Matemática Bianchini by Editora Moderna

Mantendo o rigor matemático e a proposta de trabalho que professores e alunos já conhecem, esta coleção conecta a Matemática com o mundo utilizando recursos diversificados, como infográficos e atividades lúdicas. Todos os capítulos iniciam com uma imagem motivadora e uma pergunta relacionada ao assunto a ser estudado. Para mais informações sobre a coleção, entre em contato com o seu consultor Moderna!

amostra para degustação do professor

Professor, esta amostra apresenta alguns capítulos da coleção Matemática Bianchini. Nela, você poderá conhecer a estrutura da coleção e o conteúdo programático desenvolvido para proporcionar aulas ainda mais dinâmicas e completas.

Ensino Fundamental II

MATEMáTICA BIANCHINI edwaldo bianchini

MATEMáTICA BIANCHINI

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0800 17 2002

confira: • Sumário da obra • Uma seleção de conteúdos didáticos para análise do professor

Edwaldo Bianchini Licenciado em Ciências pela Universidade da Associação de Ensino de Ribeirão Preto, com habilitação em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras do Sagrado Coração de Jesus, Bauru (SP).

Matemática BIANCHINI

6 7a edição

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Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Cintia Alessandra Valle Burkert Machado, Daniela Santo Ambrosio, Débora Regina Yogui, Fabio Martins de Leonardo, Fernando Savoia Gonzalez, Kátia Takahashi, Maria Teresa Galluzzi, Marilu Maranho Tasseto, William Raphael Silva Assistência editorial: Leandro Baptista, Maria Cecília Bittencourt Mastrorosa, Maria Cristina Santos Sampaio, Roberto Henrique Lopes da Silva, Victória Cecília Conti Preparação de texto: Cibely Aguiar de Souza Conti Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma Projeto gráfico: Aurélio Camilo Capa: Aurélio Camilo Foto de capa: Bernardo de Niz/MexSport/AFP Photo Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva Edição de Infografia: Willian H. Taciro, Débora Yogui, Daniela Máximo, Luciano Baneza Gabarron Editoração eletrônica: Grapho Editoração Ilustrações: Alexandre Affonso, Breno Girafa, Claudio Chiyo, Enagio Coelho, George Tutumi, Guilherme Luciano, José Luís Juhas, Mario Kanno Cartografia: Alessandro Passos da Costa Coordenação de revisão: Elaine C. del Nero Revisão: Márcia Leme, Salete Brentan Pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron, Maria Magalhães As imagens identificadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informação e Documentação da Editora Moderna. Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Bureau São Paulo, Fabio N. Precendo, Rubens M. Rodrigues Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira Silva, Helio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento:

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Bianchini, Edwaldo Matemática Bianchini / Edwaldo Bianchini. — 7. ed. — São Paulo : Moderna, 2011. Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. Bibliografia. 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título 11-03033

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 ISBN 978-85-16-07087-8 (LA) ISBN 978-85-16-07088-5 (LP) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2790-1500 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2011 Impresso no Brasil 1 3

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Apresentação

Caro estudante, Este livro foi feito especialmente para você. Ele foi pensado, escrito e organizado com o objetivo de facilitar sua aprendizagem, além de ajudá-lo a perceber como a Matemática está presente em tudo o que acontece à sua volta. Aqui você vai encontrar exemplos de situações que permitem perceber que a Matemática faz parte do seu dia a dia.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Leia com atenção as explicações teóricas, para acompanhar as aulas e resolver os exercícios. Faça deste livro um parceiro em sua vida escolar!

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O autor

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Conheça seu livro A estrutura de cada capítulo é muito simples, pois permite encontrar com facilidade os assuntos fundamentais, os exemplos, as séries de exercícios e as seções enriquecedoras.

Página de conteúdo

Página de abertura Cada capítulo é introduzido por uma imagem motivadora e contém questões do Matemática no Mundo, que abordam o assunto do capítulo.

Exercícios O livro apresenta uma variedade de exercícios (de aplicação, de exploração, de sistematização, de aprofundamento), organizados segundo o grau de dificuldade.

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Contém a teoria explicada com linguagem clara e objetiva, apoiada por exemplos e ilustrações cuidadosamente elaborados para ajudar o entendimento da teoria.

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Tratamento da informação

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Esta seção trabalha temas de Tratamento da Informação e Estatística, por meio de textos teóricos e atividades variadas.

Atividades especiais Estas seções apresentam atividades e objetivos diferentes: Pense mais um pouco... propõe atividades desafiadoras; Diversificando propõe que o aluno entre em contato com textos e atividades que envolvem temas variados.

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Sumário 1

Números

1. Os números registram o mundo em que vivemos

2. Os números naturais Comparando números naturais Contando números

14 15 16

3. Os sistemas de numeração O sistema egípcio de numeração O sistema de numeração indo-arábico O sistema romano de numeração

17 18 19 26

Tratamento da informação Construindo tabelas

Diversificando Sequências numéricas

CAPÍTULO

Operações com números naturais

1. Os números e as operações

2. Adição Propriedades da adição

36 38

3. Subtração Relação entre a adição e a subtração

41 42

4. Expressões numéricas com adições e subtrações Os sinais de associação em uma expressão numérica

43 44

Tratamento da informação Fazendo arredondamentos

5. Multiplicação Outra ideia associada à multiplicação Propriedades da multiplicação

48 51 53

6. Expressões numéricas com multiplicações

7. Divisão Relação entre a multiplicação e a divisão O resto de uma divisão Propriedade fundamental da divisão

58 60 61 62

8. Expressões numéricas com divisões

Tratamento da informação Interpretando um gráfico de colunas e um gráfico de barras

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CAPÍTULO

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9. Potenciação Como ler as potências Potências de expoente zero e de expoente 1 Potências de base dez Números quadrados perfeitos

68 69 70 71 72

10. Radiciação

11. Expressões numéricas com potenciação e radiciação

Diversificando O quadrado mágico

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CAPÍTULO

Divisibilidade

1. Múltiplos e divisores

2. Os múltiplos de um número

3. Os divisores de um número

4. Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 2 Divisibilidade por 5 Divisibilidade por 10 Divisibilidade por 3 Divisibilidade por 6 Divisibilidade por 9 Divisibilidade por 4

87 87 88 88 90 90 92 93

5. Números primos e números compostos Decomposição em fatores primos

95 97

6. O máximo divisor comum Encontrando o mdc pela decomposição em fatores primos

99 100

7. O mínimo múltiplo comum Encontrando o mmc pela decomposição em fatores primos

102 103

Tratamento da informação Construindo gráficos de barras e de colunas

106

CAPÍTULO

Números racionais na forma de fração

1. Os números com os quais convivemos

111

2. Noção de número racional e a fração que o representa Como se leem as frações Representando um ou mais inteiros na forma de fração A forma percentual

112 114 117 119

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3. A fração como quociente Como trabalhar com a divisão e a forma mista

120 122

4. A fração como razão

123

Tratamento da informação Interpretando um gráfico de setores

126

5. Frações equivalentes Obtendo frações equivalentes

128 129

6. Simplificação de frações

131

7. Comparação de números escritos na forma de fração Redução de frações a um denominador comum

133 136

Tratamento da informação Calculando probabilidades

138

Diversificando Usando referências

141

CAPÍTULO

Operações com números racionais na forma de fração

1. Adição e subtração com frações de mesmo denominador

143

2. Adição e subtração com frações de denominadores diferentes

145

3. Multiplicação Quando um dos fatores é um número natural Quando os dois fatores são escritos na forma de fração Números racionais inversos

149 149 152 154

4. Divisão Quando o divisor é um número natural Quando o dividendo é um número natural Quando o divisor e o dividendo estão na forma de fração

156 156 158 159

5. Potenciação

161

6. Raiz quadrada

164

7. Expressões numéricas

164

CAPÍTULO

Números racionais na forma decimal e operações

1. Números com vírgula

172

2. As frações decimais e a representação na forma decimal

173

3. Números na forma decimal Leitura de números na forma decimal

175 176

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Sumário

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4. Transformações entre frações e números decimais Transformação de fração decimal em número decimal Transformação de número decimal em fração decimal

179

5. Representações decimais equivalentes

180

6. Comparação de números na forma decimal

182

7. Representação dos números na reta numérica Representando números naturais Representando números fracionários Representando números decimais

183

179 179

183 183 184

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Tratamento da informação Arredondando números decimais

185

8. Adição e subtração com números na forma decimal

187

9. Multiplicação com números na forma decimal Multiplicação de números na forma decimal por potências de 10 Multiplicação de dois números na forma decimal Expressões numéricas envolvendo multiplicações

190

10. Divisão com números na forma decimal Divisão de números na forma decimal por potências de 10 Divisão de números naturais com quociente racional Divisão de números naturais com quociente aproximado Divisão de dois números na forma decimal

195

11. Representação decimal de frações Representação decimal finita Dízima periódica

205

12. Potenciação com números na forma decimal

207

13. As expressões numéricas e os problemas

208

190 192 193 195 196 200 201 206 206

Tratamento da informação Trabalhando com média

CAPÍTULO

210

Figuras geométricas

1. Um pouco de história

215

2. Figuras planas e figuras não planas

216

3. Elementos básicos da Geometria O ponto A reta O plano

217

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217 218 219

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Sumário

4. Posições relativas de duas retas em um plano

221

5. Semirreta Semirretas opostas

223

6. Segmento de reta Segmentos consecutivos Segmentos colineares Medida de um segmento de reta

224

7. Ângulos O ângulo e o giro Medida de um ângulo O ângulo reto Ângulo agudo, ângulo obtuso e ângulo raso

228

8. Linha poligonal Interior, exterior e convexidade

235

9. Polígonos Polígono convexo Polígono não convexo Elementos de um polígono Classificação dos polígonos

238

10. Triângulos Classificação quanto aos lados Classificação quanto aos ângulos

243

11. Quadriláteros Classificação dos quadriláteros

245

223 224 224 226 230 230 232 237 239 239 240 242 244 244

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231

245

Diversificando Jogo: Ligando pontos

CAPÍTULO

249

Medidas de comprimento e área

1. Algumas unidades de medida de comprimento

252

2. O metro, múltiplos e submúltiplos Transformação de unidades

254

3. Perímetro

261

4. Medindo superfícies

266

5. O metro quadrado, múltiplos e submúltiplos Transformação de unidades

269

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257

272

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6. Área da superfície limitada por um retângulo Área de um quadrado

275

7. Medidas agrárias

279

276

Diversificando 283

Tangram

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CAPÍTULO

Medidas de tempo, volume, capacidade e massa

1. Medidas de tempo Unidades de medida de tempo Transformação de unidades

285

2. Medidas de volume Conhecendo alguns sólidos Volume dos sólidos O metro cúbico, múltiplos e submúltiplos Transformação de unidades

287

3. Volume de um paralelepípedo retângulo Volume de um cubo

295

4. Medidas de capacidade Unidades de medida de capacidade Transformação de unidades

299

5. Relações entre as unidades de medida de volume e de capacidade

304

6. Medidas de massa Unidades de medida de massa Transformação de unidades Unidades de medida de massa usadas no comércio atacadista

308

285 285 287 290 291 294 296 299 300

308 311 314

Diversificando Dobradura

319

Respostas

320

Sugestões de leitura para o aluno

331

Listas de siglas

332

Bibliografia

334

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Números

Matemática no mundo Uma das grandes atrações do município de Aquiraz, no Ceará, é o Insano. Com 41 metros de altura, ele é o maior toboágua do mundo.

kiko bARRoS/diÁRio do noRdeSte-FutuRA PReSS

CAPÍTULO

Sua altura equivale à altura de um prédio de 14 andares!

Agora, responda. • Que números aparecem nesse texto informativo? • Esses números são formados pelos mesmos algarismos? • Esses números representam as mesmas quantidades?

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EDUARDO SAN TALIESTRA LUÍS MOURA/FOLHAPRESS

ANDRR/SHUTTE

RSTOCK

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REPRODUÇÃO

TALIESTRA EDUARDO SAN

EDUARDO SANTALIEST RA

1 Os números registram o mundo em que vivemos

Ao observar o mundo que nos cerca, percebemos que é difícil encontrar uma situação que não esteja direta ou indiretamente relacionada com números. Os números são empregados para: • contar, por exemplo, quantos objetos formam uma coleção, quantos atletas foram inscritos em uma competição ou quantas pessoas assistiram a um show; • medir, por exemplo, a distância percorrida ou o tempo total gasto para completar uma tarefa; • codificar, por exemplo, o número de inscrição dos atletas, o número do documento de identidade de uma pessoa, ou uma senha; • ordenar, por exemplo, quem chegou em primeiro, em segundo ou em quinto lugar. Hoje, contamos e registramos quaisquer quantidades com símbolos e regras bem estabelecidos, mas isso nem sempre foi assim.

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Isso indica que a ideia de número acompanha a humanidade desde os tempos mais antigos. Bastão de Ishango. Ossos petrificados, com cerca de 10 cm de comprimento, encontrados na África, datam aproximadamente 25 mil anos. Eles trazem uma série de entalhes agrupados. São os indícios mais antigos de registro numérico.

thieRRy hubin/CoRteSiA do MuSeuM deS SCienCeS nAtuReLLeS de beLGiQue

Em muitas escavações arqueológicas, foram encontradas marcas em paredes de cavernas, em ossos de animais e em gravetos, que sugerem formas primitivas de contagem.

2 Os números naturais

Quantos jogadores formam um time de futebol de salão? O número associado à resposta dessa questão é o 5. Quantos foram os brasileiros que pisaram no solo de Marte no século passado? A resposta é nenhum. O número associado a essa situação é o zero. Números como esses, que expressam o resultado de uma contagem, são chamados de números naturais. Colocando os números naturais em ordem crescente, obtemos a seguinte sequência numérica: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … Essa sequência forma um conjunto de números denominado conjunto dos números naturais, cuja indicação é: v 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}

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Quando desejamos saber quantos são os objetos ou as pessoas de um grupo, estamos diante de uma situação de contagem.

Em relação à sequência dos números naturais, podemos dizer que: C Todo número natural tem um sucessor. O sucessor de um número natural é obtido somando

1 a esse número. Veja alguns exemplos. • O sucessor de 4 é 5, pois 4 1 1 5 5.

• O sucessor de 10 é 11, pois 10 1 1 5 11.

• O sucessor de 1 é 2, pois 1 1 1 5 2. C A sequência dos números naturais é infinita. Portanto, não existe o maior número natural,

pois, qualquer que seja ele, sempre haverá um número sucessor. C Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor. O antecessor de um nú-

mero natural é obtido subtraindo 1 desse número. Veja os exemplos. • O antecessor de 8 é 7, pois 8 2 1 5 7.

• O antecessor de 1 é zero, pois 1 2 1 5 0.

• O antecessor de 4 é 3, pois 4 2 1 5 3. C O zero é o menor dos números naturais. 14

CAPÍTULO 1

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Números

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C Na sequência dos números naturais, dois ou mais números seguidos são chamados de

números consecutivos. Veja alguns exemplos. • 5 e 6 são números consecutivos. • 2, 3 e 4 são números consecutivos. • 20, 21 e 22 são números consecutivos. • 59, 60, 61 e 62 são números consecutivos.

Comparando números naturais

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O quadro a seguir mostra o número de alunos das quatro turmas do 6o ano da Escola Jotabê. Turma

Número de alunos

Observando e comparando os dados apresentados, podemos estabelecer algumas relações entre os números de alunos de cada turma. Veja alguns exemplos: a) O número de alunos da turma A é maior que o número de alunos da B. Escrevemos: 42 . 38. b) O número de alunos da turma D é menor que o número de alunos da C. Escrevemos: 38 , 40. c) O número de alunos da turma A é diferente do número de alunos da D. Escrevemos: 42 % 38. d) O número de alunos da turma B é igual ao número de alunos da D. Escrevemos: 38 5 38.

Exercícios PROPOSTOS 1 Descreva três situações do dia a dia em que você precisou utilizar números.

2 Existe um número natural que não é sucessor de nenhum outro. Que número é esse?

3 Determine: a) o antecessor e o sucessor de 49; b) o sucessor do sucessor de 100; c) o antecessor do antecessor de 1.201.

4 A inscricão de Luís no concurso de dança

recebeu o número 308. Paula foi a seguinte. Qual foi o número da inscrição de Paula? CAPÍTULO 1

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Números

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5 Determine a sequência de números indicada

em cada caso. a) Números naturais maiores que 5. b) Números naturais menores ou iguais a 5. c) Números naturais maiores que 5 e menores que 10. d) Números naturais entre 5 e 10. e) Números naturais de 5 a 10.

8 Determine, em ordem crescente, todos os nú-

meros de três algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 5, 7 e 9.

9 Determine o sucessor do maior número natural de quatro algarismos.

10 Compare os números, completando os espaços com os sinais ., , ou 5. a) 150 105 b) 499 4.888 c) sucessor de 30 antecessor de 32 d) antecessor de 45 sucessor de 44

6 São dados três números naturais e consecutivos. O menor deles é 508. Qual é o maior?

7 Qual é o número natural que antecede o menor número de três algarismos?

Contando números

Problema 1 Quantos são os números da sequência abaixo? 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 Para descobrir a resposta, podemos contá-los um a um, obtendo 15 números. Mas também podemos fazer assim: • primeiro, encontramos a diferença entre o maior número da sequência e o menor número: 18 2 4 5 14 • depois, somamos 1 ao resultado, pois ao efetuar a subtração acima, estamos excluindo o número 4 da contagem: 14 1 1 5 15 Logo, o total de números da sequência é 15.

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Acompanhe a resolução de alguns problemas que envolvem quantidades de números.

Problema 2 Quem escreve os números de 1 a 150 utiliza quantos algarismos? Para resolver esse problema, separamos os números de 1 a 150 em 3 grupos: 1, 2, 3, ..., 9

10, 11, 12, ..., 99

100, 101, 102, ..., 150

números de um algarismos

números de dois algarismos

números de três algarismos

Assim: • De 1 a 9 são 9 números de um algarismo

9#15

• De 10 a 99 são 90 números de dois algarismos

90 # 2 5 180 1

• De 100 a 150 são 51 números de três algarismos

51 # 3 5 153 342

Logo, quem escreve os números de 1 a 150 utiliza 342 algarismos.

CAPÍTULO 1

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Números

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Problema 3 Quantas vezes usamos o algarismo 7 para escrever todos os números de 1 a 100? Para encontrar a resposta, devemos observar que o algarismo 7 é usado: • 10 vezes como unidade

7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97

• 10 vezes como dezena

70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79

Logo, de 1 a 100 usamos 20 vezes o algarismo 7.

Exercícios PROPOSTOS

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11 Determine a quantidade de números de cada sequência. a) 1, 2, 3, ..., 60 b) 10, 11, 12, ..., 199 c) 150, 151, 152, ..., 384 d) 1.000, 1.001, 1.002, ..., 2.001

12 Luzia trabalhou do dia 10 ao dia 25, substituin-

do sua irmã em uma loja de sapatos. Quantos dias Luzia trabalhou?

13 Quantos algarismos são utilizados para escre-

16 Quantos algarismos são utilizados para escrever os números de 1 a 200?

17 Ana fez uma pesquisa na internet e precisa

imprimir algumas páginas de um documento. Sabendo que o assunto de interesse de Ana começa na página 378 e termina na página 450, responda. a) Quantas páginas ela precisa imprimir? b) Quantos algarismos foram necessários para numerar as páginas de 378 a 450?

ver os números de 45 a 85?

14 Quantas vezes usamos o algarismo 4 para escrever os números de 1 a 50?

15 Um livro tem 85 páginas. Sabendo que ele é dividido em duas partes e que a segunda começa na página 38, responda. a) Quantas são as páginas da primeira parte? b) Quantas são as páginas da segunda parte?

3 Os sistemas de numeração Demorou muito para chegarmos à escrita numérica que usamos no nosso dia a dia. Os povos foram substituindo as antigas formas de registro por símbolos e regras que pudessem representar os números. Esse conjunto de símbolos e regras utilizado para representar os números é chamado de sistema de numeração. Várias civilizações antigas criaram diferentes sistemas de numeração. No quadro a seguir, você poderá comparar a escrita de 1 a 10 em alguns desses sistemas com a escrita que você já conhece. CAPÍTULO 1

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Números

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Sistema egípcio

Sistema babilônio Sistema romano Sistema chinês Sistema maia Nosso sistema

O sistema egípcio de numeração Vamos conhecer um pouco mais o sistema de numeração dos egípcios.

100

1.000

10.000

100.000

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Observe mais alguns símbolos desse sistema e os valores que representam.

1.000.000

No sistema egípcio de numeração, valiam as seguintes regras: • cada símbolo podia ser repetido até nove vezes; • a ordem de escrita desses símbolos não era importante, pois os valores dos símbolos eram somados. Veja alguns exemplos da escrita numérica dos egípcios.

110

432

1.666

3.210

Exercícios PROPOSTOS

números: a) 121

b) 1.250

JoSe FuSte RAGA/CoRbiS/LAtinStoCk

18 Utilize os símbolos egípcios para representar os seguintes c) 2.498

19 As informações a seguir referem-se à pirâmide Quéops,

construída no Egito. Represente, de acordo com nosso sistema de numeração, os números expressos em cada item. a) A altura dessa pirâmide é

metros.

b) Na construção dessa pirâmide, foram utilizados blocos de pedra.

CAPÍTULO 1

012_034_BIANCHINI_MAT6_C01.indd 18

As grandes pirâmides de Gizé: Quéops, Quéfren e Miquerinos. Dentre elas, Quéops é a maior e a mais antiga.

Números

07/06/11 17:26

O sistema de numeração indo-arábico Na região ocupada hoje pelo Paquistão, onde se encontra o vale do rio Indo, vive, há milhares de anos, o povo hindu.

REGIÃO DO RIO INDO 80 L

Foi esse povo que criou o sistema de numeração que adotamos atualmente.

AFEGANISTÃO

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Esse sistema passou a ser conhecido como sistema de numeração indo-arábico (indo em reconhecimento ao povo que criou o sistema, e arábico em homenagem ao povo árabe, que o divulgou pela Europa).

Ri o

PAQUISTÃO

TRÓ PICO

DE C

ÂNC E

ÍNDIA

OCEANO

Os símbolos criados pelos indianos para a escrita de números sofreram várias modificações ao longo do tempo, até chegar à representação atual — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 —, composta por esses dez símbolos denominados algarismos indo-arábicos.

ÍNDICO Vale do rio Indo

360 km

Graça Maria Lemos Ferreira. Atlas geográfico: espaço mundial. 2 ed. São Paulo: Moderna, 2003. p. 59.

Observe no quadro a seguir alguns sinais que já foram usados para escrever os algarismos indo-arábicos. Século XII Século XIII Século XIV Século XV Por volta de 1524 Hoje

Dados obtidos em: Georges Ifrah. Os números: história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1996. p. 310.

Essas modificações podem ser explicadas pelo fato de os livros serem escritos manualmente – portanto, dependiam da caligrafia das pessoas. A invenção da imprensa moderna na Europa, por volta de 1450, contribuiu para a padronização dos algarismos.

Características do sistema de numeração indo-arábico Usando os dez algarismos indo-arábicos e tra-

balhando com agrupamentos de 10, podemos representar qualquer número. Um mesmo algarismo assume valores diferen-

tes dependendo da posição que ele ocupa no número. Por isso dizemos que o sistema de numeração indo-arábico é um sistema posicional. CAPÍTULO 1

012_034_BIANCHINI_MAT6_C01.indd 19

NÚMEROS

16/06/11 17:28

• Considere, por exemplo, os números 74 e 47. No número 74, o algarismo 7 vale 7 dezenas ou 70 unidades (7 # 10), enquanto no número 47 ele vale 7 unidades (7 # 1). 74

47 7 dezenas ou 70 unidades

7 unidades

• No número 2.378, por exemplo, temos: 2.378 8 70 300

valores posicionais

2.000

primeiro algarismo é chamado de algarismo de 1a ordem; o segundo algarismo, de 2a ordem; o terceiro, de 3a ordem, e assim por diante. É preciso saber que: • cada unidade de 2a ordem vale dez vezes uma unidade de 1a ordem;

• cada unidade de 3a ordem vale dez vezes uma unidade de 2a ordem; • cada unidade de 4a ordem vale dez vezes uma unidade de 3a ordem; e assim por diante. No número 888, por exemplo, temos: 888 algarismo de 1a ordem p 8 unidades algarismo de 2a ordem p 80 unidades algarismo de 3a ordem p 800 unidades

Como cada agrupamento de dez unidades de uma ordem forma uma unidade da ordem imediatamente superior, o sistema de numeração indo-arábico tem base dez. Por isso, esse sistema é chamado de sistema de numeração decimal.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

CC Cada algarismo ocupa uma posição, chamada ordem. Lendo da direita para a esquerda, o

CC Esse sistema utiliza o zero para indicar que não há agrupamentos de determinada ordem.

• Observe os exemplos a seguir. No número 308, temos: 308 8 0 não há agrupamentos na ordem das dezenas 300

No número 5.014, temos: 5.014 4 10 0 não há agrupamentos na ordem das centenas 5.000

CAPÍTULO 1 Números

012_034_BIANCHINI_MAT6_C01.indd 20

07/06/11 17:26

Assim, o sistema de numeração utilizado hoje em quase todo o mundo é uma combinação de quatro características fundamentais: • Tem base dez, ou seja, cada agrupamento de dez unidades de uma ordem forma uma unidade da ordem imediatamente superior. • Utiliza apenas dez símbolos, chamados de algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 • É um sistema posicional, isto é, um mesmo algarismo representa quantidades diferentes dependendo da posição em que se encontra no número. • Possui um símbolo para representar o zero.

Exercícios PROPOSTOS 23 Com os algarismos 2, 3 e 5, represente:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

20 No número 5.757, determine: a) o valor ordem; b) o valor ordem; c) o valor ordem; d) o valor ordem.

posicional do algarismo 7 de 1

posicional do algarismo 7 de 3 a posicional do algarismo 5 de 2 a posicional do algarismo 5 de 4 a

21 Determine o valor posicional do algarismo 3 nos seguintes números: a) 3.765 b) 32.000.000

c) 52.300.000.000 d) 3.120.000.000

22 Usando os algarismos 2, 3, 4 e 5, escreva núme-

ros de quatro algarismos diferentes de modo a obter: a) o menor número; b) o maior número; c) o maior número que começa com o algarismo 3; d) o maior número que termina com o algarismo 5.

a) o menor número de três algarismos; b) o menor número de três algarismos diferentes; c) o menor número de três algarismos que termina em 3; d) o menor número de três algarismos diferentes que termina em 3.

24 Determine o menor e o maior número de três algarismos diferentes que se pode escrever com os algarismos 0, 5, 6, 8 e 9.

25 Considerando o número 3.456, responda. a) Se o algarismo zero for escrito à direita do 6, qual é o valor posicional do algarismo 5? b) Quantas vezes o algarismo 4 aumenta seu valor posicional se entre o 5 e o 6 for colocado outro algarismo? c) Quantas vezes o algarismo 3 aumenta seu valor posicional se for colocado um algarismo à direita do 6 e outro entre o 4 e o 5?

Pense mais um pouco...

Qual é o menor número de ﬂechas que você deve acertar no alvo mostrado ao lado para marcar 2.523 pontos?

CAPÍTULO 1

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Números

07/06/11 17:26

Leitura e escrita de um número no sistema de numeração indo-arábico Na escrita de um número no sistema indo-arábico, os algarismos são separados em classes, e cada classe é dividida em três ordens. Com isso, facilitam-se a leitura e a escrita do número. Veja as quatro primeiras classes e suas respectivas ordens. 4a classe (bilhões) 12a ordem

11a ordem

3a classe (milhões) 10a ordem

9a ordem

8a ordem

2a classe (milhares) 7a ordem

6a ordem

5a ordem

1a classe (unidade semples) 4a ordem

3a ordem

2a ordem

1a ordem

centenas dezenas unidades centenas dezenas unidades centenas dezenas unidades centenas dezenas de bilhão de bilhão de bilhão de milhão de milhão de milhão de milhar de milhar de milhar

unidades

Veja, nos exemplos a seguir, como são lidos os números destacados. Observe também como é a decomposição (a separação em classes e ordens) de cada um deles.

Milhões C

Milhares

Unidade simples

8.514.877 (lemos: “oito milhões, quinhentos e catorze mil, oitocentos e setenta e sete”)

8.514.877 5 8 # 1.000.000 1 5 # 100.000 1 1 # 10.000 1 4 # 1.000 1 8 # 100 1 7 # 10 1 7

b) Segundo o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), em 2010 a população brasileira era de 190.732.694 habitantes. Milhões

Milhares

Unidades simples

190.732.694 (lemos: “cento e noventa milhões, setecentos e trinta e dois mil, seiscentos e noventa e quatro”)

190.732.694 5 1 # 100.000.000 1 9 # 10.000.000 1 7 # 100.000 1 3 # 10.000 1 1 2 # 1.000 1 6 # 100 1 9 # 10 1 4

c) 1.117.689.000 reais é quanto o Comitê Olímpico Brasileiro projeta arrecadar com o patrocínio dos jogos de 2016 no Rio de Janeiro. Bilhões C

Milhões

Milhares

Reprodução

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) O Brasil é o quinto maior país do mundo, com uma área de 8.514.877 quilômetros quadrados.

