DIBUJO TÉCNICO 2

dibujo tĂŠcnico

bachillerato Ă lvaro de Sandoval Guerra

SUPERFICIES POLIÉDRICAS CONVEXAS OBJETIVOS

1

2

Conocer las características y relaciones métricas del tetraedro, hexaedro o cubo y octaedro, para su representación en el sistema diédrico en sus múltiples proyecciones.

Representar, mediante secciones por truncamientos o biselados, poliedros semirregulares arquimedianos generados a partir del tetraedro, hexaedro u octaedro regular.

3

Determinar el desarrollo de cuerpos poliédricos, así como la transformada de las secciones que pueden producirse al cortar, por planos, las superficies poliédricas anteriores.

1 SUPERFICIES POLIÉDRICAS Se entiende por superficie poliédrica la formada por superficies poligonales que limitan y cierran un espacio, dando lugar a un cuerpo poliédrico.

El segmento que une dos superficies poligonales recibe el nombre de arista; el punto de corte de las aristas, vértice; las superficies poligonales, caras del poliedro; y el ángulo formado por las caras, ángulo diedro de la superficie poliédrica.

En cada vértice concurren, al menos, tres caras, que al cortarse determinan un ángulo poliedro.

Una superficie poliédrica es convexa (fig.1a) si se verifica que todas sus caras, respecto al plano de cada una de ellas, quedan situadas en un mismo semiespacio; en caso contrario, la superficie será cóncava (fig.1b) . Dicho de otra forma, a diferencia de las cóncavas, las superficies convexas no pueden ser atravesadas por una recta en más de dos puntos.

En los poliedros convexos la relación entre el número de caras, vértices y aristas la establece el conocido Teorema de Euler: «La suma del número de caras y vértices ha de ser igual al de aristas más dos», esto es: C + V = A + 2 .

Las superficies poliédricas se agrupan en regulares e irregulares, dependiendo de que sus caras poligonales sean o no regulares. Su estudio queda justificado por la gran aplicación práctica que tienen en los ámbitos de la Arquitectura, de la Ingeniería y del Diseño.

2 POLIEDROS REGULARES Toman el nombre de poliedros regulares, aquellos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares del mismo tipo. Únicamente son posibles cinco cuerpos: tetraedro, hexaedro o cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro . Cinco sólidos que también reciben el nombre de Poliedros Platónicos, en honor al filósofo griego Platón que les presentó en su obra «El Timeo», allá por el año 427 a.C. Sus representaciones no ofrecen dificultad si se parte de conocer la sencilla estructura de cada uno de ellos; es decir, el conocimiento de su métrica que viene definida y codificada en la llamada sección base o sección principal, de fácil obtención en cada poliedro regular y, de la que se hablará al analizar cada uno de ellos.

En esta exposición únicamente se profundiza en el estudio de los tres primeros poliedros.

r 2

r 3

1

1

1.a Poliedro convexo.

4

2

1.b Poliedro cóncavo.

gono; por tanto, son equiláteros y equiángulos.

En la cosmología platónica el Tetraedro representa al Fuego, el Hexaedro a la Tierra, el Octaedro al Aire, el Icosaedro al Agua y el Dodecaedro a la Armonía Universal.

POLIEDROS REGULARES CONVEXOS

TETRAEDRO

HEXAEDRO O CUBO

OCTAEDRO

DODECAEDRO

ICOSAEDRO

4

C

4

6

C

8

8

C

6

12

C

20

20

C

12

4

V

4

8

V

6

6

V

8

20

V

12

12

V

20

6

A

6

12

A

12

12

A

12

30

A

30

30

A

30

TETRAEDRO

OCTAEDRO

HEXAEDRO O CUBO

P OLIEDROS C ONJUGADOS

Propiedades generales: • Sus caras están formadas por un mismo polí-

2

como número de vértices, menos dos, tenga.

• Son inscriptibles entre sí.

• Tanto las caras (C) como los vértices (V) o

• Admiten tres esferas tangentes: la inscrita o

las aristas (A) equidistan del centro geométrico del poliedro.

• La suma de los ángulos de todas las caras del poliedro es igual a tantas veces cuatro rectos

tangente a las caras, la circunscrita, que pasa por sus vértices y, la tangente a las aristas .

• Los poliedros conjugados o duales también

son poliedros regulares.

O

ICOSAEDRO

DODECAEDRO

D UALES

3 POLIEDROS CONJUGADOS El poliedro que tiene por vértices un punto en cada una de las caras de otro poliedro, se llama conjugado o dual de este, y por tanto, se verifica que el número de vértices del primero es igual al número de caras del segundo.

En el caso de los poliedros regulares convexos,

el conjugado de uno determinado es otro poliedro regular, que tiene por vértices los centros de las caras de aquel.

La figura superior muestra los conjugados de cada uno de los cinco poliedros regulares. Nótese la correspondencia métrica que se establece entre el número de caras, vértices y aristas de cada poliedro y su dual.

149

4 TETRAEDRO

Vértices Aristas

SECCIONES PLANAS A

S ECCIÓN P RINCIPAL a N

h

hc

h

hc

m

O

=

D

M

B

=

M

O

m

4.1.1 Sección triángulo equilátero.

H

1/3

H

=

h

N

= =

Para su representación diédrica se conocerá, como mínimo, la magnitud de la arista, lo que nos permitirá dibujar la llamada sección principal, determinada por un plano que contiene a una arista (por ejemplo AB) y al punto medio (M) de la opuesta (CD). Se trata de un triángulo isósceles de lado desigual la dimensión de la arista (a) del tetraedro y por magnitud de los otros dos, la altura (hc ) de una cara (fig.4b).

Dicha sección proporciona todas las relaciones métricas necesarias para representar al tetraedro en cualquier posición espacial.

A

4 4 6

Caras

=

Poliedro cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros; tiene cuatro vértices y seis aristas. No tiene diagonales. En cada vértice concurren tres caras. La altura del poliedro queda definida por un triángulo rectángulo en el que un cateto es 2 /3 de la altura de una cara y la hipotenusa la arista a, siendo el otro cateto la altura h buscada (fig.4a) .

