١
اﻻﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻼﻣﻌﻠﻣﯾﺔ ﺣول اﻻرﺗﺑﺎط ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻷﺣﯾﺎن ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ وﻧﻛون ﻣﮭﺗﻣﯾن ﺑﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ذﻟك اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وﯾﻛون اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﻣﻌرﻓﺔ ھل ھﻧﺎك ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ أم ﻻ ،وإن وﺟدت ﻣﺎ ﻧوﻋﮭﺎ ،وإذا أردﻧﺎ اﺧﺗﺑﺎر ﺑﻌض اﻟﻔروض اﻟﺗﻲ ﺗدور ﺣول اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن وﻛﺎﻧت وﺣدة اﻟﻘﯾﺎس ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ﺑﻔﺗرة ﻋﻠﻰ اﻷﻗل و ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﻣﺳﺣوب ﻣﻧﮫ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل ارﺗﺑﺎط ﺑﯾرﺳون ﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔروض اﻟﺗﻲ ﺗدور ﺣول ﻣﻌﺎﻣل اﻷرﺗﺑﺎط ،وﻟﻛن إذا ﻟم ﺗﺳﺗوﻓﻰ ھذه اﻟﺷروط ﻓﻼ ﯾﻣﻛن إﺟراء ھذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ،ﻟﻌﻼج ھذه اﻟﻣﺷﻛﻠﺔ ﻧﺟري اﺧﺗﺑﺎرات ﻻﻣﻌﻠﻣﯾﺔ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟرﺗب ﻣﺛل اﺧﺗﺑﺎر ﺳﺑﯾرﻣﺎن أو ﻛﻧدال وﺑذﻟك ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ذات وﺣدة ﻗﯾﺎس أﻗل ﻣن ﻓﺗرة،ﻛﺄن ﺗﻛون ﺗرﺗﯾﺑﯾﺔ أو أﺳﻣﯾﺔ ،وﻣﻊ أن ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ﻓﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎرﯾن ﺗﺗراوح ﺑﯾن1و -1ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻻ ﻧﺗوﻗﻊ ﻓﻲ ﺟﻣﯾﻊ اﻟﺣﺎﻻت ﺗﺳﺎوي ﻗﯾﻣﺗﯾﮭﻣﺎ ﻟﻧﻔس اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ،ﻻﺧﺗﻼف اﻻﺳﺎﻟﯾب اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﻓﻲ ﺣﺳﺎب ﻛل ﻣﻧﮭﻣﺎ.
)(١
ﻣﻌﺎﻣل ارﺗﺑﺎط ﺳﺑﯾرﻣﺎن ﻟﻠرﺗب The Spearman Rank Correlation Coefficient
ھﻧﺎك اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻔروض )ﻣﻌﻠﻣﯾ ﺔ( اﻟﺗ ﻲ ﺗﺧ ص ﻣﻌﺎﻣ ل ارﺗﺑ ﺎط اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺗﺣ ت ﻓ رض أن X , Yﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﺷواﺋﯾﯾن ﻟﮭﻣﺎ ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻲ ﺛﻧ ﺎﺋﻲ .ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ ﻋ دم ﺗﺣﻘ ق اﻟﺷ رط اﻟﺳ ﺎﺑق ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻣﻛﻧﻧ ﺎ اﺳ ﺗﺧدام ﻣﻌﺎﻣ ل ﺳ ﺑﯾرﻣﺎن ﻛﺈﺣﺻ ﺎء ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻋ دم وﺟ ود ﻋﻼﻗ ﺔ ) ارﺗﺑ ﺎط( ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن .X , Yأﯾﺿ ﺎ ﯾﻣﻛﻧﻧ ﺎ اﺳ ﺗﺧدام ﻣﻌﺎﻣ ل ﺳ ﺑﯾرﻣﺎن ﻛﻣﻘﯾ ﺎس وﺻ ﻔﻰ ﻟﻘ وة اﻻرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن X , Yﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻏﯾر ﻣﺗوﻓرة ﻓﻲ ﺷﻛل ﺑﯾﺎﻧ ﺎت رﻗﻣﯾ ﺔ وﻟﻛ ن ﯾﻣﻛ ن ﺗﻌﯾﯾن رﺗب ﻟﮭﺎ .ﻹﺟراء اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ : ﺗﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م nﻣ ن أزواج اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟرﻗﻣﯾ ﺔ أو اﻟوﺻ ﻔﯾﺔ .ﻛ ل )أ( زوج ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﯾﻣﺛل ﻗراءﺗﯾن ﻣﺄﺧوذﺗﯾن ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻣﻔردة واﻟﻣﺳﻣﺎة وﺣدة اﻻﻗﺗ ران . unit of associationأﯾﺿ ﺎ ﻗ د ﺗﻣﺛ ل اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻣﺷ ﺎھدات ﻣ ﺄﺧوذة ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺛﻧﺎﺋﻲ .ﺳوف ﻧرﻣز ﻷزواج اﻟﻣﺷﺎھدات ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ) . (x1, y1 ),(x 2 , y 2 ),...,(x n , y n )ب( ﻧرﺗب ﻗﯾم اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻟﺗﺎﺑﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر Xﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ )أو ﺗﻧﺎزﻟﯾ ﺎ( وﺗﻌط ﻲ رﺗﺑ ﺔ ﻟﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺷﺎھدة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻛل ﻗﯾم اﻟﻣﺷﺎھدات اﻷﺧرى .ﺳ وف ﻧرﻣ ز ﻟرﺗﺑ ﺔ اﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م ، x i ، iﺑﺎﻟرﻣز ) . r(x iﻋﻧدﻣﺎ r(x i ) 1ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن x iﺗﻣﺛل أﻗل ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺷ ﺎھدة ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر Xﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ . )ج( ﻧرﺗب ﻗﯾم اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ واﻟﺗﺎﺑﻌ ﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر Yﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ ً )أو ﺗﻧﺎزﻟﯾ ﺎ ً( وﺗﻌط ﻰ رﺗﺑ ﺔ ﻟﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺷﺎھدة ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻛل ﻗﯾم اﻟﻣﺷﺎھدات اﻷﺧرى .