Sophie Germain 2n. Mostra

ÉNEZ M I J A LER O C É ERO S B O L J A U L AZTE CAÑAS G O I C A IGN ERA L O C N RAMÓ

M A T MEÀ -TIQUES DOSSIER

2 ESO

Programa

Sophie Germain

» PRESENTACIÓ I ESTRUCTURA umeració

BLOC I. N BREU HISTÒRIA DE LES MATEMÀTIQUES Una passejada per la història de la numeració, l’àlgebra, les funcions, la geometria i l’atzar i la probabiilitat,

Nombres enters Els nombres naturals s’han utilitzat en totes les civilitzacions des de l’antiguitat per facilitar l’activitat quotidiana: comptar, mesurar, comerciar, construir… (matemàtica pràctica). Els grecs van anar més enllà: van cultivar les matemàtiques pel pur plaer de saber (matemàtica teòrica).

Pitàgores (segle vi aC) i els seus deixebles van retre un culte molt especial als nombres. Segons ells, els nombres ho regien tot: la música, el moviment dels planetes, la geometria…

Van investigar-ne les propietats i les relacions i van fer classificacions, recollides més endavant en el llibre VII dels Elements d’Euclides.

Fraccions L’origen de les fraccions és molt antic: babilonis, egipcis, grecs, xinesos i indis les feien servir fa milers d’anys.

Els egipcis utilitzaven exclusivament fraccions unitàries i les dels babilonis eren sexagesimals: només feien servir com a denominadors el nombre 60 i les seves potències. Això feia que els càlculs fossin summament feixucs i els obligava a valer-se de taules molt complicades per fer operacions.

Els antics grecs, inicialment, van continuar la tradició egípcia, encara que més endavant van fer servir les fraccions ordinàries, que van arribar a manejar amb gran desimboltura, tot i que es van entossudir a expressar el resultat dels problemes com una suma de fraccions unitàries.

I aquest estrany tractament mixt es va estendre per Europa al segle xiii.

Els xinesos, però, ja al segle iv feien servir amb molta destresa les fraccions ordinàries. Com a curiositat, cal dir que anomenaven fill el numerador i mare el denominador. Però no dividien les fraccions com nosaltres, sinó que les reduïen a denominador comú i agafaven els numeradors.

Els àrabs, a la seva època d’expansió i esplendor, també van tenir grans matemàtics, en els tractats dels quals apareixen les fraccions. Així, el nom de fracció ve de la l’ traducció (segle xii)) de l’Aritmètica d’al-Hwarizmi.

A Europa, durant uns quants segles, els nombres enters s’expressaven en el sistema decimal i les parts fraccionàries, en el sistema sexagesimal. A mitjans del segle xvi, alguns matemàtics europeus van començar a substituir les fraccions sexagesimals per les decimals en constatar que amb aquestes s’agilitzava el càlcul.

Amb l’ús, les fraccions decimals van acabar substituint les sexagesimals per expressar unitats incompletes. La notació basada en el sistema decimal va anar evolucionant, la seva escriptura es va anar simplificant i, a principis del segle xvii, es va fixar la que fem servir avui dia.

Malgrat la implantació i el predomini del sistema decimal, actualment s’utilitza el sistema sexagesimal per mesurar i expressar dues magnituds: el temps i l’amplitud dels angles.

1

2

3

Nombres decimals i sistema sexagesimal

Fraccions

Proporcionalitat i percentatges

Proporcionalitat El concepte de proporcionalitat apareix en els vestigis de totes les cultures, relacionat, inicialment, amb problemes i situacions pràctiques: amb tres càntirs es poden omplir dos odres; amb sis càntirs se’n poden omplir quatre…

El papir Rhind (1650 aC) és un document egipci en el qual es van trobar 87 problemes matemàtics sobre diferents temes.

Algunes tauletes o alguns papirs de les primeres civilitzacions que han arribat fins als nostres dies inclouen problemes sobre proporcionalitat: intercanvi de mercaderies, repartiments proporcionals…

A l’antiga Grècia, els matemàtics van reflexionar sobre la proporcionalitat i en van analitzar les lleis i les relacions. És a dir, van començar a formalitzar i a construir un cos teòric, independent de situacions concretes.

Unitats del bloc.

Bastant més tard, al Renaixement, el desenvolupament del comerç va donar un nou impuls a la proporcionalitat, que es va concretar en l’avanç de la matemàtica comercial: descomptes, deutes, terminis…

Actualment, la proporcionalitat és imprescindible en el desenvolupament de qualsevol ciència aplicada (física, química, biologia, estadística, etc.).

Si 10 gerres de greix han de durar un any, quant de greix es pot fer servir en un dia?

Percentatges Des de l’antiguitat, l’organització de l’Estat exigia el registre de les activitats econòmiques. En algunes civilitzacions, com la babilònia o l’egípcia, fa uns 4.000 anys, o més tard la grega, els temples concedien préstecs a alguns ciutadans i els cobraven després amb interessos, malgrat que aleshores no es calculaven en tant per cent.

A l’antic imperi Romà, molts segles abans que a Europa s’imposés el sistema decimal, 1 alguns càlculs es feien utilitzant fraccions múltiples d’ 100 . L’emperador romà Au1 gust, per exemple, va implementar un impost d’ 100 sobre els béns venuts en subhasta. És a dir, es cobrava un 1 % d’impostos.

A partir dels segles xiv i xv,, amb el desenvolupament del comerç durant el Renaixement, es van ampliar les demandes en el camp del càlcul i la comptabilitat i es va estandarditzar l’ús de percentatges.

La paraula percentatge deriva del llatí per centum,, que significa «per cent».

El signe de percentatge (%) va sorgir al segle xvi a partir de l’abreviatura de cento mitjançant una deformació d’aquesta. Un segle després, el símbol ja era comunament acceptat i utilitzat en el sentit actual.

1

1

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Proposta de situació d'aprenentatge.

PENSEU-HI Idees per encetar el debat i fer aflorar els coneixements previs.

Itinerari de la unitat.

Conceptes explicats de manera amena amb exemples i exercicis resolts.

APLICA EL QUÈ HAS APRÈS Proposta d’activitats per resoldre.

FIXA IDEES Exercicis per practicar tot allò que has après.

Problemes que donen pistes de com resoldre la situació d’aprenentatge.

EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Exercicis i problemes per treballar el que has après al llarg de la unitat.

Activitats que donen peu a reflexionar sobre els objectius de desenvolupament sostenible de l’ONU.

TALLER DE MATEMÀTIQUES Activitats de lògica, enginy i cultura matemàtica.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Proposta per treballar els sabers i les competències matemàtiques dins un context social i cultural per analitzar i mirar de comprendre el món.

ANEM PAS A PAS Treball pas a pas i en grups cooperatius de la situació d’aprenentatge plantejada a l’inici.

