Giovanni | Giovanni Jr. | Castrucci
A conquista da Matemática
A coleção A conquista da Matemática, constituída de quatro volumes, aborda os conteúdos por meio de linguagem direta e acessível. Cada livro contém unidades compostas por capítulos que, por sua vez, contam com seções e atividades variadas, facilitando o desenvolvimento do aluno na compreensão da Matemática.
ISBN 978-85-96-00043-7
9
788596 000437
11519081
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A conquista da
Matemática Giovanni Giovanni Jr. Castrucci
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A conquista da
Matemática José Ruy Giovanni
Professor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Ensino Médio desde 1960.
José Ruy Giovanni Júnior
Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Ensino Médio desde 1985.
Benedicto Castrucci
(Falecido em 2 de janeiro de 1995) Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática da Pontifícia Universidade Católica (PUC-SP) e da Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática em escolas públicas e particulares de Ensino Fundamental e Ensino Médio.
São Paulo, 2015
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Copyright © Benedicto Castrucci, José Ruy Giovanni, José Ruy Giovanni Júnior, 2015 Diretor editorial Lauri Cericato Gerente editorial Silvana Rossi Júlio Editor Roberto Henrique Lopes da Silva Editores assistentes Thais Bueno de Moura, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaína Bezerra Pereira Assistente editorial Bruna Flores Assessoria Cristiane Boneto, Eliane Cabariti Casagrande Lourenço, Verilda Speridião Kluth Gerente de produção editorial Mariana Milani Coordenadora de produção Marcia Berne Pereira Coordenadora de arte Daniela Máximo Projeto gráfico Casa Paulistana Capa Casa Paulistana Foto de capa Yulia Grigoryeva/Shutterstock/Glow Images, ra2studio/Shutterstock/ Glow Images, Blend Images/Shutterstock/Glow Images, se media/Shutterstock/Glow Images, ra2studio/Shutterstock/Glow Images, Robert Kneschke/Shutterstock/ Glow Images, Borko Ciric/Shutterstock/Glow Images Editor de arte Fabiano dos Santos Mariano Diagramação Nadir Fernandes Racheti, Estúdio Anexo Tratamento de imagens Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Ilustrações e cartografia Alex Argozino, Alex Silva, Estúdio MW, Marcos Guilherme, Paulo Manzi, Sonia Vaz Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin Preparação Dilma Dias Ratto, Iraci Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr. Revisão L íder: Izabel Cristina Rodrigues. Revisores: Alessandra Maria R. da Silva, Desirée Araújo, Juliana R. Costa, Jussara R. Gomes, Pedro Fandi, Solange Guerra Supervisora de iconografia Célia Maria Rosa de Oliveira Iconografia Danielle de Alcântara Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Giovanni, José Ruy A conquista da matemática, 6 o ano / José Ruy Giovanni, José Ruy Giovanni Júnior, Benedicto Castrucci. — São Paulo : FTD, 2015. ISBN 978-85-96-00043-7 (aluno) ISBN 978-85-96-00044-4 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Giovanni Júnior, José Ruy. II. Castrucci, Benedicto, 1909-1995. III. Título. 15-06521 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens presentes nesta obra didática. No entanto, colocamo-nos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões de crédito e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo.
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à FTD EDUCAÇÃO. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo-SP CEP 01326-010 – Tel. (11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br E-mail: ensino.fundamental2@ftd.com.br
Impresso no Parque Gráfico Editora FTD S.A. Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375
Apresentação Para que serve a Matemática? Por que aprender todo esse conteúdo de Matemática na escola? Com certeza essas são perguntas que um dia passaram ou vão passar por sua cabeça. A Matemática está presente em nossas vidas, desde uma simples contagem até os modernos e complexos computadores. Ela ajuda a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender o movimento da inflação e dos juros, a medir os índices de pobreza e riqueza de um país, a entender e cuidar do meio ambiente... sem falar nas formas e medidas, com suas aplicações na Arquitetura, na Arte e na agricultura. Mas, apesar de estar presente em tantos momentos importantes de sua vida, pode parecer, a princípio, que alguns temas da Matemática não têm aplicação imediata. Isso pode gerar em você certo desapontamento. Na verdade, a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos nela presentes. Como em todas as áreas de estudo, para entender e fazer Matemática é necessário dedicação e estudo. Nesta coleção, apresentamos a você as linhas mestras desse processo com uma linguagem simples, mas sem fugir ao rigor que a Matemática exige. Vivemos hoje em um mundo em constante e rápida transformação, e a Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações. Ficar à parte do conhecimento matemático é, hoje, estar à margem das mudanças do mundo. Não é o que você quer. Então, vamos entender e fazer Matemática!
Conheça o seu livro AS NÚMERO DE ATLETAS
10 500
205
17 760
Alex Silva
Cálculos com números naturais
11 milhõ milhões es
Que operação matemática poderia ser utilizada para descobrir a quantidade total de pessoas (voluntários, terceirizados e funcionários) que trabalharam nos Jogos Olímpicos de 2016? Quais dados você observou para responder a essa pergunta? Que outra informação você consegue extrair dessas imagens? Você utilizará qual operação matemática para obter essa informação? Em que outras situações do cotidiano as operações matemáticas são fundamentais?
cabides
Você
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com medalhas
Quem faz Para tudo isso sso acontecer, aconte o Comitê Rio 2016 contará com
85 000 8 000 Voluntários Vol Vo lunt ntá ários ári ios
7,5
Os jogos foram suspensos
776 7 76 a.C.
1 500 anos depois
392 d.C.
Olímpia Grécia
Atenas Grécia
31
Ano 1930
Unidades 520 000
1950
400 000 320 000 250 000
1970 1990
2006
2007
2008
2009
Habitantes
Ano
1 milhão de habitantes
Fonte: Dados fictícios.
1. Considerando os gráficos acima, responda: a) Qual foi a taxa percentual de aumento nas vendas de lâmpada (anual) de 2006 para 2009? b) Quantos por cento o total de habitantes de 1970 representa em relação ao total de 1930? 2. O gráfico a seguir apresenta os dados sobre a venda de CDs de uma loja durante um ano. Venda de CDs Trimestre 1o trimestre
2o trimestre
3o trimestre
1 000 unidades
4o trimestre Número de CDs Fonte: Dados fictícios.
a) De acordo com o gráfico, indique, no caderno, quantas unidades cada figura abaixo representa.
98
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entrada
Seus comandos, para que o robô vá até o final, deverão ser: a) avançar 4, virar 90° à direita, avançar 3, virar 90° à direita, avançar 2. b) avançar 4, virar 90° à esquerda, avançar 3, virar 90° à esquerda, avançar 2. c) avançar 4, virar 90° à direita, avançar 3, virar 90° à esquerda, avançar 2. d) avançar 4, virar 90° à esquerda, avançar 3, virar 90° à direita, avançar 2.
a) Em qual das horas representadas acima os ponteiros formam um ângulo reto? b) Indique outra hora em que os ponteiros de um relógio formam um ângulo reto. c) Às 4 horas, o ângulo entre os ponteiros é maior ou menor que um ângulo reto? d) Das 2 horas às 3 horas, quantas voltas completas dá o ponteiro grande? e) Das 12 horas às 12 horas e 30 minutos, o ponteiro grande gira quantos graus?
4. Toda manhã Alice caminha pela praça em frente a sua casa. Veja a trajetória de Alice.
2. Veja o esquadro que Fernando ganhou: A
B
Alex Argozino
A
B
C
C
Use um transferidor para verificar qual é a medida do ângulo que tem o vérice no ponto A.
D
Em cada ponto assinalado ela fez um giro. Use um transferidor para medir esses giros. Registre no caderno as medidas encontradas.
3. (Saresp) Imagine que você tem um robô tartaruga e quer fazê-lo andar num corredor sem que ele bata nas paredes. Para fazer isso, você pode acionar 3 comandos: avançar (indicando o número de casas), virar à direita e virar à esquerda. Para que você acione de forma correta o comando, imagine-se dentro do robô.
