اﻟﺗﺣوﯾــﻼت ﻟﻛﻲ ﯾﻛون ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﺑﻧﯾﺎ ﻋﻠﻰ أﺳﺎس ﻋﻠﻣﻲ ﻓﻘد ﯾﺗطﻠب اﻷﻣر إﺟراء ﺗﺣوﯾﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﻗﺑل إﺟراء ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن و ذﻟك ﻟﺿﻣﺎن ﺗﺟﺎﻧس اﻟﺗﺑﺎﯾن وأن ﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻣﻌﺗدﻟﺔ .ﯾﻣﻛن ﺗﻌرﯾف اﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ ﺑﺄﻧﮭﺎ ﺗﻐﯾﯾر ﻓﻲ ﻣﻘﯾﺎس اﻟﻣﺷﺎھدات ﻟﻠﺻﻔﺔ ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ .ﻋﺎدة ﯾﺣدث ﻋدم اﻻﻋﺗدال و ﻋدم اﻟﺗﺟﺎﻧس ﻓﻲ آن واﺣـد وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺎن ﻧﻔس اﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ ،ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ،ﻗد ﺗؤدي اﻟﻰ اﻋﺗدال اﻟﺗوزﯾﻌﺎت وﺟﻌل اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻛﺛر ﺗﺟﺎﻧﺳـﺎ .ﺗﻌﺗﺑر اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت و ﻣﺗوﺳطﺎﺗﮭﺎ أداة ﺗﺳﺎﻋدﻧﺎ ﻓﻲ اﺧﺗﯾﺎر اﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ .ﻧﺗﻧﺎول ﻓﻲ ھذا اﻟﺑﻧد ﺛﻼث ﺣﺎﻻت ﺗوﺿﺢ ﺷﻛل اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت وﻣﺗوﺳطﺎﺗﮭﺎ واﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ ﻓﻲ ﻛل ﺣﺎﻟﺔ . اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت وﻣﺗوﺳطﺎﺗﮭﺎ: 2 ) ا ( ﻋﻧدﻣﺎ i i أي أن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﯾﺗﻧﺎﺳب ﻣﻊ ﻣﺗوﺳطﮭﺎ ﺑﻣﻌﻧﻰ اﻧﮫ إذا زاد ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ زاد ﺗﺑﺎﯾﻧﮭ ﺎ و اﻟﻌﻛ س ﺻ ﺣﯾﺢ .و ﯾﻣﻛ ن اﻟﺗﻌ رف ﻋﻠ ﻰ ھ ذه اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺑﺳ ﮭوﻟﺔ ﻋ ن طرﯾ ق رﺳ م ﺑﯾ ﺎﻧﻲ ﯾوﺿﺢ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗوﺳ ط و اﻟﺗﺑ ﺎﯾن .ھ ذه اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺗﺣ دث ﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻛ ون ﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ ﯾﺗﺑ ﻊ ﺑواﺳ ون .ﻟﮭ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ،ﻓ ﺎن ﺗﺣوﯾﻠ ﺔ اﻟﺟ ذر اﻟﺗرﺑﯾﻌ ﻲ ﺳ وف ﺗ ؤدي اﻟ ﻰ ﺟﻌ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن اﻛﺛر ﺗﺟﺎﻧﺳﺎ و ھﻲ ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ : Yij'
Yij ﺣﯾ ث Yij
ﺗﻣﺛ ل اﻟﻣﺷ ﺎھدة اﻷﺻ ﻠﯾﺔ و ' Yijﺗﻣﺛ ل اﻟﻣﺷ ﺎھدة ﺑﻌ د اﻟﺗﺣوﯾﻠ ﺔ .إذا ﻛ ﺎن ﺿ ﻣن
اﻟﻣﺷﺎھدات ﻗﯾﻣﺔ ﻟـ Yأﻗل ﻣن 10ﻓﺈن اﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ اﻷﻛﺛر ﻣﻼﺋﻣﺔ ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : Yij' Y ij Y ij 1 أو اﻟﺷﻛل :
3 8
Y ij
Yij'
أو:
1 2
Y ij
Yij'
ﻣﺛﺎل )(١٧-٢
3 اﺳﺗﺧدم اﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ 8 ﺑﻌد اﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ ﻣن ﺣﯾث ﺗﺟﺎﻧس اﻟﺗﺑﺎﯾن. Y ij
0 4 11 2
ﻟﻠﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول ) ( ٣٢-٢و ﻧﺎﻗش اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ ﻗﺑ ل و
3 2 5 0
ﺟدول )(٣٢-٢ 2 8 6 1
اﻟﺣـل : ١
0 4 5 4
2 6 9 2
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 1 اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 2 اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 3 اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 4
ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﺟدول ) (٣٢-٢ﻓﺈن اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻋﻧد ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﻣﻌطﻰ ﻓﻲ ﺟدول ) . (٣٣-٢
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ4 1.8
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ3 7.2
ﺟدول )(٣٣-٢ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ2 4.8
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ1 1.4
Yi.
