GEOMETRÍA DE LA FORMA by juanurrea.art

ColecciĂłn ingenieria y diseĂąo

Lecciones de GeometrĂa de la Forma

Lecciones de Geometría de la Forma

Arq. César Moreno Gómez

Título: Colección: Autor: Director Editorial: Diseño:

Lecciones de Geometría de la Forma Geometría Arq. César Moreno Gómez Darío Ángel juancarlosurreabotero@hotmail.com

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XXXXXXXXXX Depósito Legal

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Artes Gráficas Tizan Ltda. Calle 53 No. 23-10 Tel.: 8813040 Manizales - Colombia 2011

A la memoria de mi padre, Helí Moreno Otero, quien me inició en el duro, pero grandioso, camino de la docencia. A mi esposa María y a mis hijos Ricardo y María Fernanda, que fueron apoyo permanente en el desarrollo de este trabajo.

Agradecimientos El autor desea agradecer a todas las personas que de una u otra forma colaboraron para el desarrollo del presente texto. Agradece especialmente: Al Ingeniero Químico Hugo Hernán Ortiz Álvarez, quien como profesor de matemática de la Universidad Autónoma de Manizales, revisó el texto inicial. Al Ingeniero Civil Alejandro Dávila Arias, Profesor de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales, quien realizó la revisión de contenido y estilo finales. A los profesores del Departamento de Física y Matemática de la Universidad Autónoma de Manizales, por su valiosa ayuda, tanto en la parte conceptual como en lo relacionado con la matemática. A todos quienes han sido sus estudiantes en los programas de Arquitectura de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales, y de Diseño Industrial y de Diseño de Modas de la Universidad Autónoma de Manizales, por haber servido de base para la experiencia en la enseñanza del maravilloso campo de la Geometría.

Prefacio Los conceptos más abstractos deben servirse de un empaque atractivo, ya sea el sonido de las palabras o la forma de los objetos visibles. Para los seres humanos entender es, en primer, lugar ver y oir. NETZ, R. - NOEL, W. El Código de Arquímedes.

El presente texto que se ha titulado Lecciones de Geometría de la Forma, es la conclusión de un largo tiempo de estudio y de investigación de las necesidades académicas de un estudiante que tenga como objetivo ingresar al fascinante universo del diseño. Luego de cerca de 35 años de trasegar por los caminos del inmenso mundo de la Geometría, el autor ha tenido oportunidad de reflexionar permanentemente acerca de la forma de trascender más allá de lo que se ha venido pensando sobre la manera como debe enseñarse la Geometría a los estudiantes de las diferentes formas de diseño. Su experiencia, que se inició en 1976, se ha desarrollado durante 25 años como docente de la Carrera de Arquitectura de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales, y en los últimos años en los programas de Diseño Industrial y de Diseño de Modas en la Universidad Autónoma de la misma ciudad. En la primera se logró una integración bastante acertada entre el conjunto de teorías de diseño arquitectónico y el de la teoría de la geometría, mediante un trabajo que ligara la teoría con la práctica aplicada del arquitecto, tomando como eje central el diseño, al cual se le dosifican los 11

diferentes elementos geométricos que requiere para formalizar las ideas, sin apartarse de la normatividad y valoración de los aspectos científicos que corresponden a estas áreas. Para ello se logró elaborar una asignatura que, dentro del formato del programa curricular de la Carrera de Arquitectura, se denominaba Proyectiva I del primer semestre académico, integraba los aspectos teóricos con los prácticos, especialmente a través de respuestas reales de diseño que en ningún momento olvidaban el conjunto geométrico que lo rodeaba. Posteriormente, como docente del curso Matemáticas para los programas de Diseño Industrial y Diseño de Modas, en la Universidad Autónoma de Manizales, el autor encontró que el proceso de enseñanza se venía realizando mediante el uso de técnicas y de formatos de la pedagogía utilizada en los cursos de asignaturas similares para ingenierías, lo cual obtenía como respuesta del estudiante, la simple obligatoriedad de cursar la asignatura porque hay que verla, sin comprender la verdadera importancia de sus contenidos y, agregando a ello, que para el estudiante de diseño, en cualquiera de sus acepciones, se convierte en una pesadilla el término Matemática. Utilizando su experiencia anterior, el autor planteó la modificación de los objetivos y de la metodología de la asignatura y por ende, de sus contenidos, modificación que se dicta actualmente con el enfoque de Geometría de la Forma, a pesar de que dentro del plan de estudios se denomina sencillamente Geometría. Luego de un amplio estudio, se concluyó que para poder trabajar en el medio del Diseño, es imprescindible conocer y saber manejar todos los elementos y componentes geométricos de las formas que han sido y son utilizados, tanto por artistas como por diseñadores, para crear sus obras. Evidentemente, la importancia de la Geometría radica en su utilidad para el estudio y manejo de las formas, tanto las que aparecen en la naturaleza, como las creadas por el hombre. De la misma manera, en las creaciones de diseño el componente geométrico es un factor más que aparece 12

junto con la luz, el color o el volumen. Es la reunión de todos estos elementos lo que proporciona un resultado final perfecto o imperfecto. Por invitación del Ministerio de Educación Nacional, la conclusión del estudio fue presentada como ponencia en el Foro Educativo Nacional Educación Superior - Experiencias Significativas en la Enseñanza de las Matemáticas, en noviembre de 2006, ponencia que se encuentra en la página WEB de dicho ministerio1. El presente texto es por tanto la respuesta a lo buscado y tiene como base los siguientes núcleos de trabajo, necesarios para una comprensión clara de la ya expresada relación entre la Geometría y el Diseño. La geometría plana, como eje principal de trabajo de cualquier diseñador. La geometría del espacio, que incluye el estudio de los poliedros regulares y los semirregulares, que sirven en la mayoría de los casos como estructura básica en el diseño tridimensional. El estudio de las curvas como el círculo, la elipse, la parábola, las diversas espirales, muy utilizadas en su conjunto o individualmente, en las construcciones, en el diseño y en las artes en general. Las envolventes, cuya utilidad en la composición decorativa es innegable, especialmente cuando se lleva a la aplicación mediante los llamados Bordados Geométricos, bidimensionales o tridimensionales. La simetría, teniendo en cuenta que en concordancia con la proporción, da idea de equilibrio y armonía. La teoría de las Proporciones, las cuales son fundamentales para la adecuada creación y disposición armónica de las partes en un trabajo. Las medidas de las longitudes, las superficies y los volúmenes, elementos que cualquier diseñador necesita para tener un buen dominio de la magnitud de las formas o saber estimar diestramente su área o volumen, para elaborar presupuestos o necesidades de materiales. La preservación de la forma que conduce a la mejor comprensión e interpretación de los elementos de diseño mediante el uso de la semejanza, la homotecia y la escala. 1

www.colombiaaprende.edu.co.

Con el desarrollo de los núcleos identificados se pretende que el estudiante, por una parte, comprenda y utilice el lenguaje geométrico y su representación en forma adecuada, para describir las formas, clasificarlas y esquematizarlas, identificando y entendiendo los procesos matemáticos de pensamiento aplicados a la resolución de problemas. Por otra, se busca articular el conocimiento geométrico con la explicación de los quehaceres plásticos, apreciando las cualidades estéticas y creativas de las formas y su presencia en la naturaleza y en el arte, valorando el uso del lenguaje geométrico, apropiándolo a la comunicación artística y al diseño, apreciando la utilidad de aparatos e instrumentos específicos de medida y de cálculo y, finalmente, desarrollar el trabajo con una actitud flexible y crítica, abordándolo y revisándolo desde distintos ángulos. De acuerdo con lo anterior, el presente texto ha sido dividido en cinco partes fundamentales que se desarrollan dentro de un principio secuencial que, partiendo de un primer concepto del mundo del diseño, lleva al estudiante por los campos de las dos y de las tres dimensiones, para terminar con los aspectos relacionados con el mundo de la medida de las formas. Cada una de estas partes busca desarrollar dos elementos importantes: La formación científica, que es necesaria para conocer y transformar la realidad, mediante componentes conceptualmente básicos, tratando de manejar un lenguaje cómodo para el estudiante y que, con el auxilio, tanto de gráficos como de fotografías, pueda sacar sus propias conclusiones. La formación creativa, a través de ejercicios de aplicación con los cuales se trata de adquirir habilidades para formular soluciones. Estos ejercicios buscan combinar el desarrollo de las habilidades geométricas mínimas con aplicaciones creativas necesarias para un diseñador. 14

Con el manejo de estos dos elementos se pretende expresar una realidad, ya sea bidimensionalmente a través de un esquema o de un dibujo, o tridimensionalmente mediante un modelo o maqueta. No se ha querido realizar un tratado de Geometría; el término lecciones implica instrucciones o conjunto de conocimientos básicos, teóricos o prácticos, acerca de los componentes de la forma desde la Geometría. Se espera que este texto sea de la aceptación de la comunidad que trabaja en los campos del diseño, cualesquiera que ellos sean, ya que si se producen soluciones efectivas a partir de las consideraciones teóricas y de las reflexiones aquí expresadas, como respuesta total en su conjunto, el texto habrá cumplido con lo pretendido por el autor. César Moreno Gómez Manizales, Caldas, 2010.

Índice General Parte I. Nociones Introductorias . ................................. 21 1. LA FORMA ..........................................................................................................23 1.1. El mundo de las ideas . .............................................................................23 1.2. Comparación formal ..................................................................................27 1.3. Medida de la forma . ...................................................................................28 2. EL UNIVERSO DEL DISEÑO..........................................................................31 2.1. ¿Qué es el diseño? ......................................................................................31 2.2. Diseño y cotidianidad . .............................................................................32 2.3. Ejercicios propuestos ................................................................................34

Parte II. La Forma en el Plano ........................................ 35

3. FORMAS RECTILÍNEAS ................................................................................37 3.1. Puntos, rectas y planos ............................................................................37 3.2. Ángulos . ........................................................................................................43 3.3. Clasificación de los ángulos ..................................................................48 3.4. Perpendicularidad ......................................................................................50 3.5. Paralelismo ...................................................................................................50 3.6. Paralelas y secantes ..................................................................................51 3.7. Las poligonales y los polígonos . ...........................................................53 3.8. Triángulos .....................................................................................................56 3.9. Clasificación de los triángulos ..............................................................57 3.10. Líneas y puntos en el triángulo .........................................................59 3.11. Cuadriláteros . ............................................................................................60 3.12. Clasificación de los cuadriláteros .................................................... 60 3.13. Congruencia ...............................................................................................63 3.14. Ejercicios propuestos...............................................................................64

4. FORMAS CURVAS . ...........................................................................................67 4.1. La circunferencia y el círculo...................................................................65 4.2. Líneas en la circunferencia..................................................................... 68 4.3. Relaciones lineales.......................................................................................70 4.4. Otras curvas....................................................................................................76 4.5. Espirales...........................................................................................................78 4.6. Ejercicios propuestos.................................................................................83 5. TEORÍA DE LAS ENVOLVENTES ...............................................................87 5.1. Las cónicas......................................................................................................88 5.2. Las cáusticas...................................................................................................92 5.3. Ejercicios propuestos ................................................................................99 6. SIMETRÍA ........................................................................................................103 6.1. Ejes..................................................................................................................103 6.2. Concepto de simetría...............................................................................106 6.3. Transformación . .......................................................................................108 6.4. Ortogonalidad.............................................................................................110 6.5. Funciones geométricas...........................................................................113 6.6. Las operaciones de simetría.................................................................118 6.7. Simetría de las figuras.............................................................................120 6.8. Grupos puntuales de simetría..............................................................123 6.9. Los frisos . ....................................................................................................126 6.10. Teselaciones y mosaicos......................................................................128 6.11. Ejercicios propuestos............................................................................136

Parte III. La Forma en el Espacio . ...............................141

7. PRINCIPIOS GENERALES . ........................................................................143 7.1. Límites planos ...........................................................................................145 7.2. Ejercicios propuestos .............................................................................151 8. FIGURAS POLIÉDRICAS............................................................................. 153 8.1. Poliedros regulares.................................................................................. 154 8.2. Poliedros irregulares.............................................................................. 156 8.3. Truncamientos............................................................................................161 18

8.4. Poliedros semirregulares.......................................................................164 8.5. Ejercicios propuestos............................................................................. 165 9. LÍMITES CURVOS .........................................................................................167 9.1. Superficies regladas................................................................................ 168 9.2. Superficies cilíndricas ............................................................................169 9.3. Los cilindros................................................................................................171 9.4. Superficies cónicas...................................................................................174 9.5. Los conos.......................................................................................................174 9.6. La hélice .......................................................................................................177 9.7. Las convolutas............................................................................................180 9.8. Superficies Alabeadas..............................................................................181 9.9. Superficies de doble curvatura ..........................................................185 9.10. Superficies de revolución . .................................................................185 9.11. Otras superfices de revolución.........................................................192 9.12. Superficies de evolución..................................................................... 192 9.13. Ejercicios propuestos............................................................................193 10. SIMETRÍA EN EL ESPACIO......................................................................195 10.1. Grupos Finitos..........................................................................................195 10.2. Las operaciones de simetría..............................................................197 10.3. Ejercicios propuestos............................................................................202

Parte IV. Medidas y Proporciones . .............................205

11. MEDIDAS....................................................................................................... 207 11.1. Longitud ....................................................................................................207 11.2. Área.............................................................................................................. 208 11.3. Áreas de figuras rectilíneas................................................................210 11.4. Polígonos regulares...............................................................................214 11.5. Teorema de Pitágoras.......................................................................... 216 11.6. El círculo.....................................................................................................219 11.7. Áreas de los poliedros..........................................................................225 11.8. Áreas de los sólidos ..............................................................................227 11.9. Volumen......................................................................................................228

11.10. Ejercicios propuestos.........................................................................232 12. SISTEMAS GEOMÉTRICOS DE PROPORCIONALIDAD ...............235 12.1. Razones y proporciones.......................................................................236 12.2. Teoría general.......................................................................................... 238 12.3. Tipos de proporción..............................................................................242 12.4. Ejercicios propuestos............................................................................246 13. PROPORCIÓN ÁUREA.............................................................................. 247 13.1. Introducción.............................................................................................247 13.2. La media y extrema razón.................................................................. 250 13.3. Fibonacci....................................................................................................253 13.4. El Pentágono regular.............................................................................254 13.5. Construcciones áureas.........................................................................259 13.6. Ejercicios propuestos........................................................................... 267 14. PRESERVACIÓN DE LA FORMA ...........................................................271 14.1. Homotecias y semejanzas ..................................................................272 14.2. La escala......................................................................................................272 14.3. Relaciones de semejanza . ..................................................................274 14.4. Autosemejanza .......................................................................................278 14.5. Noción de fractal.....................................................................................279 14.6. Ejercicios propuestos............................................................................283 Bibliografía...........................................................................................................285 Referencias de Figuras.....................................................................................289

Parte I Nociones Introductorias

Capítulo 1

La Forma

El término Forma hace referencia al conjunto de elementos que permite a los objetos naturales o hechos por el hombre, reales o virtuales, a través de determinadas propiedades, ser iguales o diferentes a otros. Los sentidos siempre están en contacto con lo que los rodea, directa o indirectamente, consciente o inconscientemente en muchos casos; este contacto implica la comparación de sus diferencias particulares con respecto a los demás objetos, diferencias que son las que caracterizan cada forma y las que, partiendo de sus dimensiones, llevan a su extensión. Para estudiar la forma es necesario partir de la diferenciación conceptual entre los dos términos, que en el cotidiano son utilizados con un mismo significado y que desde el punto de vista matemático-geométrico poseen dos connotaciones diferentes: DIMENSIÓN y MEDIDA.

1.1. El mundo de las ideas

Desde los tiempos antiguos se han utilizado muchas palabras que por sus características propias son muy difíciles de definir, ésto es, son indefinibles; su definición sólo puede ser expresada a partir de otros términos no definibles. Este juego de palabras quiere decir que este conjunto de vocablos se encuentra dentro del mundo de las ideas; palabras que son entendidas y comprendidas de acuerdo con el uso que cada persona haga de ellas. 23

Capítulo 1

Es por ésto que la conceptualización del término Dimensión, parte de tres elementos indefinidos de la Geometría, el PUNTO, la RECTA y el PLANO. Si se considera como la idea más sencilla y buscando una posible definición, el Punto puede tener diferentes maneras de interpretarse, según sea su uso o quien lo esté expresando. Puede asumirse como una localización o ubicación, para algunos; una señal o marca, para otros. Sin embargo, para el caso que interesa en este texto, ésto es, asumiéndolo desde la matemática y la geometría, debe partirse de los primeros conceptos que se construyeron sobre el tema. Euclides considera en su primera definición que punto es lo que no tiene partes. Sin embargo, un poco antes de Euclides, Leucipo y su discípulo Demócrito, al tratar de definir lo que llamaron Átomo, señalaban que una partícula llevaba tal denominación cuando llegara a ser un fragmento tal que no pudiera dividirse más, esto es, indivisible. Siempre se ha tratado de expresar algún objeto real con algo que posea el mínimo número de elementos en forma más acorde con la comprensión de la realidad, esto es, con lo que hoy se denomina punto. Por ello, la definición euclidiana sufrió adaptaciones posteriores, hasta el grado de decir que es una esfera cuyo diámetro tiende a ser infinitamente pequeño. Cualquiera de las formas de expresar la definición estará llevando a ubicarlo dentro del mundo de las ideas. Por tanto, se hace imprescindible aceptar lo dicho por Hilbert2, en el sentido de que los términos indefinidos o ideales son la base, tanto del trabajo matemático, como del geométrico. De acuerdo con lo anterior, el punto se considera como el elemento ADIMENSIONAL de la geometría, ya que se toma como algo tan pequeño que no posee ninguna dimensión, o lo que es lo mismo, es simplemente una idea. 2 Citado por GUERRERO G., Ana Berenice. Geometría. Desarrollo Axiomático. Ecoe Ediciones. Bogotá, D. C. 2006. Pg. 9.

La Forma

Partiendo de esta idea, el punto posee libertad total de movimiento; esto quiere decir que idealmente puede moverse en cualquier dirección y sentido -conceptos igualmente indefinibles-. Así, si se expresa que si un punto se mueve en una misma dirección y sin cambiar de sentido3, se estaría generando un recorrido equivalente a la dimensión que se denomina Línea Recta.

Figura 1.1

La línea recta, como se ve en la figura 1.1., pasa así a ser el elemento UNIDIMENSIONAL de la geometría, el cual, por partir del punto, no posee sino la dimensión dada por el recorrido; por tanto no posee espesor -concepto igualmente ideal-, lo que conduce a que ese recorrido sea el largo o la longitud de la línea. Siguiendo el mismo proceso generador puede partirse de esa línea ideal mediante un movimiento similar, esto es, en una misma dirección y sentido, generándose una nueva dimensión que, agregada a la de la línea, convierte esta segunda generación en un elemento de dos dimensiones que se denomina PLANO, el que al no poseer idealmente un espesor, se convierte en el elemento BIDIMENSIONAL de la geometría y cuyas dimensiones son largo y ancho o longitud y anchura, tal como se aprecia en la figura 1.2. 3 Es importante aclarar en este caso, que dirección es la tendencia de un recorrido hacia un lugar; y sentido un movimiento diferente al inicial.

Capítulo 1

Figura 1.2

Finalmente, y suponiendo que el plano tiene un movimiento similar al de los casos anteriores, se genera una tercera dimensión dentro de un nuevo elemento que se denomina ESPACIO y cuyas dimensiones son largo, ancho y alto o longitud, anchura y altura, convirtiéndose el espacio en el elemento TRIDIMENSIONAL de la geometría, como se aprecia en la figura 1.3.

Figura 1.3

La Forma

Dentro de esta concepción puede concluirse que cada uno de estos elementos que han sido generados a partir del punto, son representaciones ideales, mentales, que indirectamente van a producir lo que se conoce corrientemente como forma y que como se expresará más adelante, determina los objetos a través de su apariencia real y de su medida.

1.2. Comparación formal

Figura 1.4

Hasta el momento, se ha venido hablando de dimensión sin observar su verdadera acepción matemático-geométrica. Para una aproximación a la comprensión del término, es necesario reorientar el significado de la expresión desde un punto de vista que, tratando de salir de lo ideal, lo lleve al plano de lo real que es donde se desarrolla la vida del ser humano.

Se requiere entonces expresar el término dimensión desde una visión de tipo comparativo, o lo que es lo mismo, desde la comparación figurativa de dos o más objetos. En este evento se habla de más alto que..., menos largo que..., relativamente más ancho que..., etc., lo cual es equivalente a asumir una posición con respecto a un patrón, generalmente provisional, como lo que se puede apreciar en la comparación de las formas de la figura 1.4 . El producto de esta comparación lleva a concluir que en el cotidiano, el ser humano dentro del lenguaje del mundo tridimensional está en 27

Capítulo 1

contacto permanente con los términos largo, ancho y alto, sin ningún parámetro que delimite el aspecto netamente comparativo.

1.3. Medida de la forma Teniendo en cuenta la forma desde la matemática, debe analizarse también el aspecto comparativo expresado desde sus propiedades numéricas, o lo que es lo mismo, desde aquellas propiedades que se relacionan con el término medida, más que con sus propiedades figurativas.

Figura 1.5

Esta comparación ha sido hecha en forma permanente por el hombre a lo largo de la historia, a efectos de obtener, por una parte y como se expresó atrás, una diferenciación entre las formas de los objetos y, por otra, para evaluar su tamaño o dimensión. La forma debe ser observada en este sentido para comprender su verdadera relación con la matemática. Cuando en los comienzos de la historia el hombre quiso expresar el tamaño de las cosas, partió de compararlos con las partes de su cuerpo. Es por ello que aparecen como primeros patrones unitarios de medida el dedo, el codo, el palmo o palma, la mano, la brazada, el paso y el pie, entre otras, como se muestra en la figura 1.5. A partir de esta comparación, se llegaron a producir leyes, reglas y principios que entraron inicialmente a configurar las propiedades básicas que definían las formas y sus componentes. En el cuadro 1.1. pueden apreciarse algunas de las medidas antiguas en forma comparada, de acuerdo con su equivalencia a las medidas actuales y que han servido de base para la interpretación reconstructiva de muchos conceptos y construcciones de la antigüedad. 28

La Forma

Medida

Codo

Palma

Pulgada

Caldea m

0,5280

0,0880 0,0260

Dedo

0,0220

Pie

0,3520

Paso

Estadio Palmo Milla

Pletre

Grecia m

0,4624

0,0771

--------0,0193

Egipto m

0,5230

0,0760

--------0,0190

Judea m

0,5250

0,0875

184,84

---------

0,2640

0,2312

---------

0,2620

--------31,68

0,3083

--------30,83

0,3480

---------

Cuadro 1.1.

0,0739

189,00

0,0218

---------

0,4436

---------

--------184,98

---------

0,7920 190,08

Roma

---------

1575,00 31,50

0,0185 1,4790

0,2960

---------

1478,70 ---------

Los primeros matemáticos, primeros geómetras, eran personas que se dedicaban principalmente al estudio de la filosofía, esto es, eran filósofos antes que matemáticos. Sus estudios se realizaban en forma totalmente empírica y su plataforma de trabajo era la naturaleza, para explicar el mundo a partir de ella, encontrando así aspectos matemáticos que eran del trabajo diario del hombre, especialmente en lo que tenía que ver con la precisión y la configuración de los objetos. Con el transcurrir del tiempo, los progresos tecnológicos y científicos hicieron que, por una parte, fuera aumentando el nivel de precisión de las medidas y, por otra, que al ampliarse el mundo conocido se requiriera tener una universalidad comparativa. Esto ha concluido en la estandarización universal, tanto de unidades de medida patrones, como en la interpretación y definición de los conceptos, de manera que se logre hablar un lenguaje matemático-geométrico universal. A manera de conclusión, puede expresarse que la forma o figura de un objeto comprende la posición relativa de sus diferentes partes y que la extensión o tamaño de un objeto es la distancia relativa entre sus partes, 29

CapĂtulo 1

esto es, entre el conjunto de elementos que conforman las tres dimensiones: puntos, lĂneas y planos, como en la figura 1.6.

Figura 1.6

Capítulo 2

El Universo del Diseño

2.1. ¿Qué es el diseño? Para el común de las personas, el término diseño posee una connotación bastante amplia, esto es, se corresponde en forma simple con bosquejo, boceto o sencillamente como la descripción de algo real o abstracto, en forma gráfica. Sin embargo, las disciplinas o profesiones que comprenden campos como los de la Arquitectura, la Industria y la Ingeniería, trascienden mucho más allá del pensamiento corriente, teniendo en cuenta que las respuestas de trabajo tienen que ver con la génesis de problemas planteados para buscar respuestas formales, así sean esquemáticas. El diseño, por tanto, implica una serie de elementos de mayor alcance, que tienen que ver con la función de complejos sistemas de uso, los cuales, partiendo de un sinnúmero de variables y de información dispersa y desorganizada, deben ser ordenados a través de un proceso que les conceda una realidad, mediante cualquiera de las formas de expresión existentes. El diseño también es concebido como un ordenamiento o estructuración metodológica, que debe aplicarse dentro de parámetros particulares a respuestas concretas y aplicables, utópicas en ciertos casos. Este ordenamiento es un proceso que partiendo de la necesidad, llega hasta su concreción formal. El proceso total es en sí mismo lo que se denomina PROYECTACIÓN y que es la base metodológica del trabajo formal del diseñador. 31

Capítulo 2

Ahora bien, si se tiene en cuenta que el conocimiento científico es aquel que debe recuperar y trascender, tanto las expresiones como las comprensiones y explicaciones que se construyen a partir del cotidiano, el diseño tiene que buscar mecanismos de confrontación y de legitimación sistemáticos, con el objeto de validar desde el conocimiento teórico, la respuesta formal. La confrontación y validación de las respuestas desde lo científico, implican la sustentación de los hechos mediante un tratamiento geométrico, que exprese a su vez una realidad, tanto funcional como útil, de acuerdo con lo que se pretenda dentro de la disciplina respectiva.

2.2. Diseño y cotidianidad

Las frases Dios es el Gran Arquitecto del Universo y Dios es un Geómetra, expresan en forma sencilla y clara lo que es la naturaleza. Sin ánimo de especular ni de distraer el concepto científico, puede señalarse que todos los elementos naturales, en cualquiera de los ámbitos del universo, poseen un orden procesual específico en su generación y, por consiguiente, una base científica, tanto teórica como funcional. Principios básicos de orden, organización y funcionamiento pueden ser apreciados ya sea en el mundo sideral, en lo palpable o en el mundo microscópico. Los seres vivos crecen metódicamente, se reproducen, viven e incluso mueren, bajo parámetros estrictamente definidos. Los procesos de modificación de los elementos químicos no han variado a lo largo de millones de años; sus determinantes físico-químicas se mantienen dentro de un mismo sistema ordenado y temporizado. La naturaleza en lo animal, en lo vegetal y en lo mineral, en lo inorgánico y en lo orgánico, es una muestra viva de diseño, en donde se conjugan principios matemáticos y geométricos en respuestas eurítmicas que en muchos casos el hombre no ha sido capaz de imitar. 32

El Universo del Diseño

Figura 2.1

Desde las conformaciones florales hasta las de las raíces en las plantas; desde las configuraciones animales, en lo compositivo y en lo funcional, así como en el conjunto de sistemas cristalográficos que presenta el llamado reino mineral, todos poseen no solamente principios de diseño, sino pautas y patrones matemáticamente naturales perfectos, como se puede observar en la molécula de la figura 2.1. y en la orquídea de la figura 2.2.

Lo expresado muestra a la naturaleza como una excelente diseñadora, al cumplir con las normas propias del diseño, dentro de la tríada compuesta por el orden, la función y la precisión, tal y como es concebido el mismo diseño4. Es por ello que desde las primeras respuestas que ha producido el hombre en todos los aspectos de la Figura 2.2 vida cotidiana, ha tratado de emular la naturaleza, logrando reproducir diseños que de cualquier manera son tan funcionales y precisos en aquella como en lo reproducido por el ser humano, como se aprecia en el dibujo de un mosaico mozárabe de la Alhambra de Granada (España), de la figura 2.3. 4 Esta tríada, original de Vitrubio, está planteada como UTILITAS - VENUSTAS FIRMITAS, (utilidad, belleza, firmeza).

Capítulo 2

Figura 2.3

Los griegos, como primeros estudiosos del método científico, buscaron en la naturaleza la explicación del mundo, llegando a desarrollar principios y pautas científicas, así como respuestas a sus dudas iniciales. Los métodos científicos actuales aún validan, tanto los principios y conceptos naturales, como aquellos que fueron inicialmente estudiados, de manera tal que continúan siendo base de la marcha del mundo de hoy.

2.3. Ejercicios propuestos

1. Realice un estudio comparativo acerca de la geometría en: • Las plantas • Los animales • Los minerales • Las construcciones humanas 2. A través de un ensayo, exprese una conceptualización personal acerca de la importancia de la geometría en el diseño. 3. Mediante el uso de esquemas geométricos, plantee un estudio de la geometrización completa de ejemplos particulares tomados del ejercicio 1. 34

Parte II La Forma en el Plano

Capítulo 3

Formas Rectilíneas

3.1. Puntos, rectas y planos Desde los primeros años de la historia, el hombre ha tenido siempre en su mente la conceptualización de las formas a partir del cómo se aprecian a simple vista, esto es, mediante la imagen representativa de hechos concretos, como se puede apreciar en la lectura del Timeo de Platón, cuando expresa, entre muchos apartes, Consiguientemente, según la recta lógica y según la verosimilitud a un tiempo, la figura sólida de la pirámide es el elemento y germen del fuego…

Sin embargo, las necesidades permanentes del ser humano, de acuerdo con su práctica, ha requerido que las representaciones sean hechas no mediante elementos de observación directa, sino abstrayendo los hechos no formales hasta presentarlos como algo verdadero, que pueda ser utilizado de manera real en cálculos o estudios permanentes. Conforme con lo expresado, los elementos geométricos son en sí mismos abstracción de la realidad, no existen como tales, sino que son elementos simbólicos que se encuentran en el mundo de las ideas, tal como se expresó en la introducción. No obstante, el Punto se asume como una posición espacial. Para concebirlo se requiere representarlo mediante alguna forma que pueda ser comprendida por cualquiera y en cualquier momento; por lo tanto, un 37

Capítulo 3

punto geométrico puede ser representado, entre otras maneras, por el cruce de dos líneas, por una circunferencia o un círculo pequeños, identificados mediante una letra mayúscula, como se aprecia en la figura 3.1.

Figura 3.1

La Línea tampoco puede representarse en forma real como el punto; sin embargo, su representación sería el recorrido del punto, esto es, el espacio determinado por el recorrido mismo. Está representada por su longitud. LONGITUD. Esta representación no es real o absoluta, ya que se le estaría dando un espesor a la línea, perdiéndose así el concepto de unidimensionalidad. De la misma manera, si se dice que la línea es una sucesión infinita de puntos, se entraría en una contradicción por el hecho de que el punto al ser considerado adimensional, no podría colocarse al lado de otro por no poseer una medida real. Por ende, el concepto de línea es evidentemente abstracto o, como se dijo en la parte anterior, pertenece al mundo de las ideas. Ahora bien, en el caso del plano, si se hace una consideración como la que se hizo para la línea, se debe tener siempre en cuenta que se ha partido del concepto de punto y, por tanto, el plano no posee espesor. Es igualmente un elemento ideal. LA LÍNEA RECTA. El concepto de un punto que se mueve en un mismo sentido y sin cambiar de dirección, plantea la definición propia de Línea Recta o simplemente, RECTA, como se conoce más corrientemente e identificada en forma general mediante una letra minúscula. Este movimiento se considera indefinido, con longitud indeterminada en ambas direcciones. Por tanto, todo elemento que es asumido comúnmente como 38

Formas Rectilíneas

recta, es equivalente sólo a una parte comprendida entre dos puntos de ella, siendo estos puntos los que determinan el SEGMENTO RECTO5. Los segmentos, al estar determinados por dos puntos de una recta, se identifican con la misma nomenclatura de aquellos, esto es, mediante dos letras mayúsculas a las cuales se les agrega un guión en la parte superior, así en la figura 3.2., el segmento pertenece a la recta a, y está determinado por los puntos A y B, respectivamente.

Figura 3.2

Si se desea establecer gráficamente una línea de tipo indefinido, como se hace habitualmente, se puede aprovechar la propiedad identificativa de los segmentos y se nombra mediante letras mayúsculas, señalando así el segmento de base, agregando a la recta una cabeza de flecha en ambos extremos o en uno de ellos, indicativos de que su longitud se prolonga en uno o en ambos sentidos en forma indefinida, p. e. la línea en la figura 3.2. VERTICALES Y HORIZONTALES. Puede decirse que la más frecuente de las líneas que conforman los cuerpos geométricos (naturales o hechos por el hombre) ocupa una posición espacial que sigue el sentido de la gravedad (estáticamente considerada), esto es, que sigue la dirección del hilo de la plomada; esta línea se denomina VERTICAL y es el elemento 5 En el presente texto, cuando se habla de línea recta, se está expresando el concepto de segmento recto.