5. Tomando como exemplo os exercícios 2 e 3, represente no caderno uma trajetória. Peça para um colega descobrir quais os comandos e a medida de cada giro para percorrê-la.
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Mario Yoshida
Brasil real
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ade de água, cobrindo do mundo em disponibilid rio Amazonas é a maior A bacia hidrográfica do 000 de quilômetros quadrados. Sul: Brasil, Peru, Bolívia, aproximadamente 6 110 países da América do se estende sobre vários Essa bacia continental e Guiana. o rio Amazonas é o Colômbia, Equador, Venezuela de Pesquisas Espaciais), mente 6 990 INPE (Instituto Nacional do aproximada com medições água), de Segundo extenso e com maior volume maior rio do mundo (mais (140 quibrasileira quilômetros de extensão Bacia Amazônica: parte 50°O rio Nilo, no lômetros a mais que o OCEANO afluentes no ATLÂNTICO Egito). Seus principais Boa Tapajós Vista AP Rio Brasil são os rios Madeira, Macapá RR e Negro. 0° RioNegro
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em extensão Maiores rios do mundo s) Extensão (em quilômetro Rio Amazonas (Brasil)
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Cuiabá
.gov.br/Atlas/ Fonte: <http://atlas.ana ecutivo/ dounhoads/atlas/Resumo%20Ex %20 Atlas%20Brasil%20-%20Volume onal. 1%20-%20Panorama%20Naci 2015. pdf>. Acesso em: 17 mar.
Belém
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e res2. Observe a tabela abaixo ponda às questões no caderno.
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os nú1. Registre em seu caderno em destameros que aparecem s no que no texto, colocando-o seguida, quadro de ordens. Em escreva-os por extenso.
Purus
<www.inpe.br/noticias/ Informações obtidas em: e <aguasdemarco. noticia.php?Cod_Noticia=1501> m>. Acesso ana.gov.br/2007/rhamazonica.ht em: 23 fev. 2015.
6 300
Yang Tsé (China) Mississipi-Missouri (EUA) Yenisei (Rússia)
6 210 5 539
p?Cod_Noticia=1501>; <www.inpe.br/noticias/noticia.ph Informações obtidas em: quivos/dwnl_1196954662.pdf>; <http://desenvolvimento.gov.br/ar 070> e <wwww.russobras.com. eudo.asp?cod=3 2015. <www.biomania.com.br/bio/contbr/rios/rio_yenisei.php>. Acessos em: 6 abr.
a) Qual é o valor posicional registrados na tabela? b) E do algarismo 5?
do algarismo 8 nos números
Vista aérea do Rio Solimões
(AM). Foto de 2007.
27
Brasil real Esta seção apresenta diversas situações que possibilitam ainda mais a conexão da Matemática com diversas áreas do conhecimento. É uma ótima oportunidade para pensar sobre questões que podem auxiliá-lo a refletir sobre valores e atitudes que contribuem para sua formação como cidadão.
Publicado em 24/08/2010;
Educação financeira Com o objetivo de desenvolver reflexões sobre atitudes como hábitos conscientes de consumo, a seção trata tópicos como controle de gastos, economia etc.
Economia
ela pode ser uma eficienum orçamento apertado, mas uma tarefa difícil em meio a permite que você dilua o Comprar à vista pode parecer compra a prazo, por sua vez, no preço de um produto. A casa. te maneira de conseguir descontos necessário para levá-lo para esperar acumular todo o dinheiro custo de um bem e não precise mais interessante. [...] dele, o parcelamento fica é tão necessário, preço e maior a necessidade Quanto mais alto seu tem valor baixo e nem sempre bem o Se bolso. no que cabem O importante aqui é ter parcelas à vista. futuro. levá-lo no para feita ser dinheiro o poderia guarde que só paga para antecipar uma compra Os juros são o valor que você [...]
al-e-a-melhor-20100824.html>. Acesso em: 9 mar. 2015.
ra-a-prazo-ou-a-vista-decida-qu
r7.com/economia/noticias/comp
Fonte: <http://noticias.
ou seja, prestações “sem juros”, produtos vendidos em às Muitas lojas anunciam à vista do produto, porém o mesmo valor do preço com parcelas que totalizam na compra à vista. vezes oferecem um desconto uma guitarra musical e deseja comprar Daniel toca em um conjunto para saber qual preço de pesquisa fazer uma nova. Por isso, decidiu condições. melhores as oferece loja que pode comprar a desejada Na Loja A, Daniel descobre de 325,00, ou em 12 parcelas guitarra à vista, por R$
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Educação financeira
R$ 32,50.
A a mesma guitarra da Loja Imagine que na Loja B loja parcelas de R$ 35,00. Essa custe R$ 350,00 ou 10 à R$ 50,00 para pagamento oferece um desconto de vista. no caderno. Responda às questões qual loja é a guitarra à vista, em 1. Se Daniel decidir comprar compra? a mais vantajoso ele realizar e da loja B? o preço à vista da loja A 2. Qual é a diferença entre opção de opinião, qual é a melhor sua em prazo, a e à vista 3. Considerando os valores compra para Daniel?
241
Exercícios Responda às questões no caderno.
nada contra tuberculose metade do número de crianças que tomaram vacina contra sarampo.
1. Em um curso de inglês, a distribuição das idades dos alunos é dada pelo gráfico seguinte:
Vacinas
Idade dos alunos de um curso de inglês Número de alunos 5 4 3 2 1 0
Editoria de arte
8
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Ilustrações: Editoria de arte
2
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PDF_CONSOLIDADO
PDF_CONSOLIDADO
Exercícios Os exercícios apresentados visam à prática do conteúdo aprendido por meio de atividades variadas, escritas e orais. Após retomar os principais conteúdos que foram trabalhados, você avança um pouco mais, fazendo atividades mais desafiadoras.
Responda às questões no caderno. 1. Observe os ângulos formados pelos ponteiros do relógio, nas diferentes horas, e responda ao que se pede.
Fonte: Dados fictícios.
Responda às questões no caderno.
CM 6º ano – Adriana – CM 6º ano – Adriana –
Exercícios
Ilustrações: Editoria de arte
População
Venda anual de lâmpadas em um supermercado
w
David Lees/Corbis/Latinstock
248
Tratando a informação Esta seção trabalha de forma organizada com propostas de tratamento e organização de dados, probabilidade e Estatística.
Gráfico pictórico: leitura e interpretação Um gráfico pictórico ou pictograma, do latim pictu (pintado), apresenta figuras que traduzem a informação de forma bem sugestiva: as ideias são transmitidas por meio de desenhos. O tamanho e a quantidade desses desenhos no gráfico determinam a frequência dos dados. Veja alguns exemplos de gráficos pictóricos:
Glo
s diferentes
Diferentes povos — medida
o cotovelo e a cúbito (distância entre Os egípcios usavam o to. como unidade de comprimen ponta do dedo médio) a confusão proencontraram para evitar A saída que os egípcios e outra foi fixar tamanho entre uma pessoa vocada pela diferença de , construído do antigo Egito. equivalente a 52,4 centímetros Fragmentos de cúbito padrão um cúbito padrão, hoje madeira. em barras de pedra ou de
12
1896 1896 Uma iniciativa do Barão Francis Pierre de Coubertin
30
ck/
Justifique.
11
R$ 70
Primeiros Jogos Olímpicos da Era Moderna
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EU SOU A ISABELA E CONTEI 4 PEDAÇOS.
1
Cerca de 3,8 milhões até
São milhões de ingressos
Primeiros Jogos Olímpicos da antiguidade
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Ilustrações: Estúdio MW
EU SOU O SERGINHO E CONTEI 6 PEDAÇOS.
EU SOU O MARCOS. CONTEI 3 PEDAÇOS.
