اختبار مربع كاى للاستقلال

‫اﺧﺗﺑﺎر ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ﻟﻼﺳﺗﻘﻼل‬ ‫‪The Chi-square Test of Independent‬‬ ‫ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻷﺣﯾﺎن ﯾرﻏب اﻟﺑﺎﺣث ﻓﻲ اﻟﺗﻌرف ﻋﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت ھﻧﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن ﺻ ﻔﺗﯾن‬ ‫ﻣن ﺻﻔﺎت ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ‪ .‬ﻓﻌ ل ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻗ د ﯾرﻏ ب ﻣﺳ ﺋول اﻟﺗﻐذﯾ ﺔ ﻓ ﻲ ﻣدرﺳ ﺔ ﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺗﻌ رف‬ ‫ﻋﻣ ﺎ إذا ﻛﺎﻧ ت اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻐذاﺋﯾ ﺔ ﻟﻠطﺎﻟ ب ﻟﮭ ﺎ ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑﻛﻔﺎءﺗ ﮫ اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﯾ ﺔ ‪ .‬أﯾﺿ ﺎ ﻗ د ﯾرﻏ ب ﺑﺎﺣ ث ﻓ ﻲ‬ ‫ﻣﺟﺎل اﻟوراﺛﺔ ﻓﻲ اﻟﺗﻌرف ﻋﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧت ھﻧﺎك ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻟون اﻟﺷﻌر وﻟون اﻟﻌﯾﻧﯾن … اﻟﺦ ‪.‬‬ ‫ﻹﺟراء اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n‬ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ ‪.‬ﺗﺻ ﻧف‬ ‫ﻣﺷﺎھدات ھذه اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺣﺳب ﻣﺳﺗوﯾﺎت ﻛل ﻣن اﻟﺻﻔﺗﯾن ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ ﻓﻲ ﺟدول ﻣ زدوج ﯾﺳ ﻣﻰ‬ ‫ﺟ دول اﻟﺗواﻓ ق ‪ . Contingency table‬ﺑﻔ رض أن ‪ A1,A 2 ,..., A k‬ﺗرﻣ ز ﻟﻣﺳ ﺗوﯾﺎت اﻟﺻ ﻔﺔ‬ ‫‪ A‬و ‪ B1, B2 ,...,Bk‬ﺗرﻣ ز ﻟﻣﺳ ﺗوﯾﺎت اﻟﺻ ﻔﺔ ‪ B‬ﻓ ﺈن ﺟ دول اﻟﺗواﻓ ق ﯾﻛ ون ﻋﻠ ﻰ اﻟﺷ ﻛل‬ ‫اﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪ ،‬ﺣﯾث أن ‪ Oij‬ﺗرﻣز ﻟﻌدد اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﯾﺗ وﻓر ﻓﯾﮭ ﺎ اﻟﻣﺳ ﺗوى ‪A i‬‬

‫ﻣن اﻟﺻ ﻔﺔ ‪ A‬و اﻟﻣﺳ ﺗوى ‪ B j‬ﻣ ن اﻟﺻ ﻔﺔ ‪ B‬ﺣﯾ ث ‪ i  1,2,...,r‬و ‪ . j  1,2,...,c‬أﯾﺿ ﺎ ‪n i‬‬ ‫‪c‬‬

‫ﺗرﻣ ز ﻟﻌ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﯾﺗ وﻓر ﻓﯾﮭ ﺎ اﻟﻣﺳ ﺗوى ‪ A i‬ﻣ ن اﻟﺻ ﻔﺔ ‪ A‬أي أن ‪. n i.   Oij‬‬ ‫‪j1‬‬

‫أﯾﺿ ﺎ ‪ n.j‬ﺗرﻣ ز ﻟﻌ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﯾﺗ وﻓر ﻓﯾﮭ ﺎ اﻟﻣﺳ ﺗوى ‪ B j‬ﻣ ن اﻟﺻ ﻔﺔ ‪ B‬أي أن‬ ‫‪r‬‬

‫‪ . n j.   Oij‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪r‬‬

‫‪c‬‬

‫‪r‬‬

‫‪c‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪j1‬‬

‫‪ n. j   n i.    Oij.‬‬ ‫‪j1 i 1‬‬

‫ﯾﺣﺗوي ﺟدول اﻟﺗواﻓق ﻋﻠﻰ ﺧﺎﻧﺎت ) ﺧﻼﯾﺎ ( ﻋددھﺎ ) ‪ (r x c‬ﺧﻠﯾﺔ‪.‬‬ ‫‪B2‬‬ ‫‪… BC‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬ ‫‪O12 ... O1c‬‬ ‫‪n1.‬‬

‫‪B1‬‬

‫‪O11‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪n 2.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪O 21 O 22 ... O 2c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪n r.‬‬

‫‪O r2 ... O rc‬‬

‫‪O r1‬‬

‫‪n 2.‬‬

‫‪n1.‬‬

‫‪n c.‬‬

‫‪...‬‬

‫‪‬‬ ‫‪Ar‬‬

‫‪n‬‬ ‫ﻓرض اﻟﻌدم واﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﺳوف ﯾﻛوﻧﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪ : H 0‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫‪ : H1‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺗﻣ د اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣرﺑ ﻊ ﻛ ﺎي ﻟﻼﺳ ﺗﻘﻼل ﻋﻠ ﻰ ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ اﻟﺗﻛ رارات اﻟﻣﺷ ﺎھدة ﺑ ﺎﻟﺗﻛرارات‬ ‫اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻓﻲ ﻛل ﺧﻠﯾﺔ ﻋﻧدﻣﺎ ‪ H 0‬ﺻ ﺣﯾﺢ ‪ .‬إذا ﻛ ﺎن ) ‪ P(A i‬ﯾرﻣ ز ﻻﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﺗ وﻓر ﻟﻣﺷ ﺎھدة‬ ‫ﻣ ﺎ اﻟﻣﺳ ﺗوى ‪ A i‬ﻣ ن اﻟﺻ ﻔﺔ ‪ A‬وإذا ﻛ ﺎن ) ‪ P(Bi‬ﯾرﻣ ز ﻻﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﺗ وﻓر ﻟﻣﺷ ﺎھدة ﻣ ﺎ‬ ‫اﻟﻣﺳﺗوى ‪ B j‬ﻣن اﻟﺻﻔﺔ ‪ B‬وإذا ﻛﺎن ‪ Pij‬ﯾرﻣز ﻻﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺗوﻓر ﻟﻣﺷﺎھدة ﻣﺎ اﻟﻣﺳ ﺗوى ‪ A i‬ﻣ ن‬ ‫اﻟﺻﻔﺔ ‪ A‬و اﻟﻣﺳﺗوى ‪ B j‬ﻣن اﻟﺻﻔﺔ ‪ B‬ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪Pij  P(Ai  B j ).‬‬ ‫وﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻻﺳﺗﻘﻼل ﺑﯾن اﻟﺻﻔﺗﯾن ‪ ) A , B‬ﺗﺣت ﻓرض اﻟﻌدم ( ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪Pij  P(Ai )  P(B j ).‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾر ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ‪ Pij‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪ n   n. j ‬‬ ‫‪Pij   i.    .‬‬ ‫‪ n   n ‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪; j  1,2,...,c.‬‬

‫‪ n   n .j ‬‬ ‫‪E ij  n  i.    ‬‬ ‫‪ n   n ‬‬ ‫‪n i.‬‬ ‫‪n.j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,i  1,2,...,r,‬‬ ‫‪n‬‬

‫ﺑﺎﻓﺗراض أن ‪ H 0‬ﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪(Oij  Eij )2‬‬ ‫‪Eij‬‬

