متباينة تشيبيشف بطريقة مبسطة by Tharwat Abdelmonem

‫ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷف‬ ‫ﺣـدود اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪Bounds On Probability‬‬ ‫ﻣن اﻟﻣﻣﻛن ‪ ،‬ﻓﻲ ﺑﻌض اﻟﺣﺎﻻت ‪ ،‬إﯾﺟﺎد ﺣدود ﻟﻼﺣﺗﻣﺎﻻت ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌزوم ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً وﻛﺎﻧت )‪ u(X‬ﻗﯾﻣـﺔ ﺣﻘﯾﻘﯾـﺔ ﻣوﺟﺑـﺔ ﻟداﻟـﺔ ‪ ،‬ﻓﺈﻧـﻪ ﻷي ﻋـدد‬ ‫‪ a‬ﺛﺎﺑت وﻣوﺟب ‪ ، a > 0 ،‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫])‪E[u(X‬‬ ‫‪P[u(X)  a] ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﺗﺣﻘق ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﻘطﻊ وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺑدال اﻟﺗﻛﺎﻣل ﺑﺎﻟﻣﺟﻣوع ‪.‬‬ ‫ﺣﺎﻟــﺔ ﺧﺎﺻــﺔ ﻣــن ﻫ ــذﻩ اﻟﻧظرﯾــﺔ ﺗﺳــﻣﻲ ﻣﺗﺑﺎﯾﻧــﺔ ﻣ ــﺎرﻛوف‬

‫‪ Markov inequality‬وﯾﻣﻛ ــن‬

‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑوﺿﻊ ‪ ، a > 0 ، u(X)  X‬ﺣﯾث أن ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫) ‪E( X‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ar‬‬

‫‪P[| X |  a] ‬‬

‫ﻧظرﯾـﺔ ‪ :‬ﻣﺗﺑﺎﯾﻧـﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷـف ‪ . Chebychev inequality‬إذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﺑﻣﺗوﺳـط‬ ‫‪ ‬وﺗﺑﺎﯾن ‪  2‬ﻓﺈﻧﻪ ﻷي ‪: k > 0‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪k2‬‬

‫‪P[ X    k] ‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪( ١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬

‫‪ 3x 3‬‬

‫‪3‬‬ ‫أﺣﺳب )أ( ] ‪P[ X ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻗﺎرﻧﻬم ﻣﻊ اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷف ‪.‬‬ ‫)ب(‬

‫‪1‬‬

‫‪f (x) ‬‬

‫‪2 3‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫]‪P[ X  2‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( ﺗﻧص ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷف ﻋﻠﻰ أﻧﻪ إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ ﺗﺑﺎﯾن ‪  2‬ﻣﺣدود ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

P[ X    k] 

. k2 .  2 ,  ‫وﻟﻛﻲ ﺗﺳﺗﺧدم ﻫذﻩ اﻟﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﻻ ﺑد ﻣن ﺣﺳﺎب‬

x2   E(X)   x. dx  2 3 2 3 2  3 1 3 3   0 , 2 3  2 2  3

2  E(X 2 )  0  E(X 2 )  

x 2.

 3



 3

1 2 3

 1 3 3 3  ( 3)   3 2 3 3 

2 3  1  2. 2 3 2 3 1 : ‫ ﻓﺈن‬1 ‫ ﺗﺳﺎوي‬3 ‫ إﻟﻲ‬ 3 ‫ ﻣن‬f ( x )  ‫وﻻن اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ‬ 2 3 3 3 P( X  )  1  P( X  ) 2 2 3 3  1  P(  X  ) 2 2 

( 3  3) 

3 2

1  

3 2 3

dx  1 

1 2 3

3 2 

3 2

3 2( ) 1 3 3 1   1 2  2 3 2 2 2 3 1

3 2 3

1

3 . 2

: ‫ ﻓﺈن‬ 2  1 ‫ وﺗﺑﺎﯾن‬ = 0 ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷف ﺑﻣﺗوﺳط‬ 3  1 1 4  P  X  0  .1    2  ( 3 )2 ( 9 ) 9  2 4 : ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ 2