12
Funcionários Fu Func nciio ioná ári rios ios
Terceirizados Terc Te rceiiri riza izad dos dos
Tudo começou...
hu
no caderno. Responda às questões de seu to da mesa da sala da casa mediram o comprimen contou 18 1. Mariana, Caio e Gabriela contou 15 palmos, Caio próprio palmo. Mariana avô. Cada um usou o o palmo maior? Por quê? palmos. Qual deles tem palmos, e Gabriela, 16 alturas usando um mesmo resolveram medir as próprias Isabela e Serginho 2. Marcos, o que cada um contou: pedaço de barbante. Veja
11
esportes
v/S
pé
Explorando
1
42
mistas
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polegada
12
vai vibrar com
9
femininas
45 000
Explorando As atividades apresentadas valorizam a construção e a experimentação de suas próprias hipóteses com base nos seus conhecimentos prévios.
Ilustrações: Marcos Guilherme
palmo
11
136
masculinas
Os Jogos Olímpicos serão disputados em
17 dias
2
60 000
de refeições
Um bom exemplo são as imagens ao lado, com diversos dados disponibilizados pela organizadora dos Jogos Olímpicos de 2016, no Rio de Janeiro. Com base nas imagens, responda no caderno:
3 Oceania
mesas
306 3 06 provas
Como vimos, usamos números com frequência em nosso dia a dia, mas daqui em diante veremos que nem sempre recebemos de forma direta a informação de que precisamos. Muitas vezes teremos de trabalhar com os números para encontrar os dados que queremos. Esse trabalho é o que se chama comumente de calcular.
Ásia
80 000 8
cadeiras ca
locais de competição ão espalhados em quatro tro regiões da cidade
17
camas
40 4 0 000
34
Europa
6
40 000
bolas de têniss
Serão
América do Norte
cavalos
Tratando a informação
de medida. partes do corpo como unidade , entre que as pessoas utilizavam Já houve um tempo em , das construções, da agricultura do comércio, da navegação confusa a maneira de Com o desenvolvimento , o que tornou um tanto caram mais complexas outros, as medições fi do próprio corpo. medir utilizando partes
Qual deles é o mais baixo?
40
petecas p
de comprimento
Unidades de medida
passo
Até hoje A
Já foram ram m rrealizadas ealiz ea 28 edições dos Jogos Olí Olímpicos de Verão
Mais de
8 400
S NÚMERO DE PAÍSES
16
17
18
19
20
21
Idade dos alunos
Fonte: Dados fictícios.
a) Quantos alunos têm 19 anos ou menos? b) Qual o número total de alunos do curso? 2. Há 4 meses, o salário de Caio vem sendo depositado em um banco e seu saldo atual é de 1 182 reais. O extrato mostra que nesse período de tempo ele fez retiradas de 3 658 reais e um depósito de 224 reais. Qual é o salário depositado na conta de Caio, mensalmente? 3. A tabela seguinte indica o número de refeições servidas em determinada semana em certo restaurante: Refeições servidas na semana
Número de crianças
Sabin Sarampo Gripe Tuberculose
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10
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Se todas as crianças receberam uma única vacina, qual o total de crianças vacinadas nesse dia? Saiba que... Aivolie/Shutterstock/Glow Images
1
Você sabia? V
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2
Informações obtidas em: <https://www.rio2016.com/ os-jogos/olimpicos>. Acesso em: 6 mar. 2015.
Aberturas de Unidade As páginas de abertura introduzem o trabalho que será desenvolvido em cada Unidade. Nelas, você é convidado a observar os elementos da imagem e relacioná-los com seus conhecimentos sobre o tema ou a contextos que serão articulados pelas questões.
Logotipo Rio 2016
2
UNIDADE
A vacina contra a tuberculose, também conhecida como BCG, é obrigatória para crianças com menos de 1 ano de idade. A vacina Sabin, também conhecida como a “vacina da gotinha”, protege contra a poliomielite, doença que causa a paralisia infantil. A criança deve tomar a dose da vacina aos 2 meses, 4 meses, 6 meses, 15 meses e 5 anos de idade. A vacina contra a gripe protege contra o vírus causador da gripe e de doenças respiratórias. Pode ser aplicada a partir dos 6 meses de vida e tem validade por 1 ano. O sarampo é uma doença muito contagiosa e perigosa, principalmente para as crianças desnutridas. A vacina deve ser aplicada aos 9 meses e o reforço, aos 15 meses de idade.
Distribuição dos salários Número de funcionários
Dia da semana
Número de refeições servidas
segunda-feira
100
terça-feira
75
20
quarta-feira
60
8
Salário de cada um, em reais
12
1 200 1 550 2 000
quinta-feira
100
Fonte: Dados fictícios.
sexta-feira
125
Quanto essa empresa gasta, por mês, em salários?
Fonte: Dados fictícios.
Sabendo que cada refeição tem o preço fixo de 21 reais, quantas refeições foram servidas e quanto o restaurante arrecadou na semana? 4. (Saresp) A tabela incompleta a seguir deveria mostrar o número de crianças vacinadas em um dia num Posto de Saúde. Complete-a, sabendo que 10 crianças receberam vacina contra sarampo; tomaram vacina Sabin 2 crianças a mais que as vacinadas contra sarampo; o número de crianças vacinadas contra gripe foi o dobro do das crianças vacinadas contra sarampo; foi vaci-
Saiba que... Traz informações complementares de maneira acessível.
5. Numa empresa, a distribuição dos salários é representada pela tabela a seguir.
6. Viviana foi à feira e anotou alguns preços: Dúzia de bananas – 4 reais Quilograma de laranjas – 2 reais Abacaxi (unidade) – 3 reais Pastel (unidade) – 4 reais
Com o dinheiro correspondente a 4 pastéis, Viviana verificou que poderia comprar várias frutas. Faça uma lista sugerindo o que poderia ser comprado com essa quantia. Verifique se sobraria troco.
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CM 6Âş ano â&#x20AC;&#x201C; Adriana â&#x20AC;&#x201C;
3ÂŞ PROVA
3ÂŞ PROVA CM 6Âş ano â&#x20AC;&#x201C; Adriana â&#x20AC;&#x201C; 3ÂŞ PROVA
CM 6Âş ano â&#x20AC;&#x201C; Adriana â&#x20AC;&#x201C; 3ÂŞ PROVA
Para quem quer mais
Um grande aventureiro
Ilustraçþes: Estúdio MW
lução. que calO capĂtulo III de O homem impressioculava narra uma aventura amigo viajavam nante. Beremiz e um Ăşnico camelo, rumo a BagdĂĄ em um irmĂŁos discutrĂŞs m encontrara quando Curioso, Beremiz tindo acaloradamente. discussĂŁo. Os irquis saber o motivo da recebido mĂŁos contaram que tinham e que, seguncomo herança 35 camelos mais velho devedo a vontade do pai, o irmĂŁo do meio ria receber a metade; o parte e o irmĂŁo terça a receber deveria herança, porĂŠm caçula, a nona parte da como dividir discutiam por nĂŁo saber jĂĄ que a daquela forma os 35 camelos, parte de 35 metade, a terça e a nona nĂŁo sĂŁo exatas.
PalĂŞ Zuppani/Pulsar
Quando temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra No ano de 2015 havia, no Brasil, 39 ministros. Cada ministro ĂŠ responsĂĄvel por um ministĂŠrio, uma secretaria, ou outro ĂłrgĂŁo com poderes de um ministĂŠrio. Dos 39 ministros, 33 sĂŁo homens e 6 sĂŁo mulheres. Quantos homens ocupam o cargo de ministro a mais que mulheres? Para resolver esse problema, podemos fazer 33 2 6.
Tahan O escritor ĂĄrabe Malba aldeia nasceu em 1885 em uma lugar nas proximidades de Meca, ĂŠ uma santo do Islamismo, que religiĂŁo muçulmana. ConsEstudou no Cairo e em o assumir a tantinopla e chegou da cargo de queimação (prefeito) cidade de El-Medina. grande Aos 27 anos, recebeu uma loniniciou e pai do herança pela RĂşsga viagem pelo JapĂŁo, 1921, lusia e Ă?ndia. Morreu em uma tritando pela libertação de bo na ArĂĄbia Central. Malba Tahan tambĂŠm o mundo e viver aventuras, conhecer em Interessado pela MatemĂĄtica. em dipublicado tinha uma grande paixĂŁo foi , O homem que calculava, uma Seu livro mais conhecido capĂtulo desse livro traz com muito sucesso. Cada reversos paĂses e sempre m principal, famoso por Beremiz Samir, personage histĂłria vivenciada por sem sosolver problemas que parecem
181
Para quem quer mais Nesta seção você encontra informaçþes complementares relacionadas ao conteúdo estudado.