POSA'T A PROVA Activitats per comprovar què has après.

PENSEM-HI Activitats per debatre i reflexionar sobre la situació d’aprenentatge.

RESOLEM Resolució de la situació proposada i altres de similars.

Reflexió sobre l’ODS relacionat amb la situació plantejada.

AMB ULLS DE DONA Articles, entrevistes i relats en què científiques de diversos àmbits transmeten la passió que senten per la seva professió.

» PROJECTE DIGITAL Una resposta global per a un entorn educatiu divers La proposta digital de Barcanova és EDUDYNAMIC, un projecte digital complet que dona una resposta global a un entorn educatiu divers i dinàmic. A partir d’una proposta senzilla i intuïtiva, EDUDYNAMIC és un projecte digital multidispositiu i multisuport que s’adapta i es visualitza en totes les plataformes i en tots els entorns virtuals d’aprenentatge (BlinkLearning, Moodle, Alexia, Google Classroom, Clickedu, Office 365…).

La diversitat i riquesa de recursos, des d’activitats interactives traçables a vídeos, presentacions i jocs, fan d’EDUDYNAMIC un projecte digital actualitzat i complet pensat per canviar amb tu.

Integració a totes les plataformes i entorns EVA. Compatibilitat i sincronització amb qualsevol dispositiu.

Gestió en línia de les activitats i tasques assignades als alumnes.

Amb suport paper o sense.

Continguts i eines per treballar on-line i off-line.

» ÍNDEX » BLOC I. Numeració. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 2 3

NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL . 12 1.

Estructura, classificació, representació i ordenació de nombres decimals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Operacions amb nombres decimals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Arrel quadrada d’un nombre decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Sistema sexagesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Operacions en el sistema sexagesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Nombres decimals i nombres sexagesimals. . . . . . . . . . . . . .

Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Situació d’aprenentatge. Fem negoci?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 17 20 21 23 25 26 30 31 32

FRACCIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1. Fraccions equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Suma i resta de fraccions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Multiplicació i divisió de fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Problemes amb fraccions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Potències i fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Fraccions i nombres decimals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Situació d’aprenentatge. I tu, quantes hores dorms?. . . . . . .

36 37 39 41 44 46 48 54 55 56

PROPORCIONALITAT I PERCENTATGES . . . . . . . . . . 58 1. Raons i proporcions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Magnituds directament proporcionals. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Magnituds inversament proporcionals. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Problemes de proporcionalitat composta i de repartiments proporcionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Percentatges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Problemes amb percentatges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Interès bancari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Altres problemes aritmètics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Situació d’aprenentatge. L’equip de la Martina . . . . . . . . . . . .

60 61 63 65 67 69 72 73 76 80 81 82

» Amb ulls de dona. No confiïs en el teu cervell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

» BLOC II. Àlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4 5 6

ÀLGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

1. L’Àlgebra: lletres en lloc de nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2. Expressions algebraiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3. Polinomis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4. Productes notables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Situació d’aprenentatge. Aconseguiran sortir de l’escape room?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

EQUACIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 1. Equacions: significat, elements i nomenclatura. . . . . . . . . . . 112 2. Resolució d’equacions senzilles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3. Equacions amb denominadors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4. Procediment general per resoldre equacions de primer grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5. Resolució de problemes amb equacions. . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6. Equacions de segon grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7. Resolució d’equacions de segon grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Situació d’aprenentatge. Aprenem a aprendre!. . . . . . . . . . . . 132

FUNCIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 1. Concepte de funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 2. Creixement, decreixement, màxims i mínims . . . . . . . . . . . . 137 3. Funcions representades per taules de valors. . . . . . . . . . . . . 138 4. Funcions representades per una equació. . . . . . . . . . . . . . . . 139 5. Funcions de proporcionalitat: y = mx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6. Pendent d’una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7. Funcions lineals: y = mx + n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8. Funcions constants: y = k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1 Situació d’aprenentatge. Una jornada de busseig. . . . . . . . . . 152

» Amb ulls de dona. Manual de requisits per ser científica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

» BLOC III. Espai i mesura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7 8 9

TEOREMA DE PITÀGORES. SEMBLANÇA . . . . . . . . . . . 158 1. Teorema de Pitàgores: càlculs i aplicacions. . . . . . . . . . . . . . 160 2. Figures semblants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3. Plànols, mapes i maquetes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4. Com es construeixen figures semblants . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5. Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6. Semblança entre triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Situació d’aprenentatge. Un refugi de muntanya. . . . . . . . . . . 182

COSSOS GEOMÈTRICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1. Prismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 2. Piràmides i troncs de piràmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4. Poliedres regulars. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5. Seccions planes de poliedres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5. Cilindres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 6. Cons i troncs de con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7. Esferes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8. Seccions d’esferes, cilindres i cons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Situació d’aprenentatge. Visitem una terrisseria . . . . . . . . . . . 210

MESURA DEL VOLUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 1. Unitats de volum i principi de Cavalieri. . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 3. Volum del prisma i del cilindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 4. Volum de la piràmide i del tronc de piràmide. . . . . . . . . . . . 217 5. Volum de el con i del tronc de con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6. Volum de l’esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Situació d’aprenentatge. La restauració de l’ermita . . . . . . . . 228

» Amb ulls de dona. Ei, aquest mòbil porta matemàtiques! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

» BLOC IV. Estadística i probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

10

ATZAR I PROBABILITAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 1. Esdeveniments aleatoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 2. Probabilitat d’un esdeveniment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 3. Assignació de probabilitats en experiències regulars . . . . . 241 4. Estratègies per al càlcul de probabilitats . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Situació d’aprenentatge. Mens sana in corpore sano. . . . . . . 252

» Amb ulls de dona. A vegades cal aplicar una regla de tres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

C O L B

ó i c a r e I. Num

Nombres enters Els nombres naturals s’han utilitzat en totes les civilitzacions des de l’antiguitat per facilitar l’activitat quotidiana: comptar, mesurar, comerciar, construir… (matemàtica pràctica). Els grecs van anar més enllà: van cultivar les matemàtiques pel pur plaer de saber (matemàtica teòrica).

Pitàgores (segle vi aC) i els seus deixebles van retre un culte molt especial als nombres. Segons ells, els nombres ho regien tot: la música, el moviment dels planetes, la geometria…

Van investigar-ne les propietats i les relacions i van fer classificacions, recollides més endavant en el llibre VII dels Elements d’Euclides.

Fraccions L’origen de les fraccions és molt antic: babilonis, egipcis, grecs, xinesos i indis les feien servir fa milers d’anys.

Els egipcis utilitzaven exclusivament fraccions unitàries i les dels babilonis eren sexagesimals: només feien servir com a denominadors el nombre 60 i les seves potències. Això feia que els càlculs fossin summament feixucs i els obligava a valer-se de taules molt complicades per fer operacions.