Capítulo 3

de comparación de uso más corriente en el trabajo de diseño, siendo a su vez el elemento geométrico más simple y más estático. Se expresa gráficamente en el plano bidimensional del dibujo como una línea que tiene sentido de arriba hacia abajo, como se expresa en la figura 3.3.

Figura 3.3

La naturaleza posee abundantes ejemplos de verticalidad, como puede apreciarse en la Figura 3.4., en la que se muestra un bosque sembrado de abetos, los cuales asumen una posición completamente vertical.

Figura 3.4

Formas Rectilíneas

La línea, al poder asumir posiciones diferentes, se considera HORIZONTAL cuando espacialmente posee la característica de tener todos sus puntos a la misma distancia de un plano que coincide con la abstracción de la superficie de la tierra en un corto espacio, esto es, una superficie plana.

Figura 3.5

Para el caso de su expresión gráfica, se trazan de izquierda a derecha con respecto a la hoja de dibujo, como se puede ver en la figura 3.5. Las demás líneas que no poseen estas condiciones serán OBLICUAS o INCLINADAS, lo cual quiere decir que no son ni verticales ni horizontales, como las líneas de la figura 3.6.

Figura 3.6

Frecuentemente, las líneas horizontales son utilizadas en decoraciones y composiciones, como la que se puede apreciar en la figura 3.7., en donde la horizontalidad es la base del conjunto. 41

Capítulo 3

Combinando las líneas horizontales con las verticales y con las oblicuas, pueden producirse composiciones como en el caso que se muestra en la figura 3.7., en donde priman las líneas horizontales y en la figura 3.8., en la cual se combinan equilibradamente las verticales con las oblicuas en una composición lineal típica.

Figura 3.7

Figura 3.8

Formas Rectilíneas

RELACIONES LINEALES. Considerando bidimensionalmente dos líneas rectas, éstas poseen dos posiciones: las rectas se cortan6 o no se cortan. En el primer caso se encuentran comprendidas las figuras geométricas primarias, esto es, los ÁNGULOS. Y en el segundo comprende las líneas PARALELAS y las líneas que se CRUZAN, esto es, son OBLICUAS SIMPLES. POSICIONES LINEALES EN EL ESPACIO. Dos líneas rectas ubicadas en el espacio bidimensional, pueden adquirir tres posiciones que las definen dentro del mismo espacio. En esta forma: Las líneas se CORTAN cuando poseen un punto común, esto es, están en capacidad de organizarse en conjuntos secuencialmente ordenados, de tal manera que pueden formar figuras geométricas y que son la base de las figuras poligonales. Las líneas se CRUZAN cuando no poseen un punto común, o lo que es lo mismo, no están en disposición de formar entre sí uno o más ángulos. Esta posición sólo puede apreciarse en el espacio tridimensional. Así mismo, las líneas pueden adquirir otra posición que se caracteriza porque no se encuentran o no se cortan por más que se prolonguen7. Se dice entonces que son PARALELAS. Esta posición es, quizás con la de las perpendiculares, la más utilizada en el conjunto del trabajo del diseño.

3.2. Ángulos

Dos rectas que se cortan determinan cuatro espacios. Cada uno de estos espacios se llama ÁNGULO. El punto común es el VÉRTICE del ángulo y las líneas en forma independiente y para cada espacio, son los LADOS DEL ÁNGULO, como en la figura 3.9., en la cual se muestra uno solo de estos cuatro ángulos, o ángulo típico. 6 Se entiende en forma simple, que dos rectas se cortan, cuando poseen un punto común. 7 Concepto derivado de la definición euclidiana de líneas paralelas.

Capítulo 3

Figura 3.9

La forma típica de un ángulo corresponde a la de dos segmentos rectos que parten de un mismo punto. En este caso, se expresa el ángulo independientemente, como forma geométrica primitiva, que es la base del trabajo angular. En su representación geométrica, los ángulos como los de la figura 3.10., poseen varias maneras de identificarlos:

Figura 3.10

1. Por las letras que identifican los segmentos rectos, como en el caso del ángulo PQR, en el cual la letra del centro indicará siempre el vértice. 2. Por la letra que identifica el vértice, como el ángulo Q. Este caso se utiliza cuando existe un solo ángulo.

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3. Mediante una letra minúscula del alfabeto griego dentro del espacio interior del ángulo, como el ángulo β. Este caso se emplea para indicar la magnitud del ángulo. 4. Para los casos en que existan varios ángulos con un mismo vértice, se utilizará la primera de las formas, que es la que presenta de manera clara la descripción del ángulo. La forma simbólica para expresar un ángulo es ( ∠ )8

Figura 3.11

GENERACIÓN Y MEDIDA. Todo ángulo determina dos espacios en la superficie plana sobre la que se encuentra, tal como se aprecia en el esquema de la figura 3.11. Ellos son: Un espacio interior o espacio menor, determinado por los dos segmentos rectos que tienen un punto común, y que se entiende como el espacio que corrientemente se denomina ángulo. Y un espacio exterior, o espacio mayor, que no se encuentra delimitado por los lados y que se utiliza como ángulo en algunos casos9; así, el ángulo puede llegar a tener dentro de este concepto un infinito número de tamaños, cuya medida se denomina angular. Se deduce de lo anterior que la magnitud o el valor de la medida de un ángulo depende solamente de la mayor o menor abertura entre sus lados y no de la longitud de ellos, ya que se consideran indefinidos. Esto quiere 8 No se debe confundir con el símbolo ( < ) que significa menor que… 9 Estos casos pertenecen a la matemática superior y a ciencias como la Topografía y la Astronomía

Capítulo 3

decir que varios ángulos pueden tener la misma medida, aunque posean lados longitud diferente. Medir un ángulo equivale a realizar una comparación con otro ángulo que se denomina ángulo unidad. Para ello, en geometría, se trabaja convencionalmente con un tipo de unidad de medida: el GRADO. El GRADO es la unidad de medida angular más utilizada, tanto en el trabajo geométrico, como en el del diseño. Para la determinación de esta unidad, se ha partido del giro que puede realizar un segmento recto desde una posición inicial, de manera que al llegar al final del recorrido coincida con esta misma posición. Se ha expresado convencionalmente que dicho recorrido en total es equivalente a 360 unidades; por tanto, un grado corresponde a parte del recorrido que realiza uno de los segmentos alrededor del vértice, hasta coincidir finalmente con el otro. El nombre particular de la unidad es GRADO SEXAGESIMAL, por estar esta unidad dividida en 60 partes iguales denominadas MINUTOS (simbolizados por ´) y a su vez, cada una de éstas en 60 partes también iguales, denominadas SEGUNDOS (simbolizados por ´´). Para efectos de precisión, cada uno de los segundos puede dividirse en unidades decimales (décimas, centésimas, milésimas, etc.).

Figura 3.12

Es importante señalar que dentro de la geometría, al considerar que un ángulo se entiende como la separación menor de las dos que normalmente están formando los segmentos, la medida angular se expresa solamente entre 0º y 180º, como en la figura 3.12. 46

Formas Rectilíneas

Figura 3.13

Para medir los ángulos en el sistema sexagesimal, se utiliza el Transportador, que corrientemente es un semicírculo dividido en 180 grados10, como el de la figura 3.13. Se deduce, entonces, que dos o más ángulos son iguales cuando poseen la misma medida, lo cual es equivalente a decir que si se superponen siempre van a coincidir en todos sus puntos. BISECTRIZ. Por el vértice de un ángulo puede pasar un sinnúmero de rectas. Sin embargo, por su posición sólo una de ellas posee características especiales. Este es el caso de la recta o segmento recto que lo divide en dos partes exactamente iguales, y que se denomina BISECTRIZ. Ésta es la recta más notable de los ángulos y como su nombre lo indica, es la recta que BISECTA el ángulo. En la figura 3.14., el segmento divide al ∠ ABC en dos ángulos de la misma medida α.

Figura 3.14

10 Éste es el transportador de uso corriente en geomtetría; existen otros circulares de 360º

Capítulo 3

3.3. Clasificación de los ángulos Geométricamente, los ángulos se clasifican de acuerdo con la mayor o menor medida entre los lados. Por tanto y como se expresó en el punto anterior, se encuentran dentro de un rango comprendido entre 0º y 180º. En consecuencia, como se ve en la figura 3.16., los ángulos se clasifican en: 1. RECTO, cuando su medida es igual que 90º. 2. AGUDO, si la medida es menor que 90º. 3. OBTUSO, cuando la medida es mayor que 90º y menor que 180º. 4. LLANO, PLANO o COLINEAL, si la medida es igual a 180º. Para los casos diferentes a la Geometría Euclidiana, los ángulos son: 1. SUPEROBTUSO, cuando su medida es mayor que 180º, pero menor que 360º, como el de 270º o de 3/4 vuelta. 2. DE UNA VUELTA o PERÍGONO, cuando está formado por un giro completo de una semirrecta, esto es, mide 360º o cuatro rectos.

Figura 3.15

Los ángulos mayores que 360º se denominan secuencialmente de acuerdo con las medidas relativas que posean. Se ha podido apreciar que los ángulos, de una manera u otra, dependen de su medida para poderse ubicar en determinada clasificación. Sin embargo, es necesario apreciarlos desde el punto de vista de su configuración en forma no singular. 48

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Figura 3.16

Así, si dos rectas se cortan estarán determinando cuatro ángulos, clasificados en dos tipos: ADYACENTES, que son, en términos generales, la pareja de ángulos que poseen un lado común11 y OPUESTOS POR EL VÉRTICE, cuando los lados de uno son la prolongación de los dos lados del otro ángulo, como se aprecia en la figura 3.16. Teniendo en cuenta lo señalado, se pueden expresar así los siguientes tres conceptos base del trabajo angular: 1. Si se tienen dos ángulos adyacentes, se dice que son COMPLEMENTARIOS, cuando la suma de sus medidas es igual a la de un ángulo recto (90º) y SUPLEMENTARIOS, si la suma es igual a la medida de un ángulo llano (180º). Por tanto, complemento de un ángulo es lo que le hace falta para completar 90º, y suplemento, la medida que necesita para completar un ángulo de 180º. 2. Dos ángulos iguales tienen complemento y suplemento igual; así mismo, dos ángulos que tienen complemento y suplemento igual, son iguales. 3. Los ángulos que conforman un conjunto angular cuya suma es igual a 360º, se denominan CONJUGADOS.

11 Algunos autores dan esta denominación a los ángulos que tienen los dos lados no comunes colineales, y CONSECUTIVOS a los que se encuentran separados por un lado común, cualquiera sea la posición de los lados no comunes.

Capítulo 3

3.4. Perpendicularidad

Figura 3. 17

Observando la posición de dos rectas o segmentos rectos que forman un ángulo de 90º, es necesario expresar que esta posición las define como PERPENDICULARES, y en consecuencia, son factor primordial del concepto de ORTOGONALIDAD12, el cual corresponde a aquellas líneas que forman entre sí un ángulo recto, como en la figura 3.17. De lo anterior, se deducen las siguientes propiedades: 1. Dos rectas son perpendiculares cuando al intersecarse forman ángulos rectos congruentes. 2. Cuando dos rectas son perpendiculares, todos los ángulos que forman son rectos. 3. Cuando dos rectas se intersecan para formar dos ángulos congruentes con un lado común, las rectas son perpendiculares. 4. La mediatriz de un segmento recto, es una recta perpendicular al segmento en su punto medio. 5. La distancia más corta entre un punto y una recta es la longitud del segmento recto trazado perpendicularmente desde el punto a la recta.

3.5. Paralelismo La característica principal de las líneas paralelas, además de lo expresado, es el hecho de tener la totalidad de sus puntos equidistantes unos de otros, esto es, que todos los puntos que forman una de las líneas, se encuentran respectivamente a la misma distancia de todos y cada uno de 12 Orthos, gr., significa recto. Gonos, gr., significa lados.

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los que forman la otra. Así mismo, relacionadas entre sí, pueden ser infinitas en número y de acuerdo con su distancia, pueden tener un número infinito de posiciones, de tal manera que conformen diferentes conjuntos de elementos paralelos, como se ve en la figura 3.18. Las líneas paralelas dan principio a innumerables formas que se relacionan con las figuras geométricas en general y que, a su vez, generan en conjunto las Figuras Poligonales.

Figura 3.18

3.6. Paralelas y secantes

Toda línea que corta a dos o más rectas, se denomina SECANTE, también conocida como TRANSVERSAL. Se puede apreciar este tipo de línea en la figura 3.19. En esta forma, si una secante corta dos líneas rectas cualesquiera, se estarán formando ocho ángulos por cada punto de intersección. Estos ocho ángulos se clasifican en dos grupos principales, así: • INTERNOS: ∠3, ∠4, ∠5, y ∠6. • EXTERNOS: ∠1, ∠2, ∠7y ∠8.

Figura 3.19

Capítulo 3

Estos mismos ángulos, considerados en forma par, pueden ser igualmente: • ALTERNOS: los que pueden ser considerados combinadamente con los anteriores, como alternos internos y alternos externos: ∠3 y ∠5; ∠4 y ∠6; ∠1 y ∠7, ∠2 y ∠8. • CORRESPONDIENTES: al coincidir uno con otro al trasladarse el ángulo a lo largo de la transversal, son: ∠1 y ∠5; ∠2 y ∠6; ∠3 y ∠7; ∠4 y ∠8. • COLATERALES: son dos internos o dos externos, situados a un mismo lado de la secante: ∠3 y ∠6; ∠4 y ∠5; ∠2 y ∠7; ∠1 y ∠8. Estos grupos de ángulos tienen la propiedad de ser iguales para cada par de ellos, con respecto a las líneas paralelas. Así, para el caso de las paralelas y secantes, se pueden expresar las siguientes propiedades: 1. Cuando dos rectas son cortadas por una secante y sus ángulos alternos internos son iguales, las rectas son paralelas. 2. Cuando dos rectas son cortadas por una secante y tienen sus ángulos correspondientes iguales o suplementarios a dos ángulos internos del mismo lado, las rectas son paralelas. 3. Dos perpendiculares a una misma recta son paralelas entre sí. 4. Si una recta es perpendicular a otra, lo es también a cualquier otra paralela a ésta. 5. Desde un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una y sólo una perpendicular a ella13.

3.7. Las poligonales y los polígonos Las líneas que se cortan en el plano, se encuentran en capacidad de conformar entre sí diversas formas que, regular o irregularmente constituyen conjuntos lineales, no rectos en su conjunto, que se denominan en el lenguaje corriente líneas quebradas, y que geométricamente son denominadas LÍNEAS POLIGONALES o simplemente poligonales. 13 Esta propiedad se relaciona con el quinto postulado de Euclides, el cual ha sido tan discutido y negado por los matemáticos no euclidianos.

Formas Rectilíneas

Figura 3.20

Sin embargo, este tipo de líneas puede tener dos formas características: una primera es que los extremos del conjunto no coincidan en el mismo punto, caso en el cual la poligonal se define como ABIERTA o poligonal típica; y cuando los extremos inicial y final coinciden en un mismo punto, la línea se considera como poligonal CERRADA; esta forma es más conocida como FIGURA POLIGONAL o POLÍGONO, diferencia que se muestra en la figura. 3.20. Al estar formados por líneas que se cortan y que tienen un punto común, los polígonos poseen VÉRTICES, ÁNGULOS y LADOS, como en el caso de los ángulos, y que en su número y magnitud entran a definir las características de cada una de las figuras que se forman.

Figura 3.21

En todos los polígonos, se denominan LADOS los segmentos rectos que limitan la figura y VÉRTICES a todos los puntos que sean intersección de dos lados contiguos o adyacentes; así mismo, la suma de la medida de los lados (distancias entre dos vértices consecutivos) de cualquier polígono, es el PERÍMETRO, como en las figuras 3.21. y 3.22. 53

Capítulo 3

Hay que tener en cuenta que en la totalidad de las figuras poligonales cerradas, el número de ángulos siempre es igual al número de vértices y al número de lados; de la misma manera, la unión de dos vértices no consecutivos mediante un segmento recto forma la DIAGONAL del polígono. (Ver figura 3.22.)

Figura 3.22

Por su parte, los ángulos de un polígono pueden tener dos formas o presentaciones distintas; pueden ser ENTRANTES o SALIENTES, los que a la vez dan las diferencias generales entre los polígonos, diferenciándose en CONVEXOS, que poseen sólo ángulos salientes o normales del polígono y CÓNCAVOS, que tienen al menos un ángulo entrante. No obstante, se puede entender igualmente que si un polígono posee todas sus diagonales a su interior, será convexo y si al menos una de ellas está total o parcialmente en el exterior, será cóncavo, como se puede observar en la figura 3.22. Un polígono que posee sus lados y sus ángulos iguales o respectivamente congruentes entre sí, es REGULAR. Cuando no cumple con esta condición, esto es, que posee al menos un lado o un ángulo no congruente con los demás, el polígono es IRREGULAR, como en la figura 3.23.

Formas Rectilíneas

Figura 3.23

Los polígonos pueden clasificarse en términos de sus ángulos en EQUIÁNGULOS, si todos los ángulos son iguales y de acuerdo con sus lados, en EQUILÁTEROS, si todos los lados son iguales. Por tanto, se deduce fácilmente que los polígonos regulares serán equiángulos y equiláteros simultáneamente. En la figura 3.24. se aprecian las tres clases de polígonos.

Figura 3.24

Los polígonos regulares y los irregulares se clasifican de acuerdo con el número de lados y sus nombres tienen como base raíces griegas14. Por tanto, de acuerdo con el número de lados, los polígonos se clasifican en la siguiente forma: 14 Generalmente se utilizan prefijos o sufijos latinos o griegos y latinos y griegos en conjunto.

Capítulo 3

Lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nombres Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono o Eneágono Decágono Undecágono Dodecágono

POLÍGONOS BÁSICOS. Se consideran figuras poligonales básicas o polígonos primarios, al triángulo y al cuadrilátero. Por tanto, al ser las más utilizadas dentro de los conceptos formales del diseño, es importante estudiarlas en forma independiente para tener una mejor comprensión de sus propiedades.

3.8. Triángulos

Dos líneas que se cortan producen entre sí la figura poligonal más simple, el ángulo, que es una poligonal abierta. Si son tres, con vértices distintos, se forma la figura poligonal cerrada, o polígono, denominada TRIÁNGULO. El triángulo es la figura poligonal cerrada mínima, que al estar formada por tres segmentos rectos, todos sus componentes principales están en grupos de tres, que se muestran en la figura 3.25., así: • VÉRTICES, son los puntos comunes a dos líneas que se cortan. • LADOS, son los segmentos rectos que perimetralmente conforman la figura. • ÁNGULOS INTERIORES, son los correspondientes a cada par de líneas en un vértice. Su propiedad principal es que la suma de estos tres ángulos siempre es igual a 180º, o sea, dos ángulos rectos. 56

Formas Rectilíneas

• ÁNGULOS EXTERIORES, son los formados por la prolongación de cada uno de los lados, con cada lado adyacente; y son suplementarios con el ángulo interior adyacente respectivo.

Figura 3.25

Como se expresó, la prolongación de un lado de un triángulo forma con el lado adyacente un ángulo exterior, lo cual indica que será suplementario del interior correspondiente. Los ángulos exteriores poseen dos características para todos los triángulos, a saber: que la suma de ellos es igual a cuatro rectos (360º) y cada uno es mayor que cualquiera de los interiores no adyacentes e igual a su suma. • BASE, es el lado sobre el cual se supone que se encuentra apoyado el triángulo, de manera que cualquiera de los lados puede ser considerado como base.

3.9. Clasificación de los triángulos

Los triángulos pueden clasificarse en dos clases: según la medida de los ángulos y según la medida de los lados. De acuerdo con la medida de los ángulos interiores, los triángulos pueden tomar diferentes nombres, como se aprecia en la figura 3.26., así:

Capítulo 3

Figura 3.26

• RECTÁNGULOS, cuando poseen un ángulo recto. En este caso, los lados que forman el ángulo recto reciben el nombre de CATETOS y el lado que los une, opuesto al ángulo recto, HIPOTENUSA. • ACUTÁNGULOS, si los triángulos tienen los tres ángulos agudos. • OBTUSÁNGULOS, cuando poseen un ángulo obtuso. En este caso, los otros serán agudos. Teniendo en cuenta la medida de los lados, como se ve en la figura 3.27., pueden tener los siguientes nombres: • EQUILÁTERO, si los tres lados tienen la misma medida. • ISÓSCELES, cuando dos de sus lados tienen medidas iguales. • ESCALENO, si los tres lados poseen medidas desiguales. Estas características pueden estar combinadas entre sí, como en el caso de un triángulo rectángulo, que puede ser isósceles o escaleno.

Figura 3.27

Formas Rectilíneas

3.10. Líneas y puntos en el triángulo Los triángulos pueden contener dentro de su espacio interior líneas y puntos que, de acuerdo con su disposición, reciben nombres diferentes y se denominan Líneas y Puntos Notables del Triángulo, las que se pueden apreciar en la figura 3.28.: • ALTURA: es la recta perpendicular trazada desde un vértice, hasta el lado opuesto o su prolongación15. Existen tres alturas que concurren en un mismo punto denominado ORTOCENTRO o centro de confluencia de las perpendiculares.

Figura 3.28

• MEDIANA: es el segmento que se traza desde uno de los vértices hasta el punto medio del lado opuesto. Son tres las medianas de todos los triángulos y se cortan en un mismo punto llamado BARICENTRO o centro de gravedad del triángulo. • MEDIATRIZ: corresponde a la perpendicular trazada por el punto medio de cada uno de los lados. Son tres mediatrices y tienen un punto común de convergencia denominado CIRCUNCENTRO, por ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Por tanto, la distancia de los vértices al circuncentro siempre será igual. • BISECTRIZ: como sucede con cualquier ángulo, lo divide en dos ángulos exactamente iguales. Por tanto, en un triángulo existen

15 Algunas veces se define como la recta que pasa por un vértice perpendicularmente a la base opuesta.

Capítulo 3

tres bisectrices que concurren en un mismo punto llamado INCENTRO, el cual es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, de manera que las distancias perpendiculares desde este punto hasta los lados del triángulo son iguales para todos.

3.11. Cuadriláteros

Son figuras poligonales planas limitadas por cuatro lados. Como los triángulos, están compuestas por vértices y lados. Los lados pueden ser ADYACENTES o CONSECUTIVOS, si poseen un vértice común. Si no lo poseen, son lados OPUESTOS, siempre en grupos de dos, como se puede ver en la figura 3.29.

Figura 3.29

3.12. Clasificación de los cuadriláteros Considerando el paralelismo de los lados opuestos, los cuadriláteros pueden clasificarse, como se puede observar en la figura 1.30., en: • PARALELOGRAMOS, si sus lados opuestos son paralelos de dos en dos, y por tanto sus lados y ángulos opuestos son iguales. • TRAPECIOS, si solamente un par de lados son paralelos. • CUADRILÁTEROS CORRIENTES, si ninguno de los lados opuestos son paralelos16. 16

En algunos textos a estos cuadriláteros los denominan Trapezoides.

Formas Rectilíneas

Figura 3.30

Si se tienen en cuenta los ángulos interiores, los paralelogramos, como en la figura 3.31. pueden ser: • RECTÁNGULOS, si los cuatro ángulos son iguales.

Figura 3.31

• CUADRADOS, si tanto los lados y ángulos son iguales respectivamente. En este caso, dada su conformación, el cuadrado se considera como el único cuadrilátero regular de la geometría. 61

Capítulo 3

• ROMBOS, si los cuatro lados son iguales y los ángulos adyacentes desiguales, pero iguales a los opuestos. • PARALELOGRAMOS CORRIENTES, son los que tienen todos sus ángulos diferentes. Este caso puede ser considerado como dentro del grupo mencionado como cuadriláteros corrientes. Por su parte, los trapecios están compuestos por elementos perfectamente definidos: se llaman BASES del trapecio a los lados paralelos, los que al ser desiguales, serán BASE MAYOR y BASE MENOR, respectivamente. Así mismo, la línea que une los puntos medios de los lados no paralelos, se denomina BASE MEDIA o PARALELA MEDIA y es igual a la semisuma de las medidas de las dos bases. La ALTURA, que es la medida de la línea que es perpendicular simultáneamente a las dos bases. Por otra parte, un trapecio puede ser RECTÁNGULO cuando posee dos ángulos rectos; ISÓSCELES, si los lados no paralelos son iguales, y ESCALENO, si no es rectángulo ni isósceles, como en la figura 3.32.

Figura3.32

Por último, en la figura 3.33. se puede apreciar que los cuadriláteros corrientes pueden considerarse de dos tipos, SIMÉTRICOS, si poseen dos pares de lados consecutivos iguales y ASIMÉTRICOS, si no poseen esta propiedad. 62

Formas Rectilíneas

Figura 3.33

3.13. Congruencia Para buscar una comprensión máxima de las propiedades de los polígonos, y en general de las figuras poligonales, es importante conocer la diferencia entre IGUALDAD y CONGRUENCIA, palabras que con mucha frecuencia son tomadas indistintamente, a pesar de que son diferentes los conceptos que encierran. Cuando se comparan dos figuras geométricas, se dice que son iguales si poseen la misma forma (dos triángulos equiláteros cualesquiera son iguales por ser triángulos equiláteros) y son congruentes si tienen la misma forma y las mismas medidas. Por tanto, la congruencia implica igualdad en medida y en forma, o lo que es lo mismo, la coincidencia absoluta de todas y cada una de sus partes, cuando se coloca una sobre la otra17. El concepto de congruencia es uno de los que tiene una mayor aplicación a lo largo del aprendizaje y de la práctica del diseño, especialmente si se entiende que la producción o construcción en serie de elementos diseñados en forma individual, es equivalente a la producción de elementos congruentes. 17 Esta argumentación es la utilizada por Euclides en muchas de sus demostraciones.

Capítulo 3

A continuación se presenta un resumen de las diferentes formas de congruencia de los triángulos, las cuales, por extensión, pueden también ser asumidas para las figuras poligonales en general. Dos TRIÁNGULOS CUALESQUIERA son congruentes si: • Poseen un lado igual y los ángulos comprendidos iguales. Propiedad ALA. • Existen dos lados iguales y el ángulo comprendido igual. Propiedad LAL. • Los tres lados son iguales. Propiedad LLL. Así mismo, dos TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS son congruentes si: • Tienen la hipotenusa y un cateto iguales. Propiedad HC. • Poseen un cateto igual y un ángulo agudo igual. Propiedad CAg. • Tienen los dos catetos iguales. Propiedad CC. • Poseen la Hipotenusa y un ángulo agudo iguales. Propiedad HAg.

3.14. Ejercicios propuestos

Resuelva los siguientes ejercicios. 1. ¿Cuál es el complemento del ángulo de: a) 27º? b) 37º 44´? c) 75º 35´? 2. ¿Cuál es el suplemento del ángulo de: a) 43º? b) 125º 47´? 3. Dos ángulos de un triángulo tienen respectivamente 47º 58´ y 56º 49´; ¿Cuánto vale el tercero? 4. ¿Cuál es el valor de un ángulo de la base de un triángulo isósceles, si el ángulo del vértice vale 32º 18´? 5. El ángulo del vértice de un triángulo isósceles mide 22º 22´; ¿Cuál es el ángulo exterior formado por uno de los lados iguales y la prolongación de la base? 6. ¿Cuántos postes se necesitan para cercar un terreno rectangular si entre los postes debe haber 5 m de distancia y el terreno mide 20 m por 30 m? 7. Una escalera tiene 10 escalones cuyas medidas son 0,28 m de ancho y 0,175 m de altura. Una hormiga empieza desde el piso infe64

Formas Rectilíneas

rior en el primer escalón y asciende por la escalera en línea recta, ¿qué distancia habrá recorrido al llegar a la parte más alta del último escalón? 8. Dos ciudades A y B, localizadas a la orilla de un mismo río, necesitan un servicio adicional de agua. Se decidió construir una planta purificadora de agua junto al río y canalizar el agua hasta cada ciudad. Cada una de las ciudades pagará la instalación de las tuberías que irán de la planta a ellas. La planta, por consiguiente, deberá ubicarse a la misma distancia de cada una de las ciudades. Exprese teórica y gráficamente, la ubicación de la planta y el por qué de ello. 9. ¿Cuál es la medida del ángulo formado por las manecillas del reloj a las 8:12? 10. Uno de los ángulos formados por dos rectas paralelas que son cortadas por una secante tiene 43º. ¿Cuánto valen los demás ángulos? 11. A partir de la información dada, calcular el tercer ángulo de los triángulos y a partir de ello, expresar qué tipo de triángulo se forma. a) 34º y 75º, b) 123º y 24º c) 30º 47´ y 59º 13´.

Capítulo 4

Formas Curvas

4.1. La circunferencia y el círculo

La CIRCUNFERENCIA es, quizás, la figura geométrica más conocida y utilizada. Puede definirse como el conjunto de puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia de otro punto del mismo plano, que se denomina Centro. Habiendo definido el término circunferencia, es necesario comprender la diferencia existente entre los términos circunferencia y círculo, ya que en la gran mayoría de los textos de geometría se mencionan indistintamente, sin establecer ninguna diferencia, lo cual puede prestarse a confusiones. (Figura 4.1.).

Figura 4.1

Capítulo 4

Cuando se habla de circunferencia se está haciendo referencia a un elemento lineal que, tal como lo dice la definición, es el conjunto de puntos que están a una misma distancia de otro, lo cual quiere decir que conformarán una línea curva, entendiéndose ésta como un cambio regular de sentido, manteniendo siempre la misma distancia al punto o centro. Por su parte, el círculo, se entiende como el conjunto de todos los puntos incluídos en el interior de la región conformada por la circunferencia. El círculo es, entonces, un conjunto de puntos que incluye la misma circunferencia. De lo anterior puede deducirse lo siguiente: • La circunferencia se comporta como una línea que permanentemente está cambiando de sentido, manteniendo una misma distancia con respecto a un centro. Por tanto, es un elemento netamente lineal y su medida será de este mismo tipo. • El círculo se corresponde con una superficie, esto es, con un espacio bidimensional limitado por la circunferencia. Entonces, su medida será de tipo superficial mediante el cálculo de su área. • La circunferencia se debe entender como el perímetro del círculo. • Los elementos que intervienen en la circunferencia son los mismos del círculo.

4.2. Líneas en la circunferencia

La circunferencia por sí misma es una sola línea determinada por el punto que se encuentra a la misma distancia de todos sus puntos. Cualquier parte o sección de ella que está delimitada entre dos de sus puntos, cualquiera que sea su distancia, se denomina ARCO. Sin embargo, tanto el arco como la circunferencia pueden relacionarse con elementos lineales que llegan a formar parte de la misma circunferencia, de acuerdo con ciertas propiedades particulares. Los elementos lineales que pueden relacionarse con la circunferencia son los que se expresan a continuación y que aprecian en la figura 4.2.: 68

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Figura 4.2

1. RADIO: es el segmento recto que se traza desde el centro hasta cualquier punto de la circunferencia. Al estar todos los puntos a la misma distancia del centro, cualquier radio que se trace será congruente con los demás y su medida será una de las bases para el trabajo relacionado con el círculo. 2. DIÁMETRO: es el segmento recto que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro. Como pasa por el centro, el diámetro es igual a dos radios colocados colinealmente y por tanto su medida será igual a 2R. 3. CUERDA: es el segmento recto que une dos puntos de la circunferencia. Se deduce que el diámetro es la mayor cuerda que se puede trazar en una circunferencia. 4. FLECHA: es el segmento recto que, como mediatriz de la cuerda, une perpendicularmente un punto de la circunferencia con el punto medio de cualquier cuerda18.

En algunos textos se identifica como sagita.

Capítulo 4

5. SECANTE: es la línea recta que atraviesa la circunferencia, cortándola únicamente en dos puntos. Estos puntos determinan una cuerda. 6. TANGENTE: es toda línea exterior a la circunferencia que la toca únicamente en un punto. Al combinarse en la circunferencia, los anteriores elementos presentan las siguientes propiedades: • Por tres puntos no colineales se puede hacer pasar sólo una circunferencia. • En una misma circunferencia, a mayor cuerda siempre corresponderá mayor arco. • En circunferencias iguales o en una misma circunferencia, arcos iguales son subtendidos por cuerdas iguales. • En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, cuerdas iguales equidistan del centro. • La cuerda que está a menor distancia del centro es mayor que la que está a mayor distancia. • Toda tangente es perpendicular al radio trazado por el punto de tangencia. • Una recta o segmento recto es normal a una circunferencia, cuando es perpendicular a la tangente trazada en el punto de tangencia. Las anteriores propiedades son indispensables para la solución de problemas de tipo tanto conceptual como gráfico y matemático, dentro del trabajo diario del diseñador.