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nĂşmero de homens (minuendo)
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nĂşmero de mulheres (subtraendo)
2 7
número de homens a mais (diferença ou resto)
Esplanada dos ministĂŠrios, Congresso Nacional e Lago ParanoĂĄ ao fundo. BrasĂlia, DF. Foto de março de 2009.
EntĂŁo, em 2015 havia 27 ministros homens a mais que mulheres. JoĂŁo Prudente/Pulsar
Quando temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra A produção mensal de uma olaria Ê 5 000 tijolos. Nesse mês, a olaria produziu 3 925 tijolos. Quantos tijolos ainda faltam para completar a produção mensal? Para resolver esse problema, devemos fazer 5 000 2 3 925. 5 0 0 0 2 3 9 2 5 1 0 7 5
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Produção de tijolos artesanais em Ouro Fino, MG.
subtraendo diferença ou resto (resultado da operação)
Faltam 1 075 tijolos para completar a produção mensal. Descubra mais à lgebra (coleção Pra que serve a Matemåtica?), de Luiz Marcio Pereira Imenes, Marcelo Lellis e JosÊ Jakubovic. Editora Atual, 2004. Você verå, nesse volume, as aplicaçþes pråticas da à lgebra por meio de situaçþes curiosas e divertidas. TambÊm hå no livro brincadeiras, como programas de desenho no microcomputador, alÊm de curiosidades sobre Einstein e vocabulårio matemåtico.
41
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4 Deslize o esquadro atĂŠ a reta t e observe
3 Deslize o esquadro e observe que o lado que
que o lado que coincidia com a reta s nĂŁo coincide com a reta t, ou seja, as retas s e t nĂŁo sĂŁo paralelas.
coincidia com a reta r agora coincide com a reta s, ou seja, as retas r e s sĂŁo paralelas. t
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As retas r e s sĂŁo paralelas. As retas r e t nĂŁo sĂŁo paralelas, assim com as retas s e t. b)
c)
148
Desafios no caderno. Responda Ă s questĂľes 3 volume igual a 1 cm . Editoria de arte
1. O bloco a seguir tem
Volume do bloco: 1 cm3 1 cm 1 cm 1 cm
1 cm (altura) 1 cm (largura) 1 cm (comprimento)
Ilustraçþes: Estúdio MW
acontece com o volume? altura do bloco, o que largura? a) Dobrando apenas a dobråssemos apenas a o volume do bloco, se b) O que aconteceria com o comprimento? E se fosse dobrado apenas s ao mesmo tempo a altura, com o volume, se dobråssemo c) O que aconteceria to do bloco? a largura e o comprimen Você de 5 litros e um de 3 litros. um baldes: dois poço, você possui apenas fazer isso? 2. Para tirar ågua de um , com 1 litro de ågua. Como precisa ficar, exatamente
s, faltanquase todos os ingrediente um bolo. Ela jĂĄ mediu , pois os 3. MĂĄrcia estĂĄ preparando como medir essa quantidade mL. leite. MĂĄrcia nĂŁo sabe do apenas 300 mL de 500 mL e um copo de 200 dispĂľe sĂŁo uma jarra de Ăşnicos recipientes de que no lugar de MĂĄrcia? O que vocĂŞ faria se estivesse
285
Desafios Esta seção apresenta situaçþes desafiadoras que podem ser resolvidas individualmente ou em grupo e que demandam diversas estratĂŠgias de resolução, como lĂłgica, raciocĂnio e cĂĄlculo mental, em busca de uma solução.
838
162
1 000
2a
160
15
2 400
3a
3 600
2
1 800
4a
1 864
17
1 847
a)
b)
c)
d) Rita, Paula e Marcos gos7. (Saresp) Fernanda, memĂłriaâ&#x20AC;? e combinatam de jogar â&#x20AC;&#x153;O jogo da as jogadas valem: ram que as fichas para
distribuir 60 bolas de 3. (Saresp) Paulo deseja todos os favorecidos gude de maneira que , sem sobrar nerecebam a mesma quantidade qual dos grupos abaixo nhuma bolinha. Para te a distribuição? ele poderå fazer corretamen c) Seus 8 vizinhos. a) Seus 6 primos. d) Seus 11 colegas. b) Seus 7 sobrinhos.
12. (OBM) Um carpinteiro fabrica caixas de madeira abertas na parte de cima, pregando duas placas retangulares de 600 cm2 cada uma, duas placas retangulares de 1 200 cm2 cada uma e uma placa retangular de 800 cm2, conforme representado no desenho.
64 pontos.
32 pontos.
16 pontos.
em uma tabela,
As partidas foram registradas e o resultado final foi:
4. Qual ĂŠ o valor da expressĂŁo 3 2 (3 3 3 )? 2 (43 4 4) 7 2 e) 100 c) 85 a) 80 d) 95 b) 90 figurinhas. Meu primo 320 1 Tenho 5. (Saresp) tenho. Minha irmĂŁ tem tem a metade do que das figurinhas do meu o triplo (ou trĂŞs vezes) minha irmĂŁ tem? primo. Quantas figurinhas c) 1 940 a) 1 900 d) 1 980 b) 1 930
1. Com rĂŠgua e esquadro, verifique se hĂĄ lados paralelos nos quadrilĂĄteros a seguir. a)
digitados Resultado Número das Números operaçþes na calculadora 1a
Jogador Fernanda
1
1
3
Rita
1
1
1
Paula
1
0
2
Marcos
1
0
4
83
14. Um reservatĂłrio, cujo volume ĂŠ 10 m3, estava totalmente cheio, quando dele foram retirados 2 200 L de ĂĄgua. Numa segunda vez, foi retirado 1 da quantidade de ĂĄgua que restou. Quantos 3
Um novo olhar Ă&#x2030; o momento de vocĂŞ refletir sobre os conhecimentos que adquiriu ao longo da Unidade e analisar sua produção e participação nas propostas de trabalho, ampliando seu comprometimento com sua aprendizagem.
litros ainda restaram nesse reservatĂłrio?
15. (OBMEP) Cada uma das 5 xĂcaras da figura estĂĄ cheia sĂł com cafĂŠ, sĂł com leite ou sĂł com suco. No total, a quantidade de cafĂŠ ĂŠ o dobro da de suco. Nenhuma das bebidas estĂĄ em mais de 2 xĂcaras diferentes. Quais as xĂcaras que contĂŞm leite?
Qual ĂŠ o volume, em litros, da caixa? Note que 1 litro 1 000 cm3. 13. Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos. Sabendo que 1 hora equivale a 60 minutos e 1 minuto equivale a 60 segundos, e admitindo que as gotas tenham sempre volume igual a 0,2 cm3, qual o volume, em decĂmetros cĂşbicos, de ĂĄgua que vaza em uma hora?
I
II
950 mL
750 mL
III
IV
550 mL
Descubra mais Apresenta indicaçþes de livros e sites que propiciam o enriquecimento e aprofundam o conteúdo em questão.
Retomando o que aprendeu Esta seção visa sistematizar os temas trabalhados por meio de atividades que integram os conteúdos estudados na Unidade.
vårias operaçþes utilizan6. Joãozinho resolveu os resultados do uma calculadora e encontrou a seguir.
ele apertou para cheA ordem das teclas que gar a esses resultados foi:
Ilustraçþes: Editoria de Arte
outro lado do ângulo reto do esquadro.
lados do ângulo reto coincida com uma das retas (por exemplo, a reta r).