‫‪3 4‬‬ ‫‪P( X  )  .‬‬ ‫‪2 9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺿﺑوط ‪~.134‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P  X  2   1  P( X  2),‬‬ ‫)ب(‬ ‫‪ 1  P(2  X  2).‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f ( x ) ‬ﻣن ‪ x   3‬إﻟﻲ ‪ x  3‬وﻷن ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﻧﻛﺎﻣل‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪ f ( x )  0 ,‬ﻋﻧــد ‪ x   3‬أو ‪ x  3‬وﺣﯾــث‬ ‫‪32 , 2 3‬‬

‫‪ 1 ‬أﻗل ﺑﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌطﻲ ﻣن ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷف‪.‬‬

‫أن ﻣﺟﺎل اﻟداﻟﺔ )‪ f (x‬ﻫو ‪  3  X  3‬ﻓﺈن ‪ P(2  X  2)  1‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪P( X  2)  1  P(2  X  2)  1  1  0 .‬‬ ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷف ﻹﯾﺟﺎد اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل )‪ P ( X  2‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2  1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪k2‬‬

‫ﻓـﺈن ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪22 4‬‬

‫‪P( X  0  2.(1)  P( X  2) ‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻣرة أﺧرى اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﺿـﺑوط أﻗـل ﺑﻛﺛﯾـر ﻣـن اﻟﺣـد اﻷﻋﻠـﻰ‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ واﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺿـﺑوطﺔ‪ .‬وﻟﻛـن ﻓـﻲ ﻛﺛﯾـر ﻣـن اﻟظـروف اﻟﻣﻌﻣﻠﯾـﺔ ﻋﻧـدﻣﺎ ﯾﻛـون اﻻﺣﺗﻣـﺎل‬

‫‪ .‬واﺿـﺢ أن ﻫﻧـﺎك ﻓرﻗـﺎً ﻛﺑﯾـراً ﺑـﯾن‬

‫ﻣﺟﻬوﻻً ﯾﻛـون اﻟﺣـد اﻷﻋﻠـﻰ اﻟﻣﺣﺳـوب ﻣـن ﻣﺗﺑﺎﯾﻧـﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷـف ) ورﺑﻣـﺎ ﻻ ﯾﻛـون ﻏﯾـر دﻗﯾـق ( ﻣﻔﯾـداً‬ ‫ﺟداً ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢‬‬ ‫اﺳﺗﺧدم ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷف ﻹﯾﺟﺎد ﺣد أدﻧـﻲ ﻟﻼﺣﺗﻣـﺎل )‪ P(4  X  20‬ﺣﯾـث ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـر‬ ‫ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ‪   8‬وﺗﺑﺎﯾن ‪.  2  9‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺗﻌط ــﻲ ﻣﺗﺑﺎﯾﻧ ــﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷ ــف اﻟﺻـ ـﯾﻐﺔ‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪k‬‬

‫‪ . P (  k  X    k)  1 ‬ﺑﻔ ــرض أن‬

‫‪   k  20,   k  4‬و ‪ .    2  9  3 ,  2  9 ,   8‬وﻋﻠ ـ ـ ـ ـ ــﻰ‬ ‫ذﻟك ‪ k‬ﻻ ﺑد أن ﺗﺣﻘق اﻟﺷرط أن‬

‫‪ 8 – 3k = -4‬أو ‪ 8 + 3k = 20‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪ k = 4‬وﻣﻧﻬﺎ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪16 16‬‬ ‫‪(4) 2‬‬

‫‪P(4  X  20)  1 ‬‬

‫‪15‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ) ‪ P( -4 < X < 20‬ﻫو‬ ‫‪16‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪( ٣‬‬ ‫أوﺟد اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ) ‪ P( -3 < X < 3‬إذا ﻛﺎن ‪.  2  1 ,   0‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪. P(  k  X    k)  1 ‬ﺑﻣـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ أن‬