ELEMENTOS Y RELACIONES MÉTRICAS ELEMENTOS

M

B

2/3

=

hc

C 4.a Tetraedro y una de sus seis secciones principales.

4.b Verdadera magnitud de la sección principal de un tetraedro de arista a.

O

a/2

=

LEYENDA DE LA SECCIÓN

4.1 Secciones planas particulares.

a

N

Arista del tetraedro.

4.1.2 Sección cuadrada de lado a /2.

• Sección triángulo equilátero (fig. 4.1.1).

h c Altura de una cara.

Cuando el plano de corte es paralelo a una de las caras del tetraedro.

• Sección cuadrada ( fig. 4.1.2).

Cuando el plano de corte pasa por el centro (O) del poliedro y es paralelo a dos aristas opuestas. El valor del lado del cuadrado sección es igual a la mitad de la arista del poliedro.

Puesto que un tetraedro se compone de seis aristas formando tres pares de opuestas, dos a dos, es evidente que son posibles tres secciones cuadradas.

M

h

Altura del tetraedro ( AH ).

O

Centro geométrico del tetraedro.

O

entre dos aristas opuestas y m Distancia diámetro de la esf. tang. a las aristas.

OA Radio de la esfera circunscrita ( = OB ).

N

OH Radio de la esfera inscrita.

4.c Desarrollo.

4.1.3 Sección rectangular.

• Sección rectangular (fig. 4.1.3).

Cuando el plano de corte no pasa por el centro geométrico del tetraedro, pero sin embargo es paralelo a dos aristas opuestas. En este caso se verifica que la suma de los dos lados desiguales de la sección es igual a la arista del tetraedro.

POSICIONES SINGULARES DEL TETRAEDRO

1

2

CON UNA CARA HORIZONTAL

3

CON UNA ARISTA VERTICAL

A”

CON DOS ARISTAS HORIZONTALES

A” A”

a/2

4.2 Posiciones singulares del tetraedro.

C”

1. Con una cara horizontal.

La proyección horizontal será un triángulo equilátero y el cuarto vértice se proyectará en el centro geométrico de la cara.

D”

a

C”

h

m a/2

Su proyección vertical tendrá tres vértices a igual cota y el cuarto (A) distante la altura h .

2. Con una arista vertical.

La proyección vertical tendrá dos vértices (C y D) a cota intermedia de los situados en los extremos A y B de la arista vertical.

Su proyección vertical está condicionada por la distancia m, entre las dos aristas opuestas cuyo valor, como siempre, se obtiene de dibujar, previamente, la sección principal del poliedro.

150

D”

B”

B’

hc

D’

A’ A’ B’

D’

a a

A’

3. Con dos aristas paralelas al plano horizontal.

La proyección horizontal es un cuadrado de diagonal la arista del poliedro.

B”

C” B”

D”

Puesto que en el tetraedro dos aristas opuestas son ortogonales, su proyección horizontal será el de una sección principal.

a

D’

hc

h

a

B’ Sección principal

C’

C’ C’

ELEMENTOS Y RELACIONES MÉTRICAS

5 HEXAEDRO O CUBO

Vértices Aristas

B

C

O

a

d A

a

Sección hexágono regular de lado d c /2.

d /3

Arista del hexaedro o cubo.

d /3

d c Diagonal de una cara: a 2.

Centro geométrico del hexaedro.

R

O

d /3

LA

Diagonal del cubo : AB = CD = a 3.

LÁ

d /3

s

UI EQ T.

dc

OM Radio de la esf. tg. a las aristas, ( = dc /2).

5.c Desarrollo.

TE

RE

RO EQ

XÁ HE

T.

OH Radio de la esfera inscrita al hexaedro.

GO

UI

NO

LÁ

TE

a

d /3

Distancia de un vértice a la diagonal d.

RO

GU

d

OA Radio de la esfera circunscrita: d /2 = OB.

5.1.3 Vista del hexaedro paralela a una sección principal.

POSICIONES SINGULARES DEL HEXAEDRO O CUBO

A” F”

H”

CON UNA DIAGONAL VERTICAL

A”

B” D”

E”

C”

B”

=

G”

3

CON UNA SECCIÓN PRINCIPAL VERTICAL

O lo que es lo mismo, con dos caras paralelas a un plano de proyección horizontal.

H”

D”

G”

C”

G”

F”

E”

C”

B”

D”

A”

E”

=

=

a

H”

F” D’

3. Con una diagonal del cubo perpendicular a uno de los planos de proyección.

d=a 3

2

=

CON UNA CARA HORIZONTAL

=

1

1. Apoyado, por una cara, en el plano horizontal.

En la figura adjunta se ha representado con la diagonal AH vertical.

El radio s de la circunferencia circunscrita a los seis vértices intermedios del cubo, –situados en planos perpendiculares a la diagonal vertical y a los tercios de esta–, se determina construyendo la sección principal del poliedro: es la distancia de un vértice de dicha sección rectangular a una diagonal de la misma, esto es, a la diagonal del cubo (fig. 5b) .

5.1.2

dc / 2

LEYENDA DE LA SECCIÓN

• Sección hexágono regular ( fig. 5.1.2) .

Por ejemplo, la sección ABFE . Lo que significa que la proyección sobre dicho plano es, asimismo, otra sección principal en verdadera magnitud.

O

5.b Verdadera magnitud de la sección principal de un hexaedro de arista a.

5.a Hexaedro o cubo y una de sus seis secciones principales.

Cuando el plano de corte es perpendicular a una diagonal en los tercios extremos de la misma. En este caso, el plano sección pasa por los vértices contiguos al vértice truncado (fig. 5.1.3 ) .

2. Con una sección principal perpendicular a uno de los planos de proyección.

D

H dc = a 2

D H

A

• Sección triángulo equilátero (fig. 5.1.1).

Al igual que se hizo con el tetraedro, vamos a estudiar las tres posiciones en las que habitualmente se encuentra ubicado el hexaedro, respecto a los planos de proyección.

