ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﯾﺑﯾﺷف
ﺣدود اﻻﺣﺗﻣﺎل Bounds On Probability
ﻣن اﻟﻣﻣﻛن ،ﻓﻲ ﺑﻌض اﻟﺣﺎﻻت ،إﯾﺟﺎد ﺣدود ﻟﻼﺣﺗﻣﺎﻻت ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌزوم . ﻧظرﯾــﺔ ) (١إذا ﻛــﺎن Xﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً وﻛﺎﻧــت ) u(xﻗﯾﻣــﺔ ﺣﻘﯾﻘﯾــﺔ ﻣوﺟﺑــﺔ ﻟداﻟــﺔ ،ﻓﺈﻧــﻪ ﻷي ﻋدد aﺛﺎﺑت وﻣوﺟب ، a > 0 ،ﻓﺈن :
]) E[u ( x a
اﻟﺑرﻫﺎن : إذا ﻛﺎن :
P[u (X ) a ]
}A {x u ( x ) a
ﻓﺈﻧﻪ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻﻼً ﯾﻛون :
E[u ( X)] u ( x )f ( x ) dx
u ( x )f ( x ) dx u ( x )f ( x ) dx Ac
A
u ( x ) f ( x ) dx A
af ( x ) dx A
] a P[X A aP[u (X) a ]. اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﺗﺣﻘق ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﻘطﻊ وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺑدال اﻟﺗﻛﺎﻣل ﺑﺎﻟﻣﺟﻣوع . ﺣﺎﻟــﺔ ﺧﺎﺻــﺔ ﻣــن اﻟﻧظرﯾــﺔ ) (١ﺗﺳــﻣﻲ ﻣﺗﺑﺎﯾﻧــﺔ ﻣــﺎرﻛوف
Markov inequalityوﯾﻣﻛ ــن
اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑوﺿﻊ ، a > 0 ، u ( x ) xﺣﯾث أن : r
r
.
) E( X r
P[| X | a ]
a
ﻧظرﯾــﺔ ) ( ٢ﻣﺗﺑﺎﯾﻧـﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷــف . Chebychev inequalityإذا ﻛــﺎن Xﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﺑﻣﺗوﺳط وﺗﺑﺎﯾن 2ﻓﺈﻧﻪ ﻷي : k > 0
1 k2
اﻟﺑرﻫﺎن :
P[ X k]
إذا ﻛﺎن u (X ) (X ) 2 , a k 2 2ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ ﻧظرﯾﺔ ) (١ﻓﺈن :
1
E ( X ) 2
2
2 2
. k 2 2 k2 وﻣﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﻟوﺻول إﻟﻰ إﺛﺑﺎت اﻟﻧظرﯾﺔ .ﻫﻧﺎك ﺻﯾﻐﺔ ﺑدﯾﻠﺔ ﻟﻠﺳﺎﺑﻘﺔ وﻫﻲ : 1 P[ X k] 1 2 . k ﺑوﺿﻊ kﻓﺈن : ,
2 2
P[(X ) k ]
P[ X ] 1 2
P[ X ]
2 ﺑوﺿـﻊ k = 2ﻓﺈﻧﻧـﺎ ﻧﺟـد أن اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ﯾﻘـﻊ ﺿـﻣن اﻧﺣـراﻓﯾﯾن ﻣـن اﻟﻣﺗوﺳـط ﺑﺎﺣﺗﻣـﺎل ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﯾﺳﺎوى . 0.75 ﻣﺛﺎل :إذا ﻛﺎن Xﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل :
1
f (x )
3x 3 2 3 0 elsewhere. 3 أﺣﺳب )أ( ] P[ x 2 وﻗﺎرﻧﻬم ﻣﻊ اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷف . )ب(
]P[ x 2
اﻟﺣـــل ) :أ( ﺗ ــﻧص ﻣﺗﺑﺎﯾﻧ ــﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷ ــف ﻋﻠ ــﻰ أﻧ ــﻪ إذا ﻛ ــﺎن Xﻣﺗﻐﯾـ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﻟ ــﻪ ﺗﺑ ــﺎﯾن 2
ﻣﺣدود ﻓﺈن : 1
P[ X k]
. k2 وﻟﻛﻲ ﺗﺳﺗﺧدم ﻫذﻩ اﻟﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﻻ ﺑد ﻣن ﺣﺳﺎب . 2 ,
E(X)
