Maria Gaetana Agnesi 1r. Mostra

MATEMÀTQUES IMATEMÀ

1 ESO

Programa

Maria Gaetana Agnesi

PRESENTACIÓ I ESTRUCTURA

BREU HISTÒRIA DE LES MATEMÀTIQUES

Una passejada per la història de la numeració, l’àlgebra, les funcions, la geometria i l’atzar i la probabilitat.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

Proposta de situació d'aprenentatge.

PENSEU-HI!

Idees per encetar el debat i fer aflorar els coneixements previs.

Conceptes explicats de manera amena amb exemples i exercicis resolts.

Unitats del bloc.

Itinerari de la unitat.

FIXA IDEES

Exercicis per practicar tot allò que has après.

APLICA

EL QUÈ HAS APRÈS

Proposta d’activitats per resoldre.

Problemes resolts per motivar la comprensió dels conceptes.

EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES

Exercicis i problemes per treballar el que has après al llarg de la unitat.

Activitats que donen peu a reflexionar sobre els objectius de desenvolupament sostenible de l’ONU.

Problemes que donen pistes de com resoldre la situació d’aprenentatge.

TALLER DE MATEMÀTIQUES

Activitats de lògica, enginy i cultura matemàtica.

POSA'T A PROVA

Activitats per comprovar què has après.

SITUACIÓ

D’APRENENTATGE

Proposta per treballar els sabers i les competències matemàtiques dins un context social i cultural per analitzar i mirar de comprendre el món.

ANEM PAS A PAS

Treball pas a pas i en grups cooperatius de la situació d’aprenentatge plantejada a l’inici.

Resolució de la situació proposada i altres de

AMB ULLS DE DONA

Articles, entrevistes i relats en què científiques de diversos àmbits transmeten la passió que senten per la seva professió.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Col·lecció de problemes de lògica, geometria…

Tècniques de resolució de problemes.

PENSEM-HI

Activitats per debatre i reflexionar sobre la situació d’aprenentatge.

Reflexió sobre l’ODS relacionat amb la situació plantejada.

PROJECTE DIGITAL

Una resposta global per a un entorn educatiu divers

La proposta digital de Barcanova és EDUDYNAMIC , un projecte digital complet que dona una resposta global a un entorn educatiu divers i dinàmic. A partir d’una proposta senzilla i intuïtiva, EDUDYNAMIC és un projecte digital multidispositiu i multisuport que s’adapta i es visualitza en totes les plataformes i en tots els entorns virtuals d’aprenentatge (BlinkLearning, Moodle, Alexia, Google Classroom, Clickedu, Office 365…).

La diversitat i riquesa de recursos, des d’activitats interactives traçables a vídeos, presentacions i jocs, fan d’EDUDYNAMIC un projecte digital actualitzat i complet pensat per canviar amb tu.

Integració a totes les plataformes i entorns EVA.

Continguts i eines per treballar on-line i off-line

Compatibilitat i sincronització amb qualsevol dispositiu.

Amb suport paper o sense.

Gestió en línia de les activitats i tasques assignades als alumnes.

BLOC I. Numeració I

Els sistemes de numeració són útils per escriure nom bres, recordar-los i transmetre’ls. Però han de servir, també, per fer operacions. Pensem en el sistema de numeració romà (que ja coneixem) i imaginem com se les devien apanyar per fer sumes. Per exemple:

MCCCXLVI + DCCCXXXIV

Complicat, oi? Doncs multiplicar encara havia de ser més difícil.

Encara que avui fem servir els nombres negatius amb naturalitat, va haver de passar molt de temps perquè aquests nombres fossin acceptats en el món de les matemàtiques.

Curiosament, ja al segle negatives. Utilitzaven dos conjunts de varetes, unes de vermelles per a les quantitats positives i unes altres de negres per a les negatives, amb les quals feien càlculs amb una destresa extraordinària.

Van haver de passar encara uns mil anys fins que, al segle generalitzés l’ús dels nombres negatius associant-los a la categoria de deute. De l’Índia, i gràcies als àrabs, aquests conceptes van arribar a Europa cap al segle ix . No obstant això, fins al segle nes + i –; primer, per designar quantitats positives i negatives i, després, per a les operacions de suma i resta. El signe = es va inventar l’any 1557.

entre els seus membres, la més coneguda de les quals va ser Teano.

Els pitagòrics van estudiar les propietats teòriques dels nom

3

al qual deu el seu nom, va esdevenir al segle iii aC el centre cultural (científic i artístic) més influent i prestigiós del món hel·lenístic.

, savi grec del segle iii aC, va viure a Alexandria, on va fundar l’escola més important de l’antiga Grècia, en la qual va exercir de professor i científic amb un extraordinari prestigi. Va recopilar i sistematitzar tot el coneixement matemàtic de la seva època, però no es va limitar només a això: va ser, a més, un gran matemàtic que va aportar importants descobriments.

Euclides és l’autor de l’obra Elements, composta per tretze llibres. La major part d’aquests estan dedicats a la geometria i només quatre, a l’aritmètica. En aquesta obra va olupar, entre molts altres conceptes, la teoria de la divisibilitat: nombres primers i compostos, divisors, múl-

Els elements d’Euclides han estat estudiats i admirats en totes les èpoques.

U N I T A T

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

ELS NOMBRES NATURALS 1

UNA MANERA

PARTICULAR D’ESTALVIAR

Diuen que l’economia és el que mou el món. Les revolucions socials i culturals, els canvis polítics, els desastres naturals… trastoquen l’economia i es veuen afectats per aquesta. La planificació de la despesa i el consum responsable ens afecten significativament. El govern vetlla pels pressupostos de sanitat, educació, pensions… A casa, la família té cura dels sous, el cost de les vacances… I tu, no pares de pensar en què gastaràs els estalvis.

Cal analitzar, predir, pressupostar. I aquestes decisions, des d’un punt de vista tècnic, recolzen en eines matemàtiques que ajuden a valorar resultats i predir-ne les conseqüències.

La Laia sempre ha somiat ser astronauta i viatjar a l’espai. Per començar, aquest estiu vol visitar algunes de les seus de l’Agència Espacial Europea (ESA) i, per aconseguir els diners que li calen, s’ha proposat estalviar amb un mètode que li sembla infal·lible.

El primer dia posarà a la guardiola una moneda d’1 €.

El segon dia, dues monedes d’1 €.

El tercer dia, quatre monedes d’1 €.

El quart dia, vuit monedes d’1 €.

I, així, successivament, cada dia posarà a la guardiola el doble que el dia anterior.

PENSEU-HI!

• S i estalvia durant 10 dies, quantes seus de l’ESA creieu que podrà visitar?

• Què us sembla aquesta manera d’estalviar?

Sistemes de numeració

Tècniques de comptatge

Nombres grans

Aproximació de nombres naturals

Potències

Operacions bàsiques amb nombres naturals

Arrel quadrada

Aquest home primitiu ha escrit el nombre 47. Sabries dir el valor de cada símbol?

Aquí apareix escrit el nombre 1.333.331.

1. SISTEMES DE NUMERACIÓ

Els nombres naturals (1, 2, 3…) van sorgir de la necessitat de comptar, i la seva representació va evolucionar adaptant-se a cada moment cultural i històric. En la prehistòria ja utilitzaven algunes tècniques per comptar: comparaven amb els dits, feien osques en un bastó, enfilaven granadures en una corda, etc.

A mesura que la societat evolucionava, va caldre utilitzar quantitats grans i representar-les de manera pràctica. Així, van aparèixer en diferents cultures els sistemes de numeració.

Els símbols utilitzats per representar els comptatges, juntament amb les seves normes d’ús, formen un sistema de numeració

El sistema de numeració egipci

Els antics egipcis utilitzaven els símbols següents:

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 pal nansa corda flor dit granota home

La norma per escriure un nombre era senzilla: s’anaven afegint (sumant) els símbols necessaris fins a completar la quantitat desitjada.

Els sistemes de numeració, com l’egipci, en què es van afegint símbols i se sumen els valors, s’anomenen sistemes additius

El sistema de numeració maia

El poble maia, a l’actual Guatemala i al sud de Mèxic, abans de l’arribada de Cristòfor Colom al continent americà, utilitzava només tres símbols per escriure els nombres:

En els nombres més petits que 20, com pots veure a l’esquerra, el sistema era additiu. Fins aquí, el primer nivell. Per escriure nombres més grans, se superposaven altres nivells, amb els mateixos símbols, però multiplicant-ne el valor per 20 en pujar cada esglaó.

Segon nivell (× 20)

Primer nivell (× 1)

Com veus, un símbol té diferent valor segons el nivell en què es trobi, la qual cosa és característica dels sistemes de numeració posicionals És a dir, el sistema maia era en part additiu i en part posicional.

Recorda

Un nombre es pot descompondre segons els seus ordres d’unitats i segons el valor de posició de cada xifra:

27.473

2 DM → 20.000

7 UM → 7.000

4 C → 400

7 D → 70

3 U → + 3 27.473

» FIXA IDEES

El sistema de numeració decimal

El sistema de numeració que utilitzem actualment és el decimal. Consta de deu símbols o xifres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) i es regeix per aquestes normes:

• Es defineixen ordres d’unitats: unitats, desenes, centenes…

• Deu unitats d’un ordre fan una unitat de l’ordre immediat superior.

• El valor d’una xifra depèn del lloc que ocupi (sistema de tipus posicional).

Exemple:

La xifra 4 té diferent valor segons l’ordre d’unitats que ocupa.

F1. Seguint el sistema de numeració decimal:

a) Quantes desenes fan 3 milers?

b) Quantes centenes fan una desena de miler?

c) Quantes centenes hi ha en 5 unitats de milió? CM DM UM C D U

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

1. Escriu d’acord amb el sistema de numeració egipci els nombres 19, 65, 3.412 i 2.523.

2. En un sistema additiu s’utilitzen aquests símbols:

1 5 10 100

• Escriu, seguint aquest sistema, els nombres 7, 12, 84 i 126.

3. Tradueix al sistema decimal aquests nombres del sistema maia.

5. Copia i completa:

a) 500 D = … C = … UM

b) 3.000 C = … UM = … DM

c) 6 UM = … C = … D

d) 8 CM = … DM = … D

6. Cert o fals?

a) Si canvies de lloc les xifres, canvia el valor del nombre.

b) Si afegeixes un zero a la dreta d’un nombre, el seu valor es multiplica per 10.

c) Si afegeixes un zero a l’esquerra d’un nombre, el valor es divideix entre 10.

d) Mig miler equival a 5 desenes.

4. Afegeix dos elements per la dreta i dos per l’esquerra a aquesta sèrie de nombres del sistema maia:

Segon nivell → Primer nivell →

e) Mil milers fan un milió.

7. Un nombre té cinc xifres que sumen 5. Si intercanvies les unitats amb les unitats de miler, augmenta 999 unitats. Quin nombre és?

Núria 6 Cèlia 13 Martí 9

2. TÈCNIQUES DE COMPTATGE

Fem servir els nombres naturals per comptar. Però sabem que els comptatges només es fan, d’un en un, en situacions molt senzilles. Quan aquestes es compliquen, fem servir estratègies que els fan més ràpids i eficaços. Repassem-ne algunes:

Recomptes de dades

Exemple

A l’esquerra tens els resultats de la votació per a l’elecció de delegat en una classe de 1r d’ESO. Fixa’t que:

• A la classe, entre noies i nois, són 28 alumnes.

• La Cèlia ha obtingut 4 vots més que en Martí.

Taules i operacions

Exemple

Tingues en compte

Recorda el significat d’aquests símbols:

Femení → ♀

La taula recull dades referents a la distribució de dos grups de 1r d’ESO i de dos grups de 2n d’ESO en un centre de secundària.

Masculí → ♂ altres altres altres altres

Fixa’t que:

• A primer hi ha 52 alumnes i a segon també 52.

• En total hi ha 49 noies, 54 nois i una persona que no vol ser comptabilitzada en cap d’aquests dos grups.

Diagrama en arbre

Exemple

En una urna hi ha tres boles de diferents colors (vermell, blau i groc) i ens proposen que fem l’experiència «treure successivament dues boles»

• Suposa que fem l’experiència sis vegades. En quantes, teòricament, hauria de quedar la vermella a l’urna? I si fem l’experiència 30 vegades?

Fem servir un diagrama com el que hi ha l’esquerra (diagrama en arbre) en el qual s’estudien totes les possibilitats.

Veiem que, teòricament, la bola vermella quedarà a l’urna dues de les sis vegades.

I si fem l’experiència 30 = 6 · 5 vegades, teòricament la vermella quedarà a l’urna, 2 · 5 vegades.

» APLICA EL QUE HAS

8. La Marta s’ha col·locat a la finestra de casa seva i ha anat anotant el color dels cotxes que hi han passat per davant durant mitja hora.

Però, sense voler, el seu germà petit li ha esborrat algunes dades.

b) I si, en lloc de dos pantalons, en portés tres?

c) I si, a més, pot tenir en compte les sabatilles que portava posades en sortir de casa?

10. De cada branca d’un arbre cada any en surten dues i de cada una en surt una flor.

• Quantes flors noves sortiran al sisè any? I al desè?

2n , n: anys

Anys 1 2 3 4 … flors 2 2 × 2 2 × 2 × 2 2 × 2 × 2 × 2

11. Tenim una urna amb quatre boles, tres de blaves i una de vermella i ens proposen que fem l’experiència «treure successivament dues boles».

• Copia la taula i completa les dades que hi falten.

9. En Lluís se’n va d’excursió i a la motxilla hi porta unes vambes, unes sabates, dos pantalons, tres camises i una samarreta.

a) De quantes maneres es podrà vestir demà amb les peces de roba que porta a la motxilla?

a) Quina possibilitat hi ha que quedin a l’urna dues boles de diferent color?

b) I que les dues boles que hi quedin siguin del mateix color?

Per resoldre’l, pots fer un diagrama en arbre com el de l’activitat anterior.

c) I si en lloc de treure dues boles en traiem tres, quina possibilitat creus que hi ha que totes tres siguin blaves?

Tingues en compte

Als milers de milions també se’ls anomena miliards.

També es designen amb el prefix giga: 1.000.000.000 bytes = 1 gigabyte

3. NOMBRES GRANS

Moltes quantitats i dades superen les nou xifres: el nombre d’habitants de la Terra (7.900.000.000), els segons que té un segle (3.153.600.000), els quilòmetres d’un any llum (9.460.800.000.000)…

El sistema de numeració decimal permet representar quantitats tan grans com vulguem. Aprèn els ordres d’unitats relatius als nombres de més de nou xifres:

L’univers es va originar fa tretze mil vuit-cents milions d’anys.

El cervell d’una persona jove té uns cent mil milions de neurones.

• Un milió ↔ Un 1 seguit de 6 zeros.

La Terra té un volum aproximat d’un bilió de quilòmetres cúbics.

• Un bilió ↔ Un milió de milions ↔ Un 1 seguit de 12 zeros.

• Un trilió ↔ Un milió de bilions ↔ Un 1 seguit de 18 zeros.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

12. Llegeix les primeres línies d’aquesta pàgina i escriu com es llegeixen:

a) El nombre d’habitants de la Terra

b) El nombre de segons d’un segle

c) El nombre de quilòmetres que té un any llum

13. Escriu amb xifres:

a) Vint-i-vuit milions tres-cents cinquanta mil

b) Cent quaranta-tres milions

c) Dos mil set-cents milions

d) Setze gigues

e) Un bilió i mig

f) Quinze bilions tres-cents cinquanta mil milions

14. Copia i completa:

a) Mil milers fan un…

b) Mil milions fan un…

c) Un milió de milers fan un…

d) Un milió de milions és un…

15. El cos humà té entre deu i setanta milions de milions de cèl·lules. Expressa aquestes quantitats en bilions.

16. Com llegiries el nombre expressat per un 1 seguit de setze 0?

17. Les científiques i els científics han calculat que els mars i oceans de la Terra contenen tres quadrilions de quilograms d’aigua. Què creus que és un quadrilió?

Els nombres que fem servir per comptar objectes, d’un a un, s’anomenen nombres naturals.

El conjunt dels nombres naturals s’anomena amb la lletra Ú, està ordenat i té principi, però no té final.

Ú = {0, 1, 2, 3, 4 …}

Els nombres naturals es representen, ordenats, en la recta numèrica.

01234 10

4. APROXIMACIÓ DE NOMBRES NATURALS

Quan un nombre té moltes xifres, és difícil de recordar i és incòmode per fer càlculs. Per això, l’acostumem a substituir per un altre, més manejable, de valor aproximat, acabat en zeros. Per exemple:

L’any 2022, a Catalunya es van consumir 33.673.000 kg de tomàquets.

33.673.000 són, aproximadament, trenta-quatre milions de kg de tomàquets.

La manera més freqüent i pràctica de fer aproximacions és l’arrodoniment.

Per arrodonir un nombre a un determinat ordre d’unitats:

• Se substitueixen per zeros totes les xifres a la dreta d’aquest ordre.

• Si la primera xifra substituïda és igual a 5 o més gran, se suma una unitat a la xifra anterior.

» FIXA IDEES

F2. Completa per aproximar el nombre 384.523 a les centenes de miler, a les desenes de miler i als milers.