2.2
7.2
5.2
1.8
si2
اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن Yi.و si2واﻟﻣﻌط ﺎة ﻓ ﻲ ﺟ دول ) (٣٣-٢ﻣوﺿ ﺣﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ ﻓ ﻲ ﺷ ﻛل ) .(١١-٢و ﺑﻌد اﺳﺗﺧدام اﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ اﻵﺗﯾﺔ :
3 8 ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﻌطﺎه ﻓﻲ اﻟﺟدول ) (٣٢-٢ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول ).(٣٤-٢ Yij
Yij'
Spread vs. Level Plot of Y 8
7
6
5
3
2 1 8
7
6
5
4
2
3
)Spread (Variance
4
1
)Level (Mean
ﺷﻛل )(١١-٢
0.612372 2.09165 3.37265 1.5411
1.83712 1.5411 2.3184 0.612372
ﺟدول )(٣٤-٢ 0.612372 1.5411 2.09165 2.89396 2.3184 2.52488 2.09165 1.1726 ٢
1.5411 2.52488 3.06186 1.5411
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 1 اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 2 اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 3 اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 4
ﻟﻠﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﻌطﺎه ﻓﻲ ﺟدول ) (٣٤-٢ﻓﺈن اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﻣﻌطﻰ ﻓﻲ ﺟدول )-٢ ) ، (٣٥اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺣوﻟﺔ ( وﺣﯾث اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت s i2اﺻﺑﺣت اﻛﺛر ﺗﺟﺎﻧﺳﺎ. ﺟدول )(٣٥-٢ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 1 اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 2 اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 3 اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 4 1.22881 2.22865 2.71925 1.39177 Y i.
0.225874
0.297482
0.331271
0.260161
si2
اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن s i2 , Yi.اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول ) (٣٥-٢ﻣوﺿﺣﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻓﻲ ﺷﻛل ).(١٢-٢ Spread vs. Level Plot of X1 .34
.32
.30
.28
.24
.22 2.8
2.6
2.4
2.2
1.8
2.0
1.6
1.4
)Spread (Variance
.26
1.2
)Level (Mean
ﺷﻛل )(١٢-٢ ﻣﺛﺎل )(١٨-٢ اﺳ ﺗﺧدم اﻟﺗﺣوﯾﻠ ﺔ Yij Yijو ذﻟ ك ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻣﻌط ﺎة ﻓ ﻲ ﺟ دول ) (٣٦ –٢و أﺧﺗﺑ ر اﻻﻋﺗدال ﻗﺑل و ﺑﻌد اﻟﺗﺣوﯾل ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ورق اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟطﺑﯾﻌﻲ .
6.68503 19.6864 10.8548 9.99296 20.0193 10.417 19.7593 23.7833 17.9993
ﺟدول )(٣٦-٢ 5.0732 0.66261 6.78225 13.6191 5.82406 7.72194 9.36934 21.9378 34.8322
9.25667اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 1 28.0191اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 2 27.3743اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 3
اﻟﺣـل ﯾﻌطﻲ ﺟدول ) (٣٧-٢اﻟﺑـواﻗﻲ e ij Yij Yi.ﻟﻠﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﻌطﺎه ﻓﻰ ﺟدول ). (٣٦-٢ ﺟدول )(٣٧-٢ 2.42609
11.2577
-7.7661 -1.64646 -1.74368 ٣
-3.35551
0.827961
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 1
6.36023 -3.24207 1.63251 -4.15149
-7.83501 -5.93713 -3.66611 12.6814 -2.39149
-0.212991
-0.0399657
14.36
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 2
-12.7815
5.22351
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 3