M

M

Todas las secciones de interés en el hexaedro se obtienen al cortar al poliedro por planos que sean perpendiculares a una de sus diagonales.

5.2 Posiciones singulares del hexaedro.

5.1.1 Secciones triángulo equilátero de lado dc .

O

a

5.1 Secciones planas particulares.

Este tipo de secciones se obtienen cortando al hexaedro perpendicularmente a una diagonal por el punto medio de la misma, es decir, por el centro geométrico (O) del poliedro (fig. 5.1.3) .

O

d

s

s

dc

B

C

dc

En el hexaedro o cubo, una sección principal (aquella que posee toda la información del poliedro), es la producida por un plano que pasa por el centro geométrico (O ) del hexaedro y contiene a dos aristas opuestas (fig. 5a) . Por tanto una sección principal viene determinada por un rectángulo de lado menor la arista (a) del poliedro y lado mayor la diagonal (dc ) de una cara.

Para poder representar el poliedro, en cualquier posición espacial, es conveniente dibujar su sección principal (fig. 5b), al objeto de conocer las relaciones métricas necesarias que faciliten las dimensiones relativas entre los elementos (vértices, caras, aristas, etc.) del poliedro.

S ECCIÓN P RINCIPAL

6 8 12

Caras

dc = a 2

Poliedro formado por seis caras cuadradas y paralelas entre sí, dos a dos; tiene ocho vértices y doce aristas. Cada uno de sus vértices forma un triedro trirrectángulo, concurriendo por tanto, tres caras en cada vértice, perpendiculares entre sí dos a dos.

SECCIONES PLANAS

ELEMENTOS

F’

D’

B’ F’ A’ E’

a A’ E’

B’

s

H’ C’

A’ H’ G’

C’ G’ Cara del hexaedro

a D’ H’

B’ F’ G’

Sección principal

E’ C’

151

SECCIONES PLANAS

ELEMENTOS Y RELACIONES MÉTRICAS

6 OCTAEDRO Poliedro formado por ocho caras triángulos equiláteros; tiene seis vértices y doce aristas. En cada vértice concurren cuatro caras (fig. 6a) .

ELEMENTOS

En el octaedro, una sección principal (fig. 6a) es la producida por un plano que atraviesa al poliedro pasando por su centro (O) y por los puntos medios (M y N) de dos aristas opuestas.

Aristas

Vértices

P RINCIPAL hc

a

En definitiva, la sección principal viene determinada por un rombo de diagonal menor la arista (a) y diagonal mayor la diagonal (d) . Sus lados serán iguales a la altura de una cara (hc ) .

M

hc

d

hc

d u

O

A

S ECCIÓN

A

A

8 6 12

Caras

a

M

N

a

O

u

O

6.1.1

N

Sección cuadrada.

6.a

Para poder representar correctamente el octaedro, en cualquier posición, es conveniente dibujar la sección principal, partiendo de conocer la arista del poliedro (fig. 6b) y, con ello, obtener toda la información necesaria sobre las distancias relativas entre elementos (vértices, aristas, etc.) del poliedro.

hc

6.a Octaedro y una de sus seis secciones principales.

Verdadera magnitud de la sección principal de un octaedro de arista a.

hc

B

B

B

a/2

6.1 Secciones planas particulares.

LEYENDA DE LA SECCIÓN

• Sección cuadrada (fig. 6.1.1) .

a

Cuando el plano de corte es perpendicular a cualquiera de las tres diagonales del poliedro.

Esta sección se obtiene cortando al octaedro por un plano que pase por el centro geométrico del poliedro y que sea paralelo a dos caras opuestas.

• Sección hexágono irregular (fig. 6.1.3).

O

Centro geométrico del octaedro.

O 6.1.3

Sección hexagonal irregular.

Distancia entre dos caras opuestas y diámetro de la esfera inscrita.

POSICIONES SINGULARES DEL OCTAEDRO

También en este poliedro podemos considerar tres posiciones clásicas en cuanto a su posicionamiento respecto a los planos de proyección.

1

2

CON UNA DIAGONAL VERTICAL

A’’

A”

E”

C”

D”

C”

B”

A”

a/2 F”

a

E”

=

2. Con un plano diagonal (cuadrado de lado a ) perpendicular a un plano de proyección.

CON UNA CARA HORIZONTAL

D”

d=a 2

F”

3

CON UN PLANO DIAGONAL VERTICAL

=

1. Con una diagonal perpendicular a un plano de proyección.

u

a/2

En la figura adjunta, se dibuja el octaedro con un plano diagonal vertical, lo que significa que la proyección sobre el plano horizontal es una sección principal. En la proyección vertical la cota relativa entre la arista inferior y la superior es igual a la magnitud de la arista del octaedro; los otros dos vértices se encuentran en su cota media.

152

Diagonal del octaedro ( AB = a 2 ) y diámetro de la esf. circunscrita al poliedro.

u

6.c Desarrollo.

6.2 Posiciones singulares del octaedro.

En la figura, las caras opuestas ABC y DEF son horizontales y, por tanto, se proyectan en verdadera magnitud, estando giradas 60° una respecto a la otra.

La proyección vertical se obtiene considerando la cota relativa que separa los tres vértices de la cara superior respecto de la inferior, magnitud (u) que se determina en la sección principal.

d

Distancia entre aristas opuestas ( a ) y MN diámetro de la esf. tag. a las aristas.

Cuando el plano de corte pasa por el centro del poliedro y atraviesa a dos aristas concurrentes en puntos diferentes de sus puntos medios.

3. Con una cara paralela a un plano de proyección.

Sección hexágono regular de lado a / 2.

h c Altura de una cara.

• Sección hexágono regular (fig. 6.1.2).

En la figura, la diagonal AB del octaedro es vertical. La proyección horizontal es un cuadrado con sus correspondientes diagonales.

La proyección vertical tiene los cuatro vértices intermedios a la mitad de la diagonal del poliedro.

Arista del octaedro.

