الانحدار خلال نقطة الاصل

‫ﻣﻘدﻣﺔ ﻓﻲ اﻻﻧﺣدار اﻟﺧطﻲ اﻟﺑﺳﯾط‬ ‫ﺑﻔ رض ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n‬ﻣﻣﺛﻠ ﺔ ﺑ ﺄزواج اﻟﻣﺷ ﺎھدات‬ ‫}‪ . {( x i , y i ); i  1,2,..., n‬ﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣﺗﻛررة ﻓﺈﻧﻧﺎ ﺳوف ﻧﺄﺧذ ﺑﺎﻟﺿﺑط ﻗ ﯾم ‪ x‬وﻧﺗوﻗ ﻊ‬ ‫ﺗﻐﯾر ﻓﻲ ﻗﯾم ‪ . y‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻗﯾﻣﺔ ‪ y i‬ﻓﻲ اﻟزوج اﻟﻣرﺗب ) ‪ ( x i , yi‬ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر‬ ‫ﻋﺷ واﺋﻲ ‪ . Yi‬أي أن اﻟﻧﺗﯾﺟ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﺄﺧ ذھﺎ ‪ Yi‬ﻏﯾ ر ﻣؤﻛ دة ‪ uncertain‬وﻻ ﯾﻣﻛ ن‬ ‫اﻟﺳ ﯾطرة ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﺑواﺳ طﺔ اﻟﺑﺎﺣ ث ‪ .‬ﺳ وف ﻧُﻌ رف ‪ Y | x‬ﻟﺗﻣﺛ ل ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ‪Y‬‬ ‫ﯾﻘﺎﺑ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﺛﺎﺑﺗ ﺔ ‪ ، x‬وﻧﻌ رف ﻣﺗوﺳ طﺔ ﺑ ﺎﻟرﻣز ‪  Y| x‬وﺗﺑﺎﯾﻧ ﮫ ﺑ ﺎﻟرﻣز ‪ .  2Y|x‬ﻣ ن‬ ‫اﻟواﺿﺢ أﻧﮫ ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x  x i‬ﻓﺈن اﻟرﻣز ‪ Y | x i‬ﯾﻣﺛل اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ‪ Yi‬ﺑﻣﺗوﺳ ط‬ ‫‪  Y|x i‬وﺗﺑﺎﯾن ‪.  2Y|x‬‬ ‫‪i‬‬

‫أن اﻻﻧﺣدار اﻟﺧطﻲ اﻟﺑﺳﯾط ﯾﻌﻧﻲ أن ‪  Y| x‬ﺗ رﺗﺑط ﺧطﯾ ﺎ ﺑ ـ ‪ x‬ﺑﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻧﺣ دار‬ ‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪ Y| x  0  1x‬‬

‫ﺣﯾث ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻻﻧﺣدار ‪ ، 0 ,1‬ﯾﻣﺛﻼن ﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ﻣطﻠوب ﺗﻘدﯾرھﻣﺎ ﻣن ﻣﺷ ﺎھدات‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺣﯾ ث ‪ b 0‬ﺗﻘ دﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ 0‬و ‪ b1‬ﺗﻘ دﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ . 1‬أي أﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ در ‪ Y| x‬‬ ‫ﺑـ ˆ‪ y‬ﻣن اﻧﺣدار اﻟﻌﯾﻧﮫ أو ﺧط اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدر اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪yˆ  b 0  b1 x .‬‬

‫ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر‬ ‫اﻷﺳﻠوب اﻟﻣﻔﯾ د ﻟﺑ دء ﺗﺣﻠﯾ ل اﻻﻧﺣ دار ھ و ﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ ً وھ و ﻣ ﺎ ﯾﻌ رف‬ ‫ﺑﺷ ﻛل اﻻﻧﺗﺷ ﺎر‪ scatter plot‬وذﻟ ك ﻣ ن ﻓﺋ ﺔ اﻟﻣﺷ ﺎھدات ‪. ( x i , y i), i  1,2,..., n‬‬ ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﯾﺧﺻص ﻣﺣور ‪) x‬اﻟﻣﺣ ور اﻷﻓﻘ ﻲ( ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر ﻟﻠﻣﺳ ﺗﻘل‬ ‫ﺑﯾﻧﻣﺎ ﯾﺧﺻص ﻣﺣور ‪ ) y‬اﻟﻣﺣور اﻟرأﺳﻲ ( ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ‪ .‬ﻟﻛ ل زوج )‪ ( x, y‬ﻣ ن‬ ‫أزواج اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪ n‬ﻧﻘ وم ﺑﺗوﻗﯾ ﻊ ﻧﻘط ﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟرﺳ م ‪ .‬ﺗﺗ وﻓر ﻛﺛﯾ ر ﻣ ن‬ ‫ﺑ راﻣﺞ اﻟﺣﺎﺳ ب اﻵﻟ ﻲ اﻟﺟ ﺎھزة واﻟﺧﺎﺻ ﺔ ﺑﺎﻻﻧﺣ دار ﻣﺛ ل ﺑرﻧ ﺎﻣﺞ ‪ SPSS‬و‬ ‫‪ Statistica‬و ‪ Minitab‬ﻟﻠﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ أﺷ ﻛﺎل اﻻﻧﺗﺷ ﺎر‪ .‬ﯾﻔﯾ د ﺷ ﻛل اﻻﻧﺗﺷ ﺎر‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫) أ ( ﯾوﺿﺢ ﻋﻣوﻣﺎ ً ﻓﯾﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت ھﻧﺎك ﻋﻼﻗﺔ ظﺎھرة ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن أم ﻻ ‪.‬‬ ‫)ب( ﻋﻧد وﺟود ﻋﻼﻗﺔ ﯾوﺿﺢ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﻓﯾﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺧطﯾﺔ أم ﻻ ‪.‬‬ ‫‪١‬‬