4.3. Relaciones lineales

Los elementos que intervienen en la circunferencia presentan básicamente dos formas, ANGULARIDAD y PARALELISMO. La primera, tiene relación con las diversas posibilidades que pueden tener las líneas que participan en la circunferencia de formar diversos tipos de ángulos entre sí, y la segunda, a las mismas posibilidades dadas por el paralelismo que puedan presentar. 70

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ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. Para comprender tanto los ángulos como su medida, es necesario iniciar con la explicación del concepto de medida angular con respecto a la circunferencia. Con base en la definición ya expresada de medida de un ángulo, puede decirse que cualquier radio que gira alrededor del centro desde una posición inicial hasta completar una vuelta, habrá realizado un recorrido equivalente a 360º. Por tanto, esta medida corresponde, tanto a la del ángulo como a la del arco comprendido entre sus lados. Teniendo en cuenta que las líneas que pueden intervenir en la circunferencia están en capacidad de combinarse, se tendrán las siguientes posibilidades básicas, denominadas ángulos en la circunferencia:

Figura 4.3

• ÁNGULO CENTRAL: está formado por dos radios y su medida es igual a la medida del arco comprendido por sus lados, como el ∠AOB de la figura 4.3. • CUADRANTE: corresponde a cada uno de los ángulos formados por dos diámetros conjugados, o sea aquellos que son perpendiculares y que estarán formando cuatro ángulos rectos que la dividen en el mismo número de partes. Por tanto, la medida de cada cuadrante y de su arco respectivo es igual a 90º. (ver figura 4.4.) 71

Capítulo 4

Figura 4.4

• ÁNGULO INSCRITO: es el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan y que tienen su punto común en la circunferencia, es decir, el vértice pertenece a la circunferencia. Por extensión, puede decirse que este tipo de ángulo puede formarse por dos secantes que se cortan en un punto de la circunferencia, de tal manera que las cuerdas determinadas forman el respectivo ángulo inscrito. Su medida es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados como el ∠ABC de la figura 4.5.

Figura 4.5

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• ÁNGULO INTERIOR: se forma por dos cuerdas que se cortan en el interior de la circunferencia. Al ser segmentos que se cortan en un punto diferente a sus extremos, conforman dos pares de ángulos opuestos por el vértice cuya medida es igual al promedio de las medidas de los dos arcos comprendidos por las cuerdas. ∠APD y ∠ΒPC de la figura 4.6. Como en el caso del ángulo inscrito, se puede entender como el formado por las cuerdas que determinan dos secantes que se cortan en el interior de la circunferencia.

Figura 4.6

• ÁNGULO SEMI-INSCRITO: es un ángulo formado por una cuerda y una tangente, con su vértice ubicado en el punto de tangencia, esto es, pertenece a la circunferencia. Hay que hacer notar que su nombre se deriva del hecho de ser un ángulo parcialmente inscrito19. En la figura 4.7. es el ABC y su medida es equivalente a la mitad de la medida del arco correspondiente.

Este ángulo también se conoce como ex-inscrito.

Capítulo 4

Figura 4.7

• ÁNGULO EXTERIOR: como se deduce de su nombre, el vértice se encuentra ubicado en el exterior de la circunferencia. Por tanto, puede estar formado por tres grupos de líneas: dos tangentes, dos secantes o una secante y una tangente, como se puede apreciar en la figura 4.8. La medida del ángulo exterior es equivalente a la semi-diferencia de la medida de los arcos correspondientes.

Figura 4.8

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De lo anterior se desprenden las siguientes propiedades que son útiles para el trabajo aplicado de dichas combinaciones lineales: • En una circunferencia o en circunferencias iguales, dos ángulos centrales iguales comprenden arcos iguales. • A mayor ángulo central, corresponde mayor arco. • Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. • Todos los ángulos inscritos subtendidos por una misma cuerda, son iguales. • Dos tangentes que parten de un mismo punto a la misma circunferencia son iguales. Por tanto, el segmento bisectriz del ángulo pasa por el centro de la circunferencia.

Figura 4.9

PARALELAS EN LA CIRCUNFERENCIA: la posición normal de estas líneas conserva las mismas propiedades de las líneas y segmentos paralelos, sin embargo, su aplicación primordial está dada especialmente para el caso de las cuerdas y de las tangentes, lo cual permite observar las siguientes dos propiedades que pueden verse en la figura 4.9.: En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, cuerdas paralelas iguales equidistan del centro. Dos paralelas tangentes a una misma circunferencia, son perpendiculares al diámetro que pasa por los puntos de tangencia. 75

Capítulo 4

4.4. Otras curvas La circunferencia como perímetro del círculo a su vez es su límite, o lo que es lo mismo, es el límite curvo básico de la geometría. No obstante, y a pesar de ser entendida la circunferencia como una ampliación infinita de los lados de un polígono regular, las formas o límites curvos pueden ser asumidos tanto desde la semirregularidad, como desde la irregularidad. De acuerdo con esto, se expresarán a continuación los conceptos de las curvas de uso más corriente en el diseño20.

Figura 4.10

• ELIPSE: es el conjunto de los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos del mismo plano, es constante, como se aprecia en figura 4.10. En la elipse se consideran los siguientes elementos: Los puntos fijos se denominan Focos; los segmentos rectos que unen cualquier punto de la curva con los focos son los Radios Vectores; la recta que pasa por los focos, es llamada Diámetro Mayor o Eje Focal; la perpendicular en el punto medio del eje focal es el Diámetro Menor o Eje no focal y la distancia entre los focos, Distancia Focal.

20 Estos conceptos serán ampliados en los capítulos correspondientes a Teoría de las Envolventes y las Cónicas.

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Figura 4.11

• HIPÉRBOLA: es el conjunto de los puntos de un plano tales que la diferencia de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos del mismo plano, es constante, como en la figura 4.11. Sus elementos poseen la misma denominación que los elementos de la Elipse. • PARÁBOLA: es el conjunto de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. (Figura 4.12.)

Figura 4.12

Capítulo 4

La parábola posee los siguientes elementos: su punto fijo, que se denomina Foco; una recta fija denominada Directriz; las líneas que unen cualquier punto de la curva con el foco, Radios Vectores; la distancia del foco a la directriz que se denomina Parámetro y la recta perpendicular a la directriz, Eje.

4.5. Espirales

Una espiral es una curva plana que comenzando en un punto, su curvatura va disminuyendo progresivamente a medida que aumenta su radio de curvatura.

Figura 4.13

Son curvas que poseen infinidad de características, principalmente matemáticas; esto ha hecho que se hayan convertido en las figuras geométricas curvas más utilizadas en la decoración a lo largo de la historia.

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Figura 4.14

Desde las primeras ĂŠpocas de la humanidad, con base en las formas naturales como el caracol que se muestra en la figura 4.13., pasando por la antigua Grecia y por Roma, como el ejemplo del capitel jĂłnico de la figura 4.14., hasta la actualidad como en el forjado en espiral de la figura 4.15., el hombre ha utilizado las espirales, tanto para el diseĂąo de elementos decorativos simples y complejos, como para sĂmbolos relacionados con creencias que las convierten en representaciones sacras; ejemplo de ello es la espiral que forma el laberinto del piso de la Catedral de Chartres de la figura 4.16.

Figura 4.15

Capítulo 4

Figura 4.16

Existen varios tipos de espirales, entre las cuales es importante destacar: • La espiral de Arquímedes es la curva que describe un punto, que se mueve a velocidad constante, sobre un eje que gira con velocidad angular constante. Ver figura 417.

Figura 4.17

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Arquímedes expresaba en el siglo III a. C. en su escrito de las espirales que …si una línea recta que permanece fija en un extremo, se le hace girar en el plano con velocidad constante, hasta hacerla volver de nuevo a la posición de la que ha partido, y junto con la recta que gira, se mueve un punto sobre la recta con velocidad constante comenzando por el extremo fijo, el punto describe en el plano una espiral…21 Sus características más importantes están dadas por el hecho de que entre dos espiras22 la distancia es la misma, su expansión y su rotación tienen lugar a la misma velocidad y el vínculo entre ellas es lineal. Ejemplo de esta espiral se encuentra enrollando una cuerda sobre sí misma, como lo señala Arquímedes o también en la trompa de una mariposa. Es la espiral más sencilla de construir, por lo cual ha sido la más utilizada en decoración. • La espiral logarítmica se distingue de la de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre sus brazos se incrementan en progresión geométrica, mientras que en aquélla estas distancias son constantes, como puede verse en la figura 4.18.

21 22 pleta.

Tomado de www.divulgamath.net.../Arquimedes. Se considera una espira a la parte de la curva resultante de una vuelta com-

Capítulo 4

Figura 4.18

• La característica fundamental de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo geométrico o exponencial, debido a que la distancia entre las espiras aumenta mucho más rápidamente que la rotación. Otros nombres que recibe esta espiral es equiangular o geométrica; equiangular porque el mismo ángulo de giro, crece en progresión aritmética, mientras que es geométrica porque el radio crece en progresión geométrica. • La clotoide, llamada espiral de Cornú23, es una curva tangente al eje de las abscisas en el origen y cuyo radio de curvatura es inversamente proporcional a su desarrollo. (Figura 4.19.).

Figura 4.19

En honor del físico francés Marie Alfred Cornú, 1841 - 1902.

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• La espiral áurea, descubierta por Durero24, se parece mucho a la espiral logarítmica y, como se verá en el capítulo correspondiente, su construcción se realiza a partir de un rectángulo cuyos lados estén en proporción áurea, mediante un proceso iterativo de construcción de rectángulos áureos menores, en donde la espiral se encuentra uniendo dos vértices opuestos de los cuadrados sucesivos con un arco de circunferencia. Esta espiral se muestra en la figura 4.20.

Figura 4.20

4.6. Ejercicios propuestos 1. Se recomienda resolver este ejercicio mediante un análisis geométrico a partir de las diferentes propiedades vistas. Un documento del siglo XVII que perteneció a un conde y que fue encontrado por un arqueólogo, expresa lo siguiente: Es mi deseo que mis restos sean sepultados en el jardín de la entrada del castillo en el cual he pasado los mejores días de mi vida. Para ello deberéis tener en cuenta que la sepultura tendrá que estar ubicada en el centro del camino recto que conduce al castillo, a la misma distancia de las dos columnas que marcan su entrada y a 5 metros del roble bajo el cual me cobijaba del sol, en un punto lo más cerca al castillo. Como mi último deseo es que todo aquél que llegue a él pase sobre mis restos, para con ello pagar por los pecados co24

Se denomina también Espiral de Fibonacci.

Capítulo 4

3. 4. 5.

•

• •

metidos, no deberéis colocar lápida, losa o señal alguna que indique el lugar en donde me encuentro sepultado. Si hacéis como os digo, rogaré a Dios por vuestras almas. El arqueólogo viajó hasta el castillo y observó que, efectivamente, no había señal alguna que marcara el lugar del enterramiento. Sin embargo, mediante un gráfico y aplicando principios geométricos encontró la tumba del conde. ¿Cómo encontró la tumba el arqueólogo? Hacer un análisis explicativo de la forma como puede ser empleada una escuadra simple para encontrar el centro de una pieza circular. A través de un análisis, expresar porqué un rectángulo inscrito en una circunferencia es un rectángulo. Calcular el valor del ángulo inscrito cuyos lados comprenden los de la circunferencia. La Vescica Piscis Pitagórica es una forma geométrica que, como su nombre lo indica, fue descubierta por Pitágoras. Se deriva de la forma análoga que tiene la vejiga de un pez y su conformación está lograda a partir del dibujo de curvas sencillas. El ejercicio por realizar contiene dos partes: una primera, que comprende la construcción de la Vescica Piscis y una segunda, que es el análisis de la misma figura. Trazar una circunferencia de radio 2.5 cm, con centro en A. A partir de un punto B sobre el diámetro horizontal de la circunferencia, trazar otra circunferencia de igual radio. LA ZONA COMPRENDIDA POR LA SUPERPOSICIÓN DE LAS DOS CIRCUNFERENCIAS ES LA VESCICA PISCIS. Trazar una circunferencia de radio 2.5 cm, con centro en A. A partir de un punto B sobre el diámetro horizontal de la circunferencia, trazar otra circunferencia de igual radio. LA ZONA COMPRENDIDA POR LA SUPERPOSICIÓN DE LAS DOS CIRCUNFERENCIAS ES LA VESCICA PISCIS. En el dibujo ya realizado, trazar el eje que una los puntos comunes a las dos circunferencias superpues-

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tas (C y D) y así mismo el eje que una los dos puntos iniciales A y B. A continuación trazar las líneas que unan todos estos puntos: (CA) ̅, (CB) ̅, (AD) ̅ y (BD) ̅. Prolongar (CB) ̅ y (CA) ̅, hasta que toquen las circunferencias en los puntos F y G y trazar la línea que una estos puntos pasando por D. • Asumiendo que la medida de la distancia (AB) ̅ es la unidad, comprobar qué tipos de triángulos son los que se han formado.

Capítulo 5

Teoría de las Envolventes

Se entiende por envolvente de una familia de curvas25 en el plano, a una curva que es tangente a cada uno de los miembros de la familia. Así mismo puede expresarse que una envolvente recta es el conjunto de rectas que por medio de una parametrización26 regular genera una curva formada por los puntos de tangencia de dicha recta. Se diferencian de las construcciones geométricas simples, en que éstas son respuesta de un número finito de operaciones básicas, mientras que las envolventes son el resultado de un número infinito de construcciones, esto es, del desarrollo de una familia mediante una serie paramétrica. Estas familias de curvas incluyen principalmente dos tipos: las cónicas y las cáusticas. Estas últimas pertenecen a su vez al grupo matemático de las epicicloides y las hipocicloides. Las cónicas hacen referencia a aquellas curvas que son el resultado de seccionar un cono circular recto27, de acuerdo a cortes en determinadas posiciones y las segundas, a aquellas familias que producen rectas concentradas en uno o más puntos. Para el caso que interesa en este curso, se trabajará dentro del concepto de aplicación formal a través del proceso lineal, que en la práctica se 25 Una familia de curvas es el conjunto de curvas que poseen una serie de propiedades similares. 26 Utilización de una variable o de una propiedad medible cuyo valor está determinado por las características del sistema al cual pertenece. 27 Estas curvas serán estudiadas desde la óptica tridimensional, en la parte co rrespondiente a la Forma en el Espacio.

Capítulo 5

puede denominar Bordado Geométrico28 utilizado como elemento decorativo en diseños particulares de tipo industrial y en una rama específica de las artes manuales o artesanías, conocida como String Art o arte con hilos o alambres.

5.1. Las cónicas

Las denominadas geométrica y matemáticamente como Cónicas son cuatro: la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.

Figura 5.1

CIRCUNFERENCIA. Ya se ha visto que la circunferencia se considera como el conjunto de todos los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de otro punto. Como envolvente, es la familia de curvas que son generadas mediante el trazado de líneas rectas que se ubican alrededor de un centro; la serie de rectas estará conformando lo que se 28 Esta denominación es similar a la que emplea Dan Pedoe en su libro GEOMETRÍA EN EL ARTE, cuando habla de Bordado Matemático p.223.

Teoría de las Envolventes

podría denominar como una curva de tipo virtual, como se puede ver en el ejemplo de la figura 5.1.

Figura 5.2

Hay que recordar que la circunferencia es la única curva en la cual el radio es perpendicular a cualquier tangente en su punto de tangencia, lo cual quiere decir que si este punto de tangencia es el punto de partida de una cuerda cualquiera, el movimiento de ésta alrededor del centro, generará siempre una nueva curva, concéntrica a la circunferencia inicial, pero con radio menor, proporcional al tamaño de la cuerda. En la figura 5.2. se puede observar el conjunto de cuatro circunferencias concéntricas. Como Bordado Geométrico, la circunferencia es generada al dividir una circunferencia de base en partes iguales, en la cual, partiendo de un primer punto, se unen secuencialmente mediante líneas rectas aplicando la unión del punto 1 con el x, el punto n+1 con el x+1, etc. 89

Capítulo 5

Los procesos constructivos detallados de cada una de las envolventes tratadas en este capítulo se incluyen en los respectivos ejercicios del final del mismo. ELIPSE. Es el conjunto de los puntos de un plano, de tal forma que la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos del mismo plano, es constante. Como envolvente, será entonces la familia de curvas cuya generación está dada por una serie de tangentes que mantienen una medida constante dada por la suma de las distancias a dos puntos focales. Ver figura 5.3.

Figura 5.3

PARÁBOLA. Como el conjunto de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano, la parábola como envolvente corresponde a la familia de las curvas cuyas tangentes permanecen a una distancia constante de un punto focal y de un eje. Ver figura 5.4. 90

TeorĂa de las Envolventes

Figura 5.4

HIPĂ&#x2030;RBOLA. Al ser la hipĂŠrbola el lugar geomĂŠtrico de los puntos de un plano en los cuales la diferencia de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos del mismo plano es constante, su familia puede ser considerada como la envolvente generada por las distancias de las rectas tangentes cuyos puntos de tangencia poseen la particularidad de tener constante la diferencia entre las distancias a los dos puntos focales, como se aprecia en la figura 3.5.

Figura 5.5

Capítulo 5

5.2. Las cáusticas Se denominan cáusticas29 las curvas cuyas envolventes generadoras se encuentran concentradas en uno o más puntos. Esta denominación parte del concepto de la concentración de los rayos de luz solar a partir de espejos cóncavos, que producen ignición. Este tipo de curvas ha sido reconocido como el grupo de las más hermosas que se encuentran dentro del conjunto de la matemática. Dentro del amplio número de curvas que conforman esta familia, se considerarán solamente las que desde el punto de vista del diseño pueden servir como básicas para el desarrollo de muchas otras figuras, utilizando las mismas operaciones constructivas. En consecuencia, se estudiarán las siguientes curvas: la cardioide, la nefroide, la deltoide y la astroide. CARDIOIDE. Esta curva, cuya forma matemática se muestra en la figura 5.6., se considera como de generación múltiple y es el lugar geométrico de los puntos que se encuentran a una distancia variable de un punto.

Figura 5.6

Existen dos formas típicas de generar gráficamente una cardioide: mediante circunferencias generatrices, como en la figura 5.7. y mediante envolventes o tangentes rectas, como el caso de la figura 5.8. 29

Cáustico: Que quema.

Teoría de las Envolventes

Para el primer caso, se asume una circunferencia de base, en la cual se ubica un punto fijo. Localizando puntos sobre la circunferencia, se trazan nuevas circunferencia con radios iguales a la distancia entre el punto fijo y los puntos nuevos. Se podrá apreciar que al tener un punto fijo de base, se concentrarán en él las circunferencias trazadas. Este punto, para todos los efectos del trabajo de la curva, se denomina cúspide.

Figura 5.7

El segundo caso o segunda forma de generar una cardioide hace referencia al Bordado Geométrico, el cual puede ser realizado mediante el uso de líneas dibujadas a lápiz o por medio de un trabajo típico de bordado o tejido con hilo de colores. En el resultado se podrá apreciar en forma sencilla el porqué su denominación de cáustica, como se aprecia en las figura 5.8. y 5.9., en donde se muestra un bordado geométrico tridimensional. 93

Capítulo 5

Figura 5.8

Figura 5.9

NEFROIDE. Su nombre se deriva de la forma que posee, muy similar a la de un riñón30, tal como se muestra en la figura 5.10. Es una epicicloide de dos cúspides que como en el caso de la Cardioide posee las mismas dos formas típicas de generación. 30

Nephros = Riñón

Teoría de las Envolventes

Figura 5.10

Mediante el uso de circunferencias, se procede trazando una de base y dibujando una línea que, como diámetro, la cruce. Sobre la primera se ubica un punto desde el cual se traza una circunferencia que toque la línea anterior.

Figura 5.11

Se continúa de la misma forma trazando circunferencias a lado y lado de la línea, de manera que siempre la estén tocando. Como resultado se podrá apreciar un conjunto de curvas que dan forma a la Nefroide, como en la figura 5.11. 95

CapĂtulo 5

Figura 5.12

En la figura 5.12. se puede apreciar la respuesta obtenida mediante un bordado geomĂŠtrico o envolvente lineal, y en la figura 5.13. un ejemplo de cardioide tridimensional.

Figura 5.13

Teoría de las Envolventes

DELTOIDE. Como su nombre lo indica (figura 5.14.), su forma se asemeja a la de la letra mayúscula Delta del alfabeto griego (∆); es un hipocicloide de tres cúspides que es el conjunto de puntos de un plano, que se obtienen cuando una circunferencia de radio a o 2a, gira en el interior de otra de radio 3a.

Figura 5.14

La respuesta al proceso de bordado puede tener dos tipos de presentación, como se aprecia en las figuras 5.14. y 5.15.

Figura 5.15

Capítulo 5

ASTROIDE. La astroide fue descubierto en el siglo XVIII31, pero su denominación solo le fue dada en el Siglo XIX. Es un hipocicloide de cuatro cúspides que corresponde al conjunto de puntos que por medio de otro punto sobre una circunferencia de radio a, gira al interior de otra de radio 4a.

Figura 5.16

Una astroide simple, mediante el bordado geométrico32 se aprecia en la figura 5.16.

31 Leibnitz en 1715 trabajó esta curva desde el punto de vista netamente matemático. 32 Existe otra construcción más compleja, para la cual se remite al lector al libro Geometría en el Arte de Dan Pedoe. pp. 235-5.

Teoría de las Envolventes

5.3. Ejercicios propuestos En los siguientes planteamientos se dan las pautas para la construcción de algunos Bordados Geométricos33. 1. Siguiendo el proceso expresado, construir en dos dimensiones y mediante el uso de instrumentos, cada uno de los elementos que se señalan. a) Circunferencias. • Dividir una circunferencia en 36 partes iguales (10º c/u). • Para la generación de la primera circunferencia, partiendo de un primer punto, se unen mediante líneas rectas aplicando la unión n + 6, esto es, el punto 1 con el 7, el 2 con el 8, etc. • Para las tres circunferencias siguientes, se aplicará el proceso con n + 8, n + 10 y n + 12. • Se sugiere realizar cada una de las circunferencias generadas con colores diferentes. b) Parábola. • Trazar cuatro líneas guías así: una horizontal por el centro del formato, dos horizontales a 0,025 m de los bordes superior e inferior y una vertical a 0,045 m del borde izquierdo. • Dividir la línea vertical, en el espacio comprendido entre las líneas paralelas extremas, en 30 partes iguales, que serán los puntos de base para la generación de las tangentes que producirán la curva. • Ubicar un punto sobre la línea horizontal del centro, a una distancia de 0,015 m a partir de la línea vertical, hacia la derecha, que será el punto focal o de partida de las tangentes. • Unir secuencialmente el punto focal con cada uno de los puntos sobre la recta y a cada una de ellas, trazar una perpendicular que se prolongue hasta las líneas guías superior e inferior. 33 Para la realización de estos trabajos, se recomienda orden, tanto en la numeración de los puntos, como en la realización de los procesos de unión.

Capítulo 5

• Teniendo en cuenta que en los puntos de contacto con las líneas guía se encuentran las tangentes de dos en dos, ubicar estos puntos como base para el bordado. c) Elipse. • Dividir una circunferencia de diámetro 0,18 m, en 36 partes iguales (10º c/u). • Trazar el diámetro horizontal y sobre él ubicar dos puntos interiores situados a 0.045 m de cada uno de los extremos, los cuales van a ser los puntos focales de la elipse por construir. • Partiendo desde uno de los puntos focales, unir con el primero de los puntos sobre la circunferencia y en este mismo punto trazar una perpendicular a la línea anterior hasta que corte la circunferencia de base. • A partir del punto sobre la circunferencia, trazar una línea que lo una con el otro punto focal, que deberá quedar perpendicular a la línea inmediatamente anterior. • Proceder de forma similar con cada uno de los demás puntos de la circunferencia. d) Cardioide. • Dividir la circunferencia en 72 partes iguales (5º c/u). • Marcar los extremos del diámetro horizontal como A´ y A. • Numerar los puntos partiendo de A, como 0, exteriormente y en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de 0 a 72, siendo 36 el extremo A´. • Numerar a partir de A´, interiormente y en el mismo sentido anterior, cada 10º (cada dos puntos), hasta 36, quedando A como 18. • Unir secuencialmente mediante rectas los puntos interiores que tengan el mismo número. • Para obtener la figura completa se debe continuar la numeración de 72 y de 36 en adelante, hasta cuando sea necesario. 100

Teoría de las Envolventes

e) Nefroide. • Dividir la circunferencia en 72 partes iguales (5º c/u). • Marcar un extremo del diámetro horizontal como 0 y numerar cada punto hasta 72 en contra del sentido de las manecillas del reloj. • Se unen los puntos siguiendo la fórmula n con 3n, esto es, 1 con 3, 2 con 6, 3 con 9, etc. • Para completar la figura se debe continuar la numeración hasta cuando sea necesario. f) Astroide. • Trazar dos líneas rectas perpendiculares entre sí, de 0,18 m c/u, de manera que se corten en sus centros. • Dividir cada línea en 60 partes iguales y numerar la línea vertical desde los extremos hacia el centro, partiendo de 0 hasta 30, y la línea horizontal en sentido inverso, a partir de 0 en el centro hasta 30 en los extremos. • Proceder a unir mediante rectas, secuencialmente, los puntos que tengan el mismo número. g) Composición parabólica. • Trazar un cuadrado de 0,18 m de lado. • Dividir cada uno de los lados en 30 partes iguales, y numerar siempre en el mismo sentido, partiendo de cada vértice, de 1 a 30. • Proceder con el trazado de las líneas, dividiendo el trabajo en 4 partes (4 ángulos de 90º), uniendo los puntos que tengan el mismo número. h) Deltoide. • Trazar dos circunferencias concéntricas de 0,18 m y 0,06 m de diámetro. • Dividir la circunferencia interior en 72 partes (cada 5º). • Señalar como A´ y A los extremos del diámetro horizontal y partiendo de A como 0, numerar exteriormente desde 0 hasta 101

Capítulo 5

72 en sentido contrario a las manecillas del reloj; al interior, partiendo de A´ como 0 y en el sentido de las manecillas del reloj, numerar interiormente cada 10º (cada dos puntos) hasta 36. • Unir con una recta los puntos interiores y exteriores que tengan el mismo punto, prolongándola hasta cuando encuentre la circunferencia exterior. • Para completar la figura, se debe continuar con la numeración hasta cuando sea necesario. • Para el bordado, deben quedar ocultos los segmentos rectos que se encuentren dentro de la circunferencia interior. 2. Siguiendo los mismos procesos expresados, realizar los bordados en dos formas: • Utilizando una lámina de madera o similar y mediante el uso de hilo, lana, etc. • Trabajando de tal forma que el bordado pueda ser apreciado tridimensionalmente.

102

Capítulo 6

Simetría

La organización geométrica de las formas, en conjunto o en forma particular, debe partir de una serie de conceptos básicos a los cuales se tiene que acceder inicialmente para comprender los fundamentos compositivos que la simetría en dos dimensiones pueda presentar. El concepto inicial, es el de EJE, elemento éste que de una forma u otra es el punto de partida para el trabajo simétrico.

6.1. Ejes

Tal como en el caso de la línea, el término eje puede ser considerado como el más sencillo de la geometría, ya que si se toma como definición simple, es considerado como una línea construida entre dos puntos sobre un plano, de tal manera que esté en capacidad de organizar este espacio en forma regular o irregular.

Figura 6.1

103

Capítulo 6

Los ejes normalmente son considerados como elementos visibles, si se estiman las formas desde el punto de vista gráfico, pero si se consideran dentro del ámbito real de la forma, son invisibles, esto es, imaginarios o virtuales.

Figura 6.2

En las figuras 6.1. y 6.2. se indica la generación virtual de un eje de circulación en un espacio, y en la figura 6.3., se muestra, tanto la generación de un eje entre dos puntos, como el eje geométrico de un polígono regular.

Figura 6.3

Si se consideran las figuras geométricas planas, y más especialmente en el caso de las formas regulares, pueden llegar a existir ejes principales y ejes secundarios. Los primeros son aquellos que, pasando por el centro de la figura, la dividen en partes exactamente iguales. Los segundos parten de una primera división, continúan dividiendo la figura en partes iguales entre sí, o en algunos casos en partes desiguales, como se aprecia en la figura 6.4. 104

Simetría

Figura 6.4

En el caso de las formas irregulares, los ejes pueden considerarse como aquellas líneas que uniendo dos puntos, las subdividen en partes no necesariamente iguales. Considerando las figuras geométricas como parte de un conjunto formal, pueden existir dos tipos básicos de ejes: los generados por elementos terminales y los generados por elementos anexos al espacio. Algunos elementos que forman parte de un conjunto de figuras geométricas pueden ser reconocidos como generadores de ejes. Si se tiene en cuenta la definición de eje o cuando se establecen ciertos parámetros elementales, como al considerar determinados puntos como lugares geométricos, se puedan fijar ejes determinados en forma precisa, conjugando los conceptos expresados, como en el caso de los EJES GENERADOS POR ELEMENTOS TERMINALES, mostrado en la figura 6.2. Las formas que limitan un espacio pueden llegar a conformar ejes, de acuerdo con su distribución planimétrica. 105

Capítulo 6

Así, a manera de ejemplo, puede expresarse que un conjunto de elementos distribuidos a un mismo lado o a ambos lados de un grupo de figuras, está conformando un eje de distribución que permite ordenar en mayor o en menor grado ese mismo conjunto, planteándose en esta forma un EJE GENERADO POR ELEMENTOS ANEXOS AL ESPACIO.

Figura 6.5

En forma aplicada, este tipo de ejes son en su mayor parte aquellos que sirven para determinar una circulación, como en el caso de los corredores de un piso de hospital, en los cuales las habitaciones generan un espacio de circulación a un lado o a ambos lados del corredor. En la figura 6.5. se aprecia un eje de circulación tipo campestre, determinado por un conjunto de árboles anexos al mismo espacio.

6.2. Concepto de simetría

El resultado de la generación dada por uno o más ejes, dentro de una figura o forma geométrica, estará produciendo una serie de características especiales que hacen referencia al concepto de SIMETRÍA. Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a otro, llamado centro de simetría, si éste bisecta la recta que los une. De la misma manera, dos puntos son simétricos con respecto a una recta, llamada eje de 106

Simetría

simetría, si ésta es la perpendicular bisectriz de la recta que los une. En la figura 6.6. pueden apreciarse los dos casos indicados.

Figura 6.6

Una figura es simétrica con respecto a un punto, si el punto bisecta toda recta que pasa por él y termina en el contorno o perímetro de la figura misma. Así también, una figura es simétrica con respecto a un eje, si el eje biseca toda perpendicular a él y que pertenezca al contorno de la figura. En este caso siempre la figura está dividida por el eje en dos partes y, por rotación alrededor del mismo eje, existe superposición o coincidencia de puntos, como se aprecia en el hexágono de la figura 6.7.

Figura 6.7

107

Capítulo 6

A partir de lo expresado, se puede decir que dos figuras son simétricas entre sí, con respecto a un punto o a un eje, cuando todo punto de la una se encuentra a la misma distancia del punto o del eje que el otro, o sea que es simétrico con respecto a un punto de la otra. A partir de esto y como se observa en la figura 6.8., las dos propiedades básicas de la simetría euclidiana son las siguientes: 1. Si dos lados contiguos de un cuadrilátero son iguales y los otros también lo son, la figura es simétrica con respecto a la diagonal que une los vértices de los ángulos formados por los lados iguales y sus diagonales se cortan en ángulo recto. 2. Si una figura es simétrica con respecto a dos ejes perpendiculares, lo es también con respecto al punto de intersección de esos ejes.

Figura 6.8

6.3. Transformación Corrientemente se hace referencia al término transformación para expresar un cambio de cualquier tipo. En geometría, y específicamente en el caso de la simetría, el término, aunque implica también un cambio, posee tres condiciones básicas: • Que se tenga una figura de base. • Que exista una operación geométrica que especifique el cambio. • Que se logre una respuesta final después de llevar a cabo el cambio. 108

Simetría

Una transformación típica de la simetría puede apreciarse cuando se coloca un espejo en forma perpendicular a una mesa, frente a un dibujo cualquiera. Se podrá observar que la imagen que se refleja en él corresponde con la figura original en forma y tamaño. Sin embargo, esta imagen aparece invertida con respecto a aquélla, aunque mantiene la distancia entre cada uno de sus puntos y la línea del plano que forma la cara del espejo. Esta transformación o reflexión, siempre mostrará una imagen cuyos elementos son de igual medida, pero será invertida con respecto a su original.

