OBSERVAR IMAGINAR EXPRESAR
educación plástica y visual secundaria
A. De Sandoval Guerra
•
S. Mar tínez Mar tínez
OBJETIVOS •
Conocer los distintos trazados que conducen a dividir la circunferencia en partes iguales y, en consecuencia, a poder inscribir polígonos regulares.
•
Conocer las posibilidades ornamentales que brindan los diseños poligonales con formas de estrellas de diversas puntas.
•
Saber hacer las construcciones con la precisión que requieren los trazados, utilizando las plantillas y el compás.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN - Verificar el perfecto conocimiento de los elementos fundamentales de los polígonos. - Valorar el preciso trazado de polígonos regulares a partir de la división de la circunferencia en partes iguales, utilizando con destreza los instrumentos del dibujo lineal. - Verificar si el conocimiento de las formas geométricas ornamentales ha enriquecido la comprensión de ciertas manifestaciones artís ticas. - Valorar el interés por emplear los conocimientos adquiridos sobre los polígonos regulares estrellados para realizar diseños propios atractivos y originales.
1
FORMAS POLIGONALES Las figuras más sencillas, y fundamentales en la configuración de una forma, son los polígonos. La palabra polígono proviene del griego, «poli» (varios) y «gono» (ángulos). Se definen como figuras planas limitadas por una línea quebrada y cerrada. A
l na go dia
dia
go
E N LA
C O N STR U CC IÓN
l na
a
t po
em
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
1
2
l3
B
86
ángulo interior
β E
A cada segmento quebrado se le llama lado del polígono. Los vértices se designan con una letra mayúscula ( A, B, C...) siguiendo el orden alfabético. Otros elementos básicos son las diagonales (segmentos que unen dos vértices no consecutivos); ángulos interiores (los formados en el interior de un polígono entre dos lados adyacentes); ángulo exterior (el formado por un lado cualquiera y la prolongación de un lado adyacente); y perímetro (la suma de las longitudes de los lados). Según el número de lados, los polígonos pueden clasificarse en: triángulos (3 lados), cuadriláteros (4), pentágonos (5), hexágonos (6), heptágonos (7), octógonos (8 ), eneágonos (9), decágonos (10 ) ... Si un polígono tiene sus lados iguales se dice que es equilátero y si tiene todos sus ángulos iguales equiángulo; el cumplimiento de ambas condiciones –ser equilátero y equiángulo– trae consigo la denominación de POLÍGONO REGULAR . En los polígonos regulares y sólo en estos, aparecen otros nuevos elementos: centro (punto interior que se encuentra a igual distancia de sus vértices); apotema (perpendicular trazada desde el centro del polígono a uno de sus lados); radio (distancia del centro a cualquiera de los vértices); y ángulo central (aquel que forman dos apotemas o dos radios consecutivos). Si un polígono tiene sus vértices en una circunferencia se dice que está inscrito en ella; y si sus lados son tangentes a la misma se dice que está circunscrito a la
La geometría como soporte del proceso creativo
B
C
C
A ángulo exterior
D
O
O
F
lado
A
D
a
α
P O LÍG O N OS R E G U LAR E S
A
radio
C
DE
Inscritos en una circunferencia
Con centro en uno de los extremos de un diámetro ( AD) se traza un arco de igual radio que la circunferencia, obteniendo los puntos B y C que, unidos con A, proporcionan el triángulo equilátero.
G
B
2
P ASOS
HEXÁGONO REGULAR
1
A
2
l6
Con centro en los extremos de un diámetro ( AD) se trazan arcos con radio el de la circunferencia, obteniéndo los puntos B, F, C y E que, junto con A y D, determinan los vértices del hexágono regular inscrito. Otra forma de obtenerlo es transportar el radio seis veces a lo largo de la circunferencia.
B
F
B
F O
O
C
E
C
E
D
D
A
1 CUADRADO
A
2
l4
Se trazan dos diámetros perpendiculares que cortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D, vértices del cuadrado inscrito en la circunferencia dada.
B
D
O
O
B
C
B
OCTÓGONO REGULAR Dos diámetros perpendiculares y sus correspondientes bisectrices dividen a la circunferencia en ocho partes iguales. La unión ordenada de los extremos de los cuatro diámetros determina un octógono regular inscrito en dicha circunferencia dada.