O

a

6.1.2

B”

B”

E’

E’

C”

F”

E”

D”

B’ D’

a

F’

hc

A’ B’

a

a

A’ B’ D’

C’ D’

Sección principal

a C’

E’

hc F’

A’

C’ F’

1

TETRAEDRO: VISTAS AUXILIARES. SECCIÓN CUADRADA Un TETRAEDRO REGULAR de 45 mm. de arista tiene su cara ABC apoyada en el plano horizontal (H ) de referencia. Se pide :

2

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SUPERFICIES POLIÉDRICAS CONVEXAS

3

obtener la VERDADERA MAGNITUD DE DICHA SECCIÓN.

a) Completar sus PROYECCIONES DIÉDRICAS dadas (alzado y planta).

c ) Dibujar, sobre el desarrollo adjunto, la TRANSFORMADA DE LA SECCIÓN anterior.

b) Seccionar al poliedro por un plano que contenga a su centro geométrico (centro de gravedad del tetraedro) y sea paralelo a las aristas AC y BD, opuestas y perpendiculares entre sí. Asimismo, debes

NOTA.- Es didáctico y de gran ayuda disponer de la maqueta del tetraedro, a la misma escala que la propuesta en el ejercicio, obtenida a partir del desarrollo adjunto.

nombre y apellidos

nº

curso/grupo

fecha

MÉTODO DE VISTAS AUXILIARES Una de las vías a seguir para determinar la verdadera magnitud de la sección producida por un plano, es cambiar los dos planos de proyección iniciales ( y ), al objeto de situar el plano sección paralelo a un nuevo plano de referencia, donde la sección producida se proyecte en verdadera magnitud: recordemos que un plano se observa en verdadera magnitud cuando la dirección de proyección es perpendicular al mismo, apareciendo como un segmento en todas las vistas adyacentes.

DESARROLLO DEL TETRAEDRO Y TRANSFORMADA DE LA SECCIÓN CUADRADA

PASOS A SEGUIR

1º Cambiar el plano vertical por otro 1 , convirtiendo el plano sección en proyectante vertical : la nueva proyección vertical del tetraedro es la de una sección principal del poliedro.

2º Cambiar el plano horizontal por otro 1 , convirtiendo el plano sección en paralelo al nuevo plano horizontal ( 1 ) : la nueva proyección presenta a la sección en su verdadera dimensión.

B’’

A’’

C’’

B

V H A

A’

B’ D

C

C’

H B

V1

A

H1

V1

45

VERIFICACIÓN El TRONCOTETRAEDRO es un poliedro que se obtiene directamente del TETRAEDRO REGULAR , mediante el truncamiento por los tercios de sus aristas, como muestra la viñeta adjunta.

Su desarrollo consta de cuatro caras hexágonos regulares y cuatro que son triángulos equiláteros, todas ellas de igual lado: un tercio de la arista del tetraedro origen.

La proyección A’B’C’D’ representa la vista en planta de un tetraedro regular situado con las aristas AB y CD paralelas al plano horizontal de referencia, y del que también se conoce la proyección vertical ( A’’B’’) de la arista AB. Se pide: 1º. Completar la PROYECCIÓN VERTICAL DEL TETRAEDRO dado y dibujar las PROYECCIONES DIÉDRICAS DEL TRONCOTETRAEDRO generado a partir del Tetraedro de arista 48 mm., indicando PARTES VISTAS y OCULTAS del mismo.

2º. Dibujar, a escala natural, el DESARROLLO DEL TRONCOTETRAEDRO (poliedro semirregular arquimediano en honor al ciéntifico Arquímedes que fue quien estudió sus propiedades).

2

1/

1

3

ELEMENTOS Triángulos 4

3

Caras 1/

Hexágonos 4 Vértices 12

18

3

Aristas 1/ 3

1/3 1/3 1/3

TETRAEDRO

Truncamiento

TRONCOTETRAEDRO

DESARROLLO DEL TRONCOTETRAEDRO

hc A’’

B’’ a = arista del tetraedro: 48 mm.

m a

hc

hc

h c = altura de una cara. m = distancia entre dos aristas opuestas del tetraedro.

cara del tetraedro

Sección principal

a

C’

A’

B’

D’ VISTAS DIÉDRICAS

154

DESARROLLO DEL TRONCOTETRAEDRO

1

TETRAEDRO: VISTAS AUXILIARES. SECCIÓN CUADRADA Un TETRAEDRO REGULAR de 45 mm. de arista tiene su cara ABC apoyada en el plano horizontal (H ) de referencia. Se pide :

2

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SUPERFICIES POLIÉDRICAS CONVEXAS

3

obtener la VERDADERA MAGNITUD DE DICHA SECCIÓN.

a) Completar sus PROYECCIONES DIÉDRICAS dadas (alzado y planta).

c ) Dibujar, sobre el desarrollo adjunto, la TRANSFORMADA DE LA SECCIÓN anterior.

b) Seccionar al poliedro por un plano que contenga a su centro geométrico (centro de gravedad del tetraedro) y sea paralelo a las aristas AC y BD, opuestas y perpendiculares entre sí. Asimismo, debes

NOTA.- Es didáctico y de gran ayuda disponer de la maqueta del tetraedro, a la misma escala que la propuesta en el ejercicio, obtenida a partir del desarrollo adjunto.

nombre y apellidos

nº

curso/grupo

fecha

MÉTODO DE VISTAS AUXILIARES α2

Una de las vías a seguir para determinar la verdadera magnitud de la sección producida por un plano, es cambiar los dos planos de proyección iniciales ( y ), al objeto de situar el plano sección paralelo a un nuevo plano de referencia, donde la sección producida se proyecte en verdadera magnitud: recordemos que un plano se observa en verdadera magnitud cuando la dirección de proyección es perpendicular al mismo, apareciendo como un segmento en todas las vistas adyacentes.

D’’

DESARROLLO DEL TETRAEDRO Y TRANSFORMADA DE LA SECCIÓN CUADRADA 4’’ 1’’

h O’’

PASOS A SEGUIR

1º Cambiar el plano vertical por otro 1 , convirtiendo el plano sección en proyectante vertical : la nueva proyección vertical del tetraedro es la de una sección principal del poliedro.

2º Cambiar el plano horizontal por otro 1 , convirtiendo el plano sección en paralelo al nuevo plano horizontal ( 1 ) : la nueva proyección presenta a la sección en su verdadera dimensión.

3’’

B’’

2’’

C’’

B

V H

A’’

2

a/2

A

A’ 2’

1

1’

B’

a/2

O’ D’ 3’

D

a h

4’

4 Y

α1

B’’1

C

C’

Y 2’’1 3’’1

a/2 a/2

O’’1

B’1

H B

2’1

V1

1’’1 4’’1 3’1

α*2 A

D’’1 1’1

A’1

2

h

C’1

O’1

4’1 Vista como sección principal del tetraedro

D’1 Verdadera magnitud de la sección cuadrada de lado a/2.

3

A’’1 C’’1

H1

V1

45

VERIFICACIÓN El TRONCOTETRAEDRO TRONCOTETRAEDROeses unun poliedro poliedro que que se se obtiene obtiene directamente directamente del del TETRAEDRO TETRAEDRO REGULAR REGULAR , mediante , mediante el truncamiento el truncamiento por lospor tercios los tercios de sus aristas, de sus como aristas, muestra como muestra la viñetala adjunta. viñeta Su adjunta. desarrollo Su desarrollo consta deconsta cuatrode caras cuatro hexágonos caras hexágonos regulares regulares y cuatro que y cuatro son triángulos que son triángulos equiláteros, equiláteros, todas ellastodas de igual ellaslado: de igual un tercio lado :de unlatercio aristade del latetraedro arista del origen. tetraedro origen.

La proyección A’B’C’D’ A’B’C’D’representa representalalavista vistaen enplanta plantade deun untetraedro tetraedroregular regularsituado situadocon conlas lasaristas aristasAB AB y CD y CD paralelas paralelas al al plano plano horizontal horizontal dede referencia, referencia, y del y del que que también también se se conoce conoce la proyección la proyección vertical vertical ( A’’B’’) ( A’’B’’) de la dearista la arista AB.AB. Se pide: Se pide : 1º.

1º. Completar la PROYECCIÓN PROYECCIÓN VERTICAL VERTICALDEL DEL TETRAEDRO TETRAEDRO dado dado y dibujar y dibujar laslas PROYECCIONES PROYECCIONES DIÉDRICAS DIÉDRICAS DEL TRONCOTETRAEDRO DEL TRONCOTETRAEDRO generado generado a partir a partir del Tetraedro del Tetraedro de arista de arista 48 mm., 48 indicando mm., indicando PARTES PARTES VISTASVISTAS y OCULTAS y OCULTAS del mismo. del mismo.

2º.

2º. Dibujar, a escala natural, natural, el el DESARROLLO DESARROLLO DEL DELTRONCOTETRAEDRO TRONCOTETRAEDRO(poliedro (poliedrosemirregular semirregulararquimediano arquimedianoen enhonor honoral alciéntifico ciéntifico Arquímedes Arquímedes que que fue quien estudió sus propiedades).

2

1/

1

3

ELEMENTOS Triángulos 4

3

Caras 1/

Hexágonos 4 Vértices 12

18

3

Aristas 1/ 3

1/3 1/3 1/3

TETRAEDRO

1 /3

Truncamiento

1 /3

A’’

TRONCOTETRAEDRO

1/3

DESARROLLO DEL TRONCOTETRAEDRO

hc B’’ a = arista del tetraedro: 48 mm.

m a

m

hc

hc

h c = altura de una cara. m = distancia entre dos aristas opuestas del tetraedro.

cara del tetraedro

Sección principal

C’’ D’’

a Arista del Troncotetraedro: a / 3 = 16 mm.

C’

A’

B’

D’ VISTAS DIÉDRICAS

154

DESARROLLO DEL TRONCOTETRAEDRO

1

HEXAEDRO O CUBO: VISTAS AUXILIARES. SECCIÓN HEXAGONAL Uno de los principios básicos más importantes del empleo y manejo del sistema diédrico que debes dominar y comprender en profundidad, es la RELACIÓN ENTRE VISTAS. Dicha relación se establece al ser los planos de proyección perpendiculares entre sí, teniendo una línea de tierra localizada entre ellos y siempre perpendicular a las líneas de referencia que liga o relaciona una proyección con otra.

En la propuesta se considera un HEXAEDRO REGULAR de 34 mm. de arista, apoyado en el plano horizontal ( H ) de referencia inicial. Se pide:

a) Completar las PROYECCIONES DIÉDRICAS (alzado y planta). b) Seccionar al cubo por el plano perpendicular a la diagonal CE por su punto medio (centro geométrico del poliedro). Asimismo, debes obtener la VERDADERA MAGNITUD DE LA SECCIÓN. c ) Dibujar, sobre el desarrollo adjunto, la TRANSFORMADA de la sección.

NOTA.- Es aconsejable trabajar el ejercicio realizando una maqueta del hexaedro, utilizando el desarrollo dado. Sin duda te ayudará a ver mejor las nuevas proyecciones o vistas auxiliares del poliedro.

MÉTODO DE VISTAS AUXILIARES

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SUPERFICIES POLIÉDRICAS CONVEXAS

2 3

46

nombre y apellidos

nº

curso/grupo

fecha

DESARROLLO DEL HEXAEDRO Y TRANSFORMADA DE LA SECCIÓN HEXAGONAL

PASOS A SEGUIR

1º Cambiar el plano vertical V por otro V 1 , convirtiendo el plano sección en proyectante vertical: la nueva proyección vertical del hexaedro es la de una sección principal del poliedro.

H

G

2º Cambiar el plano horizontal H por otro H 1 , que convierte al plano sección en paralelo al nuevo plano horizontal de referencia H 1 : sobre dicho plano se proyecta en verdadera magnitud la sección hexagonal producida por el plano de corte considerado.

