14- Teoría de Colas (Presentación) by Administración Pública

Formaci贸n por Competencias

Teor铆a de Colas

Nombre profesor redactor de presentaci贸n 18 de julio, 2012

Formación por Competencias

Contextualización -

La atención de los usuarios en un servicio de carácter privado o público genera una cola en espera que se brinde la atención, aplicando principios y análisis estadísticos se puede lograr que el tiempo de espera y de atención se reduzcan a partir del comportamiento de llegada y el tipo de servicio brindado.

Los modelos de colas son herramientas científicas que permiten que la administración pueda utilizar mecanismo científicos de análisis

para aumentar el nivel de servicio y reducir los tiempos de espera. -

Los modelos de colas forman parte de los métodos de planificación

de las operaciones y se complementan con la planificación de corto y mediano plazo. Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Formación por Competencias

Preguntas generadoras

– ¿Cuáles son los cuatro modelos básicos de líneas de espera? – ¿Cómo aplicar los modelos de líneas de espera en la prestación de servicios públicos? – ¿Cómo dirigir un análisis económico de colas? – ¿Qué utilidad tiene la teoría de colas para mejorar la eficiencia y oportunidad de los servicios públicos?

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Puntos a estudiar • Características de un sistema de líneas de espera – – – – –

Características de las llegadas Características de la línea de espera Características del dispositivo de servicio Medida del funcionamiento de las colas Costes de las colas

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Contenido • Tipos de modelos de colas Modelo A: modelo de cola de canal único y tiempos exponenciales de servicio Modelo B: modelo de cola muticanal Modelo C: modelo de tiempo de servicio constante Modelo D: modelo de población limitada

• Otros enfoques de las colas

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Usted ha estado ahí antes

‘La otra línea siempre va es más rápida.’

Gracias por esperar. Hola, ... ¿está usted ahí?

‘Si usted cambia de línea, la que dejó de utilizar comenzará a ir más rápido que la nueva’. Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Ejemplos de líneas de espera Situación

Llegadas

Servidores Proceso de servicio

Banco

Clientes

Cajero

Depósito, etc.

Consulta del médico

Pacientes

Doctor

Tratamiento

Cruce de tráfico

Coches

Luz

Paso controlado

Piezas

Trabajadores

Cadena de montaje

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Montaje

Líneas de espera • Estudiadas por primera vez por A. K. Erlang en 1913: – Análisis de los servicios telefónicos. • Área de conocimiento denominada teoría de colas: – Cola es otra denominación para línea de espera. • Problema de decisión: – Equilibrio entre el coste de suministrar un buen servicio y el coste de tiempo de espera de los clientes. Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Costes de las líneas de espera

Coste

Coste del tiempo en cola

Óptimo

Nivel de servicio

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Terminología de las líneas de espera

• Cola: línea de espera. • Llegada: una persona, máquina, pieza, etc. que llega y demanda un servicio. • Disciplina de cola: reglas para determinar el orden en el que las llegadas reciben el servicio. • Canal: número de líneas de espera. • Fase: número de pasos a seguir en el servicio. Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Características de un sistema de líneas de espera

Línea de espera

Dispositivo de servicio

Características de la llegada  Distribución de la llegada:

Poisson  Otras 

 Patrón de las llegadas: Aleatoria Secuencia conocida

• Tamaño de la población: – Limitada – Ilimitada

• Comportamiento de las llegadas: – Ponerse a la cola y esperar a

ser servido – Se niegan a colocarse en la cola 11 Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012 – Reniegan, abandonan la cola

Características del sistema de líneas de espera

Línea de espera

Dispositivo de servicio

Características de la línea de espera

Tamaño de la cola:  Limitado  Ilimitado Prioridad del servicio:  FIFO  Otros Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Características del sistema de líneas de espera

Línea de espera

Dispositivo de servicio

Características del dispositivo de servicio  Número de canales:  Único  Múltiple  Número de fases en el sistema de servicio:

 Distribución del tiempo de servicio: Exponencial negativo  Otros

Único  Múltiple 

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Sistema de líneas de espera Sistema de servicio

Llegadas Línea de espera

Dispositivo de servicio

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Características de las llegadas Origen de las llegadas (población)

Tamaño

Ilimitado

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Características de las llegadas Origen de las llegadas (población)

Número fijo de aviones para revisión

Tamaño

Ilimitado

Limitado

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Caracterísiticas de las llegadas Origen de las llegadas (población)

Tamaño

Ilimitado

Patrón de llegadas

Limitado Aleatorio No aleatorio

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Características de las llegadas Origen de las llegadas (población)

Patrón de llegadas

Tamaño

Ilimitado

Limitado

Aleatorio

Poisson

No aleatorio

Otros

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Distribución de Poisson

• Número de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo: – Ejemplo: número de clientes que llegan en 15minutos.

