EL ACERO EN LA CONSTRUCCIÓN
La construcción metálica está alcanzando un papel significativo en el campo de las estructuras de edificación, sobre todo en aquellos proyectos en que la disposición de espacio útil y la versatilidad de la distribución interior son condicionamientos esenciales. La hipótesis acerca de la perfección del acero, posiblemente el más versátil de los materiales estructurales, parece más razonable al considerar su gran resistencia, poco peso, fabricación sencilla, y muchas otras propiedades deseables. La aparición del acero laminado a finales del último siglo represento la transición del hierro colado y el forjado hacia un material de análogas características resistentes con una mayor garantía de producción y calidad, lo que llevo a colocarlo en manos del proyectista y a dar la sensación de que monopolizaría las estructuras, siendo hoy en día insustituible en la ejecución de las obras que implican grandes luces y mayores alturas, manteniéndose en un primer plano en el campo estructural, pese a la evidente competencia que le presenta el concreto pretensado y el concreto de alta resistencia.
VENTAJAS DEL ACERO COMO MATERIAL ESTRUCTURAL
ALTA RESISTENCIA. La alta resistencia del acero, por unidad de peso, significa que las cargas muertas serán menores. Este hecho es de gran importancia en puentes de gran claro, edificios elevados, y en estructuras cimentadas en condiciones precarias.
UNIFORMIDAD. Las propiedades del acero no cambian apreciablemente con el tiempo, como sucede con las de concreto reforzado.
ELASTICIDAD. Los momentos de inercia de una estructura de acero pueden ser calculados con precisión, en tanto que los valores obtenidos para una estructura de concreto reforzados son un tanto indefinidos.
DURABILIDAD. Las estructuras de acero, con mantenimiento adecuado duraran indefinidamente. La investigación en algunos de los nuevos aceros indica que bajo ciertas condiciones, solo requieren pintura como mantenimiento.
DUCTILIDAD. La propiedad de un material que le permite soportar deformaciones generales sin fallar, bajo esfuerzos de tensión elevados, se conoce como su ductilidad. Cuando un miembro de acero dulce se somete a la prueba de tensión, ocurrirá una reducción considerable de su área transversal y un fuerte alargamiento, en el lugar de la falla, antes de que la fractura real ocurra. Un material que no tenga esta propiedad es probablemente duro y quebradizo, vítreo, y posiblemente se rompa si recibe un choque súbito.
AMPLIACIÓN DE ESTRUCTURAS EXISTENTES. Las estructuras de acero se prestan para fines de ampliación. Nuevos tramos y en ocasiones alas totalmente nuevas pueden añadirse a las estructuras de acero de edificaciones ya existentes, y los puentes de acero a menudo pueden ampliarse. Algunas otras ventajas importantes del acero estructural son: -
Avisan con sus grandes deformaciones de la posibilidad de colapso. Dan lugar a construcciones más ligeras. Se construyen con rapidez. Se adaptan con facilidad y flexibilidad a las dimensiones del solar. Permiten cubrir con facilidad grandes luces. Facilitan la integración racional de las instalaciones en la estructura. Son de fácil desmontaje, manteniendo un cierto valor residual.
DESVENTAJAS DEL ACERO COMO MATERIAL ESTRUCTURAL
COSTO DE MANTENIMIENTO. La mayoría de los aceros se corroen cuando están expuestos libremente al aire y deben pintarse periódicamente. COSTO DE PROTECCIÓN CONTRA INCENDIO. La resistencia del acero estructural se reduce notablemente a las temperaturas que se alcanzan durante los incendios. SUSCEPTIBILIDAD AL PANDEO. A medida que los miembros sujetos a compresión son más largos y delgados, mayor es el peligro de pandeo.
EL DISEÑADOR DE ESTRUCTURAS
El diseñador de estructuras debe aprender a distribuir y dimensionar los elementos de las estructuras de modo que las mismas tengan suficiente resistencia y rigidez y sean razonablemente económicas, y que puedan montarse de manera práctica.
