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Claudia Hernández García
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Pensamiento matemático II
MANEJO DE LA INFORMACIÓN
Claudia Hernández García*
Entre las características inherentes al pensamiento matemático está
la habilidad para interpretar la información, independientemente de que ésta sea de naturaleza matemática o no. La experiencia que obtenemos de resolver los típicos problemas matemáticos se puede extrapolar a otros ámbitos y es útil para reconocer que a veces no hay recetas, que podemos llegar a una respuesta de muchas formas y que la solución puede no existir o no ser única.
S hu t t e r stock
empecemos con un problema que consiste en transformar una palabra en otra con estas condiciones: sólo se puede cambiar una letra a la vez, no se vale alterar el número de letras, y todas las palabras deben tener significado. Por ejemplo, para transformar SOL en SAL basta con cambiar la O por la A; mientras que para ir de SOL a CAL podemos seguir la secuencia SOL-SAL-CAL. El reto propuesto es que transformen la palabra COMA en la palabra CUÑA. Tómense el tiempo que necesiten antes de continuar leyendo.
Una solución es COMA-COPA-CAPA-CANA-CUNA-CUÑA, pero hay otras po-
sibles como COMA-CAMA-CANA-CUNA-CUÑA y COMA-COÑA-CUÑA. Desde la perspectiva matemática diríamos que la primera es la menos elegante porque es la más larga, pero de ninguna manera diríamos que es menos solución que las otras. Quizá ustedes hayan arribado a una solución distinta a las anteriores, pero la estrategia de la que echamos mano para obtenerla es más o menos similar. Lo primero que hacemos es entender el problema, es decir, tener claro qué es lo que hay que hacer, así como las reglas que determinan cómo debe hacerse. Después nos fijamos en las letras que le podemos cambiar a la palabra
* Maestra en Filosofía de la Ciencia. Técnica académica de la Dirección General de Divulgación de la
Ciencia, UNAM.
original para ir acercándonos a la palabra final, ya sea con una estrategia o por ensayo y error. Por último, verificamos haber cambiado una letra a la vez, que todas las palabras de nuestra secuencia tengan significado y que hayamos llegado a la palabra final, o lo que es lo mismo, que llegamos a la solución que se pedía habiendo seguido las reglas.
El lugar en donde aprendimos y practicamos sobre esta forma de proceder fue la clase de matemáticas, sólo que esta serie de pasos solíamos etiquetarlos como identificación de datos, operación y verificación del resultado. Estos procesos los aplicamos todo el tiempo en la vida cotidiana al diseñar y ejecutar los planes de algo que puede ser muy sencillo o más complicado. Por ejemplo, si tuvieran que llegar de la planta baja al quinto piso de un edificio, pueden hacer justamente eso o podrían ir de la planta baja al segundo piso, de ahí a la azotea y finalmente al quinto piso. Ambos recorridos conducen al mismo lugar, pero diríamos que uno es menos cansado que el otro.
Ahora, imaginen que tienen que visitar una serie de lugares. Una vez que los identificaron en un mapa, podrían empezar su recorrido por el sitio más lejano y visitar los otros conforme regresan al punto de origen o hacerlo en orden inverso o en otro orden e incluso seguir una ruta distinta a la resaltada (fig. 2). Mientras se pase por todos esos lugares, cualquier ruta que lo haga funciona.
COPA COMA
CAMA COÑA
CAPA
CANA CANA
CUNA
CUÑA
Figura 1
Si tuviera que recorrer esos lugares, yo empezaría por el que me queda más lejos y visitaría los otros conforme manejo de regreso porque así recorrería la distancia más larga al inicio y no cuando ya venga cansada de todo el recorrido. Al final, todas las soluciones que encontremos son eficaces, pero al entender bien a bien el problema, podemos tomar en consideración otras variables relevantes, como el esfuerzo físico en estos dos casos anteriores, lo que hace que algunas soluciones sean además eficientes.
En cuanto al problema de palabras, que pareciera que cae en el ámbito del español, se resuelve con una estrategia del ámbito de las matemáticas. Esto no es casualidad. Las dos materias que aparecen constantemente en el currículo de educación básica son, justamente, el español, o la lengua materna del lugar en cuestión, y las matemáticas. La primera es esencial porque se trata de aprender y aprehender el lenguaje con el que nos comunicamos. Las matemáticas, por su parte, nos ayudan a estimular nuestra habilidad para ordenar nuestros pensamientos y darles coherencia. Aunque no nos demos cuenta de ello, en la clase de matemáticas nos entrenamos para resolver problemas de todo tipo, incluso aquellos que no tratan de datos numéricos y operaciones aritméticas. Piensen en cualquier situación y verán que primero solemos identificar lo que hay que hacer, luego diseñamos un plan para hacerlo, después lo ejecutamos y al final valoramos si lo que hicimos fue adecuado. Por supuesto que también podemos actuar impulsivamente en lugar de optar por una vía sistemática, pero esa es una historia diferente.
Shutterstock Figura 2
Economía de palabras
El rasgo de las matemáticas más reconocible y quizá también el más recelado es el uso de simbología algebraica. Los números representan cantidades concretas, mientras que las primeras letras del alfabeto representan cantidades constantes y las últimas representan cantidades variables. Por su parte, los signos de operación (como el de suma y resta), de relación (como el igual o el mayor que) y de agrupación (como los paréntesis y los corchetes) determinan cómo se vinculan dichas cantidades. Hay indicios de problemas algebraicos
planteados por los egipcios hace miles de años, pero el uso de estos símbolos tiene pocos cientos de años. La figura 3 es la imagen de una página del libro Geometría que René Descartes publicó en 1637. Fíjense en que hay dos símbolos para representar la suma, que el símbolo de la resta y de la igualdad son diferentes a los nuestros y que las potencias también se escriben de diferentes maneras. La ecuación resaltada hacia el final de la página actualmente se escribe como en la figura 4.
archive.org
Figura 3
y6 – 6ay5 + 15a2y4 – 20a3y3 + 15a4y2 – (6a5 + a4b) y + a6 + a5b = 0
Figura 4
Hoy en día que hemos llegado a un consenso respecto del significado y el uso de los símbolos, ya no es necesario inventar notaciones propias ni sus respectivas explicaciones. Esto, además, ha facilitado la comunicación, pues los símbolos tienen el mismo significado, con independencia del idioma de los textos que los contienen. Sin embargo, vale la pena señalar que matemáticas y notación matemática no son ideas intercambiables porque no son lo mismo. Las matemáticas se pueden expresar por medio de fórmulas y ecuaciones, pero también por medio de definiciones, gráficas, modelos o diagramas, entre otros.
Ahora bien, para que las matemáticas contenidas en todas estas expresiones adquieran sentido, es necesario que la persona que las va a interpretar tenga un cierto entrenamiento en matemáticas. Algo muy similar ocurre con la música y la notación musical: las partituras no son música hasta que alguien las interpreta. Así como las notas son una representación de la música, los símbolos son una representación de las matemáticas y podemos reconocer que un escrito pertenece al ámbito de la música o de las matemáticas por sus respectivas notaciones; podremos no saber qué dicen, pero sabemos a qué categoría pertenecen. Otra ventaja de las expresiones algebraicas es que utilizan menos caracteres que las expresiones escritas. Por ejemplo, www.britishmuseum.org en el Papiro Rhind, que data de hace unos 3500 años, se menciona el siguiente problema: una cantidad, su tercera parte y su cuarta parte suman 2, ¿cuál es la cantidad? Así escrito requiere de 80 caracteres, mientras que en su forma algebraica, sólo 13.
O piensen en este otro ejemplo: la energía de un sistema es igual a la masa total multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado. ¿Les suena familiar? Quizá la identifiquen más fácilmente en su expresión algebraica: E = mc2 .
× + 1 3 × + 1 4 × = 2
Figura 5. Forma algebraica Figura 6. Papiro Rhind
La práctica que obtuvimos de leer problemas matemáticos y transformarlos en ecuaciones adecuadas o de elegir las operaciones que nos llevaran a su solución también nos ayudó a aprender a estructurar la forma en que nos comunicamos en lo cotidiano. Piensen, por ejemplo, en que todo el tiempo tratamos de reducir la cantidad de palabras que usamos al escribir, ya sea porque tene- mos restricción de caracteres o porque no queremos escribir tanto, y entonces nos apoyamos de otros lenguajes que tenemos en común, como los emojis y los acrónimos. Con la práctica nos hicimos más hábiles para leer esta simbología contemporánea como en su momento pasó con la simbología matemática.
