المئينات percentile

‫اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت‬

‫‪Percentile‬‬

‫ﯾﻣﻛن وﺻف ﺧﺻﺎﺋص أﺧرى ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻣن ﺧﻼل ﻛﻣﯾﺎت ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾـف ‪ :‬إذا ﻛـﺎن ‪ ، 0 < p < 1‬ﻓـﺈن اﻟﻣﺋـﯾن ذو اﻟرﺗﺑـﺔ )‪ (100p‬ﻟﺗوزﯾـﻊ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﺻـل )أو‬ ‫ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ ( X‬ﻫو اﻟﺣل ‪ xp‬ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪xp‬‬ ‫‪p  F(x p )   f (y) dy .‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﺑﻌــﺎً ﻟﻠﺻــﯾﻐﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ ‪ ،‬ﻓــﺈن ‪ x p‬ﻫــو اﻟﻘﯾﻣــﺔ ﻋﻠــﻰ اﻟﻣﺣــور اﻷﻓﻘــﻲ ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﺑﺣﯾــث أن‬ ‫‪ 100p%‬ﻣ ﻦ اﻟﻣﺳ ــﺎﺣﺔ ﺗﺣ ــت ﻣﻧﺣﻧ ــﻰ )‪ f (x‬ﯾﻘ ــﻊ ﻋﻠ ــﻰ ﯾﺳ ــﺎر ‪ x p‬و ‪ 100(1-p)%‬ﺗﻘ ــﻊ ﻋﻠ ــﻰ‬ ‫ﯾﻣﯾﻧﻬ ــﺎ‪ .‬ﻋﻠ ــﻰ ﺳ ــﺑﯾل اﻟﻣﺛ ــﺎل ‪ x .75‬هو اﻟﻣﺋ ــﯾن اﻟﺧ ــﺎﻣس واﻟﺳ ــﺑﻌﯾن واﻟ ــذي اﻟﻣﺳ ــﺎﺣﺔ ﺗﺣ ــت ﻣﻧﺣﻧ ــﻲ‬ ‫)‪ f (x‬ﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎر اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ x.75‬ﻫو ‪ . p=0.75‬اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ اﻟﺗﻌرﯾف ‪:‬‬ ‫ﻋﻣوﻣﺎً ‪ ،‬ﻗد ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﺗﺻل وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺳوف ﯾوﺟد ﺑﻌض اﻟﻘﯾم ‪ p‬واﻟﺗـﻲ ﺗﻛـون اﻟﻣﻌﺎدﻟـﺔ‬

‫)‪ p = F (xp‬ﻟﻬــﺎ أﻛﺛـر ﻣــن ﺣــل ‪ .‬وﺑــﺎﻟرﻏم ﻣــن اﻫﺗﻣﺎﻣﻧــﺎ ﻓـﻲ ﻫــذا اﻟﻛﺗــﺎب ﺑﺎﻟﺣﺎﻟــﺔ اﻟﻣﺗﺻــﻠﺔ ﻓﺈﻧــﻪ‬ ‫ﯾﻣﻛن وﺿﻊ ﺗﻌرﯾـف ﻋـﺎم ﻟﻠﻣﺋـﯾن ﺣﯾـث اﻟﻣﺋـﯾن ذو اﻟرﺗﺑـﺔ )‪ ( 100 p‬ﻟﺗوزﯾـﻊ ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ‪ X‬ﻫـو‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ xp‬ﺑﺣﯾث أن ‪:‬‬

‫‪P [ X  x p ]  p and P [ X  x p ]  1-p .‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫‪1‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪f (x)  (1  x 2‬‬ ‫‪0  x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0 , e.w .‬‬ ‫أوﺟد داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ وﻣﻧﻬﺎ أوﺟد اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ)‪(100P‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪x 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y3 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪F(x)  ‬‬ ‫) ‪(1  y )dy  (y ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪ (x  ) , 0  x  1 , F(x)  1 , x  1 , F(x)  0 , x  0.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﯾﺎن )‪ F(x) , f (x‬ﻣوﺿﺣﺎن ﻓﻲ اﻟﺷﻛﻠﯾﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ )‪ (100p‬ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﺣﻘق اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3  (xp) ‬‬ ‫‪p  F(xp)  xp‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫أي أن ‪:‬‬

‫‪ 3x p  2p  0‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺋﯾن اﻟﺧﻣﺳﯾن و ‪ p = .5‬وﺑﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‬

‫‪3‬‬

‫‪xp ‬‬

‫‪x 3 3x 10‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﺣل ﻫو ‪. x  x.5  .347‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫اً‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪X‬‬

‫‪1 x 1 0 x  2‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬ ‫أوﺟد‪ :‬أ( داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ‬ ‫ب( اﻟﻣﺋﯾن ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ ‪32‬‬ ‫ج(اﻟﻣﺋﯾن ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ ‪92‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أ( داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪F(x)  ‬‬ ‫‪ (2 x)2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x 0‬‬ ‫‪0 x 1‬‬ ‫‪1x 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ب(‬

‫‪x 2.‬‬

‫‪F(x 0.32 )  0.32‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺑﻣﺎ أن ‪ x 0.32 :‬ﺗﻘﻊ ﺑﯾن ‪ 1,0‬وذﻟك ﻻن‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 0.32  F(1) ‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 0.32‬‬ ‫أي أن ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x 0.32‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪F(x 0.32 ) ‬‬

‫‪x 0.32  0.64  0.8‬‬

‫ج( ﻹﯾﺟﺎد اﻟﻣﺋﯾن ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ ‪ 0.92‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺟد أﻧﻪ ﯾﻘﻊ ﺑﯾن ‪ 1‬و‪ 2‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺑﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‪:‬‬

‫‪(2 x 0.92 )2‬‬ ‫‪F(x 0.92 )  1 ‬‬ ‫‪ 0.92‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 0.92 1.6.‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪:‬‬

‫اﻟوﺳــﯾط ﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﺗﺻــل ﻣــﺎ ‪ ،‬ﯾرﻣــز ﻟــﻪ ﺑــﺎﻟرﻣز ‪ ، m0‬ﻫــو اﻟﻣﺋــﯾن اﻟﺧﻣﺳــﯾن وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ‪ m0‬ﯾﺣﻘــق‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪. F(m0) = .5‬أي أن ﻧﺻﻧف اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﺗﺣت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﺗﻘـﻊ ﻋﻠـﻰ ﯾﺳـﺎر ‪ m0‬و‬ ‫اﻟﻧﺻف اﻵﺧـر ﯾﻘـﻊ ﻋﻠـﻰ ﯾﻣـﯾن ‪ . m0‬ﻓـﻲ ﻛﺛﯾـر ﻣـن اﻟﺗطﺑﯾﻘـﺎت ﯾﺳـﺗﺧدم اﻟوﺳـﯾط ﺑـدﻻ ﻣـن اﻟﻣﺗوﺳـط‬ ‫ﻛﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺑﻔرض أن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪x 0‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪F(x)  1  e (x / 3‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫اﻟوﺳﯾط ﻫو ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m0  3[ ln(1  .5)]2  3 ln 2  2.498.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻟﯾﻛن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬

‫‪f (x)  4x 3‬‬ ‫‪0  x 1‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬ ‫أوﺟد اﻟوﺳﯾط ‪٠‬‬ ‫‪4‬‬

:‫اﻟﺣــل‬

F(x)  0

x0

4y 4   4y dy  4 0 x

3

x 0

 x4 : ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬

F(m 0 )  .5 ( m 0 ) 4  .5 1/4

m0 = (.5)

5

: ‫أي أن‬ .