PREDIMENSIONAMIENTO EN ACERO Esta herramienta es un método sencillo que ayuda a obtener un orden de magnitud de los problemas más usuales en estructuras metálicas. Esto garantiza una aproximación del fenómeno, no un resultado exacto del mismo. Una aproximación en la que el tiempo gastado es cincuenta veces menos que el utilizado en hacer un número más exacto, a cambio de admitir una pequeña desviación del resultado, siempre del lado de la seguridad.
CONSIDERACIONES PREVIAS -
Carga viva Carga muerta Sobrecargas Usos Vientos Carga sísmica
1.
La mejor estructura es aquella que cumpliendo la norma resulta más económica.
2.
En edificación se tiende a estandarizar la estructura, apoyándonos en el caso más desfavorable.
3.
Considerar el caso más desfavorable y siempre redondear las medidas a más.
4. Es aconsejable, antes de calcular la sección de un perfil, razonar el funcionamiento de la estructura y establecer las solicitaciones que gobiernan el cálculo (Momento flector, Cortante, Deformación). 5.
El peso propio de una estructura metálica se considera insignificante respecto al peso del forjado, no superando el 2% de peso del mismo.
6. En edificación es recomendable soportes con sección mayor a (10x10) cm2 y de la serie HEB, puesto que la series HEA y HEM no existen actualmente en el mercado. 7.
Para soportes tubulares huecos, elegir aquellos cuyo espesor de pared sea mayor de 4mm, curándonos en salud en caso de pérdida de sección por oxidación.
8. Perfil aconsejable para viga: HEB.220 y HEB.240. 9. El canto normal de una vigueta autoportante está en torno a 18cm, por lo que esta no puede embutirse en un HEB-200, considerando además la capa de compresión; ni apoyarse en un IPE, en este caso debido a la poca superficie de apoyo del ala inferior. 10. En el dimensionado de la sección de un perfil, solamente tendremos en cuenta las solicitaciones máximas.
PREDIMENSIONADO DE VIGAS Para predimensionar una viga, dadas que estas trabajan predominantemente en flexión simple, el perfil para empezar a comprobar la resistencia y la rigidez se evalúa a partir del máximo momento flector como:
Escogida una forma para el perfil, que usualmente es un perfil I, un perfil H o un perfil U, se escoge dentro de la serie de perfiles de la misma forma aquél cuyo momento resistente satisface la relación anterior. Dónde: es el momento flector máximo sobre la viga. es la tensión mecánica admisible del material de la viga.
PREDIMENSIONADO DE COLUMNAS Si se conoce de manera aproximada esfuerzo normal N sobre un pilar de esbeltez inferior a 100, con carga centrada o aproximadamente centrada, el área transversal A estará comprendida entre los límites:
Donde el coeficiente de reducción resistente por pandeo . Una vez hecho el predimensionado deberá calcularse con precisión el esfuerzo axil y el momento flector sobre el pilar, determinando la sección crítica y calculando que la tensión máxima este por debajo de los límites admisibles.
VIGAS Se denomina viga a una barra prismática, generalmente situada en posición horizontal que puede estar apoyada en dos o más puntos, o empotrada -como se verá más adelante- en uno de sus extremos. Cada punto de apoyo puede tener dos grados de libertad (desplazamiento según el eje x y giro alrededor de y, figura 1) o sólo uno (giro alrededor del eje y sin posibilidad alguna de desplazamiento). Si un apoya está empotrado, no tiene ningún grado de libertad (ni desplazamientos ni giros).
La viga simplemente apoyada es aquella que presente dos apoyos: uno simple con dos grados de libertad, y otro simple son uno sólo (Figura 1a). La viga semiempotrada es la que tiene un apoyo simple (dos grados de libertad) y otro sin ningún grado de libertad (empotrado, Figura 1b). Viga con los extremos empotrados, cuando ambos apoyos no tienen ningún grado de libertad (Figura 1c). Viga en voladizo aquella que tiene un extremo empotrado y el otro sin apoyo alguno. Al apoyar sobre uno o varios puntos del plano central zy de una viga, cargas situadas en ese plano (fuerzas en la dirección –z), la viga se flexiona y toma una forma determinada, llamada elástica de la viga. Es importante estimar, en función de las características de la viga, de su forma de apoyo en los extremos y de las cargas que actúan sobre ella, la deformación máxima, llamada flecha, así como los puntos en los que las tensiones son máximas y los valores de estas. Un proyecto se considerará correcto, si esos valores no sobrepasan los fijados por las normas de construcción para estructuras metálicas.