Els antics grecs, inicialment, van continuar la tradició egípcia, encara que més endavant van fer servir les fraccions ordinàries, que van arribar a manejar amb gran desimboltura, tot i que es van entossudir a expressar el resultat dels problemes com una suma de fraccions unitàries.

I aquest estrany tractament mixt es va estendre per Europa al segle xiii.

Els xinesos, però, ja al segle iv feien servir amb molta destresa les fraccions ordinàries. Com a curiositat, cal dir que anomenaven fill el numerador i mare el denominador. Però no dividien les fraccions com nosaltres, sinó que les reduïen a denominador comú i agafaven els numeradors.

Els àrabs, a la seva època d’expansió i esplendor, també van tenir grans matemàtics, en els tractats dels quals apareixen les fraccions. Així, el nom de fracció ve de la traducció (segle xii) de l’Aritmètica d’al-Hwarizmi.

10

A Europa, durant uns quants segles, els nombres enters s’expressaven en el sistema decimal i les parts fraccionàries, en el sistema sexagesimal. A mitjans del segle xvi, alguns matemàtics europeus van començar a substituir les fraccions sexagesimals per les decimals en constatar que amb aquestes s’agilitzava el càlcul.

Amb l’ús, les fraccions decimals van acabar substituint les sexagesimals per expressar unitats incompletes. La notació basada en el sistema decimal va anar evolucionant, la seva escriptura es va anar simplificant i, a principis del segle xvii, es va fixar la que fem servir avui dia.

Malgrat la implantació i el predomini del sistema decimal, actualment s’utilitza el sistema sexagesimal per mesurar i expressar dues magnituds: el temps i l’amplitud dels angles.

1

2

3

Nombres decimals i sistema sexagesimal

Fraccions

Proporcionalitat i percentatges

Proporcionalitat El concepte de proporcionalitat apareix en els vestigis de totes les cultures, relacionat, inicialment, amb problemes i situa­cions pràctiques: amb tres càntirs es poden omplir dos odres; amb sis càntirs se’n poden omplir quatre…

El papir Rhind (1650 aC) és un document egipci en el qual es van trobar 87 problemes matemàtics sobre diferents temes.

Algunes tauletes o alguns papirs de les primeres civilitzacions que han arribat fins als nostres dies inclouen problemes sobre proporcionalitat: intercanvi de mercaderies, repartiments proporcionals…

A l’antiga Grècia, els matemàtics van reflexionar sobre la proporcionalitat i en van analitzar les lleis i les relacions. És a dir, van començar a formalitzar i a construir un cos teòric, independent de situacions concretes.

Bastant més tard, al Renaixement, el desenvolupament del comerç va donar un nou impuls a la proporcionalitat, que es va concretar en l’avanç de la matemàtica comercial: descomptes, deutes, terminis…

Actualment, la proporcionalitat és imprescindible en el desenvolupament de qualsevol ciència aplicada (física, química, biologia, estadística, etc.).

Percentatges

Si 10 gerres de greix han de durar un any, quant de greix es pot fer servir en un dia?

Des de l’antiguitat, l’organització de l’Estat exigia el registre de les activitats econòmiques. En algunes civilitzacions, com la babilònia o l’egípcia, fa uns 4.000 anys, o més tard la grega, els temples concedien préstecs a alguns ciutadans i els cobraven després amb interessos, malgrat que aleshores no es calculaven en tant per cent.

A l’antic imperi Romà, molts segles abans que a Europa s’imposés el sistema decimal, 1 alguns càlculs es feien utilitzant fraccions múltiples d’ 100 . L’emperador romà Au1 gust, per exemple, va implementar un impost d’ 100 sobre els béns venuts en subhasta. És a dir, es cobrava un 1 % d’impostos.

A partir dels segles xiv i xv, amb el desenvolupament del comerç durant el Renaixement, es van ampliar les demandes en el camp del càlcul i la comptabilitat i es va estandarditzar l’ús de percentatges.

La paraula percentatge deriva del llatí per centum, que significa «per cent».

El signe de percentatge (%) va sorgir al segle xvi a partir de l’abreviatura de cento mitjançant una deformació d’aquesta. Un segle després, el símbol ja era comunament acceptat i utilitzat en el sentit actual.

11

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

UNITAT

1

NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL

FEM NEGOCI? Cada dia, des que ens despertem, rebem una allau d’informació a través de diferents mitjans i és imprescindible tenir els coneixements i la capacitat crítica necessaris per gestionar-la.

Les matemàtiques són molt útils per analitzar molta d’aquesta informació. Per exemple, fem servir nombres decimals habitualment per parlar de despeses, preus, factures i, en definitiva, tot allò que té a veure amb els diners.

Aquest estiu, a la cafeteria de l’Esther, volen servir sucs, batuts i smoothies de fruits vermells. A la Mònica i en Pau, els seus nebots, els apassiona experimentar amb aquest tipus de begudes. Així que l’Esther els ha ofert la possibilitat de crear les seves pròpies receptes amb fruites i verdures per elaborar sucs multivitamínics i antioxidants. Ara bé, com que es tracta d’un negoci, és important que aquest sigui rendible.

PENSEU-HI

• Quins tres sucs podrien oferir la Mònica i en Pau? • Què cal tenir en compte perquè el negoci sigui rendible?

12

Nombres decimals

Operacions amb nombres decimals

Arrel quadrada

Sistema sexagesimal

Operacions en el sistema sexagesimal

13

UNITAT 1 » NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL

1. ESTRUCTURA, CLASSIFICACIÓ, REPRESENTACIÓ I ORDENACIÓ DE NOMBRES DECIMALS Usem els nombres decimals per expressar quantitats compreses entre dos nombres enters.

28

29

28 0,3758

28,3758

part entera part decimal

• Una unitat de qualsevol ordre es divideix en deu unitats de l’ordre immediat inferior.

mi le r ce s nt e de nes se n un es ita dè ts cim ce es nt è mi sim l·l es è de sim um es ce il·lè nt sim mi mil es lio ·lè nè sim sim es es

1 unitat = 10 dècimes ⎯⎯→ 1 = 10 · 1 = 10 · 0,1 10 1 dècima = 10 centèsimes ⎯⎯→ 0,1 = 10 · 1 = 10 · 0,01 100

Vint-i-vuit unitats i tres mil set-centes … UM C D U, D C M DM CM MM … cinquanta-vuit 2 8, 3 7 5 8 → deumil·lèsimes 3.758 5 7 3 8 28,3758 = 20 + 8 + + + + = 28 + 10 100 1.000 10.000 10.000

• Es classifiquen en: – Decimals exactes: tenen un nombre limitat de xifres decimals.