Unidade simples

1.117.689.000 (lemos: “um bilhão, cento e dezessete milhões, seiscentos e oitenta e nove mil”) 1.117.689.000 5 1 # 1.000.000.000 1 1 # 100.000.000 1 1 # 10.000.000 1 7 # 1.000.000 1 1 6 # 100.000 1 8 # 10.000 1 9 # 1.000 CAPÍTULO 1 Números

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07/06/11 17:26

Os números nos meios de comunicação Um mundo de bilhões e bilhões de pessoas Em 1800, a população mundial chegou a 1 bilhão de pessoas. A humanidade levou dezenas de milhares de anos até acumular essa população. Mas, em 1930, apenas 130 anos depois do primeiro bilhão, já existiam 2 bilhões de pessoas no mundo. E a velocidade do crescimento da humanidade aumentou tanto que passamos dos 7 bilhões em menos de um século.

Existem cerca de

7.000.000.000 de seres humanos na Terra.

População por região (2010)

1 bi, 350 mi

733 milhões

População aproximada da China, o país mais populoso do mundo.

Europa

352 milhões

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

América do Norte

589 milhões América Latina e Caribe

4 bilhões 167 milhões

191 mi

População aproximada do Brasil, país mais populoso da América Latina.

Ásia

36 milhões Oceania

1 bilhão 33 milhões

África

No mundo todo, a cada minuto NASCEM 267 pessoas

MORREM 108 pessoas

Isso significa que a população mundial cresce aproximadamente 159 pessoas por minuto, o que equivale a 9.540 pessoas por hora.

Dados obtidos em: Estimativas do Censo dos Estados Unidos, New York Times, IBGE, ONU.

Observe o infográfico acima. Os jornais, revistas e outras fontes de notícias, geralmente, utilizam infográficos para divulgar informações numéricas. Para não escrever os números somente com algarismos, as palavras milhões, bilhões, bi e mi são usadas para, além de economizar espaço, tornar a leitura mais fácil. Vamos escrever alguns números que aparecem acima com todos os seus algarismos: • 352 milhões 5 352.000.000

• 191 mi 5 191 milhões 5 191.000.000

• 4 bilhões e 167 milhões 5 4.167.000.000

• 1 bi e 350 mi 5 1.350.000.000 CAPÍTULO 1 Números

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07/06/11 17:26

Exercícios PROPOSTOS 26 Utilize algarismos indo-arábicos para represen-

MiniStÉRio dA SAÚde

tar os números que estão escritos por extenso no texto a seguir.

Sendo assim, o medidor está indicando o número 1.739. Determine o número indicado em cada caso. a) 2 3

1 0 9 4 5 6

8 7

9 0 1 6 5 4

2 3

1 0 9 4 5 6

8 7

9 0 1 6 5 4

2 3

Dados da Secretaria Municipal da Saúde revelam que no primeiro semestre de 2010 foram conﬁrmados dois mil quatrocentos e setenta e dois casos de dengue em Palmas (TO), contra mil quatrocentos e cinquenta e três casos conﬁrmados em todo o ano de 2009.

27 Escreva por extenso os números destacados

nas informações a seguir. No ano de 2010: a) o estado mais populoso do Brasil era São Paulo, cuja população era estimada em 39.924.091 indivíduos; b) o estado menos populoso do Brasil era Roraima, cuja população era estimada em 425.398 indivíduos; c) a região Sudeste era a mais populosa do Brasil, com população estimada em 77.656.762 indivíduos.

28 Existem medidores de energia elétrica que

1 0 9 4 5 6

8 7

9 0 1 6 5 4

2 3

1 0 9 4 5 6

8 7

9 0 1 6 5 4

2 3

29 Use as palavras mil, milhão (ou milhões) ou

bilhão (ou bilhões) para escrever os números em destaque. a) Analistas das mudanças climáticas mundiais estimam que, por volta de 2080, 1.000.000 de pessoas sofrerão de fome e sede no planeta. b) Em outubro de 2010 foram criados mais de 204.000 empregos formais no Brasil. c) As praias dos rios Araguaia e Tocantins (TO) atraem todos os anos cerca de 100.000 turistas de todo o país. d) Estima-se que, até 2080, nosso planeta terá 9.000.000.000 de habitantes.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2 3

30 Quando aparecem quantias em documentos

(cheques, recibos de compra e venda, pagamentos de dívidas etc.), elas também devem ser escritas por extenso, pois assim não podem ser alteradas. Escreva por extenso a quantia indicada no recibo.

têm quatro “reloginhos”, como é mostrado na ﬁgura abaixo. Quando o ponteiro está entre 0 e 9 (ou entre 9 e 0), ele indica o 9. Entre outros dois algarismos, o ponteiro sempre indica o de menor valor.

2 3

1 0 9 4 5 6 milhar 1

CAPÍTULO 1

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8 7

9 0 1 6 5 4

2 3

centena 7

1 0 9 4 5 6 dezena 3

8 7

9 0 1 6 5 4

2 3

unidade 9

Números

07/06/11 17:26

nasa

31 Represente abreviadamente as seguintes informações, usando mil para milhares, mi para milhões e bi para bilhões. a) Existem em nosso planeta cerca de 250.000 espécies de vegetais, das quais 50.000 brotam em solo brasileiro. b) Júpiter é o maior planeta do Sistema Solar. A distância média desse planeta ao Sol é de 780.000.000 quilômetros. c) China e EUA investiram, juntos, 150.000.000 de dólares em pesquisas de energias renováveis.

Júpiter.

Pense mais um pouco...

5a classe 6a classe 7a classe 8a classe 9a classe etc.

trilhões quatrilhões quintilhões sextilhões septilhões

Escreva como se leem os números destacados no texto a seguir. As distâncias entre as estrelas e os planetas são muito grandes. Para medir essas distâncias astronômicas foi criada a unidade ano-luz, que corresponde à distância que a luz percorre, no vácuo, em um ano. A luz percorre, no vácuo, 300.000 quilômetros em um segundo e, em um ano, aproximadamente 9.500.000.000.000 quilômetros. A Via Láctea é uma galáxia espiral em cuja periferia está localizado o nosso Sistema Solar. A distância de uma ponta a outra dessa galáxia é de 100.000 anos-luz, ou seja, aproximadamente 950.000.000.000.000.000 quilômetros. Lynette Cook/Science Photo Library/Latinstock

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Você já conhece as quatro primeiras classes numéricas (unidades simples, milhares, milhões e bilhões) e suas ordens. As próximas classes também recebem nomes:

CAPÍTULO 1 Números

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O sistema romano de numeração Durante muitos séculos, a representação de números adotada pelos romanos foi a mais usada na Europa. Essa representação era feita por meio de letras do próprio alfabeto romano. O quadro abaixo mostra as letras empregadas no sistema romano e seus respectivos valores no nosso sistema de numeração. I

100

500

1.000

Para representar um número no sistema romano de numeração, cada letra é escrita uma ao lado da outra, obedecendo às seguintes regras: C Quando uma letra é escrita à direita de outra de valor igual ou maior, somam-se os valores.

• VII 5 5 1 1 1 1 5 7

• XX 5 10 1 10 5 20

• XV 5 10 1 5 5 15

• CLXXI 5 100 1 50 1 10 1 10 1 1 5 171

C Somente as letras I, X, C e M podem ser repetidas, seguidamente, até três vezes.

Veja alguns exemplos. • III 5 3

• CC 5 200

• XXX 5 30

• CCCXXIII 5 323

• XXI 5 21

• MM 5 2.000

C Quando uma das letras I, X ou C é escrita à esquerda de outra de maior valor, subtrai-se o

seu valor (de I, X ou C) nas seguintes condições: • I só pode aparecer antes de V ou de X; • X só pode aparecer antes de L ou de C; • C só pode aparecer antes de D ou de M. Veja alguns exemplos. • IV 5 5 2 1 5 4

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Veja alguns exemplos.

• IX 5 10 2 1 5 9 • XL 5 50 2 10 5 40 • XC 5 100 2 10 5 90 • CD 5 500 2 100 5 400 • CM 5 1.000 2 100 5 900 C Quando um traço é colocado sobre uma letra, significa que o valor dessa letra deve ser mul-

tiplicado por 1.000; dois traços indicam que o valor deve ser multiplicado por 1.000.000. Veja alguns exemplos. __

• V 5 5 # 1.000 5 5.000 __

• IX 5 9 # 1.000 5 9.000 ___

• LX ___5 60 # 1.000 5 60.000 ___

• XXI 5 21 # 1.000.000 5 21.000.000 Observe que a repetição das letras V, L e D não ocorria, pois V V, LL, DD, V V V, por exemplo, tinham como representação X, C, M, XV, respectivamente. 26

CAPÍTULO 1

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Números

07/06/11 17:26

JACek/kino

eduARdo SAntALieStRA

CLAudioFiCheRA/ShutteRStoCk

Veja algumas situações atuais nas quais ainda aparece a numeração romana.

Exercícios PROPOSTOS 32 Responda:

35 Escreva os seguintes números usando o siste-

a) Quais símbolos podem ser repetidos seguidamente no sistema romano de numeração? b) Até quantas vezes esses símbolos podem ser repetidos?

33 Represente no nosso sistema de numeração: a) XVIII b) XXI

c) XLVI d) CCCXXII

f) ___ MMDCC e) LIICXV

34 Indique o número representado por: ___

a) XII ___ b) XIID

____

c) LIII ____ d) LIIICXX

ma romano de numeração. a) 358 c) 1.400 b) 532 d) 209

e) 2.435 f) 39.000

36 Represente os anos que aparecem nas informações usando símbolos romanos. a) Em 1876, o escocês Alexander Graham Bell inventou o telefone. b) Pelé fez seu milésimo gol em 1969. c) Em 2014, o Brasil sediará a Copa do Mundo de Futebol.

AFP Photo/FiFA

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Também empregamos a numeração romana na indicação de nomes de papas e reis, de séculos, capítulos de lei. Por exemplo, Papa Bento XVI, D. Pedro I, século XXI.

Pense mais um pouco...

Observe cada arranjo aqui apresentado com palitos de fósforo. Você deve mudar a posição de apenas um palito, em cada item, de modo que cada igualdade se torne verdadeira. Registre os resultados.

CAPÍTULO 1

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Números

07/06/11 17:26

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

dyLAn MARtineZ/ ReuteRS/LAtinStoCk

Construindo tabelas

eiLeen LAnGSLey oLyMPiC iMAGeS/ALAMy/ otheR iMAGeS

Nos Jogos Olímpicos de Inverno de Vancouver (Canadá), em 2010, o Canadá foi o país que obteve o maior número de medalhas de ouro.

Ireen Wust (centro), Kristina Groves (direita) e Martina Sablikova: medalhistas da patinação em velocidade de 1.500 m.

aleatória. As medalhas de ouro estão representadas por de bronze por

, as de prata por

e as

Observe que essa lista, com dados dispostos aleatoriamente, não oferece uma leitura prática para sabermos, por exemplo, quantas medalhas de ouro, de prata ou bronze o Canadá ganhou. Organizando as informações em uma tabela, a análise dos dados será mais fácil.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

As medalhas conquistadas pelo Canadá estão representadas abaixo, de maneira

Para a construção da tabela, faremos uma contagem e verificaremos que, na lista, o símbolo

aparece 14 vezes, o símbolo

, 7 vezes, e o símbolo

, 5 vezes.

Ao transferir os resultados para a tabela, é possível especificar o número de medalhas de cada categoria. Desempenho do Canadá nos Jogos Olímpicos de Inverno de Vancouver Categoria de medalha

Quantidade de medalhas conquistadas

Ouro

Prata

Bronze

Disponível em: www.rederecord.r7.com Acesso em: 23 nov. 2010.

Essa tabela possui título, duas colunas (divisões na vertical) e quatro linhas (divisões na horizontal). 28

CAPÍTULO 1

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Números

07/06/11 17:26

Na 1a linha, são apresentados: • na coluna da esquerda, o assunto pesquisado (no caso, a categoria de medalha); • na coluna da direita, o tipo de dado que se relaciona ao assunto (no caso, a quantidade de medalhas conquistadas pelo Canadá). A 2a, a 3a e a 4a linhas especificam: • na coluna da esquerda, cada categoria de medalha (ouro, prata e bronze); • na coluna da direita, a quantidade de medalhas correspondentes a cada categoria (14, 7 e 5). Com a tabela, fica fácil perceber que o Canadá conquistou 14 medalhas de ouro, 7 medalhas de prata e 5 medalhas de bronze. Também podemos construir uma tabela com outra disposição. Veja. Desempenho do Canadá nos Jogos Olímpicos de Inverno de Vancouver

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Categoria de medalha Quantidade de medalhas conquistadas

Ouro

Prata

Bronze

Disponível em: www.rederecord.r7.com Acesso em: 23 nov. 2010.

Atividade

1 A professora Ana escreveu no quadro de giz o mês de aniversário de cada aluno do 6o ano B.

Com base nas informações do quadro de giz, construa uma tabela em seu caderno. (Não se esqueça de identificar a categoria dos dados e os dados obtidos.) Observando a tabela que você construiu, responda. a) Quantos alunos fazem aniversário no mês de julho? b) Em que mês há maior número de aniversariantes? c) Quantos alunos fazem aniversário em setembro? d) É correto afirmar que no mês de agosto existem mais aniversariantes que no mês de abril? Justifique sua resposta.

CAPÍTULO 1

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Números

07/06/11 17:26

Exercícios COMPLEMENTARES 37 Escreva, usando os algarismos indo-arábicos,

MAuRiCio SiMonetti/tybA

os números que aparecem por extenso nas informações. a) O rio Negro (AM) tem dois mil e cinquenta quilômetros de comprimento. b) Segundo o Instituto Brasileiro de Geograﬁa e Estatística (IBGE), a população da cidade de Salvador (BA), em 2010, era dois milhões, quatrocentos e oitenta mil setecentos e noventa habitantes.

b) o menor número encontrado; c) o menor número que começa com o algarismo 7; d) o maior número que começa com o algarismo 6.

41 Um número tem dois algarismos. O algarismo

das dezenas é o dobro do algarismo das unidades. a) Qual será esse número se ele for menor que 40? b) Qual será esse número se ele for maior que 70? 372, o valor posicional do algarismo 7 aumenta ou diminui? Quantas vezes?

43 Dado o número 7.865, troca-se a posição do 6 com o 7. O valor posicional do algarismo 6 aumenta ou diminui? Quantas vezes?

Vista aérea de Salvador, destacando o Mercado Modelo.

c) Estima-se que no ano 2015 o Brasil produzirá quinhentos e oitenta e dois mil barris de petróleo por dia, no pré-sal. d) Em 2010, pesquisadores gaúchos encontraram, em São João do Polêsine (RS), o fóssil de um dinossauro com duzentos e vinte e oito milhões de anos.

38 Indique, com algarismos, o número formado por duas centenas de milhões e três dezenas de milhões.

39 Escreva por extenso o número destacado.

40 Considere os seguintes cartões. 1

Colocando os três cartões um ao lado do outro, de todos os modos possíveis, obtemos a representação de seis números naturais. Escreva: a) o maior número encontrado; 30

CAPÍTULO 1

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mos 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, responda. a) Qual o menor número que pode ser formado? b) Qual o maior número que pode ser formado?

45 Usando a forma abreviada da imprensa escrita, expresse os seguintes números: a) 22.000.000 b) 2.000.000.000

46 Arlete fez um trabalho com 256 páginas. Nu-

merou as páginas começando pelo 1. a) Quantos algarismos ela escreveu? b) Quantas vezes ela escreveu o algarismo 2?

47 Para escrever todos os números de 1 a 55, RAGnARoCk/ ShutteRStoCk

Segundo a Agência Nacional de Telecomunicações, o número de celulares habilitados chegou a 191.472.142 em setembro de 2010.

44 Ao formar números com todos estes algaris-

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42 Escrevendo o algarismo 5 à direita do número

quantas vezes usamos o algarismo 1? E o algarismo 5?

48 Lúcia escreveu todos os números de dois algarismos; Paula escreveu todos os números de dois algarismos diferentes; Rogério escreveu todos os números pares de dois algarismos; e Renato escreveu todos os números pares de dois algarismos diferentes. Entre os cartões coloridos abaixo, aparecem as quantidades de números que cada um escreveu. 41

Descubra qual é o cartão de cada um.

Números

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TESTES 49 No número 2.895: a) b) c) d)

o algarismo de maior valor posicional é o 9. o algarismo de menor valor posicional é o 2. o algarismo de maior valor posicional é o 5. o valor posicional do algarismo 8 é maior que o valor posicional do algarismo 9.

50 O maior número de três algarismos diferentes é:

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a) b) c) d)

999 998 987 989

51 O menor número de três algarismos diferentes é: a) b) c) d)

111 102 101 100

52 Foram escritos todos os números de três algarismos possíveis com os algarismos 2, 3 e 4. Colocando-os em ordem crescente, o número 342 estará situado no: a) b) c) d)

16o lugar. 14o lugar. 10o lugar. 4o lugar.

53 Qual é a sentença verdadeira? a) b) c) d)

55 A quantidade de números, de 1 a 1.000, que têm algarismos iguais é: a) b) c) d)

18 20 100 120

56 Para escrever os números de 1 a 100, quantas vezes o algarismo 9 é usado? a) b) c) d)

1 9 10 20

57 No sistema de numeração indo-arábico, CDXXVI equivale a: a) b) c) d)

424 426 624 626

58 (Uece) Dado um número de dois algarismos, forma-se um novo número de três algarismos, colando “1” à direita do número original. O novo número é: a) b) c) d)

dez vezes o número original, mais um. cem vezes o número original, mais um. cem vezes o número original. o número original, mais um.

59 Maria terminou um trabalho e numerou todas as páginas, começando pelo número 1. Para isso, utilizou 270 algarismos.

Todo número natural tem um sucessor. Todo número natural tem um antecessor. O menor número natural é o 1. O maior número natural é o 9.

54 Quantos são os números naturais de três algarismos em que a soma de seus algarismos é igual a 4? (Observação: números como 022, 031, 040 não representam números de três algarismos.) a) b) c) d)

4 7 9 10

Quantas páginas tem esse trabalho? a) 270 b) 99 c) 212 d) 148 e) 126 CAPÍTULO 1

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Números

07/06/11 17:26

60 Em uma corrida de rua, participaram 215 atletas. Cada um recebeu uma camiseta com o número de sua inscrição. Para gravar esses números, uma empresa cobrou 1 real por algarismo gravado. Quantos reais essa empresa arrecadou com a impressão dos números gravados? a) b) c) d)

645 reais. 537 reais. 430 reais. 215 reais.

61 O número 2.004 escrito no sistema romano de numeração é: a) DCCIV b) DCCVI c) MMIV d) MMCCIV

62 Um número tem cinco algarismos. Aumentan-

do uma unidade no algarismo dos milhares e uma unidade no algarismo das dezenas, o número aumentará: a) 1.000 unidades. b) 1.100 unidades. c) 1.010 unidades. d) 1.110 unidades. pessoa deveria digitar em sua calculadora o número 17.583. Por engano digitou 15.783. Para fazer a correção, ela poderá acrescentar e diminuir, respectivamente: a) 200 e 2.000 b) 2.000 e 200 c) 1.000 e 100 d) 100 e 1.000

Pense mais um pouco...

Em uma reunião estão presentes 13 pessoas. Assinale a única aﬁrmação que, com certeza, é verdadeira. a) b) c) d)

Uma delas é mulher. Uma delas é criança. Duas delas nasceram no mesmo dia. Duas delas nasceram no mesmo mês.

CAPÍTULO 1

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63 Em uma soma de diversas parcelas, uma

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Diversi ficando Sequências numéricas Vamos entender o que é uma sequência? Acompanhe os exemplos.

Exemplo 1 Alice anota na agenda suas notas bimestrais de Português, História, Matemática, Geografia, Ciências e Espanhol. Se escrevermos as notas de Alice na ordem em que são anotadas as disciplinas, obteremos o seguinte:

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5, 7, 7, 10, 5, 9 Essa série de números, que obedece a certa ordem, é um exemplo de sequência numérica.

Exemplo 2 Jorge trabalha em um supermercado. Uma de suas funções é organizar as embalagens dos produtos. Observe como ele arrumou as caixas de suco.

Contando as caixas de cada fileira, de cima para baixo, obteremos a seguinte sequência numérica: 1, 3, 5, 7, 9, 11 Note que cada termo dessa sequência, a partir do segundo, é o anterior mais 2, ou seja: 1, 3, 5, 7, 9, 11 12 12 12 12 12

CAPÍTULO 1

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Números

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Veja mais alguns exemplos de sequências numéricas. • 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Essa é a sequência dos números pares. Ela é inﬁnita. Essa sequência é crescente, pois cada número, a partir do segundo, é maior que o anterior. • 9, 7, 5, 3, 1 Essa sequência é ﬁnita e decrescente. Podemos, então, concluir que:

• cada número de uma sequência numérica é um termo dessa sequência; • sequências numéricas podem ser ﬁnitas ou inﬁnitas.

Agora é com você!

1 Determine a sequência dos números pares menores que 10. Essa sequência é ﬁnita ou inﬁnita?

2 Qual é a sequência dos números ímpares? Nessa sequência, qual é o termo anterior a 91? E o posterior?

3 Determine o próximo termo de cada sequência. a) 6, 11, 16, 21, ... b) 18, 14, 10, ... c) 3, 6, 12, 24, 48, ...

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• quando escrevemos números segundo certa ordem, temos uma sequência numérica;

4 Observe as ﬁguras.

Números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos, como os mostrados acima, são chamados números triangulares. a) Seguindo o padrão, desenhe a próxima ﬁgura da sequência acima. b) Que número triangular representa a ﬁgura que você desenhou? c) Escreva a sequência dos seis primeiros números triangulares.

CAPÍTULO 1

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Matemática BIANCHINI

7 7a edição

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Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Cintia Alessandra Valle Burkert Machado, Daniela Santo Ambrosio, Débora Regina Yogui, Fabio Martins de Leonardo, Fernando Savoia Gonzalez, Kátia Takahashi, Marilu Maranho Tasseto, William Raphael Silva Assistência editorial: Leandro Baptista, Maria Cecília Bittencourt Mastrorosa, Maria Cristina Santos Sampaio, Roberto Henrique Lopes da Silva Preparação de texto: Cibely Aguiar de Souza Sala Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma Projeto gráfico: Aurélio Camilo Capa: Aurélio Camilo Foto de capa: AGE RM/Other Images Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva Editoração eletrônica: Grapho Editoração Ilustrações: Alex Affonso, Claudio Chiyo, Guilherme Luciano, José Luís Juhas, Leonardo Conceição, Mauro Souza Cartografia: Alessandro Passos da Costa Coordenação de revisão: Elaine C. del Nero Revisão: Afonso N. Lopes, Ana Maria Cortazzo, Fernanda Marcelino, Luís M. Boa Nova, Márcia Leme, Maristela S. Carrasco, Millyane M. Moura, Salete Brentan Pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron, Maria Magalhães As imagens identificadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informação e Documentação da Editora Moderna. Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Bureau São Paulo, Fabio N. Precendo, Rubens M. Rodrigues Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira Silva, Helio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento:

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

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Bianchini, Edwaldo Matemática Bianchini / Edwaldo Bianchini. — 7. ed. — São Paulo : Moderna, 2011. Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. Bibliografia. 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título 11-03033

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 ISBN 978-85-16-07089-2 (LA) ISBN 978-85-16-07090-8 (LP) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2790-1500 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2011 Impresso no Brasil 1 3

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Apresentação

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Leia com atenção as explicações teóricas, para acompanhar as aulas e resolver os exercícios. Faça deste livro um parceiro em sua vida escolar!

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O autor

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Conheça seu livro A estrutura de cada capítulo é muito simples, pois permite encontrar com facilidade os assuntos fundamentais, os exemplos, as séries de exercícios e as seções enriquecedoras. Página de conteúdo

Página de abertura Cada capítulo é introduzido por uma imagem motivadora e questões do Matemática no mundo, que abordam o assunto do capítulo.

Exercícios O livro apresenta uma variedade de exercícios (de aplicação, de exploração, de fixação, de aprofundamento), organizados segundo o grau de dificuldade.

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Contém a teoria explicada com linguagem clara e objetiva, apoiada por exemplos e ilustrações cuidadosamente elaborados para ajudar o entendimento da teoria.

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Tratamento da informação

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Esta seção trabalha temas de Tratamento da informação e Estatística, por meio de textos teóricos e atividades variadas.

Suplemento de Geometria Nesse suplemento, trabalhamos sólidos geométricos e suas planificações por meio de textos e atividades variadas.

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Sumário 1

Números inteiros

1. A necessidade de outros números

2. Representação dos números inteiros na reta numérica

3. Valor absoluto ou módulo de um número inteiro

4. Números inteiros opostos ou simétricos

5. Comparação de números inteiros

6. “Andando” na reta numérica

7. Adição de números inteiros

Algumas propriedades da adição

8. Subtração de números inteiros

9. Adição algébrica de números inteiros

Expressões numéricas com adição algébrica

10. Multiplicação de números inteiros

35 37

Algumas propriedades da multiplicação

Expressões numéricas com multiplicação

11. Divisão de números inteiros Expressões numéricas com divisão

41 43

12. Potenciação de números inteiros

Propriedades da potenciação

Expressões numéricas com potenciação

13. Raiz quadrada de números inteiros Expressões numéricas com raiz quadrada

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CAPÍTULO

48 48

Tratamento da informação Analisando tabelas

Diversificando Números cruzados

CAPÍTULO

Números racionais

1. Os números racionais

2. Representação dos números racionais na reta numérica

3. Módulo de um número racional

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4. Comparação de números racionais

Comparando números racionais na forma de fração

Comparando números racionais na forma decimal

5. Adição e subtração de números racionais

6. Multiplicação de números racionais

7. Divisão de números racionais

8. Potenciação de números racionais

Propriedades da potenciação

Potência com expoente inteiro negativo

9. Raiz quadrada racional de números racionais

10. Expressões numéricas com números racionais

CAPÍTULO

Equações

1. Um pouco de história

2. Expressões algébricas

3. Valor numérico de uma expressão algébrica

4. Termos algébricos

Termos semelhantes

Redução de termos semelhantes e simplificação de expressões algébricas

5. Sentenças matemáticas

6. Equações

Raiz de uma equação Conjunto universo e solução de uma equação o

Equações do 1 grau com uma incógnita

99 101 102

7. Equações equivalentes

102

8. Resolução de equações

104

Equacionando problemas

106

Resolvendo equações com parênteses

109

Resolvendo equações com frações

111

Equacionando mais problemas

115

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Sumário

Tratamento da informação Trabalhando com média e estimativas

CAPÍTULO

121

Inequações

1. O que é inequação?

128

2. Solução de uma inequação

130

3. Resolução de inequações Propriedades da desigualdade Resolvendo inequações

132 133 135

Pesagem de bolinhas

CAPÍTULO

142

Sistemas de equações

1. O conceito de par ordenado Representação geométrica de pares ordenados

144

2. Equações do 1o grau com duas incógnitas Soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas

147

3. Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

150

4. Resolução de sistemas Método da substituição Método da adição

152

146 148

152

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Diversificando

156

Tratamento da informação Trabalhando com possibilidades e probabilidades

CAPÍTULO

160

Razões e proporções

1. O conceito de razão

165

2. Razão entre grandezas de mesma natureza Escala

170 172

3. Razão entre grandezas de naturezas diferentes Densidade demográfica Velocidade média Gramatura de um papel Consumo médio

175 175 176 176 176

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4. Proporção

180

5. Propriedade fundamental das proporções

182

6. Proporções e sistemas

185

Diversificando Matemática e música

192

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CAPÍTULO

Grandezas proporcionais

1. A proporcionalidade entre grandezas

195

2. Grandezas diretamente proporcionais

198

3. Grandezas inversamente proporcionais

202

4. Regra de três simples

207

5. Regra de três composta

209

Tratamento da informação Construindo gráficos de barras e de colunas

214

Diversificando Matemática na culinária

CAPÍTULO

219

Porcentagem

1. O conceito de porcentagem

222

2. Usando porcentagens

224

3. Calculando aumento ou desconto

229

Tratamento da informação Interpretando um gráfico de setores

CAPÍTULO

232

Ângulos

1. Ângulos e seus elementos

238

Ângulo nulo

240

Ângulo raso ou ângulo de meia-volta

240

Ângulo de uma volta

241

2. Medida de um ângulo

243

O grau

243

Medindo ângulos com um transferidor

245

Construindo ângulos com um transferidor

249

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Sumário

3. Classificação de um ângulo

250

4. Ângulos congruentes Construindo ângulos congruentes

252

5. Operações com medidas de ângulos Transformando unidades Adicionando medidas de ângulos Subtraindo medidas de ângulos Multiplicando a medida de um ângulo por um número natural Dividindo a medida de um ângulo por um número natural não nulo

254

6. Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes

262

7. Bissetriz de um ângulo Construindo a bissetriz de um ângulo

264

8. Ângulos complementares e ângulos suplementares Ângulos complementares Ângulos suplementares

267

9. Ângulos opostos pelo vértice

271

253 255 256 257 258

265 267 269

Tratamento da informação Verificando as chances

273

Diversificando Codificação das rodovias

CAPÍTULO

277

10 Simetria

1. Reconhecendo a simetria Figuras com mais de um eixo de simetria

279

2. Simetria em relação a uma reta

285

CAPÍTULO

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258

284

11 Área de regiões poligonais planas

1. O conceito de área

294

2. Figuras equivalentes

299

3. Área do paralelogramo

301

4. Área do triângulo

304

5. Área do losango

308

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6. Área do trapézio

311

Diversificando 318

Suplemento de Geometria

320

Respostas

340

Sugestões de leitura para o aluno

350

Lista de siglas

351

Bibliografia

352

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Fórmula de Pick

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CAPÍTULO

Grandezas proporcionais

RABH IMAGES/ALAMY/OTHER IMAGES

Matemática no mundo

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O convívio entre seres humanos e animais acontece há milênios. Entre os animais de estimação, os cães e os gatos são os preferidos para a companhia das pessoas.

