Maria Gaetana Agnesi 1r. Mostra

MATEMÀTQUES IMATEMÀTQUES I

3 ESO

Programa

Maria Gaetana Agnesi

PRESENTACIÓ I ESTRUCTURA

BREU HISTÒRIA DE LES MATEMÀTIQUES

Una passejada per la història de la numeració, l’àlgebra, les funcions, la geometria i l’atzar i la probabilitat.

SITUACIÓ

D’APRENENTATGE

Proposta de situació d'aprenentatge.

PENSEU-HI!

Idees per encetar el debat i fer aflorar els coneixements previs.

Conceptes explicats de manera amena amb exemples i exercicis resolts.

Unitats del bloc.

Itinerari de la unitat.

APLICA

EL QUÈ HAS APRÈS

Proposta d’activitats per resoldre.

Problemes que donen pistes de com resoldre la situació d’aprenentatge.

Activitats al web per resoldre amb GeoGebra, fulls de càlcul i altres aplicacions.

OBSERVA, RAONA I RESOL

Problemes de síntesi resolts.

Problemes resolts per motivar la comprensió dels conceptes.

EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES

TALLER DE MATEMÀTIQUES

Activitats de lògica, enginy i cultura matemàtica.

Exercicis i problemes per treballar el que has après al llarg de la unitat.

Activitats que donen peu a reflexionar sobre els objectius de desenvolupament sostenible de l’ONU.

POSA'T A PROVA

Activitats per comprovar què has après.

SITUACIÓ

D’APRENENTATGE

Proposta per treballar els sabers i les competències matemàtiques dins un context social i cultural per analitzar i mirar de comprendre el món.

ANEM PAS A PAS

Treball pas a pas i en grups cooperatius de la situació d’aprenentatge plantejada a l’inici.

PENSEM-HI

Activitats per debatre i reflexionar sobre d’aprenentatge.

AMB ULLS DE DONA

Articles, entrevistes i relats en què científiques de diversos àmbits transmeten la passió que senten per la seva professió.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Col·lecció de problemes de lògica, geometria…

RESOLEM

Resolució de la situació proposada i altres de similars.

Reflexió sobre l’ODS relacionat amb la situació plantejada.

Tècniques de resolució de problemes.

PROJECTE DIGITAL

Una resposta global per a un entorn educatiu divers

La proposta digital de Barcanova és EDUDYNAMIC , un projecte digital complet que dona una resposta global a un entorn educatiu divers i dinàmic. A partir d’una proposta senzilla i intuïtiva, EDUDYNAMIC és un projecte digital multidispositiu i multisuport que s’adapta i es visualitza en totes les plataformes i en tots els entorns virtuals d’aprenentatge (BlinkLearning, Moodle, Alexia, Google Classroom, Clickedu, Office 365…).

La diversitat i riquesa de recursos, des d’activitats interactives traçables a vídeos, presentacions i jocs, fan d’EDUDYNAMIC un projecte digital actualitzat i complet pensat per canviar amb tu.

Integració a totes les plataformes i entorns EVA.

Continguts i eines per treballar on-line i off-line

Compatibilitat i sincronització amb qualsevol dispositiu.

Amb suport paper o sense.

Gestió en línia de les activitats i tasques assignades als alumnes.

BLOC I. Numeració

comprensibles i operatius els nombres decimals, culminats per les aportacions de van assolir els grans èxits en càlcul superior, que han aconseguit la seva màxima expressió en els últims decennis amb l’apoteosi dels ordinadors.

Potències

Gairebé totes les antigues cultures prou avançades van interessar-se pels nombres grans i la forma d’expressarlos.

És especialment significatiu el cas de l’Índia, on van sentir passió pels nombres enormes. En el famós llibre mitològic Mahabharata (segle vi aC, aproximadament) s’explica que Buda va tenir ni més ni menys que 6 · 1011 fills i filles i, en un altre passatge, es parla de «les 24 · 1015 divinitats».

Progressions

Problemes aritmètics

Progressions 3

pitagòrics (segle vi aC), que van relacionar els nombres amb la geometria, van aplicar els termes «quadrat» i «cub» referits a les potències de nombres.

, gran matemàtic, enginyer i inventor grec (segle iii aC), per demostrar que el nombre de grans de sorra «no era infinit», es va proposar escriure un nombre més gran que el nombre de grans que cabrien a l’univers. Per a això, va escriure un llibre, l’Arenari, en el qual va inventar una nova forma d’escriure nombres extraordinàriament grans basada en les potències de base 10, per la qual cosa Arquimedes és considerat el pare de la notació científica.

Euclides (segle iii aC) va ser el fundador de l’escola matemàtica d’Alexandria, on va escriure la seva monumental obra Elements. Aquesta obra es compon de 13 llibres, quatre dels quals estan dedicats a l’aritmètica. En un, el IX, va tractar les progressions geomètriques, encara que amb una nomenclatura molt diferent de la que fem servir avui dia.

Al segle i, Nicòmac va recopilar tots els sabers sobre aritmètica que es coneixien des d’Euclides fins aleshores. Es va dedicar, entre altres coses, a estudiar les progressions aritmètiques, cosa que no havia fet Euclides quatrecents anys abans.

Cal esperar fins al segle xiii perquè aparegui la successió més coneguda de la història, la de Fibonacci, en què cada terme és la suma dels dos anteriors:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

El seu descobridor, Leonardo Fibonacci (conegut també com a Leonardo de Pisa), la va descriure en la seva obra Liber Abbaci en un context de descendència de conills. Actualment, a aquest tipus de successions, en les quals cada terme s’obté a partir dels anteriors, les anomenem recurrents.

U N I T A T 1 FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

QUANTES ESTRELLES HI HA A L’UNIVERS?

L’Aina és una gran aficionada a l’astronomia. Avui, en un blog de divulgació científica, ha llegit una afirmació que l’ha sorprès. No s’ho podia imaginar!

«Hi ha més estrelles a l’univers que grans de sorra a totes les platges de la Terra.»

Aquesta cèlebre afirmació la va fer Carl Sagan, astrònom, cosmòleg i gran divulgador, amb la clara intenció de convidar-nos a reflexionar sobre la immensitat del cosmos.

En aquesta cerca per comprendre aquesta immensitat, els telescopis han estat els nostres fidels companys. El telescopi espacial James Webb, una meravella de l’enginyeria moderna, està a punt d’obrir un nou capítol en l’exploració còsmica. Equipat amb tecnologia d’avantguarda, permetrà observar regions de l’espai tan distants i antigues com mai abans no havíem imaginat.

Així com Carl Sagan ens va convidar a contemplar la immensitat de l’univers, el telescopi espacial James Webb ens desafia a submergir-nos en el cosmos, amb l’esperança que cada observació ens acosti una mica més a les respostes que busquem.

L’Aina no té ni idea de si hi ha més estrelles o grans de sorra. No és capaç d’imaginar-se aquests nombres amb totes les seves xifres; no sap, ni tan sols, si hi cabrien en la seva llibreta. I si els escrivís de manera abreujada?

PENSEU-HI!

• Seríeu capaços de dir quants grans de sorra hi ha a totes les platges de la Terra?

• Estimeu la quantitat d’estrelles que hi ha a l’univers per comprovar així la veracitat de l’afirmació de Carl Sagan.

Nombres decimals

Potenciació. Notació científica

Arrels i radicals

Nombre racionals i irracionals

Mesurar amb nombres fraccionaris

Mesurar és relacionar dues magnituds del mateix tipus.

Quan diem que el volum de la Lluna és 1/50 del volum de la Terra, estem prenent com a unitat el volum de la Terra. I si diem que la part visible d’un iceberg és 1/9 del total, estem prenent com a unitat tot el seu volum.

1. NOMBRES RACIONALS

Fraccions

Els nombres enters serveixen per comptar elements, però no són bons per expressar mesures. Per mesurar, sol ser necessari fraccionar la unitat: la meitat, quatre terceres parts, set mil·lèsimes… Aquestes mesures s’expressen mitjançant fraccions: 1/2, 4/3, 7/1.000.

Una fracció és el quocient indicat de dos nombres enters, el qual pot ser enter , 2 6 3 3 12 4 –– == dn o fraccionari , 2 17 8 2 1 5 13 2 5 3 –=+ = dn

Si el numerador és múltiple del denominador, la fracció representa un nombre enter, i si no ho és, representa un nombre fraccionari.

La unió de tots els nombres enters i de tots els nombres fraccionaris s’anomena conjunt de nombres racionals i es designa per Q. Els nombres racionals són els que es poden escriure en forma de fracció.

Els nombres racionals es poden representar en la recta. En aquesta, s’aglomeren de tal manera que, entre cada dos nombres, hi ha infinits nombres racionals més.

Simplificació de fraccions

Per què aquest nom…

Per què Q per designar el conjunt dels nombres racionals?

En anglès, quotient significa ‘quocient’: els racionals són el quocient de dos enters.

Si podem dividir el numerador i el denominador d’una fracció per un mateix nombre (diferent d’1 i de –1), direm que hem simplificat o reduït la fracció.

Per exemple:

Quan una fracció no es pot reduir més i el seu denominador és positiu, direm que és irreductible.

1. Dibuixa una recta com aquesta i situa-hi, de manera aproximada, els nombres següents:

3. Simplifica aquestes fraccions:

2. A quines fraccions corresponen aquests punts de la recta? –3–2–1012

4. Relaciona cada fracció amb la fracció irreductible corresponent:

Productes creuats

Un procediment per comprovar si dues fraccions són equivalents és el que anomenem productes creuats:

b a d c = si a · d = c · b

Per exemple, 30 18 i 35 21 són equivalents perquè 18 · 35 = 630 = 21 · 30.

Fraccions equivalents

Cada nombre racional pot expressar-se mitjançant moltes (infinites) fraccions: 3/5 = 6/10 = 9/15 = … Per això cal establir un criteri que permeti reconèixer quan dues fraccions representen el mateix nombre racional.

Es diu que dues fraccions són equivalents quan, en simplificar-les, donen lloc a la mateixa fracció irreductible, que prenem com a expressió habitual del nombre racional corresponent.

30 18 i 35 21 són equivalents, ja que : : 5 30 18 306 186 3 == i : : 5 21 357 217 5 3 3 ==

Comparació de fraccions

Dues fraccions amb el mateix denominador són molt fàcils de comparar observant-ne els numeradors. Per comparar dues fraccions amb diferent denominador, les «reduïm a comú denominador»; és a dir, busquem dues fraccions respectivament equivalents a les primeres i que tinguin el mateix denominador.

EXERCICIS RESOLTS

1. Indica, en cada cas, si les fraccions són equivalents:

a) i

39 9 52 12

b) i 35 15 57 38

a) Busquem les fraccions irreductibles i comprovem si coincideixen:

524 124 3 == = = → Són equivalents.

b) Fem els productes creuats i comprovem si coincideixen: 15 · 57 = 855; 38 · 35 = 1.330 → No són equivalents.

2. Compara 7 12 , 8 5 i 16 9 . Prenem com a denominador comú el MCM(12, 8, 16) = 48.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

5. Cert o fals?

a) 5 2 > – 7 4 perquè el primer és positiu i el segon, negatiu.

b) 7 3 > 5 2 perquè el primer és més gran que 1 i el segon, més petit que 1.

c) 3 8 > 4 7 perquè el primer és més gran que 2 i el segon, més petit que 2.

d) –5 4 > – 7 4 perquè el primer és més gran que –2 i el segon, més petit que –2.

6. Indica si les fraccions són equivalents, o no ho són, simplificant-les i mitjançant el mètode dels productes creuats:

a) 20 12 i 35 21 b) 102 36 i 221 78

7. A partir de 60/126, busca la fracció equivalent… a) … amb numerador 20. b) … amb denominador 42.

8. Ordena, de la més petita a la més gran, aquestes fraccions:

2. OPERACIONS AMB FRACCIONS

Suma i resta de fraccions

Per sumar (o restar) fraccions amb el mateix denominador, se sumen (o es resten) els seus numeradors i el denominador es deixa igual.

Per sumar (o restar) fraccions amb diferent denominador, es comença per transformar aquestes fraccions en altres d’equivalents amb el mateix denominador.

Per exemple:

Producte i quocient de fraccions

El producte de dues fraccions és una altra fracció el numerador de la qual és el producte dels seus numeradors i el denominador de la qual és el producte dels seus denominadors:

· b a d c bd

Per exemple:

El quocient de dues fraccions és el producte de la primera per la inversa de la segona:

: b a d c b a c d bc ad

Per exemple:

Operacions

combinades amb fraccions

Per trobar el resultat d’operacions combinades, primer es resolen les operacions de dins els parèntesis i els claudàtors i, després, es fan la resta d’operacions, tenint en compte que els productes i els quocients s’han de calcular abans que les sumes i les restes. Per exemple:

Fes les operacions següents i simplifica els resultats:

CÀLCUL MENTAL

1. Troba la part del total que correspon a cada fracció:

a) 2 1 de 520.000 €

b) 5 3 d’1.000.000 de persones

c) 10 7 de 500 edificis

2. Digues, en cada cas, la quantitat total:

a) 2 1 del total és 350.

b) 3 2 del total és 400.

c) 10 7 del total és 350.

Observa

Les diferents parts (fraccions) d’un tot sumen 1.

Per exemple: Es reparteix un pastís de manera que a l’Anna n’hi correspon 1/3, a en Marc 1/4 i a l’Unai la resta. Quant pastís li toca a l’Unai?

1 3 11 1 412 7 12 5 += = cm

1. Digues, en cada cas, quina fracció falta per completar la unitat:

a) , ? ? i 2 1 4 1 b) ,i ? ? 3 2 6 1

c) ,i ? ? 4 1 6 1 d) ,, i ? ? 2 1 4 1 8 1

Fracció d’una quantitat

Per trobar 5 3 d’una quantitat, per exemple de 1.200 €, es divideix aquesta quantitat entre 5 (i així s’obté una cinquena part) i el resultat es multiplica per 3. És a dir, es multiplica la quantitat per 5 3 → 5 3 · 1.200 € = 720 €

Per trobar una fracció b a d’una quantitat Q, es multiplica b a · Q

Exemples

• Un carter ha de repartir els 3/28 d’un total de 4.004 cartes. Quantes cartes li corresponen?

3 28 de 4.004 = 3 28 · 4.004 = 3 · . 28 4004 = 3 · 143 = 429 cartes

• La Berta és propietària de 7/20 d’una empresa. Aquest any li corresponen 37.800 € en el repartiment de beneficis. Quins han estat els guanys totals de la companyia?

Si per 20 7 li corresponen 37.800 €, per 20 1 li corresponen . 7 37800 = 5.400 €

Per tant, al total 20 20 dn li corresponen 20 · 5.400 = 108.000 €

També es pot arribar a aquest resultat multiplicant la part que correspon a la Berta (37.800 €) per la inversa de la fracció que té de l’empresa, 7 20 .

7 del total = 37.800 → total = 37.800 · 7 20 = 108.000 €

20

Per trobar la part b a d’una altra d c d’una quantitat Q, es multiplica · b a d c C · Q

Exemple

D’una herència de 104.000 €, l’Albert en rep 3/8, la Berta 5/12 i la Clàudia la resta. La Clàudia destina 2/5 de la seva part a pagar deutes. Quant li queda?

1 –8 3 –12 5 = 24 24 910 = 24 5 és la fracció de la Clàudia.

Com que gasta 5 2 del que li toca, li queden 5 3 de la seva fracció: 5 3 · 24

€ li queden.

13. La distància del Sol al centre de la Via Làctia és d’aproximadament 8.000 parsecs, que són 6/525 del diàmetre de la galàxia.

Quin és aquest diàmetre?

14. D’una bassa amb 5.250 litres d’aigua, 4/15 corresponen a la Teresa, 2/5 a l’Enric i la resta al Roger. El Roger dedica 3/10 de la seva part a regar tomàquets i la resta, als fruiters. Quanta aigua dedica el Roger als fruiters?

Recorda

En les calculadores, els decimals se separen amb un punt en comptes de separarse amb una coma.

1.437,54 → {∫∫’¢«|…∞¢}

3. NOMBRES DECIMALS

Els nombres decimals serveixen, entre altres coses, per indicar mesures, ja que amb aquests nombres es pot expressar qualsevol valor intermedi entre dos nombres enters. Els nombres decimals es representen sobre la recta numèrica, de manera que, gràcies a aquests, podem aproximar-nos molt (tant com vulguem) a qualsevol dels seus punts:

–6–5–4–3–2–10123456

3,843,833,823,81 3,8

Recorda

El grup de xifres decimals que es repeteix, una vegada i una altra, en un nombre s’anomena període. S’indica amb un arc a sobre de les xifres corresponents:

, 568 # ,16147 !

3,853,863,873,883,89 3,9

Seguint aquest procés, el punt vermell pot designar-se mitjançant un nombre decimal amb tanta aproximació com vulguem (3,857…).

L’expressió decimal dels nombres permet valorar-los, comparar-los i operar-hi de manera molt còmoda i eficaç.

Tipus de nombres decimals

Vegem les diferents classes de nombres decimals que hi ha:

• Decimal exacte: és el que té un nombre limitat de xifres decimals.

Per exemple: 5,4; 0,97; 8; –0,0725.

• Decimal periòdic: és el que té infinites xifres decimals que es repeteixen periòdicament.

Periòdic pur: és aquell el període del qual comença immediatament després de la coma. Per exemple: 7,81818181… = , 781 # .

Periòdic mixt: és el que té altres xifres decimals abans del període. Per exemple: 18,35222222… = ,18352 ! .

• Decimals no exactes ni periòdics. Són nombres decimals que tenen infinites xifres que no es repeteixen periòdicament. Al contrari que els decimals exactes i periòdics, aquests nombres no són racionals, per la qual cosa s’anomenen nombres irracionals

Per exemple: 2 = 1,4142135…; π = 3,14159265…

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

15. Indica quin tipus de nombre decimal és cada un dels següents:

3,52 , 28 ! , 154 # 3 = 1,7320508…

2,7 3,5222… π – 2 = 1,1415926…

16. Ordena del més petit al més gran aquests nombres:

, 25 ! 2,5 , 235 ! 2,505005…

17. Escriu tres nombres compresos entre 2,5 i , 25 ! .

Exemple

3,0 7 20 0,428571

60

40

50 10 3 es repeteix

A partir d’aquí es repeteixen els quocients i els residus.

Pas de fracció a decimal

Per obtenir l’expressió decimal d’una fracció, s’efectua la divisió del numerador entre el denominador. El quocient pot ser:

• Un nombre enter, quan el numerador és múltiple del denominador.

Per exemple: 9 72 = 8 15 = –16

• Un decimal exacte, si el denominador de la fracció simplificada només té els factors primers 2 i 5 (o un dels dos).

Per exemple: 8 3 = 0,375 40 123 = 3,075 25 42 = 1,68

Observa per què passa això:

. . , 40 123 25 123 25 1235 10 12325 1000 3075 3 075 ·· 33 3 2 3 == == =

Si només hi ha els factors 2 i 5, sempre podrem completar una potència de base 10 en el denominador.

• Un decimal periòdic, si el denominador de la fracció simplificada té algun factor primer diferent de 2 i 5.

Per exemple: 11 3 = , 36 ! 11 86 = , 781 # 66 87 = 22 29 = ,3 118 #

Per què, si el quocient no és exacte, llavors segur que és periòdic? Raonem-ho amb un exemple, 3 : 7 (divisió que hi ha en el marge). Quan es divideix entre 7, el residu només pot ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6; per tant, en algun moment haurà de repetir-se i, a partir de llavors, es repetirà tota la seqüència.

Tota fracció irreductible dona lloc a un nombre decimal:

• Decimal exacte, si el denominador només té els factors 2 i 5.

• Decimal periòdic, si el denominador té factors diferents de 2 i 5.

Per tant, els uns i els altres són nombres racionals. Tanmateix, els decimals amb infinites xifres no periòdiques són nombres irracionals.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

18. Cert o fals?

a) 3 1 = 0,333… = , 03 !

3 3 = 3 · 0,333… = 0,999… = , 09 !

Com que 3 3 = 1, resulta que , 09 ! = 1.

b) 5,4 ! = , 544 #

c) , 372 # = 3,7272727… = 3, 727 #

d) , 03 ! + , 06 ! = 1

19. Sense fer la divisió, i fixant-te només en el denominador de la fracció simplificada, digues si les fraccions següents donaran lloc a decimals exactes o a decimals periòdics:

a) 150 44 b) 150 42 c) .1024 101 d) . 500 1001

20. Escriu un valor de k perquè la fracció 84/k sigui:

a) Un nombre enter.

b) Un decimal exacte.

c) Un decimal periòdic.

Observa

Període d’una sola xifra

En multiplicar N per 10, s’obté un altre nombre amb la mateixa part decimal.

N = 5,444…

10N = 54,444…

Període de tres xifres

En multiplicar N per 1.000, s’obté un altre nombre amb la mateixa part decimal.

N = 6,207207…

1.000N = 6.207,207207…

4. PAS DE DECIMAL A FRACCIÓ

Acabem de veure que, si dividim el numerador entre el denominador d’una fracció, el resultat és un nombre decimal exacte o periòdic (pur o mixt). Ara ens plantegem el problema invers: Quina és la fracció que correspon a un nombre decimal?

De decimal exacte a fracció

Expressar en forma de fracció un nombre decimal exacte és molt fàcil, ja que el denominador és una potència de base 10.

Per exemple: 2,5 = 10 25 = 2 5 3,41 = 100 341 0,004 = .1000 4 = 1 250

De decimal periòdic pur a fracció

Vegem amb dos exemples el procés que convé seguir.

• Període d’una sola xifra: N = , 54 ! = 5,4444… , ,… N N 1054444 5444 10 …= = 4

En restar, la part decimal desapareix:

10N – N = 54 – 5 → 9N = 49 → N = 9 49

• Període amb més d’una xifra: N = ,6207 & = 6,207207207… ., , N N 10006207207207 6207207 1000 …

= = 3 En restar, desapareix la part decimal: 1.000

Pots comprovar tots dos casos fent les divisions amb la calculadora.

Per escriure un nombre periòdic pur, N, en forma de fracció:

• Multipliquem N per una potència de base 10 per trobar un altre nombre amb la mateixa part decimal.

• Restant tots dos nombres, obtenim un nombre enter.

• Aïllant N, arribem a la fracció buscada.

21. Expressa en forma de fracció:

a) 6,2 b) 0,63 c) 1,0004 d) 3,5 ! e) , 01 ! f) , 27 !

g) , 023 # h) ,41041 & i) ,40028 & j) , 59 ! k) ,7009 & l) , 099 #

22. Observem que ,,, 0208079109991 += = &&& .

Comprova-ho expressant en forma de fracció cada sumand i efectuant la suma de fraccions.

23. Fes aquestes operacions; abans, però, passa els decimals a fraccions.

a) , 35 ! + , 176 # – ,2103 & b) , 13 ! : , 216 #

De decimal periòdic mixt a fracció

• Escrivim en forma de fracció N = ,5 263 # :

N = 2,5636363… Multipliquem per 10 per obtenir un decimal periòdic pur.

10N = 25,636363… Ara, multipliquem per 100 per obtenir-ne un altre amb la mateixa part decimal.

1.000N = 2.563,636363… En restar els dos nombres obtinguts, desapareix la part decimal. És a dir, s’obté un nombre enter.

1.000N – 10N = 2.563 – 25 → 990N = 2.538 → N = 990 2538

• Un altre exemple: N = , 007324 & = 0,07324324324… 100N = 7,324324… S’obté un periòdic pur.

100.000N = 7.324,324324… Se n’obté un altre amb la mateixa part decimal.

100.000N – 100N = 7.324 – 7 → 99.900N = 7.317 → N = . 99900 7317 Comprova els dos casos amb la calculadora.

Per escriure un nombre periòdic mixt, N, en forma de fracció:

• Multipliquem N dues vegades per potències de base 10 per tal d’aconseguir dos decimals periòdics purs amb el mateix període.

• Restant-los, obtenim un nombre enter.

• Aïllant N, obtenim la fracció buscada.

Resum

Per obtenir la fracció corresponent a un decimal periòdic, tant pur com mixt, l’estratègia seguida ha estat la següent: a partir del nombre donat s’obtenen dos nombres decimals periòdics purs amb el mateix període. En restar-los, el resultat és un nombre enter.

Com ja hem dit, els nombres decimals amb infinites xifres no periòdiques no són racionals, per la qual cosa no es poden expressar en forma de fracció.

24. Completa el procés per expressar com a fracció el nombre donat en cada cas:

a) , . , , , N N N 6217 100 1000

621777

… … … = = = * !

62177777

62177777

b) , . . , , , N N N

00316262

#

003162 1000 100000

… … … = = = *

31626262

3162626262

25. Expressa com a fracció els decimals següents:

a) , 62 5 ! b) , 0001 ! c) ,0 518 #

26. Quins dels nombres següents són racionals? Escriu-los en forma de fracció:

a) 3,51 b) 5,202002000… c) , 503 # d) 0,3212121… e) π = 3,141592… f) , 74 331 &

27. A partir de les fraccions corresponents, comprova que , 548 # = , 54 84 # .

Funcions secundàries

A les calculadores científiques, la majoria de les tecles tenen dues funcions secundàries (que apareixen indicades a sobre de la tecla).

Les dues funcions se solen diferenciar amb dos colors:

• SHIFT → groc

• ALPHA → vermell

Fixa’t en aquesta tecla:

Prement actua com a arrel cúbica.

Prement serveix per escriure nombres decimals periòdics, com veurem en la pàgina següent.

A partir d’ara, quan ens referim a una funció secundària, la destacarem a la tecla corresponent. Per exemple, per referir-nos a la funció arrel cúbica, indicarem:

5. FRACCIONS I DECIMALS AMB

LA CALCULADORA

En aquest curs és recomanable començar a utilitzar una calculadora científica que ens pugui servir per al que ens resta de l’ESO i per al Batxillerat.

Configuració

La calculadora la utilitzem fonamentalment per a càlculs aritmètics. Per a això entrem en � i triem 1:Calcular.

És fonamental configurar la calculadora per tal que tant la forma en què rep les dades (entrada) com l’expressió resultant (sortida) siguin conformes al que necessitem.

Us suggerim que seleccioneu el mode matemàtic tant per a l’entrada com per a la sortida . En aquest mode, les fraccions, les arrels i les potències es visualitzen de la forma habitual.

Per fer-ho, hem de prémer la tecla configuració �. A continuació, triem 1:Entrada/Sortida i, després, seleccionem 1:E Mat/S Mat (tant entrada com sortida en mode matemàtic).

També és important configurar la calculadora perquè la sortida, a més de matemàtica, sigui en forma de fracció i no com a nombre mixt. Per fer-ho, entrem en configuració ( �) i premem la fletxa ▼ per anar a la següent pantalla, on triem l’opció 1:Result fracció. A continuació, escollim 2:d/c.

Fraccions

Recorda què és un nombre mixt

La suma 3 + 5 2 es pot escriure així:

3 5 2 i s’anomena nombre mixt.

Actualment no se solen utilitzar, per la qual cosa no els prestarem més atenció.

Per introduir les fraccions, utilitzem la tecla i les fletxes ▼ , ▼▲, ▼ .

Si la fraccció introduïda no està simplificada, en prémer = se simplifica:

28. Introdueix a la calculadora les expressions de la dreta i comprova que, en prémer =, se simplifiquen les fraccions o s’obtenen les fraccions corresponents:

Algunes simplificacions

Temptejant amb la calculadora, pots trobar nous camins o algunes simplificacions. Per exemple, per escriure 8 6 podem fer el següent:

6 8 = 6 8 3 4

Atenció

Si introduïm un decimal exacte en el qual una o més xifres es repeteixen «moltes» vegades, és probable que la calculadora l’interpreti com a periòdic:

5.43434343434343 = �

5.43434343434343 5.43

Operacions amb fraccions

Per operar amb fraccions, senzillament s’escriu a l’entrada la cadena d’operacions i es prem la tecla =

Per exemple, per obtenir

–11 12 , premem les tecles següents:

Si, durant l’escriptura, cometem un error, podem esborrar amb la tecla � (esborrar). És a dir, la tecla � esborra el que hi ha a l’esquerra del cursor.

Si, en acabar, volem tornar a l’entrada, n’hi ha prou amb prémer la fletxa ▼ . Allà podem afegir algun sumand més o corregir algun possible error.

Decimals

Els nombres decimals no periòdics s’escriuen de forma natural tenint en compte que, en comptes de la coma, es fa servir el punt, .

La tecla �, aplicada a un nombre obtingut a la sortida, el transforma de fracció a decimal, o viceversa.

Per escriure un decimal periòdic utilitzarem les tecles .

Tant en l’expressió de nombres periòdics com en la de fraccions, la calculadora imposa limitacions en el cas d’una grandària excessiva de l’entrada o de la sortida . Pots explorar i esbrinar aquestes limitacions.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

29. Obtén, amb la calculadora, les fraccions generatrius dels nombres decimals següents:

a) 2,354 b) , 3002 # c) ,0 02 43 # d) , 37 01 # e) , 0125 # f) ,0 29 ! g) , 01233 # h) 1,1 !

30. Fes aquesta operació amb ajuda de la calculadora. Expressa el resultat en forma de fracció i com a nombre decimal.

31. Fes aquestes operacions amb fraccions i nombres decimals amb la calculadora. Obtén els resultats en forma de fracció i de nombre decimal (exacte o periòdic).

·

6. POTENCIACIÓ

Potències d’exponent positiu

Les potències d’exponent enter positiu (1, 2, 3…) són fàcils d’interpretar:

a1 = a a n = a · a · … · a n vegades

Per exemple: 81 = 8 (– 6)4 = (– 6) · (– 6) · (– 6) · (– 6) ·· 22 7 2 7 2 77 3 = dn

Propietats

Per trobar potències amb la calculadora, utilitzem les tecles següents:

• Per al quadrat: x

5x = 25

• Per al cub: sx (x3)

2 sx (x3) = 8

• Per a qualsevol potència: ‰ 3 ‰ 4 = 81

EXERCICI RESOLT

3. Calcula:

a)

Per exemple: a 3 · a 4 = (a · a · a) · (a · a · a · a) = a 3 + 4

Per exemple: (a · b)3 = (a · b) · (a · b) · (a · b) = = (a · a · a) · (b · b · b) = a 3 · b 3

Per exemple: (a 2)3 = a 2 · a 2 · a 2 = = (a · a) · (a · a) · (a · a) = a 2 · 3

Per exemple: a a aaaa aaaaaa a 1 ··· ····· 4 664–== = a 6 – 4

Per exemple: ·· ·· b a b a b a bb b aaa b a b a 3 3 3 == = bl

: 33) : 54

g) 42 · 2 3 4dn

=

f) (154 : 33) : 54 = [(54 · 34) : 33] : 54 = (54 · 3) : 54 = 3 g)

Resum

a 0 = 1, a 1 = a

Definició

Si n > 1, a n = a · a · … · a n vegades

a –n = 1/a n

Propietats

Si m, n ∈ Z, es compleix que:

1 a m · a n = a m + n

2 (a · b)n = a n · b n

3 (a m)n = a m · n

4 a a n m = a m – n

5 b a b a n n n = bl

EXERCICIS RESOLTS

4. Expressa cada nombre com a potència de base 10:

0,001

0,00000001

5. Simplifica:

36. Expressa com a potència de base 10:

Potències d’exponent zero o negatiu

La propietat 4 de la pàgina anterior només era vàlida per a m > n. Vegem què passaria si fos m = n o m < n : a a 3 3 = a

– 3 = a 0. Però a a 3 3 = 1. Per tant, hauria de ser a 0 = 1.

a 5 3 = a 3 – 5 = a –2. Però · a a aaaaa aaa a 1 ··· ·· 5 3 2 == → a –2 = a 1 2 .

Aquestes igualtats ens suggereixen la definició següent:

Si a és un nombre racional diferent de zero i n és enter:

a 0 = 1 a –n = a 1 n

Com a conseqüència: b a a b a b n n n n –== b d l n .

Les propietats de les potències d’exponent positiu també són vàlides per a les potències d’exponents enters qualssevol.

37. Simplifica i troba el resultat quan sigui possible:

Opera i expressa el resultat com a potència de base 10:

a) 1.000 · 100.000

b) 1.000 · 0,01

c) 1.000 : 0,01

d) 1.000 : 0,000001

e) 1.000 · 0,000001

f) 0,0001 · 0,01

g) 0,0001 : 0,01

7. NOTACIÓ CIENTÍFICA

Els nombres següents estan expressats en notació científica:

3,65 · 1011 = 365.000.000.000 9,207 · 10–14 = 0,00000000000009207

11 xifres

14 xifres

La notació científica té un avantatge respecte a la usual: les xifres se’ns donen comptades, amb la qual cosa l’ordre de magnitud del nombre és evident. Aquesta notació és útil, sobretot, per expressar nombres molt grans o molt petits. Un nombre expressat en notació científica consta de:

• Una part entera formada per una sola xifra que no és el zero (la de les unitats).

• La resta de les xifres significatives, si n’hi ha, escrites com a part decimal.

• Una potència de base 10 que dona l’ordre de magnitud del nombre.

N = a , b c d … · 10n

PART ENTERA (NOMÉS UNA XIFRA)PART DECIMAL

POTÈNCIA ENTERA DE BASE 10

Si n és positiu, el nombre N és «gran», i si n és negatiu, N és «petit».

Operacions amb nombres en notació científica

Per operar amb nombres donats en notació científica se segueixen els passos habituals, tenint en compte que cada nombre està format per dos factors: l’expressió decimal i la potència de base 10.

El producte i el quocient són immediats, mentre que la suma i la resta exigeixen preparar els sumands de manera que tinguin tots la mateixa potència de base 10 perquè es pugui treure factor comú.

6.

Observa que en els tres apartats hem hagut d’«arreglar» la solució final perquè adopti la notació científica: només una xifra a la part entera.

38. Expressa aquestes quantitats en notació científica:

a) 0, 00016 b) 0, 00000387 c) 0, 00000000083

39. S’ha estimat que la galàxia Andròmeda conté aproximadament 100 milers de milions d’estrelles. Expressa aquesta quantitat en notació científica.

40. Calcula:

a) (3,25 · 107) · (9,35 · 10–15)

b) (5,73 · 104) + (–3,2 · 105)

c) (4,8 · 1012) : (2,5 · 103)

d) (1,17 · 108) – (3,24 · 10 – 6)

CÀLCUL MENTAL

La calculadora es pot configurar perquè treballi (entrada i sortida) en notació científica. Però cal dir-li el nombre de xifres significatives que volem utilitzar.

Entrem en la configuració, �, i escollim 3:Format nombre. Aquí seleccionem 2:Not científica. Apareix Científ:Selec 0~9

Si premem, per exemple, 5, s’utilitzaran 5 xifres significatives.

Quan acabem de treballar en notació científica, no hem d’oblidar de tornar al mode normal.

� → 3:Format nombre → 3:Normal → Normal:Selec 1~2 I premem el 2.

EXERCICI RESOLT

7. Fes les operacions amb la calculadora i interpreta els resultats:

a) (3,214 · 10–5) · (7,2 · 1015)

b) 3,214 · 10–4 – 9,58 · 10–5

c) 3,2 · 1010 + 7,3 · 10–5 –– 4,552 · 1010

Calculadora per a la notació científica

Qualsevol model de calculadora pot ser programat per treballar només en notació científica. Tanmateix, és preferible que utilitzis el mode Normal 2

Com és natural, els resultats s’han d’expressar en forma decimal, per la qual cosa has de configurar la sortida decimal, E Mat/S Decimal

• Escriptura

 entrada

Per escriure nombres en notació científica s’utilitza la tecla �. Per exemple:

3,456 · 1012 → 3.456 � 12 1,03452 · 10 –7 → 1.03452 � f 7

 sortida

Si s’escriu un nombre amb «moltes» xifres, la mateixa calculadora l’expressa automàticament en notació científica. Per exemple:

Si s’escriu un nombre amb «poques» xifres, a la pantalla ens apareixerà el nombre en forma decimal no científica. Per exemple:

Operacions. Les operacions s’encadenen com si fossin nombres qualssevol. Si el resultat té «moltes» xifres, la calculadora l’expressarà en notació científica i, si no, el donarà en notació normal i l’haurem d’interpretar nosaltres.

a) 3.214 � f 5 * 7.2 � 15 = 2.31408 · 1011

La calculadora dona directament el resultat en notació científica.

b) 3.214 � f 4 - 9.58 � f 5 = 0,0002256

Cal interpretar-lo. El resultat expressat en notació científica és 2,256 · 10 –4

c) 3.2 � 10 + 7.3 � f 5 – 4.552 � 10 = –1,352 · 1010

Com veus en aquest últim exemple, quan sumem o restem amb la calculadora nombres amb ordres de magnitud molt diferents, el més petit no es reflecteix en el resultat.

41. Resol amb la calculadora l’activitat 40 de la pàgina anterior.

Dues arrels quadrades

Observa:

32 = 9, (–3)2 = 9

Per tant, 9 té dues arrels quadrades: 3 i –3.

Però, atenció!, quan escrivim 9 ens estem referint a l’arrel positiva; és a dir, 9 = 3.

Anàlogament, 16 té dues arrels quartes: 2 i –2.

Però 16 4 = 2.

8. ARRELS I RADICALS

Arrels exactes

➜ Arrels quadrades. Com saps, 81 = 9 perquè 92 = 81.

➜ Arrels cúbiques 125 3 = 5 perquè 53 = 125.

➜ Altres arrels. De manera anàloga, s’interpreten les arrels d’índex superior a 3:

Com que 25 = 32, serà 32 5 = 2.

.10000 4 = 10 perquè 104 = 10.000.

En general, si a = bn, llavors a n = b.

En l’expressió a n (es llegeix arrel enèsima de a), n és l’índex i a, el radicand Si a n és un nombre racional (enter o fraccionari), llavors es diu que l’arrel és exacta.

8. Calcula les arrels següents:

a) 16 49

b) 356

c) . 64 1 000 3

d) , 210 7· 1 3 3

a)

b) Ja que se’ns demana de trobar .4356 , comprovem si 4.356 és un quadrat perfecte. Per fer-ho, el descomponem en factors primers: 4.356 = 22 · 32 · 112.

És a dir, 4.356 = (2 · 3 · 11)2 = 662. Per tant, .4356 = 66.

c) 1.000 = 103, 64 = 43. Per tant, 64 1000 3 = 4 10 = 2 5 .

d) 2,7 · 1013 = 27 · 1012 = 33 · 1012 = 33 · (104)3 = (3 · 104)3

Per tant, , 210 7· 1 3 3 = 03(1·)3 3 4 = 3 · 104.

Radicals

En l’expressió 12 no hi ha manera de suprimir l’arrel si no és calculant-ne el valor decimal aproximat. L’única manera d’indicar aquest valor de forma exacta és deixar l’expressió tal com està; és a dir, amb l’arrel.

Les expressions en què apareixen arrels s’anomenen radicals

42. Calcula les arrels següents:

a) 64 6 b) 216 3

c) .14400 d) 64 1 6

e) 216 64 3 f) . . 1000 3375 3

g) ,· 172810 3 21 h) ,· 202510

43. Cert o fals?

a) Com que (–5)2 = 25, llavors 25 = –5.

b) –5 és una arrel quadrada de 25.

c) 81 té dues arrels quadrades: 3 i –3.

d) 27 té dues arrels cúbiques: 3 i –3.

e) 7 té dues arrels quartes: 7 4 i – 7 4 .

f) = –2 i 4 = 2.

EXERCICI RESOLT

Tingues en compte

Fer servir amb correcció i agilitat els radicals requereix un bon aprenentatge i un llarg entrenament. Aquest curs aprendrem algunes de les regles més senzilles, com també una sèrie de mesures per evitar errors

CÀLCUL MENTAL

1. Simplifica:

a) 0·52 b) 33610

2. Descompon i treu fora del radical:

a) 50 b) 24 3 c) .2000 3

3. Calcula el valor d’aquestes potències:

a) 3 6 ` j b) 2 3 6 ` j c) 5 4 12 ` j

CALCULADORA PER TROBAR ARRELS

Per trobar arrels amb la calculadora, fem servir les tecles següents:

Arrel quadrada, í 15 → í15 = 3,872983346

Arrel cúbica, 8 3 → 8 = –2

Arrel d’un altre índex, 32 5 → 5 32 = 2

» APLICA EL QUE HAS

Algunes regles per treballar amb radicals

Producte de radicals

El producte de dos radicals amb el mateix índex es pot escriure sota un únic radical. Per exemple:

32 32 6 == 3355151575 33 ==

Si els radicals tenen índexs diferents, deixarem el producte indicat. Per exemple:

Extracció de factors fora d’una arrel

Si el radicand descompost en factors té potències d’exponent igual o més gran que l’índex de l’arrel, alguns d’aquests poden sortir de l’arrel.

Per exemple:

Potència d’un radical

La potència d’un radical es fa elevant el radicand a aquesta potència. 22

Si l’exponent de la potència és múltiple de l’índex de l’arrel podrem simplificar. Per exemple:

En cas contrari, només podrem simplificar en alguns casos. Per exemple:

Suma i resta de radicals

Dos radicals diferents no poden sumar-se si no és obtenint les seves expressions decimals aproximades. Només poden sumar-se radicals idèntics. Per exemple:

32 77 –3

+ 4 Aquestes operacions només es poden fer de manera aproximada o bé es poden deixar indicades.

Sí que pot simplificar-se l’expressió: 25 6 44 44 –33 +=33

De vegades, podrem efectuar alguna suma que semblava impossible: ·5 55 55 5 2045180 45 9362 36 ·· += += +=

44. Simplifica les expressions que puguis:

a) 8563 – b) 3545 + c) 258– 3 d) 5 5– 3 e) · 67 f) · 67 3

g) 28 h) 749 3 3 i) 55 –3 6

j) 5 10`j k) 6 7`j l) 7 5 10`j

45. Extreu fora del radical els factors que puguis:

a) · 3524 b) · 23 3 52 c) 5 4 5

d) 180 e) 720 f) 375 3

46. Opera i simplifica:

a) 2++3271 b) 16 33254 3 ++

Nombres reals

El conjunt de tots els nombres racionals i irracionals s’anomena conjunt dels nombres reals i es designa amb la lletra Á

Á = Q + é

EXERCICI RESOLT

9. Situa cada un dels nombres següents en les caselles corresponents. Cada nombre pot anar en més d’una casella: 24; 0,71; ,7 01 ! ; –5; 5 3 ; 7 ; – 9 ; 7 28 ; π – 1

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

9. NOMBRES RACIONALS

Nombres racionals

I

IRRACIONALS

Els nombres racionals són els que es poden escriure en forma de fracció. És a dir, els que es poden obtenir com a quocient de dos nombres enters.

Tots els nombres enters són racionals i també ho són aquells l’expressió decimal dels quals és exacta o periòdica.

El conjunt de tots els nombres racionals es designa amb la lletra Q .

ENTERS Z

RACIONALS Q

NATURALS

DECIMALS EXACTES

FRACCIONARIS ,;,; … ,; ,; Ò 0841723 23 0084…

NATURALSNEGATIUS* N → → → →

Nombres irracionals

DECIMALS PERI DICS * ! # ,, ,, ,, , ,,,,, … 01 23 45 12345 … –

Obté amb la calculadora l’expressió decimal d’aquestes arrels: 7 , 4 3 , 16 5

Fixa’t que en totes hi ha un munt de xifres en les quals no s’aprecia cap periodicitat. De fet, l’expressió decimal de qualsevol arrel no exacta té infinites xifres decimals no periòdiques. Per això no són nombres racionals. S’anomenen irracionals. El conjunt de tots els nombres irracionals es designa amb la lletra é

Els nombres irracionals inclouen:

— Totes les arrels no exactes. Per exemple: 2 = 1,41421256…, 4 3 = 1,58740105…

— El nombre π = 3,14159265 …

Hi ha infinits nombres irracionals més.

naturals, N 24; 28/7 = 4 enters, Z 24; –5; – 9 = –3; 28/7 = 4

fraccionaris 0,71; , 07 1 ! ; 3/5

racionals, Q 24; 0,71; , 07 1 ! ; –5; 3/5; – 9 = –3; 28/7 = 4

irracionals, é 7 ; π – 1

47. Situa cada un dels nombres següents en les caselles corresponents. Tingues en compte que cada nombre pot anar en més d’una casella.

107; 3,95; , 395 # ; –7; 20 ; 9 36 ; 9 4 ; – 36 ; 3 7 ; π – 3 naturals, N enters, Z fraccionaris racionals, Q irracionals, é

RAONA I

1. CALCULAR EL TOTAL

L’Anna gasta durant la primera meitat del mes 2/3 de la seva paga mensual. Del que l’hi queda, en gasta 3/5 durant la segona meitat i estalvia 10 €. De quants diners és la seva paga mensual?

Fes-ho tu D’una garrafa d’oli se’n treu primer la meitat i, després, la cinquena part del que hi queda. Si a la garrafa encara hi ha 3 L, quina és la seva capacitat?

Si gasta 3 2 , li queda 3 1 de la seva paga.

Calculem 3 5 d’ 3 1 → 53 1 3 5 1 =

El que li queda a final de mes són:

1 3 2 5 1 15151515

2 15 10 3 – += = cm

Si 15 2 de la seva paga són 10 €, la seva paga és de: 10 2 15 2 150 ·=  = 75 €

2. MIDA DEL VIRUS DE LA COVID-19

La mida mitjana del virus de la covid-19 és de 67 nm (nanòmetres).

a) Expressa-la en mil·límetres i en micres (µm).

b) Compara-la amb el gruix d’un cabell humà.

Fes-ho tu En respirar, emetem aerosols, milers de gotes molt petites de menys de 5 μm, que poden romandre a l’aire unes quantes hores. Són la causa principal de transmissió de la malaltia. Quants virus hi pot haver en una partícula d’aerosol?

a) Un nanòmetre és la milmilionèsima part del metre. Una micra és la mil·lèsima part d’un mil·límetre. Fem servir la notació científica per convertir unitats i comparar-les.

Fixa’t en aquestes equivalències:

. 1 10 1 10 1 1010 11 000 nm m· mm m mm µm 99 36 –== = = Z [ \ ] ] ]

En mil·límetres: 67 nm = 67 · 10–6 mm = 6,7 · 10–5 mm

En micres: 6,7 · 10–5 mm = 6,7 · 10–5 · 103 μm = 6,7 · 10–2 μm

b) Busquem a internet el gruix aproximat d’un cabell: 0,07 mm = 7 · 10–2 mm

Per tant: · · · ,10 710 10 67 1,045 2 5 3 ––=

En el gruix d’un cabell hi caben 1.000 virus posats en fila, aproximadament.

Troba el radi i l’àrea total d’un cilindre de 26  cm d’altura i 32  cm de diagonal.

Fes-ho tu L’altura d’un rectangle mesura 6  cm i la seva diagonal, 18  cm. Calcula’n el perímetre i l’àrea.

La diagonal és la hipotenusa d’un triangle rectangle els catets del qual són el diàmetre, d , i l’altura, h. Apliquem el teorema de Pitàgores:

3. ÀREA TOTAL D’UN CILINDRE

Practica

Fraccions i decimals

1. Simplifica les fraccions i agrupa les que siguin equivalents:

143 91 ; 400 225 ; 36 24 ; 39 26 ; 539 343 ; 165 66

2. Transforma les fraccions següents en unes altres d’equivalents amb el mateix denominador i ordena-les de la més petita a la més gran:

3. EXERCICI RESOLT

Calcula, en cada cas, el valor de x perquè les fraccions siguin equivalents:

a) 6 x i 4 26 b) 3 x i 17 51

a) Perquè siguin equivalents, els productes creuats han de coincidir:

x · 4 = 26 · 6 → 4x = 156 → x = 39

b) Tornem a aplicar el mètode dels productes creuats:

3 · 17 = 51 · x → 51 = 51x → x = 1

4. Troba, en cada cas, el valor de x :

a) x 1842 35 = b) x 32 15 12 =

c) x 81 18 45 = d) x 1122 66 5 =

5. Determina, sense fer la divisió, quins són decimals exactes i quins són decimals periòdics:

6. Ordena aquests nombres del més petit al més gran:

a) 3,56; ,5 36 ! ; , 35 ! ; , 356 #

b) –1,32; – ,3 12 ! ; – , 132 # ; – , 13 !

c) ,; ;, ;; 23 153 8 234 32 10 21 !

7. Expressa en forma de fracció: a) c) b) d) –, 315 # ,143 ! , 00 12 # , 032 !

Operacions amb fraccions

8. Calcula i simplifica mentalment: a)

9. Calcula mentalment:

a) La meitat de 3 2 b) La tercera part de 7 12

c) Dos terços d’un nombre són 22. Quin és el nombre?

d) Cinc quarts d’un nombre són 35. Quin és el nombre?

10. Redueix a una sola fracció:

11. Simplifica, descomponent en factors el numerador i el denominador:

12. Aplica el procediment de l’exercici anterior per simplificar les expressions següents:

13. Opera i expressa cada resultat amb una fracció irreductible:

14. Cert o fals?

a) (, ,) 3 4 0750 6 12 13 1 –+ += !

b) ,, , 6 5 01 6 3 4 01 02 3 1 3 8 65 6 17 –+= + d nddnn !!

c) :, :, 11 11 –,, 15 00 2 3 2 10 9 4 3 33 51 80 + = ! !! !

Potències

15. Expressa, sense fer servir la calculadora, aquestes potències com un enter o una fracció:

a) (–3)3 b) (–2)4 c) (–2)–3 d) –32 e) – 4–1 f) (–1)–2

g) 2 1 dn h) 2 1 –dn i) 3 4 0dn

16. Escriu en cada cas el valor de n:

a) 256 = 2n b) 1 27  = 3n c) –125 = –5n

d) 3 3 6 4  = 3n e) 7 7 5 4 –– = 7n f) · 2 22 5 2 7 –– = 2n

17. Expressa cada potència de la forma an:

a) 73 · 53 b) (–2)5 · 35 c) 3,24 : (–4)4

d) : 2 1 3 1 33ddnn e) (–7)–2 · (–3)–2 f) 2 5 4 eo

18. Redueix a una sola potència:

a) (117 · 114) : 118 b) (a8 : a5)4

c) (a–2)3 · a9 d) (a–3 · a2)–4 : a–6 e) 125 : (–3)5 f ) 8–6 · 16–6

19. Calcula:

a) :1 22 3 1 –3 2 – – d d n n b) 2 3 1 + dn · 3–2

20. Expressa com a potència única:

a) : 3 44 3 –32 ddnn b) 2 22 4 57 ––c) 2 1 1 1 3 –+ dn> H d) : 2 11 4 32ddnn e) · 23 2 2 4 d d n n f) · 3 515 1 2 –

21. Relaciona cada operació amb un d’aquests resultats:

a–1b3 a–4b2 3 4 a2b–1 a 54 3

a) : b ab a 9 4 3 2 b) ·( ) b a a 3 12 –bl

c) (6a) –1 · (3a –2) –2 d) (a –1  · b 2)2 : (ab )2

22. Simplifica, descomponent en factors i aplicant les propietats de les potències, com en l’exemple:

• == =

1210 154 · 2 22 b) 16 2453 –

23. Simplifica:

Potències de base 10

24. Indica el valor de n en cada cas:

a) 0,001 = 10n b) (10 000)2 = 10n

c) 0,0000001 = 10n d) 0,00013 = 10n

25. Cert o fals?

a) (0,001)–3 = 109 b) (0,001)4 = 1012

c) (0,01)3 = 10–6 d) (10–2)5 = (0,1)10

26. Quins d’aquests nombres són iguals a 10–3?

a) , 01 10 b) 10–5 + 102

c) , , 001 000001 d) 10–12 · (103)3

Notació científica

27. Escriu aquests nombres amb totes les seves xifres:

a) 4 · 107 b) 5 · 10– 4 c) 9,73 · 108

d) 8,5 · 10– 6 e) 3,8 · 1010 f) 1,5 · 10–5

28. Escriu en notació científica:

a) 13.800.000 b) 0,000005

c) 4.800.000.000 d) 0,0000173

e) 153 · 104 f) 93,8 · 10– 4

29. EXERCICI RESOLT

Calcula i expressa el resultat en notació científica:

Operem en el numerador:

54 · 10–19 : 4 · 10–14 = 13,5 · 10–5 = 1,35 · 10–4

En el denominador, traiem factor comú 1011: 1011(3,2 · 10 + 58) = 90 · 1011 = 9 · 1012

Dividim: (1,35 · 10–4) : (9 · 1012) = 1,5 · 10–17

30. Resol i comprova el resultat amb la calculadora:

a) 3,6 · 1012 – 4 · 1011 b) 5 · 109 + 8,1 · 1010

c) 8 · 10–8 – 5 · 10–9 d) 5,32 · 10– 4 + 8 · 10–6

31. Calcula, expressa el resultat en notació científica i comprova amb la calculadora:

a) (2,5 · 107) · (8 · 103) b) (5 · 10–3) : (8 · 105)

c) (7,4 · 1013) · (5 · 10– 6) d) (1,2 · 1011) : (2 · 10–3) e) (2 · 104)–2 : (5 · 103) f) (5 · 10–3)–1 · (8 · 103)2

32. Calcula i comprova amb la calculadora:

a) 3,6 · 1012 – 4 · 1011 b) 5 · 109 + 8,1 · 1010

c) 8 · 10–8 – 5 · 10–9 d) 5,32 · 10– 4 + 8 · 10– 6

33. Calcula i escriu el resultat amb totes les xifres:

a) 5,3 · 1011 – 1,2 · 1012 + 7,2 · 1010

b) 4,2 · 10– 6 – 8,2 · 10–7 + 1,8 · 10–5

c) (2,25 · 1022) · (4 · 10–15) : (3 · 10–3)

d) (1,4 · 10–7)2 : (5 · 10–5)

Arrels i radicals

34. Troba, quan sigui possible, les arrels següents:

a) 16 4 b) 25 16 c) 8 1 3

d) 4 e) 216 3 f) 7

g) 5 h) .4096 6 i) 64 6

j) 3 k) 625 4 l) m) /62516 4 n) 5 o) 6

35. Resol amb la calculadora:

a) – 16,· 14 4 4 b) –0,064 3 c) – 5 4

36. Extreu de cada radical els factors que puguis:

a) 32 4 b) 81 3 c) 200 3

d) 50 e) 144 4 f) 250 3

g) 64 5 h) 243 3 i) a4 3

37. Simplifica, si és possible. Tingues en compte que a ab b nn n = .

a) · 28 b) · 39 33 c) 5·51

d) 2·23 33 e) 32 3 f) ·126 33

38. Simplifica:

a) 2 4 4 `j b) 2 6 3 `j c) 2 2 3 6 `j

d) 33.101000 e) 55216 f) 33981

39. EXERCICI RESOLT

Extreu fora del radical els factors que puguis:

12ab 2 2 3 `j

Elevem el radicand al quadrat:

(22 · 3ab2)2 = 24 · 32a2b4

Descomponem en potències d’exponent 3:

·· · ab bb ab ba b 22 32 23 218 32 23 22 2 33 3 ==

40. Extreu factors fora de cada arrel:

a) · 2523 b) · 33627 c) 23 · 26 4

d) 57·· 3 24 5 e) 5 3· 3 3 f) 45·· 7 3 42 6

g) ab 27 3 3 h) ab16· 4 5 i) ab 32 210 5

41. Extreu factors i simplifica: : aa b 5416 3 3 34

42. Introdueix factors a l’arrel, com en l’exemple:

• 72() 72 7 448 2· ·· 3 23 3 6 3 3 2 == =

a) a 53 b) aab 13 2 c) ab a2 3

d) · b –23 3 e) · 25 4 f) · 4 5 3 2 3

43. Opera i simplifica:

a) .: 112515

b) ·1218 33

c) () 32 8 2 +

d) (( ) )5 6 –+56

44. Només tres d’aquestes expressions es poden simplificar. Comprova-ho.

a) 0+51 b) · 654 c) 3223 –d) 77 3 + e) () 4 3 5 f) :3618

45. Simplifica les expressions que puguis i explica per què les altres no es poden simplificar:

a) 7242 – b) 32 – c) 4353 –d) 2–63 e) 25 3 1 5– f) 2 2 2–

46. Calcula:

a) 5072102–+ b) 804520

c) 48 375108 + d) 5 1752863–+

e) 2 250128–33 3 + f) 81 337324– 3 +

Resol problemes

47. Les dades següents expressen com gasta els seus ingressos mensuals una família:

Habitatge: 0,4 Supermercat: 0,1 6 ! Roba: 0,1 3 !

Rebuts: 0,1 Estalvi: 0,05 Altres: 0,04

a) Escriu-los tots en forma de fracció i troba la fracció que falta.

b) Si gasta 330 € en oci, quin és el seu pressupost mensual?

48. Els resultats d’una enquesta feta als estudiants d’una escola són aquests:

• 7/30 dels estudiants no tenen telèfon mòbil.

• 400 estudiants tenen ordinador i telèfon mòbil.

• 1/6 no té ordinador.

• 1/15 no té ni ordinador ni telèfon mòbil. A quants estudiants es va fer l’enquesta?

49. L’Anna fa servir una part dels diners que porta en el moneder per comprar-se uns quants còmics, el preu dels quals és el mateix. Si amb un cinquè dels diners ha pagat un terç del total dels còmics, quina fracció dels diners que portava li quedarà després de pagar tots els còmics?

50.  La informació nutricional d’una marca de llet diu que hi ha 120 mg de calci per cada 100 mL de llet. Aquesta quantitat de calci és 3/20 de la que és recomanable que prengui diàriament una persona. Calcula la quantitat de calci diària recomanada.

51. Els 3/5 de les entrades d’un teatre corresponen al pati de butaques; 1/4 són del primer amfiteatre i les 90 restants són del segon amfiteatre. Quantes places té el teatre?

52. D’un solar es van vendre 2/3 de la seva superfície i després 3/5 del que quedava. Els 600 m2 restants es van destinar a camins i jardins. Quina era la superfície del solar?

53. La tercera part dels assistents a un congrés són americans i 3/10 són asiàtics. Dels restants, 6/11 són europeus i 25 són africans. Quantes persones van assistir al congrés?

54. Dues caixes de pomes es posen a la venda a 2,50 € el quilo. La primera, que representa 5/12 del total, es ven per 50 €. Quants quilos de pomes hi havia en cada caixa?

55. Expressa en notació científica el nombre de segons que té un any. Quina edat tindrà una persona que hagi viscut 2.000 milions de segons?

56. L’ordinador xinès Tianhe-2 pot fer 34.000 bilions d’operacions per segon. Calcula quantes operacions pot fer en 1 mil·lisegon, en 1 microsegon i en 1 nanosegon.

57. La superfície forestal mundial ha disminuït en 4,7 milions d’hectàrees anuals des de 2010, segons l’avaluació dels recursos forestals mundials que fa la FAO. Calcula quantes hectàrees de boscos s’han perdut fins al 2020 i compara aquesta xifra amb la superfície total de Catalunya.

58. L’any 2020, Jeff Bezos, el multimilionari que va viatjar a l’espai per impulsar un negoci de vols espacials, va fer una donació caritativa de 1010 $ amb l’objectiu de combatre el canvi climàtic. Aquell any, la seva fortuna va passar d’1,14 · 1011 $ a 1,79 · 1011 $. Quin percentatge dels seus guanys va aportar en la donació? Quant hauria d’aportar una persona que guanyés 18.490 €/any per fer una donació que li suposés el mateix esforç econòmic?

59.  La gran zona de deixalles anomenada illa de plàstic del Pacífic està creixent a gran velocitat. Una notícia afirma que aquesta àrea de residus ocupa uns 1,6 milions de km2, és a dir, gairebé tres vegades la superfície de França, i conté unes 80.000 tones de plàstic.

a) Expressa les dades en notació científica.

b) Calcula, a partir d’aquestes dades, la superfície de França. Després, busca per internet quina és realment la superfície de França i comprova la veracitat de la notícia.

60. La longitud mitjana d’un bacteri és de 2 µm, que correspon a 2 · 10–6 m. Al món hi ha aproximadament 5 · 1030 bacteris. Si es posessin l’un darrere l’altre, quants quilòmetres mesuraria la fila? A quants anys llum correspon aquesta distància?

61. Un centímetre cúbic d’aigua conté 3,35 · 1022 molècules d’aigua. Si al nostre planeta hi ha, aproximadament, 1,39 · 109 km3 d’aigua, quantes molècules d’aigua hi ha a la Terra? I en un got de 2/5 de litre?

62. En un triangle rectangle, la hipotenusa mesura 26 m i un dels catets, 23 m. Quant mesura l’altre catet? I l’àrea del triangle? Dona els valors exactes, és a dir, amb radicals.

63. Segons dades del Ministeri de Transició Ecològica, les centrals tèrmiques d’una comunitat autònoma han emès 5,96 milions de tones de CO2 l’any 2020. L’emissió mitjana dels cotxes nous de gasolina és de 143 g/km i la dels elèctrics, de 68 g/km.

a) S’estima que un cotxe nou recorre 25.000 km a l’any. Quantes tones anuals de CO2 emet un vehicle nou de gasolina? I un d’elèctric?

b) A quants cotxes nous de gasolina equival la quantitat de CO2 emesa per les centrals l’any 2020?

64. El volum d’un cub és de 1.728 cm3. Calcula quant mesuren l’aresta, l’àrea total, la diagonal d’una cara i la diagonal del cub.

65.  La galàxia M87, que es troba a 50 milions d’anys llum de la Terra, té un forat negre el diàmetre del qual és de 60 anys llum i la massa del qual és de dos mil milions de vegades la massa del Sol.

a) Calcula la massa del forat negre en quilograms. La massa del Sol és, aproximadament, 2 · 1030 kg)

b) Expressa, en quilòmetres, la distància d’aquesta galàxia a la Terra i el diàmetre del forat negre.

66. Troba el volum d’un con de 18 cm de generatriu i36 cm de radi de la base.

Vcon = 3 1 πr2h

67. El volum de la Lluna és d’1,76 · 1011 km3. Quants quilòmetres fa el seu radi? Utilitza la calculadora i dona el resultat en notació científica.

Vesfera = 4 3 πR3

68. El VCM (volum corpuscular mitjà) és el volum mitjà dels glòbuls vermells. En una adolescent, el VCM és de 90 femtolitres (1 f L = 10–15 L ). Si té uns 5 L de sang i 5 milions de glòbuls vermells per microlitre, quants litres ocupen, de mitjana, els glòbuls vermells d’una adolescent?

69. Troba el perímetre i l’àrea del rectangle ABCD sabent que AB = 3 + 2 cm i BC = 1 +22 cm. Escriu les respostes en la forma a + b 2 , en què a i b són nombres naturals.

70. Les càpsules d’un fàrmac estan formades per dues semiesferes de 7 mm de diàmetre i un cilindre de 14 mm d’altura. Un laboratori produeix 4 tones d’aquest fàrmac i vol envasar-lo en càpsules que continguin 600 mg cada una.

Quantes càpsules pot produir? Troba el volum de cada càpsula.

Resol: una mica més difícil

71. Calcula per tempteig els dígits que falten en aquestes igualtats i completa-les:

72. Escriu el signe (+, –, · o :) corresponent a cada buit perquè es compleixin aquestes igualtats:

73. Si, a cada un dels dos termes d’una fracció irreductible, hi sumem el denominador, i de la fracció resultant en restem la fracció inicial, obtenim de nou aquesta fracció. De quina fracció es tracta?

74. Una aixeta omple un dipòsit d’aigua en 9 hores. Si a més de l’aixeta s’obre el desguàs, llavors el temps que tarda a omplir-se és de 36 hores. Si obrim el desguàs mentre l’aixeta està tancada, quant temps tardarà a buidar-se el dipòsit?

75. Prova que el nombre 3  +  2 és l’invers del nombre 3  –  2 (recorda que el seu producte ha de ser igual a 1). Són inversos els nombres67 1 + i 7  –  6 ?

76. Escriu els dígits que falten en aquestes igualtats:

a) 12 34 44 = b) ·8 6 44 =

c) 6 61044 += d) 3–7144 =

77. Tenim un quadrat de costat 1 + 3 cm i un rectangle d’1 cm d’altura i base variable.

a) Quina ha de ser la base del rectangle perquè les dues figures tinguin el mateix perímetre?

b) Quant ha de mesurar la base perquè l’àrea del quadrat sigui el doble de la del rectangle?

78. Si el radi d’un CD mesura 6 cm, és possible ficar-lo en un sobre quadrat de 16 cm de diagonal? I de 17 cm de diagonal?

Reflexiona

79. Cert o fals? Raona la resposta i posa’n exemples:

a) Hi ha nombres decimals que no són racionals.

b) El quocient de dos nombres decimals exactes és sempre un decimal exacte.

c) En sumar dos nombres decimals periòdics purs s’obté sempre un decimal periòdic pur.

d) Tots els nombres enters es poden expressar en forma de fracció.

e) Si dues fraccions positives són més petites que 1, el seu producte pot ser més gran que 1.

f) En dividir dos nombres decimals periòdics s’obté un decimal periòdic.

80. Busca quatre fraccions compreses entre 11 1 i 1 12 . Quantes n’hi ha?

81. Divideix entre 11 els nombres de l’1 al 10 i anota els resultats:

a) Quants decimals diferents pots obtenir?

b) Això té a veure amb el fet que estiguem dividint entre 11?

c) Pots predir el resultat de 23 : 11? I el de 40 : 11?

82. Si escrivim en forma decimal la fracció 20/13, quina xifra ocupa el lloc 50? Seria la mateixa que la que ocupa el lloc 100?

83. Si b a d c 01 << < , quina d’aquestes afirmacions és certa?

a) · b a b a d c 1 << b) b a d c d c ·> c) b a d c 1 ·>

84. Justifica quin ha de ser el valor de a, en cada cas, perquè es verifiquin aquestes igualtats:

a) a 3 = 26 b) a –1 = 2 c) a 5 4 =

d) a 4 = 1 e) a –2 = 4 1 f) a –5 = –1

85. Certs o fals? Justifica la resposta i posa’n exemples:

a) La potència d’un nombre negatiu pot ser igual a 1.

b) Si x < 0, llavors –x 3 > 0.

c) –x 2 és sempre un nombre positiu.

d) El cub d’un nombre negatiu és sempre més petit que aquest nombre.

e) Si a2  = b2, podem afirmar que a = b

f) Un nombre enter i el seu quadrat sempre són o tots dos parells o tots dos imparells.

g) La meitat de 64 és 32

86. Escriu cada un d’aquests nombres de la forma

2p · 5q, en què p i q són nombres enters:

a) 1.000 b) 500–1 c) 80–2 d) 0,256 e) 0,05

87. Quins són el MCD i el MCM dels nombres següents?

3 · 103 4 · 104 5 · 105 6 · 106

88. Cert o fals?

a) ()22 –2 = b) () 2 2 1 3 3 –=

c) 16259 += d) ()()101010 4 =

e) 5032 182 1 ––= f) 82+=1535 +

89. Si a 2 = b 2, què podem afirmar de a i b ?

90. Ordena els nombres n, n2 , n i 1/n en els casos següents:

a) Si n > 1. b) Si 0 < n < 1.

91. Quin resultat obtindràs si fas aquesta operació amb la teva calculadora? Justifica la resposta.

10 10100 20 20 +

92. Troba el nombre de xifres que tenen les potències 28, 58 i 108. Fes el mateix amb 211, 511 i 1011. Pots deduir-ne cap regla?

Si la potència 2456 té m xifres i 5456 té n xifres, quantes xifres tindrà 10456?

» TALLER DE MATEMÀTIQUES

» FES SERVIR L’ENGINY

Repartiment de camells

Un beduí tenia 17 camells, que va deixar en herència als seus tres fills. En el seu testament deia això: Al meu fill gran, l’Alí, li deixo la meitat dels meus camells; al segon, en Hamed, la tercera part, i al petit, en Harim, la novena part.

Els tres fills discutien acaloradament perquè no veien la manera de repartir-se els camells d’acord amb el criteri del pare. I aleshores va passar per allà un viatger amb el seu camell. Els va preguntar què passava i li van explicar el seu problema. El viatger, un hàbil matemàtic, els va fer aquesta proposta:

«Als vostres 17 camells hi afegeixo el meu. Ara n’hi ha 18. La meitat, 9, són per a l’Alí; la tercera part, 6, són per a en Hamed, i la novena part, 2, per a en Harim: 9 + 6 + 2 = 17

Tots tres quedeu satisfets i jo recupero el meu formós camell.»

Com és possible?! Quan es fa un repartiment, la suma de les fraccions en què es parteix el tot ha de ser 1. Però segons el testament:

1 3 11 29 18 17 ++ = , que és més petit que 1.

El vell beduí no havia repartit tota la seva herència! 9

» LLEGEIX I CALCULA

Acabats d’arribar

Es considera que l’edat de l’univers és d’uns quinze mil milions d’anys (15 · 109 anys). Gairebé res!

Per fer-nos-en una idea, suposa que comprimim tota la història de l’univers en un dels nostres anys i fixa’t en aquestes dades:

– Segons aquesta escala, el Sol hauria nascut a finals de juliol (fa uns 5 · 109 anys) i la Terra, a mitjans d’agost (fa 4,6 · 109 anys).

– Els dinosaures haurien viscut, aproximadament, un dia i mig, cap al 23 o el 24 de desembre (fa 250 milions d’anys).

– L’espècie humana amb prou feines ocuparia els tres o quatre últims minuts de l’any.

– I la teva vida (15 anys), només tres dècimes de segon. Menys del que dura l’última campanada de la nit de Cap d’Any!

Les restes més antigues atribuïdes a l’Homo sapiens daten de fa uns 300.000 anys. Si comprimíssim tota la història de la nostra espècie en un sol any, en quin punt del calendari tindrien lloc la construcció de les piràmides de Guiza (2500 aC), el naixement de Jesucrist i la invenció de la impremta (1440)? Quant temps duraria la teva vida en aquest calendari?

POSA’T A PROVA

1. Calcula i simplifica el resultat:

·: 1 5 3 8 5 3 1 1 5 2 – ++cm

2. Escriu tres fraccions de manera que la primera doni lloc a un decimal exacte, la segona a un periòdic pur i la tercera a un periòdic mixt.

3. Classifica en decimals exactes o periòdics sense fer la divisió:

50 89 12 113 32 23 7 18

4. Passa els decimals a fraccions i calcula el resultat d’aquesta operació:

,, ·,0181 1 189 11 8 –+ dn # !

5. Opera:

(–3)–2 + 4 3 cm – 2–3 1 1 2 –cm

6. Simplifica:

a) ab ab 6 3 21 2 ––b) a b a 3 2 –– c b m l

c) b a b a 2 3 4–bl d) : () a b a b 3 4 21 ––– cm

7. Aplica les propietats de les potències per simplificar aquesta expressió:

·( ) () 129 62 · –4 2 3 2–

8. Expressa en notació científica:

a) 758 · 10–5 b) 0,035 · 1013

c) 101 · 1011 d) 0,1001 · 10–7

9. Resol i, després, comprova el resultat amb la calculadora:

a) (3,5 . 107) . (8 . 10–13)

b) (9,6   10–8) : (3,2   1010)

c) (2,7 . 108) + (3,3 . 107)

10. Simplifica quan sigui possible:

a) 327 b) 3 2 1 3+

c) ·· 5 45 59 –+ d) 54 22 –3 3

11. Cert o fals?

a) Totes les fraccions són nombres racionals.

b) Tots els nombres racionals són fraccionaris.

c) Una fracció sempre equival a un nombre decimal periòdic.

d) Un nombre decimal periòdic és racional.

e) L’exponent d’una potència no pot ser un nombre negatiu si la base és negativa.

f) Una potència amb exponent negatiu és sempre negativa.

12. La cinquena part de les persones apuntades en un poliesportiu tenen més de 60 anys i dues de cada tres tenen entre 25 i 60 anys.

a) Quina fracció d’aquestes persones té 25 anys o menys?

b) Si hi ha 525 persones apuntades, quantes n’hi ha de cada grup d’edat?

13. Amb la tercera part de l’oli que tinc en un bidó, puc omplir 20 ampolles de 3/5 de litre. Quants litres hi havia al bidó? Quantes ampolles de 3/4 de litre podré omplir amb la resta?

14. Tres empresàries inverteixen en un negoci. La primera aporta 1/3 del capital, la segona 2/5 i la tercera la resta.

a) Quina inverteix més diners?

b) Després de tres anys, es reparteixen els beneficis i a la tercera li corresponen 20.000 euros. A les altres dues, quants euros els corresponen?

15. La reserva de gas natural més gran de l’Àsia central conté un volum de 9 1011 m3. Si la seva producció anual és d’1,8 1013 litres i es manté el mateix ritme al llarg del temps, quants anys es podrà explotar aquest recurs energètic?

» QUANTES ESTRELLES HI HA A L’UNIVERS?

L’Aina és una gran aficionada a l’astronomia. Avui, en un blog de divulgació científica, ha llegit una afirmació que l’ha sorprès. No s’ho podia imaginar!

«Hi ha més estrelles a l’univers que grans de sorra a totes les platges de la Terra.»

No té ni idea de si hi ha més estrelles o grans de sorra, perquè no és capaç d’imaginar-se aquests nombres.

Seríeu capaços de dir quants grans de sorra hi ha a totes les platges de la Terra? I la quantitat d’estrelles que hi ha a l’univers?

ANEM PAS A PAS

1. L’Aina visita sovint la cala Cap Roig, a Sant Antoni de Calonge, i vol estimar el nombre de grans de sorra que hi pot haver.

• Ha trobat que les dimensions de la cala són les següents: 35 m de longitud, 10 m d’amplada i 20 m de profunditat.

• Ara vol saber quants grans de sorra hi ha en un mil·límetre cúbic. Omple de sorra un got de joguina molt petit i, amb l’ajuda d’una lupa, compta que hi ha 40 grans. A continuació, fa servir el got 45 vegades per omplir una cassola de joguina. Tot seguit, aboca 27 vegades el contingut de la cassola per omplir un cub de 4 cm3

a) Quants grans de sorra estimeu que hi ha en 1 mm3?

b) A partir d’això, feu un càlcul aproximat del nombre total de grans de sorra que hi ha a la cala Cap Roig.

2. Al món hi ha uns 300.000 km de platges. Podem estimar que cada una té, de mitjana, 50 m d’ample i 25 m de profunditat.

A partir del nombre de grans de sorra que hi ha en 1 mm3, obtinguts en l’activitat anterior, responeu a aquesta pregunta: Quants grans de sorra hi ha a les platges de la Terra?

3. La nostra galàxia, la Via Làctia, té uns 200.000 milions d’estrelles (2 · 10 11 estrelles). És una galàxia típica, però n’hi ha de nanes, amb 107 estrelles, i de gegants, amb 1014.

Actualment s’estima que hi ha aproximadament 2 · 1012 galàxies a l’univers. En el futur veurem què ens diu el prometedor telescopi espacial James Webb.

a) Esbrineu quantes estrelles hi ha a l’univers a partir d’aquesta estimació del nombre de galàxies. Considereu que totes les galàxies són com la Via Làctia.

b) Amb aquests resultats, podem considerar que l’afirmació de Carl Sagan és certa?

RESOLEM

4. Busqueu a internet el nombre de quilòmetres quadrats que ocupen els deserts de sorra fina de la Terra i la profunditat mitjana que tenen, i feu una estimació del nombre de grans de sorra que hi ha als deserts.

Mirall del telescopi espacial James Webb. NASA

5. Estimeu el nombre de gotes d’aigua que hi ha als oceans. Per obtenir el volum d’una gota d’aigua, feu servir un procediment similar a l’utilitzat per l’Aina per determinar quants grans de sorra hi ha en un millímetre cúbic.

6. Si col·loquéssiu en una filera, enganxats, tots els grans de sorra de totes les platges que heu calculat abans, quina longitud tindrien?

PENSEM-HI

7. Què en penseu, del nombre d’estrelles que hi ha a l’univers? És una quantitat inabastable? Utilitzant la notació científica que heu après, creieu que podríeu expressar qualsevol quantitat imaginable?

Reflexioneu sobre l’ODS 11: Ciutats i comunitats sostenibles. Què heu Penseu-hi!après?

Treballeu en equip.

8. Actualment la qualitat del cel nocturn és un problema per a l’observació de les estrelles. Avalueu aquest factor a la vostra localitat i indiqueu com es podria millorar.

D’APRENENTATGE

U N I T A T 2

PROBLEMES ARITMÈTICS

D’APRENENTATGE

ESTALVI AMB PREMI

Els pares de l’Anna i en Marc volen que els seus fills estalviïn. Per aconseguir-ho, arriben a un acord amb ells: els diners que tinguin a la guardiola al llarg d’un mes s’incrementaran en un 10 %.

L’Anna decideix que deixarà els seus 100 € durant el primer mes i, així, es convertiran en 110  € gràcies a l’augment. Durant el segon mes, conserva aquesta suma i aconsegueix un total de 121  €. És a dir, l’Anna manté a la guardiola tant el seu capital com els interessos generats.

En Marc conserva els seus 100  € a la guardiola, però es guarda els interessos mensuals en el seu moneder per si els necessita gastar.

PENSEU-HI!

• Quin sistema d’estalvi faríeu servir? Per què?

• En què invertiríeu els diners estalviats? Com afrontaríeu el pagament d’una despesa mensual?

Càlculs

Problemes clàssics

Proporcionalitat composta en problemes aritmètics

Interès compost

1. APROXIMACIONS I ERRORS

Quantitats exactes i quantitats aproximades

Les quantitats que hi ha en aquestes afirmacions, sens dubte, són exactes:

13 anys.

Tanmateix, evidentment, aquestes altres són aproximades:

M’he gastat 100 € en la compra del dia. A la funció hi van assistir 300 persones. El iot fa 50 m d’eslora.

En el llenguatge corrent utilitzem moltes quantitats: les unes són exactes i les altres són aproximades. En molts casos és evident de quin tipus són; en d’altres el context ens ajuda a entendre si es tracta d’un tipus o de l’altre.

Per què s’utilitzen quantitats aproximades?

Utilitzem nombres aproximats amb molta més freqüència del que som conscients. Ho fem per un d’aquests motius:

• Perquè desconeixem la quantitat exacta. Per exemple:

– Quina distància he recorregut avui en el meu entrenament? No conec la distància exacta, però podria dir «més de 12 km», o bé «entre 12 i 13 km» o bé «12.400 m». En aquest últim cas, encara que no ho diguem, s’entén que poden ser 100 m més o 100 m menys.

• Perquè, encara que coneixem la quantitat exacta, no considerem necessari o convenient dir-la amb total precisió. Per exemple:

– Si algú guanya 30.458,24 € l’any, probablement, quan parli del seu sou, dirà, simplement, que és de 30.000 €

– Perquè, el nombre de visitants de pagament a un museu l’últim any ha estat de 38.148 (es coneix amb exactitud per les entrades venudes). Tanmateix, en donar la notícia a la premsa, seria raonable dir que han estat «gairebé quaranta mil» o bé «trenta-vuit mil».

L’Andreu té 3 fills i 7 nets.

La classe de pilates em costa 23 € l’hora. L’Èric fa

Nombre de xifres significatives

Les estimacions que fem en la vida quotidiana, sense pretendre que siguin gaire precises, tenen una o, a tot estirar, dues xifres significatives:

«aquestes cases costen quatrecents vint mil euros»

Una quantitat expressada amb tres xifres aproxima molt la mesura. El camp de la ciència és l’únic en què es necessiten precisions de quatre o més xifres.

Xifres significatives

L’altura a la qual vola un avió es pot expressar de diverses formes (ens fixem en el nombre de xifres que utilitzem en cada cas):

9 km → només una xifra

9,2 km → dues xifres

9.200 m → quatre xifres (o, potser, només dues?)

9.246 m → quatre xifres

És clar que com més xifres s’utilitzen, amb més precisió s’està expressant la mesura. Però, de vegades, no és convenient fer-ne servir gaires. És raonable que l’altura d’un avió s’expressi aproximant fins als metres?

Fixem-nos ara en la mesura 9.200 m. Han volgut ser exactes fins als «metres» o només fins als «centenars de metres»? Molt probablement deu ser això últim i, en aquest cas, els dos zeros finals no són xifres significatives.

S’anomenen xifres significatives aquelles amb les quals s’expressa un nombre aproximat. Només s’han d’utilitzar aquelles l’exactitud de les quals ens consti. Els zeros del final d’un nombre no són xifres significatives si només s’han utilitzat per poder expressar la quantitat en la unitat desitjada (9.200 m en lloc de 92 centenars de metres).

Si el nombre està expressat en notació científica, les xifres significatives són les que hi ha en el nombre decimal que multiplica la potència de base 10. Per exemple, 3,4 · 105 i 3,40 · 105 no són el mateix nombre aproximat: quant al primer (amb dues xifres significatives), només controlem fins al 4, mentre que, quant al segon (amb tres xifres significatives), assegurem que la xifra posterior al 4 és un 0.

Control de l’error comès

És clar que, quan expressem una mesura aproximada, estem cometent un error, que consisteix en la diferència, en valor absolut, entre el valor exacte (o real) i el valor aproximat. Se’n diu error absolut.

9,3

9,25

9,2

9,15

9,1

Error absolut = |Valor real – Valor aproximat|

En general, l’error absolut és desconegut (perquè no es coneix el valor real), però pot controlar-se. Per exemple, en dir que l’altura de l’avió és 9,2 km, es pot saber que l’error comès és més petit que 0,05 km = 50 m, ja que, si es diu 9,2, és perquè és més a prop d’aquesta mesura que de 9,1 i que de 9,3.

No és el mateix cometre un error de 50 m en mesurar l’altura d’un avió que en mesurar l’altura d’un edifici o l’altura d’un satèl·lit. Per això es defineix l’error relatiu com el quocient entre l’error absolut i la mesura exacta.

Error relatiu = Valorreal Errorabsoluto Error absolut

Igual que l’error absolut, l’error relatiu també és, gairebé sempre, desconegut. Per controlar-lo, caldria donar una cota d’aquest. No obstant això, en aquest curs no ho farem; ens conformarem a saber que, com més xifres significatives s’utilitzin per expressar la mesura aproximada, més petit serà l’error relatiu comès.

PROBLEMES RESOLTS

1. Expressa amb un nombre raonable de xifres significatives aquestes quantitats:

a) Trucades a urgències d’una comunitat en un any: 5.117.341.

b) Assistents als carnavals d’una ciutat: 137.223.

c) Cèl·lules que hi ha al cos humà: 29.845.237.821.984.

a) Aquesta quantitat pot ser exacta, ja que totes les trucades fetes a urgències queden comptabilitzades en una base de dades. Tanmateix, per comunicar aquesta dada, sembla més raonable utilitzar un nombre amb menys xifres significatives. Per exemple, «una mica més de cinc milions de trucades» o bé «cinc coma un milions de trucades».

b) Sembla impossible conèixer aquesta quantitat amb tanta precisió. No es pot afinar tant. Seria més raonable dir que hi han assistit «unes 140.000 persones» o donar un interval: «entre 130.000 i 140.000 persones».

c) Una o, a tot estirar, dues xifres significatives és el que podem conèixer amb precisió en aquest tipus de quantitats: 3 desenes de bilions de cèl·lules o 30 bilions de cèl·lules.

2. L’altura d’un edifici és de 92 m, la d’un avió 9,2 km i la d’un satèl·lit artificial 920 km. Què podem dir de l’error absolut i de l’error relatiu d’aquests mesuraments?

3. Compara els errors relatius comesos en aquests mesuraments:

a) 87 m b) 453 km

c) 5 km d) 4,53 · 1011 km

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

L’error absolut té a veure amb les xifres que no apareixen en l’enunciat; és a dir, les posteriors a l’última xifra utilitzada.

Altura de l’edifici: 92 m Error absolut < 0,5 m

Altura de l’avió: 9,2 km Error absolut < 0,05 km = 50 m

Altura del satèl·lit: 920 km Error absolut < 5 km = 5 000 m

Una cota de l’error absolut és 5 unitats de la primera xifra no utilitzada. L’error relatiu és el mateix en els tres casos, ja que en tots s’utilitzen les mateixes xifres significatives. (Hem suposat que, en l’últim cas, el 0 no és cap xifra significativa. Hauríem d’haver dit 92 desenes de quilòmetres.)

L’error relatiu més gran es produeix en el mesurament de 5 km, ja que només té una xifra significativa.

L’error relatiu més petit es produeix en els mesuraments 453 km i 4,53 . 1011 km, perquè es fan servir tres xifres significatives.

1. Expressa amb un nombre de xifres significatives que et sembli raonable les quantitats següents:

a) Nombre d’assistents a tots els concerts que hi va haver l’any 2017 a Catalunya: 2.893.040.

b) Nombre d’abelles que pertanyen a un cert rusc: 78.421.

c) Altura (en centímetres) que té la torre Burj Khalifa (Dubai): 82.816.

d) Nombre d’estrelles que componen la galàxia Andròmeda: 985.428.372.491.

e) Població mundial: 8.060.542.910 habitants.

f) PIB (producte interior brut) del 2022 a Catalunya: 270.710.048.180 €.

2. Què podem dir de l’error absolut i de l’error relatiu d’aquests mesuraments?

a) Volum d’una banyera, 326 L.

b) Volum d’una piscina, 326 m3.

c) Volum d’un pantà, 326 hm3.

d) Volum d’un asteroide, 3,26 · 106 km3.

3. Compara l’error relatiu comès en fer les pesades següents:

a) Una balena, 37 tones.

b) Un gall dindi, 3 kg.

c) El senyor Anselm, 87,3 kg.

d) La Terra, 5,972 · 1021 tones.

2. CÀLCULS AMB PERCENTATGES

CÀLCUL MENTAL

Expressa en forma decimal els percentatges següents:

a) 10 % b) 7 % c) 1 %

d) 160 % e) 127 % f) 5 %

Quin tant per cent representa cada quantitat respecte del seu total?

a) 15 respecte de 30.

b) 5 respecte de 20.

c) 2 respecte de 10.

d) 30 respecte de 3.000.

e) 3 respecte de 4.

Càlcul ràpid

de percentatges

Observa la igualtat següent:

a % de b = b % de a Explica per què passa això.

Aquesta igualtat ens ajuda a fer alguns càlculs mentals amb percentatges que inicialment ens poden semblar difícils. Per exemple:

• El 12 % de 50 és igual que el 50 % de 12, que és 6.

• El 12 % de 75 és igual que el 75 % de 12, que és 9.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

Càlcul d’un tant per cent d’una quantitat

El 16 % de 5.000 és 100 16 · 5.000 = 0,16 · 5.000 = 800.

El tant per cent (16 %) l’hem presentat en forma decimal (0,16).

Per trobar un tant per cent d’una quantitat, s’expressa el tant per cent en forma decimal i es multiplica la quantitat per aquest valor.

Obtenció del tant per cent corresponent a una proporció

En una població de 5.000 persones, 800 són menors d’edat. Quin percentatge del total representen?

Percentatge de menors d’edat : .5000 800 = 0,16, que correspon al 16 %.

Per trobar quin tant per cent representa una quantitat, a, respecte d’un total, C, es calcula C a i es multiplica per 100.

PROBLEMES RESOLTS

4. Calcula el 35 % de 3.780 € i el 160 % de 36.200 persones.

• 35 % ∼ 0,35 (35 centèsimes)

Per tant, 35 % de 3.780 € és 3.780 · 0,35 = 1.323 €.

• 160 % 1,60 (160 centèsimes)

Per tant, 160 % de 36.200 persones és 36.200 · 1,60 = 57.920 persones.

5. Quin tant per cent representen 3.634 m2 respecte de 15.800 m2?

. 15800 3634 · 100 = 23. Per tant, 3.634 m2 són el 23 % de 15.800 m2

4. Indica el tant per cent corresponent a cada un d’aquests decimals:

a) 0,1 b) 0,5 c) 0,9 d) 0,25

e) 1 f) 1,5 g) 1,1 h) 2

5. Calcula:

a) El 24 % de 300. b) El 112 % de 560.

c) El 3 % de 83.200. d) El 30 % de 83.200.

6. Calcula el tant per cent que representa:

a) 45 respecte de 225.

b) 6.160 respecte de 56.000.

c) 4.230 respecte de 9.000.

d) 1.922 respecte de 1.240.

e) 6.000 respecte de 4.000.

f) 975 respecte de 32.500.

Càlcul d’augments percentuals

Un rellotge de 50 € augmenta el seu preu un 16 %. Quant val ara?

Amb el que sabem fins ara, podríem resoldre el problema així:

Augment: 50 · 0,16 = 8 €

AUGMENT D’UN 16%

1,16

LA QUANTITAT, 1 MÉS 16 CENTÈSIMES

CÀLCUL MENTAL

Quin índex de variació correspon a aquests augments percentuals?

a) 25 % b) 5 % c) 40 % d) 80 % e) 110 % f) 200 %

Quin índex de variació correspon a aquestes disminucions percentuals?

a) 25 % b) 5 % c) 40 % d) 15 % e) 88 % f) 1 %

Preu final: 50 + 8 = 58 €

Però observem que, si el preu s’apuja un 16 %, el nou preu és el 116 % de l’anterior. Per això, per obtenir-lo, es pot multiplicar directament 50 per 1,16:

50 · 1,16 = 58 €

1,16 és 1 + 0,16 (la quantitat més 16 centèsimes)

El nombre pel qual cal multiplicar la quantitat inicial per obtenir la quantitat final s’anomena índex de variació

En augments percentuals, l’índex de variació és 1 més l’augment percentual expressat en forma decimal.

Per calcular el valor final, troba l’índex de variació i multiplica’l per la quantitat inicial:

valor final = valor inicial · índex de variació

Càlcul de disminucions percentuals

Una nevera valia 620 €. Es rebaixa un 40 %. Quant val ara?

Si traiem un 40 % del preu inicial, queda el 60 %. El seu preu final és aquest:

620 · 0,60 = 372 €

0,60 és la unitat menys 40 centèsimes: 1 – 0,40 = 0,60

En una disminució percentual, l’índex de variació és 1 menys la disminució percentual expressada en forma decimal.

Per calcular el valor final, troba l’índex de variació i multiplica’l per la quantitat inicial:

valor final = valor inicial · índex de variació

PROBLEMA RESOLT

6. L’aigua recollida en un pantà, 690 hm3, ha disminuït un 23 %. Quanta aigua hi ha ara?

1 – 0,23 = 0,77 → 690 · 0,77 = 531,3 Ara hi ha 531,3 hm3 d’aigua al pantà.

7. Unes accions que, a començaments d’any, valien 13,70 € s’han apujat un 35 %. Quant valen ara?

8. En una comarca hi havia 69.580 persones a l’atur. Han disminuït un 15 %. Quantes n’hi ha ara?

CÀLCUL MENTAL

CÀLCUL MENTAL

Digues la quantitat inicial si sabem que:

a) Augmenta un 50 %; Q. final = 1.500.

b) Augmenta un 50 %; Q. final = 3.000.

c) Augmenta un 25 %; Q. final = 125.

d) Augmenta un 25 %; Q. final = 250.

e) Disminueix un 50 %; Q. final = 400.

f) Disminueix un 40 %; Q. final = 600.

PROBLEMES RESOLTS

7. Demà se celebra el dia sense IVA en una botiga de productes tecnològics. Si l’IVA és del 21 %, indica quant costarà cada un dels articles següents:

• Televisor: 992,20 €

• Tauleta: 199,65 €

• Patinet elèctric: 302,50 €

8. En uns grans magatzems, tots els articles s’han rebaixat un 35 %. Hem comprat un quadre per 195 € , una bicicleta per 78 € i un llibre per 14,30 € . Quant valia cada article abans de les rebaixes?

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

Càlcul

de la quantitat inicial coneixent la variació percentual i la quantitat final

Un ordinador ha augmentat de preu un 35 % i ara costa 783 €. Quant valia abans d’apujar-ne el preu?

PREU INICIAL

Observa l’esquema següent:

PREU INICIAL

· 1,35 : 1,35

· 1,35 : 1,35

PREU FINAL

PREU INICIAL · 1,35 = PREU FINAL

PREU INICIAL = PREU FINAL : 1,35

Preu inicial de l’ordinador = 783 : 1,35 = 580 €

PREU INICIAL · 1,35 = PREU FINAL

PREU INICIAL = PREU FINAL : 1,35 PREU FINAL

Si coneixem la quantitat final que resulta després d’haver aplicat una variació percentual, la quantitat inicial s’obté dividint la quantitat final per l’índex de variació.

quantitat inicial = quantitat final : índex de variació

L’índex de variació és 1 + 0,21 = 1,21.

Per tant:

• Preu del televisor sense IVA:

992,20 : 1,21 = 820 €

• Preu de la tauleta sense IVA:

199,65 : 1,21 = 165 €

• Preu del patinet elèctric sense IVA: 302,50 : 1,21 = 250 €

En els tres casos, l’índex de variació és 1 – 0,35 = 0,65.

Per tant, els preus dels articles abans de les rebaixes eren aquests:

Quadre → 195 : 0,65 = 300 €

Bicicleta → 78 : 0,65 = 120 €

Llibre → 14,30 : 0,65 = 22 €

9. El preu d’una batedora, després d’aplicar-hi un 21 % d’IVA, és de 72,60 €. Quin era el seu preu abans de carregar-hi aquest impost?

10. En estirar una goma elàstica, la seva longitud augmenta un 30 % i, en aquesta posició, fa 104 cm. Quant fa sense estirar?

11. En Robert ha aprofitat les rebaixes del 30 % que fan en una botiga i s’ha comprat una càmera fotogràfica per 50,40 €. Quin era el preu inicial de la càmera?

12. Un carter ha repartit el 36 % de les cartes que tenia. Encara n’hi queden 1.184. Quantes en tenia abans de començar el repartiment?

Encadenament de variacions percentuals

Una quantitat augmenta un 25 % i, després, el resultat augmenta un 33 %. Quin ha estat el percentatge d’augment total?

Per encadenar augments i disminucions percentuals, es multipliquen els índexs de variació dels passos successius.

PROBLEMES RESOLTS

9. Unes accions que valien 1.000 € s’apugen el 60 %. Després, tornen a apujar­se el 25 %. Quin és el percentatge total de pujada?

10. Una guitarra de 800 € s’apuja el 50 %. Després, s’abaixa el 50 %. Queda igual el preu?

pujada total: 1.000 € ⎯⎯→ 2.000 €

Evidentment, la pujada total és del 100 %. Com s’obté directament? Vegem-ho: 1,60 · 1,25 = 2. És a dir, la quantitat inicial, 1, més 100 centèsimes. La pujada és del 100 %.

11. El preu d’una rentadora de 520 € s’apuja un 10 %; després, s’apuja un altre 25 % i, finalment, s’abaixa un 30 %.

a) Quin és el seu preu final?

b) Quin és l’índex de variació total? A quin percentatge d’augment o de disminució correspon?

El preu no queda igual. En total, s’abaixa 200 €.

1a variació · índex 2a variació

1,50 · 0,50 = 0,75 = 1 – 0,25. Correspon a una baixada del 25 %.

El preu final és 520 · 1,10 · 1,25 · 0,70 = 500,50 €.

b) L’índex de variació total és 1,10 · 1,25 · 0,70 = 0,9625.

Com que 0,9625 és més petit que 1, hi ha hagut una disminució. De quant?

1 – 0,9625 = 0,0375 = , 100 375 . La disminució ha estat d’un 3,75 %.

13. Un comerciant augmenta el preu dels seus productes un 30 % i, després, els vol tornar a deixar al preu inicial i els rebaixa un 30 %. Ho aconseguirà? Vegem-ho.

a) Un ordinador que inicialment costava 1.000 €, quant costarà en cada pas del procés?

b) Quina és la variació percentual que experimenten els articles respecte del preu inicial?

14. Un capital de 42.000 € es diposita en un banc al 5 % anual. En quina quantitat s’haurà convertit en un any? I en dos anys? I en tres anys?

Nomenclatura

Si el banc paga els interessos cada mes, es diu que el període de capitalització és mensual

PROBLEMES RESOLTS

12. Un banc paga el 4,8 % anual per dipòsits a termini fix. Dipositem 160.000 €. Quants diners podrem retirar al cap de 4 anys?

13. En quina quantitat es transformen 160.000 € dipositats 4 anys al 4,8 % anual, si el període de capitalització és mensual?

3. INTERÈS COMPOST

Si dipositem una certa quantitat C de diners en un compte d’estalvis d’una entitat bancària, aquesta ens paga interessos. Si el tipus d’interès pactat és, per exemple, un 6 % anual, en complir-se un any del dipòsit, el banc ens dona el capital C i uns interessos de C · 0,06. És a dir, ens torna C · 1,06.

C 1 any al 6 % ⎯⎯⎯⎯⎯→ C · 1,06 Si en comptes d’emportar-nos els diners els deixem tot un any més, la quantitat creix novament un 6 %. És a dir, es torna a multiplicar per 1,06:

C 2 anys al 6 % ⎯⎯⎯⎯⎯→ (C · 1,06) · 1,06 = C · 1,062

I així successivament, si els deixem sense tocar durant n anys, llavors:

inicial 1 any

C 1,06C 1,06 · (1,06C ) = 1,062C 1,06nC

· 1,06

· 1,06 2 anys n anys

El capital final CF al cap de n anys de dipositar un capital C al r % anual és:

CF = C · r 1 100 n + bl

Si el banc estigués disposat a pagar els interessos al cap de cada mes, el tant per cent mensual seria la dotzena part de l’anual (r /12). En l’exemple anterior, el percentatge d’augment mensual seria del 6/12 = 0,5 %. Per tant, al cap de k mesos es transformaria així:

C k mesos al 0,5 % ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ C · 1,005k

Cada any, el capital augmenta un 4,8 %; és a dir, es multiplica per 1,048. Al cap de 4 anys s’haurà multiplicat per 1,0484. Per tant, el capital final que podrem retirar és aquest:

CF = 160.000 · 1,0484 = 193.003,47 €

Un 4,8 % anual significa un 4,8/12 = 0,4 % mensual.

En 4 anys hi ha 4 · 12 = 48 mesos.

Per tant: CF = 160.000 · 1,00448 = 193.793,05 €

Si comparem aquest resultat amb el del problema anterior, veiem que els períodes de capitalització mensuals són, per a l’inversor, més avantatjosos que els anuals.

15. Si la cosina de l'Albert té un capital inicial de 20.000 € i els col·loca en un dipòsit que li dona un 3,6 % anual durant 5 anys, en quina quantitat es transforma aquest capital?

16. En quina quantitat es transformen 20.000 € col·locats durant 5 anys al 3,6 % anual, amb pagament d’interessos mensual?

PROBLEMES RESOLTS

14. Tres aixetes aporten 2 L/s, 5  L/s i 7 L/s, respectivament. S’obren totes tres simultàniament per omplir una bassa de 17.000 L. Quan la bassa és plena, quin volum d’aigua haurà rajat de cada aixeta?

Dona la solució aproximant fins als centenars de litres.

4. PROBLEMES CLÀSSICS

Problemes de repartiments proporcionals

En els repartiments proporcionals, les diferents fraccions en què es parteix el total han de sumar 1.

2 + 5 + 7 = 14 L/s aporten les tres aixetes alhora. La primera ha aportat 14 2 del total, la segona 14 5 i la tercera 14 7 . Per tant, el volum que ha rajat de cada aixeta és aquest:

1a → 14 2 · 17.000 = 2.428,57 L

2a → 14 5 · 17.000 = 6.071,43 L

3a → 14 7 · 17.000 = 8.500 L

Podríem dir que els volums aportats per les tres aixetes són, aproximadament, 2.400 L, 6.100 L i 8.500 L.

15. Dos socis tenen el 27,82 % i el 39,91 % d’una companyia i el tercer, la resta. Si s’han obtingut uns beneficis de 327.842  €, quant li toca al tercer?

16. Tres companys de pis paguen les despeses d’aigua de manera proporcional a la utilització que fan de la dutxa. L’Anna es dutxa cada dia, en Pere cada 2 dies i la Berta cada 3. Quant ha de pagar cada un si el rebut de l’aigua puja a 23 €?

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

El tercer soci és propietari del 100 % – (27,82 % + 39,91 %) = 32,27 %. Per tant, li corresponen:

32,27 % de 327.842 € = 105.794,61 ≈ 105.800 €

Aproximant fins als centenars d’euros, podem assegurar que l’error comès és inferior a 50 €

Considerem un període de 6 dies. L’Anna es dutxa els 6 dies, en Pere es dutxa 3 dies i la Berta 2 dies.

Com que 6 + 3 + 2 = 11, l’Anna gasta 11 6 del total d’aigua, en Pere 11 3 i la Berta 11 2 .

• L’Anna ha de pagar 11 6 · 23 ≈ 12,55 €.

• En Pere ha de pagar 11 3 · 23 ≈ 6,27 €.

• La Berta ha de pagar 11 2 · 23 ≈ 4,18 €

17. Tres socis van aportar 2, 3 i 6 milions d’euros, respectivament, per crear una empresa. Si els guanys del primer any van ser de 75.900 €, quant correspondrà a cada un?

18. Com es poden repartir 2.310 € entre tres germans de manera que a en Marc li correspongui la meitat del que correspon a l’Anna i a aquesta, el triple del que correspon a en Lluís?

19. Tres persones tenien 1/3, 2/9 i 1/6, respectivament, d’una empresa, juntament amb un quart soci que es retira i s’emporta la seva part. Quina part del que queda correspon a cada un?

20. Una bassa de 12.150 L s’omple amb tres aixetes els cabals de les quals són 14,6 L/s, 8,9 L /s i 4,2 L /s. Quant ha aportat cada una al total de la bassa? Dona la solució aproximant fins a les desenes de litre.

Problemes de barreges

En aquests problemes, la mitjana s’obté repartint la suma de les quantitats parcials, aportades pels components, entre el pes total de la barreja (suma dels pesos parcials).

PROBLEMES RESOLTS

17. Es molen conjuntament 50 kg de cafè de 8,80 €/kg i 30 kg d’un altre cafè d’inferior qualitat, de 6,40 €/kg. A quin preu surt el quilo de la barreja obtinguda?

18. Un orfebre barreja tres lingots de diferent puresa: un de 37,84 kg amb un 68,3 % de plata, un altre de 7,35 kg amb un 82,15 % de plata i un tercer de 16,89 kg de plata pura. Troba el percentatge de plata en l’aliatge i arrodoneix el resultat a les unitats.

cafè superior 50 kg 8,80 /kg 50 · 8,80 = 440 cafè inferior 30 kg 6,40 /kg 30 · 6,40 = 192

19. Un litre de llet pesa 1.032 g i un d’aigua, 999 g. Barregem 12 L de llet amb 3 L d’aigua. Quant pesa el litre de la barreja?

Preu de la barreja = Pestotal Cost total = 80 632 kg = 7,90 €/kg

La llei d’un aliatge és el quocient entre el pes del metall preciós i el pes total de l’aliatge.

Aliatge final → Llei = , , 6208

= 0,7856

S’han obtingut 62 kg d’aliatge amb un 79 % de plata.

Pes de la barreja = . 15 15381g L ≈ 1 025 g/L

El litre de la barreja pesa 1 025 g. €

21. Si barregem 12 kg de cafè de 12,40 €/kg amb 8 kg de cafè de 7,40 €/kg, quin serà el preu de la barreja?

22. Si barregem un lingot de 3.500 g amb un 80 % d’or amb un altre lingot de 1.500 g amb un 95 % d’or, quina proporció d’or hi haurà en el lingot resultant? I si hi afegim 2 kg d’or pur?

23. Un litre d’aigua pesa 999,2 g i un litre d’alcohol, 794,7 g. Quin és el pes d’un litre de la dissolució obtinguda en barrejar 3 L d’aigua amb 7 L d’alcohol?

24. Un joier vol fondre un lingot de 2 kg d’or la llei del qual és 0,85 amb un altre lingot d’1,5 kg d’or la llei del qual és 0,9. Quina és la llei del lingot resultant?

Problemes de moviments

Dos objectes que s’apropen movent-se en la mateixa direcció poden anar en sentits oposats (es trobaran) o en el mateix sentit (el més ràpid, si surt després, atraparà el més lent).

• Si van en sentits oposats, tindrem en compte que els mòbils s’aproximen a una velocitat relativa igual a la suma de les seves velocitats absolutes.

• Si van en el mateix sentit, tindrem en compte que els mòbils s’aproximen a una velocitat relativa igual a la diferència de les seves velocitats absolutes.

PROBLEMES RESOLTS

20. Un ciclista professional avança per una carretera a 38 km/h. Més endavant, a 22 km, un cicloturista avança en el mateix sentit a 14 km/h. Quant tarda el ciclista professional a atrapar el cicloturista?

21. La Via Làctia es dirigeix cap a Andròmeda a una velocitat de 112,2 km/s. La galàxia Andròmeda es dirigeix cap a la Via Làctia a una velocitat de 75,4 km/s. Les separa una distància de 2,5 milions d’anys llum. Si mantinguessin les seves velocitats, quant tardarien a col·lisionar?

S’aproximen a una velocitat de 38 – 14 = 24 km/h. Calculem el temps fins a la trobada sabent que els separen 22 km:

t = v d = 24 22 = 12 11 d’hora = 55 min

Velocitat d’acostament: v = 112,2 + 75,4 = 187,6 km/s

Distància que separa les dues galàxies:

d = 2,5 · 106 anys llum = = 2,5 · 106 · (60 · 60 · 24 · 365,25 · 300.000) km = 2,36682 · 1019 km segons en 1 any km que recorre la llum en 1 s

Temps que tardarien a col·lisionar:

t = v d = , , 1876 23668210· 19 = 1,26163 · 1017 segons =

= ·· ·, ,10 60602436525 126163· 17 anys = 3,9979 · 109 anys ≈ 4 · 109 anys

La col·lisió es produiria d’aquí a 4.000 milions d’anys.

22. Dues aixetes aboquen 17 L/min i 14 L/min en una pica de 1.200 L el desguàs de la qual expulsa 13 L/min. Si s’obren alhora les dues aixetes i el desguàs, quant tarda a omplir­se la pica?

Omplir un recipient mitjançant el cabal aportat per dues aixetes és similar a completar un trajecte amb els trams recorreguts per dos mòbils que es troben. Entre les dues aixetes aboquen 17 + 14 = 31L/min.

El ritme amb què s’omple la pica és, doncs, 31 – 13 = 18 L/min.

La pica tarda a omplir-se 1.200 : 18 = 66,7 min ≈ 1 h 7 min.

25. Un cotxe va a 120 km/h i un camió, a 90 km/h.

a) Si el cotxe segueix el camió a 75 km de distància, quant tardarà a atrapar-lo?

b) Si estan a 504 km i es dirigeixen l’un cap a l’altre, quant tardaran a creuar-se?

26. La capacitat d’un pantà és de 980 hm3. Actualment es troba al 43 % del total, està rebent una aportació de 45 m3/s i se’n desguassen 3.200 L/s.

Si es mantenen aquests cabals, quant temps tardarà a omplir-se fins a un 95 % de la seva capacitat?

Més camions, més sorra → directa. Més hores, més sorra → directa.

5. PROPORCIONALITAT COMPOSTA EN PROBLEMES ARITMÈTICS

En els problemes de proporcionalitat composta intervenen, almenys, tres magnituds que, per parelles, són directament o inversament proporcionals.

Exemple 1

Per construir una autopista, 20 camions treballen 8 h diàries i aconsegueixen portar fins a l’abocador 4.000 m3 de terra cada dia. Quanta terra mouran en un dia 12 camions que treballen en torns de 10 h diàries?

20 camions que treballen 8 hores transporten 4.000 m3 de sorra.

• 4.000 : 20 = 200 m3 de sorra transporta 1 camió en 8 h.

• 200 : 8 = 25 m3 de sorra transporta 1 camió en 1 h.

• Per tant, 12 camions en 10 h transportaran 25 . 12 . 10 = 3.000 m3 de sorra. Aquesta resolució, feta per sentit comú, pot simplificar-se aplicant la regla següent:

20 camions

12 camions 8 hores 10 hores 4.000 m3 x Si la proporcionalitat és directa, assenyalem el valor de la variable que és en la fila de la x

A partir d’aquest esquema, es troba la solució de la manera següent:

La x és igual al producte de la quantitat que l’acompanya (4.000) per una fracció el numerador de la qual és el producte de les quantitats subratllades en vermell i el denominador de la qual és el producte de les altres quantitats. En el nostre cas:

x = 4.000 · · 208 1210 = 3.000 m3 de sorra

Més porcs, menys dies dura → inversa. Més kg, més dies dura → directa.

Exemple 2

Un ramat de 23 porcs es menja, en 50 dies, 2.990 kg de pinso. A 75 porcs, quants dies els duren 6.240 kg de pinso?

23 porcs en 50 dies es mengen 2.990 kg de pinso.

• 2.990 : 23 = 130 kg menja 1 porc en 50 dies.

• 130 : 50 = 2,6 kg menja 1 porc en 1 dia.

• Per tant, 6.240 : 2,6 = 2.400 dies en què un porc menja aquesta quantitat. 2.400 : 75 = 32 dies que mengen aquesta quantitat els 75 porcs. Resolució esquemàtica:

23 porcs

75 porcs 50 dies x 2.990 kg 6.240 kg

Porcs-dies. Proporcionalitat inversa. Assenyalem la quantitat que no és en la fila de la x.

Quantitat-dies. Proporcionalitat directa. Assenyalem el valor que és en la fila de la x.

x = 50 . 752990 236240 · = 32 dies

Més operaris, menys dies → inversa. Més hores diàries, menys dies → inversa.

Exemple 3

Per collir les olives d’una finca, es necessiten 10 operaris que treballin 8 h al dia durant 40 dies. Quants dies tardaran 4 operaris que treballin 5 h diàries?

10 operaris que treballin 8 h/dia durant 40 dies

• 40 . 10 = 400 dies de feina d’un operari.

• 400 8 = 3.200 hores tardaria un operari.

• Per tant, si hi ha 4 operaris, 3.200 : 4 = 800 hores cada operari.

Si treballen 5 h diàries, tardaran 800 : 5 = 160 dies.

Esquemàticament:

10 operaris 4 operaris 8 h/dia 5 h/dia 40 dies x

x = 40 . 45 108 · = 160 dies

Més grams, menys pujada de temperatura → inversa.

Més calories, més pujada de temperatura → directa.

Exemple 4

Per escalfar 100 g d’oli, des de la temperatura ambient, 20 °C, fins a 70 °C, s’han necessitat 2.350 calories. Si subministrem 39.151 calories a 1 L d’oli (980 g) a temperatura ambient, quina temperatura assolirà?

100 g per fer un salt tèrmic de 50° (70° – 20°) es necessiten 2.350 cal .

• 2.350 : 100 = 23,5 calories es necessiten perquè 1 g d’oli augmenti 50 °C la seva temperatura.

• 23,5 : 50 = 0,47 calories es necessiten perquè 1 g d’oli augmenti 1 °C la seva temperatura.

• Per tant, 39.151 : 980 = 39,95 calories se subministren a cada gram d’oli.

39,95 : 0,47 = 85 °C puja la temperatura de cada gram d’oli.

20 °C de partida + 85 °C de pujada = 105 °C és la temperatura final.

Obtenim esquemàticament la pujada de la temperatura:

100 g 980 g 50 °C x 2.350 cal 39.151 cal x = 50 . . 9802350 10039151 · = 85 °C d’augment de temperatura.

27. En l’Exemple 1, quantes hores diàries han de treballar 30 camions per moure 5.000 m3 de sorra?

28. En l’Exemple 2, quants quilos de pinso es necessiten per alimentar 50 porcs durant 80 dies?

29. En l’Exemple 3, quants operaris en torns de 10 h/dia es necessiten per collir les olives en 20 dies?

30. En l’Exemple 4, quantes calories es necessitaran per escalfar 1/2 L d’oli des de 15 °C fins a 75 °C?

31. Per escalfar una peça de ferro de 1.240 g des de 10 °C fins a 150 °C s’han necessitat 18.228 cal.

a) Quantes calories caldran per augmentar la temperatura d’una peça de ferro de 3.480 g des de 0 °C fins a 210 °C?

b) Quina temperatura assolirà una peça de ferro de 5 kg que es troba a 20 °C, si se li subministren 20.000 cal?

c) Quant pesa una peça de ferro si han calgut 15.750 cal per augmentar-ne la temperatura 60 °C?

RAONA I

1. VALORACIÓ DE L’ERROR

Prenem les mides d’una prestatgeria i obtenim 2,6 m.

Amb el GPS obtenim la distància recorreguda en una passejada amb bicicleta: 17,5 km.

a) Què podem dir de l’error absolut que cometem en cada cas?

b) Quina mesura és més precisa?

2. ÍNDEX DE VARIACIÓ

Una moto costava 2.320 € el mes d’agost. A l’octubre es va apujar fins a 3.248 € i al gener es va abaixar fins a 2.436 €.

a) Calcula l’índex de variació (Iv) i el percentatge de pujada i baixada en cada canvi de preu.

b) Troba l’índex de variació total.

a) La mesura de la prestatgeria és una aproximació fins als decímetres. Per tant, l’error absolut és més petit que 0,5 dm.

En el recorregut amb bicicleta, l’aproximació és fins als hectòmetres, per la qual cosa l’error absolut és més petit que 0,5 hm.

L’error absolut comès en el mesurament de la passejada és més gran que el corresponent al mesurament de la prestatgeria: 0,5 hm > 0,5 dm.

b) L’error relatiu és més petit en el mesurament de la passejada, 17,5 km, ja que la mesura s’expressa amb més xifres significatives; és a dir, és més precisa.

a) Primer canvi: 2.320 . Iv = 3.248 → Iv = . 2320 3248 = 1,4

1,4 = 1 + 0,4. Correspon a un augment del 40 %.

Segon canvi: 3.248 . Iv = 2.436 → Iv = . . 3248 2436 = 0,75

0,75 = 1 – 0,25. Correspon a un descompte del 25 %.

b) Índex de variació total = 1,4 . 0,75 = 1,05

1,05 = 1 + 0,05. Correspon a un augment del 5 %.

Fes-ho tu Troba l’índex de variació d’una quantitat que disminueix un 40 % i augmenta un 120 %. És un augment o una disminució?

3. REPARTIMENTS INVERSAMENT PROPORCIONALS

Es reparteixen 5.000 entre els tres guanyadors d’un concurs de manera inversament proporcional al nombre d’errades que va cometre cada un. Si el primer va cometre 2 errades, el segon 3 i el tercer 5, quant correspon a cada un?

Fes-ho tu Reparteix 10.000 € de manera inversament proporcional a 8, 10 i 12.

4. BARREGES

Es fonen 600 g d’or amb una puresa del 90 % a mb 900 g d’or d’una puresa inferior. Si la barreja té una puresa del 85 %, quina és la puresa de l’or d’una qualitat inferior?

Repartir de manera inversament proporcional a 2, 3 i 5 és el mateix que repartir de manera directament proporcional a 1/2, 1/3 i 1/5. 11 2 1 3530 31 + +=

Al primer li corresponen : 2 1 30 31 31 15 = del total; al segon, : 1 30 31 313 10 = , i al tercer, : 1 30 31 315 6 = del total. Calculem el que s’emporta cada un:

Primer: 31 15 . 5.000 = 2.419,35 € Segon: 31 10 . 5.000 = 1.612,90 €

Tercer: 31 6 . 5.000 = 967,74 €

EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES

Practica

Aproximacions i errors

1. Escriu amb dues xifres significatives aquestes quantitats i valora l’error comès en cada aproximació:

a) Nombre de vots emesos en unes eleccions: 4.392.891.

b) Nombre de vots obtinguts per un partit polític: 193.246.

c) Sou anual d’un treballador: 42.121 €.

d) Preu d’un equip de música: 3.246 €.

e) Mida d’un microprocessador: 43,257 nanòmetres.

f) Superfície d’una targeta SIM: 4.620,68 mm2.

2. Compara l’error absolut comès en les aproximacions següents:

a) Altura d’un arbre: 3,58 m.

b) Distància de casa meva al gimnàs: 1,5 km.

c) Longitud d’una etapa ciclista: 98 km.

d) Preu d’un pis: 240.000 €.

e) Audiència d’un programa de televisió: 2.400.000 persones.

En quina d’aquestes aproximacions es comet un error relatiu més petit?

Percentatges

3. Calcula mentalment:

a) 20 % de 340

b) 2,5 % de 400

c) 75 % de 4.000

d) 150 % de 200

e) 60 % de 250

f) 12 % de 12

4. Quin percentatge representa?

a) 120 respecte a 400

b) 25 respecte a 500

c) 45 respecte a 150

d) 21 respecte a 350

e) 294 respecte a 840

f

) 448 respecte a 1.400

5. Troba, en cada cas, la quantitat inicial x, com en l’exemple:

• 120 % de x = 450 → 1,2x = 450 → x = 450 : 1,2 = 375

a) 28 % de x = 98

b) 15 % de x = 28,5

c) 2 % de x = 325 d) 150 % de x = 57

6. Calcula el valor de x, com en l’exemple:

• x % de 320 = 48 → 48 : 320 = 0,15 → x = 15 %

a) x % de 300 = 60 b) x % de 60 = 59,4

c) x % de 1.600 = 720 d) x % de 98 = 107,8

7. Resol:

a) Augmenta 60 en un 25 %.

b) Augmenta 250 en un 40 %.

c) Disminueix 380 en un 10 %.

d) Disminueix 300 en un 5 %.

e) Disminueix 400 en un 90 %.

8. Per quin nombre cal multiplicar la quantitat inicial per obtenir la final en cada cas?

a) Augmenta un 12 %.

b) Disminueix un 37 %.

c) Augmenta un 150 %.

d) Disminueix un 2 %.

e) Augmenta un 10 % i, després, un 30 %.

f) Disminueix un 25 % i, després, augmenta un 42 %.

9. Calcula l’índex de variació i la quantitat final:

a) 325 augmenta el 28 %.

b) 87 disminueix el 80 %.

c) 425 augmenta el 120 %.

d) 125 disminueix el 2 %.

e) 45 augmenta el 40 % i el 30 %.

f) 350 disminueix el 20 % i el 12 %.

10. Quin percentatge d’augment o de disminució correspon a aquests índexs de variació?

a) 1,54 b) 0,18

c) 0,05 d) 2,2

e) 1,09 f) 3,5

11. Calcula, en cada cas, l’índex de variació i la quantitat final:

a) 45 augmenta un 40 % i un 30 %.

b) 350 disminueix un 20 % i un 12 %.

c) 72 augmenta un 10 % i disminueix un 15 %.

d) 6,6 augmenta un 80 % i disminueix un 12,5 %.

e) 95 disminueix un 95 % i augmenta un 95 %

12. Quin percentatge és?

a) El 40 % del 40 % b) El 25 % del 20 %.

c) El 30 % del 120 %. d) El 150 % del 20 %.

13. Calcula, en cada cas, la quantitat que hi falta:

17. Un edifici, pressupostat inicialment en un milió i mig d’euros, va costar finalment dos milions cent mil euros. En quin tant per cent el cost real va superar el pressupostat?

18. El preu d’un videojoc es va apujar un 28 % i després es va abaixar un 30 %. Si el preu inicial era de 58 €, calcula l’índex de variació i el preu final.

Interès compost

19. En quant es convertirà un capital de 5.000 € col·locat al 4,2 % anual durant tres anys?

20. En quant es transformarà un capital de 28.500 € col·locat al 0,4 % mensual durant 15 mesos?

21. En quant es transformarà un capital de 15.000 € col·locat al 0,9 % trimestral durant dos anys i mig?

Repartiments proporcionals

22. Tres socis aporten 15.000 €, 12.000 € i 18.000 €, respectivament, per muntar un negoci. Si aquest any el seu negoci ha obtingut un benefici de 18.000 €, quant correspon a cada un?

14. Relaciona fraccions, decimals (índexs de variació) i percentatges:

Resol problemes bàsics

Percentatges

! ,136 !

15. En una classe, han aprovat totes les assignatures 24 estudiants, que són el 75 % del total.

a) Quants estudiants hi ha a la classe?

b) A final de curs, el 87,5 % del total ho va aprovar tot. Quants estudiants van suspendre alguna assignatura?

16. En un partit d’handbol, una jugadora A ha anotat 2/5 de 30 intents; una altra, B, 6 de 16, i una tercera, C, el 36 % de 25 intents. Quants gols ha marcat cada una? Quin percentatge de gols respecte del total ha anotat cada una?

23. Per omplir una piscina de 42.000 L, s’utilitzen tres mànegues els cabals de les quals són 240 L/min, 360 L/min i 480 L/min. Quina quantitat d’aigua ha aportat cada una?

Barreges

24. En un celler es barregen 7 hL de vi d’alta qualitat que va a 450 € l’hectolitre amb 11 hL de vi de qualitat inferior que va a 280 €/ hL. Quin preu tindrà el litre del vi resultant? (Aproxima fins a les dècimes i digues l’ordre de l’error comès.)

25. Es barregen 8 L d’oli de qualitat amb un altre oli més barat de 2,80 €/L per obtenir 20 L a 4 € el litre. Quin és el preu de l’oli més car?

Mòbils

26. Un autobús surt de A a 105 km/h. Mitja hora més tard un cotxe surt de B a 120 km/h. La distància entre A i B és de 300 km. Calcula la distància que recorrerà cada un fins que es creuin.

27. Un camió surt d’una determinada població a una velocitat de 90 km/h. Cinc minuts més tard surt una moto, a 120 km/h, que el persegueix. Quant temps tarda la moto a atrapar el camió?

28. Tres aixetes, els cabals de les quals són 300 L/min, 120 L/min i 180 L/min, deixen anar aigua en un dipòsit de 2.100 L. El dipòsit té un desguàs que dona sortida a 4 L/s. Calcula el temps que tardarà a omplir-se el dipòsit si obrim alhora les tres aixetes i el desguàs.

Proporcionalitat composta

29. Si 4 miners perforen 15 m en 9 dies, quants metres perforaran 6 miners en 15 dies?

30. En una cadena de muntatge, 17 operaris que treballen 8 hores al dia munten 850 aparells de ràdio a la setmana. Quantes hores diàries hauran de treballar la pròxima setmana per atendre una comanda de 1.000 aparells, tenint en compte que s’afegiran al grup tres treballadors?

31 . En un menjador d’empresa, 113 treballadors han consumit 840 iogurts en 20 dies feiners. En tindran prou amb una reserva de 200 iogurts per als pròxims cinc dies en què es preveu una afluència mitjana de 120 treballadors/dia?

Resol problemes

32. Al febrer el preu d’un bitllet d’avió es va abaixar un 24 %, però al març es va apujar un 28 % i va passar a costar 327 €. Quin era el preu inicial? Quin percentatge de descompte o d’augment em van fer?

33. En repartir un premi entre tres germans d’una manera directament proporcional a les seves edats (8, 10 i 12, respectivament), al gran li corresponen 1.344 €. Calcula els diners que corresponen al mitjà i al petit.

34. S’han abocat 3 L d’aigua, a 20 °C, en una olla que contenia 5 L d’aigua a 60 °C. Quina temperatura té ara l’aigua de l’olla? Quina temperatura tindrà si hi afegim, a més, 2 L a 50 °C?

35. Tres germans es reparteixen una herència de 2.820 € de manera que, per cada 5 € que rebi el més gran, el mitjà en rebrà 4 € i el petit 3 €. Quina quantitat s’emporta cada un?

36. Afegim 0,5 L d’alcohol de 50° a 0,75 L d’alcohol de 80°. Quina concentració tindrà la barreja?

37. El cost de fabricació d’un ordinador es reparteix entre el 60 % de la mà d’obra i el 40 % dels materials. En un any, el cost de la mà d’obra va augmentar un 8 % i el dels materials, un 15 %. Expressa en forma de percentatge l’augment total del cost.

38. Els pressupostos generals d’un país per a l’any 2024 dediquen 5.000 miliones d’euros en educació, la qual cosa suposa un 2,6 % més que l’any 2023.

a) Quin va ser el pressupost en educació l’any 2023?

b) Si es gasta en educació un 0,5 % dels pressupostos generals, quin és el total d’aquests pressupostos?

c) Calcula quant es dedicarà al programa de beques l’any 2024 si representa el 43,8 % de la despesa en polítiques educatives.

39. Per fer una prova radiològica amb contrast, s’injecten a un pacient 1,8 mg d’un medicament. Se sap que el cos elimina cada hora un 30 % del medicament que hi ha a la sang. Es diu al pacient que 4 h després de la injecció tindrà menys de 0,5 mg de medicament a la sang. És correcta aquesta afirmació? Justifica-ho.

40. Reparteix 1.200 € entre els tres primers classificats en una cursa de manera inversament proporcional a l’ordre d’arribada.

41. L’any 2006 van saltar les alarmes sobre la disminució de la població de tonyines després de dècades de sobrepesca. Els experts van estimar que, des del 1950, s’havia reduït un 68 %. En quin percentatge hauria d’augmentar la població que hi havia en aquell moment per tornar als nivells de 1950?

42. PROBLEMA RESOLT

El preu d’un pot d’1,5 L de suc de pinya és 2,70 €.

El fabricant fa dues ofertes:

A ­ Un 30 % més de suc sense canviar el preu.

B ­ Descompte d’un 25 % del preu per a la mateixa quantitat.

Quina és més avantatjosa per al client?

Comparem el preu d’1 L de suc en els dos casos:

A - La quantitat de suc és 1,5 1,3 = 1,95 L.

El preu d’un litre és 2,70 : 1,95 = 1,38 €.

B - La quantitat de suc és 1,5 L i el preu d’un pot és 2,70 0,75 = 2,025 €.

El preu d’un litre és 2,025 : 1,5 = 1,35 €

És més avantatjosa la segona oferta.

43. El preu d’una capsa de 40 pastilles de detergent per al rentaplats és de 4,75 €. Per augmentar les vendes, el fabricant es planteja de fer tres tipus d’oferta:

A - La capsa amb 50 pastilles al mateix preu.

B - Emporteu-vos-en 3 capses i pagueu-ne 2.

C - La segona unitat al 50 %.

Quin descompte ens fan en cada cas?

44. Pel Black Friday, un comerç fa un 20 % de descompte en tots els seus productes i, a més, ofereix la segona unitat al 60 %. Quin descompte total fa?

45 . Calcula en quina quantitat es transformaran 60.000 € col·locats a interès compost en els casos següents si el període de capitalització és mensual:

a) Al 3 % anual durant 2 anys.

b) Al 5,4 % anual durant 9 mesos.

c) Al 0,36 % mensual durant un any i mig.

d) Al 4,8 % anual durant 18 mesos.

46. Dipositem en un banc 28.000 € al 6 % anual i el banc ens descompta un 20 % dels beneficis com a retenció fiscal.

a) Quin serà el percentatge net de rendiment?

b) Si els interessos s’acumulen al capital de manera trimestral, quin serà el benefici al cap de 2 anys?

47. Per fixar el preu de venda dels articles, un comerciant n’augmenta un 30 % el preu de cost. Durant el període de rebaixes aplica un descompte del 15 %, però, als seus familiars i amics els vol cobrar a preu de cost, per la qual cosa els aplica un descompte del 20 % sobre el preu de venda. Aconsegueix, d’aquesta manera, vendre’ls-els sense guanyar-hi ni perdre-hi res?

Resol: una mica més difícil

48. Si diposito en un banc 6.000 € al 4,2 % anual, quants anys tardaran a duplicar-se?

Utilitza el factor constant de la calculadora per resoldre’l per tempteig.

49. Resol:

a) Si l’àrea d’un quadrat ha disminuït un 25 %, en quin percentatge ha disminuït el seu costat?

b) El volum d’un cub augmenta un 20 %. En quin percentatge augmentarà la seva aresta?

50. Resol:

a) Si l’aresta d’un cub disminueix un 20 %, en quin percentatge disminueix el seu volum?

b) Quant ha de disminuir l’aresta d’un cub perquè el seu volum disminueixi un 50 %?

c) Si l’aresta augmenta un 50 %, quant augmenta el volum del cub?

51. En Miquel vol aplicar un herbicida a la seva finca. Sap que ha d’afegir aigua al producte, de manera que tingui una concentració del 5 %, com a mínim, perquè sigui eficaç. Barreja 1/2 L d’herbicida amb 5 L d’aigua i comença a aplicar-lo.

Quan ha gastat 3 L de la barreja, s’adona que no en tindrà prou per a tota la finca i hi afegeix 2 L d’aigua. Tindrà la concentració adequada en tot moment?

Reflexiona

52. Cert o fals?

a) Si el preu d’un article augmenta un 40 % i després un 60 %, el preu es duplica.

b) Si una quantitat augmenta un 200 %, es triplica.

c) Si a 35 hi afegiu el 25 %, obteniu 47,5.

d) El 150 % del 50 % és el 200 %.

e) Si la quota anual d’un club esportiu era de 360 € i ha passat a ser de 414 €, l’han apujat un 115 %.

f) Si unes accions baixen un 20 % i pugen un 25 % i unes altres pugen un 20 % i baixen un 25 %, el seu preu final no varia en cap dels dos casos.

g) Si un xiclet que costava 0,75 € fa anys ara costa 3 €, el seu preu ha pujat un 400 %.

h) Si el pressupost d’un club ha passat de 8 ∙ 107 a 7 ∙ 106, ha baixat més d’un 90 %.

53. Si el radi d’un cercle augmenta un 80 %, en quin percentatge augmenta la seva àrea?

54. Si la base d’un rectangle disminueix en un 10 % i la seva altura augmenta en un 10 %, què passa amb la seva àrea: augmenta, disminueix o queda igual? Justifica la teva resposta.

55. Què és millor: invertir 5.000 € al 4,2 % durant 2 anys o invertir la mateixa quantitat al 0,4 % mensual durant 20 mesos?

TALLER DE MATEMÀTIQUES

» LLEGEIX I COMPRÈN

En Samir i l’Abdul es dirigien en camell a Bagdad, i encara els faltaven dos dies per arribar-hi. Pel camí van coincidir amb un altre viatger, en Berkan, que també anava a Bagdad. Pels rics ornaments del seu camell i pel seu vestit, s’endevinava que era un home adinerat.

Després de diverses hores de camí, van decidir aturar-se al costat d’una font per refrescar-se, descansar i menjar una mica. En Samir va treure 5 pans i l’Abdul 3 i en Berkan va confessar, una mica avergonyit, que no portava res per menjar. Els seus companys de viatge van compartir de bon gust amb ell el que tenien, i d’aquell pa en van anar menjant tots la mateixa quantitat en les successives parades que van fer fins a arribar a Bagdad.

En entrar a la ciutat, en Berkan va demanar als seus amics que l’acompanyessin a casa seva, on els va oferir un opulent dinar. En acomiadar-se, els va entregar 8 monedes d’or i els va dir:

– Heu estat molt generosos de compartir amb mi la vostra amistat i el vostre pa. Vull compensar-vos amb aquestes monedes. I crec que el més just és que cada un se’n quedi tantes com pans ha aportat als àpats comuns: 5 per a en Samir i 3 per a l’Abdul.

En Samir, que era un bon matemàtic, li va replicar:

– Permet-me que et rectifiqui. Hi havia 8 pans i cada un hem menjat 8/3 de pa. Els 8/3 que s’ha menjat l’Abdul provenien dels seus 3 pans, i encara n’ha sobrat 1/3, que t’has menjat tu, Berkan. Els 8/3 que m’he menjat jo provenien dels meus 5 pans, i encara n’han sobrat 7/3, que també t’has menjat tu. Per tant, dels 8 trossos d’1/3 que t’has menjat, 1 provenia de l’Abdul i 7, de mi. El més just seria, doncs, que l’Abdul agafés 1 moneda i jo, 7. Tant en Berkan com l’Abdul van estar d’acord amb el raonament d’en Samir. Però aquest, somrient, va afegir:

– Amic, hem compartit el pa amb tu per amistat, i això no es paga. Ens regales generosament 8 monedes perquè vols que participem de la teva riquesa. El repartiment no té res a veure amb els pans que ha aportat cada un ni amb la procedència de cada tros de pa que t’has menjat, sinó amb la nostra amistat. I aquesta està repartida de la mateixa manera. Per tant, acceptem el teu regal i el repartim a parts iguals: 4 monedes per a l’Abdul i 4 per a mi.

(La idea d’aquest problema està extreta del llibre L’home que calculava de Malba Tahan.)

POSA’T A PROVA

1. Quin percentatge representa?

a) 78 de 300 b) 420 de 500

c) 25 de 5.000 d) 340 de 200

2. Indica l’índex de variació i la quantitat final en cada cas:

a) 300 disminueix el 12 % i després el 35 %.

b) 1.520 disminueix el 90 % i després augmenta el 150 %.

3. Indica el percentatge d’augment o de disminució que correspon a cada un dels següents índexs de variació:

a) 1,07

b) 0,78

c) 2,2

4. Després d’una pujada d’un 3,5 %, un pis costa 258.600 €

a) Quin era el preu abans de la pujada?

b) Si expresses el resultat amb dues xifres significatives, què pots dir de l’error absolut comès?

5. El preu d’un telèfon mòbil s’ha apujat un 20 % i després s’ha abaixat un 25 %. Si l’he comprat per 135  €, quin era el seu preu inicial?

6. Dues pales carregadores treballen 10 hores diàries i fan un desboscament en 9 dies. Quant tardarien a fer aquesta feina tres pales a un ritme de 12 hores al dia?

7. Hem tardat 5 dies i 2 hores a fer una ruta amb bicicleta de 384 km, pedalant 6 h al dia.

a) Quant vam recórrer cada dia?

b) Si pedalem 5 h al dia, quants dies necessitarem per fer 600 km?

8. Barregem 20 kg de farina d’1,25 €/kg amb 35 kg d’una altra farina de 0,75 €/kg. Quin serà el preu de la barreja?

9. Hem barrejat 30 kg de cafè de 9 €/kg amb 50 kg d’un altre cafè de qualitat inferior. La barreja resultant es ven a 7,50 €/kg. Quin és el preu per quilogram del cafè de qualitat inferior?

10. Dos trens surten a les 8.00 h del matí de dues ciutats, A i B, que disten 780 km entre si. Si el que surt de A cap a B circula a una velocitat de 110 km/h i el que surt de B cap a A va a 90 km/h, a quina hora es trobaran?

11. Dipositem en un banc 4.000 € al 3,5 % d’interès anual durant 3 anys. En quants diners es convertiran si els períodes de capitalització són trimestrals?

12. En quant es convertirà un capital de 80.000 €, collocat al 3,6 % anual, durant dos anys i mig amb un període de capitalització trimestral?

13. Tenim 5.000 € en un compte. A finals de cada mes, hi ingressem un 10 % dels diners que hi ha en el compte en aquell moment. Al cap de quants mesos tindrem el doble de diners?

14. L’Anna, en Marc i en Lluís han repartit fullets publicitaris i han cobrat entre tots tres 900 €. Si l’Anna ha repartit 150 fullets, en Marc 250 i en Lluís 200, quants diners ha de rebre cada un?

15. Es pagaran 15.000 € per la neteja d’un bosc feta per dues brigades de treballadors. La primera brigada està formada per 12 operaris que han treballat durant 7 dies i la segona, per 15 persones que han treballat durant 5 dies. Quant correspondrà a cada brigada? I a cada treballador? (Expressa la solució aproximant a les unitats i digues de quin ordre és l’error absolut comès.)

16. S’ha repartit un premi entre tres concursants de manera proporcional als punts aconseguits: 12, 13 i 15, respectivament. El concursant que ha obtingut menys punts s’ha emportat 420 €.

a) Quants diners s’han repartit?

b) Quina quantitat s’ha emportat cada un?

17. Dues aixetes deixen anar 15 L/min i 20 L/min d’aigua, respectivament, en un dipòsit de 1.800 L que, a més, té un desguàs per on s’escola l’aigua a 10 L/min. Si s’obren alhora les dues aixetes i el desguàs, quant temps tardarà a omplir-se el dipòsit?

Els pares de l’Anna i en Marc volen que els seus fills estalviïn. Per aconseguir-ho, arriben a un acord amb ells: els diners que tinguin a la guardiola al llarg d’un mes s’incrementaran en un 10 %.

L’Anna decideix que deixarà els seus 100 € durant el primer mes i, així, es convertiran en 110  € gràcies a l’augment. Durant el segon mes, conserva aquesta suma i aconsegueix un total de 121  €. És a dir, l’Anna manté a la guardiola tant el seu capital com els interessos generats.

En Marc conserva els seus 100 € a la guardiola, però es guarda els interessos mensuals en el seu moneder per si els necessita gastar.

Quin sistema d’estalvi faríeu servir? Per què?

En què invertiríeu els diners estalviats? Com afrontaríeu el pagament d’una despesa mensual?

ANEM PAS A PAS

1. Si en Marc no ha gastat res del que té en el seu moneder, quants diners tindrà cada un dels germans al cap de 4 mesos?

2. Al cap de 4 mesos, els pares, per continuar fomentant l’estalvi, reparteixen 200 € de forma directament proporcional als diners estalviats. Quants diners corresponen a cada un?

3. I si, per compensar les seves diferències, haguessin fet el repartiment de manera inversament proporcional a les quantitats estalviades per cada un?

4. Quants mesos necessita cada germà per aconseguir els 190 € que costa un lector de llibres digital?

5. Quant temps necessita cada un per doblar el seu capital inicial? I per triplicar-lo?

6. Després d’un any, els pares de l’Anna i en Marc consideren que ja han fomentat prou l’estalvi i decideixen suspendre l’incentiu.

Quants diners té aleshores cada germà?

7. A partir d’aquest moment, l’Anna fica a la guardiola 10 € de la seva paga cada mes, mentre que en Marc hi fica 5 €

L’Anna vol fer classes de guitarra, que li costen 240 € al mes.

En Marc, per la seva banda, vol fer-se soci d’una entitat esportiva que té una quota mensual de 150 € al mes.

a) Considereu raonables aquestes opcions?

b) Quina solució proposeu per fer front als pagaments?

PENSEM-HI

8. Quin sistema d’estalvi faríeu servir vosaltres? Per què?

9. En què invertiríeu els diners estalviats? Com afrontaríeu el pagament d’una despesa mensual?

Amb ulls de dona

que ens porten a l’espai. I, en el moment actual, és la intel·ligència artificial la que està collint avenços inimaginables i perseguint el somni inassolible de replicar la intel·ligència humana.

No obstant això, la intel·ligència artificial no és quelcom nou. El seu origen es remunta a la dè cada de 1950, quan el matemàtic Alan Turing va suggerir la idea de crear màquines que poguessin pensar. Durant aquells anys, diversos científics van començar a treballar en teories i algoritmes per cre ar programes que fossin capaços de realitzar tas ques que habitualment requereixen intel·ligència humana, com el raonament, la planificació i l’apre· nentatge. Cap a mitjans de la dècada de 1960, la IA ja havia progressat bastant, fins al punt de poder desenvolupar programes que resolien problemes matemàtics complexos. En la dècada de 1970, l’en· focament va derivar cap als sistemes experts: pro grames dissenyats per fer tasques que usualment requereixen un coneixement molt especialitzat, com diagnosticar malalties.

fa més de vint anys que va arribar a les nostres ca ses la Roomba, l’aspiradora intel·ligent. Utilitzem aquesta tecnologia cada cop que desbloquegem el nostre telèfon amb la cara o quan Netflix ens reco mana contingut personalitzat. A poc a poc, la intel· ligència artificial va conquerint habilitats que, fins ara, semblaven exclusives dels humans.

El 2017, per exemple, va aparèixer Libratus, un sistema intel·ligent que va aconseguir vèn cer els millors jugadors de pòquer. Per assolir aquesta proesa, Libratus va haver d’aprendre a fer catxes, encara que ningú no li havia dit que calia mentir.

El mateix any, DeepMind va llançar el progra ma AlphaZero, que en 24 hores va aconseguir un nivell de joc sobrehumà en els escacs, els escacs japonesos i el go en derrotar campions del món i altres programes d’intel·ligència artificial que ja comptaven amb resultats excepcionals. Aquest re sultat va ser particularment important perquè, a diferència d’altres programes, no va aprendre de partides humanes i feia servir jugades i estratègies mai vistes, cosa que pot ser considerada un signe de creativitat.

moltes imatges de gossos i gats. Doncs bé, s’estima que una única sessió d’entrenament de ChatGPT consumeix la mateixa energia que 126 llars da neses durant tot un any. A aquest consum caldria afegir hi el dels grans centres de dades on aquests programes operen, que, a més de la seva despesa energètica, també requereixen quantitats ingents d’aigua per a la seva refrigeració.

La paradoxa actual és que la intel·ligèn- cia artificial pot ajudar-nos a solucionar problemes derivats del canvi climàtic però, alhora, també és part del proble- ma degut al seu gran consum energètic.

Per resoldre aquesta paradoxa ha sorgit el con cepte d’algoritmes verds, amb un doble vessant: d’una banda, es tracta d’algoritmes d’IA que con tribueixen a la sostenibilitat i a combatre el canvi climàtic i, de l’altra, fan necessari trobar el camí perquè siguin més sostenibles i permetin reduir l’empremta de CO2 dels actuals.

Finalment, un altre problema conegut dels sis temes d’IA actuals és que sovint apareixen casos en què aquests sistemes es comporten de forma sexista.

Com que els sistemes intel·ligents són creats per persones, sembla inevitable que els biaixos humans es transmetin als algoritmes o a través de les dades.

Amazon va haver de retirar el seu algoritme per a la contractació de personal en descobrir que era discriminatori i només considerava candidats masculins. El camí per solucionar aquests biaixos no és fàcil, però és clar que cal disposar d’equips de desenvolupament diversos, que supervisin ex haustivament els resultats obtinguts.

No obstant això, una de les raons que sembla que hi ha darrere del biaix de gènere en la intel·li gència artificial és el problema de la bretxa de gè nere. Actualment hi ha una creixent escassesa de dones que triïn i desenvolupin professions cienti ficotècniques. Graus com Enginyeria Informàtica tenen, any rere any, una taxa de dones matricula des que ronda el 12 %.

Segons un estudi de la Unesco, les do- nes representen només el 10 % de les persones que treballen en l’aprenentat- ge automàtic.

Mentre els homes continuïn dominant aquest espai, aquesta disparitat només servirà per perpe tuar i exacerbar la desigualtat de gènere, ja que els biaixos no reconeguts es replicaran i s’incorpora ran als algoritmes d’IA.

Verónica Bolón Canedo és enginyera informàtica i doctora en Informàtica per la Universitat de la Co- runya (UDC). Actualment exerceix de professora titular en el Departament de Ciències de la Computació i Tecno- logies de la Informació de la UDC i d’investigadora al Centre d’Investigació TIC (CITIC). És acadèmica de número de l’Acadèmia Jove d’Espanya i acadèmica corresponent de la Reial Acadèmia de Ciències Exactes, Físiques i Naturals d’Espanya. Cal destacar la seva aposta pel foment de la vocació cientificotecnològica entre les nenes.

» RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Diverteix-te resolent problemes!

En aquestes pàgines et proposem diversos problemes.

Són problemes «especials». Per resoldre’ls no cal que apliquis tècniques matemàtiques, sinó que utilitzis una bona planificació, sentit comú i una mica d’enginy. Alguns són molt fàcils, altres no ho són tant i n’hi ha que, fins i tot, són una mica difícils. Però tots són curiosos i divertits.

Passos per resoldre un problema

1. Tingues molt clar l’enunciat. Comprèn el problema

• Llegeix l’enunciat atentament.

• Pren notes. Ajuda’t d’un esquema per visualitzar les dades i les seves relacions.

• Si el problema és geomètric, és imprescindible fer un dibuix i marcar-hi les dades i les incògnites.

2. Concep un pla de resolució

Hi ha moltes estratègies que pots fer servir en aquesta fase. Per exemple:

• Fes un esquema amb les dades.

• Per resoldre problemes geomètrics, fes un dibuix.

• Treballa sistemàticament.

• Resol problemes similars més senzills.

• Tempteja, assaja, posa exemples…

3. Executa el pla

Si el pla està ben concebut, aquest pas és fàcil. Però, sovint, encara que el pla sigui correcte, en dur-lo a terme sorgeixen noves dificultats que cal afrontar.

4. Reflexiona sobre la solució

• Comprova si el que has aconseguit respon al que se’t demanava.

• Redacta la solució.

5. Treu més partit al problema

• Reflexiona sobre altres possibles formes de resolució.

• Intercanvia impressions amb els teus companys i companyes.

• Fes-te noves preguntes: Què passaria si se suprimís aquesta condició? I si s’hi afegís aquesta altra?…

• Inventa problemes similars (més senzills, més difícils, amb situacions diferents…).

En les pàgines següents resoldrem problemes aplicant algunes estratègies concretes i, finalment, podràs practicar i posar-te a prova amb una bona col·lecció de problemes.

Entrena la resolució de problemes

Fes un esquema amb les dades

Un esquema amb les dades i les seves relacions sempre ajuda a comprendre l’enunciat d’un problema i ens orienta sobre la manera de resoldre’l. Però hi ha alguns problemes la solució dels quals es veu gairebé amb un bon esquema. Vegem-ne alguns.

Un llebrer persegueix un conill. Quatre salts d’aquest equivalen a un del llebrer i, mentre que el llebrer fa un salt, el conill en fa tres.

El conill, en aquest moment, té un avantatge de vuit dels seus salts. Quants salts farà cada un fins al moment de la captura?

Un terratinent contracta un servent per un sou anual d’onze monedes d’or i un cavall. Al cap de quatre mesos, el servent s’acomiada i rep un cavall i una moneda. Quin era el valor del cavall?

Pensa i resol

1. Una llebre avantatja, en 12 salts dels seus, el llebrer que la persegueix. Dos salts del llebrer equivalen, en longitud, a tres de la llebre. El llebrer tarda a fer tres salts el mateix que la llebre a fer-ne quatre. Quants salts farà la llebre abans de ser atrapada?

2. He gastat en un llibre les tres quartes parts dels diners que portava. Després, he anat al cine i m’he gastat dos terços del que em quedava, i encara tinc 2 €. Quant portava al principi?

8 salts de conill

7 salts de conill

Cada salt que fa el llebrer escurça la distància que el separa del conill en 1 salt de conill. Per tant:

El llebrer ha de fer 8 salts per aconseguir el conill. Aquest farà 3 · 8 = 24 salts.

1 any

4 mesos

Per tant, 2 cavalls equivalen a 11 ‒ 3 = 8 monedes. Cada cavall val 4 monedes.

3. Un pagès llaura al matí dues cinquenes parts d’un camp. A la tarda, torna a la feina i llaura un terç del que quedava. Si encara falta per llaurar mitja hectàrea, quina és la superfície del camp?

4. Un patró contracta un servent per un sou anual d’1 capa i 25 monedes d’or. Al cap de cinc mesos, aquest s’acomiada i rep, com a pagament, la capa i 4 monedes d’or. En quantes monedes està valorada la capa?

Per resoldre problemes geomètrics, fes un dibuix!

Enmig d’un prat hi ha una cabana rectangular que mesura 10 m de llarg i 5 m d’ample. En una cantonada de la cabana hi ha lligat un cavall amb una corda de 7 m de longitud. Si el prat té un quilo d’herba per metre quadrat, quants quilos d’herba podrà menjar el cavall?

Comencem fent un dibuix que descrigui el procés tan clarament com sigui possible.

Àrea de la part sense pintar:

Per comprendre bé l’enunciat dels problemes geomètrics, cal fer un dibuix que el representi de la manera més fidel possible. Igual que amb els esquemes, anota les dades sobre el dibuix. 7 m 2 m

4 3 π · 72 + 1 4 π · 22 = 118,59 m2

Sabem que en cada metre quadrat hi ha un quilogram d’herba. Per tant, el cavall podrà menjar 118,59 kg d’herba.

m

m

Pensa i resol

1. Resol de nou el problema anterior per al cas que la longitud de la corda sigui aquesta:

a) 12 m

b) 15 m

c) 15 m i estigui lligada al centre del costat llarg

2. Un constructor ha comprat tres parcel·les quadrades exactament iguals el costat de les quals fa 22 m. Les parcel·les són limítrofes i estan alineades.

Vol tancar el terreny resultant amb una tanca composta per quatre cordes metàl·liques lligades a unes estaques clavades a terra, a 5,50 m de distància.

La corda metàl·lica es ven en rotlles de 20 m a 45 € el rotlle. Les estaques costen 8,50 € cada una. Quant li costarà el material per tancar la nova parcel·la?

3. Calcula l’àrea d’un quadrat la diagonal del qual coincideix amb el costat d’un altre quadrat de 10 m2 de superfície.

4. Si talles les cantonades d’un triangle equilàter, podràs obtenir un hexàgon regular.

Quina serà l’àrea d’aquest hexàgon si la del triangle original feia 90 m2?

5. Tres dels vèrtexs d’un hexàgon regular coincideixen amb els vèrtexs d’un triangle equilàter de 20 cm2 de superfície. Quina és l’àrea de l’hexàgon?

Treballa sistemàticament i resol problemes similars més senzills

Si trobes que el problema és massa complicat, no et quedis aturat. En aquest cas, pots transformar-lo en un altre de més senzill que et pemeti agafar idees o aplanar el camí. Canvia les dades per unes altres de més senzilles, redueix variables o tria un cas particular.

Un joc entre dos, A i B, consisteix a dir, alternativament, un nombre de l’1 al 10. Es van sumant i guanya el que arriba a 100. Comença A. Quina estratègia ha de seguir per guanyar amb seguretat?

Perquè no sembli tan complicat, començarem resolent un problema semblant però més senzill (estratègia: fes-ho més fàcil!). Suposarem que la meta és 10 i que cada cop se suma un 1, un 2 o un 3. Vegem-ho:

Per poder arribar a 10, A ha de rebre un 7, un 8 o un 9, per la qual cosa, abans, ha d’arribar a 6. És a dir, que ha de rebre un 3, un 4 o un 5. Per tant, començarà dient un 2 i així podrá aconseguir, successivament, les sumes 6 i 10. Observa l’esquema d’aquest raonament a dalt, a la dreta.

Raonarem ara el problema inicial de forma similar, anant d’endarrere cap endavant:

És a dir, A ha de retornar el nombre 78 per poder retornar, en el torn següent, el 89, i així guanyar en el torn següent.

Si seguim cap endarrere, trobem aquestes sumes guanyadores: 67, 56, 45, 34, 23, 12, 1. Si A aconsegueix situar-se en una d’aquestes sumes després de respondre correctament, guanyarà.

Per tant, l’estratègia guanyadora consisteix a començar amb un 1 i respondre x amb 11 ‒ x. Per exemple:

A 1 +6(=12) +4(=23) +1(=34) +2(=45) +5(=56) +1(=67) +9(=78) +10(=89) +3(=100)

B +5(=6) +7(=19) +10(=33)

1. Dos jugadors van traient, alternativament, d’una pila de 20 llumins 1, 2 o 3 llumins. Perd l’últim que agafi els llumins. Quina és l’estratègia guanyadora?

2. Dues amigues juguen a col·locar monedes iguals, d’una en una, en una taula circular fins que no en càpiguen més. Guanyarà la que posi l’última moneda. Quina estratègia ha de seguir la primera per guanyar?

Tempteja, assaja, posa exemples…

No et resoldrem cap dels problemes següents. Tempteja, pensa, assaja i de ben segur que ho aconseguiràs. El tercer l’hauràs de resoldre amb dues pesades.

Pensa i resol

1. Una repartidora porta al seu camió set caixes de refrescos plenes, set de mig plenes i set de buides. Si ha de repartir la seva mercaderia en tres supermercats i ha de deixar en cada un el mateix nombre de refrescos i el mateix nombre de caixes, com ha de fer el repartiment?

Suposa que té molta pressa i no vol canviar ampolles d’unes caixes a unes altres. Com s’ho farà?

2. Com mesuraries 3 litres exactes d’aigua si fossis al costat d’una font i només tinguessis un càntir de 9 litres i un altre de 5 litres?

Organitza la informació

3. Aquestes nou boles de billar tenen exactament la mateixa mida i totes pesen el mateix, llevat d’una que pesa una mica més que les altres.

Quantes pesades cal fer amb la balança per descobrir, amb absoluta seguretat, quina és la bola que pesa més?

Extreu les dades de l’enunciat. Si hi ha molta informació, disposa-les d’una manera clara i visible. De vegades una taula et pot anar molt bé per tenir presents tots els elements.

Un matrimoni viatja en cotxe amb la seva filla de 12 anys i el seu fill de 2 anys. Cada un s’entreté durant el viatge amb una activitat diferent: conduir, dormir, llegir i menjar.

El pare ni dorm ni llegeix. La mare, si llegeix, es mareja, i mai no menja en els viatges. Si el nen està despert, no deixa que la seva germana llegeixi.

Quina activitat fa cada un?

Pensa i resol

1. Tres amics el cognom dels quals és Pla, Roig i Comes tenen cada un una germana. Amb el temps, cada un acaba sortint amb la germana d’un dels seus amics. Un dia, l’Anna Pla es troba amb en Pau Roig i li diu: –Ahir vaig anar a comprar amb la teva nòvia. Podries dir com s’han format les parelles?

Escriu totes les dades que coneixes en una taula, ratlla les caselles impossibles i dedueix. Noies

AnnA PlA Roig Comes

Nois PlA

PAu Roig Comes

Hem reflectit en la taula tota la informació que tenim.

Tenint en compte que si el nen no dorm la nena no llegeix, tempteja i arribaràs a la solució. P

2. Calcula quants membres té un club si:

– 37 practiquen bàsquet, 25 fan futbol i 17, escacs. – 8 practiquen futbol i bàsquet, 5 fan bàsquet i escacs i 3, futbol i escacs.

– Només 1 membre practica els tres esports i n’hi ha 37 que no practiquen cap esport. En aquest diagrama hem situat l’únic que practica els tres esports. Omple, d’un en un, els espais buits. Comença pels tres que estan ombrejats.

Fes comptes

1. La Marta compra tres pastissos i la Beatriu, dos. Quan van a berenar, s’hi afegeix la seva amiga Verònica, que no porta pastissos. A l’hora de compartir despeses, a la Verònica li toca pagar 5 €

Com es repartiran aquests 5 € la Marta i la Beatriu?

2. Un granger, després d’agafar els ous que han post les gallines, fa aquests raonaments:

– Si els envaso per dotzenes, me’n sobren 5.

– Si en tingués un altre, podria envasar-los, exactament, en capses de 10.

– Gairebé n’he agafat 100.

Quants ous ha agafat el granger?

3. La Fàtima ha convidat deu amics a la seva festa d’aniversari. Després de berenar, proposa una endevinalla amb premi:

«S’endurà la capsa de bombons qui encerti, sense obrir-la, quants bombons conté. Dono tres pistes:

– N’hi ha menys de cinc dotzenes.

– Estan ordenats en files de nou.

– Si es repartissin entre tots els presents, en sobraria un.»

Quants bombons conté la capsa?

4. Els participants en una desfilada poden agrupar-se de 3 en 3, de 5 en 5 o de 25 en 25, però no poden fer-ho ni de 4 en 4 ni de 9 en 9.

Quin és el nombre de participants si sabem que està comprès entre 1.000 i 1.250?

5. Un camioner pressuposta certa quantitat de diners per a la despesa de carburant en un recorregut de 600 km. Tanmateix, una rebaixa en el preu del gasoil li suposa un estalvi de 0,14 € per quilòmetre, cosa que li permet realitzar un recorregut de 750 km amb la mateixa despesa. Quina va ser la quantitat pressupostada inicialment?

6. Dos germans ranxers es reparteixen una herència a parts iguals. La Núria inverteix la seva part en la compra d’un grup de 80 cavalls. En Carles inverteix la seva en un ramat de 100 vaques. Si un cavall costa 150 € més que una vaca, a quant pujava l’herència?

7. Un grup d’amics entra en una cafeteria. Tots demanen cafè i la cinquena part d’ells demana, a més a més, un brioix. Un cafè val 0,85 € i un brioix, 1,10 € Per pagar, donen al cambrer 11 € Han deixat propina? Si és així, quina quantitat?

8. Un grup d’amics va a dinar en un restaurant xinès. Cada dos d’ells comparteixen un plat d’arròs; cada tres, un de verdures, i cada quatre, un de carn. En total, els han servit 65 plats. Quants amics han anat a dinar?

9. En un saló de te només serveixen te i pastís. Cada tassa de te val 1,10 € i cada ració de pastís, 2,10 €. Tots els amics d’una colla consumeixen el mateix. El compte puja a un total de 30,10 €. Quants són? Què ha pres cada un?

10. Un automobilista que condueix a 90 km/h veu un tren que s’apropa en sentit contrari per una via paral·lela. El tren està format, entre els vagons i la locomotora, per 18 vehicles. Cada unitat té una longitud d’uns 15 m. El tren tarda a passar davant dels ulls de l’automobilista, des de la locomotora fins a la cua, 6 segons.

Sabries calcular la velocitat del tren?

11. Un ciclista puja un port de muntanya a una velocitat de 8 km/h. Després, baixa la mateixa distància a 24 km/h. Quina ha estat la velocitat mitjana en tot el recorregut?

Fes un esquema

12. M’he comprat l’entrada d’un concert amb les dues terceres parts dels diners que tenia a la guardiola. A més, m’he comprat una dessuadora del grup amb les tres quartes parts dels diners que em quedaven. Si encara em queden 10 €, quants diners tenia estalviats?

13. Dels 30 joves que van ser entrevistats en una sala de ball, 15 van declarar que eren aficionats al rock i 13, al reggaeton. D’aquests, 6 van assegurar que eren aficionats a ambdós estils musicals.

Rock

6

Reggaeton

Ni rock ni reggaeton

Quants joves no són aficionats ni a un estil musical ni a l’altre?

14. En una classe de 30 alumnes:

– 16 practiquen futbol; 14, bàsquet, i 13, tenis.

– 6 practiquen futbol i bàsquet, 6 practiquen futbol i tenis i 5 practiquen bàsquet i tenis. – 3 practiquen els tres esports. Quants no practiquen ni futbol, ni bàsquet ni tenis?

16. Un grup de veremadors treballa mitja jornada en una vinya. A la tarda, la meitat passa a una altra vinya, que és la meitat de gran que l’anterior, i tots treballen fins al final de la jornada.

D’aquesta manera, han acabat de veremar la vinya gran i queda un tros de la petita, que acaba un sol veremador en una jornada completa.

Quantes persones formen el grup?

17. En naufragar el seu vaixell, dos mariners i la seva mona arriben a una illa deserta. Com que no tenen res per menjar, recullen plàtans i se’n van a dormir.

A la nit, un mariner es desperta, dona dos plàtans a la mona i es menja la meitat dels restants. Després, es desperta l’altre mariner, que també dona dos plàtans a la mona, fa tres parts amb els que queden i es menja dues d’aquestes parts.

Al matí, es reparteixen, entre tots tres, els plàtans que queden.

En cap moment no ha calgut partir cap plàtan. Quin és el nombre mínim de plàtans que podrien haver recollit? Quants plàtans s’ha menjat cada un?

18. Una piragüista avança per un llac d’aigües tranquil·les quan, a certa distància, davant d’ella, salta una carpa. En 15 palades aconsegueix l’ona creada pel salt i, en 15 més, torna a aconseguir-la per abandonar el cercle en expansió.

15. Una brigada de 4 recollidors d’olives treballa 4 hores al matí en un camp d’oliveres. A la tarda, se’ls afegeixen 4 recollidors més i treballen tots plegats quatre hores més. Al final del dia, les olives que s’han collit corresponen a tres cinquenes parts del camp.

Quant tardaran 4 d’aquests recollidors a acabar la feina?

A quantes palades es trobava la piragua de la carpa quan aquesta va saltar?

19. El quadrat A conté un 16 % del quadrat B. Quin percentatge del quadrat D conté el quadrat C, si el C és igual a l’A i el D és igual al B? A C

Tempteja, organitza, combina…

23. Ets al costat d’una font i disposes de dos càntirs, un de 7 litres i un altre de 5. Com t’ho faràs per mesurar exactament 4 litres d’aigua?

24. a) Tens quatre pesos d’1 kg, 2 kg, 4 kg i 8 kg i una balança de dos platets. Comprova que hi pots fer qualsevol pesada d’un nombre enter de quilos entre 1 kg i 15 kg.

b) Si hi afegeixes un pes de 16 kg, fins a quina pesada pots fer? Quins pesos has de fer servir per pesar 21 kg? I per pesar-ne 29?

20. Calcula la superfície del quadrat verd.

6 m

21. Retalla 20 triangles rectangles iguals que tinguin catets de longitud 2 cm i 1 cm. El problema consisteix, ara, a posar-los els uns juntament amb els altres, de manera que entre tots formin un quadrat. Sembla fàcil, però no ho és tant.

c) Quins pesos més, que siguin potències de 2, hauries de tenir per poder pesar, almenys, 120 kg? Amb aquests pesos, quina és la pesada més gran que pots fer? Quins pesos has de fer servir per pesar 113 kg?

25. a) Tens pesos d’1 kg, 3 kg i 9 kg i una balança de dos platets. Comprova que pots fer qualsevol pesada sencera d’1 a 13 kg (pots posar pesos en els dos platets).

b) Si hi afegeixes un pes de 27 kg, quina és la pesada més gran que pots fer? Com pesaries 22 kg?

c) Quin és el següent pes que afegiries a aquesta col·lecció: 1, 3, 9, 27...?

26. a) Tens aquestes tres monedes:

22. Aquí tens un problema i la solució que ha trobat l’Andreu:

«Amb vint-i-cinc soldadets de plom, com formaríem sis files de cinc soldadets cada una?»

Tanmateix, la Susanna ha disposat els 25 soldats de manera que el nombre de files, amb 5 soldats en cada una, són moltes més de sis.

Prova de fer-ho tu.

Quantes quantitats diferents de diners pots obtenir?

b) I si tinguessis aquestes cinc monedes?

c) I si les monedes fossin aquestes?

Quantes quantitats diferents de diners pots formar?

Pura lógica

27. L’Anselm vol fregir tres filets. Cada un ha d’estar a la paella cinc minuts per cada cara. Però a la paella només n’hi caben dos. Què ha de fer per trigar el mínim temps possible?

28. L’Anselm ha de tenir al forn un pollastre durant 15 minuts exactament. Però se li ha espatllat el rellotge. Disposa de dos rellotges de sorra que mesuren 11 minuts i 7 minuts, respectivament.

Com cronometrarà els 15 minuts?

29. Ara l’Anselm ha de cronometrar els 45 minuts que tarda a fer-se un estofat. Per a això, té dues metxes. Cada una tarda 1 h a consumir-se. Però la velocitat a la qual es consumeixen és irregular (és a dir, en 1/4 d’hora potser no es gasta 1/4 de la longitud de la metxa). Tot i això, aconsegueix cronometrar els 45 minuts. Com ho fa?

30. L’Anselm és a la casa que té al camp. Vol saber l’hora i no té televisor, ni ràdio ni telèfon; només té un rellotge de paret que se li ha parat, però pot posar-lo en marxa donant-li corda. Va a casa de la seva amiga Rosa, que és a uns 3 km de distància, la qual té un rellotge com el seu. Passa una estona parlant amb ella i, a la tornada, posa el rellotge a l’hora amb una precisió raonable. Per fer-ho, quines altres coses ha fet que no hem descrit?

31. El rellotge d’un campanar tarda 15 segons a tocar les sis. Quant tardarà a tocar les dotze?

32. La Susanna i en Miquel concerten una cita a les vuit de la tarda. El rellotge de la Susanna va endarrerit 10 minuts, però ella creu que va avançat 5 minuts.

El rellotge d’en Miquel va avançat 5 minuts, però ell creu que va endarrerit 10 minuts.

A quina hora real arriba cadascun a la cita?

33. Una noia es queda sense diners per pagar la pensió on s’està. No rebrà diners fins d’aquí a set dies. Té un braçalet amb 7 anelles que l’hostaler admet com a pagament d’aquests set dies.

L’un no es fia de l’altre: l’hostaler no consent que tingui cap deute i ella no vol pagar res per avançat. Acorden, com a pagament, donar una anella cada dia. Quantes anelles ha de partir per poder-ne donar una al dia? (Se suposa que mira de fer malbé, tan poc com pugui, el seu braçalet.)

34. a) Quantes d’aquestes monedes hem de desplaçar perquè les tres cares siguin a l’esquerra i les tres creus a la dreta?

b) Quantes d’aquestes copes hem d’agafar perquè en quedin tres de plenes a l’esquerra i tres de buides a la dreta?

35. Un cop acabada la classe d’Educació Física, hem desat en 4 caixes les 9 pilotes que teníem. Cada caixa conté un nombre imparell de pilotes i en cap cas el nombre de pilotes de dues caixes no coincideix. Com és possible?

36. T’han assignat una habitació del sisè pis d’una casa sense ascensor. Hi ha tres interruptors (i, ii i iii) a la planta baixa, un dels quals serveix per encendre la bombeta de la teva habitació.

Com ho pots fer per esbrinar quin és l’interruptor de la teva bombeta pujant una sola vegada a fer comprovacions? (És a dir, manipular els interruptors, pujar, observar i deduir —sense cap mena de dubte— quin dels tres interruptors és el que correspon a la teva bombeta?)