ﺳوف ﻧرﻣ ز ﻟرﺗﺑ ﺔ اﻟﻣﺷ ﺎھدة رﻗ م ، y i ، jﺑﺎﻟرﻣز ) . r(yiﻋﻧدﻣﺎ r(yi ) 1ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن y iﺗﻣﺛل أﻗل ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺷ ﺎھدة ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر Yﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ . )ح( ﻋﻧد ﺣدوث ﺗداﺧﻼت ﻧﻌطﻰ ﻣﺗوﺳط اﻟرﺗب اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑدﻻ ً ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ ﻛﺎﻟﻣﻌﺗﺎد . )خ( إذا ﻛﺎﻧت اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﺻﻔﯾﺔ ﺑﺈﻣﻛﺎﻧﻧﺎ ﺗﺣوﯾﻠﮭﺎ إﻟﻲ رﺗب . ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء اﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﯾﮫ ﻗرارﻧ ﺎ ھ و ﻣﻌﺎﻣ ل ارﺗﺑ ﺎط ﺳ ﺑﯾرﻣﺎن واﻟ ذي ﯾﺣﺳ ب ﻣ ن اﻟﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 6d i2 rs 1 , )n(n 2 1 ١
٢
ﺣﯾث: d i2
2
r(x i) r(yi ) . ﻟﻛل زوج ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات وﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻛ ون رﺗﺑ ﺔ xﻧﻔ س رﺗﺑ ﺔ ) yارﺗﺑ ﺎط ﺗ ﺎم ط ردي ( ،ﻓ ﺈن ﻛ ل اﻟﻔروق d iﺳوف ﺗﺳﺎوى ﺻﻔر وﻋﻠﻰ ذﻟك . rs 1إذا ﻛﺎﻧ ت رﺗﺑ ﺔ ﻛ ل ﻣﺗﻐﯾ ر داﺧ ل ﻛ ل زوج ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﻋﻛس اﻵﺧر ) ارﺗﺑﺎط ﺗﺎم ﻋﻛﺳﻲ ( ،أي إذا ﻛﺎن : [r(x) 1,r(y) n],[r(x) 2, r(y) n 1],...,[r(x) n, r(y) 1]. وذﻟ ك ﻷزواج اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ nﻓ ﺈن . rs 1ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل إذا ﻛ ﺎن ﻟ دﯾﻧﺎ أزواج اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ﻓﺈن اﻟرﺗب ﺗﺻﺑﺢ :
1
2
3
r(x i ) : 4
4
3
2
r(yi ) :1
وﻋﻠﻰ ذﻟك d i2ﺳوف ) (x i , yi ) : (12,5),(11,6),(10,7),(9,8ﺗﻛون : (3)2 (1)2 (1) 2 (3)2 20,
وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺳﺑﯾرﻣﺎن ﻓﺈن : rs 1 [(6)(20) /(4)(15) 1 2 1. ﻣﻌﺎﻣ ل ارﺗﺑ ﺎط ﺳ ﺑﯾرﻣﺎن ﻻ ﯾﻣﻛ ن أن ﯾزﯾ د ﻋ ن +1وﻻ ﯾﻣﻛ ن أن ﯾﻘ ل ﻋ ن . –1ﻓ رض اﻟﻌ دم واﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﺳوف ﯾﻛوﻧﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : : H 0اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . : H1ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه أو اﻻﺗﺟﺎه اﻟﻣﻌﺎﻛس . ﺑﻔرض أن H 0ﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈن rsﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء R sاﻟذي ﻟﮫ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ .اﻟﻘﯾم اﻟﺣرﺟﺔ rs,* ﻟﻺﺣﺻﺎء R sﺗﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول ) . (١ﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣن اﻟﺣﺟم 4وﺣﺗﻰ اﻟﺣﺟم 30ﻋن ﻣﺳﺗوﯾﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ .ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض R s rs, / 2أو
. R s rs, / 2إذا وﻗﻌت rs
ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض . H 0ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل : H1
ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض R s rs, وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل : H1ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ اﺗﺟﺎه ﻣﻌﺎﻛس ﻓﺈن ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض R s rs,وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . اﻟﻘرارات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﺳﺗﺧدم ﻋﻧدﻣﺎ ﻻ ﯾﻛون ھﻧﺎك ﺗداﺧل أو أن ﯾﻛون ﻋ ددھﺎ ﺻ ﻐﯾرا ً .ﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻛون ھﻧﺎك ﺗداﺧل و إذا ﻛﺎن ﻋددھﺎ ﻛﺑﯾ را ً ) اﻟﻌ دد اﻟﺻ ﻐﯾر ﻟﻠﺗ داﺧﻼت ﻻ ﯾ ؤﺛر ﻋﻠ ﻰ ( rsﻓﯾﺟ ب إﺟراء ﺗﺻﺣﯾﺢ ﻋﻠﻰ rsوﻧﺣﺗﺎج ﺟداول ﺧﺎﺻﺔ ﻹﺟ راء اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﺳ وف ﻻ ﻧﺗﻌ رض ﻟﮭ ﺎ .ﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻛون ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻛﺑﯾرا ً ) أﻛﺑر ﻣن (30ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻻ ﻧﺳﺗطﯾﻊ اﺳﺗﺧدام اﻟﺟداول وﻟﻛن ﺗم إﺛﺑﺎت أن : z rs / n 1.
٢
٣
ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ Zواﻟ ذي ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ً ﯾﺗﺑ ﻊ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳ ﻲ وذﻟ ك ﺑ ﺎﻓﺗراض أن H 0 ﺻﺣﯾﺢ .
