الانحدار من الدرجة الثانية quadratic regression

‫اﻻﻧﺣدار ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬

‫‪Quadratic Regression‬‬

‫ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﺗﻛون اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﻣﻧﺣﻧﻰ ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل‬ ‫اﻟﻣﺛﺎل ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟم اﻟﻧﻣوذج ‪:‬‬ ‫‪Y|x  0  1x  2 x 2‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ﻧرﻏب ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟم اﻟﻧﻣوذج اﻧﺣدار ﺧطﻰ ﻣﺗﻌدد ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪Y|x  b0  b1x1  b2 x 2‬‬ ‫وذﻟك ﺑوﺿﻊ ‪ x2 = x2 , x1 = x‬ﻓﻲ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻷزواج اﻟﻘﯾﺎﺳﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ أوﺟد اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ﻟﻧﻣوذج اﻧﺣدار ﻣن اﻟدرﺟﺔ‬ ‫اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10.20 15.35 20.50 25.95 32.20 38.50 46.00 53.80 62.00‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5.0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪n  10 , x i  55 , yi  309.5 ,‬‬

‫‪x i yi  2218.1 , x i2  385,‬‬ ‫‪x i2 yi  17708.2 , x 3i  3025 , y  30.95,‬‬ ‫‪x i4  25333 , yi2  12831.845 ,‬‬ ‫ﺗﺳﺗﺧدم اﻟﻘﯾم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪10 b0 + 55 b1 + 385 b2 = 309.5‬‬ ‫‪55 b0 + 385 b1 + 3025 b2 = 2218.1‬‬ ‫‪385 b0 + 3025 b1 + 25333 b2 = 17708.2‬‬ ‫ﺑﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ آﻧﯾﺎ ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد ‪. b0, b1 , b2‬‬ ‫اﻟﺣل ﻟﮭذه اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻻت ھو ‪ b0 = 1.48083‬و ‪ b1 = 3.792313‬و ‪b2 = 0.223674‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪yˆ x  1.48083  3.792313x  0.223674x 2 .‬‬ ‫واﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻲ ﻟﮭﺎ ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪١‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾــﺔ‬ ‫‪Second – Degree Correlation Coefficient‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ‪ ،‬ﺑﻣﻌﻧﻲ أن ﺧط‬ ‫اﻻﻧﺣدار ﯾﻛون ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﻣﻧﺣﻧﻲ ) أي ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﯾم ( ‪ ،‬ﯾﻘﺎل ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ أن اﻻرﺗﺑﺎط ﻏﯾر‬ ‫ﻣﺳﺗﻘﯾم وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻻ ﯾﺻﻠﺢ ﻗﯾﺎس اﻻرﺗﺑﺎط ﺑﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺧطﻲ اﻟﺑﺳﯾط ‪ r‬وذﻟك ﻟﻌدم‬ ‫اﺳﺗﻘﺎﻣﺔ اﻻرﺗﺑﺎط ﺑل ﯾﺳﺗﺧدم اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪b0yi  b1x i yi  b 2x i2 yi  ny 2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪yi2  ny 2‬‬

‫‪1.4808(309.5)  3.7923(2218.1)  0.22367(17708.2)  10(30.95)2‬‬ ‫‪12831.845  10(30.95)2‬‬

‫‪0.9997‬‬

‫‪3251.7763‬‬ ‫‪3252.82‬‬

‫‪‬‬

‫‪= 0.99984.‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