‫)ج ( إذا ﻛﺎﻧ ت اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺧطﯾ ﺔ ﻓ ﺈن ﺷ ﻛل اﻻﻧﺗﺷ ﺎر ﯾوﺿ ﺢ ﻓﯾﻣ ﺎ إذا ﻛﺎﻧ ت ﺳ ﺎﻟﺑﺔ‬ ‫)ﻋﻛﺳﯾﺔ( أو ﻣوﺟﺑﺔ )طردﯾﮫ(‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﻲ إﺣدى اﻟﺗﺟﺎرب وزن ﻗرون ﻋدد ﻣن اﻟﻐزﻻن اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ اﻷﻋﻣﺎر وﻛﺎﻧت اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ‬ ‫ﻛﻣ ﺎ ھ ﻲ ﻣﻌط ﺎة ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ‪ .‬اﻟﻣطﻠ وب رﺳ م ﺷ ﻛل اﻻﻧﺗﺷ ﺎر وﺗﺣدﯾ د ﺷ ﻛل‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪.‬‬ ‫‪70‬‬

‫‪69‬‬

‫‪55‬‬

‫‪53‬‬

‫‪46‬‬

‫‪43‬‬

‫‪42‬‬

‫‪34‬‬

‫‪30‬‬

‫‪22‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0.49‬‬

‫‪0.48‬‬

‫‪0.40‬‬

‫‪0.35‬‬

‫‪0.30‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪0.26‬‬

‫‪0.20‬‬

‫‪0.15‬‬

‫‪0.10‬‬

‫‪0.08‬‬

‫اﻟﻌﻣر‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟوزن‬ ‫‪y‬‬

‫اﻟﺣل‬ ‫ﯾﺗﺿﺢ ﻣن ﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ أن اﻟﻧﻘط ﻋﻣوﻣﺎ ‪ ،‬ﻟﯾس ﺑﺎﻟﺿ ﺑط ‪ ،‬ﺗﻘ ﻊ ﻋﻠ ﻰ ﺧ ط ﻣﺳ ﺗﻘﯾم‪.‬‬ ‫ھذا ﯾﺟﻌﻠﻧﺎ ﻧﻘﺗرح أن اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﯾﻣﻛ ن وﺻ ﻔﮭﺎ ) ﻛﺗﻘرﯾ ب أوﻟ ﻲ( ﺑﻣﻌﺎدﻟ ﺔ‬ ‫ﺧط ﻣﺳﺗﻘﯾم ‪.‬‬

‫ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟﺧطﻲ اﻟﺑﺳﯾط‬

‫ﻓــﻲ ﺣﺎﻟــﺔ اﻻﻧﺣــدار اﻟﺧطــﻲ اﻟﺑﺳــﯾط ﺣﯾــث ﯾوﺟــد ﻣﺗﻐﯾــر ﻣﺳــﺗﻘل واﺣــد ‪ x‬وﻣﺗﻐﯾــر‬

‫ﺗـﺎﺑﻊ ‪ Y‬ﻓـﺈن اﻟﺑﯾﺎﻧـﺎت ﺗﻣﺛـل ﺑـﺄزواج اﻟﻣﺷـﺎﻫدات‪ . ( x i , y i), i  1,2,..., n‬ﺳـﻧﻌرف‬

‫ﻛــل ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ‪ Yi  Y | x i‬ﺑﻧﻣــوذج إﺣﺻــﺎﺋﻲ ‪ Statistical model‬وذﻟــك‬ ‫ﺗﺣـت ﻓـرض أن ﻛـل اﻟﻣﺗوﺳـطﺎت ‪  Y|x i‬ﺗﻘـﻊ ﻋﻠــﻰ ﺧـط ﻣﺳـﺗﻘﯾم ﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿـﺢ ﻓــﻲ‬ ‫اﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ‪ .‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﻓــﺈن ﻛــل ﻣﺗﻐﯾــر ‪ Yi‬ﯾﻣﻛــن وﺻــﻔﻪ ﺑﻧﻣــوذج اﻧﺣــدار ﺑﺳــﯾط‬

‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫)‪(١-١‬‬

‫‪Yi   Y|x i   i   0  1 x i   i ,‬‬

‫ﺣﯾث اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ ،  i‬ﺧطﺄ اﻟﻧﻣوذج ‪ ،‬ﻻﺑد أن ﯾﻛون ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر‪.‬‬

