Ada Lovelace 1r. Mostra. Matemàtiques by Editorial Barcanova

e t Mau mà-

e q -t i s

1 ESO DOSSIER

Programa

Ada Lovelace

UNITAT

ELS NOMBRES NATURALS DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

Totes les civilitzacions han fet servir un sistema de numeració per representar quantitats. Des de la prehistòria fins als nostres dies, egipcis, babilonis, grecs, romans, xinesos, indis, àrabs, maies… van utilitzar sistemes de numeració molt diversos que utilitzaven per comptar quantitats naturals (ramats, fruits, monedes…). Els primers sistemes de numeració eren molt rudimentaris: es feien osques en un bastó, es dibuixaven dits i mans… Tanmateix, el progrés de les civilitzacions va portar a la introducció de símbols i normes que els van fer mes complexos i pràctics.

Diferents maneres d’expressar els nombres Observa tres maneres diferents de representar el mateix nombre:

1. De quin nombre es tracta? Com representaries, en cada cas, el nombre següent?

2. Quin o quins es basen en el sistema de numeració decimal? 3. De quina altra manera representaries aquest nombre?

Pensa en el sistema de numeració romà (que ja coneixes) i imagina com ho havien de fer per sumar. Per exemple: MCCCXLVI + DCCCXXXIV És complicat, oi? Doncs imagina com havien de multiplicar. Els antics matemàtics hindús, al segle vi, van inventar el sistema de numeració decimal posicional. Des de l’Índia es va propagar cap a la Mediterrània a través del poble àrab, i va arribar a Europa als segles ix i x. Els avantatges d’aquest sistema van facilitar les operacions numèriques. Altres maneres de multiplicar Observa com en el passat la població hindú multiplicava 346 × 57. 6

• Es parteix d’una taula, com en l’exemple, col·locant

4 3 0 7 a les vores les xifres dels factors. 3 2 0 4 2 • Es completen les caselles amb els productes creuats 1 5 2 8 dels dígits col·locats a les vores. Per exemple, en la 2 2 1 casella acolorida: 1

4 × 7 = 28 9 6 • Se sumen els resultats en vertical. En cada colum 1 2 na només hi cap un dígit. 1 9 7 2 2

4. Fes, seguint aquest mètode, les multiplicacions següents: a) 208 × 34

b) 453 × 26

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

1. SISTEMES DE NUMERACIÓ • Els símbols utilitzats per representar els comptatges i les normes d’ús formen un sistema de numeració. • El sistema de numeració egipci. És un sistema additiu, perquè, per escriure un nombre, es van afegint els símbols necessaris fins a completar la quantitat.

100

1.000

10.000

100.000

1.000.000

pal

nansa

corda

flor

dit

granota

home

Aquí apareix escrit el nombre 1.333.331.

(1) (1) (5). (5)(5) • El sistema de numeració maia. Utilitza solament tres símbols:(0) (0)(0) (0) (1) (1) (5) En els nombres més petits que 20 el sistema és additiu. Per escriure nombres més grans de 20, s’utilitzen els mateixos símbols, però el seu valor canvia segons la posició (sistema posicional).

Segon nivell (× 20) 8 Primer nivell (× 1) 8 20 20

21 21

27 27

36 36

40 40

100 100

137 137

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 1. Escriu d’acord amb el sistema de numeració egipci els nombres següents:

3. Tradueix al sistema decimal aquests nombres del sis tema maia:

19 → 65 → 3.412 → 2.523 →

4. Afegeix dos elements per la dreta i uns altres dos per l’esquerra a aquesta sèrie de nombres del sistema maia:

2. En un sistema additiu s’utilitzen aquests símbols: 1

100

Segon nivell → Primer nivell → Esquerra:

• Escriu, seguint aquest sistema, els nombres següents: 7→ 12 → 126 →

Dreta:

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1 • Sistema de numeració decimal. El sistema de numeració que utilitzem actualment és el decimal. Consta de deu símbols o xifres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) i es regeix per aquestes normes: ‒ Es defineixen ordres d’unitats: uni tats, desenes, centenes…

Exemple:

‒ Deu unitats d’un ordre fan una unitat de l’ordre immediat superior. ‒ El valor d’una xifra depèn del lloc que ocupi (sistema de tipus posi cional).

UMM

↓

4.000.000 U

↓

4.000 U

» FIXA IDEES F1. Seguint el sistema de numeració decimal: a) Quantes desenes fan 3 milers?

A JUDA

CM DM UM

b) Quantes centenes fan una desena de miler?

C 10

D ×

1 UM = 100 D

c) Quantes centenes hi ha en 5 unitats de milió?

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 5. Completa: a) 500 D = b) 3.000 C =

7. Un nombre té cinc xifres que sumen 5. Si intercanvies C= UM =

c) 6 UM =

d) 8 CM =

DM =

les unitats amb les unitats de miler, augmenta 999 uni tats. Quin nombre és?

UM DM D D

6. Vertader (V) o fals (F)?

8. Un

nombre es pot descompondre segons els seus ordres d’unitats i segons el valor de posició de cada xifra. Observa l’esquema i completa’l:

a) S i canvies de lloc les xifres, canvia el valor del nombre.

. 4 7

b) S i afegeixes un zero a la dreta d’un nombre, el seu valor es multiplica per 10.

c) S i afegeixes un zero a l’esquerra d’un nombre, el valor es divideix entre 10.

7 UM →

C →

D →

U → + 3

d) Mig miler equival a 5 desenes. e) Mil milers fan un milió.

DM → 20.000

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

2. ELS NOMBRES GRANS • El sistema de numeració decimal permet representar quantitats tan grans com desitgem. – Un milió ↔ Un 1 seguit de 6 zeros. – Un bilió ↔ Un milió de milions ↔ Un 1 seguit de 12 zeros.

1 0

milions

milers

Temps de vida de l’univers → Nombre de neurones en un cervell → Volum de la Terra en km3 →

bilions

…

milers de milions

– Un trilió ↔ Un milió de bilions ↔ Un 1 seguit de 18 zeros.

0 0

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 9. Escriu com es llegeixen:

e) Un bilió i mig.

a) El nombre d’habitants de la Terra, 7.000.000.000.

f ) Quinze bilions tres-cents cinquanta mil milions.

b) El nombre de segons d’un segle, 3.153.600.000.

11. Completa:

c) E l nombre de quilometres que té un any llum, 9.460.800.000.000.

10. Escriu amb xifres: a) Vint-i-vuit milions tres-cents cinquanta mil. b) Cent quaranta-tres milions. c) Dos mil set-cents milions. d) Setze gigues.

a) Mil milers fan un

b) Mil milions fan un

c) Un milió de milers fan un

d) Un milió de milions és un

12. El cos humà té entre deu i setanta milions de milions de cèl·lules. Expressa aquestes quantitats en bilions.

13. Com llegiries el nombre expressat per un 1 seguit de 16 zeros?

14. Les científiques i els científics calculen que els mars

i oceans de la Terra contenen tres quadrilions de quilo grams d’aigua. Què creus que és un quadrilió?

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

3. APROXIMACIÓ DE NOMBRES NATURALS • Quan un nombre té moltes xifres, l’acostumem a substituir per un altre, més manejable, de valor aproximat, acabat en zeros. Aquest procediment s’anomena aproximació i la manera més freqüent i pràctica de fer-ho és mitjançant l’arrodoniment. • Per arrodonir un nombre a un determinat ordre d’unitats: – Se substitueixen per zeros totes les xifres a la dreta d’aquest ordre. – Si la primera xifra substituïda és igual a 5 o més gran, se suma una unitat a la xifra anterior. Per exemple, 35.326.000 són, aproximadament, trenta-cinc milions.

» FIXA IDEES F2. Completa per aproximar el nombre 384.523 a les centenes de miler, a les desenes de miler i als milers. centenes de miler desenes de miler 3 83 483 548 254 325 32 3 +1 +1 +1

8 ≥ 85 ≥85≥ 5

milers

3 83 483 548 254 325 32 3 = = =

0 00 00 00 00 0 0

4 < 45 <45< 5

A JUDA

3 83 483 548 254 325 32 3 +1 +1 +1

5 ≥ 5 ≥55≥ 5

0 00 00 00 0 0

Aproximació del nombre 52.722: – A les desenes de miler → 50.000 – Als milers → 53.000

0 00 00 0 0

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 15. Arrodoneix als milers aquests nombres: a) 24.963 →

18. Llegeix aquesta notícia i aproxima el nombre de tu ristes als milions i la despesa als milers de milions.

b) 7.280 →

018 L’any 2 ar it van vis ya n lu Cata 00 19.196.0 que s turiste star van ga ilions m 20.477 ros. d’eu

c) 99.834 →

16. Aproxima a les centenes i a les desenes de miler: a) 530.298 CM: DM:

Turistes:

b) 359.481 CM:

Despesa:

19. Fixa’t en les diverses aproximacions al preu d’un pis

DM:

c) 29.935.236 CM:

en venda:

EN VENDA

DM:

17. Aproxima als milions per arrodoniment:

138 290 € 138.290 €

138.000 € 138.300 € 140.000 €

b) 36.905.000 →

a) Quina és més propera al preu real? b) Quina et sembla més adequada per a una informació col·loquial, si no es recorda la quantitat exacta?

c) 274.825.048 →

a) 24.356.000 →

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

4. OPERACIONS BÀSIQUES AMB NOMBRES NATURALS • La suma i les seves propietats. Sumar és unir, ajuntar, afegir. Per exemple, 308 + 258 = 566. La suma compleix les propietats següents: – Propietat commutativa: El resultat de la suma no varia encara que canviem l’ordre dels sumands. a + b = b + a – Propietat associativa: El resultat de la suma és independent de la forma com s’agrupen els sumands.