Figura 6.9

En muchos casos este tipo de simetría se utiliza en forma práctica. En el juego de billar, como se muestra en la figura 6.9., la reflexión imaginaria de la bola que va a golpear a otra al unirse con la última, produce en la banda una intersección, que será el punto a donde habrá que dirigir la primera de las bolas para que sea golpeada la segunda. De la misma manera, se utiliza la simetría en la solución de problemas que hacen referencia al hecho de encontrar la distancia más corta entre dos puntos diferentes con respecto a una recta. Para su solución se procede con la reflexión (simetría) de cualquiera de los puntos con respecto a la línea y se relacionan mediante otra que una los dos puntos del problema. El punto de intersección determinará la distancia más corta que une los puntos respectivos, como la solución mostrada en la figura 6.10. 109

Capítulo 6

Figura 6.10

6.4. Ortogonalidad Como ha podido observarse hasta aquí, estos principios muestran en términos muy generales la simetría desde la óptica de Euclides. No obstante, la simetría no es sólo esto; la simetría es entendida en forma más amplia como el conjunto de transformaciones posibles que conservan el conjunto de propiedades de un objeto. Estas transformaciones son llamadas ortogonales al ser producto de movimientos relacionados directamente con los ejes cartesianos x y y, cuyas posiciones poseen perpendicularidad, como en la figura 6.11. Bidimensionalmente, las figuras planas se consideran estáticas al ocupar un espacio determinado en el plano. Sin embargo, este espacio que es ocupado por una figura plana puede ser transformado en otro de iguales características, en donde se conserven sus dimensiones y sus relaciones internas, mediante parámetros de tipo ortogonal que produzcan una respuesta a la transformación buscada. Para ello se requiere inicialmente comprender el término ORTOGONAL, al ser una de las bases de trabajo geométrico de la forma. 110

Simetría

Figura 6.11

Se dice que existe ORTOGONALIDAD entre dos o más elementos geométricos, cuando poseen una relación de perpendicularidad entre ellos. Por tanto, dos rectas estarán ortogonalmente dispuestas, si son perpendiculares entre sí. Así mismo, tres o más líneas ortogonalmente distribuidas, serán perpendiculares en grupos de dos, como en el caso de los rectángulos, en donde las figuras siempre son totalmente ortogonales. Ahora bien, este concepto de ortogonalidad corresponde a una forma geométrica simple, euclidiana; no obstante, puede ser comprendido mejor si se acepta como una extensión conceptual, esto es, asumiendo el término ortogonal como la conservación de determinados parámetros geométricos o matemáticos, respecto a sí mismo o a otros elementos que, como se dijo atrás, es equivalente a trabajar con base en los ejes coordenados x y y. A partir de un punto o centro de base, una figura puede transformarse o trasladarse a otra posición en forma ortogonal, siempre y cuando conserve las normas, esto es, las distancias y los ángulos iniciales, mediante el manejo de sus elementos a través de posiciones ortogonales, considerando aquellas ubicaciones opuestas que transformen una figura de base en otra dispuesta simétricamente. 111

Capítulo 6

Por tanto, una figura trasladada ortogonalmente, coincidirá con su original, ya sea en la misma posición relativa o en una posición totalmente inversa, de acuerdo con el proceso efectuado.

PROPIEDADES. El conjunto de las transformaciones ortogonales posee las siguientes propiedades: 1. Conservan las distancias y los ángulos de la figura original. 2. Transforman elementos ortonormales en elementos ortonormales. 3. Cualquier transformación dará una respuesta positiva o negativa del objeto.

Figura 6.12

CASOS DE TRANSFORMACIÓN. Existen dos casos de transformación que son considerados como los básicos de la simetría: • SIMETRÍA CENTRAL. Equivale a la transformación realizada mediante uno o más giros alrededor del origen, el cual se denomina centro. En la figura 6.12. se puede observar que cada uno de los vértices del triángulo se ha girado un ángulo determinado con respecto al origen de los ejes x y y, lo cual hace que se conserven las normas que rigen la figura original, esto es, sus lados y sus ángulos.

112

Simetría

Figura 6.13

• SIMETRÍA AXIAL. Es la que se realiza mediante un movimiento alrededor de un eje ubicado a partir del origen. La figura 6.13. muestra una forma que ha sido movida alrededor de un eje, produciendo como respuesta una forma que, conservando las normas de la original, se encuentra en una posición perfectamente invertida con respecto a aquélla. Esta posición, como se verá más adelante, se identifica con la conocida como simetría especular, cuando es llevada a las tres dimensiones. A partir de estos dos movimientos ortogonales, se pueden hacer combinaciones de acuerdo con determinadas operaciones, de manera que produzcan respuestas diversas y variadas.

6.5. Funciones geométricas

En términos eminentemente matemáticos, una función equivale a la relación entre pares ordenados de variables, en la cual cada valor de la variable independiente corresponde exactamente a uno de la dependiente. Este concepto, cuando se refiere a los aspectos del diseño, significa que a cada uno de los puntos de un objeto real o ideal, le corresponde exactamente un punto en su representación, esto es, que existe una relación 113

Capítulo 6

unívoca entre todos los elementos del uno con respecto a los del otro; por tanto, hay solamente una y sólo una forma de representar un objeto. Desde el punto de vista geométrico, estas funciones son entendidas como transformaciones del espacio, para este caso es el espacio bidimensional, lo cual quiere decir que, teniendo en cuenta el movimiento de cada punto, van a originar una posición diferente para cada uno. Todas las propiedades de los objetos, mediante las diversas funciones que se utilizan para representarlos, se pueden mantener iguales o proporcionadas con respecto al original o a la idea de dicho objeto. En esta forma, su área, sus medidas angulares, sus conceptos formales o relaciones, mantienen esa correspondencia, de manera tal que las propiedades particulares del espacio se conservan después de que se han aplicado las funciones a los objetos, esto es, son invariantes geométricas.

Figura 6.14

IDENTIDAD. Como lo expresa su nombre, esta función se relaciona con la propiedad de identidad de los cuerpos, esto es, que un objeto es idéntico a sí mismo. Por tanto, como invariante es una copia fiel o exacta de un objeto y sólo su posición estaría distinguiéndolos. Si dos objetos se consideran exactamente iguales, la superposición es una correspondencia punto a punto, manteniéndose su misma geometría y sus mismas propiedades, como se puede ver en el ejemplo de la figura 6.14. 114

Simetría

Figura 6.15

ISOMETRÍA. Desde el punto de vista netamente geométrico, se consideran isometrías a aquellas transformaciones que conservan sus distancias propias para todos y cada uno de los puntos de un objeto, de tal manera que no se distorsione y conserve el mismo plano, como el caso del triángulo de la figura 6.15. Por ser la base del trabajo simétrico, el conjunto de isometrías se trabajará con detalle en el punto correspondiente a Operaciones de Simetría. SEMEJANZA. Aunque este término tiene relación directa con la proporción y por tanto se verá en su momento, la Semejanza es una función o transformación que produce un aumento o una reducción del tamaño de un objeto, sin cambiar sus propiedades geométricas, simplemente cambia proporcionalmente el tamaño, como el caso de la figura 6.16.

Figura 6.16

115

Capítulo 6

Esta función en el lenguaje corriente se denomina escala, esto es, la propiedad comparativa entre dos objetos A y B, de manera que hay dos opciones: A>B o A<B, lo cual significaría que en el primer caso A es una ampliación de B y que en el segundo, A es una reducción de B. AFINIDAD. Una transformación por afinidad o transformación afín, es la que se realiza mediante proyecciones de tipo paralelo, que conservan las medidas de las líneas verticales y de las líneas paralelas a los ejes rectangulares únicamente (horizontal y vertical), lo cual quiere decir que conserva el paralelismo, mas no su longitud, como el rectángulo del ejemplo de la figura 6.17.

Figura 6.17

Este concepto corresponde al de isometría que se utiliza en la práctica de la Geometría Descriptiva o de la representación gráfica mediante el denominado Dibujo Técnico o lineal, teniendo en cuenta que en estos casos, el término se refiere a una representación que conserva sus medidas, de acuerdo con una proyección particular. PERSPECTIVA. La perspectiva es una función utilizada frecuentemente para la representación de los objetos tridimensionales en dos dimensiones, en la cual no se conservan las longitudes, ni las razones entre ellas. La representación, aunque es proporcionada, estará dada por principios particulares de la Geometría Proyectiva. Ver ejemplo en la figura 6.18.

116

Simetría

Figura 6.18

HOMEOMORFISMO. Este tipo de transformación se denomina topológica34, por ser una función que no modifica las propiedades de la forma al realizarle deformaciones continuas. La respuesta de esta función se denomina equivalencia.

Figura 6.19

La figura 6.19. muestra un segmento recto que contiene un número finito de puntos ubicados sobre él y que puede considerarse como una lí34

Dos objetos son equivalentes topológicamente, cuando poseen el mismo número de elementos, sin romper ni separar lo que está unido, ni pegar lo separado. Topológicamente, un triángulo es lo mismo que una circunferencia, ya que se pueden transformar mutuamente de forma continua, sin romper ni pegar.

117

Capítulo 6

nea curva, en la que los puntos son los cambios de sentido de la línea; una equivalencia consistiría en que la recta es la representación visual superior de la curva y que coincide en cada uno de sus puntos. Lo anterior quiere decir que topológicamente tiene las mismas propiedades a pesar de poderse representar mediante una serie continua de deformaciones.

6.6. Las operaciones de simetría Se considera como operación de simetría al trabajo realizado mediante isometrías que dejan las figuras invariantes. Puesto que una isometría es una transformación que mantiene las medidas de una figura, las traslaciones en dos dimensiones se clasifican en tres formas básicas: • TRASLACIÓN SIMPLE. • TRASLACIÓN Y GIRO. • TRASLACIÓN Y SIMETRÍA AXIAL. TRASLACIÓN SIMPLE. Toda translación se dice que es rígida debido a que conserva las distancias en forma absoluta con respecto a los ejes x y y.

Figura 6.20

En este sentido se expresa también que la transformación posicional es equivalente a una transformación isométrica, debido a que se está manteniendo un dimensionamiento igual dentro de una misma forma. En otros términos, es el movimiento simple de una figura de una posición inicial a otra final, mediante el traslado a lo largo de líneas rectas paralelas respecto a un eje, como se ve en la figura 6.20. 118

Simetría

Figura 6.21

TRASLACIÓN Y GIRO. Comprende la transformación anterior, agregando al movimiento un giro alrededor de un punto sobre el eje, con respecto a la misma figura. Ver figura 6.21. TRASLACIÓN Y SIMETRÍA AXIAL. En la figura 6.22. se aprecia que la trasformación da como resultado una figura trasladada e invertida con respecto a una posición incial de un objeto.

Figura 6.22

La operación consiste en realizar una traslación simple a lo largo de un eje, concluyendo en un movimiento alrededor del mismo de tal manera que su posición sea opuesta a la que se tenía originalmente, esto es, una traslación normal a lo largo de un eje, ejecutando una rotación aparente de 180º alrededor de este eje, lo cual ofrecerá al final una figura igual y opuesta a la inicial. 119

Capítulo 6

No sobra comentar que el orden operativo no cambia la respuesta, esto es, si se realiza cualquiera de los dos movimientos primero. Todos estos tipos de transformación son los básicos para dos dimensiones y pueden configurar nuevas formas de composición mediante combinaciones, igualmente ortogonales, que pueden permitir una mayor riqueza compositiva, tanto desde lo geométrico como desde lo formal.

6.7. Simetría de las figuras Se entiende por figuras planas las que pertenecen al plano, o lo que es lo mismo, se encuentran dentro del conjunto bidimensional. Desde el punto de vista de la geometría corriente, su estudio se concibe como estático, esto es, se analizan sus propiedades métricas35. No obstante, el trabajo bidimensional debe tener en cuenta, además de la forma pura, los movimientos que se le realicen a una figura de tal manera que permanezca invariante. Se deben considerar los ejes que contenga, para que, a través de su disposición, las transformaciones la hagan permanecer invariante. Por tanto, es necesario comprender qué procesos isométricos la transforman en sí misma. Este estudio particular se denomina dinámico. A manera de ejemplo se presenta el análisis de cuatro formas geométricas simples, como base de estudio para cualquier otra figura que se desee analizar de manera dinámica.

Figura 6.23

35 etc.

120

Son las propiedades que comprenden ángulos, convexidades, concavidades,

Simetría

• Considerando el círculo de la figura 6.23., se observa que posee infinitos elementos o puntos de transformación como son, inicialmente, los ejes ortogonalmente dispuestos o conjugados y de la misma manera, todos aquellos que pasen por el centro de la figura. Cualquier posición que se asuma mediante el giro alrededor del centro, con cualquier ángulo, es invariante consigo misma, al presentar coincidencia con la posición o figura inicial. • Un trapecio rectángulo como el mostrado en la figura 6.24., por ser irregular, no presenta ejes definidos. Por tanto, sólo será invariante por identidad, o lo que es lo mismo, trivial.

Figura 6.24

• Un rectángulo posee dos ejes geométricos dispuestos perpendicularmente. Esto permite transformaciones que dejan invariante la figura al realizar giros de 180° alrededor del punto de intersección axial y de 180° alrededor de cada eje. En la figura 6.25. se aprecian los dos tipos de giros que pueden realizarse en un rectángulo.

Figura 6.25

121

Capítulo 6

• Finalmente, si se analiza un triángulo equilátero como el de la figura 6.26., se encuentra que si se asume el centro geométrico de la figura, por este punto pueden pasar tres ejes que a su vez lo hacen por el vértice y el punto medio del lado opuesto. Por tanto, presentará posibilidades de movimiento rígido alrededor del centro, giros de 120º, 240º y 360º. Agregado a ello se encuentran la simetría generada por movimientos de rotación alrededor de cada uno de los ejes de 180º y 360º y, finalmente, la simetría por identidad.

Figura 6.26

De los ejemplos anteriores se deduce que los movimientos que permiten estudiar las transformaciones lógicas para una figura plana, se basan en giros o rotaciones alrededor de un punto o de un eje de simetría, incluyendo la identidad como movimiento final, de tal manera que se obtenga un número de movimientos rígidos que conformen lo que se denomina grupo de simetría. Puede concluirse para cualquier figura que se esté analizando: 122

Simetría

1. Al menos contiene la identidad como grupo de simetría y, por tanto, es simétrica consigo misma. Este caso se expresa en términos generales para todas las formas irregulares. 2. Las figuras que a simple vista son evidentemente distintas, pueden tener un mismo grupo de simetría, como es el caso de las circunferencias concéntricas. En este caso se expresan las figuras como simétricamente equivalentes, al tener simetrías semejantes o pertenecer a un mismo grupo de simetría. 3. Se requiere diferenciar los puntos fijos de los elementos dobles, esto es, los centros de giro, ejes de simetría, etc., como elementos fijos y aquellos que en forma global pueden transformarse en sí mismos, dependiendo de los elementos fijos. 4. De acuerdo con la regularidad de la forma que se va a estudiar, la simetría puede ser finita, como en la casi totalidad de las figuras o infinita, como en el círculo. 5. El análisis de la simetría de cualquier figura es equivalente a estudiar las diferentes formas en las cuales una figura pueda ser colocada o transformada en sí misma, cuando es recortada en una lámina de cartón.

6.8. Grupos puntuales de simetría

Los Grupos de Simetría de Leonardo36 o Grupos Puntuales de Simetría, son un caso particular de la simetría; su característica primordial es el poseer un punto fijo de giro en donde mediante movimientos angulares regulares, se producen posiciones sistemáticamente organizadas, o lo que es lo mismo, se configuran grupos cíclicos simples como el ejemplo de la figura 6.27., o diédricos37, como en el diseño de la figura 6.28. 36 Fue Leonardo da Vinci quien los utilizó en forma particular como aplicación de la microsimetría en el diseño de algunas capillas. 37 Se dice que son diédricos cuando se habla de grupos formados por figuras opuestas una con respecto a la otra, a manera de un diedro en proyección plana.

123

Capítulo 6

Figura 6.27

Si se hace una abstracción de los límites o bordes perimetrales de las respuestas cíclicas, formalmente se producen polígonos regulares; así mismo, pueden producirse figuras ortogonalmente dispuestas, con regularidad determinada, como se puede observar en el caso de algunas figuras precolombinas. Un grupo puntual de simetría parte de la escogencia de un motivo o figura geométrica y de un punto de base, el cual va a ser el centro de giro para la figura escogida.

Figura 6.28

124

Simetría

De acuerdo con lo que requiera el diseño, inicialmente se deben ubicar los ejes de la figura relacionados directamente con el punto, debido a que ellos van a ser la base de los respectivos giros. Para esto se escoge el ángulo que va a permitir un grupo de giros regulares. Es claro que no necesariamente debe ser igual, p. e. 60º para presentar un conjunto de seis posiciones igualmente distribuidas, sino que puede obtenerse un conjunto angular tanto variado como regular, tal como 30º y 60º, para obtener cuatro grupos de dos figuras, simétricamente dispuestas. Un ejemplo se observa en la figura 6.29.

Figura 6.29

Lo anterior puede ampliarse utilizando una doble simetría, esto es, planteando formas simétricas axiales o diédricas que, mediante el mismo sistema de trabajo, producen respuestas similares, con características de 125

Capítulo 6

complejidad y de riqueza mucho mayores que en el caso anterior, como en el ejemplo de la figura 6.28. En esta forma, una composición que implique la construcción de un grupo puntual de simetría, podrá ser realizada utilizando cualquier figura geométrica o no geométrica, simple o compuesta; la respuesta siempre deberá ser una figura de tipo cíclico o poligonal que corresponda al número de giros, regulares o irregulares, que se estén planteando alrededor del punto de giro.

6.9. Los frisos

En términos generales, se ha considerado un friso como un elemento decorativo de uso tradicional en la arquitectura clásica, constituido por una serie de figuras, usualmente iguales, que se alternan secuencialmente en forma lineal, como se puede apreciar en el ejemplo del Partenón, figura 6.30., en donde el friso se encuentra ubicado bajo el tímpano de la fachada. Sin embargo, geométricamente hablando, se puede definir como la repetición sistemática y periódica de una figura a lo largo de una franja rectangular. Esta disposición produce un ritmo especial que es el que identifica el friso.

Figura 6.30

126

Simetría

Para su realización se tienen dos grados de libertad, en cuanto se puede escoger el motivo generador y las operaciones de simetría que permitan llenar la franja rectangular que lo va a contener. Por ello puede expresarse desde la simetría, como un grupo de isometría plana formado por traslaciones generadas a partir de elementos fijos, como se aprecia en la figura 6.31.

Figura 6.31

Existen siete tipos básicos de movimientos que pueden conformar un friso, como se aprecia en la figura 6.32. Lo expresado en ella puede ser adaptado a cualquier tipo de figura geométrica o motivo de trabajo.

Figura 6.32

127

Capítulo 6

Como variantes del sistema, existen 16 grupos de frisos denominados de colores, que son generados a partir de rotaciones de 180º para cada una de las figuras, obteniéndose un resultado similar en riqueza y composición. Se han realizado estudios de diferentes diseños dentro del arte decorativo encontrándose, además de los anteriores, un conjunto de 17 posibles grupos de simetría o grupos de simetría de los frisos, los cuales pueden ser considerados como la base del estudio combinatorio de la simetría sobre el plano38.

6.10. Teselaciones y mosaicos

Antes de exponer la conceptualización geométrica de lo que son las teselaciones y los mosaicos, es importante explicar cada uno de ellos. Una tesela ha sido considerada a lo largo de la historia como una pieza generalmente de tipo cuadrangular o cúbico que entra a formar un conjunto denominado pavimento o teselado, que cubre una superficie. Un mosaico es un conjunto de piezas regulares o irregulares que se repiten en forma ordenada en varias direcciones, bajo condiciones de regularidad y de acoplamiento, de tal manera que cubra totalmente una superficie. En términos históricos, los mosaicos se han utilizado como parte de decoración figurativa, principalmente dentro de elementos religiosos como en templos cristianos, mezquitas y palacios musulmanes, etc. Dentro de este concepto y cuyo sistema de ordenamiento se muestra en la figura 4.33., los teselados y los mosaicos pueden considerarse como similares, especialmente si se especifica que la diferencia se fundamenta en su tipo de uso. 38 Para una ampliación acerca de estos grupos de simetría de los frisos, se remite al lector al texto Lecciones de Álgebra y Trigonometría de Alsina y Trillas, que se incluye en la bibliografía del presente texto.

128

Simetría

Figura 6.33

Los mosaicos se pueden clasificar en tres tipos básicos: • Regulares. • Semirregulares y • Especiales

Figura 6.34

MOSAICOS REGULARES. Los mosaicos regulares son los que resultan de acoplar entre sí una serie de polígonos regulares idénticos. Teniendo en cuenta las propiedades de los polígonos regulares en cuanto a la suma de los ángulos fijos en la unión de cada uno de los vértices, solamente pueden existir tres tipos de mosaicos regulares: Cuadrangulares, Triangulares y Hexagonales. Ver figura 6.34. Este tipo de mosaico cumple con la condición de acoplamiento en los vértices de ángulos que, perteneciendo a polígonos regulares de la misma clase, completen exactamente 360° alrededor de cada vértice. 129

Capítulo 6

MOSAICOS SEMIRREGULARES. Son los que resultan de la combinación de dos o más tipos de polígonos regulares, de acuerdo con el acoplamiento buscado. En este sentido sólo existen ocho tipos de combinaciones posibles, que pueden apreciarse en la figura 6.35. y que corresponden a las combinaciones de otros varios polígonos regulares de forma que en cada vértice se cumpla exactamente la suma de ángulos igual a 360°.

Figura 6.35

130

Simetría

MOSAICOS ESPECIALES. Estos mosaicos son el resultado de realizar un conjunto de transformaciones de las diferentes partes de una figura, dentro de determinados parámetros, a partir de bases poligonales, tanto regulares como irregulares.

Figura 6.36

Este grupo de mosaicos posee la característica de generar una figura de base, mediante transformaciones especiales a partir de una poligonal cerrada o polígono, como elemento primario. Dentro de este grupo se pueden considerar algunos casos basados en combinaciones de colores, mosaicos totalmente irregulares, como en el hecho de los utilizados en la antigua Roma y en el arte tanto bizantino como medieval, en la decoración árabe como el ejemplo de la figura 6.36., así como en las distribuciones que presenta el arte de la ventanería china a lo largo de la historia. TIPOLOGÍAS DE ESCHER. Mauritius Cornelius Escher (1898 - 1972), artista holandés que estudió detalladamente los mosaicos que se encuentran en la Alhambra de Granada (España), descubrió que a partir del principio musulmán dado por el Corán de no mostrar en sus decoraciones figuras de objetos o de seres vivos, los artistas, especialmente moriscos, utilizaron las transformaciones geométricas a partir de determinadas figuras de base y mediante movimientos rígidos, produciendo respuestas unitarias capaces de acoplarse indefinidamente hasta llenar una superficie plana y, por extensión, tridimensionalmente. 131

Capítulo 6

Figura 6.37

Los estudios de Escher, como en el ejemplo de la figura 6.37., concluyeron en que se tomaban como base los grupos de simetría de los frisos o sus combinaciones mediante traslaciones sobre el plano y que, a su vez, se reducían a cinco tipos generadores básicos que se explican a continuación. Todos estos mosaicos tienen como criterio de trabajo el traslado o giro de las partes que se diseñen o construyan sobre los lados de un polígono de base y que, luego de la operación, deberán corresponder en forma inversa, esto es, cóncavo en convexo y convexo en cóncavo, o lo que es lo mismo, correspondencia de inversión.

Figura 6.38

132

Simetría

• Mosaicos tipo 1. Tienen como punto de partida un polígono que posea un número par de lados y cuyos lados opuestos sean paralelos, como el hexágono regular o el semirregular, aplicando el criterio de traslación con la correspondencia de inversión entre lados paralelos. La operación respectiva se aprecia en la figura 6.38.

Figura 6.39

• Mosaicos tipo 2. Estos mosaicos parten de triángulos o cuadriláteros, en donde se realizan giros de 180° en el centro de cada lado aplicando los mismos criterios de correspondencia de inversión, después del giro, como en la figura 6.39. • Mosaicos tipo 3. Los movimientos para diseñar estos mosaicos, se ejecutan en los vértices de los polígonos que posean lados adyacentes iguales y con ángulos de 60° o 120°. Por tanto, los vértices de giro no son consecutivos, como se muestra en la figura 6.40. 133

Capítulo 6

Figura 6.40

En el caso de polígonos con número impar de lados, el lado remanente se trabaja en forma similar al caso de los mosaicos del tipo 2. • Mosaicos tipo 4. Se utilizan triángulos, cuadriláteros o polígonos irregulares, que posean ángulos de 90°, en cuyos vértices se realizan los giros, teniendo en cuenta que los lados que forman los ángulos rectos deben ser iguales. Como en el caso anterior, los lados sobrantes se trabajan mediante giros en el centro del respectivo lado, siguiendo los criterios de correspondencia de inversión, como el ejemplo de la figura 6.41. 134

Simetría

Figura 6.41

• Mosaicos tipo 5. Tienen como base la simetría por desplazamiento, esto es, puede partirse de polígonos de base o simplemente de ejes de trabajo, a los que se les realiza un desplazamiento regularizado, al final del cual se produce un giro para que exista la correspondencia debida dentro del proceso, como en la figura 6.42.

135

Capítulo 6

Figura 6.42

Es importante considerar que este tipo de mosaicos, por ser el que implica una mayor creatividad, puede llegar a producir módulos con características especiales para la realización de los ensambles.

6.11. Ejercicios propuestos

1. Las palabras y las frases capicúas son aquellas en las cuales su lectura puede hacerse, tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda, lo cual muestra una base primigenia de simetría en la escritura. A partir de ello y sin consultar textos, trate de escribir, tanto palabras mayores de tres letras como frases completas y que posean sentido, con esta característica. 136

Simetría

2. Colóquese completamente de frente al espejo y analice con base en los principios de la geometría euclidiana y teniendo en cuenta tanto la imagen reflejada como sus componentes particulares, si su rostro es perfectamente simétrico. Explique en forma concluyente el porqué de lo observado. 3. En una hoja de papel dibujar en un buen tamaño las letras mayúsculas del alfabeto castellano, simples, sin cambios de grosor ni inclinación, excluyendo las letras CH, LL, Ñ, RR. Coloque cada letra frente al espejo, en forma paralela y observe lo que sucede con cada letra. Analice el ejercicio desde el punto de vista geométrico observando el resultado, con las letras colocadas en forma normal y girando la hoja de papel. Buscar las causas de los efectos sucedidos y concluya lo observado, señalando el por qué de las cosas. Finalice clasificando las letras desde el punto de vista de los grupos de simetría. 4. A partir de lo analizado en el ejercicio anterior, construya palabras que posean simetría especular, es decir que, reflejadas en un espejo puedan ser leídas en forma idéntica al original. Ensaye palabras escritas en forma horizontal y en forma vertical. 5. Como en el ejercicio 1, colóquese de frente al espejo y observe por qué algunos de los componentes de la imagen se encuentran en posiciones diferentes a las de la figura original. Analizar el por qué lo de arriba en la realidad está arriba en la imagen y por qué lo que está abajo, continúa abajo en la imagen. Saque las respectivas conclusiones del ejercicio. 6. A partir de un cuadrado de 10 cm de lado, diseñe un módulo que, repetido, pueda llenar una superficie. Para ello, se cumplirán los siguientes aspectos, como pautas de diseño: se deberá partir de formas geométricas simples, líneas curvas, líneas rectas, figuras regulares o irregulares conformadas por las líneas anteriores, etc. Se deben tener en cuenta traslaciones y giros de las figuras dentro del módulo. 137

Capítulo 6

7. Mediante un análisis de los primeros polígonos regulares, partiendo del triángulo, indique para cada uno los ejes de simetría que poseen. 8. Haga un análisis que muestre qué clase de polígonos regulares tienen a la vez, centro y eje de simetría. 9. Analice y demuestre teóricamente, por qué dos tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia, tienen un eje de simetría. 10. Explique y demuestre que las cuatro tangentes comunes a dos circunferencias, forman con ellas una figura simétrica con respecto a las líneas de los centros. 11. Trace una figura que haga ver que dos triángulos congruentes pueden colocarse de modo que sean simétricos con respecto a un punto. Demuestre por qué. 12. Teniendo como base el análisis dinámico, estudie mediante un cuadro los grupos de simetría de las siguientes figuras: • Un hexágono regular. • Un pentágono regular. • Una circunferencia inscrita en un triángulo equilátero. • Una flecha de doble cabeza, utilizada para señalar el tránsito de doble vía. 13. Teniendo en cuenta la teoría de los grupos puntuales de simetría y mediante el giro alrededor de un punto de un triángulo rectángulo de medidas 3 cm, 4 cm y 5 cm, produzca respuestas gráficas que muestren como resultado figuras módulo, así: • Girando el triángulo alrededor del vértice de su ángulo recto, con ángulos de giro entre 15° y 45° cada uno. • Girando el triángulo alrededor de cualquiera de los ángulos agudos, con ángulos de giro máximos de 30° cada uno. • Giros alrededor del circuncentro con ángulos máximos de giro de 45°. 138

Simetría

• Con respecto a cualquier vértice y alrededor de un punto exterior al triángulo, con ángulos de giro máximos de 30°. 14. Componer elementos que sean representativos de alguna forma particular, de tal manera que como respuesta se obtengan módulos que pertenezcan a los grupos puntuales de simetría, los que, a su vez, sean utilizados para diseñar frisos decorativos. 15. A través de la observación, tanto de figuras de la realidad como de fotografías, diseñar mosaicos especiales para cada uno de los tipos expresados en la teoría. Utilizar formas animales, vegetales, etc.

139

Parte III La Forma en el Espacio

CapĂtulo 7

Principios Generales

Los sentidos son el principio del conocimiento intelectual. Al percibir un objeto, el pensamiento lo representa siempre en forma de imagen.

Figura 7.1

143

Capítulo 7

Al mencionar la palabra Caballo, se produce inmediatamente en el cerebro una idea general, abstracta, con base en determinadas características que han sido establecidas para este concepto. Si se observa la figura 7.1., se podrá encontrar que: Caballo = cuatro patas, cola larga, dos orejas, crin, gran alzada, etc. Se destacan las características generales de todos los caballos, pero en ningún momento se particulariza si es pura sangre, percherón, etc. Lo anterior es la expresión conceptual, abstracta de un objeto, sin llegar a determinar sus características específicas, sino que muestra aquellas que son comunes e inherentes a él. La vida diaria implica un manejo tridimensional de las formas, debido al hecho mismo de vivir en un mundo geométricamente tridimensional. En la segunda parte de este texto se consideró la extensión de las formas bajo el concepto de dos dimensiones. Sin embargo, la tercera dimensión corresponde al término altura y, de acuerdo con lo que se ha expresado, es generada por el movimiento de un plano en una misma dirección sin cambiar el sentido. Por tanto, el estudio de las formas que poseen tres dimensiones se denomina corrientemente como Geometría del Espacio, Geometría Tridimensional o Geometría Cúbica y considera las formas bajo las tres dimensiones universales: longitud, anchura y altura39, que están conformando los cuerpos geométricos. La geometría prescinde de la sustancia que compone los cuerpos; se ocupa de su forma como tal y de su extensión, considerando sus propiedades así sea un sólido o un cuerpo vacío. Por tanto, las propiedades geométricas serán las mismas para un cilindro de prueba de concreto, que para un tubo del mismo tamaño. Para estudiar los cuerpos geométricos, es necesario considerar los elementos que los determinan, a partir del plano y de sus relaciones con otros elementos geométricos, desde la óptica de las tres dimensiones. 39

144

Es lo mismo que largo, ancho y alto. (Adjetivos)

Principios generales

7.1. Límites planos Ya se ha explicado que un plano puede tener diferentes formas de generarse o de determinarse. Así, pueden determinarlo • Tres puntos no colineales, • Un punto exterior a una recta, • Dos líneas paralelas, o • Dos líneas que se cortan. Cualquiera de estas generaciones conlleva toda una serie de implicaciones, considerando su generación como iniciada a partir del punto como elemento adimensional de la geometría. Por tanto, teniendo en cuenta estas generaciones, es importante partir de las relaciones que se encuentran entre el plano, el punto y la línea en el espacio.

Figura 7.2

UN PLANO. Considerado el plano como elemento bidimensional, se expresa que una recta es perpendicular a un plano cuando forma un ángulo de 90° con todas las rectas que pasan por el punto de contacto con dicho plano, como el segmento recto de la figura 7.2. De lo anterior se deduce que: 145

Capítulo 7

1. Por un punto exterior a un plano se puede trazar una recta perpendicular a otra recta que pertenezca al mismo plano. 2. La recta es a su vez, perpendicular a cualquier otra recta que pase por su pie, en el mismo plano. 3. La recta perpendicular a otra recta perteneciente a un plano, es perpendicular al plano. Con base en lo anterior y como se ve en la figura 7.3., se puede deducir que si desde un punto exterior a un plano se trazan a éste una perpendicular y varias oblicuas: 1. La perpendicular tiene una longitud menor que cualquiera de las oblicuas, 2. Si dos oblicuas se apartan la misma distancia del pie de la perpendicular, éstas son iguales, 3. Si varias oblicuas se apartan desigualmente del pie de la perpendicular, la que está a mayor distancia será la mayor.

Figura 7.3

146

Principios generales

Finalmente, en las tres dimensiones se repiten los principios generales del paralelismo, esto es, que si dos líneas son perpendiculares a un mismo plano, son paralelas; toda recta paralela a una recta de un plano es paralela al plano.

Figura 7.4

DOS PLANOS. Dos planos en el espacio pueden tener dos posiciones, o son paralelos o se cortan, como en la figura 7.4. En el primer caso, considerando la igualdad de distancias entre los conjuntos de puntos que forman cada uno de ellos, se tiene que un plano que pasa por una línea paralela a una línea de otro plano, es paralelo a éste.

147

Capítulo 7

Figura 7.5

El segundo caso presenta la principal de las propiedades de los planos en el espacio. Por tanto, como se aprecia en la figura 7.5., se dice que cuando dos planos en el espacio se cortan, se intersectan en una línea y se conforma un ángulo denominado Diedro40, que corresponde a la abertura o a la inclinación de dichos planos. De acuerdo con esto, la línea de intersección se denomina arista y los planos, caras. Al designarse convencionalmente los planos con letras griegas minúsculas, y sus aristas mediante letras mayúsculas del alfabeto castellano, se puede expresar que es la línea de intersección entre el plano α y el plano β. Como todo ángulo, un ángulo diedro posee una medida, la cual es equivalente a la separación angular entre las dos caras, de acuerdo con la misma medida del ángulo plano formado por dos líneas perpendiculares que, perteneciendo a cada uno de los planos, tienen su punto de intersección sobre la arista, o lo que es lo mismo, perpendiculares a la arista, como en el caso de la figura 7.6. 40

148

Di = dos; edro = cara.

Principios generales

Figura 7.6

Del concepto anterior se deducen las siguientes propiedades de perpendicularidad de los planos: 1. Si una recta y un plano son perpendiculares, cualquier plano que contenga la recta es perpendicular al primero. 2. Cuando dos planos son perpendiculares y se traza una recta perpendicular a su intersección, la recta será perpendicular al otro plano. 3. Si se tienen dos planos perpendiculares y por un punto de uno se traza una recta perpendicular al otro, la recta estará en el primer plano. 4. Si dos planos que se cortan son perpendiculares a un tercer plano, la arista será también perpendicular al tercer plano. 5. Por una recta que no es perpendicular a un plano, solamente puede trazarse uno y sólo un plano perpendicular al primero. MÁS DE DOS PLANOS. Varios ángulos planos que coincidan en un mismo vértice pueden llegar a conformar, de dos en dos, un punto común; este ángulo múltiple se denomina Ángulo Poliedro, como el de la figura 7.7. Estos ángulos reciben igualmente el nombre de Ángulos Sólidos.

149

Capítulo 7

Figura 7.7

Como en el caso de los ángulos planos, los ángulos sólidos pueden ser de dos tipos: convexos y cóncavos y cuya forma es similar a la de aquellos, siendo utilizados dentro de lo normal, los de tipo convexo, que corresponden a la menor dimensión entre sus elementos. Como en el caso de los dos planos, el punto común es el Vértice, las intersecciones de los planos, Arista y Cara, cada uno de los planos que forman el ángulo. Finalmente, la medida o magnitud de los ángulos poliedros, depende de las posiciones que tengan las caras entre sí. Por tanto de esto se deriva su denominación. Los ángulos poliedros se denominan de acuerdo con el número de caras que los formen. Por tanto, si está formado por tres caras, se denomina Triedro, si lo componen cuatro caras, Tetraedro, si son cinco, Pentaedro, etc. Esta denominación se utiliza por extensión, para denominar a los sólidos geométricos, como se verá más adelante.

150

Principios generales

7.2. Ejercicios propuestos 1. Realizando una observación de los elementos que cotidianamente se aprecian a simple vista, hacer un listado de los ángulos diedros y poliedros que se aprecien en ellos. 2. Mediante un análisis simple, explicar que en todo ángulo triedro una cara cualquiera es menor que la suma de las otras dos. 3. Explicar el porqué en todo ángulo sólido convexo, la suma de los ángulos de sus caras es menor que 360º.

151

Capítulo 8

Figuras Poliédricas

Toda figura limitada por superficies planas o caras que conforman ángulos poliedros, se denomina poliedro. Ver figura 8.1.

Figura 8.1

Todo poliedro consta de los siguientes elementos: 1. Caras. Son las superficies poligonales que en conjunto limitan el poliedro. 2. Aristas. Son los lados de los polígonos limitantes o las líneas de intersección de estas superficies. 3. Ángulos diedros. Corresponden a los ángulos que se forman en cada una de las aristas. 153

Capítulo 8

4. Ángulos poliedros. Son los ángulos que se forman en cada uno de los vértices del poliedro. De acuerdo con el número de caras que posean, los poliedros se denominan: • TETRAEDRO. Cuatro caras. • PENTAEDRO. Cinco caras. • HEXAEDRO. Seis caras. • HEPTAEDRO. Siete caras. • OCTAEDRO. Ocho caras. • NONAEDRO. Nueve caras. • DECAEDRO. Diez caras. Dentro de lo normal, un poliedro con 11 o más caras se denomina poliedro de n caras. Sin embargo, como se podrá apreciar más adelante, en algunos casos se utilizan nombres particulares como en los casos del dodecaedro (12 caras) y del icosaedro (20 caras). Ahora bien, de acuerdo con el tipo de polígono que forme las caras de un poliedro, se clasifican en regulares, si poseen caras poligonales regulares congruentes y sus ángulos poliedros son iguales; irregulares, si poseen todas sus caras poligonales irregulares con ángulos poliedros diferentes, y semirregulares, cuando sus caras son polígonos regulares diferentes conservando en la mayoría de los casos ángulos poliedros diferentes.

8.1. Poliedros regulares

Los poliedros regulares, como ya se expresó, están formados por caras poligonales regulares congruentes y sus ángulos poliédricos son iguales en su totalidad. De acuerdo con esto, y teniendo en cuenta que la suma de los ángulos que forman un ángulo poliedro no puede ser superior a 360º, solamente existen los cinco poliedros regulares que se observan en la figura 8.2.: 154

Figuras Poliédricas

Figura 8.2

• TETRAEDRO REGULAR. Consta de cuatro caras triangulares equiláteras, unidas de tres en tres en cada vértice, con ángulos de 60° entre sí, para un total de 180°. • HEXAEDRO REGULAR. Está formado por tres caras cuadradas, unidas de tres en tres en cada vértice, con ángulos de 90° cada uno, sumando en total 270°. • OCTAEDRO REGULAR. Poliedro compuesto de ocho caras triangulares equiláteras, que se unen de cuatro en cuatro por vértice, formando cuatro ángulos iguales de 60° cada uno, para un total de 240°. • DODECAEDRO REGULAR. Conformado por 12 caras pentagonales regulares, unidas en cada vértice en número de tres, con ángulos iguales de 108° y que suman 324°. • ICOSAEDRO REGULAR. Consta de 20 caras triangulares equiláteras, que se unen en cada vértice en número de cinco, con ángulos de 60° cada uno, para un total de 300°. Estos cinco poliedros son conocidos con el nombre de sólidos o poliedros platónicos, debido al hecho de haber sido Platón quien los menciona por primera vez, cuando explica en su diálogo Timeo la geometría de los elementos que conforman el universo.

155

Capítulo 8

Finalmente, puede apreciarse que no es posible construir un número mayor de poliedros regulares si se tiene en cuenta lo expresado antes, esto es, que en cada vértice la suma de los ángulos diedros que coinciden debe ser menor que 360º.

8.2. Poliedros irregulares

Estos poliedros se caracterizan por tener sus caras formadas por cualquier tipo de polígono y sus ángulos diferentes. Sin embargo, dentro del conjunto de lo que podría denominarse como el resto de los poliedros, se han determinado dos grandes grupos que, aunque poseen la mayoría de las características de los poliedros irregulares, mantienen una regularidad parcial, tanto en las características de sus caras como en sus ángulos. Estos grupos son: • Prismas. • Pirámides. PRISMAS. Se considera prisma a todo poliedro comprendido entre dos polígonos iguales y paralelos, cuyas caras son paralelogramos, como el mostrado en la figura 8.3. Todo prisma posee los siguientes elementos:

Figura 8.3

156

Figuras Poliédricas

1. BASES. Son los polígonos iguales y paralelos que se encuentran ubicados en las partes superior e inferior del mismo41. 2. EJE DEL PRISMA. Es la línea virtual que une los centros geométricos de las dos bases. 3. ALTURA. Es la distancia ortogonal entre sus bases. 4. CARAS LATERALES. Son los paralelogramos que se encuentran entre las dos bases y que se consideran como cerramiento del prisma. 5. ARISTAS. Son las intersecciones de los diferentes planos que conforman la figura. Son laterales cuando no pertenecen a las bases y basales cuando pertenecen a ellas. Los prismas, según sea la posición que tenga el eje de la figura, pueden ser RECTOS, si el eje es perpendicular a ambas bases, o lo que es lo mismo, sus caras laterales son perpendiculares a las bases, como el ejemplo de la figura 8.3., y OBLICUOS, cuando el eje forma ángulos diferentes de 90º con las bases, o sea, sus caras no son perpendiculares a las bases, como el prisma de la figura 8.4.

Figura 8.4

Se considera esta ubicación teniendo en cuenta la posición normal de la figura.

157

Capítulo 8

De acuerdo con la forma del polígono de las bases (figura 8.5.), un prisma se denomina triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., según sea su base un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono, etc. No obstante, si sus bases son paralelogramos, como en la figura 8.3., se denomina Paralelepípedo, el cual se caracteriza por tener paralelas de dos en dos sus cuatro caras laterales, y paralelepípedo rectángulo si sus bases son rectángulos42. De la misma manera un prisma, puede ser recto, si sus caras laterales son perpendiculares a las bases, y oblicuo, cuando sucede lo contrario.

Figura 8.5

Aparte de lo anterior, los prismas se pueden clasificar en regulares cuando sus bases son polígonos regulares, e irregulares cuando no sucede lo anterior. Los prismas, cualquiera que sea su tipo, poseen las siguientes propiedades: 1. Se consideran congruentes aquellos en los cuales todas las partes del uno son respectivamente iguales a las partes del otro, esto es, que poseen las mismas propiedades geométricas. 2. Las secciones que sean determinadas por planos paralelos a las bases y que corten las aristas, serán polígonos congruentes con los polígonos de las bases. 42

158

Este caso es específico para los prismas rectos.

Figuras Poliédricas

3. Toda sección determinada por un plano que corta todas las aristas laterales y es perpendicular tanto a ellas como al eje, se denomina sección recta. PIRÁMIDES. Una pirámide es un poliedro limitado por la superficie de un ángulo sólido y por un plano que corta sus aristas, lo cual produce una figura geométrica que posee una base poligonal, limitada por caras triangulares. Como se observó atrás, un ángulo sólido es equivalente a expresar un ángulo poliedro formado por tres o más planos que se encuentran en un mismo punto. Por tanto, en la pirámide se encuentran varios planos en el mismo lugar, determinando así los respectivos vértices de las caras triangulares que la forman.

Figura 8.6

Toda pirámide posee los siguientes elementos, que pueden verse en la figura 8.6.: 1. BASE. Es el polígono sobre el cual se supone que se encuentra apoyada la figura. Puede ser regular o irregular 159

Capítulo 8

2. VÉRTICE. Es el punto común donde se encuentran las caras de la pirámide y es equivalente al vértice del ángulo sólido de ella43. 3. EJE. Corresponde a la línea virtual que une el vértice con el centro geométrico de la base. 4. ALTURA. Es la distancia perpendicular entre el vértice y la base. 5. CARAS. Son los triángulos que limitan lateralmente a la pirámide. 6. ARISTAS. Son las intersecciones de las diferentes superficies planas que limitan la figura, siendo laterales las que no corresponden a la base, que son basales.

Figura 8.7

Como en el caso de los prismas, las pirámides se denominan de acuerdo con el polígono que forme la base. Por tanto, pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc., tal como se muestra en la figura 8.7. Igualmente, pueden ser rectas, si su eje es perpendicular a la base, y oblicuas, cuando el eje no es ortogonal a las bases, como la que se puede observar en la figura 8.8.

43 160

En algunos textos se denomina al vértice como Cúspide.

Figuras Poliédricas

Figura 8.8

De la misma manera, las pirámides pueden ser regulares, si su base es un polígono regular, e irregulares, cuando no se cumple la regularidad en el polígono de la base.

8.3. Truncamientos

Se denomina truncamiento a toda sección realizada a un poliedro, entendido el término sección como el corte que se hace mediante un plano que atraviesa el volumen en una determinada posición. De acuerdo con lo anterior, a cualquier poliedro se le puede realizar un corte o sección, de tal forma que resulte una figura denominada truncada. En esta parte se tratarán solamente aquellos truncamientos que, geométricamente, tienen aplicación práctica dentro del conjunto de los elementos normales y más utilizados en el diseño. Estos truncamientos son: • Prisma Truncado. • Pirámide Truncada PRISMA TRUNCADO. Para comprender el concepto de truncamiento en un prisma, es necesario apreciar que la sección que se realice deberá 161

Capítulo 8

ser en forma no paralela a la base, debido a que si se hace en forma paralela, solamente se reduce su altura, manteniéndose como un prisma simple. En la figura 8.9. se aprecian ejemplos de estos truncamientos.

Figura 8.9

Por tanto, para que exista un prisma truncado deberán tenerse en cuenta las siguientes pautas: 1. En el caso de los prismas rectos, el truncamiento no debe ser una sección recta; debe ser no paralela a la base. 2. Si el prisma es oblicuo, la sección puede ser recta o no paralela a la base. 3. Puede realizarse cualquier sección o truncamiento a lo largo de la altura, en forma no paralela a las caras o en forma diagonal con respecto a las bases. Es importante hacer notar que las propiedades del prisma original varían substancialmente al realizar cualquier tipo de sección.

162

Figuras Poliédricas

Figura 8.10

PIRÁMIDE TRUNCADA. En el caso de la pirámide, las secciones pueden ser realizadas en cualquier forma, debido a la posición irregular de sus elementos. Por tanto, la combinación de cortes que se haga en una pirámide, siempre va a ser mucho más rica que en el caso del prisma. Ver figura 8.10. Se debe, considerar que las secciones que se realizan en forma paralela a la base producirán como respuesta una cara superior paralela a aquella, la cual será un polígono semejante al de la base. De la misma manera, si la sección se realiza con un ángulo determinado con la base, se producirá un polígono con los mismos lados que el original, pero distorsionado de acuerdo con el ángulo de corte. PARTES EN UN TRUNCAMIENTO. Teniendo en cuenta lo anterior, las partes que aparecen, tanto en un prisma como en una pirámide truncada, son: • Base superior. La resultante de la sección realizada, que puede ser paralela o inclinada con respecto a la base. • Caras laterales. Son los trapecios que se forman luego de la sección y que se encuentran entre las dos bases. 163

Capítulo 8

• Altura. Diferente a la normal, es la distancia perpendicular a la base, en el caso de la sección paralela y perpendicular a la base, desde el centro geométrico de la cara superior, en el caso de ser ésta inclinada.

8.4. Poliedros semirregulares

El nombre con el cual se conocen estos poliedros es poliedros arquimedianos, debido a que quien los estudió inicialmente fue Arquímedes. Sin embargo, a partir de sus primeros conceptos se ha venido desarrollando un gran número de poliedros que tienen como base los criterios arquimedianos iniciales. En la figura 8.11. se encuentran algunos de los poliedros arquimedianos más conocidos. La característica de estos poliedros es el ser el resultado de truncamientos regulares, simples o seriados, realizados normalmente o bajo determinadas condiciones a los poliedros regulares o sólidos platónicos.

Figura 8.11

Se conocen 18 poliedros arquimedianos de los cuales se relacionan a continuación los siete primeros, o básicos: 1. TETRAEDRO TRUNCADO: 12 V. - 18 A. - 8 C. - 4 Tri. - 5 Pent. 2. CUBO TRUNCADO: 24 V. - 36 A. - 14 C. - 8 Tri. - 6 Oct.

164

Figuras Poliédricas

3. OCTAEDRO TRUNCADO: 24 V. - 36 A. - 14 C. - 6 Cu. - 8 Hex. 4. DODECAEDRO TRUNCADO: 60 V. - 90 A. - 32 C. - 20 Tri. - 12 Dec. 5. ICOSAEDRO TRUNCADO: 60 V. - 90 A. - 32 C. - 12 Pent. - 20 Hex. 6. CUBOCTAEDRO: 12 V. - 24 A. - 14 C. - 8 Tri. - 6 Cu. 7. ROMBICUBOCTAEDRO: 24 V. - 48 A. - 26 C. - 8 Tri. - 18 Cu.

V = Vértices; A = Aristas; C = Caras; Tri. = Triángulos; Pent. = Pentágonos; Hex. = Hexágonos; Oct. = Octágonos; Dec. = Decágonos

8.5. Ejercicios propuestos 1. Mediante un esquema explicativo, haga un estudio comparativo de los cinco poliedros regulares o sólidos platónicos, en donde se aprecien todos y cada uno de sus elementos, en forma y en número. 2. Analice por qué solamente existen cinco poliedros regulares. 3. Estudie y plantee una teoría acerca del por qué el cuadrado de una diagonal de un paralelepípedo es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones. 4. Plantee una teoría en el sentido de que si a un poliedro regular se le aumenta progresivamente el número de caras, su límite llega a ser una esfera. 5. Analice cada uno de los siguientes planteamientos: • Si a un prisma cualquiera se le realizan secciones paralelas a las base, se generan siempre polígonos congruentes. • Si se tienen dos prismas, uno oblicuo y uno recto que posee la base igual a la sección recta del oblicuo y su altura igual a la medida de la arista lateral del mismo oblicuo, estos dos prismas son equivalentes. 6. Descomponga un tronco de pirámide hexagonal regular en troncos de pirámides triangulares regulares. 7. Analice la generación de cada uno de los 13 poliedros arquimedianos. 165

Capítulo 9

LÍMITES CURVOS

Las formas limitadas por planos, de acuerdo con los principios euclidianos simples, pueden ser consideradas como curvas cuando se supone que están llegando a posiciones infinitas. Por ello, se dice que cuando un poliedro regular tiende a tener un número infinito de caras llega a ser una esfera. De la misma manera cuando un poliedro irregular cumple con esta condición, se dice que la forma es un cono o una pirámide. Todas estas formas geométricas se conocen en forma general como SUPERFICIES. Una forma geométrica tridimensional puede estar limitada por superficies curvas de tipo regular o de tipo irregular. Así mismo, puede estar formada por límites curvos que son intersecados por límites planos o por diversos tipos de límites curvos. Por tanto, las formas en las cuales intervienen elementos de tipo curvo, corrientemente se denominan cuerpos redondos, y son equivalentes a tener determinadas superficies curvas que responden a propiedades particulares. En esta forma, los cuerpos redondos se encuentran limitados por superficies denominadas límites curvos, esto es, son superficies de tipo curvo, muy diferentes a los poliedros cuyos límites son planos. Estas superficies al poder ser generadas por el movimiento, tanto de rectas como de curvas, pueden clasificarse en dos tipos principales: regladas y de doble curvatura. A su vez, cada una puede dividirse en dos clases diferentes, así: 1. Superficies regladas • Superficies de simple curvatura • Superficies alabeadas 167

Capítulo 9

2. Superficies de doble curvatura • Superficies de revolución • Superficies de evolución Sin embargo, antes de expresar las características de cada una de ellas, es importante recordar que una línea curva se considera como el recorrido de un punto que se mueve cambiando constantemente de dirección. Si su movimiento es tal que siempre permanece sobre un mismo plano, se considera curva plana o curva simple; si luego de varias posiciones del movimiento, el punto no se encuentra en un mismo plano, este recorrido se denomina espacio curvo o línea doblemente curvada.

9.1. Superficies regladas

Las superficies regladas son las generadas por el movimiento de una línea recta44. Para el estudio de este tipo de superficies, es necesario plantear inicialmente que el movimiento de la recta se puede considerar en dos formas: • Siempre en contacto con una curva, a una distancia fija o variable. • Formando un ángulo específico con un eje. Por tanto, dentro del proceso explicativo, se utilizarán indiferentemente estas dos opciones. SUPERFICIES DE SIMPLE CURVATURA. Superficie de simple curvatura es la generada por una línea recta que se mueve siempre en contacto con una línea curva o moviéndose paralelamente a un eje o en contacto con él. La línea que se encuentra en movimiento se denomina generatriz, y la curva con la que se encuentra en contacto o el eje de referencia, directriz. Por lo anterior, existen tres tipos generales de superficies de simple curvatura: 44 Se podrá apreciar más adelante que estas superficies, por extensión, pueden ser generadas por figuras geométricas rectilíneas, como el triángulo o el rectángulo.

168

Límites Curvos

• Superficies cilíndricas y cilindros. • Superficies cónicas y conos. • Convolutas

9.2. Superficies cilíndricas

En capítulos anteriores se vio que una superficie puede ser determinada por dos líneas paralelas o por dos líneas que se cortan. Sin embargo, si se estima que una recta se mueve paralelamente, siempre en contacto con ellas, se estará generando una superficie plana. A partir de lo anterior, una superficie cilíndrica puede definirse como la que es generada por una línea recta que se mueve siempre en contacto con una línea curva, teniendo la particularidad de que la línea se mueve asumiendo posiciones paralelas, esto es, paralelamente a sí misma. En la figura 9.1. la curva es la directriz y la recta AB es la generatriz.

Figura 9.1

Ahora bien, si la línea AB se mueve de tal manera que siempre esté en contacto con una circunferencia, se estará formando una superficie cilíndrica circular indefinida. Esta superficie, si se considera limitada en sus 169

Capítulo 9

dos extremos -superior e inferior- por círculos o superficies circulares, se denomina en forma corriente como cilindro circular recto y es la figura geométrica materia de este estudio, tal como se aprecia en la figura 9.2.

Figura 9.2

Un cilindro, considerado como una superficie de simple curvatura, es una superficie de revolución simple, esto es, producto de la rotación de elementos geométricos, así:

Figura 9.3

• Una recta que se encuentra rotando alrededor de un eje, manteniendo siempre una misma distancia de él.

170

Límites Curvos

• Un rectángulo que está rotando alrededor de uno de sus lados. Ver figura 9.3. Cualquiera de las dos formas expresadas, es igualmente aceptable dentro de la conceptualización general del cilindro circular.

9.3. Los cilindros El cilindro es una figura geométrica tridimensional, formada por dos círculos paralelos denominados bases y una superficie curva limitada por las bases. Como todas las figuras tridimensionales, está definido por los elementos que pueden verse en la figura 9.4., así: • Bases, como se expresó, son los círculos que limitan la superficie cilíndrica. • Superficie lateral, es la superficie curva limitante del cilindro. • Radio, es el correspondiente a los círculos de las bases. • Eje, es la línea virtual que une los centros de los círculos de las bases. • Altura, es la distancia entre las dos bases paralelas. Es la perpendicular simultánea a las dos bases.

171

Capítulo 9

Figura 9.4

Se ha expresado que al mover paralelamente una línea siempre en contacto con una circunferencia, se produce el cilindro circular. Si el movimiento se realiza con respecto a una elipse, el cilindro será elíptico, con las mismas propiedades del circular. TRUNCAMIENTO. Ya se había visto cómo se realiza el truncamiento en el caso de las figuras poliédricas, en las cuales puede considerarse como truncamiento sencillo. Para el caso de las figuras de simple curvatura, es importante comprender inicialmente el concepto de sección o truncamiento aplicado a las formas curvas, el cual posee características especiales para su realización.

172

Límites Curvos

Figura 9.5

Se llama sección recta o normal, a la realizada mediante un plano perpendicular al eje de la figura. Cualquier otra sección será oblicua, como en la figura 9.5. Ahora bien, las secciones realizadas en un cilindro, tienen las siguientes características: 1. Cilindro circular recto. • Las secciones oblicuas siempre producirán una elipse. • Las secciones rectas serán paralelas a las bases y conformarán superficies congruentes con ellas. • Puede decirse que son congruentes con la directriz. 2. Cilindro circular oblicuo. • Las secciones oblicuas producirán una elipse. • Las secciones paralelas a las bases producirán círculos congruentes con los de las bases, esto es, serán congruentes con la directriz. • Las secciones rectas producirán siempre una elipse. • Si las secciones son oblicuas, se producirán elipses. 3. Cilindro elíptico recto. • Las secciones rectas producirán círculos. • Las secciones oblicuas serán elipses. De acuerdo con lo anterior, es conveniente, antes de realizar cualquier sección a un cilindro, analizar cuidadosamente la respuesta tridimensional que se producirá en la figura original. 173

Capítulo 9

9.4. Superficies cónicas Una superficie cónica es aquella que es generada por una línea recta o generatriz, que se mueve siempre en contacto con una línea curva llamada directriz, pasando siempre por un punto fijo localizado exteriormente a la curva anterior, el cual se denomina vértice. Cada posición de la generatriz es considerada como elemento de la superficie. Sin embargo, ésta puede extenderse indefinidamente hacia ambos lados del vértice. En este caso, se conforma una superficie cónica denominada de doble hoja, una superior y otra inferior. Puede observarse que es una superficie de simple curvatura, al tener su generatriz moviéndose siempre alrededor de un eje, formando un ángulo con éste. Cuando la superficie está constituida por una serie de rectas determinadas por todos los puntos de una circunferencia, con un punto situado sobre la perpendicular al plano de dicha circunferencia en su centro, se denomina como superficie cónica circular, siendo la perpendicular el eje de la superficie. Como se expresó atrás, si se extiende indefinidamente hacia el otro lado del vértice, se conforma igualmente una superficie de dos hojas o cono indefinido.

9.5. Los conos

Un cono, como figura geométrica, es la figura geométrica tridimensional que está limitada por una curva plana cerrada o base y por una superficie curva limitada por la curva de la base, como se muestra en la figura 9.6.

174

Límites Curvos

Figura 9.6

Tal como se ha expresado en las figuras tridimensionales, está definido por los siguientes elementos: • Base, es el círculo que limita la superficie cónica. • Superficie lateral, es la superficie curva limitante del cono o superficie cónica. • Vértice, es el punto de contacto de todos los elementos que forman la superficie cónica. • Radio, es el correspondiente al círculo de la base. • Eje, es la línea virtual que une el vértice con el centro del círculo de la base. • Altura, es la distancia entre el vértice y la base (distancia perpendicular a la base o a su prolongación). Como en el caso de los cilindros, un cono, de acuerdo con la forma de su base y de la posición de su eje, puede ser: 1. Según la forma de la base. • Circular, cuando la base es un círculo. • Elíptico, cuando la base es una elipse. 2. De acuerdo con el eje. • Recto, si el eje es perpendicular a la base. (fígura 9.6.) • Oblicuo, si el eje forma con la base un ángulo diferente de 90º. (fígura 9.7.) 175

Capítulo 9

Figura 9.7

LAS CÓNICAS. A partir del concepto de sección en un sólido geométrico, así como de las características especiales a las cuales responden estas secciones, se hace necesario incluir la conceptualización básica del seccionamiento del cono circular recto, dadas sus propiedades matemático geométricas particulares. Para ello se utilizan secciones normales, oblicuas y paralelas al eje de un cono circular recto, de las cuales van a resultar cuatro curvas principales que se denominan corrientemente cónicas. Las cónicas serán, de acuerdo con los cortes en el cono, las que se muestran en la figura 9.8. y que son las siguientes: 1. Una sección realizada perpendicularmente al eje del cono, produce la curva básica denominada círculo. 2. Si la sección se practica de tal manera que el ángulo de ella sea menor que 90º y mayor que el que forma la directriz de la superficie cónica, se estará generando una elipse. 3. Cuando la sección posee el mismo ángulo que la directriz, esto es, es paralela a ella, se estará formando una parábola. 4. Al realizar una sección en forma paralela al eje del cono, perpendicularmente a la base, se estará generando una hipérbola. Si se considera una superficie cónica recta de doble hoja, la sección será igualmente una hipérbola de doble hoja. 176

Límites Curvos

Figura 9.8

Una práctica elemental para comprobar la obtención de las cónicas se puede realizar fácilmente con una linterna de mano en un ambiente oscuro. Para ello, teniendo en cuenta que normalmente una linterna produce un conjunto luminoso en forma de cono, si se enfoca hacia una pared, perpendicularmente a ella, se estará formando el círculo; si la linterna se inclina un poco se formará en la pared una elipse; colocándola de manera que los rayos de luz queden paralelos a la pared, se formará la parábola y, finalmente, si el cuerpo de la linterna se coloca paralelamente a la pared, se formará la hipérbola.

9.6. La hélice Es importante presentar el caso especial de la curva tridimensional que posee una infinita cantidad de aplicaciones en muchos aspectos del diseño. Esta curva es la denominada hélice, que por su forma totalmente tridimensional es considerada como doblemente curvada. 177

Capítulo 9

Figura 9.9

La hélice se define como la curva generada por un punto que se mueve ascendiendo o descendiendo uniformemente alrededor de un eje y paralelamente a él. Si el punto se mueve siempre a una distancia fija del eje, se denomina hélice cilíndrica, como en la figura 9.9., en donde la distancia fija será el radio del cilindro. Y si lo hace variando en forma uniforme la distancia al eje, será una hélice cónica, como el ejemplo mostrado en la figura 9.10.

Figura 9.10

En cualquiera de los casos, la distancia vertical a la cual se mueve el punto paralelamente al eje al dar una vuelta, se denomina paso de la hélice. Además de lo anterior, para muchos casos de diseño, es importante observar que si el movimiento del punto es en el sentido de las agujas del 178

Límites Curvos

reloj, se considera hacia la derecha y hacia la izquierda si el movimiento es en sentido contrario. La construcción de una hélice de tipo cilíndrico se logra teniendo en cuenta el radio del cilindro de base, la medida del paso y el sentido del movimiento del punto. En esta forma, se localizan las diferentes posiciones regularizadas del punto sobre la superficie del cilindro, teniendo en cuenta que el paso será una vuelta completa del punto, o lo que es lo mismo, sería la altura básica del cilindro. El desarrollo de un cilindro circular recto corresponde a un rectángulo cuya altura es la altura del cilindro y el ancho la longitud de la circunferencia de la base. Por tanto, si se tiene el desarrollo de una hélice, se tendrá un línea oblicua, correspondiente a la diagonal del cilindro, debido a que siempre llevará una pendiente constante. Por tanto, para calcular el ángulo α de la hélice, se tendrá45: tan α = paso/circunferencia= paso/2πr

Figura 9.11

Como puede apreciarse, el cálculo del desarrollo de una hélice es equivalente a calcular el ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo, en el cual el cateto menor es el paso de la hélice, el otro cateto la circunferencia de la base y la hipotenusa la longitud de la curva, como se expresa en el esquema de la figura 9.11. 45 Cuando se estudie la medida de la circunferencia y las medidas indirectas, se podrá comprender mejor el por qué de esta fórmula.

179

Capítulo 9

Finalmente, es importante ilustrar las aplicaciones de las hélices46, como curvas. Se pueden mencionar, entre muchos, los tornillos de todo tipo y los resortes, como en los casos de la figura 9.12., las escaleras de caracol, etc.

Figura 9.12

9.7. Las Convolutas Una convoluta es una superficie de simple curvatura generada por una línea recta que se mueve siempre tangente a dos curvas directrices. La característica de sus líneas generatrices es que en tres posiciones consecutivas no poseen un punto común. Una convoluta puede considerarse como generada por un plano que es tangente a dos curvas que no se encuentran en el mismo plano, lo cual quiere decir que la línea recta que conecta dos puntos de las curvas o tangente común, será un elemento de la superficie de la convoluta.

46 No se debe confundir el término hélice geométrica con el utilizado para denominar los elementos de impulso de aviones o de barcos, entre otros. Estos últimos se designan así debido a que en su movimiento los extremos estarán generando siempre una curva de este tipo.

180

Límites Curvos

Figura 9.13

La convoluta más utilizada es la conocida como convoluta helicoidal (ver figura 9.13) que es generada por una recta que se encuentra moviéndose siempre tangente a una hélice. La posición de la línea generatriz, podrá ser horizontal completamente o formando un ángulo constante con la horizontal. Ejemplos de estos casos, son las cubiertas que se utilizan en muchas escaleras de caracol. Una convoluta helicoidal puede ser extendida sobre un plano horizontal, determinando una superficie especial que se encuentra dirigida por la hélice inicial y por una espiral correspondiente a la intersección de la superficie con el respectivo plano horizontal.

9.8. Superficies Alabeadas

Una superficie alabeada es aquella generada por el movimiento de una línea recta generatriz, de manera que dos posiciones consecutivas de la generatriz sean líneas oblicuas. Podrá observarse que estas posiciones son diferentes a los casos del cilindro, en el cual son paralelas, y del cono y la convoluta, en los que se cortan. Es importante hacer notar que la totalidad de las superficies que se han visto se consideran desarrollables, esto es, que se pueden hacer coincidir con una superficie plana. Las superficies alabeadas no pueden ser desarrolladas, dadas sus características, como podrá deducirse de cada una de ellas. 181

Capítulo 9

Las superficies alabeadas pueden dividirse en tres grandes tipos, de acuerdo con la forma como son generadas: 1. TRES LÍNEAS DIRECTRICES • Las tres directrices son rectas, y entonces se presentan los casos del hiperboloide elíptico y del hiperboloide de revolución. • Dos líneas son rectas y una es curva, formándose una superficie alabeada irregular. • Cuando hay una recta y dos curvas, se conforman el cono alabeado y el cuerno de vaca. • Si las tres líneas son curvas, se formará una superficie totalmente irregular.

