Άλγεβρα & στοιχεία πιθανοτήτων: για την Α' Λυκείου (Βασίλειος Γ. Μοτσάκος) by easywriter.gr

6ο Κεφάλαιο

Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων

6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης Θέμα 1ο :Τι λέγεται καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ;  Είναι ένα ζεύγος δύο κάθετων αξόνων x΄x και y΄y με κοινή αρχή ένα σημείο Ο και το συμβολίζουμε με Oxy .  Ο οριζόντιος άξονας x΄x λέγεται άξονας των τετμημένων ή άξονας των x και ο κάθετος y΄y λέγεται άξονας των τεταγμένων ή άξονας των y !Σχόλιο: Αν οι μονάδες των αξόνων έχουν το ίδιο μήκος , το σύστημα λέγεται ορθοκανονικό ,αν όχι το λέμε ορθογώνιο

!Παρατηρήσεις Το συμμετρικό του σημείου  ,   ως προς α) τον άξονα x΄x ,είναι το σημείο A1  ,  β) τον άξονα y΄y ,είναι το σημείο A2   ,   γ) την αρχή των αξόνων Ο ,είναι το σημείο A3   , 

δ) τη διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου είναι το σημείο ΄   ,   ε) τη διχοτόμο του 2ου και 4ου τεταρτημορίου είναι το σημείο ΄΄   ,  

Θέμα 2ο :Δίνονται δυο διαφορετικά σημεία του καρτεσιανού επιπέδου Ax1 , y1  και Bx2 , y2  . Να υπολογίσετε την απόσταση τους  Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΚ έχουμε με το πυθαγόρειο 2 2 2 2 2 θεώρημα ότι  AB    AK   KB  = x2  x1  y2  y1 =

x2  x1 2   y2  y1 2 . Άρα έχουμε  AB   x2  x1 2   y2  y1 2

6ο Κεφάλαιο

Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων

Θέμα 3ο : Έστω  C  ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα  . Να αποδείξετε ότι, ένα σημείο M  x, y  ανήκει στον κύκλο  C  , αν και μόνο αν ισχύει x 2  y 2   2 Απόδειξη : Ένα τυχαίο σημείο M  x, y  ανήκει στο κύκλο  C  ,αν και μόνο αν ισχύει ,

 OM    , δηλαδή      

x2  y 2    x2  y 2   2

Θέμα 4ο :Τι λέγεται γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το A  R ;  Το σύνολο των σημείων M x, f x  για κάθε x  A λέγεται γραφική παράσταση και την συμβολίζουμε με C f (C , από την λέξη curve, δηλαδή καμπύλη ) !Παρατηρήσεις :  Το σημείο M  x0 , y0  ανήκει στη γραφική παράσταση C f , μιας συνάρτησης f αν και μόνο αν ισχύει f x0   y0 , δηλαδή επαληθεύει την εξίσωση της y  f  x  . 

Τα σημεία τομής της C f με τον άξονα xx βρίσκονται αν

λύσουμε την εξίσωση f x   0 (όλα τα σημεία του άξονα xx είναι της μορφής  , 0  ,δηλαδή έχουν τεταγμένη 0) 

Τα σημεία τομής της C f με τον άξονα yy βρίσκονται αν θέσουμε όπου x  0 (εφόσον το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f ) στην y  f  x  (όλα τα σημεία του άξονα yy είναι της μορφής  0,   f  0   , 0 ,δηλαδή έχουν τετμημένη 0)



Οποιαδήποτε κάθετη ευθεία στον xx , τέμνει την γραφική παράσταση C f το πολύ σε ένα σημείο.



Αν δύο συναρτήσεις f , g έχουν κοινό πεδίο ορισμού D f  Dg   τότε, τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων τους βρίσκονται αν λύσουμε την εξίσωση f x   g x 



Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f ,βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x στα διαστήματα που αληθεύει η ανίσωση f x   0 (Από το σχήμα f x   0 ,αν x   5, 1   2,   )



Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x στα διαστήματα που αληθεύει η ανίσωση f x   0 (Από το σχήμα f  x   0 αν x   , 5   1, 2  )

6ο Κεφάλαιο

Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων



Η γραφική παράσταση της συνάρτησης  f x  προκύπτει από τη C f αφού πάρουμε την συμμετρική της C f ως προς τον άξονα xx



Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f  x  προκύπτει από τη C f αφού πάρουμε την συμμετρική της C f ως προς τον άξονα yy



Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  προκύπτει από την

C f ,αφού πάρουμε τα τμήματα της C f που είναι πάνω από τον άξονα xx και τα συμμετρικά ως προς τον άξονα xx των τμημάτων της που βρίσκονται κάτω από τον άξονα xx

Ερωτήσεις Κατανόησης Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ , αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Λ 1. Το σημείο A1,2 ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x   x  1  2 Σ

2. Αν ισχύει f 3  1 ,τότε το σημείο A3,1 ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης Σ Λ 3. Η γραφική παράσταση της f x   x 2  2 x  3 διέρχεται από το σημείο A  0,1 Σ

4. Η συνάρτηση f x   x3  2 x περνάει από το σημείο M 0,0

5. Το συμμετρικό του σημείου A(2,3) ως προς τον άξονα xx είναι το A 2,3 Σ

6. Το συμμετρικό του σημείου A(1,2) ως προς τον άξονα yy είναι το A1,2

6ο Κεφάλαιο

Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων

7. Αν   2, 1 και   1,1 ,τότε η απόσταση     5

8. Η απόσταση των σημείων (1,0) και   2, 0  είναι ίση με 3

9. Κάθε κάθετη ευθεία στον άξονα xx τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα ακριβώς σημείο Σ Λ 10. Η απόσταση των σημείων A  x,2 x  και B  3x, 2 x  είναι  AB   4 x

11. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x   x3  2 x 2  5x  4 τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A0,4 Σ Λ 12. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, δεν μπορεί να έχει δύο κοινά σημεία με τον άξονα Σ Λ yy 13. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  

x 1 τέμνει τον άξονα xx στο σημείο A 1,0 x2 Σ Λ

14. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x   x 2  9 τέμνει τον άξονα xx σε δύο σημεία Σ 15. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  

x 1 τέμνει τον άξονα yy Σ x2  1

Λ Λ

16. Ποιες από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις ορίζουν συνάρτηση

17. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f  x   2 x  1 και g  x   x 2  x  1 τέμνονται στα σημεία A  1, 1 και B  2,5

6ο Κεφάλαιο

Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων

18. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f  x   x 2  2011 και g x    x 2  3 έχουν δύο κοινά σημεία Σ Λ 19. Δεν υπάρχει συνάρτηση που η γραφική της παράσταση να σχηματίζει λουκουμά με τρύπα στη μέση Σ Λ 20. Να βρείτε το πεδίο ορισμού , το σύνολο τιμών , τα σημεία τομής με τους άξονες και τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι θετική ή αρνητική

21. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α) Να λυθεί η εξίσωση f  x   0 β) Να λυθεί η εξίσωση f  x   6 γ) Να λυθεί η εξίσωση f  x   2

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις 22. Αν σημεία Α x  1,2 και B5  2 x, y  1 είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο. Τότε Α. x  4 και y  1 Β. x  2 και y  0

Γ. x  6 και y  2

23. Η απόσταση  AB  των σημείων A2,3 και B5,7  είναι ίση με: Α. 3 Β. 7 Γ. 5 Δ. 113 Ε τίποτα από τα παραπάνω 24. Η απόσταση  AB  των σημείων A  ,   και B   ,   είναι ίση με: Α. 2 Β. 2 Γ. 2  Δ. 2 2  25. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το στοιχείο της στήλης Β

Ε.0

Στήλη Α A. Τα σημεία  2, 3 ,  2,3 είναι

Στήλη Β 1. Συμμετρικά ως προς την αρχή Ο των αξόνων

B. Τα σημεία 1, 4  ,  4,1 είναι

2. Συμμετρικά ως προς τον άξονα xx

C. Τα σημεία  3,1 ,  1,3 είναι

3. Συμμετρικά ως προς τον άξονα yy

D. Τα σημεία  6,5 ,  6,5 είναι

4. Συμμετρικά ως την διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου το σημείο 5. Συμμετρικά ως την διχοτόμο του 2ου και 4ου τεταρτημορίου

E. Τα σημεία  1, 2  , 1, 2  είναι

6ο Κεφάλαιο

Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων

26. Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά α) Το πεδίο ορισμού της f είναι A  β) Το σύνολο τιμών της f είναι γ) f  2  

, f  2  

f  8 

, f  4  

f  A  f  0 

, f  1 

δ) Τα σημεία τομής της C f με τον άξονα xx είναι ……………… ε) Τα σημεία τομής της C f με τον άξονα yy είναι ……………… στ) Η f  x   0 , αν x 

ζ) Η f  x   0 ,αν x 

η) Η f  x   0 ,αν x 

θ) Αν f  x    2,5 ,τότε x 

ι) Αν x   4, 1 τότε f  x  

ια) f  5 

ιβ) f  1 

ιγ) Αν f  x   1 ,τότε x 

27. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά του πίνακα Στήλη Α Συνάρτηση

y  f  x   3x  6 y  f  x    x  2  x  4  y  f  x   1  x2 y  f  x   2x  5  6 y  f  x   3x3  24 y  f  x   x 1  1

y  f  x 

x3 4 x

Στήλη Β Σημεία Τομής με άξονα xx

Στήλη Γ Σημεία τομής με άξονα yy

6ο Κεφάλαιο

Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων

28. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g . Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά A.Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A  Β. Το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο B  Γ. Είναι f  x   g  x  όταν x  Δ. Είναι f  x   g  x  όταν x  Ε. Είναι f  x   g  x  όταν x  ΣΤ. Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f  A  Ζ. Το σύνολο τιμών της g είναι το σύνολο g  B   Η. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα xx στα σημεία …………………… Θ. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy στο σημείο …………………… Ι. Η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα xx στα σημεία …………………… ΙΑ. Η γραφική παράσταση της g  x  τέμνει τον άξονα yy στο σημείο ……………………

Λυμένες Ασκήσεις 1. Να βρείτε τους πραγματικούς  ,  ώστε για τα σημεία Α,Β,Γ να ισχύουν α) A  2  1,   1  Ox (Θετικό ημιάξονα ) β) B    3,   2  y (αρνητικό ημιάξονα )

   1 2  1  ο , γ)    να ανήκει στο 3 τεταρτημόριο 2 3   Λύση: α) πρέπει   1  0 και 2  1  0 ή   1 και 2  1 ή   1 και  

1 2

β) πρέπει   3  0 και   2  0 ή   3 και   2 1  1 2  1  0 και  0 ή   1  0 και 2  1  0 ή   1 και   γ)πρέπει 2 3 2 2. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου  1,3 ως προς α) τον άξονα xx β) τον άξονα yy γ)τη διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου δ) τη διχοτόμο του 2ου και 4ου τεταρτημορίου ε) την αρχή των αξόνων Λύση: α) Είναι το σημείο A1  1,3 β) Είναι το σημείο A2 1,3 γ) Είναι το σημείο A3 3,1 δ) Είναι το σημείο A4  3,1 ε) Είναι το σημείο A5 1,3

6ο Κεφάλαιο

Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων

3. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με A3,5 , B1,2 και 6,3 είναι ορθογώνιο και ισοσκελές Λύση:

   1  32  2  52  4  9    6  12  3  22  25  1   2   2  26 και  2  26

13 και   

6  32  3  52  9  4  13 26 επειδή      είναι ισοσκελές και 2 2 2 άρα         δηλαδή ορθογώνιο

και

4. Να βρείτε τον αριθμό x  R ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ με A1,4 , B2,1 και 4, x  ,να είναι ισοσκελές Λύση :

   2  12  1  42

 1  9  10 και   

4  12  x  42  9  x  42  AB    A .Άρα 10  9  x  42 ή

Για να είναι το ΑΒΓ ισοσκελές πρέπει

10  9  x  4 ή 1  x  4 ή x  4  1 ή x  5 ή x  3 2

5. Έστω το σημείο A 1,3 . Να βρείτε σημείο Β του άξονα xx τέτοιο ώστε : α) Η απόσταση των σημείων Α, Β να είναι 5 ,δηλαδή ,  AB   5 β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ να είναι 3 ,δηλαδή , (OAB)  3 Λύση: α)Επειδή το σημείο Β ανήκει στον άξονα xx  θα είναι της μορφής B  , 0  άρα θα έχουμε

     1   0  3    1  9  5 ή 2 2   1  9  25 ή   1  16 ή   1  4 άρα   3 ή   5 άρα B  3, 0  ή B  5, 0   OB  AK   3 ή   3  3 ή   2 ή   2 β)  AOB   2

x2 x2 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να αποδείξετε ότι διέρχεται από το σημείο M 1, 3

6. Δίνεται η συνάρτηση f x  

γ) Να βρείτε τα σημεία που η C f τέμνει τους άξονες δ) Τα διαστήματα που η C f ,είναι πάνω από τον άξονα xx ε) Τα διαστήματα που η C f ,είναι κάτω από τον άξονα xx Λύση: α) Πρέπει x  2  0 ή x  2 άρα το πεδίο ορισμού της θα είναι A   ,2  2, 1 2 3   3 ή f 1  3 άρα η C f διέρχεται από σημείο M 1,3 β) Έχουμε f 1  1 2 1 02  1 άρα η C f τέμνει τον yy  στο σημείο K 0,1 . γ) Για x  0 έχουμε f 0  02 x2  0 ή x  2  0 ή x  2 Για y  0 ή f x   0 έχουμε f x   x2

6ο Κεφάλαιο

Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων

άρα η C f τέμνει τον xx  στο σημείο  2,0 δ) Η C f είναι πάνω από τον άξονα xx αν f x   0 ή

x2 0 ή x2

x  2x  2  0

x 2  4 ή x  2 . Άρα x  2 ή x  2 οπότε στο διάστημα A   ,2  2, η C f είναι πάνω από τον άξονα xx ή x2  4  0 ή x2  4 ή

ε) Η C f είναι κάτω από τον άξονα xx αν f x   0 ή ή x2  4  0 ή x2  4 ή

 2, 2 

x2 0 ή x2

x  2x  2  0

x 2  4 ή x  2 . Άρα  2  x  2 οπότε στο διάστημα

η C f είναι κάτω από τον άξονα xx

7. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f x   x 2  3x  1 και g x   2 x 2  5x  6 Λύση : Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων είναι τα D f  R, Dg  R ά D f  Dg  R Έχουμε y  x 2  3x  1 και y  2 x 2  5x  6 άρα x 2  3x  1  2 x 2  5x  6 ή x 2  8x  7  0 ή x  1ή x  7 οπότε τα κοινά σημεία είναι A1, f 1  g 1 ή A1,3 και B7, f 7  g 7 ή B7,69 8. Να βρείτε τον αριθμό   R ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο f x   x 2  3   x  4 ,να διέρχεται από το σημείο M  2,4 Λύση: 2 Πρέπει να ισχύει f  2  4 ή  2  3    2  4  4 ή 4  6  2  4  4 ή 6  6 ή   1 9. Να βρείτε τους αριθμούς  ,   R ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο f x     1x 2  x  2   ,να διέρχεται από τα σημεία 1,2 και  1,6 Λύση: Πρέπει να ισχύει f 1  2 και f  1  6 άρα έχουμε το σύστημα :

 f 1  2 ή   1    2    2   1  2  2   2   1    2    6  f  1  6 ή   1 1    1  2    6 3  3   1   1    3  2  7 3  2  7  2  4 ή   2 Λυμένες Ασκήσεις

1. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό  ώστε τα σημεία A 1, 3 και B 1, 2  3  να είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα xx . 2. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό  ώστε το σημείο M   2  4 ,  2  7  10  να βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο 3. Να βρείτε το πραγματικό αριθμό  ώστε τα σημεία A   2  1,   4  ,     3,  2    να είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα yy .

6ο Κεφάλαιο

Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων

4. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό  ώστε τα σημεία A3,6 και B   1,   2  να είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου 5. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό  ώστε τα σημεία A3,5 και B   1 ,2  9 να είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου . 6. Αν το σημείο A1,4 ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο f  x   x3  2 x 2  3  5 να βρείτε τον   R . 7. Να βρείτε τη συνάρτηση f  x   x 2   x   ,  ,   R η οποία διέρχεται από τα σημεία 1,2 και  1,3 .

8. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό  ώστε τα σημεία A 2,1 και B  2,    2  να είναι συμμετρικά την αρχή των αξόνων Ο. 9. Δίνεται η συνάρτηση f x   x 2  9 α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες xx και yy ΄ β) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x ,ώστε η γραφική παράσταση της f ,να είναι πάνω από τον άξονα xx . 10. Να βρεθούν οι αποστάσεις των σημείων α) A 1,3 και B  1, 2  β) A  2,5 και B  2,7 

γ) A  0, 0  και B  4, 3

11. Να αποδείξετε ότι τα σημεία A  0,3 , B  3, 2  και   3, 2  είναι κορυφές ισοσκελούς τρίγωνου 12. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία A 1, 2  , B  3, 2  και   3, 0  είναι ορθογώνιο και ισοσκελές 13. Δίνονται τα σημεία A 2,1 και B  2,3 .Να βρείτε σημείο M του άξονα xx τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο M 14. Δίνονται τα σημεία A 2,1 και B2,3 .Να βρείτε σημείο M που έχει τεταγμένη διπλάσια από την τετμημένη και το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ισοσκελές με βάση ΑΒ. 15. Δίνονται οι συναρτήσεις f  x   x 1 και g  x   3x 13 . Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f , g 16. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f  x   x 2  1 και

g  x      2  x  3 για τις διάφορες τιμές του  . 17. Να βρείτε τις τιμές του x  R για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f  x   2 x 2  x  3 να είναι κάτω από την γραφική παράσταση g  x   x 2  x  5 .

6ο Κεφάλαιο

Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων

18. Δίνεται η συνάρτηση f

 x 2  3x 10, x 1   x    x  1,  2  x  1 .Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής  x  2  x  5 ,

παράστασης της με τους άξονες xx και yy ΄.

19. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f x  

3 x

x  2 1 β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες xx , yy .

20. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό  ,ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f  x   x3  2x2  5 και g  x   x   2 1 ,να έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα yy 21. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς  ,  ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

f  x    x 2  3 x  1 και g ( x)   x  1  5x  2  να τέμνονται στο σημείο A 1,1 22. Δίνεται η συνάρτηση f x   x  4 

3x  1  2 . Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής

παράστασης της f με τους άξονες και να εξετάσετε αν η C f διέρχεται από το σημείο M 5,7 23. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες αν α) f x   x  2  2 x  1

β) f x   x 2  9  2 x  3

 x  1, x  1 γ) f x    2  x  1, x  1

δ) f x   x 2  4 x 2  2004







24. Δίνεται η συνάρτηση f  x   x3  3 x 2     1 x  1 . Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς  ,  ,ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από τα σημεία A 2,1 , B1,8 .Στη συνέχεια να βρείτε τα κοινά σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες 25. Δίνεται η συνάρτηση f x   3 x3  32 x 2  3x  1 . α)Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό  ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο A1,0 . β)Στη συνέχεια να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες γ)Να επιλύσετε τη ανίσωση f x   1 3x 26. Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  ( x 1)2  x  2  2 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό  ώστε η γραφική παράσταση της f ,να διέρχεται από το σημείο A  3, 3 27. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f  x   3  3 x 1 β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες γ) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό  ώστε το σημείο A  9,   1 να ανήκει στη γραφική της παράσταση της .

6ο Κεφάλαιο

Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων

16ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ στην παράγραφο 6.2 (Γραφική παράσταση συνάρτησης ) Θέμα 1ο : Α. Δίνονται τα σημεία Ax1 , y1  και Bx2 , y2  . Να υπολογίσετε η απόσταση τους . Β. Τι λέγεται γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το A  R ; Γ. Το σημείο A 1,3 ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x   2 x  1 Σ Δ. Αν   2, 3 και B 3,0 ,τότε η απόσταση  AB   2

E. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  

Θέμα 2ο : Α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό

x2  1 δεν τέμνει τον άξονα yy x

Μονάδες 5 Μονάδες 5 Λ Μονάδες 5

Λ Μονάδες 5

 ώστε τα σημεία A  7,3 και B  2  5 ,3 να είναι

συμμετρικά ως προς τον άξονα yy Μονάδες 12,5 Β. Δίνεται η συνάρτηση f  x    x  1,   R . Να βρείτε τον αριθμό  ώστε η γραφική παράστασης της να διέρχεται από το σημείο M  2,1 Μονάδες 12,5 Θέμα 3ο : Α Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x ώστε η απόσταση των σημείων A 1, 2  και B  x, x  να είναι

Μονάδες 12,5 Β. Δίνονται οι συναρτήσεις f  x   2x 1 και g  x   2x  5 Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των Θέμα 4ο : Δίνεται η συνάρτηση f  x   2 x3  (  1) x 2   3  1 x  4,   R .

Μονάδες 12,5

α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό  ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο A  2, 12  Μονάδες 7 β) Να βρείτε τα κοινά σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες Μονάδες 5 γ) Να βρείτε τις τιμές του x ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να είναι κάτω από την γραφική παράσταση g  x   2 x3  x 2  1 Μονάδες 13

η συνέχεια στο... http://www.easywriter.gr/ebooks/item/808