(a + b) + c = a + (b + c)

• La resta i les seves relacions amb la suma. Restar és treure, suprimir, trobar el que falta o el que sobra; és a dir, calcular la diferència. Per exemple: 590 – 566 = 24 M =S +D Relacions entre la suma i la resta: M – S = D → * S=M –D

34 + 16 = 16 + 34 50 50 (18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17) 21 + 17 18 + 20 38 38 590 ← Minuend (M ) – 566 ← Subtrahend (S ) 24 ← Diferència (D )

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 20. Calcula:

22. Transforma:

a) 254 + 78 + 136 =

a) Aquesta suma en una resta: 48 + 12 = 60

b) 340 + 255 – 429 =

c) 1.350 – 1.107 – 58 =

b) Aquesta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14

23. Si l’Albert tingués 15 anys més, encara seria 18 anys

més jove que el seu oncle Tomàs, que té 51 anys. Quants anys té l’Albert?

21. Estima la resposta i comprova-la després: La Carme compra una bossa de 167 €, una gavardina de 235 € i un mocador de 32 €. Quant s’ha gastat? a) S’ha gastat al voltant de 350 €. b) S’ha gastat, més o menys, 450 €. c) S’ha gastat al voltant de 550 €.

24.

Si comprés només una rentadora, em sobrarien 246 €, però si comprés també un televisor, em faltarien 204 €. Pots dir el preu d’algun d’aquests articles?

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1 • La multiplicació i les seves propietats. Multiplicar és una manera abreujada de fer una suma repetida de su mands iguals. Per exemple, 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 15 · 7 = 105. La multiplicació compleix les propietats següents: – Propietat commutativa: El producte no varia en canviar l’ordre dels factors. a·b=b·a – Propietat associativa: El resultat d’una multiplicació és independent de la forma com s’agrupin els factors. (a · b) · c = a · (b · c) – Propietat distributiva: El producte d’un nombre per una suma (o resta) és igual a la suma (o resta) dels productes del nombre per cada sumand. a · (b + c) = a · b + a · c

a · (b – c) = a · b – a · c

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 25. Completa: a)

5 × 2 + 9 0 1 2 6 0

29. Quantes voltes fa en un quart d’hora una roda que b)

9 8 × 2 8 7 4 + 6 9 9 3 4

gira a 1.500 revolucions per minut? I en una hora? I en una hora i mitja?

26. Recorda que per multiplicar per 10, per 100, per 1.000… s’afegeixen un, dos, tres… zeros. Calcula: a) 19 · 10 =

b) 12 · 100 =

c) 15 · 1.000 =

d) 140 · 10 =

e) 230 · 100 =

f ) 460 · 1.000 =

30. Una agricultora té un hort amb 200 presseguers. Calcula que amb cada arbre omplirà set caixes de cinc quilos de préssecs. Quin benefici obtindrà si ven tota la producció a 2 € el quilo?

27. Expressa amb una igualtat aritmètica: Multiplicar un nombre per vuit és el mateix que multiplicar-lo primer per deu i després restar-n’hi el doble. Quina propietat s’aplica en aquesta igualtat?

31. Al viver d’una horta es preparen 50 safates amb 100 lla 28. Fixa’t en els exemples i multiplica mentalment per 9 i per 11:

vors cada una. En cada safata es fan malbé, de mitjana, 20 llavors. Quants plançons obtindrà el pagès?

• 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207 • 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253 a) 12 · 9 =

b) 25 · 9 =

c) 33 · 9 =

d) 12 · 11 =

e) 25 · 11 =

f ) 33 · 11 =

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS • La divisió. Dividir és repartir un tot en parts iguals per esbrinar quantes en toquen a cada un. Dividir també és

partir un tot en porcions iguals d’una determinada mida per esbrinar quantes porcions s’obtenen.

• Una divisió pot ser exacta o entera depenent del valor del residu.

– Divisió exacta (el residu és zero). D 0

d q

⎯→ El dividend és igual al divisor multiplicat pel quocient. D=d·q

35 5 0 7

35 = 5 · 7

38 5 3 7

38 = 5 · 7 + 3

– Divisió entera (el residu és diferent de zero). D r

d q

⎯→ El dividend és igual al divisor multiplicat pel quocient més el residu. D=d·q+r

• Si en una divisió es multipliquen el dividend i el divisor pel mateix nombre, el quocient no varia.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 32. Esbrina el quocient i el residu de cada divisió: a) 96 : 13

b) 713 : 31

33. Un granger recull 1.274 ous, els envasa en safates

de 30 i empaqueta les safates en capses de 10. Quants ous queden sense completar una safata? Quantes safates queden sense completar una capsa?

c) 5.309 : 7

d) 7.029 : 26

34. En una indústria de conserves es preparen 250 kg de melmelada de pruna, que s’envasen en pots de 200 g. Durant el procés es rebutgen 17 pots perquè s’han tren cat o perquè són defectuosos. Quants pots vàlids s’obte nen?

e) 49.896 : 162

f ) 80.391 : 629

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

5. EXPRESSIONS AMB OPERACIONS COMBINADES • Ordre en què han de fer-se les operacions. En les expressions amb operacions combinades, hem de resoldre: primer, els parèntesis; després, les multiplicacions i les divisions; i, finalment, les sumes i les restes. 48 : 3 + 5 – 2 · 3

48 : (3 + 5) – 2 · 3

48 : 3 + (5 – 2) · 3

16 + 5 – 6

48 : 8 – 6

16 + 3 · 3

21 – 6

6–6

16 + 9

• Aprèn a fer servir la calculadora. No totes les calculadores tenen la mateixa lògica interna i quan inclous una seqüència d’operacions, es poden obtenir resultats diferents. Això succeeix perquè no totes realitzen les opera cions amb el mateix ordre. Per exemple, si introduïm a la calculadora aquesta seqüència 2 + 3 * 4 = la calculadora pot obtenir 20 o 14 com a solució.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 35. Fixa’t en els exemples i fes les operacions:

c) 26 – 5 · (2 + 3) + 6

⎯→ 7

d) (14 + 12) : 2 – 4 · 3

⎯→ 1

• 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4 • (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4 a) 8 + 5 · 2 = b) 15 – 10 : 5 = c) 4 · 6 – 13 = d) (15 – 3) : 4 =

36. Resol mentalment i compara els resultats: a) 2 + 3 · 4 =

(2 + 3) · 4 =

b) 6 – 2 · 3 =

(6 – 2) · 3 =

37. Resol, indicant els passos seguits, i comprova la so

lució que es dona a la dreta. Si no coincideix, revisa l’exercici. a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7)

⎯→ 14

b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5

⎯→ 2

e) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) ⎯→ 11

38. Escriu una expressió amb els nombres 9, 3 i 1 el re sultat de la qual sigui el pes que marca cada balança: A

A B

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

6. POTÈNCIES • Una potència és una manera abreujada d’escriure un producte de factors iguals: a · a · a · a · a = a5. Per exemple: 3 · 3 · 3 · 3 = 34 → Tres elevat a quatre o tres elevat a la quarta potència. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 → Dos elevat a cinc o dos elevat a la cinquena potència.

• En les potències, el factor repetit es diu base, i el nombre de vegades que es repeteix, exponent.

» FIXA IDEES F3. Completa per calcular, amb llapis i paper, el valor de 75. 75

A JUDA

= 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = (7 · 7) · (7 · 7) · 7 = 49 · 49 · 7 =

·7=

F4. Quin és el valor de x en cada cas? a) x3

= 125 8 x =

b) 5x

52 = 5 · 5 = 25 53 = (5 · 5) · 5 = 25 · 5 = 54 = (5 · 5) · (5 · 5) =

= 3.125 8 x =

F5. Calcula i completa amb la quantitat que correspongui: 2 · (112 – 92) – 62 = 2 · (121 – =2·

–

) – 62 =

–

F4. 7x = 2.401 8 Quant val x ? Amb la calculadora senzilla:

7**=== {∫∫∫∫“¢≠‘}

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 39. Expressa amb una potència:

42. Calcula l’exponent en cada cas:

a) 6 · 6 =

a) 2x = 256 =

b) 7 · 7 · 7 =

b) 10x = 10.000 =

c) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 =

c) 7x = 2.401 =

40. Llegeix aquestes potències i expressa-les en forma

d) 13x = 2.197 =

de producte:

43. Calcula amb llapis i paper:

a) 27 =

a) 55 =

b) 93 =

c) 152 =

b) 95 =

d) 106 =

41. Completa la taula: potència

c) 110 = base

exponent

d) 153 =

e) 164 =

F3. Completa:

GeoGebra. Concepte de potència.

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

7. POTÈNCIES DE BASE 10. APLICACIONS • Una potència de base 10 és igual a la unitat seguida de tants zeros com indica l’exponent. Per exemple: 109 = 1.000.000.000 105 = 100.000 9 zeros 5 zeros • Expressió abreujada de nombres grans. Els nombres acabats en zeros poden expressar-se com a producte d’un nombre per una potència de base 10. Per exemple: 400.000 = 4 · 100.000 = 4 · 105 • Descomposició polinòmica d’un nombre. Es tracta d’expressar un nombre com una suma de nombres natu rals multiplicats per potències de base 10. Per exemple: 800.000 + 30.000 + 6.000 + 200 + 70 + 9 836.279 = 8 · 105 + 3 · 104 + 6 · 103 + 2 · 102 + 7 · 10 + 9

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 44. Escriu com a potències de base 10: a) Un miler =

b) Un milió =

c) Mil milions =

d) Un bilió =

45. Expressa amb totes les xifres: a) 4 ·

105

c) 4.528.926 =

48. Escriu en forma abreujada les dades següents: a) El nombre de molècules elementals en un litre d’aigua és 334.326.000.000.000.000.000.000.

b) 15 · 109 =

c) 86 · 1014 =

b) L’estrella Alfa Centauri està a uns quaranta bilions de quilòmetres del Sol.