Figura 9.14

2. DOS LÍNEAS DIRECTRICES Y UN PLANO DIRECTOR • Cuando hay dos líneas rectas, se forma el paraboloide hiperbólico. Ver la figura 9.14.

182

Límites Curvos

Figura 9.15

• Si son una recta y una curva, se formarán el conoide, como en la figura 9.15. y el helicoide recto, mostrado en la figura 9.16. • Dos líneas curvas formarán el cilindroide. 3. DOS DIRECTRICES Y UN ÁNGULO CONSTANTE CON UN PLANO DIRECTOR • Dos rectas perpendiculares formarán el hiperboloide concoideo. • Una recta y una curva, estarán formando el helicoide oblicuo. • Dos curvas podrán formar igualmente un helicoide oblicuo.

Figura 9.16

183

Capítulo 9

Figura 9.17

En las figuras 9.17., 9.18. y 9.19. se podrán apreciar algunos ejemplos de la aplicación de las superficies alabeadas, en los casos específicos del paraboloide hiperbólico y el helicoide recto. Sin embargo, para una mayor profundización acerca de estos temas, se remite al estudioso a la amplia bibliografía existente sobre el tema.

Figura 9.18

184

Límites Curvos

9.9. Superficies de doble curvatura Estas superficies se caracterizan por ser generadas únicamente por el movimiento de una línea curva. Por tanto, no tiene elementos rectos, ni dos posiciones consecutivas forman una recta. Así, puede ser constante o variable, produciéndose una variedad infinita de formas, según las líneas generatrices sean dirigidas por líneas o por planos. Las superficies de doble curvatura pueden ser divididas es dos tipos generales: Superficies de revolución y Superficies de evolución.

Figura 9.19

9.10. Superficies de revolución Estas superficies son las generadas por una línea curva que está rotando alrededor de un eje, considerando la línea sobre el mismo plano del eje, como se muestra en la figura 9.20. 185

Capítulo 9

Figura 9.20

LA ESFERA. La superficie de revolución más conocida es la esfera, la cual es generada por un círculo que rota alrededor de uno de sus diámetros. Sin embargo, al ser generada por una circunferencia, su definición tridimensional puede ser expresada como el conjunto de todos los puntos del espacio que se encuentran a la misma distancia de otro punto del mismo espacio o centro de la esfera. Por tanto, sus elementos son similares a los de aquella. Ver figura 9.21.

Figura 9.21

Así, el Radio será la distancia entre el centro y cualquier punto de la superficie y por tanto todos los radios serán iguales. El diámetro es el segmento que une dos puntos de la superficie pasando por el centro, de 186

Límites Curvos

lo que se deduce que todos los diámetros son iguales dentro de una misma esfera. Igualmente, por su misma generación, el contorno de la esfera se denomina círculo máximo, cuya característica es la de poseer el mismo diámetro de la figura y es el que se utiliza para representarla. Aparte de lo anterior, es importante considerar que todo plano al cortar una esfera47, produce un círculo, esto es, la sección recta de una esfera será circular y por tanto, si el plano pasa por el centro, producirá un cículo máximo, y cualquier otro, un círculo menor. De la misma manera, un plano puede ser tangente a la esfera únicamente en un punto de su superficie. A partir de las secciones de la esfera se determina un conjunto de figuras divididas en dos clases: 1. Superficies esféricas. • Casquete esférico, que es la figura formada por todos los puntos de una superficie esférica situados a un mismo lado del semiespacio determinado por un plano secante. La circunferencia o círculo resultante es la base del casquete y la porción del diámetro perpendicular al plano de la sección, es la altura del casquete. Si el plano secante forma un círculo máximo (pasa por el centro), se estarán conformando dos casquetes congruentes denominados hemisferios. En la figura 9.22. se muestra un ejemplo de esta superficie.

Figura 9.22

Se denomina también plano secante de la esfera.

187

Capítulo 9

• Huso esférico, es la figura formada por los puntos de la superficie esférica que se encuentran comprendidos entre dos semicircunferencias máximas de la misma superficie, como el que se aprecia en la figura 9.23. Ejemplo de huso esférico es el espacio de la superficie de la tierra comprendido entre dos meridianos y los polos.

Figura 9.23

• Zona esférica, es la figura que contiene los puntos de la superficie esférica comprendidos entre dos secciones paralelas de la misma. Ejemplo es la zona tórrida en la tierra. 2. Sólidos esféricos. • Segmento esférico, es la figura constituida por los puntos interiores de la superficie esférica comprendida dentro de un casquete esférico. Sus partes son las mismas de este último. • Cuña esférica, En la figura 9.23., se aprecia el conjunto de puntos interiores a la superficie comprendida por un huso esférico. Esto quiere decir que su base de trabajo es el conjunto de puntos comprendido entre el diedro que tiene como arista el diámetro de la esfera. • Segmento esférico bibásico, es la figura que está formada por el conjunto de puntos interiores de una esfera, entre dos secciones paralelas de la misma. • Sector esférico, es la figura formada por los puntos interiores de una esfera, que son a su vez interiores a un cono circular recto, indefinido, cuyo vértice es el centro de la esfera. 188

Límites Curvos

ELIPSOIDE. Si una elipse se hace rotar alrededor de uno de sus ejes, como en la figura 9.24., se genera la figura denominada corrientemente elipsoide, aunque en algunos textos se denomina esferoide48. Si la rotación se efectúa alrededor del eje mayor, se denomina prolado y si se realiza alrededor del eje menor, oblado.

Figura 9.24

PARABOLOIDE DE REVOLUCIÓN. Es la superficie que se obtiene al rotar una parábola alrededor de su eje, como en la figura 9.25.

Figura 9.25

Esta superficie posee una serie de características especiales que le permiten ser utilizada para accesorios de sonido o de señales de comunicación, como es el caso de las antenas y los micrófonos de tipo parabólico. Ver figura 9.26. 48 El autor considera que el término más claro es elipsoide, debido a que, aunque es una esfera deformada, una de sus secciones rectas es siempre una elipse.

189

Capítulo 9

Figura 9.26

HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN. Cuando se rota una hipérbola alrededor de su eje, se estará generando un hiperboloide de revolución. Teniendo en cuenta que esta curva posee dos formas básicas, simple y de dos hojas, así mismo la superficie tendrá las mismas denominaciones. Ver figura 9.27.

Figura 9.27

En la Figura 9.28. se puede apreciar la utilización del hiperboloide de revolución en la estructura de la catedral de Brasilia, del arquitecto Oscar Niemeyer.

190

Límites Curvos

Figura 9.28

TORO. Es la superficie generada por la rotación de cualquier curva alrededor de un eje, en forma no simétrica a la curva. El caso más conocido es el toro anular, generado por una curva cerrada, principalmente un círculo que rota alrededor y externamente a un eje, como se muestra en la figura 9.29.

Figura 9.29

191

Capítulo 9

Ejemplos del toro se encuentran en los basamentos de las columnas de los órdenes clásicos griegos y en la actualidad en los neumáticos de las llantas de los automotores.

9.11. Otras superficies de revolución

Toda curva, cualquiera que sea, cuando está rotando alrededor de un eje, generará una superficie de doble curvatura, tal como puede observarse en los casos de vasos, botellas, balaustres, etc. y todo un conjunto de formas que en la práctica se producen mediante el proceso de torneado, como en el ejemplo que se presenta en la figura 9.30.

Figura 9.30

9.12. Superficies de evolución Se consideran como superficies de evolución, aquellas que son generadas por el movimiento de una curva en forma variable. El elipsoide puede ser considerado como dentro de este tipo de figuras, si se tiene en cuenta que el movimiento de la elipse se hace constante alrededor de un eje, mientras que el otro eje varía secuencialmente durante el movimiento.

192

Límites Curvos

Figura 9.31

Ejemplos de las superficies de este tipo son las que corresponden a aquellas figuras cuya conformación general es totalmente irregular, como los cascos de los buques y canoas, así como los fuselajes de los aviones, como el de la figura 9.31. La característica básica de estas formas es el hecho de que para su construcción se requiere trabajar utilizando plantillas que permitan la realización precisa del contorno.

9.13. Ejercicios propuestos

1. Mediante una investigación personal, analice la forma como se puede lograr el desarrollo de los diferentes tipos de cilindros y de conos, de tal manera que puedan ser construidos los respectivos sólidos. 2. Buscar una mandarina o cualquier cítrico similar, lo más esférico posible. A partir de ella, tomar las medidas de los elementos que la conforman, analizando sus relaciones y las formas resultantes que se puedan conseguir en ella. 3. Tomar un cilindro de cartón sobrante de un rollo de papel higiénico, de papel de cocina, etc. Observar qué tipo de curva se encuentra trazada en su superficie. A partir de ella, cortar a lo largo de la curva y comprobar cuál es el resultado del desarrollo de dicha curva. 4. Construya en un material fácil de trabajar, un cilindro y un cono circulares rectos. Mediante una subdivisión en partes iguales, tanto horizontal (circunferencia de la base) como verticalmente (altura), construya una hélice en cada una de las figuras. Realice en ellas una comparación concluyente entre los dos tipos de curvas. 193

Capítulo 9

5. Construya en un material sólido y resistente el modelo de una escalera de caracol abierta que posee un radio exterior de 1.80 m y un radio interior de 0,76 m, que asciende en sentido del movimiento de las agujas del reloj. Se tiene una altura entre pisos de 2,70 m y 0,18 m de altura de cada uno de los 14 pasos que la conforman. La escalera posee un cielo raso inferior que es un helicoide recto. 6. Utilizando una linterna corriente y en penumbra, colóquela con respecto a una pared de tal manera que la luz que se refleje forme cada una de las cónicas. Realice un análisis de la respuesta luminosa con respecto a la fuente de luz. 7. Construya un cono circular recto en un material fácil de seccionar y realizar en él los diferentes cortes, de manera que se produzcan como respuesta las curvas cónicas. 8. Utilizando una esfera de polietileno expandible (ICOPOR ®) de diámetro suficientemente amplio, realice una serie de cortes que señalen las diferentes partes en las cuales puede ser dividida la esfera. Hacer un análisis individual de cada una de estas divisiones. 9. Recortar dos círculos, de cualquier material rígido, con radio igual a 0,10 m. Cada una de las circunferencias de los círculos deberá dividirse en 24 partes iguales (15°) numeradas. Unir los centros de los círculos mediante una varilla vertical de 0,15 m de longitud. Unir cada punto de una de las circunferencias con los de la otra teniendo en cuenta la relación n con n+3. ¿Cómo se denomina la figura resultante? ¿Qué sucede si se cambia la distancia entre los círculos? ¿Qué sucede si se cambia la relación de unión entre los puntos? 10. Realizar un análisis formal de los siguientes elementos: • Una botella de Coca Cola ®. • Una lata de aluminio de bebida gaseosa. o cerveza • Cualquier copa de cristal. 194

Capítulo 10

SIMETRÍA EN EL ESPACIO

La simetría en el espacio es la que se realiza en las tres dimensiones. Sin embargo, puede hacerse una generalización de la totalidad de la simetría bidimensional, vista en el Capítulo 6 de la Parte II, a efectos de expresar que todas las funciones geométricas son aplicables en esta dimensión, debido a que una figura tridimensional está formada por puntos, rectas y planos, y que igualmente poseen grupos de simetría con isometrías que siempre la dejarán invariante.

10.1. Grupos Finitos

La consideración general de los grupos de simetría tridimensionales tiene como base la correspondencia con los poliedros regulares o sólidos platónicos, ya que son grupos finitos49 con rotaciones propias para tres dimensiones y de los que pueden derivarse otras formas básicas. Por tanto, los grupos de simetría tridimensionales son los siguientes: • Tetraedro regular. Posee cuatro ejes de rotación principales, considerados desde el vértice al baricentro de la cara opuesta, y alrededor de los cuales se realizan rotaciones de 120°, 240° y 360°. Posee además tres ejes de rotación secundarios, comprendidos entre los puntos medios de las aristas opuestas, alrededor de los que se puede rotar 180°. De esto se puede resumir que el grupo de Simetría del tetraedro Regular, ver figura 10.1., es de orden 12, dado por 4(2)+3(1)+1=12 movimientos. 49

Del lat. fini-tus, acabado, finalizado. adj. Que tiene fin, término, límite. - RAE.

195

Capítulo 10

Figura 10.1

• Cubo y octaedro. Considerando que el octaedro se puede formar uniendo los baricentros de las caras del cubo, esto es, son poliedros duales, se encuentra que sus movimientos rígidos producen un orden de 24, el cual estará dado por 3 rotaciones de 90° para cada uno de los 3 ejes que unen los baricentros del cubo (vértices en el octaedro); rotaciones de 180° en los 6 ejes que unen los puntos medios de las aristas del cubo (igual para el octaedro); 2 rotaciones de 120° en los 4 ejes que unen los vértices del cubo (baricentros del octaedro) y la identidad. Son los que poseen características simétricas iguales, en este caso uno se puede construir con base en el otro. En esta forma, el grupo de simetría del cubo y del octaedro regular, está dado por: 3(3)+6(1)+2(4)+1=24 • Icosaedro y dodecaedro. Como en el caso anterior, los poliedros son duales y poseen un orden de 70; así para cada uno habrá 4 rotaciones de 72° alrededor de cada uno de los 6 ejes que unen los baricentros del dodecaedro (vértices del icosaedro); 3 rotaciones de 120° alrededor de los 10 ejes que unen los vértices del dodecaedro (puntos medios del icosaedro); 1 rotación de 180° alrededor de los 15 ejes conformados por la unión de los puntos medios de las aristas del dodecaedro (baricentros del icosaedro) y la Identidad.

196

Simetría en el espacio

Entonces, el Grupo del Icosaedro y del Dodecaedro regulares, tiene como base: 4(6)+3(10)+1(15)+1=70. Aparte de los anteriores poliedros, se consideran también como dentro de los grupos finitos de simetría en tres dimensiones, los denominados cíclicos, que corresponden a aquellos cuerpos prismáticos cuyas bases están conformadas por polígonos generados mediante giros alrededor de un punto, como en el caso de los polígonos estrellados, que forman figuras prismáticas especiales, como en la figura 10.2.

Figura 10.2

Los grupos cíclicos se identifican por el número de rotaciones que sean posibles de realizar alrededor de un eje, que dejan invariante la figura.

10.2. Las operaciones de simetría

Una operación de simetría es el trabajo mediante isometrías que dejan las figuras invariantes, tal como se expresó en la parte respectiva de simetría bidimensional. Por tanto, en tres dimensiones estas operaciones se clasifican en cinco tipos básicos: 197

Capítulo 10

a) TRASLACIÓN SIMPLE. b) ROTACIÓN. c) REFLEXIÓN. d) INVERSIÓN CENTRAL. e) DESLIZAMIENTO DE TORNILLO. TRASLACIÓN SIMPLE. La traslación en tres dimensiones se realiza en la misma forma que en el caso de las dos dimensiones. Sin embargo, la única diferencia se encuentra en que el movimiento de traslación tridimensional implica un movimiento con base en las tres coordenadas x, y y z., como se muestra en la figura 10.3.

Figura 10.3

ROTACIÓN. Como ya se ha expresado, rotación implica un movimiento en tres dimensiones, siempre alrededor de un eje o eje de rotación. Para realizar la operación solamente se requiere conocer el ángulo de rotación θ, a partir de un punto inicial o de origen, alrededor del eje. Esta operación presenta la propiedad de que cada elemento que esté paralelo al eje de rotación, se encuentra sobre una superficie cilíndrica, cuyo eje será el de rotación y su radio la distancia a la cual se encuentra de dicho eje. En la figura 10.4. se muestra la rotación de una pirámide alrededor de un eje vertical. 198

Simetría en el espacio

Figura 10.4

Además de lo anterior, al elemento al cual se le está ejecutando una rotación se le puede agregar una traslación simple, lo cual producirá una combinación denominada traslación y rotación axial. REFLEXIÓN. Contrariamente al caso de la simetría en dos dimensiones, en la cual se expresa la simetría como axial cuando se realiza a lado y lado de un eje, en tres dimensiones esta simetría se produce a lado y lado de un plano o plano de reflexión. Esta operación es más conocida como simetría especular, teniendo en cuenta que su resultado es similar al caso de una figura colocada frente a un espejo. Por tanto, la imagen será exactamente igual a la original, pero con sus posiciones contrarias, como se observa en la figura 10.5.

199

Capítulo 10

Figura 10.5

Esta operación también puede combinarse con la traslación o con la rotación, produciéndose entonces la operación denominada traslación y simetría especular, también conocida como reflexión deslizada o la conocida como traslación y simetría rotacional o roto reflexión. INVERSIÓN CENTRAL. Esta operación tiene como base el punto central de la esfera, esto es, que cada punto de la superficie esférica tendrá un punto simétricamente ubicado en el otro extremo del diámetro que pasa por el punto inicial. La respuesta a esta operación será una figura simétrica impropia50, o lo que es lo mismo, una figura completamente invertida con respecto a la posición o figura original. Ver la figura 10.6.

50 200

Esta ubicación de los puntos se denomina sistema indirecto.

Simetría en el espacio

Figura 10.6

La combinación de esta operación con la rotación, producirá como respuesta una operación denominada como roto inversión, que se aprecia en la figura 10.7.

Figura 10.7

DESLIZAMIENTO DE TORNILLO. Tiene como punto de partida la hélice, que, como se explicó, es la base de un tornillo. En esta forma, la operación implica una traslación paralela al eje de rotación y una rotación periódica en el mismo sentido de la traslación. (Figura 10.8.) 201

Capítulo 10

Figura 10.8

10.3. Ejercicios propuestos 1. Compruebe los órdenes de los grupos de simetría de los sólidos platónicos. 2. Considere un escalímetro triangular como un sólido de tipo cíclico. Estudie el orden de su grupo de simetría. 3. Estudie el grupo de simetría de la figura que se muestra a continuación.

4. Desarrollar un modelo tridimensional que sea el resultado de la unión de formas tridimensionales sencillas, las que a su vez deben ser generadas por la rotación de un elemento compuesto por 2 ó 3 elementos lineales, rectos o curvos, relacionados entre sí de manera ortogonal o por ángulos de 45° o 30°. 202

Simetría en el espacio

La conformación deberá tener como soporte una concepción de retícula libre, apropiada al elemento generador. Así mismo, deberá contener Simetría por traslación y giro, teniendo muy en cuenta la relación proporcionada entre los elementos generados, tanto en altura como horizontalmente. 5. Utilizando pirámides y conos de diferentes tamaños, a partir de un pentágono regular de base, sea generada una composición tridimensional en la que se aprecien las diferentes operaciones de simetría en tres dimensiones.

203

Parte IV

MEDIDAS Y PROPORCIONES

Capítulo 11

Medidas El término medir o medida equivale a comparar una cantidad con una unidad, con el fin de averiguar cuántas veces la segunda está contenida en la primera. Esta comparación se realiza con una unidad patrón denominada unidad de medida. Para determinar la medida de todas y cada una de las formas geométricas, bidimensionales o tridimensionales, se requiere el conocimiento de sus propiedades numéricas o, en otras palabras, de las propiedades métricas que definen muchos aspectos particulares de ellas. Para ello, internacionalmente se utiliza una serie de patrones de medida que establecen las características de los objetos, de acuerdo con el tipo de dimensión en el cual se está considerando el objeto o alguna parte de él. En este caso, geométricamente, cada elemento hace referencia al patrón de medida así: para los elementos unidimensionales, la unidad de LONGITUD, para los bidimensionales, la unidad de SUPERFICIE y para los tridimensionales la unidad de VOLUMEN.

11.1. Longitud

El concepto de la dimensión denominada largo, se entiende como el espacio recorrido por un punto, en una misma dirección y sentido. Su medida es equivalente a su longitud. Para establecer esta medida se hace referencia a la recta de los números naturales, a partir del cero (0), continuando indefinidamente, en sentido positivo (+), teniendo en cuenta el respectivo patrón de comparación numérica. 207

Capítulo 11

La unidad de medida lineal o Patrón de Longitud que se utiliza internacionalmente es el metro lineal, que se expresa como m, más conocido como sistema métrico decimal y cuyo conjunto de múltiplos y submúltiplos de base 10, son los que se muestran a continuación51. Medida Milímetro Centímetro Decímetro Metro Decámetro Hectómetro Kilómetro

Símbolo mm cm dm m Dm Hm Km

m 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

Aunque el metro es la unidad de trabajo lineal de uso internacional, existen otras unidades lineales muy utilizadas en Norteamérica y, por ende, en los trabajos que se relacionan con los sistemas numéricos de esa región. Estas unidades de medida son el pie, la pulgada y la milla, cuya equivalencia con el sistema métrico decimal es la siguiente: Pie (ft) Pulgada (in) Milla (mi)

11.2. Área

12 pulgadas 0,083333 pies 5.280 pies

0,3048 m 0,0254 m 1.693 m

Para comprender en su totalidad el concepto de área, se requiere a su vez comprender la diferencia existente entre los términos superficie y área, debido a que son utilizados indistintamente dentro del uso corriente, y que en el caso del diseño se requiere diferenciarlos en forma clara para no equivocar los conceptos. 51

208

Se muestran los más usados normalmente.

Medidas

Se denomina superficie al espacio ocupado por un plano, esto es, por un elemento bidimensional. No obstante, por extensión se aplica el término al espacio ocupado por cualquier elemento tridimensional que tenga la posibilidad de ser desarrollado de tal manera que pueda ocupar un espacio bidimensional. Un sinnúmero de elementos tridimensionales como el prisma, la pirámide, el cilindro o el cono, cuyos límites laterales son superficies planas o curvas, pueden desenvolverse de tal forma que coincidan con todos los puntos de un plano. La superficie en sí misma, es la forma de una figura plana. Por ejemplo, se dice que un triángulo es una superficie triangular. De la misma manera, se denomina área a la medida del espacio ocupado por una superficie plana, o lo que es lo mismo, la cantidad de superficie comprendida dentro del perímetro de una figura plana. El área es la extensión de la forma, expresada como magnitud. Para efectos de determinar la medida del espacio bidimensional, tal como en el caso de la longitud, se ha establecido como unidad básica, el metro cuadrado, que se expresa como m2 y que, como aquella, sus múltiplos serán los mismos pero de tipo cuadrado. De la misma manera, el sistema norteamericano utiliza las mismas unidades señaladas en el caso precedente, pero igualmente como unidades cuadradas. Una unidad cuadrada es la superficie comprendida dentro de un cuadrado de lado igual a 1 unidad lineal. Por tanto, el área de una superficie cualquiera es el número de unidades cuadradas contenidas en su superficie. Así, el área de una superficie es equivalente a dividir dicha superficie en un número de cuadrados iguales, teniendo en cuenta que el resultado de totalizar dicho número es el valor del área respectiva, como se muestra en la figura 11.1.

209

Capítulo 11

Figura 11.1

11.3. Áreas de figuras rectilíneas Las áreas de las figuras cuyo límite está formado por líneas rectas, tienen como base fundamental el área del rectángulo, tal como se podrá apreciar durante el recorrido conceptual. RECTÁNGULO. Al tener como propiedad principal el poseer ángulos rectos, el rectángulo puede subdividirse fácilmente en cuadrados menores que las medidas de sus lados, de donde se puede deducir que su área es igual al producto de la medida de su base, entendida como el lado sobre el cual se supone apoyada la figura, por la medida de su altura, esto es el lado que no ocupa el lugar de la base.

Figura 11.2

210

Medidas

Por consiguiente, si se denomina la base como b y la altura52 como h, el área del rectángulo será igual al producto de las medidas de la base y la altura, como se aprecia en la figura 11.2. A=bxh Siendo el cuadrado el menor de los rectángulos y al ser iguales la base y la altura, esto es tiene lados iguales, su área será igual al cuadrado de la medida del lado. A = l2 TRIÁNGULO. El concepto del área de un triángulo parte del concepto del área del rectángulo, teniendo en cuenta que al trazar la diagonal de éste se estarán conformando dos triángulos congruentes. Si se estima la mitad del área del rectángulo, se estará planteando el área de un triángulo. Por tanto, el área del triángulo será igual al semiproducto de las medidas de la base y de la altura, como se observa en el esquema de la figura 11.3. Es de anotar que la base b del triángulo, tiene la misma equivalencia que en el rectángulo y la altura h corresponde a la definida como la distancia perpendicular entre el vértice y la base opuesta o su prolongación.

Figura 11.3

52 Se asume la letra h como altura en idioma inglés (height), para diferenciarla de los casos en los que la letra a puede presentar confusión.

211

Capítulo 11

Para el caso particular del triángulo equilátero pueden calcularse las áreas en función del lado l o de la altura h, así: En función del lado l es igual a ¼ de la medida del lado elevada al cuadrado, multiplicada por la raíz cuadrada de tres. En función de la altura h (cta)es igual a 1/3 de la medida de la altura elevada al cuadrado, multiplicada por la raíz cuadrada de tres.

Figura 11.4

PARALELOGRAMO. Para deducir el área del paralelogramo se parte del mismo concepto inicial, esto es, buscando la reconstrucción de un rectángulo a partir del paralelogramo dado. Su composición está basada en la construcción de sendos triángulos rectángulos congruentes, hasta conformar el rectángulo, como se puede apreciar en la figura 11.4. Su área será entonces igual a la medida de la base multiplicada por la medida de la altura. La base será la medida de cualquiera de sus lados y la altura será la distancia entre las dos bases. 212

Medidas

TRAPECIO. Para el caso del trapecio se utiliza un procedimiento similar al del paralelogramo, esto es, se busca la reconstrucción del rectángulo. Sin embargo, es necesario considerar que, al poseer medidas diferentes las dos bases, se requiere utilizar la propiedad del segmento medio en el trapecio o, lo que es lo mismo, la distancia entre los puntos medios de los lados no paralelos. Este segmento medio es igual a la semisuma de las bases.

Figura 11.5

Por tanto, el área del trapecio es igual a la semisuma de las medidas de las bases multiplicada por la altura, como se expresa en la figura 11.5. ROMBO. Teniendo en cuenta que un rombo es la conjunción de cuatro triángulos rectángulos congruentes, en donde cada uno posee medidas de sus catetos iguales a la mitad de las medidas de cada una de las dos diagonales, el área será igual al semiproducto de las medidas de las diagonales. Ver figura 11.6. 213

Capítulo 11

Figura 11.6

11.4. Polígonos regulares Para comprender el cálculo de las áreas de los polígonos regulares, es necesario tener claros los siguientes conceptos: • Un polígono regular siempre es equilátero y equiángulo. • El centro geométrico de un polígono regular es el centro de las circunferencias inscrita y circunscrita. • El radio del polígono es el segmento recto que une el centro con cualquiera de los vértices y es bisectriz del ángulo interior del polígono. • El radio de un polígono regular será siempre el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. • El ángulo central del polígono es el ángulo formado por dos radios pertenecientes a vértices consecutivos. • La apotema de un polígono regular es la perpendicular trazada desde el centro hasta uno de sus lados y bisecta del triángulo el lado al cual es perpendicular. • La apotema será siempre el radio de la circunferencia inscrita en el polígono. 214

Medidas

Figura 11.7

De acuerdo con lo anterior, los radios, ángulos centrales y apotemas serán congruentes entre sí. De la misma manera, al ser todos los lados iguales entre sí, el perímetro será igual a la suma de las medidas, o lo que es lo mismo, al número de lados (n) multiplicado por la medida de cada uno (l). Ver la figura 1.7.

Finalmente, las medidas de todos los polígonos regulares cumplen con las siguientes propiedades: En todo polígono regular, al ser congruentes y sumar todos los ángulos centrales 360°, la medida de cada ángulo central es igual a 360° dividido por el número de lados n. Para un polígono regular de n lados, cada ángulo interior i mide En todo polígono regular de n lados, cada ángulo exterior e mide

215

Capítulo 11

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR. Como se puede deducir de los principios y conceptos vistos, al trazar la totalidad de radios de un polígono regular, se estará dividiendo en n triángulos isósceles, tales que los lados iguales son los radios y los lados desiguales, los lados del polígono. Por tanto, el área de cualquier polígono será igual a n veces el área de cada uno de los triángulos en los cuales ha quedado dividido el polígono, o lo que es lo mismo Como la base b es igual al lado l y la altura h a la apotema a, se tiene que Pero, el semiproducto del número de lados n por la medida del lado l es igual al semiperímetro p del polígono. Por tanto se tiene que es el área de cualquier polígono regular.

11.5. Teorema de Pitágoras El teorema que quizás es el más famoso de toda la geometría, y que tiene una relación directa con la razón existente entre las áreas de elementos geométricos, expresa que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Lo cual es lo mismo que el cuadrado de la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de las medi-

216

Medidas

das de los catetos, como puede verse en el esquema demostrativo de la figura 11.8.

Figura 11.8

Existen muchas demostraciones, antiguas y modernas, matemáticas, geométricas y gráficas. Sin embargo, para el propósito de este texto, se asumirá la más simple o más sencilla de comprender, que se expone gráficamente en la figura 11.9. Se tiene un triángulo ABC, rectángulo en C, con catetos a y b e hipotenusa c. Se construyen sendos cuadrados en cada uno de los lados del triángulo y se encuentra que el cuadrado sobre la hipotenusa consta de cuatro triángulos congruentes con el ABC y un cuadrado, cuyo lado es igual a (a – b). El área de cada uno de los triángulos es y el área del cuadrado es igual a .

217

Capítulo 11

Figura 11.9

Por tanto, el área del cuadrado será así que,

que es lo que se quería demostrar. El teorema de Pitágoras es la más útil de las herramientas que brindan las propiedades de los triángulos rectángulos.

Figura 11.10

218

Medidas

Entre muchos usos están los cálculos de las diagonales de elementos geométricos ortogonales y, así mismo, el especialmente útil triángulo rectángulo 3 - 4 - 5, cuya utilidad es amplia en aspectos prácticos como la construcción de perpendiculares en terrenos, la comprobación de la perpendicularidad en levantamientos, etc., como puede apreciarse en la figura 11.10., donde se muestra la rectificación de la perpendicularidad entre dos muros.

11.6. El círculo

Ya se ha expresado que un círculo es el conjunto de puntos que se encuentran al interior de la circunferencia, esto es, dentro del espacio determinado por una circunferencia. Ver figura 11.11. Por tanto, para poder trabajar con el concepto de círculo se hace indispensable considerar inicialmente el caso de la circunferencia como línea, esto es, que posee una sola medida o longitud.

Figura 11.11

El principio básico de la circunferencia, que ha sido considerado desde los inicios de la geometría, es que siempre habrá una relación constante entre las medidas de la circunferencia y su diámetro. Esta medida 219

Capítulo 11

constante se expresa con la letra griega pi cuyo símbolo es π, cuyo valor aproximado es 3,14159… o 3,1416. Por tanto, se tiene que o lo que es lo mismo,

Al ser d = 2r, donde r es el radio de la circunferencia, se tiene

que será la longitud de la circunferencia. Por tanto, se puede concluir que el perímetro del círculo es igual a

ÁREA DEL CÍRCULO. El concepto euclidiano de círculo se refiere a que éste es un polígono regular que posee un número infinito de lados, lo cual quiere decir que aumentando progresivamente el número de lados de un polígono regular, se aproxima a la circunferencia circunscrita. Por tanto, se puede conjugar el conjunto de principios que expresan el área del polígono regular con el círculo mismo. En esta forma se tiene que si el semiperímetro del polígono se asimila al semiperímetro del círculo, se tiene y el radio del polígono, al aumentar sus lados hasta el infinito, se hace igual a la medida del apotema, esto es, será igual al radio del círculo. En esta forma se tendrá entonces que el área del círculo es igual a resultado que es el valor del área del círculo.

SECTOR CIRCULAR. Un sector circular es el conjunto de puntos que forman el espacio comprendido entre dos radios de un círculo y el arco interceptado por ellos, como el sector de la figura 11.12. 220

Medidas

Figura 11.12

Según se pudo apreciar en el capítulo correspondiente a la medida de los ángulos y de los arcos comprendidos, se tiene que en un círculo de radio r, la longitud l de un arco de nº es igual a de circunferencia. En otras palabras Por tanto, el área de un sector circular será igual a De lo anterior se deduce que la relación entre el área del sector circular y el área del círculo es igual a , que es equivalente a la medida de la longitud del arco comprendido entre los radios. Dentro del conjunto de sectores circulares que puede llegar a poseer un círculo, existe uno especial, dado el hecho de su conformación; esta figura es el cuadrante. En todo círculo que es dividido por dos diámetros conjugados, se forman cuatro partes exactamente iguales y que son las que se denominan cuadrantes y que se muestran en la figura 11.13. Como ya se expresó, son aquellos que forman 90º entre sí, esto es, son dos diámetros perpendiculares dentro de un círculo

221

Capítulo 11

Figura 11.13

Por tanto, se puede decir que un cuadrante es un sector circular comprendido entre dos radios que forman 90º entre sí, esto es, subtienden un arco de medida igual a 90º. Así, el área del cuadrante será igual a 1/4 del área de un círculo, SEGMENTO CIRCULAR. Es el espacio incluido entre una cuerda y su arco subtendido.

Figura 11.14

222

Medidas

Se puede apreciar en la figura 11.14., que el área de un segmento circular será igual al área del segmento, menos el área del triángulo formado por los radios que comprenden la cuerda. donde r es el radio del círculo, c la medida de la cuerda, f la medida de la flecha y nº la medida del ángulo central o del arco comprendido.

Figura 11.15

CORONA CIRCULAR. El espacio no común dejado por dos círculos concéntricos se denomina corona circular, como en la figura 11.15. Como es de fácil deducción, el área de la corona será igual a la diferencia entre las áreas de los dos círculos. Por tanto

TRAPECIO CIRCULAR. El trapecio circular es el espacio comprendido entre dos radios que cortan una corona circular, como se observa en la figura 11.16. Por tanto, está limitado por dos arcos con radios diferentes, que están formando un ángulo central de n°. 223

Capítulo 11

Figura 11.16

De acuerdo con lo anterior, el área del trapecio circular será EMBECADURA. La embecadura es uno de los espacios especiales que se conforman dentro del conjunto de formas resultantes de la combinación de otras formas. Una circunferencia inscrita en un cuadrado deja cuatro espacios no comunes a las dos figuras, que son los que se denominan embecaduras. Uno de los espacios se muestra en la figura 11.17.

Figura 11.17

224

Medidas

En esta forma, el área de una embecadura será igual a la diferencia entre el área del cuadrado y el área del círculo inscrito, esto es,

11.7. Áreas de los poliedros Al estar los poliedros, cualesquiera que sean, limitados por superficies planas, su desarrollo posee un área particular, que será igual a la sumatoria de las áreas de cada una de las caras. Se considera desarrollo de una figura tridimensional, al desdoblamiento que pueda realizarse de manera que su superficie limitante coincida con una superficie plana. Por tanto, las áreas básicas y simplificadas, de los poliedros regulares y de los irregulares principales, se muestran en la siguiente relación: Tetraedro: al estar formado por cuatro triángulos equiláteros, su área es igual a Hexaedro: por corresponder al cubo, está compuesto por seis caras cuadradas y por tanto el área es igual a Octaedro: posee ocho triángulos equiláteros, de tal manera que el área es Dodecaedro: consta de 12 caras pentagonales regulares, de manera que el área es a

Icosaedro: compuesto por 20 triángulos equiláteros y su área es igual 225

Capítulo 11

Prisma recto: al estar compuesto por dos bases poligonales y rectángulos como caras laterales, sus áreas son Prisma oblicuo: con bases iguales, paralelogramos diferentes como caras laterales y la altura h perpendicular al plano de la base, con medida a de la arista lateral, tiene como áreas Prisma truncado: tiene dos bases poligonales diferentes y cuadriláteros como caras laterales. Por tanto, las áreas serán Pirámide recta: está formada por una base poligonal y triángulos como caras laterales que poseen una apotema a, equivalente a la altura del triángulo de la cara, por lo que su área será

Pirámide oblicua: formada por un polígono de base y caras laterales triangulares, tiene como área Pirámide recta truncada: su forma consta de dos bases poligonales diferentes y trapecios como caras laterales cuya altura es la apotema a. Tiene por área

226

Medidas

11.8. Áreas de los sólidos Como en los poliedros, los cuerpos sólidos se encuentran limitados por superficies, pero en este caso son de tipo curvo y por tanto su desarrollo exige precisión para el cálculo de su área. Es por esto que las fórmulas de las áreas lateral y total, que se expresan a continuación, exigen un mayor cuidado en las medidas que se tengan para efectos de encontrar las áreas de dichos cuerpos. Cilindro circular recto: su forma consta de dos bases circulares y un área lateral rectangular de medida igual a la circunferencia de la base y la altura h del cilindro, tiene por áreas Cilindro oblicuo: su forma consta de dos bases circulares de radio R y un área lateral cuadrangular de medida media igual a la circunferencia de la sección recta de radio r y la generatriz que produce el límite curvo g (hipotenusa del triángulo formado por la altura y el desplazamiento máximo del cilindro). Tiene por áreas Cono Circular recto: está formado por un sector circular de arco igual a la longitud de la circunferencia de la base y por la línea que genera la superficie o generatriz g, que es la hipotenusa del triángulo formado por la altura y el radio r de la base. Por tanto, sus áreas son Tronco de Cono circular recto: está formado por dos bases circulares diferentes de radios R y r y un trapecio circular de arcos iguales a las longitudes de las circunferencias de las bases y por la línea que genera la superficie o generatriz g, que es el lado no paralelo del trapecio formado por la altura y los radios de las bases. Por tanto, sus áreas son 227

Capítulo 11

Esfera: está generada por una circunferencia de radio r que rota alrededor de un diámetro. Por tanto, su área es

11.9. Volumen Dentro de la concepción clásica de la geometría, se denomina volumen de un cuerpo a la medida del espacio limitado por el cuerpo. El volumen es siempre de tipo tridimensional y por tanto implica tres dimensiones para el cálculo de su medida. Como en el caso de las áreas, el volumen requiere una unidad de medida que cobije las tres dimensiones, por lo cual se asume como base de trabajo un cubo de arista igual a la unidad de longitud. Por tanto, al tener una unidad lineal, que para el uso corriente es el metro, se tendrá un cubo cuya arista mide 1 m de longitud, o lo que es lo mismo, posee un metro cúbico (1 m3) como volumen. Así mismo, se considera que un determinado volumen contiene un número de unidades cúbicas a su interior, de tal manera que su resultado es ese número de unidades que contenga. Como en las unidades de superficie, se consideran en las de volumen los múltiplos y los submúltiplos del metro cúbico. No sobra mencionar que en el sistema norteamericano, las unidades de medida son el pie cúbico y la pulgada cúbica. Al plantear el concepto de área se expresaba que una unidad cuadrada es la superficie comprendida dentro de un cuadrado de lado igual a 1 unidad lineal, o lo que es lo mismo, es el número de unidades cuadradas contenidas en su superficie. Para el caso del volumen se puede hacer la misma consideración, esto es, la unidad cúbica es el volumen comprendido dentro de un cubo cuya arista es igual a 1 unidad lineal y, por lo mismo, será el número de unidades cúbicas que estén contenidas en el cuerpo. 228

Medidas

Figura 11.18

En la figura 11.18. se muestra la forma como una unidad cúbica se repite de manera que trate de llenar el espacio requerido de la figura. Así, el volumen de un cuerpo implica la utilización total de las tres dimensiones y si se asume como punto de partida el CUBO, con una unidad de ancho, una unidad de largo y una altura de una unidad, se tiene que por lo cual el volumen será equivalente a elevar la medida del lado al cubo. Por tanto, esta será la base de trabajo para el cálculo de las medidas de volumen. De lo expresado se deduce fácilmente que el volumen de un cubo de arista a, será igual a

LOS POLIEDROS REGULARES. Por su forma particular, cada uno de los poliedros regulares o sólidos platónicos, posee un volumen de acuerdo con esa forma. La comprobación de dichos volúmenes se deja como trabajo al estudiante (Ejercicio propuesto # 6), con el propósito de realizar un análisis consciente de lo que se plantea a continuación. TETRAEDRO: HEXAEDRO: OCTAEDRO: DODECAEDRO: ICOSAEDRO:

229

Capítulo 11

LOS PARALELEPÍPEDOS. Los paralelepípedos, llamados también ortoedros, se caracterizan por tener sus caras paralelas y ortogonalmente dispuestas, por lo cual, si se asimila el concepto del cubo o paralelepípedo mínimo, el producto de las medidas del largo y el ancho es equivalente a considerar el área de la base, teniendo entonces que el valor del volumen de un paralelepípedo será

LOS PRISMAS. Un prisma recto como tal, es considerado como ortoedro. Por tanto, cualquiera sea la forma de su base, el volumen será siempre el área de la base, multiplicada por la altura. En el caso de un prisma oblicuo, la consideración parte del denominado Principio de Cavalieri, que expresa que si dos cuerpos tienen la misma altura y al cortarlos por medio de planos se obtienen figuras con la misma área, entonces tienen el mismo volumen. Lo anterior quiere decir que si a un prisma recto se le hacen cortes paralelos a la base y estos cortes se desplazan igualmente hacia un mismo lado, hasta que produzca un ángulo determinado, la altura no cambia y, por consiguiente, el volumen tampoco cambia, como se aprecia en la figura 11.19.

Figura 11.19

De acuerdo con ello, el cálculo del volumen de un prisma oblicuo será igual al del prisma recto, esto es, el producto del área de la base por la altura.

230

Medidas

LAS PIRÁMIDES. Para comprender el cálculo del volumen de una pirámide se requiere partir del concepto de la trisección de un prisma, el cual señala que todo prisma puede ser dividido en tres pirámides de volúmenes equivalentes, como se muestra en la figura 11.20.

Figura 11.20

Dos o más figuras son equivalentes cuando poseen la misma área o el mismo volumen, pero tienen forma diferente. De esto se deduce que el volumen de una pirámide es igual a Por tanto, el volumen de una pirámide de altura h es igual a No importa el tipo de pirámide que se tenga, cualquiera que sea su base, pirámide oblicua o recta, el volumen tendrá siempre el mismo cálculo. LOS CILINDROS. Un cilindro, como un prisma, posee bases congruentes paralelas, que en este caso son dos círculos. En esta forma, si se consi231

Capítulo 11

dera que un cilindro es un prisma cuyas bases son polígonos que tienden a tener un número infinito de lados, su volumen será equivalente al del prisma, por lo que el volumen de un cilindro de altura h será igual a

En los casos de los cilindros oblicuos, se utiliza el mismo tipo de cálculo, al poderse aplicar el mismo principio de Cavalieri. LOS CONOS. Siendo el cono una pirámide cuyo límite es una base poligonal cuyo número de lados tiende a infinito, se aplica este concepto para el cálculo del volumen, teniendo en cuenta que posee una altura h y que la base tiene un radio r, siendo su volumen igual a Para el caso del tronco de cono circular recto, se aplica similarmente el cálculo del tronco de pirámide, así LA ESFERA. El volumen de una esfera de radio r, es

11.10. Ejercicios propuestos

1. Se requiere diseñar un auditorio para 135 personas. Si una persona necesita, mínimo, 8 m3 de aire para poder respirar normalmente y la altura disponible es de 3,75 m y el ancho 8,70 m, calcule la longitud que debe tener el auditorio. 2. Una fábrica produce pastas de jabón de base cuadrada de 0,15 m de lado y una altura de 0,05 m. Un diseñador ha planteado cajas de empaque cuyas medidas son 1,17 m, 0,90 m y 1,04 m. Se necesita saber cuántas pastas de jabón caben en la caja diseñada, teniendo en cuenta que los del volumen deben reservarse para el empaque. Analice la respuesta desde el punto de vista del faltante o so-

232

Medidas

3. 4.

5. 6.

brante en el empaque, dado que las pastas de jabón deben quedar completas en la caja. Se dispone de cartones triangulares equiláteros de 0,24 m de lado, para producir cajas con forma de tetraedro. Si el cartón se pliega en sus tres ángulos para construir el tetraedro, ¿cuál será el volumen del producto que pueda empaquetarse en dichas cajas? Se entrega una hoja de acetato de color para fabricar la pantalla para una lámpara de sobremesa, con forma de cono recto truncado. Explicar cómo se debe cortar la hoja si las dimensiones de la pantalla son 0,23 m de diámetro superior, 0,35 m de abertura inferior y una altura de 0,25 m. ¿Cuál será la dimensión mínima que debe tener la hoja de acetato? Se ha diseñado un tanque de agua esférico con un radio exterior de 9,15 m, y se va a construir con acero de ½ “ de espesor. Se requiere saber cuál es la cantidad de lámina de acero que se necesita y el volumen de agua que puede contener. Realice un análisis explicativo de por qué los volúmenes de los poliedros regulares son los que se presentan en el desarrollo del presente capítulo.

233

Capítulo 12

Sistemas Geométricos de Proporcionalidad

En cualquiera de las artes y más especialmente en cualquiera de los asuntos que incluyen elementos de diseño, la armonía entre las partes es lo que hace que se aprecien, tanto bellas como estéticamente armónicas, o lo que es lo mismo, poseen euritmia53. Al hablar de la armonía entre las partes de cualquier elemento, se está expresando, por una parte, un concepto netamente matemático geométrico, al aceptar que las formas poseen intrínsecamente una forma necesariamente derivada de la geometría cuyas bases matemáticas son innegables y, por otra, lo que claramente señalan Alsina y Trillas54 en el sentido de que la teoría de la proporción posee dos intencionalidades objetivas básicas, la intencionalidad visual o el orden aparente a través de la semejanza de figuras y la intencionalidad formal que se basa en el ritmo y las relaciones entre las formas y no en la forma misma. Todo lo anterior implica que el diseño de las formas debe partir de la geometría, para considerar elementos auxiliares de mucha profundidad

53 Se considera la euritmia como el conjunto armónico de los elementos que intervienen en una composición, proporcionalmente con respecto a los elementos que la rodean. 54 ALSINA, C. TRILLAS E. Lecciones de Álgebra y Geometría. Ed. Gusta Gili. Barcelona. 1984. Pág. 227.

235

Capítulo 12

como son la morfología, la historia, la estética y la filosofía del arte, entre muchos. Por tanto, al hablar de la forma y su medida, se tiene necesariamente que interpretar a través de una teoría que se ha denominado sistemas geométricos de proporcionalidad.

12.1. Razones y proporciones Para iniciar la conceptualización de lo que es la proporción, se requiere partir del concepto matemático de razón. Se considera razón a la comparación entre dos magnitudes mediante la división. Este cociente es un número abstracto o, lo que es lo mismo, no posee una unidad de medida.

Así, la razón entre 10 m y 5 m es . Para esto las cantidades que se encuentran en la razón deberán tener las mismas unidades de trabajo y si se desea simplificar, se deberá hacer hasta su mínima expresión o eliminando como tal, la fracción. Las razones pueden ser expresadas de maneras diferentes: 1. Utilizando dos puntos entre las magnitudes: 3 : 5. 2. Uniendo las cifras mediante la preposición a: 3 a 5. 3. Como una fracción común: . 4. Como un decimal: 0,6. 5. Como porcentaje: 60 %. Pueden existir razones de tipo continuo, esto es cuando contienen tres o más cantidades, de manera que razón de 2m a 3m a 4m, se escribe: 2 : 3 : 4, sin embargo puede escribirse también como 2 : 3, 3 : 4 y 2 : 5. Ahora bien, cuando se encuentra que dos razones o más, poseen un mismo valor, se dice que tienen la misma proporción. Por tanto una Proporción es la igualdad de dos razones; por ejemplo, 2 : 5 = 4 : 10, es una proporción. Toda proporción está compuesta por cuatro elementos. Así, en la proporción 236

Sistemas geométricos de proporcionalidad

los valores a y b, se denominan antecedentes y c y d, consecuentes. De la misma manera, los valores a y d, considerados como inicio y fin de la proporción, se denominan extremos y b y c, al estar en lugares intermedios, son los medios. Cualquiera de estos términos asumido en forma independiente para los cálculos, es denominado cuarta proporcional, y si se presenta el caso en el cual el valor de los medios es el mismo, se dice que ese número es media proporcional entre los otros dos. En esta forma, si se tiene , se dice que 6 es media proporcional entre 18 y 2, en cuyo caso cualquiera de los extremos se considera tercera proporcional. PROPIEDADES BÁSICAS 1. En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Si , se tiene que . 2. Si el producto de dos números es igual al producto de otros dos, entonces un par pueden ser los medios y el otro par los extremos. Por tanto, si se tiene que , se pueden presentar las siguientes tres posibilidades: . 3. Toda proporción puede ser cambiada en una proporción equivalente, si se invierte cada razón: puede cambiarse por Así mismo, se pueden intercambiar los medios y los extremos, convirtiéndose en una proporción equivalente, así: quedando entonces

237

Capítulo 12

o también 4. En toda proporción, la suma o la diferencia de los antecedentes, es a la suma o diferencia de los consecuentes, como cada antecedente es a su consecuente. Por tanto, si se tiene

12.2. Teoría general Habiendo visto en términos simples las generalidades de la proporción, se requiere apreciarla desde la óptica de la geometría aplicada al diseño. Por tanto, se estudiarán las propiedades desde la forma, para entrar a trabajar los diferentes tipos, de manera que pueda lograrse una ubicación real de lo que es el verdadero trabajo proporcionado en las composiciones de diseño. PROPIEDADES. El estudio de la proporción desde la forma, implica que se establezca un elemento geométrico de base, para lo cual se expresará todo este conjunto mediante el manejo del rectángulo como forma primitiva, de donde pueden partir otras formas como son el triángulo, el círculo y por medio de éste los polígonos. De igual manera, se podrá deducir, como aplicación en el desarrollo de las formas tridimensionales, la proporción entre los volúmenes o entre sus elementos. Si se parte de un rectángulo de lados a y b, de tal manera que su proporción sea el cociente entre a y b, se tendrá: lo cual es indicativo de que la proporción estará dada por la razón entre el lado mayor y el lado menor. 238

Sistemas geométricos de proporcionalidad

Figura 12.1

Con esta base, se deben tener en cuenta las siguientes propiedades: 1. Toda proporción siempre será igual o mayor que 1. Se concluye que todo rectángulo cuyo cociente proporcional sea igual a 1, será un cuadrado, por tener sus lados iguales. Ver la figura 12.1. 2. La proporción no depende del orden de los lados. Con esto se quiere decir que no interesa la posición de la figura, siempre y cuando se cumpla la relación entre el elemento mayor y el elemento menor, como en la figura 12.2.

Figura 12.2

3. La proporción es invariante por semejanzas y homotecias. Es equivalente a decir que la proporción no varía en figuras semejantes o construidas a escala, como se ve en la figura 12.3. 239

Capítulo 12

Figura 12.3

4. La proporción es condicionantemente aditiva. Si se tienen dos rectángulos en los cuales uno de los lados es igual al del otro y es menor o igual que 1, se tendrá que la suma de sus proporciones será igual a la suma de los mayores en razón al menor, como en la figura 12.4., en donde

Figura 12.4

lo que es lo mismo que de donde

5. La proporción es siempre función continua. Implica que cuando se amplía o disminuye la escala o el tamaño proporcionado de

240

Sistemas geométricos de proporcionalidad

una figura, siempre se mantendrá la misma proporción, así sea llevada al infinito, como se puede apreciar en el ejemplo de la figura 12.5.

Figura 12.5

6. La proporción de un rectángulo coincide con la de sus rectángulos recíprocos.Se considera rectángulo recíproco, al rectángulo que es producto de la subsivisión interior o construcción exterior de otro rectángulo mediante una perpendicular a la diagonal del rectángulo original. En este caso se construye con base en la prolongación de los lados respectivos.

Figura 12.6

En la figura 12.6. se puede apreciar que 241

Capítulo 12

de donde se deduce que el nuevo rectángulo tiene por lados: 7. La proporción entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un rectángulo, es igual al cuadrado de la proporción del rectángulo inicial, de tal manera que

12.3. Tipos de proporción De acuerdo con el cociente que sea el resultado de una proporción, ésta puede expresarse en dos formas: una primera, que es la más utilizada dentro del trabajo común, denominada estática y una segunda forma que, aunque menos precisa en cuanto a su expresión, puede llegar a ser la más elegante y armónica de las proporciones y es la denominada dinámica. LA PROPORCIÓN ESTÁTICA. Haciendo referencia a un rectángulo de lados a y b, se dice que está en proporción estática cuando los valores de las medidas de los lados son números naturales positivos. Por ello se denomina también racional. Sin embargo, la característica de los números racionales hace que esta proporción sea también llamada conmensurable, ya que si se considera un rectángulo que pueda ser dividido en cuadrados no solapantes55, presenta una subdivisión exacta en cualquiera de sus sentidos, que es indicativo de que es medible fácilmente, como en el rectángulo de la figura 12.7. Con esta base, un rectángulo es conmensurable o se puede medir, cuando al dividirlo en unidades repetitivas es posible una medida simultánea y completa de los dos lados del rectángulo. El ejemplo particular de este tipo de proporción es el diseño mediante mallas ortogonales cuadradas, utilizadas con mucha frecuencia y en donde los elementos siempre coincidirán con los puntos nodales de la malla. 55

242

Un elemento es solapante cuando se superpone parcialmente sobre otro.

Sistemas geométricos de proporcionalidad

Figura 12.7

LA PROPORCIÓN DINÁMICA. La característica de esta proporción es el tener como cociente proporcional un número irracional positivo. Es por esto que se denomina también proporción irracional o inconmensurable, dada su dificultad para realizar la medida simultánea de las coincidencias de una misma unidad repetitiva. En conclusión, esta proporción está determinada por un número irracional del tipo . Las propiedades principales de esta proporción se establecen así: 1. Los rectángulos que se encuentran en proporción pueden formar una serie autogenerable. Con base en la construcción seriada de rectángulos con la medida de la diagonal de cada uno, puede construirse una serie de rectángulos que se encuentra siempre en proporción , como se aprecia en la figura 12.8.

Figura 12.8

De la misma manera, se puede construir una serie autogenerable del tipo , partiendo de un triángulo rectángulo isósceles o equivalente a 243

Capítulo 12

la mitad de un cuadrado de lado igual a 1, siguiendo un proceso como el que se aprecia en la figura 12.9.

Figura 12.9

2. Un rectángulo en proporción puede ser dividido siempre en un número n de rectángulos recíprocos interiores, cuya proporción siempre será igual a la del original, lo cual puede verse en la figura 12.10.

Figura 12.10

3. Cualquier rectángulo en proporción se puede subdividir en un número indefinido de rectángulos menores de la misma proporción. En este caso, la unión de los vértices determina una espiral de lados rectos. La figura 12.11. muestra un ejemplo de la subdivisión seriada de un rectángulo en proporción .

244

Sistemas geométricos de proporcionalidad

Figura 12.11

4. En todo rectángulo de proporción se cumple el teorema de Pitágoras a partir del triángulo construido con su diagonal.

Figura 12.12

245

Capítulo 12

5. En efecto, si los catetos son 1 y , la diagonal del rectángulo será , cuyo cuadrado es igual a la suma de los dos catetos. En la figura 12.12. se aprecia que:

12.4. Ejercicios propuestos 1. Juan Sebastián Bach, a partir de los estudios de las proporciones en las estructuras de las notas musicales de Pitágoras, creó la denominada gama bien temperada, en la cual existe una proporción especial entre cada una de las notas de la octava musical. Mediante consulta personal, realice un estudio de la proporción existente en el conjunto de las notas de una octava, dentro de la gama bien temperada. 2. Analice y explique si un rectángulo que se encuentra en proporción racional puede poseer lados en proporción irracional. 3. Dibuje una malla rectangular en la que se permita trabajar modularmente en proporción. 4. A partir de la propiedad # 3 de la proporción, dibuje un rectángulo de proporción y dibuje una espiral recta. Con esta base, analice las relaciones existentes entre los trazos de la espiral y, de la misma manera, analice lo que sucede cuando se construye una espiral curva. 5. Mediante un estudio geométrico formal, explique por qué la proporción existente entre los volúmenes de dos cilindros generados por la rotación alrededor de los ejes geométricos (horizontal y vertical), es igual a la proporción del rectángulo.

246

Capítulo 13

Proporción Áurea

13.1. Introducción Es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera. Hace falta una relación entre ellas que los ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo. La suma de las partes como todo es la más perfecta relación de proporción.

PLATÓN

Desde la antigüedad el hombre ha tratado de comprender los fenómenos del mundo que lo rodea a través del estudio detallado de cada uno de ellos. Para esto los ha relacionado con la matemática y en forma especial con la geometría. Desde un comienzo, cuando el hombre se preguntó por el mundo, buscaba en aquellos elementos que la naturaleza misma le proporcionaba a diario, la explicación a los fenómenos claramente particulares que permanentemente estaba observando. Encontró estos fenómenos inexplicables para él, llegando en muchos casos a convertirlos en dioses56 y así, adora el trueno, el sol, la luna, la lluvia, etc., de acuerdo con el nivel de temor que le causen o de utilidad que le proporcionen a su vida. Sin embargo, continúa buscando sobre todo las causas de los fenómenos y trata de darles una explicación. 56 En muchos casos el ser humano convierte en deidad a todo aquello que no comprende por sí mismo.

247

Capítulo 13

El estudio de las formas geométricas en los objetos naturales llevó al hombre a encontrar un sinnúmero de propiedades matemáticas que poco a poco le fueron llevando a cambiar su interpretación de la divinidad o a llevar a otros niveles dicha divinización. Este es el caso de Pitágoras (587 - 507 a.C.), para quien la mónada, o sea el UNO (1), es equivalente a Dios, tal como lo expresa Hatt: MÓNADA, llamada así porque permanece siempre en su misma condición, esto es, separada de la multitud. Sus atributos son los siguientes: se llama mente, ya que la mente es estable y tiene superioridad; hermafroditismo, pues es tanto macho como hembra; par e impar, debido a que sumado a un par produce a un impar y al impar, un par; Dios, porque es principio y fin de todo, pero en sí mismo no es principio ni fin; bondad, pues así es la naturaleza de Dios; la fuente de la materia, al producir la dúada, la cual es la esencia material.57

Sería el mismo Pitágoras quien a partir de sus estudios al interior de su Sociedad Pitagórica, descubriría que las diferentes partes que son generadas a partir de la construcción de un pentágono regular, mantienen una relación constante, cualquiera que sea su tamaño. 57 Hatt, Manly P. “Las enseñanzas secretas de todos los tiempos” Pg. 72. 1994. Traducción libre del autor. 248

Proporción Áurea

Esta propiedad la denominó proporción dorada, y es por ello que la estrella pentagonal regular (pentáculo) que se genera a partir de la construcción de las diagonales del pentágono, polígono que se encuentra en proporción áurea, sería el símbolo secreto que identificaría a los miembros de dicha sociedad. Posteriormente, Euclides (300 - 265 a.C.) iniciaría el estudio de lo que denomina la subdivisión de un segmento en media y extrema razón y que daría pie para el desarrollo de esta propiedad por parte de personajes como Marco Polión Vitrubio (S. I d.C), que la relaciona con la proporción del cuerpo humano, Luca Paccioli (1445 - 1514) que lo estudió en su libro De Divinae Proportio, y Leonardo da Vinci, quien se basa en la teoría vitrubiana y desarrolla su estudio sobre el hombre de Vitrubio.

Esta proporción ha sido profundizada a través de los años por un sinnúmero de estudiosos, matemáticos y geómetras, que han llegado a conclusiones muy particulares, especialmente en su relación con los estudios de la naturaleza. Estos principios, como en los primeros tiempos, han llegado a ser utilizados en el diseño de formas y de elementos cotidianos para el uso humano. 249

Capítulo 13

Sin embargo, esta proporción, observada en forma diferente a la matemática y a la geometría, tiene igualmente una relación directa con la apreciación de la belleza, esto es, de la euritmia de los objetos, naturales o creados, la cual, como lo expresa Lawlor58 es la geometría de la percepción. Quiere decir esto que los sentidos reaccionan en forma distinta y como respuesta a las diferencias de los objetos, ya sean geométricas o proporcionales, en forma no cuantitativa, de acuerdo con los estímulos que esté recibiendo. Esta manera de apreciar los objetos, posiblemente relacionada con el subconsciente, lleva a concluir que la proporción áurea logra crear en la mente de quien la aprecia u observa, un equilibrio entre sus elementos componentes o, lo que es lo mismo, es una preferencia estética innata en el ser humano.

13.2. La media y extrema razón

Uno de los conceptos geométrico-matemáticos que a lo largo de la historia de estas ciencias ha logrado despertar gran curiosidad, es la propiedad particular que se tiene al subdividir un segmento en dos partes desiguales. Ya se ha estudiado que la primera propiedad de la proporción es la de ser igual o mayor que uno: Por tanto, se entiende que al subdividir un segmento en dos partes hay dos formas de hacerlo: dividiéndolo en dos partes iguales, lo que daría una proporción igual a 1, y en dos partes desiguales, tal que la proporción se mantenga bajo los parámetros de esta propiedad. En el primero de los casos, como puede deducirse dentro de la lógica, esta proporción equivaldría a encontrar el punto medio de un segmento, al ser iguales cada una de las medidas. 58

250

Lawlor, Robert. Geometría Sagrada. Ed. Debate. 1996. Pg. 5.

Proporción Áurea

El segundo caso, que es el que interesa aquí, se debe apreciar teniendo en cuenta el principio de la desigualdad entre las partes, para que exista una proporción que sea diferente a 1. Por tanto, puede poseer dos connotaciones: • Que la relación entre las partes sea el resultado de una subdivisión en una razón de cualquiera de los dos tipos, estática o dinámica simplemente, de manera que el cociente de dicha razón sea, a su vez, un número racional o irracional. • Que la relación entre sus partes posea una constante de proporcionalidad entre todo el conjunto que se encuentra en el segmento. En la primera de ellas la subdivisión estará condicionada a una razón cualquiera, según sea la división, que será proporcional cuando esta misma razón exista en la división de otro conjunto; mientras que en la segunda exige que el conjunto en sí mismo sea proporcional, esto es, que a su interior todas sus partes cumplan con la igualdad de las razones entre ellas. Esta última forma es la que se denomina subdivisión de un segmento en media y extrema razón. La subdivisión en media y extrema razón puede expresarse así: Todo segmento queda dividido en media y extrema razón, cuando la medida del segmento total es a la medida de la subdivisión mayor, como la medida de la subdivisión mayor es a la medida de la subdivisión menor.

(como se aprecia en la Figura 13.1.)

251

Capítulo 13

Figura 13.1

Sin embargo, por sí misma, esta proporción no expresa mayor cosa si no se hace un análisis demostrativo de la potencia que posee su planteamiento. Para ello, se denomina la subdivisión mayor a y la menor b, de manera que la proporción expresada quedaría como o lo que es lo mismo La propiedad básica de la proporción indica que si no es igual, es mayor que 1. Por tanto, se requiere conocer el cociente entre la subdivisión mayor y la subdivisión menor. Si se llama reemplazando en la anterior igualdad, se tiene que lo cual se reduce a la ecuación de segundo grado:

que al ser resuelta muestra que la solución positiva es: cuyo valor número irracional, constante, que se denomina NÚMERO ÁUREO o NÚMERO DE ORO, identificado como , símbolo dado a este número a finales del siglo XIX, rindiéndole un homenaje a Fidias, quien 252

Proporción Áurea

utilizó esta proporción en la construcción del Partenón en Atenas, como se aprecia en la figura 13.2. De acuerdo con lo expresado, 59

Figura 13.2

13.3. Fibonacci

Leonardo de Pisa o Leonardo Pisano (1170 - 1250), más conocido como Fibonacci60 fue un matemático italiano, famoso por haber llevado a Eu59 El número dentro del trabajo corriente se aproxima a 1,618. 60 Guglielmo, padre de Leonardo, tenía por apodo Bonacci, por lo que póstumamente Leonardo recibió el apodo de Fibonacci (filius Bonacci, hijo de Bonacci).

253

Capítulo 13

ropa la notación numérica india que tiene como base 10, erróneamente llamada arábiga. El estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos, lo llevó a descubrir la serie numérica, que se conoce como serie de Fibonacci61. Esta serie numérica es una serie recurrente, cuya definición está dada por la relación en la que se observa que un término de la serie es igual a la suma de los dos anteriores. Si , los primeros términos de la serie serán:

Sin embargo, hasta aquí no tiene nada especial esta serie. Una de las propiedades más conocidas, y la cual la ha hecho famosa, es que a lo largo de la misma, la razón entre dos de sus términos consecutivos, tiende a : Esta tendencia tiene además la particularidad de que si un término se acerca al límite por encima de , el siguiente lo hará por debajo. Finalmente, es importante expresar que esta sucesión se encuentra con mucha frecuencia en la naturaleza, como en los casos del crecimiento de los elementos florales del centro de la flor del girasol, el de las escamas que forman la superficie de las piñas, en las espirales de los frutos del pino, el crecimiento de las ramas o de las hojas de muchas plantas; así mismo, en las leyes de Mendel de la herencia, además de la reproducción de los conejos, ya expresada.

13.4. El Pentágono regular

El pentágono regular, como se sabe, es el polígono que posee cinco lados iguales, como se observa en la figura 13.3. 61

indios.

254

Se dice que antes de Fibonacci ya había sido descubierta por matemáticos

Proporción Áurea

Las propiedades geométricas básicas, como las de cualquier polígono regular, son las siguientes:

Figura 13.3

• Aplicando la fórmula de la suma de los ángulos internos, en un pentágono es igual a . Por tanto, si los ángulos internos son iguales, cada uno valdrá . • Como los lados son iguales, al estar inscrito en una circunferencia, estos son cuerdas, por lo que los arcos que ellas determinan son iguales, lo cual, a su vez, implica que los tres ángulos son iguales. Cada uno de ellos mide 72°. • Al trazar las diagonales del pentágono regular se forma un pentagrama, pentáculo o estrella pentagonal62. 62 La estrella formada por las diagonales de un polígono es denominada polígono estrellado.