AJUDA

Aproximació del nombre 52.722: – A les desenes de miler → 50.000 – Als milers → 53.000

APLICA EL QUE HAS APRÈS

18. Arrodoneix als milers aquests nombres:

a) 24.963 b) 7.280 c) 40.274 d) 99.834

19. Aproxima a les centenes i a les desenes de miler:

a) 530.298 b) 828.502 c) 359.481 d) 29.935.236

20. Llegeix aquesta notícia i aproxima el nombre de turistes als milions i la despesa als milers de milions.

L’any 2022 van visitar Catalunya 14.803.187 turistes que van gastar 16.461 milions d’euros.

21. Aproxima als milions per arrodoniment:

a) 24.356.000 b) 36.905.000 c) 274.825.048

22. Fixa’t en les diverses aproximacions al preu d’un pis en venda:

EN VENDA

138290 € 138.290 €

a) Quina és més propera al preu real?

138.000 €

138.300 €

140.000 €

b) Quina et sembla més adequada per a una informació col·loquial, si no es recorda la quantitat exacta?

23. Un ajuntament ha pressupostat 149.637 € per rehabilitar una àrea esportiva. Quina xifra donaries per comunicar aquesta dada en una conversa informal?

AFORAMENT: 590 localitats Localitats ocupades

Platea: 308  1r pis: 258

Propietat commutativa

34 + 16 = 16 + 34 50

Propietat associativa

(18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17)

Recorda

590 ← Minuend (M )

– 566 ← Subtrahend (S )

24 ← Diferència (D )

»

APLICA EL QUE HAS APRÈS

24. Calcula:

a) 254 + 78 + 136

5. OPERACIONS BÀSIQUES AMB NOMBRES NATURALS

Tot i que ja saps fer operacions amb nombres naturals, és important que en repassem alguns conceptes i algunes propietats.

La suma i les seves propietats

Recorda que sumar és unir, ajuntar, afegir.

Per exemple, si volem saber el nombre de persones que hi ha al teatre que veus al marge, haurem de fer una suma:

308 + 258 = 566

La suma compleix les propietats següents:

• Propietat commutativa: El resultat de la suma no varia encara que canviem l’ordre dels sumands.

a + b = b + a

• Propietat associativa: El resultat de la suma és independent de la forma com s’agrupen els sumands.

(a + b) + c = a + (b + c)

La resta i les seves relacions amb la suma

Recorda que restar és treure, suprimir, trobar el que falta o el que sobra; és a dir, calcular la diferència.

Per exemple, per saber quantes localitats buides hi ha al teatre, hem de fer una resta: 590 – 566 = 24

Observa, a més, que 590 = 566 + 24 i que 566 = 590 – 24.

Relacions entre la suma i la resta: M – S = D →

b) 340 + 255 – 429

c) 1.526 – 831 + 63 d) 1.350 – 1.107 – 58

25. Estima la resposta i comprova-la després:

La Carme compra una bossa de 167 €, una gavardina de 235 € i un mocador de 32 €. Quant s’ha gastat?

a) S’ha gastat al voltant de 350 €

b) S’ha gastat, més o menys, 450 €

c) S’ha gastat al voltant de 550 €.

26. Transforma:

MS D

SM D –=+ = *

a) Aquesta suma en una resta: 48 + 12 = 60.

b) Aquesta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14.

27. Si l’Albert tingués 15 anys més, encara seria 18 anys més jove que el seu oncle Tomàs, que té 51 anys. Quants anys té l’Albert?

28. Si comprés només una rentadora, em sobrarien 246  €, però si comprés també un televisor, em faltarien 204  €. Pots dir el preu d’algun d’aquests articles?

16 × 55

8 × 2 × 5 × 11

88 × 10

880

La propietat associativa ens permet reagrupar els termes, i la commutativa, canviar-los d’ordre.

La multiplicació i les seves propietats

Recorda que multiplicar és una manera abreujada de fer una suma repetida de sumands iguals.

Per exemple, si una entrada per al teatre de la pàgina anterior costa 15 €, la recaptació de 7 entrades serà aquesta:

15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 15 · 7 = 105 €

La multiplicació compleix les propietats següents:

• Propietat commutativa: El producte no varia en canviar l’ordre dels factors. a · b = b · a

• Propietat associativa: El resultat d’una multiplicació és independent de la forma com s’agrupin els factors.

(a · b) · c = a · (b · c)

• Propietat distributiva: El producte d’un nombre per una suma (o resta) és igual a la suma (o resta) dels productes del nombre per cada sumand. a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c

L’exemple següent t’ajudarà a comprendre el significat de la propietat distributiva:

15 · 7 + 15 · 3 = 15 · (7 + 3)

105 + 45 15 · 10

»

APLICA EL QUE HAS APRÈS

29. Copia i completa:

Una colla d’amics i amigues van comprar dijous 7 entrades per al teatre i divendres, 3 entrades més. Quin va ser el cost de les entrades?

Podem calcular el cost de les entrades de dues maneres:

despesa de 7 entrades + despesa de 3 entrades ↔ despesa de (7 + 3) entrades

15 · 7 + 15 · 3 = 15 · 10

32. Fixa’t en els exemples i multiplica mentalment per 9 i per 11:

• 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207

• 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253

+

30. Recorda que per multiplicar per 10, per 100, per 1.000… s’afegeixen un, dos, tres… zeros. Calcula:

a) 19 · 10 b) 12 · 100 c) 15 · 1.000 d) 140 · 10 e) 230 · 100 f) 460 · 1.000

31. Expressa amb una igualtat aritmètica: Multiplicar un nombre per vuit és el mateix que multiplicarlo primer per deu i després restar-hi el doble d’aquest nombre.

Quina propietat s’aplica en aquesta igualtat?

a) 12 · 9 b) 25 · 9 c) 33 · 9 d) 12 · 11 e) 25 · 11 f) 33 · 11

33. Quantes voltes fa en un quart d’hora una roda que gira a 1.500 revolucions per minut? I en una hora? I en una hora i mitja?

34. Una agricultora té un hort amb 200 presseguers. Calcula que amb cada arbre omplirà set caixes de cinc quilos de préssecs.

Quin benefici obtindrà si ven tota la producció a 2 € el quilo?

Divisió exacta

35 5

0 7 35 = 5 · 7

Divisió entera

38 5

3 7 38 = 5 · 7 + 3

Tingues en compte

32 8 0 4

7 7

224 56 00 4

El quocient no varia.

APLICA EL QUE HAS APRÈS

La divisió

Recorda dues de les situacions que resol la divisió i que apareixen sovint en els problemes aritmètics:

• S’han de repartir 375 bolígrafs en 5 capses iguals. Quants bolígrafs hi haurà en cada capsa?

3 7 5 5

2 5 75 0 ⎯→ 375 : 5 = 75 bolígrafs en cada capsa

Dividir és repartir un tot en parts iguals per esbrinar quantes en toquen a cada un.

• Quantes capses de 75 bolígrafs omplirem amb 375 bolígrafs?

3 7 5 75 0 0 5 ⎯→ 375 : 75 = 5 capses

Dividir és partir un tot en porcions iguals d’una determinada mida per esbrinar quantes porcions s’obtenen.

Una divisió pot ser exacta o entera depenent del valor del residu.

• Divisió exacta (el residu és zero).

⎯→ El dividend és igual al divisor multiplicat pel quocient.

D = d · q

• Divisió entera (el residu és diferent de zero).

⎯→ El dividend és igual al divisor multiplicat pel quocient més el residu.

D = d · q + r

Si en una divisió es multipliquen el dividend i el divisor pel mateix nombre, el quocient no varia.

35. Esbrina el quocient i el residu de cada divisió:

a) 96 : 13 b) 713 : 31 c) 5.309 : 7 d) 7.029 : 26 e) 49.896 : 162 f ) 80.391 : 629

36. Un granger recull 1.274 ous, els envasa en safates de 30 i empaqueta les safates en capses de 10.

Quants ous queden sense completar una safata?

Quantes safates queden sense completar una capsa?

»

APLICA EL QUE HAS APRÈS

6. EXPRESSIONS AMB OPERACIONS COMBINADES

Ordre en què han de fer-se les operacions

Quan resolguis expressions amb operacions combinades, has de tenir en compte les normes del llenguatge matemàtic. Aquestes normes asseguren que cada expressió tingui un significat i una solució únics.

Observa l’ordre d’actuació en les expressions següents. Els resultats són diferents malgrat que estan formades pels mateixos nombres i operacions.

48 : 3 + 5 – 2 · 3

16 + 5 – 6 21 – 6 15

48 : (3 + 5) – 2 · 3

48 : 8 – 6

48 : 3 + (5 – 2) · 3

16 + 3 · 3

16 + 9

En les expressions amb operacions combinades, hem de resoldre:

• Primer, els parèntesis.

• Després, les multiplicacions i les divisions.

• Finalment, les sumes i les restes.

Aprèn a fer servir la calculadora

Introdueix en la calculadora aquesta seqüència: 2 + 3 * 4 =.

Tot i que et sembli estrany, segons la calculadora que facis servir pots obtenir dues solucions diferents: 20 o 14.

{∫“≠} → La calculadora fa les operacions en l’ordre en què s’introdueixen. (2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20

{∫‘¢} → La calculadora fa, primer, el producte. És a dir, respecta la prioritat de les operacions.

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14

Per tant, no totes les calculadores tenen la mateixa lògica interna. Esbrina de quin dels dos tipus és la teva i tingues-ho en compte quan la utilitzis.

37. Fixa’t en els exemples i fes les operacions:

• 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4

• (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4

a) 8 + 5 · 2 b) 15 – 10 : 5 c) 4 · 6 – 13

d) (15 – 3) : 4 e) (8 + 2) · 3 f) 18 : (10 – 4)

38. Resol mentalment i compara els resultats:

a) 2 + 3 · 4 (2 + 3) · 4

b) 6 – 2 · 3 (6 – 2) · 3

c) 18 – 10 : 2 (18 – 10) : 2

39. Indica els passos seguits per resoldre aquestes operacions, i comprova la solució. Si no coincideix, revisa’ls.

a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7) ⎯→ 14

b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5 ⎯→ 2

c) 21 : (3 + 4) + 6 ⎯→ 9

d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6 ⎯→ 7

e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3 ⎯→ 1

f) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) ⎯→ 11

g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2) ⎯→ 0

Nombres i geometria

el quadrat

5

5 el cub

5

5 5

El quadrat de 5 és: 52 = 5 · 5 = 25 (25 quadradets)

El cub de 5 és:

53 = 5 · 5 · 5 = 125 (125 cubs petits)

Com representaries geomètricament els nombres 32 i 33?

Potències amb la calculadora

• Amb calculadora científica:

85 ⎯→ 8 ‰ 5 = {∫∫∫«“|\°}

• Amb calculadora senzilla:

85 ⎯→ 8 * 8 = = = = {∫∫∫«“|\°}

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

40. Expressa amb una potència:

a) 6 · 6 b) 7 · 7 · 7

c) 4 · 4 · 4 · 4 d) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

7. POTÈNCIES

Una potència és una manera abreujada d’escriure un producte de factors iguals:

a · a · a · a · a = a5

En les potències, el factor repetit es diu base, i el nombre de vegades que es repeteix, exponent.

a b exponent base → Es llegeix: a elevat a b.

Exemples

• Expressió en forma de potència:

a) 3 · 3 · 3 · 3 = 34 → Tres elevat a quatre o tres elevat a la quarta potència.

b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 → Dos elevat a cinc o dos elevat a la cinquena potència.

• Càlcul:

a) 73 = 7 · 7 · 7 = 343

» FIXA IDEES

b) 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000

F3. Completa per calcular, amb llapis i paper, el valor de 75:

75 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = (7 · 7) · (7 · 7) · 7 = = 49 · 49 · 7 = · 7 = …

F4. Quin és el valor de x en cada cas?

a) x3 = 125 x = …

b) 5x = 3.125 x = …

F5. Calcula i completa cada casella amb la quantitat que correspongui:

2 · (112 – 92) – 62 = 2 · (121 – ) – 62 = = 2 · – = – = …

AJUDA

F3. Copia i completa:

52 = 5 · 5 = 25

53 = (5 · 5) · 5 = 25 · 5 = …

54 = (5 · 5) · (5 · 5) = …

F4. 7x = 2.401 Quant val x ?

Amb la calculadora senzilla: 7*7=== {∫∫∫∫“¢≠‘}

41. Llegeix aquestes potències i expressa-les en forma de producte:

a) 34 b) 27 c) 93 d) 152 e) 106 f) 204

42. Un pelegrí arriba molt cansat a un alberg i paga una moneda per passar-hi la nit. Com que van arribant més viatgers, l’hostaler dobla el preu, i el pelegrí paga dues monedes per la segona nit. La tercera l’hostaler nit torna a doblar el preu i la quarta, també. Finalment, un cop totalment recuperat, el pelegrí abandona l’allotjament.

a) Expressa amb potències el total pagat pel pelegrí.

b) Calcula el valor d’aquesta expressió.

Reflexiona

Què és més còmode d’escriure? I d’interpretar?

1.000.000.000.000 ↔ 1012

8. POTÈNCIES DE BASE 10. APLICACIONS

Ja saps que per multiplicar per 10 només has d’afegir un zero. Així:

102 = 10 · 10 = 100

105 = 100.000

»

APLICA EL QUE HAS APRÈS

43. Escriu com a potències de base 10:

a) Un miler b) Un milió

c) Mil milions d) Un bilió

44. Expressa amb totes les xifres:

103 = 10 · 10 · 10 = 1.000

109 = 1.000.000.000

9 zeros

Una potència de base 10 és igual a la unitat seguida de tants zeros com indica l’exponent.

Expressió abreujada de nombres grans

Els nombres acabats en zeros poden expressar-se com a producte d’un nombre per una potència de base 10.

Per exemple: 400.000 = 4 · 100.000 = 4 · 105

Aquest recurs facilita l’expressió i la comprensió de nombres molt grans.

Exemple

Un any llum = 9.460.800.000.000 km. Observa les transformacions que fem perquè aquesta quantitat sigui més fàcil de llegir, d’escriure i de recordar:

• Arrodonim i deixem dues xifres significatives → 9.500.000.000.000

• Descomponem en forma de producte → 95 · 100.000.000.000

• Expressem el segon factor com una potència de base 10 → 95 · 1011 Un any llum equival a 95 · 1011 km.

Descomposició polinòmica d’un nombre

La descomposició d’un nombre segons el valor posicional de les xifres i el que has après sobre les potències de base 10 permeten la transformació de l’exemple següent. És la descomposició polinòmica del nombre.

a) 4 · 105 b) 15 · 109 c) 86 · 1014

45. Escriu el valor de x en cada cas:

a) 2.936.428 ≈ 29 · 10 x b) 3.601.294.835 ≈ 36 · 10 x

c) 19.570.000.000.000 ≈ 20 · 10 x

46. Escriu la descomposició polinòmica dels nombres següents:

a) 74.238 b) 680.290

c) 4.528.926 d) 46.350.000

47. Escriu en forma abreujada les dades següents:

a) El nombre de molècules elementals en un litre d’aigua és 334.326.000.000.000.000.000.000.

b) L’estrella Alfa Centauri està a uns quaranta bilions de quilòmetres del Sol.

No et confonguis

(2 + 3)4 = 54 = 625

24 + 34 = 16 + 81 = 97

(2 + 3)4 ≠ 24 + 34

La potència d’una suma (o una resta) NO ÉS IGUAL a la suma de les potències dels sumands.

(a + b)n ≠ an + bn

(a – b)n ≠ an – bn

» FIXA IDEES

9. OPERACIONS AMB POTÈNCIES

Ara aprendràs algunes propietats que faciliten el càlcul amb potències. Per això, és convenient que les entenguis, les memoritzis i n’assagis l’aplicació en diferents situacions.

Potència d’un producte (Producte de potències amb el mateix exponent)

Compara les dues expressions següents i observa que en ambdues s’obté el mateix resultat.

• (2 · 3)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 216

• 23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216

O també:

→ (2 · 3)3 = 23 · 33

• 23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = (2 · 3)3

La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors.

⎯→ (a · b)n = an · bn

Potència d’un quocient (Quocient de potències amb el mateix exponent)

Observa que aquestes dues expressions també tenen el mateix valor.

• (6 : 3)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 8

• 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8

O també:

→ (6 : 3)3 = 63 : 33

• 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) = (6 : 3)3

La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor.

F6. Fixa’t en els exemples resolts, i copia i completa seguint els mateixos procediments:

a) 25 · 55 = (… · …)5 = … 5 = …

b) 184 : 94 = (… : …)4 = … 4 = …

c) 63 · 53 = (… · …)3 = … 3 = (… · 10)3 = … 3 · 103 = … · 1.000 = …

d) (85 · 65) : 245 = (… · …)5 : 245 = … 5 : 245 = (… : 24)5 = … 5 = …

e) (363 : 93) · 253 = (… : …)3 · 253 = … 3 · 253 = (… · 25)3 = … 3 = …

f ) (542 : 32) : 22 = (… : …)2 : …2 = … 2 : …2 = (… : …)2 = … 2 = …

EXEMPLES

⎯→ (a : b)n = an : bn

• 56 · 26 = (5 · 2)6 = 106 = 1.000.000

• 123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 27

• 54 · 44 = (5 · 4)4 = 204 = (2 · 10)4 =

= 24 · 104 = 16 · 10.000 = 160.000

• (66 · 56) : 156 = (6 · 5)6 : 156 =

= 306 : 156 = (30 : 15)6 = 26 = 64

Tingues en compte

La potència zero d’un nombre (diferent de zero) és igual a 1.

a0 = 1 (a ≠ 0)

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

Producte de potències amb la mateixa base

En multiplicar dues potències del mateix nombre, s’obté una altra potència d’aquest nombre.