3 1 dx x. 3 2 3
x2 2 3 2 1
3
3
: ﻓﺈن1 ﺗﺳﺎوي
3
1 3 3 0 , 2 3 2 2
2 E (X 2 ) 0 E(X 2 ) x 2 .
3
1 2 3
dx
1 3 3 3 ( 3 ) 3 2 3 3 1 2 3
( 3 3)
2 3 1 2 . 2 3
3 إﻟﻲ 3 ﻣنf (x )
1 2 3
وﻻن اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ
3 3 P ( x ) 1 P( x ) 2 2 3 3 1 P( X ) 2 2 3 2
1
1 3 2
2 3
dx 1
1 2 3
x
3 2
3 2
3 2( ) 1 3 3 1 1 2 2 3 2 2 2 3 1
3 2 3
1
3 . 2
: ﻓﺈن 2 1 وﺗﺑﺎﯾن = 0 ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷف ﺑﻣﺗوﺳط
3 1 1 4 P X 0 .1 3 9 2 ( )2 ( ) 9 2 4 3 4 P( X ) . 2 9
: وﻋﻠﻰ ذﻟك
3 اﻻﺣﺗﻣـ ــﺎل اﻟﻣﺿـ ــﺑوط ~.134 2 ﺗﺷﯾﺑﯾﺷف.
)ب(
1 أﻗـ ــل ﺑﻛﺛﯾـ ــر ﻣـ ــن اﻟﺣـ ــد اﻷﻋﻠـ ــﻰ اﻟﻣﻌطـ ــﻲ ﻣـ ــن ﻣﺗﺑﺎﯾﻧـ ــﺔ
)P X 2 1 P( X 2 ) 1 P(2 X 2 ﺳوف ﻧﻛﺎﻣل
2 3
1
f (x ) ﻣن x 3إﻟﻲ x 3وﻷن :
2 3 32 ,
,
f ( x ) 0ﻋﻧــد x 3أو x 3وﺣﯾــث
أن ﻣﺟﺎل اﻟداﻟﺔ ) f(xﻫو 3 X 3ﻓﺈن P(2 X 2) 1وﻋﻠﻰ ذﻟك : P( X 2) 1 P(2 X 2) 1 1 0 . وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷف ﻹﯾﺟﺎد اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ) P( X 2ﺣﯾث : 0
,
2 1
,
k2
ﻓـﺈن :
1 1 P ( X 0 2.(1) P ( X 2) 2 . 4 2 1 ﻣـرة أﺧـرى اﻻﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻣﺿـﺑوط أﻗـل ﺑﻛﺛﯾـر ﻣـن اﻟﺣـد اﻷﻋﻠـﻰ 4 ﺑــﯾن اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﯾــﺔ واﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣﺿــﺑوطﺔ .وﻟﻛــن ﻓــﻲ ﻛﺛﯾــر ﻣــن اﻟظــروف اﻟﻣﻌﻣﻠﯾــﺔ ﻋﻧــدﻣﺎ ﯾﻛــون .واﺿـﺢ أن ﻫﻧـﺎك ﻓرﻗـﺎً ﻛﺑﯾـراً
اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻣﺟﻬــوﻻً ﯾﻛــون اﻟﺣــد اﻷﻋﻠــﻰ اﻟﻣﺣﺳــوب ﻣـن ﻣﺗﺑﺎﯾﻧــﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷــف ) ورﺑﻣــﺎ ﻻ ﯾﻛــون ﻏﯾــر دﻗﯾق ( ﻣﻔﯾداً ﺟداً .
ﻣﺛـﺎل :اﺳـﺗﺧدم ﻣﺗﺑﺎﯾﻧــﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷـف ﻹﯾﺟـﺎد ﺣــد أدﻧـﻲ ﻟﻼﺣﺗﻣـﺎل ) P(4 X 20ﺣﯾــث X ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط 8وﺗﺑﺎﯾن . 2 9 اﻟﺣــــــل :ﺗﻌطـ ـ ــﻲ ﻣﺗﺑﺎﯾﻧـ ـ ــﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷـ ـ ــف اﻟﺻـ ـ ــﯾﻐﺔ
1 2
. P( k X k) 1
k ﺑﻔـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــرض أن k 20, k 4و . 2 9 3 , 2 9 , 8وﻋﻠﻰ ذﻟك kﻻ ﺑد أن ﺗﺣﻘق اﻟﺷرط أن 8 – 3k = -4أو 8 + 3k = 20وﻋﻠﻰ ذﻟك k = 4وﻣﻧﻬﺎ : 1 1 15 P(4 X 20) 1 1 . 2 16 16 )(4
15 وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ) P( -4 < X < 20ﻫو 16
.
ﻣﺛﺎل :أوﺟد اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ) P( -3 < X < 3إذا ﻛﺎن . 2 1 , 0 1
. P ( k X k) 1 ﺑﻣ ـ ـ ـ ــﺎ أن
اﻟﺣـــــــــل :ﻣـ ـ ـ ــن ﻣﺗﺑﺎﯾﻧ ـ ـ ـ ــﺔ ﺗﺷﯾﺑﯾﺷ ـ ـ ـ ــف k2 1 , 0ﻓﺈن k 3وﻣﻧﻬـﺎ 0 – k (1) = -3أو –k = -3 , k = 3وﻋﻠـﻰ ذﻟك :
1
P (0 3 X 0 3) 1
32 1 8 P (3 X 3) 1 , 9 9 8 وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻫو 9
.