‫ﺗﺷﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ 1‬ﻓ ﻲ ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار )‪) (١-١‬واﻟﺗ ﻲ ھ ﻲ ﻣﯾ ل ﺧ ط اﻻﻧﺣ دار(‬ ‫إﻟﻰ اﻟﺗﻐﯾر ﻓﻲ ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ‪ Y‬ﻟﻛ ل وﺣ دة زﯾ ﺎدة ﻓ ﻲ ‪.x‬‬ ‫أﻣﺎ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪  0‬ﻓﺗﻣﺛل اﻟﺗﻘﺎطﻊ اﻟﺻﺎدي ﻟﺧط اﻻﻧﺣدار‪ .‬وإذا اﺣﺗوى ﻣدى اﻟﻧﻣوذج‬ ‫ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪ x  0‬ﻓ ﺎن ‪ 0‬ﺗﻌط ﻲ ﻣﺗوﺳ ط اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾ ر ‪Y‬‬ ‫ﻋﻧ دﻣﺎ ‪ . x  0‬وﻟ ﯾس ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪  0‬أي ﺗﻔﺳ ﯾر ﺧ ﺎص ﺑﮭ ﺎ ﻛﺣ د ﻣﻧﻔﺻ ل ﻓ ﻲ ﻧﻣ وذج‬ ‫اﻻﻧﺣدار إذا ﻟم ﯾﺗﺿﻣن ﻣﺟﺎﻟﮫ اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪. x  0‬‬ ‫ﯾﻘ ﺎل ﻋ ن اﻟﻧﻣ وذج )‪ (١-١‬اﻧ ﮫ ﺑﺳ ﯾط وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌ ﺎﻟم وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﻘل‪ .‬ﻓﮭو ﺑﺳﯾط ﻷﻧﮫ ﯾﺳﺗﺧدم ﻣﺗﻐﯾرا ﻣﺳﺗﻘﻼ واﺣدا ﻓﻘط‪ ،‬وﺧطﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌ ﺎﻟم ﻷﻧ ﮫ‬ ‫ﻻ ﺗظﮭر أي ﻣﻌﻠﻣﮫ ﻛ ﺄس أو ﻣﺿ روﺑﺔ ﺑﻣﻌﻠﻣ ﮫ أﺧ رى‪ ،‬وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل‬ ‫ﻻن ھ ذا اﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻻ ﯾظﮭ ر إﻻ ﻣرﻓوﻋ ﺎ ﻟ ﻸس اﻟواﺣ د‪ .‬أﯾﺿ ﺎ ﯾﻌ رف اﻟﻧﻣ وذج )‪(١-١‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻧﻣوذج ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ اﻷوﻟﻰ واﻟذي ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﻧﻣوذج اﻟﺑﺳﯾط اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪Yi  0  1x 2  i‬‬

‫واﻟذي ﯾﻛ ون ﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌ ﺎﻟم وﻏﯾ ر ﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل ﻻن ھ ذا اﻟﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫ﯾظﮭر ﻣرﻓوﻋﺎ ﻟﻸس ‪ 2‬وﯾﻣﺛل ﻧﻣوذج ﺧطﻲ ﻓﻲ اﻟﻣﻌﺎﻟم وﻣن اﻟرﺗﺑﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻓﻲ ‪.x‬‬ ‫ﻛل ﻣﺷﺎھدة ) ‪ ( x i , yi‬ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﺗﺣﻘق اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪:‬‬ ‫‪y i   0  1 x i  e *i‬‬

‫ﺣﯾ ث ‪ e *i‬ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣﻔﺗرﺿ ﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر ‪ i‬ﻋﻧ دﻣﺎ ‪ Yi‬ﺗﺄﺧ ذ اﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪ . y i‬اﻟﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ﯾﻧظ ر إﻟﯾﮭ ﺎ ﻛﻧﻣ وذج ﻟﻣﺷ ﺎھده ﻣﻔ رده ‪ . y i‬ﺑ ﻧﻔس اﻟﺷ ﻛل ‪ ،‬ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ ﺧ ط‬ ‫اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪y i  b 0  b1x i  ei ,‬‬

‫ﺣﯾث ‪ ei  yi  yˆi‬ﺗﺳﻣﻰ اﻟﺑﺎﻗﻲ ‪ residual‬واﻟذي ﯾﺻف ﺧطﺄ ﻓﻲ ﺗوﻓﯾ ق اﻟﻧﻣ وذج‬ ‫ﻋﻧد ﻧﻘطﺔ اﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ . i‬اﻟﻔرق ﺑﯾن ‪ ei‬و ‪ e*i‬و ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪ .‬ﯾوﺿﺢ‬ ‫اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ اﻟﺧط اﻟﻣﻘدر ﻣن ﻓﺋ ﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت واﻟﻣﺳ ﻣﻰ ‪ yˆ  b 0  b1x‬وﺧ ط اﻻﻧﺣ دار‬ ‫اﻟﺣﻘﯾﻘ ﻲ ‪ .  Y|x  0  1x‬اﻵن ﺑ ﺎﻟطﺑﻊ ‪ 0 , 1‬ﻣﻌﻠﻣﺗ ﯾن ﻏﯾ ر ﻣﻌﻠ وﻣﺗﯾن‪ .‬ﯾﻌﺗﺑ ر‬ ‫اﻟﺧط اﻟﻣﻘدر ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﺧط ‪ .  Y| x‬وﻣﻣ ﺎ ﯾﺟ در اﻹﺷ ﺎرة إﻟﯾ ﮫ أن ‪ e i‬ﯾﻣﻛ ن ﻣﻼﺣظﺗﮭ ﺎ‪،‬‬ ‫أﻣﺎ ‪ e*i‬ﻓﻼ ﯾﻣﻛن ﻣﻼﺣظﺗﮭﺎ ﻷن اﻟﺧط ‪  Y| x‬ﻣﻔﺗرض وﻏﯾر ﻣﻌروف‪.‬‬