C’’

B’’

D’’

A’’

V H

H

G E

F

A

B

B’ F’ A’ E’ D

C

H V1

C’ G’ D’ H’

V1 H1

D

C

H

G

VERIFICACIÓN El CUBOCTAEDRO, como su nombre indica, es un poliedro que se obtiene directamente del HEXAEDRO o CUBO, mediante truncamiento por el punto medio de las aristas, como muestra la viñeta adjunta. Su desarrollo consta de catorce polígonos de igual lado ( a 2 /2 , siendo a el valor de la arista del cubo ) : seis cuadrados y ocho triángulos equiláteros.

Se conoce la proyección horizontal de un Hexaedro o Cubo situado con una sección principal (A BF E ) perpendicular al plano horizontal de referencia. Se pide : 1º. Completar la PROYECCIÓN VERTICAL DEL HEXAEDRO y, después, dibujar las VISTAS DIÉDRICAS DEL CUBOCTAEDRO que se genera a partir del Hexaedro dado, de arista 34 mm.

2º. Representar, a escala natural, el DESARROLLO DEL CUBOCTAEDRO, del cual se da iniciada su zona central.

1

2

3

ELEMENTOS Triángulos 8

Caras

Cuadrados 6 Vértices 12

24

1/

1/2

2

1/

2

Aristas

1/2

HEXAEDRO o CUBO

Truncamiento

DESARROLLO DEL CUBOCTAEDRO

A”

dc = a 2

B”

CUBOCTAEDRO

F”

E”

D’

A’ E’

H’ C’

B’ F’

G’ VISTAS DIÉDRICAS

156

DESARROLLO DEL CUBOCTAEDRO

1

HEXAEDRO O CUBO: VISTAS AUXILIARES. SECCIÓN HEXAGONAL Uno de los principios básicos más importantes del empleo y manejo del sistema diédrico que debes dominar y comprender en profundidad, es la RELACIÓN ENTRE VISTAS. Dicha relación se establece al ser los planos de proyección perpendiculares entre sí, teniendo una línea de tierra localizada entre ellos y siempre perpendicular a las líneas de referencia que liga o relaciona una proyección con otra.

En la propuesta se considera un HEXAEDRO REGULAR de 34 mm. de arista, apoyado en el plano horizontal ( H ) de referencia inicial. Se pide:

G’’ 4’’ F’’

3’’

H’’

1º Cambiar el plano vertical V por otro V 1 , convirtiendo el plano sección en proyectante vertical: la nueva proyección vertical del hexaedro es la de una sección principal del poliedro.

E’’

d’’

O’’

2’’

C’’

6’’

B’’

nº

curso/grupo

fecha

H

G 3

4

V H

D’’ 1’’ A’’

46

nombre y apellidos

2º Cambiar el plano horizontal H por otro H 1 , que convierte al plano sección en paralelo al nuevo plano horizontal de referencia H 1 : sobre dicho plano se proyecta en verdadera magnitud la sección hexagonal producida por el plano de corte considerado.

a

5’’

3

DESARROLLO DEL HEXAEDRO Y TRANSFORMADA DE LA SECCIÓN HEXAGONAL

PASOS A SEGUIR

α2

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SUPERFICIES POLIÉDRICAS CONVEXAS

a) Completar las PROYECCIONES DIÉDRICAS (alzado y planta). b) Seccionar al cubo por el plano perpendicular a la diagonal CE por su punto medio (centro geométrico del poliedro). Asimismo, debes obtener la VERDADERA MAGNITUD DE LA SECCIÓN. c ) Dibujar, sobre el desarrollo adjunto, la TRANSFORMADA de la sección.

NOTA.- Es aconsejable trabajar el ejercicio realizando una maqueta del hexaedro, utilizando el desarrollo dado. Sin duda te ayudará a ver mejor las nuevas proyecciones o vistas auxiliares del poliedro.

MÉTODO DE VISTAS AUXILIARES

2

H

4 E

G

F

2

5

B’ F’ B’ 5’ F’ 6’ A’ E’

B

A

d’

Vista como sección principal del hexaedro

4’ O’

1

D

6

C

1’

dc /2

C’ G’ 3’

1

H V1

α1 A’’1

D’ H’ 2’

V1 H1

dc /2

D

A’1

1’’1 6’’1 1’1

B’’1 D’’1

6’1

D’1

2

B’1

C’’1

Y

C

O’’1 2’’1 5’’1 d’’1

E’’1

2’1 O’1 C’1 E’1

5’1 H

3

F’’1 H’’1

a

H’1

3’’1 4’’1 G’’1

α*2

F’1 3’1

Sección hexagonal

4’1 G’1

Y

dc / 2

dc /2

Verdadera magnitud de la sección hexagonal de lado a 2/2

G

VERIFICACIÓN El CUBOCTAEDRO, CUBOCTAEDRO,como comosusu nombre nombre indica, indica, es es unun poliedro poliedro queque se obtiene se obtiene directamente directamente del HEXAEDRO del HEXAEDRO o CUBO, o CUBO, mediante mediante truncamiento truncamiento por el punto por el medio punto de medio las aristas, de las como aristas, muestra como la muestra viñeta la adjunta. viñeta Su adjunta. desarrollo Su desarrollo consta deconsta catorce depolígonos catorce polígonos de igual lado de igual ( a 2lado /2 , siendo ( a 2/a 2 ,elsiendo valor de a ellavalor aristade del lacubo arista ) : del seiscubo cuadrados ) : seis cuadrados y ocho triángulos y ocho equiláteros. triángulos equiláteros.

Se conoce la proyección horizontal de un Hexaedro Hexaedro oo Cubo Cubo situado situado con con una una sección sección principal principal (A (ABF BFEE) )perpendicular perpendicularalalplano planohorizontal horizontalde dereferencia. referencia.Se Sepide pide: : 1º. Completar la la PROYECCIÓN PROYECCIÓN VERTICAL VERTICALDEL DELHEXAEDRO HEXAEDRO y, y, después, después, dibujar dibujar laslas VISTAS VISTAS DIÉDRICAS DIÉDRICAS DELDEL CUBOCTAEDRO CUBOCTAEDRO que que se genera se genera a partir a partir del Hexaedro del Hexaedro dado, dado, de arista de arista 34 mm.

34 mm.

2º.