‫‪r‬‬

‫‪c‬‬

‫‪2‬‬

‫‪  ‬‬ ‫‪j1 i 1‬‬

‫ﻗﯾﻣ ﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ‪ X 2‬ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾ ﻊ ‪  2‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ )‪ (r  1)(c  1‬ﺣﯾ ث ‪ r‬ﻋ دد‬ ‫اﻟﺻ ﻔوف و ‪ c‬ﻋ دد اﻷﻋﻣ دة ﻓ ﻲ ﺟ دول اﻟﺗواﻓ ق ‪ .‬ﻟﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ ‬ﻓ ﺈن ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض‬ ‫‪ X 2   2‬ﺣﯾ ث ‪ 2‬ﺗﺳ ﺗﺧرج ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪  2‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ )‪ . (r  1)(c  1‬إذا‬ ‫وﻗﻌت ‪  2‬ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻌﺗﻘد اﻷطﺑﺎء أن ﻋدد ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻧوم ﻟﺳﯾدة ﻟدﯾﮭﺎ أطﻔﺎل ﯾﺧﺗﻠف ﻋن ﻋدد ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻧوم ﻗﺑ ل إﻧﺟﺎﺑﮭ ﺎ‪.‬‬ ‫ﺑﻔرض إﻧﮫ ﺗم ﺳؤال ‪ 60‬ﺳﯾدة ﻟدﯾﮭﺎ أطﻔﺎل وﺳﺟﻠت اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ‪ .‬ﻣ ﺎ ھ و اﻻﺳ ﺗدﻻل‬ ‫اﻟذي ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮫ ﻣن ھذه اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ؟ ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬ ‫ﻋدد اﻷطﻔﺎل‬ ‫اﻟﻧوم اﻟﺣﺎﻟﻲ ﺑﺎﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻗﺑل اﻹﻧﺟﺎب‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬ ‫أﺣﺳن‬

‫ﻧﻔﺳﮫ‬

‫أﻗل‬

‫‪30‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬أو أﻛﺛر‬

‫‪60‬‬

‫‪4‬‬

‫‪16‬‬

‫‪40‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪ : H 0‬ﻋدد ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻧوم وﻋدد اﻷطﻔﺎل ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫‪ : H1‬ﻋدد ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻧوم وﻋدد اﻷطﻔﺎل ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬

‫أﺣﺳن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻋدد اﻷطﻔﺎل‬

‫اﻟﻧوم اﻟﺣﺎﻟﻲ ﺑﺎﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻗﺑل اﻹﻧﺟﺎب‬ ‫ﻧﻔﺳﮫ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫أﻗل‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬أو أﻛﺛر‬

‫اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺷﺎھدة واﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﺑﻌد دﻣﺞ ﺑﻌض اﻟﺗﻛرارات ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدوﻟﯾن اﻟﺗ ﺎﻟﯾن‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ وذﻟك ﺣﺗﻰ ﯾﺗﺣﻘق اﻟﺷرط أن ﻋدد اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻓﻲ ﻛل ﺧﻠﯾﺔ ﻻ ﯾﻘل ﻋن ‪. 5‬‬ ‫ﻋدد اﻷطﻔﺎل‬ ‫اﻗـل‬ ‫ﻧﻔﺳﮫ أو أﺣﺳن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5+0=5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4+1=5‬‬ ‫‪ 3‬أو أﻛﺛر‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7 + 3 = 10‬‬ ‫ﻧﻔﺳﮫ أو أﺣﺳن‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑﻘﯾن ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ‪:‬‬

‫اﻗـل‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪ 11.25.‬‬

‫ﻋدد اﻷطﻔﺎل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬أو أﻛﺛر‬

‫‪(Oij  E ij )2‬‬ ‫‪Eij‬‬

‫‪r‬‬

‫‪c‬‬

‫‪2‬‬

‫‪  ‬‬ ‫‪j1 i 1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ .05‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪  2‬ﺑ درﺟﺎت‬ ‫ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪   0.05‬ﻓﺈن ‪ 5.992‬‬

‫ﺣرﯾ ﺔ ‪ . 2  1  2‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ‪ .  2  5.992‬وﺑﻣ ﺎ أن ‪  2‬ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻓﺈﻧﻧ ﺎ‬ ‫ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻟدراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑ ﯾن ﻟ ون ﺷ ﻌر اﻟ زوج واﻟزوﺟ ﺔ ﻗ ﺎم ﺑﺎﺣ ث ﺑﺈﺧﺗﯾ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م‬ ‫‪) 500‬زوج وزوﺟﺔ( وﺗم ﺳؤاﻟﮭم واﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬ ‫‪50‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪500‬‬

‫اﻟزوج‬ ‫ﺑﻧﻰ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪200‬‬

‫أﺳود‬ ‫‪10‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪150‬‬

‫اﻟزوﺟﺔ‬ ‫أﺻﻔر‬ ‫‪10‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪100‬‬

‫أﺣﻣر‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪50‬‬

‫أﺣﻣر‬ ‫اﺻﻔر‬ ‫اﺳود‬ ‫ﺑﻧﻰ‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﺎ إذا ﻛﺎﻧ ت ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن ﻟ ون ﺷ ﻌر اﻟ زوج واﻟزوﺟ ﺔ أم ﻻ ؟ وذﻟ ك ﻋﻧ د‬ ‫ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬

‫‪٣‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪ : H 0‬ﻟون ﺷﻌر اﻟزوج وﻟون ﺷﻌر اﻟزوﺟﺔ ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن‪.‬‬ ‫‪ : H1‬ﻟون ﺷﻌر اﻟزوج وﻟون ﺷﻌر اﻟزوﺟﺔ ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن‪.‬‬ ‫اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫اﻟزوج‬

‫ﺑﻧﻰ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪500‬‬ ‫ﻣن اﻟﺟدوﻟﯾن اﻟﺳﺎﺑﻘﯾن ﻓﺈن ‪:‬‬

‫اﻟزوﺟﺔ‬

‫أﺳود‬ ‫‪15‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪150‬‬

‫أﺻﻔر‬ ‫‪10‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪(Oij  E ij )2‬‬

‫‪r‬‬

‫‪c‬‬

‫أﺣﻣر‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪50‬‬

‫أﺣﻣر‬ ‫اﺻﻔر‬ ‫اﺳود‬ ‫ﺑﻧﻰ‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪2‬‬

‫‪  ‬‬

‫‪Eij‬‬

‫‪j1 i 1‬‬

‫‪ 32.56.‬‬ ‫ﻟﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‬

‫‪2‬‬ ‫‪ .05‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪  2‬ﻓ ﻲ‬ ‫‪   0.05‬ﻓ ﺈن ‪ 16.919‬‬

‫ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ . 3 × 3 = 9‬ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ‪ X2 > 16.919‬وﺑﻣ ﺎ أن ‪  2‬اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧرﻓض ‪. H 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺑﻔرض أن ﺟدول ﺗواﻓق ﻣن ﻧوع ‪ 2  3‬ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻋﯾﻧﺗﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ﺑﻔرض أن ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣ ن‬ ‫اﻟرﺟﺎل وﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻧﺳﺎء أﻋطوا رأﯾﮭم ﻓﻰ ﺑﺣث ﻣﯾداﻧﻰ وﺗم ﺗﺳﺟﯾل اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫ﻟم ﯾﻘرر‬ ‫‪25‬‬ ‫‪37‬‬

‫ﯾواﻓق‬ ‫‪118‬‬ ‫‪84‬‬

‫ﻻﯾواﻓق‬ ‫‪62‬‬ ‫‪78‬‬

‫ھل ﯾﻣﻛن اﻟﻘول أن اﻟرﺟﺎل واﻟﺳﯾدات ﯾﻔﻛرون ﺑطرﯾﻘﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪ : H 0‬اﻟرﺟﺎل واﻟﺳﯾدات ﯾﻔﻛرون ﺑطرﯾﻘﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ‪.‬‬ ‫‪ : H1‬اﻟرﺟﺎل واﻟﺳﯾدات ﻻﯾﻔﻛرون ﺑطرﯾﻘﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﮫ ﻣﻌطﺎه ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ﺳﯾدة‬ ‫رﺟل‬

‫‪102.5‬‬ ‫‪71.0396‬‬ ‫‪31.4604‬‬ ‫‪99.5‬‬ ‫‪68.9604‬‬ ‫‪30.5396‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .05‬ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ ﺗﺳ ﺎوي ‪ 2‬و ‪ .  9.78697‬وﺑﻣ ﺎ أن ‪ ‬اﻛﺑ ر ﻣ ن‬ ‫‪ 5.99146‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .05‬ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم‪.‬‬

‫إذا ﻛﺎن ﻟﻛل ﻣن اﻟﺻﻔﺗﯾن ‪ A , B‬ﻣﺳﺗوﯾﺎن ﻓﻘط ﻓﺈن اﻟﺟدول اﻟﻧﺎﺗﺞ ﯾﺗﻛ ون ﻣ ن ﺻ ﻔﯾن وﻋﻣ ودﯾن‬ ‫)أي أرﺑ ﻊ ﺧﻼﯾ ﺎ (‪ .‬ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﺟ دول اﻟﻧ ﺎﺗﺞ ﺟ دول اﻻﻗﺗ ران)‪ .(2×2‬اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛ ل ﺟ دول‬ ‫اﻗﺗران‪ .‬ﻋدد درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗرﺗﺑط ﺑﺟدول اﻻﻗﺗران ﺳوف ﺗﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ‪.‬‬ ‫اﻟﺻﻔﺔ اﻷوﻟﻰ‬

‫اﻟﺻﻔﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬ ‫‪B2‬‬

‫‪B1‬‬

‫‪ab‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪cd‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪bd‬‬

‫‪ac‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ﺻﯾﻐﺔ ﺑﺳﯾطﺔ ﻟﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﺔ‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪n(ad  bc) 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(a  c)(b  d)(c  d)(a  b‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻟدراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻧوم ﻟ ﯾﻼ ً واﻟﺗ دﺧﯾن اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ 56‬ﺷﺧﺻ ﺎ ً واﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت‬ ‫ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫اﻟﺗدﺧﯾن‬ ‫اﻟﻧــوم‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬ ‫ﻻ‬

‫ﻧﻌم‬

‫‪36‬‬

‫‪16‬‬

‫‪20‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪26‬‬

‫ﻧﻌم‬ ‫ﻻ‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫اﻟﻣطﻠ وب اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ﺎ إذا ﻛﺎﻧ ت ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟﻧ وم ﻟ ﯾﻼ ً واﻟﺗ دﺧﯾن وذﻟ ك ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪ : H 0‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫‪ : H1‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪٥‬‬

‫‪n(ad  bc) 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫)‪(a  c)(b  d)(c  d)(a  b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪56[(20)(14)  (16)(6)]2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3.376 .‬‬ ‫)‪(26)(30)(20)(36‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .05‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪  2‬ﺑ درﺟﺎت‬ ‫ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪   0.05‬ﻓ ﺈن ‪ 3.843‬‬ ‫ﺣرﯾﺔ واﺣدة ‪ .‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ . X2 > 3.843‬وﺑﻣﺎ أن ‪  2‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ‪. H 0‬‬ ‫ﺳ ﺑق أن ذﻛرﻧ ﺎ أن اﻟﺗﻛ رارات اﻟﻣﺗوﻗﻌ ﺔ ﻓ ﻲ ﻛ ل ﺧﻠﯾ ﺔ ﯾﺟ ب أن ﻻ ﯾﻘ ل ﻋ ن ‪ 5‬وإذا ﺣ دث‬ ‫وﻛﺎن أﺣد اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ أﻗ ل ﻣ ن ‪ 5‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ وم ﺑ دﻣﺞ اﻟﺗﻛ رارات ‪ .‬وﻋﻠ ﻰ أي ﺣ ﺎل ﻓ ﺈن ھ ذه‬ ‫اﻟطرﯾﻘﺔ ﻻ ﺗﺳﺗﺧدم ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺟدول اﻻﻗﺗران ‪ .‬وﻗد أﻗﺗ رح )‪ Yates (1934‬ﺗﺻ ﺣﯾﺣﺎ ً ﯾﺳ ﺗﺧدم ﻓ ﻲ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺎ إذا ﻛﺎن أﺣد اﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ أﻗل ﻣن ‪ . 5‬وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗﺻﺣﯾﺢ ﯾﺻﺑﺢ ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻ ﺎء‬ ‫اﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﯾﮫ ﻗراراﻧﺎ ھو ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n(| ad  bc |  )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫)‪(a  c)(b  d)(c  d)(a  b‬‬ ‫ﺑﺗطﺑﯾق ﺗﺻﺣﯾﺢ ‪ Yates‬ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء ﺗﺻﺑﺢ ‪:‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪56[ (20)(14)  (16)(6)  ]2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫)‪(26)(30)(20)(36‬‬

‫‪ 2.427.‬‬ ‫ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪   0.05‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل إﻟﻰ ﻧﻔ س اﻻﺳ ﺗﻧﺗﺎج اﻟ ذي ﺣﺻ ﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾ ﮫ ﺑ دون ﺗﺻ ﺣﯾﺢ‪،‬‬ ‫أي إﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ‪. H 0‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 30‬ﻓردا ً ﻓﻰ ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﺎ وﺗم ﺗﺻﻧﯾﻔﮭم ﺗﺑﻌﺎ ً ﻟﻠﺟﻧس وﻋدد ﺳ ﺎﻋﺎت‬ ‫ﻣﺷﺎھدة اﻟﺗﻠﯾﻔزﯾون ﻓﻰ ﺧﻼل أﺳ ﺑوع‪ .‬اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﺗ ﻰ ﺗ م اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﻣﻌط ﺎه ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدة‬ ‫اﻟﺟﻧس‬ ‫اﻧﺛﻰ‬

‫ذﻛر‬

‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬

‫اﻛﺛر ﻣن ‪ 25‬ﺳﺎﻋﮫ‬ ‫أﻗل ﻣن ‪ 25‬ﺳﺎﻋﮫ‬

‫ھل ﯾﻣﻛن أن ھﻧﺎك ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﺟﻧس وﻋدد ﺳﺎﻋﺎت ﻣﺷﺎھدة اﻟﺗﻠﯾﻔزﯾون وذﻟ ك ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪ : H 0‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫‪ : H1‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫‪٦‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ .05‬و ‪ .2  1.26515‬ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ ﯾﺳ ﺎوى واﺣ د ﺻ ﺣﯾﺢ ‪ .‬وﺑﻣ ﺎ أن‬ ‫‪ 3.84146‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .05‬ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم‪.‬‬ ‫‪  2‬اﺻﻐر ﻣن‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﺑﯾن ‪ 49‬ﺷﺧﺻﺎ ً ﻣﻘﺳﻣﯾن ﺣﺳب اﻟﺗدﺧﯾن واﻟﺗﻌﻠﯾم ‪:‬‬ ‫ﻏﯾر ﻣﺗﻌﻠم‬ ‫‪25‬‬ ‫‪37‬‬

‫ﻣﺗﻌﻠم‬ ‫‪62‬‬ ‫‪78‬‬

‫اﻟﺗدﺧﯾن‬ ‫ﯾدﺧن‬ ‫ﻻﯾدﺧن‬

‫اﻟﻣطﻠوب اﺧﺗﺑﺎر اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﺗدﺧﯾن واﻟﺗﻌﻠﯾم ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪ : H 0‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫‪ : H1‬اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻏﯾر ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .05‬ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﯾﺳﺎوى واﺣ د ﺻ ﺣﯾﺢ و ‪ . .2  0.0104348‬وﺑﻣ ﺎ أن‬ ‫‪ 3.84146‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .05‬ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌدم‪.‬‬ ‫‪  2‬اﺻﻐر ﻣن‬

‫‪٧‬‬