46. Escriu el valor de

x en cada cas:

a) 2.936.428 ≈ 29 · 10 x →

b) 3.601.294.835 ≈ 36 · 10 x →

49. Transforma com en l’exemple:

c) 19.570.000.000.000 ≈ 20 · 10 x →

• 180.000 = 18 · 104

47. Escriu la descomposició polinòmica dels nombres

a) 5.000 =

següents:

b) 1.700.000 =

a) 74.238 =

c) 4.000.000.000 =

50. Arrodoneix a la centena de miler i escriu de manera

b) 680.290 =

abreujada amb el suport d’una potència de base 10 el nombre d’habitants de cada ciutat: casablanca: 5.899.000 parís: 10.858.000 san francisco: 5.929.000

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

8. OPERACIONS AMB POTÈNCIES • Potència d’un producte (producte de potències amb el mateix exponent). La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors. (2 · 3)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 216 → (2 · 3)3 = 23 · 33 n n n (a · b) = a · b 3 3 2 · 3 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216 • Potència d’un quocient (quocient de potències amb el mateix exponent). La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor. (6 : 3)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 8 → (6 : 3)3 = 63 : 33 (a : b)n = an : bn 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8 No et confonguis: la potència d’una suma (o una resta) no és igual a la suma de les potències dels sumands. (a + b)n ≠ an + bn (2 + 3)4 ≠ 24 + 34 n n n (a – b) ≠ a – b

» FIXA IDEES F6. Fixa’t en els exemples resolts a la dreta i, seguint els mateixos procedi ments, completa: a)

b) 184 : 94 = ( c) 63 · 53 = ( =

)4 =

: ·

)3 =

• 56 · 26 = (5 · 2)6 = 106 = 1.000.000 • 123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 27 • 54 · 44 = (5 · 4)4 = 204 = (2 · 10)4 =

= 4

· 10)3 =

· 103 =

· 1.000 =

d) (85 · 65) : 245 = ( 5

EXEMPLES

= 24 · 104 = 16 · 10.000 = 160.000

• (66 · 56) : 156 = (6 · 5)6 : 156 =

= 306 : 156 = (30 : 15)6 = 26 = 64

)5 : 245 =

: 245 = (

: 24)5 =

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 51. Reflexiona i calcula de la forma més senzilla:

52. Calcula i observa que els resultats no coincideixen:

a) 53 · 23 =

(5 + 2)3 =

b) 42 · 52 =

53 + 23 =

c) 252 · 42 =

53. Calcula:

d) 352 : 52 =

a) (10 – 6)2 – (10 – 8)3 =

e) 183 : 63 =

f ) 214

b) (13 – 3)2 · (7 + 3)2 + (15 – 5)2 · 10 =

g) 1003 : 503 =

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1 • Producte de potències amb la mateixa base. Per multiplicar dues potències amb la mateixa base, es deixa la base i se’n sumen els exponents. 54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57 ⎯→ 54 · 53 = 54 + 3 = 57 am · an = am + n 4 vegades 3 vegades • Quocient de potències amb la mateixa base. Per dividir dues potències de la mateixa base, es deixa la base i es resten els exponents. 57 : 53 = 54 ⎯→ 57 : 53 = 57 – 3 = 54 57 : 54 = 53 ⎯→ 57 : 54 = 57 – 4 = 53 • Potència d’una altra potència. Per elevar una potència a una altra potència, es deixa la mateixa base i es multi pliquen els exponents. am : an = am – n

54 · 53 = 57 ↔

(an)m = an · m

(54)3 = 54 · 54 · 54 = 54 + 4 + 4 = 54 · 3 = 512

Tingues en compte. La potència zero d’un nombre (diferent de zero) és igual a u. a0 = 1 (a ≠ 0)

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 54. Expressa amb una única potència:

c) (45)2 : (47 : 43) =

a) 54 · 53 =

b) 86 · 23 =

c) 32 · 64 =

d) 44 · 53 =

e) 26 : 22 =

f ) 38 : 35 =

g) 107 : 106 =

h) a10 : a6 =

d) (62 · 65) : (63 · 64) = e) (407 : 57) : (25 · 45) =

55. Redueix a una única potència: a) (52)3 =

b) (25)2 =

58. Escriu els exponents en el teu quadern i calcula:

c) (103)3 =

e) (m2)6 =

f ) (x4)4 =

a) La Montse té una capsa amb molts cubs de goma d’1 cm d’aresta. Construeix tres cubs iguals de 3 cm d’aresta.

d) (a5)3 =

56. Substitueix cada asterisc per l’exponent que corres pongui:

a) 64 · 63 = 6* = c) m3 · m* = m9 =

e) a9 : a8 = a* = g) (42)3 = 4* =

b) a5 · a3 = a* =

d) 26 : 24 = 2* = f ) m8 : m* = m6 =

h) (a2)2 = a* =

Nombre de cubs utilitzats: 3 b) Un pagès planta enciams al seu hort. Els distribueix en 25 solcs i en cada solc hi posa 25 en ciams. Nombre d’enciams: 25

57. Calcula:

c) Un camió de repartiment por ta 6 palets de capses de llet. En cada palet hi ha 36 capses i en cada capsa, 6 brics de litre.

a) 184 : (24 · 34) =

Nombre de litres: 6 =

i) (m4)*

m12

(x*)2

x12

b) (35 · 33) : 36 = GeoGebra. Producte de potències amb la mateixa base. Quocient de potències amb la mateixa base. Potència d’una altra potència. Operacions amb potències.

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

9. ARREL QUADRADA • Calcular l’arrel quadrada és fer l’operació inversa d’elevar al quadrat. Per exemple: 42 = 16 → 16 = 4 arrel

—

⎯→ Es llegeix: L’arrel quadrada de a és igual a b. √a = b bb22== a ) a = b radicand • Arrels exactes i arrels enteres. Els quadrats dels nombres naturals s’anomenen quadrats perfectes. L’arrel qua 11 drada d’un quadrat perfecte és una arrel exacta. Per exemple: 9 = 33 121 = 11 400 = 20

14243

• L’arrel de la majoria de nombres no coincideix amb una quantitat exacta d’unitats senceres. En aquest cas, el nombre natural que més s’aproxima, per sota, a l’arrel, l’anomenem arrel entera. Per exemple: 62 = 36 < 40 72 = 49 < 40

L’arrel entera de 3.900 és 62.

144424443

40 ≈ 6 → L’arrel entera de 40 és 6 → 6 < 40 < 7 → L’arrel quadrada de 40 és un nombre comprès entre 6 i 7. • Càlcul de l’arrel quadrada per tempteig. Es tracta de trobar el nombre natural el quadrat del qual és igual o s’aproxima més al radicand. 3.900 Per exemple, 3.900 = 62 → 602 = 3.600 < 3.900 622 = 3.844 < 3.900 632 = 3.969 < 3.900

622

632

↓

3.969

3.844 62

— √3.900 ↓

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 59. Observa l’exemple, i copia i completa: • 25 = 5 → " L’arrel de 25 és igual a 5.

c) 1.785 =

"… a) 49 = 7 → b) 64 = … " …→ c) 81 = … " …→

1.000

1.225

1.600

1.724

1.601

2.464

d) 121 = … " …→

3.364

3.540

3.773

3.844

4.000

5.625

60. Calcula, per tempteig, l’arrel exacta o l’entera: a) 90 =

b) 121 =

61. Encercla els quadrats perfectes:

62. Una finca quadrada té 900 metres quadrats de su

perfície. Quants metres lineals de filat caldria comprar per tancar-la?

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1 • Algorisme per al càlcul de l’arrel quadrada. Els passos per calcular una arrel quadrada són els següents:

Exemple Calculem 105.674:

CALCULADORA

1 Separem de dos en dos, des de la dreta, les xifres del radicand i calculem l’arrel del paquet de l’esquerra ` 10…j.

√10 . 56 . 74 3

3 · 3 → –9

← A A = 10 = 3 i queda 1 de residu.

← B B: Escrivim el doble de A.

• En algunes calculadores, la suc

cessió de tecles per calcular 105.674 és la següent:

105674 $ → {«“∞…≠|∞………} • En d’altres, és la següent:

$ 105674 = → {«“∞…≠|∞………}

2 Baixem el paquet següent (56) i busquem la xifra c , de manera que 6 c × c sigui tan proper a 156 com sigui possible, sense sobrepassar-lo. √10 . 56 . 74 3

√10 . 56 . 74 3

c × c –9 ↓ ↓ 6

–9 62 × 2 = 124 c = 2

1 56

156

2 × 2 = 124 → –124 6 032 3 Pugem el valor c = 2 al camp de la solució, baixem el següent paquet (74) i repetim el procés. √10 . 56 . 74 32

–9

156

√10 . 56 . 74 32

62 × 2 = 124

–9

d × d 64

156 645 × 5 = 3.225

–124

–124 d = 5

32 74

62 × 2 = 124

3.274

5 × 5 = 3.225 → –3.225 64

0049 4 Pugem el valor d = 5 al camp de la solució. Solució: 105.674 = 325 Prova: 3252 + 49 = 105.674

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 63. Completa les següents arrels resoltes mitjançant l’algorisme:

a) √ 1 1 5 8 4 – 6 × – 2 5 6 0 0

b) √ 2 7 3 8 5 – 102 × 2 2 3 8 –

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Sistemes de numeració

Tradueix al sistema decimal aquests nombres de l’antic Egipte:

Segons va publicar un diari, la població de la capital d’Egipte, el juny de 2018, era de 19.487.245 ha bitants. Si et preguntessin per aquesta xifra i no recor dessis la quantitat exacta, què respondries?

Llegeixes, en un anunci, que un habitatge es ven per 293.528 €. Uns quants dies després ho comentes amb una amiga, però no recordes exactament el preu. Quina de les expressions següents triaries per transme tre la informació? Explica per què.

a) Costa gairebé tres-cents mil euros.

Escriu segons el sistema additiu egipci cada un d’aquests nombres:

b) Costa dos-cents mil euros i escaig. c) Costa dos-cents noranta mil euros.

a) 48: b) 235: c) 2.130:

Utilitats dels nombres

Expressa en xifres romanes:

a) 87:

Aquests són els números de diverses habitacions en un hotel de platja: 401; 235; 724; 231.

b) 425:

a) Una de les habitacions és al final del passadís. Qui na és?

c) 2.600:

Vertader o fals? b) Una altra és a l’última planta. Quin número té?

a) Un milió equival a mil centenes. b) Mil vegades un milió fan un giga.

c) Quines habitacions són al mateix pis?

c) Un bilió té un milió de milions.

Aproximacions 5.

Operacions

Completa la taula: aproximacions nombre

2.830.554 19.270.000 399.675.000

a les centenes de miler

als milions

Suma i resta

Calcula mentalment:

a) 5 + 7 – 3 – 4 = b) 10 – 6 + 3 – 7 = c) 12 + 13 + 8 – 23 =

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

10.

Calcula:

b) 1.345 : 29 =

a) 47 – (35 – 28) = b) 52 – (36 – 27) = c) 128 – (86 – 45 – 12) =

c) 7.482 : 174 =

11.

Calcula i comprova el resultat amb les solu cions del final de l’activitat: a) 5 – [7 – (2 + 3)] = d) 7.971 : 2.657 =

b) 3 + [8 – (4 + 3)] = c) 2 + [6 + (13 – 7)] = d) 7 – [12 – (2 + 5)] =

14.

Solucions: a) 3; b) 4; c) 14; d) 2.

Calcula mentalment, tenint en compte que di vidir entre 5 és igual que dividir entre 10 i, després, multiplicar per 2: • 90

Multiplicació i divisió

12.

Multiplica:

a) 60 : 5 =

: 5

: 10

· 2

b) 80 : 5 =

a) 16 · 10 =

c) 140 : 5 =

d) 170 : 5 =

b) 128 · 10 =

e) 210 : 5 =

f ) 340 : 5 =

c) 17 · 100 = d) 85 · 100 =

Operacions combinades

e) 22 · 1.000 =

15.

f ) 134 · 1.000 =

a) 2 · (4 + 6) =

13.

b) 2 · 4 + 6 =

Calcula el quocient i el residu en cada cas:

a) 2.647 : 8 =

Fes els càlculs següents:

c) 8 : (7 – 5) = d) 5 · 7 – 5 = e) (5 + 6) · 4 = f ) 5 + 6 : 3 =

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

16.

Calcula:

a) 8 + 7 – 3 · 4 = b) 8 : 4 + 7 – 3 = c) 15 – 2 · 3 – 5 =

Interpreta, descriu, expressa’t 18.

Relaciona cada enunciat amb dues de les ex pressions de sota: I. En un autobús urbà hi anaven 50 passatgers. A la primera parada en baixen 16 i en pugen 4. II. La classe de música té 50 estudiants matriculats, però avui n’han faltat 4 i 16 han anat a un concert. III. L’Ernest va comprar una samarreta de 16 € i una gorra de 4 € i va pagar amb un bitllet de 50 €.

d) 10 – 12 : 6 – 4 =

IV. A l’hotel hi ha 50 clients. Avui n’entren 16 de nous i en surten 4.

a) 50 – 16 – 4

b) 50 – 16 + 4 c) 50 – (16 + 4)

d) 50 – (16 – 4)

e) 50 + (16 – 4) f ) 50 + 16 – 4

e) 4 · 7 – 13 – 2 · 6 = f ) 15 : 3 + 7 + 4 : 2 = g) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5 =

19.

Quina o quines de les expressions aritmètiques responen a la solució d’aquest problema? En un supermercat s’han venut aquest matí 24 kg de pomes a 2 €/kg, 12 melons a 4 € la peça i 13 pinyes a 2 € cada una. Quant s’ha ingressat a la caixa per la venda d’aquestes fruites?

17.

Calcula i comprova el resultat amb les solucions:

a) 30 – 4 · (5 + 2) = b) 5 + 3 · (8 – 6) =

b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2

c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4

d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)

c) 3 · (2 + 5) – 13 =

Càlcul de potències

20.

d) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4) = e) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7) = f ) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2) = g) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3) = Solucions: a) 2; b) 11; c) 8; d) 9; e) 14; f) 9; g) 11

a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2

Calcula mentalment:

a) 24 =

b) 35 =

c) 204 =

d) 300 =

21.

Obtén amb la calculadora:

a) 412 =

b) 510 =

c) 453 =

d) 993 =

22.

Escriu tots els quadrats perfectes compresos en tre 1.000 i 1.500.

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

23.

29.

Completa: a0

Redueix a una sola potència:

a) (a7 : a) · a3 = b) (x9 : x4) : x3 =

c) (x3 · x7) : (x · x6) = 1.000

30.

Copia, substitueix cada asterisc pel nombre adequat i, finalment, calcula:

16 1

a) 212 : 45 = 212 : (2*)5 = 212 : 2* = 2* =

Potències de base 10. Expressió abreujada de nombres grans 24. a)

b) 36 : 92 = 36 : (3*)2 = 36 : 3* = 3* =

Escriu amb totes les xifres:

102

b) 106 =

c) 253 : 54 = (5*)3 : 54 = 5* : 54 = 5* =

c) 1010 =

25.

Escriu amb potències de base 10:

a) Cent =

b) Cent milions =

c) Cent bilions =

d) Cent mil bilions =

26.

Ordena, de la més petita a la més gran, aques tes quantitats: 8 · 109

17 · 107

98 · 106

1010

16 · 108

9 · 109

d) 164 : 45 = (4*)4 : 45 = 4* : 45 = 4* =

Arrel quadrada 31.

Operacions amb potències 27. a) 82

Calcula de la manera més senzilla: ·

b) 26

c) 253 · 43 =

d) 65 : 35 =

e) 153 : 53 =

f ) 204 : 54 =

28.

Redueix aquestes expressions:

Resol amb la calculadora:

a) 655 =

b) 1.024 =

c) 1.369 =

d) 4.225 =

e) 12.664 =

f ) 33.856 =

32.

pongui:

Escriu el signe «=» o el signe «≠» segons corres

a) 2 · 9

b) 3 · 4

d) 4 · 25

f ) 4 · 4

a) x8 : x3 =

b) m4 · m2 =

c) 5 · 16

c) (k2)4 =

d) x5 · x5 =

e) 9 · 9

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

Resol problemes 33.

PROBLEMA

36. RESOLT

Deixa clar el significat de cada pas, de cada operació i de cada resultat.

Un autobús amb 54 turistes a bord pateix una avaria camí de l’aeroport. El responsable del grup deci deix acomodar les viatgeres i els viatgers en taxis de quatre places. Quants taxis necessiten?

Un majoritsa d’alimentació compra 150 sacs de patates de 30 kg per 2.000 €. Després, en seleccionar la mercaderia, en llença 300 kg i n’envasa la resta en bosses de 5 kg, que ven a 4 € la bossa. Quin benefici obté?

37. – Quilos comprats (150 sacs de 30 kg): 150 · 30 = 4.500 kg – Quilos envasats (en llença 300 kg): 4.500 – 300 = 4.200 kg – Bosses de 5 kg obtingudes: 4.200 : 5 = 840 bosses – Ingressos, en euros, per la venda de 840 bosses a 4 € cada una: 840 · 4 = 3.360 € – Beneficis (ingressos, 3.360€, menys despeses, 2.000 €): 3.360 – 2.000 = 1.360 € Solució: Guanya 1.360 €.

34.

En una granja hi ha el doble de vaques que de cavalls i en total són 36 caps de bestiar. Quantes vaques i quants cavalls hi ha?

En una escola que té 450 estudiants, dos de cada cinc estudien un segon idioma i, d’aquests, un de cada tres ha triat l’alemany. Quants estudien un se gon idioma? Quants estudien alemany?

38.

PROBLEMA

RESOLT

Decideix els passos intermedis. Quines dades encara no coneixes, però necessites, per arribar a la solució?

La Marta ha comprat cinc paquets amb quaranta adhesius cada un i ha decorat el cub petit. Li queden prou adhesius per decorar de la mateixa manera el cub gran?

• Quants adhesius ha comprat? Ha comprat 5 · 40 = 200 adhesius.

35.

La Rosa té dos anys més que el seu germà petit, en Julià, i dos menys que l’Albert, el seu germà gran. Si entre tots tres igualen l’edat de la seva mare, la Marta, que acaba de fer 42 anys, quants anys té cada un dels germans?

• Quants n’ha utilitzat per al cub petit? En el cub petit ha utilitzat 6 · 32 = • Quants adhesius li queden? Li queden 200 – =

adhesius.

• Quants en necessita per al cub gran? Per al cub gran necessita . Escriu la solució en cada cas.

adhesius.

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

39.

Un cotxe triga 78 segons a travessar un tram de 2 km amb la velocitat limitada a 90 km/h. Creus que ha superat el límit permès? Per què?

És el teu torn 43.

Escriu les preguntes dels dos apartats del proble ma tenint en compte la seva resolució. En Raül vol completar un àlbum de cromos d’una lliga de futbol de 20 equips i 25 jugadors per equip. L’àlbum li costa 5 € i cada paquet de 10 cromos, 1 €. Resolució:

40.

Quines són les dimensions del terra quadrat més gran que es pot cobrir amb 200 rajoles quadrades de 20 cm de costat, sense partir-ne cap? Quantes rajoles sobren?

a) (20 · 25) : 10 = 50 b) [(20 · 25) : 10] · 1 + 5 = 55

41.

En Marc té una bossa amb 50 daus de fusta d’1 cm d’aresta. Quina és l’aresta del cub més gran que pot construir amb els daus? Quants daus sobren?

44.

Planteja un problema i escriu l’enunciat i les preguntes a partir de la informació i les operacions se güents: – Consola de 8 gigabytes de memòria RAM – Un videojoc A ocupa 3,68 gigabytes

42.

Quants pares i quantes mares tenien entre tots els teus rebesavis?

– Un videojoc B ocupa 3,75 gigabytes – Un videojoc C ocupa 2,48 gigabytes – 3,68 + 3,75 + 2,48 = 9,91 gigabytes – 9,91 – 8 = 1,91 gigabytes – 3,68 + 3,75 = 7,43 gigabytes – 3,68 + 2,48 = 6,16 gigabytes – 3,75 + 2,48 = 6,23 gigabytes

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT DISTRIBUCIÓ DE MERCADERIES La fruita conreada pels pagesos fa un llarg recorregut fins que arriba al consumidor: el pagès, el majorista, el transportista i el punt de venda. En Pau és un majorista de fruita que es troba en les situacions següents.

1. Compra i venda En Pau paga 1.500 € a un pagès per la compra de 200 caixes de peres. Cada caixa té un pes mitjà de 18 quilos. Quan arriba al magatzem les selecciona i n’aparta 300 quilos perquè són defectuoses. La resta, les envasa en safates de cartó de 3 kg. Finalment, les ven a una cadena de supermercats, a 2 € la safata. a) Quantes safates ven al supermercat? b) Quant ingressa per la venda de la mercaderia? c) Quin benefici obté?

3 kg

2. Nombres i matrícules Les matrícules dels vehicles s’ordenen d’acord amb un codi format per un número de quatre xifres, des de 0000 fins a 9999, seguit de tres lletres, des de BBB fins a ZZZ (no s’utilitzen les vocals, ni les consonants Ñ i Q ni els dígrafs CH, LL). Així doncs, d’acord amb aquest codi les matrícules comencen per 0000 BBB i acaben en 9999 ZZZ. A B C CH D E F G H I J K L LL M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z ⎯→ s’utilitzen només 20 lletres En Pau contracta un transportista que s’acaba de comprar una furgoneta nova, que té aquesta matrícula: a) Quants vehicles matriculats porten, fins al moment, les mateixes lletres que el del transportista?

c) Quants vehicles s’han matriculat, incloent-hi el del transportista, des que un company seu es va comprar un vehicle amb la matrícula 2581 LBS?

b) Quants vehicles es matricularan abans que es canviï una lletra de la matrícula?

d) Quants vehicles s’hauran matriculat abans que apare gui el primer amb la matrícula 4000 LBV?

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1 Les quatre xifres de la matrícula permeten un total de 10.000 = 104 números dife rents i amb les 20 lletres es poden formar 203 = 8.000 trios diferents (justificaràs aquesta xifra en cursos superiors). e) Completa les caselles buides: 10.000 · 8.000 = 10 · 8 · 10

= 8 · 10

f ) Quantes matriculacions es poden fer amb les quatre xifres i les tres lletres? Escriu la resposta de dues formes: – Amb totes les seves xifres: – En la notació abreujada amb ajuda d’una potència de base deu:

g) Si cada any es matriculen al voltant d’un milió trescents vint-i-un mil quatre-cents trenta-vuit vehicles, quant temps passarà fins que comencin a matricular vehicles amb les últimes quatre xifres? 1. Menys de 30 anys. 2. Entre 30 i 40 anys. 3. Més de 40 anys.

3. Dimensions i capacitat Als supermercats, la fruita es conserva durant més temps si s’emmagatzema en cambres frigorífiques. En un dels su permercats tenen una cambra frigorífica que fa 500 centímetres de llargària, 500 centímetres d’amplària i 500 centí metres d’alçària útils. Les peres s’emmagatzemen en caixes cúbiques de 50 centímetres d’aresta. Quantes caixes de peres caben en l’espai útil de la cambra frigorífica?

A partir de les dades d’aquesta activitat, pensa una pregunta per plantejar-la a un company o companya de classe. Primer l’has de resoldre tu per comprovar que estigui ben plantejada i per saber quina és la resposta correcta.

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX I DESCOBREIX ordres d'unitats

Nombres en els ordinadors

ordres d'unitats

Nombres imparells, quadrats i cubs El món dels nombres presenta múltiples relacions, algunes de tan sorprenents que semblen màgia. Fixa’t en l’exemple següent:

1 1

S2 1+3

1+3+5

1+3+5+7

1+3+5+7+9 25

• Segons això, calcula la suma dels set primers nombres imparells. S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

• Estudia i completa les taules, seguint la lògica de les primeres files.

La computació i, en general, les noves tecnologies, són un àmbit d’aplicació de les matemàtiquess amb molta diversitat de sortides professionals.

» E NTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES Reflexiona i assaja • Escriu els nombres de l’1 al 9, un per casella, de manera que tots els trios alineats sumin 15.

Els ordinadors i les calculadores, en el seu llenguatge intern, escriuen els nombres en el sistema binari; és a dir, utilitzant només dos signes: el 0 i l’1.

Quan hagis acabat, hauràs traduït al sistema binari els primers quinze nombres naturals.

» INVESTIGA

Ja saps que nosaltres, per escriure els nombres, fem ser vir el sistema decimal, amb deu signes, del 0 al 9.

• Quants nombres de tres xifres es poden formar utilitzant només les xifres 1, 2 i 3?

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

» POSA’T A PROVA 1. Omple els buits: a) 18 · b)

= 180 · 100 = 27.000

c) 4.000 : d)

5. En una cafeteria hi ha 60 seients. Si hi ha el triple de cadires que de banquetes, quantes n’hi ha de ca da classe?

= 40

: 10 = 38

2. Calcula els termes que falten: a) 154 · b)

= 462 : 27 = 98

c) 30.275 :

= 35

d) 1.508 =

· 125 + 8

3. Fes les següents operacions combinades: a) 12 + 3 · 5 – 2 =

6. Calcula: a) 26 = b) 53 = c) 72 =

b) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7=

d) 106 =

7. Redueix a una sola potència: c) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 =

a) a3 · a2 = b) x5 : x4 =

d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)] =

4. Observa aquestes quantitats: • L’extensió del Brasil és de vuit milions cinc-cents ca torze mil vuit-cents setanta-set quilòmetres quadrats. • La població mundial l’abril de 2018 era de 7.601.767.200 habitants. a) Expressa amb xifres la primera quantitat i amb lle tres, la segona.

c) (a3)4 =

8. Quants daus de fusta, d’1 cm d’aresta, hi ha en 10 paquets com el que veus en la il·lustració?

10 cm 10

10 c

b) Arrodoneix-les a les desenes de miler.

UNITAT

DIVISIBILITAT

DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

Euclides, savi grec del segle iii aC, va viure a Alexandria, on va fundar una gran escola de matemàtiques. Va recollir-hi i va sistematitzar-hi tot el coneixement matemàtic de la seva època i també va aportar importants descobriments. Va plasmar la seva obra en una col·lecció de tretze llibres anomenats Elements. La major part d’aquests llibres estan dedicats a la geometria i només quatre, a l’aritmètica. En aquests quatre va desenvolupar la teoria de la divisibilitat, que descobreix algunes relacions que hi ha entre els nombres (múltiples, divisors, nombres primers o compostos…).

Divisors de 30 En una quadrícula, es poden construir quatre rectangles diferents que ocupin una superfície de 30 quadradets: 1 × 30 2 × 15

3 × 10

5×6

Els parells de nombres que coincideixen amb les dimensions dels costats, 1-30, 2-15, 3-10 i 5-6, tenen unes relacions amb el nombre 30 que treballaràs en aquesta unitat.

1. Dibuixa en una quadrícula tots els rectangles que ocupen 36 quadradets. Quants rectangles de 36 quadradets has pogut construir?

2. Quants rectangles de 40 quadradets podries construir? I de 41?

Múltiples de 7 Prem aquesta seqüència de tecles en una calculadora de quatre operacions:

7++====…

Aniràs obtenint la «sèrie del 7»:

→

…

7 · 1 7 · 2 7 · 3 7 · 4 7·5 Les sèries d’aquest tipus estan relacionades amb el que estudiaràs en aquesta unitat.

3. Construeix de la mateixa manera la «sèrie de l’11» i anota’n els cinc primers termes.

4. Experimenta, amb el mateix procediment, la formació de sèries d’altres nombres.

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

1. LA RELACIÓ DE DIVISIBILITAT a b 0 c ↓ divisió exacta

• Dos nombres compleixen la relació de divisibilitat quan un cap en l’altre una quantitat exacta de vegades; és a dir, quan el seu quocient és exacte. • Ser múltiple de..., ser divisor de... Quan dos nombres compleixen la relació de divisibilitat: el més gran és múltiple del més petit i el més petit és divisor del més gran.

a és divisible per b.

a és múltiple de b

o, dit d’una altra manera,

a és múltiple de b.

si la divisió a : b és exacta.

b és divisor de a

b és divisor de a.

• Els divisors van per parelles. Cada divisor d’un nombre en té un altre de relacionat. 40 8 0 5

40 5 0 8

↔

8 és divisor de 40.

40 8

5 és divisor de 40.

5·8 5 5 5 5 5 5 5 5 8·5

» FIXA IDEES F1. Fixa’t en aquestes divisions i completa:

AJUDA

b) 86 12 02 7 86 divisible per

a) 35 5 0 7 35 és divisible per

F1 i F2. Observa els exemples:

35 és múltiple de

múltiple de

560 40 És exacta. 160 14 0

5 és divisor de

divisor de

560 és divisible per 40.

F2. Comprova si els nombres de cada parella compleixen la relació de divisibi-

560 és múltiple de 40.

a) 63 i 9

litat. Després, completa: 63 63 és 9 és

divisible per de de

divisible per

múltiple de

47 no és divisible per 7.

divisor de

d’excursió.

a) Quants autobusos necessita? Aniran tots plens? b) I si els autobusos fossin de 42 places? c) 45 és divisor de 294? I 42?

40 és divisor de 560. 47 5

b) 78 i 13

F3. Una escola contracta autobusos de 45 places per portar 294 alumnes

7 6

47 no és múltiple de 7. 7 no és divisor de 47.

F3. Comprova si les divisions següents són exactes: 294 : 45

294 : 42

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 1. Pensa i contesta de manera raonada: a) Es pot dividir una classe de 30 alumnes en grups de 7, sense que en sobri cap?

b) La Marta fa passos de 60 cm. Pot recórrer 100 metres en un nombre exacte de passos?

c) Pot buidar-se una tina d’oli de 1.500 litres en un nombre exacte de garrafes de 5 litres?

4. Busca tots els nombres que estan continguts una quantitat exacta de vegades en 24.

5. Encercla de color vermell els divisors de 90 i de color blau, els múltiples de 3: 5

6. Respon de manera raonada: a) Per què 522 és múltiple de 29?

d) Algun mes té un nombre exacte de setmanes?

b) Per què 17 és divisor de 544?

