La música y las matemáticas

YARTESANOS

BREVESAPROXIMACIONES YALGUNASACTIVIDADES

Oswaldo Martín del Campo

Ilustración: Rosa E. González.

Podríamos estar de acuerdo en que las matemáticas estudian

el orden del universo, el orden natural, el práctico y el escondido. En primaria aprendemos sus bases. ¿No sería preferible para nuestros alumnos ayudarlos a comprender mejor el lenguaje matemático de la abstracción a través de la música, dado que es abstracta y ordenada, y sus elementos están asociados con la experiencia?

mucho se ha especulado alrededor de la relación que puede entablarse entre música y matemáticas; muchas de estas especulaciones van desde los puntos de vista estrictamente físicos (acústica) hasta los que se relacionan con la pedagogía y la psicología. Es en esta última ciencia donde muchas teorías pierden el piso al ofrecer un desarrollo neuronal desbordante por el solo hecho de la audición de algunos autores de la música culta (principalmente Mozart).

La audición, esporádica o continua, de una obra maestra no desarrolla genialidad. Fomenta la creatividad, imaginación, sensibilidad y, en casos afortunados, el buen gusto (aspectos, todos ellos, de lo que denominamos inteligencia). Pero, invariablemente, todo ejercicio del pensamiento debe traducirse a la práctica para que se vean sus frutos. Creo que lo importante no es esperar, de manera ingenua, que nuestros alumnos se vuelvan genios de la música o de las matemáticas por el simple hecho de ponerles un disco en clase con las sonatas de Beethoven; lo importante es proporcionarles todas las herramientas que estén a nuestro alcance, con un conocimiento verdadero de su funcionamiento, para que ellos tengan un acceso al conocimiento más vivencial, a través de la experiencia y no de la memorización.

Ahora bien, es cierto que un niño que tiene problemas en matemáticas no sacará un diez

Ilustración: Rosa E. González.

El matemático Albert Einstein tocando el violín.

este mes sólo por escuchar las sinfonías de Haydn; lo que sí podrá mejorar su pensamiento matemático es la ejecución, aunque sea a un nivel muy elemental, de una pieza musical. ¿Por qué? Bien, las matemáticas son un lenguaje innegablemente abstracto, donde se manejan números que para el niño no significan o no representan nada. Cuando decimos la frase: “te lo voy a explicar con manzanas”, es porque nuestro alumno necesita un ejemplo concreto de las cifras de una operación. Los niños que tienen dificultades con las matemáticas no han desarrollado lo suficiente su capacidad de abstracción. Son inútiles las horas y los desvelos empleados en casa con el niño delante del cuaderno frente a un universo que le es ajeno e incomprensible.

Los elementos de la música

¿En qué o cómo puede ayudarnos la música? Preguntémonos qué son los sonidos, qué vemos o qué hay de concreto cuando escuchamos la sinfonía “Júpiter” de Mozart; o quién puede atrapar un DO o un FA con la palma de la mano. La música, al igual que las matemáticas, trabaja con abstracciones. Una pieza musical sin letra es netamente subjetiva o pura. Y no sólo eso: la música cultivada tiene una forma y dentro de éstaparticipan armonías, combinaciones de sonidos que guardan relaciones o proporciones matemáticas entre sí. Parece entonces digno de llamar la atención el hecho de que aprendamos más fácil una canción que una fórmula. La diferencia es sencillamente que hacer música es una experiencia.

Donde hay música hay orden, las matemáticas son orden. Un pensamiento musical es hermano de un pensamiento matemático. El músico va realizando muchos cálculos y mediciones al ejecutar su instrumento, incluso va combinando varias de estas operaciones a un mismo tiempo.

No sé si sean del conocimiento general dos hechos importantes en la vida de Albert Einstein; el primero de ellos es que fue un pésimo alumno en su formación básica, y el segundo es que en algún momento de su vida aprendió a tocar el violín (no de una forma virtuosa, lo tocaba apenas con decoro). Es muy posible, tal vez indudable, que su inteligencia matemática se haya visto felizmente beneficiada o complementada con su formación musical.

El físico alemán no es el único caso. Pitágoras estudió y estableció las características de los sonidos desde un punto de vista acústico, es decir, científico. Todos sabemos que Pitágoras era un gran matemático, filósofo y también fue músico.

Aquí me gustaría compartirles que como alumnonunca fui brillante en las ciencias, no me iba mal,pero las detestaba; entonces no sabía que eso se debía a que había algo en ellas que yo no comprendía aunque pudiera repetirlo o memorizarlo. Ahora que me he formado como músico profesional siento un vivo y apasionado inte-

Ilustración: Rosa E. González. Los seres humanos tenemos una predisposición a asociar el ritmo con la diversión.

rés por la astronomía, la geometría, la física y el álgebra. Algo en mi cabeza, un orden, entiende lo que sucede cuando desarrollamos un producto notable.

Donde hay música hay ritmo, armonía y melodía. Las dos primeras cualidades de la música pueden ayudarnos a entender mejor la relación que estamos analizando.

Ritmo y motricidad

El ritmo es tiempo, una disposición ordenada del sonido en el tiempo. Los niños, los seres humanos, tenemos una predisposición a asociar el ritmo con la diversión. No será necesario entonces ser músico para realizar una actividad musical en el aula, ya veremos algunas opciones más adelante. En la música, el tiempo se mide o se marca con el cuerpo, es decir, su marcación es sensorial y, por lo tanto, deriva en una experiencia.

Todo instrumento musical requiere un alto desarrollo de respuesta de ambas manos y ¡de los dedos de cada mano!, casi como entidades independientes. ¿No es evidente que el que hace música está trabajando con sus dos hemisferios cerebrales al mismo tiempo? La música es emoción y ciencia al mismo tiempo. Ambas manos están ejerciendo movimientos y acciones que responden a un cálculo mental de enorme precisión. La motivación o el motor, que al mismo tiempo es el fin de la actividad musical de tal experiencia, es la emoción de hacer música.

No es mi propósito, aclaro en este momento, que esta información derive en la idea de que podemos enseñar las tablas de multiplicar cantando fórmulas o entonando rondas, no. Eso sería un ejercicio de memorización a través de la música, lo cual no podríamos calificar como negativo, pero no es lo que estamos buscando. Queremos hacer música y estar expuestos a estímulos musicales para desarrollar nuestro pensamiento abstracto y nuestra capacidad de entender y manipular cifras matemáticas.

Nuestra educación musical nos impide realizar actividades en el aula con una armonía precisa o

Las relaciones entre las notas y sus diferentes sonidos han sido establecidas por la física.

Ilustración: Rosa E. González.

con una afinación correcta al cantar, a menos que el maestro tenga, cuando menos de forma elemental, conocimientos musicales. No sabemos cantar bien y no es recomendable enseñar mal una canción nueva a un niño; por desgracia, eso pasa todo el tiempo, sobre todo a nivel preescolar. En el caso del ritmo, encontraremos en él a un feliz aliado. El ritmo se puede ejecutar por medio de percusiones y éstas no requieren afinación, sencillamente son golpes, sólo debemos atender a la precisión en la práctica de los juegos rítmicos, los cuales veremos más adelante.

La armonía y la forma

Es en la armonía donde encontramos las relaciones más fascinantes entre arte y ciencia. Para algunas personas, la armonía es también digna de análisis espiritual o místico. Hacer armonía es combinar sonidos diferentes, tocarlos al mismo tiempo, oírlos todos juntos. En pintura, al combinar colores obtenemos uno nuevo; no así en música. Al combinar diferentes notas obtenemos un “color” o “atmósfera” nueva, sin dejar de percibir los sonidos independientes que la originan. Es decir, puedo tocar en un piano un SOL, un SI y un RE a la vez, y esta combinación originará un acorde, el cual a su vez me provocará una sensación auditiva diferente de la ejecución individual de cada una de las notas que lo componen, pero dichas notas nunca desaparecerán o se modificarán.

Las relaciones entre los sonidos de la escala musical son asombrosas y han sido establecidas por la física. Recordemos la escala:

DO RE MI FA SOL LA SI

Tomemos el primero de ellos: DO. Si a cualquier nota le agregamos otras dos que estén a distancia de una tercera y una quinta obtendremos un acorde (hablamos en términos muy elementales, para facilitar su comprensión a quien carece de formación musical). Veamos el ejemplo:

DO RE MI FA SOL LA SI

Observamos que la nota MI está a tres “lugares” del DO, mientras que SOL lo está a cinco. Pues bien, cada una de estas notas tiene una frecuencia o altura distinta, difieren en la cantidad de vibraciones por segundo (hertz); sin embargo, al tocarlas al mismo tiempo “armonizan”, producen un resultado agradable al oído y originan un acorde, que en este caso lleva el nombre de la nota más grave: acorde de DO.