ﻣﺛﺎل ﻟدراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﮭﯾﻣوﺟﻠ وﺑﯾن ) Xﻣﻘﺎﺳ ﺎ ً ( mg/100 mlوﻋ دد ﻛ رات اﻟ دم اﻟﺣﻣ راء Yﺑﺎﻟﻣﻠﯾون ﻟﻛل ﻣﻠﻠﯾﻣﺗر ﻣﻛﻌب ،اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن 12ذﻛ ر ﺑ ﺎﻟﻎ ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣ ﺎ وﺗم ﻗﯾﺎس ﺗرﻛﯾزات اﻟﮭﯾﻣوﺟﻠوﺑﯾن وﻋ دد ﻛ رات اﻟ دم اﻟﺣﻣ راء ﻟﻛ ل ﻣﻔ ردة واﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻣﻌط ﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ : d d2 اﻟﺷﺧص اﻟﮭﯾﻣوﺟﻠوﺑﯾن ﻛرات اﻟدم اﻟﺣﻣراء x رﺗب x y رﺗب y 1 15.2 7.5 5.1 9 -1.5 2.25 2 16.4 12 5.4 11 1 1 3 14.2 2 4.5 4 -2 4 4 13.0 1 4.2 1 0 0 5 14.5 3 4.3 2.5 0.5 0.25 6 16.1 11 6.1 12 -1 1 7 15.2 7.5 5.2 10 -2.5 6.25 8 14.8 5 4.3 2.5 2.5 6.25 9 15.7 10 4.7 6 4 16 10 14.9 6 4.8 7.5 -1.5 2.25 11 15.6 9 4.6 5 4 16 12 14.7 4 4.8 7.5 -3.5 12.25 اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم : H 0اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل : H1ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه أو اﻻﺗﺟﺎه اﻟﻣﻌﺎﻛس وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05
اﻟﺣــل: d i2 67.5وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن :
6d i2 rs 1 )n(n 2 1 )6(67.5 1 )12(144 1 1 0.2360139 0.763986.
rs 0.5804واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن اﻟﺟ دول ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ 0.025 2 ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض R s 0.5804أو . R s 0.5804وﺑﻣ ﺎ أن rs 0.763986ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض . H 0 n 12 ,
٣
٤
ﻣﺛﺎل ﯾﻌطﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗﻘدﯾرات 10طﻼب ﻓﻲ ﻛل ﻣن اﻹﺣﺻﺎء واﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت . ﺟﯾد
ﺟﯾد
ﻣﻣﺗﺎز
ﺟﯾد
ﻣﻣﺗﺎز
ﺟﯾد ﺟدا
ﺟﯾد
ﻣﻘﺑول
ﺟﯾد
ﺟﯾد ﺟدا
ﺟﯾد ﺟدا
ﺟﯾد ﺟدا
ﻣﻣﺗﺎز
ﻣﻘﺑول
ﺟﯾد ﺟدا
ﺟﯾد
ﺟﯾد ﺟدا ً
ﻣﻘﺑول
ﺟﯾد
ﺟﯾد
ﺗﻘدﯾرات اﻹﺣﺻﺎء ﺗﻘدﯾرات اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت
أﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌدم : H 0اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل : : H1ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه . وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05
اﻟﺣــل: ﻣن ﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ . ا ﻤﻮع
4
4
9.5
4
9.5
7.5
4
1
4
7.5
رﺗﺐx
7.5
7.5
10
1.5
7.5
4
7.5
1.5
4
4
رﺗﺐy
0
-3.5
-3.5
-0.5
2.5
2
3.5
-3.5
-0.5
0
3.5
72
12.25
12.25
0.25
6.25
4
12.25
12.25
0.25
0
12.25
di d i2
وﻋﻠﻰ ذﻟك : 2 i
6 d )n (n 2 1
rs 1
)6(72 )10(100 1 1 0.4363636 0.5636363. 1
* rs,0.05واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن اﻟﺟدول ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . n 10, 0.05ﻣﻧطﻘ ﺔ 0.5515 اﻟرﻓض . R s 0.5515وﺑﻣﺎ أن rs 0.5636363ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض . H 0
ﻣﺛﺎل ﻟدراﺳ ﺔ اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟﺗ دﺧﯾن Xو ﻣ دى اﻹﺻ ﺎﺑﺔ ﺑﻣ رض ﺳ رطﺎن اﻟرﺋ ﺔ Yاﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن 14ذﻛر ﺑﺎﻟﻎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ و اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول: d i2
di
رﺗﺐ y
رﺗﺐ x
yi
xi
d i2
di
رﺗﺐ y
رﺗﺐ x
yi
xi
12.25 1 1 25 1 16 9
-3.5 -1 -1 -5 1 4 -3
12 11 3 6 5 9 8
8.5 10 2 1 6 13 5
89.3 88 82.2 84.6 84.4 86.3 85.9
140.2 140.8 131.7 130.8 135.6 143.6 133.2
9 56.25 1 4 0 4 1
-3 7.5 -1 2 0 2 1
14 1 4 2 7 10 13
11 8.5 3 4 7 12 14
89.7 74.4 83.5 77.8 85.8 86.5 89.4
141 140.2 131.8 132.5 135.7 141.2 143.9
٤
٥
اﻟﺣــل: ﻛﯾﻔﯾﺔ اﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض اﻟﻌدﻣﻲ و اﻟﺑدﯾل اﻵﺗﯾﯾن : : H 0اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن . : H1ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه او اﻻﺗﺟﺎه اﻟﻣﻌﺎﻛﺳﻰ. وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05 وﺑذﻟك ﯾﻛون ، d i2 140.5وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل ﺳﺑﯾرﻣﺎن ﻛﺎﻵﺗﻲ : )6(140.5 0.69 )14(196 1
rs 1
وﻣ ن ﺟ دول ﻣﻌﺎﻣ ل ﺳ ﺑﯾرﻣﺎن ﻋﻧ د 0.025 s, 2 2 R s 0.5341وﺑﻣﺎ أن r5 0.69ﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم.