4,75 dues xifres decimals – Decimals periòdics: tenen infinites xifres decimals que es repeteixen periòdicament. Poden ser de dos tipus: Periòdic mixt: Periòdic pur: ! # 7,151515… = 7,15 8,24666… = 8,246 part decimal període no periòdica període – Decimals no exactes i no periòdics: tenen infinites xifres decimals que no es repeteixen periòdicament.

2 = 1,4124135…

• Cada nombre decimal es representa amb un punt en la recta numèrica.

–2

–1 –1,263

0 –0,4

1 0,6751

2 1,55

3 2,753

–1,263 < –0,4 < 0,6751 < 1,55 < 2,753

• Els nombres decimals queden ordenats en la recta numèrica. Si triem dos nombres qualssevol, el més petit queda a l’esquerra i el més gran, a la dreta.

14

NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL « UNITAT 1

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

1. Escriu com es llegeixen les quantitats de la taula: UM

C

D

1

U,

D

C

M

0,

0

3

7

5,

4

6

8

0,

0

0

2

DM

5. Escriu el nombre corresponent a cada lletra:

CM MM

a) 1,37 = b) 2,0024 =

B

X

7,98

4

2. Escriu com es llegeixen les quantitats següents:

A

2,7

Y

A=

X=

B=

Y=

C=

Z=

C

2,8

8

Z

6.

Observa la recta numèrica següent. El punt vermell representa l’esperança de vida, a Espanya, l’any 2019 i el punt groc, l’esperança de vida l’any 2020.

c) 0,0000007 =

82 anys

3. Escriu amb xifres:

a) Expressa aquestes dades amb dos nombres decimals.

a) Tres unitats i cinc centèsimes = b) Quaranta-tres mil·lèsimes = c) Vint-i-tres milionèsimes =

83 anys

84 anys

b) Va millorar o va empitjorar del 2019 al 2020? Quina creus que en va ser la causa?

d) Catorze deumilionèsimes =

4. Observa els nombres decimals següents: !

4,762

1,292929…

3,7 π = 3,14159265… !

13,8 2 = 1,7320508… 12,854 5,3888…

7. Representa els nombres següents en la recta numè-

rica:

M = 0,02

N = –0,07

a) Quins són decimals exactes?

P = 0,15

Q = –0,12

0

8. Ordena del més gran al més petit: b) Quins són periòdics purs?

a) 0,039; 0,01; 0,06; 0,009; 0,075 b) 11,99; 11,909; 11,009; 12,01; 11,91

c) Quins són periòdics mixtos?

9. Completa amb els signes <, > o =, segons correspongui: d) Quins no són ni exactes ni periòdics?

a) 2,5 c) 3,009

2,50 3,01

b) 6,1

6,987

d) 4,13

4,1300

15

UNITAT 1 » NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL • L’arrodoniment consisteix a suprimir les xifres decimals a partir d’un determinat ordre d’unitats i a sumar 1 unitat a l’última xifra resultant quan la primera xifra suprimida és 5 o més gran que 5.

Exemple.

1,835...

1,83

1,84

Arrodoniment: 1,835… → 1,84

• Quan fem un arrodoniment, donem un valor aproximat; per tant, cometem voluntàriament un error que rep el nom de fita de l’error comès.

– L’error comès en l’arrodoniment és inferior a mitja unitat de l’ordre al qual s’aproxima.

Exemple.

Arrodoniment → 6, 22 ( a les dècimes 6, 27 6,2

6,22

6, 2 6, 3

6,27

6,3

3 1424 3 1424 MITJA DÈCIMA

MITJA DÈCIMA

• Entre dos nombres decimals qualssevol hi ha infinits nombres decimals.

» FIXA IDEES

F1. Arrodoneix el nombre 2,83516:

AJUDA

a) A les unitats. →

F1. Arrodoniment de 6,0771:

b) A les centèsimes. →

A les unitats → 6

F2. Completa:

A les desenes → 6,1

a) Intercala tres nombres entre 2,58 i 2,59.

A les centèsimes → 6,08

2,580 < < < < 2,590

A les mil·lèsimes → 6,077

b) Intercala tres nombres entre 3,4 i 3,41.

F2. Intercala un nombre decimal entre 4,09 i 4,1:

3, < < < < 3, c) Intercala tres nombres entre 0,59 i 0,6.

4,09

↓

0,59 < < < < 0,6

10. Arrodoneix el nombre 6, 82 :

12. Arrodoneix a les centèsimes:

a) A les unitats →

a) 6,284 →

b) A les dècimes →

b) 1,53369 →

c) A les centèsimes →

c) 0,79462 →

d) A les mil·lèsimes →

13. Intercala un nombre decimal entre:

11. Arrodoneix a les dècimes:

a) 2,2 < < 2,3

a) 5,48 →

b) 4,01 < < 4,02

b) 2,8346 →

c) 1,59 < < 1,6

c) 3,057 →

d) 8 < < 8,1

16

↓

4,090 < 4,095 < 4,100

» APLICA EL QUE HAS APRÈS #

4,1

NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL « UNITAT 1

2. OPERACIONS AMB NOMBRES DECIMALS • Per sumar o restar nombres decimals, es col·loquen en columna fent coincidir els ordres d’unitats corresponents.

• Per multiplicar nombres decimals, s’opera com si fossin enters i, després, en el producte resultant se separen tantes xifres decimals com les que tenen entre els dos factors.

• Per dividir amb nombres decimals, cal tenir en compte que: – En baixar la xifra de les desenes del dividend, es posa la coma decimal en el quocient i es continua la divisió.

– Si no hi ha prou xifres decimals en el dividend, s’afegeixen els zeros necessaris per aconseguir l’aproximació desitjada.

– Quan hi ha decimals en el divisor es multipliquen el dividend i el divisor per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals hi hagi en el divisor.

• Quan es treballa amb expressions de nombres decimals amb parèntesis i operacions combinades, se segueixen les mateixes normes que amb els enters: – Primer, es resolen els parèntesis.

– Després, les multiplicacions i les divisions.

– Finalment, les sumes i les restes.

» FIXA IDEES

F3. Completa per obtenir una divisió equivalent, però sense decimals en el divi-

sor. Després, resol l’operació. ×

0,15 : 0,3 ×10 ↓ 3

×

3 : 0,05 × ↓ 3 0 0 5

×

4,5 : 1,125 × ↓ 1125

F4. Observa el resultat que dona la calculadora en dividir 2,5 : 6 i, després, completa els enunciats. Arrodoneix en cada cas amb la precisió adequada.

2,5 / 6 = → {∫≠Ÿ¢‘\\\\\} a) S’han fet servir 2,5 kg de plata en la fabricació de sis trofeus.

Cada trofeu conté kg de plata. → Arrodoniment: grams b) S’han fet servir 2,5 kg de patates per fer sis truites.