Ilustraçþes: Editoria de arte
2 Fixe a rĂŠgua de modo que fique encostada no
1 Posicione o esquadro de modo que um dos
u Retomando o que aprende no caderno. Responda Ă s questĂľes fazer uma mĂŠdia de 1. (Saresp) Paulo consegue em 10 minutos. 3 exercĂcios de MatemĂĄtica 6 exercĂcios. Hoje, a professora passou deve gastar para fazer Paulo Quanto tempo a tarefa? c) 20 minutos. a) 5 minutos. minutos. 40 d) b) 10 minutos. 8 de animais e comprou 2. Isabel foi a uma feira 2 reais. Isabel tinha pintinhos. Cada um custou quanto Isabel ficou? 2 notas de 20 reais. Com c) 34 reais. a) 14 reais. 40 reais. d) reais. 24 b)
EstĂşdio MW
Desenho GeomÊtrico A seção trabalha algumas construçþes, demonstraçþes e propriedades de figuras geomÊtricas.
Como saber se duas retas sĂŁo paralelas Materiais utilizados rĂŠgua; esquadro.
EstĂşdio MW
Desenho GeomĂŠtrico
Veja como verificar se duas retas sĂŁo paralelas, considerando as retas r, s e t da figura.
V
475 mL
325 mL
a) Apenas a xĂcara I.
d) As xĂcaras III e V.
b) As xĂcaras III e IV.
e) As xĂcaras IV e V.
c) As xĂcaras II e V.
Um novo olhar Nesta Unidade, ampliamos nossos conhecimentos sobre o volume que um corpo ocupa no espaço e a capacidade de armazenamento que esse corpo tem em seu interior. Estudamos duas medidas fundamentais, a medida de volume, o metro cĂşbico (mÂł), e a medida de capacidade, o litro (L). Estudamos, tambĂŠm, os submĂşltiplos e mĂşltiplos do mÂł e do L, bem como as estratĂŠgias relacionadas Ă conversĂŁo de medidas. Vamos retomar e refletir sobre as aprendizagens da Unidade 8: Qual ĂŠ a unidade fundamental de medida de volume? Como medimos o volume de um paralelepĂpedo? Qual ĂŠ a diferença entre volume e capacidade? Qual ĂŠ a função do hidrĂ´metro utilizado em sua residĂŞncia? Houve alguma mudança na sua postura em relação Ă pergunta feita na abertura da unidade, sobre deixar as coisas sujas ou gastar ĂĄgua? 287
CM 6Âş ano â&#x20AC;&#x201C; Adriana â&#x20AC;&#x201C; 3ÂŞ PROVA
Investigando jogos â&#x20AC;&#x153;NĂŁo hĂĄ homens mais inteligentes do que aqueles que sĂŁo capazes de inventar jogos. Ă&#x2030; aĂ que seu espĂrito se manifesta mais livremente.â&#x20AC;? Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), matemĂĄtico alemĂŁo.
Qual Ê seu jogo? Existem diferentes tipos de jogos: com tabuleiro, com cartas, de salão ou de conhecimentos, com bola, com raquetes, com peças para montar...
Em que jogo vocĂŞ ĂŠ bom? Ou naqueles em que o raciocĂnio lĂłgico ĂŠ o mais importante, como jogo da velha, xadrez, damas e outros?
Photodisc/Getty Images
Photodisc/Getty Images
Marinez Maravalhas Gomes
<Foto P1>
Você tem uma boa visão espacial? Então vai se dar bem com os jogos de encaixe, como quebra-cabeças.
Talvez seu forte seja a memĂłria, o que ajuda muito nos jogos de cartas, como o jogo da memĂłria.
Karen Struthers/Shutterstock/Glow Images
Nos jogos que exigem bom preparo fĂsico, como vĂ´lei, futebol e basquete?
VocĂŞ ĂŠ bom no videogame?
Este projeto vai ajudar você a descobrir suas preferências e a trabalhar melhor suas habilidades nos jogos. Primeiro, você e seu grupo fazem uma pesquisa sobre alguns jogos existentes para entender melhor como são feitos e como a Matemåtica pode ajudå-los a se sair bem na maioria deles. Depois, vocês inventam um jogo novo, com peças e regras criadas pelo grupo. No fim, a turma pode fazer um campeonato com um ou mais jogos criados. 298
Projeto Para ser desenvolvido em grupo, o projeto ĂŠ interdisciplinar e convida a colocar em prĂĄtica o que vocĂŞ aprendeu ao longo do ano.
d) 540 e) 720 5. 2 200 6. a) 16 b) 8 c) 40 d) 75 e) 48 f) 120 7. n ĂŠ 33 ou 27 8. 40 pessoas. 9. 60 minutos. 10. 120 segundos. 11. 420 anos terrestres. 12. 20 dias. 13. 120 minutos. 14. 240 anos. 15. 18 centĂmetros. 16. 9 horas e 30 minutos. 17. 55 moedas. 18. 10 horas. 19. a) 6 minutos. b) 9 voltas completas. 20. 84 21. 13 Brasil real p. 117 1. a) Resposta em aberto. b) 1, 2 e 5 c) I. 10 metros. II. 26 mudas. d) Resposta em aberto.
corda esticada. b: encontro de duas paredes; superfĂcie de um c: superfĂcie de uma parede; uma piscina; quadro de giz; superfĂcie de mesa. superfĂcie do tampo de uma 2. Plana. 3. a) Plana. b) NĂŁo plana. Desafios p. 126 h. 1. Alternativas a, b, d, f e 2. Alternativa f.
1. a) 3 horas. b) 9 horas. c) Maior. d) 1 volta. e) 180° 2. 30° 3. Alternativa a. D: 95° 4. A: 90°; B: 45°; C: 130°; 5. Resposta em aberto.
Desafio p. 129 Rua Visconde 1. a) ClĂĄudio trabalha na na Rua de InhaĂşma, e Sueli trabalha Comandante Marcondes Salgado.
11. 1024 12. a 5 60 b 5 81 c 5 102 d 5 123 e 5 144 13. 202 azulejos. 14. 1 Unidade 4 Geometria: as ideias intuitivas Explorando p. 123 1. Respostas pessoais. 2. Respostas pessoais. 3. Respostas pessoais. ExercĂcios p. 125 um pingo de tinta em 1. a: â&#x20AC;&#x153;cabeçaâ&#x20AC;? de alfinete; uma folha de papel.
b) Paralelas. c) NĂŁo.
Brasil real p. 138 1. a) Não. São Paulo. b) Estação Central do Brasil; c) Resposta em aberto. triângulos, d) Estação Central do Brasil: A Lua: nenhum; quadrilåteros e pentågonos; triângulos. São Paulo: quadrilåteros e
ExercĂcios p. 131 e 132
2. Resposta pessoal.
1. a) 8 b) 7 c) 4
Explorando p. 139 1. a) A, D; B, C, E. b) Resposta pessoal.
e 7. 2. Nas figuras 3, 6 . 3. Cinco: PA,PB,PC,PD e PF
c) B, C. 2. Resposta em aberto. 3. Quadro B.
4. 7 segmentos. . 5. a) BC , ou BD , ou AC b) AB ou AC .
ExercĂcios p. 142 1. A figura do item a. 2. Sim; polĂgono nĂŁo convexo.
c) AB , ou CD , ou BC . 6. a) AB e MN . b) BN , BC ou CN . . c) AB e AM ou AC e AB 7. a) V b) F 8. 10 segmentos.
c) V d) V
Desafio p. 132 1.
ExercĂcios p. 134 1. a) 6 unidades. b) 2 unidades. c) 4 unidades.
Respostas No final do livro estĂŁo todas as respostas das atividades propostas.
ExercĂcios p. 137
2. Inclinada. 3. a) Concorrentes. b) Concorrentes. c) Concorrentes. d) Paralelas. e) Concorrentes. 4. a) Vertical. b) Concorrentes. 5. Infinitas retas.
p. 118 e 119 Retomando o que aprendeu 30, 36, 42 e 48. 1. 8 casas; 6, 12, 18, 24, 2. Alternativa e. 3. Alternativa c. 4. Alternativa b. 5. Alternativa b. 6. Alternativa c. 810. 7. 3 nĂşmeros; 270, 540 e 8. 12 9. Alternativa d. 10. Alternativa d.