اﻟﺑواﻗﻲ اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول ) (٣٧-٢ﻣوﺿﺣﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻓﻲ ﺷﻛل ) (١٣-٢ﻋﻠﻰ ورق اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟطﺑﯾﻌﻲ وﯾﺗﺿﺢ ﺗﺑﺎﻋد اﻟﻧﻘﺎط ﻋن اﻟﺧط اﻟذي ﯾﻌﻣل ﻣﻊ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ زاوﯾﺔ ﺑدرﺟﺔ . 450 Normal P-P Plot of E1 1.00
.75
.50
0.00 1.00
.75
.25
.50
Expected Cum Prob
.25
0.00
Observed Cum Prob
ﺷﻛل )(١٣-٢ ﺑﻌد ﺗطﺑﯾق ﺗﺣوﯾﻠـﺔ اﻟﺟذر Yij' Yijﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺷـﺎھدات اﻟﻣﺣوﻟـﺔ و اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول ).(٣٨-٢ ﺟدول )(٣٨-٢ 3.04248 2.25238 0.814009 2.60428 2.58554 4.43694 3.29466اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 1 5.29331 3.69041اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ2 2.41331 2.77884 3.16116 4.47429 3.22754 5.23205 3.06094اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 3 4.68378 5.90188 4.44514 4.87681 4.24256
ﻟﻠﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺣوﻟﺔ و اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول ) (٣٨-٢ﻓﺈن اﻟﺑواﻗﻲ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول )(٣٩-٢ وﻣﻣﺛﻠﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻓﻲ ﺷﻛل ).(١٤-٢ ﺟدول )(٣٩-٢ 0.576051
1.71832
-0.133069
-0.114336
-1.9046
-0.466235
0.323866
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ1
-0.349442
0.897314
-0.415815
-0.798142
-1.16367
0.113427
1.71633
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 2
-0.392179
0.242075
-0.189594
1.26714
-1.5738 0.0490435
0.597308
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 3
٤
Normal P-P Plot of E2 1.00
.75
.50
0.00 .75
1.00
.25
.50
Expected Cum Prob
.25
0.00
Observed Cum Prob
ﺷﻛل )(١٤-٢ ﯾﺗﺿ ﺢ ﻣ ن ﺷ ﻛل ) (١٤-٢ﻗ رب اﻟﻧﻘ ﺎط ﻣ ن اﻟﺧ ط اﻟ ذي ﯾﺻ ﻧﻊ زاوﯾ ﺔ 45درﺟ ﺔ ﻣ ﻊ اﻟﻣﺣ ور اﻷﻓﻘ ﻲ ﺑدرﺟ ﺔ اﻛﺛ ر ﻣ ن اﻟﻧﻘ ﺎط ﻓ ﻲ ﺷ ﻛل ) (١٣-٢ﻣﻣ ﺎ ﯾ دل ﻋﻠ ﻰ ﺗﺣﻘ ق ﺷ رط اﻋﺗ دال اﻷﺧط ﺎء ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ﺑﻌد إﺟراء اﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ . ) ب ( ﻋﻧدﻣﺎ ) i2 i (1 i ﺗﺣدث اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺷﺎھدات اﻻﺻﻠﯾﮫ ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺷﺎھدات اﻻﺻﻠﯾﮫ ﺗﻣﺛل ﻧﺳب ﻓﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗﺣوﯾﻠﮫ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : Yij' 2 arcsine Yij
ﺣﯾث Yijﺗﻣﺛل ﻧﺳﺑﮫ وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ Yij
arcsineﻣن ﺟداول ﺧﺎﺻﺔ .
ﻣﺛﺎل )(١٩-٢ ﯾﻌطﻲ ﺟدول ) (٤٠-٢اﻟﻧﺳب اﻟﻣﺋوﯾﺔ ﻟﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن ،اﺳﺗﺧدم ﺗﺣوﯾﻠﮫ arcsineوذﻟك ﻟﺟﻌل ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت أﻛﺛر ﺗﺟﺎﻧﺳﺎ ُ.
85.8
81.3
80.1
93.7
96.0
92.6
ﺟدول )(٤٠-٢ 88.9 89.2 83.4
84.2
اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ 1
95.1
92.3
اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ 2
88.6
90.3
اﻟﺣل: ﯾﻌطﻲ ﺟدول ) (٤١-٢اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻛل ﻣﺟﻣوﻋﮫ. ﺟدول )(٤١-٢ ٥
si
s i2
Yi.