Agora, responda. • Mensalmente, Luís compra 5,6 kg de ração para alimentar 4 gatos. Se mais 2 gatos forem adotados, quantos quilogramas de ração deverão ser comprados no mês, supondo que todos comem a mesma quantidade?

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1 A proporcionalidade entre grandezas Entendemos como grandeza tudo o que pode ser medido ou contado. Assim, o comprimento, a área, a temperatura, a massa e o tempo são exemplos de grandezas. Veremos a seguir algumas situações envolvendo uma relação de dependência entre duas grandezas. Situação 1

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Carla percebeu que a torneira de seu banheiro estava vazando.

Para medir o vazamento por minuto, colocou um recipiente graduado sob a torneira. Veja o que ela observou.

Número de minutos

Quantidade de água (em mc)

Não desperdice água. Se a torneira estiver vazando, conserte-a. Agindo assim, você estará contribuindo para a preservação de nosso planeta. Cada gota de água que se economiza é um ponto a favor para o futuro da humanidade!

Note que: • quando duplicamos o número de minutos, a quantidade de água também duplica; • quando triplicamos o número de minutos, a quantidade de água também triplica, e assim por diante. Nesse caso, dizemos que as grandezas número de minutos e quantidade de água estão em uma relação de proporcionalidade direta, ou seja, são grandezas diretamente proporcionais.

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Situação 2 Em uma doceria, 1 funcionário faz certa quantidade de tortas em 6 horas.

Observe, na tabela abaixo, a relação entre o número de funcionários e o tempo gasto para a produção dessa quantidade de tortas. Número de funcionários

Tempo (em horas)

1,5

OLGA POPOVA/SHUTTERSTOCK

Devido à proximidade das festas de final de ano, o proprietário dessa doceria resolveu fabricar essa mesma quantidade de tortas em um tempo menor. Para isso, foi aumentando o número de funcionários, de mesma produtividade e trabalhando nas mesmas condições, conforme a necessidade.

Note que: • quando triplicamos o número de funcionários, o tempo fica reduzido à terça parte, e assim por diante. Nesse caso, dizemos que as grandezas númerodefuncionários e tempo têm uma relação de proporcionalidade inversa, ou seja, são grandezas inversamente proporcionais. OBSERVAÇÃO

Quando lidamos com grandezas proporcionais aplicadas em uma situação real, devemos ter o cuidado de analisar até quando a proporcionalidade existe nessa situação. Por exemplo, poderíamos pensar em aumentar muito o número de funcionários de modo que a produção das tortas pudesse acontecer em segundos. Contudo, sabemos que isso é impossível na realidade. No caso da doceria, não haveria lugar para tantas pessoas.

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• quando duplicamos o número de funcionários, o tempo fica reduzido à metade;

Situação 3 Observe, na tabela abaixo, a relação entre a idade e a altura média dos alunos de 1 a 6 anos da Escola Pequenitos. Idade (em anos)

Altura média dos alunos (em cm)

73,2

84,1

91,9

99,1

105,9 112,2

Dados obtidos pela Escola Pequenitos.

Note que, quando a idade é duplicada, a altura nem dobra nem se reduz à metade. A altura simplesmente aumenta sem respeitar nenhuma proporção em relação à idade. Então, altura e idadenão são grandezas diretamente proporcionais nem inversamente proporcionais. Nesse caso, dizemos que as grandezas altura e idade não são proporcionais. Neste capítulo, estudaremos mais detalhadamente as grandezas diretamente proporcionais e as grandezas inversamente proporcionais. 196

CAPÍTULO 7

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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Exercícios PROPOSTOS

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1 Classifi que as grandezas de cada situação a seguir como diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais. a) Velocidade e tempo gasto para percorrer determinado trajeto. b) Número de pães e quantidade de farinha de trigo necessária para fazer esses pães. c) Idade e massa de uma pessoa. d) Número de pedreiros e tempo gasto para a execução de determinado trabalho. 2 Sabe-se que 100 g de maçãs contêm 84 g de água. a) Quantos quilogramas de água há em 5 kg de maçãs? b) Identifi que as grandezas envolvidas nessa situação. c) Essas grandezas são direta ou inversamente proporcionais?

3 Veja abaixo a tabela que mostra a velocidade média de um automóvel e o tempo que ele gasta para percorrer determinado trajeto. Velocidade (em km/h)

120

Tempo gasto (em h)

1,5

2,5

a) Qual é a velocidade média do automóvel quando percorre esse trajeto em 2 horas e meia? b) Quantas horas o automóvel levará para percorrer esse trajeto se a velocidade média for de 80 km/h? c) As grandezas velocidade e tempo são direta ou inversamente proporcionais?

Pense mais um pouco...

O relógio de Márcio está com defeito. Ele atrasa 4 minutos a cada 2 dias. Durante 14 dias, Márcio se esqueceu de acertar seu relógio e, por esse motivo, chegou atrasado ao encontro com sua namorada.

a) Considerando o período desses 14 dias, construa, em seu caderno, uma tabela que indique o tempo de atraso, em minuto, correspondente a cada 2 dias que Márcio se esqueceu de acertar seu relógio. b) Quantos minutos o relógio atrasa em 10 dias? c) Quantos minutos Márcio chegou atrasado ao encontro? d) As grandezas apresentadas (tempo de atraso e número de dias) são direta ou inversamente proporcionais? e) Supondo que o defeito continue, quantos minutos o relógio estará atrasado no 22o dia? f) Quantos dias serão necessários para que o relógio registre 1 hora (60 minutos) de atraso?

CAPÍTULO 7

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GRANDEZAS PROPORCIONAIS

197

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2 Grandezas diretamente proporcionais Observe a situação. Mariana pesquisou a produção de uma usina de açúcar e anotou o número de sacas produzidas no decorrer de cinco dias, montando a seguinte tabela. Produção de açúcar (em número de sacas)

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

Para montar a tabela, Mariana trabalhou com duas grandezas: tempo e produção. Ela mediu o tempo em número de dias e a produção em sacas de açúcar. Então, as unidades de medida empregadas para o tempo e para a produção são, respectivamente, dias e sacasdeaçúcar. Sabendo que cada saca de açúcar tem 50 kg, Mariana apresentou também a produção dessa usina em quilograma e, dessa forma, obteve a seguinte tabela. Tempo de produção (em dias)

Produção de açúcar (em kg)

250.000

500.000

750.000

1.000.000

1.250.000

Não confunda grandeza com unidade de medida. Na segunda tabela, as grandezas continuam sendo tempo e produção, mas a unidade para medir a produção foi o quilograma, não sacasdeaçúcar.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Tempo de produção (em dias)

Ao examinar essas tabelas, observamos que: • duplicando o número de dias, duplica-se a produção de açúcar; • triplicando o número de dias, triplica-se a produção de açúcar, e assim por diante. Por isso, as grandezas tempo e produção são diretamente proporcionais. Note também que, de duas em duas, as razões entre o tempo de produção (em dias) e a produção de açúcar (em número de sacas ou em quilograma) são iguais. Veja, por exemplo, essas razões para os valores referentes à primeira tabela. 5.000 5 _______ 2 10.000

1 __

5.000 5 _______ 15.000

1 __

1 __ 3

198

CAPÍTULO 7

5.000 5 _______ 4 20.000

2 __

5.000 5 _______ 25.000

2 __

10.000 5 _______ 3 15.000

2 __

10.000 5 _______ 20.000

3 __

10.000 5 _______ 5 25.000

3 __

15.000 5 _______ 20.000

4 __

15.000 5 _______ 5 25.000

20.000 5 _______ 25.000

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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11/08/11 08:33

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre dois valores da primeira é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda. Repare também que as razões entre os valores da primeira coluna e os valores correspondentes da segunda coluna são iguais. 4 2 3 5 1 ______ 5  _______ 5  _______ 5  _______ 5  _______                            5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

1 . Todas essas frações são redutíveis a uma mesma fração, que é  ______      5.000

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Dizemos, então, que os números da sequência 1, 2, 3, 4 e 5 são diretamente proporcionais aos números da sequência 5.000, 10.000, 15.000, 20.000 e 25.000. Os números não nulos x, y e z são diretamente proporcionais aos números não nulos a, b e c quando: y z x __     5  __  5  __  a

Acompanhe a resolução de alguns problemas. Problema 1 eterminar os valores de x e y, de modo que a sequência de números 2, 8 e y seja diretaD mente proporcional à sequência de números 3, x e 21. y

x 21

ara que as duas sequências sejam diretamente proporcionais, as razões entre os números P correspondentes devem ser iguais, isto é: y 8 2 __      5  __  5  ___    3

Assim: 8 2  __   5  __  x 3

y 2  __   5  ___    3 21

2x 5 3 3 8

3y 5 2 3 21

2x 5 24

3y 5 42

2x 24 ___      5  ___ 

42 ___      5  ___ 

x 5 12

y 5 14

3y 3

ortanto, para que as duas sequências sejam diretamente proporcionais, devemos ter P x 5 12 e y 5 14. CAPÍTULO 7 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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199

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Problema 2 Para montar uma pequena empresa, Márcia, Cláudio e Ricardo formaram uma sociedade. Márcia participou com R$ 24.000,00, Cláudio, com R$ 27.000,00, e Ricardo, com R$ 30.000,00. Depois de 6 meses, a empresa obteve um lucro de R$ 32.400,00, que foi dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais à quantia que cada um investiu. Quanto cada um recebeu? Representando a parte de Márcia por x, a de Cláudio por y e a de Ricardo por z, vamos resolver esse problema de dois modos.

Usamos a propriedade x1y1z x__ z y 5 __ 5 __ 5 ________ c a a1b1c b vista no capítulo anterior.

x 1 y 1 z 5 32.400 Temos:

y z x 5 _______ 5 _______ _______ 24.000 27.000 30.000

Aplicando a propriedade das proporções, temos: y z 5 _______ 5 _______ 5 24.000 27.000 30.000 x _______

x1y1z 32.400 2 5 _______ 5 __ 5 _________________________ 5 24.000 1 27.000 1 30.000 81.000 simpliﬁcando

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1o modo

Assim, obtemos as proporções: x _______

2 5 __ 5 24.000

y _______

2 5 __ 5 27.000

z 2 5 __ 5 30.000

_______

Resolvendo cada uma delas, encontramos os valores procurados. 2 x _______ 5 __ 5 24.000

y 2 _______ 5 __ 5 27.000

z _______

5 3 x 5 2 3 24.000

5 3 y 5 2 3 27.000

5 3 z 5 2 3 30.000

2 3 24.000 x 5 __________ 5

2 3 27.000 y 5 __________ 5

2 3 30.000 z 5 __________ 5

x 5 9.600

y 5 10.800

z 5 12.000

2 5 __ 5 30.000

Logo, Márcia recebeu R$ 9.600,00, Cláudio recebeu R$ 10.800,00 e Ricardo, R$ 12.000,00. 200

CAPÍTULO 7

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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2o modo x 1 y 1 z 5 32.400 Temos:

y z 5 _______ 5 _______ 5r 24.000 27.000 30.000 x _______

Da segunda linha do sistema, obtemos as seguintes proporções: y r r x z r _______ _______ _______ 5 __ 5 __ 5 __ 24.000 1 30.000 1 27.000 1 Aplicando a propriedade fundamental das proporções, obtemos: x 5 24.000r

y 5 27.000r

z 5 30.000r

Substituindo esses valores em x 1 y 1 z 5 32.400, vamos calcular o valor de r. x 1 y 1 z 5 32.400 24.000r 1 27.000r 1 30.000r 5 32.400 81.000r 5 32.400 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

r 5 0,4 Com o valor de r encontrado, calculamos os valores de x, y e z. x 5 24.000 3 r

y 5 27.000 3 r

z 5 30.000 3 r

x 5 24.000 3 0,4

y 5 27.000 3 0,4

z 5 30.000 3 0,4

x 5 9.600

y 5 10.800

z 5 12.000

Logo, Márcia recebeu R$ 9.600,00, Cláudio recebeu R$ 10.800,00 e Ricardo, R$ 12.000,00.

Exercícios PROPOSTOS 4 Em uma fábrica, determinado tipo de detergente é armazenado em tambores. Sabendo que todos os tambores são iguais e que 2 tambores armazenam 360 litros desse detergente, determine: a) o número de tambores necessários para armazenar 720 litros; b) o número de litros de detergente armazenado em 10 desses tambores; c) o número de litros armazenado em 21 tambores e meio. 5 Em uma casa, em um banho de ducha são consumidos 135 litros de água em 15 minutos. Fechar o registro enquanto se ensaboa e reduzir o tempo de banho com o registro aberto para 5 minutos gera uma grande economia de água. Quantos litros se economizam dessa maneira?

6 Determine o valor das letras do quadro abaixo de modo que as sequências de números sejam diretamente proporcionais. 4 10

6 15

8 b

7 Quais dos seguintes quadros não apresentam sequências de números diretamente proporcionais? a) 1 2 3 4 2

2,5 50

3 60

4,5 80

5 100

2,1 0,7

15 5

0,9 0,3

7 1

14 7

21 14

CAPÍTULO 7

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20 c

a 25

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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• 3

ovos lata de leite condensado • 1 xícara de leite • 2 colheres das de sopa de farinha de trigo • 1 colher das de sobremesa de fermento em pó • 1 pacote de coco ralado • 1 xícara de queijo ralado • 1 colher das de sopa de manteiga • 1

a) Com base nessa receita, Márcia quer fazer uma quantidade maior de queijadinhas. Para isso, aumentará proporcionalmente a quantidade de todos os ingredientes da receita. Quantos ovos serão necessários se ela utilizar 4 colheres de farinha de trigo? E quantas colheres de farinha de trigo serão necessárias se ela utilizar 9 ovos? b) Se Márcia quiser fazer 4 dessas receitas, quantas colheres de farinha de trigo serão necessárias? E quantos ovos?

9 Um terreno de 11.590 m2 foi repartido entre Júlio (12 anos) e Ricardo (7 anos) em partes diretamente proporcionais à idade de cada um. Qual a parte, em metros quadrados, que coube a Ricardo? 10 Em um concurso para a escolha das melhores fotos de monumentos foi oferecido um prêmio de R$ 3.600,00. Esse prêmio foi dividido entre os dois primeiros colocados em partes diretamente proporcionais aos pontos obtidos. Sabendo que o primeiro colocado atingiu 10 pontos e o segundo 8, qual foi o prêmio de cada um? 11 Antônio, João e Pedro trabalham na mesma empresa há 8, 6 e 2 anos, respectivamente. A empresa distribuiu uma gratificação de R$ 60.000,00 para esses três funcionários em partes diretamente proporcionais ao tempo de serviço de cada um. Quantos reais Pedro recebeu de gratificação? 12 O perímetro de um triângulo (soma das medidas dos lados) cujos lados, em centímetro, medem y x z x, y e z é 18 cm. Sabendo que  __    5 __      5 __      , 5 3 4 calcule x, y e z.

Pense mais um pouco...

Faça uma tabela, testando valores para cada item, e responda às questões. a) O perímetro de um quadrado e a medida de seus lados são grandezas diretamente proporcionais? Justifique a resposta. b) A área de um quadrado e a medida de seus lados são grandezas diretamente proporcionais? Justifique a resposta.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

8 Márcia gosta de doces. Sabendo disso, uma amiga a presenteou com uma receita de queijadinha. Nessa receita, os ingredientes necessários são:

3 Grandezas inversamente proporcionais Antes de estudar as grandezas inversamente proporcionais, veremos o conceito de razões inversas. Ao trabalhar com números racionais, você já deparou com números inversos. Por exemplo, 1 4 3 os números  __   e  __   são inversos, assim como os números 3 e  __   . 3 4 3 3 4 Consideremos as razões  __   e  __   . Repare que o produto delas é igual a 1, pois: 4 3 3 4 12  __   3  __   5  ___   5 1 4 3 12 202

CAPÍTULO 7 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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3 4 Nessas condições, dizemos que as razões são inversas. Portanto, __ é razão inversa de __ , 4 3 ou vice-versa. Veja outros exemplos. 5 6 6 5 • A razão inversa de __ é __ e a razão inversa de __ é __ . 5 6 6 5 7 1 1 7 • A razão inversa de __ é __ e a razão inversa de __ é __ . 7 1 1 7 Vejamos agora uma situação envolvendo as grandezas velocidade e tempo.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Fernando tem um jogo de videogame que simula uma corrida de motos. Ele percorreu o mesmo trajeto algumas vezes, com velocidades diferentes, e anotou o tempo gasto em cada vez. Velocidade (em km/h)

Tempo (em min)

120

Examinando essa tabela, observamos que: • duplicando a velocidade da moto, o tempo fica reduzido à metade; • triplicando a velocidade, o tempo fica reduzido à terça parte, e assim por diante. Por isso, as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Observe ainda que, duas a duas, as razões entre os números que indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que indicam o tempo: 30 6 • ___ 5 ___ 60 12

60 4 • ___ 5 __ 90 6 6 inverso da razão __ 4

12 inverso da razão ___ 6

4 30 • ___ 5 ___ 90 12

60 3 • ____ 5 __ 120 6 6 inverso da razão __ 3

12 inverso da razão ___ 4

90 3 • ____ 5 __ 120 4

30 3 • ____ 5 ___ 120 12 12 inverso da razão ___ 3

4 inverso da razão __ 3

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre dois valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda.

CAPÍTULO 7

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GRANDEZAS PROPORCIONAIS

203

11/08/11 08:33

Repare também que os produtos dos valores da primeira coluna pelos valores correspondentes da segunda coluna são iguais.

60 3 6 5 360

30 3 12 5 60 3 6 5 90 3 4 5 120 3 3

90 3 4 5 360

120

120 3 3 5 360

30 ____      5 1 ___       12

30 3 12 5 360

60 90 120  ___   5 ___      5 ____        1 1 1 __ __ __                4 6 3

Dizemos, então, que os números da sequência 30, 60, 90 e 120 são inversamente proporcionais aos números da sequência 12, 6, 4 e 3.

Veja alguns problemas. Problema 1 inco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. A quantidade de máquinas é direC tamente ou inversamente proporcional ao número de dias? De acordo com as informações, podemos supor que: • o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na metade do tempo, isto é, em 18 dias; • o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na terça parte do tempo, isto é, em 12 dias. Então, concluímos que as grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente proporcionais. Problema 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Os números não nulos x, y e z são inversamente proporcionais aos números não nulos a, b e c quando: z x y __      5     x 3 a 5 y 3 b 5 z 3 c ou __      5 __ 1 1 1 __     __     __     b a c

eterminar x e y, de modo que a sequência de números 4, x e 8 seja inversamente proporD cional à sequência de números 20, 16 e y. 4

20 16 y ara que as duas sequências sejam inversamente proporcionais, os produtos dos números P correspondentes devem ser iguais, isto é: 4 3 20 5 x 3 16 5 8 3 y Assim:

8 3 y 5 4 3 20 x 3 16 5 4 3 20 8y 5 80 16x 5 80 8y 80 80 16x ___ 5  ___        5  ___     ____   16 8 16 8 x55 y 5 10 Portanto, para que as duas sequências sejam inversamente proporcionais, devemos ter x 5 5 e y 5 10. 204

CAPÍTULO 7 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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Problema 3 Dividir o número 104 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. 1o modo

2o modo

epresentamos os números procurados R por x, y e z.

Temos o sistema: x 1 y 1 z 5 104

omo as sequências x, y, z e 2, 3, 4 C devem ser inversamente proporcionais, temos o seguinte sistema:

x y z  __   5  __   5  __   5 r 1 1 1 __ __           __      4 2 3

x 1 y 1 z 5 104 x y z __      5  __   5  __   1 1 1 __ __           __    

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

plicando a propriedade das proporções, A obtemos: x y z __      5  __   5  __   5 1 1 1 __ __           __      4 2 3 x 1 y 1 z 104 5    5  _____   5 __________     1 __ 1 13 1 __ __ ___      1      1           2 3 4 12

Assim, obtemos as seguintes proporções:

z r __      5  __    1 1 __      4

plicando a propriedade fundamental das A proporções obtemos: r y 5 __       3

r x 5  __    2

r z 5 __       4

Substituindo esses valores em x 1 y 1 z 5 5 104, vamos calcular o valor de r. x 1 y 1 z 5 104 r r r  __    1  __    1  __    5 104 4 2 3 3r 6r 4r  ___    1  ___    1  ___   5 104 12 12 12

12 5 104 3  ___   5 96 13

104 13r ____         5  ____

Assim:

1 x • __      5 96 ] x 5 96 3  __   5 48 2 1 __      2 y 1 •  __   5 96 ] y 5 96 3  __   5 32 3 1 __      3

y r  __   5 __       1 1 __      3

r x __            5 __ 1 1 __    

13r 5 12 3 104 1.248 13r ____           5  ______ 13

r 5 96 Com o valor de r encontrado, calculamos os valores de x, y e z.

z 1 •  __   5 96 ] z 5 96 3  __   5 24 4 1 __      4

r x 5  __    2

r y 5  __    3

r z 5  __    4

Logo, os números procurados são 48, 32 e 24.

96 x 5  ___   2

96 y 5  ___   3

96 z 5  ___   4

x 5 48

y 5 32

z 5 24

ogo, os números procurados são 48, 32 L e 24. CAPÍTULO 7 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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205

11/08/11 09:46

Exercícios PROPOSTOS

14 Para encher uma caixa-d’água, usam-se três torneiras iguais. Estando apenas uma torneira aberta, ela enche a caixa-d’água em 8 horas. a) Em quantas horas duas torneiras abertas encheriam a caixa-d’água? b) Em quantos minutos as três torneiras abertas encheriam a caixa-d’água? c) Quantas torneiras iguais a essa seriam necessárias para encher a caixa-d’água em 1 hora? 15 Luciana guardou em uma caixa todas as suas bijuterias, em um total de 94 peças. Sabendo que a quantidade de pulseiras, a de colares e a de anéis que Luciana possui é inversamente proporcional aos números 3, 4 e 5, respectivamente, determine quantas bijuterias de cada tipo há nessa caixa.

17 Quais dos seguintes quadros não apresentam sequências de números inversamente proporcionais? a)

2,5

18 A tabela a seguir refere-se ao número de máquinas (iguais) e ao tempo necessário para a produção de 36 litros de sorvete.

Número de máquinas

Tempo (em minutos)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

13 Cinco iogurteiras iguais produzem certa quantidade de iogurte em 28 dias. Nessas condições, responda às questões. a) O dobro do número de iogurteiras produz essa mesma quantidade de iogurte em quantos dias? b) O quádruplo do número de iogurteiras realiza esse mesmo trabalho em quan tos dias? c) As grandezas quantidade de iogurteiras e tempo são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais?

a) Determine os valores de a, b e c. b) Com apenas uma máquina, em quanto tempo seriam produzidos 108 litros de sorvete? c) Para produzir 72 litros de sorvete em 30 minutos, seriam necessárias quantas máquinas? 16 Determine o valor das letras do quadro abaixo de modo que as sequências sejam inversamente proporcionais.

206

CAPÍTULO 7

2,5

19 Divida o número 132: a) em três partes iguais; b) em partes diretamente proporcionais a 2, 4 e 6; c) em partes inversamente proporcionais a 2, 4 e 6.

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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11/08/11 08:33

4 Regra de três simples

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos por meio de um processo prático chamado de regra de três simples. Para entender no que consiste tal processo, considere as situações a seguir. Situação 1

Situação 2

Um automóvel percorre 180 km com 15 c de álcool. Vamos calcular quantos litros de álcool esse automóvel gastaria para percorrer 210 km.

Viajando de automóvel, à velocidade média de 60 km/h, Vânia gasta 4 horas para fazer certo percurso. Vamos calcular o tempo gasto para percorrer o mesmo trajeto, se a velocidade média do automóvel fosse 80 km/h.

Essa situação envolve duas grandezas: distânciapercorrida e consumodeálcool. As unidades empregadas para medir tais grandezas são, respectivamente, quilômetros e litros. Indicando por x o número de litros de álcool que serão consumidos, podemos montar a tabela abaixo. Distância percorrida (em km) Consumo de álcool (em c)

180

210

As grandezas distância percorrida e consumo de álcool são diretamente proporcionais, pois, se a distância percorrida aumenta, o consumo de álcool aumenta proporcionalmente. Por exemplo, se a distância dobrar, o consumo de álcool também dobrará. Logo, a razão entre as distâncias é igual à razão entre os consumos correspondentes. Assim: 180 ____ 210

15 ___

5 x

180x 5 15 3 210 3.150 180x _____ 5 ______ 180 180 x 5 17,5

O problema envolve duas grandezas: velocidade média, em quilômetros por hora, e tempo, em horas. Indicando por x o número de horas, podemos montar esta tabela. Velocidade média (em km/h) Tempo (em h)

As grandezas velocidade média e tempo são inversamente proporcionais, pois, ao aumentar a velocidade, o tempo de percurso diminui proporcionalmente. Por exemplo, se a velocidade for duplicada, o tempo de percurso será reduzido à metade; e, se a velocidade for triplicada, o tempo de percurso será reduzido à sua terça parte. Assim, o produto da velocidade média pelo tempo correspondente é sempre o mesmo. Ou seja: 80x 5 60 3 4 Resolvendo essa equação, obtemos o valor de x: 80x 5 240 240 80x ____ 5 ____ 80 80 x53 Portanto, se a velocidade média do automóvel fosse 80 km/h, o tempo gasto seria 3 horas.

Portanto, esse automóvel gastaria 17,5 litros de álcool para percorrer 210 km. CAPÍTULO 7

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GRANDEZAS PROPORCIONAIS

207

11/08/11 08:33

Exercícios PROPOSTOS

21 Uma usina produz 350 litros de álcool com 5 toneladas de cana-de-açúcar. a) Quantos litros ela produzirá com 12.500 kg de cana-de-açúcar? b) Para produzir 8.750 litros de álcool são necessárias quantas toneladas de cana-de-açúcar?

25 Devido a problemas ambientais, foram encontradas 152 toneladas de peixes mortos na lagoa de uma cidade. A prefeitura dessa cidade contratou 45 funcionários de uma empresa de limpeza urbana, que, em 4 dias, retiraram da lagoa todos os peixes mortos. Supondo que a prefeitura tivesse contratado mais 15 funcionários, quantos dias seriam necessários para retirar da lagoa essa mesma quantidade de peixe?

22 Uma padaria produz 400 pães com 10 kg de farinha de trigo. a) Quantos pães ela produzirá com 12,5 kg de farinha de trigo? b) Quantos quilogramas de farinha de trigo são necessários para a produção de 750 pães?

STILLFX/SHUTTERSTOCK

23 Para construir uma roda dentada com determinada máquina, perdem-se 30 gramas de material. Depois de 10 dias utilizando essa mesma máquina, que produz 150 rodas dentadas por dia, quantos quilogramas de material serão perdidos?

24 Um automóvel faz certo percurso em 4,5 horas com velocidade média de 80 km/h. a) Se a velocidade média fosse de 90 km/h, esse mesmo percurso seria feito em quanto tempo? b) Desejando fazer o mesmo percurso em 5 horas, qual deverá ser a velocidade média do automóvel? 208

CAPÍTULO 7

26 Uma torneira fornece 24 litros de água por minuto e enche uma piscina em 45 minutos. a) Duas torneiras iguais a essa encheriam a piscina em quanto tempo? b) Para encher a piscina em 15 minutos, seriam necessárias quantas dessas torneiras?

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

20 Se 9 metros de tecido custam R$ 117,00, então: a) quanto custa 12,5 m desse mesmo tecido? b) quantos metros é possível comprar com R$ 109,20?

27 Em uma cidade, 600 ônibus transportam 120.000 pessoas por dia. Supondo que 200 ônibus sejam retirados de circulação e que cada automóvel leve 4 pessoas por dia, quantos automóveis serão necessários para transportar o total de passageiros que deixam de utilizar esses ônibus?

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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Pense mais um pouco...

Um navio saiu com 250 pessoas (entre passageiros e tripulantes) para uma viagem, carregado com alimentos sufi cientes para 30 dias. Passados 6 dias, o navio parou em um porto. Dez passageiros desistiram de continuar a viagem e desembarcaram nesse porto. Para quantos dias foram sufi cientes os alimentos restantes?

5 Regra de três composta

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é chamado de regra de três composta. Para entender esse processo, acompanhe as seguintes situações. Situação 1 Uma empresa fornece café da manhã para 80 funcionários. O preço que essa empresa paga para fornecer essa refeição durante 120 dias é R$ 5.000,00. Vamos calcular quanto gastaria para fornecer o mesmo café da manhã para 150 funcionários durante 100 dias.