‫ﻓروض ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟﺧطﻲ اﻟﺑﺳﯾط‬ ‫ﻟﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟم ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣ دار ) ‪ ( ١– ١‬ﺗوﺿ ﻊ اﻟﻔ روض اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ ﻟﺣ د اﻟﺧط ﺄ ‪ i‬‬

‫واﻟﻣﺳﻣﺎة ﻓروض ﺟﺎوس ـ ﻣﺎرﻛوف ‪.Gauss-Markov‬‬ ‫‪, E ( i )  0‬‬

‫‪E(i j)  0, E (  i2 )   2‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ i  j‬ﻟﻛل ‪ i, j  1,..., n‬أي أن ‪  j , i‬ﻏﯾر ﻣرﺗﺑطﺗﯾن‪.‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬ ‫‪E( Yi )   0  1 x i , Var( Yi )   2 .‬‬

‫ھﻧﺎك ﻓروض أﺧرى ﻧﺣﺗ ﺎج ﻟﮭ ﺎ ﻋﻧ د إﺟ راء ﻓﺗ رات ﺛﻘ ﺔ واﺧﺗﺑ ﺎرات ﻓ روض‬ ‫ﺗﺧص اﻟﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪ 0 ,1‬وھ ﻲ أن ‪  i‬ﯾﺗﺑ ﻊ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ ﺑﻣﺗوﺳ ط ﺻ ﻔر وﺗﺑ ﺎﯾن‬ ‫‪ ،  2‬أي أن‪:‬‬ ‫‪ i ~ N (0,  2 ) .‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ‪ i‬ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى‬ ‫‪The method of least squares‬‬ ‫ﺑﺎﻟرﻏم ﻣن وﺟود اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻟطرق ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾرات ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪ 0,1‬إﻻ‬ ‫أن أﻓﺿل ھذه اﻟطرق ھﻲ طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى‪ .‬ﺗرﺟﻊ ھذه اﻟطرﯾﻘﺔ إﻟﻰ ﻋ ﺎﻟم‬ ‫اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت اﻷﻟﻣﺎﻧﻲ ﻛﺎرل ﻓرﯾدرﯾﻛس ﺟﺎوس ‪ . Carl Friedrich Gauss‬وﺑﻣ ﺎ أن‬ ‫اﻟﺧط اﻟﻣطﻠوب ﯾﻛون ﻷﻏ راض اﻟﺗﻧﺑ ؤ ﻟ ذﻟك ﻣ ن اﻟﻣﻧﺎﺳ ب أن ﯾﻛ ون اﻟﺧ ط ﻣ ن اﻟدﻗ ﺔ‬ ‫ﺑﺣﯾث ﺗﻛون أﺧطﺎء اﻟﺗﻘدﯾر ﺻﻐﯾرة‪ .‬واﻟﻣﻘﺻود ھﻧﺎ ﺑﺄﺧطﺎء اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻔروق ﺑﯾن اﻟﻘﯾم‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدة ‪ y i‬واﻟﻘﯾم اﻟﻣﻧﺎظرة ‪) yˆ i‬اﻟﺑواﻗﻲ(ﻋﻠﻰ اﻟﺧط اﻟﻣﺳﺗﻘﯾم‪ .‬أي أن أﺧط ﺎء اﻟﺗﻘ دﯾر‬ ‫ھ ﻲ ‪ . ( y i - yˆ i ) , i  1,2,..., n‬أﺧط ﺎء اﻟﺗﻘ دﯾر ﻣوﺿ ﺣﮫ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل ‪ b a‬ﺑ ﺄﺟزاء‬ ‫اﻟﺧطوط اﻟراﺳﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺻل ﺑﯾن اﻟﻧﻘﺎط واﻟﺧ ط اﻟﻣﺳ ﺗﻘﯾم‪ .‬اﻟﻧﻘط ﺔ اﻟواﻗﻌ ﺔ ﻓ وق اﻟﺧ ط‬ ‫ﺗﻌطﻲ ﺧطﺄ )ﺑﺎﻗﻲ( ﻣوﺟب واﻟﻧﻘطﺔ اﻟواﻗﻌﺔ ﺗﺣت اﻟﺧط ﺗﻌطﻲ ﺧطﺄ ﺳﺎﻟب‪ .‬واﺣد ﻣ ن‬ ‫‪n‬‬

