Retos con círculos y cuadrados

problemas SIN NÚMERO

Retos con círculos

Y CUADRADOS

Claudia Hernández García*

Algunos objetos matemáticos están dotados

de una belleza patente a ojos de cualquiera. Dos ejemplos de ello son los polígonos regulares y los poliedros, dos figuras geométricas a las que solo el círculo y la esfera superan en perfección. Luego está el teorema de Pitágoras, un pilar de los mundos de los ángulos rectos que construimos nosotros mismos, y quizá las secciones cónicas que describen las órbitas de los cuerpos celestes.

En general, las personas solo logran apreciar los aspectos elementales de la belleza matemática, mientras que el resto de los elementos solo resulta evidente para los matemáticos que estudian y crean las demostraciones intricadamente elaboradas […]

Como matemático, declaro que he demostrado la verdad de un teorema escribiendo al final de la demostración correspondiente las tres letras QED, una abreviatura de la locución latina quod erat demostrandum, que podría traducirse como “lo que se quería demostrar”. Por una parte, “QED” es sinónimo de la verdad y la belleza de las matemáticas y, por otra, representa la parte aparentemente inaccesible de esta antigua ciencia.

BURKARD POLSTER

Tomado de Burkard Polster (2014). “QED, la maravilla de las demostraciones matemáticas”. En Sciencia: Matemáticas, Física, Química, Biología y Astronomía, John Martineau (ed.), p. 7. Madrid: Editorial Librero.

Burkard Polster es profesor asociado en la Escuela de Ciencias Matemáticas de la Universidad Monash en Australia. Como complemento a su labor docente, Polster también se dedica a dar charlas de divulgación sobre la relación de las matemáticas con la magia, los malabares, el origami, las burbujas y los nudos de las agujetas.

* Técnica académica de la Dirección General de Divulgación de la Ciencia, UNAM.

Actividad

La actividad que sugerimos para esta ocasión está pensada para alumnos de preparatoria en adelante. Les recomendamos que compartan sus soluciones con las de otras personas para encontrar similitudes o averiguar qué tan diferentes son.

1. El primer reto consiste en ubicar los doce círculos sobre los lados de un cuadrado de manera que:

a. Queden 3 círculos por lado b. Queden 4 círculos por lado c. Queden 5 círculos por lado d. Queden 6 círculos por lado

2. Ahora vamos a colocar 16 objetos en una cuadrícula de 4 x 4 como se muestra a continuación.

Hay que quitar 6 objetos cualesquiera con la condición de que:

a. En todas las filas y columnas quede un número par de objetos b. En todas las filas y columnas quede un número impar de objetos

Existen muchas soluciones posibles; hay que encontrar al menos dos diferentes para cada caso.

3. El lado de este cuadrado y el diámetro de este círculo son del mismo tamaño.

El reto consiste en cubrir todo el cuadrado con el menor número de círculos posible.

Si tomamos el esquema anterior como primer intento, entonces necesitaríamos al menos cinco círculos para cubrir el cuadrado: el que está en el centro, y cuatro más para cubrir las esquinas. Quedaría más o menos así.

Intenta hacerlo con cuatro círculos. ¿Crees que se pueda sólo con tres?

d. c. b. a.

1.

Soluciones

diámetro del círculo y el lado del cuadrado tenían la misma longitud. de los lados opuestos es mayor que la del lado mismo y que habíamos dicho que el círculo, que la distancia entre una esquina de un cuadrado y un punto en cualquiera Esto último se deduce de tres hechos: que el diámetro es la cuerda más larga de un dos puntos azules y el punto verde es mayor a la longitud del diámetro del círculo. y el punto verde o contenerlos, y esto no es posible porque la distancia entre los Para que esto ocurra, cada círculo tendría que pasar por uno de los puntos azules

éstos cubrieran las regiones encerradas en los óvalos anaranjados. Para cubrir el resto del cuadrado con sólo dos círculos más, necesitaríamos que

descubierta. la mayor cantidad de superficie y también dejando una sola región lo lo suficiente para cubrir una de las esquinas, estamos cubriendo dejando la menor cantidad de regiones sin cubrir. Al mover el círcu- Entonces hay que tratar de cubrir la mayor parte del cuadrado,

de un círculo cada una para cubrirse. blema es que nos quedan cuatro regiones inconexas que requieren ficie del cuadrado que podemos cubrir con un solo círculo. El procolocamos el círculo al centro estamos cubriendo la mayor superCon sólo tres círculos no se puede cubrir el cuadrado. Cuando

Estas son dos formas de cubrir por completo el cuadrado con cuatro círculos.

3.

b. a.

impar de objetos en cada fila, en cada columna y hasta en las diagonales. Aquí hay cuatro soluciones, dos por reto, en las cuales quedan un número par o

2.