2. a) 4u b) 2u c) 1u d) 6u e) 6u f ) 10u 3. 38 quarteirĂľes. 4. Figuras a, d, e, h. 5. Respostas em aberto. Explorando p. 135 1. a e C; b e A; c e B.
ExercĂcios p. 128 1. Uma Ăşnica reta.
Editoria de arte
Projeto
Oliveromg/Shutterstock/Glow Images
CM 6Âş ano â&#x20AC;&#x201C; Adriana â&#x20AC;&#x201C;
3. a) Octógono. b) Quadrilåtero. 4. 6 lados; hexågono. 5. Triângulo. 6. Sim. 7. 30 unidades; 24 unidades. 8. Alternativa c. Tratando a informação 1. Alternativa c.
p. 143
145 Para quem quer mais p. 3), (M, 4), (M, 5) e 1. Couraçado: (M, 2), (M, Cruzador: (D, 12), (M, 6); Submarino: (N, 10); : (K, 13) e (E, 12), (F, 12) e (G, 12); Destroyer (F, 5) e (G, 6). (L, 13); Hidroavião: (E, 6), 2. Alternativa a. 3. Alternativa d.
311
Sumário 1
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO .....................................................10
1. Uma história muito antiga ........................................... 12 As civilizações do passado e os seus sistemas de numeração ............................................................... 13 Brasil real ....................................................................... 17 2. E o nosso sistema de numeração? ............................... 18 A história continua... .................................................... 18 O conjunto dos números naturais ................................. 20
Brasil real ....................................................................... 61 4. Ideias associadas à divisão .......................................... 62 Propriedades da divisão de números naturais ................. 65 Relação fundamental da divisão .................................... 66 Expressões numéricas com as quatro operações ............. 67 Brasil real ....................................................................... 68 5. Resolvendo problemas ................................................. 69
Tratando a informação Organização, leitura e interpretação de tabelas........ 22
6. Potenciação de números naturais ................................ 74 O quadrado de um número............................................ 76 O cubo de um número ................................................... 76
Brasil real ....................................................................... 27
Brasil real ....................................................................... 79
Educação financeira.................................................... 28
Raiz quadrada exata de um número natural ................... 80 Resolvendo expressões numéricas com todas as operações ................................................................. 81 Calculando potências com a calculadora ........................ 81
Retomando o que aprendeu .................................. 29
Retomando o que aprendeu .................................. 83
2
CÁLCULOS COM NÚMEROS NATURAIS...........................................................30
1. Ideias associadas à adição ........................................... 32 Brasil real ....................................................................... 34 Propriedades da adição de números naturais ................. 36 Tratando a informação Da tabela para o gráfico de barras: leitura e interpretação ........................ 38 2. Ideias associadas à subtração ...................................... 40 Brasil real ....................................................................... 43 Relação fundamental da subtração ................................ 46 Conhecendo algumas teclas da calculadora ................... 46 Expressões numéricas .................................................... 47 Tratando a informação População e amostra............. 49 3. Ideias associadas à multiplicação ................................ 50 O algoritmo da multiplicação ......................................... 52 Propriedades da multiplicação de números naturais ....... 54 Expressões numéricas .................................................... 57 Utilizando a calculadora para resolver expressões numéricas ..................................................................... 60
3
DIVISIBILIDADE: DIVISORES E MÚLTIPLOS ....................................86
1. Noção de divisibilidade ................................................ 88 Encontrando o resto com a calculadora .......................... 90 2. Critérios de divisibilidade ............................................. 92 Divisibilidade por 2 ........................................................ 92 Divisibilidade por 3 ........................................................ 93 Divisibilidade por 6 ........................................................ 93 Divisibilidade por 4 ........................................................ 94 Divisibilidade por 8 ........................................................ 94 Divisibilidade por 9 ........................................................ 95 Divisibilidade por 5 ........................................................ 95 Divisibilidade por 10 ...................................................... 96 Brasil real ....................................................................... 97 Tratando a informação Gráfico pictórico: leitura e interpretação ..................... 98
3. Divisores, fatores e múltiplos de um número natural................................................ 100 Quando um número é múltiplo de outro....................... 101
5. Triângulos e quadriláteros........................................... 146 Triângulos.................................................................... 146 Quadriláteros............................................................... 147
4. Números primos.......................................................... 104 Como reconhecer outros números primos?................... 104
Brasil real...................................................................... 151
Brasil real...................................................................... 107
Retomando o que aprendeu ................................. 153
5. Decomposição em fatores primos....................................................... 108 Brasil real...................................................................... 111
5
A FORMA FRACIONÁRIA DOS NÚMEROS RACIONAIS...............................154
6. Máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum............................................. 112 Máximo divisor comum............................................... 112 Mínimo múltiplo comum............................................... 114
1. A ideia de fração......................................................... 156 Conhecendo as frações................................................. 157
Brasil real...................................................................... 117
Brasil real...................................................................... 160
Retomando o que aprendeu ................................. 118
2. Resolvendo problemas que envolvem frações........................................................ 161 Brasil real...................................................................... 163
4
GEOMETRIA: AS IDEIAS INTUITIVAS.......................................120
1. Ponto, reta e plano...................................................... 122 Noção intuitiva de ponto, de reta e de plano........................................................ 123 Figuras geométricas..................................................... 124 2. A reta.......................................................................... 127 Posições relativas de duas retas em um plano................................................................ 127 Semirreta..................................................................... 130 Segmento de reta......................................................... 130 Medida de um segmento e segmentos congruentes...... 133 3. Giros e ângulos........................................................... 135 Um giro pode ser medido............................................. 135 Brasil real...................................................................... 138 4. Polígonos.................................................................... 139 Identificando polígonos................................................ 140 Tratando a informação Gráfico de setores: leitura e interpretação.......... 143
3. Comparando frações................................................... 164 4. Obtendo frações equivalentes..................................... 167 Uma propriedade importante........................................ 168 Simplificação de frações: frações irredutíveis................. 168 Brasil real...................................................................... 171 5. Reduzindo duas ou mais frações ao mesmo denominador............................................. 172 Tratando a informação Gráfico de linhas: leitura e interpretação.................... 174 6. Adição e subtração de frações.................................... 175 7. A forma mista............................................................. 183 Brasil real...................................................................... 187 8. Multiplicação.............................................................. 188 Multiplicando um número natural por um número na forma de fração..................................... 188 Multiplicando números na forma de fração................... 189 A técnica do cancelamento........................................... 190 Potenciação de frações................................................. 192
9. Divisão........................................................................ 193 Inversa de uma fração.................................................. 193 A divisão...................................................................... 194 10. As frações e a porcentagem........................................ 197 11. Probabilidade.............................................................. 200 12. Resolução de problemas............................................. 202 Tratando a informação Interpretando gráfico................................. 208 Retomando o que aprendeu ................................. 210
Multiplicando com números na forma decimal........................................................................ 233 Potenciação de números na forma decimal........................................................................ 235 6. Divisão com números na forma decimal ...................................................................... 236 Dividindo por 10, por 100, por 1 000............................ 236 Dividindo por um número natural, diferente de zero............................................................................. 237 Dividindo por um número na forma decimal.................. 238 A divisão não exata: um quociente aproximado.................................................................. 239
6
A FORMA DECIMAL DOS NÚMEROS RACIONAIS........................................................212
Educação financeira .................................................. 241 7. Os números na forma decimal e o cálculo de porcentagens.......................................... 242
1. Introdução................................................................... 214 Trocando dinheiro........................................................ 214
Brasil real...................................................................... 243
Brasil real...................................................................... 217
Retomando o que aprendeu ................................. 244
Educação financeira .................................................. 218 2. Representação decimal............................................... 219 Unidade decimal.......................................................... 219 Números racionais na forma decimal............................ 220 Transformando em fração um número na forma decimal....................................... 222 3. Propriedade geral dos números na forma decimal................................... 224 Comparando números na forma decimal....................... 224 Brasil real...................................................................... 226 Tratando a informação O estudo das médias................................ 227 4. Adição e subtração com números na forma decimal.................................. 229 Brasil real...................................................................... 231 5. Multiplicação com números na forma decimal ........................................ 232 Multiplicando por 10, por 100, por 1 000...................... 232 Multiplicando um número natural por um na forma decimal............................................. 232
7
MEDIDAS DE COMPRIMENTO E SUPERFÍCIE.....................................................246
1. Unidades de medida de comprimento......................... 248 Diferentes povos – medidas diferentes.......................... 248 O metro linear.............................................................. 250 2. Transformação das unidades de medida de comprimento........................................ 252 3. Perímetro de um polígono........................................... 254 Brasil real...................................................................... 256 4. Unidades de medida de superfície.............................. 257 O metro quadrado........................................................ 257 Transformação das unidades de medida de superfície..................................................................... 257 As medidas agrárias..................................................... 259 Explorando medidas com a calculadora......................... 259 Brasil real...................................................................... 261
5. Áreas das figuras geométricas planas......................... 262 Área do retângulo........................................................ 262 Área do quadrado........................................................ 263 Área do paralelogramo................................................. 263 Área do triângulo......................................................... 264 Área do trapézio........................................................... 265 Decompondo figuras para calcular a área.......................................................................... 266 Tratando a informação Gráfico de linhas: Análise de estimativas e projeções.......................... 270 Retomando o que aprendeu ................................. 271
8
VOLUME E CAPACIDADE.....................................................272
1. Medindo o espaço ocupado...................................................................... 274 Os sólidos geométricos................................................. 274 Volume........................................................................ 275 Unidades de medida de volume.................................... 276 Volume do paralelepípedo retângulo e do cubo....................................................................... 277
3. Outras unidades de medida para expressar medida de capacidade............................................................. 283 Transformação das unidades de medida de capacidade............................................. 283 Retomando o que aprendeu ................................. 286
9
MEDIDAS DE MASSA.........................................................288
1. Unidades de medida de massa................................... 290 Unidades de medida de massa..................................... 290 Transformação das unidades de medida de massa..................................................................... 291 Uma relação importante............................................... 292 Brasil real...................................................................... 295 Tratando a informação Estudo com médias, análise e interpretação de tabela e gráfico............... 296 Retomando o que aprendeu ................................. 297
Projeto: Investigando jogos........................................... 298
2. Unidades de medida de capacidade............................................................. 279
Respostas......................................................................... 306
Brasil real...................................................................... 281
Bibliografia...................................................................... 320
Lista de siglas.................................................................. 319
1
UNIDADE
Sistemas de numeração No dia a dia, lidamos o tempo todo com os números. Dificilmente você passará um dia sem utilizá-los. Para isso, usamos os algarismos do nosso sistema de numeração. Os números fazem parte do cotidiano das pessoas há milênios, mas nem todos os sistemas de numeração são como o nosso.
Renato Soares/Imagens do Brasil
Sistema de Numeração Guarani
Selecionamos três diferentes sistemas de numeração (guarani, egípcio e chinês) para que você possa perceber isso. Agora pense e responda no caderno:
Como será que os números foram criados?
10
Art Painter/Shutterstock/Glow Images
Você conhece algum outro sistema de numeração? Qual?
Por exemplo, para representar dois nesse sistema levanta-se os dedos polegar e mindinho.
Estúdio MW
O sistema de numeração Guarani utiliza os gestos da mão para contar.
Estúdio MW
Indígena Guarani de Aracruz no Espírito Santo, 2014.
Você consegue encontrar algum padrão em cada representação ilustrada? Será que existe uma regra em cada uma dessas representações?
1 – Petei 2 – Mokoi 3 – Bohapy 4 – Irundy 5 – Po 6 – Pote 7 – Pokoi 8 – Pohapy 9 – Porundy 10 – Pa 11 – Patei 12 – Pakoi 13 – Pahapy
Informações obtidas em: <https://repositorio.ufsc.br/ xmlui/bitstream/handle/123456789/96063/PECT0139-D. pdf?sequence=1&isAllowed=y>. Acesso em: 23 abr. 2015.
Sistema de Numeração chinês
Escrita chinesa em ossos.
Observe os símbolos do sistema de numeração egípcio
O sistema chinês usa ideogramas
1
10
2
100
3
4
5
1 000
Veja ao lado a representação dos números 11 e 12.
6
10 000
7
100 000
8
9
1 000 000
Ilustrações: Estúdio MW
Templo de Karnak. Egito, 2011.
1
2
10
100
3
1 000
4
5
6
7
10 000
8
9
Ilustrações: Estúdio MW
De Agostini/G. Dagli Orti/Glow Images
Daphne Benoit/AFP/Getty Images
Sistema de Numeração egípcio
Veja abaixo a representação do número 234. 11
12
11
1
Uma história muito antiga
Os números fazem parte da vida das pessoas. Eles estão presentes em casa, no trabalho, no lazer, no supermercado, na feira, na escola, entre outros. E a gente, muitas vezes, nem se dá conta disso. O interessante é que os números são usados com várias finalidades: contar, ordenar, medir ou codificar.
Explorando 1. Faça no caderno um quadro com pelo menos 10 números que fazem parte de sua vida e são usados para contar, ordenar, medir ou codificar.
Meu CEP
22222-000
usado como código
Minha altura Minha idade
Mas nem sempre foi assim. Há muito, muito tempo, para saber quantas ovelhas tinha, um pastor separava uma pedrinha para cada ovelha quando as soltava para pastar. Ao recolher o rebanho, retirava uma pedrinha daquelas que havia separado para cada ovelha que encontrava. Cada pedrinha retirada correspondia a uma ovelha. E foi assim, comparando quantidades, que o ser humano aprendeu a contar. De um lado, temos a quantidade de pedrinhas; do outro, a quantidade de ovelhas. Surgiu daí uma ideia comum aos dois grupos que ele comparava: o número. As pessoas também costumavam registrar quantidades fazendo, por exemplo, nós em cordas, marcas em pedaços de madeira ou ossos. Cada nó, cada marquinha na madeira ou no osso, correspondia a um elemento da quantidade que se queria contar. Poucos desses registros existem hoje. Na antiga Tchecoslováquia, foi encontrado um osso de lobo com 55 incisões, dispostas em duas séries: uma com 25 e outra com 30 incisões. Em cada série, os riscos estavam em grupos de 5. Isso aconteceu há 30 mil anos! 12
Ilustrações: Estúdio MW
...
Sistema de numeração é um conjunto de regras que permite escrever e ler qualquer número utilizando símbolos e palavras. A história da humanidade nos Algumas das antigas civilizações mostra a existência de muitos sis120°O 60°O 0° 60°L 120°L 180° 180° babilônios romanos Círculo Polar Ártico temas de numeração, criados por de 3500 a.C. de 750 a.C. a 500 a.C. a 500 d.C. vários povos: egípcios, babilônios, chineses, maias, romanos, hinTrópico de Câncer gregos dus, entre outros. OCEANO de 1100 a.C. PACÍFICO maias Equador a 400 d.C. hindus Essas antigas civilizações vivede 100 d.C. de 2000 a.C. a 600 d.C. OCEANO a 700 d.C. ram há muitos, muitos anos. VeATLÂNTICO Trópico de Capricórnio egípcios OCEANO ja, no mapa ao lado, a localização de 4000 a.C. ÍNDICO a 700 a.C. de algumas delas e o período de maior desenvolvimento que essas 0 3 900 Círculo Polar Antártico civilizações tiveram.
Sonia Vaz
As civilizações do passado e os seus sistemas de numeração
chineses a partir de 2200 a.C. OCEANO PACÍFICO
0°
Fonte: ATLAS histórico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: FAE, 1991.
O Sistema de Numeração Egípcio
Saiba que...
Um
Dez
Cem
Mil
Dez mil
Cem mil
Um milhão
Haste vertical.
Osso de calcanhar.
Corda enrolada.
Flor de lótus.
Dedo indicador.
Ave, peixe ou girino.