‫اﻟط رق ﻟﺗﻘﻠﯾ ل اﻷﺧط ﺎء ھ و ﺟﻌ ل ‪  y i  yˆ i ‬أﻗ ل ﻣ ﺎ ﯾﻣﻛ ن ‪ ،‬وﻟﻛ ن‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫ﺟﻌل ‪  y i  yˆ i ‬اﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن ﻻ ﯾﻌﻧﻲ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗوﻓﯾق ﺟﯾد‪ .‬ﻓﻔﻲ ﺷ ﻛل‪ a‬ﺛﻼﺛ ﺔ‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫أﺧطﺎء واﺣد ﻣوﺟب واﻵﺧرﯾن ﺳﺎﻟﺑﯾن ﺣﯾث ‪ .  y i  yˆ i   0‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺑﺗﻘﻠﯾل‬ ‫‪i 1‬‬

‫اﻟﺧطﺄ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﺗوﻓﯾق ﯾﺑدو ﺟﯾد‪.‬‬

‫اﻵن ﺑ ﺎﻟﻧظر إﻟ ﻰ ﺷ ﻛل ‪ b‬ﻓ ﺈن ﺧ ط اﻻﻧﺣ دار أدى إﻟ ﻰ ﺟﻌ ل‬ ‫‪n‬‬

‫‪  y i  yˆ   0‬وﺑ ﺎﻟرﻏم ﻣ ن ذﻟ ك ﯾﺗﺿ ﺢ أن اﻟﺗوﻓﯾ ق ردئ‪ .‬اﻵن ﻣ ﺎذا ﯾﺣ دث ﻋﻧ د‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫إھﻣ ﺎل اﻹﺷ ﺎرة وإﯾﺟ ﺎد اﻟﺧ ط اﻟﻣﻘ در اﻟ ذي ﯾﺟﻌ ل ‪  y i  yˆ i‬أﻗ ل ﻣ ﺎ ﯾﻣﻛ ن ؟ ﻣ رة‬ ‫‪i 1‬‬

‫أﺧرى ﻟم ﻧﺿﻣن أن اﻟﺧط ﯾﻣﺛل أﻓﺿل ﺗوﻓﯾق‪ .‬ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﺗﺿ ﺢ أن اﻟﺧ ط ﻓ ﻲ‬ ‫‪n‬‬

‫)‪ (a‬أﻓﺿل ﻣن اﻟﺧط ﻓﻲ )‪ (b‬ﺑﺎﻟرﻏم ﻣن أن اﻟﺧط ﻓﻲ )‪ (b‬ﺟﻌل ‪  y i  yˆ i‬أﻗل ﻣن‬ ‫‪i 1‬‬

‫)‪(a‬‬

‫وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻧﺟ د أن اﺳ ﺗﺧدام اﻟﻘ ﯾم اﻟﻣطﻠﻘ ﺔ ﻟ ﯾس ﻣﻧﺎﺳ ﺑﺎ ً ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ اﻟرﯾﺎﺿ ﯾﺔ‬ ‫وﻟذﻟك ﻓﺈن ھذه اﻟﺻﻌوﺑﺔ ﯾﻣﻛن ﺗﻼﻓﯾﮭﺎ ﺑﺄن ﻧطﻠب أن ﯾﻛون ﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت اﻷﺧطﺎء‬

‫ﺻﻐﯾرا ً ﺑﻘدر اﻹﻣﻛ ﺎن‪ .‬ﻗ ﯾم اﻟﻣﻌ ﺎﻟم ھ ذه اﻟﺗ ﻲ ﺗﻘﻠ ل إﻟ ﻰ أﻗﺻ ﻰ ﺣ د ﻣﺟﻣ وع ﻣرﺑﻌ ﺎت‬ ‫اﻷﺧطﺎء ﺗﺣدد ﻣﺎ ﯾﻌ رف ﺑﺄﻓﺿ ل ﺧ ط ﻣﺳ ﺗﻘﯾم ﯾوﻓ ق اﻟﻧﻘ ﺎط اﻟﻣﺷ ﺎھدة ﻣ ن ﺟﮭ ﺔ ﻧظ ر‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى‪ .‬وﻣﻣﺎ ﯾﺟدر اﻹﺷﺎرة إﻟﯾﮫ أن طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻ ﻐرى ﻟﺗوﻓﯾ ق‬ ‫ﺧط ﻣﺳﺗﻘﯾم ﻟﻣﺟﻣوﻋﮫ ﻣن اﻟﻧﻘ ﺎط ﯾﻣﻛ ن ﺗطﺑﯾﻘﮭ ﺎ ﺳ واء ﻛﺎﻧ ت ﻗ ﯾم ‪ x‬ﺣ ددت ﻣﺳ ﺑﻘﺎ ً أو‬ ‫ﺗﻣﺛ ل ﻗ ﯾم ﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ‪ ،‬أي إذا ﻛ ﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل واﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ﯾﻣ ﺛﻼن‬ ‫ﻣﺗﻐﯾ رات ﻋﺷ واﺋﯾﺔ‪ .‬وﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﺗطﺑ ق طرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺻ ﻐرى إذا ﺗﺣﻘ ق‬ ‫اﻟﺷرطﺎن اﻟﺗﺎﻟﯾﺎن ‪-:‬‬ ‫‪ .١‬اﻟﺗوزﯾﻌ ﺎت اﻟﺷ رطﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﺗﺎﺑﻌ ﺔ ‪ Yi‬ﻋﻠﻣ ﺎ ﺑ ﺄن ‪ x i‬ﻣﻌط ﺎة ﺗﻣﺛ ل‬ ‫ﺗوزﯾﻌﺎت طﺑﯾﻌﯾﺔ ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻟﮭﺎ ﻣﺗوﺳط ﺷرطﻲ ‪  0  1 x i‬وﺗﺑﺎﯾن ﺷرطﻲ ‪.  2‬‬ ‫‪ .٢‬اﻟﻣﺗﻐﯾرات ‪ X i‬ھﻲ ﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ وﺗوزﯾﻌﮭﺎ اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ‪ gx i ‬ﻻ‬ ‫ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﺎﻟم ‪.  2 , 0 , 1‬‬ ‫اﻵن ﺳوف ﻧوﺿﺢ طرﯾﻘﺔ اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ وﺑدون اﻟ دﺧول ﻓ ﻰ‬ ‫ﻛﯾﻔﯾﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾرات اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻧﻔرض أﻧﮫ ﺗ م دراﺳ ﺔ اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن ﻣﺻ ﺎرﯾف اﻹﻋ ﻼن ﻟﺳ ﻠﻌﺔ ﻣ ﺎ ‪(£000)x‬‬ ‫واﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻟﻠﺳﻠﻌﺔ ‪ (£m)Y‬واﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬ ‫‪x y‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪900‬‬ ‫‪840‬‬ ‫‪450‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪320‬‬ ‫‪510‬‬ ‫‪348‬‬ ‫‪644‬‬ ‫‪540‬‬ ‫‪665‬‬ ‫‪465‬‬ ‫‪425‬‬ ‫‪340‬‬ ‫‪210‬‬ ‫‪255‬‬