،ﻧﺟ د أن r* 0.5341 :ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض
ﻣﺛﺎل ﻓﻲ وﻛﺎﻟﺔ ﻟﺑﯾﻊ اﻟﺳﯾﺎرات أﺟرﯾت دراﺳﺔ ﻋﻠﻰ 15ﻣوظف ﻓﻲ ﻗﺳم اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت وذﻟك ﻟدراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن درﺟﺔ اﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﺗﻲ ﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ اﻟﻣوظف ﻋﻧد ﺗﻌﯾﻧﮫ وﻋدد اﻟﺳﯾﺎرات اﻟﻣﺑﺎﻋﺔ ﺧﻼل اﻟﺳﻧﺔ اﻷوﻟﻲ ﻣن اﻟﺗﻌﯾﯾن: L
K
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
اﻟﺪرﺟﺔ
82
86
96
98
93
89
85
71
87
70
88.5
72
xاﻟﺪرﺟﺔ
390
432
512
510
497
463
415
287
440
362
422
314
yﻋﺪد اﻟﺴﻴﺎرات
O
N
M
اﻟﺪرﺟﺔ
80
83
88
xاﻟﺪرﺟﺔ
385
374
453
yﻋﺪد اﻟﺴﻴﺎرات
أﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌدم : H 0اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل : H1ﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻓﻲ ﻧﻔس اﻻﺗﺟﺎه اﻟﻌﻛﺳﻲ وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05
اﻟﺣــل: ﺗﺣوﯾل اﻟدرﺟﺎت إﻟﻰ رﺗب: اﻟﺪرﺟﺔ X Y
I
H
G
F
E
D
C
B
A
15 14 1
13 13 0
12 12 0
7 7 0
2 1 1
9 10 -1
1 3 -2
11 8 3
3 2 1
1
0
0
0
1
1
4
9
1
d i2
O
N
M
L
K
J
4
6
10
5
8
14
اﻟﺪرﺟﺔ X
5
4
11
6
9
15
Y
-1
2
-1
-1
-1
-1
1
4
1
1
1
1
di d i2
٥
di
٦
وﻋﻠﻰ ذﻟك :
6d i2 2
rs 1
)n(n 1 )6(26 1 )15(225 1 1 0.046 0.954.
rs 0.5179واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن اﻟﺟ دول ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ 0.025 2 ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض R s 0.5179أو . R s 0.5179وﺑﻣ ﺎ أن rs 0.954ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض . H 0 n 15 ,
)(٢
ﻣﻌﺎﻣل ﻛﻧدال
إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن اﻟﻠذﯾن ﻧدرس اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ ھﻣﺎ xو yﻓﺈﻧﮫ ﻟﻌﯾﻧﮫ ﻣﺧﺗﺎرة ﯾﺻﺑﺢ ﻟدﯾﻧﺎ أزواج ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻧرﻣز ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ) . (x i , yi وﻧﻘول ﻋن اﻷزواج إﻧﮭﺎ ﻣﺗواﻓﻘﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﻔرق ﺑﯾن x iو x jﻟﮫ ﻧﻔس إﺷﺎرة اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن y iو y j
،أي أن x i x j yi y j :و x i x j yi y j وإذا ﻛﺎن اﻟﻔرق ﻟﯾس ﻟﮫ ﻧﻔس اﻹﺷﺎرة ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘول أن اﻷزواج ﻏﯾر ﻣﺗواﻓﻘ ﺔ ،وﯾﻌ رف ﻣﻌﺎﻣ ل ﻛﻧ دال ﺑﺄﻧﮫ اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗواﻓق ﻓﻲ أزواج اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻣطروﺣ ﺎ ﻣﻧ ﮫ اﺣﺗﻣ ﺎل ﻋ دم اﻟﺗواﻓ ق وﻧرﻣ ز ﻟ ﮫ ﺑ ﺎﻟرﻣز J ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وﺑﺎﻟرﻣز ˆ Jﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ. اﻟﺷروط: ﯾﺟب أن ﺗﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﮫ ﻣﻛوﻧﮫ ﻣن nزوج ﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن وﺿﻌﮭﺎ ﻓﻲ ﺻورة رﺗب. اﻟﻔروض: ﻟدﯾﻧﺎ ﺛﻼﺛﺔ أﻧواع ﻣن اﻟﻔروض وﻓﯾﮭﺎ ﻓرض اﻟﻌدم واﺣد وھ و x : H 0و yﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن) ( J=0وﯾﻛ ون اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل: A H1 : J 0, B H1 : J 0, C H1 : J 0. إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻷﺧﺗﺑﺎر: إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ھو ﻣﻌﺎﻣل ﻛﻧدال ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ˆ Jوﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ ﻛﺎﻵﺗﻲ: ﻧرﺗب أزواج اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ إﻟﻰ xﺗرﺗﯾﺑﺎ طﺑﯾﻌﯾﺎ )أي ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ (. ﻧﻘﺎرن ﻛل ﻗﯾﻣﮫ ﻣن ﻗ ﯾم yﺑ ﺎﻟﻘﯾم اﻟﺗ ﻲ ﺗﻠﯾﮭ ﺎ ،وإذا ﻛﺎﻧ ت اﻟﻘﯾﻣ ﺔ أﻗ ل ﻣ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﻠﯾﮭ ﺎ ﻧﻘ ول إن ﻗﯾم yﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب طﺑﯾﻌﻲ وإذا ﻛﺎﻧت أﻛﺑر ﻧﻘول أن ﻗﯾم yﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب طﺑﯾﻌﻲ ﻣﻌﻛوس. ﻧﺣﺳب ﻋدد أزواج yاﻟﺗﻲ ﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب طﺑﯾﻌﻲ وﻧﺳﻣﯾﮫ ،Pوﻋدد اﻷزواج اﻟﺗ ﻲ ﻟﮭ ﺎ ﺗرﺗﯾ ب طﺑﯾﻌ ﻲ ﻣﻌﻛوس.Q ٦