54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57 ⎯→ 54 · 53 = 54 + 3 = 57 4 vegades 3 vegades

Observa que l’exponent del producte final és la suma dels exponents dels factors.

Per multiplicar dues potències amb la mateixa base, es deixa la base i se sumen els exponents. ⎯→ am · an = am + n

Quocient de potències amb la mateixa base

Recorda les relacions entre la multiplicació i la divisió i fixa-t’hi:

54 · 53 = 57 ↔

57 : 53 = 54 ⎯→ 57 : 53 = 57 – 3 = 54

57 : 54 = 53 ⎯→ 57 : 54 = 57 – 4 = 53

Observa que l’exponent de cada quocient és la diferència entre l’exponent del dividend i l’exponent del divisor.

Per dividir dues potències de la mateixa base, es deixa la base i es resten els exponents. ⎯→ am : an = am – n

Potència d’una altra potència

En elevar una potència a una altra potència, s’obté una nova potència de la mateixa base.

(54)3 = 54 · 54 · 54 = 54 + 4 + 4 = 54 · 3 = 512

Observa que l’exponent final és el producte dels exponents de l’expressió inicial.

Per elevar una potència a una altra potència, es deixa la mateixa base i es multipliquen els exponents. ⎯→ (an)m = an · m

48. Reflexiona i calcula de la forma més senzilla:

a) 53 · 23 b) 42 · 52 c) 252 · 42 d) 203 · 53 e) 165 : 85 f) 183 : 63 g) 214 : 74 h) 352 : 52 i) 1003 : 503

49. Calcula i observa que els resultats no coincideixen: a) (6 + 4)2 b) (5 + 2)3

62 + 42 53 + 23

50. Expressa amb una única potència:

a) 26 : 22 b) 38 : 35 c) 107 : 106 d) a10 : a6

51. Redueix a una única potència:

a) (52)3 b) (25)2

c) (103)3 d) (a5)3

e) (m2)6 f) (x4)4

Exemples

• 42 = 16 → 16 = 4

L’arrel quadrada de 16 és 4.

• 152 = 225 → 225 = 15

L’arrel quadrada de 225 és 15.

3.900 UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

3.969 622 632 62 63

√3.900

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

52. Observa l’exemple, copia i completa:

10. ARREL QUADRADA

Calcular l’arrel quadrada és fer l’operació inversa d’elevar al quadrat. ba ab 2 ) ==

arrel

√— a = b

radicand

⎯→ Es llegeix: L’arrel quadrada de a és igual a b

Arrels exactes i arrels enteres

• Els quadrats dels nombres naturals s’anomenen quadrats perfectes:

L’arrel quadrada d’un quadrat perfecte és una arrel exacta.

Per exemple, són arrels exactes les següents:

93==1211140020 =

• Però l’arrel de la majoria de nombres no coincideix amb una quantitat exacta d’unitats senceres.

Busquem, per exemple, l’arrel de 40:

63640

74940 < > 2 2 = = 4 → 6 < 40 < 7 → L’arrel quadrada de 40 és un nombre comprès entre 6 i 7.

Al nombre natural que més s’aproxima, per sota, a l’arrel, l’anomenem arrel entera.

40 ≈ 6 → L’arrel entera de 40 és 6.

Càlcul de l’arrel quadrada per tempteig

Amb el que ja saps, pots calcular arrels per tempteig. Aquesta tècnica t’ajudarà a aclarir idees i a consolidar el concepte.

Exemple

Calculem, per tempteig, .3900 .

6036003900

6238443900

2 2 2

6339693900

< < >

b b b b

3900 62 63 Como veus,s mm que

és .é és gran iqu epetit

Com veus, 3.900 és més gran que 622 i més petit que 632 .. .. ..

22 hhh = = =

_ ` a

L’arrel quadrada de 3.900 és un nombre comprès entre 62 i 63.

.390062≈ → L’arrel entera de 3.900 és 62.

• En algunes calculadores, la successió de tecles per calcular .105674 és la següent:

105.674 $ → {«“∞…≠|∞………}

• En d’altres, és la següent:

$ 105.674 = → {«“∞…≠|∞………}

Algorisme per al càlcul de l’arrel quadrada

Per calcular amb llapis i paper una arrel quadrada, segueix els passos que s’indiquen a continuació.

Exemple

Calculem 105674 :

1 Separem de dos en dos, des de la dreta, les xifres del radicand i calculem l’arrel del paquet de l’esquerra `j .

√10 . 56 . 74 3 ← A A = 10 = 3 i queda 1 de residu.

3 · 3 → –9 6 ← B B: Escrivim el doble de A. 1

2 Baixem el paquet següent (56) i busquem la xifra c , de manera que 6 c × c sigui tan proper a 156 com sigui possible, sense sobrepassar-lo.

√10 . 56 . 74 3

. 56 . 74 3 –9 ↓↓ 6 c × c

3 Pugem el valor c = 2 al camp de la solució, baixem el paquet següent (74) i repetim el procés.

4 Pugem el valor d = 5 al camp de la solució.

Solució:

.105674325=

Prova: 3252 + 49 = 105.674

53. Copia i completa les arrels resoltes següents mitjançant l’algorisme:

EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES

Sistemes de numeració

1. Tradueix al sistema decimal aquests nombres de l’antic Egipte:

2. Escriu segons el sistema additiu egipci cada un d’aquests nombres:

a) 48 b) 235 c) 2.130

3. Expressa en xifres romanes:

a) 87 b) 425 c) 2.600

4. Escriu el nombre cinquanta-set, com a mínim, amb tres sistemes de numeració diferents.

5. Quantes xifres necessites per escriure un bilió? I un trilió? Quants zeros són en cada cas?

6. Cert o fals?

a) Un milió equival a mil centenes.

b) Cent milions són mil centenes de miler.

c) Mil vegades un milió fan un giga.

d) Cent gigues fan un bilió.

e) Un bilió té un milió de milions.

Aproximacions

7. Copia i completa la taula:

8. Segons va publicar un diari, la població de la capital d’Egipte, el juny de 2022, era de 21.750.020 habitants. Si et preguntessin per aquesta xifra i no recordessis la quantitat exacta, què respondries?

• Quina creus que podria ser la xifra per a l’any 2100?

9. Llegeixes, en un anunci, que un habitatge es ven per 293.528 €. Uns quants dies després ho comentes amb una amiga, però no recordes exactament el preu. Quina de les expressions següents triaries per transmetre la informació? Explica per què.

a) Costa gairebé tres-cents mil euros.

b) Costa dos-cents mil euros i escaig.

c) Costa dos-cents noranta mil euros.

10. La taula conté algunes dades sobre el consum a Catalunya de productes de l’hort durant el 2022:

Repeteix la taula aproximant les dades a les centenes de milers de tones i a les centenes de milers d’euros.

Utilitats dels nombres

11. Aquests són els números de diverses habitacions en un hotel de platja: 401; 235; 724; 231.

a) Una de les habitacions és al final del passadís. Quina és?

b) Una altra és a l’última planta. Quin número té?

c) Quines habitacions són al mateix pis?

Operacions

Suma i resta

12. Calcula mentalment:

a) 5 + 7 – 3 – 4 b) 18 – 4 – 5 – 6

c) 10 – 6 + 3 – 7 d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5

e) 12 + 13 + 8 – 23 f) 40 – 18 – 12 – 6

13. Calcula:

a) 47 – (35 – 28)

b) 52 – (36 – 27)

c) 128 – (86 – 45 – 12) d) 237 – (152 + 48 – 14)

e) 348 – (148 – 86 + 29) f) 235 – (340 – 152 – 84)

14. Calcula i comprova el resultat amb les solucions del final de l’activitat:

a) 5 – [7 – (2 + 3)] b) 3 + [8 – (4 + 3)]

c) 2 + [6 + (13 – 7)] d) 7 – [12 – (2 + 5)]

e) 20 – [15 – (11 – 9)] f) 15 – [17 – (8 + 4)]

Solucions: a) 3; b) 4; c) 14; d) 2; e) 7; f) 10

Multiplicació i divisió

15. Multiplica:

a) 16 · 10 b) 128 · 10 c) 60 · 10 d) 17 · 100 e) 85 · 100 f) 120 · 100 g) 22 · 1.000 h) 134 · 1.000 i) 140 · 1.000

16. Calcula el quocient i el residu en cada cas:

a) 2.647 : 8 b) 1.345 : 29 c) 9.045 : 45 d) 7.482 : 174 e) 7.971 : 2.657 f) 27.178 : 254

17. Copia i completa:

18. Calcula mentalment:

a) 3 · (10 : 5) b) (4 · 6) : 8 c) 20 : (2 · 5) d) (30 : 5) · 3 e) 10 : (40 : 8) f) (40 : 8) : 5

19. Divideix mentalment en parts iguals, com en l’exemple:

• 96 : 12 8 : 3 32 : 4

a) 60 : 12 b) 180 : 12 c) 300 : 12 d) 75 : 15 e) 90 : 15 f) 180 : 15 g) 180 : 30 h) 240 : 30 i) 390 : 30

20. Resol mentalment:

a) En un bidó d’aigua hi caben 5 litres. Quants bidons s’omplen amb 100 litres?

b) Un quilo d’ametlles costa 12 €. Quant costa una bossa d’ametlles de 5 quilos?

c) Una caixa de refrescos conté 24 ampolles. Quantes ampolles hi ha en 10 caixes?

d) Canviar les dues rodes d’una bicicleta ha costat 240 euros. Quant ha costat cada roda?

21. Si en una divisió multipliques el dividend i el divisor pel mateix nombre, el quocient no varia. Però què li passa al residu?

22. En Raül té 65 € i està estalviant per comprarse un monopatí que costa 105 €.

a) Quant de temps trigarà a poder-se’l comprar, si estalvia 5 € a la setmana? I si estalvia 6 €?

b) Quin ha de ser l’estalvi setmanal si vol aconseguir el seu objectiu en quatre setmanes?

c) Aconseguirà comprar-se’l en tres setmanes si estalvia 13 € cada setmana?

Operacions combinades

23. Fes els càlculs següents:

a) 2 · (4 + 6) b) 2 · 4 + 6

c) 8 : (7 – 5) d) 5 · 7 – 5

e) (5 + 6) · 4 f) 5 + 6 : 3

g) (19 – 7) : 2 h) 18 – 7 · 2

24. Calcula:

a) 8 + 7 – 3 · 4 b) 8 : 4 + 7 – 3

c) 15 – 2 · 3 – 5 d) 10 – 12 : 6 – 4

e) 22 – 6 · 3 + 5 f) 8 + 10 : 5 – 10

g) 5 · 4 + 12 – 6 · 4 h) 12 : 4 – 1 – 6 : 3

i ) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5 j ) 9 : 3 + 8 : 4 – 7 : 7

k) 8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8 l ) 18 : 2 – 12 : 3 – 6 : 2

25. Escriu una expressió amb els nombres 9, 3 i 1 el resultat de la qual sigui el pes que marca cada balança:

26. Calcula i comprova el resultat amb les solucions:

a) 30 – 4 · (5 + 2) b) 5 + 3 · (8 – 6)

c) 5 · (11 – 3) + 7 d) 3 · (2 + 5) – 13

e) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4) f) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7)

g) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2) h) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3)

Solucions: a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f) 14; g) 9; h) 11

27. Relaciona cada enunciat amb dues de les expressions de sota:

I. En un autobús urbà hi anaven 50 passatgers. En la primera parada en baixen 16 i en pugen 4.

II. La classe de música té 50 estudiants matriculats, però avui n’han faltat 4 i 16 han anat a un concert.

III. L’Ernest va comprar una samarreta de 16 € i una gorra de 4 € i va pagar amb un bitllet de 50 €.

IV. A l’hotel hi ha 50 clients. Avui n’entren 16 de nous i en surten 4.

a) 50 – 16 – 4 b) 50 – 16 + 4 c) 50 – (16 + 4) d) 50 – (16 – 4) e) 50 + (16 – 4) f) 50 + 16 – 4

28. Quina o quines de les expressions aritmètiques responen a la solució d’aquest problema?

En un supermercat s’han venut aquest matí 24 kg de pomes a 2 €/kg, 12 melons a 4 € la peça i 13 pinyes a 2 € cada una. Quant s’ha ingressat a la caixa per la venda d’aquestes fruites?

a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2 b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2 c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4 d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)

29. Llegeix l’enunciat del problema i fixa’t en la resolució. Després, explica el significat de cada operació i el resultat que s’obté en cada una.

En una granja hi ha cavalls, vaques i gallines. En total hem comptat 714 potes, 168 banyes i 137 becs. Quants cavalls hi ha a la granja?

Resolució

1. 168 : 2 = 84

2. 84 · 4 = 336

3. 137 · 2 = 274 4. 336 + 274 = 610

5. 714 – 610 = 104 6. 104 : 4 = 26

Càlcul

de potències

30. Calcula mentalment:

a) 24 b) 63 c) 35 d) 204 e) 300

31. Copia i completa:

a) 3 = 8.000 b) 2 = 4.900

c) 4 = 10.000 d) 4 = 160.000

32. Calcula l’exponent en cada cas:

a) 2x = 256 b) 10x = 10.000

c) 7x = 2.401 d) 13x = 2.197

33. Calcula amb llapis i paper:

a) 55 b) 95 c) 110 d) 153 e) 164

34. Obtén amb la calculadora:

a) 412 b) 510 c) 453 d) 674 e) 993

35. Escriu tots els quadrats perfectes compresos entre 1.000 i 1.500.

36. Copia i completa:

Potències de base 10. Expressió abreujada de nombres grans

37. Escriu amb totes les xifres:

a) 102 b) 106 c) 1010 d) 1012 e) 1016

38. Escriu amb potències de base 10:

a) Cent. b) Cent milions.

c) Cent bilions. d) Cent mil bilions.

39. Transforma com en l’exemple:

• 180.000 = 18 · 104

a) 5.000 b) 1.700.000 c) 4.000.000.000

40. Arrodoneix a la centena de miler i escriu de manera abreujada amb el suport d’una potència de base 10 el nombre d’habitants de cada ciutat:

casablanca: 5.899.000 parís: 10.858.000

san francisco: 5.929.000 pequín: 21.009.000

41. Ordena, de la més petita a la més gran, aquestes quantitats:

8 · 109 17 · 107 98 · 106 1010 16 · 108 9 · 109

42. Escriu de manera abreujada, amb ajuda d’una potència de base 10:

a) Vuit mil cinc-cents milions

b) Dos bilions, tres-cents mil milions

c) Quatre trilions, nou-cents mil bilions

Operacions amb potències

43. Calcula:

a) 72 – 62 + 52 – 42

b) (5 – 4 + 2 – 1)3

c) (10 – 6)2 – (10 – 8)3

d) 34 – (5 – 3)2 – (23)2

e) (13 – 3)2 · (7 + 3)2 + (15 – 5)2 · 10

44. Calcula de la manera més senzilla:

a) 82 · 52 b) 26 · 56

c) 253 · 43 d) 65 : 35

e) 153 : 53 f ) 204 : 54

45. Reflexiona sobre aquests enunciats i tradueix-los a igualtats o a desigualtats matemàtiques:

a) Potència d’un producte. ↔ Producte de les potències dels factors.

b) Potència d’una suma. ↔ Suma de les potències dels sumands.

c) Producte de potències amb la mateixa base. ↔ La mateixa base elevada a la suma d’exponents.

d) Potència d’una altra potència. ↔ La mateixa base elevada al producte dels exponents.

e) Potència d’exponent zero. ↔ U.

46. Redueix aquestes expressions:

a) x8 : x3 b) m4 · m2

c) (k2)4 d) x5 · x5

e) (m3)2 f ) k6 : k4

47. Copia i substitueix cada asterisc per l’exponent que correspongui:

a) 64 · 63 = 6* b) a5 · a3 = a*

c) m3 · m* = m9 d) 26 : 24 = 2*

e) a9 : a8 = a* f) m8 : m* = m6 g) (42)3 = 4* h) (a2)2 = a*

i) (m4)* = m12 j) (x*)2 = x12

48. Calcula:

a) 184 : (24 · 34) b) (35 · 33) : 36

c) (154 : 34) : 52 d) (45)2 : (47 : 43)

e) (62 · 65) : (63 · 64) f) (407 : 57) : (25 · 45)

49. Redueix a una sola potència:

a) (a7 : a) · a3 b) (x9 : x4) : x3

c) (m2)5 : (m3)2 d) (a5)3 : (a4)3

e) (x3 · x7) : (x · x6) f) (m5 : m4) · (m4 : m3)

50. EXERCICI RESOLT

Redueix a una sola potència i, després, calcula: 210 : 44

210 : 44 = 210 : (22)4 = 210 : 28 = 22 = 4

51. Copia, substitueix cada asterisc pel nombre adequat i, finalment, calcula:

a) 212 : 45 = 212 : (2*)5 = 212 : 2* = 2* = …

b) 36 : 92 = 36 : (3*)2 = 36 : 3* = 3* = …

c) 253 : 54 = (5*)3 : 54 = 5* : 54 = 5* = …

d) 164 : 45 = (4*)4 : 45 = 4* : 45 = 4* = …

52. Copia, substitueix cada asterisc pel nombre adequat i, finalment, calcula:

a) (55 · 53) : 253 = (55 · 53) : (5*)3 = …

b) (23 · 42) : 8 = [23 · (2*)2] : 2* = [23 · 2*] : 2* = …

c) (34 · 92) : 272 = [34 · (3*)2] : (3*)2 = [34 · 3*] : 3* = …

Expressa i calcula

53. Un restaurant ofereix a la seva carta nou primers plats, nou segons i tres postres. Expressa amb una potència i calcula el nombre de menús diferents que es poden triar.

54. Imagina’t que col·loques un granet d’arròs a la primera casella d’un tauler d’escacs, dos a la segona, quatre a la tercera, etc., i continues doblant el nombre de granets escac a escac. Expressa amb potències:

a) El nombre de grans que necessitaries per completar la primera fila.

b) El nombre de grans que hauries de col·locar a l’últim escac de la segona fila.

c) Compara els resultats obtinguts en els dos apartats anteriors.

Arrel quadrada

55. Calcula, per tempteig, l’arrel exacta o l’entera:

a) 90 b) 121 c) .1785

56. Resol amb la calculadora:

a) 655 b) .1024 c) .1369 d) .4225 e) .12664 f) .33856

57. Calcula amb llapis i paper i, després, comprova els càlculs amb la calculadora.

a) .1444 b) .2025 c) .2945 d) .3974 e) .20164 f) .126782

58. Copia i substitueix cada casella pel signe «=» o pel signe «≠» segons correspongui:

a) 2 · 9 36 b) 3 · 4 12 c) 5 · 16 20 d) 4 · 25 10 e) 9 · 9 18 f) 4 · 4

59. A partir del concepte d’arrel quadrada, podem dir el següent:

ab ba ab aa 2 2 2 2 " " == = = ` ` j j

Tenint en compte això, resol:

a) 5125 –22 2 + `j b) 25 3– 0 24 + ``jj

Resol problemes

— Bosses de 5 kg obtingudes: 4.200 : 5 = 840 bosses

— Ingressos, en euros, per la venda de 840 bosses a 4 € cada una: 840 · 4 = 3.360 €

— Beneficis (ingressos, 3.360€, menys despeses, 2.000 €): 3.360 – 2.000 = 1.360 €

Solució: Guanya 1.360 €.

61. En una indústria de conserves es preparen 250 kg de melmelada de pruna, que s’envasen en pots de 200 g. Durant el procés es rebutgen 17 pots perquè s’han trencat o perquè són defectuosos. Quants pots vàlids s’obtenen?

62. La construcció d’un xalet, A, va durar 14 mesos i va començar 4 mesos després que s’iniciessin les obres d’un altre xalet, B, la construcció del qual va durar 15 mesos. Si A es va acabar al juny, quin mes es va acabar B?

63. Al viver d’una horta es preparen 50 safates amb 100 llavors cada una. En cada safata es fan malbé, de mitjana, 20 llavors. Quants plançons espera obtenir el pagès?

64. A la prestatgeria dels refrescos del supermercat quedaven 7 capses de 6 llaunes i 4 llaunes soltes. Si en col·loquen 12 capses més, quantes llaunes hi ha ara?

65. La Neus ha enviat l’última setmana 40 missatges amb el mòbil. Al seu germà Pep n’hi ha enviat cinc; als seus pares, tres més que a en Pep, i al grup de la seva colla, la resta. Quants missatges ha enviat a la colla?

66. A la Clara li han pagat 28 euros per repartir 7 blocs de propaganda. Quant li haurien pagat si hagués repartit un bloc més?

60. PROBLEMA RESOLT

Deixa clar el significat de cada pas, de cada operació i de cada resultat.

Un majorista d’alimentació compra 150 sacs de patates de 30 kg per 2.000 €. Després, en seleccionar la mercaderia, en llença 300 kg i n’envasa la resta en bosses de 5 kg, que ven a 4 € la bossa. Quin benefici obté?

— Quilos comprats (150 sacs de 30 kg): 150 · 30 = 4.500 kg

— Quilos envasats (en llença 300 kg): 4.500 – 300 = 4.200 kg

67. En una pastisseria fan cada dia cinc safates amb tres dotzenes de magdalenes cada una. Quantes magdalenes fan a la setmana, tenint en compte que el dilluns tanquen?

68. En una granja hi ha el doble de vaques que de cavalls i en total són 36 caps de bestiar. Quantes vaques i quants cavalls hi ha?

69. Un camió transporta 15 caixes de refrescos de taronja i 12 de llimona. Quantes ampolles porta en total si cada caixa conté 24 ampolles?

70. El pare de la família Smith, en Jonathan, cobra 1.940 dòlars al mes. Si guanya 720 dòlars més que en Jon, el fill gran, 880 més que la Cathy, la filla, i 280 menys que la Catherine, la seva dona, quins són els ingressos mensuals de la família?

71. La Rosa té dos anys més que el seu germà petit, en Julià, i dos menys que l’Albert, el seu germà gran. Si entre tots tres igualen l’edat de la seva mare, la Marta, que acaba de fer 42 anys, quants anys té cada un dels germans?

72. Un tren de mercaderies, que avança a 55 km/h, es creua amb un de passatgers que avança per la via paral·lela a 105 km/h. Quina distància els separa mitja hora més tard?

73. Un cotxe i una moto surten alhora d’una cafeteria d’una carretera en la mateixa direcció. El cotxe avança a 90 km/h i la moto, a 100 km/h. Quina distància els separa al cap d’una hora i mitja?

74. Un camió porta 27 caixes de refrescos de 24 ampolles. En un accident es trenquen 311 ampolles. Esbrina si s’ha conservat més o menys de la meitat de la càrrega.

75. Un autobús amb 54 turistes a bord pateix una avaria camí de l’aeroport. El responsable del grup decideix acomodar les viatgeres i els viatgers en taxis de quatre places. Quants taxis necessiten?

76. La Marta té estalviats 162 € i vol comprar un monopatí que costa 199 €. Si aconsegueix estalviar de la seva paga 10 € cada setmana, quantes setmanes trigarà a comprar el monopatí?

77. Una fàbrica de cotxes ha produït 15.660 unitats entre gener, febrer i març. Quants cotxes fabrica, de mitjana, cada dia?

78. El sector hoteler d’una localitat turística ha contractat 12.845 persones. Tres de cada cinc són dones. Quantes dones ha contractat?

79. En una escola que té 450 estudiants, dos de cada cinc estudien un segon idioma i, d’aquests, un de cada tres ha triat l’alemany. Quants estudien un segon idioma? Quants estudien alemany?

80. Un agricultor té 140 presseguers en un hort. Ell espera collir, de mitjana, 35 kg de préssecs de cada arbre. La fruita s’envasa en caixes de 10 kg i es ven a 20 € la caixa. Quant guanyarà per la venda de la seva collita?

81. La Marta, en Pau i la Rosa van a comprar. La Marta gasta 30 € més que en Pau i 40 € menys que la Rosa. Si entre tots tres han gastat 208 €, quant ha gastat cada un?

82. Tens un munt de monedes de 50, 20 i 10 cèntims. De quantes maneres diferents pots fer 1 euro? Justifica la teva resposta.

83. Utilitzant només zeros i uns, es poden construir quatre nombres diferents de tres xifres:

Quants nombres de quatre xifres tenen només zeros i uns? I de cinc xifres?

84. La carta d’un restaurant ofereix cinc varietats de primer plat, tres de segon i dos de postres. De quantes formes pot triar el seu menú, un client que tria un plat de cada grup?

85. L’Antoni, la Blanca, la Cristina i en David acaben d’entrar al cinema. De quantes formes diferents es poden asseure en les quatre butaques que els corresponen?

Fes, primer, un problema més fàcil: De quantes formes es podran asseure si l’Antoni ha ocupat ja la butaca núm. 1? 1a

86. Una empresa organitzadora d’esdeveniments fa una comanda, a un magatzem de flors, de 150 dotzenes de roses. El magatzem disposa en aquell moment de 40 capses de 25 roses. Quantes capses de 25 roses s’han de demanar per poder servir la comanda?

87. La Valentina té una granja d’ànecs i oques. Avui ha venut 21 dels animals per 350 euros.

Entre els animals hi havia el doble d’ànecs que d’oques, i una oca val el triple que un ànec.

Quin preu té un ànec? I una oca?

88. Un cotxe triga 78 segons a travessar un tram de 2 km amb la velocitat limitada a 90 km/h. Creus que ha superat el límit permès? Per què?

89. En un camp rectangular de 150 m × 300 m es plantaran pollancres, en files i columnes paral·leles a les tanques, de manera que cada línia estigui a 5 metres de les del costat o de les vores. Quants pollancres tindrà el camp?

Dibuixa en una quadrícula casos més senzills. Per exemple:

90. El gràfic informa de la distribució, per colors, dels 30.690 cotxes fabricats en un trimestre.

93. PROBLEMA RESOLT

Decideix els passos intermedis. Quines dades encara no coneixes, però necessites, per arribar a la solució?

La Marta ha comprat cinc paquets amb quaranta adhesius cada un i ha decorat el cub petit. Li queden prou adhesius per decorar de la mateixa manera el cub gran?

• Quants adhesius ha comprat?

Ha comprat 5 · 40 = 200 adhesius.

• Quants n’ha utilitzat per al cub petit?

Per al cub petit ha utilitzat 6 · 32 = … adhesius.

• Quants adhesius li queden?

Li queden 200 – … = … adhesius.

• Quants en necessita per al cub gran?

Per al cub gran necessita…

Copia, completa la resolució i escriu la solució.

94. Quines són les dimensions del terra quadrat més gran que es pot cobrir amb 200 rajoles quadrades de 20 cm de costat, sense partir-ne cap? Quantes rajoles sobren?

gris blanc verd blau vermell altres

Quants cotxes vermells s’han fabricat en aquest període?

91. Per a l’elaboració d’una estadística sobre les vacances en una ciutat d’interior, s’ha fet una enquesta els resultats de la qual són els següents:

— El 56 % ha estat a la platja.

— El 47 % ha passat uns dies al poble.

— El 23 % ha gaudit d’ambdues destinacions. Quin tant per cent no ha estat ni a la platja ni al poble?

92. La Martina ha obtingut així la suma dels 7 primers nombres naturals:

12 34 56 7 7 654 32 1 87 56 56 228 · ++ ++ ++ ++ ++ ++ + = =

→ :

Sabries calcular la suma de l’1 al 100?

95. En Marc té una bossa amb 50 daus de fusta d’1 cm d’aresta. Quina és l’aresta del cub més gran que pot construir amb els daus? Quants daus li sobren?

96. Una finca quadrada té 900 metres quadrats de superfície. Quants metres lineals de filat caldria comprar per tancar-la?

97. Observa el cub de la il·lustració format per 5 × 5 × 5 cubs unitaris.

a) Suposa que el pintem de vermell. Quants cubs petits unitaris hauran quedat parcialment pintats?

b) Suposa que el volem fer més gran, recobrint-lo completament amb una capa de cubs petits verds. Quants cubs petits verds necessitarem?

98. Quants pares i quantes mares tenien entre tots els teus rebesavis?

Problemes «+»

99. Un nombre té quatre xifres que sumen 4. Si intercanvies les unitats amb les centenes, augmenta en 99. Quin nombre pot ser? Intenta trobar més d’una solució.

100. L’Arnau i en Ferran viuen al mateix edifici i van a la mateixa escola. L’Arnau, quan va sol, triga 20 minuts a fer el recorregut de casa a classe. En Ferran, al seu pas, triga 30 minuts a fer el mateix trajecte. Avui, quan l’Arnau surt, fa ja cinc minuts que el seu company ha sortit. Quant trigarà a atrapar-lo?

101. Dels alumnes matriculats a 1r d’ESO, sabem que:

— 44 es queden al menjador, 58 utilitzen el transport escolar i 47 estan apuntats a extraescolars.

— 24 es queden al menjador i a extraescolars.

— 23 es queden al menjador i utilitzen el transport escolar; 25 utilitzen el transport i es queden a extraescolars.

— 11 utilitzen els tres serveis i 17 no n’utilitza cap. Quants alumnes hi ha matriculats?

Et serviria, utilitzar un gràfic com aquest?

1r ESO menjador tr. escolar extraesc.

102. Quatre amics i amigues es pesen, per parelles, de totes les maneres possibles i anoten desordenadament els resultats que obtenen:

83 kg - 87 kg - 91 kg - 80 kg - 84 kg - 88 kg

El que pesa més fa 46 kg. Quant pesa cada un per separat?

103. L’Albert explica una notícia a l’Ignasi i la Sara. Deu minuts després, l’Ignasi ja els l’ha explicat a la Raquel i a la Marta, a l’Ona, a la Rosa i a en Pau. Al cap de deu minuts més, cada un d’aquests últims l’ha explicada a dues persones més.

Si la difusió de la notícia segueix al mateix ritme, quantes persones la sabran una hora després que se n’assabentessin l’Ignasi i la Sara?

104. El terra d’una habitació quadrada està enrajolat amb 484 rajoles de 15 cm de costat. Són totes blanques, excepte les que estan a 15 cm de la paret, que formen un marc decoratiu de color vermell.

Quantes rajoles vermelles hi ha en aquest terra?

» TALLER DE MATEMÀTIQUES

» LLEGEIX I DESCOBREIX

Nombres en els ordinadors

Ja saps que nosaltres, per escriure els nombres, fem servir el sistema decimal, amb deu signes, del 0 al 9. Els ordinadors i les calculadores, en el seu llenguatge intern, escriuen els nombres en el sistema binari; és a dir, utilitzant només dos signes: el 0 i l’1

• Estudia i completa les taules, seguint la lògica de les primeres files.

Quan hagis acabat, hauràs traduït al sistema binari els primers quinze nombres naturals.

La computació i, en general, les noves tecnologies, són un àmbit d’aplicació de les matemàtiquess amb molta diversitat de sortides professionals.

» INVESTIGA

Nombres imparells, quadrats i cubs

El món dels nombres presenta múltiples relacions, algunes de tan sorprenents que semblen màgia. Fixa’t en els exemples següents:

➜ Qualsevol nombre quadrat es pot expressar com la suma d’uns quants dels primers nombres imparells.

• Segons això, calcula:

a) La suma dels set primers nombres imparells.

S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

b) La suma dels deu primers nombres imparells (S10).

• Com calcularies, de manera ràpida i senzilla, la suma dels cent primers nombres imparells?

S100 = 1 + 3 + 5 + … + 199

➜ En la suma dels nombres imparells, trobem la suma dels nombres cúbics.

• Esbrina quina porció de la suma anterior has d’agafar per obtenir 53 = 125.

» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES

Reflexiona i assaja

• En una safata hi havia diversos sandvitxos quadrats i n’hem partit uns quants per la meitat en forma de triangle. Si en total compto 18 puntes, quants sandvitxos estan sencers i quants estan partits?

T’ajudaria completar aquesta taula?

POSA’T A PROVA

1. Copia i omple els buits:

a) 18 · = 180 b) · 100 = 27.000

c) 4.000 : = 40 d) : 10 = 38

2. Copia i calcula els termes que falten:

a) 154 · = 462 b) : 27 = 98

c) 30.275 : = 35 d) 1.508 = · 125 + 8

3. Fes les operacions combinades següents:

a) 12 + 3 · 5 – 2 b) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7

c) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)]

4. Quina de les expressions de sota resol aquest problema?

Una pagesa té un tros amb 180 pomeres i un altre amb 70 pomeres. De mitjana, espera collir 35 kg de pomes per arbre i envasar-les en caixes de 10 kg per vendre. Quantes caixes de pomes espera omplir?

a) (180 + 70 + 35) · 10 b) (35 · 180 + 35 · 70) · 10 c) (35 · 180 + 35 · 70) : 10

5. En una cafeteria hi ha 60 seients. Si hi ha el triple de cadires que de banquetes, quantes n’hi ha de cada classe?

6. Observa aquestes quantitats:

• L’extensió del Brasil és de vuit milions cinc-cents catorze mil vuit-cents setanta-set quilòmetres quadrats.

• La població mundial a finals de l’any 2022 era de 7.975.105.155 habitants.

quAdrAts 1 2 3 … … puntes 4 ←

restA de puntes 14 triAngles NO possible … … … …

a) Expressa amb xifres la primera quantitat i amb lletres la segona.

b) Arrodoneix-les a les desenes de miler.

7. Calcula:

a) 26 b) 53 c) 72 d) 106

8. Redueix a una sola potència:

a) a3 · a2 b) x5 : x4 c) (a3)4

9. Quants daus de fusta, d’1 cm d’aresta, hi ha en 10 paquets com el que veus en la il·lustració?

10 cm 10cm 10cm

10. La població catalana l’1 de gener de 2023 era de 7.899.056 habitants.

a) Aproxima aquesta quantitat als milions.

b) Expressa-la en notació científica.

11. Copia i completa:

a) 36= b) 400= c) .10000=

d) 3= e) 8= f) 30=

12. Calcula amb llapis i paper l’arrel quadrada entera de 2.920. Després comprova el resultat amb la calculadora.

» UNA MANERA PARTICULAR D’ESTALVIAR

La Laia sempre ha somniat ser astronauta i viatjar a l’espai. Per començar, aquest estiu vol visitar algunes de les seus de l’Agència Espacial Europea (ESA) i, per aconseguir els diners que li calen, s’ha proposat estalviar amb un mètode que li sembla infal·lible. El primer dia posarà a la guardiola una moneda d’1 €, el segon dia dues monedes d’1 €, el tercer dia quatre monedes d’1 €... i, així, successivament, cada dia posarà a la guardiola el doble que el dia anterior.

Si estalvia durant 10 dies, quantes seus de l’ESA creieu que podrà visitar?

Què us sembla aquesta manera d’estalviar?

ANEM PAS A PAS

1. Quina quantitat haurà de posar, la Laia, a la guardiola el quart dia? I quina quantitat tindrà acumulada després de fer-ho? Completa:

2. Observeu i completeu l’evolució de la quantitat de diners que posa cada dia a la guardiola i l’estalvi que acumula:

• Hi ha cap relació entre els valors de la segona i la tercera files? Quina?

3. Expresseu les dades de l’activitat anterior amb potències:

4. Quants dies han de passar fins que hagi de posar més de 100 € a la guardiola? I més de 200 €?

5. Quant haurà estalviat en aquell moment, comptant amb el que hi ha posat aquell dia?

6. Feu-vos les dues preguntes anteriors, però en cas que hi hagi de posar més de 1.000 €.

7. Us atreviu a respondre les preguntes anteriors per a quantitats més grans?

Quant trigaria a estalviar 1.000.000 €?

8. I si, en lloc de posar a la guardiola cada dia el doble de diners que el dia anterior, n’hi posés el triple, quant trigaria a estalviar 1.000.000 €?

RESOLEM PENSEM-HI

9. Si estalvia durant 10 dies, quantes seus de l’ESA creieu que podrà visitar?

10. Què us sembla aquest mètode d’estalvi?

La calculadora us serà útil, però cal saber bé com funciona. (Tingueu en compte que no totes les calculadores són iguals.)

Fixeu-vos en aquestes dues maneres de calcular potències de 2:

D’APRENENTATGE

AMB

U N I T A T

DIVISIBILITAT 2

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

COM ENS RELACIONEM?

Vivim en societat i la majoria de les nostres accions, de les decisions que prenem, dels interessos que perseguim i de les emocions que sentim tenen a veure amb les persones amb qui ens relacionem. Això es reflecteix en els diferents grups del nostre dia a dia dels quals formem part: la família, la classe, els amics, les extraescolars, les activitats d’oci…

Durant la nostra vida conviurem amb grups de persones diferents i la qualitat d’aquesta convivència dependrà del nostre comportament individual. L’empatia, la inclusió, la igualtat, la tolerància, etc. definiran la societat en la qual volem viure.

La Mariona i en Marc observen les dinàmiques de grup de diferents activitats extraescolars que es duen a terme a l’institut. Han apreciat que els grups es conformen segons les edats i el gènere dels companys i les companyes.

Les monitores sempre intenten fer grups tenint en compte la inclusió i la igualtat de gènere. Busquen totes les maneres de distribuir els participants en grups equilibrats, sense que ningú en quedi exclòs.

La Mariona i en Marc decideixen fer un estudi per mirar d’establir la millor manera de distribuir els equips.

PENSEU-HI!

• Quina creieu que és la millor manera d’agrupar?

• Els resultats de l’equip dependran de com estan fets els grups?

La relació de divisibilitat

Múltiples i divisors d’un nombre

Nombres primers i nombres compostos

Descomposició d’un nombre en factors primers

Mínim comú múltiple

Màxim comú divisor

Relació de divisibilitat a b 0 c ↓ divisió exacta

a és divisible per b.

a és múltiple de b. b és divisor de a.

1. LA RELACIÓ DE DIVISIBILITAT

Dos nombres compleixen la relació de divisibilitat quan un cap en l’altre una quantitat exacta de vegades; és a dir, quan el seu quocient és exacte

Exemples

• Un llistó de 60 cm es pot partir, exactament, en trossos de 15 cm.

La divisió és exacta. → 60 és divisible per 15.

• Però un llistó de 60 cm no es pot partir, exactament, en trossos de 25 cm.

La divisió no és exacta. → 60 no és divisible per 25.

Ser múltiple de…, ser divisor de…

Quan dos nombres compleixen la relació de divisibilitat:

• El més gran és múltiple del més petit.

• El més petit és divisor del més gran.

Exemple

40 8 0 5 → 40 = 8 · 5 → 40 és múltiple de 8. 8 és divisor de 40.

La divisió és exacta.

• a és múltiple de b o, dit d’una altra manera, si la divisió a : b és exacta.

• b és divisor de a

Els divisors van per parelles

Cada divisor d’un nombre en té un altre de relacionat.

8 0 5 ↔ 40 5 0 8 8 és divisor de 40. 5 és divisor de 40.

» FIXA IDEES

F1. Fixa’t en aquestes divisions, copia i completa:

a) 35 5 0 7 b) 86 12 02 7 c) 117 13 0 9

35 és divisible per …

35 és múltiple de …

5 és divisor de …

86 … divisible per …

86 … múltiple de …

12 … divisor de …

117 … divisible per …

117 … múltiple de …

13 … divisor de …

F2. Comprova si els nombres de cada parella compleixen la relació de divisibilitat. Després, copia i completa.

a) 63 i 9 b) 78 i 13 c) 106 i 6

63 … divisible per …

63 és … de …

9 és … de …

78 … divisible per …

78 … múltiple de …

13 … divisor de …

106 … divisible per …

106 … múltiple de …

6 … divisor de …

F3. Una escola contracta autobusos de 45 places per portar 294 alumnes d’excursió.

a) Quants autobusos necessita? Aniran tots plens?

b) I si els autobusos fossin de 42 places?

c) 45 és divisor de 294? I 42?

d) 294 és múltiple de 45? I de 42?

»

APLICA EL QUE HAS APRÈS

1. Pensa i contesta de manera raonada:

a) Es pot dividir una classe de 30 alumnes en grups de 7, sense que en sobri cap?

b) La Marta fa passos de 60 cm. Pot recórrer 100 metres en un nombre exacte de passos?

c) Pot buidar-se una tina d’oli, de 1.500 litres, en un nombre exacte de garrafes de 5 litres?

d) Algun mes té un nombre exacte de setmanes?

2. Digues si els nombres de cada parella compleixen la relació de divisibilitat:

a) 224 i 16 b) 420 i 35 c) 613 i 13 d) 513 i 19 e) 688 i 44 f) 2.070 i 46

3. Digues si les afirmacions següents són certes o falses:

a) 15 està contingut exactament 4 vegades en 60.

b) 75 està contingut exactament 3 vegades en 225.

c) 42 és divisible per 7.

F1 i F2. Observa els exemples:

560 40

160 14 0

És exacta.

560 és divisible per 40.

560 és múltiple de 40.

40 és divisor de 560.

47 7

5 6

47 no és divisible per 7.

47 no és múltiple de 7.

7 no és divisor de 47.

F3. Comprova si les divisions següents són exactes:

294 : 45 294 : 42

d) 54 és divisible per 8.

e) 13 està contingut un nombre exacte de vegades en 65.

4. Busca tots els nombres que estan continguts una quantitat exacta de vegades en 24.

5. Copia i encercla de color vermell els divisors de 90 i de color blau els múltiples de 3: 5 10 15 20 30 35 45 60 75 90

6. Respon de manera raonada:

a) Per què 522 és múltiple de 29?

b) Per què 17 és divisor de 544?

7. En el grup de bàsquet d’extraescolars, s’hi han inscrit gairebé 60 nois i noies de 1r i 2n d’ESO. Per organitzar un torneig, havien pensat fer equips mixtos de cinc. S’adonen, però, que fent-ho així algú es quedaria sense equip, i decideixen fer equips de sis, incloent-hi dos reserves per equip. Quants alumnes hi ha inscrits?

Notació

Quan ens referim a un múltiple d’un nombre, el podem escriure amb un punt a sobre:

• 7 → múltiple de 7

• a → múltiple de a

18 =

• 3 → 18 és múltiple de 3.

2. MÚLTIPLES I DIVISORS D’UN NOMBRE

Càlcul dels múltiples d’un nombre

Observa els primers múltiples de 20:

Els nombres 20, 40, 60, 80… són divisibles per 20; és a dir, són múltiples de 20. Cada un d’aquests nombres s’obté multiplicant 20 per un nombre natural. I la sèrie pot continuar indefinidament.

Divisors de 18

Busquem tots els divisors de 18:

: 1 = 18 → SÍ

: 2 = 9 → SÍ

: 3 = 6 → SÍ

: 4 → NO

18

: 5 → NO

: 6 = 3 → SÍ : 9 = 2 → SÍ

: 18 = 1 → SÍ

Els divisors de 18 són aquests: 1 2 3

18 9 6

• Els múltiples d’un nombre natural, a, s’obtenen en multiplicar a per qualsevol altre nombre natural k. a · k → múltiple de a

• Qualsevol nombre natural, a, és múltiple d’ell mateix i de la unitat. → a · 1 = a

• Un nombre diferent de zero té una quantitat infinita de múltiples.

Càlcul dels divisors d’un nombre

Observa, ara, com calculem els divisors de 20:

Els nombres 1, 2, 4, 5, 10 i 20 són els divisors de 20; és a dir, són totes les quantitats entre les quals es pot dividir el 20 de forma exacta.

Observa, també, que formen parelles el producte de les quals és 20: 1 ∙ 20 = 20 2 ∙ 10 = 20 4 ∙ 5 = 20

• Per obtenir tots els divisors d’un nombre, a, busquem les divisions exactes: a : b = c a : c = b → a = b · c → Per tant, b i c són divisors de a

• Qualsevol nombre és divisor d’ell mateix. → a : a = 1

• L’1 és divisor de qualsevol nombre. → a : 1 = a

Exemples

• 516 → xifra parell

516 és múltiple de 2.

• 371 → xifra senar

371 no és múltiple de 2.

Exemples

• 325 → és múltiple de 5.

• 560 → és múltiple de 5 i de 10.

• 703 → no és múltiple ni de 5 ni de 10.

Exemples

• 411 → 4 + 1 + 1 = 6

• 3

• 9

411 és múltiple de 3, però no de 9.

• 432 → 4 + 3 + 2 = 9

• 3

• 9

432 és múltiple de 3 i de 9.

• 473 → 4 + 7 + 3 = 14

• 3

• 9

473 no és múltiple ni de 3 ni de 9.

Exemples

• 418 → (4 + 8) – (1) = 11

418 és múltiple d’11.

• 1.543 → (5 + 3) – (1 + 4) = 3

1.543 no és múltiple d’11.

• 7.458 → (4 + 8) – (7 + 5) = 0

7.458 és múltiple d’11.

Criteris de divisibilitat

Els criteris de divisibilitat són regles pràctiques que serveixen per descobrir si un nombre és divisible per 2, 3, 5 o altres nombres senzills.

Divisibilitat per 2

Els múltiples de 2 són els nombres parells: 2, 4, 6, 8, 10, …, 68, 70, … I perquè un nombre sigui parell, n’hi ha prou que ho sigui la seva última xifra.

Un nombre és divisible per 2 (és múltiple de 2) si acaba en una xifra parell:

0 - 2 - 4 - 6 - 8

Divisibilitat per 5 i per 10

Observa les sèries dels múltiples de 5 i de 10:

• 5 → 5, 10, 15, 20, 25, …, 125, 130, …, 200, 205, …

• 10 → 10, 20, 30, 40, …, 120, 130, …, 200, 210, …

Els múltiples de 5 acaben en 0 o 5 i els de 10 acaben en 0.

• Un nombre és divisible per 5 (és múltiple de 5) si acaba en 0 o en 5.

• Un nombre és divisible per 10 (és múltiple de 10) si acaba en 0.

Divisibilitat per 3 i per 9

Agafa qualsevol múltiple de 3 i suma’n les xifres. Obtindràs un múltiple de 3.

Comprova, també, que això només els passa als múltiples de 3.

Agafa qualsevol múltiple de 9 i suma’n les xifres. Obtindràs un múltiple de 9.

9

Comprova, també, que això només els passa als múltiples de 9.

• Un nombre és divisible per 3 (és múltiple de 3) si la suma de les seves xifres és múltiple de 3.

• Un nombre és divisible per 9 (és múltiple de 9) si la suma de les seves xifres és múltiple de 9.

Divisibilitat per 11

Agafa alguns múltiples d’11, per exemple, 11 · 34 = 374 i 11 · 158 = 1.738.

Ara, fixa-t’hi:

Si, en cada un, sumes, d’una banda, les xifres de les caselles vermelles i, de l’altra, les de les caselles verdes i restes els resultats, obtens 0 o 11.

Comprova, també, que només passa amb els múltiples d’11.

Un nombre és divisible per 11 si la suma de les xifres de lloc parell menys la suma de les xifres de lloc senar és 0 o un múltiple d’11.

F4. Escriu:

a) Tres múltiples de 5. b) Tres múltiples de 12.

c) Tres múltiples de 19. d) Tres múltiples de 30.

F5. Escriu els deu primers múltiples de 25.

F6. a) Quin és el primer múltiple de 8 més gran que 100?

b) Quin és l’últim múltiple de 8 abans de 1.000?

F7. Busca tots els múltiples de 7 compresos entre 300 i 360.

F8. Troba, mentalment, els divisors de cada un d’aquests nombres:

a) 8 b) 12 c) 15 d) 20 e) 28

F9. Quin és el nombre els divisors del qual són els següents?

F10. Observa i contesta les preguntes que hi ha a continuació:

a) Escriu sis divisors de 44.

b) El nombre 44 té altres divisors, a més dels anteriors?

F11. Quins d’aquests nombres són parells? I divisibles per 2?

21 - 28 - 45 - 59 - 80 - 88 - 146 - 255 - 270 - 299

F12. Copia aquests nombres i subratlla els que siguin múltiples de 5: 60 - 72 - 80 - 85 - 100 - 103 - 130 - 155 - 210

Quins dels nombres que has subratllat són també múltiples de 10?

F13. Quins d’aquests nombres són divisibles per 3? I per 9?

19 - 45 - 63 - 83 - 105 - 145 - 209 - 513 - 666 - 909

Què observes?

F14. Recorda el criteri de divisibilitat per 11 i identifica quins dels nombres següents són múltiples d’11:

a b c → a + c – b = 0 o 11

110 - 111 - 155 - 187 - 209 - 398 - 759 - 606

F4. Múltiples de 13:

13 · 3 = 39

13 · 5 = 65

13 · 11 = 143

13 · … = …

F6. Quin és el primer múltiple de 13 més gran que 150?

150 13

020 11 07

→

13 · 11 = 143 < 150

13 · 12 = 156 > 150

F8 i F9. Divisors de 14:

1 2 7 14

F10. Si divideixes 44 entre nombres més grans (8, 9, 10…), obtindràs quocients més petits.

Les úniques divisions exactes seran les següents, en què hem intercanviat el divisor i el quocient de les divisions exactes de l’activitat: 44

F11. 516 → Acaba en xifra parell. És múltiple de 2.

F12. 325 → Acaba en 5. És múltiple de 5, però no de 10.

560 → Acaba en 0. És múltiple de 5 i de 10.

F13. 411 → 4 + 1 + 1 = 6 → És múltiple de 3 però no de 9.

990 → 9 + 9 + 0 = 18 → És múltiple de 3 i de 9.

Descomposicions de 18

→ 18 = 2 · 9

→ 18 = 3 · 6

→ 18 = 2 · 3 · 3

El 13 no es pot descompondre 13 = 13 · 1

3. NOMBRES PRIMERS I NOMBRES COMPOSTOS

Els divisors d’un nombre permeten expressar-lo en forma de producte.

Exemple

18 12 36 918

Els nombres que, com el 18, es poden descompondre en factors més senzills s’anomenen nombres compostos.

Hi ha nombres, en canvi, que només tenen dos divisors (el mateix nombre i la unitat), de manera que no és possible fer-ne la descomposició.

Exemple

· 13 113 1313 1 DIVISORS

Els nombres que, com el 13, no es poden descompondre en factors més senzills s’anomenen nombres primers.

Un nombre primer només té dos divisors: ell mateix i la unitat.

Fixa’t en els nombres que s’han marcat en la taula:

— Els múltiples de 2 (•) excepte el 2.

— Els múltiples de 3 (•) excepte el 3.

— Els múltiples de 5 (•) excepte el 5.

— …i així, successivament, amb els múltiples de 7 (⊕), d’11 (*), de 13 (▲)

Els nombres que han quedat sense marcar i que hem encerclat són els nombres primers més petits que 30. Comprova que cap no es pot descompondre en factors.

El nombre 1, com que només té un divisor, no es considera primer. Qualsevol altre nombre o bé és primer o bé és compost.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

8. Classifica en nombres primers i nombres compostos:

5 8 11 15 21 28 31 33 45 49

9. Entre aquests nombres, busca els dos que són primers i expressa els compostos com un producte de dos factors.

47 57 67 77 87

10. Busca tots els nombres primers més petits que 60. Són disset en total.

11. Cert o fals?

a) El nombre 1 no és ni primer ni compost.

b) Un nombre, si és senar, és primer.

c) Tots els nombres primers, excepte el 2, són senars.

12. Descompon el nombre 100:

a) En dos factors. b) En tres factors.

c) En tants factors com sigui possible.

Descomposicions de 792

4. DESCOMPOSICIÓ D’UN NOMBRE EN FACTORS PRIMERS

Un nombre, si no és primer, es pot descompondre en factors, i aquests, al seu torn, en altres factors, fins que tots siguin primers. Vegem dues maneres d’aconseguir aquesta factorització:

• Si el nombre és petit, pots fer servir el càlcul mental.

Exemple

Descomposició de 36 en factors primers.

36 = 4 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32

• Si els nombres són més grans, cal actuar amb mètode, tenint en compte els criteris de divisibilitat.

Exemple

Descomposició de 792 en factors primers.

792 és divisible per 2 → 792 = 2 · 396

396 és divisible per 2 → 792 = 2 · 2 · 198

198 és divisible per 2 → 792 = 2 · 2 · 2 · 99

792 2

792 : 2 → 396 2

396 : 2 → 198 2

198 : 2 → 99 3

99 : 3 → 33 3

33 : 3 → 11 11

11 : 11 → 1

792 = 23 · 32 · 11

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

99 és divisible per 3 → 792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 33

33 és divisible per 3 → 792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11

Com que l’últim factor (11) és un nombre primer, hem acabat la descomposició:

792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11 = 23 · 32 · 11

Tot el procés se sol abreujar com s’indica en el marge.

Per descompondre un nombre en factors primers (factoritzar), el dividim entre els seus factors primers: primer, entre 2 tantes vegades com sigui possible; després, entre 3, entre 5…, i així, successivament, fins a obtenir 1 en el quocient.

13. Calcula mentalment i copia i completa la descomposició en factors d’aquests nombres:

× 10

14. Descompon com en l’exemple:

• 24 = 6 · 4 = 2 · 3 · 2 · 2 = 23 · 3 a) 18 b) 20 c) 40 d) 72 e) 150 f ) 240

15. A quins nombres corresponen aquestes descomposicions factorials?

a) 22 · 32 · 5 b) 2 · 5 · 13 c) 2 · 52 · 7

16. Copia, completa i descompon en factors primers:

42 = … 90 = … 126 = …

17. Descompon en factors primers: a) 45 b) 60 c) 76 d) 81 e) 88 f) 98

18. Escriu com a producte de nombres primers: a) 170 b) 350 c) 580 d) 888 e) 1.024 f) 1.296

Una altra manera

d’obtenir els divisors d’un nombre

Amb el nombre descompost en factors, busquem tots els productes possibles entre si.

Per exemple, calculem els divisors de 40:

40 = 1 · 2 · 2 · 2 · 5

1 = 1

2 = 2

5 = 5

2 · 2 = 4

2 · 5 = 10

2 · 2 · 2 = 8

2 · 2 · 5 = 20

2 · 2 · 2 · 5 = 40

Quina és la relació entre la descomposició d’un nombre i la descomposició dels seus múltiples?

Compara els factors primers de 40 amb els d’alguns dels seus múltiples:

40 = 2 ·

40 · 3 = 120 = 2

40 ·

40 · 6 = 240 = 2

Un múltiple de 40 conté tots els factors primers de 40.

En la descomposició de qualsevol dels múltiples d’un nombre apareixen tots els factors primers del nombre (i, generalment, alguns més).

Quina és la relació entre la descomposició d’un nombre i la descomposició dels seus divisors?

Compara, ara, els factors primers de 40 amb els d’alguns dels seus divisors:

40 =

40

40

» FIXA IDEES

Un divisor de 40 conté alguns dels factors primers de 40.

En la descomposició de qualsevol dels divisors d’un nombre apareixen alguns factors primers del nombre (generalment, no tots) i no apareix cap factor més.

F15. Contesta, sense fer cap operació, i raona les respostes:

a) 8 = 2 · 2 · 2

36 = 2 · 2 · 3 · 3

8 és divisor de 36?

c) 84 = 2 · 2 · 3 · 7

6 = 2 · 3

84 és múltiple de 6?

b) 15 = 3 · 5

90 = 2 · 3 · 3 · 5

15 és divisor de 90?

d) 104 = 2 · 2 · 2 · 13

12 = 2 · 2 · 3

104 és múltiple de 12?

F16. Tenint en compte la descomposició en factors de 126, esbrina, a simple vista, quins dels nombres que hi ha a continuació són divisors de 126, quins són múltiples de 126 i quins no són ni divisors ni múltiples:

126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 32 · 7

a) 4 = 22 b) 14 = 2 · 7 c) 18 = 2 · 32 d) 21 = 3 · 7 e) 28 = 22 · 7 f ) 42 = 2 · 3 · 7 g) 252 = 22 · 32 · 7 h) 180 = 22 · 32 · 5 i) 882 = 2 · 32 · 72

F17. Escriu factoritzats, sense fer operacions:

a) Tres divisors de 72 = 23 · 32. b) Tres múltiples de 45 = 32 · 5.

F15 i F16. • 18 és divisor de 90, perquè tots els factors primers de 18 apareixen en 90.

18 = 2 · 3 · 3

90 = 2 · 3 · 3 · 5

• 210 és múltiple de 15 perquè conté tots els factors primers de 15.

210 = 2 · 3 · 5 · 7

15 = 3 · 5

F17. • Dos múltiples de 28 = 2 · 2 · 7 2 · 2 · 2 · 7 3 · 2 · 2 · 7

56 84

• Dos divisors de 84 = 2 · 2 · 3 · 7

2 · 2 · 3 · 7 2 · 2 · 3 · 7

6

5. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE

La resolució d’alguns problemes exigeix la utilització dels múltiples comuns de diferents nombres.

Exemple

En una companyia de taxis, renten els cotxes cada 4 dies i revisen el nivell de l’oli cada 6 dies.

Cada quants dies coincideixen en un cotxe les dues tasques de manteniment?

Càlcul del MCM (4, 6)

→ 4 8 12 16 20 24 múltiples de 4 → 6 12 18 24 30 36 múltiples de 6 comuns

emúltip ls4 → 12, 24, 36, 48…

MCM (4, 6) = 12

» FIXA IDEES

Les dues tasques coincideixen els dies que són múltiples comuns de 4 i 6 i es repeteixen cada 12 dies.

12 24 36 48 … +12 +12 +12 +12

El més petit d’aquests múltiples comuns és 12 i rep el nom de mínim comú múltiple de 4 i 6.

El més petit dels múltiples comuns de dos o més nombres (a, b, c…) s’anomena mínim comú múltiple i s’expressa així:

MCM (a, b, c…)

Càlcul del mínim comú múltiple (mètode artesanal)

Per obtenir el mínim comú múltiple de dos nombres:

• Escrivim els múltiples de cada un.

• Agafem els nombres comuns.

• Ens quedem amb el més petit.

F18. Copia, observa i completa a primer cop d’ull:

8) = …

F19. Calcula com en l’activitat anterior:

a) MCM (5, 8) b) MCM (12, 15) c) MCM (30, 40)

Càlcul del mínim comú múltiple de 10 i de 15.

• 10 → 10 20 30 40

• 15 → 15 30

…

90 105 …

Múltiples comuns → 30, 60, 90… El més petit dels múltiples comuns de 10 i 15 és 30.

MCM (10, 15) = 30

Mètode artesanal

→ 20 40 60 80 … múltiples de 20

→ 30 60 90 120 … múltiples de 30

MCM (20, 30) = 60

Tingues en compte

Quan un dels nombres és múltiple de l’altre, el MCM és el més gran.

Exemple: MCM (15, 30) = 30

Comprova-ho.

15 = 3 · 5 30 = 2 · 3 · 5 15

3 · 5

MCM (15, 30) = 2 · 3 · 5 = 30

2

MCM (45, 40) = 23 · 32 ·

Càlcul del mínim comú múltiple (mètode òptim)

El mètode anterior resulta apropiat per a nombres senzills, però es complica massa amb nombres grans.

Observa una altra manera de calcular el mínim comú múltiple amb els nombres descompostos en factors primers.

Exemple

Càlcul del MCM (20, 30).

• Primer pas: descompondre en factors primers.

= 360

• Segon pas: escollir els factors primers del MCM. Com que el MCM ha de ser el múltiple més petit possible de 20 i de 30, has d’agafar:

— Tots els factors primers de 20.

— Tots els factors primers de 30. MCM (20, 30) =

— El mínim nombre de factors que sigui possible.

Comprova que tots els factors escollits són imprescindibles, ja que, si en suprimim algun, deixa de ser múltiple d’algun dels nombres.

• Tercer pas: calcular, finalment, el MCM.

MCM (20, 30) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60

Per calcular el mínim comú múltiple de diferents nombres:

1. Es descomponen els nombres en factors primers.

2. Se n’agafen tots els factors primers (comuns i no comuns) elevats a l’exponent més gran.

3. Es multipliquen els factors escollits.

PROBLEMA RESOLT

Un distribuïdor d’electrodomèstics ha de carregar dos palets, un amb rentaplats de 45 kg i un altre amb neveres de 40 kg, de manera que tots dos pesin el mateix i el menys possible. Quant pesarà cada palet?

La càrrega d’un palet serà el múltiple comú més petit possible de 45 kg i de 40 kg, és a dir, el seu mínim comú múltiple.

MCM (45, 40) = 360 kg → :rent :nevera aplats 360458 360409 = = *

Solució: Cada palet, un amb 8 rentaplats i l’altre amb 9 neveres, pesarà 360 kg.

F20. Copia i completa:

497

24)

63)

F21. Copia i completa per calcular el mínim comú múltiple de 30 i 45:

3 0 4 5

30 = · ·

45 = · MCM (30, 45) = …

»

APLICA EL QUE HAS APRÈS

19. Copia, observa i completa a primer cop d’ull:

• 15 → 15 30 45 60 75 90 105 …

• 25 → 25 50 75 100 125 150 …

MCM (15, 25) = …

20. Calcula com en l’activitat anterior:

a) MCM (20, 25)

c) MCM (50, 75)

21. Calcula mentalment:

a) MCM (6, 9)

c) MCM (5, 10)

b) MCM (12, 24)

d) MCM (200, 300)

b) MCM (6, 12)

d) MCM (15, 20)

22. Observa, copia, completa i calcula:

23. Calcula el MCM (a, b) en cada cas:

a) a = 2 . 5 . 11 b) a = 24 . 5 c) a = 24 . 32 b = 3 5 11 b = 22 52 b = 22 3 5

Càlcul del mínim comú múltiple de 28 i 42.

24. Calcula el MCM (a, b) en cada cas. Què observes?

a) a = 4 b) a = 5 c) a = 4 d) a = 6

b = 8 b = 10 b = 12 b = 18

25. Calcula:

a) MCM (28, 35) b) MCM (35, 40)

c) MCM (36, 54) d) MCM (42, 63)

e) MCM (72, 108) f) MCM (99, 165)

26. Una fàbrica envia mercaderia a Castelló cada 6 dies i a Eivissa cada 8 dies. Avui han coincidit tots dos enviaments. Quan tornaran a coincidir?

27. S’han construït dues columnes de la mateixa alçària: la primera apilant cubs de 40 cm d’aresta i la segona apilant cubs de 30 cm d’aresta. Quina alçària assoliran si superen els 2 metres, però no arriben a 3?

28. L’autobús de la línia vermella passa per la parada que hi ha davant de casa meva cada 20 minuts i el de la línia verda, cada 30 minuts. Si tots dos passen a les dues de la tarda, a quina hora tornaran a coincidir?

29. En Juli compta de 4 en 4, l’Anna de 6 en 6 i la Sofia de 10 en 10. Quins són els tres primers nombres en els quals coincideixen?

6. MÀXIM COMÚ DIVISOR

També trobaràs problemes que exigeixen la utilització dels divisors comuns de diferents nombres. Vegem-ne un exemple:

Exemple

S’han de col·locar suports per a testos, a intervals iguals, a les cantonades i les vores d’un pati de 8 × 12 metres. A quina distància s’ha de col·locar un suport del suport següent?

Temptejant, es troben tres possibles solucions:

A 1 metre de distància. A 2 metres de distància. A 4 metres de distància.

Càlcul del MCD (8, 12)

divisors de 8

→ 1 2 4 8

→ 1 2 3 4 6 12 divisors de 12 comuns

divisors 4 → 1 - 2 - 4

MCD (8, 12) = 4

» FIXA IDEES

Les solucions coincideixen amb els divisors comuns de 8 i 12:

1 - 2 - 4

El més gran d’aquests divisors comuns és 4 i rep el nom de màxim comú divisor de 8 i 12.

El més gran dels divisors comuns de dos o més nombres (a, b, c…) s’anomena màxim comú divisor i s’expressa així:

MCD (a, b, c…)

Càlcul del màxim comú divisor (mètode artesanal)

Per obtenir el màxim comú divisor de dos nombres:

• Escrivim els divisors de cada nombre.

• Agafem els nombres comuns.

• Ens quedem amb el més gran.

F22. Copia, observa i completa a primer cop d’ull:

a) Divisors de 12 → 1 2 3 4 6 12

Divisors de 16 → 1 2 4 8 16

MCD (12, 16) = …

b) Divisors de 15 → 1 3 5 15

Divisors de 20 → 1 2 4 5 10 20

MCD (15, 20) = …

F23. Calcula com en l’activitat anterior:

a) MCD (6, 8) b) MCD (8, 20)

c) MCD (10, 15) d) MCD (12, 24)

Càlcul del màxim comú divisor de 20 i 30.

Divisors de 20

1 2 4 5 10 20

1 2 3 5 6 10 15 30

Divisors de 30

Divisors comuns → 1 - 2 - 5 - 10

El més gran dels divisors comuns és 10.

MCD (20, 30) = 10

Mètode artesanal

Divisors de 40

1 2 4 5 8 10 20 40

1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60

Divisors de 60

MCD (40, 60) = 20

Tingues en compte

Quan un dels nombres és múltiple de l’altre, el MCD és el més petit.

Exemple: MCD (15, 30) = 15 Comprova-ho.

15 = 3 · 5

30 = 2 · 3 · 5

MCD (15, 30) = 3 · 5 = 15

MCD (200, 260) = 22 · 5 = 20

Càlcul del màxim comú divisor (mètode òptim)

El mètode que has après en la pàgina anterior resulta adequat per a nombres senzills.

En casos més complicats, resulta molt més còmode utilitzar la descomposició en factors, com es mostra a continuació:

Exemple

Càlcul del MCD (40, 60).

• Primer pas: descompondre en factors primers.

• Segon pas: escollir els factors primers del MCD.

Com que el MCD ha de ser el divisor més gran possible de 40 i de 60, has d’agafar:

— Els factors comuns de 40 i 60.

— No has d’agafar cap factor no comú.

— Tants factors com sigui possible.

• Tercer pas: calcular, finalment, el MCD.

40 = 2 · 2 · 2 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 5

MCD: (40, 60) = 2 · 2 · 5

MCD (40, 60) = 2 · 2 · 5 = 20

Per calcular el màxim comú divisor de diferents nombres:

1. Es descomponen els nombres en factors primers.

2. S’agafen només els factors primers comuns, elevats a l’exponent més petit.

3. Es multipliquen els factors escollits.

PROBLEMA RESOLT

En un magatzem volen envasar 200 kg de pomes i 260 kg de taronges en caixes del mateix pes i de la càrrega més gran possible. Quants quilos de fruita han de posar en cada caixa?

El pes d’una caixa ha de ser el divisor comú més gran possible de 200 i 260, és a dir, el seu màxim comú divisor.

MCD (200, 260) = 20 kg →

260 :2013 = = *

200 :2010

ca sde

caixes de ixepomes taronges

Solució: Cada caixa pesarà 20 kg i ompliran 10 caixes de pomes i 13 de taronges.

» FIXA IDEES

F24. Copia i completa:

40 222 5

50 25 5 = = ) → MCD (40, 50) = · = …

54 23

90 23 5 3 2 = = * → MCD (54, 90) = 2 · 3 = …

F25. Copia i completa per calcular el màxim comú divisor de 90 i 315:

90 = 2 · ·

315 = 3 · ·

MCD (90, 315) = …

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

30. Observa i completa a primer cop d’ull:

Div. de 24 → 1 2 3 4 6 8 12 24

Div. de 30 → 1 2 3 5 6 10 15 30

MCD (24, 30) = …

31. Calcula seguint el criteri de l’activitat anterior:

a) MCD (10, 15) b) MCD (12, 18)

c) MCD (16, 24) d) MCD (30, 45)

32. Calcula mentalment:

a) MCD (3, 9) b) MCD (6, 9)

c) MCD (30, 40) d) MCD (50, 75)

33. Copia, completa i calcula::

34. Calcula el MCD (a, b) en cada cas:

a) a = 3 · 5 · 11 b) a = 23 · 52 c) a = 22 · 7 · 13

b = 2 · 5 · 11 b = 22 · 52 · 7 b = 2 · 32 · 13

EXEMPLE

Càlcul del màxim comú divisor de 60 i 72:

60 = 2 · 2 · 3 · 5

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

35. Calcula:

60 23 5

72 23 2 32 $$ $ = =

a) MCD (20, 24) b) MCD (24, 36)

c) MCD (54, 60) d) MCD (56, 70)

e) MCD (120, 144) f) MCD (140, 180)

36. Calcula el MCD (a, b) en cada cas. Què observes?

a) a = 4 b) a = 5 c) a = 4 d) a = 6 b = 8 b = 10 b = 12 b = 18

37. Suposa que tens un full de 30 cm × 21 cm i vols dibuixar-hi una quadrícula tan gran com sigui possible en la qual no hi hagi quadrats fraccionats. Quina ha de ser la mida dels quadrats?

38. La propietària d’un restaurant compra un bidó de 80 litres d’oli d’oliva i un altre de 60 litres d’oli de gira-sol i vol envasar-los en garrafes iguals, tan grosses com sigui possible, i sense barrejar-los. Quina serà la capacitat de les garrafes?

39. Un fuster té dos llistons de 180 cm i 240 cm, respectivament, i vol tallar-los en trossos iguals, tan llargs com sigui possible, sense desaprofitar fusta. Quina ha de ser la mida de cada tros?

EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES

Múltiples i divisors

1. Escriu:

a) Els múltiples de 20 compresos entre 150 i 210.

b) Un múltiple de 13 comprès entre 190 i 200.

c) Tots els parells de nombres el producte dels quals és 80.

2. Busca tots els divisors dels nombres següents:

a) 10 b) 18 c) 20

d) 24 e) 28 f) 30

g) 39 h) 45 i) 50

3. De quantes maneres diferents es poden envasar 60 bombons en capses amb el mateix nombre d’unitats en cada una sense que en sobri cap?

4. Busca totes les formes possibles de fer grups iguals amb 72 terrossos de sucre.

Criteris de divisibilitat

5. Escriu:

a) Un nombre de tres xifres que sigui divisible per 3.

b) Un nombre de quatre xifres que sigui divisible per 5.

c) Un nombre de cinc xifres que sigui divisible per 9.

6. Substitueix cada lletra per una xifra, perquè el nombre resultant sigui divisible per 3:

A51 2B8 32C 52D 1E8

7. Busca, en cada cas, tots els valors possibles de a per tal que el nombre resultant sigui, al mateix temps, múltiple de 2 i de 3.

4 a 3 2 a 2 4 a

8. Investiga i descriu:

a) Les condicions que ha de complir un nombre per ser múltiple de 6.

b) El criteri de divisibilitat per 100.

9. Un any és de traspàs si és múltiple de quatre, però no de 100. Quins són els tres pròxims anys de traspàs?

Nombres primers i compostos

10. Copia els nombres i indica quins són primers i quins són compostos:

11. El nombre 899 només té quatre divisors; un és el nombre 31. Expressa el nombre 899 com a producte de dos factors diferents d’ell mateix i de la unitat.

12. Descompon en factors primers aquests nombres:

a) 54 b) 140 c) 200 d) 380

13. Busca el primer nombre més gran que 160 que no es pugui expressar com el producte de dos factors diferents d’ell mateix i de la unitat.

14. Esbrina si el nombre 203 és primer o compost. Justifica la teva resposta.

15. Per saber si el nombre 223 és primer, n’hi ha prou amb comprovar que no és divisible per cap dels nombres primers fins al 17. Per què?

Mínim comú múltiple i màxim comú divisor

16. Obtén mentalment tres múltiples comuns en cada cas:

a) 4 i 5 b) 10 i 12 c) 15 i 25 d) 20 i 40 e) 100 i 150 f) 20, 25 i 30

17. El mínim comú múltiple de dos nombres és 15. Quins poden ser aquests nombres?

18. Calcula el MCM i el MCD:

a) 25 i 75 b) 42 i 76 c) 81 i 99 d) 132 i 176 e) 12, 18 i 24 f) 30, 45 i 75

Resol problemes

19. El producte de dos nombres diferents de la unitat és 77. Quina és la seva diferència?

20. El producte de tres nombres diferents de la unitat és 75. Quina és la seva suma?

21. Busca el nombre més petit que en dividir-lo entre 10 i entre 12 té un residu de 5.

22. Avui és 15 de març i dilluns. Quin dia de la setmana serà el 15 de maig?

23. En una fruiteria de Lleida envasen sucs de taronja i de poma en caixes amb el mateix nombre d’ampolles. Quantes ampolles hi ha en cada caixa si un client ha rebut 15 ampolles de suc de taronja i 12 de suc de poma?

24. PROBLEMA RESOLT

Estudia els casos possibles i comprova quins compleixen les condicions del problema.

Una fornada de magdalenes s’envasa en bosses de 6 unitats i una altra d’igual, en bosses de 10 unitats, sense que en sobri cap en tots dos casos. Quantes magdalenes surten en cada fornada si s’han omplert gairebé 50 bosses?

El nombre de magdalenes de cada fornada és un múltiple comú de 6 i de 10 i, per tant, del seu mínim comú múltiple:

MCM (6, 10) = 30

Els múltiples comuns de 6 i 10 són aquests:

30 - 60 - 90 - 120 - 150 - …

Copia la taula següent i acaba el problema:

25. L’Anna ha tret del forn dues safates: una amb 18 brioixos i l’altra amb 24 ulleres. Encapsa el mateix nombre d’unitats de brioixos i d’ulleres, però no els barreja en la mateixa capsa. Quantes capses creus que ha omplert?

26. En una classe de 1r d’ESO, es poden fer grups mixtos de 8 nois i noies, sense que en sobri ni en falti cap. D’altra banda, el nombre de nois és una mica més baix que el nombre de noies, encara que ambdós estan equilibrats, i ni ells ni elles no es poden dividir en grups més petits. Què en pots dir si, en total, són menys de 30 alumnes?

27. Volem tallar una cartolina de 48 cm × 60 cm en targetes quadrades que tinguin entre 5 i 10 cm de costat. Quina ha de ser la mida de les targetes per no desaprofitar la cartolina?

28. Els trens a Vall de Dalt surten cada 18 min i els de Vall de Baix, cada 24 min. Si són les 15 h 45 min i surten alhora, quan tornaran a coincidir?

29. La caixa d’un supermercat té, en el moment d’obrir, uns quants cartutxos de deu monedes d’1 € El caixer fa comptes i calcula que es podrien empaquetar, també, en cartutxos de quinze. Quantes monedes hi ha si són més de 100 però menys de 150?

30. En Joan envasa 60 bombons en capses iguals i 60 més en capses més petites, amb 5 bombons menys en cada una. Quantes capses ha omplert si de les petites n’hi ha una més que de les grosses?

31. Un comerciant de roba rep una partida de camises a 24 € la unitat. Una amiga seva, que té una botiga en un altre barri, rep una partida de pantalons a 45 € Es posen en contacte i decideixen intercanviar part de les seves mercaderies per millorar l’oferta dels seus negocis. De quina quantitat hauran de ser els lots intercanviats?

Problemes «+»

32. En una escola de bàsquet hi havia 20 equips. A causa d’una retallada de pressupost, s’han suprimit quatre equips i s’han distribuït els jugadors entre els altres. Així, cada equip ha augmentat en dos jugadors. Quants jugadors i jugadores hi ha en total?

33. Una grangera, després de recollir en una cistella gairebé 100 ous de les seves gallines, pensa: Si els envaso en dotzenes, me’n sobren 3, però si en tingués un més, podria envasar-los exactament en oueres de 10. Quants ous té?

TALLER DE MATEMÀTIQUES

» LLEGEIX I DESCOBREIX

Els primers valen diners

Els nombres primers s’utilitzen per a la construcció de les claus que protegeixen els comptes bancaris, els ordinadors, els telèfons mòbils, la informació que circula per internet, etc.

De fet, per elaborar una clau, es necessiten dos nombres primers secrets.

Per això, el que descobreix nous nombres primers descobreix un tresor cobejat per empreses informàtiques i de comunicacions, disposades a comprar-los a preus elevats.

Però els fàcils ja s’han descobert i els nous són molt difícils de trobar.

• Busca el primer nombre primer més gran que 1.000.

El 101 és el protagonista

• Què li passa a un nombre de dues xifres si el multipliquem per 101? Comprova-ho.

29 × 101 = ?

Fixa’t en altres casos i verifica que sempre passa el mateix.

• Què tenen en comú tots els nombres de quatre xifres que es formen repetint alternativament dues xifres?

» INVESTIGA

Divisibilitat i geometria

Ja has vist com les característiques i les propietats dels nombres es reflecteixen en relacions i propietats geomètriques. Observa, ara, com la descomposició factorial d’un nombre, per exemple el 24, està relacionada amb les possibilitats de construir prismes amb un conjunt de 24 daus (cubs unitaris):

• Quants prismes diferents es poden construir amb 12 daus unitaris?

• I amb un conjunt de 60 daus?

» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES

Fes comptes, fes proves

• En un restaurant inverteixen 300 € en la compra de plats i la mateixa quantitat en la compra de tasses. Si una tassa costa un euro més que un plat i han comprat 15 plats més que tasses, quants plats i quantes tasses han adquirit?

• A la via morta, M, hi cap un vagó, A o B, però no la locomotora, L. Com ho faries per canviar entre si les posicions dels vagons?

Utilitza un esquema com el següent per explicar els moviments necessaris:

POSA’T A PROVA

1. Busca, entre els nombres següents, quatre parells de nombres que compleixin la relació de divisibilitat:

6 15 35 80 90 240

2. Indica si les afirmacions següents són certes o falses:

a) 60 és divisible per 15.

b) 7 és múltiple de 21.

c) 12 és divisor de 120.

d) 162 és múltiple de 8.

3. Escriu:

a) Els múltiples de 12 compresos entre 50 i 100.

b) Tots els divisors de 90.

4. Troba aquests nombres:

a) El primer múltiple de 13 després de 1.000.

b) L’últim múltiple d’11 abans de 1.000.

5. Copia i completa:

a) Un nombre és múltiple de 3 quan…

b) Un nombre és divisible per 5 quan…

c) Un nombre és múltiple de 9 quan…

6. Escriu, ordenats, tots els nombres primers més petits que 50.

7. Esbrina si els nombres següents són primers o compostos:

a) 101 b) 147 c) 247

8. Descompon en factors primers:

a) 36 b) 48 c) 396

9. Calcula:

a) MCM (36, 48) b) MCD (36, 48)

c) MCM (10, 15, 25) d) MCD (10, 15, 25)

10. De quantes maneres diferents es pot dividir una classe de 28 alumnes en equips amb el mateix nombre de membres, sense que en sobri cap?

11. Quin és el costat del quadrat més petit que es pot formar si unim rajoles rectangulars de 15 cm de llargada per 6 cm d’amplada?

12. Un grup de 48 nens i nenes, acompanyats de 36 adults, van a un campament de muntanya. Per dormir, acorden ocupar cada cabana amb el mateix nombre de persones. A més, com menys cabanes ocupin, menys pagaran. D’altra banda, ni els adults no volen dormir amb nens ni els nens no volen dormir amb adults.

Quantes persones hi haurà en cada cabana? Quantes cabanes ocuparan?

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

» COM ENS RELACIONEM?

La Mariona i en Marc observen les dinàmiques de grup de diferents activitats extraescolars que es duen a terme a l’institut. Han apreciat que els grups es conformen segons les edats i el gènere dels companys i les companyes.

Les monitores sempre intenten fer grups tenint en compte la inclusió i la igualtat de gènere. Busquen totes les maneres de distribuir els participants en grups equilibrats, sense que ningú en quedi exclòs.

La Mariona i en Marc decideixen fer un estudi per mirar d’establir la millor manera de distribuir els equips.

Quina creieu que és la millor manera d’agrupar?

Els resultats de l’equip dependran de com estan fets els grups?

ANEM PAS A PAS

1. A l’extraescolar de patinatge de 1r d’ESO hi ha 28 inscrits, 12 noies i 16 nois. Si les monitores demanen als patinadors inscrits que facin grups de 5, quedarà algú sense grup? I si s’agrupen de 4 en 4?

2. Busqueu totes les formes possibles de distribuir els inscrits en grups del mateix nombre, sense que ningú en quedi exclòs.

3. Es poden fer grups amb el mateix nombre d’alumnes, de manera que en tots hi hagi el mateix nombre de nenes i el mateix nombre de nens? Quins?

4. Aquesta setmana hi ha dos nens malalts i s’han apuntat a l’extraescolar dues nenes noves. Podran fer grups amb el mateix nombre de nenes i de nens? Quins?

RESOLEM

La Mariona i en Marc amplien el seu estudi als alumnes de 2n d’ESO inscrits a patinatge i creen la taula següent:

5. Què passarà si formen grups de sis? En quedarà algú exclòs?

6. Com s’hauran de distribuir els inscrits perquè els grups siguin inclusius; és a dir, perquè ningú no quedi exclòs i tots els grups tinguin el mateix nombre de patinadors?

7. Es poden fer grups inclusius si els inscrits de 1r i de 2n d’ESO no entrenen junts?

8. Es poden fer grups amb el mateix nombre de noies i el mateix nombre de nois? Com ho faran per incloure tots els participants?

9. Les monitores i els monitors decideixen fer grups de quatre i grups de sis. Hi ha més de vuit grups de quatre alumnes. Quants grups hi ha de sis alumnes?

PENSEM-HI

10. Quina creieu que és la millor manera d’agrupar?

sobreReflexioneu l'ODS 5: Igualtat de gènere. Què heu Penseu-hi!après?

11. Els resultats de l’equip dependran de com estan fets els grups?

Treballeu en equip.

D’APRENENTATGE

» RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Diverteix-te resolent problemes!

En aquestes pàgines et proposem una bona quantitat de problemes.

Són problemes «especials». Per resoldre’ls, no cal que apliquis tècniques matemàtiques, sinó que utilitzis una bona planificació, sentit comú i una mica d’enginy. Alguns són molt fàcils, altres no ho són tant i n’hi ha que, fins i tot, són una mica difícils. Però tots són curiosos i divertits.

Passos per resoldre un problema

• Llegeix molt bé l’enunciat. Cal que tinguis molt clar què et demanen, d’on parteixes i on has d’arribar.

• Pensa un pla. Què has de fer per resoldre’l?

De vegades no caldrà que ho facis, perquè, un cop tinguis claríssim l’enunciat, el podràs resoldre directament.

• Resol-lo! Sovint necessitaràs concentrar­te, esforçar­te, tenir constància, paciència… Potser hauràs de tornar enrere i intentar­ho per un altre camí…

• Ja tens la solució? Comprova­la! Assegura’t que això és el que et demanen, que es compleixen totes les condicions que t’exigeixen…

En les properes pàgines veurem algunes estratègies per enfrontar­se a autèntics problemes. Et seran útils, però, per resoldre’ls, hauràs de tenir, sobretot, paciència i una bona predisposició. De ben segur que, al final, acabaràs aficionant­hi.

Entrena la resolució de problemes

Cal que tinguis molt clar l’enunciat!

Un tren que viatja a 120 km/h surt a les 8 del matí de A, s’atura a B una hora, continua fins a C, on s’atura dues hores, i torna a A sense aturar-se a B.

A les 2 de la tarda, un altre tren que va a 60 km/h surt de A cap a B. En el moment de creuar-se, quin dels dos està més a prop de B?

Fes un dibuix

De A a C hi ha 360 km. A 120 km/h trigarà

360 : 120 = 3 h.

Com que s’atura una hora a B i dues a C, surt de C a les 8 + 3 + 3 = 14 hores. Aleshores…

Espera’t, espera’t… Em sembla que no has llegit bé l’enunciat i per això t’estàs embolicant. En el moment de creuar­se, els dos trens són al mateix lloc. Per tant, són a la mateixa distància de B! No cal fer cap càlcul.

Una piscina fa el doble de llarg que d’ample. S’ha construït una tanca parallela a les vores a una distància de 5 m d’aquestes. Per construir-la, han calgut 190 m de xarxa de filferro. Quines són les dimensions de la piscina? Quines dades ens donen?

• La longitud de la tanca: 190 m.

• La distància de la tanca a la vora: 5 m.

• La llargada de la piscina és el doble que l’amplada. Què ens demanen?

• La llargada i l’amplada de la piscina. Resolem-lo:

• Quants metres més mesura la tanca que el perímetre de la piscina? (5 + 5) · 4 = 40 m

• Quant mesura el perímetre de la piscina? 190 – 40 = 150 m

• Quant fa l’amplada? 150 : 6 = 25 m

Solució: La piscina fa 25 m d’ample i 50 m de llarg.

a a a

a aa

Fes una bona planificació

Una bossa de taronges valia 8 €, però em va semblar que n’hi havia massa i vaig demanar que me’n traguessin 4 kg. Ara val 4,80 €. Quant pesava la bossa?

Què sé?

Si 4 kg valen 3,20 €, aleshores 1 kg val:

3,20 : 4 = 0,80 €

Com que la bossa val 8 €, pesa:

8 : 0,80 = 10 kg

Quina conclusió puc treure?

Què em pregunten?

↓

Solució: → Pesa 10 kg.

Sembla raonable que una bossa de 10 kg de taronges valgui 8 €.

Comprovem­ho. Si se’n treuen 4 kg, en queden 6 kg. A 0,80 € cada quilogram, valdrien 6 · 0,80 = 4,80 €, que és la dada que dona el problema.

Representa les dades esquemàticament

Val 8 €

Si en trec 4 kg:

↓

Costa 4,80 €

Per tant: 4 kg valen

8 – 4,80 = 3,20 €

↓

Quant pesa?

En Marc es compra un tub de xocolatines. El primer dia se’n menja la meitat. El segon dia se’n menja un terç del que quedava. El tercer dia se’n menja un quart de la resta. I el quart dia es menja 3 xocolatines i s’acaba el tub. Quantes xocolatines hi havia?

Què sé?

El primer dia es va menjar 1/2 de les xocolatines.

El segon dia es va menjar1/3 de les que quedaven.

El tercer dia es va menjar 1/4 de les que quedaven.

El quart dia es va menjar 3 xocolatines i es va acabar el tub.

Resolem mirant l’esquema, del final cap endavant:

• El quart dia es va menjar → 3 xocolatines.

• El tercer dia es va menjar → … xocolatines.

• El segon dia es va menjar → … xocolatines.

• El primer dia es va menjar → … xocolatines.

Solució: En total es va menjar …

Què vull saber?

Quantes xocolatines tenia el tub?

Treballa sistemàticament

Quants quadrats hi ha en una quadrícula de 4 × 4 com la del dibuix?

Evidentment, hi ha 16 quadrats petits i un de gran, 4 × 4. Però també hi ha quadrats de 2 × 2 i de 3 × 3. Comptem­los de manera sistemàtica.

Si es fixa el vèrtex superior esquerre, el quadrat es pot dibuixar sense cap problema. N’hi ha prou, doncs, de comptar les possibles situacions d’aquest vèrtex!

Quadrats 2 × 2

9 quadrats 2 × 2

Quadrats 3 × 3

Solució: 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrats

Tempteja

Completa la multiplicació següent: 0

Escrivim la multiplicació:

c 0 b a × 6 d 4 4 0 8

El resultat de multiplicar a per 6 ha d’acabar en 8.

Per tant, a = 3 o a = 8.

A veure què passa amb a = 8.

c 0 b 8

× 6

4 0 8

b ha de ser 6, ja que 6 × 6 = 36 i 36 + 4 = 40.

Com que 6 × c = d 4, c pot ser 4 o 9.

Provem el 3:

4 quadrats 3 × 3

0 8 6 × b hauria d’acabar en 9 perquè, en sumar l’1 «que portem», el resultat acabi en 0. És impossible. Per tant, a no és 3.

Escrivim la multiplicació:

4 0 6 8

2 4 4 0 8 5

9 0 6 8

Fes comptes!

1. En una escola hi ha dues classes, A i B, de primer d’ESO. Si en el grup A es fan equips de 5 per jugar a bàsquet, sobren 3 alumnes. Si es fa el mateix en el grup B, en sobren 4.

Quants alumnes sobraran si es fan els equips després d’haver ajuntat els dos grups?

2. En Pep compra una càmera de fotos i una targeta de memòria per 110  €. La càmera costa 100  € més que la targeta. Quant costa la targeta?

3. Amb 13 escuradents hem construït una fila de 4 quadrats:

Quants escuradents necessitem per construir una fila de 50 quadrats?

4. Un venedor ambulant compra samarretes a 72 € la dotzena i pantalons a 30 € el parell. Després, ven les samarretes a 15  € el parell i els pantalons a 30  € la unitat. Quants parells de samarretes ha de vendre per guanyar 27  € ?

5. El cost de fabricació d’una llanterna és de 3 €. L’empresa que les fabrica les ven a la distribuïdora a 15  € la unitat. En principi n’ha venut 1.650, però n’hi han tornat el 16 % perquè són defectuoses. Quant ha cobrat la fàbrica a la distribuïdora?

6. En una excursió, la Marina porta 4 entrepans i en Cesc, 2. Quan es disposen a menjar­se’ls, arriba en Xavier, que no porta cap entrepà. Es reparteixen els entrepans entre tots tres a parts iguals. En Xavier, per pagar el que s’ha menjat, posa 6  €. Com s’han de repartir aquests diners, la Marina i en Cesc?

7. La Rosa té una granja d’ànecs i oques. Avui ha venut al mercat 21 dels seus animals per 350  €. Entre els animals venuts hi havia el doble d’ànecs que d’oques. Si una oca val el triple que un ànec, quant costa un ànec? I una oca?

8. En una avaluació de 30 preguntes, cada resposta encertada val 4 punts i cada resposta errònia o no contesta da resta 3 punts. Quantes respostes ha encertat una alumna que ha aconseguit 57 punts?

9. Un transportista carrega a la furgoneta 4 taules per a ordinador i 3 cadires. Si cada taula pesa tant com 3 cadires i en total ha carregat 75 kg, quant pesa cada taula?

10. L’Aurora, entre les mosques i les aranyes de la seva collecció de bestioles, ha comptat 11 caps i 76 potes.

Quantes aranyes i quantes mosques té?

11. Tinc 25 monedes a la butxaca i totes són de 0,50  € o de 0,20  €. En total porto 8  €. Quantes monedes tinc de cada classe?

12. Tinc monedes d’1  € , de 0,50  € , de 0,20  € i de 0,05  €. En total porto 3,45  € i hi ha menys de deu monedes.

Quantes n’hi ha de cada tipus? Troba més d’una solució.

13. En una habitació hi ha tamborets de tres potes i cadires de quatre potes. Quan hi ha una persona asseguda en cada seient, el nombre total de potes i cames és de 27. Quants seients hi ha de cada tipus?

14. Un comerciant ven arròs envasat en bosses de quatre tipus: d’1 kg, de 2 kg, de 5 kg i de 10 kg. En aquest moment té aquestes quantitats de bosses:

d’1 kg de 2 kg de 5 kg de 10 kg nre. de

3 4 10 10

Descriu totes les formes que un client té per endur­se 15 g d’arròs, segons les bosses que triï.

Juga amb els nombres

15. Si escrius tots els nombres senars entre el 100 i el 200, quantes vegades hauràs utilitzat la xifra 6?

16. Quants nombres capicues de dues xifres hi ha? I de tres xifres?

17. Quantes vegades utilitzaràs la xifra 5 si escrius tots els capicues de tres xifres?

18. Quants nombres de tres xifres podem formar fent servir només l’1, el 2 i el 3?

19. Troba tres nombres enters consecutius la suma dels quals sigui 264.

20. Troba el nombre més petit que es pugui obtenir multiplicant tres nombres enters positius la suma dels quals sigui 12. Busca, també, el més gran.

21. Expressa el nombre 7 fent servir només 4 cincs i les operacions que calgui. Busca altres nombres que es puguin formar amb 4 cincs.

22. Utilitzant 4 quatres i les operacions que coneixes, hem aconseguit el nombre 15:

44 : 4 + 4 = 15

Quins nombres naturals més petits que 15 pots aconseguir per mètodes similars amb els 4 quatres?

23. Es busca el 100!

Si col·loques entre les nou xifres les operacions adequades, pots aconseguir com a resultat el nombre 100. Aquí tens dues solucions:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8 · 9) = 100

123 + 45 – 67 + 8 – 9 = 100

Però n’hi ha moltes més. Busca’n alguna.

24. Divideix l’esfera del rellotge en 6 parts de manera que els nombres inclosos en cada part sumin el mateix.

25. Copia l’esquema i escriu els nombres de l’1 al 9, cada un en un cercle, de manera que els de la mateixa línia (horitzontal, obliqua o vertical) sumin el mateix.

26. Això és un quadrat màgic perquè les files, les columnes i les diagonals sumen el mateix: 15.

Copia aquest altre tauler i escriu els nombres següents perquè formin un quadrat màgic:

27. Col·loca els nombres del 0 al 12, un en cada casella, de manera que tots els trios sumin el mateix. Quant sumen?

Fes un esquema

28. En una garrafa hi ha el doble d’aigua que en una altra. Si traguéssim 5 litres de cada una, la primera tindria el triple d’aigua que la segona. Quants litres hi ha en cada garrafa?

29. La Fàtima i la Marina viuen a la mateixa casa i van a la mateixa escola. La Fàtima, quan va sola, tarda 20 minuts de casa a l’escola. La Marina, al seu ritme, tarda 30 minuts per fer el mateix recorregut. Quant tardarà la Fàtima a atrapar la Marina, si la Marina avui ha sortit amb 5 minuts d’avantatge?

30. Un gos llebrer persegueix una llebre. La llebre fa salts de 3 metres i el gos fa salts de 4 metres. Si en un moment determinat les petjades del gos coincideixen amb les de la llebre, quantes vegades torna a passar el mateix en els 200 metres següents?

31. La Camil·la té un pot de caramels. El primer dia se’n menja un quart. El segon dia es menja un terç dels que li quedaven. El tercer dia es menja la meitat de la resta. El quart dia es menja quatre caramels i ja no queden caramels al pot. Quants caramels hi havia al pot?

32. En Marc tenia, fa 16 anys, 2 3 de la seva edat actual. Quants anys té ara?

33. De les 15 persones que treballen en una oficina, a 9 els agrada el suc de poma i a 7 els agrada el suc de taronja. També sabem que a 3 persones els agraden els dos productes. A quantes persones d’aquesta oficina no els agrada ni el suc de poma ni el suc de taronja?

els agrada

el suc de poma persones que treballen en la oficina

34. Dels 150 alumnes d’una escola, 115 estudien anglès, 95 estudien informàtica i 80, totes dues matèries. Quants no estudien ni anglès ni informàtica?

Construcció de figures

35. Si situes els vèrtexs en algun dels punts marcats en la quadrícula següent, de 4 × 4 punts, podràs trobar quadrats de diferents mesures. Localitza’n tants com puguis de grandàries diferents.

els agrada el suc de taronja

36. Quants quadrats hi ha dibuixats en aquesta quadrícula? Copia la quadrícula i marca’ls.

37. Quants rectangles no quadrats hi ha dibuixats en aquesta quadrícula? Copia la quadrícula i indica’ls.

38. Representa sense ocupar més d’un quadrat de 5 × 5 i els vèrtexs de la quadrícula:

a) Tants tipus de rombes que no siguin quadrats com puguis.

b) Diferents trapezis que no siguin rectangles isòsceles. N’hi ha moltíssims!

39. Fixa’t en aquesta quadrícula i contesta:

Bastonets en moviment

43. Amb 10 escuradents, hem construït una casa amb la façana mirant cap a l’esquerra, com es veu en la figura:

a) Quants quadrats amb un perímetre més gran que 10 hi ha?

b) I quants rectangles amb un perímetre més gran que 15 hi ha?

40. Pensa la manera de partir cada figura en quatre trossos iguals.

a) b)

41. Divideix aquesta figura en sis parts que tinguin la mateixa forma i la mateixa mida.

Canviant de posició dos escuradents, pots aconseguir que la façana quedi mirant cap a la dreta?

44. Amb sis escuradents, pots formar quatre triangles iguals? Dibuixa’ls.

45. Hem construït un peix amb 8 escuradents:

a) Aconsegueix que el peix vagi en la direcció contrària movent només tres escuradents.

b) Comprova que, si només movem dos escuradents, podem aconseguir un peix que miri en una altra direcció.

42. Dibuixa un triangle equilàter:

a) Divideix­lo en dues parts iguals. És fàcil, oi?

b) Dibuixa’n un altre i divideix­lo en tres parts iguals. Això ja és una mica més difícil.

c) Prova també a dividir­lo en quatre parts iguals. Fixa’t que això ho pots fer amb qualsevol triangle!

46. Amb 12 llumins hem format 3 quadrats:

Sabries obtenir 6 quadrats afegint­hi només 3 llumins més?

Pura lògica

47. Tinc tres capses idèntiques. En una hi ha caramels de taronja, en una altra hi ha caramels de llimona i en la tercera hi ha caramels de taronja i de llimona. Cada una té una etiqueta:

T → Només caramels de taronja

L → Només caramels de llimona

TL → Caramels de taronja i de llimona

Cap de les tres capses, però, no porta l’etiqueta correcta. La Raquel diu que, si trec un caramel d’una capsa i l’hi ensenyo, pot esbrinar el contingut de totes les capses. Si creus que és cert el que diu la Raquel, explica com ho pot aconseguir.

48. Llegeix aquesta informació i aparella els germans:

— Els Molins practiquen el mateix esport.

— Els Ferrer porten el mateix número a la samarreta.

— A la família Garcia no hi ha nois.

— Als germans Gatell els agrada el cinema.

49. La Maria Groc, la Sara Blanc i la Pilar Roig són amigues des de ben petites.

—Les nostres jaquetes són del mateix color que els nostres cognoms, però, en cap cas, no coincideix el color de la jaqueta amb el cognom de la que la porta —diu la Maria. —És veritat, que curiós! —contesta la que porta la jaqueta vermella.

De quin color és la jaqueta de cada una?

50. Tres amics se’n van junts de vacances amb les seves famílies. Cada un porta un llibre que ja ha llegit. L’Alícia porta Alícia al país de les meravelles, en Martí porta Tintín al desert i en Bernat porta En Bernat l’entremaliat

Cada un d’ells deixa el seu llibre a un dels dos amics perquè se’l llegeixi. Uns dies després, l’Alícia veu el llibre de Tintín, el fulleja i exclama:

—Que divertit que sembla aquest llibre!

Quin llibre està llegint cada un?

51. a) Quina hora és quan l’agulla de les hores està situada, exactament, en un dels senyals marcats en el rellotge i la dels minuts, en el següent?

b) Quina hora és quan l’agulla de les hores està situada, exactament, en un dels senyals i la dels minuts, en l’anterior?

c) Quina hora és si l’agulla de les hores i la dels minuts estan situades en senyals oposats?

d) Quina hora és si sabem que l’agulla de les hores trigarà a arribar a les 9 el doble que la dels minuts?

Amb ulls de dona

les taules de multiplicar, m’avorrien els proble mes… i pensava que a mi de què em servia tot allò.

Quan preguntava als més grans per què havia d’estudiar «mates», a part de respondre’m que perquè eren al temari, les respostes eren poc convincents. I em sembla que la majoria no en tenien ni idea, i molts deixaven anar un «uf!, quin pal això de les “mates”». Fins i tot, als anuncis de medicaments per al mal de cap sortia un noi que estava estudiant «mates» per a un examen, i no es feia estrany.

Així vaig passar tota la primària. I quan em preguntaven què volia ser de gran, responia: «Només sé el que no vull ser.» I ja us ho podeu imaginar, oi?

Vaig fer dotze anys i vaig entrar a l’institut a fer l’ESO. Em feia il·lusió canviar d’escola, conèixer gent, anar amb els grans, però també em feia molta por. Segur que les «mates» serien molt més difícils, els tenia pànic, em veia passant vergonya a classe quan el mestre em preguntés, repetint curs… Buf!, quin drama.

Primera classe de «mates del curs»: som-hi! La mestra va entrar i es va presentar: «Soc la Carla, m’apassionen les “mates”, m’encanta explicar “ma-

tes” i vosaltres m’agradeu molt.» Òbviament vaig pensar que aquella noia no estava bé del cap. Després de presentar-se i de dir aquestes bajanades, va projectar a la pissarra unes fotos. Us ho explico.

La primera era d’una noia a casa fent una videotrucada amb una amiga que era en un vaixell a l’Antàrtida. La segona era d’un hort «intel·ligent» amb plantes que «parlaven» i deien que els faltava aigua o nutrients. Una altra era d’un bebè dins la panxa de la mare, a qui estaven operant. La quarta era d’un grup de noies instal·lant una xarxa de connexions en un poblat del Senegal… I així fins a deu fotos com aquestes. Llavors la Carla es va girar i amb un somriure ens va preguntar: «Què tenen en comú totes aquestes fotos? Com s’han pogut fer totes aquestes coses? Doncs GRÀCIES A LES “MATES”!»

Segon dia de classe de «mates». La Carla va arri- bar, somrient, va saludar a tothom, perquè ja s’havia après els nostre noms i, tot seguit, va dir: «Marta, ens pots explicar què és el que més t’ha agradat de les

“mates” que has estudiat?» Em volia morir, volia desaparèixer, desmaiar-me, fondre’m… Però no va passar res de tot això. Amb un fil de veu vaig acon- seguir dir alguna cosa semblant a «res». Ella no ho va sentir i va insistir, així que vaig respondre, amb el mateix filet de veu, evidentment: «És que jo no ser- veixo per a les “mates”.» La Carla em va mirar sor- presa, amb cara de no entendre’m, i amb un gran somriure em va dir: «No sé qui t’ha ficat aquesta idea al cap, però això és una gran mentida. I tant que serveixes, és més, et prometo que aquest curs apren- dràs “mates”, hi jugaràs i t’agradaran.» Crec que ja us he dit que a aquesta noia li faltava un cargol.

Jo no sé explicar què va passar, però aquesta mestra, amb el seu entusiasme, amb la seva alegria, amb les seves respostes quan li preguntàvem qual- sevol dubte i amb els ànims que ens donava va aconseguir que les de «mates» fossin les classes més divertides de tot el curs i, tatxan!, vaig treure un 8! Ara sí que flipeu, oi?

Doncs encara al·lucinareu més quan us digui que vaig triar el batxillerat científic i… acabo de començar la carrera d’Enginyeria de telecomuni- cacions. És difícil, em costa, he d’estudiar molt, però m’agrada molt. De gran vull treballar fent aplicacions de mòbil per a temes relacionats amb la salut. I ara sé que sí que serveixo.

Paz Morillo Bosch és llicenciada en Matemàtiques per la UB i doctora per la UPC. Des que va acabar la carrera treballa com a professora a l’Escola Tècnica Superior d’Enginyeria de Telecomunicacions de Barce- lona, on ha fet classes de totes les assignatures de matemàtiques. Ha dirigit diversos treballs de fi de grau, de màster i tesis doctorals. L’any 1992 va crear el grup de recerca de Matemàtica Aplicada a la Criptografia. Ha estat responsable d’igualtat a l’ETSETB durant quatre anys i, des de l’any 2018, dirigeix el projecte «Una enginyera a cada escola», que té per objectiu trencar estereotips de gènere.