‫‪10000‬‬ ‫‪11025‬‬ ‫‪8100‬‬ ‫‪6400‬‬ ‫‪6400‬‬ ‫‪7225‬‬ ‫‪7569‬‬ ‫‪8464‬‬ ‫‪8100‬‬ ‫‪9025‬‬ ‫‪8649‬‬ ‫‪7225‬‬ ‫‪7225‬‬ ‫‪4900‬‬ ‫‪7225‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪85‬‬

‫‪117532‬‬

‫‪7072‬‬

‫‪78‬‬

‫‪1322‬‬

‫وﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﺔ ‪ b 0 , b1‬ﺑﺎﺗﺑﺎع اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ yi‬‬

‫‪78‬‬ ‫‪y  i 1 ‬‬ ‫‪ 5.20 .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1322‬‬ ‫‪ 88.133‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪ xi‬‬

‫‪‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺣﯾث ‪ x , y‬ﯾرﻣزان ﻟﻠوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﺳﺗﻘل ‪ x‬واﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ‪Y‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ‪.‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ‪ b1‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪SXY‬‬ ‫‪SXX‬‬

‫‪b1 ‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ x i  yi‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪SXX   x i2‬‬

‫‪SXY   x i yi ‬‬

‫‪b 0  y  b1x ,‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ‪ b 0 ، b1‬ﺳوف ﻧﺣﺳب اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪ x i  yi‬‬

‫‪n‬‬

‫‪SXY   x i y i ‬‬

‫‪132278  197.6‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪ x i 2‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 7072 ‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ xi‬‬

‫‪SXX ‬‬

‫‪ 1019.73‬‬

‫‪‬‬ ‫‪13222‬‬ ‫‪ 117532 ‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪SXY 197.6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.193776,‬‬ ‫‪SXX 1019.73‬‬ ‫‪b 0  y  b1x  5.2  0.19377688.1333  11.8781.‬‬ ‫‪b1 ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ﺳوف ﺗﻛون ‪:‬‬ ‫‪yˆ  11.8781  0.19378 x‬‬

‫أو ﺑﺻورة ﺑﺳﯾطﺔ‪..‬‬ ‫‪yˆ  11.9  0.19 x.‬‬

‫واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ً ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﻊ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر‪.‬‬

‫وﺗﺳ ﻣﻰ ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻧﺣ دار ‪ y‬ﻋﻠ ﻰ ‪ x‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻋﻧ دﻣﺎ ﻧﻧﻔ ق ‪ £ 75000‬ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻹﻋﻼن ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ اﻟﺗﻧﺑؤ ﺑﺎﻟﻣﺑﯾﻌﺎت وذﻟك ﺑوﺿﻊ ‪) x=75‬ﺑ ﺎﻷﻟف( ﻓ ﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ‬ ‫اﻻﻧﺣدار أي أن ‪:‬‬ ‫‪yˆ  11 .8781  750.1938  2.6569  £ 2656900 .‬‬

‫ﻣﺎذا ﯾﻌﻧﻲ ھذا اﻟﺗﻧﺑؤ ؟ ﻣن اﻟواﺿﺢ أن ھذا ﻻ ﯾﻌﻧﻲ أﻧﺔ ﻓﻲ ﻛل ﻣرة ﻧﻧﻔق ‪75000‬‬ ‫‪ £‬ﻋﻠﻰ اﻹﻋﻼن ﺳوف ﻧﺑﯾﻊ ﺑﺎﻟﺿﺑط ‪ £2656900‬ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘ ﺔ ﻓ ﺎن اﻟﺗﻘ دﯾر ﻟﻠﻣﺑﯾﻌ ﺎت‬

‫ﯾﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺗوﺳطﺔ‪ .‬ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﺗم إﯾﺟﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ﻣن اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺷﺎھدة ﻟـ ‪x‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺗراوح ﺑﯾن ‪ £ 70.000‬و ‪ £ 105000‬ﺛم ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻣﻘدرة ﻓﻲ ﺣﺳﺎب‬ ‫ﻣﺳ ﺗوى اﻟﻣﺑﯾﻌ ﺎت اﻟﻧ ﺎﺗﺞ ﻣ ن إﻧﻔ ﺎق إﻋﻼﻧ ﺎت ﻗﯾﻣﺗﮭ ﺎ ‪ .£75000‬ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻓ ﺎن‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﺳﺗﻘل ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣدى اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺷﺎھدة وﺗﺳﻣﻰ اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ ﻓﻲ‬ ‫ھذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﺗﻘ ﻊ ﺑ ﯾن ‪ interpolation‬او )‪ (placing between.‬اﻟﺳ ؤال اﻵن ﻣ ﺎذا‬ ‫ﻋن اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻘدرة ﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻣن إﻧﻔﺎق ﻋﻠﻰ اﻹﻋﻼﻧﺎت ﯾﺳﺎوي ‪:£ 120000‬‬ ‫‪yˆ  11 .8781  0.1938 120   11377900 .‬‬

‫ھﻧﺎ اﺳﺗﺧدﻣﻧﺎ ﻗﯾﻣﺔ ﻟـ ‪ x‬ﺧﺎرج ﻣدى اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺷﺎھدة‪ .‬ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ ﻓﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫)ﺗﻘ ﻊ ﺧ ﺎرج ‪ placing outside‬أو ‪ .(extrapolated‬ﻛ ﻼ اﻟﺗﻘ دﯾرﯾن ﯾﺗﻌرﺿ ﺎن‬ ‫ﻟﺧطﺄ وﻟﻛن اﻟﺗﻘدﯾر اﻟذي ﯾﻘﻊ ﺧﺎرج ﻣدى اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺷﺎھدة ﯾﻛون أﻗل ﻛﻔﺎءة ﻣن اﻟذي ﯾﻘﻊ‬ ‫داﺧ ل ﻣ دى اﻟﻘ ﯾم اﻟﻣﺷ ﺎھدة‪ .‬ھ ذا ﯾرﺟ ﻊ ﻷن داﺧ ل ﻣ دى اﻟﻘ ﯾم اﻟﻣﺷ ﺎھدة ﻣ ن ‪ x‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ‬ ‫ﻧﻌرف ﺳﻠوك اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﻛﯾف ﯾﻣﻛن ﺗوﻓﯾق اﻟﺧط اﻟﻣﺳﺗﻘﯾم‪ ،‬أﻣﺎ ﺧﺎرج ﻣدى اﻟﻣﺷﺎھدات‬ ‫ﻓﻼ ﻧﻌرف ﺳﻠوك اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻗد ﻻ ﯾﻛون اﻟﺧط اﻟﻣﺳﺗﻘﯾم ﺗوﻓﯾق ﺟﯾد ﻟﺗﻠك‬ ‫اﻟﻘﯾم ﻣن ‪ .x‬واﻟﻣﺛﺎل ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛﻼﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟذي ﯾﺟﻌﻠﻧﺎ ﻧﺗﺧذ اﻟﺣذر ﻋﻧد‬ ‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾرات ﺧﺎرج اﻟﻣدى ﻟﻘﯾم ‪. x‬‬

‫اﻻﻧﺣدار ﺧﻼل ﻧﻘطﺔ اﻻﺻل‬ ‫‪Regression through the orign‬‬

‫ﻓ ﻲ ﻛﺛﯾ ر ﻣ ن اﻟﺗطﺑﯾﻘ ﺎت ﯾﺗطﻠ ب ﺣ ذف ‪  0‬ﻣ ن ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار )‪ ،(١-١‬أي أن‬ ‫اﻟﺧ ط ﯾﻣ ر ﺧ ﻼ ل ‪ . x=0 , y=0‬ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﺗطﺑ ق ﻋﻧ د ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻓ ﻲ ﻣﺟ ﺎل‬ ‫اﻟﻛﯾﻣﯾﺎء أو ﻓﻲ اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت اﻟﺻﻧﺎﻋﯾﺔ‪ .‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل‪ ،‬اﻻﺳﺗﺟﺎﺑﺔ ﻓﻲ ﻋﻣﻠﯾ ﮫ ﻛﯾﻣﯾﺎﺋﯾ ﮫ‬ ‫ﺗﺳﺎوي ﺻﻔر ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺷﻐل اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ ﻋﻧد درﺟﺔ ﺣرارة ﺻﻔر‪ .‬اﻟﻧﻣوذج ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫ﻻ ﯾﻛون ﻟﮫ ﺟزء ﻣﻘطوع ﻣن اﻟﻣﺣور اﻟرأﺳﻲ ‪ y‬وﯾﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪Yi  x i  i .‬‬