Al aplicar las cargas ya mencionadas, se generan en los puntos de apoyo unas reacciones en la misma dirección de las cargas pero en sentido contrario, de tal forma que -una vez alcanzado el equilibrio estático- deberá cumplirse que la suma de las fuerzas sea nula: ∑
El esfuerzo cortante en las Vigas Si se supone que cualquiera de las vigas representadas en las Figuras 1 se divide en dos trozos por una sección recta cualquiera situada a la distancia x del apoyo de la izquierda y que se prescinde del fragmento de la derecha de la sección, para que el trozo resultante se mantenga en equilibrio hay que suponer que en esa sección actúa una fuerza V(x) en la misma dirección y sentido contrario a las fuerzas que se ejercen sobre la viga, de forma que: V(x) = R1 − (P1 + P2 + ...) = R1 − F(x) F(x) es una función que depende de la distribución de las cargas sobre la viga. El equilibrio estático exige que R1 + R2 = F(L).. Cuando x = 0, V(x) = R1 y cuando x = L, V(L) = - R2. Esto significa que, en todos los casos, el valor V(x) pasa de un valor positivo a otro negativo. Siendo la función V(x) continua, deberá presentar en algún punto determinado de la viga un valor nulo: x = a, V(a) = 0. La distribución de esta fuerza cortante en una sección cualquiera de la viga perpendicular al plano neutro, se puede considerar, en la mayor parte de los casos prácticos, uniforme en la dirección z, pero no en la y. Esta distribución depende de la forma de esta sección. Se exponen tres ejemplos: a) SECCIÓN RECTANGULAR
( )
( )
)
(√
( )
b) SECCIÓN CIRCULAR
c) SECCIÓN EN I
(
(
)
)
(
)
Como puede observarse, en todos los casos el valor máximo de la tensión cortante se sitúa en el centro de la figura (y = 0). El valor medio de τ se expresa como
, la relación
entre este valor y el máximo en cada caso vale: a) Sección rectangular: El valor máximo vale Puesto que definimos como
siendo
, por consiguiente
, luego
.
es decir, la tensión
máxima en cualquier sección, a lo largo de x, es un 50% mayor que la media.
b) Sección circular: Análogamente, se deduce que
en este caso, la tensión máxima
en cualquier sección, a lo largo de x, es un 33% mayor que la media.
(
c) Sección en I:
)
(
El valor mínimo vale en este caso:
)
En los perfiles laminados estándar el valor de b1 es pequeño en relación con el de b y puede considerarse, a efectos prácticos, que la diferencia b − b1 es muy pequeña, y por tanto, que la diferencia entre la tensión cortante máxima τM –en el plano neutro– y la mínima τo –en el plano superficial– es también pequeña y en por lo tanto, ambas próximas al valor medio. En este caso se puede admitir que el esfuerzo cortante presenta una distribución casi uniforme a lo largo del alma del perfil.
Los esfuerzos por flexión en las Vigas
OBSERVACIONES PRELIMINARES a) Los materiales de las vigas (acero laminado) se comportan como sólidos de Hooke y son perfectamente homogéneos en todas las direcciones (isótropos). b) Las cargas sobre una viga se sitúan siempre en el plano (y, z) de las figuras 1 c) La línea media de la viga es una curva plana. d) La línea media de toda la viga está situada en un mismo plano. En lo que sigue, se tratará siempre del plano (x, y). e) Cuando actúa una fuerza sobre la estructura, en la ecuación fundamental: ( ) Las derivadas con respecto al tiempo se suponen nulas; es decir, los movimientos se realizan con una velocidad infinitamente pequeña (cambios de estado termodinámicamente reversibles) y no se contempla régimen transitorio alguno. Las cargas que actúan sobre las vigas se hallan en equilibrio estático, no considerándose las consecuencias de los períodos transitorios. f) El trabajo realizado por las fuerzas que provocan las deformaciones de las vigas se emplea íntegramente en incrementar su energía interna (energía elástica). No se
produce intercambio alguno de calor y se conservan todas las propiedades del acero en todo momento.