Cantidades en perspectiva
Parte fundamental del pensamiento matemático es poner las cantidades en perspectiva y con ello evitar que caigamos en los engaños de la intuición. Hay un cuento sobre el origen del ajedrez que ejemplifica muy bien esto.
Cuenta la leyenda que un rey hindú estaba sumamente triste después de perder a su hijo en batalla. Nada lo consolaba hasta que un día llegó un hombre a presentarle un nuevo juego que había inventado: el ajedrez. Al rey le encantó, y todos en la corte notaron que su tristeza disminuía cuando lo jugaba. En agradecimiento, el rey, que era bastante rico, le dijo al hombre que le pidiera lo que él quisiera, y éste sólo le pidió granos de trigo a cambio: 1 por el primer cuadrado del tablero, 2 por el segundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto, 16 por el quinto y así sucesivamente. Conforme se recorrieran los cuadrados del tablero, el hombre recibiría el doble de granos de trigo que en el cuadrado anterior. El rey se sintió insultado por la despreciable petición del hombre y lo echó diciéndole que en breve recibiría el costal de trigo que había pedido.
Ya habiendo hecho los cálculos con cuidado, tarea que les requirió mucho más tiempo de lo esperado, los miembros de la corte y el mismo rey quedaron asombrados al darse cuenta de que la cosecha anual de trigo no alcanzaba, ni remotamente, para cumplir la petición de aquel hombre. Veamos por qué.
Lo primero que hay que notar es que la cantidad de granos de trigo se duplica por cada cuadrado, es decir, tiene un crecimiento exponencial. Fíjense que, aunque el tablero tiene 64 casillas, sólo llegamos hasta el exponente 63 porque comenzamos en el exponente cero.
Qué poquito, ¿verdad? Saltémonos unas cuantas potencias.
Fíjense que cuando estamos a la mitad del tablero ya vamos en los miles de millones de granos. Antes de dar un brinco para ver las últimas cantidades, tomen nota de todos los dígitos que nos ahorramos gracias a la notación algebraica y a que podemos escribirlas como potencias de dos.
Consideren además que la cantidad de granos de trigo que el hombre estaba pidiendo es la suma de todas estas cantidades. ¡Con razón la administración real estaba tardando tanto en hacer los cálculos! Esa suma es igual a esta cifra que, honestamente, ni siquiera sé cómo pronunciar: 260 = 1 152 921 504 606 846 976 261 = 2 305 843 009 219 693 952 262 = 4 611 686 018 427 387 904 263 = 9 223 372 036 854 775 808
18 446 744 073 709 551 615
Para hacernos una idea de qué cantidad de trigo se trata, consideren que, si 100 granos de trigo pesan unos 5 gramos, en un kilo hay aproximadamente 20 000 granos de trigo. Así que esa cantidad innombrable de granos conforma unos 922 337 203 685 477 kilos de trigo, es decir, más de 922 mil millones de toneladas. Según la FAO, la producción anual de trigo en todo el mundo en 2017 fue de 758 millones de toneladas; o sea que aquel hombre habría pedido la producción de trigo de más de mil años. Una cantidad nada despreciable después de todo.
El matemático español Eduardo Sáenz de Cabezón hace otro cálculo con potencias de dos que también resulta difícil de creer. Lo que él sugiere es que imaginemos que tenemos un trozo de papel de 0.01 milímetros de grosor y tan largo que se podría doblar por la mitad 54 veces. La altura después del primer doblez sería de 0.02 mm, 0.04 mm después del segundo doblez, 0.08 mm después del tercer doblez y así sucesivamente. Pues resulta que la altura después del doblez número 54 sería de 180 millones de kilómetros, 30 millones de kilómetros más que la distancia entre la Tierra y el Sol. Hagan la cuenta y verán que es cierto.