Cada truita conté kg de patates. → Arrodoniment: grams

3 –

3,5 : 1,75 ×100 ↓ 3 5 0 175 0 0 0 2

×100

F4. Exemple: • 4,75 kg de farina per a 16 pastissos • 4,75 kg d’or per a 16 lingots Ho resolem amb la calculadora: 4,75 / 16 = → {∫≠Ÿ“£\°|∞‘} • Cada pastís porta 0,3 kg de farina.

• Cada lingot porta 0,297 kg d’or.

(3 – 1,9) · (1,43 + 1,07) – 1,15

3 – (1,5 + 1,54) : (4,23 – 2,33) :

F3. Exemple:

F5. Exemple:

F5. Observa l’esquema i completa: 3 –

AJUDA

3 – (1,5 + 1,54) : (4,23 – 2,33) = : =3– = =3– =

1,1 · 2,5 – 1,15 2,75 – 1,15 1,6

17

UNITAT 1 » NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 14. Calcula mentalment i escriu el resultat: a) 0,75 + 0,25 =

e) ◊

5, 4 8 2, 6 3

f) ◊

0, 1 5 1, 0 1

b) 0,75 – 0,25 = c) 1,80 + 1,20 = d) 1,80 – 1,20 =

18. Completa perquè cada igualtat sigui certa:

e) 2,30 + 1,80 = f ) 2,30 – 1,80 =

a) 5,2 : 0,8 = 52 :

g) 3,50 + 1,75 =

b) 3 : 0,004 = : 4

h) 3,50 – 1,75 =

c) 6,31 : 2,5 = : 25

15. Calcula: a)

2, 3 7 + 0, 3 5 6

b)

5, 8 6 – 1, 7 4 9

c)

1 3, 2 4, 0 8 + 2, 6 3 5

d)

1 5, 4 – 6, 8 4 3

e)

7, 0 4 1 2, 2 8 3 + 0, 0 5

f)

0, 3 5 – 0, 0 6 4 8

16. Recorda el producte i el quocient per la unitat segui-

d) 0,005 : 0,02 = 5 :

19. Calcula el quocient exacte o, com a màxim, amb tres xifres decimals: a) 8 : 6

b) 218 : 16

c) 12 : 536

d) 149,04 : 23

a) 2,6 · 100 =

20. Substitueix cada divisió per una altra d’equivalent amb el divisor enter. Després, calcula el quocient exacte o amb tres xifres decimals.

b) 5,4 : 10 =

a) 6 : 0,2 =

c) 0,0048 · 1.000 =

b) 13 : 0,75 =

da de zeros i calcula:

d) 350 : 1.000 =

c) 53 : 4,11 =

17. Calcula: a) ◊

6, 3 1, 2 4

d) 4 : 0,009 = b) ◊

0, 4 4 2, 3 7 5

e) 45,6 : 3,8 = f ) 23,587 : 5,1 = g) 2,549 : 8,5 = h) 6,23 : 0,011 =

c) ◊

0, 0 1 6 0, 0 0 2 5

d) ◊

1 4 3 0, 0 6 8

21. Aproxima a les centèsimes cada quocient: a) 5 : 6 → b) 7 : 9 → c) 6 : 3,5 → d) 2,7 : 5,9 →

18

NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL « UNITAT 1

22. Resol:

26. Calcula mentalment:

a) 2,37 – 1,26 + 0,8 – 0,35 =

a) 12 · 0,5 =

b) 28 · 0,5 =

c) 8 · 0,25 =

d) 0,24 · 0,25 =

e) 17 · 0,1 =

f ) 0,6 · 0,1 =

g) 7 : 0,5 =

h) 2,3 : 0,5 =

i) 2 : 0,25 =

j) 0,6 : 0,25 =

k) 8 : 0,1 =

l) 4,8 : 0,1 =

b) 2,50 – 1,25 – 1,75 – 0,20 = c) 13,48 – 10,7 + 5,328 – 6,726 = d) 5,6 – 8,42 – 4,725 + 1,48 =

27. Estima el resultat mentalment, sense decimals, i des-

prés comprova’l amb la calculadora: a) 25,197 · 9,86 →

23. Calcula: a) 6,2 – (7,2 – 4,63) =

b) 142,36 · 0,49 →

b) (12,85 – 7,9) – (6,2 + 3,28) =

d) 33,44 : 0,511 →

c) 181,046 : 6,16 → T’hauràs de desviar en menys de dues unitats.

c) 5,6 – [4,23 – (5,2 + 1,75)] =

28.

24. Opera i resol:

a) Un paquet de 500 folis pesa 652 g. Quant pesa un foli?

Resol amb la calculadora i aproxima el resultat a l’or­dre d’unitats que consideris adequat:

a) 3,6 – 1,2 · 0,6 – 4,5 : 1,8 = b) 0,75 : (2,65 – 1,15) – 1,1 = c) (0,5 + 0,1) · (0,5 – 0,1) – (0,6 – 0,4) · (0,6 + 0,4) =

b) El preu del pollastre és de 3,49 €/kg. Quant costarà un pollastre que pesa 1 kg i 850 g?

d) 5,4 – 1,5 · [3,2 + 10 · (0,63 – 1,25)] =

25. Completa: a) Multiplicar per 0,1 és el mateix que dividir .

c) Un cotxe ha consumit 50 L de gasolina en 837 km.

Quanta en consumirà en fer 100 km?

b) Dividir entre 0,1 és el mateix que multiplicar . c) Multiplicar per 0,5 és el mateix que . d) Dividir entre 0,5 és el mateix que .

d)

Hem pagat 6 € per 2,5 m de tela per fer una pancarta reivindicativa a favor de la igualtat de gènere. Quant costa el metre de tela?

e) Multiplicar per 0,25 és el mateix que . f ) Dividir entre 0,25 és el mateix que .

19

UNITAT 1 » NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL

3. ARREL QUADRADA D’UN NOMBRE DECIMAL • L’arrel quadrada és l’operació inversa d’elevar al quadrat. a = b ↔ b 2 = a • Per calcular l’arrel quadrada d’un nombre decimal, actuarem igual que amb els nombres naturals i, a partir de la coma, baixarem les xifres decimals de dues en dues i afegirem els zeros necessaris per arribar a l’aproximació que volem.

• Normalment, per calcular l’arrel quadrada utilitzem la calculadora (tecla $), que ens ofereix la solució amb moltes xifres decimals. D’aquesta solució, en prendrem l’aproximació que volem.