‫)‪(٢-١‬‬ ‫ﻧﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ ‪ n‬ﻣن أزواج اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ ( x i , y i ) ; i  1,2,..., n‬وﺑﻣﺎ أن ‪ 0  0‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺗﻘدﯾر اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﯾل ھو‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ x i yi‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪ xi‬‬ ‫‪i1‬‬

‫‪b1 ‬‬

‫وﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدر ﯾﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪yˆ  b1x .‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬

‫ﻓﯾﻣ ﺎ ﯾﻠ ﻲ ﻋ دد ﻟوﺣ ﺎت اﻟطﺑﺎﻋ ﺔ ﻟﻣﺧطوط ﮫ )‪ (x‬واﻟﺗﻛﻠﻔ ﺔ اﻟﻛﻠﯾ ﺔ ﺑﺎﻟ دوﻻر ﻟﺗﺻ ﺣﯾﺢ‬ ‫اﻷﺧط ﺎء اﻟﻣطﺑﻌﯾ ﺔ ) ‪ (y‬وذﻟ ك ﻟﻌﯾﻧ ﮫ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟطﻠﺑ ﺎت اﻟﺣدﯾﺛ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﻌﮭ دﺗﮭﺎ‬ ‫ﺷرﻛﮫ ﻣﺗﺧﺻﺻﺔ ﻓﻲ ﻣﺧطوطﺎت ﺗﻘﻧﯾﮫ‪ .‬وﺑﻣﺎ أن ‪ Y‬ﯾﻧطوي ﻋﻠﻰ ﻣﺗﻐﯾ ر ﺗﻛ ﺎﻟﯾف ﻓﻘ د‬ ‫رﻏ ب ﺑﺎﺣ ث ﻓ ﻲ ﺗﺣدﯾ د ﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار ﻋﺑ ر ﻧﻘط ﮫ اﻷﺻ ل )‪( ٢ -١‬‬ ‫ﻣﻼﺋﻣﺎ ﻟدراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن‪ .‬واﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪xy‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪642‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪1770‬‬ ‫‪5832‬‬ ‫‪11425‬‬ ‫‪16200‬‬ ‫‪11150‬‬ ‫‪3500‬‬ ‫‪1780‬‬ ‫‪1910‬‬ ‫‪2556‬‬ ‫‪896‬‬

‫‪36‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪324‬‬ ‫‪625‬‬ ‫‪900‬‬ ‫‪625‬‬ ‫‪196‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪49‬‬

‫‪107‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪177‬‬ ‫‪324‬‬ ‫‪457‬‬ ‫‪540‬‬ ‫‪446‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪178‬‬ ‫‪191‬‬ ‫‪213‬‬ ‫‪128‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪57961‬‬

‫‪3215‬‬

‫‪3086‬‬

‫‪171‬‬

‫‪x‬‬

‫اﻟﺣـل‬ ‫ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪57961‬‬ ‫‪ 18.0283 .‬‬ ‫‪3215‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ x i yi‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪ xi‬‬ ‫‪i1‬‬

‫وﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ﺳوف ﺗﻛون‬ ‫‪yˆ  18.0283x ,‬‬

‫واﻟﻣﻣﺛﻠﮫ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﻊ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر‪.‬‬

‫‪b1 ‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪35‬‬

‫‪25‬‬

‫‪30‬‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺷ ﻛل اﻟﺳ ﺎﺑق أن ﺷ ﻛل اﻻﻧﺗﺷ ﺎر ﯾؤﻛ د أن ﻣﻌﺎدﻟ ﮫ اﻻﻧﺣ دار اﻟﻣﻘ درة ﺗﻣ ر‬ ‫ﺑﻧﻘطﺔ اﻷﺻل‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد‬

‫ﻟﻠﻧﻣوذج )‪ (١-١‬ﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد ﯾﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪ y) 2‬‬

‫‪ˆi‬‬ ‫‪ (y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ (yi‬‬

‫)‪ y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R ‬‬

‫ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻧﻣوذج )‪ (٢-١‬ﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد ﯾﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪n 2‬‬ ‫‪ˆi‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪ yi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪R 02 ‬‬

‫اﻹﺣﺻ ﺎء ‪ R 02‬ﯾوﺿ ﺢ ﻧﺳ ﺑﺔ اﻻﺧ ﺗﻼف )اﻟﺗﻐﯾ ر( ﺣ ول ﻧﻘط ﮫ اﻷﺻ ل )‪(0,0‬‬ ‫واﻟﻧﺎﺗﺞ ﻣن اﻻﻧﺣدار‪.‬‬ ‫ﺗﺣت ﻓرض اﻻﻋﺗدال ﻟﺣد اﻟﺧطﺄ ﻓﺈن ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرات ﺛﻘ ﺔ وﻓﺗ رات‬ ‫ﺗﻧﺑؤ واﺧﺗﺑﺎرات ﻓروض ﻟﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟذي ﻻ ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ اﻟﺟزء اﻟﻣﻘطوع ‪.‬‬