EFECTO DE LAS FUERZAS ACTUANTES Sea cual sea la forma de la sección transversal de la viga, así como la manera como esté apoyada en sus extremos (incluido el caso de la viga en voladizo), y sea cual sea la distribución de las cargas a lo largo de x (puntuales o distribuidas de manera continua), la viga sufre una flexión que provoca la aparición de tensiones de extensión y compresión en sus diferentes secciones transversales. La máxima extensión en cualquier sección recta se produce en uno de sus extremos, tomando la tensión de extensión un valor nulo en la llamada fibra neutra, que se sitúa en el centro de gravedad de la sección considerada. Véase la Figura 2.
El valor de esta tensión máxima de extensión en una sección dada de abscisa x, viene dado por la expresión: ( )
( )
en la que:
σ: valor de la tensión (fuerza/sección) M(x): momento flector actuando en la sección x (fuerza por longitud) d: distancia entre la fibra más alejada de la línea neutra y esta Iy: momento de inercia de la sección de la viga, respecto al eje y que pasa por su centro de gravedad (longitud a la potencia cuatro)
Al mismo tiempo se produce una flexión de la viga, que adquiere una forma determinada tanto por la distribución y valor de las cargas, como por la forma de la sección de la viga y la manera como está apoyada en sus extremos. La forma que toma esa viga, se representa
por la ecuación de la línea neutra: v(x) = ψ(x) que se suele denominar ecuación de la elástica de la viga. El valor f, en cualquier punto x de la viga, f(x) = |v(x)| se denomina flecha de la viga en ese punto. Su valor máximo a lo largo de x, representa la máxima deformación sufrida por esta a causa de las cargas que soporta. En la flecha y tensión máximas intervienen dos tipos de fenómenos: a) De índole externa: la magnitud de las cargas y su distribución b) De índole propia de la viga: sus dimensiones, y como una consecuencia directa de ellas, la altura de la viga (d) y el Momento de Inercia (Iy). Un simple análisis dimensional del problema nos conduce a las expresiones siguientes: ( )
( )
(∑
∑
) (
(
))
)
En las que: M(x): Momento flector actuando en la sección transversal x ΣP : conjunto de cargas, continuas o discontinuas o combinación de ambas E: módulo de elasticidad Iy: momento de inercia de la sección de la viga con relación al eje y v(x): la flecha en la sección x
Γ(L,x) y Ψ(L,x) son funciones dependientes de la forma en que se distribuyen las cargas sobre la viga de longitud entre apoyos L y de la forma de los apoyos en los extremos. En la bibliografía pueden encontrarse tablas en las que se recogen los diferentes valores de estas funciones (1). Del análisis de estas expresiones se deducen los valores máximos de σ y v. Estos deberán estar por debajo de los fijados como límite en el proyecto del que forman parte. Puestos que las cargas a que se verá sometida la viga son un dato del problema (externo a la decisión del proyectista), el resto de los valores pueden y deben ser elegidos por el proyectista de manera a optimizar el resultado de la estructura en estudio. Los criterios de optimización suelen ser frecuentemente de naturaleza económica, que a su vez está directamente unida al peso de la estructura y al costo de la mano de obra para construirla. El peso de la estructura depende de la sección del (o de los) perfil(es) y su longitud; esta última suele ser un imperativo derivado del propio proyecto.
Si el momento flector en una sección dada es nulo, se deduce inmediatamente que las tensiones de extensión por flexión son nulas. Este el es caso de vigas apoyadas en extremos que pueden tener un giro libre alrededor del eje y. Es el caso, por ejemplo, de los dos extremos de la figura 1a, o del extremo izquierdo en la 1b. No ocurre lo mismo en los extremos empotrados, donde los momentos se producen en función de las cargas y de la rigidez del material (módulo de elasticidad E).
