03- Interés Simple y Compuesto (Presentación)

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Módulo VIII

Interés Simple y Anualidades. Formación por Competencias

Por: Víctor Garro Martínez

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El interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo.

Se habla de interés pasivo para designar al que reciben los ahorrantes por parte de intermediario financiero

Mientras que el interés activo es el que pagan los prestatarios a los intermediarios financieros sobre los préstamos que reciben de parte de estos últimos.

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Interés Simple.  Página 2I


Interés Simple Se caracteriza porque se calcula por una única vez sobre el principal, durante el plazo o periodo de amortización.

Se dice que posee una tasa de crecimiento lineal, dada por la tasa de interés “..i..”

Generalmente se emplea para periodos menores a un año.

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Característica.  Página 3I


Fórmulas Fundamental del Interés Simple Sea C el principal o capital, i el interés por un año y t la duración del tiempo expresada en años. El Interés Simple, I, se calcula de la siguiente manera:

I = Cit Donde el Monto S es el valor futuro, que se obtiene de agregar el principal más el interés generado:

S=C+I MÓDULO VIIII GESTIÓN DE RECURSOS PÚBLICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL

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Capital y Monto.  Página 4I


Ambas ecuaciones permiten obtener las el valor de 2 variables si se conoce el valor de al menos 3 de ellas

S = C (1+it)

t = (S- C)/iC i = (S - C)/Ct= I/Ct MÓDULO VIIII GESTIÓN DE RECURSOS PÚBLICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL

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Intenres simple  Página 5I


Definiciones

Tiempo Exacto. Cuando el tiempo esta dado entre dos fechas, se debe contar el número exacto de días entre dos fechas, incluyendo ya sea el día inicial o el día final, pero no ambos. Tiempo Aproximado. Cuando se divide el número de días entre 365, o 366 para años bisiestos, que son los que tienen el 29 de febrero. MÓDULO VIIII GESTIÓN DE RECURSOS PÚBLICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL

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tiempo.  Página 6I


Observaciones Puesto que en interés simple, la tasa de interés i siempre esta expresado en términos anuales, t debe expresarse en siempre en términos anuales. Si el tiempo esta expresado en meses, se divide entre 12 para obtener el tiempo en términos anuales. Cuando el tiempo esta dado en días, se puede obtener el interés simple ordinario si se divide el tiempo entre 360 días. Si se divide entre 365, 366 días para los bisiestos, se obtiene el interés simple exacto.

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METODOLOGÍAS DE CÁLCULO DE INTERES SIMPLE

Banker´s Rule: usa el tiempo exacto y el interés simple ordinario, es la forma usual de cálculo

Tiempo exacto y el interés simple exacto. Tiempo aproximado y el interés simple ordinario

Tiempo aproximado y el interés simple ordinario. MÓDULO VIIII GESTIÓN DE RECURSOS PÚBLICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL

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Ejemplo 1:

Encuentre el interés simple al 6% sobre $250 por 3 meses: Sol:

I = Cit = I = 250*0.06*1/4=$3.75

En este caso, ¿por qué se ha dividido la tasa de interés entre un ¼? ¿Qué fracción de tiempo es un trimestre con respecto al año? MÓDULO VIIII GESTIÓN DE RECURSOS PÚBLICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL

Intenres simple.  Página 9I


Ejemplo 2 :

Encuentre el interés simple exacto y el monto si $ 500 son prestados por 100 días al 4%. Sol: C = 500, i= 0.04, t =100/365 I = C*ipt I = 500*0.04*100/365 = 5.48

S= C+I S = 500+5.48 = 505.48 MÓDULO VIIII GESTIÓN DE RECURSOS PÚBLICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL

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Intenres simple  Página 10I


El valor actual o presente de una suma o monto, que vence en fecha futura es aquel capital, que a una tasa dada y en el periodo de tiempo contado hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un monto igual a la suma debida.

C = S/(1+it) MÓDULO VIIII GESTIÓN DE RECURSOS PÚBLICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL

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Valor actual de una deuda.  Página 11I


Un problema básico de las finanzas en los entes públicos es el de las inversiones equivalentes, es decir que, en valor y tiempo produzcan el mismo resultado económico.

