matemĂ tiques J. Colera
MÂŞ J. Oliveira
R. Colera
E. Santaella
noveTAT al i r o t i d e
2016
1r batxillerat
s e u q i t à m e mat
a i g o l o n c e t Ciències i
aplicad
s e u q i t à m mate s l a i c So . c es a les
s l a i c o S s e i c Cièn i s t a t i n a m Hu
noveTAT al editori
2016
RAT 1r BATXILLE
IQUES T À M E T A M Santaella R. Colera E. Mª J. Oliveira
FALTA LLOM
IQU MATEMÀT
ES
J. Colera
RAT
1r BATXILLE
ISBN 978-84-489-4027-0
ISBN 978-84-489-4067-6
M TXILLERA 1rOBA FALTA LL
T
UES Q I T À M E T MA ES APLICADE
SA L
CIALS O S S E I C N CIÈ aella lera E. Sant Mª J. Oliveira
R. Co
MATEMÀTIQ
A UES APLIC
DES
CIALS A LES C.SO
J. Colera
RAT
1r BATXILLE
ISBN 978-84-489-4029-4
ISBN 978-84-489-4068-3
Presentació i estructura Resolució de problemes
Resolució de problemes Problemes: reptes al teu abast
Per actuar amb mètode, quan resolguis un problema, és recomanable que donis una sèrie de passes, sempre les mateixes i sempre en el mateix ordre. Nosaltres et proposam les següents:
Si estàs davant d’una dificultat i ja coneixes un camí per solucionar-la, et trobes davant d’un exercici. Però si no coneixes cap camí, i ni tan sols saps la magnitud de la dificultat a la qual t’enfrontes, aleshores, segurament, estàs davant d’un problema autèntic.
1. Comprendre el problema
Resoldre problemes requereix un gran esforç, com córrer, nedar, colcar en bicicleta o fer gimnàstica. Però, igual que aquestes activitats, proporciona grans satisfaccions.
• Llegeix-lo amb atenció i reflexiona-hi. Si tens algun dubte després de llegir l’enunciat, torna a llegir-lo les vegades que consideris oportunes.
D’altra banda, resoldre un problema també suposa un repte: aquest n’és el component esportiu. I, a més, té un fort component lúdic, perquè és necessari posar en joc creativitat, curiositat, esperit aventurer: indagar, recórrer camins nous, descobrir…
• Has de tenir molt clar en què consisteix, què coneixes, què se’t demana, quines en són les condicions… 2. elaborar un pla d’aCtuaCió
Per resoldre un problema, de vegades, no fa falta saber molt. Només hem de pensar bé i tenir una actitud mental positiva, oberta i creativa.
Hi ha una gran varietat d’estratègies que convé que coneguis i que practiquis per millorar la teva capacitat de resoldre problemes. Més endavant en veurem algunes.
Tot el món, d’entrada, sap “resoldre problemes” (encara que sigui un poc). Però, per molt que se’n sàpiga, tothom pot millorar. Tu ja dus diversos anys entrenant-te, progressant. Pretenem, un any més, ajudar-te a millorar. Per a això, possiblement, només faria falta donar-te una col·lecció d’enunciats i animar-te perquè t’hi enfrontassis. Ho farem, però abans et demanam que reflexionis sobre algunes actituds que t’ajudaran en aquest procés i que t’entrenis practicant algunes estratègies concretes.
És possible que trobis i segueixis un pla d’actuació que no s’enquadri en cap de les estratègies apreses. Millor! El camí ideal és el que més clar et resulti a tu. 3. dur a terme el pla previst Una vegada hagis triat l’estratègia, segueix-la. Però si veus que t’encalles o que entres en un camí sense sortida, torna al pas anterior. És possible que et convengui provar una estratègia nova.
Actituds positives per millorar la resolució de problemes Sigues metòdic
4. reflexionar sobre la soluCió obtenguda
El mètode no t’assegura l’èxit però t’ajuda en la recerca.
Molt sovint ens oblidam d’aquest pas i és tan important com tots els anteriors.
Ten confiança en les teves capacitats
• Has de verificar si la solució que has donat és bona: si és completa, si respon a allò que el problema plantejava, si és raonable…
Ben sovint no fa falta saber molt per resoldre un problema, només hem de pensar correctament. Actua, per tant, convençut que està al teu abast. ■
• Reflexiona sobre el procés que has seguit i sobre les dificultats amb què t’has trobat (fins i tot si no has arribat a la solució, no importa; segur que has après alguna cosa).
Sigues pacient i constant No abandonis a la primera dificultat. Cada problema requereix d’un temps i és imprescindible dedicar-l’hi.
■
• També pots plantejar-te problemes nous o intentar cercar-hi altres solucions o, tal vegada, la solució obtenguda et pugui servir per resoldre aquell altre problema que no et sortia.
Concentra’t en el que fas Resoldre problemes és una activitat intel·lectual complexa. Requereix posar en tensió tots els ressorts mentals.
■
“Actuar sense mètode enfosqueix la raó i cega la intel·ligència”, René Descartes (1596-1650). ■
5. redaCtar la resoluCió
Dóna per bo el temps emprat
• Redacta el procés de resolució de forma clara, ordenada, que una altra persona el pugui comprendre.
Ten la seguretat que tot el temps que dediquis a aquesta tasca és summament profitós. Encara que no hagis estat capaç de resoldre el problema!
• Dóna la solució de manera coherent amb els termes de l’enunciat. Fixa’t sobretot en la pregunta que se’t fa i tracta de respondre-la en els mateixos termes. • Encara que no hagis arribat a resoldre’l, fes una bona redacció descrivint el procés que has seguit, els intents successius, el perquè creus que no t’ha sortit, etc.; t’ajudarà a millorar. A més a més, pot resultar molt útil perquè qui t’ho va proposar pugui donar-te les orientacions que siguin més adequades per a tu.
Treu partit als bons problemes Un bon problema és una magnífica font d’aprenentatge. Encara que ja l’hagis resolt (amb ajuda o sense), torna-hi al cap del temps i intenta resoldre’l de nou.