LAS TENSIONES COMBINADAS EN LAS VIGAS En una viga cualquiera, apoyada en sus extremos de la forma que sea (véase la Figura 1c, como ejemplo), cargada con un conjunto de fuerzas "P1… Pi … Pn" situadas en abcisas x1 … xi … xn, alcanzado su equilibrio estático, en la sección recta de abcisa x se cumple: Momento flector: "M(x) = - M1 + R1.x - P1.(x - x1) - P2.(x - x2) - … - Pi.(x - xi)" Fuerza cortante: V (x) = R1 - P1 - P2 - … - Pi
En otra sección recta de abcisa (x + Δx) será: M(x + Δx) = - M1 + R1.( x + Δx) - P1.( x + Δx - x1) - P2.( x + Δx- x2) - … - Pi.( x + Δx - xi)
La variación del momento flector entre estas dos secciones rectas valdrá: M(x + Δx) - M(x) = R1.Δx - P1.Δx - P2.Δx- … - Pi.Δx M(x + Δx) - M(x) = ΔM = Δx.(R1 - P1 - P2 - … - )Pi) = V.Δx
La relación entre la variación del momento flector de cada sección recta de la viga con la fuerza cortante actuando sobre esa sección, viene dada por: ( )
( )
Para cargas continuas, el paso al límite de la expresión anterior conduciría a: ( )
( )
La consecuencia de todo esto es que cuando el momento flector a lo largo de la viga, pasa por un máximo, en esa sección la fuerza cortante es nula. En vigas cargadas de manera
regular, este máximo se produce cerca del punto medio, donde las tensiones de extensión (o compresión) serán máximas y las cortantes nulas (véase 1.3.2 y 1.3.3). Por las mismas razones, en los puntos de apoyo, la fuerza cortante nunca es nula e igual a la fuerza de reacción en el mismo (V(0) = R1 y V(L) = R2). Cuando uno de los extremos está empotrado, el momento flector en ese extremo tampoco es nulo y por lo tanto en esa sección se producen tensiones de flexión σ(z) (en dirección x, figura 2) a la vez que tensiones cortantes τ(z) (dirección z). Como ya se ha visto (1.3.3), en la línea de la sección recta de la viga en la que σ(0) = 0 (línea neutra), τ(0)es máxima, y recíprocamente. Sólo en partes de la sección, intermedias entre un extremo de la sección y la línea neutra, pueden darse valores no nulos de las dos tensiones. Para que el diseño de la viga sea aceptado para un proyecto estable, deberá cumplirse, en todas sus secciones rectas, que: (
)
√ (
)
(
)
El cálculo de vigas apoyadas en dos extremos Tal y como se ha visto, sea cual sea la distribución de las cargas de las que se ha hablado anteriormente, así como la forma del perfil transversal de la viga (forma en el plano yz) y sus forma de apoyo en los extremos, las tensiones máximas y la flecha pueden expresarse mediante las fórmulas generales ya expresadas anteriormente y que se resumen así (ver Figuras 1 y 2): ∑
( )
( )
( )
( )
(∑
∑
)
(
(
)
)
En las que: R1,R2 : Reacción en los apoyos. MM(x): Momento flector máximo (generalmente de extensión). vM(x): Flecha máxima ΣP: Cargas, continuas o discontinuas o combinación de ambas. d : Semialtura de la sección transversal yz de la viga. Av,y: Área de la sección, resistente al esfuerzo cortante. Ψ(L,x): Función dependiente de la distribución de las cargas en relación con los apoyos.
Γ(L,x): Función dependiente de la distribución de las cargas E: Módulo de elasticidad. Iy: Momento de Inercia de la sección A de la viga con relación al eje paralelo a y que pasa por su centro de gravedad.
En la flecha y tensión máximas intervienen dos tipos de parámetros: a) De índole externa: la magnitud de las cargas y su distribución, Ψ(L,x) y Γ(L,x). b) Propios de la viga: sus dimensiones, y como una consecuencia directa de ellas, la altura de la viga (d) y el Momento de Inercia (Iy) respecto al eje perpendicular a la dirección de las cargas.