2º. Representar, a escala natural, el DESARROLLO DESARROLLODEL DELCUBOCTAEDRO, CUBOCTAEDRO, deldel cual cual se se daha iniciada iniciado su su zona parte central. central.

1

2

ELEMENTOS Triángulos 8

3

Caras

Cuadrados 6 Vértices 12

24

1/

1/2

2

1/

2

Aristas

1/2

HEXAEDRO o CUBO

Truncamiento

dc = a 2

DESARROLLO DEL CUBOCTAEDRO

A”

=

B”

CUBOCTAEDRO

Arista del Cuboctaedro: a 2 / 2

C”

G”

H”

=

D”

F”

E”

D’

A’ E’

H’ C’

B’ F’

G’ VISTAS DIÉDRICAS

156

DESARROLLO DEL CUBOCTAEDRO

1

OCTAEDRO: VISTAS AUXILIARES. SECCIÓN HEXAGONAL Un OCTAEDRO REGULAR de 35 mm. de arista se encuentra situado con una diagonal perpendicular al plano horizontal ( H ) de referencia y con la orientación que muestra la figura adjunta. Se pide : a) Completar la vista PROYECCIÓN VERTICAL DEL OCTAEDRO. b) Seccionar el poliedro por el plano que contiene a su centro geométrico y es paralelo a la cara ACD y, por tanto, también a su opuesta BEF.

2

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SUPERFICIES POLIÉDRICAS CONVEXAS

3

Asimismo, obtén la VERDADERA MAGNITUD DE LA SECCIÓN. c ) Representar, sobre el desarrollo adjunto, la TRANSFORMADA DE DICHA SECCIÓN. NOTA.- Es aconsejable trabajar el ejercicio realizando una maqueta del octaedro. Para ello, puedes copiar sobre una cartulina el desarrollo que te presentamos.

nombre y apellidos

nº

curso/grupo

fecha

MÉTODO DE VISTAS AUXILIARES Proceso a seguir para obtener la verdadera magnitud de la sección hexagonal que produce el plano de corte propuesto.

A’’

PASOS A SEGUIR

1º Cambiar el plano de partida V por otro V 1 , que convierte el plano sección en proyectante vertical: la nueva proyección del octaedro es la de una sección principal del poliedro.

d=a 2

V H

B’’

DESARROLLO DEL OCTAEDRO Y TRANSFORMADA DE LA SECCIÓN HEXAGONAL

2º Cambiar el plano horizontal H por otro H 1 , para situar el plano sección en posición paralelo al nuevo plano horizontal H 1 : sobre dicho plano se proyecta la verdadera magnitud de la sección hexagonal pedida.

D

E

D’

A

E’ A’ B’ C’

H V1

F

V1 H1 F’

C

B

D

E

47

VERIFICACIÓN El TETRACAIDECAEDRO o POLIEDRO de LORD KELVIN es un poliedro semirregular Arquimediano, que puede obtenerse directamente del OCTAEDRO REGULAR, mediante el truncamiento por los tercios de sus aristas. Su desarrollo consta de catorce polígonos de igual lado ( a /3 , siendo a la arista el Octaedro ) : ocho caras hexagonales y seis cuadradas.

Se conoce la proyección horizontal de un Octaedro regular situado con el plano diagonal A BCD en posición vertical. Se pide : 1º Completar la PROYECCIÓN VERTICAL DEL OCTAEDRO y dibujar las PROYECCIONES DIÉDRICAS DEL POLIEDRO DE KELVIN obtenido a partir del Octaedro representado, de arista 42 mm.

2º Dibujar, a escala natural, el DESARROLLO DEL POLIEDRO DE KELVIN, del cual se ha iniciado su zona central.

1

2

ELEMENTOS Hexágonos 8 Caras Cuadrados 6 Vértices 24

3

Aristas

1/ 1/ 1/

36

3

3

3

OCTAEDRO REGULAR

Truncamiento

B”

TETRACAIDECAEDRO

DESARROLLO DEL TETRACAIDECAEDRO

A”

a

C”

D” E’

B’ C’ A’ D’

F’ VISTAS DIÉDRICAS

158

DESARROLLO DEL POLIEDRO DE KELVIN

1

OCTAEDRO: VISTAS AUXILIARES. SECCIÓN HEXAGONAL Un OCTAEDRO REGULAR de 35 mm. de arista se encuentra situado con una diagonal perpendicular al plano horizontal ( H ) de referencia y con la orientación que muestra la figura adjunta. Se pide : a) Completar la vista PROYECCIÓN VERTICAL DEL OCTAEDRO. b) Seccionar el poliedro por el plano que contiene a su centro geométrico y es paralelo a la cara ACD y, por tanto, también a su opuesta BEF.

2

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SUPERFICIES POLIÉDRICAS CONVEXAS

3

Asimismo, obtén la VERDADERA MAGNITUD DE LA SECCIÓN. c ) Representar, sobre el desarrollo adjunto, la TRANSFORMADA DE DICHA SECCIÓN. NOTA.- Es aconsejable trabajar el ejercicio realizando una maqueta del octaedro. Para ello, puedes copiar sobre una cartulina el desarrollo que te presentamos.

nombre y apellidos

nº

curso/grupo

fecha

MÉTODO DE VISTAS AUXILIARES Proceso a seguir para obtener la verdadera magnitud de la sección hexagonal que produce el plano de corte propuesto.

A’’

α2

PASOS A SEGUIR

4’’

E’’

5’’

F’’ D’’ O’’

3’’

1º Cambiar el plano de partida V por otro V 1 , que convierte el plano sección en proyectante vertical: la nueva proyección del octaedro es la de una sección principal del poliedro.

d/2

6’’

2’’

d=a 2

C’’

2º Cambiar el plano horizontal H por otro H 1 , para situar el plano sección en posición paralelo al nuevo plano horizontal H 1 : sobre dicho plano se proyecta la verdadera magnitud de la sección hexagonal pedida.

d/2

1’’

V H

B’’

DESARROLLO DEL OCTAEDRO Y TRANSFORMADA DE LA SECCIÓN HEXAGONAL

D 3 E

D’

4

3’ Vista como sección principal del octaedro

2’

A

E’ A’ B’

4’

1’

O’

α1

5’

F’

F Verdadera magnitud de la sección hexagonal de lado a/2.