C
A
1
l8
45º
O
B
E
H
45º
G
F
D
A
2
H
C
D
O
C
G
F
D E
P ASOS
E N LA
C O N STR U CC IÓN
DE
P O LÍG O N OS R E G U LAR E S
Inscritos en una circunferencia 1
A
2
A
3
N
HEPTÁGONO REGULAR
B
La mediatriz de un radio cualquiera ( OR ) determina, por intersección con la circunferencia, el segmento MN que define el lado del heptágono regular inscrito en la circunferencia dada. Trasportando dicha magnitud a lo largo de la circunferencia, desde un punto cualquiera de la misma, se obtiene el heptágono regular.
l7
l7
90° R
O
O
O
R
M
G
l7
F
C l7
E
D
A
1
A
2
3
PENTÁGONO y DECÁGONO REGULARES
l10
l 10
l5
Haciendo centro en el punto M (obtenido en la construcción anterior) y con radio la magnitud MA, se obtiene el punto Q. La distancia AQ define el lado del pentágono regular inscrito en la circunferencia dada. La magnitud QO define el lado del decágono regular inscrito en la circunferencia.
l5
l10
O
Q
M
O
O
l5
Q
l10
90°
87
CONSTRUCCIÓN GENERAL
Ejemplo: ENEÁGONO REGULAR
A
1 1
A
2 B
l9
3
l9
B
2 3
I
l9
2
4
2
5 6
A
90° O
H P
C
O
O
7 8 9
G
D
M Se divide un diámetro cualquiera ( AM ) en el mismo número de partes iguales en que se desea dividir la circunferencia; en el ejemplo que nos ocupa, en nueve partes.
M Con centro en los extremos A y M y radio el diámetro, se trazan dos arcos que se cortan en el punto P. La unión de P con la segunda división obtenida ( punto 2 del diámetro ) determina el punto B de la circunferencia.
E
F
La cuerda AB obtenida es el lado del polígono que se desea; en este caso, el lado l 9 del eneágono regular inscrito en la circunferencia.
Formas poligonales regulares
3
POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS Partiendo de un polígono regular, y cambiando el orden de la unión de sus vértices –es decir, uniendo sus vértices de forma no consecutiva– se construyen otros polígonos diferentes llamados estrellados o cóncavos, cuyos lados y ángulos son iguales.
PENTÁGONO ESTRELLADO
OCTÓGONO ESTRELLADO
5° género 2ª especie
8° género 3ª especie
Estas figuras geométricas de gran belleza son muy utilizadas en el arte de la lacería árabe y en los cinteados renacentistas. El polígono estrellado se cierra en el mismo vértice que se comenzó: su trazado puede hacerse sin levantar el lápiz del papel. El número de vueltas necesarias para cerrar el polígono es lo que se denomina «pasos».
88
Así, por ejemplo, un polígono estrellado pentagonal (cóncavo) se obtiene de un pentágono convexo uniendo alternativamente sus vértices; lo que trae consigo haber dado dos vueltas completas y, por tanto, haber obtenido un polígono de «paso 2». Como puedes ver, el concepto de «paso» coincide con el número de lados que comprende cada cuerda del polígono regular inscrito en la circunferencia. En los polígonos estrellados existen dos términos importantes que identifican a cada uno de ellos: •
El género: número de cuerdas empleadas para el trazado del polígono (igual al número de puntas o vértices).
•
La especie: número de vueltas que hay que dar a la circunferencia para cerrar el polígono (igual al número de «pasos»).
7° género 2ª especie
9° género 2ª especie
HEPTÁGONO ESTRELLADO
ENEÁGONO ESTRELLADO
7° género 3ª especie
9° género 4ª especie
A la derecha se muestran algunos diseños decorativos con base en los polígonos estrellados que, en cada caso, se acompañan.
VOCABULARIO • Apotema
Distancia entre el centro de un polígono regular y uno cualquiera de sus lados.
• Lacería
Conjunto de líneas o tallos que se entrecruzan y forman lazos de trazado geométrico. Es típica de la decoración islámica y mudéjar.
• Diagonal
Segmento que une dos vértices no consecutivos en un polígono.
• Polígono regular
Figura formada por una línea poligonal cerrada, siendo sus lados y ángulos iguales y, por tanto, convexa, equilátera y equiángula.
La geometría como soporte del proceso creativo
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DISEÑOS EN BASE A POLÍGONOS CRUZADOS EN ESTRELLA 1. Divide la circunferencia dada en seis partes iguales y
nombre y apellidos
realiza alguno de los diseños mostrados u otro nacido de tu imaginación. 2. De forma similar al ejercicio anterior, pero en este caso dividiendo la circunferencia en ocho partes iguales, diseña un motivo basado en el polígono cruzado de ocho puntas. Puedes tomar como ejemplo alguna de las muestras expuestas o componer un diseño propio.
ESTRELLA DE 6 PUNTAS
nº
curso/grupo
fecha
Formas poligonales regulares
La condición de polígono estrellado exige la posibilidad de que pueda recorrerse en su totalidad, empezando y terminando en el mismo punto, sin levantar el lápiz del papel. Cuando esta condición no se verifica, se trata de polígonos cruzados en estrella, pero no matemáticamente estrellados. En esta lámina debes realizar dos diseños con base en polígonos cruzados con forma de estrella.
ESTRELLA DE 8 PUNTAS
1
N
2 3
W
Estrella de David
1
E
S
2
Rosa de los vientos
VERIFICACIÓN 1. ¿Cómo se divide la circunferencia en seis partes iguales? Indícalo muy brevemente. 2. ¿Cómo se divide la circunferencia en cuatro partes iguales? ¿Y en ocho partes iguales? 3. Localiza algún ejemplo arquitectónico o decorativo que utilice un esquema de polígono octogonal estrellado. Indica su referencia y explica su forma y composición.
90
17
DISEÑOS EN BASE A POLÍGONOS CRUZADOS EN ESTRELLA 1. Divide la circunferencia dada en seis partes iguales y
nombre y apellidos
realiza alguno de los diseños mostrados u otro nacido de tu imaginación. 2. De forma similar al ejercicio anterior, pero en este caso dividiendo la circunferencia en ocho partes iguales, diseña un motivo basado en el polígono cruzado de ocho puntas. Puedes tomar como ejemplo alguna de las muestras expuestas o componer un diseño propio.
ESTRELLA DE 6 PUNTAS
nº
curso/grupo
fecha
Formas poligonales regulares
La condición de polígono estrellado exige la posibilidad de que pueda recorrerse en su totalidad, empezando y terminando en el mismo punto, sin levantar el lápiz del papel. Cuando esta condición no se verifica, se trata de polígonos cruzados en estrella, pero no matemáticamente estrellados. En esta lámina debes realizar dos diseños con base en polígonos cruzados con forma de estrella.
ESTRELLA DE 8 PUNTAS
1
N
2 3
W
Estrella de David
1
E
S
2
Rosa de los vientos
VERIFICACIÓN ¿Cómo se sedivide dividelalacircunferencia circunferencia en seis en seis partes partes iguales? iguales? Indícalo Indícalo muy brevemente. muy brevemente. 1. ¿Cómo 2. ¿Cómo Llevando, se con divide el lacompás, circunferencia y a partir en cuatro de unpartes puntoiguales? cualquiera ¿Y ende ocho la circunferencia, partes iguales? cuerdas de igual magnitud que el radio de la circunferencia considerada; o bien, como indica la 3. Localiza algún ejemplo o decorativo que utilice un esquema polígono de octogonal estrellado. figura, trazando arcos arquitectónico con radio el de la circunferencia y centro en losdeextremos un Indica su referencia y explica su forma y composición. diámetro cualquiera.
1
2 O
2. ¿Cómo se divide la circunferencia en cuatro partes iguales? ¿Y en ocho partes iguales? Trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, se divide la circunferencia en cuatro cuadrantes; sus bisectrices (rectas de 45° respecto a ambas) determinan los ocho octantes en que queda parcelada. 90° 135°
6
3
5
4 45°
180°
0° 360°
315°
225° 270°
90
3. Localiza algún ejemplo arquitectónico o decorativo que utilice un esquema de polígono octogonal estrellado. Indica su referencia y explica su forma y composición.
OCTÓGONO ESTRELLADO 8° género 3ª especie
«Mezquita de Córdoba». Cúpula sobre el mihrab, (siglo X). La disposición octogonal de los arcos está cuidadosamente elaborada, y las superficies están cubiertas de ornamentación basada en esquemas geométricos.
18
DISEÑOS DE FORMAS POLIGONALES ESTRELLADAS ( I ) 1. Divide la circunferencia dada en cinco partes iguales y realiza alguno de los diseños mostrados u otro nacido de tu imaginación, tanto en forma como en color. 2. De manera análoga al ejercicio anterior, divide la circunferencia en siete partes y crea tu propio dibujo.
PENTÁGONO ESTRELLADO
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
Formas poligonales regulares
Observa y analiza los diseños que ilustran esta página. Los dos primeros tienen como esquema base un polígono pentagonal estrellado y los otros dos un polígono heptagonal estrellado; este último contemplado bajo dos posibilidades: de 2ª y 3ª especie respectivamente.
HEPTÁGONO ESTRELLADO
5º género 2ª especie
7º género 2ª especie
7º género 3ª especie
1 2 3
1
2
VERIFICACIÓN 1. Localiza algún ejemplo arquitectónico o decorativo que utilice un esquema de polígono pentagonal estrellado. Indica su referencia y explica su forma y composición. 2. ¿Cómo se divide la circunferencia en 7 partes iguales? Indícalo brevemente.
92
18
DISEÑOS DE FORMAS POLIGONALES ESTRELLADAS ( I ) 1. Divide la circunferencia dada en cinco partes iguales y realiza alguno de los diseños mostrados u otro nacido de tu imaginación, tanto en forma como en color. 2. De manera análoga al ejercicio anterior, divide la circunferencia en siete partes y crea tu propio dibujo.
PENTÁGONO ESTRELLADO
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
Formas poligonales regulares
Observa y analiza los diseños que ilustran esta página. Los dos primeros tienen como esquema base un polígono pentagonal estrellado y los otros dos un polígono heptagonal estrellado; este último contemplado bajo dos posibilidades: de 2ª y 3ª especie respectivamente.
HEPTÁGONO ESTRELLADO
5º género 2ª especie
7º género 2ª especie
7º género 3ª especie
1 2 3
1
2
1
2
5
O
3
4
VERIFICACIÓN Localizaalgún algún ejemplo ejemplo arquitectónico arquitectónico o decorativo o decorativo que utilice que un esquema utilice un deesquema polígono pentagonal de polígono estrellado. 1. Localiza Indica pentagonal su referencia estrellado. y explica Indica su forma su referencia y composición. y explica su forma y composición. 2. ¿Cómo se divide la circunferencia en 7 partes iguales? Indícalo brevemente.
Miguel Ángel. «La Sagrada Familia», 1508. El genial artista organizó la composición de esta pintura circular sirviéndose de un pentágono regular inscrito. 92
2. ¿Cómo se divide la circunferencia en 7 partes iguales? Indícalo brevemente. La medriatriz de un radio cualquiera de la circunferencia determina una cuerda sobre la misma. La mitad de dicha cuerda define la magnitud del lado del heptágono regular inscrito
1
2
l7 O
O
19
DISEÑOS DE FORMAS POLIGONALES ESTRELLADAS ( I I ) 2. Ahora, te proponemos un diseño pentagonal análo-
polígono estrellado de 9 puntas de 2ª y 4ª especie. Debes realizar un dibujo con esquema base en una de estas dos estructuras, partiendo de la circunferencia dada. Pon cuidado e interés en la exactitud del trazado, así como en la limpieza y presentación de la lámina.
go a los mostrados en los ejemplos que encabezan este ejercicio. Para ello, analiza detenidamente sus formas y comienza por construir, como núcleo de la figura, un pentágono regular inscrito en la circunferencia dada; con ello fijas el tamaño del dibujo.
ENEÁGONOS ESTRELLADOS
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
Formas poligonales regulares
1. Observa y analiza los diseños que tienen como base un
PENTAFOLIO
1 2 9º género 2ª especie
9º género 4ª especie
3
Pompa de jabón. Esquema de su estructura pentafólica.
1
2
Adorno arquitectónico. Formado por cinco lóbulos y muy utilizado en el arte gótico.
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DISEÑOS DE FORMAS POLIGONALES ESTRELLADAS ( I I ) 2. Ahora, te proponemos un diseño pentagonal análo-
polígono estrellado de 9 puntas de 2ª y 4ª especie. Debes realizar un dibujo con esquema base en una de estas dos estructuras, partiendo de la circunferencia dada. Pon cuidado e interés en la exactitud del trazado, así como en la limpieza y presentación de la lámina.
go a los mostrados en los ejemplos que encabezan este ejercicio. Para ello, analiza detenidamente sus formas y comienza por construir, como núcleo de la figura, un pentágono regular inscrito en la circunferencia dada; con ello fijas el tamaño del dibujo.
ENEÁGONOS ESTRELLADOS
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
Formas poligonales regulares
1. Observa y analiza los diseños que tienen como base un
PENTAFOLIO
1 2 9º género 2ª especie
9º género 4ª especie
3
Pompa de jabón. Esquema de su estructura pentafólica.
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Adorno arquitectónico. Formado por cinco lóbulos y muy utilizado en el arte gótico.