Para ello es útil plantear un diagrama de tiempo- valor a fin de hacer la comparación de las diferentes alternativas, a una cierta fecha focal. MÓDULO VIIII GESTIÓN DE RECURSOS PÚBLICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL

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Ecuaciones equivalentes.  Página 12I


S = (1+it)

C

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Podemos expresar una o más cantidades en otros valores, lo cual es posible para determinar posibles pagos o inversiones a realizar. Ello lo podemos hacer por la posibilidad de capitalizar o actualizar valores, a través de ciertos plazos y tasas de interés. MÓDULO VIIII GESTIÓN DE RECURSOS PÚBLICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL

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Ejemplo.

si el 1-06-12 una municipalidad contrae una deuda de ¢100,000 para cancelar a través de un único pago el 1-10-12 al 27%, ese monto puede ser equivalente a 4 pagos iguales y sucesivos de un valor X, donde cada una de esos pagos pueden ser hecho con bonos que paguen el 30%, de forma tal que podemos plantearnos el siguiente problema: ¿Cuál es ese valor equivalente? MÓDULO VIIII GESTIÓN DE RECURSOS PÚBLICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL

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100,000 X

1-06-12

1-07-12

X(1+0.30*3/12)

109,000 =100000(1+0.27*4/12)

X

X

1-08-12 X(1+0.30*2/12)

1-09-12

X

1-10-12

X(1+0.30*1/12)

De forma tal que el monto o valor futuro puede ser reexpresado en la siguiente ecuación 109000 = X(1+0.3*3/12) + X(1+0.3*2/12) + X(1+0.3*1+1/12) + X

109000 = X[1.075 + 1.05 + 1.025+1] 109000 = 4.15 X X = ¢26,265.06

Con lo cual el pago único a final de los 4 meses se puede negociar por Msc. Víctor Garro. Lección Interés 16 un 30% 4 pagos iguales de ¢26.265.06 que devenguen Simple


Formación por Competencias

Interés Compuesto

Cuando el interés se suma periódicamente al capital y esta nueva suma se usa como capital para el período siguiente ý este procedimiento es repetido por un número determinado de períodos, la cantidad final es denominado el monto compuesto. La diferencia entre el capital y el monto compuesto es llamada interés compuesto.

El periodo de tiempo entre dos agregaciones del interés compuesto se denomina periodo de conversión o de capitalización o período de interés.

Por: Víctor Garro

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Intenres compuesto.  Página 17I


Formación por Competencias

Interés Compuesto C = Principal o capital, es la suma al inicio, equivale al valor presente del monto compuesto. S = Monto Compuesto de C, es la cantidad a que se llega en la fecha de vencimiento.

n = el número de períodos en que se calculan el interés. m = el número de períodos de conversión en un año.

j = tasa anual nominal –la que aparece en los documentos- que se convertirá m veces en un año. i = tasa de interés por periodo de conversión, se obtiene de jm/m.

S = C*(1 + i)n = C(1+ jm/m)m*n Por: Víctor Garro

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Intenres compuesto.  Página 18I


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Fórmula Fundamental del Interés Compuesto

S = C (1+i)n donde (1+i)n se denomina Factor de acumulación. Ejemplo: Si inviertes a una tasa semestral j2 = 6% por 10 años, $ 500, ¿cuánto tendrá al final de un año? Sol: j2 significa que la tasa nominal 6% se cargará una vez, al final de cada seis meses, así que i= 0.06/2 = 3%. Como C = $500, luego i=0.03, n =2*10=20 S = 500 (1+0.06/2)10*2 = 500*(1+.03)20 S =500*1.80611123=$903.06

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Intenres compuesto.  Página 19I


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Periodo de conversión El período de conversión puede ser de cualquier duración de tiempo, . usualmente referido al año como son los meses, bimestres, trimestres, etc. La tasa de interés ( jm )es referida en términos anuales, y por ello debe ser replanteada como una tasa de interés apropiada ( i = jm /m) para el periodo de conversión m.