i
3.50619
12.2933
84.7
1
2.59413
6.72952
92.6571
2
أﻣﺎ ﺟدول ) (٤٢-٢ﻓﮭو ﯾﻣﺛل اﻟﻧﺳب ﻟﻠﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﻌطﺎه ﻓﻲ اﻟﺟدول ) .(٤٠-٢
0.858
0.813
0.801
0.937
0.96
0.926
ﺟدول ) (٤٢-٢ 0.889 0.892 0.834
0.842
اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ 1
0.951
0.923
اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ 2
0.886
0.903
ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗﺣوﯾﻠﮫ :
Yij
2 arcsine
'Yij
ﺛم اﻟﺿرب ﻓﻲ 180 / وذﻟك ﻟﺗﺣوﯾل اﻟﻘﯾم إﻟﻰ اﻟدرﺟﺎت ﺑدﻻ ﻣن اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟداﺋري ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻌطﺎه ﻓﻲ ﺟدول ).(٤٣-٢ ﺟدول )(٤٣-٢ 141.078 141.628 131.913 127.013 128.756 135.725
133.157
اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ 1
154.422 143.707 140.534
147.779
اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ 2
156.926 150.927
148.43
ﻟﻠﻘﯾم اﻟﻣﻌطﺎه ﻓﻲ ﺟدول ) (٤٣-٢ﯾﻌطﻲ ﺟدول ) Yi. , s i2 , s i , (٤٤-٢ﻟﻛل ﻣﺟﻣوﻋﮫ . ﺟدول )(٤٤-٢ si
s i2
Yi.
i
5.66299
32.0694
134.181
1
5.73633
32.9055
148.961
2
ﯾﻼﺣظ ﻣن ﺟدول ) (٤٤-٢أن ﻛل ﻣن s i2 , siأﺻﺑﺢ أﻛﺛر ﺗﺟﺎﻧس.
) ج ( ﻋﻧدﻣﺎ i2 k 2 i2 اى أن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﯾﺗﻧﺎﺳب ﻣﻊ ﻣﺗوﺳطﺎﺗﮭﺎ ﺑﻣﻌﻧﻰ أن ﻛﻠﻣﺎ زاد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري زاد اﻟﻣﺗوﺳطﺎت واﻟﻌﻛس ﺻﺣﯾﺢ ،ﻟﮭذه اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻓﺎن اﻟﺗﺣوﯾﻠﮫ اﻟﻠوﻏﺎرﺗﻣﯾﮫ ﺳوف ﺗؤدي إﻟﻰ ﺗﺣﻘق ﺗﺟﺎﻧس اﻟﺗﺑﺎﯾن ﺣﯾث :
Yij' log Yij وﻟﻠﺗﻐﻠب ﻋﻠﻰ ﻣﺷﻛﻠﺔ ﻗﯾم Yاﻟﻘرﯾﺑﺔ ﻣن اﻟﺻﻔر ) اﻟﺻﻐﯾرة ﺟدا أو اﻟﻣﺳﺎوﯾﺔ ﻟﻠﺻﻔر ( ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺗﺣوﯾﻠﮫ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ٦
)Yij' log (Yij 1 ﻏﺎﻟﺑﺎ ﻣﺎ ﯾﻛون ﻟﻠﺗﺣوﯾﻠﮫ اﻟﻠوﻏﺎرﺗﻣﯾﮫ ﺗﺄﺛﯾر ﻓﻌﺎل ﻓﻲ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﻌﺗدﻟﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت ذات اﻻﻟﺗواء اﻟواﺿﺢ .ﻣﺛل ھذه اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﺗﺣدث ﻓﻲ اﻷﺑﺣﺎث اﻟﻧﻔﺳﯾﺔ ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟﺻﻔﺔ ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ ﻟﮭﺎ ﻣﻘﯾﺎس زﻣﻧﻲ ﻣﺛل ﻋدد اﻟﺛواﻧﻲ ﻹﺗﻣﺎم ﻣﮭﻣﺔ ﻣﺎ .رﺑﻣﺎ ﯾﺗطرق إﻟﻰ اﻟذھن اﻟﺳؤال :طﺎﻟﻣﺎ ھﻧﺎك ﺗﻧﺎﺳب ﺑﯾن اﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟﻣﻌﯾﺎرﯾﺔ واﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﻓﻠﻣﺎذا ﻟم ﺗﺳﺗﺧدم ﻓﻛره ﺗﺣوﯾﻠﺔ اﻟﺟذر؟ واﻟﺟواب :إن ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺧﺎرج ﻗﺳﻣﺔ اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﮫ ﻣﻊ ﺧﺎرج ﻗﺳﻣﺔ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺗوﺳط ھو اﻟذي ﯾﺣدد ﻟﻧﺎ أي ﻣن اﻟﺗﺣوﯾﻠﺗﯾن ﻧﺧﺗﺎر . ﻣﺛﺎل )(٢٠-٢ ﻗدر اﻟﺗﺣوﯾﻠﮫ اﻷﻛﺛر ﻣﻼﺋﻣﺔ ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﺟدول )(٤٥-٢واﻟﺗﻰ ﺗﺟﻌل اﻟﺗﺑﺎﯾن أﻛﺛر ﺗﺟﺎﻧﺳﺎ. ﺟدول ) (٤٥-٢ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 1 3.5 3.6 3.3 2.9 3.1 6.9
6.3
6.4
7.6
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 2
7.5
اﻟﺣل : اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﮫ ﻣن اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت اﻟﻣﻌط ﺎه ﻓ ﻲ ﺟ دول )-٢ (٤٥ﻣﻌطﺎه ﻓﻲ اﻟﺟدول ) . (٤٦-٢ ﺟدول ) (٤٦-٢ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 1 اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 2 6.94
3.28
Yi.