V1 H1

6’

a

5

H V1

C’

6

C

B’’1 1’’1 2’’1

B’1 1’1

C’’1 D’’1

Y

1

2’1

C’1

D’1 O’’1 3’’1 6’’1

d/2

B 2

O’1

6’1

3’1

E’’1 F’’1 4’’1 5’’1

d

D

F’1

E’1 5’1

A’’1

d/2 α*2

Y Sección hexagonal

3

4’1 A’1

a

E

47

VERIFICACIÓN El TETRACAIDECAEDRO TETRACAIDECAEDRO o POLIEDRO o POLIEDRO de LORD de LORD KELVIN KELVIN es un poliedro es un poliedro semirregular semirregular Arquimediano, Arquimediano, que puede que obtenerse puede obtenerse directamente directamente del OCTAEDRO del OCTAEDRO REGULAR, mediante REGULAR el ,truncamiento mediante el por truncamiento los tercios por de sus los aristas. tercios Su de desarrollo sus aristas.consta Su desarrollo de catorce consta polígonos de catorce de igual polígonos lado ( ade /3 igual , siendo lado a la ( aarista /3 , siendo el Octaedro a la arista ) : ocho el Octaedro caras hexagonales ) : ocho caras y seis hexagonales cuadradas.y seis cuadradas.

Se conoce la proyección horizontal de un Octaedro regular situado situado con con el el plano plano diagonal diagonal A ABCD BCD en enposición posiciónvertical. vertical.Se Sepide pide: : 1º Completar Completar lalaPROYECCIÓN PROYECCIÓNVERTICAL VERTICALDEL DELOCTAEDRO OCTAEDROyydibujar dibujar laslas PROYECCIONES PROYECCIONES DIÉDRICAS DIÉDRICAS DEL DELPOLIEDRO POLIEDRODE DELORD KELVIN KELVIN obtenido obtenido a partir a partir del del Octaedro Octaedro representado, representado,de dearista arista 42 42 mm.

2º Dibujar, a escala natural, el DESARROLLO DESARROLLODEL DELPOLIEDRO POLIEDRODE DE KELVIN, LORD KELVIN, del cual se delha cual iniciado se ha su iniciado zona central. su zona central.

1

2

ELEMENTOS Hexágonos 8 Caras Cuadrados 6 Vértices 24

3

Aristas

1/ 1/ 1/

36

3

3

3

OCTAEDRO REGULAR

Truncamiento

B”

TETRACAIDECAEDRO

DESARROLLO DEL TETRACAIDECAEDRO

=

A”

Arista de Tetracaidecaedro: a / 3

a

F”

=

E”

C”

D” E’

B’ C’ A’ D’

F’ VISTAS DIÉDRICAS

158

DESARROLLO DEL POLIEDRO DE KELVIN

1

REPRESENTACIÓN Y DESARROLLO DE UNA TIENDA DE CAMPAÑA Deben construirse tiendas de campaña de base rectangular, cuya configuración es simétrica respecto a dos planos verticales que pasan por los puntos medios del rectángulo de su base (supuesta horizontal), con las dimensiones que se indican en el esquema adjunto. Se pide: a) Dibujar, a escala 1/ 75 , las PROYECCIONES DIÉDRICAS de una de ellas, ACOTANDO correctamente sus vistas.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SUPERFICIES POLIÉDRICAS CONVEXAS

b) Representar la VERDADERA MAGNITUD de los paños que constituyen los lienzos laterales, los del techo y el propio del suelo o base de la tienda; esto es, el DESARROLLO TOTAL de la tienda.

2 3

nombre y apellidos

c ) Calcular y expresar analíticamente la SUPERFICIE TOTAL DE LONETA necesaria para construir una tienda de campaña de estas características.

nº

curso/grupo

fecha

2,80 1,

ESQUEMA (Cotas en metros)

80

2,60

C

2,00

B

A”

00

4,30

3,

A’’’ 3,00

A

4,30

DESARROLLO TOTAL DE LA TIENDA DE CAMPAÑA

A’

VISTAS DIÉDRICAS

Suelo de la tienda

A

Superficie total de la tienda de campaña:

m2

e: 1 / 75

48

1

REPRESENTACIÓN Y DESARROLLO DE UNA TIENDA DE CAMPAÑA Deben construirse tiendas de campaña de base rectangular, cuya configuración es simétrica respecto a dos planos verticales que pasan por los puntos medios del rectángulo de su base (supuesta horizontal), con las dimensiones que se indican en el esquema adjunto. Se pide: a) Dibujar, a escala 1/ 75 , las PROYECCIONES DIÉDRICAS de una de ellas, ACOTANDO correctamente sus vistas.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SUPERFICIES POLIÉDRICAS CONVEXAS

b) Representar la VERDADERA MAGNITUD de los paños que constituyen los lienzos laterales, los del techo y el propio del suelo o base de la tienda; esto es, el DESARROLLO TOTAL de la tienda.

2 3

nombre y apellidos

c ) Calcular y expresar analíticamente la SUPERFICIE TOTAL DE LONETA necesaria para construir una tienda de campaña de estas características.

nº

curso/grupo

fecha

2,80

C”

1,

ESQUEMA (Cotas en metros)

1,80

2,80

80

C’’’

B”

2,60

C

m

2,60

B 2,00

2,00

B’’’

A”

00

4,30

3,

A’’’ 3,00

A

4,30

DESARROLLO TOTAL DE LA TIENDA DE CAMPAÑA

B’

de

m

BC

0,6

,00

=2

AB v.m. de

ZB . v.m

C’

A’

VISTAS DIÉDRICAS

C

B

Suelo de la tienda

A

B

Superficie Superficietotal totalde delalatienda tiendade decampaña: campaña:

2 2 45 mm

e: 1 / 75 C

48

C贸mo se utiliza este libro

1

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4

Descripci贸n de los pasos en el reverso de esta cubierta.