‫ﻣـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــن ﻣﺗﺑﺎﯾﻧـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــف‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪   1 ,   0‬ﻓـﺈن ‪   k  3‬وﻣﻧﻬـﺎ ‪ 0 – k (1) = -3‬أو ‪ –k = -3 , k = 3‬وﻋﻠـﻰ‬ ‫ذﻟك ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪P (0  3  X  0  3)  1 ‬‬

‫‪32‬‬ ‫‪1 8‬‬ ‫‪ P( 3  X  3)  1   ,‬‬ ‫‪9 9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻫو‬ ‫‪9‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪( ٤‬‬ ‫إذا ﻛ ــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـ ـ ار ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎ ﯾﻣﺛ ــل ﻋ ــدد اﻟﻘ ــﺎدﻣﯾن ﺧ ــﻼل ﯾ ــوم و ﻓ ــﻲ ﻓﺗـ ـرة زﻣ ــن ﻣﻌ ــﯾن اﻟ ــﻰ ﻣﻛﺗ ــب‬ ‫ﻣﺑﯾﻌ ــﺎت ﺗ ــذاﻛر اﻟﺳ ــﻔر و ﻛ ــﺎن اﻟﻣﺗوﺳ ــط اﻟﺣﺳ ــﺎﺑﻲ ﻫ ــو ‪ ٢٠‬و اﻧﺣ ارﻓـ ـﻪ اﻟﻣﻌﯾ ــﺎري ﻫ ــو ‪ ٢‬أﺳ ــﺗﺧدم‬ ‫ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﺷف ﻓﻲ اﯾﺟﺎد اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل )‪٠ P(16  X  24‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣن ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﺷف ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪k2‬‬

‫‪P(  k  X    k)  1 ‬‬

‫وﺑﻣﺎ أن ‪   20   2‬ﻓﺄن ‪  k  24,   k  16‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪٠ P(16  X  24)  1  ‬‬ ‫وﻋﻠﯾﻪ ﻓﺄن ‪ k  2‬أذن ‪:‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥‬‬ ‫‪4‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ وﺳط ﺣﺳﺎﺑﻲ ‪   8‬وﺗﺑﺎﯾن ‪ 2  9‬وﻏﯾر ﻣﻌروف اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫أوﺟد‪:‬‬

‫أ( اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل )‪٠ P(4  X  20‬‬

‫ب( )‪٠ P( X 8 6‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ا‪ -‬ﻣن ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﺷف ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(  k  X    k)  1 ‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪  k  4,   k  20.‬‬ ‫وﺑﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن ﻓﺈن ‪٠ k  4‬‬ ‫أي أن ‪:‬‬

‫‪1 15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪16 16‬‬ ‫ب‪ -‬ﻣن ﻣﺗﺑﺎﻧﯾﺔ ﺗﺷﯾﺑﺷف ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P X  8  k ‬‬ ‫‪k2‬‬

‫‪P(4  X  20)  1 ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫ﺑوﺿﻊ ‪ k  2‬ﻓﺄن‬

‫‪1‬‬ ‫‪k2‬‬

‫‪P X  8  3k ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪P X 8  6 .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٦‬‬

‫‪1‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ﺣﺳﺎﺑﻲ ‪   0‬وﺗﺑﺎﯾن‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺗﺷﯾﺑﺷف ﻓﻲ أﯾﺟﺎد اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪٠ P( X  1) :‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣن ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﺷف ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪k 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 k2‬‬

‫‪P X 0 ‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ 2 ‬أﺳﺗﺧدم ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ‬

‫وﺑوﺿﻊ ‪ k  2‬ﻓﺄن‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪P X 0  1  .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٧‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  ‬وأﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ﺣﺳﺎﺑﻲ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪44‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻣﺗﺑﺎﻧﯾﺔ ﺗﺷﯾﺑﺷف ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.P( X  ‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪44‬‬