Periodo de conversión

m

Semanal

52

Bisemana

26

Mensual

12

Trimestral

4

Cuatrimestral

3

Semestral

2

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Intenres compuesto.  Página 20Ineré


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Fórmula Fundamental del Interés Compuesto Ejemplo: ¿Cuál es el monto compuesto al final de un año, sobre un

capital de $ 1000, si la tasa de interés anual es 6% trimestral, ( j4 )? Solución: Nota que la tasa que se carga cada 3 meses es 0.06/4 = 1,5%, con lo cual al final del 1r. Trimestre se tendrán $1015, Al final del II Trimestre habrán generado $ 1.015*(1+ 1,5%) = $1030.22. Este total al final del III Trimestre se convierten en $1030.22* *(1+ 1,5%) = $1.045.68, que a su vez serán al final del IV Trimestre $1.045.68*(1+ 1,5%) = $1.061.36, siendo está última suma el monto compuesto, está conformado del capital de $1000 y el interés compuesto de $61.36. Por: Víctor Garro

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Intenres compuesto.  Página 21I


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Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes La tasa convenida o pactada para una operación financiera, es su tasa nominal. La tasa efectiva es la que realmente actúa sobre el capital de la operación y es la que queda expresada por los intereses que corresponden a cada ¢ 100 por año. Las tasas equivalentes son aquellas tasas nominales, que en condiciones diferentes producen la misma tasa efectiva anual

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Intenres compuesto.  Página 22I


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Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

La tasa efectiva anual i correspondiente a una tasa nominal j, convertida m veces por año, será el total de interés ganado por año, para cada unidad del capital inicial.

Para encontrar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal convertida a una cierta periodicidad, es suficiente acumular un capital al inicio de un año a esa tasa y luego se igualan los montos resultantes con el correspondiente 1+i Por: Víctor Garro

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Intenres compuesto.  Página 23I


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Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes El monto de ¢ 1 a la tasa efectivo anual i, es 1 + i. El monto de ¢1 a la tasa j por uno con m capitalizaciones es (1+ j/m)m, por lo que la ecuación de equivalencia es:

1 + i = (1+j/m)m  i = ( 1+j/m)m -1 o bien:

j = { (1+i)1/m - 1} Por: Víctor Garro

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Intenres compuesto.  Página 24I


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Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes ¿Cuál es la tasa anual equivalente correspondiente a un 36% pagadero trimestralmente? Sol.

Si i es la tasa anual equivalente, luego un ¢ 1 a una tasa de r para un año, deberá ser igual a 1+i, y un ¢ 1 a una tasa j4 = 0.36 por un año debería de computar (1.09)4. Luego:

1+i = (1.09)4 i = 0.411581=

i= 41.16%

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Intenres compuesto.  Página 25I


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Cálculo de Monto con periodos de capitalización fraccionada

Una ASADA recibe inventarios para la gestión de un acueducto, por la suma de ¢100,000 con una clásula de interés al 6% con capitalización anual y debe cancelar es pagada a los 2 años 4 meses. Sol: C = 100,000 i = 0.06 períodos completos: 2, fracción de período 4/12 = 1/3 Monto compuesto S1 = (100000(1+0.06)2 = 112 360 Monto simple S2 = 112360 (1+ (1/3)(0.06)) =114, 607.2

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Intenres compuesto.  Página 26I


Formación por Competencias

Valor presente

El valor actual o presente a interés compuesto de un monto o suma –S- que se recibirá en fecha futura; es aquel capital que a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo un monto equivalente a la suma de dinero que se recibirá en la fecha convenida

C = S * ( 1+i)-n

Por: Víctor Garro

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Intenres compuesto.  Página 27I


Bibliografía  Besley. Scott. Brighman. Fundamentos de Administraciòn Financiera. Cap. 4 y Cap.5. Cengage Learning. 14 Ediciòn. México  17. Gitman (2007), Principios de administración financiera. 11ª edición. Capítulo 3.

Formación por Competencias E--Mail:

www.eap.ucr.ac.cr Esta presentación se ha publicado en la pagina Web de la Escuela de Administración Pública de la Universidad de Costa Rica / Campus Bimodal. Derechos Reservados 2012

raudincr@gmail.com, leonardo.castellon@ucr.ac.cr, dayannacs@gmail.com victor.garro@ucr.ac.cr

Uso autorizado sólo para fines académicos en la Universidad de Costa Rica.

Por: Víctor Garro Martínez

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