Matemática callejera
El problema de quedarnos en el cálculo aritmético y no ponerlo en perspectiva o no considerar otras variables relevantes es que podemos terminar creyendo algo equivocado. Hace varios años una amiga me comentaba que ella nunca le daba dinero a las personas que hacen malabares en los semáforos porque, al final, ganaban más que ella. Su razonamiento era el siguiente. Si el alto dura 30 segundos y el siga 60 segundos, el semáforo estaría 40 veces en rojo cada hora. Si el malabarista recibe 5 pesos en cada alto, en una hora recibiría 200 pesos o 1600 pesos en 8 horas. ¡Ni yo gano eso!, decía mi amiga. Aunque su aritmética es impecable, el argumento en su conjunto es falaz porque no hay garantía de que el malabarista reciba 5 pesos cada vez que la luz se pone roja, ni que pase 8 horas ininterrumpidas haciendo malabares. Digamos que esa cantidad es una estimación de lo que podría ganar, pero no necesariamente refleja lo que gana. Dicha estimación le sirvió a mi amiga para convencerse de no darle monedas a los malabaristas de los semáforos, pero de ninguna estimación se puede decir si es útil o inservible por sí misma. La utilidad depende de cómo la interpretemos y de nuestros intereses en particular. Por ejemplo, fíjense en la siguiente gráfica que describe la afluencia de personas a un centro comercial dos días de la semana distintos. ¿Qué día y a qué hora preferirían ir? Si van en plan de compras y prefieren evitar las aglomeraciones, quizá opten por ir el jueves a las 9:00 a. m. Ahora que si lo que quieren es vender y ganar comisiones como nunca, sería mejor ir el domingo en la tarde a la hora de la comida. Al revisar las gráficas con cuidado, podemos extraer todavía más información implícita, como que el centro comercial abre de 9:00 a 19:00 horas, por ejemplo.
Horarios populares Planifica tu visita
Promedio de permanencia: entre 45 min y 2.5 h
Jueves Horarios populares Domingos
09 12 15 18 21 09 12 15 18 21
La ciencia de los patrones
En la entrega anterior comenté que la idea de que las matemáticas son la ciencia de los números se superó hace ya miles de años, pero entonces surge la pregunta, ¿de qué son ciencia? Una de las definiciones más aceptadas hoy en día tiene que ver con cómo manejamos la información: las matemáticas son la ciencia de los patrones. Éstos pueden ser patrones de razonamiento, patrones de verdad, patrones numéricos, patrones de reglas, patrones de asociación y patrones de forma, entre otros. Estos patrones pueden ser reales o imaginados, visuales o mentales, estáticos o dinámicos, cualitativos o cuantitativos, de utilidad práctica o de corte recreativo. Pueden surgir del mundo que nos rodea, describir otras partes del universo o conformarse en nuestra mente. El pensamiento matemático es entonces una especie de sentido con el que interpretamos la información y averiguamos si se ajusta a patrones previamente identificados y cómo lo hace o si de plano no se ajusta a ninguno. Aunque este sentido es innato, en algunas personas puede ser más agudo que en otras. Así como los anteojos y los aparatos auditivos mejoran la vista y el oído, nuestro pensamiento matemático se puede refinar con la práctica, y las matemáticas recreativas son ideales para ello.
Una vez que reconocemos un patrón y lo interiorizamos, tenemos la posibilidad de verlo en otros lados, o podemos determinar que eso que tenemos a la vista no se ajusta a ningún patrón que conozcamos y entonces habremos descubierto uno nuevo. El pensamiento matemático nos sirve además para encontrar relaciones y conexiones entre los patrones incluso en ámbitos del conocimiento aparentemente distintos, como vimos con las matemáticas y el español o la música. En términos generales se puede decir que, cuando vemos el mundo a través del pensamiento matemático podemos percibir realidades que de otra forma no advertiríamos. Las matemáticas hacen visible lo invisible, como dice el profesor estadounidense Keith Devlin, y con ellas podemos construir analogías y encontrar puntos de confluencia en donde aparentemente no los hay.
Para seguir aprendiendo
DEVLIN, Keith (2002). El lenguaje de las matemáticas. Ediciones Robinbook.
PAENZA, Adrián (2012). ¿Pero esto también es matemática? Debate.
SÁENZ de Cabezón, Eduardo (2016). Inteligencia matemática. Plataforma Editorial.