‫‪  ‬أوﺟد‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪k2‬‬

‫‪P X‬‬

‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن ‪ k  2‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪P X ‬‬ ‫‪1  .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪44‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪( ٨‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﻣﻧﺗﺟﺔ ﺧﻼل اﺳﺑوع ﻓﻲ ﻣﺻﻧﻊ ﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬ ‫‪   50‬وﺗﺑﺎﯾﻧﻪ ‪ 2  25‬أوﺟد اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل )‪٠ P(40  X  60‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﺷف ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(  k  X    k)  1 ‬‬ ‫‪k2‬‬

‫ﺑوﺿﻊ ‪:‬‬

‫‪  k  60‬‬

‫‪,‬‬

‫‪  k  40‬‬

‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻲ أن ‪k  2‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪4 4‬‬

‫‪ P(40  X  60)  1 ‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٩‬‬ ‫‪6‬‬

‫إذا ﻛــﺎن اطـ ـوال ط ــﻼب اﻟﺟﺎﻣﻌ ــﺔ ﯾﺗﺑ ــﻊ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ــﻲ ﺑﻣﺗوﺳ ــط‬

‫‪ 170‬واﻧﺣـ ـراف ﻣﻌﯾ ــﺎري ‪8‬‬

‫اﺳ ــﺗﺧدم ﻣﺗﺑﺎﯾﻧ ــﺔ ﺗﺷﯾﺑﺷ ــف ﻻﯾﺟ ــﺎد اﻹﺣﺗﻣ ــﺎل ‪ P X 170  12‬وﻗﺎرﻧ ــﺔ ﺑﺎﻻﺣﺗﻣ ــﺎل اﻟﺣﻘﯾﻘ ــﻲ ﻣ ــن‬ ‫ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‪٠‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣن ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﺷﯾف ﻧﻌﻠم أن‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪k2‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪ k  1.5‬وﻣﻧﻪ‪:‬‬

‫‪P X 170  k ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 0.44.‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪(1.5)2‬‬

‫‪P X 170  12 ‬‬

‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺿﺑوطﺔ ﻟﻬذا اﻹﺣﺗﻣﺎل ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ واﻟﺗﻲ ﺗﻘﺎﺑل ‪:‬‬

‫‪P(158  X  182)  P(1.5  Z  1.5)  2(0.4332)  0.866.‬‬ ‫واﺿﺢ أن ﻫﻧﺎك ﻓرﻗﺎ ﻛﺑﯾ ار ﺑﯾن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ واﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺿﺑوطﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(١٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎن‬

‫‪X‬‬

‫ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل‬ ‫ًا‬

‫)‪12x 2 (1 x‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬

‫‪0 x 1‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎن ‪E(X)  0.6, 2  0.04,   0.2‬‬ ‫أوﺟد ‪ P X E(X)  0.4‬وﻗﺎرﻧﻬﺎ ﺑﺎﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺿﺑوط‪٠‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(2)2‬‬

‫‪P X 0.6  0.4 ‬‬

‫ﺣﯾث ‪k  2‬‬

‫اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺿﺑوط ﯾﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪7‬‬

‫‪P X 0.6  0.4,‬‬ ‫‪ P(X 0.6)0.4  P(X 0.6)0.4‬‬ ‫)‪ P(X 1) P(X 0.2)0 P(X0.2‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪ x3 x 4 ‬‬ ‫‪12  x 2 (1 x)dx 12   ‬‬ ‫‪ 3 4 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١١‬‬ ‫إذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﯾﺄﺧـذ اﻟﻘـﯾم ‪ -1,0,1‬ﺑﺈﺣﺗﻣـﺎﻻت ‪1/8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   0, 2 ‬أوﺟد اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﺷﯾف‪٠ P X  :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,6/8,‬‬

‫‪ 1/8‬ﻋﻠـﻰ اﻟﺗـواﻟﻲ وﻋﻠـﻰ ذﻟـك‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣن ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﺷف ﻧﺟد أن‬

‫‪1‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻹﺣﺗﻣﺎل‬ ‫‪2‬‬

‫‪P X   k  1 ‬‬

‫‪ P X ‬ﯾﻛﺗب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫أي أن ‪ k  1‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫) (‪P X 0  2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  11  0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪PX‬‬