Florence Nightingale 2n. Matemàtiques. Batxilleration

`

RESOLUCiO de PROBLEMES

ResoluciO de problemes

Què és un autèntic problema?

Segurament fa uns quants cursos que et trobes amb un apartat del teu llibre anomenat resolució de problemes, en el qual es presta atenció a aquests problemes especials, curiosos. Per resoldre’ls, no fa falta ser un gran expert, però sí pensar bé. Aquests autèntics problemes es distingeixen clarament dels simples exercicis.

Un problema autèntic és una situació que se’t presenta i saps, més o menys, on vols anar, però no saps com. La dificultat principal consistirà, precisament, a aclarir la situació i trobar algun camí adequat que et dugui a la meta.

La destresa per resoldre problemes genuïns és un veritable art que aprendràs amb paciència i amb un esforç considerable, si t’ho proposes, enfrontant-te a multitud de problemes diversos, tractant de treure’n el millor partit possible, tant si aconsegueixes resoldre’ls com si no.

En les pròximes pàgines t’oferirem unes quantes estratègies de pensament per a la resolució de problemes. Són algunes maneres de fer que solen donar bon resultat en aquesta tasca. Els exercicis que els acompanyen et facilitaran la feina de fer-te familiars les estratègies corresponents.

Entre els problemes proposats en aquesta secció en trobaràs alguns de fàcils, uns altres de menys fàcils i uns quants de clarament difícils. Pots treure un gran profit de tots, i és possible que més d’aquells que et resultin més durs, ja que t’obligaran a assajar més camins i mètodes de pensament. No consideris mai que és temps perdut el que empris resolent un problema, encara que no ho aconsegueixis.

Etapes en la resolució de problemes

Comprendre el problema

Llegir-lo atentament. Si fa falta, representar-lo esquemàticament. Tenir molt clar què es coneix, què es demana i quines són les condicions.

Concebre un pla

Aquesta és la fase més difícil. Haver resolt molts problemes proporciona recursos per afrontar-la amb desimboltura. Les estratègies per resoldre problemes descriuen alguns d’aquests recursos.

Executar el pla

Si el pla està ben concebut, l’execució sol ser relativament fàcil. No obstant això, és freqüent que quan s’executi el pla sigui necessari retocar el camí previst.

Reflexionar sobre la solució obtinguda

Aquest pas és molt important per millorar l’aprenentatge en la resolució de problemes.

Verificar si la solució aconseguida és raonable.

Reflexionar sobre el procés seguit, en què es podria haver millorat…

Potser convingui plantejar-se nous problemes relacionats amb el que tenim al davant, més senzills, més complexos…

Alguns consells per resoldre problemes (actituds)

Entén bé tots els termes del problema.

Assegura’t que entens cada dada, cada frase. Què et demanen, en què et pots basar… Si l’enunciat és una mica complicat, intenta explicar-te’l a tu mateix o a una altra persona.

Posa en tensió tots els teus ressorts mentals.

Concentra’t al màxim, ja que resoldre problemes és una activitat mental complexa.

Posa en joc bones dosis de paciència i constància.

No abandonis a la mínima dificultat. Cada problema requereix el seu temps.

Resol de nou els problemes complicats.

Si per resoldre un problema has necessitat ajuda, torna a provar-ho pel teu compte aquell mateix dia. I, novament, alguns dies després.

Reflexiona sobre altres formes de resolució.

Si et mostren una resolució diferent de la teva, posa-hi interès, intenta entendre-la. Després, prova de resoldre el problema per aquest altre camí.

Treu partit als bons problemes.

Els bons problemes són una font d’aprenentatge. Tornar a fer un problema millorant-ne la redacció, explicitant-ne algun pas, trobant-hi alguna drecera…, lluny de ser una pèrdua de temps, és un exercici magnífic.

I si el problema és interessant, és possible que puguis:

— Generalitzar.

— Inventar-ne un de semblant (més fàcil o més difícil).

— Qüestionar-te el que passaria si se suprimís una condició o una altra, si s’hi afegís aquesta altra…

Intercanvia conclusions amb els teus companys i companyes. Els problemes es pensen individualment. Només de vegades tindrà sentit fer un estudi en grup per buscar idees que s’encaminen a la solució, i això, després d’haver pensat individualment (per poder ser útil a un grup, s’ha d’estar preparat, i la preparació requereix esforç individual).

No obstant això, és molt profitós un intercanvi d’idees després d’haver resolt el problema. És beneficiós el costum de fer-ho sistemàticament.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Anàlisi d’algunes estratègies

Tempteja, analitza sistemàticament tots els casos

Sovint cal temptejar, analitzar cas a cas les diferents possibilitats que se’ns presenten. En aquesta recerca és fonamental:

• Delimitar el nostre camp d’indagació enfocant intel·ligentment el problema.

• Ser molt sistemàtic en la recerca.

Problema resolt

1 El primer dígit d’un nombre de sis xifres és 1. Si es mou a l’altre extrem, a la dreta, mantenint l’ordre de la resta de xifres, el nou nombre (també de sis xifres) és tres vegades el primer. Quin és el nombre original?

• Anomenem A el nombre original i B el nou nombre:

A : 1 a b c d e i B : a b c d e 1

B ha de ser el triple de A.

• Vegem quines són les diferents possibilitats que hi ha per a la darrera xifra del resultat de multiplicar un dígit per 3 (observa que en 3A no es repeteix cap xifra):

• Si la darrera xifra de B és un 1, la darrera xifra de A només pot ser un 7 (observa la taula: 3 · 7 = 21): e = 7. Llavors, la penúltima xifra de B també serà un 7:

A : 1 a b c d 7 i B : a b c d 7 1

• Si la penúltima xifra de B és un 7, la penúltima xifra de A, d, ha de ser un 5 (ja que 3 · 5 + 2 = 17; sumem el 2 perquè el dúiem del 21 d’abans).

Ja tenim que:

A : 1 a b c 5 7 i B : a b c 5 7 1

• Acaba tu el raonament per obtenir el nombre que busquem, que és el 142 857.

Atenció! Una altra manera de resoldre’l.

Pots resoldre aquest problema de forma ràpida i elegant. Fixa-t’hi:

1 a b c d e = 100 000 + a b c d e

a b c d e 1 = 10 · (a b c d e) + 1

Anomena a b c d e = x i relaciona algebraicament ambdues quantitats:

10x + 1 = 3 · (100 000 + x )

Acaba de resoldre’l tu mateix.

l’estratègia i resol

1 El matemàtic Hardy va visitar a l’hospital el matemàtic indi Ramanujan. Li va comentar: «He vingut amb el taxi 1 729, un nombre molt insípid.» «De cap manera» —va contestar Ramanujan—, «és un nombre molt interessant: és el més petit que es pot expressar com a suma de dos cubs de dues maneres diferents.» Demostra-ho.

2 El producte de quatre enters consecutius és 7 590 024. Quins nombres són?

3 Troba el nombre enter n més gran que compleixi aquesta desigualtat: n 200 < 5300

4 Quants nombres de quatre xifres que acabin en 45 són múltiples de 45? N’hi ha cap que comenci per 45? Explica la resposta.

5 Quina és la suma de tots els nombres capicua compresos entre 60 000 i 70 000?

6 Quants nombres més petits que 1 000 tenen la suma dels seus dígits igual a 7?

7 Quin és el darrer dígit (xifra de les unitats) de 3 857105?

Repàs: resolució de problemes analitzant tots els casos possibles.

Aplica

Fer un esquema, dibuix o diagrama

Un bon esquema sempre és útil per resoldre un problema i, de vegades, facilita extraordinàriament la visió del camí que s’ha de seguir per resoldre’l.

A més, si un problema és similar a un altre, pots pensar en un esquema semblant.

Problema resolt

1 Una banda de músics desfila formant una filera de 30 m de llargada. El director, que es trobava a l’altura del darrer, alleugereix el pas fins a arribar a la capçalera de la fila i, en aquest moment, es gira i retrocedeix sense variar el seu ritme fins a situar-se una altra vegada al costat del darrer.

Quina ha estat la distància que ha recorregut el director en aquest espai de temps, sabent que mentrestant la banda ha avançat 20 m?

Quan la fila avança d, el director avança 30 + d

Quan la fila avança 20 – d, el director retrocedeix 30 – (20 – d ) = 10 + d.

Els trams que recorren el director i la banda en ambdós intervals de temps són proporcionals. Per això:

El director recorre 30 + 13,03

10

13,03

Aplica l’estratègia i resol

8 En el problema resolt anterior, quina distància recorrerà el director si la fila avança 40 m en tot el procés?

9 Un beduí vol travessar un desert de 150 km de llargada on no hi ha pous d’aigua. El dromedari que munta pot caminar 50 km al dia carregat amb el beduí i el seu avituallament, més un pes extra de 50 kg. Això sí!, al vespre necessita beure 25 litres d’aigua.

Així, tarda tres jornades a fer el viatge. Quants dies tardaria a travessar un desert de 200 km de llargada? I si fes 250 km? I si…? Per a aquestes distàncies, el beduí utilitza l’estratègia de deixar gots pel camí per tornar a recuperar-los. Quan hagis resolt el problema, redacta la solució de manera que la pugui entendre qualsevol persona que no s’hagi plantejat el problema.

10 Una moto gasta 5 L de benzina per recórrer un tram de carretera situat entre dos punts. En el dipòsit hi caben 10 L i pot dur un bidó de 5 L en el seient. Com ho faries per recórrer aquesta carretera amb la moto? (A les benzineres, B, pots omplir el dipòsit i comprar bidons de 5 L .) Quants litres de benzina necessitaries per arribar d’una benzinera a una altra que disti n trams? Per recórrer quatre trams, hauràs d’anar prèviament a deixar un bidó en algun punt intermedi de la carretera. Per resoldre el problema per a cinc trams, t’ajudaria haver-lo resolt primer per a quatre?

11 Un pot conté una mescla d’alcohol i aigua en una proporció de 3 a 7. En un altre pot la proporció és de 2 a 3. Quantes cullerades hem de treure de cada pot per obtenir 12 cullerades d’una mescla en què la proporció alcoholaigua sigui de 3 a 5?

B B B B

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Fes servir un diagrama en arbre

Aquesta estratègia forma part de la que aconsella «fer un esquema, dibuix o diagrama». Però és tan important que mereix un apartat especial.

Problema resolt

1 El Barça i l’Espanyol han empatat a quatre (4-4). A aquest resultat s’ha pogut arribar de moltes maneres diferents. Per exemple: 0-1, 1-1, 2-1, 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 4-4.

De quantes maneres diferents s’ha pogut arribar al resultat 4-4?

Descrivim el procés gol a gol:

Com veiem, el nombre total de camins és 70.

Cada un dels resultats parcials dona lloc a dues possibles continuacions, llevat dels que ja tenen un quatre. I també cada resultat, llevat dels que encara tenen un zero, pot provenir de dues situacions. Per exemple, 3-2 pot venir precedit de 3-1 o de 2-2.

En el gràfic de la dreta es comptabilitzen el nombre de camins que duen a cada resultat. Cada nombre s’obté sumant els dos que té a sobre, ja que, per exemple:

Aplica l’estratègia i resol

12 De quantes maneres es pot arribar al resultat 5-0? I de quantes es pot arribar al resultat 4-1? Per tant, de quantes es pot arribar a 5-1?

hi a3 1podem arribarper camins

a2 2podem arribarper camins 4 6 4

Aleshores, a 3-2 podem arribar-hi per 4 + 6 = 10 camins.

13 Si, a més de conèixer el resultat final del partit (4-4) sabem que s’hi va donar el resultat 3-1, de quantes maneres va poder evolucionar el marcador?

Repàs: resolució de problemes fent esquemes, dibuixos o diagrames.

Problema resolt

2 La Sandra va en cotxe de A a C seguint l’itinerari marcat en vermell.

Si mirem la quadrícula de la manera que apareix a sota, no és fàcil veure que es pot aplicar el mateix model de comptabilitat que hem fet servir en la pàgina anterior?

Però podria haver seguit molts altres itineraris.

a) Quants? (Només pot conduir cap a la dreta de la imatge i cap avall.)

b) I si passa primer per la benzinera B per proveir-se de carburant, quants?

Continua comptant i comprova que les solucions són a) 126 i b) 40.

14 El resultat d’un partit de bàsquet és, en aquest moment, 8-0. Si sabem que no s’ha marcat cap triple (tan sols cistelles d’1 i de 2), de quantes maneres s’ha pogut arribar a aquest resultat? (Comprova que en són 34.)

16 Comprova que, si durant un partit de bàsquet s’ha arribat al resultat 4-4, això ha pogut passar de 784 formes diferents (tenint en compte que s’han pogut marcar cistelles d’1, 2 i 3 punts).

17 L’Eva i en Moisès aposten cada un 40 euros en un joc en què serà vencedor el primer que guanyi tres partides. Quan l’Eva ha guanyat una partida i en Moisès encara no n’ha guanyat cap, han de suspendre el joc.

Com s’han de repartir els diners de manera justa?

15 Esbrina de quantes maneres es pot arribar al resultat 4-4 en un partit de bàsquet sense marcar triples. Aquest és el començament del recompte:

18 L’Anna i en Biel són els finalistes d’un torneig de tenis de taula que es juga al que guanya 3 partides seguides o al que en guanya 4 d’alternes.

Construeix un diagrama en arbre amb tots els possibles resultats dels partits.

Continua’l tu i comprova que hi ha 556 maneres, encara que sembli sorprenent.

Aplica l’estratègia i resol

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Tria una bona notació i encerta l’assignació d’incògnites

Hi ha problemes, en aparença molt complicats, que poden convertir-se en simples exercicis si som hàbils a l’hora d’escollir una notació apropiada.

Quan hem de traduir un enunciat al llenguatge algebraic, de vegades les incògnites es poden triar de diferents maneres. És fonamental encertar la més avantatjosa.

Problema resolt

1 Una escala mecànica té n esglaons visibles que baixen a velocitat constant.

L’Antoni i en Lluís baixen per l’escala també a velocitats constants. Sabem que en Lluís baixa al doble de velocitat que l’Antoni.

En Lluís arriba a baix després de passar per 27 esglaons i l’Antoni hi arriba després de passar per 18 esglaons. Quin és el nombre, n, d’esglaons visibles de l’escala?

En el mateix interval de temps que en Lluís baixa 27 esglaons, el mecanisme de l’escala en baixa n – 27.

Anàlogament, l’Antoni baixa 18 esglaons mentre que l’escala en baixa n – 18.

Anomenem a, la velocitat de baixada de l’Antoni; 2a, la d’en Lluís; b, la de l’escala.

Antoni-escala:

D’aquestes igualtats obtenim que:

L’escala té 54 esglaons visibles.

comprovació:

Quan en Lluís baixa 27 esglaons, l’escala en baixa 27 més. Per tant, la velocitat de l’escala és igual que la d’en Lluís i el doble que la de l’Antoni.

Per tant, quan l’Antoni baixa 18 esglaons, l’escala en baixa el doble, 36.

Aplica l’estratègia i resol

19 En una escala mecànica, la velocitat de pujada de l’Andrea és 10 vegades la de la seva germana petita, la Marta. L’Andrea arriba a dalt pujant 40 esglaons, mentre que la Marta ho fa pujant 10 esglaons.

Quants esglaons visibles té el tram d’escala en qüestió?

20 Resol el sistema d’equacions següent efectuant un canvi de variables adequat:

Repàs: resolució de problemes que requereixen triar una bona notació.

Problema resolt

2 En Felip tarda 30 s a recórrer un tram d’escala al metro i puja 60 esglaons.

L’Isidre tarda 36 s a recórrer el mateix tram i puja 48 esglaons. Un dia, el mecanisme de l’escala s’espatlla. Quant tardarà cada un a pujar-la?

Anomenem v la velocitat del mecanisme de l’escala (mesurada en esglaons per segon).

felip: 60 esglaons, 30 s → nre. d’esglaons visibles = 60 + 30v isidre: 48 esglaons, 36 s → nre. d’esglaons visibles = 48 + 36v Solucionem l’equació resultant: 60 + 30v = 48 + 36v → 6v = 12 → v = 2 esgl./s

Nre. d’esglaons visibles = 60 + 30 · 2 = 120

La velocitat d’en Felip és 30 60 = 2 esgl./s

La de l’Isidre és 36 48 3 4 = esgl./s.

Per tant: En Felip tarda a pujar 120 esglaons → 2 120 = 60 s = 1 minut.

L’Isidre tarda → / 43 120 = 90 s = 1 minut i mig.

21 La Letícia tarda 10 s a baixar 50 esglaons i completar, així, un tram d’escala mecànica. L’Eva, més pausada, tarda 20 s i baixa 30 esglaons en el mateix tram. Quants esglaons té aquest tram d’escala?

Quant tardaria cadascuna a baixar-la si estigués espatllat el mecanisme?

24 Resol aquest sistema:

22 En Pere puja per l’escala mecànica que va cap amunt i recorre un total de 60 esglaons. Però si puja per la de baixada, recorre 120 esglaons. Quants esglaons visibles tenen aquests trams? (Se suposa que ambdós trams tenen la mateixa longitud i que les seves velocitats són iguals.)

23 L’Ester fa 20 passes per travessar una cinta transportadora que es mou a velocitat constant. Anant a la mateixa velocitat però en sentit contrari a la cinta, n’ha de fer 60. Quantes passes haurà de fer si la cinta està aturada? Compara les velocitats de l’Ester i de la cinta.

25 Resol l’equació següent, fent el canvi de variable que sigui més adequat:

26 Tots els nombres capicues de 4 xifres tenen un divisor comú diferent d’1. Quin és?

27 Observa:

52

= 360 = 192 – 1

És veritat que el producte de quatre nombres naturals consecutius és sempre un quadrat perfecte menys 1? Si és així, expressa aquest quadrat en funció dels factors.

Observa que es tracta d’escollir una notació adequada per demostrar que el producte de quatre nombres naturals consecutius més 1 és un quadrat perfecte.

Aplica l’estratègia i resol

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Problemes diofàntics

Una equació diofàntica és una equació algebraica amb solucions enteres en la qual apareixen diverses variables.

Les equacions diofàntiques es classifiquen en funció del grau del polinomi que les expressa: poden ser lineals, quadràtiques… Vegem alguns exemples de problemes amb equacions diofàntiques.

Problema resolt

1 En un centre escolar decideixen preparar-se per a una gran nevada de què han estat alertats. Amb aquesta finalitat compren pales, sacs de graveta i bosses de sal. Els preus són 25 €, 5 € i 0,25 €, respectivament.

Es gasten 500 € exactament i, quina casualitat!, han adquirit entre pales, sacs i bosses 500 objectes.

Esbrina quants n’han comprat de cada tipus.

Aquest és el típic problema en el qual, en plantejar-lo, apareixen equacions diofàntiques. En aquest cas tenim un sistema de dues equacions lineals amb tres incògnites:

Aplica l’estratègia i resol

28 Per 100 llaminadures he pagat 5 euros. Les regalèssies gegants costen 50 cèntims; les gominoles, 10 cèntims, i les píndoles de regalèssia, 1 cèntim. Quantes llaminadures de cada classe he comprat?

29 L’Anna compra 40 productes en un basar i es gasta 100 €. Si només venen productes a 1 €, 4 € i 12 €, quants productes de cada classe s’ha endut l’Anna?

30 En Toni només porta a la cartera bitllets de 3 pesos i a la botiga d’il·luminació únicament tenen bitllets de 5 pesos. Com ho ha de fer per adquirir un llum de 19 pesos?

31 La Mireia compra 10 paquets de llapis de colors: uns són de 5 unitats, uns altres de 10 unitats i uns altres de 25. Si en total té 90 llapis de colors, quants paquets de cada classe ha comprat?

32 A la butxaca tenim monedes de tres classes: de 5 cèntims, de 20 i de 50. En total, 12 monedes amb un valor de 2 euros i 85 cèntims (285 cèntims). Quantes monedes hi ha de cada classe?

33 El producte de quatre nombres és igual que la seva suma, 6,75. Si un d’aquests és 1, quant valen els altres?

• Els nombres són 1; x ; y ; z = 5,75 – x – y

• 6,75 = 33 · 2 1 2dn

(Observa que hi ha un 4 en el denominador.)

• Per treballar amb nombres enters podem escriure: x' = 4x, y' = 4y, z' = 4z = 23 – x' – y'

• El seu producte és x' · y' · (23 – x' – y' ) = 24 · 33; a partir d’aquí és un problema diofàntic.

Observa

Una proposició hem de poder decidir si és certa o falsa, és a dir, hi ha una funció: {proposicions} → {C, F}

La demostració matemàtica

El procés deductiu

El raonament deductiu és el més emprat en matemàtiques. Es parteix de veritats conegudes i s’arriba a un nou resultat vàlid seguint un camí lògic.

Ara estructurarem aquestes afirmacions.

■ proposicions

Una proposició és una afirmació efectuada en termes clars, inequívocs, que pot ser certa o falsa però, amb seguretat, és una de les dues coses.

Per exemple: «Tot triangle equilàter és equiangle» és certa.

«Tot triangle equilàter és rectangle» és falsa.

Sovint s’utilitzen proposicions que depenen d’una variable.

Per exemple: «x és un nombre primer». Segons quin sigui el valor de x, la proposició és certa o falsa.

Les proposicions que depenen d’una variable o de més són, en realitat, famílies de proposicions. Per a cada valor concret de les variables, hi ha una proposició concreta que, ara sí, serà certa o falsa.

Hi ha proposicions complicades la veracitat de les quals costa comprovar.

Per exemple: Si x és un nombre real que compleix que ax 2 + bx + c = 0, llavors:

Expressa una implicació

Hi ha diferents formes:

• A ⇒ B

• Si A, llavors B

• A és una condició suficient perquè ocorri B

• Sempre que ocorri A, ocorre B

Una proposició complexa pot expressar-se per mitjà de proposicions més simples, sotmeses a certes operacions.

L’estudi de les operacions amb proposicions i l’anàlisi de la veracitat de les proposicions resultants és interessant i senzill, però molt llarg, de manera que s’escapa de les pretensions d’aquestes pàgines. Per això, ens limitarem a estudiar la implicació, que és l’operació bàsica entre proposicions per al raonament deductiu.

■ La impLicació

Si una proposició, A, duu com a conseqüència una altra proposició, B, es diu que A implica B i s’expressa així: A ⇒ B

En aquest cas, si A és certa, llavors B també ho és.

Per exemple, A : «x és múltiple de 6»; B : «x és múltiple de 2».

És clar que A ⇒ B, ja que «si x és múltiple de 6, llavors x és múltiple de 2».

Per tant, si A és certa (per exemple, si x = 12), també ho és B

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

■ cadena d’impLicacions

Si A ⇒ B i B ⇒ C, llavors A ⇒ C.

En general:

Si A1 ⇒ A2 i A2 ⇒ A3 i A3 ⇒ A4 … An – 1 ⇒ An , llavors A1 ⇒ An .

Per exemple: A: «n 3 – n 2 = (n – 1) n (n + 1)».

B: «n 3 – n 2 és el producte de tres nombres naturals consecutius».

C: «n 3 – n 2 és el producte de tres nombres naturals algun dels quals és parell i algun és múltiple de 3».

D: «n 3 – n 2 és múltiple de 6».

Com que A ⇒ B i B ⇒ C i C ⇒ D, llavors A ⇒ D.

I com que A és certa, es dedueix que D és certa.

■ eL mètode deductiu com a forma de demostració

Per demostrar que una proposició X és certa. Per a això, podem seguir els passos següents:

Vocabulari

La regla deductiva que hem descrit, és a dir, «Si A és certa i, a més, A ⇒ B, llavors B és certa», es coneix com a modus ponens.

Problemes resolts

1 Obtén la fórmula per resoldre una equació de segon grau; és a dir, prova que si:

2 + bx + x = 0, a ≠ 0 llavors:

Partim d’una proposició A, que sabem que és certa. Per mitjà d’una implicació, arribem a la veracitat d’una altra proposició B. (Si A és certa i A ⇒ B, llavors B és certa.) I així, successivament, per mitjà d’una cadena d’implicacions arribem a la proposició X. D’aquesta manera haurem demostrat que X és certa.

Ho multipliquem tot per a perquè el terme en x 2 sigui un quadrat perfecte.

Ho multipliquem tot per 4 perquè el segon terme es vegi com a doble producte.

Sumem b 2 en els dos membres per completar el quadrat d’una suma en el primer.

Passem 4ac al segon membre.

Extraiem l’arrel quadrada en els dos membres sense oblidar el doble signe en un dels dos.

Aïllem, finalment, la x

Problemes resolts

2 Demostra la propietat següent:

BA'' AB 2 =és la paral·lela mitjana a en el triangle CAB. Per tant:

BA'' AB 2 = // AB i BA'' AB 2 =

El punt P en què es tallen dues mitjanes les divideix en dos segments, un dels quals és el doble de l’altre:

·' PA PA 2 = 'PPBB 2· =

Anomenem M el punt mitjà de PA i N, el punt mitjà de PB . Per tant, MN és la paral·lela mitjana de AB en el triangle PAB. Com a conseqüència:

MN // AB i MN AB 2 =

Hem provat que BA'' AB 2 = i MN són iguals i paral·lels. Per tant, el quadrilàter B'A'NM és un paral·lelogram i les seves diagonals es tallen en els seus punts mitjans:

'' PM PA PN PB i ==

Conclusió: ·· '' PA PA PB PB 22 i ==

Aplica l’estratègia i resol

34 Dedueix, pas a pas i justificadament, una fórmula per aïllar x en les equacions del tipus x 2 – mx + n = 0.

35 Demostra que, si x1 i x2 són les dues arrels de l’equació

36 Si x és la mitjana aritmètica de n nombres,

xn, prova que:

37 Observa les igualtats següents: 22 + 32 + 62 = 72 32 + 42 + 122 = 132 42 + 52 + 202 = 212

a) Generalitza el resultat.

b) Verifica’n la validesa.

38 Demostra que les tres mitjanes d’un triangle es tallen en un punt.

39 Justifica que la suma dels angles interiors d’un triangle és sempre 180°.

40 Prova que un angle inscrit en una semicircumferència és necessàriament recte.

41 Demostra sobre aquesta figura que: S1 = S2 + S3 S1

42 Prova que la superfície pintada de vermell coincideix amb la blava:

43 En un triangle rectangle, a i b són els catets i c és la hipotenusa. Anomena h l’altura.

Demostra que el triangle de costats h, (c + h) i (a +  b) és rectangle.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

■ equivaLència

Si A ⇒ B i, a més, B ⇒ A, llavors escrivim que A ⇔ B i podem afirmar que les dues proposicions són equivalents.

Per exemple: A : «un triangle x té els seus tres angles iguals».

B : «un triangle x té els seus tres costats iguals».

A ⇒ B, «si un triangle té els tres angles iguals, llavors té els tres costats iguals».

B ⇒ A, «si un triangle té els tres costats iguals, llavors té els tres angles iguals».

Per tant, A ⇔ B. Les proposicions A i B són equivalents.

Diem: «Un triangle té els tres angles iguals si i només si té els tres costats iguals»

O bé: «Una condició necessària i suficient perquè un triangle tingui els tres costats iguals és que tingui els tres angles iguals».

■ demostració per mitjà d’una cadena d’equivaLències

De vegades és difícil trobar una cadena de proposicions per la qual s’arribi a la proposició X que volem provar, però sí que podem trobar una proposició equivalent a X amb una veracitat més fàcil de provar. D’aquesta manera, s’arribaria a una proposició certa equivalent a X. Vegem-ho:

Si X ⇔ A ⇔ B ⇔ C i C és certa, llavors C ⇒ B ⇒ A ⇒ X i, per tant, X és certa.

Aquesta darrera desigualtat és certa, ja que el numerador és més gran o igual que 0, en ser un quadrat, i el denominador és més gran que 0 per hipòtesi (perquè així es diu en l’enunciat).

La cadena d’equivalències, llegida d’endarrere cap endavant, demostra que la primera desigualtat també és certa.

Contrarecíproc

És un altre mètode de demostració a partir d’una negació, que consisteix a fer servir l’equivalència entre les implicacions:

X ⇒ Y i no Y ⇒ no X

És a dir, per demostrar que X implica Y, es prova que (no Y ) implica (no X ).

Problemes resolts

1 Demostra que hi ha infinits nombres primers.

Mètode de reducció a l’absurd

En matemàtiques, arribem a un absurd quan demostrem que una proposició és certa i falsa alhora. Com que aquesta situació no és acceptable, les condicions que ens hi han conduït han de ser falses:

Si volem demostrar una proposició X, podem començar suposant que la seva negació (no X ) és certa. Si d’aquesta manera deduïm un absurd, és a dir, si: no X ⇒ absurd

llavors, (no X ) ha de ser falsa i, per tant, X ha de ser certa.

La reducció a l’absurd, per tant, fa servir la negació d’una proposició per demostrar si és certa o no.

Suposem que no és cert l’enunciat, és a dir, suposem que hi ha un nombre finit de nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …, P. Aquest darrer, P, seria el nombre primer més gran.

Amb tots els nombres primers, formem el nombre següent:

N = (2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · … · P ) + 1

N és el producte de «tots els nombres primers, més 1».

Però N no és divisible per 2, ni per 3, ni per 5, …, ni per P. Això significaria que N és un nombre primer. Però havíem suposat que P era el nombre primer més gran. Suposant que hi ha un nombre finit de nombres primers, hem arribat a una contradicció. Per tant, hi ha infinits nombres primers.

2 Tenim una circumferència de centre O i radi r i una recta, t, que només té un punt, T, en comú amb la circumferència. Demostra que la recta t és perpendicular al radi OT.

Suposem que OT no és perpendicular a t.

Tracem la perpendicular des de O fins a t : OS

Prenem un punt T' tal que ' ST ST =

Els dos triangles OST % i 'OST % són iguals perquè són rectangles i tenen els catets iguals. Per tant, les seves hipotenuses són iguals. Això vol dir que OT' = r (el radi) i, per tant, T' és un punt de la circumferència.

Però no havíem dit que T era l’únic punt en comú de la recta i la circumferència? Contradicció!

Per tant, OT ha de ser perpendicular a t

46 Demostra que si a i b són enters i es compleix que

b + b

llavors a és parell.

47 Si dues rectes coplanàries (no coincidents) són perpendiculars a una tercera recta, aleshores són paral·leles.

48 a) Prova que si a i b són racionals i c és irracional, llavors a + b · c és irracional.

b) Demostra que 5 és irracional i que, per tant, 3 – 2 5 també ho és.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Mètode d’inducció completa

Volem demostrar que una propietat P (n) és vàlida per a qualsevol nombre natural n. Per a això, seguim aquests passos:

a) Provem que es verifica per a n = 1: P (1) és certa.

b) Provem que, si fos certa per a un cert valor de n, llavors també seria certa per al següent, n + 1. És a dir, provem que: «P (n)

certa ⇒ P (n + 1) és certa»

[Observem que no es diu que P (n) sigui certa, sinó que, si ho fos, llavors també ho seria P (n + 1)]. P

hem de deduir que és certa per al següent, n +

2 Demostra que, per a qualsevol nombre natural n, 2 2n – 1 és múltiple de 3.

Per a n = 1, 22 – 1 = 3 sí que és múltiple de 3. Suposem que 22n – 1 és múltiple de 3. Vegem si ho és 22(n + 1) – 1:

Aplica l’estratègia i resol

49 Fes servir el mètode d’inducció completa per demostrar les igualtats següents: a) (1 + 2 + … + n)2 = 13 + 23 + … + n 3

c) 13 + 23 + … + n 3 = ()nn 4 1 22 +

de 7.

de 48, si n és parell.

Principi del colomar

Un principi és una veritat inqüestionable que serveix de partida per obtenir altres conclusions.

El principi del colomar va ser dissenyat per Dirichlet i es pot enunciar en els termes següents: «Si una bandada de 21 coloms es fica pels 20 forats d’un colomar, segur que almenys dos coloms han entrat pel mateix forat.» Un enunciat tan senzill i evident serveix de base per fer demostracions, algunes de les quals són molt profundes.

Problema resolt

1 En una festa hi ha 50 persones. Demostra que almenys dues d’elles tenen el mateix nombre d’amics a la festa.

Considerem que:

— Si A és amic de B, llavors B és amic de A.

— Una persona no és amiga de si mateixa.

Per tant, el nombre d’amics que, en principi, podria tenir cada una d’aquestes 50 persones és 0, 1, 2, 3, …, 49.

Ara bé, si hi ha algú que no té cap amic (això és, té 0 amics), llavors no pot haver-hi ningú amb 49 (és a dir, un individu que sigui amic de tots els altres). Consegüentment, si hi ha el 0, no hi és el 49 i si hi és el 49, no hi ha el 0.

Per tant, hi ha només 49 possibilitats per als 50 assistents. Aplicant el principi del colomar, ha d’haver-hi almenys dos assistents amb el mateix nombre d’amics a la sala.

50 En un institut de 450 estudiants n’hi ha almenys dos amb la mateixa data de naixement. Demostra-ho.

51 Els nombres secrets de les targetes de crèdit consten de quatre dígits. Per exemple, 2704, 0012 i 9461 són possibles nombres. Demostra que al nostre país, amb seguretat, hi ha dues targetes de crèdit que tenen el mateix codi.

52 Podries assegurar que a Catalunya hi ha, almenys, dues persones amb el mateix nombre de cabells? Argumenta la resposta.

53 Si ABC és un triangle equilàter el costat del qual fa 2 cm, demostra que, si es trien cinc punts de l’interior, llavors hi ha, com a mínim, dos d’aquests punts que disten menys d’1 cm.

54 Introduïm 26 ovelles en un camp quadrat de 35 m de costat perquè hi pasturin. Demostra que sempre hi ha, almenys, 2 ovelles que estan a menys de 10 m l’una de l’altra.

55 En la quadrícula 4 × 6 que apareix més avall hem acolorit alguns dels quadrats i d’altres els hem deixat en blanc. Això es pot fer de moltes maneres. Busca’n una en la qual no es pugui trobar cap rectangle amb els quatre vèrtexs del mateix color (en el dibuix de sota, per exemple, no passa això, com es veu en els quatre quadrats assenyalats en vermell).

No obstant això, si la quadrícula fos de 4 × 7, llavors no seria possible trobar una configuració en la qual no hi hagués un rectangle amb els quatre vèrtexs del mateix color. Demostra-ho.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Problemes per practicar

Tots els problemes que proposem a continuació estan resolts a www.barcanova.cat. A més, en molts s’ofereixen ajudes prèvies que t’orientaran en el procés de resolució. Quan els afrontis, et suggerim que, en primer lloc, t’esforcis a resoldre’ls pel teu compte. Si se te’n resisteix algun, ves a l’ajuda. I, finalment, contrasta la resolució que s’hi ofereix amb la teva.

Tots aquests problemes estan units amb un altre de similar o amb més d’un. Per exemple, els problemes 1 i 2 formen un grup; la resolució del problema 1 et servirà d’ajuda per resoldre el 2

1 Al calaix del meu armari tinc 6 mitjons grisos i 8 de negres, tots desparellats. Una nit, necessito uns mitjons del mateix color, però com que la bombeta s’ha fos no m’hi veig. Quants mitjons he d’agafar per estar absolutament segura que en tinc dos del mateix color?

2 D’una bossa que conté 20 boles vermelles, 10 de verdes i 5 de negres, es van agafant boles, una a una. Quantes extraccions s’han de fer per tenir la seguretat d’haver tret 4 boles del mateix color?

3 Enmig d’una selva hi ha dos pobles, que anomenarem V i M. Els habitants de V diuen sempre la veritat i els de M sempre menteixen. Com que són pobles pròxims, és molt freqüent trobar habitants de V a M i de M a V. Una exploradora perduda arriba a un dels pobles, però ignora quin és. Atura un transeünt i li pregunta:

— Vostè és d’aquí?

Per què amb la resposta que rebi sabrà, amb seguretat, si es troba a V o a M? Descriu el procés que has seguit per arribar a la solució i justifica’n els passos.

4 Sis robots dialoguen a la sala d’espera del psiquiatre. Estan afectats d’un mal estrany: només diuen mentides o només diuen veritats. Tots es coneixen perfectament. Tots sis parlen per torns, i afirmen:

— Aquí només hi ha un robot veraç.

— Almenys n’hi ha un de veraç.

— Només n’hi ha dos de veraços.

— Almenys dos són veraços.

— Només n’hi ha tres de veraços.

— Almenys n’hi ha tres de veraços.

Quins són els robots veraços i quins els mentiders?

5 Cinc esportistes comenten al seu entrenador el resultat de la darrera cursa:

carme: Aquesta vegada he arribat davant de l’Aina.

aina: La Tina ha arribat darrere de la Rosa.

tina: La Rosa no ha guanyat.

rosa: La Carme ha arribat quarta.

lluïsa: Avui feia un dia fantàstic per córrer.

Quin ha estat l’ordre d’arribada?

6 Estic jugant al punyet amb sis amics i, valent-me dels meus fabulosos dots psicològics, he arribat a aquestes conclusions:

— Hi ha quatre jugadors amb dues monedes.

— L’Antoni té les mateixes que la Beatriu, i el David, les mateixes que l’Elena.

— La Carme n’ha tret més que l’Elena, però menys que la Beatriu.

Quantes n’he de demanar jo, que tinc dues monedes a la mà, per encertar el joc?

7 En una sala de ball hi ha un cert nombre de persones (nois i noies). Ballen per parelles noia-noi: en un cert moment els 6/11 dels nois ballen amb els 4/5 de les noies. Quina proporció de persones hi ha sense ballar en aquest moment? Quina proporció hi ha de nois i de noies?

8 Disposem d’un nombre de llapis comprès entre 300 i 400 i d’un cert nombre de capses. En cada capsa hi caben 7 llapis. Si hem omplert les 5/6 parts de les capses amb les 3/5 parts dels llapis, quantes capses més necessitem perquè es puguin guardar tots els llapis?

9 Dos turistes que viatgen amb autobús volen comprar pernils i formatges. El conductor del vehicle els exigeix que les compres de cada un no excedeixin els 40 kg. Cada turista aconsegueix comprar 40 kg exactes. Entre tots dos porten 5 pernils, que pesen el mateix, i 5 formatges, que també pesen el mateix. El primer ha comprat el triple de pernils que de formatges i el segon, el doble de formatges que de pernils. Quant pesa cada pernil i cada formatge?

10 Una colla de segadors ha de segar dos prats. Un prat té el doble de superfície que l’altre. Durant mig dia treballen tots al gran. La resta del dia treballen la meitat al gran i l’altra meitat al petit. L’endemà, la superfície que quedava del prat petit la sega un únic treballador en tota una jornada. Quants segadors té la colla?

17 Resol l’equació següent fent un canvi de variable adequat: (x 2 – 6x + 9)2 – 10(x – 3)2 + 9 = 0

18 Calcula l’alçada del petit Pau:

11 Una guineu, que fa 2 salts més 1/3 per segon, ha fet 30 salts més 3/4 quan un gos, que fa 4 salts més 1/2 per segon, la comença a perseguir. Quant temps trigarà el gos a atrapar la guineu, si 3 salts del gos equivalen a 2 salts de la guineu?

12 L’Anna i en Miquel concerten una cita a les vuit del vespre. El rellotge de l’Anna està endarrerit 10 minuts, però ella creu que està avançat 5 minuts. El rellotge d’en Miquel està avançat 5 minuts, però ell creu que està endarrerit 10 minuts. A quina hora real arriba cada un a la cita?

13 Un venedor de teles guanya el 44 % sobre el preu de cost. Però un dia descobreix un metre defectuós que fa que els seus beneficis augmentin al 50 %. Quant fa en realitat el metre defectuós?

14 Quin és el nombre que falta en el darrer triangle?

19 En una classe de ball hi ha 20 persones. Ballen per parelles noi-noia. L’Anna balla amb 7, la Llúcia amb 8, la Sònia amb 9... i la Pepa amb tots. Quants nois i quantes noies hi ha?

20 Un pastor va repartir entre els seus fills un ramat d’ovelles.

• El més gran es va endur una ovella més 1/7 de les restants.

• Al segon li van correspondre dues ovelles més 1/7 de les restants.

• El tercer va rebre tres ovelles més 1/7 de les que quedaven.

• I així successivament fins a arribar al més petit.

D’aquesta manera, tots van rebre la mateixa herència i no va sobrar cap ovella. Quants germans eren? Quantes ovelles hi havia al ramat?

21 La Virgínia compra 17 capses de llapis de colors: unes són de 12 unitats, unes altres de 8 unitats i unes altres de 5. Si en total té 121 llapis de colors, quantes capses de cada classe va comprar?

15 Troba les solucions del sistema següent:

16 En aquest triangle, el nombre tancat en un cercle és la suma dels vèrtexs corresponents.

22 En una butxaca tenim monedes de tres classes: de 5, de 20 i de 50 cèntims. En total, 20 monedes amb un valor de 4 euros i 15 cèntims (415 cèntims). Quantes monedes hi ha de cada classe?

Seguint aquesta mateixa llei, quin és el valor dels vèrtexs en aquest altre triangle? I en aquest rectangle?

23 L’Esther demana al seu amic Lluís que l’ajudi a preparar la comanda de canapès per a un bar. Entre tots dos tarden 1 h 40 min a preparar-la, i en Lluís ha fet 50 canapès. L’endemà, l’Esther demana ajuda a la Marta per preparar una comanda similar. Entre totes dues tarden 2 h 5 min, i la Marta ha fet 25 canapès. De quants canapès consta la comanda? Quant tardarien l’Esther, en Lluís i la Marta a preparar la comanda completa si treballesin sols?

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

24 Dues grangeres han venut les seves gallines al mercat i totes dues han obtingut la mateixa quantitat de diners.

— Si jo hagués venut les meves —diu la primera— al preu que tu has posat les teves, hauria obtingut 100 escuts.

— Si jo hagués posat el mateix preu que tu, només hauria obtingut 36 escuts —diu la segona. Quantes gallines ha venut cadascuna si en total no han arribat a la dotzena?

25 Un granger té un camp triangular envoltat de tres camps quadrats de manera que cada un d’aquests té un costat comú amb el triangle. Les superfícies dels camps quadrats són 4 225 m2, 1 369 m2 i 5 594 m2. Quina superfície té el camp triangular?

26 Les àrees de tres de les cares d’un ortoedre són 35 cm2, 60 cm2 i 84 cm2.

a) Quin volum té? b) Quina longitud té la diagonal?

27 Imagina que talles 20 triangles rectangles iguals amb catets que fan 2 cm i 1 cm. El problema consisteix a posar-los els uns al costat dels altres, de manera que entre tots formin un quadrat. La cosa no és tant fàcil com sembla.

30 En un quadrat de 4 cm de costat s’inscriu un cercle. Després, en el cercle s’inscriu un quadrat, i en aquest, un altre cercle, i així successivament i indefinidament.

28 Tres amics decideixen compartir una pizza. Un d’ells, un expert geòmetra, la talla seguint el procediment de la figura després d’haver dividit el diàmetre en tres parts iguals. És equitatiu el repartiment? Justifica la resposta.

Calcula l’àrea de la zona ombrejada i la de la zona en blanc.

31 Dos quadrats iguals en el pla es mouen de manera que un dels vèrtexs d’un és el centre de l’altre quadrat. Per a quina posició l’àrea de la intersecció dels quadrats és màxima?

32 Un rombe té una superfície de 120 cm2 i el quocient entre les seves diagonals és 2,4. Calcula l’àrea del cercle inscrit.

29 Calcula l’àrea de cadascun dels tres triangles en què s’ha dividit un pentàgon regular de 10 cm de costat.

33 Una esfera recolzada a terra projecta una ombra que arriba fins a 10 m del punt on l’esfera toca el terra. En aquest moment, un pal vertical d’1 m d’alt produeix una ombra d’1 m. Calcula el radi de l’esfera.

34 Una pilota de platja enorme, de 100 cm de radi, està recolzada sobre una paret que forma un angle recte amb el terra. r = 100 cm

Quin és el radi de l’esfera més gran que pot situar-se entre la paret, el terra i la pilota de platja?

35 Amb regle, compàs i cartabó, construeix un triangle del qual saps la longitud del costat a i la de les dues mitjanes mb i mc que parteixen dels seus extrems.

45 a) Demostra que hi ha dos nombres primers consecutius la diferència dels quals és més gran que 1 000.

b) Demostra que, per molt gran que sigui m, hi ha dos nombres primers consecutius amb una diferència més gran que m. (És a dir, prova que hi ha m nombres compostos consecutius.)

36 a) Explica per què si escollim sis nombres naturals entre 1 i 10, amb seguretat, dos d’aquests sumaran 11.

b) Inventa un problema similar amb nombres naturals del 55 al 111 i resol-lo.

37 El resultat de multiplicar 1 · 2 · 3 · 4 · … · 48 · 49 · 50 és un nombre enorme.

a) Quin lloc ocupa el primer dígit diferent de zero si comencem a comptar des de les unitats?

b) Quin és aquest dígit?

46 És veritat que sempre que A, B, C, D > 0 es verifica la desigualtat següent?

(1 + A)2 (1 + B )2 (1 + C )2 (1 + D )2 ≥ 24 ABCD

47 Si a i b són dos enters consecutius, llavors a 2 + b 2 + (ab )2 és sempre un quadrat perfecte. Per què?

Demostracions geomètriques

48 Fixa’t en el paral·lelogram ABCD següent, , AP CR BQ DS == , AP CR BQ DS == i demostra que PQRS també és un paral·lelogram.

38 Indica quin és el darrer dígit (xifra de les unitats) de cada un d’aquests nombres:

a) 284559 b) 328100 c) 153153

39 El nombre 248 – 1 és divisible per dos nombres compresos entre 60 i 70. Quins són aquests nombres?

40 El 1856 es va publicar un llibre (grossíssim) que contenia els quadrats dels nombres des de l’1 fins als 1 000 milions. Amb quina finalitat? Per multiplicar! Et toca a tu esbrinar i explicar com.

Per a això, relaciona el producte de dos nombres m · n amb la diferència dels quadrats de m + n i m – n Explica com es faria servir el llibre dels quadrats per fer el producte de dos nombres molt grans (per exemple, 57 839 · 8 756) per mitjà d’operacions més senzilles.

41 Què és més gran, log3 108 o log5 375?

Descompon els nombres en factors.

42 El nombre següent és enter. Quin és?

|| 40 257402 57 +

Demostracions

43 Demostra que:

a) Si m és imparell, llavors m 2 + 1 no és múltiple de 4.

b) Si l, m, n són enters consecutius, llavors el resultat de l 2 + m 2 + n 2 no és múltiple de 24.

44 Demostra que el nombre 365 és l’únic nombre natural que és suma dels quadrats de tres nombres consecutius i, a la vegada, suma dels quadrats dels dos següents.

49 Demostra que en tot triangle isòsceles la bisectriu de l’angle extern oposat als angles iguals és paral·lela al costat desigual.

50 Demostra que, si per un punt qualsevol de la bisectriu d’un angle es traça una paral·lela a un dels costats de l’angle, el triangle format és isòsceles.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

51 En un paral·lelogram ABCD, Q és el punt mitjà de AD i P és el punt mitjà de CB . Demostra que BQ i DP trisequen AC

57 Si a i b són dos nombres diferents i tots dos positius, verifica la igualtat següent:

ab ab ab 2 2 > + +

58 Si m ≥ 0 i n ≥ 0, demostra que ≤ mn mn 22 ++22

Reducció a l’absurd i contrarecíproc

52 Sobre el costat AB d’un triangle ABC s’agafa un punt qualsevol P. Després es disposen , AW WP PX XB == , , AZ ZC BY YC == Demostra que W XY Z =

59 Prova per reducció a l’absurd el mateix que has demostrat en l’exercici anterior.

60 Demostra que x + x 1 ≥ 2 per a qualsevol nombre real positiu x

61 Demostra que, si a, b són nombres reals positius tals que ≠, ab ab 2 + llavors a ≠ b.

62 Demostra que, si a, b i c són tres nombres imparells, llavors ax 2 + bx + c = 0 no pot tenir arrels racionals.

Mètode d’inducció

53 El triangle verd i el vermell es troben, respectivament, en els plans π i σ. Són paral·lels? Per deduir-ho, et serveix saber que els triangles tenen els seus costats paral·lels?

La diagonal del cub, BE , talla aquests dos plans en P i Q. Podries provar si es compleix que BP PQ QE == ?

Per a això, troba l’altura de BP del tetràedre BADG si el seu volum és 1/6 del volum del cub.

54 Demostra que, en aquesta figura, α = β + γ

63 Demostra que n 3 + 5n és múltiple de 6 per a qualsevol valor natural de n.

64 Aplica el mètode d’inducció completa i demostra que:

a) 2n > 2n + 1 per a qualsevol natural n ≥ 3.

b) 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + … + n · (3n + 1) = n · (n + 1)2 per a qualsevol n natural.

65 Fes servir el mètode d’inducció completa per demostrar aquestes igualtats per a n natural:

a) 1 + 3 + 6 + 10 + … + () () () nn nn n 2 1 6 12 + = ++

b) … ()nn n n 12 1 23 1 34 1 1 1 1 ++ ++ + = +

66 Observa que: 1 = 1

1 – 4 = – (1 + 2)

Intenta fer servir una quadrícula com la de la dreta per demostrar-ho.

Cadena d’equivalències

55 Demostra que per a tot x real es compleix que:

56 Prova que la mitjana aritmètica de dos nombres reals positius és més gran o igual que la mitjana geomètrica. És a dir:

1 – 4 + 9 = 1 + 2 + 3 …

Quina regla general segueixen aquestes igualtats? Expressaho en la notació convenient i demostra-ho.

67 Demostra que 62n – 1 és divisible per 35 per a qualsevol valor de n (natural).

68 Justifica que, si n ∈ , llavors n 5 – 5n 3 + 4n és múltiple de 120.

69 Demostra per inducció que: 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2

bloc bloc Algebra

Notes histOriques. Algebra ` `

1 Al segle iii, Diofant d’Alexandria escriu el primer tractat d’àlgebra que coneixem. Hi proposa problemes i utilitza, en la resolució d’algun, el que ara anomenem equacions algebraiques, fent servir un simbolisme semblant a l’actual dels polinomis.

2 Hipàtia d'Alexandria (370-415) estudia la geometria, l’àlgebra i l’astronomia i millora el disseny de l'astrolabi (usat per determinar la posició i I’altura de les estrelles). Tot i que només s’hagi conservat una mínima part dels seus escrits, la seva obra i la seva vida s’han conegut a través d’altres autors de l’època, com ara una anotació que va fer en l’obra de Diofant. La seva figura s’ha mitificat i s’utilitza com a símbol de progrés i de la dona lliure.

3 Al-Khwarizmi (780-850), membre destacat de «La casa de la saviesa» de Bagdad, exposa la manera de resoldre sis tipus d’equacions de segon grau al començament de la seva obra Hisab al jabr wa’l muqabalab. Del títol d’aquest tractat es deriva l’actual denominació de l’àlgebra

4 Omar Khayyam (1050-1123) defineix l’àlgebra com la ciència de resoldre equacions. Aquesta definició es va mantenir fins a finals del segle xix

5 Cardano (1501-1576) publica el primer mètode general de resolució d’equacions de tercer grau, descobert per Tartaglia (1499-1557), i la solució de les equacions de quart grau, descoberta pel seu secretari Ludovico Ferrari (1522-1565).

6 Avança la notació simbòlica en l’àlgebra gràcies a Viète (15401603), que és el primer a fer servir les lletres per simbolitzar tant les incògnites com les constants, i a Descartes (1596-1650). Aquest darrer tracta les propietats i les transformacions de les equacions algebraiques amb un simbolisme molt

semblant a l’actual.

Fundació del monestir de Santa Maria de Ripoll

Premi Nobel de Medicina a Santiago Ramón y Cajal

del Francès

Marx

Galois 9 Julia Robinson Apareix

Sylvester, Cayley

L’imperi Carolingi es divideix en el Tractat de Verdun

El principal objectiu de l’àlgebra clàssica és la resolució d’equacions. Considerant-la així, l’àlgebra tindria més de 4 000 anys d’antiguitat. Però no és fins a l’edat mitjana (segle ix) que sorgeix l’àlgebra pròpiament dita, de la mà dels àrabs. Posteriorment, l’àlgebra àrab es va difondre, a través de la península Ibèrica, cap a Europa, on arribà a la majoria d’edat als segles xvi i xvii.

Ampliació de les notes històriques corresponents a

7 Gauss (1777-1855), un dels matemàtics més grans de tots els temps, amb només 22 anys fa la primera demostració del teorema fonamental de l’àlgebra: tota equació polinòmica té, almenys, una solució en el camp complex.

8 Galois (1811-1832) desenvolupa la teoria de grups, Hamilton (1805-1865), Sylvester (1814-1897) i Cayley (1821-1895) formalitzen la teoria de matrius i Cauchy (17891857) completa i formalitza la teoria de determinants.

9 Julia Robinson (1919-1985), nascuda als EUA, és una de les grans matemàtiques del segle xx coneguda per les seves contribucions en el camp de la teoria de la complexitat computacional. Les seves aportacions tenen un paper crucial en la resolució del desè problema de Hilbert, que gira entorn de les equacions diofàntiques en termes de programació informàtica i té un gran interès en la matemàtica moderna.

10 Al segle xx sorgeix l’àlgebra abstracta, que es dedica a estudiar estructures algebraiques, és a dir, sistemes d’elements entre els quals es defineixen unes operacions que compleixen algunes propietats. Així, els teoremes demostrats sobre l’estructura abstracta són immediatament aplicables a qualsevol de les seves

concrecions.

Núñez de Balboa descobreix l’oceà Pacífic

Carles I

Els normands conquereixen Anglaterra

Guerra dels Segadors

Unió d’Espanya i Portugal

Richelieu

Primera croada

Gran Cisma d’Orient Regnes de Taifes Invenció del llapis

Batalla de Lepant

7 Gauss

5 Cardano, Tartaglia, Ferrari

Descartes 6

Omar Khayyam 4

Viète 6

aquest bloc.

Unitat

Sistemes d’equacions.

MEtode de Gauss

El mètode que va utilitzar Gauss

Al començament del segle xix, Gauss va realitzar observacions de l’asteroide Pal·les. A partir d’aquests mesuraments, va arribar a un sistema de sis equacions amb sis incògnites. Per resoldre’l va dissenyar un procediment que, actualment, anomenem mètode de Gauss.

Vint-i-un segles abans es va publicar a la Xina el llibre Els nou capítols sobre l’art de les matemàtiques. En el capítol vuitè surt aquest problema:

Hi ha tres tipus de cereal. Tres fardells del primer, dos del segon i un del tercer fan 39 mesures. Dos del primer, tres del segon i un del tercer fan 34 mesures. I un del primer, dos del segon i tres del tercer fan 26 mesures. Quantes mesures de cereal hi ha en un fardell de cada tipus?

I per resoldre'l, en el llibre esmentat se segueixen els passos següents: Es col·loquen els nombres en un tauler (cada equació és descrita en una columna).

Per mitjà de transformacions en les seves columnes, el tauler es converteix en aquest altre:

I d’aquest darrer s’obté immediatament i successivament el nombre de mesures de cereal de cada fardell.

En vista de la similitud dels dos procediments, el que avui anomenem mètode de Gauss potser hauria de dir-se mètode de Chiu-chang Suan-shu (que és el títol en xinès de l’esmentat llibre, d’autor desconegut).

Trobaràs informació sobre el camp professional del big data.

El diari científic de Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), conegut amb el sobrenom de príncep dels matemàtics, és, per a molts, el matemàtic més gran de la història. No hi ha cap part de la matemàtica en la qual no intervingui. I el fet més curiós és que no va ser gens propici a divulgar els seus descobriments.

Quan tenia 19 anys va idear un procediment per resoldre un problema geomètric pendent des de l’època d’Euclides. La demostració va ser extraordinària, ja que va emprar tècniques algebraiques per resoldre’l (el fet de resoldre un problema geomètric per mitjà de procediments algebraics va ser una gran novetat). El mateix dia d’aquest descobriment va decidir anotar-lo en un petit diari, un quadernet de 19 pàgines. Va continuar fent-lo servir durant molts anys, i hi va fer un total de 146 anotacions, la darrera datada el 1814, 17 anys després. Per la quantitat d’idees i la profunditat d’aquestes és, segurament, un dels documents més valuosos de tota la història de les matemàtiques.

El quadernet esmentat ha estat crucial per conèixer el pensament d’aquest geni, però no va ser publicat fins al 1898, quaranta-tres anys després de la mort de Gauss.

RESOL

Els fardells de cereal

Resol el problema xinès dels fardells de cereal de manera similar a com ho van resoldre els antics xinesos. Recorda el mètode de Gauss que vas aprendre el curs passat i tingues en compte que, en les taules de la pàgina anterior, les equacions estan descrites en columnes en lloc de files.

Pàgina del diari científic de Gauss.

Moneda de plata de 20 marcs de l’extinta República Democràtica d’Alemanya en honor a Gauss.

Sistema

Els sistemes d’equacions són especialment interessants, i ens hi dedicarem en aquesta unitat i en les següents. Per això, d’ara en endavant, l’expressió sistema d’equacions, o simplement, sistema, la farem servir com a sinònim de sistema d’equacions lineals

Equació lineal

Les equacions següents són lineals:

Tenen la peculiaritat que són polinòmiques de grau 1. És a dir, les seves incògnites no estan elevades a cap potència, ni multiplicades entre si, ni dins de radicals, ni en el denominador…

No són lineals aquestes equacions:

Una equació lineal és una equació polinòmica de grau 1 amb una o més incògnites.

• Si ens movem en el pla, disposem de dues incògnites: x, y. Una equació lineal amb dues incògnites o amb només una representa una recta del pla. Els punts de la recta són les solucions de l’equació.

Per exemple, 5x + 4y = 20 és una recta en el pla XY. Els punts (4, 0), (0, 5), (–2, 7,5), (3, 1,25) són de la recta i, per tant, solucions de l’equació.

També representen rectes les equacions x = 3 o y = 5.

• Una equació lineal amb tres incògnites o amb menys de tres representa un pla en l’espai. Els punts del pla són les solucions de l’equació.

Per exemple, 3x + 2y + 6z = 6 és un pla en l’espai tridimensional. Els punts (2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1/6) són del pla i, per tant, solucions de l’equació.

També representen plans les equacions 5x + 4y = 20, x = 3 o y = 5.

Equacions equivalents

Dues equacions són equivalents quan tenen la mateixa solució (o les mateixes solucions).

Si els dos membres d’una equació els multipliquem o els dividim per un mateix nombre diferent de zero, l’equació resultant és equivalent a la primera.

Per exemple:

x y 4 5 + = 1 és equivalent a 5x + 4y = 20 (representen la mateixa recta).

30x + 20y + 60z = 60 és equivalent a 3x + 2y + 6z = 6 (representen el mateix pla).

Sistemes d’equacions lineals

Diverses equacions donades conjuntament amb la finalitat de determinar la solució o les solucions comunes a totes formen un sistema d’equacions.

• Un sistema d’equacions lineals amb dues incògnites representa un conjunt de rectes. La seva resolució consisteix a esbrinar si totes tenen algun punt en comú i localitzar-lo.

• Si les equacions d’un sistema tenen tres incògnites, representen plans. Resoldre el sistema és trobar el punt o els punts que tenen en comú tots aquests plans.

Combinació lineal d’equacions

Una combinació lineal d’equacions és el resultat de multiplicar cada una d’aquestes equacions per un nombre i sumar-les membre a membre.

Sistemes equivalents

Dos sistemes d’equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions. Dos sistemes poden ser equivalents sense que ho siguin les equacions que els formen.

Transformacions en un sistema d’equacions

Considerem vàlida tota transformació que passi d’un sistema a un altre d’equivalent. Per exemple:

1 Multiplicar o dividir els dos membres d’una de les equacions per un nombre diferent de zero.

2 Afegir una equació que sigui combinació lineal de les altres, o a l’inrevés, suprimir una equació que sigui combinació lineal de les altres.

Atenció

En la resolució de sistemes d’equacions hem de fer transformacions que, a més de vàlides, siguin convenients; és a dir, que ens aproximin a la solució. Per a això, farem servir, fonamentalment, les transformacions 1 i 3 que hem descrit.

Exercicis proposats

1 Cert o fals?

3 Substituir una equació pel resultat de sumar-n’hi una altra de multiplicada per un nombre.

(1a) – 3 · (2a)

Anomenem transformacions vàlides les que mantenen les solucions del sistema.

a) En un sistema d’equacions amb dues incògnites (x, y), l’equació x + y = 4 té, entre d’altres, la solució (3, 1).

b) En un sistema amb tres incògnites (x, y, z), l’equació x + y = 4 no té sentit.

c) En un sistema amb tres incògnites (x, y, z), l’equació x + y = 4 sí que té sentit. Representa un pla. Algunes solucions són (3, 1, 0), (3, 1, 7) i (3, 1, – 4).

d) Si som en el pla (dues incògnites, x, y), l’equació y = 0 representa l’eix X

e) Si som en l’espai (tres incògnites, x, y, z), l’equació y = 0 representa el pla XZ

Activitats per comprovar si dos sistemes són equivalents.

2 Sense resoldre’ls, explica per què són equivalents els parells de sistemes següents:

2. SOLUCIONS D’UN SISTEMA D’EQUACIONS LINEALS

Tingues en compte

En lloc de dir que un sistema és compatible o incompatible, seria més correcte afirmar que les equacions que el formen són compatibles (és a dir, totes tenen alguna solució comuna) o incompatibles (no hi ha cap solució comuna a totes). Tanmateix, la nomenclatura que aquí s’utilitza és la universalment acceptada.

Un sistema d’equacions lineals pot tenir solució (compatible) o no tenir solució (incompatible).

Els sistemes compatibles poden tenir una solució (determinats) o infinites solucions (indeterminats).

Sistemes d’equacions amb dues incògnites

Observem els sistemes següents amb les interpretacions geomètriques corresponents:

Aquest sistema d’equacions té per solució x = 3, y = 1. Això vol dir que les dues rectes es tallen en el punt (3, 1).

El sistema és, per tant, compatible i determinat.

Aquest sistema és pràcticament igual que l’anterior, ja que les dues primeres equacions són les mateixes i la tercera s’obté sumant, membre a membre, les anteriors.

La nova recta (vermella en el dibuix) passa pel punt (3, 1), en què es tallen les altres dues. El sistema és, també, compatible i determinat

3 6 9 18 + + = = *

Les dues equacions diuen el mateix. Cada solució d’una és, també, solució de l’altra. Les dues rectes coincideixen. És a dir, són la mateixa recta.

El sistema és compatible i indeterminat ■ x x y y 2 4 3 6 9 12 + + = = *

Les equacions diuen coses contradictòries. No tenen cap solució comuna. Geomètricament, les dues rectes són paral·leles, ja que no tenen cap punt comú.

Aquest sistema no té solució. És incompatible. En intentar resoldre’l s’arriba a expressions absurdes.

Aquest sistema és molt semblant al segon. Només canvia el terme independent de la tercera equació, que ja no passa pel punt (3, 1), on es tallen les altres dues. Les tres rectes no tenen cap punt comú.

El sistema és, per tant, incompatible

Classifica sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites.

Exercicis per reforçar la interpretació geomètrica de sistemes de dues i tres incògnites.

Sistemes d’equacions amb tres incògnites

Observem els sistemes següents amb les interpretacions geomètriques corresponents:

Els tres plans es tallen en un punt. El sistema és compatible determinat

Solució:

La quarta equació és suma de les altres tres. El pla corresponent (groc) passa pel punt comú. El sistema és compatible determinat

Solució: x = 1, y = 7, z = –2

La quarta equació contradiu la suma de les altres tres. Aquest pla (groc) no passa pel punt de tall dels altres tres. El sistema és incompatible No té

La tercera equació, en ser suma de les altres dues, no aporta més informació que aquestes al sistema. Per tant, el sistema és compatible indeterminat

Solució: Tots els punts de la recta on es tallen els plans són solució del sistema.

Exercicis proposats

3 Resol i interpreta geomètricament els sistemes d’equacions següents:

La tercera equació contradiu el que s’obté sumant les altres dues. El sistema és incompatible No té solució.

4 a) Resol aquest sistema:

y y 23 4 –+= = *

b) Afegeix una tercera equació de manera que continuï sent compatible.

c) Afegeix una tercera equació de manera que el sistema sigui incompatible.

d) Interpreta geomètricament el que has fet en cada cas.

3. SISTEMES ESGLAONATS

■ Els sistemes següents són extraordinàriament fàcils de resoldre:

Proposta

Resol, pas a pas, cadascun dels tres sistemes.

De baix a dalt, obtenim el valor de cada incògnita, que, substituïda en les equacions anteriors, permet seguir el procés. Aquests sistemes s’anomenen esglaonats.

■ També és esglaonat el sistema següent. En tenir més incògnites que equacions, passem una de les incògnites al segon membre, amb la qual cosa les altres es calculen en funció d’aquesta:

Notació

λ (lambda), μ (mi), ν (ni) són lletres gregues que solen emprar-se com a paràmetres.

Com que ara totes les incògnites estan expressades en funció de t, l’agafem com a paràmetre i hi donem un valor variable. Si considerem que t = λ, obtenim que:

Per a cada valor numèric que donem a λ, obtenim els valors corresponents de x, y, z, t. Per exemple:

Per a λ = 0 s’obté x = 11, y = –3, z = 11, t = 0.

Per a λ = 1 s’obté x = 6, y = 0, z = 8, t = 1.

■ Tot i que és menys evident, aquest sistema també és esglaonat:

Z [ ] ] ] ]

Exercicis proposats

a) x xy 3 2 7 5 –= = * b) x x x yz z 2 5 3 6 7 4 –++ = = = * c) x x x yz z t t 2 5 3 26 7 4 ––++ + = = = * d) x x x y z z 2 4 3 30 7 4 – + += = = *

= = = \

–++

y y yz

35 2 11 4 14

També anomenarem esglaonats aquests sistemes, encara que la seva fisonomia no ho suggereixi.

5 Reconeix com a esglaonats els sistemes següents i resol-los:

6 Són esglaonats aquests sistemes? Resol-los:

1 Transforma en esglaonats els sistemes següents i resol-los:

Com transformar un sistema en un altre d'equivalent i esglaonat

Vegem, per mitjà d’alguns exercicis resolts, com es passa d’un sistema qualsevol a un altre d’equivalent i esglaonat.

Observa com els coeficients que són 1 ens ajuden a fer transformacions fàcils.

Ja tenim el sistema en forma esglaonada. Les transformacions (*) s’han fet, òbviament, per igualar els coeficients de y, i així poder eliminar-la sense recórrer a les fraccions. Solució: (3a) z = 224/31, (2a) y = 151/31, (1a) x = 134/31

Solució: (1a) z = –1, (3a) t = –3, (2a) y = 3, (4a) x = 5

Equació trivial

L’equació 0x + 0y + 0z = 0 afirma una trivialitat. Qualsevol terna de nombres és solució seva. S’anomena equació trivial

El procediment que hem vist en la pàgina anterior per transformar un sistema d’equacions lineals en un altre d’esglaonat s’anomena mètode de Gauss. La seva pràctica pot esdevenir més còmoda si, prescindint de les incògnites, ens limitem a fer servir els nombres (coeficients i termes independents) situant-los en una matriu.

Vegem com seria la resolució del segon exemple de la pàgina anterior:

Cadascuna de les successives matrius que intervenen en el procés correspon a un sistema d’equacions. El darrer és esglaonat i, per tant, es resol fàcilment.

El mètode de Gauss consisteix a transformar un sistema d’equacions lineals en un altre d’esglaonat. Per a això, fem zeros sotmetent les equacions a aquestes dues transformacions elementals:

• Multiplicar una equació per un nombre diferent de zero.

• Sumar a una equació una altra de multiplicada per un nombre.

El procés se simplifica si, en lloc de les equacions, fem servir exclusivament els nombres — coeficients i termes independents — estructurats en matrius.

En finalitzar el procés, o en algun pas intermedi, podem trobar-nos amb un dels casos següents:

a) Una fila de zeros. Correspon a una equació trivial i podem prescindir-ne:

(0 0 … 0 0 ) ⇔ 0x + 0y + … + 0t = 0

b) Dues files iguals o proporcionals. Corresponen a equacions equivalents i podem prescindir immediatament d’una:

c) Una fila de zeros, excepte el darrer nombre —que correspon al terme independent— diferent de zero:

(0 0 … 0 ) ⇔ 0x + 0y + … + 0t = ( és un nombre diferent de zero)

Evidentment, es tracta d’una equació impossible. En aquests casos, reconeixem de seguida el sistema com a incompatible.

Exercicis proposats

8 Cert o fals?

a) En aplicar el mètode de Gauss, és possible que un sistema incompatible doni lloc a un d’esglaonat compatible, o viceversa.

b) En aplicar el mètode de Gauss, el sistema esglaonat al qual s’arriba finalment és del mateix tipus que el sistema inicial, ja que tots els passos que cal seguir transformen cada sistema en un altre d’equivalent a aquell.

Exemples de resolució de sistemes 3 × 3 mitjançant el mètode de Gauss.

Exercicis resolts

1 Resol pel mètode de Gauss el sistema

Diferents tipus de sistemes d’equacions

El mètode de Gauss permet transformar qualsevol sistema d’equacions lineals en un altre sistema, esglaonat, equivalent al primer.

Per saber si el sistema inicial és compatible (determinat o indeterminat) o incompatible, observem la fisonomia del sistema esglaonat a què s’arriba al final del procés. Pot donar-se un dels casos següents:

un nombre diferent de zero

I.

un nombre qualsevol

Hi ha tantes equacions vàlides com incògnites. Pas a pas, anem obtenint un valor numèric per a cada incògnita. És, per tant, un sistema compatible determinat

Hi ha menys equacions vàlides que incògnites. Les incògnites sobreres es passen al segon membre, amb la qual cosa el valor de les altres incògnites es donarà en funció d’aquelles.

El sistema és compatible indeterminat. La seva solució general vindrà donada amb tants paràmetres com incògnites hàgim passat al segon membre.

III.

L’última equació no es pot complir mai.

El sistema és incompatible

El sistema és compatible determinat. El resolem:

Eliminem la segona equació perquè és proporcional a la tercera. El sistema ja està esglaonat. Si passem la tercera columna (z) al terme independent, obtenim que el sistema és compatible indeterminat:

Exercicis proposats

9 Resol aquests sistemes d’equacions fent servir el mètode de

del

5. DISCUSSIÓ DE SISTEMES D’EQUACIONS

Observa aquest sistema d’equacions lineals:

En realitat, més que un sistema d’equacions és un conjunt infinit de sistemes, ja que per a cada valor del paràmetre k hi ha un sistema d’equacions diferent.

D’aquests infinits sistemes, és possible que uns siguin compatibles i uns altres, incompatibles. Discutir el sistema segons el paràmetre és reconèixer els valors de k per als quals el sistema és d’un tipus o d’un altre.

Discutir un sistema d’equacions segons un o més paràmetres és identificar per a quins valors dels paràmetres el sistema és compatible o incompatible, distingint també els casos en què és determinat o indeterminat.

El mètode de Gauss permet fer discussions. Vegem-ho amb un exercici resolt.

k = 1, la darrera fila és (0 0 0 1 ). El sistema és incompatible.

a dir, per a qualsevol k ≠ 1, el sistema és compatible determinat.

Atenció: No hi ha infinites solucions, sinó infinits sistemes, un per a cada valor de k. I cada sistema té solució única, llevat del corresponent a k = 1, que no té solució. Per exemple, per a k = 2, el sistema és aquest:

Exercicis proposats

11 Discuteix, en funció de k, aquests sistemes d’equacions:

12 Discuteix aquests sistemes d’equacions en funció de k :

Discuteix sistemes d’equacions lineals en funció d’un paràmetre.

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

1. Mètode de Gauss

Resol els tres sistemes d’equacions següents i interpreta’ls geomètricament:

a) Canviem l’ordre de les dues primeres equacions perquè el primer coeficient sigui un 1:

Fes-ho tu. Resol aquests dos sistemes d’equacions:

Solucions: (1 + λ, λ, –1 – λ)

El sistema representa quatre plans que es tallen en una recta.

b) Com que cap dels coeficients de les incògnites no és igual a 1, agafem la primera equació com a referència:

El sistema és compatible indeterminat, té infinites solucions. El resolem passant la tercera columna (z) al segon membre:

El sistema representa tres plans que tenen una recta en comú.

c) La primera i la tercera equació són contradictòries. El sistema és incompatible. Ho comprovem aplicant el mètode de Gauss:

La tercera equació no es pot complir mai. El sistema no té solució; representa dues rectes paral·leles i una altra que les talla.

Discussió de sistemes aplicant el mètode de Gauss

22 2 2 0 x x x my y z z 3z –––++ + = = = * b) x mx my y m m 2 1 2 ––+ + = = * c) x x x y ay z az z 0 0 0 ––+ + + = = = Z [ \ ] ] ] ]

a)

a)

x x x y y y z z mz 2

32 44 00

–

() xz

yz my 32 44 10 –

b) m mm m 1 1 1 22 ––eo (1a) (2a) – m · (1a) m m m mm 1 01 1 2 ––22 + eo

1 – m 2 = 0 → m

= ±

■ Si m = 1, la segona equació 0 · y = 0 es pot suprimir. El sistema és compatible indeterminat. Només ens queda l’equació x + y = 0, que resolem considerant y com a paràmetre. Les solucions són (–λ, λ). Les dues rectes coincideixen

mm

m

mm

que l’equació

Per a cada valor de a, tenim un sistema diferent amb solució única, (0, 0, 0). Són tres plans que es tallen en l’origen de coordenades.

3. Sistemes amb més incògnites que equacions

Resol i interpreta geomètricament aquests sistemes:

a)

b)

31 22 3 –+= += *

23 36 31

Fes-ho tu. Resol els dos sistemes d’equacions següents i interpreta’ls geomètricament:

a) xy z yz 24 0 ––+= = *

Aquests sistemes (amb més incògnites que equacions) no tenen mai solució única. Poden tenir infinites solucions o no tenir-ne cap.

a) Passem z al segon membre i fem z = λ (paràmetre). D’aquesta manera el sistema tindrà tantes equacions com incògnites. xy

Les solucions del sistema són (–2 + λ, 1, λ). Per a cada valor de λ, obtenim una solució diferent.

Són dos plans que es tallen en una recta.

Comprovem les solucions:

() 23 1 22 12 –3 mm mm ++ = ++ =

b) Les dues equacions són incompatibles, ja que, si x + 2y – z = 3, hauria de ser 3x + 6y – 3z = 9.

b) xy z xy z 24 62 23 1

+= +=

El sistema no té solució.

Són dos plans paral·lels.

4. Plantejament i discussió d’un problema

Una persona va obtenir 6 000 € de benefici en invertir 60 000 € en tres empreses, A, B i C. La suma dels diners invertits en A i B va ser k vegades els invertits en C i els beneficis van ser el 5 % en A, el 10 % en B i el 20 % en C.

a) Planteja un sistema d’equacions per saber els diners invertits en cada empresa.

b) Estudia’n la compatibilitat i resol-lo per a k = 5 si és possible.

a) Plantegem un sistema d’equacions amb les condicions del problema. Els euros invertits en l’empresa A són x, en l’empresa B són y i en la C són z:

Fes-ho tu. Els diners que tenen entre

A, B i C són el 150 % dels que tenen entre A i B, i, a la vegada, són el doble dels que tenen entre A i C. Si C té el doble que A, podem saber quants diners té cadascú?

b) Per estudiar-ne la compatibilitat, simplifiquem la tercera equació i expressem els termes independents en milers d’euros:

En la segona equació observem que, si k = −1, l’equació (0z = −60) no tindrà solució. Per tant, k ha de ser diferent de −1, i com que k segons l’enunciat ha de ser un nombre positiu (k vegades), direm que el sistema és compatible si k > 0.

1. Sistemes amb un paràmetre i solució única

a) En aplicar el mètode de Gauss arribaràs a un sistema esglaonat en el qual la tercera equació és (m + 1)z = 8.

x x

22 1 3 5 *

–+ +

y y y

+ +

z z mz 2 2

= = =

b) Resol-lo per als valors de m que el fan compatible determinat.

Determina quina condició ha de complir m perquè aquesta equació tingui solució.

b) Expressa el valor de z en funció de m i obtén els valors de x i y també en funció de m.