Homem ajoelhado com braços erguidos.
Editoria de Arte
Os egípcios criaram um dos primeiros sistemas de numeração de que se tem notícia. Veja os símbolos que eles utilizavam para representar quantidades:
a.C. quer dizer “antes de Cristo”. d.C. quer dizer “depois de Cristo”.
The Art Archive/Alfredo Dagli Orti/Other Images
Ao agrupar esses símbolos, era possível escrever números muito grandes, utilizando as seguintes regras: Cada símbolo podia ser repetido no máximo nove vezes. A cada dez símbolos repetidos fazia-se a troca por outro, de um agrupamento superior. Adicionavam-se os valores dos símbolos utilizados para encontrar o valor representado. Assim: 2002
49
127 Detalhe de inscrições do Templo de Karnak, no Egito, 1530-1076 a.C. Na imagem é possível observar símbolos do Sistema de Numeração Egípcio.
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Suzanne Held/AKG-Images/Latinstock
O Sistema de Numeração Babilônico Em escavações arqueológicas na região da Mesopotâmia foram encontrados blocos de argila com inscrições que se assemelhavam a cunhas. Assim, a escrita desse povo recebeu o nome de cuneiforme. Os babilônios usavam dois símbolos para registrar quantidades: cravo
asna
O “cravo” podia ser utilizado até nove vezes, representando os números de 1 a 9.
O número 10 era representado pelo símbolo “asna”.
Inscrições em escrita cuneiforme, datadas do fim do século VI a.C., em Persépolis, antiga capital do Império Persa, atual Irã.
Exemplos: Um
Três
Cinco
Seis
Nove
Dez
O Sistema de Numeração Babilônico não possuía inicialmente um símbolo para representar o zero. Nesse sistema era usado um espaço entre os símbolos para diferenciar o tipo de agrupamento, e o símbolo usado para representar o 1 era o mesmo do 60. A contagem era feita em agrupamentos de 60, assim: 61
2
1 60 1 1 60
71
11152
1 60 1 10 1 1
1 1 5 61
60
1 10 1 1 5 71
O Sistema de Numeração Romano O sistema de numeração que os romanos criaram era baseado em sete símbolos. I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1 000
Apesar de hoje usarmos as letras maiúsculas do alfabeto latino para esses símbolos, a sua forma inicial não teve origem nesse alfabeto. O cinco, por exemplo, indicava os 5 dedos da mão e era representado assim: Com o tempo, o símbolo foi simplificado: Veja a seguir as mudanças que ocorreram com o símbolo do número 1 000:
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As regras do Sistema de Numeração Romano O Sistema de Numeração Romano apresenta as seguintes regras: Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos, no máximo, três vezes. Ié1
X é 10
C é 100
M é 1 000
II é 2
XX é 20
CC é 200
MM é 2 000
III é 3
XXX é 30
CCC é 300
MMM é 3 000
Um símbolo colocado à esquerda de outro símbolo de maior valor indica uma subtração dos respectivos valores.
IV é 5 2 1 5 4
XL é 50 2 10 5 40
CD é 500 2 100 5 400
IX é 10 2 1 5 9
XC é 100 2 10 5 90
CM é 1 000 2 100 5 900
Lembre-se: • l só pode ser subtraído de V e X. • X só pode ser subtraído de L e C. • C só pode ser subtraído de D e M. • Os símbolos V, L e D não podem ser subtraídos de nenhum outro.
Para representar os números no Sistema de Numeração Romano, basta colocar os símbolos lado a lado e adicionar seus valores. VI é 5 1 1 5 6 Science Museum/SSPL/Keystone
XI é 10 1 1 5 11 XV é 10 1 5 5 15 XXXVII é 30 1 7 5 37 CCLIV é 200 1 50 1 4 5 254 CMLXII é 900 1 60 1 2 5 962 MDCCCXXIII é 1 000 1 800 1 20 1 3 5 1 823 Um símbolo com um traço acima dele representa milhares; com dois traços representa milhões. V é 5 000
XX é 20 000 000
VIDCCXX é 6 720
XLVVII é 45 000 007
Medalha entregue aos ganhadores do Prêmio Nobel. Nela estão indicados em símbolos romanos os anos de nascimento (1833) e de óbito (1896) de Alfred Nobel, criador do prêmio.
No Sistema de Numeração Romano não há um símbolo para representar o zero. Descubra mais A jaçanã (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli Neto. Editora FTD, 1997. Três meninos e duas meninas precisam resolver um grande desafio: manter a paz entre os povos. Uma aventura que precisa de sua ajuda para a história acabar bem.
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Exercícios
Fonte: EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. 2. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 1997. p. 30.
Os números abaixo estão escritos em símbolos egípcios.
Em símbolos atuais, estes números podem ser escritos assim: = 2 236 = 1 122 Os números seguintes estão escritos em símbolos egípcios. No caderno, escreva esses números usando símbolos atuais.
2. Relacione a quantidade representada pelos símbolos egípcios com a correspondente quantidade representada pelos símbolos babilônicos. a)
1)
b)
2)
c)
3)
3. No caderno, represente com símbolos do Sistema de Numeração Romano. a) 22 b) 8 320 c) 420 4. Escreva no caderno o valor de cada um dos números. a) MMC c) CCCXXXIII d) CLXXX b) X X XCC 5. Você já viu algum relógio como este abaixo? a) Que horas o relógio está marcando? b) Quanto valem I, II, III, IV e V? c) Qual é o símbolo romano usado para representar o 10? Não estranhe se encontrar em alguns relógios o quatro escrito assim: IIII. Esse era o símbolo usado antes de mudar para IV.
a) b) c)
Hemera
Responda às questões no caderno. 1. “Talvez o mais antigo tipo de sistema de numeração a se desenvolver tenha sido aquele chamado sistema de agrupamentos simples. [...] Os hieróglifos egípcios, cujo emprego remonta a cerca do ano 3400 a.C. e usados principalmente para fazer inscrições em pedras, fornecem um exemplo de sistema de agrupamentos simples.”
Relógio de bolso.
Desafio Convide um colega para resolver o desafio, no caderno.
Editoria de arte
1. Aqui estão cinco igualdades falsas. Trocando em cada uma delas a posição de um só palito, elas se tornam verdadeiras. A primeira já está feita. Encontre a solução para as demais.
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a)
c)
b)
d)
Brasil real
Acervo Iconographia
Instituto Historiar de Campos do Jordão
O século XIX foi um período marcado por diversos conflitos militares, mas também foi quando se deu a Primeira Revolução Industrial. Com esses acontecimentos vieram importantes descobertas e invenções científicas, entre as quais podemos destacar: Locomotiva, em 1804. Telefone, em 1854. Fotografia, em 1816. Teoria da Evolução, em 1859. Anestesia, em 1846. Eletromagnetismo, em 1879. Lâmpada incandescente, em 1854. Raios X, em 1895. No Brasil, parte dessas invenções chegou com o incentivo de D. Pedro II, imperador do Brasil de MDCCCXL a MDCCCLXXXIX. Entre as tecnologias destacadas, podemos citar como contribuição de D. Pedro II:
Na foto, lâmpada de arco voltaico instalada em 1883, na esquina da Avenida Sete de Setembro com a Rua Santos Dumont, em Campos, Rio de Janeiro.
1. Identifique no texto e nas legendas os números escritos com símbolos romanos e expresse-os usando algarismos indo-arábicos. Escreva no caderno.
Acervo Iconographia
A ferrovia, em MDCCCLIV. Na foto a Estrada de Ferro D. Pedro II, a segunda ferrovia brasileira. Foto da estação de Barra do Piraí, Rio de Janeiro, 1881.
2. Identifique no texto e nas legendas das fotos os números escritos com algarismos indo-arábicos e expresse-os usando símbolos romanos. Escreva no caderno. 3. Agora converse com os colegas e tentem imaginar como seria a vida de vocês atualmente sem essas invenções e descobertas. Elas são importantes no seu dia a dia? Qual delas vocês acreditam que é a mais importante?
Na foto de 1913, telefonistas trabalhando.
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