La relación y el efecto que acabamos de representar conforman un principio básico de armonía musical y de ahí se derivan muchísimos otros principios para mezclar los sonidos en la composición de una obra. Lo interesante es que estas reglas para construir los acordes

que resultarán agradables al oído no son una casualidad y tampoco surgieron del capricho estético de alguna corriente o de algún creador. ¿Podrían creer que cada nota musical es capaz de generar todas las otras notas de la escala? Pues así es. Pongamos un ejemplo: al tocar la tecla correspondiente al sonido DO en un piano, activamos un mecanismo mediante el cual un martillo golpea una cuerda y la vibración de ésta es la que produce la nota, la cual, a su vez, genera otras notas. A los sonidos que acompañan a una nota generadora se les conoce como armónicos. Es raro que el oyente común preste atención a este fenómeno acústico, pero es algo que se puede comprobar con cualquier instrumento musical y poniendo muy atento el oído. Los armónicos son más fáciles de escuchar cuando los produce un sonido grave.

Pero esto no para aquí. Volvamos a nuestro ejemplo del piano. Cuando toco la nota DO, el primer armónico que aparecerá será de nuevo el sonido DO en un registro más agudo. Luego escucharemos la nota SOL, que es la quinta de DO (recordemos el ejemplo del acorde mencionado, al principio del apartado sobre armonía). Con un oído muy atento, luego del SOL, escucharemos la nota MI, la tercera de DO, y otra vez aparecerá el DO, más agudo, y otro MI y otro SOL ¡y todos los sonidos de la escala!

Nótese cómo los armónicos de nuestro ejemplo (DO, DO, SOL, MI, DO, MI, SOL) son las notas del acorde de DO, que fue la nota más grave y la generadora de los armónicos. Los primeros armónicos de cualquier sonido generan ya un acorde; en cada sonido musical está develado un fenómeno armónico.1

Mucha de la música popular y la infantil (me refiero a la más elemental) está construida sobre tres o cuatro acordes, mientras que la música culta se mueve a través de muchísimos acordes. ¿Se imaginan la cantidad de armónicos que hay en una obra de Juan Sebastián Bach? Piensen ahora en un concierto donde participan una enorme orquesta y un coro de voces mixtas: ¡cada instrumento y cada voz estará produciendo armónicos y juntos, a la vez, crearán un universo de sonido! Quizá nuestros oídos no puedan reconocer (si se trata de un DO, un MI o un SOL) todos los armónicos, pero sí los percibiremos.

1 En un artículo posterior hablaremos más a detalle sobre el fenómeno de los armónicos y presentaremos mediante gráficas las relaciones musicales y matemáticas que guardan entre sí.

Para muestra, un rondó

Hemos visto hasta ahora cómo la música guarda una relación con las matemáticas desde las unidades abstractas con las que se desarrollan (números-sonidos). Acabamos de ver cómo la armonía está construida, o más bien derivada, a partir de fenómenos acústicos que guardan una proporción matemática. Por último, podemos mencionar o resaltar el hecho de que la música culta se crea a partir de formas establecidas. Es decir, no está creada por mera y caprichosa inspiración (que sí ocurre con la música popular; con lo cual no estamos cuestionando su valía, sólo que no es el tipo de música que puede ayudarnos en clase como herramienta para mejorar la comprensión matemática de un alumno). Una sonata, un rondó, un vals, un canon o una fuga tienen una forma perfectamente definida. Escuchen ustedes la celebérrima “Para Elisa” de Beethoven, quizá no exista un ejemplo más claro y accesible; en cualquier tienda encuentran una versión súper económica. Notarán que hay una primera parte que nos resulta muy familiar, llamemos a este fragmento parte “A”, verán que en un momento se oye un tema más

El tambor es un instrumento muy útil para marcar el ritmo de una composición musical.

alegre y movido que no se parece a la parte inicial, denominemos a este nuevo fragmento como “B”. De pronto escucharemos “A” de nuevo, el tema familiar y mundialmente conocido. Entonces, de manera dramática, surge una nueva sección cargada de pasión y misterio a la cual llamaremos “C”. Después de una lluvia de notas rápidas, la obra retorna sutilmente a “A” y finaliza con el tema conocido. Encontramos un esquema muy claro “A-B-A-C-A”, el cual corresponde a la forma musical “rondó”, donde una sección “A” reaparece varias veces luego de una sección contrastante que no se escuchará más. Beethoven pudo añadir más música a su rondó y hacerlo A-B-A-C-A-D-A.

Y esto sólo es el ejemplo de un rondó. Si tuviésemos el espacio para describir lo que es la forma de una sonata quedaríamos maravillados. ¿Y qué decir de una fuga? Es una fiesta y requiere verdadera arquitectura y maestría por parte del compositor para componerla correctamente.

Me atreveré a decir que podríamos estar de acuerdo en que las matemáticas estudian el orden del universo; el orden natural, el práctico y el escondido. En primaria aprendemos sus bases. ¿No sería preferible para nuestros alumnos ayudarlos a comprender mejor el lenguaje matemático de la abstracción a través de la música, dado que es abstracta y ordenada, y sus elementos están asociados con la experiencia (por no decir con el placer o con la diversión, lo cual es muy peligroso)?

Recomendaciones y ejercicios

Todos tenemos ritmo, a mayor o menor grado, pero todos lo tenemos. Trate de llevar uno con sus alumnos. Dé tres golpes, siempre de la misma duración, sobre la mesa con la mano derecha, acentuando siempre el primero: ún, dos, tres, ún, dos, tres, ún, dos, tres. Haga que sus estudiantes los sigan y cerciórese de que todos vayan iguales, juntos. Al principio habrá errores y risas, trate de no reprimirlas, propicie un ambiente donde aprender no esté asociado con

el regaño, la culpa, el miedo o la represión de las emociones. Seguramente usted también se equivocará algunas veces: ríase.

Una vez dominado este ritmo vuélvalo más complicado. Ahora, cada vez que se golpeeel primer tiempo, hágalo con las dos manos, mientras que el dos y el tres se siguen golpeando sólo con la derecha. Luego golpee el dos con la mano derecha y con el pie derecho. Ya controlado eso, que no será tan sencillo, agregue golpear el tercer tiempo con la mano derecha y con ambos pies. Es decir, al final estarán marcando el primer tiempo, el más acentuado, con ambas manos, el segundo con la mano y pie derechos, y el tercero con mano derecha y ambos pies.

Cante canciones sencillas con una grabación. Si es posible, que no tengan letra. Muchas veces ponemos a los niños a aprenderse canciones y todos nos engañamos con eso. Llega un momento donde se aprenden la letra y el ritmo, pero no tienen una idea de la entonación. Busque piezas sencillas parapiano, fáciles de seguir, y pídales a los chicos que canten la melodía con una “M”, con la boca cerrada, los ojos cerrados y los oídos bien abiertos. Sugiérales cantar lo más bajo posible, para que siempre puedan estar comparando su entonación con la de la grabación. No conseguirá usted formar algo similar a los niños cantores de Viena, pero le aseguro que de hacerlo cinco o diez minutos, diariamente, logrará cambios en las capacidades musicales y de razonamiento matemático en los muchachos, aparte de que usted y ellos lo disfrutarán mucho.

Claro que puede poner grabaciones de música culta mientras los niños resuelven sus problemas de matemáticas o mientras contestan un examen. Pero que no sea algo solemne. Sólo póngala y ya. No los abrume o los confunda diciéndoles el nombre del autor o de la obra, eso no es lo importante en estas actividades pues no estamos en un curso de apreciación musical. Lo que más nos interesa es lo que los sonidos están causando en el ambiente dentro del cual el estudiante convive con las matemáticas. No toda la música culta es apropiada, pues desde la segunda mitad del siglo XIX se construyó sobre formas más libres, complejas y hasta caprichosas. Lo mejor son autores que abarquen del siglo XVII a la primera mitad del XIX. En las librerías hay muchas grabaciones a precios de veras accesibles. Utilice piezas que están denominadas claramente por su forma: canon, sinfonía, fuga, minuet, rondó, sonata, vals, cualquier suite barroca, que contiene varias danzas con formas bien definidas, etc. Finalmente, trate de evitar la música con cantantes, pues la letra vuelve concreta a la música y no nos ayudará en estas actividades.

Ilustración: Rosa E. González.