد ﺗﺣدﯾد ﻛ ل ﻣ ن 2i / 2و kﻓ ﺈن ﻗ وة اﺧﺗﺑ ﺎر Fﺗﺻ ﺑﺢ داﻟ ﺔ ﻓﻘ ط ﻓ ﻲ . nﯾﻣﻛ ن ﺗﺣدﯾ د ﻗﯾﻣ ﺔ i2 , 2ﻣن ﺗﺟﺎرب ﺳﺎﺑﻘﺔ .ﻟﺗﺳﮭﯾل ﻓﮭم ﻗوة اﺧﺗﺑﺎر Fوﺑﻔرض أن:
10.24 1.60. k 4
10.24 ,
n 5,
k 4,
وﺑﻔﺮض أﻧﮫ ﻓﻲ ﺗﺤﻠﯿﻞ اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻛﺎﻧﺖ درﺟﺎت اﻟﺤﺮﯾﺔ ﻟﻤﺠﻤﻮع اﻟﻤﺮﺑﻌﺎت ﻟﻠﻤﻌﺎﻟﺠﺎت ، SSTr ،ھﻮ f1 n 1 3ودرﺟﺎت اﻟﺤﺮﯾﺔ ﻟﻤﺠﻤﻮع اﻟﻤﺮﺑﻌﺎت ﻟﻠﺨﻄﺄ ، SSE ،ھﻮ
f 2 k (n 1) 16ﻓ ﺈن ﺗوزﯾ ﻊ اﻹﺣﺻ ﺎء ، Fﻋﻧ دﻣﺎ H 0 : i 0ﻟﺟﻣﯾ ﻊ ﻗ ﯾم ، iھ و ) . F(f1 , f 2 ) F(3,16اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺣرﺟ ﺔ ﻟﮭ ذا اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ) ( 0.05ھ ﻲ F0.05 [3, 16] 3.24وﺳوف ﻧرﻓض H 0ﻋﻧدﻣﺎ ﺗزﯾد ﻗﯾﻣﺔ Fاﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﻋ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺣرﺟ ﺔ. ﺗوزﯾﻊ Fاﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى ھ و ] . F[3, 16; 1.60اﺣﺗﻣ ﺎل اﻟوﻗ وع ﻓ ﻲ ﺧط ﺄ ﻣ ن اﻟﻧ وع اﻟﺛ ﺎﻧﻰ ھ و . واﻟ ذى ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾ ﮫ ﻣ ن ﺟ داول Fاﻟﻐﯾ ر ﻣرﻛزﯾ ﺔ واﻟﻣﻌط ﺎه ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول ﻓ ﻲ اﻟﻣﻠﺣق ) .(١٣ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ :
| 1.60 ) 0.34 .ﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻰ( . Pاﻟﻘوة ﻟﻺﺧﺗﺑﺎر ﻟﮭذا اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻌددي ھﻲ:
) 1 0.66ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ Power ( 1.6 و f 16 F) 2 اﻟﻣرﻛزي( E 1.14, f 2 2 14
f 2 (f1 1)2 F) اﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى( E 1 f 2 2 f1 = 5.05 . ﻟﻣﺛ ﺎل ﻋ ددي ﺑﻔ رض أن k = 2وأن اﺧﺗﺑ ﺎر Fاﺟ رى ﻋﻧ د 0.05وﻣ ن ﺟ داول F اﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن ﺗﻘدﯾر اﻟﻘوة ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر وذﻟك ﺑﺗﻘدﯾر ﺗواﻓﯾ ق ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻣ ن و nووﺿ ﻌﮭﺎ ﻓﻲ ﺟدول ﻛﺎﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ .وھذا اﻟﺟدول ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾ ﮫ ﻣ ن ﺟ دول Fاﻟﻐﯾ ر ﻣرﻛزى ﻓﻲ اﻟﻣﻠﺣق ).(١٣
٣
n 25
n 20
n 15
n 10
n5
)F(1,48; 0.05 0.11 0.29 0.38 0.49 0.60 0.70 0.79 0.86 0.95 0.999
)F(1,38; 0.05 0.11 0.28 0.38 0.49 0.60 0.70 0.79 0.86 0.95 0.99
)F(1,28; 0.05 0.10 0.28 0.37 0.48 0.59 0.69 0.78 0.85 0.94 0.98
)F(1,18; 0.05 0.10 0.27 0.36 0.47 0.57 0.67 0.76 0.84 0.94 0.98
)F(1,8; 0.05 0.10 0.24 0.32 0.41 0.51 0.61 0.70 0.78 0.89 0.96
0.00 0. 5 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.60 3.00
2
ﺑﻔرض أن 1 2 3ﻓﺈن i 9 9 18
وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ 2اﻟﻣﻘدرة ﺗﺳﺎوى 20ﻓﺈن: 2
i 18 0.9 .
20
2
وﻋﻠﻲ ذﻟك:
n i2 .45n . k2 ﻟﮭذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣرﺗﺑطﺔ ﺑﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن nواﻟﻘوة اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﮭﺎ ﻣﻌط ﺎه ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗﺎﻟﻰ. 5 10 15 20 25 n: 1.50 2.12 2.60 3.25 3.35 : Power: 0.46 0.81 0.94 0.99 0.999 ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻛ ون اﻟﻘ وة 0.80واﻟﺗ ﻲ ﺗﻌﺗﺑ ر ﻣﻧﺎﺳ ﺑﺔ ﻟ ـ 2i 18ﻓ ﺈن وﺿ ﻊ n = 10ﯾﻌط ﻲ ھ ذة اﻟﻘ وة .ﻋﻧ د اﻟرﻏﺑ ﺔ ﻓ ﻲ ﻗ وة ﺗﺳ ﺎوى 0.90ﻟﻠﻔ رض اﻟﺑ دﯾل ﻓ ﺈن nﻻﺑ د أن ﺗﻛ ون ﺑ ﯾن 15 , 10 .ﻟﺗﺟﻧ ب اﺳ ﺗﺧدام ﻣﺛ ل ھ ذة اﻟﺟ داول ھﻧ ﺎك ﺧ راﺋط ﻛﺎﻟﻣﻌط ﺎه ﻓ ﻲ اﻟﻣﻠﺣ ق ) (١٤ﻣﺟﮭ زة ﻟﮭ ذا اﻟﻐرض .ﻟﯾﻛن 2 i . k 2
'
ﻟﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ k = 2و i2 18و 2 20ﻓﺈن . ' 0.67 ﻣ ن اﻟﺧ راﺋط ﻓ ﻲ اﻟﻣﻠﺣ ق ) ' 0.67 , 0.05 , (k 2) (١٤وﻻﯾﺟ ﺎد nﻟﻠﻘ وة P 0.9ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺗﺣرك ﻋﻠﻲ اﻟﻣﺣ ور اﻻﻓﻘ ﻰ ﺣﺗ ﻰ ﻧﺻ ل اﻟ ﻰ اﻟﻧﻘط ﺔ ' 0.67ﺛ م ﻧﺗﺣ رك اﻟ ﻰ أﻋﻠﻲ ﺣﺗﻰ ﻧﺻل اﻟﻰ ﺗﻘ ﺎطﻊ اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟﻣﻘﺎﺑ ل ﻟﻠﻘ وة . P 0.9اﻟﻧﻘط ﺔ ﻟﻠﺗﻘ ﺎطﻊ ﺗﻘﺎﺑ ل ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ = n ٤
13ﻋﻠ ﻲ اﻟﻣﺣ ور اﻟرأﺳ ﻰ ﻋﻠ ﻲ اﻟﯾﺳ ﺎر واﻟﺧ ﺎص ﺑ ـ .nﺑﻔ رض أن ﺷ ﺧص ﯾرﯾ د اﺳ ﺗﺧدام ﻧﻔ س اﻟﺧرﯾطﺔ ﻋﻧد 0.01واﻟﻘوة P 0.9ﻓﺈن n = 18ﺗﻘرﯾﺑﺎ. اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ ﻟﻠﻣﺋﯾﻧﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ Fاﻟﻐﯾر ﻣرﻛزي: ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻲ ﻗﯾم ﺗﻘرﯾﺑﯾﮫ ﻟﻧﻘﺎط اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ Fاﻟﻐﯾ ر ﻣرﻛ زى ﻣ ن ﺟ داول ﺗوزﯾ ﻊ Fاﻟﻌﺎدﯾ ﺔ )اﻟﻣرﻛزﯾ ﺔ( .ھ ذا اﻟﺗﻘرﯾ ب وﺿ ﻊ ﻣ ن ﻗﺑــ ـل ) . Patnaik (1949ﯾوﺿ ﺢ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﺗوزﯾ ﻊ Fاﻟﻐﯾ ر ﻣرﻛ زى ﺑﻣﻌﻠﻣ ﺔ . f 1 , f 2 , اﻟﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ ﻰ اﻟﯾﻣ ﯾن ﻣ ن اﻟﻧﻘط ﺔ ' F0ھ ﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎل: P (F F0' ),
اي اﺣﺗﻣ ﺎل اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻲ ﻗﯾﻣ ﺔ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء Fأﻛﺑ ر ﻣ ن ' . F0ھ ذا اﻻﺣﺗﻣ ﺎل ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ﯾﺣﺳ ب ﻣ ن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
F0' P F , k وذﻟك ﻣن ﺗوزﯾﻊ Fاﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺳ ﺎﺑق ﻓ ﻰ اﻟﻧﺻ ف اﻷﺳ ﻔل .ﻋﻣوﻣ ﺎ f1 ،ﺳ وف ﺗﻛ ون ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺣﺔ .ﻟﺗﺳﮭﯾل ﻛﯾﻔﯾﺔ اﺳﺗﺧدام ھذا اﻟﺗﻘرﯾب ،وﺑﻔرض أن P ( F 6.55 ), ﻣن ﺗوزﯾﻊ ) . F (3,10;4ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ: ٥
(3 4 ) 2 34 4.45 , k 2.33, 38 3 2.81.
'f1 F0
k
وﻋﻠﻲ ذﻟك : P ( F > 6.55) = P(F > 2.81) .
ﺣﯾث Fﻟﮭﺎ ﺗوزﯾﻊ Fاﻟﻣرﻛزي ). F(4.45,10اﻧظر اﻟﺷﻛل اﻟﺳﺎﺑق .وﻣن ﺟ داول Fاﻟﻣرﻛ زي ﻓ ﺈن : P ( F >2.81) 0.081. ﻣن ﺟداول Fاﻟﻐﯾر ﻣرﻛزﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﻘﯾﻣﺔ ﺑﺎﻟﺿﺑط ﺗﺳﺎوي .0.082
ﯾﻣﻛن اﻟرﺟوع اﻟﻰ اﻟﺟداول واﻟﺧراﺋط ﻣن ﻛﺗﺎب Winner,B.J. et al.(1991) Statistical Experimental Design,Third edition,Mc Graw-Hill inc ,New York
٦