2. Digues si els nombres de cada parella compleixen la

a) 224 i 16 →

lor blau, els múltiples de 10:

relació de divisibilitat:

7. Encercla de color vermell els múltiples de 4 i de co-

b) 420 i 35 →

c) 613 i 13 →

120

d) 513 i 19 →

De quantes maneres diferents es poden envasar 60 bombons en capses amb el mateix nombre d’unitats en cada una sense que en sobri cap?

e) 688 i 44 → f ) 2.070 i 46 →

3. Digues si les afirmacions següents són vertaderes o falses:

a) 15 està contingut exactament 4 vegades en 60. b) 75 està contingut exactament 3 vegades en 225. c) 42 és divisible per 7.

d) 54 és divisible per 8.

e) 13 està contingut un nombre exacte de vegades en 65. GeoGebra. Troba els múltiples i els divisors d’un nombre.

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

2. ELS MÚLTIPLES I ELS DIVISORS D’UN NOMBRE • Càlcul dels múltiples d’un nombre. Has de tenir en compte que: – Els múltiples d’un nombre natural, a, s’obtenen en multiplicar a per qualsevol altre nombre natural k. a · k → múltiple de a – Qualsevol nombre natural, a, és múltiple d’ell mateix i de la unitat. → a · 1 = a – Un nombre diferent de zero té una quantitat infinita de múltiples.

•

– Per referir-nos a un múltiple d’un nombre, el podem escriure amb un punt a sobre: 7 → múltiple de 7 • Càlcul dels divisors d’un nombre. Has de tenir en compte que: – Per obtenir tots els divisors d’un nombre, a, busquem les divisions exactes: a:b=c → a = b · c → Per tant, b i c són divisors de a. a:c=b – Qualsevol nombre és divisor d’ell mateix. → a : a = 1 – L’1 és divisor de qualsevol nombre. → a : 1 = a

Els divisors de 18 són aquests: 1 2 3

18 9 6

» FIXA IDEES F4. Escriu:

A JUDA

a) Tres múltiples de 5.

F4. Múltiples de 13:

b) Tres múltiples de 12.

13 · 3 = 39

c) Tres múltiples de 19.

13 · 5 = 65

d) Tres múltiples de 30.

13 · 11 = 143

F5. Escriu els deu primers múltiples de 25.

13 ·

F5. Quin és el primer múltiple de 13 més gran que 150?

150 13 020 11 07

F6. Quin és el primer múltiple de 8 més gran que 100?

F7. Troba, mentalment, els divisors de cada un d’aquests nombres:

13 · 11 = 143 < 150

a) 8

13 · 12 = 156 > 150

b) 12

c) 15

F7 i F8. Divisors de 14: d) 20

e) 28

F8. Quin és el nombre els divisors del qual són els següents? 1

DIVISIBILITAT « UNITAT 2 • Criteris de divisibilitat. Són regles que serveixen per descobrir si un nombre és divisible per 2, 3, 5 o altres nombres senzills. – Un nombre és divisible per 2 (és múltiple de 2) si acaba en una xifra parell: 0 - 2 - 4 - 6 - 8. 516 → xifra parell

516 és múltiple de 2.

371 → xifra senar

371 no és múltiple de 2.

– Un nombre és divisible per 5 (és múltiple de 5) si acaba en 0 o en 5. Un nombre és divisible per 10 (és múltiple de 10) si acaba en 0. 325 → és múltiple de 5.

560 → és múltiple de 5 i de 10.

703 → no és múltiple ni de 5 ni de 10.

– Un nombre és divisible per 3 (és múltiple de 3) si la suma de les seves xifres és múltiple de 3. Un nombre és divisible per 9 (és múltiple de 9) si la suma de les seves xifres és múltiple de 9.

• 3 411 → 4 + 1 + 1 = 6 411 és múltiple de 3, però no de 9. • 9 – Un nombre és divisible per 11 si la suma de les xifres de lloc parell menys la suma de les xifres de lloc senar és 0 o un múltiple d’11. 418 → (4 + 8) – (1) = 11 És múltiple d’11. 1.543 → (5 + 3) – (1 + 4) = 3 No és múltiple d’11.

» FIXA IDEES F9. Quins d’aquests nombres són parells? I divisibles per 2? 21 - 28 - 45 - 59 - 80 - 88 - 146 - 255 - 270 - 299

A JUDA

F9. 516 → Acaba en xifra parell. És múltiple de 2.

Parells: Divisibles per 2:

F10. 325 → Acaba en 5. És múlti-

F10. Subratlla els que siguin múltiples de 5: 60 - 72 - 80 - 85 - 100 - 103 - 130 - 155 - 210

560 → Acaba en 0. És múltiple de 5 i de 10.

Quins dels nombres que has subratllat són també múltiples de 10?

F11. 411 → 4 + 1 + 1 = 6 → És

F11. Quins d’aquests nombres són divisibles per 3? I per 9? 19 - 45 - 63 - 83 - 105 - 145 - 209 - 513 - 666 - 909

ple de 5, però no de 10.

múltiple de 3 però no de 9.

990 → 9 + 9 + 0 = 18 → És múltiple de 3 i de 9.

Divisibles per 3: Divisibles per 9:

F12. Recorda el criteri de divisibilitat per 11 i identifica quins dels nombres següents són múltiples d’11: a

c 8 a + c – b = 0 o 11

110 - 111 - 155 - 187 - 209 - 398 - 759 - 606

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

3. NOMBRES PRIMERS I NOMBRES COMPOSTOS • Els nombres que es poden descompondre en factors més senzills s’anomenen nombres compostos.

→ 18 = 2 · 9

Per exemple, el nombre 18 és un nombre compost perquè es pot descompondre.

→ 18 = 3 · 6

• Els nombres que no es poden descompondre en factors més senzills s’ano menen nombres primers. Un nombre primer només té dos divisors: ell mateix i la unitat.

→ 18 = 2 · 3 · 3

Per exemple, el nombre 13 és primer perquè només es pot dividir per 13 i 1. • El nombre 1, com que només té un divisor, no es considera primer. Qualsevol altre nombre o bé és primer o bé és compost.

13 = 13 · 1

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 9. Classifica en nombres primers i nombres compostos: 5 11 21 31

8 15 28 33

12. Vertader (V) o fals (F)? a) El nombre 1 no és ni primer ni compost. b) Un nombre, si és senar, és primer.

c) Tots els nombres primers, excepte el 2, són senars.

13. Descompon el nombre 100:

Nombres primers:

a) En dos factors.

Nombres compostos:

b) En tres factors.

10. Entre aquests nombres, busca els dos que són primers i expressa els compostos com un producte de dos factors. 47 57 67 77 87

c) En tants factors com sigui possible.

14. Indica quins nombres són primers i quins són compostos:

Nombres primers: Nombres compostos:

11. Busca tots els nombres primers més petits que 60. Són disset en total.

15. Esbrina si el nombre 203 és primer o compost. Justifica la teva resposta.

GeoGebra. Classifica en nombres primers i compostos.

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

4. DESCOMPOSICIÓ D’UN NOMBRE EN FACTORS PRIMERS • Un nombre, si no és primer, es pot descompondre en factors, i aquests, al seu torn, en altres factors, fins que tots siguin primers.

Per exemple, la descomposició de 36 en factors primers és: 36 = 4 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32 • Per descompondre un nombre en factors primers (factoritzar), el dividim entre els seus factors primers: primer, entre 2 tantes vegades com sigui possible; després, entre 3, entre 5…, i així, successivament, fins a obtenir 1 en el quocient.

quocients parcials

factors primers

792 2 792 : 2 → 396 2 396 : 2 → 198 2 198 : 2 → 99 3 99 : 3 → 33 3 33 : 3 → 11 11 11 : 11 → 1 792 = 23 · 32 · 11

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 16. Calcula mentalment i completa la descomposició en factors d’aquests nombres:

8 × 10

100 25 × ×

17. Descompon com en l’exemple: • 24 = 6 · 4 = 2 · 3 · 2 · 2 = 23 · 3 a) 18 = b) 20 = c) 40 = d) 72 =

19. Completa i descompon en factors primers: 4 2 7

9 0 3 1

1 2 6 2 1 1

42 = 90 = 126 =

20. Descompon en factors primers: a) 45

b) 76

c) 88

e) 150 = f ) 240 =

18. A quins nombres corresponen aquestes descompo-

21. Escriu com a producte de nombres primers: a) 170 = b) 350 =

sicions factorials?

c) 580 =

a) 22 · 32 · 5 =

d) 888 =

b) 2 · 5 · 13 =

e) 1.024 =

c) 2 · 52 · 7 =

f ) 1.296 =

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT • Quina és la relació entre la descomposició d’un nombre i la descomposició dels seus múltiples? En la descomposició de qualsevol dels múltiples d’un nombre apareixen tots els factors primers del nombre (i, generalment, alguns més). • Quina és la relació entre la descomposició d’un nombre i la descomposició dels seus divisors? En la descomposició de qualsevol dels divisors d’un nombre apareixen alguns factors primers del nombre (generalment, no tots) i no apareix cap factor més. • Per obtenir els divisors d’un nombre es pot seguir un altre procediment: amb el nombre descompost en factors, busquem tots els productes possibles entre si. Per exemple, calculem tots els factors primers de 40: 40 = 2 · 2 · 2 · 5 Els divisors de 40 són: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 i 40

1=1 2=2 5=5 2·2=4 2 · 5 = 10 2·2·2=8 2 · 2 · 5 = 20 2 · 2 · 2 · 5 = 40

» FIXA IDEES F13. Contesta, sense fer cap operació, i raona les respostes: a) 8 = 2 · 2 · 2 b) 15 = 3 · 5 36 = 2 · 2 · 3 · 3 90 = 2 · 3 · 3 · 5 8 és divisor de 36? 15 és divisor de 90?

A JUDA

F13 i F14. • 18 és divisor de 90, perquè tots els factors primers de 18 apareixen en 90.

18 = 2 · 3 · 3

90 = 2 · 3 · 3 · 5

F14. Tenint en compte la descomposició en factors de 126, esbrina, a sim-

ple vista, quins dels nombres que apareixen a continuació són divisors de 126, quins són múltiples de 126 i quins no són ni divisors ni múltiples: 126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 32 · 7

15 = 3 · 5

F15. • Dos múltiples de 28 = 2· 2·2·7

a) 4 = 22

b) 14 = 2 · 7

c) 18 = 2 · 32

d) 21 = 3 · 7

e) 28 = 22 · 7

f ) 42 = 2 · 3 · 7

g) 252 = 22 · 32 · 7

h) 180 = 22 · 32 · 5

i) 882 = 2 · 32 · 72

Divisors de 126:

• 210 és múltiple de 15 perquè conté tots els factors primers de 15. 210 = 2 · 3 · 5 · 7

2·2·7

3· 2·2·7 84

• Dos divisors de 84 = 2 · 2 · 3 · 7 2·2 ·3·7 4

2· 2·3 ·7 6

Múltiples de 126: Ni múltiples ni divisors:

F15. Escriu factoritzats, sense fer operacions: a) Tres divisors de 72 = 23 · 32. b) Tres múltiples de 45 = 32 · 5.

GeoGebra. Descompon factorialment un nombre.

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

5. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE • El més petit dels múltiples comuns de dos o més nombres, a, b, c… s’anomena mínim comú múltiple i s’expressa així: MCM (a, b, c…). • Càlcul del mínim comú múltiple (mètode artesanal). És apropiat per a nombres senzills. Per obtenir el mínim comú múltiple de dos nombres: 1. Escrivim els múltiples de cada un.

múltiples de 20 → 20 40 60 80 …

2. Agafem els nombres comuns.

múltiples de 30 → 30 60 90 120 …

3. Ens quedem amb el més petit.

MCM (20, 30) = 60

• Càlcul del mínim comú múltiple (mètode òptim). S’utilitza per a nombres grans. El procediment és el següent: 1. Es descomponen els nombres en factors primers. 2. Se n’agafen tots els factors primers (comuns i no comuns) elevats a l’exponent més gran. 3. Es multipliquen els factors escollits.

20 = 22 · 5 i 30 = 2 · 3 · 5 MCM (20, 30) = 22 · 3 · 5 MCM (20, 30) = 60

» FIXA IDEES F16. Copia, observa i completa a primer cop d’ull: Múltiples de 6 → 6 12 18 24 30 36 42 48 54 Múltiples de 8 → 8 16 24 32 40 48 56

F17. Calcula el MCM (12, 15) com en l’activitat anterior: Múltiples de

Múltiples de

: ,

10 → 10 20 30 40 50 60 70 • 15 → 15 30 45 60 75 90 105 Múltiples comuns → 30, 60, 90… El més petit dels múltiples comuns de 10 i 15 és 30. MCM (10, 15) = 30

F18. Completa:

EXEMPLE

18 = 4 MCM (18, 24) = 2 24 = 2 3 $ 3

·3

49 = 7 2 4 MCM (49, 63) = 3 63 = 3 2 $ 7

·7

2 $ 32

30 =

Càlcul del mínim comú múltiple de 28 i 42. 28 2·2·7 28 = 2 $ 2 $ 7 3 2·2·3·7 42 = 2 $ 3 $ 7 2·3·7 42

45 =

MCM (28, 42) = 22 · 3 · 7 = 84

F19. Completa per calcular el mínim comú múltiple de 30 i 45: 3 0

Càlcul del mínim comú múltiple de 10 i de 15. •

MCM (6, 8) =

MCM (

EXEMPLE

4 5

MCM (30, 45) =

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 22. Observa i completa a primer cop d’ull: •

26. Calcula el MCM (a, b) en cada cas: a) a = 2 . 5 . 11

15 → 15 30 45 60 75 90 105

b = 3 . 5 . 11

•

25 → 25 50 75 100 125 150

MCM (15, 25) =

23. Calcula com en l’activitat anterior:

b) a = 24 . 5

a) MCM (20, 25)

b = 22 . 52

b) MCM (12, 24)

27. Una fàbrica envia mercaderia a Castelló cada 6 dies

i a Eivissa, cada 8 dies. Avui han coincidit tots dos en viaments. Quan tornaran a coincidir?

c) MCM (50, 75)

28. L’autobús de la línia vermella passa per la parada,

davant de casa meva, cada 20 minuts i el de la línia verda, cada 30 minuts. Si tots dos passen a les dues de la tarda, a quina hora tornaran a coincidir?

24. Calcula mentalment: a) MCM (6, 9) = b) MCM (6, 12) = c) MCM (5, 10) =

25. Observa, completa i calcula: 3 1

0 5 5 1

_ 30 = 2 · 3 · 5 b b 40 = … ` b 54 = … a

2 3 5

4 0 2 0 1

5 4 1

29. En Juli compta de 4 en 4; l’Anna, de 6 en 6, i la Sofia, de 10 en 10. Quins són els tres primers nombres en els quals coincideixen?

MCM(30, (30,40) 40)==… MCM MCM MCM (40, (40,54) 54)==…

GeoGebra. Calcula el MCM de dos nombres.

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

6. MÀXIM COMÚ DIVISOR • El més gran dels divisors comuns de dos o més nombres (a, b, c…) s’anomena màxim comú divisor i s’expressa així: MCD (a, b, c…). • Càlcul del màxim comú divisor (mètode artesanal). És apropiat per a nombres senzills. Per obtenir el màxim comú divisor de dos nombres: 1. Escrivim els divisors de cada nombre.

divisors de 8

→ 1 2 4 8

2. Agafem els nombres comuns.

divisors de 12

→ 1 2 3 4 6 12

3. Ens quedem amb el més gran.

divisors 4→ 1 - 2 - 4 comuns MCD (8, 12) = 4

• Càlcul del màxim comú divisor (mètode òptim). S’utilitza per a nombres grans. El procediment és el següent: 1. Es descomponen els nombres en factors primers.

40 = 22 · 5 i 60 = 22 · 3 · 5 MCD (40, 60) = 22 · 5

2. Agafem només els factors primers comuns elevats a l’exponent més petit.

MCD (40, 60) = 22 · 5 = 20

3. Es multipliquen els factors escollits.

» FIXA IDEES F20. Observa i completa a primer cop d’ull:

EXEMPLE

Divisors de 12 → 1 2 3 4 6 12

Càlcul del màxim comú divisor de 20 i 30.

Divisors de 16 → 1 2 4 8 16 MCD (12, 16) =

Divisors de 20

F21. Calcula com en l’activitat anterior: MCD (8, 20) =

20 10

Divisors de 30 Divisors comuns → 1 - 2 - 5 - 10 El més gran dels divisors comuns és 10. MCD (20, 30) = 10

F22. Completa:

EXEMPLE

40 = 2 $ 2 $ 2 $ 5 3 MCD (40, 50) = 50 = 2 $ 5 $ 5

54 = 2 $ 3 3 4 MCD (54, 90) = 2 · 3 90 = 2 $ 3 2 $ 5

Càlcul del màxim comú divisor de 60 i 72: 60 = 2 · 2 · 3 · 5 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

F23. Completa per calcular el màxim comú divisor de 90 i 315:

9 0 1

3 1 5 1

GeoGebra. Calcula el MCD de dos nombres.

90 = 2 ·

315 = 3

60 = 2 2 $ 3 $ 5 72 = 2 3 $ 3 2

MCD (60, 72) = 22 · 3 = 12

MCD (90, 315) =

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 30. Observa i completa a primer cop d’ull:

35. Calcula:

Div. de 24 → 1 2 3 4 6 8 12 24 Div. de 30 → 1 2 3 5 6 10 15 30

a) MCD (120, 144)

MCD (24, 30) =

31. Calcula seguint el criteri de l’activitat anterior: :

Divisors de

MCD (

Divisors de

: ,

b) MCD (140, 180)

Divisors de

MCD (

b) MCD (12, 18)

Divisors de

36. Calcula el MCD (a, b) en cada cas:

Divisors de

a) a = 3 · 5 · 11 b = 2 · 5 · 11

MCD (

32. Calcula mentalment: a) MCD (30, 40) =

33. Completa i calcula: 6 0 3 0 1 60 = 2 ·

9 0 2 4 5 1 MCD (60, 90) =

90 = 2 ·

MCD (60, 100) =

100 = 2 ·

MCD (90, 100) =

34. Calcula el MCD (a, b) en cada cas. a) a = 3 . 5 . 11 b = 2 . 5 . 11 b) a = 23 . 52 b = 22 . 52 . 7

MCD (a, b) =

b) a = 23 · 52 MCD (a, b) = b = 22 · 52 · 7

37. Suposa que tens un full de 30 cm × 21 cm i vols

b) MCD (50, 75) =

MCD (

a) MCD (10, 15) Divisors de

Divisors de

1 0 0 5 0 1

dibuixar-hi una quadrícula tan gran com sigui possible en la qual no hi hagi quadrats fraccionats. Quina ha de ser la mida dels quadrats?

38. La propietària d’un restaurant compra un bidó de 80 litres d’oli d’oliva i un altre de 60 litres d’oli de gira-sol i vol envasar-los en garrafes iguals, tan grosses com sigui possible, i sense barrejar-los. Quina serà la capacitat de les garrafes?

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Múltiples i divisors 1.

Escriu:

Substitueix cada lletra per una xifra, perquè el nombre resultant sigui divisible per 3: A51

a) Els múltiples de 20 compresos entre 150 i 210.

b) Tots els parells de nombres el producte dels quals és 80.

2B8

32C C=

52D D=

1E8 E=

Busca, en cada cas, tots els valors possibles de a per tal que el nombre resultant sigui, al mateix temps, múltiple de 2 i de 3. 4

3 2

2 4 a

Busca tots els divisors dels nombres següents:

a) 18: b) 20:

Nombres primers i compostos

c) 28:

El nombre 899 només té quatre divisors; un és el nombre 31. Expressa el nombre 899 com a producte de dos factors diferents d’ell mateix i de la unitat.

d) 39: e) 50:

Busca totes les formes possibles de fer grups iguals amb 72 terrossos de sucre.

Criteris de divisibilitat 4.