Los de índole externa provienen de los datos del problema. Los propios, pueden y deben ser elegidas por el proyectista de manera a optimizar el resultado de la estructura en estudio. Los criterios de optimización suelen ser frecuentemente, de naturaleza económica, que a su vez está directamente unida al peso de la estructura y al costo de la mano de obra para construirla. El peso de la estructura depende de la sección del (o de los) perfil(es) y su longitud; esta última suele ser un imperativo derivado del propio proyecto. El costo de la mano de obra para construir una estructura viene siendo cada vez más importante en su costo final. La automatización, progresivamente más sofisticada, de la preparación de vigas a partir de elementos laminados estándar (perfiles, planchas, etc.) conduce al proyectista a elegir preferentemente perfiles "llenos" frente a las antiguas "vigas en celosía", que si bien, para igual resistencia, suponen la utilización de menores cantidades de acero, implican una intervención mucho mayor de mano de obra especializada, cada vez más cara. Fijada por las especificaciones del proyecto, la flecha máxima admisible (vM), se determina el valor mínimo necesario del Momento de Inercia de la sección de la viga: (∑
)
(
)
A este valor le corresponde otro de d: (∑
)
(
)
Con los resultados de estas dos inecuaciones se entra en las tablas de perfiles comerciales y se elige aquel que, situándose dentro de los márgenes señalados, presenta la menos sección A (o el menor coste).
COLUMNAS En el análisis lineal de estructuras, a un aumento de las cargas exteriores corresponde un aumento proporcional de las deformaciones y de los esfuerzos internos. Sin embargo, se presentan casos en los que la aplicación de las cargas, aun siendo estas no muy grandes, modifican de tal forma la geometría del sistema, que aquella proporcionalidad deja de ser aplicable, y la estructura se deforma de una manera distinta de lo que correspondería a dichas cargas en el rango lineal, pudiendo incluso provocar su colapso. A los valores de las cargas que provocan el colapso de la estructura, se les denominan cargas críticas de colapso. Cuando las deformaciones no son pequeñas, la posición de las cargas en la estructura deformada, no puede confundirse con la posición en la estructura sin deformar y por lo tanto, las ecuaciones de equilibrio deben ser planteadas ahora en la posición deformada, y no en la inicial. Los conceptos de carga crítica y estabilidad del equilibrio pueden ponerse de manifiesto con gran facilidad mediante un caso sencillo, que además permitirá una generalización posterior. Considérese el sistema mostrado en la figura adjunta. Un análisis de primer orden, planteando el equilibrio en la posición indeformada, indica que la barra está sometida a una compresión simple de valor P. En este caso la flecha d no puede despreciarse al lado de la excentricidad inicial e. El momento flector a lo largo del eje x para cualquier sección se expresará como: M = − P. (d + e − y)
La ecuación general de la deformada, también llamada ecuación de la elástica, es así: (
)
Aplicándola al caso particular en estudio, la integración analítica de esta ecuación, resuelta por Lagrange, conduce a una solución complicada y de engorroso manejo. Schneider deduce para la máxima deformación: √
√[
]
[
]
Que no deja de ser todavía de manejo engorroso. Por esta razón, algunos autores prefieren la integración de la forma simplificada: (
Aduciendo que, en la práctica, el valor de:
)
( )
e s siempre despreciable. Esta
hipótesis puede proporcionar resultados de cierto valor cualitativo y orientativo, si bien su validez numérica, por lo ya expresado, es muy discutible. Aceptada esta hipótesis, la integración de esta última expresión, conduce a: (√ (√
) )
√
Cuando el valor de
en la ecuación anterior, la deformación y tiende a infinito, lo que significa que la columna se colapsará, es decir, su deformación aumentará hasta que se quede doblada sobre si misma. Antes de llegar a ello, la pieza de acero laminado habrá alcanzado su punto de fluencia, e iniciará una deformación plástica, pudiendo llegar a su límite de rotura. Aceptada esa hipótesis, la carga P que causará este colapso se deducirá de √ Al valor de la carga
se la denomina
.
El momento flector máximo producido por esta carga, se presentará en el empotramiento, y valdrá, según se ha visto: (
)
(√
)
Tensión critica Se define como Tensión Crítica (algunos autores hablan de Fatiga Critica) al cociente bruto entre la carga critica PC y el área transversal de la barra, columna o elemento. En este caso particular:
Si se define como
a la relación:
√
puede escribirse:
(√ )
Se suele denominar a la relación
, con lo que la expresión de la
quedará finalmente así:
Generalización del pandeo de barras prismáticas Se trata de estudiar la estabilidad de una barra prismática perfectamente recta, sin ninguna carga transversal. Está articulada en sus dos extremos y uno de ellos puede desplazarse axialmente, lo que permite la compresión de la columna. Si la barra es perfectamente recta y la carga que la deforma está exactamente en su eje, la barra soportará la carga P/A hasta llegar al límite de fluencia a la compresión. Cualquier ligera imperfección, tanto en la barra como en la aplicación de la carga, provocarán un pandeo en alguna dirección (véase la figura adjunta), con un solo seno (caso a), o dos (b), cuatro (c), etc. Sin embargo, si la carga es inferior a la crítica, esta deformación no implicará ningún colapso de la barra. Por el contrario, si esta carga alcanza el valor crítico PC, la deformación seguirá indefinidamente, alcanzará el punto de fluencia y la barra se deformará plásticamente (colapso). En función del número de nodos que se generen, la carga crítica toma diferentes valores. En la fórmula ya vista,
la longitud L representa la longitud de una barra que se
deforma de tal manera que sólo presenta “medio” seno. En el caso (a), en razón de la simetría de la deformación, la longitud a emplear en la fórmula anterior sería : ( ) Análogamente: ( )
;
( ) Es decir que:
, etc. ( )
( )
( )
En otras palabras, si sobre una barra se aplica una fuerza P que vaya aumentando progresivamente, el primer colapso se obtendrá con una deformación del tipo (a), puesto que deformaciones con más senos exigen mayores esfuerzos, a los que no se llegará puesto que el colapso se alcanzará antes.
BARRA EMPOTRADA EN AMBOS EXTREMOS En razón de la homogeneidad del material y de la simetría del conjunto, la deformación se producirá de tal manera que la deformada puede dividirse en cuatro partes iguales, cuya figura será igual a la de la columna anteriormente estudiada, presentando tres puntos en los que: La carga crítica, en este caso, coincide con la de una columna biarticulada de longitud L / 2. Por lo tanto el pandeo de la columna biempotrada se produce por colapso en la zona central de longitud L / 2, que se comporte como biarticulada:
BARRA EMPOTRADA Y ARTICULADA EN UN EXTREMO Este caso es similar al de una columna biarticulada de longitud L / 2. Por lo tanto el pandeo de esta columna se produce por colapso de una zona de longitud aproximadamente de (0.7.L), que se comporta como biarticulada:
(
)
FÓRMULA GENERAL A la vista de estos resultados, puede presentarse como fórmula generalizada de la Tensión Crítica la expresión
(
)
El número ζ depende de la forma que adopte la deformada, en función de los tipos de fijación de sus extremos. J es el factor corrector debido a la integración simplificada de la ecuación diferencial de la elástica. Al producto LP = ζ.L se le suele denominar Longitud equivalente de pandeo. La Esbeltez equivalente de pandeo viene dada por la expresión
LOS “COEFICIENTES DE SEGURIDAD” El tratamiento teórico del problema (resuelto de una manera aproximada, como se ha visto), así como las incertidumbre sobre el cumplimiento de las hipótesis iniciales en la práctica industrial, especialmente en lo referente a la homogeneidad y respeto a las cuestiones dimensionales, han aconsejado la aplicación de sistemas de cálculo, que si bien se apoyan cualitativamente en la teoría ya expuesta, intentan dar satisfacción a los resultados prácticos y experimentales observados para garantizar construcciones sólidas y estables. La primera aproximación se obtiene simplemente aplicando un coeficiente de seguridad de 0,5 a los valores obtenidos por la teoría, en particular en lo referente a la “Carga crítica”. El sistema es excesivamente simple y poco fiable en caso de barras formando parte de sistemas complejos.