Chamaremos de x o preço, em reais, desse café da manhã para 150 funcionários durante 100 dias. Número de funcionários

Número de dias

Preço (em reais)

120

5.000

150

100

Fixando o número de dias em 120, vamos trabalhar com as grandezas númerodefuncionários e preço. Determinaremos o preço, em reais, que essa empresa pagaria para fornecer o café da manhã para 150 funcionários durante 120 dias. Indicaremos esse preço por z. Número de funcionários

Número de dias

Preço (em reais)

120

5.000

150

120

CAPÍTULO 7

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GRANDEZAS PROPORCIONAIS

209

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número de funcionários é diretamente proporcional ao preço. Então, podemos escrever O a proporção abaixo e determinar o valor de z. 5.000 80 ____ 5  ______             z

150

80z 5 150 3 5.000 750.000 80z ____ 5  ________           80

z 5 9.375 ssim, a empresa pagaria R$ 9.375,00 para o café da manhã de 150 funcionários em A 120 dias.

Número de funcionários

Número de dias

Preço (em reais)

150

120

9.375

150

100

número de dias é diretamente proporcional ao preço. Então, podemos escrever a proO porção abaixo e determinar o valor de x. 120 9.375  ____    5  ______       x 100 120x 5 100 3 9.375 937.500 120x _____    5  ________        120

120

x 5 7.812,5

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

gora, fixando o número de funcionários em 150, vamos trabalhar com as grandezas número A de dias e preço. Encontraremos, então, o valor de x, que é o preço do café da manhã para 150 funcionários durante 100 dias.

ortanto, para fornecer o café da manhã para 150 funcionários durante 100 dias essa P empresa gastaria R$ 7.812,50. Repare que a grandeza preço é diretamente proporcional à grandeza número de dias e à grandeza número de funcionários. ssa constatação nos leva a outra forma de resolução desse problema, aplicando a seguinte E propriedade: Se uma grandeza é proporcional a outras grandezas, então ela é proporcional ao produto dessas outras grandezas. Observe a tabela abaixo, com os dados iniciais da situação.

210

Número de funcionários

Número de dias

Preço (em reais)

120

5.000

150

100

CAPÍTULO 7 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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Vamos resolver essa situação aplicando a propriedade apresentada. razão entre os números de funcionários

80 120 5 ____ 3 ____ x 150 100

5.000 ______ razão entre os preços

razão entre os números de dias

9.600 5 _______ x 15.000

5.000 ______

9.600x 5 5.000 3 15.000 5.000 3 15.000 5 ______________ 9.600 9.600

9.600x _______

x 5 7.812,5

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Situação 2 Em uma indústria, 5 máquinas iguais produzem 600 peças em 5 dias. Vamos calcular quantas dessas máquinas produziriam 720 peças em 3 dias.

1o modo Chamaremos de x o número de máquinas que produziriam 720 peças em 3 dias. Número de máquinas

Número de peças

Número de dias

600

720

Fixando o número de dias em 5, vamos trabalhar com as grandezas númerodemáquinas e númerodepeças. Determinaremos o número de máquinas que produziriam 720 peças em 5 dias. Indicaremos esse número de máquinas por z. Número de máquinas

Número de peças

Número de dias

600

720

CAPÍTULO 7

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GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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número de máquinas é diretamente proporcional ao número de peças. Então, podemos O escrever a proporção abaixo e determinar o valor de z. 5 600  __  5  ____    z 720 600z 5 5 3 720 3.600 600z 5  ______    _____   600 600 z56 Assim, 6 máquinas produziriam 720 peças em 5 dias.

Número de máquinas

Número de peças

Número de dias

720

número de máquinas é inversamente proporcional ao número de dias. Então, a razão entre O os números de máquinas é igual ao inverso da razão entre os números de dias. 6 3  __  5  __   x 5 3x 5 30 30 3x  ___  5     ___   3 3 x 5 10 Portanto, 10 máquinas produziriam 720 peças em 3 dias. 2o modo Agora, vamos resolver essa situação aplicando a propriedade dada. Número de máquinas

Número de peças

Número de dias

600

720

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Fixando o número de peças em 720, vamos trabalhar com as grandezas número de máquinas e número de dias. Encontraremos, então, o valor de x, que é o número de máquinas que produziriam 720 peças em 3 dias.

s grandezas número de máquinas e número de peças são diretamente proporcionais. No A entanto, as grandezas número de máquinas e número de dias são inversamente proporcionais. Assim, temos: razão entre os números de peças 3 600 __ 5 __   3          5  ____  x

720

razão entre os números de máquinas

razão inversa entre os números de dias

1.800 5 __         5 ______

3.600 x 1.800x 5 5 3 3.600 18.000 1.800x _______ _______    5        1.800 1.800 x 5 10 212

CAPÍTULO 7 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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Exercícios PROPOSTOS 28 Em um restaurante, 150 fregueses consomem 3.000 esfi has em 5 dias. Calcule quantas esfi has 200 fregueses vão consumir em 30 dias, admitindo que todos esses fregueses tenham hábitos iguais.

33 Um grupo de 9 amigos foi acampar e levou alimento sufi ciente para 6 dias, calculando fazer 4 refeições diárias. Se chegassem mais 3 amigos e se o grupo fi zesse 3 refeições diárias, a mesma quantidade de alimento seria sufi ciente para quanto tempo?

30 Uma gráfi ca tem 5 máquinas iguais que imprimem 36.000 panﬂ etos em 2 horas. Se 2 dessas máquinas não estivessem funcionando, em quanto tempo as restantes fariam 27.000 exemplares do mesmo panﬂ eto?

32 Toda semana, os veículos de uma empresa transportam uma carga composta de pequenos volumes para o aeroporto da cidade. Três vans iguais precisam fazer, cada uma delas, 2 viagens por dia, durante 4 dias, para que esse trabalho seja realizado. Recentemente essa empresa adquiriu mais uma van igual às outras três para auxiliar nesse serviço. Saben-

34 Se 4 tratores iguais realizam um serviço em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia, em quantos dias esse serviço seria realizado com 2 tratores, trabalhando 10 horas por dia?

35 Em 4 horas, 9 rapazes colhem uma quantidade de mexericas que enche 360 caixas. Quantos rapazes, de mesma produtividade, colhem a quantidade necessária para encher 510 caixas em 3 horas?

VALZAN/SHUTTERSTOCK

31 Andando a pé, 8 horas por dia, um rapaz conseguiu, em 10 dias, percorrer a distância de 320 km. Quantos quilômetros esse rapaz poderia percorrer, em 8 dias, se conservasse a mesma velocidade, andando 12 horas por dia? M.BRODIE/ALAMY/OTHER IMAGES

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

29 Em uma fábrica de vassouras, 4 operários, de mesma produtividade, produzem 80 vassouras em 2 dias. Em quantos dias 3 desses operários fabricam 150 vassouras nessa fábrica?

do que, atualmente, cada uma das vans faz 3 viagens por dia, em quantos dias elas realizam todo o transporte?

36 Uma empresa foi contratada para fornecer refeições a 72 funcionários, durante 60 dias, por R$ 13.824,00. Vinte dias depois, foram contratados mais 8 funcionários. Qual será o valor cobrado pela refeição desses novos funcionários nos 40 dias restantes? CAPÍTULO 7

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GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Construindo gráficos de barras e de colunas

A POBREZA NO MUNDO

Fred observou o infográfico ao lado e resolveu fazer um gráfico de barras para comparar a população pobre dos países em destaque. Ele usou os dados em porcentagem. Para o gráfico não ficar muito grande, Fred estabeleceu 5 cm de comprimento para a barra correspondente à maior porcentagem (Quênia – 47%). A seguir, ele calculou o comprimento das outras barras por meio da regra de três. Observe dois cálculos que ele fez: País

Porcentagem (%) Comprimento da barra

Quênia

5 cm

Paquistão

x cm

47 ___ 32

5 5 __ x ] 47x 5 160 ]

País

160 x 5 ____ 7 3,4 47

Porcentagem (%) Comprimento da barra

Quênia

5 cm

Etiópia

x cm

47 ___ 40

Em 2005, o mundo tinha cerca de 1,4 bilhão de pessoas consideradas extremamente pobres. Veja neste mapa a situação de alguns países nesse ano.

5 __

5 x

] 47x 5 200 ]

200 ____ 47

7 4,3

Assim, as barras referentes ao Paquistão e à Etiópia ficaram com 3,4 cm e 4,3 cm, respectivamente.

Atividades

BRASIL 183 mi habitantes 15 mi de pobres 8% da população Um quarto dos brasileiros sobrevivia com até US 1,25 por dia em 1990. O país melhorou muito desde então, mas ainda tem a oitava população mundial de miseráveis.

1 Calcule o comprimento das barras referentes aos outros países destacados no infográfico e faça o mesmo gráfico que Fred fez.

2 Agora, elabore um gráfico de colunas comparando a população pobre, em milhões, desses países. (Sugestão: deixe a coluna maior com 10 cm de altura.)

População pobre ≥ 50%

9,9% – 2%

49,9% – 25%

< 2%

24,9% – 10%

sem dados

3 Comparando os países destacados no infográfico,

responda: O país com a maior porcentagem de pobres é o país que tem o maior número de pessoas pobres? • Escreva uma explicação para isso.

214

CAPÍTULO 7

Dados obtidos em: www.data.worldbank.org/ indicator/SI.POV.DDAY/countries; hdr.undp.org/en/media/HDI_2008_EN_Tables.pdf Acesso em: 25 jul. 2011.

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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PAQUISTÃO 162 mi habitantes

BANGLADESH 144 mi habitantes

52 mi de pobres 32% da população

58 mi de pobres 40% da população

CHINA 1306 mi habitantes 208 mi de pobres 16% da população País que mais reduziu a miséria nos últimos anos. Em 1990, a pobreza extrema atingia 683 milhões de pessoas, cerca de 60% dos chineses.

ETIÓPIA 73 mi habitantes 29 mi de pobres 40% da população

ÍNDIA 1085 mi habitantes

INDONÉSIA 242 mi habitantes

456 mi de pobres 42% da população

41 mi de pobres 17% da população

Com a segunda maior concentração humana do mundo e uma taxa de pobreza muito alta, a Índia tem o maior número de pessoas extremamente pobres.

QUÊNIA 34 mi habitantes 16 mi de pobres 47% da população Mais de 80% dos habitantes da Tanzânia e da Suazilândia são extremamente pobres, mas, como suas populações totais são pequenas em relação ao resto do mundo, esses e outros países com enormes taxas de pobreza não aparecem entre os que têm mais miseráveis.

População pobre, por região, em milhões de pessoas Europa e 17 Ásia Central

Linha de pobreza extrema internacional Uma forma simplificada de estimar quantos pobres existem no mundo é contar o número de pessoas que vivem com renda menor que US 1,25 por dia (dólar norte-americano). Em 2005, isso valia cerca de R 1,96/dia no Brasil.

Oriente Médio e Norte da África 11

45 América Latina e Caribe

316

388 África Subsaariana

596 Sudeste Asiático

CAPÍTULO 7

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Extremo Oriente e Pacífico

De cada 10 miseráveis do mundo, 7 vivem no sudeste da Ásia ou na África.

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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Exercícios COMPLEMENTARES

39 Marta, Beatriz e Bruna formaram uma sociedade e abriram uma empresa. Elas combinaram que o lucro obtido nessa empresa seria dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada uma delas dispôs para formar essa sociedade. As quantias empregadas por Marta, Beatriz e Bruna foram, nessa ordem, R$ 150.000,00, R$ 100.000,00 e R$ 80.000,00. Após 3 meses, a empresa obteve um lucro de R$ 16.500,00. Que parte do lucro coube a cada uma das sócias? 40 Sabendo que 1.200 frangos consomem 90 kg de ração por dia, quantos quilogramas de ração 2.000 frangos consumirão por dia?

Valor nutricional médio para cada porção de 30 g Cálcio

3,8 mg

Ferro

0,26 g

a) Quantos gramas de ferro há em 165 gramas dessa geleia? b) Para ingerir 9,5 mg de cálcio, é necessário comer quantos gramas dessa geleia? 44 Júlio contratou 2 trabalhadores para o plantio de feijão. Eles prometeram realizar o serviço em 30 dias. Júlio resolveu, então, contratar mais 1 trabalhador. Se todos eles tiverem a mesma capacidade de trabalho, espera-se que a tarefa esteja pronta em quantos dias?

45 Uma máquina produz 75 litros de sorvete em 30 minutos. Quantos litros de sorvete seriam produzidos em 2 horas por essa máquina?

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

38 Marcelo repartiu entre seus fi lhos Rafael (15 anos) e Matheus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente proporcionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael?

43 Uma embalagem de geleia traz, entre outras, as seguintes informações:

PETER POLAK/SHUTTERSTOCK

37 Divida o número 75: a) em quatro partes iguais; b) em quatro partes diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e 6; c) em quatro partes inversamente proporcionais a 2, 3, 4 e 6.

46 A reciclagem de 1 latinha de alumínio economiza energia sufi ciente para manter um televisor ligado por 3 horas. Quantas lati nhas reci cladas são necessárias para manter um televisor ligado por um dia inteiro? 41 Com a produção de 867 kg de laranjas, um agricultor pode comprar 0,289 tonelada de adubo. Quantos quilogramas de adubo poderiam ser comprados com 1.500 kg de laranjas? 42 Em uma exposição de equipamentos foi apresentada uma máquina que, segundo o fabricante, varre, lava e enxuga uma área de 5.100 m2 em 6 horas. Nas mesmas condições, em quantas horas a máquina executará a mesma operação em uma área de 11.900 m2? 216

CAPÍTULO 7

47 Trabalhando 8 horas por dia, 3 pedreiros construíram a metade de um muro em 15 dias. Como 1 pedreiro saiu da equipe, os outros trabalharam 9 horas por dia para terminar o serviço. No total, o muro foi construído em quanto tempo? 48 Uma editora consumiu 6.510 kg de papel para produzir 5.000 livros de 280 páginas cada um. Se cada livro fosse reduzido a 240 páginas, quantos quilogramas de papel seriam consumidos na produção de 4.000 desses livros?

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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TESTES 49 O quadro abaixo apresenta sequências de números diretamente proporcionais. 15

Então, a e b valem, respectivamente: a) 12 e 20 c) 25 e 12 b) 12 e 25 d) 20 e 12

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

50 O quadro abaixo apresenta sequências de números inversamente proporcionais. 40

Então, x 1 y é igual a: a) 63

b) 21

63 c) ___ 40

d) 28

51 Os números 3, 9 e a são diretamente proporcionais aos números 4, b e 16. Então, podemos afi rmar que: a) a , b b) a 5 b

c) a . b d) a 5 b 2 4

52 Os números da sequência 2,5; 12; 15,6 e x são diretamente proporcionais aos números da sequência 3,5; y; z e 28. Então: a) y 1 z 5 38,64 b) x 1 y 5 41,84 c) x 1 z 5 49,84 d) x 1 y 1 z 5 66,64

d) 5 gatos. e) 6 gatos.

54 (Uece) Em uma Olimpíada, um país conquistou medalhas de ouro, prata e bronze, totalizando 40 medalhas. Se as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze são proporcionais, respectivamente, a 2, 3 e 5, o número de medalhas de ouro conquistadas foi: a) 5 b) 8

56 (Unifor-CE) Dividindo-se o número 204 em partes diretamente proporcionais aos números 4 1 e __ , a menor das partes será: 4 a) 8 c) 34 e) 68 b) 12 d) 48 57 (UFRGS) Uma empresa com 2 sócios, após 2 meses de operação, apurou um lucro de R$ 252.000,00. Assinale o lucro do sócio que entrou com R$ 760.000,00, sabendo que o outro participou com R$ 500.000,00 iniciais e que o lucro de cada sócio é diretamente proporcional ao capital empregado. a) R$ 144.000,00 b) R$ 152.000,00 c) R$ 160.000,00 d) R$ 168.000,00 e) R$ 180.000,00

58 Uma rede de televisão fez uma pesquisa entre

53 (Unimep-SP) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários: a) 4 gatos. b) 3 gatos. c) 2 gatos.

55 (UFU-MG) As idades de um pai e seus dois fi lhos são diretamente proporcionais aos números 27, 14 e 11, respectivamente. Se a soma de suas idades é 104 anos, então, as idades de cada um deles, na mesma ordem, são: a) 54 anos, 28 anos e 22 anos. b) 50 anos, 28 anos e 26 anos. c) 56 anos, 26 anos e 22 anos. d) 59 anos, 23 anos e 22 anos. e) 55 anos, 27 anos e 22 anos.

c) 10 d) 12

os habitantes de uma cidade cuja população é de 21.000 pessoas. Foram entrevistadas 7.500 pessoas e descobriu-se que 3.000 delas assistem aos programas dessa rede. Supondo que os resultados da pesquisa sejam proporcionais aos que seriam obtidos se fossem entrevistados todos os moradores, quantas pessoas dessa cidade assistem aos programas dessa rede de televisão? a) 6.400 c) 8.400 e) 10.400 b) 7.400 d) 9.400

59 (PUC-MG) O perímetro de um triângulo é

60 cm. As medidas dos lados são diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 5. Então, o menor lado do triângulo mede: a) 12 cm c) 15 cm e) 22 cm b) 13 cm d) 18 cm CAPÍTULO 7

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GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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11/08/11 08:33

minutos, completa determinado percurso em um jogo de corrida de videogame. Sabendo que nesse jogo o número de pontos é inversamente proporcional ao tempo gasto para completar um percurso, calcule quantos pontos esse garoto conseguirá marcar ao percorrer o mesmo trajeto em 7 minutos. a) 800 b) 500 c) 400 d) 600

61 Se 5 torneiras enchem um tanque em 450 minutos, 9 torneiras iguais a essas encheriam esse tanque em: a) 900 minutos. c) 500 minutos. b) 810 minutos. d) 250 minutos.

62 Na construção de um muro de 12 m foram utilizados 2.160 tijolos. Para construir um muro de 30 m, nas mesmas condições do anterior, serão necessários: a) 864 tijolos. c) 2.700 tijolos. b) 5.400 tijolos. d) 2.592 tijolos.

63 A cada mês, para que seja preservada uma

área de ﬂ oresta equivalente a 18 campos de futebol, 1.000.000 de pessoas deveriam usar o verso do papel. Para que a área preservada fosse equivalente a 1 campo de futebol, quantas pessoas, aproximadamente, deveriam usar o verso do papel? a) 50.000 c) 55.556 b) 32.570 d) 43.272

64 (Fuvest-SP) Um nadador, disputando a pro-

va de 400 metros, nado livre, completou os primeiros 300 metros em 3 minutos e 51 segundos. Se esse nadador mantiver a mesma velocidade média nos últimos 100 metros, completará a prova em: a) 4 minutos e 51 segundos. b) 5 minutos e 8 segundos. c) 5 minutos e 28 segundos. d) 5 minutos e 49 segundos. e) 6 minutos e 3 segundos.

65 (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas sufi cientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria sufi ciente para um número de dias igual a: a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

66 (Unifor-CE) Se 6 impressoras iguais produzem 1.000 panﬂ etos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2.000 desses panﬂ etos? a) 1 hora e 50 minutos. b) 2 horas. c) 2 horas e 30 minutos. d) 2 horas e 40 minutos. e) 3 horas.

67 Em 3 dias, 4 máquinas iguais produzem 600 peças. Para produzir 750 peças em 5 dias, serão necessárias: a) 8 máquinas. b) 5 máquinas. c) 2 máquinas. d) 3 máquinas.

68 (Unifor-CE) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Nas novas condições, o número de páginas ocupadas pelo texto será: a) 24 b) 21 c) 18 d) 12 e) 9

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

60 Um garoto marca 700 pontos quando, em 6

69 (UFRGS) Se foram empregados 4 kg de fi os para tecer 14 m de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de fazenda com 120 cm de largura? a) 130 b) 150 c) 160 d) 180 e) 250

218

CAPÍTULO 7

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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CELSO PUPO/SHUTTERSTOCK

Diversifica ndo Matemática na culinária Márcio convidou alguns colegas da escola para lancharem em sua casa. Para fazer um bolo de milho igual ao de sua mãe, consultou o caderno de receitas dela.

Bolo de milho

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• ½ kg de fubá • ¼ kg de manteiga • 3 xícaras de açúcar • 0,2 c de leite de coco • 0,2 c de leite • 4 ovos • 1 colher de fermento

Percebeu, então, que só tinha metade da manteiga indicada na receita. Sua mãe disse para ele não se preocupar, pois o bolo daria certo se, para todos os outros ingredientes, ele também usasse metade das quantidades indicadas.

Agora é com você!

1 Reescreva a receita do bolo indicando a quantidade de cada ingrediente que Márcio vai usar. 2 Com a receita original, é possível servir 10 pessoas. Quantas pessoas Márcio servirá com o bolo que vai fazer? 3 Suponha que, ao todo, fossem 20 pessoas para lanchar. Como deveria ser a receita do bolo de milho em relação à receita original? 4 (OBM) Para fazer 12 bolinhos, preciso exatamente de 100 g de açúcar, 50 g de manteiga, meio litro de leite e 400 g de farinha. A maior quantidade desses bolinhos que serei capaz de fazer com 500 g de açúcar, 300 g de manteiga, 4 litros de leite e 5 quilogramas de farinha é: a) 48 b) 60 c) 72 d) 54 e) 42

CAPÍTULO 7

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GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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Matemática BIANCHINI

8 7a edição

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Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Cintia Alessandra Valle Burkert Machado, Débora Regina Yogui, Fabio Martins de Leonardo, Fernando Savoia Gonzalez, Kátia Takahashi, Marilu Maranho Tasseto, William Raphael Silva Assistência editorial: Daniela Santo Ambrosio, Leandro Baptista, Maria Cecília Bittencourt Mastrorosa, Maria Cristina Santos Sampaio, Roberto Henrique Lopes da Silva Preparação de texto: Cibely Aguiar de Souza Sala Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma Projeto gráfico: Aurélio Camilo Capa: Aurélio Camilo Foto de capa: Michel Porro/AFP Photo Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva Edição de infografia: Willian H. Taciro, Débora Yogui, Daniela Máximo, Luciano Baneza Gabarron Editoração eletrônica: Grapho Editoração Ilustrações: André Toma, André Vazzios, Guilherme Luciano, José Luís Juhas Cartografia: Alessandro Passos da Costa Coordenação de revisão: Elaine C. del Nero Revisão: Afonso N. Lopes, Luís M. Boa Nova, Maristela S. Carrasco, Millyane M. Moura, Nancy H. Dias, Viviane T. Mendes Pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron, Maria Magalhães As imagens identificadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informação e Documentação da Editora Moderna. Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Bureau São Paulo, Fabio N. Precendo, Rubens M. Rodrigues Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira Silva, Helio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento:

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

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CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 ISBN 978-85-16-07091-5 (LA) ISBN 978-85-16-07092-2 (LP) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2790-1500 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2011 Impresso no Brasil 1 3

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Apresentação

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Leia com atenção as explicações teóricas, para acompanhar as aulas e resolver os exercícios. Faça deste livro um parceiro em sua vida escolar!

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O autor

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Conheça seu livro A estrutura de cada capítulo é muito simples, pois permite encontrar com facilidade os assuntos fundamentais, os exemplos, as séries de exercícios e as seções enriquecedoras.

Página de conteúdo

Página de abertura Cada capítulo é introduzido por uma imagem motivadora e questões do Matemática no mundo, que abordam o assunto do capítulo.

Exercícios O livro apresenta uma variedade de exercícios (de aplicação, de exploração, de sistematização, de aprofundamento), organizados segundo o grau de dificuldade.

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Contém a teoria explicada com linguagem clara e objetiva, apoiada por exemplos e ilustrações cuidadosamente elaborados para ajudar o entendimento da teoria.

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Tratamento da informação

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Esta seção trabalha temas de Tratamento da informação e Estatística, por meio de textos teóricos e atividades variadas.

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Sumário 1

Números reais

1. O caminho que fizemos com os números Os números naturais Os números inteiros Os números racionais Da forma decimal para a forma de fração

2. Números quadrados perfeitos

3. Raiz quadrada de números racionais Cálculo da raiz quadrada pela decomposição em fatores primos Raiz quadrada com aproximação natural Raiz quadrada com aproximação decimal

4. Os números irracionais e os números reais O número irracional s

5. A reta real O teorema de Pitágoras e a reta real

13 14 15 18

24 26 26 30 32

Tratamento da informação Construindo e interpretando um gráfico de linha

Diversificando 38

Jogo: Enfileirando

CAPÍTULO

Cálculo algébrico

1. A incógnita e a variável

2. Expressões algébricas Classificação das expressões algébricas Valor numérico de uma expressão algébrica

3. Os monômios Grau de um monômio Monômios semelhantes

4. Operações com monômios Adição algébrica de monômios Multiplicação e divisão de monômios Potenciação de monômios Raiz quadrada de um monômio

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CAPÍTULO

41 43 47 47 49 51 53 54

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5. Os polinômios Grau de um polinômio Polinômios com uma só variável

6. Operações com polinômios Adição de polinômios Subtração de polinômios Multiplicação entre polinômio e monômio Multiplicação entre dois polinômios Divisão de polinômio por monômio Divisão de polinômio por polinômio

CAPÍTULO

58 58 59 61 63 64 66 67

Produtos notáveis e fatoração

1. Os produtos notáveis Quadrado da soma de dois termos Quadrado da diferença de dois termos Produto da soma pela diferença de dois termos Cubo da soma e da diferença de dois termos

2. Fatoração de polinômios Fatoração colocando em evidência os fatores comuns Fatoração por agrupamento Fatoração da diferença de dois quadrados Fatoração do trinômio quadrado perfeito Fatoração da diferença e da soma de dois cubos

CAPÍTULO

74 77 79 81 84 86 87 90 92

Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

1. O conceito de fração algébrica

2. Simplificação de frações algébricas

3. Operações com frações algébricas Redução a um denominador comum Adição algébrica Multiplicação Divisão Potenciação

101

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101 102 104 105 106

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Sumário

4. Equações fracionárias Conjunto universo de uma equação fracionária Resolução de equações fracionárias

108

5. Equações literais

113

109 110

Tratamento da informação Calculando probabilidades

115

Diversificando

CAPÍTULO

Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

1. Resolução de sistemas O método da substituição O método da adição

121

2. Sistemas de equações fracionárias

125

3. Plano cartesiano

127

4. Solução gráfica de um sistema de equações do 1o grau

130

5. Classificação de um sistema Sistema determinado Sistema impossível Sistema indeterminado

134

CAPÍTULO

121 123

134 135 136

Retas e ângulos

1. As retas e os ângulos

142

2. Posição das retas Construindo retas paralelas com régua e compasso

143

3. Partes da reta Construindo segmentos congruentes com régua e compasso Determinando o ponto médio de um segmento com régua e compasso

145

4. Ângulos Bissetriz de um ângulo Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes Ângulos complementares e ângulos suplementares Ângulos opostos pelo vértice

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119

Onde está o erro?

144 147 148 150 153 153 155

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5. Retas perpendiculares Construindo perpendiculares com régua e esquadro

156

6. Ângulos formados por duas retas e uma transversal Ângulos correspondentes Ângulos alternos internos e ângulos alternos externos Ângulos colaterais internos e ângulos colaterais externos

158

157 158 161 165

Tratamento da informação Construindo um gráfico de setores

169

Diversificando

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Girando no parque CAPÍTULO

174

Polígonos

1. Os polígonos Elementos de um polígono

176

2. Número de diagonais de um polígono

178

3. Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono

179

4. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono

180

5. Polígonos regulares

182

6. Congruência de polígonos Elementos correspondentes em polígonos congruentes Transformações geométricas que geram figuras congruentes

185

177

185 186

Diversificando O RPG e os poliedros de Platão

CAPÍTULO

192

Triângulos

1. Os triângulos

194

2. Principais elementos de um triângulo

195

3. Classificação de triângulos Classificação quanto às medidas dos lados Classificação quanto às medidas dos ângulos

196

4. Construção de triângulos

197

196 197

Triângulo isósceles

197

Triângulo equilátero

198

Triângulo escaleno

198

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21/07/11 11:05

Sumário

5. Condição de existência de um triângulo

200

6. Outros elementos de um triângulo Mediana Bissetriz Altura

202

7. Congruência de triângulos Casos de congruência de triângulos

206

8. Propriedades que relacionam os ângulos de um triângulo

214

9. Demonstrações geométricas Noções primitivas e postulados Teoremas A congruência de triângulos nas demonstrações geométricas

218

10. Propriedades de um triângulo isósceles

225

11. Propriedade que relaciona os lados com os ângulos de um triângulo

227

202 203 203 208

219 220

Tratamento da informação Construindo um pictograma

229

Diversificando Fractais

CAPÍTULO

234

Quadriláteros

1. Os quadriláteros e seus principais elementos Ângulos de um quadrilátero

237

2. Paralelogramos Propriedades dos paralelogramos Propriedade dos retângulos Propriedade dos losangos Propriedade dos quadrados

239

3. Trapézios Propriedades dos trapézios isósceles

245

4. Propriedades da base média Propriedade da base média do triângulo Propriedade da base média do trapézio

249

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

220

238 240 243 243 244 246 249 250

Tratamento da informação Interpretando um infográfico

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252

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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

CAPÍTULO

10 Circunferência e círculo

1. A circunferência e seus elementos

258

2. O círculo

260

3. Posições relativas Posições relativas de um ponto em relação a uma circunferência Posições relativas de uma reta em relação a uma circunferência Posições relativas de duas circunferências

260

4. Segmentos tangentes a uma circunferência Triângulo circunscrito Quadrilátero circunscrito

267

5. Arcos e ângulos em uma circunferência Arco de circunferência Ângulo central Ângulo inscrito Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência

271

260 261 264 268 269 271 271 273 275

Diversificando Matemática na Arqueologia

280

Respostas

281

Lista de siglas

290

Sugestões de leitura para o aluno

292

Bibliografia

293

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21/07/11 11:05

Quadriláteros LUIZ SACILOTTO/VALTER SACILOTTO

CAPÍTULO

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Matemática no mundo Luiz Sacilotto (1924-2003), nascido em Santo André (SP), foi um dos pioneiros na arte concreta no Brasil, usando formas geométricas em suas produções artísticas, como na obra ao lado.