٧
P وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗواﻓق ھو )n(n 1 2 2 S P Q, Sﻛﺎﻵﺗﻲ: 2S .Jˆ ﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣل ﻛﻧدال ھو: )n(n 1 ﻗﺎﻋدة اﻟﺣﻛم: ﻧﺳﺗﺧرج اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ ﻹﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺧﺎص ﺑﮫ وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام nو ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر ﻣن طرف واﺣد و nو ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر ﻣن طرﻓﯾن وﻧرﻣز ﻟﻠﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ ﺑﺎﻟرﻣز *. J 2 وﻧﺗﺧذ اﻟﻘرار ﺣﺳب اﻟﻔرض ﻛﺎﻵﺗﻲ: ﻟﻠﻔ رض Aﻧ رﻓض ﻓ رض اﻟﻌ دم إذا ﻛﺎﻧ ت Jˆ 0و * ، Jˆ Jأو إذا ﻛﺎﻧ ت Jˆ 0و *ˆJ J وﻟﻠﻔ رض Bﻧ رﻓض ﻓ رض اﻟﻌ دم إذا ﻛﺎﻧ ت Jˆ 0و * ، Jˆ Jوﺑﺎﻟﻣﺛ ل ﻟﻠﻔ رض Cﻧ رﻓض ﻓ رض اﻟﻌدم إذا ﻛﺎﻧت Jˆ 0و *. Jˆ J ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود اﻟﺗداﺧﻼت: ﻧرﺗب ﻗﯾم yﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗداﺧﻠﺔ. ﻧﺣﺳب ﻋدد أزواج yاﻟﺗﻲ ﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب طﺑﯾﻌﻲ واﻟﺗﻲ ﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب طﺑﯾﻌﻲ ﻣﻌﻛوس ﺑﻐض اﻟﻧظر ﻋن اﻷزواج اﻟﻣﻧﺎظرة ﻟﻘﯾم xاﻟﻣﺗداﺧﻠﺔ. ﻧﻔرض أن t xھﻲ ﻋدد ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر xاﻟﺗﻲ ﺑﯾﻧﮭﺎ ﺗداﺧل ﻓﻲ اﻟرﺗب ،و t yھﻲ ﻋدد ﻗﯾم yاﻟﺗﻲ ﺑﯾﻧﮭﺎ ﺗداﺧل ﻓﻲ اﻟرﺗب ،وﯾﻛون ﺗﺻﺣﯾﺢ ˆ Jﻛﺎﻵﺗﻲ: واﺣﺗﻣﺎل ﻋدم اﻟﺗواﻓق ھو
,
ﺣﯾث أن:
S 0.5n(n 1) Tx 0.5n(n 1) Ty
) Tx 0.5 t x (t x 1و
Q )n(n 1
وﺑﺗﻌرﯾف
Jˆ
).Ty 0.5 t y (t y 1
ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻛﺑﯾرا) (n> 40ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻘرﯾب ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام :
)3Jˆ n(n 1 . )2(2n 5
٧
z
٨
ﻣﺛﺎل ﻧﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ واﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم واﻟﺑدﯾل اﻵﺗﯾﯾن ، H1 : J 0 H 0 : J 0 :ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ . 0.05 x y x y x Y
اﻟﺣــل:
113
1.3
85
0.1
86
0.60
110
0.6
100
0.9
107
0.2
97
0.6
94
0.2
102
1.6
107
0.5
104
1.6
104
0.5
113
1.7
104
1.6
104
0.9
109
1.6
98
0
89
0.5
98
2.2
115
1.6
109
0.8
106
1.5
109
0.2
109
0.8
94
0.3
101
0.8
112
0
96
0.4
96
1.0
113
1.8
ﺣﯾث أن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﯾوﺟد ﺑﮭﺎ ﺗداﺧﻼت ﻧﻘوم ﺑﺈﺟراء اﻟﺗرﺗﯾ ب ﻋﻠ ﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻲ، ﺛم ﻧﺣﺳب ﻋدد أزواج yاﻟﺗﻲ ﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب طﺑﯾﻌﻲ واﻟﺗﻲ ﻟﮭﺎ ﺗرﺗﯾب ﻣﻌﻛوس. yﺑﻌﺪ اﻟﱰﺗﻴﺐ xﺑﻌﺪ اﻟﱰﺗﻴﺐ ﻋﺪد أزواجyاﻟﱵ ﳍﺎ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻋﺪد أزواجyاﻟﱵ ﳍﺎ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻌﻜﻮس 19 4 27 21 8 5 21 19 18 9 8 16 15
8 24 0 2 15 16 2 2 1 7 11 0 1 ٨
86 112 85 94 107 109 94 96 89 104 107 86 97
0 0 0.1 0.2 0.2 0.2 0.3 0.4 0.5. 0.5 0.5 0.6 0.6
٩ 12 3 8 8 2 3 0 6 4 1 1 1 1 3 1 1 0 Q=144
4 10 4 4 9 6 10 1 4 2 2 2 2 0 0 0 0 P=250
110 101 109 109 100 104 96 113 106 102 104 104 109 115 113 113 98
0.6 0.8 0.8 0.8 0.9 0.9 1 1.3 1.5 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.7 1.8 2.2
وﻧﺟد أن:
)2(1) 3(2) 3(2) 3(2)t 3 (2) 2(1) 5(4 24, 2 )2(1) 2(1) 2(1) 4(3) 2(1) 4(3) 3(2 Ty 19, 2 S P Q 250 144 106, وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ھو: 106 Jˆ 0.26. 15(29) 24 15(29) 19 وﺑﻣﺎ أن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ أﻛﺑر ﻣن ) 0.218اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺟدوﻟﯾﺔ( ﻋﻧد n 30واﻟﻣﻌطﺎه ﻓﻰ اﻟﺟدول ) (٣ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض اﻟﻌدم ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى 0.1ﻻﺧﺗﺑﺎر ذى ذﯾﻠﯾن . Tx