255

Capítulo 13

Las propiedades particulares de esta figura, se encuentran relacionadas directamente con la proporción áurea63. La proporción entre la longitud de las diagonales o líneas del pentagrama y los lados del pentágono, es igual a . De la misma manera, se pueden relacionar entre sí los diferentes elementos del polígono estrellado, para concluir que su relación es igual a

Figura 13.4

Si se observa la figura 13.4., que representa un pentágono regular que tiene inscrito un pentágono regular estrellado o pentáculo, se demuestra que AC:AB = AB:AG = AG:GH = o lo que es lo mismo, la relación existente entre el lado del pentágono estrellado o diagonal del pentágono y el lado del pentágono, es igual a 1,618 o número áureo. Por otra parte, la estrella pentagonal se compone de cinco triángulos isósceles con ángulos de 36° 64, figuras que forman parte de los diseños de un buen número de rosetones utilizados en las obras catedralicias del gótico. Las propiedades de la estrella pentagonal, hicieron que los pitagóricos sublimizaran el pentágono y principalmente el pentagrama, entre todas 63 Esta estrella es denominada también Pitagórica, debido a que fue Pitágoras quien descubrió sus propiedades a partir del estudio del pentágono. Por esta razón fue utilizada por la sociedad pitagórica, como símbolo o clave secreta de identificación.

64 El triángulo isósceles, cuyo vértice superior mide 36º se ha denominado sublime. 256

Proporción Áurea

las figuras planas. Por esta razón fue su emblema simbólico, la contraseña de reconocimiento entre los integrantes de la secta pitagórica, símbolo universal de perfección, de belleza y amor, que aún hoy en día se reconoce mundialmente, bajo estos parámetros. Aunado a lo anterior, otra figura que aparece en el interior del pentágono fue asumida por los griegos para el diseño de copas especialmente construidas para rendir homenaje a los dioses por intermedio de sus sacerdotes. La llamada taza de oro, es el resultado de la construcción de tres diagonales particulares dentro de un pentágono regular65.

Figura 13.5

Su construcción parte de dibujar un pentágono regular ABCDE, como el de la figura 13.5., y se trazan las diagonales AD, BE y BD, se estará conformando el perfil de la copa, cuyos elementos están en relación áurea.

Se dice que esta figura fue utilizada también en Egipto, en Babilonia y, que encontrada por los cruzados en Bizancio, fue utilizada por plateros de Occidente.

257

Capítulo 13

Figura 13.6

La subdivisión de un pentágono regular, produce un decágono regular, en el cual la relación entre su lado y el radio, así como entre el lado del decágono estrellado y el radio correspondiente, producen siempre una relación igual a . El decágono se utilizó en varias obras templarias66 como en el caso de las plantas del templo de Minerva Médica del Siglo IV (figura 13.6.), en Roma y el Mausoleo de Teodorico, en Rávena, del arte bizantino del Sigo VI (figura 13.7.).

Figura 13.7

66 El término templario hace referencia a todo aquello que tenga relación con los templos. 258

Proporción Áurea

13.5. Construcciones áureas Lo expresado en el punto anterior plantea la existencia de una demostración matemática de la proporción áurea. Sin embargo, es importante partir de la subdivisión de un segmento en media y extrema razón, como construcción geométrica, para comprobar su existencia.

Figura 13.8

Así, si se requiere subdividir el segmento de la figura 13.8., en media y extrema razón o proporción áurea, se dibuja el segmento dado y en uno de sus extremos se traza un segmento perpendicular cuya medida sea igual a . A partir del extremo D, se traza la línea , conformándose el triángulo rectángulo ABD. Se procede con el compás, tomando como radio y llevándolo a la hipotenusa del triángulo en E. De nuevo con el compás, se lleva la medida hasta la base (segmento original), en el punto C. Este punto será el que indicará la relación Para comprobar que lo anterior se encuentra en proporción áurea, basta con hacer , de donde se deduce que de donde,

259

Capítulo 13

La relación por comprobar es entonces: Asumiendo los valores anteriores, se tiene: Ahora bien, otra construcción áurea de suma importancia para la aplicación de esta proporción en el diseño, es el rectángulo áureo. Para ello, se parte de un cuadrado ABCD, ya que su proporción es 1:1, como se puede ver en la figura 13.9. La medida de la semidiagonal , tomada a partir del punto medio E del lado se lleva con el compás hasta el punto G sobre la prolongación de la base del cuadrado. Se traza perpendicularmente por este punto, un segmento que se corta en F con la prolongación del lado superior del cuadrado. Queda así determinado el rectángulo áureo.

Figura 13.9

Como en el caso anterior, para comprobar dicha proporción se halla la medida de la semidiagonal , que es igual a:

260

Proporción Áurea

de donde la medida de la base del rectángulo será:

Figura 13.10

Por ampliación, como en la figura 13.10., esta construcción puede ser realizada hacia cualquiera de los lados del cuadrado, o plantearse en forma simultánea para 2 ó 4 lados, produciéndose figuras áureamente conformadas. TRIÁNGULOS ÁUREOS. En la parte correspondiente al estudio de los triángulos se vio que todo rectángulo puede ser dividido, mediante el trazo de una de sus diagonales, en dos triángulos rectángulos congruentes. Por tanto, a un rectángulo áureo se le puede trazar una diagonal, quedando dividido en dos triángulos áureos congruentes, ya que en el triángulo ADG que se observa en la figura 13.11.,

261

Capítulo 13

y son los catetos de uno de los dos triángulos. Por tanto, al ser congruentes, el triángulo AFG estará también en proporción áurea. En conclusión, para que un triángulo rectángulo esté en proporción áurea, deberá tener las medidas de sus catetos en relación .

Figura 13.11

Sin embargo, un triángulo isósceles puede estar igualmente en proporción . En el punto dedicado al pentágono regular se pudo observar que las diversas partes en las cuales sus diagonales subdividen la figura, se encuentran áureamente relacionadas; por esta razón, las puntas de la estrella pentagonal formada estarán independientemente en proporción áurea. Este triángulo, como se aprecia en la figura 13.4., es semejante al formado por las dos diagonales del pentágono que parten de un mismo vértice.

Figura 13.12

262

Proporción Áurea

Así, para la construcción de un triángulo isósceles áureo se procede a dibujar un triángulo cuyas medidas angulares sean 36° en el vértice y 72° en cada uno de los ángulos basales, como se aprecia en la figura 13.12. Un segundo caso de triángulo áureo es el de 72° en el vértice y 54° en los ángulos basales. PENTÁGONO REGULAR. Para una de las construcciones áureas del pentágono regular (ver figura 13.13.) se parte de un cuadrado de lado 1; se construye el segmento áureo , de manera que por el método expuesto anteriormente. Con centro en B’ se prolonga el arco BD hasta C’.

Figura 13.13

Con centro en C se traza el arco OC’, de tal manera que el segmento es el lado del pentágono regular y el segmento es su diagonal, elementos que están en relación . 263

Capítulo 13

Sin embargo, la construcción más conocida se basa en un procedimiento que incluye la subdivisión en media y extrema razón de un segmento, siendo su medida mayor la que va a formar el lado del pentágono regular inscrito en una circunferencia. (Ver figura 13.14.). Para esto, se trazan los diámetros conjugados de la circunferencia O, y ; se halla el punto medio del radio y se construye con centro en él, el arco CF. Se hace, a continuación, centro en C, y con radio CF se traza el arco FG, siendo G el punto de corte en la circunferencia. El segmento es el lado del pentágono, el cual, repetido secuencialmente con el compás, conformará finalmente el pentágono regular buscado.

Figura 13.14

ELIPSE ÁUREA. Para la determinación de una elipse que se encuentre en proporción áurea, se requiere que sus dos ejes se encuentren en relación . En esta forma, al cumplir con esta condición, los ejes de un rectángulo áureo pueden ser utilizados en forma fácil para construir la elipse deseada, como se puede ver en la figura 13.15. 264

Proporción Áurea

Figura 13.15

ESPIRALES ÁUREAS. Como se vio en la parte II, capítulo 2, una espiral áurea normal responde a su inclusión, tanto en un rectángulo áureo, como en la secuencia de rectángulos recíprocos construidos a su interior. Por tanto, para su construcción se procede así: Partiendo del rectángulo áureo, se construye una diagonal con su respectiva perpendicular desde otro de los vértices, pudiéndose así construir la serie de rectángulos recíprocos que se deseen. Haciendo centro de compás en los vértices de los cuadrados formados, siguiendo el mismo sentido, se construyen los arcos correspondientes a un cuadrante de circunferencia, tal como se aprecia en la figura 13.16.

Figura 13.16

La espiral áurea también puede ser construida a partir de un triángulo áureo, como el caso del triángulo isósceles con ángulos 72º / 36º / 72º.

265

Capítulo 13

Figura 13.17

Para lo anterior y a partir del triángulo áureo, se procede a construir sendos triángulos áureos recíprocos, con base en las bisectrices secuenciales uno de los ángulos de 72°. En esta forma, se logra una secuencia descendente de triángulos isósceles de 36° / 144° / 36°, cuyos vértices superiores van a servir de centro de los arcos de circunferencia que van a conformar la espiral, como puede verse en la figura 13.17. Finalmente, la denominada espiral áurea recta, tiene igualmente como base el mismo rectángulo, el cual se ha subdividido en rectángulos recíprocos, como en la espiral áurea normal. En este caso, en lugar de construir arcos de circunferencia, se construyen diagonales secuencialmente, las que irán conformando la susodicha espiral, como se puede observar en la figura 13.18.

Figura 13.18

266

Proporción Áurea

13.6. Ejercicios propuestos

1. Dado un rectángulo R1 de lados a y b, se forma el rectángulo R2 de lados a, a + b y así sucesivamente los rectángulos Rn (por construcción recíproca) y sus lados son dos términos de la sucesión de Fibonacci. Entonces, la sucesión de rectángulos Rn tiende a rectángulos en proporción áurea. A partir de la propiedad anterior y teniendo como punto de partida un cuadrado de 3 cm de lado, compruebe en cinco rectángulos: • Que cada uno está en proporción • La serie de Fibonacci que se genera, como serie que tiende a proporción . Construya gráficamente los cinco rectángulos y mostrar el proceso matemático de comprobación. 2. Se va a diseñar un monumento en forma de muro rectangular, el cual necesariamente deberá estar en proporción áurea. Teniendo en cuenta que la altura máxima para la observación del punto más alto del monumento debe ser igual a la altura media de una persona, más 0.50 m, calcule las medidas del muro. Además de lo anterior, el monumento deberá contener en su superficie una placa rectangular, igualmente en proporción áurea, tanto en sus medidas propias como en su ubicación sobre la superficie. Como esta placa deberá tener una dimensión mínima de 0.55 m, realice el estudio, tanto de sus medidas finales, como de su localización. Igualmente, se deberá ubicar áureamente, una forma geométrica que como símbolo, presente jerarquía en la composición. 3. Teniendo en cuenta el proceso geométrico normal para el diseño y construcción de un rectángulo áureo, realice el siguiente ejercicio: a) Construya un rectángulo áureo con base en un cuadrado de 0,10 m de lado. 267

Capítulo 13

b) A partir del rectángulo construido, mediante el proceso de subdivisión en rectángulos recíprocos, construya una espiral curva, con un mínimo de 10 elementos. c) Teniendo la espiral construida, calcule: • La longitud parcial de cada elemento. • La longitud total de la espiral • La proporción de a dos en dos, para cada grupo de elementos • La proporción de la longitud total con respecto a cada elemento parcial. d) Realice, a partir de los dos últimoS puntos, un análisis de la existencia o no de la proporción áurea. 4. Diseñe una estructura cuya distribución interior y exterior esté repartida en proporción áurea. Para lo anterior deberá realizarse lo siguiente: a) A partir de una base de trabajo, trace una malla basada en la subdivisión de un rectángulo en proporción áurea, teniendo como principio de trabajo un cuadrado, si se desea. Esta malla deberá poseer los principios de composición básica. b) A partir de la malla anterior, construya una estructura que responda tridimensionalmente al mismo concepto de subdivisión áurea. c) Dentro de la estructura ya diseñada y construida, deberá tener en cuenta la forma y la proporción de los elementos componentes, de acuerdo con las distancias entre ellos. 5. Teniendo como punto de partida la serie de Fibonacci y basado en cuadrados y rectángulos que sigan esta serie, construya una espiral proporcionada áureamente. Para lo anterior, se procede en la siguiente forma: A partir de la serie de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…, construya rectángulos sucesivos que a su vez configuren un rectángulo mayor, cuyas medidas sean dos últimos núme-

268

Proporción Áurea

ros de la serie, teniendo en cuenta que los rectángulos intermedios deberán ser también números de la misma serie. Con base en lo anterior y haciendo centro de compás en los vértices de los cuadrados respectivos que han sido generados, construya una espiral que concluya en uno de los vértices del rectángulo mayor. 6. El siguiente ejercicio se sugiere trabajarlo en compañía de otra persona. a) Encuentre las medidas del cuerpo de una de las personas de acuerdo con los siguientes parámetros: • Medida de la altura total del cuerpo desde la planta de los pies hasta la tangente craneana. • Medida del ombligo hasta la planta de los pies. • Medida desde el ombligo hasta la tangente craneana. • Distancia entre el eje horizontal de las rodillas hasta la planta de los pies. • Distancia entre las puntas de los dedos con las manos extendidas y con los brazos extendidos horizontalmente (90º con el eje vertical del cuerpo). • Altura total con el cuerpo vertical, desde la planta de los pies hasta el extremo de la mano derecha extendida, con el brazo levantado verticalmente. • Altura, con el cuerpo vertical, desde la planta de los pies hasta la mano derecha extendida a 45º al frente. • Altura desde el piso hasta el extremo de los dedos, con las manos extendidas al frente, con la persona sentada. • Altura desde el piso hasta el eje de los codos, con la persona sentada. • Distancia entre la tangente craneana y la tangente a la mandíbula (medida de la cara). • Distancia horizontal entre los ejes verticales de los extremos de las orejas. 269

Capítulo 13

• Medida entre la tangente craneana y la base de la nariz. • Distancia entre la base de la nariz y la tangente a la mandíbula. • Medida entre el eje horizontal de los ojos y la tangente craneana. • Distancia entre el eje horizontal de los ojos y la tangente a la mandíbula. • Distancias parciales entre los ejes verticales de los ojos y los ejes verticales de los extremos de las orejas • Distancia del hombro al centro del codo (ambos brazos). • Distancia entre el centro del codo y el extremo de los dedos con la mano extendida (ambos brazos). • Medida de las falanges de los dedos (para cada uno de los dedos de la mano). b) Las anteriores medidas, deberá llevarlas a un cuadro en donde exprese en forma clara las medidas de la persona. c) A partir del cuadro anterior, deberá realizar un nuevo cuadro en donde se muestre la relación de todas y cada una de las medidas; para ello divida la dimensión mayor por la menor. d) En un nuevo cuadro, deberá analizar la forma como se relacionan las medidas obtenidas con respecto al número . e) Finalmente, deberá concluir con un análisis del resultado obtenido.

270

Capítulo 14

Preservación de la Forma

Hasta ahora se han trabajado los conceptos relacionados con las propiedades que tienen las figuras en el plano o en el espacio, esto es, con su forma original. Se requiere entonces, apreciar lo que sucede cuando se efectúan transformaciones que dejan invariantes las formas de las figuras, o lo que es lo mismo, que dejan invariantes los ángulos, pero el tamaño de las figuras cambia.

Figura 14.1

Para ello, se estudiarán a continuación las isometrías en el plano que preservando la forma, transforman la medida. Estas isometrías se denominan Homotecias y Semejanzas. 271

Capítulo 14

14.1. Homotecias y semejanzas Se considera homotecia a la trasformación geométrica que partiendo de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Como tal es una ampliación. En el plano, una homotecia es una transformación de las medidas en sí mismas de tal manera que una recta y su homóloga son paralelas. Por tanto, las homotecias conservan ángulos o, lo que es lo mismo, una homotecia no forma imágenes congruentes, como se observa en la figura 14.1. Las homotecias se caracterizan porque:

1. Los ángulos de las figuras homotéticas son iguales al tener la misma medida. 2. Todos los segmentos de ellas son paralelos, unos con respecto a otros. 3. Las medidas de dos figuras homotéticas son proporcionales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia67. Cuando las figuras no cumplen con la propiedad de tener segmentos paralelos, se las considera como figuras semejantes; si cumplen con todas las propiedades se les denomina figuras homotéticas. Sin embargo, dentro del trabajo geométrico clásico, estas dos formas son consideradas como sinónimas, siendo utilizada la primera en forma más corriente, debido a que la segunda es una forma de expresión de tipo más llevado hacia la geometría vectorial.

14.2. La escala

Como se ha expresado, el término escala hace referencia a la constante proporcional de una homotecia utilizada cuando se está realizando este tipo de transformación en una figura. No obstante, al ser una constante proporcional, se puede expresar como la comparación entre dos magnitudes, entre la magnitud de una figura original y la de la figura transfor67

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La constante de homotecia se conoce corrientemente como ESCALA.

Preservación de la forma

mada, que igualmente puede ser considerada como el multiplicador que produce la ampliación de la figura68. En la práctica cotidiana del diseño, la escala se considera que está expresando dos tipos de medidas o magnitudes, una que generalmente corresponde a la unidad en la cual se está trabajando un dibujo o proyecto, y otra correspondiente a la que tendrá este dibujo o proyecto cuando sea llevado a la realidad. La escala, por ser equivalente a una razón, tiene varias formas de representación. Por tanto, se puede expresar mediante las dos cantidades separadas por dos puntos como 1:25; mediante una fracción que contenga los dos valores como 1/25; utilizando una barra diagonal o “slash” como 1 / 25, o mediante el uso del valor de la constante proporcional como 0,04. Para la medida de escalas se utiliza el instrumento denominado escalímetro, que popularmente consiste en una regla cuya sección transversal tiene forma prismática triangular con el objeto de tener diferentes escalas en la misma regla, como se observa en la figura 14.2. Sus tres bordes contienen diferentes escalas calibradas y es suficiente hacerlo girar sobre su eje longitudinal para ver la escala apropiada.

Figura 14.2

68 La reducción se considera como una ampliación negativa, al resultar una proporción menor que 1.

273

Capítulo 14

Además del escalímetro triangular, existen algunos modelos de uso práctico, como pueden ser, entre otros, el escalímetro triangular reducido, igual al anterior, pero cuyo tamaño oscila alrededor de 10 cm de longitud, lo que lo hace fácil de transportar; el escalímetro de abanico, el cual consta de varias regletas delgadas, cada una con dos escalas y que puede cargarse dentro del bolsillo, si se desea, como el que muestra la figura 14.3. y el escalímetro hexagonal o prismático, que consta de 6 bordes que contienen a su vez un total de 12 escalas diferentes. Este instrumento es muy escaso en la actualidad.

Figura 14.3

14.3. Relaciones de semejanza Tanto la homotecia como la semejanza coinciden en la relación proporcional entre las diferentes figuras o formas que se estén comparando, su diferencia básica es la posición de una con respecto a la otra, en el momento de hacer la comparación. Por tanto, es necesario comprender desde el punto de vista geométrico, el conjunto de características que deben poseer las figuras para ser semejantes. SEGMENTOS PROPORCIONALES. Teniendo en cuenta el hecho de poder trazar en un triángulo cualquier segmento recto, se pueden considerar las siguientes particularidades: 1. Un segmento recto que es paralelo a un lado de un triángulo, divide a los otros dos proporcionalmente.

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Preservación de la forma

En la figura 4.4., a y , así:

. Por tanto divide proporcionalmente

Figura 14.4

De lo anterior se deduce que si una línea divide proporcionalmente dos lados de un triángulo, ésta es paralela al tercer lado.

Figura 14.5

2. Tres o más paralelas dividen proporcionalmente a dos transversales cualesquiera. En la figura 4.5. se aprecia que , se tendrá: 275

Capítulo 14

Figura 14.6

3. La bisectriz de un ángulo de un triángulo, divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes. Así, en la figura 4.6. se tiene que es bisectriz del ∠C y por tanto: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. Por ser el triángulo la forma geométrica poligonal más simple, es importante analizar sus propiedades de semejanza, para aplicarlas a cualquier otro polígono. Teniendo en cuenta que dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma y medidas proporcionales, se tienen las siguientes dos propiedades: • Los ángulos correspondientes son congruentes. • Los lados correspondientes son proporcionales. Por tanto, dos triángulos son semejantes cuando: 1. Tienen dos ángulos congruentes respectivamente con dos ángulos del otro. 2. Un ángulo de uno es congruente con un ángulo del otro y los lados incluidos son proporcionales. 3. Sus lados correspondientes son proporcionales. 4. Sus lados respectivos son paralelos entre sí, lo cual se corresponde con la homotecia. 5. Sus lados respectivos son perpendiculares entre sí.

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Preservación de la forma

Además de lo expuesto, se deben considerar los siguientes principios: • Toda línea paralela a un lado de un triángulo, forma un triángulo semejante al triángulo inicial. • Dos triángulos rectángulos son semejantes si un ángulo agudo de uno de ellos es congruente con un ángulo agudo del otro. • La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, divide a éste en dos triángulos semejantes al triángulo inicial y semejantes entre sí. • La longitud de la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la longitud de los segmentos de la hipotenusa. • En un triángulo rectángulo, la longitud de cualquier lado es la media proporcional entre las longitudes de la hipotenusa y la longitud de la proyección de ese lado sobre la hipotenusa. • En todo triángulo rectángulo de ángulos 30° - 60° - 90°, la longitud del lado opuesto al ángulo de 30° es igual a la longitud de la hipotenusa. Así mismo, la longitud del lado opuesto al ángulo de 60º es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa, multiplicada por y es igual a la longitud del lado opuesto al ángulo de 30° multiplicado por . • En todo triángulo rectángulo de ángulos 45° - 45° - 90°, la longitud del lado opuesto al ángulo de 45° es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa, multiplicada por . Así mismo, la longitud de la hipotenusa es igual a la longitud de un lado, multiplicada por . • En todo triángulo equilátero, la longitud de su altura es igual a la mitad de la longitud de un lado multiplicada por . Con la aplicación de estos principios, pueden considerarse los casos de semejanza de todos los triángulos. De la misma manera, puesto que todo polígono (regular o irregular) se puede triangular, estos casos de semejanza pueden ser aplicados a cualquiera de ellos. 277

Capítulo 14

14.4. Autosemejanza Las figuras semejantes a sí mismas o autosemejantes, pueden visualizarse en términos muy generales mediante un objeto o figura geométrica que a su vez está compuesta de formas más pequeñas, cada una de las cuales es idéntica a la original pero más pequeña; y cada una de estas figuras más pequeñas se compone de otras figuras aún más pequeñas también idénticas a la figura inicial y así sucesivamente, hasta el infinito. Este concepto involucra la idea de semejanza que se ha trabajado aquí, esto es, que dos figuras son semejantes si tienen exactamente la misma forma pero tamaños proporcionales.

Figura 14.7

La naturaleza con frecuencia posee formas que de cierta manera implican la autosemejanza. Tal es el caso de algunos vegetales como el brócoli, la coliflor y los helechos. Esto se puede apreciar en las figuras 14.7. y 14.8.

Figura 14.8

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Preservación de la forma

La autosemejanza tiene como base el concepto de transformación de la semejanza, esto es, aplica una escala aumentando o disminuyendo el tamaño. A la figura obtenida se le aplica una rotación respecto a algún centro dado, y en el espacio se dice en qué plano y en qué dirección tiene que rotarse la figura. Finalmente se desplaza la figura que se obtuvo sin cambiar su tamaño ni girarla o rotarla. Se obtiene así una figura en la que todos sus ángulos son iguales a los de la figura original, se preservan las proporciones internas, y lo único que cambia es el tamaño y la disposición en el plano o en el espacio. Una figura autosemejante es, entonces, una figura que se puede descomponer en figuras más pequeñas, cada una de las cuales es semejante a la figura original.

14.5. Noción de fractal

Un fractal69 es una figura geométrica caracterizada por la repetición de una estructura básica en diferentes escalas. Los fractales generalmente son generados por un proceso iterativo70 que produce estructuras autosemejantes en forma independiente de la escala específica, presentando estructuras geométricas que combinan la irregularidad con la misma estructura, como en el ejemplo de la figura 14.9.

Este término fue dado a este tipo de figuras por el matemático polaco Benoît Mandelbrot en 1975. 70 Una iteración es la repetición de algo una cantidad infinita de veces.

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Capítulo 14

Figura 14.9

Muchas formas naturales tienen estructuras aparentemente de tipo fractal y sin embargo son más estructuras autosemejantes que fractales. Los llamados fractales de la naturaleza como son las nubes, las montañas o los vasos sanguíneos, entre otros, se encuentran limitados inferior y superiormente en cuanto a sus detalles; no pueden definirse como demasiado irregulares. Los verdaderos fractales están relacionados con la teoría del caos71, por ser totalmente aleatorios. Matemáticamente los fractales son elementos que poseen alguna de las propiedades siguientes: • Tienen detalles en escalas aleatoriamente pequeñas. • Por su irregularidad no pueden ser expresados en términos de la geometría clásica. • Poseen autosemejanza total. • Pueden ser definidos iterativamente. Esto quiere decir que los fractales se generan a través de iteraciones de un patrón fijo. 71 Rama de las matemáticas y la física que estudia ciertos sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales.

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Preservación de la forma

Figura 14.10

La figura 14.10., conocida como el Copo de Nieve de Koch, se forma a partir de un triángulo equilátero al cual se le dividen sus lados en tres partes iguales, de forma tal que en los tercios medios se colocan otros triángulos semejantes al primero. Esta iteración, en un alto grado de complejidad, se asemejará a una circunferencia, ya que los triángulos se irán colocando infinitamente. Esto muestra el concepto de área finita y perímetro infinito. Sin embargo, los fractales son también números ya que la iteración de un número complejo simple puede traducirse en operaciones matemáticas. Un resultado de procesos matemáticos puede apreciarse en la figura 14.11.

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Capítulo 14

Figura 14.11

• Un fractal se caracteriza porque su área o superficie es finita, es decir, tiene límites, mientras que, paradójicamente, su perímetro o longitud es infinita, es decir, no tiene límites. • Un fractal puede estar conformado por una serie de circunferencias que se coloquen una sobre el radio de la otra como si fuera su diámetro y así infinitamente. El área sería siempre semejante o aproximada a la de la circunferencia mayor, pero su longitud, consideradas no como figuras independientes sino como una sola, sería infinita. La teoría de los fractales se ha utilizado, entre muchas cosas, en la ingeniería de sistemas para la compresión de datos y en la compresión de imágenes basándose en encontrar las transformaciones lineales que hacen que al aplicarlas reiteradas veces se obtenga una imagen procesada. Lamentablemente, aún siguen siendo de tiempo asimétrico, es decir, se tarda aún mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen, como en el caso de la compresión JPEG en el trabajo de imágenes mediante computador. 282

Preservación de la forma

Formas cercanas a los fractales como son las mencionadas como autosemejantes, se encuentran con mucha frecuencia en la biología, junto con las simetrías y las espirales, como formas sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia que producen saltos en las conformaciones biológicas, posibilitando hechos extraordinarios que generan nuevas formas mucho más complejas. Los casos de algunas hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, son ejemplos de ello. Sin embargo, no es lo mismo una hoja, que una rama o un árbol, ya que cualitativamente son diferentes.

14.6. Ejercicios propuestos 1. Una persona desea saber cuál es la altura de una torre que encuentra en su ciudad. posee solamente un espejo y una cinta métrica entre sus objetos personales y una vara recta que está cerca de donde se halla. Se plantea entonces tres formas que le permiten comprobar que la altura encontrada por cualquiera de los tres métodos es la misma. Explicar cuáles son los tres métodos que la persona utilizó para encontrar la altura de la torre. 2. Hacer un análisis geométrico del fenómeno óptico que se produce cuando se proyecta una diapositiva sobre una pantalla, en el cual la imagen proyectada es semejante al objeto que se encuentra en la diapositiva. Puede estudiarse el mismo fenómeno, a partir del uso de un episcopio. 3. Construir un rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 25 cm y construir otro que sea semejante y cuyo perímetro sea el del anterior. 4. Construya un hexágono regular que esté inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio. Dentro del hexágono dibujar una malla o retícula regular, mediante líneas que en conjunto sean capaces de generar nuevos hexágonos regulares. Teniendo en cuenta la re283

Capítulo 14

tícula, produzca formas continuas, cíclicas, de tal manera que el concepto de fractal no se pierda y aparezcan debidamente compuestos. Pueden ser utilizadas formas lineales, llenos o vacíos, incluyendo color, de tal manera que se definan las líneas, conjuntos o subconjuntos de la respuesta. 5. Realice la construcción del denominado Triángulo de Sierpinski72. Para el proceso, deberá partir de un triángulo equilátero de 15 cm de lado, dividiéndolo en una primera etapa, en triángulos iguales, a partir de los puntos medios de cada lado. Repita el procedimiento en etapas sucesivas, dividiendo cada uno de los triángulos que se forman, tal como en la primera subdivisión, hasta completar 7 pasos o etapas. Finalmente se deberá hacer el análisis de la relación de las áreas en cada una de las etapas de subdivisión y estudiar las relaciones de proporcionalidad que se encuentren en los elementos construidos, así como la progresión que se forma con las mismas etapas. 6. Dos puntos P y Q a un mismo lado de un río, son inaccesibles. Son visibles desde un solo punto A situado al lado opuesto del río. Desde cualquier otro punto, de este mismo lado, solamente puede verse P o Q, pero no los dos simultáneamente. Explicar y esquematizar la manera como pueda calcularse la distancia entre P y Q.

72 Su nombre proviene del matemático Waclaw Sierpinski, quien ideó una figura fractal en la cual, partiendo de un triángulo equilátero, se le va realizando progresivamente y ad infinitum, una serie de triángulos similares al original.

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Referencias de Figuras Las figuras que no aparecen referenciadas fueron realizadas por el autor en AUTOCAD 2007 ® y editadas en Corel Draw 13 ® y Corel Photo Paint 13 ® PARTE I Portada www.mystrands.com 1.4. www.cigarsolo.com.mx Inicio 2.2 www.es.geocities.com 2.1. www.quimicaorganica.net 2.2. www.orchidspecies.com 2.3. www.ugr.es PARTE II 1.4. www.ago.webcindario.com 1.7. www.amueblando.com 1.8. www.artefloral.cl 1.13. www.monografias.com 2.14. www.w3.cnice.mec.es 2.15. www.sapiens.ya.com 2.16. www.w3.cnice.mec.es 2.17. www.cedriczg.50webs.com 2.18. www.math.nmsu.edu 2.19. www.thales.cica.es 2.20. www.liceotosi.va.it 3.9. Archivo del autor 3.13. Archivo del autor 3.18. Archivo del autor 4.30. www.uam.es

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4.36. www.teleformacion.edu.aytolacoruna.es 4.37. www.mcescher.com 5.1. www.deugarte.com 5.19 www.800flores.cl PARTE III 1.1. www.caballomania.com 2.2. www.revista.unam.mx 2.11. www.lacienciaentuescuela.amc.edu.mx 3.5. www.upc.es 3.8. www. huitoto.udea.edu.co 3.9. www.w3.cnice.mec.es 3.10. www.w3.cnice.mec.es 3.1. www.transrockmexico.com.mx www.etb.com.mx 3.13. WELLMAN, B. Leighton. Technical Descrptive Geometry. 3.14. www.upc.es 3.15. www.mate.dm.uba.ar 3.16. www.mate.dm.uba.ar 3.17. www.toldosindalo.com 3.18. www.voyagevirtuel.net 3.19. www.rizziscale.it 3.20. www.mactech.com 3.21. www.orbita.starmedia.com 3.22. www.recursos.cnice.mec.es 3.23. www.recursos.cnice.mec.es 3.24. www.w3.cnice.mec.es 3.25. www.w3.cnice.mec.es 3.26. www.centros5.pntic.mec.es 3.27. www.w3.cnice.mec.es 3.28. www.arch.designcommunity.com 3.29. www.w3.cnice.mec.es 3.30. www.laensenada.com

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3.31. www.yodibujo.es PARTE IV 1.18. www.w3.cnice.mec.es Introducciรณn C. 3. www.educarchile.cl www.profes.net 3.2. www.omerique.net Introducciรณn 3.3. www.uni-ulm.de 3.6. www.arch.eptort.bme.hu 3.7. www.snap3.uas.mx 4.2. www.elcompas.com 4.3. www.trident.com.br 4.9. www.fotonatura.org 4.10. www.guj.com.br 4.11. www.bacterio.uc3m.es 4.13. www.home.earthlink.net

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Este libro se imprimio en abril de 2011 en Artes Graficas Tizan Ltda. Manizales - Colombia