Agora, responda. • Quais quadriláteros que têm um nome especial você conhece?

Luiz Sacilotto, PinturaI, óleo sobre tela, 68 # 50 cm, 1950.

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1 Os quadriláteros e seus principais elementos Quadriláteros são polígonos de quatro lados. Considere o quadrilátero abaixo.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Nele destacamos: • os vértices A, B, C e D; ___ ___ ___

A B

___

• os lados AB , BC , CD e DA ; ___

___

• as diagonais ACe BD . Dois lados não consecutivos de um denominam-se lados opostos. Na figura, ___ ___ ___ ___quadrilátero temos dois pares de lados opostos: AB e CD , BC e AD .

Exercícios PROPOSTOS 1 Observe o quadrilátero e determine: A

b) as diagonais; ___ c) o lado oposto ao___ segmento AD ; d) o lado oposto a DC.

2 Um quadrilátero tem dois lados medindo B

a) os vértices;

2 cm e 3 cm. Sabendo que os outros dois lados têm a mesma medida e que o perímetro desse quadrilátero é 17 cm, determine a medida dos lados congruentes.

Pense mais um pouco...

Desenhe um quadrilátero qualquer em uma folha de papel. Marque cada ângulo interno desse quadrilátero com cores diferentes. Recorte o quadrilátero separando os quatro ângulos internos. Reúna os ângulos internos em torno de um dos vértices do quadrilátero, justapondo seus lados, de modo a obter um único ângulo, que é a soma dos quatro ângulos internos. Quanto vale essa soma?

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Ângulos de um quadrilátero

Considere o quadrilátero ao lado.

Nele destacamos: • os ângulos internos A, B, C e D;

• os ângulos consecutivos A e B, B e C, C e D, D e A;

• os ângulos opostos A e C, B e D;

• os ângulos externos e1, e2, e3 e e4.

A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360w, pois: Si 5 (n 2 2) 3 180w 5 (4 2 2) 3 180w 5 2 3 180w 5 360w 110°

A soma das medidas dos ângulos externos de um quadrilátero é 360w.

3 Observe o quadrilátero MNPQ.

b) 80°

y Q

2x + 10°

105°

108°

x 80°

Determine: a) a medida do ângulo N; b) o valor de y.

6 Nos seguintes quadriláteros, determine a meA dida do ângulo A. a) D D D

4 Com o auxílio de régua e transferidor, desenhe

um quadrilátero que tenha: a) dois ângulos internos opostos congruentes de 90w; b) dois ângulos internos opostos congruentes de 90w e quatro lados congruentes; c) dois ângulos internos opostos congruentes de 90w e quatro lados congruentes de 6 cm. Em cada item, quantos quadriláteros com forma diferente e com essas características é possível construir? Justifique.

5 Calcule o valor de x em cada um dos quadriláteros. a)

C C C

CAPÍTULO 9

112° 112° 112° 95° 95° 95°

D D D

x x x A A A x x2 x 2 2

110°

120° 120° 120°D D D

quadriláteros

80° 2x + 10° 236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 238

D D D

A xA x x

A A xA + 60° x + 60° x + 60°

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x − 10°

x 2 x x 2 2

A A xA x x

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exercícios PROPOSTOS

B B B B B 100° B 100° 100° 2x 2x 2x C C C

x x x

B B B 105° 105° C 105° C C

x 2 x x 2 2

B B B 20/07/11 10:10

x 2

B x

120°

105°

8 Em um quadrilátero, os ângulos internos me-

dem respectivamente x, x 1 40w, x 1 80w e 3x. Calcule o valor de x.

x x 2

x 2

9 Em um quadrilátero ABCD, m(A) 5 m(B), m(B) 5 3 3 m(C ) e m(D) 5 2 3 m(C ). Calcule a medida dos ângulos C e A. C

10 Em um quadrilátero ABCD, temos m(A) 5 108w,

7 Três dos ângulos internos de um quadrilátero

m(B) 5 76w e m(C ) 5 92w. Calcule a medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos C e D.

medem respectivamente 104w, 97w e 53w. Calcule a medida do quarto ângulo desse quadrilátero.

Pense mais um pouco...

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Luís brincava com um carrinho de controle remoto na sala de sua casa. Observe os movimentos do carrinho: saiu de um canto da sala (ponto A) e foi em frente até o ponto B. Girou para a esquerda 130w e andou em frente até o ponto C. O carrinho girou novamente para a esquerda 50w e foi em frente até o ponto D. Girou 140w para a esquerda e andou até voltar ao local de onde saiu (ponto A). O percurso do carrinho está representado no esquema abaixo. 50°

140° 130° B

Determine a medida do ângulo destacado em amarelo nesse esquema.

2 Paralelogramos Paralelogramos são quadriláteros que têm os lados opostos paralelos. ___

___

Na figura abaixo, AB  /CD  e AD  /BC  . Logo, o quadrilátero ABCD é um paralelogramo. ___

___

O lado AB é uma base, e o segmento DH  é uma altura do paralelogramo. C

altura

H base

CAPÍTULO 9 quadriláteros

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239

20/07/11 10:10

Entre os paralelogramos, destacam-se os seguintes casos particulares: Retângulos são paralelogramos que têm os quatro ângulos congruentes (retos).

Losangos são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes.

Quadrados são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes (retos).

Observe que: • todo quadrado é um losango.

Propriedades dos paralelogramos 1a propriedade Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

A 2

Hipótese: ABCD é um paralelogramo. ___

AB & CD

Tese: ___ ___ BC & AD

3 B

Demonstração

___

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• todo quadrado é um retângulo;

___

Traçando a diagonal AC , o paralelogramo fica decomposto nos triângulos ABC e CDA. Comparando esses triângulos, temos:

___

• 1 & 4 (ângulos alternos internos formados pelos segmentos paralelos AB  e CD com a ___ diagonal AC  ) ___

___

• AC & AC  (lado comum)

• 3 & 2 (ângulos alternos internos formados pelos segmentos paralelos AD  e BC com a ___ diagonal AC  ) Logo, pelo caso A.L.A. os triângulos ABC e CDA são congruentes. Portanto: ___

___

AB  e BC  & AD    & CD 240

CAPÍTULO 9 quadriláteros

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2a propriedade Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. D

A 2

Hipótese: ABCD é um paralelogramo.

1 4

Tese:

3 B

Demonstração

B&D A&C

___

Traçando a diagonal AC , o paralelogramo fica decomposto nos triângulos ABC e CDA. Comparando os triângulos ABC e CDA, temos que, pelo caso A.L.A., os triângulos ABC e CDA são congruentes. Portanto, B & D. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

___

Se traçarmos a diagonal BD , demonstraremos, do mesmo modo, que A & C.

3a propriedade As diagonais de um paralelogramo se cruzam nos respectivos pontos médios. D

A 4

Hipótese: ABCD é um paralelogramo.

3 B

___ ___ AM    & MC Tese: ___ ___ BM & MD

1 C

Demonstração Comparando os triângulos BMC e DMA, temos:

___

• 1 & 2 (ângulos alternos internos formados pelos segmentos paralelos AD e BC  com a ___ diagonal AC ) ___

___

• AD & BC  (lados opostos de um paralelogramo)

• 3 & 4 (ângulos alternos internos formados pelos segmentos paralelos AD e BC  com a ___ diagonal BD ) Logo, pelo caso A.L.A. os triângulos BMC e DMA são congruentes. Portanto: ___

___

AM & MC  e BM  & MD   OBSERVAÇÃO CC

Um paralelogramo que não é retângulo nem quadrado tem diagonais não congruentes.

CAPÍTULO 9 quadriláteros

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241

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5x − 20° 4x + 10°

Exercícios PROPOSTOS

y 3x

11 Observe os paralelogramos e, considerando

c) y

as propriedades estudadas, determine:

30°

a) MN e NP 4,5 cm 4,5 cm 4,5 cm

O O O

P P P

83° x

2,5 cm 2,5 cm 2,5 cm M M M

15 Determine a medida do ângulo interno A do

N N N

paralelogramo abaixo e depois o construa no seu caderno com as medidas indicadas.

b) x e y

D x x x

y y y

3x − 3° 4,5 cm 4x − 28°

c) RS, RU, MR e RT U U U

M M M

R R R

8 cm 8 cm 8 cm 6 ccm 6 m 6 cm

T T T 5 cm 5 cm 5 cm

S S S

9 cm

16 Em um paralelogramo, um dos ângulos

externos mede 108w. Calcule as medidas dos ângulos internos desse paralelogramo.

17 As medidas de dois ângulos consecutivos de

12 Um dos ângulos agudos de um paralelogramo mede 74w. Calcule a medida de um dos ângulos obtusos desse paralelogramo.

13 Em um losango, um dos ângulos mede 125w. Determine a medida de um dos ângulos agudos desse losango.

um paralelogramo são respectivamente x e 2x 1 18w. Calcule a medida de cada ângulo obtuso desse paralelogramo.

18 No ______ m(B) 5 80w, ______ paralelogramo abaixo, temos C

é bissetriz do ângulo B e AM BM é bissetriz do ângulo A. Calcule a medida do ângulo AMB. C

14 Nos paralelogramos a seguir, calcule as medi-

das x e y. a)

y y

5x 5x − − 20° 20° 4x 4x + + 10° 10°

19 A diferença entre as medidas de dois ângulos

consecutivos de um paralelogramo é 40w. Calcule as medidas dos ângulos internos desse paralelogramo.

medem 4,2 cm e 5,6 cm e formam entre si um ângulo de 110w.

3x 3x

yy CAPÍTULO 9

20 Construa um paralelogramo cujas diagonais

242

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

60° 60° 60°

30° 30°

quadriláteros

83° 83° xx 236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 242

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Propriedade dos retângulos As diagonais de um retângulo são congruentes. D

Hipótese: ABCD é um retângulo. ___

___

Tese: AC  & BD   B

Demonstração Comparando os triângulos ABD e BAC, temos: ___

___

• AD & BC  (lados opostos de um paralelogramo) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• A & B (ângulos retos) ___

___

• AB  & AB  (lado comum)

___

Logo, pelo caso L.A.L. os triângulos ABD e BAC são congruentes. Portanto, AC  & BD  .

Propriedade dos losangos As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos. A 1 2

3 4

Hipótese: ABCD é um losango.

___ ___ AC    t BD

Tese: 1 & 2 3&4

Demonstração Comparando os triângulos AMB e AMD, temos: ___

___

• AB & AD  (lados de um losango)

___

• BM & MD  (M é ponto médio de BD  ) • AM & AM  (lado comum) Logo, pelo caso L.L.L. os triângulos AMB e AMD são congruentes. Portanto: _____

a) 1 & 2, o que prova que AC     é bissetriz do ângulo A;

___

b) M1 & M2, que, por serem suplementares, são retos, o que prova que AC  t BD  . ______



Com raciocínio análogo, prova-se que BD     é bissetriz dos ângulos B e D.

CAPÍTULO 9 quadriláteros

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243

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Propriedade dos quadrados O quadrado é, ao mesmo tempo, um retângulo e um losango; portanto, possui as propriedades desses paralelogramos. As diagonais de um quadrado são congruentes, perpendiculares entre si no ponto médio e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.

Exercícios PROPOSTOS

falsas (F). a) Em todo retângulo, as diagonais são congruentes. b) As diagonais de um losango são perpendiculares entre si. c) As diagonais de um retângulo são perpendiculares entre si. d) As diagonais de um quadrado formam, entre si, ângulos de 90w. e) Os ângulos opostos de um losango são congruentes.

22 Nestes quadrados, calcule o valor de x e de y. a)

y 8 cm

23 Nos quadriláteros abaixo, determine x e y. a)

8 cm

C 6 cm

6 cm A

cm 5 sendo y = BD

sendo y = BD

formando um ângulo de 100w. Determine o menor ângulo que uma dessas diagonais forma com um dos lados.

25 A diagonal de um losango forma, com um dos

lados, um ângulo de 35w. Calcule os ângulos desse losango.

26 As diagonais de um retângulo formam, entre

si, um ângulo de 116w. Calcule a medida do ângulo que cada diagonal forma com o lado oposto ao ângulo de 116w.

27 A medida de cada ângulo agudo de um losango é 80w. Encontre a medida do ângulo formado pela diagonal dos ângulos obtusos com um dos lados.

24 As diagonais de um retângulo cortam-se

28 Construa um quadrado em que as diagonais

meçam 5,6 cm. Com uma régua, determine a medida do lado, em milímetro. Calcule a área desse quadrado, em milímetro quadrado.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

21 Classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou

29 Meu irmão e eu compramos um sítio na forma

de um losango com o lado medindo 500 m. Dividimos o sítio na direção das diagonais: uma medindo 600 m e a outra, 800 m. Dessa forma, o sítio ficou dividido em 4 partes iguais. Quantos metros de arame farpado são necessários para cercar uma dessas partes do terreno com quatro fios de arame?

D x D A

244

CAPÍTULO 9

50°

y x 50° y

quadriláteros

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20/07/11 10:10

30 Cada diagonal de um retângulo mede 5 cm. Elas

33 Considere___ um retângulo ABCD. Seja P um

31 Construa um losango cujas diagonais meçam

34 Observe o paralelogramo AMOR.

se cortam formando um ângulo de 60w. Construa esse retângulo, meça seus lados e determine sua área aproximada em milímetro quadrado.

ponto  . Trace por P uma reta paralela ___ de AB a AD  . ___ Chame de Q o ponto em que essa reta ___ ___ corta CD  . Mostre que PQ  /BC  .

5,4 cm e 3,2 cm. Depois, determine sua área.

b+8

32 No retângulo ___ ABCD, prove que M é ponto

2x – 40°

médio de AC.

2a + 3 3a − 2

x + 40° R M

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2b − 1

a) Determine a medida de todos os ângulos internos desse paralelogramo. b) Calcule o perímetro.

Pense mais um pouco...

A figura ao lado é um retângulo.

Demonstre que a área em azul é igual à área em vermelho.

3 Trapézios Trapézios são quadriláteros que têm apenas dois de seus lados paralelos. D

base menor

altura

B base maior

Os lados paralelos de um trapézio são chamados de bases, e a distância entre as duas bases chama-se altura. No trapézio acima, verifica-se que os___ ângulos ___ A e D, assim como os ângulos B e C, são co  com os lados não paralelos. Logo: laterais internos formados pelas bases AB e CD m(A) 1 m(D) 5 180w m(B ) 1 m(C ) 5 180w CAPÍTULO 9 quadriláteros

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245

20/07/11 10:10

Os trapézios podem ser classificados em isósceles, retângulos e escalenos. • Trapézios isósceles são aqueles em que os lados opostos não paralelos são congruentes. C

• Trapézios escalenos são aqueles em que os lados opostos não paralelos não são congruentes.

• Trapézios retângulos são aqueles que possuem dois ângulos internos retos.

AD 5 BC

AD % BC

Propriedades dos trapézios isósceles

Em um trapézio isósceles, os ângulos adjacentes a uma mesma base são congruentes. C

ABCD é um trapézio. Hipótese: ___ ___  & BC AD   A

Tese:

Demonstração

A&B C&D

___

raçando pelo ponto C um segmento paralelo a AD , determinamos o ponto E em AB T  . Assim, temos: ___

___

___ ___

• AD  & CE  (lados opostos de um paralelogramo)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1a propriedade

• AD & BC  (por hipótese) ___

___

• CE & BC  (CE & AD  & BC  ) Logo, ECB é um triângulo isósceles. Portanto, B & E. Como E & A (ângulos correspondentes), concluímos que A & B. ___

Traçando pelo vértice D um segmento paralelo a CB , provamos de maneira análoga que C & D.

2a propriedade Em um trapézio isósceles, as diagonais são congruentes. D

ABCD é um trapézio. Hipótese: ___ ___ AD & BC   ___

___

Tese: AC  & BD   A

246

CAPÍTULO 9 quadriláteros

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Demonstração Vamos destacar os triângulos ABC e BAD: C

Assim, temos: ___

___

• BC& AD (por hipótese)

___

• B & A (ângulos adjacentes à base AB do trapézio isósceles) ___

___

• AB& AB (lado comum)

___

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Logo, pelo caso L.A.L. os triângulos ABC e BAD são congruentes. Portanto, AC & BD .

Exercícios PROPOSTOS 35 Calcule o valor de x e de y nos trapézios. x x

37 Calcule os valores de x e de y nos trapézios. a)

y y

4x 4x 4x 80° 80°

50° 50°

3x 3x 3x 2x 2x 2x

xxx

150° 150° 150°

x x

y y 110° 110°

xxx

36 Classifique cada trapézio em escaleno, isósce-

xxx

les ou retângulo. a)

140° 140° 140°

yyy

d) b)

70° 70° 70°

xxx

yyy

38 Em um trapézio retângulo, a medida do ân-

gulo obtuso é igual ao triplo da medida do ângulo agudo. Determine a medida do ângulo obtuso. CAPÍTULO 9

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quadriláteros

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20/07/11 10:10

60°

x em cada trapézio, o 112° 39 Calcule, valor de x e de y.

___

B 1,2 y

112°

60°

40 No trapézio abaixo, temos AD  & BC   .

60°

y 40°

112°

40°

Calcule a medida de cada diagonal.

a 2 cm dos vértices da base menor, e elas formam entre si um ângulo de 60w. Desenhe esse trapézio.

42 Construa um trapézio isósceles cuja base maior mede 4 cm, sendo que cada um dos lados não paralelos mede 2 cm e forma com a base maior um ângulo de 50w.

43 O maior ângulo de um trapézio retângulo tem o dobro da medida do menor ângulo. Calcule as medidas dos ângulos internos desse trapézio. ______

______

44 Calcule x e y no trapézio, sabendo que AM   e BM     são bissetrizes dos ângulos A e B, respectivamente.

C 10x + 16° M y

3x + 10°

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

41 As diagonais de um trapézio isósceles medem 6 cm. O ponto de encontro dessas diagonais está situado

Pense mais um pouco...

Descubra quais das sentenças abaixo são falsas. Reescreva-as no caderno, tornando-as verdadeiras. a) Se um quadrilátero tem as diagonais congruentes, então ele é um retângulo. b) Se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares entre si, então ele é um losango. c) Se um paralelogramo tem as diagonais congruentes, então ele é um losango. d) Se um losango tem as diagonais congruentes, então ele é um quadrado. e) Se um trapézio tem as diagonais congruentes, então ele é um trapézio isósceles. f) Se um trapézio tem os ângulos internos adjacentes a uma mesma base congruentes, então ele é um trapézio isósceles. g) Se um trapézio tem dois ângulos retos, então os lados não paralelos são congruentes.

248

CAPÍTULO 9 quadriláteros

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4 Propriedades da base média Propriedade da base média do triângulo O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo: • é chamado de base média; • é paralelo ao terceiro lado; • tem medida igual à metade da medida do terceiro lado. A

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

D N2

C1 C

___ ___ ___ ___ MN  /BC   AM    & MB Hipótese: ___ ___ Tese: BC AN & NC   MN 5  ___ 

Demonstração

___

______

onstrução auxiliar: traçamos pelo vértice C um segmento paralelo a AB , que cruza MN  C    no ponto D.

• A & C1 (ângulos alternos internos formados por duas paralelas e uma transversal) ___

___

• AN & NC  (por hipótese) • N1 & N2 (ângulos o.p.v.) Logo, :AMN & :CDN (pelo caso A.L.A.). ___

___

___ ___

• MN  & ND  (lados correspondentes de triângulos congruentes) • CD & AM  (lados correspondentes de triângulos congruentes) • AM & MB  (por hipótese) ___

___

• CD & MB  (CD & AM  & MB  ) Assim, BCDM é paralelogramo. ___

___

Logo: MD /BC  ou MN   /BC  . ___

___

Além disso, MD & BC  ou, ainda, MN 1 ND 5 BC ___

___

Como ND & MN   , temos: 2 3 MN 5 BC. BC Portanto, MN 5  ___   . 2 CAPÍTULO 9 quadriláteros

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Propriedade da base média do trapézio O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio: • é chamado de base média; • é paralelo às bases; • tem medida igual à metade da soma das medidas das bases. ABCD é um trapézio.

D N1

___ ___ & BM Hipótese: AM ___ ___ CN& DN

N2 C1

Demonstração

Tese:

______C

___ ___ MN /BC

BC 1 AD MN 5 ________ 2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

_____C

Construção auxiliar: traçamos AN e BC , que se cruzam no ponto E. C

• D & C1 (ângulos alternos internos formados por duas paralelas e uma transversal) ___

___

• CN& DN (por hipótese) • N1 & N2 (ângulos o.p.v.)

___

e AD & CE . Logo, pelo caso A.L.A., :ADN & :ECN. Portanto, AN & NE BE ___ ___ Além disso, MN 5 ___e MN /BC (propriedade da base média do triângulo) 2 ___

___

Pela construção da figura: BE 5 BC 1 CE.Como CE& AD,podemos escrever: BE 5 BC 1 AD. Substituindo BE por (BC 1 AD) em MN 5

, temos: MN 5

B A

4,5 cm

250

4,5 cm

4,8 cm

A CAPÍTULO 9

c) MN

14 cm

b) BC

___

45 Nas figuras, M e N são pontos médios de ABe AC, respectivamente. Determine: a) MN

14 cm

Exercícios PROPOSTOS

BC 1 AD ________

BE ___

quadriláteros

4,5 cm

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46 Nas figuras, M, N e___ P são, os ___ respectivamente, ___ pontos médios de AB  , AC  e BC  . Determine: a) o perímetro do :MNP;

6 c6mcm

A A

10 10 cm N cm N

M M

A D A b) D D M

b) o perímetro do :ABC. A A

5,5 cm 5,5 cm 4 cm 4 cm

B B

N N

C C

P P

47 Na figura abaixo, M, N, P e Q são, ___ ___ ___ respecti AB  , BC  , CD vamente, os pontos médios de   ___ e AD . D P C Q N

____ ___ a) Prove que MN  ?PQ  . ____ ___ b) Prove que QM  ?PN  .

c) Que tipo de quadrilátero é MNPQ? ____ d) Se AC 5 12 cm, quanto mede MN ?  ____ e) Se BD 5 16 cm, quanto mede QM ?  ___ f) Se PN 5 20 cm, quanto mede BD ? 48 O lado do triângulo equilátero vermelho mede 6 cm. Desenhamos um segundo triângulo equilátero (verde) unindo os pontos médios do triângulo vermelho. Unindo os pontos médios do triângulo verde, desenhamos um terceiro triângulo equilátero (azul). Qual é o perímetro do triângulo azul?

8,6 cm

C8,6 cm 8,6 cm x C x 6 cmC

B B

6 cm 6 cm

N N N B

9 cm

A D A D MD

N N N

M M A

3,5 cm 3,5 cm

C C

x x

9 cm

M M

5,4 cm 5,4xcm

D D

M M

C C

P 9 Pcm

B B

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

49 Nos seguintes trapézios, M e N são,___ respectiva___ mente, os pontos médios de AD e BC . Calcule a medida x. 5,4 cm a) C D

4,8 cm 9 cm C 9 cm 4,8 cm C 5,6 cm 4,8 C N

M M A

5,6 cm 5,6 cm x

N N B

A A

x x

B B

50 Considere um trapézio cujas bases medem 10 cm e 5 cm. a) Quanto mede o segmento de reta que une os pontos médios dos lados não paralelos desse trapézio? b) Prolongando os lados não paralelos do trapézio, obtêm-se dois triângulos equiláteros. Qual é o perímetro desse trapézio? 51 Um trapézio tem 32 cm de altura e sua base média mede 45 cm. Determine a área desse trapézio. 52 Em um trapézio isósceles, os lados não paralelos medem 12 cm e a base média 20 cm. a) Calcule o perímetro desse trapézio. b) Se a base menor mede 8 cm, quanto mede a base maior desse trapézio? 53 Em um trapézio, a base média forma com um dos lados não paralelos um ângulo de 45w e com o outro lado um ângulo de 60w. Calcule as medidas dos ângulos desse trapézio. CAPÍTULO 9 quadriláteros

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251

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TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Interpretando um infográﬁco DENGUE: UM PROBLEMA QUE PERDURA A dengue é uma doença que afeta mais de 50 milhões de pessoas por ano no mundo. No Brasil, os surtos da doença têm sido frequentes. A erradicação da dengue no país não é uma tarefa fácil, pois o Brasil oferece condições ideais para o desenvolvimento do transmissor, o mosquito Aedes aegypti.

10 mm

A fêmea adulta do mosquito Aedes aegypti pica alguém já infectado pelo vírus da dengue e também se contamina. Ao picar outra pessoa, a fêmea (apenas ela) transmite a doença. Não existe transmissão direta entre pessoas.

Em contato com a água, os ovos eclodem, liberando as larvas.

Machos alimentam-se do néctar de flores.

3 mm

As larvas se transformam em pupa. A chance de esses novos mosquitos herdarem o vírus da dengue é de 40%.

5 mm

OS SURTOS DA DOENÇA NOS ÚLTIMOS ANOS No Brasil, o Aedes aegypti encontrou condições favoráveis à proliferação. Entretanto, o país não manteve campanhas permanentes de combate ao mosquito, nem investiu substancialmente nos sistemas de saúde e saneamento.

Casos de dengue em 2009 RR

Evolução da dengue no Brasil AM

Casos de dengue, em mil

1.000

800

O Brasil tem os 4 tipos de vírus da dengue.

400 200

252

600

PB PE AL SE

1998

CAPÍTULO 9

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009 2010

SP PR

ES RJ

SC RS

Acima de 16.000

2.000 - 3.999

8.000 - 15.999

1.000 - 1.999

4.000 - 7.999

0 - 999

quadriláteros

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B E

Criadouros A fêmea procura um local para depositar os ovos. Lixo e reservatórios com água parada oferecem meios para a procriação do mosquito: da desova até a transformação das larvas em mosquitos adultos.

Onde o risco de surto é maior? Os criadouros são mais comuns nas cidades, onde a população é maior e mais concentrada.

OS SINTOMAS Na forma clássica, os sintomas são febre, dor de cabeça, dor no corpo, nas articulações e nos olhos. Na forma hemorrágica, ocorrem também vômitos, sangramentos no nariz e na gengiva, sonolência, sede, confusão mental, dificuldade respiratória e pulsação fraca. Há risco de morte. Essa forma ocorre quando a pessoa tem dengue pela segunda vez e por um vírus diferente da primeira infecção. Existem quatro tipos de vírus.

Os ovos do Aedes se desenvolvem em contato com a água e em temperaturas acima de 16 ºC, e podem sobreviver até 450 dias sem água.

No período de chuvas, o nível de água dos criadouros sobe e alcança os ovos.

Fontes: Ministério da Saúde. Disponível em: portal.saude. gov.br. Acesso em: 3 mar. 2011; Fiocruz. Disponível em: www.ioc.fiocruz.br. Acesso em: 3 fev. 2011; Sucen. Disponível em: www.sucen.sp.gov.br. Acesso em: 10 mar. 2011. Estadão. Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 10 mar. 2011.

Atividades

Os ovos têm 1 mm de comprimento.

1 Como a dengue pode ser transmitida? 2 Observe o gráfico de linha que re-

Quando o perigo é maior? Os casos de dengue aumentam nas épocas chuvosas. A água fica retida nos criadouros, facilitando a proliferação do Aedes aegypti. O gráfico mostra dados de Goiânia, que registrou um dos maiores índices de internações causadas pela dengue em 2009. Nota-se relação direta entre o volume de chuvas e o número de casos mensais. Internações por dengue clássica

Chuva acumulada mensal (mm)

gistra o número de casos da doença no Brasil, de 1998 a 2010. O que é possível concluir sobre esse número a partir de 2009?

3 Quais são os sintomas da chamada

250

500

dengue clássica? E da dengue hemorrágica?

200

400

4 Muitas ações de saúde podem ser

150

300

100

200

100

Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.

tomadas pela população. No caso da dengue, como as pessoas podem colaborar para combatê-la?

5 Observe o mapa. O estado onde você reside está entre os mais atingidos pela dengue? Qual a quantidade de casos registrados em seu estado?

CAPÍTULO 9

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quadriláteros

253

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Exercícios COMPLEMENTARES ___

59 Desenhe dois segmentos não congruentes ABe ___

54 Reconheça os quadriláteros da figura. G

CD, perpendiculares entre si e que se cruzam nos respectivos pontos médios. Que tipo de paralelogramo você obtém ao unir os vértices A, B, C e D? Justifique sua resposta.

a) BDFH b)AEFH c) ACGH d)BCGH

60 Calcule o valor de x nos seguintes paralelogramos. a)

3x + 16°

5x − 56°

55 Classifique cada sentença como verdadeira (V) ou falsa (F).

a) Retângulo é o paralelogramo que tem os quatro ângulos retos. b) Em um trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são suplementares. c) Em todo paralelogramo, as diagonais são congruentes. d) Em um retângulo, as diagonais são congruentes. e) A soma dos ângulos internos de um trapézio é 360w. f) Em todo paralelogramo, os lados opostos são paralelos.

56 Calcule a medida x no quadrilátero.

61 A altura de um paralelogramo forma, com um dos lados, um ângulo de 35w. Calcule as medidas dos ângulos desse paralelogramo.

62 Uma das diagonais de um losango forma, com um dos lados, um ângulo de 28w. Calcule as medidas dos ângulos desse losango.

2x + 10°

x + 40° x + 40°

57 Em um quadrilátero, as medidas dos ângulos internos são expressas em graus por x, 2x, x 1 50w e x 1 60w. Determine a medida do maior ângulo. ___

3x + 10° 3x + 10°

2x + 7° 2x + 7°

2x − 27° 2x − 27°

___

58 Desenhe no caderno dois segmentos ABe CD que se interceptam nos seus respectivos pontos médios. Que tipo de quadrilátero você obtém unindo os vértices A, B, C e D? Justifique sua resposta. CAPÍTULO 9

63 Calcule o valor de x nos seguintes trapézios.

50°

254

5x + 12°

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64 Em um trapézio retângulo, a medida do ân-

gulo obtuso é o triplo da medida do ângulo agudo. Calcule as medidas dos ângulos do trapézio.

quadriláteros

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65 Um dos ângulos externos de um trapézio retângulo mede 118w. Calcule a medida do ângulo obtuso desse trapézio.

66 O perímetro de um trapézio isósceles é 66 cm. A base média mede 20 cm. Quanto mede cada um dos lados não paralelos?

67 A base média de um trapézio isósceles mede

30 cm. Cada um dos lados congruentes mede 10 cm. Calcule o perímetro desse trapézio.

68 Construa um triângulo retângulo ABC, ___reto

em B. Marque o ponto médio M de AC e o ponto D, simétrico de B em relação a M. Prove que ABCD é um paralelogramo.

TESTES

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69 Considere as afirmações. I. As diagonais de um paralelogramo se cruzam nos respectivos pontos médios. II. As diagonais de um paralelogramo são perpendiculares. III. As diagonais de um paralelogramo são congruentes. Qual é a alternativa correta? a) b) c) d)

Todas as afirmações são verdadeiras. Todas as afirmações são falsas. Apenas uma afirmação é verdadeira. Apenas uma afirmação é falsa.

internos congruentes e os quatro lados congruentes é o: retângulo. quadrado. losango. trapézio.

triângulo equilátero PQR, com 7 cm de lado, sendo M o ponto médio do lado PR. Q

a metade da medida da base maior. a metade da medida da base menor. a soma das medidas das bases. a semissoma das medidas das bases.

74 As bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo formam um ângulo: agudo. reto. obtuso. raso.

tusos mede 120w. O ângulo obtuso formado pelas bissetrizes internas dos ângulos agudos mede:

Todo quadrado é retângulo. Todo losango é um paralelogramo. Todo quadrado é um losango. Todo paralelogramo é retângulo.

9 17,5 24,5 28 49

75 Em um trapézio isósceles, um dos ângulos ob-

72 (UFF-RJ) Um pedaço de papel tem a forma do

a) b) c) d)

71 Qual é a afirmação falsa? a) b) c) d)

a) b) c) d) e)

73 A base média de um trapézio tem por medida:

70 O paralelogramo que tem os quatro ângulos a) b) c) d)

Dobra-se o papel de modo que os pontos Q e Mcoincidam, conforme ilustrado acima. O perímetro do trapézio PSTR, em cm, é igual a:

30w 60w 120w 150w

76 Um retângulo é formado por cinco quadrados congruentes. Se o perímetro de cada quadrado é 6,24 cm, então o perímetro do retângulo é:

Q≡M

a) b) c) d)

62,4 cm 31,2 cm 18,72 cm 15,60 cm CAPÍTULO 9

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quadriláteros

255

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____

77 No trapézio ABCD, o segmento MN  é a base média. x+3

2x + 2

vale sempre afirmar, exceto:

4x − 3

___

a) as bases AB  e CD  são paralelas. b) os ângulos internos A e B são congruentes (iguais). ___ ___ c) os lados AD e BC  são congruentes (iguais). d) a altura é a semissoma das bases. e) a distância entre as bases fornece a altura.

O valor de x é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

____

81 No trapézio ABCD, o segmento MN  é a base

78 Observe a figura.

média e mede 15 cm. A

B N

M x

145°

___

___ Se DC 5 2 3 AB, então DC  e AB  medem, res-

pectivamente: a) 10 cm e 5 cm b) 5 cm e 10 cm

O valor de x é: a) 35w b) 135w c) 145w d) 155w

82 (FSA-SP) Da afirmação Se ABCD é um retângulo, então ABCD é um paralelogramo,

79 ABCD é um paralelogramo. A

B a + 70° 2a

A medida do ângulo interno B é: a) 40w b) 50w c) 60w d) 70w

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c) 20 cm e 10 cm d) 10 cm e 20 cm

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80 (Esal-MG) No trapézio isósceles

podemos concluir que: a) se ABCD não é um retângulo, então ABCD não é um paralelogramo. b) se ABCD é um paralelogramo, então ABCD é um retângulo. c) se ABCD não é um retângulo, então ABCD é um paralelogramo. d) se ABCD não é um paralelogramo, então ABCD é um retângulo. e) se ABCD não é um paralelogramo, então ABCD não é um retângulo.

CAPÍTULO 9 quadriláteros

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Matemática BIANCHINI

9 7a edição

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Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Cintia Alessandra Valle Burkert Machado, Daniela Santo Ambrosio, Débora Regina Yogui, Fabio Martins de Leonardo, Fernando Savoia Gonzalez, Kátia Takahashi, Lucas Maduar Carvalho Mota, Marilu Maranho Tassetto, William Raphael Silva Assistência editorial: Leandro Baptista, Maria Cecília Bittencourt Mastrorosa, Maria Cristina Santos Sampaio, Roberto Henrique Lopes da Silva Preparação de texto: Cibely Aguiar de Souza Sala Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma Projeto gráfico: Aurélio Camilo Capa: Aurélio Camilo Foto de capa: Roger Bamber/Alamy/Other Images Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva Edição de Infografia: Willian H. Taciro, Débora Yogui, Daniela Máximo, Luciano Baneza Gabarron Editoração eletrônica: Grapho Editoração Ilustrações: Alex Affonso, Claudio Chiyo, Guilherme Luciano, José Luís Juhas, Leonardo Conceição, Paulo Manzi Cartografia: Alessandro Passos da Costa Coordenação de revisão: Elaine C. del Nero Revisão: Afonso N. Lopes, Ana Cortazzo, Ana Maria C. Tavares, Fernanda Marcelino, Millyane M. Moura, Nancy H. Dias, Viviane T. Mendes Pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron, Maria Magalhães As imagens identificadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informação e Documentação da Editora Moderna. Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Bureau São Paulo, Fabio N. Precendo, Rubens M. Rodrigues Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira Silva, Helio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento:

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 ISBN 978-85-16-07093-9 (LA) ISBN 978-85-16-07094-6 (LP) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2790-1500 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2011 Impresso no Brasil 1 3

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Apresentação

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Leia com atenção as explicações teóricas, para acompanhar as aulas e resolver os exercícios. Faça deste livro um parceiro em sua vida escolar!

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O autor

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Conheça seu livro A estrutura de cada capítulo é muito simples, pois permite encontrar com facilidade os assuntos fundamentais, os exemplos, as séries de exercícios e as seções enriquecedoras.

Página de conteúdo

Página de abertura Cada capítulo é introduzido por uma imagem motivadora e questões do Matemática no mundo, que abordam o assunto do capítulo.

Exercícios O livro apresenta uma variedade de exercícios (de aplicação, de exploração, de sistematização, de aprofundamento), organizados segundo o grau de dificuldade.

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Contém a teoria explicada com linguagem clara e objetiva, apoiada por exemplos e ilustrações cuidadosamente elaborados para ajudar o entendimento da teoria.

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Tratamento da informação

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Esta seção é apresentada nos livros 6, 7 e 8 (no livro 9, há um capítulo específico sobre o assunto).

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No livro do 9o ano, apresentamos duas seções especiais: o Suplemento de Geometria e o Suplemento de Consulta. Suplemento de Geometria

Suplemento de Consulta Nesse suplemento, reunimos as principais informações presentes na coleção para ajudar os alunos a eliminar dúvidas que surgirem na resolução de exercícios. Os conceitos foram apresentados de forma clara e esquemática para possibilitar uma consulta rápida. Além disso, esse suplemento tem o objetivo de servir de resumo dos principais conteúdos de Matemática do Ensino Fundamental II, para o aluno estudar e retomar os conceitos necessários para prestar o vestibulinho em diferentes instituições do Ensino Médio.

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Apresentamos o cálculo da área total de alguns sólidos, além de experiências com volume.

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Sumário CAPÍTULO

Potenciação e radiciação

1. Potências

Revendo conhecimentos sobre potências

Como escrever um número como potência de uma base dada

Potências de base 10 Multiplicação e divisão por potências de 10 Notação científica

18 19 20

2. Calculando com raízes

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Caso 1: n é um número natural não nulo par e a é um número positivo Caso 2: n é um número natural ímpar

25 25

3. Potência com expoente fracionário

4. Propriedades dos radicais 1a propriedade 2a propriedade 3a propriedade 4a propriedade

28 28 29 30 30

5. Adição algébrica com radicais

6. Multiplicação com radicais

7. Divisão com radicais

8. Potenciação com radicais

Representação geométrica de números irracionais expressos por radicais

9. Radiciação com radicais

10. Racionalização de denominadores

Diversificando 45

A linguagem das máquinas

CAPÍTULO

Equações do 2o grau

1. Conhecendo equações do 2o grau com uma incógnita

2. Raízes de uma equação do 2 grau

3. Resolvendo equações do 2o grau o

50 2

Equação do 2 grau que pode ser reduzida à forma ax 1 bx 5 0 o

Equação do 2 grau que pode ser reduzida à forma (ax 1 b) 5 0 o

Equação do 2 grau que pode ser reduzida à forma de ax 1 c 5 0

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50 52 52

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4. Resolvendo equações do 2o grau completando quadrados

5. A fórmula resolutiva de uma equação do 2o grau

6. Equações literais do 2o grau

7. Estudando as raízes de uma equação do 2o grau

8. Relações de Girard

1 relação: Soma das raízes 2 relação: Produto das raízes

9. Composição de uma equação do 2o grau

10. Fatoração do trinômio do 2o grau

11. Equações fracionárias

12. Equações biquadradas

13. Equações irracionais

14. Sistemas de equações do 2o grau

CAPÍTULO

Funções

1. O conceito de função

Domínio de uma função

Gráfico de uma função

Como reconhecer o gráfico de uma função

2. Função polinomial do 1o grau

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Sumário

98 o

Gráfico de uma função polinomial do 1 grau

100

Esboço do gráfico de uma função polinomial do 1o grau o

Estudo do sinal de uma função polinomial do 1 grau

101 104

3. Função polinomial do 2o grau

107

Gráfico de uma função polinomial do 2o grau

108 o

Esboço do gráfico de uma função polinomial do 2 grau

110

Coordenadas do vértice da parábola

113 o

Valor máximo e valor mínimo da função polinomial do 2 grau o

Construção do gráfico de uma função polinomial do 2 grau o

Estudo do sinal de uma função polinomial do 2 grau

114 116 118

Diversificando Cercando

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124

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CAPÍTULO

Estatística e probabilidade

1. A origem da Estatística

126

2. Organização de dados

126

3. Frequência relativa

129

4. Medidas estatísticas

132

Média aritmética

132

Média aritmética ponderada

134

Moda

135

Mediana

137

5. A informação por meio de gráficos

139

6. Noções de probabilidade

144

CAPÍTULO

Proporcionalidade em Geometria

1. Razão entre dois segmentos

153

2. Feixe de paralelas

155

3. Teorema de Tales Consequências do teorema de Tales 1a consequência 2a consequência

156 159 159 161

Diversificando Uma razão de ouro

CAPÍTULO

166

Semelhança

1. Figuras semelhantes Polígonos semelhantes

169

2. Semelhança aplicada a triângulos Teorema fundamental da semelhança Casos de semelhança de triângulos 1o caso: A.A. (ângulo, ângulo) 2o caso: L.A.L. (lado, ângulo, lado) 3o caso: L.L.L. (lado, lado, lado)

173

170 175 177 177 178 179

Diversificando Câmara escura de orifício

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186

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Sumário

Triângulos retângulos

1. Um pouco de História

188

2. Elementos de um triângulo retângulo

188

3. Teorema de Pitágoras Demonstração do teorema de Pitágoras

190

4. Aplicações do teorema de Pitágoras Relacionando as medidas da diagonal e do lado de um quadrado Relacionando as medidas da altura e do lado de um triângulo equilátero

193

5. Projeções ortogonais

200

6. Relações métricas em um triângulo retângulo 1a relação 2a relação 3a relação Outra demonstração do teorema de Pitágoras

201 201 201 202 202

CAPÍTULO

190

193 195

Razões trigonométricas nos triângulos retângulos

1. A Trigonometria

208

2. Razões trigonométricas Seno de um ângulo agudo Cosseno e tangente de um ângulo agudo

209

3. A tabela de razões trigonométricas

213

4. Resolução de problemas

215

5. Razões trigonométricas dos ângulos de 30w, 45w e 60w Razões trigonométricas do ângulo de 30w Razões trigonométricas do ângulo de 45w Razões trigonométricas do ângulo de 60w

218

209 210

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CAPÍTULO

218 218 219

Diversificando 226

O teodolito

CAPÍTULO

Circunferência, arcos e relações métricas

1. Circunferência e arco de circunferência

229

2. Comprimento de uma circunferência

230

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3. Medida de um arco de circunferência

233

4. Propriedades entre arcos e cordas de uma circunferência 1a propriedade 2a propriedade

235 235 236

5. Propriedade da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo

237

6. Relações métricas em uma circunferência 1a relação 2a relação 3a relação 4a relação 5a relação

238 238 239 240 242 243

CAPÍTULO

10 Polígonos regulares e áreas

1. Polígonos regulares Propriedades dos polígonos regulares Elementos de um polígono regular Construção de um polígono regular

249

2. Relações métricas nos polígonos regulares Quadrado inscrito Hexágono regular inscrito Triângulo equilátero inscrito

254

3. Área de um polígono regular

261

4. Área de um círculo Área de uma coroa circular Área de um setor circular

264

250 252 253 254 256 259

266 267

Diversificando Jogo: Desenhe ou responda

274

Suplemento de Geometria

275

Suplemento de Consulta

278

Respostas

292

Lista de siglas

302

Sugestões de leitura para o aluno

303

Bibliografia

304

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Matemática no mundo Os biólogos de uma reserva ambiental desenvolvem um trabalho para preservar espécies animais brasileiras em risco de extinção. Na reserva, havia uma fêmea de onça-pintada. Com a chegada de outro animal dessa espécie, essa fêmea gerou 3 filhotes. Cada um de seus filhotes gerou 3 filhotes, que tiveram, por sua vez, 3 filhotes cada um.

FABIO COLOMBINI SA TEAM/FOTO NATURA/MINDENPICTURES/LATINSTOCK

CAPÍTULO

Potenciação e radiciação

Agora, responda: • Quantos são os descendentes dessa onça-pintada?

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1 Potências

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Ao conhecer o jogo, o rei da Índia ficou tão entusiasmado que ofereceu a Sessa a liberdade de escolher o que ele bem desejasse como recompensa por tão notável invento. Toda a corte esperava que Sessa fosse pedir grandes riquezas, mas ele surpreendeu a todos com o seguinte pedido: 1

grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro

grãos de trigo pela segunda casa

grãos de trigo pela terceira casa

grãos de trigo pela quarta casa

grãos de trigo pela quinta casa

grãos de trigo pela sexta casa

SÉRgio DoTTA JR./The NeXT

Conta-se que o jogo de xadrez foi inventado há 1.550 anos por um indiano de nome Sessa.

E continuou o pedido, sempre dobrando o número de grãos da casa anterior até a casa de número 64 (já que o tabuleiro de xadrez tem 64 casas). Seu pedido provocou risos. Um pedido tão simples para um invento tão brilhante! O rei e toda a corte ficaram decepcionados. Você também não ficaria? Mas palavra de rei é palavra de rei, e ele pediu a seus criados que entregassem a Sessa um punhado de grãos de trigo. Sessa recusou a oferta, dizendo que queria receber exatamente o que havia pedido. Nem um grão a mais, nem um grão a menos. O rei pediu, então, que seus calculistas fizessem as contas. Depois de muitas horas de trabalho, eles encontraram o número: 18.446.744.073.709.551.615 Isso significa dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil, seiscentos e quinze. É um número tão grande que seriam necessários muitos séculos para se produzir tamanha quantidade de trigo! Como o rei iria cumprir sua promessa? Que situação difícil a daquele rei. Mas, também, como é que ele poderia imaginar que daquele pedido tão simples resultasse tamanha quantidade de trigo? Sessa, entendendo a aﬂição do monarca por não poder cumprir sua promessa, perdoou a dívida. Afinal, seu objetivo havia sido atingido: chamar a atenção do rei para o cuidado que deveria ter com suas promessas e seus julgamentos. O final não poderia ser mais feliz: Sessa foi nomeado conselheiro do rei.

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Acabamos de ver um interessante exemplo de aplicação de potenciação, pois a quantidade de grãos de trigo de cada casa do tabuleiro pode ser expressa por uma potência, assim: 1a casa

2a casa

3a casa

22 .. .

64a casa

263

Agora, vamos recordar o que sabemos sobre potências.

Revendo conhecimentos sobre potências Você deve se lembrar do significado de 32 e de 33: • 33 5 3 3 3 3 3 5 27

De modo geral, sendo a um número real, temos: • a2 5 a 3 a

• a3 5 a 3 a 3 a

Podemos considerar um expoente genérico n, em que n é um número inteiro. Daí se define a assim: n

CC Se n . 1, então:

an 5 a 3 a 3 a 3 … 3 a n fatores

Veja um exemplo.

@  # @  # @  #

4 2 2 2 2 • 2__       5 2__       3 2__       5  ___    49 7 7 7 CC Se n 5 1, então:

a1 5 a

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• 32 5 3 3 3 5 9

Veja um exemplo.

@  #

2 2 1 • 2__       5 2 __   7 7 CC Se n 5 0 e a % 0, então:

a0 5 1

Veja um exemplo.

@  #

2 0 • 2__       5 1 7 CC Se n 5 21 e a % 0, então:

1 a21 5  __   a

1 Isso significa que a21 é o inverso de a, pois  __   é o inverso de a. a 21 Assim, se a é o inverso de a, também a é o inverso de a21. 14

CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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Veja alguns exemplos. 1 • 321 5  __   (é o inverso de 3) 3

@  #

5 2 21 1 __ 2 • __       5  ___   5              é o inverso de __ 5 5 2 2  __    5 CC De modo geral, se n . 1 e a % 0, temos:

1 7 2 21 2 • 2__       5  ____      5 2 __   é o inverso de 2 __    2 2 7 7 2 __   7

1 a2n 5  __n    a

Veja um exemplo.

@  #

49 2 22 7 2 • 2__       5 2__       5  ___   4 7 2

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A potenciação tem algumas propriedades importantes que facilitam cálculos e simplificam expressões. Vamos revê-las. • am 3 an 5 am 1 n • am 4 an 5 am 2 n (com a % 0) • (am)n 5 am 3 n • (a 3 b)m 5 am 3 bm • (a 4 b)m 5 am 4 bm (com b % 0)

OBSERVAÇÃO CC

Note que a definição dada acima de que, para a % 0, a0 5 1 é compatível com a propriedade: am 4 an 5 am 2 n (se a % 0) Para comprovar essa afirmação, veja o exemplo. a3a   5 1 e a2 2 2 5 a0 • a2 4 a2 5 _____  a 3 a

Como exemplo da aplicação das propriedades da potenciação, vamos calcular o valor das seguintes expressões. a) (74 3 72)3 4 715 5 (76)3 4 715 5 718 4 715 5 73 5 343 a5x 2 2 3 a2 2 x       (a % 0) b)  ___________ (ax)22 a5x 2 2 3 a2 2 x a5x 2 2 1 2 2 x a4x __________ ____  ___________        5         5       5 a4x 2 (22x) 5 a6x 22x 22x 22x a a a Há mais de uma forma de fazer o cálculo do primeiro exemplo, (74 3 72)3 4 715. Veja algumas. CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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1a forma 74 5 7 3 7 3 7 3 7 72 5 7 3 7 74 3 72 5 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 (74 3 72)3 5 (7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7)3 5 (7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7)(7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7)(7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7) 4

2 3

(7 3 7 ) ________ 15

73737373737373737373737373737373737 5 __________________________________________________ 5 7 3 7 3 7 5 343 73737373737373737373737373737

2a forma 74 5 7 3 7 3 7 3 7 5 2.401 72 5 7 3 7 5 49 74 3 72 5 2.401 3 49 5 117.649 (74 3 72)3 5 (117.649)3 5 117.649 3 117.649 3 117.649 5 1.628.413.597.910.449 4

1.628.413.597.910.449 ______________________

2 3

(7 3 7 ) ________ 715

4.747.561.509.943

5 343

É fácil notar que, mesmo havendo várias formas de calcular a expressão, a mais simples é aquela em que usamos as propriedades da potenciação.

OBSERVAÇÃO 2

É importante notar que (a3)2 % a3 . Veja por quê. • (a3)2 5 a3 3 a3 5 a3 1 3 5 a6 @ 32 #

• a3 5 a

5 a9 2

Em (a3)2, o que está sendo elevado ao quadrado é a3 e em a3 , o que está sendo elevado ao quadrado é o expoente 3.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

715 5 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 5 4.747.561.509.943

Exercícios PROPOSTOS 1 Um condomínio possui 6 prédios. Cada prédio tem

6 andares, e cada andar, 6 apartamentos. Expresse na forma de potência o número de apartamentos desse condomínio.

CAPÍTULO 1

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

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2 Simplifique as expressões obtendo uma única potência. a) (24 3 26) 4 (25 3 23) b) (x4 3 x2 3 x3)2 4 (x4)5, com x % 0 5x 2 1

4 Calcule o valor das expressões. 2 2 2 22 f) 2__       2 2__       3 3

b) (23)0 2 (23)3

50 1 521 g)  ________      522

x12

2 32 c)  ___________      3x 2 2 2 d) (52 3 53) 4 (51 3 50) e) (y6 3 y3 3 y2)3 4 (y11)4, com y % 0

@  #

3 21 c) 321 1 __       2

73x 2 2 3 7x 2 1 f)  ___________      73x 2 3 3 Verifique quais das expressões abaixo são verdadeiras e quais são falsas. Justifique. a) (45)2 5 45 c) (2 3 3)2 5 22 3 32 5 2 2 5 b) (4 ) 5 (4 ) d) (2 1 3)2 5 22 1 32

@  # @  #

a) (22)2 1 (22)3

@  #

2 2 d) 821 3 __       3

22 h) _____________   21       1 __       1 (21)5 5

@  #

i) (0,25)2 2 (0,5)3

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e) 221 1 20

Como escrever um número como potência de uma base dada Conhecendo o significado de uma potência e as propriedades de potências de mesma base, vamos ver como, em certos casos, podemos escrever um número como potência de uma base dada. Vamos, por exemplo, escrever: a) 32 como potência de base 2.

Decompondo 32 em fatores primos, obtemos 32 5 25.

1 1 b)  __   como potência de base  __   . 2 8

@  #

1 1 1 1 1 13 1 3 1 3 1 1 3   5  __   3  __   3  __   5 __  __   5  ___3    5  ___3   5  ________        2 3 2 3 2 2 2 2 2 8 2 2

1 1 3 Portanto:  __   5 __       2 8

@  #

1 c)  __  como potência de base 2. 8

@  #

1 1 3 1 1 1  __   5 __       5  __   3  __   3  __   5 221 3 221 3 221 5 223 2 2 2 2 8

1 Portanto:  __   5 223 8

3 8 d)  ___    como potência de base  __   . 27 2

@  #

@  # @  # @  #

@  #

8 3 21 3 21 3 21 3 23 23 2 3 2 2 2  ___    5  ___3   5 __       5  __   3  __   3  __   5 __       3 __       3 __       5 __       27 2 2 2 2 3 3 3 3 3

3 23 8       Portanto:  ___    5 __ 27 2

@  #

CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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Exercícios PROPOSTOS

de base 2. a) 256

7 Sendo A 5 3x 2 1 5x 2 6, determine o valor de A para: a) x 5 22

1 c) ___

64 1 b) 1.024 d) ____ 128 6 Escreva os seguintes números como potência de base 3. 1 a) 9 c) ___ 27 ____ b) 81 d) 1 243

b) x 5 221

8 Qual é o valor da expressão 1 2 __ 1 x 3 2 ___ __ x 1 1 x 2 1, para x 5 9

@ 231 # __

9 Simplifique as expressões obtendo uma única potência. 42 3 83 a) ______ 210

93 3 272 b) _______ 81

Potências de base 10 Observe, na tabela abaixo, algumas potências de base 10, seus expoentes inteiros positivos e a quantidade de zeros da potência. Expoente inteiro positivo (n)

Indicação de 10n

Potência (resultado)

Quantidade de zeros da potência

101

100

1.000

10.000

100...0

3 4

n zeros

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5 Escreva os seguintes números como potência

Agora observe, nesta outra tabela, algumas potências de 10, seus expoentes inteiros negativos e a quantidade de algarismos à direita da vírgula. Expoente inteiro negativo (n)

Indicação de 10n

Potência (resultado)

Quantidade de algarismos à direita da vírgula

1021

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00...1

23 24 n

n algarismos

A observação dessas duas tabelas vai auxiliá-lo a escrever potências de base 10 na representação decimal e vice-versa. Veja os exemplos. • 1.000.000.000.000 5 1012 12 zeros

CAPÍTULO 1

• 1028 5 0,00000001 8 algarismos

Potenciação e radiciação

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Exercícios PROPOSTOS 10 Dê a representação decimal dos números. 5

a) 10

b) 10

c) 10

d) 10

12 Expresse cada número a seguir como potência 0

e) 10

11 A distância média do planeta Saturno ao Sol é

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1.000.000.000.000 m. Expresse essa distância por uma potência de base 10.

de base 10. a) 10.000.000 b) 10.000 c) 0,0000000001

d) 0,00001 e) 1

13 O diâmetro de um fio de cabelo é aproximada-

mente 0,0001 m. Expresse esse diâmetro por uma potência de base 10.

14 Determine o valor de cada expressão abaixo

Planeta Saturno.

como uma potência de base 10 e na representação decimal. 1029 103 3 102 104 3 102 a) ________ b) ________ c) __________ 1024 3 1028 107 109

Pense mais um pouco...

Mostre que multiplicar 3 por 104 é o mesmo que dividir 3 por 1024.

Multiplicação e divisão por potências de 10 Veja como fazemos para multiplicar um número por potências de 10. Para multiplicar um número por 101, 102, 103, …, deslocamos a vírgula uma casa, duas casas, três casas, … para a direita. Fazemos assim porque, nesse caso (expoente inteiro positivo), cada uma dessas potências tem um zero, dois zeros, três zeros, … Observe os exemplos. • 12 3 103 5 12.000 • 5,126 3 101 5 51,26 • 8,56 3 104 5 85.600 • 0,0028 3 102 5 0,28 OBSERVAÇÃO

Note que, se for necessário, acrescentamos zeros à direita do número.

Para multiplicar um número por 1021, 1022, 1023, …, deslocamos a vírgula uma casa, duas casas, três casas, … para a esquerda, o que equivale a dividir por 101, 102, 103, … ou por 10, 100, 1.000, … Observe os exemplos. • 0,5 3 1021 5 0,05 • 356 3 1022 5 3,56 • 2,45 3 1023 5 0,00245 • 25.678,2 3 1023 5 25,6782 OBSERVAÇÃO

Note que, se for necessário, acrescentamos zeros à esquerda do número.

CAPÍTULO 1

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POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

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Embora, nesses dois casos, tenhamos feito multiplicações por potências de base 10, também poderíamos fazer divisões. Veja duas dessas multiplicações transformadas em divisões. sinais contrários

8,56 1 • 8,56 3 104 5 8,56 3 _____ 5 _____ 5 8,56 4 1024 24 24 10 10 sinais contrários

0,5 1 • 0,5 3 1021 5 0,5 3 ____1 5 ____1 5 0,5 4 101 10 10

Exercícios PROPOSTOS

a) b) c) d)

3,6 3 10 0,025 3 102 0,4 3 1022 3.576 3 1023

16 Descubra a potência de base 10 que deve ser colocada no lugar de a para que se tenha: a) 56,754 3 a 5 567.540 b) 0,003 3 a 5 30 c) a 3 23 5 0,000023 d) a 3 4,5 5 0,00045

17 Calcule o valor de: a) M 5 3x 2 2 10x 2 100, para x 5 102; b) M 5 5x 2 2 3x 2 10.000, para x 5 103.

18 Converta as medidas usando potências de base 10. a) b) c) d) e) f)

1 cm em m 100 km em m 10 g em kg 1 t em kg 10 cm2 em m2 1 cm3 em dm3

Notação científica A notação científica fornece uma ideia clara da ordem de grandeza (bilhões, milhões, milésimos etc.), fundamental quando lidamos com números “muito grandes” ou “muito pequenos”. A ordem de grandeza é dada pela potência de 10.

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15 Efetue as multiplicações.

Veja as informações abaixo. Elas estão registradas em notação científica. O diâmetro de uma bactéria, que é um organismo unicelular, varia de 1026 a 5 3 1026 m.

CAPÍTULO 1

O raio do Sol tem aproximadamente 6,96 3 108 m.

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

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Em geral, na notação científica, os números são escritos como produto de dois fatores, em que um deles é uma potência de base 10 com expoente inteiro (positivo ou negativo) e o outro é um número igual a 1 ou maior que 1 e menor que 10. Observe, no esquema abaixo, as medidas 1026 m (que equivale a 1 3 1026 m), 5 3 1026 m e 6,96 3 108 m.

1026

6,96

108

potência de base 10 com expoente inteiro

número igual a 1 ou maior que 1 e menor que 10

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Veja outros exemplos de números escritos em notação científica. • 5,2 3 106

• 8,1 3 1012

• 1,25 3 1023

• 2,236 3 1029

Agora, vamos escrever em notação científica os seguintes números: a) 3.265

Como o número deverá ter apenas um algarismo não nulo na parte inteira, devemos multiplicá-lo por 1023; mas para não mudar seu valor, multiplicamos esse número por 103, pois 1023 3 103 5 100 5 1. Assim:

3.265 5 3.265 3 1023 3 103 5 3,265 3 103

lugar onde deverá ficar a vírgula

b) 28,5 5 28,5 3 1021 3 10 5 2,85 3 10

lugar onde deverá ficar a vírgula

c) 0,0056 5 0,0056 3 103 3 1023 5 5,6 3 1023

lugar onde deverá ficar a vírgula

d) 0,65 5 0,65 3 10 3 1021 5 6,5 3 1021

lugar onde deverá ficar a vírgula

CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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Veja como usar a notação científica para expressar: • a distância da Terra ao Sol 150.000.000 km 5 1,5 3 108 km Sistema Solar Saturno Sol

Vênus

Mercúrio

Terra

Júpiter

Urano

Marte Netuno Sol

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

150.000.000 Terra quilômetros

• a massa do átomo de hidrogênio 0,00000000000000000000000166 g 5 1,66 3 10224 g Átomo de hidrogênio próton

elétron

Exercícios PROPOSTOS 19 Expresse, em notação científica, os números. a) 12,6 milhões b) 361 3 106 c) 15 bilhões

d) 458,6 3 10 e) 3.576 3 1023 f) 0,0000000000001

20 A massa do Sol é aproximadamente 2 3 1030 kg. Expresse, em notação científica, essa massa em toneladas.

CAPÍTULO 1

21 Dois planetas, A e B, giram em torno do

Sol em órbitas praticamente circulares e no mesmo plano. A distância de A até o Sol é 15 3 107 km, e a distância de B até o Sol é 2,3 3 108 km, considerando-se desprezíveis seus diâmetros. Calcule a distância máxima entre A e B e expresse-a em notação científica.

Potenciação e radiciação

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22 Cada mililitro de sangue humano contém, em

ALeX miT/ShUTTeRSToCK

média, 5 3 106 glóbulos vermelhos. Um ser humano adulto tem, em média, 5,5 litros de sangue. De acordo com esses dados, qual é o número médio de glóbulos vermelhos de um adulto?

23 Observe o gráfico abaixo e faça o que se pede:

Movimentação total de cargas nos portos brasileiros (em milhões de toneladas) 649,4

2005

692,8

2006

754,7

2007

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Disponível em: www.abdib.gov.br Acesso em: 5 jan. 2011.

a) Expresse, em notação científica, os valores apresentados no gráfico para cada ano. b) Determine, em notação científica, o valor total de movimentação de cargas nos portos brasileiros de 2005 a 2007.

Glóbulos vermelhos (hemácias) com colorido artificial (ampliação de 1.740 vezes).

Pense mais um pouco...

Um ano-luz corresponde à distância percorrida pela luz, no vácuo, durante um ano, à velocidade de 300.000 km por segundo (velocidade da luz). a) Escreva, em notação científica, a distância percorrida pela luz em 2 anos-luz. b) A distância do Sol à Terra é 1,5 3 108 km. Em quantos segundos a luz percorre essa distância?

Exercícios COMPLEMENTARES 24 Uma célula, em certas condições, divide-se

em duas a cada 30 segundos. Quantas células haverá depois de 20 minutos? (Dê a resposta em forma de potência.)

25 Sendo a 5 50 2 222, b 5 1 2 __1 c 5 120 2 3, calcule: a) ab b) (b 2 a)c

@c#

ab ___

dos em notação científica. 3,6 3 104 a) _________ 1022 3 1,2

damente 1,99 3 10226 kg. Expresse, em notação científica, essa massa em gramas.

29 Sendo x 5 (22)3, y 5 (23)2 e z 5 23 , calcule 2

b) (0,15)23

x 3 y 3 z na forma de uma potência. CAPÍTULO 1

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2,1 3 1022 b) _________ 1023 3 0,7

28 A massa de um átomo de carbono é aproximac

26 Escreva cada potência abaixo na forma de fração. a) (2,5)22

27 Resolva as expressões e apresente os resulta-

Potenciação e radiciação

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2 Calculando com raízes Situação 1 Considere o quadrado ao lado. Tomando o quadradinho desse quadrado é 16

como unidade de área, podemos dizer que a área (42 5 16).

Considere agora a situação inversa. Sabendo que a área do quadrado é 16

e que a me-

dida do lado do quadradinho é 1 unidade de comprimento (u), vamos calcular a medida do lado do quadrado em unidades u. Essa medida é dada por um número que elevado ao quadrado dá 16. Esse número é a raiz quadrada de 16. Assim: dlll 16  5 4, pois 42 5 16

Então, a medida do lado do quadrado é 4u. Situação 2 Agora, observe o cubo ao lado. Tomando o cubinho

como unidade de medida de volume, po(53 5 125).

demos dizer que o volume desse cubo é 125

A situação inversa é calcular a medida da aresta do cubo sabendo que o volume é 125

e que a medida da aresta de um cubinho

é 1 unidade de comprimento (u). Essa medida é expressa por um número que elevado ao cubo dá 125. Esse número é a raiz cúbica de 125.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

lemos: ”raiz quadrada de 16”

125   5 5, pois 53 5 125 Assim: d llll lemos: ”raiz cúbica de 125”

Então, a aresta do cubo mede 5u. Veja mais exemplos.

@  #

lll 1 1 1 4 1 5  __   , pois __               5  ___    • 4  ___ 81 3 3 81

• d llll 232   5 22, pois (22)5 5 232

1 lemos: “raiz quarta de ___     ”   81

lemos: “raiz quinta de 232”

De modo geral, sendo n um número natural diferente de zero e a um número real, dizemos a  5 b, se, e somente se, bn 5 a. que nd ll lemos: “raiz enésima de a é igual a b” índice

n d ll

a 5 b

raiz

radicando

CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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Assim, sendo n um número natural diferente de zero e a um número real, temos dois casos: • se n é par e a 9 V, a > 0, nd ll a  é um número real b tal que bn 5 a; • se n é ímpar e a 9 V, nd ll a  é um número real b tal que bn 5 a. OBSERVAÇÕES CC

O sinal dll    é chamado de radical. Apesar disso, normalmente usamos essa mesma palavra para indicar a raiz enésima de um número a. Note que, se a 9 V e a , 0, sendo n par, não é possível definir nd ll a  em V. Por exemplo, não existe dlll 29   , pois qualquer número elevado ao quadrado é um número positivo.

Acompanhe os exemplos de cada caso.

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Caso 1: n é um número natural não nulo par e a é um número positivo Vamos, como exemplo, calcular a raiz quadrada de 25. Temos dois números reais que elevados ao quadrado resultam em 25. São eles 25 e 15, pois (25)2 5 25 e (15)2 5 25. Devemos, então, dizer que a raiz quadrada de 25 é 5 ou 25. Convencionou-se que o símbolo dlll 25  representa a raiz positiva de 25, isto é, d lll 25  5 5. Veja estes outros exemplos. 36  5 6 • d lll

lll 16 2      • 4 ___       5 __ 81 3

• dlllll 1,44   5 1,2

• dll 7  7 2,64

7  com duas casas decimais. Observe que o número 2,64 é a representação decimal de dll Com o auxílio de uma calculadora, podemos obter uma representação decimal com maior número de casas decimais. Observe também que a raiz de índice par de um número real negativo não é um número real, pois não existe um número real que elevado a um expoente par dê como resultado um número negativo. 24   não representa um número real. Como exemplo, vamos mostrar que dlll De fato, se d lll 24  fosse um número real m, por exemplo, então deveríamos ter m2 5 24, o que é impossível, pois o quadrado de qualquer número real é sempre um número não negativo. 24   não é um número real. Logo, dlll

Caso 2: n é um número natural ímpar Considere como exemplo as raízes de índice ímpar: 3

• d lll 64  5 4, pois 43 5 64

• d llll 264   5 24, pois (24)3 5 264

Note que a raiz de um radical de índice ímpar tem o mesmo sinal do radicando. OBSERVAÇÃO CC

A raiz de índice n, com n natural não nulo, de zero é zero, ou seja, d ll 0  5 0

CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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Exercícios PROPOSTOS

a) Dois números elevados ao quadrado resultam em 100. Quais são eles? b) Qual é a raiz quadrada de 100?

31 Por que não existe a raiz quadrada de 249 quando trabalhamos com números reais?

32 Existe ou não um número real que seja: a) b) c) d) e) f)

a raiz quadrada de 64? a raiz quadrada de 20? a raiz quadrada de 29? a raiz quarta de 281? a raiz sexta de 100? a raiz quinta de 232?

33 Classifique cada item em verdadeiro ou falso. n a) dll 0 5 0, para n > 2 n b) dll 0 5 0, só se n é par lll c) d 102 5 dlllll 2102

d) dlll 102 5 dllllll (210)2 e) dlllll (27)2 5 27 f)

dlllll2

(27) 5 7

g) 2dlll 102 5 dllllll (210)2 h) 2dllllll (210)2 5 210 3 3 28 i) dll 8 5 2 dlll

34 Responda às questões. a) Qual é o valor de 2dllll 441 ? b) Qual é o valor real de dlllll 2441 ?

35 Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.

a) dlll 16 é igual a 4 ou a 24. b) dlll 16 é igual a 4. c) dlll 16 é igual a 24. d) dllll 216 não é um número real. 3

e) dllll 227 é igual a 23.

f) g) h)

dlll 27 é igual a 3. dlll 10 é um número real. 3 ll d 9 é igual a 3.

36 Faça os cálculos. a) 2 3 dllll 900 3 2,56 b) __ 3 dllll 4 5 c) dll 0 2 dlll 21 3 d) 2dllll 1,96 2 dll 1

d d

16 243 5 lllll 4 lll e) ___ 1 2____ 81 32 lll 8 25 3 llll f) 2___ 2 ___ 27 64

37 Calcule o valor da expressão: lllllllllllll lllllll dllllllllllllllllll 18 1 d 84 2 d 4 1 dlll 25

38 A relação v 5 20 3 dlllllll 273 1 t determina a ve-

locidade do som no ar em função da temperatura. Nessa relação, v representa a velocidade, em metro por segundo, e t, a temperatura, em grau Celsius. Determine a velocidade do som à temperatura de 16 wC.

39 Um objeto solto de determinada altura leva certo tempo para atingir o solo.

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30 Considere o número 100.

lll h Esse tempo é dado pela relação t 5 ___ . 4,9 Nessa relação, t representa o tempo, em segundo, e h, a altura, em metro. Quanto tempo um objeto leva para atingir o solo caindo da altura de 44,1 metros?

40 Sabendo que 2732 5 74.529, calcule: a) b)

dllllll 745,29 dllllllll 7.452.900

Pense mais um pouco...

a) A raiz cúbica de um número real a é 4. Qual é a raiz sexta de a? b) A raiz sexta de um número real a é 3. Qual é a raiz quadrada de a?

CAPÍTULO 1

Potenciação e radiciação

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3 Potência com expoente fracionário Até aqui, trabalhamos com potências de expoente inteiro. Agora, veremos o significado de potências com expoente fracionário. Já vimos que, se bn 5 a, então b 5 nd ll a  com n natural não nulo. Consideremos agora a potência (73)2 5 76. De acordo com a definição de raiz, temos que 73 é a raiz quadrada de 76, pois (73)2 5 76. Assim, podemos escrever: expoente do radicando 6 __    

d lll 76  5 73 ou d7  5 72 2 ll 6

índice do radical

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Todo radical de radicando positivo pode ser escrito como uma potência em que a base é o radicando e o expoente é expresso por uma fração que tem, no numerador, o expoente do radicando e, no denominador, o índice do radical. Veja os exemplos. 3  __ 

@  #

3 8  __ 

3  __   3 8

53  , pois 58  5 58 5 53 • 585 d ll 2  __ 

@  #

2 7  __ 

2  __   3 7

• 375 d ll 32  , pois 37  5 37 5 32 7

E @  # R @  #

@  # d@  #

@  #

lllll 2 1 1 __ 2   1 2 1 __ 2   1 __ 2  3 3 1 2 2 __   • 8 35  ___2    5 __       3 5 3  __         , pois __       3  5 __       3 5 __       __ 8 8 8 8 8      83 3

Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural m __

n m não nulo, temos: a n  5 d lll a  

Veja outros exemplos. 2 __

     • d lll 10  5 102

15  ___ 

4 __

• d lll 215  5 23 5 25 3

1 __    

3 4      • 735 d ll 7  

• 0,2525 d lllll 0,25   5 0,5

1  __ 

@ 9 # d 9 1 __

1      1 1 • 9 5 __       25 __       5 __      1 2 __   2

1 __

     3 • d 5  5 5 3 ll 2

3  5 34 • d ll

• 2025 d lll 20 

OBSERVAÇÃO CC

As propriedades válidas para as potências de expoente inteiro também são válidas para as potências de expoente fracionário que tenham base positiva. Observe os exemplos. 1 __    

2 __    

1 2 __           1 __

• 353 335 35

13 ___     

5 315

2 __    

1 __    

2 1 __           2 __

• 754 795 75

13 ___     

5 745

@  #

3 1 __ __         

1 3 __           3 __

3 ___     

• 25  25 25 25 210

CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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Exercícios PROPOSTOS 3 __

2 __

a) 24

b) 75

46 Represente na forma de potência com expo-

1 __

c) 82

ente fracionário. 3 2 2 a) dll b) dll 5

d) 93

42 Sendo x um número real positivo, escreva dllx como potência de expoente fracionário.

47 Reúna-se com um colega e façam o que se

43 Escreva como potência de expoente fracionário

pede. • Representem cada radical abaixo na forma de potência com expoente fracionário. • Simplifiquem, se possível, a fração do expoente da potência obtida. • Representem a potência com expoente simplificado na forma de radical. • Comparem cada radical dado com o respectivo radical obtido por meio dos procedimentos realizados. Escrevam uma regra prática para simplificar, quando possível, um radical. 12 6 6 14 5 c) dllll 2,57 e) dllll 1,39 a) dll

dlllllll (a 1 b)2 , com (a 1 b) > 0.

44 Reduza a uma só potência, usando as propriedades das potências. 1 __

1 __

3 __

1 __

a) 23 3 24

a) dll 36 1 __

b) 5123

@ #

1 2__ 2

3 __

d) 42 4 e) ___ 49

@ #

0,5

4 1 __ __

d) (12)2

45 Calcule o valor de:

16 c) ___ 81

1 __

c) 23 4 24

b) 52 3 52

3 c) dlll 10 4 ll d) d53

5 12 g) dlll 5 4 __3 h) __ 2 9

@ #

4 8 f) dll 2

9 b) dlll 116

21 d) dllll 2,514

30 f) dllll 0,312

4 Propriedades dos radicais 1a propriedade 3 3 Considerando o radical dll 5 temos:

3 __

dll 53 5 53 5 51 5 5

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41 Represente na forma de radical.

Da mesma forma: 3 dll 54 5 5 e dlllll (25)3 5 25

4 4 (25)4 5 5, pois (25)4 5 (25) 3 (25) 3 (25) 3 (25) 5 625 e dllll 625 5 5 Mas dlllll 3 Ao calcular dlllll (25)3 , estamos extraindo uma raiz de índice ímpar de um número negativo, ou 3 seja, dlllll 2125 . O resultado é um número negativo, 25, pois (25)3 5 2125. 4 Entretanto, ao calcular dlllll (25)4 extraímos a raiz de índice par de um número positivo, isto 4 é, dllll 625 , que é 5, positivo, pois 54 5 625.

De modo geral, para os radicais de índice n de uma potência com expoente também igual a n, temos: n • se n é um número natural ímpar, então dlll a n 5 a, sendo a um número real; n • se n é um número natural par não nulo, então dlll a n 5 OaO, sendo a um número real.

CAPÍTULO 1

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

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Veja alguns exemplos. • d ll 23  5 2

• dlll 52  5 O5O 5 5

(22)3   5 22 • d lllll

• d lllll (25)2   5 O25O 5 5

OBSERVAÇÃO CC

Quando o radicando for uma potência de expoente par que tenha na base uma expressão literal que representa um número real, admitiremos que o radicando assume apenas valores reais iguais a zero ou maiores que zero.

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Assim: 4 4 • d ll x    5 x

(Estamos admitindo que x > 0.)

• d llllllll (3x 2 5)2   5 3x 2 5

(Estamos admitindo que 3x  5 > 0.)

2a propriedade Observe. d3  

12 ll 8

5 Escrevemos na forma de potência.

8  ___  

3 12

2 __    

3 3

Simplificamos a fração do expoente.

3 ll 2

Escrevemos na forma de raiz.

3 2 12 8 12 4 4 8 4 4 Assim: d ll 3   5 d llll 3    5 d ll 3  

Dividindo o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural maior que zero, o valor do radical não se altera, ou seja: n lll m

n 4 p

am 4 p   da   5 d llll

considerando a um número real positivo, m um número inteiro, n um número natural não nulo e p divisor de m e n. Essa propriedade permite simplificar certos radicais, isto é, transformá-los em radicais mais simples e equivalentes aos radicais dados. Vamos, como exemplo, simplificar os seguintes radicais. 12 4 3 9 4 3 12 9 4 3 • d ll 2     5 d llll 3    5 d ll 2  

Dividimos o índice e o expoente por 3, que é divisor de 12 e de 9.

20 15 20 4 5 15 4 5 4 3 • d lll 7    5 d lllll 7    5 d ll 7  

Dividimos o índice e o expoente por 5, que é divisor de 20 e de 15.

6 3 6 4 3 3 4 3 6 • d llll 125   5 d ll 5    5 d llll 5    5 d ll 5 

Decompomos 125 em fatores primos.

Dividimos o índice e o expoente por 3.

CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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Exercícios PROPOSTOS 48 Calcule.

50 Decomponha o radicando em fatores primos

d@ 6 #

llll 5 2

a) dlll 103

4 b) dllll 1,74

d) dlllllll (a 1 1)2 com a 1 1 >0

e simplifique os radicais. 10 a) dlll 32 c) 4dllll 0,36 6 lll 12 b) d27 625 d) dlll

49 Dividindo o índice do radical e o expoente do ra-

51 Simplifique os radicais sabendo que a > 0,

dicando por um mesmo número, simplifique. 6 9 6 a) dll 5 c) dlll 113

15 20 b) dlll 3

x > 0, y > 0 e m > 0. 6 3 9 6 a) dll a c) dll y 20 lll 4 lll 15 b) dx d) d m2

12 4 d) dll 6

Observe.

1 __

dlllll 3 3 5 5 (3 3 5)2 5 32 3 52 5 dll 3 3 dll 5

Em geral, sendo a e b números reais positivos e n um número natural não nulo, temos: n n dllll a 3 dll b a 3 b 5 dll

radical de um produto

produto dos radicais

Veja os exemplos. 3 3 3 • dllll 4 3 3 5 dll 4 3 dll 3

5 5 5 • dlllll 7 3 10 5 dll 7 3 dlll 10

4a propriedade

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3a propriedade

Observe.

d3 @3# ll 2

2 __

1 __ 2

1 __

dll 2 ___ 5 1 __ dll 3 32

22 ___

Em geral, sendo a e b números reais positivos, b % 0, e n um número natural não nulo, temos: n ll da ll a n __ 5 ____ n b dll b

radical de um quociente

quociente dos radicais

Veja os exemplos. •

dll 2 5 ___ 7 dll 7

ll 2

CAPÍTULO 1

•

dll 3 5 ___ 3 5 dll 5

ll 3

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

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Essas duas propriedades permitem simplificar certos radicais tirando-se fatores do radicando. Vamos, como exemplo, simplificar os radicais. • dlll 50 5 dlllll 2 3 52 5 dll 2 3 dlll 52 5 dll 2 3 5 5 5dll 2 • dlll 24 5 dlllll 23 3 3 5 dllllllll 22 3 2 3 3 5 dlll 22 3 dlllll 2 3 3 5 2 3 dll 6 5 2dll 6 3 ll 3 lllll 3 llll 3 llll d53 3 3dll d53 3 5 d 625 5 5 5 dll 625 ________ ____ _______ 5 5 5 • 3 ____ 5 ______ 2 3 lll 3 ll 4 64 d 64 2 d26 Da mesma forma que podemos tirar fatores do radicando, podemos introduzir fatores externos no radicando. Veja os exemplos.

• 2dll 5 5 dlllll 22 3 5 3 3 3 5 5 dlllll 3 35 • 3 dll 4 4 4 18 5 dllllll 2 3 18 • 2 dlll

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3 3 3 2 3 5 7 5 dllllll 7 3 72 5 dll 7 • 7 dll

Exercícios PROPOSTOS 52 Transforme em um produto de radicais. a) dllll 435 3 b) dllll 233 c) dlllll 7 3 10

53 Represente como um quociente de radicais.

d d

3 b) dlllll 27 3 5

5 7 d) dll 2 4 llllllll e) d27 3 35 3 54

3 c) dllllllll (22)4 3 35

3 f) dlll 162

a) dll 8

ll 2 a) __ 5 18 3 lll b) ___ 5

54 Simplifique os radicais.

2 5 ll c) __ 9

55 Em cada caso, introduza nos radicais os fatores externos.

3 3 c) 22 3 3 3 dlll 10 e) 0,2 dll 2 2 dll 4 ll __ d) 5 f) 2 d3 3

a) 3dll 5 3 b) 3 dll 2

5 Adição algébrica com radicais Acompanhe duas formas de efetuar a adição algébrica com radicais. 1a forma Substituímos as raízes por seus valores e fazemos os cálculos indicados. Veja os exemplos. • dlll 49 1 dlll 16 5 7 1 4 5 11 3 4 8 2 dlll 16 5 2 2 2 5 0 • dll

9 1 2 3 dlllll 1,69 5 25 3 3 1 2 3 1,3 5 215 1 2,6 5 212,4 • 25dll CAPÍTULO 1

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Potenciação e radiciação

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2a forma Se houver vários radicais iguais, podemos colocá-los em evidência. Observe os exemplos. 3 3 3 3 3 2 1 4 dll 2 2 dll 2 5 (10 1 4 2 1) dll 2 5 13 dll 2 • 10 dll

fator comum

5 1 2dll 7 2 5dll 5 1 dll 7 1 4dll 7 5 (3 2 5)dll 5 1 (2 1 1 1 4)dll 7 5 22dll 5 1 7dll 7 • 3dll A expressão 22dll 5 1 7dll 7 não pode mais ser reduzida, porque seus termos não têm radicais iguais. Contudo, podemos encontrar um valor aproximado para ela. 5 7 2,2 e dll 7 7 2,6, temos: Como dll 22dll 5 1 7dll 7 7 22 3 2,2 1 7 3 2,6 22dll 5 1 7dll 7 7 13,8

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Em alguns casos, é preciso simplificar os radicais para verificarmos a existência de fatores comuns. Veja os exemplos a seguir. 18 1 dlll 50 5 dlllll 2 3 32 1 dlllll 2 3 52 5 3dll 2 1 5dll 2 5 (3 1 5)dll 2 5 8dll 2 • dlll 27 1 5dlll 12 2 2dlll 75 5 2 3 dlllll 32 3 3 1 5dlllll 22 3 3 2 2dlllll 3 3 52 5 • 2dlll 5 2 3 3dll 3 1 5 3 2dll 3 2 2 3 5dll 3 5 6dll 3 1 10dll 3 2 10dll 3 5 6dll 3

Exercícios PROPOSTOS 56 Calcule. 3

a) dlll 25 1 dlll 27 1 dlll 81 3 6 b) dllll 264 1 dlll 64 1 dlll 64

c) 2dllll 4,41 2 3dllll 2,56

c) d) e) f)

2dlll 27 2 5dlll 12 4dlll 63 2 dll 7 lll lll d 50 1 d 98 2 dlll 72 llll lll dlll d d 12 1 75 1 108

59 Encontre o perímetro das figuras, cujas me-

57 Efetue. a) 3dll 5 1 dll 5 2 6dll 5 5 5 5 5 b) 5 dll 3 1 2 dll 3 2 2 dll 3 1 dll 3 c) 4dll 2 1 6dll 3 2 2dll 2 1 9dll 3

didas dos lados são dadas em uma mesma unidade de medida de comprimento. a) 2 3

3 3 d) 24 1 dll 5 1 2 dll 5 24 5 5 e) 2 dll 3 2 2dll 3 1 3dll 3 1 3 dll 3 ll ll d d f) 3 1 2 1 7 2 5 2

58 Reduza os radicais a uma expressão na forma adll b , com a e b inteiros.

a) b) 32

dlll 20 1 dlll 45 dlll 50 1 dlll 18 2 dll 8

CAPÍTULO 1

3 3

Potenciação e radiciação

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6 Multiplicação com radicais Para multiplicar radicais de mesmo índice, aplicamos a 3a propriedade dos radicais, sendo n um número natural não nulo e a e b números reais positivos: n n dlllll a 3 b 5 dll a 3 dll b

Logo, para multiplicar radicais de mesmo índice, devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando, sempre que possível, o resultado obtido. Veja os exemplos. • dll 5 3 dll 2 5 dlllll 5 3 2 5 dlll 10 4 4 4 4 4 4 • dll 2 3 dll 8 5 dllll 2 3 8 5 dlll 16 5 dll 2 52

• 25dll 3 3 3dll 2 5 (25 3 3)dlllll 3 3 2 5 215dll 6 2 3 @ dll 2 1 2 # 5 dll 4 1 2dll 2 5 2 1 2dll 2 • dll

Aplicamos a propriedade distributiva.

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• @ 5 1 dll 7 #@ 2 2 dll 7 # 5 5 3 2 2 5dll 7 1 2dll 7 2 dlll 72 5 5 10 2 5dll 7 1 2dll 7 2 7 5 3 2 3dll 7

Aplicamos a propriedade distributiva.

Se os índices dos radicais forem diferentes, antes da multiplicação, reduzimos esses radi3 2 4 cais a um mesmo índice. Veja, por exemplo, como fazemos a redução dos radicais dll 2 e dll 3a um mesmo índice.

dll 22

dll 3

2 __

1 __

Escrevemos os radicais na forma de potência.

8 ___

212

312

3 ___

5 5

dll 28

dll 33

Escrevemos as potências na forma de radical.

Determinamos, no expoente, frações equivalentes de mesmo denominador.

Então, multiplicamos esses dois radicais: 12 8 12 3 12 8 4 12 dll 3 5 dll 2 3 dll 3 5 dllllll 2 3 33 5 dlllll 6.912 22 3 dll Observe que, no desenvolvimento acima, os números considerados são positivos. Mas também poderíamos ter, por exemplo: 3

3 3 3 3 • dlll 25 3 dll 2 5 dlllllll (25) 3 2 5 dllll 210

3 3 3 3 • dllll 227 3 dlll 28 5 dlllllllllll (227) 3 (28) 5 dllll 216 5 6

Exercícios PROPOSTOS 60 Efetue as multiplicações. 3

a) dll 5 3 dll 6

d) dll 5 3 dlll 10

b) dll 2 3 dll 8

3 3 e) dll 4 3 dll 6

c) dll 2 3 dll 6 3 dll 3

3 f ) dll 2 3 dll 5

61 Aplicando a propriedade distributiva, calcule as multiplicações:

a) b) c)

dll 5 3 @ 1 1 dll 5# ll d @ 3 2 2 2 # 3 @ dll2 1 3 #

@ dll3 1 2 # 3 @ 2dll3 # CAPÍTULO 1

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Potenciação e radiciação

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#3 @  d llll #. 62 Calcule @  d llll 201   1 d llll 199    201   2 d llll 199    63 Calcule a área e o perímetro das figuras, cujas medidas são dadas em uma mesma unidade de medida de comprimento. a) 3

64 Para uma festa escolar, os 9os anos ficaram encarregados de confeccionar 200 bandeirolas. Essas bandeirolas devem ter a forma de triângulos equiláteros de base 6dll 5  cm e altura 3dlll 15  cm. Determine a área aproximada, em m2, do papel que será utilizado para fazer todas as bandeirolas.

3 1+ 1+

2 2 2 2

1,5

2 1,5

2 3 2 3 2

7 Divisão com radicais Para dividir radicais de mesmo índice, aplicamos a 4a propriedade dos radicais, sendo n um número natural não nulo, a e b números reais positivos e b % 0: n ll d ll a   a        5  ___    n __ n ll b d b 

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1,5

Logo, para dividir radicais de mesmo índice, devemos conservar o índice e dividir os radicandos, simplificando, sempre que possível, o resultado obtido. Veja os exemplos. 3

20  4 d lll 10  5 d llllll 20 4 10   5 d ll 2   • d lll 28  4 d ll 7  5 d lllll 28 4 7   5 d ll 4  5 2 • d lll 15  4 5dll 3  5 (30 4 5)dlllll 15 4 3   5 6dll 5   • 30dlll

3 12 2 ll • @  12dll 6  2 2dll 3   #4 @  5dll 2   #5 12dll 6  4 5dll 2  2 2dll 3  4 5dll 2   5  ___  dll 3  2  __   __        5 5 2

Aplicamos a

propriedade distributiva.

Se os índices dos radicais forem diferentes, antes da divisão, reduzimos esses radicais a um mesmo índice. Veja um exemplo. 2  4 d ll 2  5 d ll 23  4 d ll 22  5 d ll 2   • d ll 3

CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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01/07/11 15:19

Exercícios PROPOSTOS 65 Efetue as divisões.

67 Calcule o valor das expressões.

3 d) 12 dlll 26 4 3 dll 2 3

a) dlll 12 4 dll 3

a) @ dlll 18 1 dlll 98 1 dllll 200 # 4 @ 2dll 2 1 dll 8#

8 14 dll e) _____ 4 lll d 16

b) dlll 50 4 dll 2 dlll 49 c) ____ dlll 25

b) @ dllll 150 2 dlll 24 # 4 @ 2dll 8 2 3dll 2# c) @ 10dlll 27 1 10dll 3 # 4 10dll 3

3 6 4 dll 3 f) dll

d) @ 20dlll 10 1 10dlll 18 # 4 2dll 2

66 Sendo x 5 2dlll 50 1 4dlll 18 2 3dlll 32 e y 5 dll 2 , calcule x 4 y.

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8 Potenciação com radicais Observe. 4 5 4 5 5 5 5 5 @ 5dll 3 # 5 dll 3 3 dll 3 3 dll 3 3 dll 3 5 dllllllllll 3 3 3 3 3 3 3 5 dll 3 4 5 4 5 3 # 5 dll 3 Então: @ dll

Para elevar um radical a uma potência, basta elevar o radicando à potência indicada. Veja os exemplos. • @ dll 2 # 5 dlll 23 5 dlllll 22 3 2 5 2dll 2 3

3 lllll 2 3 3 3 2 2 3 4 3 3 2 9 # 5 @ dll 3 # 5 d@ 32 # 5 dll 3 5 dlllll 3 3 3 5 3 dll 3 • @ dll

5 # 5 43 3 dlll 53 5 64 3 dlllll 52 3 5 5 64 3 5dll 5 5 320dll 5 • @ 4dll 3

2 1 dll 3 # 5 @ dll 2 # 1 2 3 dll 2 3 dll 3 1 @ dll 3 # 5 2 1 2dll 6 1 3 5 5 1 2dll 6 • @ dll 2

Exercícios PROPOSTOS 68 Calcule as potências. a) @ dlll 15 #2

3 b) @ dll 3 #3

c) @ 3dll 7 #2

d) @ 3 dll 3 #4 4

e) @ dlll 10 #3

@ 23dll3 #4

69 O aquário de Guilherme tem a forma de um cubo cuja ares3

ta mede 48dll 2 cm. Quantos litros de água são necessários para que o aquário de Guilherme fique totalmente cheio?

70 Calcule.

a) @ dll 7 1 dll 3 #2

b) @ 3 2 dll 7 #2

71 Qual é o valor da expressão A 5 x4 1 x 2 1 2, para x 5 2dll 3?

CAPÍTULO 1

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Potenciação e radiciação

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Pense mais um pouco...

Rafaela possui 30 cubos de aresta medindo 4dll 7  cm. a) Quantos desses cubos Rafaela deve usar para formar o maior cubo possível? b) Calcule o volume desse cubo formado.

Já representamos os números racionais por pontos de uma reta (reta numérica). Também sabemos que é possível representar por pontos da reta numérica os números irracionais dados por radicais. 2  na reta numérica. Para isso, trabalharemos Vejamos, como exemplo, a representação de dll com um triângulo retângulo.

a a

(m da )

c (medida do cateto)

Como você deve se lembrar, triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo interno reto. Seus lados recebem nomes especiais: catetos e hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto).

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Representação geométrica de números irracionais expressos por radicais

b (medida do cateto)

Para todo triângulo retângulo, vale a relação entre as medidas de seus lados conhecida como teorema de Pitágoras: a2 5 b2 1 c2 Para representar dll 2  na reta numérica, vamos considerar um triângulo retângulo isósceles de catetos com comprimento de 1 unidade e aplicar o teorema de Pitágoras para achar a medida x da hipotenusa desse triângulo. x2 5 12 1 12 2

x 52

O valor procurado é um número que elevado ao quadrado resulta em 2. Além disso, é um número positivo, pois indica a medida de um segmento. Esse número é d ll 2 .  Logo, x 5 d ll 2   36

CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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Então, para representar d ll 2  na reta numérica, basta construir esse triângulo de modo que um de seus catetos seja o segmento que representa o segmento de 0 a 1 na reta numérica. A partir do zero, para a direita, transportamos o segmento que mede d ll 2  (hipotenusa) sobre a reta. A extremidade direita desse segmento é o ponto que representa d ll 2 .

2 1 1 −2

−1

1,5

Repare que o número ficou entre 1 e 2 na reta numérica. Na calculadora, você pode obter d ll 2  7 1,4142. Então, d ll 2  fica entre o ponto que corresponde a 1 e o ponto médio do segmento Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

que vai de 1 a 2, que corresponde a 1,5. 3  na reta numérica. Para isso, basta construir um triângulo retânRepresentemos, agora, d ll gulo de catetos d ll 2  e 1. A hipotenusa medirá d ll 3  unidades de comprimento.

y 1

y2 5 @  d ll 2   # 1 12 2

y2 5 3 y 5 dll 3   2 ,  construímos o segmento Na reta numérica, aproveitando o segmento que representa dll ll d que mede 3 .  1

3 2

1 −1

1,5

Na calculadora, você obtém dll 3  7 1,73. Repare que d ll 3  fica entre 2 e o ponto médio do segmento que une 1 e 2. CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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Exercícios PROPOSTOS 72 Considere o triângulo retângulo cujas medidas

75 Com auxílio de régua e compasso, represente o número dlll 13 na reta numérica.

dos lados estão indicadas.

76 O esquema abaixo representa um escorrega-

dor cujo comprimento, em metro, foi indicado por x.

a) Determine o número que x representa. b) Esse número é racional ou irracional? c) Represente esse número na forma decimal aproximada, com duas casas decimais, utilizando uma calculadora.

x 2m 3m

73 Na figura abaixo, o número dlll 10 está represen-

tado na reta numérica. Explique por que essa construção é correta.

a) Qual é o número irracional que representa o comprimento desse escorregador? b) Qual é o comprimento aproximado desse escorregador em centímetro?

A 1 O

B C

77 Trace um segmento de dlll 20 u e outro de dlll 27 u,

sendo u 5 2 cm. Construa um retângulo que tenha essas medidas e determine sua área. Construa outro retângulo que tenha medidas 2dll 5 u e 3dll 3 u e encontre sua área. Compare os resultados encontrados.

74 Com uma régua, desenhe uma reta numérica. Depois, com o auxílio de um compasso, represente nela os números dll 5 e dll 6.

9 Radiciação com radicais

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Observe. 533

d d6

5 llll 3 ll 2

2 __

15 2 5 d 63 5 6 5 5 615 5 dll 6 5

lll 2 __

3 __

2 ___

Para extrair a raiz de um radical, devemos multiplicar os índices desses radicais e conservar o radicando, simplificando o radical obtido sempre que possível (considerando o radicando um número real positivo, e os índices números naturais não nulos). Veja alguns exemplos. 75 • d dll lll 3

233

6 dll 7 5 dll 7

• d d d 5 5 lllll 3 llll lll 2

5 5 • dd 2 dll 4

lllll llll 3

CAPÍTULO 1

12 2 6 dll 52 5 dll 5 5 dll 5

23332

dlllllll dllllll dlllll 2 35 5

43233

24 dllll 8 3 5 5 dlll 40

Potenciação e radiciação

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Exercícios PROPOSTOS 78 Reduza a um único radical e, em seguida,

79 Verifique qual das sentenças a seguir é falsa.

simplifique, se possível. a)

dllll dlll 10 dlll dll 3

e) f)

3 llll 11 5 6dlll a) ddlll 11

dlll dll 53

2 lll 3 2 5 5dll b) d dll 2

dllll dll4

2 2

llll lll 2 c) d d dll

lllll 154 g) d dlll

3 lll 3 d) d ddll

4 h) dllll 3dll 5

llll

4 5 llllll 1.024 5 dll c) d d dlllll 2

llllllll

3 llll 3 2 81 5 dll d) ddlll 3

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10 Racionalização de denominadores 2 Considere o quociente de 2 por dll 3 . Ele pode ser indicado por ___. dll 3 Um quociente não se altera quando multiplicamos o dividendo e o divisor por um mesmo 2 número não nulo. Veja o que acontece quando multiplicamos os dois termos da expressão ___ dll 3 ll por d 3 : 3 3 3 2 3 dll 2dll 2dll 5 _______ 5 ______2 5 ____ ll ll ll 3 ll d3 d3 3 d3 @ d3 #

2 ___

Obtemos uma expressão com denominador racional. A esse procedimento chamamos de racionalização de denominadores. É mais fácil efetuar cálculos com radicais quando eles não estão no denominador. Por isso, racionalizamos o denominador de uma expressão fracionária. Veja outros exemplos. 2 a) Vamos racionalizar o denominador da expressão ____ . 3dll 2 Multiplicando os dois termos dessa expressão por dll 2 , temos: dll 2 2dll 2 2 2 2 3 dll 2dll 5 _________ 5 _________2 5 _____ 5 ___ ll ll ll 3 3 2 3 ll d d d 3 2 3 23 2 3 3 @ d2 #

2 ____

2 b) Vamos racionalizar o denominador da expressão ____ . 5 ll d72 5 3 7 , temos: Multiplicando os dois termos da expressão por dll

2 ____

dll 72

dll3

23 7 _________ 5 3 dll 72 3 dll 7

dll3

23 7 _______

dllllll 72 3 73

dll3

23 7 _______

dll 75

CAPÍTULO 1

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dll3 7

2 7 _____

Potenciação e radiciação

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2 c) Vamos racionalizar o denominador da expressão ________ . dll 7 2 dll 3 7 1 dll 3 , temos: Multiplicando os dois termos da expressão por dll 7 1 dll 3# 7 1 dll 3# 7 1 dll 3# 2@ dll 2@ dll 2@ dll ____________ 5 5 ____________________ 5 ______________ 5 2 2 723 dll @ dll @ dll 7 2 dll 3 7 2 dll 3 #@ dll 7 1 dll 3# 7 # 2 @ dll 3#

2 ________

dll 7 1 dll 3# 2@ dll 7 1 dll 3 5 ____________ 5 ________ 42 2

d) Vamos simplificar a expressão abaixo. dll 7 2 2 # 2 dll 7 3@ dll 7 12# 2 3 @ dll 7 2 _______ 5 ___________________________ 5 dll dll @ dll 712 722 7 1 2 #3 @ dll 7 22#

2dll 7 2 4 2 7 2 2dll 7 11 211 5 __________________ 5 ______ 5 2 ___ ll ll 3 7 2 4 7 2 2d 7 1 2d 7 2 4

Exercícios PROPOSTOS 80 Qual é o número pelo qual devemos multiplicar os dois termos da expressão

15 ____

para obter 4dll 3 uma expressão que tenha no denominador um número racional?

81 Para racionalizar o denominador da expressão 10 ___ , devemos multiplicar seus dois termos por 3 ll d5 qual radical?

82 Racionalize o denominador das expressões. 6 a) ___ dll 3 1 b) ___ dll 2

2 c) ____ 3dll 5 3 d) ____ d 2 ll 3

5 e) ___ 3 ll d5 4 f) ____ 8 ll d25

83 Sabendo que dll 5 com três casas decimais é

85 Simplifique as expressões. lllllll dlllllll dll 6 1 dlll 11 3 d 6 2 dlll 11 2 2 ___ ___ ___________________ a)

dll 2

1 1 b) _______ 2 _______ ll d 31 2 3 2 dll 2

dll 6 21

@ 2dll3 1 1 #2 2 4dll3 _________________ d) dlll 13

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2 _______

86 Calcule a medida x nos retângulos de cada item. a) área 5 10 cm2

x 5 2 cm

b) área 5 18 cm2

2,236, calcule da maneira mais conveniente o 3 quociente ___ . dll 5

2 3 cm

84 Sabendo que dlll 10 com três casas decimais é

3,162, calcule da maneira mais conveniente o 2 quociente ________ . dlll 10 2 3

CAPÍTULO 1

87 Mostre que o inverso de dll 2 2 1 é dll 2 1 1.

Potenciação e radiciação

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Exercícios COMPLEMENTARES 88 Classifique em verdadeira ou falsa.

dlllll2

a) dlllll 2121 5 211

97 Considere o paralelepípedo abaixo.

c) (23) 5 3 d) dlll 572 5 57

dllllll2

b) (215) 5 215

2 cm

89 Calcule o valor da expressão: 81 400 1 dllll 2,25 2 dllll d ___ 4 lll

(1 +

90 Para chegar a sua casa, João precisa subir uma rampa, conforme o esquema abaixo. pa

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

(2 +

) cm

Determine: a) a soma das medidas de todas as arestas do paralelepípedo; b) a soma das áreas das faces laterais; c) o volume desse paralelepípedo.

98 Uma torre de 40 metros de altura é sustentada

Calcule o comprimento dessa rampa.

91 Com o auxílio de régua e compasso, represente o número dlll 17 na reta numérica.

por dois cabos de aço que estão a 35 metros da base da torre, conforme mostra a figura abaixo. Quantos metros de cabo de aço foram necessários para essa sustentação?

92 Represente na forma de potência com expoente fracionário. 5 a) dll 2

4 3 c) dll 5

b) dll 7

40 m

93 Expresse cada radical na forma a 3 dllb , com a e b inteiros. a) dlll 27 lll b) d 40

94 Calcule.

c) dlll 72 llll d) d 120

e) dllll 250 llll f) d 512

a) dllllll 9 3 102

c) dlllllll 25 3 106

b) dlllllll 16 3 104

d) dllllllll 4,84 3 108

95 Henrique traçou uma reta numérica e nela assi-

nalou o ponto A de abscissa dlll 18 cm. Sendo O o ponto de origem, transportou ___ para uma folha de cartolina o segmento OA. Planificou e construiu um cubo com aresta de medida OA. Qual é o volume do cubo construído?

96 Efetue. a) dlll 75 1 dlll 12

dlll 75 d) ____ dlll 12

75 2 dlll 12 b) dlll

3 e) @ 2dll 5#

c) dlll 75 3 dlll 12

llll 81 f) d dlll

35 m

99 Determine, em cada item, o número inteiro representado pelo radical. 3 6 4 4 a) dll 52 b) dll 2 c) dll 5

100 Simplifique os radicais. 7 7 a) dll 2

dlllll (22)10

d) dll 38

18 6 c) dll 3 10 d) dlll 64

101 O passo de um robô mede exatamente

50dll 3 cm. Quantos passos ele deverá dar para percorrer 18,5dll 3 m?

102 A área de uma das faces de um cubo é 6 cm2. Determine: a) a medida da aresta desse cubo; b) a soma das áreas de todas as suas faces; c) o volume desse cubo. CAPÍTULO 1

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35 m

Potenciação e radiciação

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103 Racionalize o denominador das expressões. 5 5 1 3dll c) ________ dll 5 10 d) _______ dll 321 5 2 104 Dados a 5 ___ e b 5 ____, calcule ab. dll 2 2dll 3 8 a) ___ dll 2 d 3 7 ll b) ____ ll d 5 2

146 26 3 dllll 100 de 1800 como um valor aproximado do número s. Usando uma calculadora simples, verifique até que casa decimal a expressão dada coincide com o valor de s conhecido atualmente:

105 A expressão _________ foi usada por volta

s 5 3,1415927…

TESTES

(22)22 1 (22)21 1 (22)1 1 (22)2 é: a) 213

9 c) 2__ 4

b) 23

7 d) __ 4

107 (Osec-SP) O produto 0,000015 3 0,000000002 é igual a: a) 3 3 10240 b) 3 3 10214

c) 30 3 10214 d) 30 3 10213

e) 3 3 1024

113 No depósito de uma biblioteca há caixas con-

108 (PUC-MG) O valor da expressão

tendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, e em cada uma delas estão anotados 10 títulos de livros diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma torre vertical de 1 m de altura. Qual a representação, em potência de base 10, correspondente à quantidade de títulos de livros registrados nesse empilhamento? c) 105 e) 107 a) 102 4 6 b) 10 d) 10

A 5 1,67 3 10224 1 3,95 3 10222 é:

a) b) c) d) e)

3,9667 3 10222 3,9667 3 10223 3,9667 3 10224 3,9667 3 10242 3,9667 3 10246

109 (Vunesp) Se x 5 1023, então 21

(0,1) 3 (0,001) 3 10 _________________ é igual a:

114 (CASD-SP) Sabe-se que: 101 5 10; 102 5 100;

10 3 (0,0001)

a) 100x

x e) ____ 100

c) x x d) ___ 10

b) 10x

0,000036 80.000

110 (FCC-SP) A expressão ________ é equivalente a: a) 0,45 3 10212 b) 4,5 3 10212 c) 4,5 3 10211

d) 45 3 10211 e) 45 3 10210

111 (OBM) Se 2(22x) 5 4x 1 64, então x é igual a: a) 22 b) 21 42

CAPÍTULO 1

c) 1 d) 2

têm formato cilíndrico, com 8 3 1027 metros de diâmetro. O diâmetro de um fio de cabelo é de aproximadamente 1 3 1024 metros. Dividindo-se o diâmetro de um fio de cabelo pelo diâmetro de uma célula de Escherichia coli, obtém-se, como resultado, a) 125 c) 500 e) 8.000 b) 250 d) 1.000

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

112 (Pasusp) As células da bactéria Escherichia coli

106 O valor da expressão

e) 3

103 5 1.000; 104 5 10.000; e assim sucessivamente. Logo, a soma dos algarismos do número N 5 1030 2 3 é igual a: a) 268 c) 279 e) 259 b) 277 d) 286

115 O valor de @ d 1 1 dllllll 1 1 dll 1 # é: lllllllllll

2 1 dll 3 a) dll 1 b) __ @ 7 1 3dll 5# 2 c) 1 1 2dll 3 d) 3 2 e) 3 1 2dll

Potenciação e radiciação

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116 (UFSE) Um raio de luz, propagando-se no vácuo, desloca-se com velocidade de 3,0 3 105 km/s aproximadamente. Se a distância entre dois planetas é de 9,0 3 107 km, então, o tempo, em minuto, que o raio de luz levará para cobrir essa distância é: a) 5,2 c) 4,5 e) 3,8 b) 5 d) 4 17 (Vunesp) O valor da expressão 1 __

1 __      2

1 c) __      3 1 __ d)      4

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) 221 b) 20

3  __  

c) 22 d) 24

e) 26

120 (Puccamp) Efetuando-se

d 125 d 5

114   d lll b)  _____      5

3 e) __      5

122 (Uece) Se p 5 3 1 d ll 2  e q 5 2 2 d ll 2 ,  então p 3 q 2 p é igual a: a) 1 2 2dll 2    c) 1 1 d ll 2   ll d d b) 1 2 2    d) 1 1 2 ll 2   4 23 (Fuvest-SP) Se a 5 d ll 1 2  e b 5 d ll 2  , então, o valor

c) d ll 8   ll d d) 4 

e) d ll 3 

c) 1 d) dll 2 

127 (FGV-SP) Quando x 5 8 e y 5 2, a expressão dll x  2 d ll  y  algébrica  ________   igual a:   é ll d x  1 d ll  y  6   dll 1 1 e) ____       a)  __   c) __      5 3 d lll 10   9 1 __ __ b) 2      d)      5 3 128 (UFSE) Racionalizando-se o denominador de 3 ________        , obtém-se: ll d 2  1 d ll 5   7   3dll 2  2 dll 5    c) ____      5   a) dll   e) 6dll 7 d) dll 5  2 d ll 2 

lllll 3 3 1 __     2 x   2x  2  __   3 dllllll 1 2 4x   para x 5  ___    é: 1 dlll 4 2 12

a) 12 b) 10

4 d)  __   5

18  1 d lll 50  é equiva 121 (Unifor-CE) A expressão d lll lente a: a) 2dlll 17   c) 8dll 2    e) 2dll 2   ll ll d d b) 34 2   d) 5 3 

de a 3 b é: 4 a) d ll 8   4 ll d b)  4 

e) dlll 27 

c) 7 d) 8

129 (PUC-RS) O valor numérico de

a) 1 1 d ll 3   ll d b) 7 

b) dll 3 

lllllllllllll lllllll 3 14 11 ___      1 __      2          , obtém-se:

14  1 2 d lll 6 a)  ________      c)  __   5 5

llllllllllllll

a) 3 b) 0

119 Se x 5 2dlll 24  2 dlll 54 , então x é um número real tal que: a) é negativo. b) está entre zero e 2. c) está entre 2 e 3. d) é maior ou igual a 3 e menor que 6. e) é maior ou igual a 6.

3 ____

2 125 (Unip-SP) O valor de d 1 1 @  d ll 3  1 d lll 27       #  é:

e) 5

1  __  

ll ll 5 lllll 3 5 dll 1 __ 243      d d llll        1 __       2        3  é: 1 __ 4 3 6

164 2 118 (UFSM-RS) O valor da expressão ___   1   4 __   2   é igual a:

126 O valor da expressão

@  # @   14   # é:

1 4 4 3 __       1 2 3 __ a)      4 4 __ b)      3

124 (Unip-SP) Se a 5 3 1 d ll 2  e b 5 3 2 d ll 2  , então, 3 o valor de (a 2 b) será: a) 3dll 2   c) 18dll 2   e) 8dll 2   ll d b) 16 d) 4 2 

e) d ll 4 

c) 6 d) 0

e) 22

130 Se d ll  a  2 d ll b  5 d ll 2  e a 2 b 5 6, então o valor 1 de  ________      é: d ll  a 1 d ll b   2   a) dll

2   2dll b)  ____      3

d 2   ll c) ___      3

d 2   ll d)  ___   6

31 (Uespi) Simplificando-se a expressão 1 d ll 3  2 d ll 2   ________     6  , obtém-se um número:   1 2dll d ll 3  1 d ll 2 

a) irracional. b) irracional e menor que 1. c) inteiro e menor que 4. d) múltiplo de 5. e) racional e compreendido entre 0 e 1. CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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1 1 132 (UFC-CE) Seja A 5  ________     e  B 5  ________     ,  d ll 3  1 d ll 2   dll 3  2 d ll 2   então A 1 B é igual a: a) 22dll 2   c) 22dll 3   e) 2dll 3   b) 3dll 2   d) 3dll 3   1 1 133 Simplificando a expressão  _______     1     _______     ,  ll ll d d 2  1 1 2  2 1 obtemos: a) dll 2   c) 2dll 2   2 d)  __   3

2   dll d)  ___   18

35 (Puccamp) Efetuando-se 1 d ll 3  1 2dll 2   _________ 2  2 d ll 3   2dll _________         1     , obtém-se: d ll 3  2 2dll 2   d ll 3  1 2dll 2 

22 a) 2 ___   5 dll 8 6   b) 2 ____      5

6  1 11 d) 24dll 6  1 11 # 2@ 4dll      e) 2 ____________   5

c) 0 136 (UEL-PR) O “jogo de dominó” consiste em um conjunto de peças que são dispostas sequen cialmente. Cada peça pode ser colocada ao lado da peça anterior desde que os lados que se unem representem a mesma quantidade. Por exemplo, as três peças a seguir formam uma possibilidade de sequência.

mesma quantidade

d ll a  1 d ll b 

2a 4 2a

d llllll a2 1 b2 

a0 D

d ll a  4 d ll b 

b1a E

ab F

Assinale a alternativa que indica, correta e respectivamente, uma sequência de três peças entre as possíveis. a) A, B e C c) C, D e E e) F, A e E b) B, C e D d) D, C e F 137 (UFMG) O açude de Orós, um dos maiores reservatórios do Brasil, tem capacidade para armazenar 2 3 109 m3 de água. Sabe-se que o rio Amazonas lança no oceano Atlântico 50 milhões de litros de água por segundo. Com base nesses dados, é correto afirmar que o tempo que o rio Amazonas leva para lançar no oceano Atlântico um volume igual à capacidade do açude Orós é: a) maior que 20 horas. b) menor que 5 horas. c) maior que 5 horas e menor que 10 horas. d) maior que 10 horas e menor que 20 horas.

mesma quantidade

Observe as seis peças (A, B, C, D, E e F), a seguir, de um “dominó de álgebra” que obedece à mesma regra do “jogo de dominó”, ou seja, cada peça pode ser colocada ao lado da peça anterior desde que os lados que se unem representem a mesma quantidade. Considere que cada peça do “dominó de álgebra” deve 44

(a 1 b)2   dlllllll

3a 1 b 2 2a

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2   7dll   b)  ____    6

ll 2

__ 134 (FCC-BA) Simplificando a expressão __       2         ,  2 9 obtemos:

2   7dll   c) ____      3

(b2 1 ab) 4 b

ll 9

3 2 d ll 2   a)  _______    2 2 d ll 3 

d llll a2b2 

Zig Koch/Olhar Imagem

dll 2   b)  ___   2

manter a posição de horizontalidade apresentada e que a e b são números reais positivos e diferentes de zero.

O açude de Orós, localizado no município de Orós (Ceará), é formado pela barragem das águas do rio Jaguaribe.

CAPÍTULO 1 Potenciação e radiciação

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ndoo cand Diversififica A linguagem das máquinas Cada software tem uma sintaxe, isto é, existe uma determinada maneira de digitar os comandos a fim de que a máquina “entenda” corretamente as mensagens que se deseja transmitir. Paulo tinha um computador no qual, para calcular 23, a maneira correta de digitar era 2^3. Ao digitar 2^3 e, em seguida, pedir o resultado, a resposta era 8. Para calcular potências de potências, os parênteses eram necessários. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

De fato, digitar 2^3^2 significava 23 5 29 5 512; ao passo que digitar (2^3)^2 significava (23)2 5 82 5 64. Para garantir resultados corretos em seus cálculos, utilizando ferramentas computacionais, é fundamental escrever corretamente. Isso, aliás, ocorre também quando você escreve no papel: o uso adequado dos parênteses precisa ser respeitado. Agora é com você!

1 Escreva em seu caderno, em cada caso, o significado da expressão que Paulo digitou, deter-

minando os diferentes resultados, na forma de um número elevado a um expoente: a) 2^3^3 b) 2^3^2^3 c) (2^3)^4 d) ((3^2)^3)^2 A questão da importância dos parênteses não é totalmente nova. De fato, você já deve ter observado que, por exemplo, (a 1 b)2 % a 1 b2.

2 Escreva em seu caderno, em cada caso, como você digitaria as expressões seguintes, observando que, no caso da divisão, o comando para a máquina é “/”: a1b 1 a) (a 1 b)2 c) _____ e) _____ a1b c1d a 1 b) a 1 b2 d) __ f) _____ 1 b a 1b c1d

O comando para calcular a raiz quadrada de um número pode ser, dependendo da máquina ou do software utilizado, uma simples tecla dll ou a digitação sqrt. Para a raiz cúbica, não existindo a tecla apropriada, você pode digitar o seguinte: 3 (a)^(1/3), significando dll a ; bem como (a)^(1/2), significando dll a . Dependendo da máqui1 __ na, não é necessário colocar os parênteses na fração . Na dúvida, entretanto, é melhor 2 colocá-los.

3 Escreva em seu caderno, em cada caso, como você digitaria as expressões abaixo, observando novamente que, no caso da divisão, o comando para a máquina é “/” e tomando o devido cuidado com o uso dos parênteses: 1 1 a) dlllll a1b b) a 1 dll b c) _______ d) ___ 1 b ll d dlllll a a1b

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Ensino Fundamental II

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