Solució:

a) Si m ≠ −1, el sistema és compatible determinat. Per a cada valor de m ≠ −1, tenim un sistema diferent amb solució única.

b) x = –1, y = m m 1 7–+ , z = m 1 8 +

2. Sistema amb les mateixes solucions que un altre sistema compatible indeterminat

Considera el sistema S: x x y y z z 2 21 32 –– –+= =

i calcula el valor de k perquè, en afegir-li una tercera equació de la forma x + y + kz = 1, el sistema resultant sigui equivalent a S.

3. Sistema compatible

xy z xy z xy z xy az a 1 22 3 22 ––++ = ++ = ++ = += *

• Prova que el sistema S és compatible indeterminat i obtén les seves solucions.

• Escriu la matriu del nou sistema i aplica el mètode de Gauss.

• Determina el valor de k perquè la nova equació sigui trivial i la puguis eliminar.

• Comprova que les solucions de S verifiquen la tercera equació per al valor de k que has obtingut.

Solució: Per a k = –8, les solucions són (1 + 5λ, 3λ, λ).

• Comprova, aplicant el mètode de Gauss, que cap de les tres primeres equacions no és incompatible i que la quarta tampoc no ho és per a cap valor de a

• Quin ha de ser el valor de a perquè la quarta equació sigui una equació trivial?

• Elimina les equacions trivials i resol el sistema en els casos en què sigui compatible indeterminat i compatible determinat.

• Tria adequadament la incògnita que agafes com a paràmetre.

Solució: Si a = –1, és compatible indeterminat amb solució ,, 3 1 3 4 – mm dn .

Si a ≠ –1, és compatible determinat amb solució ,, 3 1 3 1 1 dn

4. Sistema de dues equacions i dues incògnites

• Escriu la matriu de dues files i tres columnes que representa el sistema.

• Aplica el mètode de Gauss i obtindràs com a 2a equació (1 – m 2)y = –(1 + m).

• Quina condició ha de complir m perquè el sistema tingui solució?

––

+= +1 0 +=

• Determina els valors de m que transformen aquesta equació en incompatible o en una equació trivial.

• El sistema representa dues rectes del pla, que poden tenir un punt comú, no tenir-ne cap o tenir infinits punts en comú.

Solució: Si m ≠ ±1, és compatible determinat, amb solució , mm 1 1 1 1 ––––

dn

Si m = 1, el sistema és incompatible. Es tracta de dues rectes paral·leles.

Si m = –1, el sistema és compatible indeterminat. Les rectes són coincidents.

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

Per practicar

Resolució i interpretació geomètrica de sistemes d’equacions lineals

1 Resol i interpreta geomètricament els sistemes següents:

Mètode de Gauss

7 Resol els sistemes següents aplicant-hi el mètode de Gauss:

2 Resol i interpreta geomètricament:

8 Resol aquests sistemes aplicant-hi el mètode de Gauss:

3 Argumenta si aquests sistemes tenen solució i interpreta’ls geomètricament:

9 Resol, si és possible, els sistemes següents:

4 Resol els sistemes esglaonats següents:

10 Estudia i resol pel mètode de Gauss:

5 Resol els sistemes esglaonats següents:

11 Classifica els dos sistemes següents en incompatibles o compatibles:

6 Escriu un sistema de tres equacions i dues incògnites que no tingui solució i interpreta’l geomètricament.

Discussió de sistemes d’equacions

13 Discuteix els sistemes següents segons els valors del paràmetre m :

20 a) Determina, segons els valors del paràmetre a, els casos en els quals el sistema següent té solució o no en té:

b) Resol-lo en els casos que sigui compatible determinat.

21 Estudia els sistemes següents. Resol-los quan siguin compatibles i interpreta les solucions geomètricament.

14 Discuteix els sistemes següents i resol-los quan sigui possible:

15

dels sistemes següents per als valors de

22 Discuteix els sistemes següents segons els valors de α i interpreta’ls geomètricament:

16 Discuteix aquests sistemes i resol-los quan sigui possible:

23 Considera el sistema d’equacions següent:

17 Discuteix els sistemes d’equacions següents:

a) Dedueix per a quins valors de a el sistema només té la solució (0, 0, 0).

b) Resol-lo en el cas en què tingui infinites solucions.

24 a) Estudia aquest sistema segons els valors de λ:

b) Resol-lo per a λ = 3.

18 Discuteix i resol cada cas en funció del paràmetre a:

25 Un vaixell transporta 400 vehicles (cotxes, camions i motos). Per cada 2 motos hi ha 5 camions. Els cotxes representen les 9/7 parts dels altres vehicles. Quants vehicles de cada tipus transporta el vaixell?

19 Classifica els sistemes següents segons el seu nombre de solucions per als diferents valors de a i resol-los per a a = 2:

26 a) Troba un nombre de tres xifres que compleixi aquestes condicions: la suma de les centenes i les unitats amb el doble de les desenes és 23; la diferència entre el doble de les centenes i la suma de les desenes més les unitats és 9, i la mitjana de les centenes i les desenes més el doble de les unitats és 15.

b) Seria possible trobar un nombre de tres xifres si l’última condició fos «el triple de les centenes més les desenes és 25»?

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

27 Les tones de combustible consumides en una fàbrica en el torn de matí són igual a m vegades les tones consumides en el torn de tarda.

A més, se sap que el torn de tarda consumeix m tones menys que el torn de matí.

a) Planteja i discuteix el problema en funció de m

b) És possible que el torn de matí consumeixi el doble de combustible que el de tarda?

c) Si se suposa que m = 2, quant consumeix el torn de tarda?

28 Tenim unes quantes monedes d’1 € distribuïdes en tres piles. Passem dotze monedes de la tercera pila a la segona i, a continuació, en passem deu de la segona a la primera. Al final, les tres piles tenen la mateixa quantitat de monedes.

a) Amb aquestes dades, podem determinar quantes monedes hi havia inicialment en cada pila? Raona la resposta.

b) Determina quantes monedes hi havia inicialment en cada pila si sabem que en total hi havia 51 monedes.

29 Un llibreter ven 84 llibres a dos preus diferents, uns a 5m euros i els altres a 4m euros, i per la venda obté 3 105 euros.

a) Planteja un sistema d’equacions en què les incògnites x i y siguin el nombre de llibres venuts de cada tipus i estudia’n la compatibilitat.

b) És possible que el preu dels llibres fos 45 i 36 €, respectivament?

c) Resol el sistema per a m = 9. Quants llibres va vendre de cada tipus?

30 La suma de les tres xifres d’un nombre és 13. La xifra de les centenes excedeix en m unitats la de les desenes. Si s’intercanvien la xifra de les unitats i la de les centenes, llavors el nombre augmenta en 495.

a) Planteja un sistema d’equacions i raona per a quins valors de m és compatible determinat.

b) Quins valors pot agafar m perquè el problema tingui solució? Calcula la solució per a m = 4.

31 En un grup hi ha 288 persones d’entre 18 i 25 anys classificades com a estudiants, empleats i sense ocupació. Per cada cinc estudiants, hi ha tres empleats i els que no tenen ocupació representen el 80 % de la resta.

a) Planteja el sistema d’equacions corresponent.

b) Quants estudiants, empleats i persones sense ocupació hi ha?

32 Un país importa 21 000 cotxes de tres marques, A, B i C, al preu de 10 000, 15 000 i 20 000 € cada un. El total de la importació és de 322 milions d’euros. Se sap que hi ha 21 000 cotxes comptant els de la marca B i k vegades els de la A.

a) Planteja un sistema amb les condicions del problema en funció del nombre de cotxes de cada marca.

b) Resol el sistema en el cas que k = 3.

c) Comprova que el sistema no té solució en el cas que k = 2.

Qüestions teòriques

33 Cert o fals? Justifica les respostes i posa’n exemples.

a) A un sistema amb dues equacions i dues incògnites que és compatible indeterminat, podem afegir-hi una equació que el transformi en incompatible.

b) Si S i S' són dos sistemes equivalents amb solució única que tenen iguals els termes independents, llavors els coeficients de les incògnites també són iguals.

c) El sistema xy za xy za 2 24 22 1 22 ––+= += + * és incompatible qualsevol que sigui el valor de a.

d) El sistema x x y y a b 32 –+= = * és compatible indeterminat per a qualssevol valors de a i b.

e) A un sistema de dues equacions amb dues incògnites que és compatible determinat, podem afegir-hi una equació que el transformi en compatible indeterminat.

34 És possible, canviant un signe, convertir aquest sistema en compatible indeterminat?

++ = += += *

xy z xy z xy z

1 1 1 ––

35 Defineix quan dos sistemes d’equacions lineals són equivalents. Justifica si els sistemes següents són equivalents o no ho són: x

36 Comprova que la solució del sistema d’equacions

Podem dir que el sistema és compatible indeterminat si

Per aprofundir

37 Per a quin valor de a és incompatible aquest sistema?

39 Afegeix una equació al sistema

manera que sigui:

a) Incompatible.

b) Compatible determinat.

c) Compatible indeterminat.

• Pot ser compatible indeterminat per al valor a = 2? • Resol-lo si a = 2. • Si a ≠ 1 i a ≠ 2, pot ser compatible determinat?

38 Discuteix aquests sistemes en funció de a i resol-los en el cas en què siguin compatibles indeterminats:

40 Troba raonadament dos valors del paràmetre a per als quals el sistema següent sigui incompatible:

Autoavaluació Resolucions d’aquests exercicis.

1 Resol i interpreta geomètricament aquests sistemes:

41 Considera aquest sistema:

a) Justifica que per als valors dels paràmetres a = 0, b = 1, c = 2 el sistema és compatible.

b) Determina els valors dels paràmetres a, b i c per als quals es verifica que (x, y, z) = (1, 2, 3) és solució del sistema.

c) Justifica si aquesta solució és única o no ho és.

5 Considerem aquest sistema:

a) Afegeix-hi una equació perquè sigui incompatible.

b) Afegeix-n’hi una perquè sigui compatible determinat.

2 La suma de les tres xifres d’un nombre és 9. Si al nombre hi restem el que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres, la diferència és 198 i la suma de les xifres de les unitats i les centenes és el doble de les desenes. Quin és el nombre?

3 Discuteix aquest sistema i resol-lo quan sigui possible: xy z yz xmyz xm 23 2 37

3 3 ++ = += ++ = +

4 Un caixer automàtic té 1 330 € en bitllets de 10 €, 20 € i de m €. En total hi ha 97 bitllets, i el nombre dels de 10 € és el doble dels de 20 €

a) Planteja un sistema d’equacions per esbrinar quants bitllets hi ha de cada tipus.

b) Prova que si m ∈{5, 50, 100, 200} el sistema és compatible determinat i resol-lo en el cas que m = 50.

c) Raona si al caixer hi pot haver bitllets de 100 €.

c) Afegeix-n’hi una perquè sigui compatible indeterminat. Justifica en cada cas el procediment seguit.

6 Considerem aquest sistema d’equacions lineals:

a) Calcula un valor de a per al qual sigui incompatible.

b) Discuteix si hi ha algun valor de a per al qual el sistema sigui compatible determinat.

c) Resol el sistema per a a = 0.

7 Discuteix aquest sistema segons els valors de a. Interpreta’l geomètricament: