Estudio del comportamiento fractal de las ondas sísmicas

Estudio del comportamiento fractal de las ondas sísmicas

Por Rubén Cuenca Martínez, José María Lorca Lorente, Marcos Ruiz Contreras alumnos de 1º de Bachillerato del IES Saavedra Fajardo Coordinador: D. Silvestre Paredes Hernández Tutora del proyecto: Dª. María Dolores Cánovas Amorós Fecha de presentación: 10/06/2019

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RESUMEN En el presente proyecto se ha aplicado la geometría y dimensión fractal para estudiar las ondas sísmicas registradas en el terremoto de Lorca (Mw 5,1) el 11 de mayo de 2011. El objetivo principal planteado es determinar si la intensidad de la curva que forman dichas ondas está relacionada con su dimensión fractal. De este modo se ha intentado comprobar si la dimensión fractal de las ondas aumenta cuando la intensidad de la onda es mayor, o si por el contrario disminuye.

Para analizar los datos sísmicos se ha empleado el método de Higuchi. Este toma el tiempo como un objeto geométrico para medir la longitud de una curva en un determinado periodo de tiempo, de tal forma que la longitud obtenida se puede comparar con la serie de tiempo seleccionada. La dimensión fractal de una curva será el valor absoluto de la pendiente de la recta de regresión que mejor se ajuste a la nube de puntos que esas variables forman.

Las dimensiones fractales obtenidas para los distintos tramos de curva (anteriores y posteriores al momento álgido o del momento álgido) mostraron que los trozos de curva con mayor intensidad son aquellos con mayor dimensión fractal. Aunque se encontraron trozos de curva con una dimensión fractal alta cuando pertenecían a los momentos de menor intensidad, se demostró que incluso esos tramos específicos presentaban una intensidad mayor a la generalidad del momento al que pertenecían. Por lo que podemos concluir que a mayor amplitud de onda, mayor dimensión fractal la onda poseerá.

ABSTRACT In this project, fractal geometry and dimensions have been used in order to study the earthquake waves registered in Lorca (Mw 5,1) the 11th May of 2011.The main objective set out is to determine if the intensity of those waves is related to its fractal dimension. Thus, we have tried to check whether the fractal dimension of a wave increases or decreases when its intensity is higher.

Higuchi’s method has been used so as to analyse our seismic data. This method takes time as a geometric object to measure the length of a curve in a determined period of time, so that the obtained length can be compared with the series of time selected. The fractal dimension of a curve is the absolute value of the slope of the regression line that best fits the point cloud that these variables form.

The fractal dimensions obtained for the distinct sections of the curve (previous and posterior to the summit point or of the summit point) showed that the sections of the curve with the highest intensity were those with the highest fractal dimension. Although some sections were found to have a higher fractal dimension when they belonged to the lowest intensity moments, they were proved to have a higher intensity than the generality of the moment that they belonged to. Thus, we can conclude that the higher amplitude of the wave, the higher its fractal dimension will be.

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ÍNDICE

1. Introducción……………………………………………………………………………………………………….3

2. Antecedentes………………………………………………………………………………………………………4 2.1. Fractales…………………………………………………………………………………………...…......4 2.1.1. Definición de fractal…………………………………………………………………………..4 2.1.2. Historia de los fractales……………………………………………………………………….5 2.1.3. Construcción de un fractal…………………………………………………………………….5 2.2. Geometría y dimensiones………………………………………………………………………………..5 2.2.1. Geometría euclídea y dimensión natural……………………………...…………...………….5 2.2.2. Geometría fractal y dimensión fractal………………………………………………………...5 2.2.3. Algunos métodos de cálculo de dimensiones ………………………………………………...6 2.2.3.1. Cálculo de la dimensión de Hausdorff……………………………………………..7 2.2.3.2. Box counting o conteo de cajas………....………………………………………….8 2.2.3.3. Algoritmo de Higuchi……………………………………………………………...8 2.3. Ondas Sísmicas……………………… ………………………………………………………………...9 2.3.1. Ondas primarias o P…………………………………………………………………………...10 2.3.2. Ondas secundarias o S………………………………………………………………………...10

3. Hipótesis del trabajo y objeto de investigación………………………………………………………………...11

4. Materiales y métodos…………………………………………………………………………………………….12

5. Resultados………………………………………………………………………………………………………..15

6. Conclusiones…………………………………………………………………………………………………...…18 Agradecimientos………………………………………………… ………………………………………………..19

Bibliografía y webgrafía……………………………………………………………………………………………20

Anexo...…………………………………………………………………………………………………………...…23

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1. INTRODUCCIÓN

En el presente proyecto vamos a investigar sobre la relación que podría existir entre las señales registradas por sismógrafos, en nuestro caso, como resultado del terremoto de Lorca de 2011 (Mw 5,1), y la geometría y dimensión fractal. A través de nuestro estudio buscamos comprobar cómo de grande es el parentesco de esos datos con la geometría fractal según la intensidad de onda o el momento en el que se hayan recogido, es decir, antes, durante o después del momento álgido del seísmo, para lo cual haremos un constante uso de las matemáticas aplicadas a los medios informáticos de los que disponemos hoy en día.

Intentamos demostrar, por tanto, que la parte de la curva que forman los datos sísmicos recogidos en el momento de mayor intensidad del terremoto es aquella que presenta una fractalidad más alta, es decir, una dimensión fractal mayor. Nuestro interés puesto en este proyecto se centra principalmente en un estudio que realmente intenta demostrar que los fractales y las matemáticas son algo totalmente presentes y susceptibles de ser cuantificados, por qué no decirlo, en todos los ámbitos de nuestra vida.

Debemos tener en cuenta que esto que se plantea hacer es algo, no complicado, pero sí tedioso puesto que buscar y demostrar esa relación de las ondas sísmicas con los fractales puede verse afectado por diversos factores, como el encontrar datos que se desvíen de los que esperamos a causa de réplicas del terremoto o al cambio de velocidad de las ondas según el material que atraviesen, lo que podría llegar a confundirnos con la información que nos proporcionen a la hora de sacar unas conclusiones. Además, este estudio implica necesariamente manejar una gran cantidad de datos que deben ser analizados; nos han sido proporcionados un total de 8640001 datos, aunque este proceso es mucho más sencillo de lo que podría haber sido sin los avances matemáticos e informáticos de los que disponemos actualmente, por supuesto.

Actualmente, apenas se poseen datos sobre el comportamiento de los seísmos, y esa es la razón principal por la que escogemos estudiar las ondas sísmicas. Sí que existen, sin embargo, otros estudios de cálculo de dimensión fractal aplicados a costas, fronteras, electrocardiogramas, obras de arte e incluso a ondas sísmicas, aunque no sabemos de la existencia de ninguno aplicado en concreto al terremoto de Lorca. Todos con diferentes fines.

Para poder concluir si las ondas sísmicas presentan tal comportamiento fractal definido por el momento en el que son recogidos, nos es crucial el uso de herramientas como Excel o la ventana de comandos de Windows para poder aplicar el algoritmo del que precisamos y controlar la inmensa cantidad de datos comentados anteriormente.

Aplicamos para el procesamiento de nuestros datos uno de los algoritmos más utilizados para la estimación de la longitud de curvas, que en nuestro caso forman los mismos datos en función del tiempo: el Algoritmo de Higuchi.

Posteriormente, para la estimación de la dimensión fractal de cada curva, calculamos las rectas de regresión correspondientes, cuyas pendientes, prescindiendo del signo, son la mejor estimación de la dimensión fractal. Por último relacionamos cada pendiente con su respectiva curva y compararemos entre sí para llegar a nuestras conclusiones.

Con el fin de poder explicar con mayor facilidad para su completo entendimiento la hipótesis planteadas, los métodos utilizados y las conclusiones, en mayor medida, vamos a proceder a exponer a lo largo de los antecedentes ciertos conceptos e información muy relacionada con el tema del proyecto y que consideramos necesaria e importante, así como interesante, a la hora de exponer el marco teórico del estado de la cuestión.

Posteriormente planteamos de manera más extensa la hipótesis de este proyecto y el objeto de investigación, seguido este apartado de una descripción de la metodología y de los materiales empleados a la hora de realizar el trabajo de campo. Continuamos con la exposición de los resultados y la redacción de las conclusiones para luego exponer en una bibliografía aquellas fuentes que hemos utilizado en la toma de información, y por último, expresar nuestro especial agradecimiento a las personas implicadas en el proyecto y que sin cuya ayuda no habría sido posible ni tan siquiera empezar con nuestra investigación.

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2. ANTECEDENTES 2.1. Fractales 2.1.1. Definición de fractal Dando una descripción concisa de lo que un fractal es realmente, podemos resumir que es un objeto matemático autosemejante, lo que significa que posee una estructura que se basa en la repetición de pequeños fragmentos que se parecen al todo. Esto causa que sin importar la escala a la que se observe, un fractal seguirá conservando esa misma estructura tan compleja que presenta. Los fractales además carecen de una dimensión entera, de lo cual hablaremos más extensamente en este proyecto. (Ros, 2018).

A pesar de estas propiedades que pueden parecer complejas, podemos encontrar fractales naturalmente construidos en nuestra vida cotidiana. Es el caso de las nubes, el de las costas o incluso de nuestro sistema circulatorio, aunque su estructura sea más difícilmente reconocible. Estos objetos son fractales porque según intentamos medir su longitud descubrimos que, conforme la precisión de la medida va aumentando, así aumenta la longitud del objeto. Sin embargo, hay que tener en cuenta para definirlos que esa propiedad de autosemejanza solamente caracteriza a los fractales naturales en un cierto rango de escala de observación, dejando esa propiedad de autosemejanza, digamos perfecta, para ciertos fractales construidos matemáticamente. Esto se debe a que en un momento dado ya dejaríamos de apreciar si el objeto ampliado es el mismo objeto.

Aunque a veces no nos demos cuenta, los fractales se encuentran en todo nuestro alrededor, en nuestra vida cotidiana, aunque sea principalmente en forma de fractales naturales. No solo eso sino que también los construimos artificialmente muy a menudo con numerosos fines. Los utilizamos en electrónica y en comunicaciones para reducir la pérdida de paquetes, mejorar la rapidez en la red y para la construcción de antenas parabólicas con mayor rendimiento en espacios más reducidos; son de utilidad en geología a la hora de investigar las roturas de los macizos rocosos y las estructuras metamórficas de los minerales; sirven para investigar las relaciones lleno-vacío de las estructuras de las ciudades según la estructura de la Alfombra de Sierpinski; se utilizan también para estudiar el crecimiento de los tejidos humanos al cicatrizar o para investigar el proceso que siguen los cánceres al crecer, ya que estos tienden a expandirse según una estructura fractal; son especialmente utilizados a la hora de reconocer y diferenciar estados específicos de función fisiológica en los análisis de electroencefalogramas y electrocardiogramas.

Para entender esta propiedad de autosemejanza, tan importante en la definición del concepto de fractal, vamos a poner el ejemplo de una coliflor. La estructura de una coliflor se asemeja a la de un fractal porque su estructura cunple con esa propiedad de autosemejanza; si observamos una coliflor podremos ver que ésta está formada por un tallo grande que se va descomponiendo en tallos cada vez más pequeños, y esos tallos a su vez conservan la misma estructura de la coliflor, aunque como se puede entender, esa estructura no se va a conservar a escala atómica porque es un fractal natural.

Sin embargo, los fractales matemáticos sí que van a cumplir con esta propiedad indefinidamente, como ya hemos dicho. Fractales como el Copo de Nieve de Koch, la alfombra de Sierpinski o el Conjunto de Mandelbrot presentan una estructura fácilmente reconocible autosemejante.

Ilustración 1: Conjunto de Mandelbrot y detalle. Fuente: Elaboración propia.

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2.1.2. Historia de los fractales Los fractales son un área de las matemáticas bastante moderna debido a que casi todos los estudios y descubrimientos sobre los mismos han sido realizados en los siglos XIX y sobretodo en el XX. La aparición de los ordenadores nos ha permitido entender mejor qué son los fractales y qué aspecto tienen, puesto que la única forma de representar un fractal es programar un ordenador para que haga los cálculos necesarios para su construcción.

El concepto de fractal, entonces, aparece hace relativamente poco tiempo, en 1975, gracias a Benoit Mandelbrot. El término, que proviene de la palabra latina “fractus”, hace referencia a la propiedad principal de los fractales que hemos visto anteriormente, a la autosemejanza, significando “quebrado”, pues su estructura se basa en una fragmentación, y en definitiva se basa en otras estructuras similares más pequeñas.

Es cierto, no obstante, que aunque este término apareciera más tarde, ya se habían hecho ciertas investigaciones sobre los fractales, y ya a finales del siglo XIX Henri Poincaré ya tenía una idea de lo que eran. Sin embargo, esas investigaciones llevadas a cabo por él y otros científicos como Gastón Julia y Pierre Fatou se abandonaron prácticamente hasta la llegada de las investigaciones de Mandelbrot y la publicación de su libro The Fractal Geometry of Nature, 1982, más tarde.

2.1.3. Construcción de un fractal Por lo general, para la generación de un fractal se utiliza un sistema de funciones iteradas. Estas iteraciones son cálculos simples que, en este caso, para la construcción de los fractales, hacen uso de los números complejos.

Los fractales se construyen al introducir esas iteraciones en un ordenador, que es capaz de hacer tales cálculos. Es por esto que su construcción ha venido tan ligada a la aparición del ordenador.

Los fractales son, de hecho, una parte de las matemáticas que es moderna, como ya hemos hablado anteriormente en el apartado Historia de los fractales. Sin embargo, existen muy diversos fractales como cabe esperar fruto de la facilidad de su construcción (las iteraciones pueden llegar a ser extremadamente sencillas de formular).

Un ejemplo de una construcción de fractal sencilla la podemos observar en la construcción del conjunto de Mandelbrot, cuya estructura podría parecer extremadamente complicada, y realmente lo es, pero no la iteración que emplea. Ésta, parte de un número complejo z = a+bi, siendo a y b R, y se somete al mismo a la iteración. Para esta iteración elevaremos z al cuadrado y lo sumaremos con el mismo z. Seguidamente elevaremos al cuadrado ese mismo resultado y lo sumaremos a z, y así indefinidamente, como viene expresado a continuación: Siendo z el número complejo z = a+bi Primera iteración Segunda iteración Tercera iteración

z2+ z (z2+ z)2+ z ((z2+ z)2+z)2+ z

2.2. Geometría y dimensiones 2.2.1. Geometría euclídea y dimensión natural La geometría euclídea, que fue postulada por Euclides en Los elementos (300 a.C) está construida sobre cinco principios, que no estaría de más enumerar y explicar para conocerlos debido a su relación con la geometría fractal.

El primero de los postulados de la geometría euclídea declara que dados dos puntos, podemos trazar una recta que conecte a ambos; en otras palabras, el primero de los axiomas de la geometría euclídea proclama que dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.

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El segundo axioma manifiesta que cualquier segmento puede ser prolongado de forma indefinida y continua en una recta con su misma dirección.

El tercer postulado, por su parte, afirma que es posible construir una circunferencia con un punto (que actúe como centro de dicha circunferencia) y un radio cualesquiera.

La geometría euclídea también está construida sobre la afirmación de que todos los ángulos rectos son semejantes, esta afirmación conforma el cuarto postulado de la geometría euclídea.

Por último, el quinto postulado de la geometría euclídea explica que si una recta que corta a otras dos rectas de manera que la suma de los ángulos interiores, ambos perteneciente al mismo lado, es menor que 180º, las otras dos rectas se cortan al ser prolongadas por el mismo lado por el que están dichos ángulos interiores; en otras palabras, el quinto axioma de Euclides consiste en que tomando una recta y un punto externo a esta (es decir, un punto que no se encuentra dentro de la recta), solo se podrá dibujar una única recta que sea capaz tanto de pasar por dicho punto como de ser paralela a la primera recta que hemos mencionado anteriormente.

Este último postulado ha sido descartado por otras geometrías, sin embargo, puesto que podemos negarlo si seguimos los enunciados de la geometría esférica o la geometría hiperbólica, que afirman que no es posible que exista una recta que cumpla con el postulado, y que no solo existe una recta que lo cumpla, respectivamente.

Sin embargo, lo que más nos interesa sobre la geometría euclídea en este trabajo son las dimensiones que son dadas a los cuerpos y el valor de dichas dimensiones. Conforme a Euclides, los únicos valores que pueden presentar las dimensiones de los cuerpos son 0, 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que esto solo funciona en un plano abstracto, pues se supone que un punto no tiene ni tamaño, ni longitud, ni anchura, ni profundidad. Por tanto, a su dimensión se le da un valor nulo, el valor 0. Por otro lado, se da por supuesto que las líneas sólo poseen longitud, es decir, no poseen ni anchura ni grosor, lo que las convierte en cuerpos unidimensionales, y por ende de dimensión con valor 1. En cuanto a las superficies, que aunque carezcan de profundidad sí poseen longitud y anchura, son cuerpos bidimensionales; de dimensión igual a 2. Por último, los cuerpos sólidos son dotados de una dimensión con valor 3. Esto es debido a que los cuerpos sólidos tienen tanto longitud como anchura y profundidad, lo que los hace cuerpos tridimensionales.

El valor que la geometría euclídea aporta a las dimensiones de los cuerpos es de lo más esencial para entender a los fractales y su dimensión. La geometría euclídea, que es la geometría que denominaremos como “clásica” o “normal”, establece que el valor de las dimensiones solo puede ser entero; en cambio, las dimensiones de los fractales se corresponden con números no enteros. Por ejemplo, si realizamos lo cálculos necesarios a partir del método de Hausdorff (Hausdorff, 1917) del cálculo de dimensiones para obtener el valor de la dimensión del Triángulo de Sierpinski, un conocido fractal formado por la descomposición de un triángulo equilátero en otros tres triángulos equiláteros, observaremos que el valor de la dimensión del triángulo es 1,58496; en resumidas cuentas, los fractales pueden ser entendidos como “especiales” puesto que a diferencia de los cuerpos geométricos clásicos (como los cubos), los fractales no tienen una dimensión representada por un valor entero.

2.2.2. Geometría fractal y dimensión fractal La geometría fractal, a diferencia de la euclídea, no hace ninguna diferencia entre los modelos matemáticos y los objetos naturales; es la geometría capaz de estudiar otras formas geométricas irregulares y complejas gracias a que proporciona los modelos necesarios para su estudio. Por esa misma complejidad, los fractales necesitan de diferentes instrumentos de medida para poder entender sus propiedades geométricas, ya que los fractales pueden no tener una dimensión entera. Algunos de esos instrumentos son la medida de Hausdorff, la medida de empaquetamiento o el algoritmo de Higuchi. (Jllop, 2016; Llorente, Ruiz, Morán, 2018).

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2.2.3. Algunos métodos de cálculo de dimensiones: 2.2.3.1. Dimensión de Hausdorff El método de Hausdorff para el cálculo de la dimensión de los fractales se basa en la medida de Hausdorff, que sirve para dar una concepción general métrica para el concepto de dimensión de un espacio topológico, siendo capaz de definir las dimensiones de los fractales, que difieren de las de números enteros propuestas por Euclides, siendo estas fraccionarias. Esta dimensión intenta dar una solución al problema que presentan los fractales a la hora de definir su dimensión, puesto que no es como la de una línea o un plano, que ocupa completamente una superficie, sino que dejan espacios que nunca llegan a cubrir en el plano, es por ello que su dimensión, como la del Triángulo de Sierpinski se encuentran entre los enteros 1 y 2, porque ocupa más superficie que una línea pero no llega a cubrir la superficie que cubre un plano. Esta dimensión en definitiva mide la cantidad de espacio mínimo en el que se puede encerrar el fractal.

Para el cálculo de la superficie de un fractal el método a seguir es bastante sencillo si conocemos bien con qué aspectos de los fractales se trabaja. La fórmula del cálculo de la dimensión de un objeto de dimensión es: (1) Donde: D = Dimensión del espacio topológico n = número de fragmentos iguales al objeto en su primera iteración en los que se divide el objeto en su estado actual S = número de veces que tendríamos que multiplicar una de las partes en las que se divide el objeto, observada a cierta escala, para que diese como resultado el objeto inicial Llevándolo a un caso práctico, vamos a demostrar que la dimensión del Triángulo de Sierpinski es un número fraccionario. (Mills, 2015)

Ilustración 2: Triángulo de Sierpinski en su tercera iteración. Fuente: https://informaticaencaude.wordpress.com/2014/01/29/inkscape-dibuja-el-triangulo-de-sierpinski/

Primero calculamos el número de divisiones que ha sufrido el fractal, sabiendo que por cada iteración, r, aparecen 3r triángulos. De modo que: n=81.

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Calculamos después S, de modo que para que una ampliación, a cierta escala, del triángulo dé el mismo triángulo deberíamos multiplicarla por S = 16 porque si el lado del triángulo de la primera iteración es l y la medida del lado de unos de los triángulos que forman un lado es l/16, entonces l = 16 · l / 16 Hacemos el cálculo para concluir que: D=

(

1,584962501

)

Queda demostrado entonces que la dimensión del Triángulo de Sierpinski no es entera.

2.2.3.2. Dimensión de box-counting o conteo de cajas Dando una concepción sencilla de esta dimensión imaginemos que un fractal se encuentra en un plano cubierto por una plantilla de cajas (o cuadrados) de mismo lado, ε. Para calcular esta dimensión hay que contar el número de cajas totales necesarias para cubrir todo el fractal, N (ε). De modo que la dimensión D, del objeto vendría dada por la expresión: ( )

(2)

( )

2.2.3.3. Algoritmo de Higuchi El algoritmo de Higuchi es uno de los métodos más conocidos para el cálculo de la longitud de las curvas.

Lo que más nos interesa es qué es lo que hace realmente, ya que tenemos que entenderlo para poder llegar a comprender qué relación existe realmente entre la geometría fractal y los datos con los que contamos para su análisis.

Consideramos la secuencia de tiempo x(1), x(2), x(3), …, x(n) que se va a analizar.

Construimos k nuevas secuencias de tiempo como:

, ( ) (

) (

)

(

)-

(3)

donde m es el valor inicial tomado y k el intervalo de tiempo discreto entre los datos tomados.

Entonces, la longitud

(k) para cada curva obtenida

( )

∑(

)⁄

se calcula como

| (

) ⌊

Donde N es la longitud de la curva x medida y

(

(

)) |(

⌋

( (

*

) )

+

)

(4)

un factor de normalización. A continuación se

calcula para las distintas series de tiempo con el mismo valor de k la media de las longitudes de la curva M=1,..., k.

(k) para

El procedimiento se repite para toda k que van desde 1 a kmax, creando un sumatorio de las longitudes L(k) para cada una, lo cual viene expresado como:

( ) 9

∑

( )

(5)

Y aquí es donde podemos observar la relación que mantiene la longitud de la curva con la geometría fractal, puesto que la longitud promedio para una escala k, L(k) es proporcional a , siendo -D la dimensión fractal por el método de Higuchi, aunque esto último cálculo no lo haga directamente el algoritmo de Higuchi. En la curva ln L(k) vs. ln ( ), la dimensión fractal aproximada es la pendiente de la recta de regresión que mejor se ajuste, utilizando el método de los mínimos cuadrados. Si utilizamos, como es nuestro caso, ln L(k) frente a ln (k), la dimensión fractal coincide con la pendiente de dicha recta prescindiendo del signo. En definitiva, utilicemos una u otra, la dimensión fractal aproximada, coincide con el valor absoluto de la pendiente de la recta de regresión.

En otras palabras, este método estima la longitud de la curva mediante la media de las longitudes obtenidas para diferentes intervalos o series de tiempo en los que se han obtenido los datos que la forman, y esa longitud que nos proporciona el algoritmo nos permite hallar a nosotros posteriormente la dimensión fractal de la curva.

En la práctica, el algoritmo empieza por darle valores de longitud a la curva que se forma si tomamos un dato por milisegundo (para k=1). Cómo usamos todos los puntos obtenidos solo es posible medir la curva una vez en x(1), x(2), ..., x(n).

Para la segunda medición se tomaría un dato por cada 2 milisegundos (para k=2), lo que nos permite obtener dos mediciones: una longitud de la curva que une los datos para los x(1), x(3), x(5), …, y otra longitud para la que une los x(2), x(4), x(6), …. De modo que el resultado de la medición en este segundo caso es la media de esas dos longitudes obtenidas.

La tercera medición se realizaría tomando únicamente un dato por cada 3 milisegundos (para k=3), por lo cual obtenemos tres distintas medidas: las de la curva que toma los datos x(1), x(4), x(7), …; las de la curva que toma los x(2), x(5), x(8), …; y los de la curva que toma los datos x(3), x(6), x(9), …. De nuevo, el resultado de la medición sería la media de estas tres medidas distintas con k=3.

Estos pasos se siguen repitiendo hasta un valor de k máximo, de modo que cada vez se va obteniendo una longitud para la curva cada vez menor, ya que se van tomando intervalos de tiempo cada vez más grandes.

Ajeno al algoritmo, lo que hacemos después nosotros es calcular el valor en escala logarítmica de k y de la longitud de la curva para cada k, L(k). En este punto ya podemos representar la curva, en la que el intervalo de tiempo en escala logarítmica se representa en el eje x y la longitud en escala logarítmica en el eje y. Se calcula la pendiente de la recta de regresión, m de la curva, siendo:

(6)

Donde es la covarianza de x e y y la varianza de la variable x. La razón por la que tenemos que representar los valores en escala logarítmica es porque D aparece como exponente en esa misma proporcionalidad existente entre la longitud de la curva para un intervalo k, L(k) y expuesta anteriormente.

2.3. Ondas sísmicas La mayor parte de los seísmos se producen a causa de los deslizamientos de las placas tectónicas en las fallas geológicas, en un proceso mediante el cual las placas liberan unas tensiones que se van acumulando sobre estas con el paso del tiempo. Este movimiento, que se origina bajo tierra en el denominado foco o hipocentro, se manifiesta en la superficie de la Tierra en forma de temblores, de terremotos, siendo la zona que se encuentra justo 10

encima del foco en la que se siente con más fuerza, el epicentro, punto situado justamente encima del hipocentro en la superficie terrestre.

Las ondas sísmicas que se desplazan a través de las distintas capas de la tierra desde el foco hasta el epicentro se registran en sismógrafos en forma de sismogramas. Los sismogramas son la representación de los sismos en una línea en la que se muestran los puntos en los que se producen los terremotos, siendo estos representados mediante picos de esa línea, de tal forma que a mayor altura del pico, más intenso ha sido el terremoto.

Cabe destacar que la velocidad de las ondas sísmicas no es constante y varía en función de la rigidez de los materiales que atraviesa, de modo que a mayor rigidez mayor velocidad. Además, existen distintos tipos de ondas que viajan a diferentes velocidades. Podemos distinguir entonces dos tipos de ondas:

2.3.1. Ondas primarias o P Como su nombre indica, son las primeras ondas en ser registradas por los sismógrafos porque son las que con mayor velocidad viajan. Son capaces de viajar por medios tanto líquidos como sólidos, haciéndolo mediante compresiones y descompresiones de los mismos materiales por los que se transmite de manera horizontal.

2.3.2. Ondas secundarias o S Estas ondas, a diferencia de las primarias, solo se transmiten por medios sólidos, y lo hacen a una velocidad mucho menor. Esto es porque se transmiten de manera transversal a la superficie de la Tierra, y no horizontalmente, haciendo que sean las segundas ondas en registrarse.

Además, después de los grandes terremotos o seísmos de mayor intensidad se producen reacomodamientos en la corteza terrestre cerca de la falla en la que se producen, causando nuevos terremotos de menor intensidad al original. Estas readecuaciones son las denominadas réplicas de un terremoto.

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3. HIPÓTESIS DEL TRABAJO Y OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN El objetivo planteado en este proyecto de investigación es analizar el comportamiento de las ondas sísmicas producidas por terremotos mediante la geometría fractal, para determinar si la intensidad de dichas ondas sísmicas mantiene algún tipo de relación con su dimensión fractal. De este modo se intenta comprobar si dicha dimensión varía, y de qué manera lo hace; si la dimensión fractal de las ondas sísmicas aumenta cuando la intensidad de las ondas es mayor, o si por el contrario, la dimensión fractal disminuye cuando el terremoto llega a su punto álgido.

El objetivo principal de nuestro proyecto es llegar a comprender el caótico comportamiento de los terremotos, y para ello tomamos como ejemplo de análisis las ondas sísmicas del terremoto que tuvo lugar en Lorca el 11 de mayo de 2011.

Para obtener nuestros resultados aplicaremos el Algoritmo de Higuchi, que es un método a partir del cual se toma un dominio de tiempo como si fuese un objeto geométrico, a los datos relativos al terremoto de Lorca ya mencionados.

Actualmente, apenas poseemos datos sobre el comportamiento de los seísmos, y esa es la razón principal por la que escogemos estudiar las ondas sísmicas mediante la geometría fractal como objeto de estudio en este proyecto de investigación. Además, otro de los motivos por el cual hemos decidido estudiar las ondas sísmicas es la amenaza que los terremotos presentan en su comportamiento y los devastadores y horribles efectos que estos tienen.

Si nuestra hipótesis fuera cierta, es decir, si la dimensión fractal de las ondas sísmicas variará dependiendo de la intensidad de las ondas, podríamos llegar a la conclusión de que los terremotos y las ondas sísmicas producidas por estos poseen una dimensión fractal que es dependiente de ciertas características de dichas ondas, como su intensidad, su velocidad o su aceleración.

Si la dimensión fractal de las ondas sísmicas es dependiente de la intensidad de estas, entonces, en una futura investigación se podría determinar la relación exacta que existe entre la dimensión fractal y la intensidad de la onda a la que corresponde dicha dimensión fractal. Determinar esa relación podría significar para la humanidad un paso crucial en sus intentos de comprender los terremotos para así poder evitarlos.

Desgraciadamente, hoy en día nos sería imposible predecir terremotos incluso si llegáramos a determinar y comprender su comportamiento, puesto que para ello tendríamos que disponer de algún tipo de señal previa a la aparición de los terremotos.

Aunque, ahora mismo, los resultados de nuestro proyecto no sean útiles per se, o en otras palabras, que no nos sirvan para aportar medidas que proporcionen mayor seguridad durante un seísmo, podrían acercarnos un paso más para comprender su comportamiento y abrir el camino para desarrollar en un futuro, otras investigaciones, que sí podrían identificar comportamientos en los seísmos y poder mermar, en la medida de lo posible, el peligro que estos provocan, tanto en las personas como en las estructuras de las ciudades.

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4. MATERIALES Y MÉTODOS El principal material con el que podemos empezar a trabajar son los datos sísmicos registrados en el terremoto de Lorca ocurrido el 11 de mayo de 2011.

Para analizarlos usamos varias herramientas informáticas. En primer lugar, precisamos de Excel para poder manejar los datos, trabajar con ellos y realizar diversas representaciones más fácilmente en distintas tablas. Y en segundo lugar utilizamos un programa que aplica el algoritmo de Higuchi a esos datos a través de la consola de comandos de Windows.

Como bien se explica en los antecedentes, el algoritmo de Higuchi va tomando un distinto valor de k, empezando por el 1, hasta un valor kmax para así obtener la medida de distintas longitudes de la curva de los sismogramas. Tomando entonces estos valores obtenidos se representan en un diagrama de dispersión con los valores respectivos de k con los que se han obtenido, ambos en escala logarítmica. La pendiente m en valor absoluto, de la recta de regresión correspondiente a la nube de puntos obtenida, es la estimación de la dimensión fractal del trozo de curva analizado.

Para hacer el análisis y poder obtener unos resultados que realmente nos aporten información hemos dividido la curva completa en varios trozos, en concreto en 9. Además hemos tomado la parte de la curva que se corresponde con el momento de mayor intensidad del terremoto y la hemos dividido en otros 6 trozos. Al hacer esto obtenemos distintos trozos que abarcan intervalos del terremoto con diferentes intensidades, por lo que al analizarlos podemos relacionar más fácilmente el valor de la dimensión obtenida con la intensidad que cada trozo presenta. De esta forma la comparación entre intensidad de onda y dimensión es mucho más fiable y fácil de manejar.

El programa utilizado aplica, por separado, el algoritmo de Higuchi a esos 15 trozos totales. En este caso se ha programado el algoritmo para que kmax=100, empezando con el valor inicial de k=1. Al final obtenemos por cada archivo analizado, formado cada uno por alrededor de 1.000.000 de datos, un total de 100 estimaciones de la longitud distintas de la curva. Lo siguiente es relacionar cada longitud con el valor de k utilizado para obtener cada una de esas 100 longitudes, ambos en escala logarítmica, cosa que hacemos en esas tablas de Excel.

A continuación representamos el diagrama de dispersión de las dos variables, además de la recta de regresión correspondiente. Ahora bien, en este caso, al ir tomando un valor de k más grande (es decir, un valor de medición más grande) la longitud que se obtiene para la misma curva es cada vez más pequeña. Esta relación inversa entre k (columna A) y la longitud L(k) (columna B) resulta en que la recta de regresión presente una pendiente negativa. Sin embargo, la dimensión fractal es el valor absoluto de la pendiente, sin importar su signo.

Para todas las nubes de puntos o diagramas de dispersión, se ha calculado el coeficiente de correlación de Pearson r, que en nuestro caso es muy cercano al -1, además del coeficiente de determinación , demostrando así que, en todos los casos, las dos variables; log K y log L(K) (columnas C y D respectivamente) están muy relacionadas y que la recta de regresión hace una aproximación muy cercana a la nube de puntos.

El coeficiente de correlación es un parámetro cuyo valor está comprendido entre -1 y 1 y que mide cómo de grande es la relación entre dos variables de estudio y si esta es directa o inversa. Cuanto mayor es su valor absoluto, es decir, cuanto más se aproxima a 1 o -1, mayor es la relación que existe entre ambas variables. Además, si su valor es positivo significa que la relación es directa, mientras que si es negativo la relación es inversa.

A partir del coeficiente de determinación, que solo toma valores comprendidos entre 0 y 1, se puede juzgar cómo de buena es la aproximación de la recta de regresión a la nube de puntos. Así, cuanto más se aproxime al 1 mejor será esa aproximación.

Con esto podemos afirmar que la recta de regresión se aproxima bastante a los datos y por tanto, la estimación de la dimensión fractal es bastante buena. A continuación se muestra una de las tablas de Excel empleadas, en concreto, para el análisis del cuarto trozo de curva de la parte central.

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Ilustración 3: Tabla de análisis del cuarto trozo central de la curva. Fuente: producción propia.

En un principio se intentó representar los trozos de la curva completa en sismogramas más pequeños y así poder juzgar cómo de intensa ha sido la onda en ese momento para poder concluir algo más tarde, aunque debido a la cantidad de datos que cada trozo contiene, se obtienen sismogramas difíciles de poder interpretar (ilustración 6) y otros que son prácticamente imposible de hacerlo a simple vista (ilustración 7).

Ilustración 4: Representación del primer trozo de curva. Fuente: producción propia.

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6,00E+09

-2,00E+09

15 1 30305 60609 90913 121217 151521 181825 212129 242433 272737 303041 333345 363649 393953 424257 454561 484865 515169 545473 575777 606081 636385 666689 696993 727297 757601 787905 818209 848513 878817 909121 939425 969729

Amplitud (mV)

Sismograma del segundo trozo de curva

curva

4,00E+09

2,00E+09

0,00E+00

-4,00E+09

-6,00E+09

Tiempo (ms)

Ilustraciรณn 5: Representaciรณn del segundo trozo de curva. Fuente: producciรณn propia.

5. RESULTADOS

A continuación expondremos las dimensiones fractales obtenidas de los distintos conjuntos de datos sísmicos después de realizar todos los procedimientos descritos en el apartado anterior.

A pesar de que la gran mayoría de datos concuerdan con el comportamiento que cabría esperar de ellos en el caso de que nuestra hipótesis fuera cierta, encontramos algunas disonancias en dichos datos, que consisten, en su mayoría, en dimensiones fractales muy grandes o muy pequeñas.

Dimensión fractal de los diferentes conjuntos de ondas sísmicas en momentos no centrales del terremoto 1,187471025 1,183695003 1,248326165 1,257651625 1,279804223 1,490377594 1,448620688 1,536660093 1,236336105

En el caso de las dimensiones fractales de las ondas sísmicas en los momentos no centrales del terremoto, obtenemos las dimensiones fractales más bajas de todas las que hemos calculado, señaladas en azul en la tabla, y en general, salvo las correspondientes a los archivos 6, 7 y 8, son bajas comparadas con las de la otra tabla.

La disonancia que encontramos en las ondas de la curva total, se produce por la existencia de algunos conjuntos de ondas sísmicas que poseen dimensiones fractales muy altas, señaladas en rojo, que no concuerdan con el resto de las dimensiones, y que incluso son mayores que la mayoría de dimensiones fractales del momento central del terremoto.

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Dimensión fractal de los distintos conjuntos de ondas sísmicas del momento central del terremoto 1,509947139 1,348981398 1,452578563 1,246034464 1,614207691 1,205834878

El momento álgido del seísmo, es decir, de mayor intensidad, se corresponde con el quinto trozo analizado, y se obtiene de él la dimensión fractal más alta, señalada en verde. En general, en esta segunda tabla, correspondiente al momento central del terremoto, encontramos dimensiones fractales con un valor bastante grande en comparación al resto de dimensiones obtenidas, salvo dos de ellas, señaladas en rojo.

Para intentar dar a una explicación a las disonancias encontradas, buscamos información que nos enseñara, de manera exacta, lo sucedido aquel día en lo referente al sismo, y si este había tenido alguna réplica, o si otro terremoto había tenido lugar a lo largo de ese día.

Buscando información sobre el sismo, nos encontramos con el informe que el Instituto Geológico y Minero de España había redactado acerca del terremoto que estamos investigando.

En dicho informe, El Instituto Geológico y Minero de España declara que: “El 11 de mayo de 2011 a las 18:47 hora local (16:47 UTC) se produjo un terremoto de magnitud 5,2 en la región de Murcia (España), sacudiendo principalmente a la localidad de Lorca y provocando numerosos daños, tanto materiales como personales. Este evento, ya conocido como “el terremoto de Lorca”, fue precedido por otro sismo de magnitud 4,6 a las 17:05 hora local (15:05 UTC) del mismo día, el cual es considerado como evento premonitor.”

A raíz de la comparación entre el informe del Instituto Geológico y Minero de España y las dimensiones fractales obtenidas, llegamos a la conclusión de que las dimensiones fractales que eran discordantes en la primera tabla, pertenecen al primer seísmo de intensidad 4,6 en la escala sismológica de Mercalli, que precedió al sismo principal, de intensidad 5,1, cuyas dimensiones fractales se muestran en la tabla 2.

De esta manera, podemos explicar que las dimensiones fractales demasiado altas en el conjunto de ondas no centrales, que se supone que la amplitud es menor, pertenecen a las ondas más intensas del terremoto precedente al sismo principal, mientras que las dimensiones demasiado pequeñas en el conjunto de ondas álgidas serían las relativas a las ondas independientemente más débiles dentro del momento álgido del sismo principal, puesto que la aceleración de la onda pudo variar a lo largo de ese tramo.

Además, esto también explicaría porque el conjunto no central del terremoto, en general, obtiene los valores un poco más pequeños y el conjunto central obtiene valores más altos, debido a la diferencia en intensidad de los dos sismos de los que proceden las ondas sísmicas; aunque para explicar esta situación mejor, lo conveniente 17

sería fijarse en las dimensiones fractales obtenidas, pues uno puede ver que las dimensiones más pequeñas de todas las obtenidas pertenecen al conjunto no central, mientras que la dimensión fractal más grande pertenece al momento álgido.

En cambio, dicha diferencia entre las dimensiones fractales no es muy grande, la diferencia entre las dimensiones más pequeñas de ambos conjuntos es mínima, y lo mismo ocurre con las dimensiones más grandes; esto es debido a que la diferencia en la magnitud de los dos sismos no es muy significativa.

Así, podemos comprobar que los datos que hemos obtenido después del trabajo de campo no solo son verificados por aquellos obtenidos por el Instituto Geológico y Minero de España, y por lo tanto son fiables, sino que además estos se comportan de la manera que esperamos si se diera el caso de que nuestra hipótesis fuera cierta.

En el anexo se pueden encontrar todas las tablas de trabajo de Excel para la obtención de las distintas rectas de regresión y sus correspondientes pendientes pertenecientes tanto al momento central del terremoto como a la curva completa.

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6. CONCLUSIONES

Una vez comparados las dimensiones fractales obtenidas en nuestro trabajo de campo y los datos relativos al sismo principal y sus réplicas, provenientes del informe realizado por el Instituto Geológico y Minero de España, podemos llegar a la conclusión de que cuanto mayor es la amplitud de la onda, es decir la intensidad del terremoto, mayor es la dimensión fractal.

Por lo tanto, nuestra hipótesis, que formulaba que las dimensiones fractales de las ondas sísmicas están relacionadas con la intensidad de dichas ondas, queda verificada, siendo la relación existente entre ambas variables directa, es decir, a mayor intensidad de la onda sísmica, mayor dimensión fractal, y viceversa.

A pesar de los esfuerzos que hemos realizados y haber cumplido, de manera parcial, nuestro principal objetivo, que era conocer más acerca del comportamiento de los seísmos, aún no podemos afirmar que los terremotos dejen de suponer una amenaza para la vida humana, pues nos es imposible predecir ni la aparición de un terremoto ni el comportamiento que las ondas sísmicas producidas por este tendrán, y aún nos queda un largo camino que recorrer antes de ser capaces de adquirir un conocimiento exacto y absoluto sobre como los terremotos se comportan.

A causa de esta falta de conocimiento, se podría continuar con este proyecto, o al menos con los objetivos principales de este, mediante la determinación, de manera más exacta, de la relación existente entre la dimensión fractal de las ondas sísmicas y su intensidad, y el posterior desarrollo de medidas que impidan que los sismos tengan el devastador efecto que desgraciadamente estos infligen a nuestra especie y sociedad a día de hoy.

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AGRADECIMIENTOS

En este último apartado, nos gustaría mencionar a todas las personas que han hecho posible la realización de este proyecto, además de reconocer el papel que han desempeñado en susodicho proyecto y agradecerles su trabajo.

Agradecemos principalmente a nuestro coordinador, D. Silvestre Paredes Hernández del Departamento de Matemática Aplicada y Estadística de la UPCT, experto en el tema, por su tutelaje y su guía a la hora de establecer unos objetivos, por proveernos con los datos acerca del sismo que hemos estudiado, desarrollar el programa clave, sin el cual no podríamos haber realizado nuestro trabajo de campo, y por aportar sus conocimientos al proyecto y ayudar en la corrección de este.

También queremos dar nuestro más sincero agradecimiento a Dª María Dolores Cánovas Amorós, nuestra tutora de proyecto en el IES Saavedra Fajardo, por su constante y activa participación en este proyecto, asimismo por sus grandes aportes en la corrección del proyecto y su incesante apoyo moral.

De la misma manera, debemos de agradecer a D. Antonio Guillamón Muñoz y Dª María Muñoz Guillermo, ambos colegas de nuestro coordinador D. Silvestre Paredes, que hayan compartido con nosotros los datos que registraron acerca del terremoto de Lorca de 2011.

Queda por agradecer a Dª Virginia Verdú Tortosa, encargada de los proyectos de investigación del IES Saavedra Fajardo, por habernos enseñado cómo realizar proyectos de investigación, por la constante atención que ha dedicado a nuestro proyecto y por la ayuda que nos ha prestado en la redacción del mismo.

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BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA

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Vídeos: -

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Ilustraciones:

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-

Ilustración 1: Conjunto de Mandelbrot y detalle. Fuente: Producción propia.

-

Ilustración 2: Triángulo de Sierpinski. Fuente: https://informaticaencaude.wordpress.com/2014/01/29/inkscape-dibuja-el-triangulo-de-sie

-

Ilustración 3: Tabla de análisis del cuarto trozo central de la curva. Fuente: producción propia.

-

.Ilustración 4: Representación del primer trozo de curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 5: Representación del segundo trozo de curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 6: Tabla de análisis del primer trozo central de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 7: Tabla de análisis del segundo trozo central de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 8: Tabla de análisis del tercer trozo central de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 9: Tabla de análisis del quinto trozo central de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 10: Tabla de análisis del sexto trozo central de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 11: Tabla de análisis del primer trozo de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 12: Tabla de análisis del segundo trozo de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 13: Tabla de análisis del tercer trozo de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 14: Tabla de análisis del cuarto trozo de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 15: Tabla de análisis del quinto trozo de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 16: Tabla de análisis del sexto trozo de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 17: Tabla de análisis del séptimo trozo de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 18: Tabla de análisis del octavo trozo de la curva. Fuente: producción propia.

-

Ilustración 19: Tabla de análisis del noveno trozo de la curva. Fuente: producción propia.

ANEXO

Ilustración 6: Tabla de análisis del primer trozo central de la curva. Fuente: producción propia.

Ilustración 7: Tabla de análisis del segundo trozo central de la curva. Fuente: producción propia.

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Ilustración 8: Tabla de análisis del tercer trozo central de la curva. Fuente: producción propia.

Ilustración 9: Tabla de análisis del quinto trozo central de la curva. Fuente: producción propia.

25

Ilustración 10: Tabla de análisis del sexto trozo central de la curva. Fuente: producción propia.

Ilustración 11: Tabla de análisis del primer trozo de la curva. Fuente: producción propia.

26

Ilustración 12: Tabla de análisis del segundo trozo de la curva. Fuente: producción propia.

Ilustración 13: Tabla de análisis del tercer trozo de la curva. Fuente: producción propia.

27

Ilustración 14: Tabla de análisis del cuarto trozo de la curva. Fuente: producción propia.

Ilustración 15: Tabla de análisis del quinto trozo de la curva. Fuente: producción propia.

28

Ilustración 16: Tabla de análisis del sexto trozo de la curva. Fuente: producción propia.

Ilustración 17: Tabla de análisis del séptimo trozo de la curva. Fuente: producción propia.

29

Ilustración 18: Tabla de análisis del octavo trozo de la curva. Fuente: producción propia.

Ilustración 19: Tabla de análisis del noveno trozo de la curva. Fuente: producción propia.

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