6 Unitat uïtat. 1 Visió intuïtiva de la contin Discontinuïtats Observam diferents tipus Desenvolupament de cada unitat es en diverses funcions discontínu (exercici resolt) hem vist En els exemples anteriors seu domini de definició. Vegemen tots els altres punts del un punt, però contínues ne un altre cas. ïtat: discontinu de punts Aquesta funció té dos infinit (Tipus I). En x = 3 presenta un salt (Tipus IV). En x = 9 té el punt desplaçat ts Tipus de discontinuïta amb un sol traç”. En aquest és la que “pot ser construïda La idea de funció contínua podem saber si una funció, criteris mitjançant els quals de res, analitzarem les epígraf obtendrem alguns és o no contínua. Però abans donada per l’expressió analítica, punt. deixa de ser contínua en un raons per les quals una funció de discontinuïtat en un punt Y Les unitats es divideixen en epígrafs i subepígrafs, on mostrem els conceptes i eines que has d’aprendre. En cada epígraf, com a norma general, trobaràs exercicis resolts que t’il·lustraran sobre com usar les eines que estàs aprenent en aquest moment i exercicis proposats que t’ajudaran a comprovar com progresses. 6 si x ≠ 9 y = *x – 3 4 si x = 9 IV. Punt desplaçat III. Hi falta el punt . II. Salt finit I. Salt infinit X 9 3 a a a a És contínua en la resta. anunciar-la, es desprèn “de ïtat en x = 3 no ha fet falta Observam que la discontinu punt x = 9 s’ha explicitat analítica, mentre que la del forma natural” de l’expressió la definició “a trossos”. amb el recurs artificiós de I i III, que són amb discontinuïtats de tipus funcions les que És important assenyalar no estan definides en el punt definir “de forma natural”, les úniques que s’han pogut a. en què són discontínues. com senzill, per identificar donar un criteri, tan eficaç Això és general, i ens permetrà donada analíticament. la continuïtat d’una funció n discontinuïtats “evitables” Les dels tipus III i IV s’anomene Exercici resolt discontinuïtat 1 Assenyala quin tipus de funcions sepresenta cadascuna de les güents: Y a) at en l’expressió analítica Com detectar la continuït (és a dir, totes les que expressions analítiques elementals estan definides. Les funcions donades per en tots els punts en els quals coneixem fins ara) són contínues en el punt x = 0. a) Té una asímptota vertical tipus I. És una discontinuïtat del 1 y=— x Ten en compte Funcions com les següents, X dues branques de en x = 2. Encara que les b) Té una asímptota vertical d’un salt infinit. van cap amunt, es tracta ïtat del tipus I. És, també, una discontinu Y b) 1 y = —2 (x – 2) un salt finit. c) En el punt x = 2 hi ha tipus II. És una discontinuïtat del y= d) X 2 x si x ≤ 2 1 si x > 2 Y tots els punts de Á. en tot Á i és contínua en 3 f (x) = x – 3x + 5 està definida en x = –3, on no està definida. x +5 en tots els punts, excepte g (x) = x + 3 és contínua definida. en [4, +∞), que és on està h(x) = x – 4 és contínua X Y És una discontinuïtat del 2 x si x ≠ 2 y= 3 si x = 2 on següents té un o més punts 2 Cadascuna de les funcions són aquests punts i quin tipus no és contínua. Indica quins de discontinuïtat presenta: x 2 – 3x b) y = x +2 x a) y = x – 3 3 si x ≠ 4 d) y = ) si x = 4 x2 – 3 1 c) y = x les funcions següents i deter3 Explica per què són contínues definides: mina l’interval en què estan b) y = 5 – x a) y = x2 – 5 x si 0 ≤ x < 2 3x – 4 si x < 3 d) y = ( si 2 ≤ x < 5 2 c) y = ) 2 si x ≥ 3 x+ Exercicis proposats 1 Vertader o fals? els següents és contínua en tots Cadascuna de les funcions punts en què està definida: b) y = x + 2 a) y = x2 – 1 d) y = tg x c) y = sin x f ) y = Mant (x) e) y = Ent (x) 1 h) y = 1 x +2 g) y = 2 1 x – – 2x = (x – 2) x = x si x ≠ 2. x –2 d) Simplificam la fracció: x – 2 la funció coincideix amb té sentit per a x = 2. Per tant, Però l’expressió inicial no falta un punt. la recta y = x llevat que li tipus III. És una discontinuïtat del està desplaçat. en x = 2. Però el seu valor e) La funció sí que està definida x2 x 2 – 2x y=— x–2 2 e) definides. Per exemple: X 2 Y c) 2 – 2x 1 y = xx – 2 y = 1x ; y = (x – 2) 2 ; natural” (sense que estan definides “de forma trossos”), només l’artifici de la definició “a punts on no estan són discontínues en els les corbes tipus IV. x 2 si x < 0 i) y = *x si 0 ≤ x < 3 1 si x > 3 5x – 3 si x ≤ 1 j) y = ) 2 si x > 1 x+ X 151 150 Exercicis i probleme s resolts Exercicis i probleme 1. Funció de densi tat a) Calcula el valor de k perquè f(x) sigui funció de densita t. kx si 0 ≤ x ≤ 2 f(x) = *k si 2< x ≤4 0 en la resta b) Troba les probabilitats següents: P[x ≤ 1] i P[1 ≤ x ≤ 3]. a) Representam el gràfic 2k k 1 Fes-ho tu. Troba el valor de k perquè f (x) = 0,4 + kx, si resta, sigui funció x ∈ [0, 4] i 0 en la de densitat. Calcul P [x ≥ 3], P [x ≤ a 1] i P [1 ≤ x ≤ 3]. 2. Maneig de la taula de la N (0, 1) En una distribució normal N(0, 1), cula les probabilitats cala) següents: a) P[z ≤ 1,2] 1,2 e) P[0,7 < z < 1,6] 1,15 c) –0,83 0,83 d) –1,27 1,27 e) 0,7 1,6 f) –1 0,35 g) a P [–0,83 < z < 0,83]. f (x) a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b) Troba les probab P[x < 4] P[1 < x < 10] P[0 < x < 2] –1,27 –0,83 0,83 1,27 És la diferència de dues tament de les taules. probabilitats que s’obtenen direcP [0,7 < z < 1,6] = P [z ≤ 1,6] – P [z ≤ 0,7] = = ϕ(1,6) – ϕ(0,7) = 0,9452 – 0,7580 = 0,1872 És la diferència de s’obté en les taules dues probabilitats: una d’aque stes i l’altra es resol per simetria. P [–1 < z < 0,35] = P [z ≤ 0,35] – (1 – P [z ≤ 1]) = = ϕ(0,35) – [1 – ϕ(1)] = 0,6368 – 1 + 0,8413 = 0,4781 Es resol per simetr ia. P [–1,27 < z < – 0,83] = P [0,83 < z < 1,27] = = P [z ≤ 1,27] – P [z ≤ = 0,8980 – 0,7967 0,83] = ϕ(1,27) – ϕ(0,83) = = 0,1013 P[4 < x < 9] P[x = 6] P[7 < x < 15] 2. Tipificació En una certa prova, les puntuacions pificades de dos tiestudiants varen ser 0,8 i – 0,4 i les notes reals de 88 i 64 punts, respectivament. Quina na la desviació típica és la mitjana i quide les puntuacions l’examen? de en les taules. P [z ≤ 1,2] = ϕ(1,2) = 0,8849 z ≥ 1,15 és el contra ri de z < 1,15 P [z ≥ 1,15] = 1 – P [z < 1,15] = 1 – ϕ(1,15) = = 1 – 0,8749 = 0,1251 Es resol per simetr ia. P [z ≤ –0,83] = P [z > 0,83] = 1 – P [z ≤ 0,83] = = 1 – ϕ(0,83) = 1 – 0,7967 = 0,2033 Es resol per simetr ia. P [z > –1,27] = P [z ≤ 1,27] = ϕ(1,27 ) = 0,8980 ilitats següents: a) Esbrina l’àrea que hi ha dins del recinte compt cions de rectang ant els rectangles les. La enters d’un rectangle compl suma de l’àrea de tots ha de ser igual a 1 (obser i les fracet és a). Amb aquest va que l’àrea resultat pots trobar b) Calcula, en cada el valor de a. cas, l’àrea dels recinte s corresponents • La probabilit . Ten en compt at d’un valor puntua e que: l és zero. • La probabilitat dels recintes fora P [7 < x < 15] = de l’interval [1, P [7 < x ≤ 10]. 10] és zero; és a dir, Solució: a) a = 1/30 b) P [x < 4] = 13/6 0; P P [0 < x < 2] = 1/20; [4 < x < 9] = 7/10; P [1 < x < 10] = 1; P [x = 6] = 0; P [7 < x < 15] = 7/20 • Expressa que 0,8 és el resultat de tipific ar 88 punts: 88 – µ • Expressa que – 0,4 és el resultat de tipifi q car 64 punts. • Resol el sistem a de dues equacions i dues incògnites. Solució: µ = 72; σ = 20 3. Ajust d’una distribució empír ica a una norm al Un científic ha pres mesures de la longitud de 1 000 granote • Troba els paràm s d’una espècie etres x– i s de determinada. Els resulta la distribució. ts es mostren en • Considera la d aquesta istribució N (µ, taula: σ) amb µ = x– • Calcula la fre i σ = s. qüència teòrica corr esponent a cada inte babilitat que x (que rval. Per a això, trob longitud ( nre de en cm) per 1 000 (que és el segueix una N (µ, σ)) pertan a la proyi a cadascun i nombre d’individus) granotes multiplica-la . Per exe mple: P [10 < x (10, 12] 25 tes la longitud de le ≤ 12] = 0,0303, per la qual cosa s quals el nombre teò (12, 14] està entre 10 cm i 1 Segueix així amb tot 228 2 cm és 1 000 · 0,03 ric de granos els intervals. 03 = 30,3 ≈ 30. (14, 16] • Compara num 475 èricament i gràficam (16, 18] ent les • A partir del r freqüències teòriqu 240 esultat, determina s es amb les observade ubjectivament si les una distribució norm (18, 20] s. dades observades s’ 32 de mètodes superiors al. (Per realitzar una valoració ri ajusten a gorosa de l’ajust es total als continguts d’aqu requereix 1 000 est curs). Solució: x– ≈ 15,1 ; σ ≈ 1,67 Comprova si els resultats s’ajuste n a una longitud ( distribució norma en cm) nombres obteng l. (10, 12] (12, 14] (14, 16] (16, 18] (18, 20] 268 uts 25 228 475 240 32 nombres teòric s 30 223 458 246 40 diferències 5 5 17 6 Les diferències 8 són longituds de les granmolt xicotetes; podem admet re la hipòte otes estudiades segu eixen una distribució si de normalitat. Les normal. Exercicis resolts i guiats La presentació teòrica dels continguts es completa en cada unitat amb: • Diverses pàgines d’aexercicis resolts col·locats per continguts. Intenten cobrir tots els conceptes i eines que has après al llarg de la unitat, encara que, ocasionalment, se’n presenten alguns de nous. • Una pàgina d’exercicis guiats perquè els resolguis seguint uns passos i unes indicacions breus que t’oferim en el llibre per facilitar-te aquesta tasca. També et donem la solució d’aquests exercicis. 8 266 4 Exercicis proposats i autoavaluacions Al final de cada unitat trobaràs una gran quantitat d’exercicis que et proposem perquè els resolguis tu mateix. Estan seqüenciats per continguts i per dificultat. Aquests exercicis es clouen amb una autoavaluació que t’ajudarà a comprovar els teus progressos en l’estudi de la unitat. A més, al final de cada bloc et proposem una llarga autoavaluació amb exercicis per repassar els continguts relacionats amb les unitats que componen el bloc. Al final del llibre trobaràs les solucions de totes les autoavaluacions i les resolucions completes, en www.espaibarcanova.cat Unitat Fes-ho tu. Calcul 3 densitat a) Calcula el valor de a perquè f (x) sigui funció de densita t. S’obté directament b) f ) P[–1 < z < 0,35] g ) P[–1,27 < z < – 0,83] s guiats 1. Funcions de etre k. L’àrea del recinte taronja és 2 · 2k la funció de densita 2 + 2k = 4k. Com que l’àrea tancad t ha de ser igual a davall de a 1, llavors: 4k b) Representam = 1 → k = 1/4. la funció de densita t amb el valor de k trobat. 1/2 P [x ≤ 1] és l’àrea 1/4 del recinte blau, un triangle de base 1 i altura 1/4: 1 2 3 4 P [x ≤ 1] = 1 · (1/4) 1 P [1 ≤ x ≤ 3] és = = 0,125 l’àrea del recinte 2 8 verd; és a dir, l’àrea 1/4 i 1/2 i altura del trapezi rectang 1 més l’àrea del rectangle de base le de bases 1 i altura 1/4. P [1 ≤ x ≤ 3] = (1/2) + (1/4) ·1+ 1 ·1= 5 = 0 2 , 625 4 8 b) P[z ≥ 1,15] c) P[z ≤ – 0,83] d) P[z > –1,27] 2 en funció del paràm de ors d’una cadena realitzat als treballad seva productivitat 30 En un estudi de cotxes sobre la fabricació de peces es (x) amb les en les hores treballad quinzenal, es relacion ( y). unitats produïdes osats Exercicis i problemes prop Per aprofundir dimensionals està estes sis distribucions bi 3 Cadascuna d’aqu s dues rectes de regressió: representada per les seve III Per practicar un total de 80 la, cada alumne realitza relaciona 29 En una autoesco de 20. La taula següent d’errors ( y ): tests repartits en 4 tandes de la tanda (x ) i nombre les variables nombre II I Sense fórmules x casos següents, indica: 1 Per a cadascun dels que s’hi relacionen. • Quines són les variables d’una relació estarelació funcional o • Si es tracta d’una na el signe de la darrer cas, determi dística i, en aquest A C 10 5 10 D 10 10 5 5 5 10 10 5 correlació va i quines tenen es tenen correlació positi 2 3 3 4 5 6 7 4 6 2 4 8 6 5 3 9 1 6 y b) Quin negativa? , la corre’entre els valors següents c) Sense fer càlculs, tria, d distribucions: lació de cadascuna de les –0,76 –1 0,95 –0,98 1 0,64 0 ina? Dóna nta relació funcional, qu d) Una d’aquestes prese la funció que relaciona les dues de analítica ió l’express variables. x 1 2 3 4 5 6 y 10 8 6 4 2 0 ficient de correlació? Quin creus que és el coe , en una qua- 10 6 a) Al teu quadern deu drícula com aquesta, situa estimis punts de manera que ui 0,9 5 lació sig que la seva corre essió i una de les rectes de regr sigui la que veus. ncia per b) Repeteix l’experiè t de aconseguir un coeficien correlació de 0,6. coeficient de 0,3. c) Fes el mateix per a un Atenció: es demana 0 4 2 1 10 7 2 3 12 7 1 0 4 16 4 0 0 yi Resolucions d’aquests En la web 10 estimar, però no calcular. i les de les mares són: 0 nines 7 Les estatures de 1 xi 120 hores? peces aquesta arribat a produir 300 c) Si un empleat ha ha fet feina? hores s’estima que quinzena, quantes 174 178 168 169 172 172 158 162 164 165 166 172 164 158 175 169 163 155 160 161 de punts. ors mitjançant un núvol a) Representa aquests val orrelació és e regressió i digues si la c b) Traça a ull una recta d s o menys forta del que esperaves. positiva o negativa i mé exercicis. certa distribució de Y sobre X d’una – 3 La recta de regressió que x = 10 i r = 0,8. = 1,6x – 3. Sabem bidimensional és y – a) Calcula y . a x = 50. Quina per i 12 = x a y per b) Estima el valor de més fiable? estimació et pareix Y. regressió de X sobre c) Troba la recta de milers de kWh, en y, càpita, d’energia per 4 El consum mensual de sis països són: x, en milers d’euros, i la renda per càpita, cions bidimensionals: b) distribu 1 Observa aquestes a) d) c) 5 5 11 Autoavaluació vol de punts cor e paper quadriculat el nú 5 Representa sobr ibució: responent a aquesta distr 5 5 1 9 0 8 x Sabem que: Y sobre X és: • La recta de regressió de y = 3,47x + 32,01 X sobre Y és: • La recta de regressió de y = 3,81x + 5,36 ors és [60, 85]. emprades pels treballad • L’interval d’hores ió. – – coeficient de correlac a) Troba x, y i el a, quantes 70 hores en una quinzen aquesb) Si un operari fa feina de fiable produirà? Com és I si fossin unitats s’estima que hores? 40 total en feina ta estimació? I si fa 8 - 11 12 - 15 4-7 dels tests es varen tercera tanda, en 12 Per exemple: En la en 7, de 4 a 7 errors… trobar de 0 a 3 errors; l’equació de t de correlació i troba a) Calcula’n el coeficien Y sobre X. de la recta de regressió en la prique tendrà un alumne b) Quants errors s’estima segona? I en la darrera? mera tanda? I en la ament: relació són, no respectiv Els seus coeficients de cor 0,1 – 0,5 – 0,2 0,6 0,99 – 0,9 el valor a cadascuna. Assigna’n, raonadament, istribució i estima vol de punts d’aquesta d ió: 4 Representa el nú correlac cient de r el coefi quin d’aquests tres pot se c) r = 0,58 b) r = – 0,87 a) r = 0,98 10 5 0-3 1 VI V IV correlació. en electricitat família - Despesa mensual a) Renda mensual d’una - Volum d’aquesta b) Radi d’una esfera veure la ts Temps dedicat a c) Litres de pluja arreplega - televisió pels seus habitants en una ciutat recorregut - Preu del bitllet d) Longitud del trajecte en una línia de rodalia duen de e) Pes dels alumnes - Número de calçat que 1r de Batxillerat de tomàtigues es arre- - Preu del quilo f ) Tones de tomàtigu al mercat plegades en una collita mateixa la de casa - Valor g) Superfície d’una e regressió per rn i traça a ull una recta d als: 2 a) Copia en el quade istribucions bidimension B a cadascuna d’aquestes d 10 y ts de correun dels següents coeficien Assigna raonadament lació a cada gràfic: 0,6 – 0,7 – 0,9 0,2 sional: distribució bidimen 2 Representa aquesta 1 2 2 3 4 6 7 8 8 9 x 2 4 3 4 6 5 8 9 10 9 y – – σ . res x, y , σx , σy i xy a) Calcula els paràmet t de correlació. b) Troba’n el coeficien X. regressió de Y sobre c) Troba la recta de i per a x = 10. Són de y per a x = 5 d) Estima el valor ons? “bones” aquestes estimaci A B C D E F x 11,1 8,5 11,3 4,5 9,9 6,5 y 5,7 5,0 5,1 2,7 4,6 3,1 X. de regressió de Y sobre a) Calcula la recta el consum i la rent de correlació entre b) Troba el coeficien da. a sobre el consum d’energi fer podem ó c) Quina predicci del qual és de la renda per càpita per càpita d’un país dóna la renda en que en la taula es 4 400 €? (Recorda milers d’euros.) un país en el qual el per càpita que tendrà d) Estima la renda 000 kWh. càpita ha sigut de 9 consum d’energia per aquestes estimacions? e) Com són de fiables 226 El web de l’alumnat a espaibarcanova.cat Què és? Un espai amb recursos digitals per millorar el teu aprenentatge. Quan hi he d’accedir? Quan la icona indiqui que en www.espaibarcanova.es disposes de recursos relacionats amb el contingut que estàs estudiant. I, per descomptat, visita el web sempre que vulguis investigar i aprendre més. 229