8
9
Inicis de bloc
Notes històriques. Anàlisi L’anàlisi és la branca de les matemàtiques que proporcion a conceptes i mètodes per l’estudi quantitatiu dels diferents a processos de dependència tud respecte a altres. Sorgeix i de canvi d’una magnien un període en el qual el desenvolupament de la cànica i de l’astronomia havia meproporcionat ja un cúmul considerable d’observacions, mesures i hipòtesis, i estava impulsant la ciència cap a la investigació quantitativ les formes més senzilles de a de moviment.
El llibre està dividit en tres blocs, que es corresponen amb diferents camps de les matemàtiques: Aritmètica i àlgebra, Anàlisi, Estadística i probabilitat. Cada un d’aquests blocs s’inicia amb un eix cronològic en què s’assenyalen els principals avenços en el camp de les matemàtiques tractat juntament amb els fets històrics i invents més rellevants de l’època en què es van produir.
L’emperador Qin Shi Huangdi mana tallar els guerrers de Xi’an
II
■
Bloc
■
Al final del llibre trobaràs un apartat dedicat a la resolució de problemes. En primer lloc, et donem, unes quantes pautes i t’indiquem els passos que has de seguir a l’hora d’enfrontar-te a un problema. Després, et mostrem diferents estratègies molt útils per a la resolució de problemes. Hi trobaràs problemes resolts mitjançant l’aplicació d’aquestes estratègies, i també problemes proposats perquè els resolguis i comprovis si estàs adquirint les habilitats presentades. Al final, et proposem una gran quantitat de problemes perquè assagis aquestes estratègies.
Etapes en la resolució de problemes
Començam recordant què és un problema:
2 Nicolau Oresme 1 Arquimedes
200
J. C.
Guerra dels Cent Anys
S’estén l’ús de les armes de foc 1400
Segona Guerra Púnica
Devastadora pesta negra a Europa
300
S’acaba Sant Pere del Vaticà
El Mayflower arriba al Nou Món
1300 1600
3 Descartes
1650
Sorgeixen l’epicureisme i l’estoïcisme
1900
Descobriment dels anells de Saturn
Invenció del telescopi
3 4 Leibniz
Pascal construeix una de les primeres calculadores
3 4 Newton
Es finalitza la construcció del palau de Versalles
Invenció de la llum elèctrica S’inventa el plàstic
Es construeix el primer avió de la història
Invenció de l’anestèsia
Primera computadora
Freud Unificació italiana
Revolució Francesa
1850 Invenció de la fotografia
1 Arquimedes és el primer a estudiar l’àrea davall una corba a través del sumatori d’una sèrie infinita. Al s’usarà el mètode exhaustiu segle xvii que va crear per donar solució a aquest problema. 2 Nicolau Oresme (1323-1382 ) és el primer que usa diagrames per representar magnituds en el pla. Amb ell comença una interacció fructífera entre la geometria, el càlcul i l’àlgebra.
3 Neix el concepte de funció, al desenvolupament de l’anàlisi,bàsic per per estudiar les variacions de certes magnituds respecte d’altres. Newton, Leibniz i Bernoulli, usant el sistema gràfic cartes, varen fer un ús creatiu de Desi fecund d’aquest concepte.
Alçaments revolucionaris a Europa
1800 Cauchy 7
4 Newton (1643-1727 ) i (1646-1716) inventen, gairebé Leibniz de manera simultània, el concepte de derivada generalitzant les tècniques que Arquimedes va emprar en el càlcul d’àrees i volums i amb el suport gràfic dels diagrames cartesians.
102
Primer assentament europeu a Austràlia
Primera enciclopèdia: Diderot i D’Alambert
1750 Watt inventa la màquina de vapor
5 El càlcul infinitesimal (límits, derivades, integrals) es va crear per resoldre els principals problemes científics xvii, alguns plantejats segles del segle enrere: obtenir longituds de corbes, calcular àrees i volums de cossos geomètrics i determinar la tangent a una corba en un punt.
Euler 6
Es funda la RAE
Celsius inventa l’escala de temperatura, que duu el seu nom
Aleksei Txírikov, rus, explora Alaska
6 Euler (1707-1783) formalitza el concepte de funció i el dota d’entitat matemàtica i d’una nomenclatu ra precisa. 7 Cauchy (1789-1857 ) formalitza el concepte de derivada i el relaciona de forma explícita amb el de límit.
Neix el càlcul infinitesimal
1700
Johann Bernoulli 3
5
En la web
• Ampliació de les notes històriques corresponents a aquest bloc. • Lectura sobre el creixement d’una població.
103
4 Funcions elementals
multitud de fenòmens soLes funcions s’usen per modelitzar i estudiar algunes tenen expressions molt cials, naturals, científics… Encara que de moltes altres. complexes, és sorprenent veure la simplicitat a la sang? Entre d’altres, s’usa Com es determina la quantitat d’oxigen (es diu que és de forma sigmoide). una funció amb la corba en forma d’eix de l’edat dels fòssils? Sí, una Intervé alguna funció en la determinació
de logarítmica. ha desenvolupat un model Molt recentment, un equip de científics els eclipsis de Fobos (satèl·lit de matemàtic complex destinat a predir de la NASA, el Curiosity, Mart) per poder observar-los amb el vehicle dades, la predicció d’aquests des de la superfície de Mart. Entre altres instant de temps, les coordeeclipsis requereix conèixer, per a qualsevol model dictamina en quins nades de Fobos i del Sol des de Mart. Aquest Curiosity havia d’enfocar el Sol. instants la càmera situada en el pal del
Primera idea de funció; fórmules
fa molts segles, lleis que desLes diferents ciències coneixen, des de manera que coneixent el valor criuen relacions entre magnituds, de tal , el valor de l’altra. Oresd’alguna d’aquestes s’obté, inequívocament va afirmar el 1350 que les lleis me (matemàtic francès del segle xiv) entre “dues quantitats”. de la naturalesa són relacions de dependència que originaren el concepte de Varen ser aquest tipus de relacions les funció. la d’una fórmula que relaciona La primera idea de funció és, per tant, algebraicament diverses magnituds.
Inicis d’unitat
Utilitat de les funcions
Nicolau Oresme (1323-1382).
Experimentant com a font d’informació
primera vegada l’experimentació Galileu, a finals del segle xvi, utilitza per anota, extrau conseqüènquantitativa (dissenya, experimenta, mesura, descriguin fenòmens naturals. cies) per establir relacions numèriques que cartesians (segle xvii) va La representació gràfica mitjançant diagrames D’aquesta manera, el concepte permetre la visualització de les funcions. que respongui a numèrica de funció es generalitza a qualsevol relació un gràfic situat sobre uns eixos de coordenades. per designar aquestes relaLeibniz, el 1673, adopta la paraula funció cions.
Robot Curiosity.
Pàgines del llibre “Opera Omnia” de Gottfried
El concepte de funció es generalitza
el concepte, al qual va donar Euler, entre 1748 i 1755, va anar perfilant que una relació entre dues precisió i generalitat, per admetre, finalment, hi hagi una expressió analítica variables pot ser funció encara que no qui va aportar la nomenclatura que la descrigui. El mateix Euler va ser al nombre x. Es pot associat f (x) per indicar el valor de la funció f de funció. dir que amb Euler s’assenta el concepte els matemàtics, la discussió soDesprés d’Euler encara va seguir, entre per definir una funció i quins bre quins requisits eren imprescindibles va anys!) es arribar a la definició no. El 1923 (fa d’això menys de 100 actualment: següent, molt pareguda a la que s’usa valor de x correspon “Es diu que y és funció de x si a cada s’indica mitjançant un valor de y. Aquesta correspondència l’equació y = f (x).”
104
Leibniz.
Resol Famílies de funcions Associa a cadascun dels gràfics següents A
B Y
C
Y
X
X
D Y
E Y
Y
X
X
X
una d’aquestes expressions analítiques: x2 2 V. y = 3x – 2 IV. y = 6 III. y = x2 – 4x x –3 II. y = x – 4 I. y = x – 2 pertany. Totes són anteriors el nom de la família a la qual Assigna a cadascuna de les cinc funcions Leonhard Euler (1707-1783).
d’alguna d’aquestes quatre: 2. Quadràtica 1. Lineal
3. Arrel
4. De proporcionalitat inversa
105
Les dues primeres pàgines de cada unitat estan dedicades a introduir els continguts més importants que s’hi tracten. A través dels descobriments més destacats en un camp determinat de les matemàtiques i dels personatges històrics que els van protagonitzar, s’hi fa una presentació breu dels orígens, de l’evolució i de la situació actual d’aquests continguts. La introducció acaba sempre amb l’apartat «Resol»; s’hi proposa una activitat amb la resolució de la qual pretenem activar els teus coneixements previs de la matèria que es tractarà al llarg de la unitat.
6 Unitat
uïtat. 1 Visió intuïtiva de la contin
Discontinuïtats Observam diferents tipus
Desenvolupament de cada unitat
es en diverses funcions discontínu (exercici resolt) hem vist En els exemples anteriors seu domini de definició. Vegemen tots els altres punts del un punt, però contínues ne un altre cas. ïtat: discontinu de punts Aquesta funció té dos infinit (Tipus I). En x = 3 presenta un salt (Tipus IV). En x = 9 té el punt desplaçat
ts
Tipus de discontinuïta
amb un sol traç”. En aquest és la que “pot ser construïda La idea de funció contínua podem saber si una funció, criteris mitjançant els quals de res, analitzarem les epígraf obtendrem alguns és o no contínua. Però abans donada per l’expressió analítica, punt. deixa de ser contínua en un raons per les quals una funció de discontinuïtat en un punt
Y
Les unitats es divideixen en epígrafs i subepígrafs, on mostrem els conceptes i eines que has d’aprendre. En cada epígraf, com a norma general, trobaràs exercicis resolts que t’il·lustraran sobre com usar les eines que estàs aprenent en aquest moment i exercicis proposats que t’ajudaran a comprovar com progresses.
6 si x ≠ 9 y = *x – 3 4 si x = 9
IV. Punt desplaçat
III. Hi falta el punt .
II. Salt finit
I. Salt infinit
X
9
3
a
a
a
a
És contínua en la resta. anunciar-la, es desprèn “de ïtat en x = 3 no ha fet falta Observam que la discontinu punt x = 9 s’ha explicitat analítica, mentre que la del forma natural” de l’expressió la definició “a trossos”. amb el recurs artificiós de I i III, que són amb discontinuïtats de tipus funcions les que És important assenyalar no estan definides en el punt definir “de forma natural”, les úniques que s’han pogut
a.
en què són discontínues. com senzill, per identificar donar un criteri, tan eficaç Això és general, i ens permetrà donada analíticament. la continuïtat d’una funció
n discontinuïtats “evitables”
Les dels tipus III i IV s’anomene
Exercici resolt discontinuïtat 1 Assenyala quin tipus de funcions sepresenta cadascuna de les güents: Y
a)
at en l’expressió analítica Com detectar la continuït (és a dir, totes les que expressions analítiques elementals estan definides. Les funcions donades per en tots els punts en els quals coneixem fins ara) són contínues
en el punt x = 0. a) Té una asímptota vertical tipus I. És una discontinuïtat del
1 y=— x
Ten en compte Funcions com les següents,
X
dues branques de en x = 2. Encara que les b) Té una asímptota vertical d’un salt infinit. van cap amunt, es tracta ïtat del tipus I. És, també, una discontinu
Y
b)
1 y = —2 (x – 2)
un salt finit. c) En el punt x = 2 hi ha tipus II. És una discontinuïtat del
y=
d)
X 2 x si x ≤ 2 1 si x > 2
Y
tots els punts de Á. en tot Á i és contínua en 3 f (x) = x – 3x + 5 està definida en x = –3, on no està definida. x +5 en tots els punts, excepte g (x) = x + 3 és contínua definida. en [4, +∞), que és on està h(x) = x – 4 és contínua
X
Y
És una discontinuïtat del
2 x si x ≠ 2 y= 3 si x = 2
on següents té un o més punts 2 Cadascuna de les funcions són aquests punts i quin tipus no és contínua. Indica quins de discontinuïtat presenta: x 2 – 3x b) y = x +2 x a) y = x – 3 3 si x ≠ 4 d) y = ) si x = 4 x2 – 3 1 c) y = x les funcions següents i deter3 Explica per què són contínues definides: mina l’interval en què estan b) y = 5 – x a) y = x2 – 5 x si 0 ≤ x < 2 3x – 4 si x < 3 d) y = ( si 2 ≤ x < 5 2 c) y = ) 2 si x ≥ 3 x+
Exercicis proposats 1 Vertader o fals? els següents és contínua en tots Cadascuna de les funcions punts en què està definida: b) y = x + 2 a) y = x2 – 1 d) y = tg x c) y = sin x f ) y = Mant (x) e) y = Ent (x) 1 h) y = 1 x +2 g) y = 2 1 x –
– 2x = (x – 2) x = x si x ≠ 2. x –2 d) Simplificam la fracció: x – 2 la funció coincideix amb té sentit per a x = 2. Per tant, Però l’expressió inicial no falta un punt. la recta y = x llevat que li tipus III. És una discontinuïtat del està desplaçat. en x = 2. Però el seu valor e) La funció sí que està definida x2
x 2 – 2x y=— x–2 2
e)
definides.
Per exemple:
X
2 Y
c)
2 – 2x 1 y = xx – 2 y = 1x ; y = (x – 2) 2 ; natural” (sense que estan definides “de forma trossos”), només l’artifici de la definició “a punts on no estan són discontínues en els
les corbes
tipus IV.
x 2 si x < 0 i) y = *x si 0 ≤ x < 3 1 si x > 3
5x – 3 si x ≤ 1 j) y = ) 2 si x > 1 x+
X
151
150
Exercicis i probleme
s resolts
Exercicis i probleme
1.
Funció de densi tat a) Calcula el valor de k perquè f(x) sigui funció de densita t. kx si 0 ≤ x ≤ 2 f(x) = *k si 2< x ≤4 0 en la resta b) Troba les probabilitats següents: P[x ≤ 1] i P[1 ≤ x ≤ 3].
a) Representam el gràfic 2k k
1
Fes-ho tu. Troba el valor de k perquè f (x) = 0,4 + kx, si resta, sigui funció x ∈ [0, 4] i 0 en la de densitat. Calcul P [x ≥ 3], P [x ≤ a 1] i P [1 ≤ x ≤ 3].
2. Maneig de la taula de la N (0, 1) En una distribució normal N(0, 1), cula les probabilitats cala) següents: a) P[z ≤ 1,2]
1,2
e) P[0,7 < z < 1,6]
1,15
c) –0,83
0,83
d) –1,27
1,27
e)
0,7 1,6
f) –1
0,35
g) a P [–0,83 < z < 0,83].
f (x) a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b) Troba les probab P[x < 4] P[1 < x < 10]
P[0 < x < 2]
–1,27 –0,83
0,83 1,27
És la diferència de dues tament de les taules. probabilitats que s’obtenen direcP [0,7 < z < 1,6] = P [z ≤ 1,6] – P [z ≤ 0,7] = = ϕ(1,6) – ϕ(0,7) = 0,9452 – 0,7580 = 0,1872 És la diferència de s’obté en les taules dues probabilitats: una d’aque stes i l’altra es resol per simetria. P [–1 < z < 0,35] = P [z ≤ 0,35] – (1 – P [z ≤ 1]) = = ϕ(0,35) – [1 – ϕ(1)] = 0,6368 – 1 + 0,8413 = 0,4781 Es resol per simetr ia. P [–1,27 < z < – 0,83] = P [0,83 < z < 1,27] = = P [z ≤ 1,27] – P [z ≤ = 0,8980 – 0,7967 0,83] = ϕ(1,27) – ϕ(0,83) = = 0,1013
P[4 < x < 9] P[x = 6] P[7 < x < 15]
2. Tipificació En una certa prova, les puntuacions pificades de dos tiestudiants varen ser 0,8 i – 0,4 i les notes reals de 88 i 64 punts, respectivament. Quina na la desviació típica és la mitjana i quide les puntuacions l’examen? de
en les taules. P [z ≤ 1,2] = ϕ(1,2) = 0,8849
z ≥ 1,15 és el contra ri de z < 1,15 P [z ≥ 1,15] = 1 – P [z < 1,15] = 1 – ϕ(1,15) = = 1 – 0,8749 = 0,1251 Es resol per simetr ia. P [z ≤ –0,83] = P [z > 0,83] = 1 – P [z ≤ 0,83] = = 1 – ϕ(0,83) = 1 – 0,7967 = 0,2033 Es resol per simetr ia. P [z > –1,27] = P [z ≤ 1,27] = ϕ(1,27 ) = 0,8980
ilitats següents:
a) Esbrina l’àrea que hi ha dins del recinte compt cions de rectang ant els rectangles les. La enters d’un rectangle compl suma de l’àrea de tots ha de ser igual a 1 (obser i les fracet és a). Amb aquest va que l’àrea resultat pots trobar b) Calcula, en cada el valor de a. cas, l’àrea dels recinte s corresponents • La probabilit . Ten en compt at d’un valor puntua e que: l és zero. • La probabilitat dels recintes fora P [7 < x < 15] = de l’interval [1, P [7 < x ≤ 10]. 10] és zero; és a dir, Solució: a) a = 1/30 b) P [x < 4] = 13/6 0; P P [0 < x < 2] = 1/20; [4 < x < 9] = 7/10; P [1 < x < 10] = 1; P [x = 6] = 0; P [7 < x < 15] = 7/20 • Expressa que 0,8 és el resultat de tipific ar 88 punts: 88 – µ • Expressa que – 0,4 és el resultat de tipifi q car 64 punts. • Resol el sistem a de dues equacions i dues incògnites.
Solució:
µ = 72; σ = 20 3. Ajust d’una distribució empír ica a una norm al Un científic ha pres mesures de la longitud de 1 000 granote • Troba els paràm s d’una espècie etres x– i s de determinada. Els resulta la distribució. ts es mostren en • Considera la d aquesta istribució N (µ, taula: σ) amb µ = x– • Calcula la fre i σ = s. qüència teòrica corr esponent a cada inte babilitat que x (que rval. Per a això, trob longitud ( nre de en cm) per 1 000 (que és el segueix una N (µ, σ)) pertan a la proyi a cadascun i nombre d’individus) granotes multiplica-la . Per exe mple: P [10 < x (10, 12] 25 tes la longitud de le ≤ 12] = 0,0303, per la qual cosa s quals el nombre teò (12, 14] està entre 10 cm i 1 Segueix així amb tot 228 2 cm és 1 000 · 0,03 ric de granos els intervals. 03 = 30,3 ≈ 30. (14, 16] • Compara num 475 èricament i gràficam (16, 18] ent les • A partir del r freqüències teòriqu 240 esultat, determina s es amb les observade ubjectivament si les una distribució norm (18, 20] s. dades observades s’ 32 de mètodes superiors al. (Per realitzar una valoració ri ajusten a gorosa de l’ajust es total als continguts d’aqu requereix 1 000 est curs). Solució: x– ≈ 15,1 ; σ ≈ 1,67 Comprova si els resultats s’ajuste n a una longitud ( distribució norma en cm) nombres obteng l. (10, 12] (12, 14] (14, 16] (16, 18] (18, 20]
268
uts
25 228 475 240 32
nombres teòric s
30 223 458 246 40
diferències
5 5 17 6
Les diferències 8 són longituds de les granmolt xicotetes; podem admet re la hipòte otes estudiades segu eixen una distribució si de normalitat. Les normal.
Exercicis resolts i guiats La presentació teòrica dels continguts es completa en cada unitat amb: • Diverses pàgines d’aexercicis resolts col·locats per continguts. Intenten cobrir tots els conceptes i eines que has après al llarg de la unitat, encara que, ocasionalment, se’n presenten alguns de nous. • Una pàgina d’exercicis guiats perquè els resolguis seguint uns passos i unes indicacions breus que t’oferim en el llibre per facilitar-te aquesta tasca. També et donem la solució d’aquests exercicis. 8
266
4
Exercicis proposats i autoavaluacions Al final de cada unitat trobaràs una gran quantitat d’exercicis que et proposem perquè els resolguis tu mateix. Estan seqüenciats per continguts i per dificultat. Aquests exercicis es clouen amb una autoavaluació que t’ajudarà a comprovar els teus progressos en l’estudi de la unitat. A més, al final de cada bloc et proposem una llarga autoavaluació amb exercicis per repassar els continguts relacionats amb les unitats que componen el bloc. Al final del llibre trobaràs les solucions de totes les autoavaluacions i les resolucions completes, en www.espaibarcanova.cat
Unitat
Fes-ho tu. Calcul
3
densitat a) Calcula el valor de a perquè f (x) sigui funció de densita t.
S’obté directament
b)
f ) P[–1 < z < 0,35] g ) P[–1,27 < z < – 0,83]
s guiats
1. Funcions de
etre k.
L’àrea del recinte taronja és 2 · 2k la funció de densita 2 + 2k = 4k. Com que l’àrea tancad t ha de ser igual a davall de a 1, llavors: 4k b) Representam = 1 → k = 1/4. la funció de densita t amb el valor de k trobat. 1/2 P [x ≤ 1] és l’àrea 1/4 del recinte blau, un triangle de base 1 i altura 1/4: 1 2 3 4 P [x ≤ 1] = 1 · (1/4) 1 P [1 ≤ x ≤ 3] és = = 0,125 l’àrea del recinte 2 8 verd; és a dir, l’àrea 1/4 i 1/2 i altura del trapezi rectang 1 més l’àrea del rectangle de base le de bases 1 i altura 1/4. P [1 ≤ x ≤ 3] = (1/2) + (1/4) ·1+ 1 ·1= 5 = 0 2 , 625 4 8
b) P[z ≥ 1,15] c) P[z ≤ – 0,83] d) P[z > –1,27]
2
en funció del paràm
de ors d’una cadena realitzat als treballad seva productivitat 30 En un estudi de cotxes sobre la fabricació de peces es (x) amb les en les hores treballad quinzenal, es relacion ( y). unitats produïdes
osats
Exercicis i problemes prop
Per aprofundir
dimensionals està estes sis distribucions bi 3 Cadascuna d’aqu s dues rectes de regressió: representada per les seve III
Per practicar
un total de 80 la, cada alumne realitza relaciona 29 En una autoesco de 20. La taula següent d’errors ( y ): tests repartits en 4 tandes de la tanda (x ) i nombre les variables nombre
II
I
Sense fórmules
x
casos següents, indica: 1 Per a cadascun dels que s’hi relacionen. • Quines són les variables d’una relació estarelació funcional o • Si es tracta d’una na el signe de la darrer cas, determi dística i, en aquest
A
C
10
5
10
D 10
10
5
5
5
10
10
5
correlació
va i quines tenen es tenen correlació positi
2
3
3
4
5
6
7
4
6
2
4
8
6
5
3
9
1
6
y
b) Quin negativa? , la corre’entre els valors següents c) Sense fer càlculs, tria, d distribucions: lació de cadascuna de les –0,76 –1 0,95 –0,98 1 0,64 0 ina? Dóna nta relació funcional, qu d) Una d’aquestes prese la funció que relaciona les dues de analítica ió l’express variables.
x
1
2
3
4
5
6
y
10
8
6
4
2
0
ficient de correlació? Quin creus que és el coe , en una qua- 10 6 a) Al teu quadern deu drícula com aquesta, situa estimis punts de manera que ui 0,9 5 lació sig que la seva corre essió i una de les rectes de regr sigui la que veus. ncia per b) Repeteix l’experiè t de aconseguir un coeficien correlació de 0,6. coeficient de 0,3. c) Fes el mateix per a un Atenció: es demana
0
4
2
1
10
7
2
3
12
7
1
0
4
16
4
0
0
yi
Resolucions d’aquests
En la web
10
estimar, però no calcular.
i les de les mares són:
0 nines 7 Les estatures de 1 xi
120 hores? peces aquesta arribat a produir 300 c) Si un empleat ha ha fet feina? hores s’estima que quinzena, quantes
174 178 168 169 172 172 158 162 164 165 166 172 164 158 175 169 163 155 160 161
de punts. ors mitjançant un núvol a) Representa aquests val orrelació és e regressió i digues si la c b) Traça a ull una recta d s o menys forta del que esperaves. positiva o negativa i mé
exercicis.
certa distribució de Y sobre X d’una – 3 La recta de regressió que x = 10 i r = 0,8. = 1,6x – 3. Sabem bidimensional és y – a) Calcula y . a x = 50. Quina per i 12 = x a y per b) Estima el valor de més fiable? estimació et pareix Y. regressió de X sobre c) Troba la recta de milers de kWh, en y, càpita, d’energia per 4 El consum mensual de sis països són: x, en milers d’euros, i la renda per càpita,
cions bidimensionals: b)
distribu 1 Observa aquestes a)
d)
c)
5
5
11
Autoavaluació
vol de punts cor
e paper quadriculat el nú 5 Representa sobr ibució: responent a aquesta distr
5
5
1
9
0
8
x
Sabem que: Y sobre X és: • La recta de regressió de y = 3,47x + 32,01 X sobre Y és: • La recta de regressió de y = 3,81x + 5,36 ors és [60, 85]. emprades pels treballad • L’interval d’hores ió. – – coeficient de correlac a) Troba x, y i el a, quantes 70 hores en una quinzen aquesb) Si un operari fa feina de fiable produirà? Com és I si fossin unitats s’estima que hores? 40 total en feina ta estimació? I si fa
8 - 11 12 - 15
4-7
dels tests es varen tercera tanda, en 12 Per exemple: En la en 7, de 4 a 7 errors… trobar de 0 a 3 errors; l’equació de t de correlació i troba a) Calcula’n el coeficien Y sobre X. de la recta de regressió en la prique tendrà un alumne b) Quants errors s’estima segona? I en la darrera? mera tanda? I en la
ament: relació són, no respectiv Els seus coeficients de cor 0,1 – 0,5 – 0,2 0,6 0,99 – 0,9 el valor a cadascuna. Assigna’n, raonadament, istribució i estima vol de punts d’aquesta d ió: 4 Representa el nú correlac cient de r el coefi quin d’aquests tres pot se c) r = 0,58 b) r = – 0,87 a) r = 0,98
10
5
0-3
1 VI
V
IV
correlació. en electricitat família - Despesa mensual a) Renda mensual d’una - Volum d’aquesta b) Radi d’una esfera veure la ts Temps dedicat a c) Litres de pluja arreplega - televisió pels seus habitants en una ciutat recorregut - Preu del bitllet d) Longitud del trajecte en una línia de rodalia duen de e) Pes dels alumnes - Número de calçat que 1r de Batxillerat de tomàtigues es arre- - Preu del quilo f ) Tones de tomàtigu al mercat plegades en una collita mateixa la de casa - Valor g) Superfície d’una e regressió per rn i traça a ull una recta d als: 2 a) Copia en el quade istribucions bidimension B a cadascuna d’aquestes d 10
y
ts de correun dels següents coeficien Assigna raonadament lació a cada gràfic: 0,6 – 0,7 – 0,9 0,2 sional: distribució bidimen 2 Representa aquesta 1
2
2
3
4
6
7
8
8
9
x
2
4
3
4
6
5
8
9
10
9
y
– – σ . res x, y , σx , σy i xy a) Calcula els paràmet t de correlació. b) Troba’n el coeficien X. regressió de Y sobre c) Troba la recta de i per a x = 10. Són de y per a x = 5 d) Estima el valor ons? “bones” aquestes estimaci
A
B
C
D
E
F
x
11,1
8,5
11,3
4,5
9,9
6,5
y
5,7
5,0
5,1
2,7
4,6
3,1
X. de regressió de Y sobre a) Calcula la recta el consum i la rent de correlació entre b) Troba el coeficien da. a sobre el consum d’energi fer podem ó c) Quina predicci del qual és de la renda per càpita per càpita d’un país dóna la renda en que en la taula es 4 400 €? (Recorda
milers d’euros.) un país en el qual el per càpita que tendrà d) Estima la renda 000 kWh. càpita ha sigut de 9 consum d’energia per aquestes estimacions? e) Com són de fiables
226
El web de l’alumnat a espaibarcanova.cat
Què és? Un espai amb recursos digitals per millorar el teu aprenentatge. Quan hi he d’accedir? Quan la icona indiqui que en www.espaibarcanova.es disposes de recursos relacionats amb el contingut que estàs estudiant. I, per descomptat, visita el web sempre que vulguis investigar i aprendre més.
229
Índex Resolució de problemes . . . . . . . . . . . . . 8 Problemes: reptes al teu abast . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actituds positives per millorar la resolució de problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Etapes en la resolució de problemes . . . . . . . . . . . . . Anàlisi d’algunes estratègies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La demostració matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemes per practicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 8 9 10 16 20
I Aritmètica i àlgebra . . . . . . . . . . . . . . . 25 1. Nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Llenguatge matemàtic: conjunts i símbols . . . 1.2 Nombres reals. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Radicals. Propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Logaritmes. Propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Expressió decimal dels nombres reals. Nombres aproximats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Factorials i nombres combinatoris . . . . . . . . . . . . 1.7 Fórmula del binomi de Newton . . . . . . . . . . . . . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28 30 32 34 37
2. Successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Concepte de successió . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Algunes successions especialment interessants . . . 2.3 Límit d’una successió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Alguns límits importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54 56 58 61 64 66 71
3. Àlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Polinomis. Factorització . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fraccions algebraiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Resolució d’equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Resolució de sistemes d’equacions . . . . . . . . . . . . 3.5 Mètode de Gauss per a sistemes lineals . . . . . . . . 3.6 Inequacions i sistemes amb una incògnita . . . . . . 3.7 Inequacions lineals amb dues incògnites . . . . . . . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació del bloc I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72 74 76 78 81 83 86 88 90 99 100
40 43 45 46 53
II Trigonometria i nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . 101 4. Resolució de triangles . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.1 Raons trigonomètriques d’un angle agut (0° a 90°) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2 Raons trigonomètriques de qualsevol angle (0° a 360°) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Angles fora de l’interval 0° a 360° . . . . . . . . . . . . 4.4 Trigonometria amb calculadora . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Relacions entre les raons trigonomètriques d’alguns angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Resolució de triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . 4.7 Estratègia de l’altura per resoldre triangles obliquangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Dos teoremes importants per resoldre qualsevol triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107 108 109 110 112 114 116 120 127
5. Fórmules i funcions trigonomètriques . 128 5.1 Fórmules trigonomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.2 Equacions trigonomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3 Funcions trigonomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6. Nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 En què consisteixen els nombres complexos . . . . 6.2 Operacions amb nombres complexos en forma binòmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Nombres complexos en forma polar . . . . . . . . . . 6.4 Operacions amb complexos en forma polar . . . . 6.5 Radicació de nombres complexos . . . . . . . . . . . . 6.6 Descripcions gràfiques amb nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació del bloc II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146 148 150 152 154 156 158 159 165 166
III Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7. Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Els vectors i les seves operacions . . . . . . . . . . . . . 7.2 Coordenades d’un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Producte escalar de vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170 172 174 176 179 185
8. Geometria analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Punts i vectors en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Equacions d’una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Feix de rectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Reflexions sobre equacions amb i sense “paràmetres” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Paral·lelisme i perpendicularitat . . . . . . . . . . . . . 8.6 Posicions relatives de dues rectes . . . . . . . . . . . . .
186 188 191 196 197 198 200
matemàtiques Ciències i tecnologia
8.7 Angle de dues rectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Càlcul de distàncies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202 203 204 213
9. Llocs geomètrics. Còniques . . . . . . . . . . . 9.1 Llocs geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Estudi de la circumferència . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Les còniques com a llocs geomètrics . . . . . . . . . . 9.4 Estudi de l’el·lipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Estudi de la hipèrbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Estudi de la paràbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Tangents a les còniques mitjançant papiroflèxia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació del bloc III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214 216 218 222 224 227 230 231 232 241 242
IV Anàlisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 10. Funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 L’estudi de les funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Famílies de funcions elementals . . . . . . . . . . . . 10.3 Funcions definides “a trossos” . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Transformacions elementals de funcions . . . . . . 10.5 Composició de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Funció inversa o recíproca d’una altra . . . . . . . . 10.7 Funcions arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Visió intuïtiva de la continuïtat. Tipus de discontinuïtats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Límit d’una funció en un punt. Continuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Càlcul de límits en un punt . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Límit d’una funció quan x → +∞ . . . . . . . . . . . 11.5 Càlcul de límits quan x → +∞ . . . . . . . . . . . . . 11.6 Límit d’una funció quan x → –∞ . . . . . . . . . . . 11.7 Branques infinites. Asímptotes . . . . . . . . . . . . . 11.8 Branques infinites en les funcions racionals . . . . 11.9 Branques infinites en les funcions trigonomètriques, exponencials i logarítmiques . . . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246 248 250 254 256 258 259 261 263 271 272 274 276 278 282 283 285 286 288 290 291 299
12. Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 12.1 Mesura del creixement d’una funció . . . . . . . . . 302 12.2 Obtenció de la derivada a partir de l’expressió analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
12.3 Funció derivada d’una altra . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Regles per obtenir les derivades d’algunes funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Utilitat de la funció derivada . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Representació de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació del bloc IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306 308 312 315 319 331 332
V Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 13. Distribucions bidimensionals . . . . . . . 13.1 Distribucions bidimensionals. Núvols de punts . . 13.2 Correlació lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Paràmetres associats a una distribució bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Recta de regressió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Hi ha dues rectes de regressió . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Taules de contingència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
336 338 340
14. Càlcul de probabilitats . . . . . . . . . . . . . . 14.1. Nocions de combinatòria . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Experiències aleatòries. Esdeveniments o successos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3. Freqüència i probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Llei de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Probabilitat condicionada. Esdeveniments independents . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 Proves compostes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7. Probabilitat total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8. Probabilitats «a posteriori». Fórmula de Bayes . Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
358 360
342 344 346 347 351 357
364 366 368 370 372 374 376 378 387
15. Distribucions de probabilitat . . . . . . . . 388 15.1 Distribucions estadístiques . . . . . . . . . . . . . . . . 390 15.2 Distribucions de probabilitat de variable discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 15.3 La distribució binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 15.4 Distribucions de probabilitat de variable contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 15.5 La distribució normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 15.6 La distribució binomial s’aproxima a la normal . 402 Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Autoavaluació del bloc III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 Solucions a les autoavaluacions . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
Índex Resolució de problemes . . . . . . . . . . . . . 8 Problemes: reptes al teu abast . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Actituds positives per millorar la resolució de problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Etapes en la resolució de problemes . . . . . . . . . . . . . 9 Anàlisi d’algunes estratègies: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 La demostració matemàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Problemes per practicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Àlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.1 Les igualtats en àlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.2 Factorització de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.3 Fraccions algebraiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.4 Resolució d’equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.5 Resolució de sistemes d’equacions . . . . . . . . . . . . 87 3.6 Mètode de Gauss per a sistemes lineals . . . . . . . . 89 3.7 Inequacions i sistemes d’inequacions amb una incògnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.8 Inequacions lineals amb dues incògnites . . . . . . . 94
Bloc I Aritmètica i àlgebra . . . . . . . . . . . 25 1. Nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.1 Llenguatge matemàtic: conjunts i símbols . . . . . .
34
1.4 Logaritmes. Propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.5 Expressió decimal dels nombres reals. Nombres aproximats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2. Aritmètica mercantil . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.1 Augments i disminucions percentuals . . . . . . . . .
Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Autoavaluació del bloc I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
30
1.2 Nombres reals. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3 Radicals. Propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Bloc II Anàlisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4. Funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.1 Les funcions; estudi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2 Funcions lineals. Interpolació . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3 Funcions quadràtiques. Interpolació . . . . . . . . . 114 4.4 Funcions de proporcionalitat inversa . . . . . . . . . 117 4.5 Funciones arrel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.6 Funcions definides «a trossos» . . . . . . . . . . . . . . 120
54
4.7 Transformacions elementals de funcions . . . . . . 122
2.2 Taxes i nombres índexs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3 Interessos bancaris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.4 Què és la «taxa anual equivalent» (TAE)? . . . . . . 59
5. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.5 Amortització de préstecs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6 Progressions geomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1 Composició de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.2 Funció inversa o recíproca d’una altra . . . . . . . . . 137
2.7 Càlcul d’anualitats o mensualitats per amortitzar deutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Funcions exponencials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.8 Productes financers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5 Funcions trigonomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4 Funcions logarítmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
matemàtiques aplicades a les c. Socials
Humanitats i Ciències Socials
6. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.1 Visió intuïtiva de la continuïtat. Tipus de discontinuïtats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.2 Límit d’una funció en un punt. Continuïtat . . . . 158 6.3 Càlcul de límits en un punt . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.4 Límit d’una funció quan x → +∞ . . . . . . . . . . . . 164 6.5 Càlcul de límits quan x → +∞ . . . . . . . . . . . . . . 165 6.6 Límit d’una funció quan x → – ∞ . . . . . . . . . . . 167 6.7 Branques infinites. Asímptotes . . . . . . . . . . . . . . 168 6.8 Branques infinites de les funcions racionals . . . . . 170 6.9 Branques infinites de les funcions trigonomètriques, exponencials i logarítmiques . . . 172 Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7. Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.1 Mesura del creixement d’una funció . . . . . . . . . . 184
8.4 Recta de regressió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 8.5 Hi ha dues rectes de regressió . . . . . . . . . . . . . . . 224 8.6 Taules de contingència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9. Distribucions de probabilitat de variable discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.1 Càlcul de probabilitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.2 Distribució estadística i distribució de probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.3 Distribucions de probabilitat de variable discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.4 La distribució binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 9.5 Càlcul de probabilitats d’una distribució binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 9.6 Ajust d’un conjunt de dades a una distribució binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.2 Obtenció de la derivada a partir de l’expressió analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.3 Funció derivada d’una altra . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10. Distribucions de probabilitat de variable contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.4 Regles per obtenir les derivades d’algunes funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.5 Utilitat de la funció derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.1 Distribucions de probabilitat de variable contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.6 Representació de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.2 La distribució normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.3 Càlcul de probabilitats en distribucions normals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Autoavaluació del bloc II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.4 La distribució binomial s’aproxima a la normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Bloc III Estadística i probabilitat . . . . 211
10.5 Ajust d’un conjunt de dades a una distribució normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8. Distribucions bidimensionals . . . . . . . . . 214 8.1 Distribucions bidimensionals. N úvols de punts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.2 Correlació lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.3 Paràmetres associats a una distribució bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Exercicis i problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Autoavaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Autoavaluació del bloc III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Solucions a les autoavaluacions . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
nsions fuionc snc
fu les le det de UtilUitatiltita
1100FF ea idde idaea eraer Prim Prim
es
esul rm fóul fó;rm ; ió nc fuió de func
font coamfoant ntm co
enntta imta Eerxpimeren Exp rmióació foac foinrm d’ind’
l sol Re Reso nscions fun decio liafun de liamí FamíFa
zalitza litra ne gera esne ió ge fuiónces denc
te fu epde ncte coep colnc El E
243243
242242
11VVisiisió óintintuïtuïtivaivadede
6 6
lalacoco ntnt inu inu ïtaïta t. t.Tip Tip ususdededis dis coco ntnt inu inu ïtaïta tsts
DisDis con con tinu tinu ïtat ïtat s s
I. Salt I. Salt infin infin it it
ExEx ercic ercic i re i so reso lt lt
II. II. SaltSalt finit finit
III.III. HiHi falta falta el pun el pun t t IV.IV. Pun Pun t desp t desp laçalaça t t
11
Com Com det det ectect ar ar la la con con tinu tinu ïtat ïtat enen l’ex l’ex pre pre ssió ssió ana ana lític lític a a
ExEx ercic ercic is is prpr opop osos atsats
11
22
33
1515 00
1515 11
Els nous materials que us presentem consoliden la renovació dels projectes de Secundària i Batxillerat que vam iniciar el curs passat.
La preparació de la Selectivitat és un dels elements que estructuren els nous llibres per a aquesta etapa.
paper t a m r fo n e ió Edic ital i també en dig multisuport. Materials per al docent al web de Cercle d’Educadors i al web Espai Barcanova per als alumnes.
1r batxillerat matemàtiques Ciències i tecnologia ta r e f o a r t s o La n ació c u d E ’ l a r pe ia Secundàr ia: r ò t a g i l b O
EDITORIAL BARCANOVA Mallorca, 45, 4a planta 08029 Barcelona Tel. 932 172 054 Fax 932 373 469 barcanova@barcanova.cat
Distribueix COMERCIAL GRUPO ANAYA Tel. 934 955 399 Fax 934 190 297 Atenció a centres escolars: clients@barcanova.cat
www.barcanova.cat 9244060
@EDBARCANOVA facebook.com/editorialbarcanova 8
421728 468590
W barcanova.cat