• Media = (por ejemplo: 5/hora) • Probabilidad: e  x P( x )  x

 = 0,5

P(X)

0,6 0,3 0,0

X 0

 = 6,0

P(X)

0,6

0,3 0,0

X 0

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10 19

Distribuciones de Poisson para los tiempos de llegada 0,30

0,30

0,25

0,20

Probabilid ad

Probabilida d

0,25

0.15 0,10 0,05

0,00

0,15

0,10 0,05

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

0,00

=2

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6 7 x

9 10 11 12

=4

Características de las llegadas Origen de las llegadas (población) Patrón de llegada

Tamaño

Ilimitado

Limitado

Aleatorio

Poisson

No aleatorio

Comportamiento

Paciente

Impaciente

Otros

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Características de las llegadas Origen de las llegadas (población)

Patrón de llegada

Tamaño

Ilimita do

Limitado

Aleatorio

Poisson

No aleatorio

Comportamiento

Paciente

Otros

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Impaciente

Rehúsa

Rehusar

Origen de las llegada s era ¡La cola demasiado

larga!

Sistema de servicio Línea de espera

Dispositiv o de servicio

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Características de las llegadas Origen de las llegadas (población) Tamaño

Ilimitado

Patrón de llegada

Limitado Aleatorio

Poisson

No aleatorio

Otros

Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Comportamiento

Paciente Impaciente

Rehúsa Reniega

Origen de las llegadas

Renegar

Sistema de servici Línea de espera

Dispositivo de servicio

¡Me voy!

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Características de la línea de espera

Línea de espera

Duración

Ilimitada

Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Características de la línea de espera

Línea de espera

Ilimitada

Limitada

Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Características de la línea de espera

Línea de espera

Disciplina De la cola

Duración

Ilimitada

Limitada

FIFO

Aleatorio

Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Prioridad

Características del servicio Dispositivo de servicio

Configuración

Canal único

Multicanal

Fase única

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Distribución exponencial negativa

• • •

Tiempo de servicio y tiempo entre llegadas: – Ejemplo: el tiempo de servicio es de 20 minutos. Tasa de servicio media =  – Por ejemplo: clientes/hora. Tiempo de servicio medio = 1/ Ecuación:

f ( t  x )  e μ x

0,4

= 1 = 2 = 3 = 4

Probabilidad t>x

•

0,3

0,2 0,1 0

Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Distribuci贸n exponencial negativa 0.06 Tiempo de servicio medio = 1 hora

P ro b a b ility

0.05 0.04 0.03

Tiempo de servicio medio = 20 minutos

0.02 0.01 0 0

60 90 120 150 Service tim e (m inutes )

M贸dulo X Gesti贸n de Servicios P煤blicos, II 2012

180

Sistema de un canal, una fase

Sistema de servicio Llegadas

Cola

Unidades servidas

Dispositivo de servicio

Barcos en el mar

Sistema de descarga de barcos Línea de espera de los barcos

Barcos vacíos

Bahía Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Sistema de un canal, multifase

Sistema de servicio Llegadas

Cola Dispositivo de servicio

Coches en el área

Unidades servidas

Dispositivo de servicio

Ventanilla de servicio a automóviles de McDonald´s Coches y comida

Coches en cola

Pago

Recogida

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Sistema multicanal, una fase Sistema de servicio

Llegadas

Cola

Unidades servidas Dispositivo de servicio Dispositivo de servicio

Ejemplo: los clientes del banco esperan en una 煤nica cola para ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas.

M贸dulo X Gesti贸n de Servicios P煤blicos, II 2012

Sistema multicanal, multifase

Sistema de servicio Llegadas Cola

Dispositivo de servicio

Unidades servidas

Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan una de las diferentes lavadoras y después, una de las diferentes secadoras. Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Medidas de evaluación de las líneas de espera

• • • • •

Tiempo medio en la cola, Wq. Longitud media de la cola, Lq. Tiempo medio en el sistema, Ws. Número medio de clientes en el sistema, Ls. Probabilidad de que el dispositivo de servicio esté desocupado, P0. • Utilización del sistema, . • Probabilidad de que haya unidades k en el sistema, Pn > k.

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Características del modelo de colas básico • Las llegadas se sirven con disciplina primero llegado, primero servido. • Las llegadas son independientes de las llegadas anteriores. • Los patrones de llegada se describen mediante una distribución de probabilidad de Poisson. Los clientes provienen de una población muy grande. • Los tiempos de servicio varían de un cliente a otro y son independientes entre sí, pero se conoce el tiempo de servicio medio. • Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial negativa. • El ritmo de servicio es mayor que el de llegadas. Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Tipos de modelos de colas •

Simple (M/M/1) – Ejemplo: ventanilla de información en unos almacenes.

•

Multicanal (M/M/S) – Ejemplo: mostrador de venta de billetes de una línea aérea.

•

Servicio constante (M/D/1) – Ejemplo: túnel de lavado de coches.

•

Población limitada – Ejemplo: departamento que tiene sólo 7 taladradoras.

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Características del modelo simple (M/M/1)

• Modelo: sistema de un canal, una fase. • Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega.

• Distribución de llegada: Poisson. • Cola: ilimitada, una sola cola.

• Disciplina de cola: FIFO (FCFS). • Distribución del servicio: exponencial negativa. • Relación: servicio y llegada independientes. • Ritmo de servicio > ritmo de llegada

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Ecuaciones del modelo simple (M/M/1) Número medio de unidades en cola:

Tiempo medio en el sistema:

Ls =



 -

Ws =

1  - 2

Número medio  de unidades en Lq =  ( -  ) cola: Tiempo medio  en cola: Wq =  ( -  ) Utilización del sistema:

 = 

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Ecuaciones de probabilidad simple (M/M/1) Probabilidad de que haya 0 unidades en el sistema, es decir, que el sistema esté desocupado: P

= 1 -  = 1 -

 

Probabilidad de que haya más de k unidades en el sistema,

n>k

 

k+1

()

donde n es el número de unidades en el sistema.

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Características del modelo de cola multicanal (M/M/S)

• Tipo: sistema multicanal. • Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega. • Distribución de llegada: Poisson. • Cola: ilimitada, colas múltiples. • Disciplina de cola: FIFO (FCFS). • Distribución del servicio: exponencial negativa. • Relación: servicio y llegada independientes. •  Ritmo de servicio > ritmo de llegada Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/S) Probabilidad de que haya cero personas o unidades en el sistema:

P0 

1 M 1 1  λ  n  1  λ  M Mμ          n 0 n!  μ   M!  μ  Mμ  λ   M

Número medio de personas o unidades en el sistema: Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema:

      Ls  P M  !M     M

      Ws  P  M  !M    

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Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/S)

Número medio de personas o unidades esperando en la cola para recibir el servicio:

Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola:

 L q  Ls    Wq  Ws  

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Características del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) • • • • • • • •

Modelo: sistema de un canal, una fase. Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega. Distribución de llegada: Poisson. Cola: ilimitada, una única cola. Disciplina de cola: FIFO (FCFS). Distribución del servicio: exponencial negativa. Relación: llegada y servicio independiente.  Ritmo de servicio > ritmo de llegada

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Ecuaciones del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) Número medio de personas o unidades esperando para recibir servicio:

 Lq     

Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola:

 Wq     

Número medio de personas o unidades en el sistema:

Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema:

Ls  L q 

 

Ws  Wq 

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  46

Características del modelo de población limitada

• Modelo: sistema de un canal, una fase. • Origen de la llegada: limitado, no rehúsa, no reniega. • Distribución de llegada: Poisson. • Cola: ilimitada, una única cola. • Disciplina de cola: FIFO (FCFS). • Distribución del servicio: exponencial negativa. • Relación: servicio y llegada independientes. •  Ritmo de servicio > ritmo de llegada Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Ecuaciones del modelo de población limitada

Factor servicio: Número medio de personas o unidades esperando a recibir servicio:

T X TU L  N (  F)

Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola: W

L(T  U ) T(  F)   ( N  L) XF

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Ecuaciones del modelo de población limitada

Número medio en funcionamiento:

J  NF(  X )

Número medio que se sirven:

H FNX

Tamaño de la población:

N J  L  H

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Ecuaciones del modelo de población limitada

Notación:  D = probabilidad de que una unidad deba permanecer en cola.  F = factor de eficiencia.

• H = número medio de unidades que se sirven. • J = número medio de unidades que no están en la cola o en el servicio. •

L = número medio de unidades en espera de ser servidas.

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Ecuaciones del modelo de población limitada • M = número de canales de servicio. • N = número de clientes potenciales.

• T = tiempo de servicio medio. • U = tiempo medio entre las necesidades de servicio de una unidad. • W = tiempo medio de espera en la cola de una unidad.

• X = factor de servicio. • Se obtendrán los datos de tablas de cola limitadas.

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Recuerde:  y  son valores  = número medio de llegadas por período de tiempo. – Ejemplo: 3 unidades/hora

Si el tiempo de servicio medio es 15 minutos, entonces μ es 4 clientes/hora.

 = número medio de personas o artículos servidos por período de tiempo. – Ejemplo: 4 unidades/hora • 1/ = 15 minutos/unidad

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Formación por Competencias

Ejemplos a desarrollar

– Realizar algunos ejemplos prácticos del libro

– Valorar la aplicación de los modelos de colas en el proyecto que se realiza en la organización seleccionado, para lograr una mejora en el

servicio de atención al usuario.

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