Escriu:

a) Un nombre de tres xifres que sigui divisible per 3. b) Un nombre de quatre xifres que sigui divisible per 5.

Descompon en factors primers aquests nombres:

a) 54 = b) 140 = c) 200 = d) 380 =

Busca el primer nombre, més gran que 160, que no es pugui expressar com el producte de dos factors diferents d’ell mateix i de la unitat.

c) Un nombre de cinc xifres que sigui divisible per 9.

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

Mínim comú múltiple i màxim comú divisor 10.

El mínim comú múltiple de dos nombres és 15. Quins poden ser aquests nombres?

11.

14.

En una fruiteria envasen sucs de taronja i de poma en caixes amb el mateix nombre d’ampolles. Quan tes ampolles hi ha en cada caixa si un client ha rebut 15 ampolles de suc de taronja i 12 de suc de poma?

Calcula el MCM i el MCD:

a) 25 i 75 b) 12, 18 i 24

15.

PROBLEMA

RESOLT

Estudia els casos possibles i comprova quins compleixen les condicions del problema.

Una fornada de magdalenes s’envasa en bosses de 6 unitats i una altra d’igual, en bosses de 10 unitats, sense que en sobri cap en tots dos casos. Quantes magdalenes surten en cada fornada si s’han omplert gairebé 50 bosses?

Resol problemes 12.

El producte de tres nombres diferents de la unitat és 75. Quina és la seva suma?

13.

Busca el nombre més petit que en dividir-lo entre 10 i entre 12 té un residu de 5.

El nombre de magdalenes de cada fornada és un múltiple comú de 6 i de 10 i, per tant, del seu mínim comú múltiple: MCM (6, 10) = 30 Els múltiples comuns de 6 i 10 són: 30 - 60 - 90 - 120 - 150 Completa la taula i acaba el problema: nombre de magdalenes per fornada

nombre de bosses de 6 unitats

nombre de bosses de 10 unitats

nombre total de bosses

120 150 180

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

16.

Els assistents a la reunió setmanal d’un club social es poden agrupar per parelles per ballar, en trios per fer manualitats i de quatre en quatre per jugar al mus. En cap d’aquests casos no queda ningú desagrupat. Quantes persones són si gairebé arriben a 25?

20.

A l’activitat anterior has completat un problema matemàtic a partir d’unes pistes. Ara et plantegem el repte d’escriure un problema matemàtic sobre múltiples i divisors des d’un inici i t’indicarem els passos que has de seguir: 1. En primer lloc, cal definir l’entorn on es desenvoluparà el problema i en aquest cas, hem escollit unes classes extraescolars de bàsquet amb 18 esportistes.

17.

Volem tallar una cartolina de 48 cm × 60 cm en targetes quadrades que tinguin entre 5 i 10 cm de costat. Quina ha de ser la mida de les targetes per no desaprofitar la cartolina?

18.

Els trens a Vall de Dalt surten cada 18 min i els de Vall de Baix, cada 24 min. Si són les 15 h 45 min i sur ten alhora, quan tornaran a coincidir?

2. A continuació, pensarem la pregunta que volem fer. Per exemple: a partir d’un nombre conegut d’esportistes, formar grups de manera que es compleixi una condició determinada (que no quedi cap persona sense grup, que quedi un esportista sense grup, que els grups siguin parells, etc.). 3. Anota les dades que faràs servir per definir el problema i pensa la pregunta que vols fer. Nombre de participants: 18 Pregunta:

4. Ara cal que resolguis numèricament el problema.

És el teu torn 19.

Completa l’enunciat i la resolució del problema amb la informació que falta: En Marcel per anar a treballar pot agafar dos autobusos, un passa cada … minuts i, l’altre cada 10 minuts. Si avui els dos autobusos han coincidit a les … del matí, quan tornaran a coincidir? 15 = 3 ·

5. El darrer pas és escriure l’enunciat: En una classe extraescolar de bàsquet amb 18 participants, el monitor vol fer grups de

=2·5 MC

(15, 10) =

Tornaran a coincidir als 9.30 h.

· 3 · 5 = 30 minuts, és a dir, a les

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT REFORMES EN UN RESTAURANT La Marta és una professional que es dedica a decorar interiors i ha estat contractada per reformar un restaurant de la ciutat. L’amo de l’establiment li ha encarregat un disseny estètic i, al mateix temps, funcional.

1. Esbós del projecte La Marta visita el restaurant per fer l’esbós del projecte. El restaurant obre puntualment, de dotze a quatre i de dos quarts de cinc a onze de la nit. Per desplaçar-se ha fet servir el transport públic. Hi ha dues línies d’autobús que tenen el seu origen al costat del restaurant i surten a les vuit del matí i funcionen, ininterrompudament, fins a les deu del vespre: la línia vermella, cada 15 minuts, i la verda, cada 25. El restaurant té una terrassa que, des de mitjan abril fins a mitjan setembre, col·loca una dotzena de taules sota una dotzena i mitja de para-sols. a) Si és la una i dotze minuts, quant fa que ha obert el restaurant? b) Quantes vegades, al llarg del dia, para l’autobús de la línia vermella?

d) Durant quants dies està instal·lada la terrassa del restaurant cada any?

c) Si els autobusos de les dues línies coincideixen a la parada d’origen a les vuit del matí, a quina hora tornaran a coincidir?

e) L’amo del restaurant també vol renovar els para-sols de la terrassa. Si la Marta li ha pressupostat 1.692 eu ros, quant li costa cada para-sol?

2. Empaperar la recepció La Marta aconsella a l’amo empaperar la recepció del restaurant amb un paper decoratiu, perquè li surti més econòmic. Ha encarregat un rotllo de paper continu d’1 metre d’ample i de diferents longituds: 14 i 18 metres. Per tal que ni sobri ni falti paper, el pintor ha tallat els rotllos de paper a trossos iguals.

a) El pintor ha decidit fer-ne trossos de la mida més gran possible. Quina és aquesta mida?

b) Quants trossos de paper li sortiran de cada rotllo?

DIVISIBILITAT « UNITAT 2 3. Endreçar el magatzem Un altre encàrrec que rep la Marta és organitzar i endreçar el magatzem del restaurant, ple de condiments i productes que fan servir els cuiners per preparar els plats. Al magatzem també hi ha molts pots de llegums i verdures: 136 kg de cigrons, 208 kg de llenties i 148 kg de mongetes. La Marta ha demanat al mosso de magatzem que desi els pots en capses iguals, que continguin el mateix pes i el màxim nombre possible de quilos d’un sol producte. a) Quants quilos podrà desar en cada capsa?

c) I quantes en prepararà amb llenties?

b) Quantes capses prepararà que continguin cigrons?

d) I amb mongetes?

Al magatzem falten unes quantes prestatgeries per col·locar-hi els ingredients que fan servir els cuiners i la Marta decideix encarregarles a un fuster. El fuster, per construir una prestatgeria, necessita el material següent: 2 taulons llargs, 6 taulons curts, 24 claus grossos i 4 escaires. El fuster té, al seu taller, el material següent: 13 taulons llargs, 41 taulons curts, 145 claus grossos i 27 escaires. e) Quantes prestatgeries podrà fer? Primer de tot, determina quants elements necessita el fuster per fer una prestatgeria i completa la taula amb tot el material que necessita per fer més d’una prestatgeria.

material per a 1 prestatgeria

material material material material material per a 2 per a 3 per a 4 per a 5 per a 6 prestatgeries prestatgeries prestatgeries prestatgeries prestatgeries

material disponible

2 taulons llargs 6 taulons curts 24 claus 4 escaires

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX I DESCOBREIX Els primers valen diners Els nombres primers s’utilitzen per a la construcció de les claus que protegeixen els comptes bancaris, els ordinadors, els telèfons mòbils, la informació que circula per internet, etc. De fet, per elaborar una clau, es neces siten dos nombres primers secrets. Els fàcils ja s’han descobert i els nous són molt difícils de trobar. • Busca el primer nombre primer més gran que 1.000.

El 101 és el protagonista • Què li passa a un nombre de dues xifres si el multipliquem per 101? 29 × 101 = Fixa’t en altres casos i verifica que sempre passa el mateix. • Què tenen en comú tots els nombres de quatre xifres que es formen repetint alternativament dues xifres?

4 5 4 5

8 7 8 7

1 3 1 3

4 3 4 3

» INVESTIGA Divisibilitat i geometria Ja has vist en altres ocasions com les característiques i les propietats dels nombres es reflecteixen en relacions i propietats geomètriques. Observa ara com la descomposició factorial d’un nombre, per exemple el 24, està relacionada amb les possibilitats de construir prismes amb un conjunt de 24 daus (cubs unitaris): 1 × 24 2×2×6 2 × 12

2×2×2

3×8

• I amb un conjunt de 60 daus?

2×3×4

4×6 2×2×2×3

• Quants prismes diferents es poden construir amb 12 daus unitaris?

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

» POSA’T A PROVA 1. Busca, entre els nombres següents, quatre parells de nombres que compleixin la relació de divisibilitat: 6

6. Escriu, ordenats, tots els nombres primers més petits que 50.

240

2. Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses:

a) 60 és divisible per 15.

b) 7 és múltiple de 21.

c) 12 és divisor de 120.

d) 162 és múltiple de 8.

3. Escriu: a) Els múltiples de 12 compresos entre 50 i 100. b) Tots els divisors de 90.

4. Troba aquests nombres:

7. Descompon en factors primers: a) 36 = b) 48 = c) 396 =

8. Calcula: a) MCM (36, 48) b) MCM (10, 15, 25)

9. De quantes maneres diferents es pot dividir una

classe de 28 alumnes, en equips amb el mateix nombre de membres, sense que en sobri cap?

a) El primer múltiple de 13, després de 1.000.

b) L’últim múltiple d’11, abans de 1.000.

5. Completa en el teu quadern: a) Un nombre és múltiple de 3 quan

10. Quin és el costat del quadrat més petit que es pot

formar si unim rajoles rectangulars de 15 cm de llargada per 6 cm d’amplada?

b) Un nombre és divisible per 5 quan c) Un nombre és múltiple de 9 quan