0.363
0.082
si2
0.602495
0.286356
si
وﯾﻌطﻲ ﺟدول ) (٤٧-٢ﺧﺎرج اﻟﻘﺳﻣﺔ s i2 / Yi. Yi. , si /ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﮫ .
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 2
ﺟدول )(٤٧-٢ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 1
0.0523055
0.0250
s i2 / Yi.
0.0868148
0.0873038
si / Yi.
وﺑﻌد اﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن ﺧﺎرﺟﻲ اﻟﻘﺳﻣﺔ ﯾﺗﺿﺢ أن si / Yi.أﻛﺛر ﺛﺑﺎﺗﺎ s i2 / Yi.ﻟ ذﻟك ﺳ وف ﻧﺳ ﺗﺧدم ﺗﺣوﯾﻠﮫ اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗم :
)Yij' log (Yij 1
٧
ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻣﻌط ﺎه ﻓ ﻲ ﺟ دول ) (٤٥-٢وذﻟ ك ﻟﻠﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻲ اﻟﻘ ﯾم ' Yijواﻟﻣﻌط ﺎه ﻓ ﻲ اﻟﺟدول ) . (٤٨-٢
1.6319
1.69186
1.11405
1.15832
ﺟدول ) (٤٨-٢ 1.50885 1.57861
1.5309
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 1
1.15044
1.07594
اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 2
1.07009
ﻟﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﮫ ﻣن اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺗﯾن ﻓﻲ ﺟدول ) (٤٨-٢ﻧوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن واﻟﻣﻌطﺎه ﻓﻲ اﻟﺟدول ) . (٤٩-٢ ﺟدول )(٤٩-٢ اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 1 اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ 2 1.58842 1.11377 Yi.
si2 0.00558194 0.00166697 وﯾﺗﺿﺢ ﻣﻧﺎﺳﺑﺔ اﻟﺗﺣوﯾﻠﮫ اﻟﻣﺧﺗﺎره ﻟﻠﻣﺷﺎھدات واﻟﺗﻲ ﺗﺣﻘق ﺗﺟﺎﻧس اﻟﺗﺑﺎﯾن .
اﺳﻠوب رﯾﺎﺿﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺣوﯾﻠﮫ اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ. ﻋﻣوﻣﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻲ اﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ رﯾﺎﺿﯾﺎ ﺑﺈﺗﺑﺎع ﻣﺎ ﯾﺄﺗﻲ: ﻟﯾﻛن ھو ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﻟﻠﻣﺷﺎھدات اﻻﺻﻠﯾﺔ وﻟﯾﻛن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل: 2 f () . أى أن ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت داﻟﺔ ﻓﻲ ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت .ﻟ ﯾﻛن ) (ﺗﻣﺛ ل ﺗﺣوﯾﻠ ﮫ ﻓ ﺈن ﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﺗﺳﺎوى: 2
d ) f( d 2
أو :
d
d. )f( ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﺛﺎﺑﺗﮫ ،ﻟﯾﻛن ، k 2ﻓﻼ ﺑد أن : kd () . )f ( ﻋﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ،ﺑﻔرض أن 2 2 f () c . ﻓﺈن: df df c2 , d 2 . d c وﻋﻠﻲ ذﻟك:
kdf
2k 1 2k 3 df 3 . 2 c c 2 c 2 c ٨
()
وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻟﺟﻌل 2ﺗﻣﺛل ﺛﺎﺑت ﻣﻌﯾن ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺳﺗﺧدم:
() . وﺑدﻻﻟﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات اﻻﺻﻠﯾﺔ ﻓﺈن ھذه اﻟﺗﺣوﯾﻠﺔ .ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ: (Yij ) Yij' Yij .
٩