) (٣ﻣﻌﺎﻣل ﻛﻧدال ﻟﻼﺗﻔﺎق ﻓﻲ ﻣﻌﺎﻣﻠﻲ ارﺗﺑﺎط ﺳﺑﯾرﻣﺎن و ﻛﻧدال ﯾﺗم دراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرﯾن و ﻟﻛن أﺣﯾﺎﻧﺎ و ﻓﻲ اﻟﺣﯾﺎة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﺗﻛون اﻟﺣﺎﺟﺔ ﻣﻠﺣﺔ ﻟﻠﺣدﯾث ﻋن اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن أﻛﺛر ﻣن ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣن ﺧﻼل رﺗب ﻛل ﻣﺗﻐﯾر ،وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﺟﻣوﻋﺎت اﻟرﺗب ﺑطرﯾﻘﺗﯾن : .١أﺣﯾﺎﻧﺎ ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﺎت ﺣﺟﻣﮭﺎ nوﻟﻛل ﻣﻔردة ﻣن ھذه اﻟﻣﻔردات ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ رﺗب ﺗﺻﺎﻋدﯾﺔ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر آﺧر ،ﻓﻣﺛﻼ ﻟو ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ﺧﻣﺳﺔ طﻼب وأﺟرﯾﻧﺎ اﺧﺗﺑﺎر ﻗدرات ﻟﮭؤﻻء اﻟطﻼب ﻓﻲ أرﺑﻌﮫ ﻣﻘررات دراﺳﯾﺔ وأﻋطﯾﻧﺎ رﺗﺑﺎ ﻟﻛل طﺎﻟب ﺣﺳب أﺟﺎﺑﺗﮫ ﻓﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ :
٩
١٠
اﻟﻣﺟﻣوع
5
4
3
2
1
رﻗم اﻟطﺎﻟب
اﻟرﺗب رأﺳﯾﺔ
اﻟﻣﻘرر )(1
) رﺗب ﻛل طﺎﻟب ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن اﻵﺧر (
اﻟﻣﻘرر )(2 اﻟﻣﻘرر )(3 اﻟﻣﻘرر )(4
.٢أﺣﯾﺎﻧﺎ ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ﺧﻣﺳﺔ طﻼب وﻟدﯾﻧﺎ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﻣﺗﺣﻧﯾن وأﻋطﻲ ﻟﻛل طﺎﻟب اﻣﺗﺣﺎن و ﻗﺎم ﻛل ﻣﻣﺗﺣن ﺑﺗرﺗﯾب )وﺿﻊ رﺗب ( اﻟطﻼب ﺣﺳب إﺟﺎﺑﺎﺗﮭم .ھذا اﻟوﺿﻊ ﯾﻛون ﻛﺎﻷﺗﻲ: 1 2 3 4 5 رﻗم اﻟطﺎﻟب اﻟرﺗب أﻓﻘﯾﺔ
اﻟﻣﻣﺗﺣن )(1 اﻟﻣﻣﺗﺣن )(2 اﻟﻣﻣﺗﺣن )(3 اﻟﻣﺟﻣوع
ﻓﻲ اﻟﻣوﻗﻔﯾن اﻟﺳﺎﺑﻘﯾن ﯾﻛون ھدﻓﻧﺎ ﻣﻌرﻓ ﺔ ھ ل ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟرﺗ ب اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ أم ﻻ ،ﻓ ﻲ اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ ﻟ دﯾﻧﺎ ﺧﻣﺳ ﺔ ﻣﺟﻣوﻋ ﺎت ﻣ ن اﻟرﺗ ب ،وﻓ ﻲ اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﻟ دﯾﻧﺎ ﺛﻼﺛ ﺔ ﻣﺟﻣوﻋ ﺎت وﻧرﯾ د اﺧﺗﺑﺎر ھل ھﻧ ﺎك اﻗﺗ ران ﺑ ﯾن اﻟرﺗ ب أم ﻻ ،ﻣﻌﺎﻣ ل ﻛﻧ دال ﻟﻠﺗواﻓ ق ﯾﺳ ﺎﻋد ﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﺣﯾ ث ﯾﺟ رى اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻛﺎﻵﺗﻲ: ﻧﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﮫ ﻣﻛوﻧﮫ ﻣن ) (nﻣﻔردة وﺗ م وﺿ ﻊ اﻟرﺗ ب ﺑ ﺎﻟطرق اﻟﻣوﺿ ﺣﺔ ﻓ ﻲ ) (١أو)(٢ ﻓﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﻰ mﻣﺟﻣوﻋﮫ ﻣن اﻟرﺗب وﻧﻔ رض أن وﺣ دة اﻟﻘﯾ ﺎس ﻋﻠ ﻰ اﻷﻗ ل ﺗرﺗﯾﺑﯾ ﮫ وأن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻷﺻﻠﯾﺔ ﻣوﺿوﻋﮫ ﻓﻲ ﺻورة رﺗب أو ﻗﺎﺑﻠﮫ ﻟذﻟك. ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ﻛﺎﻵﺗﻲ: ﻓرض اﻟﻌدم :ﻣﺟﻣوﻋﺎت اﻟرﺗب وﻋددھﺎ mﻟﯾﺳت ﻣرﺗﺑطﺔ )ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ(. اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل :ﻣﺟﻣوﻋﺎت اﻟرﺗب وﻋددھﺎ mﻣرﺗﺑطﺔ. ﻧﻼﺣ ظ إن ﻣﺟﻣوﻋ ﺎت اﻟرﺗ ب وﻋ ددھﺎ ) ( mﻻ ﯾﻣﻛ ن أن ﯾﻛ ون ﻓﯾﮭ ﺎ ﻋ دم ﺗواﻓ ق ﺗ ﺎم ﻟﺟﻣﯾ ﻊ اﻷزواج. ﻧﻔ رض أن R iﻓ ﻰ اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻻوﻟ ﻰ ﺗﻣﺛ ل ﻣﺟﻣ وع اﻟرﺗ ب ﻓ ﻲ اﻟﺻ ف )اﻟﻣﻘ رر( رﻗ م iو i=1,2,3,4وﻓ ﻰ اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﺗﻣﺛ ل ﻣﺟﻣ وع اﻟرﺗﺑﻔ ﻰ ااﻟﻌﻣ ود )اﻟطﺎﻟ ب( رﻗ م iوi=1,2,3,4,5 وﯾﻛون إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻛﺎﻵﺗﻲ: 2 2 12 R i 3m n(n 1)2 w . )m 2n(n 2 1 ﻧﺳﺗﺧدم ﺟدول ﺧﺎص ﺑﮭذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻹﯾﺟﺎد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ وﺑﺎﺳﺗﺧدام nو ، mوﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم إذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﮫ pاﻟﺟدوﻟﯾﺔ أﻗل ﻣن . إذا ﻟم ﺗﻛن اﻟﻘﯾم ﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺟدول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻘرﯾب ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ) (n-1ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ: 2 m(n 1)w, ١٠
١١
ﻋﻧ د وﺟ ود ﺗ داﺧﻼت ﯾﻌط ﻰ ﻣﺗوﺳ ط اﻟرﺗ ب اﻟﻣﺗﺗﺎﻟﯾ ﺔ ﻟﻠﻘ ﯾم اﻟﻣﺗداﺧﻠ ﺔ ،وﯾﻣﻛ ن ﺗﺻ ﺣﯾﺢ إﺣﺻ ﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺑﺎﺳﺗﺑدال اﻟﻣﻘﺎم ﻓﻲ wﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ: 2 2 3 m n(n 1) m (t t). ﺣﯾث tﻋدد اﻟرﺗب اﻟﻣﺗداﺧﻠﺔ ﻟرﺗﺑﺔ ﻏﯾر ﺻﻔرﯾﺔ.
ﻣﺛﺎل ﺑﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ وﺗﻣﺛل ﻋﺷرة طﺎﻟﺑﺎ و15ﻣﻣﺗﺣﻧﺎ واﻋطﻰ ﻛل طﺎﻟب اﻣﺗﺣ ﺎن وﻗ د ﻗﺎم ﻛل ﻣﻣﺗﺣن ﺑﺗرﺗﯾب )وﺿ ﻊ رﺗ ب (اﻟط ﻼب ﺣﺳ ب اﺟ ﺎﺑﺗﮭم واﻟﻣطﻠ وب اﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض اﻟﻌ دم واﻟﺑدﯾل اﻵﺗﯾﯾن ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ﻓرض اﻟﻌدم :ﻻ ﯾوﺟدﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﻣﺗﺣﻧﯾن اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل :ﯾوﺟد ﯾوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾﻧﮭم . 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
5
3
4
2
8
7
1
6
10
9
A
1
4
5
3
8
6
2
7
9
10
B
7
2
3
4
10
5
1
6
8
9
C
1
5
2
7
3
10
8
6
9
4
E
4
2
5
3
8
7
1
6
9
10
F
5
2
4
3
8
7
1
6
10
9
G
3
8
5
10
2
9
4
1
7
6
H
1
4
6
3
8
5
2
7
9
10
I
4
2
5
3
7
8
1
6
10
9
J
1
3
4
7
9
10
5
2
6
8
K
7
2
3
4
10
5
1
6
8
9
L
2
3
5
4
8
7
1
6
10
9
M
5
3
4
2
8
9
10
7
6
1
N
4
2
5
3
7
8
1
6
10
9
P
9
7
4
5
2
1
8
10
3
6
Q
59
52
64
63
106
104
47
88
124
118
اﻟﻤﺠﻤﻮع
اﻟﺣــل: ﻧﺟد أن ، m 15 ، n 10وﻟﺣﺳﺎب إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧﺣﺳب اﻵﺗﻲ ) اﻧظر اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق اﻟﺻف اﻷﺧﯾر (: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R i 118 124 88 47 104 106 63 64 52 59 75555, ﻓﯾﻛون إﺣﺻﺎﺋﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ھو: 2
2
)12(75555) 3(15) 10(11 0.4036. )(15)210(99 وﻷﻧﮫ ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻻ ﻧﺳﺗطﯾﻊ اﺳﺗﺧدام اﻟﺟدول اﻟﺧﺎص ﺑﮭذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻻن n 10 , m = 15 ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻘرﯾب ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻧﺣﺳب : w
١١
١٢
2 15(10 1)(0.4036) 54.486. وﻧﺟد أن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ اﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﺟدول )(٤ﻋﻧد درﺟﺔ ﺣرﯾﺔ)10- (1=9وﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ 0.05ھﻲ ،16.919أي أن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ أﻛﺑر ﻣن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺟدوﻟﯾﺔ ،وﺑذﻟك ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم وﻧﻘﺑل اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل اﻟﻘﺎﺋل ﺑوﺟود ﯾوﺟد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺣﻛﻣﯾن .
ﺟﺪول ) (١اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ .100 .8000 .7000 .6000 .5357 .5000 .4667 .4424 .4182 .3986 . 3791 .3626 .3500 .3382 .3260 .3148 .3070 .2977 .2909 .2829 .2767 .2704 .2646 .2588 .2540 .2490 .2443 .2400
.050 .8000 .8000 .7714 .6786 .6190 .5833 .5515 .5273 .4965 .4780 .4593 .4429 .2465 .4118 .3994 .3895 .3789 .3688 .3597 .3518 .3435 .3362 .3299 .3236 .3175 .3113 .3059
.025 -.9000 .8286 .7450 .7143 .6833 .6364 .6091 .5804 .5549 .5341 .5179 .5000 .4853 .4716 .4579 .4451 .4351 .4241 .4150 .4061 .3977 .3894 .3822 .3749 .3685 .3620
* rs ,
.010 -.9000 .8857 .8571 .8095 .7667 .7333 .7000 .6713 .6429 .6220 .6000 .5824 .5637 .5480 .5333 .5203 .5078 .4963 .4852 .4748 .4654 .4564 .4481 .4401 .4320 .4251
اﻟﻤﺼﺪر :ﻋﻦ ])[Daniel (1978
١٢
ﻻﺧﺘﺒﺎر ﺳﺒﻴﺮﻣﺎن .005 --.9429 .8929 .8571 .8167 .7818 .7545 .7273 .6978 .6747 .6536 .6324 .6152 .5975 .5825 .5684 .5545 .5426 .5306 .5200 .5100 .5002 .4915 .4828 .4744 .4665
.001 ---.9643 .9286 .9000 .8667 .8364 .8182 .7912 .7670 .7464 .7265 .7083 .6904 .6737 .6586 .6455 .6318 .6186 .6070 .5962 .5856 .5757 .5660 .5567 .5479
n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
١٣
ﺟﺪول )(٢ ﺟدول اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ )P(0<Z<z .09 .0359 .0753 .1141 .1517 .1879 .2224 .2549 .2852 .3133 .3389 .3621 .3830 .4015 .4177 .4319 .4441 .4545 .4633 .4706 .4767 .4817 .4857 .4890 .4916 .4936 .4952 .4964 .4974 .4981 .4986 .4990
.08 .0319 .0714 .1103 .1480 .1844 .2190 .2517 .2823 .3106 .3365 .3599 .3810 .3997 .4162 .4306 .4429 .4535 .4625 .4699 .4761 .4812 .4854 .4887 .4913 .4934 .4951 .4963 .4973 .4980 .4986 .4990
.07 .0279 .0675 .1064 .1443 .1808 .2157 .2486 .2794 .3078 .3340 .3577 .3790 .3980 .4147 .4292 .4418 .4525 .4616 .4693 .4756 .4808 .4850 .4884 .4911 .4932 .4949 .4962 .4972 .4979 .4985 .4989
.06 .0239 .0636 .1026 .1406 .1772 .2123 .2454 .2764 .3051 .3315 .3554 .3770 .3962 .4131 .4279 .4406 .4515 .4608 .4686 .4750 .4803 .4846 .4881 .4909 .4931 .4948 .4961 .4971 .4979 .4985 .4989
.05 .0199 .0596 .0987 .1368 .1736 .2088 .2422 .2734 .3023 .3289 .3531 .3749 .3944 .4115 .4265 .4394 .4505 .4599 .4678 .4744 .4798 .4842 .4878 .4906 .4929 .4946 .4960 .4970 .4978 .4984 .4989
.04 .0160 .0557 .0948 .1331 .1700 .2054 .2389 .2704 .2995 .3264 .3508 .3729 .3925 .4099 .4251 .4382 .4495 .4591 .4671 .4738 .4793 .4838 .4875 .4904 .4927 .4945 .4959 .4969 .4977 .4984 .4988
اﻟﻤﺼﺪر :ﻋﻦ ])[Daniel (1978
١٣
.03 .0120 .0517 .0910 .1293 .1664 .2019 .2357 .2673 .2967 .3238 .3485 .3708 .3907 .4082 .4236 .4370 .4484 .4582 .4664 .4732 .4788 .4834 .4871 .4901 .4925 .4943 .4957 .4968 .4977 .4983 .4988
.02 .0080 .0478 .0871 .1255 .1628 .1985 .2324 .2642 .2939 .3212 .3461 .3686 .3888 .4066 .4222 .4357 .4474 .4573 .4656 .4726 .4783 .4830 .4868 .4898 .4922 .4941 .4956 .4967 .4976 .4982 .4987
.01 .0040 .0438 .0832 .1217 .1591 .1950 .2291 .2611 .2910 .3186 .3438 .3665 .3869 .4049 .4207 .4345 .4463 .4564 .4649 .4719 .4778 .4826 .4864 .4896 .4920 .4940 .4955 .4966 .4975 .4982 .4987
.00 .0000 .0398 .0793 .1179 .1554 .1915 .2257 .2580 .2881 .3159 .3413 .3643 .3849 .4032 .4192 .4332 .4452 .4554 .4641 .4713 .4772 .4821 .4861 .4893 .4918 .4938 .4953 .4965 .4974 .4981 .4987
Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0
١٤
ﺟﺪول) (٣اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺤﺮﺟﺔ ﻻﺧﺘﺒﺎر ﻛﻨﺪال
١٤
١٥
ﻣﻠﺣق )(٤ 2ﻟﺗوزﯾﻊ 2ﺟدول اﻟﻘﯾم اﻟﺣرﺟﺔ .005
.01
.025
.05
.10
.90
.95
.975
.99
.995
7.882 10.597 12.837 14.860 16.748 18.548 20.276 21.954 23.587 25.188 26.755 28.300 29.817 31.319 32.799 34.267 35.716 37.156 38.580 39.997 41.399 42.796
6.637 9.210 11.344 13.277 15.085 16.812 18.474 20.090 21.665 23.209 24.724 26.217 27.687 29.141 30.577 32.000 33.408 34.805 36.190 37.566 38.930 40.289
5.025 7.378 9.348 11.143 12.832 14.440 16.012 17.534 19.022 20.483 21.920 23.337 24.735 26.119 27.488 28.845 30.190 31.526 32.852 34.170 35.478 36.781
3.843 5.992 7.815 9.488 11.070 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 26.296 27.587 28.869 30.143 31.410 32.670 33.924
2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.645 12.017 13.362 14.684 15.987 17.275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.203 28.412 29.615 30.813
0.016 0.211 0.584 1.064 1.610 2.204 2.833 3.490 4.168 4.865 5.578 6.304 7.041 7.790 8.547 9.312 10.085 10.865 11.651 12.443 13.240 14.042
0.004 0.103 0.352 0.711 1.145 1.635 2.167 2.733 3.325 3.940 4.575 5.226 5.892 6.571 7.261 7.962 8.682 9.390 10.117 10.851 11.591 12.338
0.001 0.051 0.216 0.484 0.831 1.237 1.690 2.180 2.700 3.247 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 6.908 7.564 8.231 8.906 9.591 10.283 10.982
0.000 0.020 0.115 0.297 0.554 0.872 1.239 1.646 2.088 2.558 3.053 3.571 4.107 4.660 5.229 5.812 6.407 7.015 7.632 8.260 8.897 9.542
0.000 0.010 0.072 0.207 0.412 0.676 0.989 1.344 1.735 2.156 2.603 3.074 3.565 4.075 4.600 5.142 5.697 6.265 6.843 7.434 8.033 8.643
١٥
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
١٦ 44.179 45.558 46.925 48.290 49.642 50.993 52.333 53.672 55.000 56.328 57.646 58.964 60.272 61.581 62.8800 64.181 65.473 66.766
41.637 42.980 44.313 45.642 46.962 48.278 49.586 50.892 52.190 53.486 54.774 56.061 57.340 58.619 59.891 61.162 62.426 63.691
38.075 39.364 64 40.646 646 41.923 43.194 44.461 45.772 46.979 48.231 49.480 50.724 51.966 53.203 54.437 55.667 56.896 58.119 59.342
35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773 44.985 46.194 47.400 48.602 49.802 50.998 52.192 53.384 54.572 55.758
32.007 33.196 34.381 35.563 36.741 37.916 39.087 40.256 41.422 42.585 43.745 44.903 46.059 47.212 48.363 49.513 50.660 51.805
14.848 15.659 16.473 17.292 18.114 18.939 19.768 20.599 21.433 22.271 23.110 23.952 24.796 25.643 26.492 27.343 28.196 29.050
اﻟﻤﺼﺪر :ﻋﻦ ])[Devore(1995
١٦
13.090 13.848 14.611 15.379 16.151 16.928 17.708 18.493 19.280 20.072 20.866 21.664 22.465 23.269 24.075 24.884 25.695 26.509
11.688 12.401 13.120 13.844 14.573 15.308 16.147 16.791 17.538 18.291 19.046 19.806 20.569 21.336 22.105 22.878 23.654 24.433
10.195 10.856 11.523 12.198 12.878 13.565 14.256 14.954 15.655 16.362 17.073 17.789 18.508 19.233 19.960 20.691 21.425 22.164
9.260 9.886 10.519 11.160 11.807 12.461 13.120 13.787 14.457 15.134 15.814 16.501 17.191 17.887 18.584 19.289 19.994 20.706
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40