7, 2 → {∫“…\°«“°‘∞}

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

29. Calcula les arrels exactes següents:

31. Calcula amb llapis i paper utilitzant l’algoritme. Si el

a) 0, 04

b) 0, 49

resultat no és exacte, obtén dues xifres decimals.

c) 0, 81

d) 0, 0001

b) 56 →

a) 7, 84 →

c) 39, 0625 → e) 0, 0121

f)

0, 1225

d) 150 →

30. Obtén per tempteig, amb una xifra decimal: a) 8 →

32. Utilitza la calculadora i arrodoneix a les mil·lèsimes: b) 11, 5 →

a) 10 → b) 2, 54 → c) 76, 38 →

20

NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL « UNITAT 1

4. SISTEMA SEXAGESIMAL De la mateixa manera que comptem de 10 en 10 (sistema decimal), al llarg de la història altres cultures han comptat de 60 en 60 (sistema sexagesimal).

• L’adopció del 60 es basa, probablement, en una manera més sofisticada de comptar, utilitzant les falanges dels dits índex, cor, anular i petit d’una mà recorreguts amb el dit polze com a guia. El compte del nombre de recorreguts es porta amb els dits de l’altra mà.

• En l’actualitat, el sistema sexagesimal es fa servir en la mesura del temps i en la de l’amplitud angular. En aquestes magnituds, cada unitat es divideix en 60 unitats de l’ordre inferior. temps · 60

amplitud angular · 60

· 60

· 60

HORA

MINUT

SEGON

GRAU

MINUT

SEGON

h

min

s

°

'

''

Exemples • Passa a segons 2 h 15 min 54 s.

2h = 2 · 3.600 → 7.200 s 15 min = 15 · 60 → 900 s 54 s = → 54 s —— — 2 h 15 min 54 s ⎯⎯→ 8.154 s

• Passa a hores, minuts i segons 2,265 h.

2,265 h =

2h 0,265 h

· 60

15,9 min =

15 min 0,9 min

· 60

54 s

2,265 h = 2 h 15 min 54 s

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

33. Expressa en segons:

34. Expressa en graus:

a) 37 min

a) 828'

b) 19 min 12 s

b) 25.920''

c) 1 h 25 min 12 s

c) 21° 15'

d) 2 h 45 min 12 s

d) 17° 24' 18''

21

UNITAT 1 » NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL • Les quantitats relatives a una magnitud es poden expressar utilitzant simultàniament diverses unitats (forma complexa) o una unitat única (forma incomplexa).

Exemple.

forma complexa

formes incomplexes

1 h 15 min

⎯⎯⎯⎯→

1,25 h → 75 min

13° 12'

⎯⎯⎯⎯→

13,2° → 792'

• La informació relativa al temps i a la mesura d’angles se sol donar en forma complexa. No obstant això, en introduir-la en la resolució d’un problema s’ha d’expressar en una única unitat (forma incomplexa).

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

35. Passa a graus, minuts i segons:

36. Passa a hores, minuts i segons:

a) 24.660''

a) 4.597 s

b) 37.240''

b) 82,3 min

c) 78,5'

d) 2,285°

22

c) 2,52 h

d) 3,55 h

NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL « UNITAT 1

5. OPERACIONS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL Exemples. Suma de quantitats en forma complexa • Un autobús de línia ha invertit 2 h 12 min 34 s en el trajecte d’anada entre dues ciutats i 1 h 57 min 46 s en el de tornada. Quant ha durat tot el viatge?

• Suma els angles A i B. ^

A

2 h 12 min 34 s + 1 h 57 min 46 s 3 h 69 min 80 s

Transformem 60 segons en 1 minut, i 60 minuts en 1 hora.

3 h 70 min 20 s ⎯→ 4 h 10 min 20 s

^

A = 74° 36' 52''

^

B

^

B = 43° 18' 25''

74° 36' 52'' + 43° 18' 25'' ^

^

A + B = 117° 54' 77'' ↓ ^ ^ Solució: A + B = 117° 55' 17''

Solució: El viatge ha durat 4 h 10 min 20 s.

Exemples. Resta de quantitats en forma complexa S i W B. • Resta els angles V ^ S

^ B

^ S = 117° 55' 17'' ^ = 43° 18' 25'' B

117° 55' 17'' – 43° 18' 25'' ↓ 117° 54' 77'' – 43° 18' 25'' ^

^

S – B = 74° 36' 52'' Solució: 74° 36' 52''

• Un helicòpter de salvament marítim rep un avís de so­

cors a les 18 h 56 min 45 s i arriba al lloc de l’accident a les 19 h 8 min 15 s. Quant ha tardat a respondre la trucada?

19 h 8 min 15 s 18 h 68 min 15 s – 18 h 56 min 45 s → – 18 h 56 min 45 s → 18 h 67 min 75 s – 18 h 56 min 45 s 0 h 11 min 30 s

Solució: Ha tardat onze minuts i mig.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

37. Fes les operacions següents:

38. Calcula aquestes operacions:

a) 6 h 15 min 30 s + 1 h 18 min 45 s

a) 12° 16' 37'' + 15° 42' 35''

b) 3 h 38 min 28 s – 46 min 12 s

b) 85° 45' – 18° 37' 19''

23

UNITAT 1 » NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL

Exemple. Producte d’una quantitat complexa per un nombre La cadena de muntatge d’una fàbrica d’electrodomèstics està programada per produir un rentavaixella cada 5 min 13 s.

Quant tardarà a acabar una comanda de 50 rentavaixelles?

5 min 13 s × 50 250 min 650 s

En el resultat, fem les transformacions següents: 650 s 050 s

60 260 min 10 min 20 min

650 s = 10 min 50 s

60 4h

260 min = 4 h 20 min

260 min 50 s ⎯→ 4 h 20 min 50 s Solució: Tardarà 4 h 20 min 50 s a acabar la comanda.

Exemple. Quocient en forma complexa Es vol dividir el jardí d’una rotonda circular en set sectors iguals. Quant mesurarà l’angle de cada sector?

360° · 60 7 – Es divideix 360° entre 7, i el residu es passa a minuts.

51° 25' 42'' 3° ⎯→ 180' · 60 – Es divideix 180' entre 7, i el residu es passa a segons.

5’ ⎯→ 300''

6''

– Es divideix 300'' entre 7, i queda un residu de 6''.

Solució: L’angle de cada sector mesurarà 51° 25' 42'' i sobraran 6''.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

39. Calcula:

40. Opera amb aquests angles:

a) (52 min 13 s) · 10

a) 109° · 4

b) (1 h 15 min 4 s) : 4

b) (101° 38' 24'') : 21

24

NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL « UNITAT 1

6. NOMBRES DECIMALS I NOMBRES SEXAGESIMALS Per resoldre un problema la solució del qual és una quantitat de temps, operem en el sistema decimal, però la solució l’hem d’expressar segons l’ús tradicional de les unitats de temps, és a dir, en el sistema sexagesimal.

Exemple Una ciclista ha fet els 49 km d’una etapa contrarellotge a una velocitat mitjana de 35 km/h.

Quant temps ha invertit en l’etapa? espai (km) : velocitat (km/h) = temps (h) 49 : 35 = 1,4 h La solució l’hem d’expressar en el sistema sexagesimal (hores i minuts): 1,4 h → )

1h 0,4 h → 0,4 · 60 = 24 min

Solució: Ha invertit 1 h 24 min.

En el procés de resolució d’un problema, les dades han de ser compatibles; és a dir, les hem d’expressar en la mateixa unitat de mesura. Això ens obliga, de vegades, a passar del sistema sexagesimal al decimal.

Exemple Una ciclista ha fet els 49 km d’una etapa contrarellotge en 1 h 24 min.

Quina ha estat la seva velocitat mitjana en km/h? espai (km) : temps (h) = velocitat (km/h) Perquè les dades siguin compatibles, hem d’expressar el temps en hores: 1 h 24 min = (1 + 24 : 60) h = (1 + 0,4) h = 1,4 h Calculem la velocitat: 49 : 1,4 = 35 Solució: La seva velocitat mitjana ha estat de 35 km/h.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

41. Un dipòsit de 80 L s’omple en 3 min 12 s. Quants litres surten per l’aixeta cada segon?

42. Per una aixeta surten 25 L/min. Quant es tarda a omplir un dipòsit de 80 L?

25

UNITAT 1 » NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Els nombres decimals

Operacions amb nombres decimals

1.

6.

Completa:

Calcula:

a) 5 dècimes = mil·lèsimes

a) 0,85 + 1,23 – 0,638 – 0,4 =

b) 2 mil·lèsimes = milionèsimes

b) 3,458 – (6,7 – 4,284) =

c) 6 centmil·lèsimes = centèsimes

c) 5,2 – (2,798 + 1,36) =

d) 8 milionèsimes = mil·lèsimes

7.

2.

Ordena del més petit al més gran en cada cas:

Opera:

a) 5,8 – 3,2 · 1,6 – 0,29 = b) (5,8 – 3,2) · 1,6 – 0,29 =

a) 5,1 - 5,099 - 4,83 - 4,9 - 4,99

c) 5,8 – 3,2 · (1,6 – 0,29) =

8.

b) 0,21 - 0,03 - 0,15 - 0,209 - 0,101 - 0,121

3.

Escriu el nombre que correspon a cada lletra: A

M

2,23

B

2,3

N

O

0,1

a) 6 : 0,2 =

b) 15 : 0,2 =

c) 9 : 0,3 =

d) 12 : 0,3 =

9.

C D

0

Calcula mentalment:

P

L’esperança de vida a Espanya, l’any 2020, era de 79,59 anys per als homes i de 82,33 anys per a les dones. Calcula l’esperança de vida de la població en conjunt si el nombre d’homes era igual que el de dones.

A → B → C → D → M → N → O → P →

4.

Completa la taula: NOMBRE

!

2,7

# 5,29

# 4,651

ARRODONIMENT A LES UNITATS

10. Calcula amb llapis i paper utilitzant l’algoritme i comprova el resultat amb la calculadora: a) 5, 24

b) 12

ARRODONIMENT A LES DÈCIMES ARRODONIMENT A LES CENTÈSIMES ARRODONIMENT A LES MIL·LÈSIMES

5.

La Berta pesa 52 kg i 450 g. La Maria pesa 52,5 kg. En Joan pesa més que la Berta, però menys que la Maria.

11. Completa aquest quadrat màgic: La suma dels nombres de cada fila, de cada columna i de cada dia­ gonal ha de ser la mateixa.

a) Què pots dir de l’error comès en estimar el pes d’en Joan en 52 kg?

12.

b) I en estimar-lo en 52,5 kg?

a)

· 4,8 = 6

c) 7 :

=5

26

1,23

1,08 0,03 0,78

Busca el nombre decimal que ha d’ocupar cada casella i escriu-lo: b) 0,2 · d)

= 0,002 : 0,25 = 1,2

NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL « UNITAT 1

13.

Calcula, amb dues xifres decimals, la nota mitjana d’en Joan en cada assignatura:

17.

Passa a forma complexa:

a) 12.639''

a) Llengua: 8 - 6 - 7 - 7 - 6 - 7 b) Matemàtiques: 5,2 - 6 - 5,8 - 4,5 - 7,1 - 5,7

b) 45,15°

18.

14.

Cert o fals?

En una clínica del son han fet un estudi a una persona gran i han observat que dorm entre 5,3 i 5,4 hores al dia. Calcula la mitjana d’aquests valors i expressa totes les quantitats en hores i minuts.

a) El producte d’un decimal per un enter és sempre decimal. b) El producte de dos nombres decimals pot ser enter. c) En dividir dos nombres decimals mai no s’obté un enter. d) L’arrel quadrada d’un nombre decimal sempre és més petita que el nombre. e) L’arrel quadrada d’un nombre decimal mai no és un decimal exacte.

15.

Llegeix i calcula:

a) Si multipliques un nombre n per 0,1 i després per a, obtens com a resultat final n. Quant val a ? b) Si multipliques un nombre n per 0,2 i després per b, obtens com a resultat final n. Quant val b ?

Operacions amb el sistema sexagesimal 16.

Expressa en hores:

a) 48 min

19.

Calcula:

a) 37° 50' 18'' + 25° 39'

b) (3 h 13 min) – (1 h 52 min 28 s)

20.

Calcula:

a) (14 min 16 s) · 8

b) (59° 46' 18'') : 6

21. Les coordenades geogràfiques de Manresa, expressades en graus, són aquestes: Latitud → 41,7281500 °N Longitud → 1,8239900 °E Expressa-les en graus, minuts i segons.

b) 66 min

27

UNITAT 1 » NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL

Resol problemes 22.

Quant pagaré si compro 1,083 kg de salmó a 9,75 €/kg?

27.

Una furgoneta transporta 250 dotzenes d’ous que costen 0,98 € la dotzena. En un revolt es tomba una caixa i es trenquen 60 ous. Quant cal augmentar el preu de la dotzena perquè la mercaderia continuï costant el mateix?

Compte amb l’arrodoniment.

28.

23.

Per fabricar 3.500 dosis d’un medicament, es necessiten 1,96 kg de principi actiu. Quants grams d’aquest principi porta cada dosi?

24.

Una síndria de 2 kg i 625 g ha costat 4,20 €.

Quant costa el quilogram?

25.

A les 18 h 45 min 13 s, una cadena de ràdio inicia l’emissió d’un programa de música preenregistrat que té una durada d’1 h 16 min 52 s. A quina hora acabarà el programa?

Una empresa immobiliària compra un terreny rectangular de 125,40 m de llarg i 74,60 m d’ample per 350.000 €. Després, l’urbanitza, amb un cost de 62.528,43 €. I, finalment, el divideix en parcel·les i el posa a la venda a 52,75 €/m2. Quin benefici obtindrà?

29.

Un autobús interurbà fa el recorregut cada hora i dotze minuts. Quantes vegades el farà en les 12 hores que dura el seu servei?

30.

A la cafeteria del barri, aquest matí han servit 150 cafès amb llet i 150 tallats i han gastat 4 ampolles de llet de litre i mig. Si un cafè amb llet porta el triple de llet que un tallat, quanta llet porta cada beguda?

31.

26.

El canó d’un telescopi ha girat un angle de 158° 53' 20'', des de la posició inicial (nord), en el sentit de les busques del rellotge. Quin angle hauria d’haver girat en el sentit contrari per arribar a la mateixa posició?

28

Un vaixell petrolier, que navega a una velocitat mitjana de 18 nusos, ha cobert la distància entre la plataforma d’extracció i el port de la refineria en 12 hores i tres quarts. Quina distància ha recorregut durant la travessia?

Què significa que la velocitat és de 18 nusos?

NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL « UNITAT 1

32.

Quant tardaria una sonda espacial, a una velocitat de 100 km/s, a arribar al planeta Mart, si es calcula que en la trajectòria recorreria una distància de 2,4 UA (unitats astronòmiques)?

Recordes què és una UA?

Resolució 5 90 300 3 0 0 3,33 h = 3 h + 0,33 h 300 30 0,33 h → 0,33 · 60 = 19,8 min = (19 + 0,8) min 0,8 min → 0,8 · 60 = 48 s El camió tarda 3,33 h = 3 h 19 min 48 s.

Analitza i expressa’t 33.

És el teu torn

Un camió circula per una autopista a 90 km/h. Quant temps tarda a recórrer 300 km?

34. El gerent d’una fàbrica de pantalons texans estudia les dades següents:

Descriu les diferents formes com s’ha resolt el problema i digues si aprecies errors en algunes:

• Els dipòsits del taller de rentat a la pedra han de subministrar, durant la jornada laboral (6.00 am - 20.00 pm), un cabal d’aigua fix de 15 L/min, a 85 °C.

Resolució 1 90 300 3 0 → 3 0 3 h 20 min × 60 18 0 0 000

• Per apujar un grau la temperatura d’un metre cúbic d’aigua, es necessiten 0,65 L de combustible, que té un cost d’1,08 €/L. • Durant els mesos de març i de juliol es van fer deu mesuraments de la temperatura de l’aigua que subministra la xarxa:

El camió tarda 3 h 20 min.

Resolució 2 3 0 0 , 0 0 90 3 0 0 3,33 3 00 30

TEMPERATURA (°C)

El camió tarda 3 h 33 min.

+

90 ↓ 1h

6

8

10

12

11

9

6

10

9

7

JULIOL

25

27

30

29

26

25

28

30

32

35

Amb aquestes dades, planteja un exercici que requereixi fer una estimació. Després calcula’n el resultat i esbrina quin ha estat l’error comès en l’estimació.

Resolució 3 300 = 90 ↓ 1h

MARÇ

+

90 ↓ 1h

+

30 ↓ 20 min

Enunciat:

90 km/h = (90.000 : 60) m/min = 1.500 m/min

Resolució:

Resolució 4 300 km = 300.000 m 300.000 m : 1.500 m/min = 200 min = = 180 min + 20 min = 3 h 20 min El camió tarda 3 h 20 min.

29

UNITAT 1 » NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX I DESCOBREIX Coses de nombres Comprova amb la calculadora aquestes divisions que tenen com a resultat nombres amb infinites xifres decimals:

1 : 9 = 0,111...

2 : 9 = 0,222...

!

Segons aquests resultats, 9 : 9 hauria de ser 0,99999... = 0,9 .

Però sabem que 9 : 9 = 1.

3 : 9 = 0,333...

4 : 9 = 0,444...

0,999... ↔ {∫∫∫∫∫‘}

• Són diferents aquests resultats? Series capaç de calcular-ne la diferència?

» INVESTIGA

1 2 3

Una xifra en cada casella Col·loca les xifres de l’1 al 8, una en cada casella, de manera que resultin dues fraccions equivalents.

4 5

=

» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES Lògica de trens Tenint en compte que la locomotora pot anar cap endavant i cap endarrere, arrossegar i empènyer, com podem intercanviar la posició dels vagons entre ells i deixar la locomotora en la posició actual?

30

L

A

B

6 7

8

NOMBRES DECIMALS I SISTEMA SEXAGESIMAL « UNITAT 1

POSA’T A PROVA 1. Escriu com es llegeixen:

8. Calcula:

a) 1,07 =

a) 5 h 30 min 14 s + 13 min 12 s =

b) 0,000234 =

2. Escriu amb xifres:

b) (22 min 14 s) : 2 =

a) Divuit centèsimes: b) Tretze centmil·lèsimes:

3. Arrodoneix a les centèsimes: a) 5,052 → b) 0,55555 →

9. Fes aquestes operacions amb angles: a) 15° 15' 14'' – 33' 12'' =

c) 0,7481 →

4. Calcula: a) 0,25 · 11,48 =

b) (1° 13' 15'') · 4 =

b) 0,08 : 1,6 = c) 10,2 : 0,034 =

5. Calcula: a) 1,4 – 1,8 · 0,2 – 0,4 : 1,6 =

b) 0,5 – 2,7 : [1,2 – 0,1 · (0,25 – 1,75)] =

6. Expressa en segons: a) 42 min = b) 1 h 12 min 4 s =

7. Passa a graus minuts i segons: a) 13.660'' =

c) (166° 19' 12'') : 28 =

10. Un majorista compra en un trull 12.400 L d’oli,

a 1,60 €/L, per envasar-lo en ampolles de 0,75 L destinades a una cadena de supermercats, però ­deixa sense embotellar l’última dècima part per no arrossegar pòsits. Quin serà el guany si rep 2,10 € per cada ampolla, ven la resta a una indústria de sabons a 0,45 €/L i estima les seves despeses de magatzem en 2.350 €?

11. Una furgoneta fa un viatge de 76 km circulant

per una autovia a una velocitat constant de 95 km/h.

Quant dura el viatge? b) 3,455° =

31

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

SITUACIÓ D’APRENENTATGE 1

» FEM NEGOCI? Aquest estiu, a la cafeteria de l’Esther, volen servir sucs, batuts i smoothies de fruits vermells. A la Mònica i en Pau, els seus nebots, els apassiona experimentar amb aquest tipus de begudes.

Així que l’Esther els ha ofert la possibilitat de crear les seves pròpies receptes amb fruites i verdures per elaborar sucs multivitamínics i antioxidants. Ara bé, com que es tracta d’un negoci, és important que aquest sigui rendible.

Quin tres sucs podrien oferir la Mònica i en Pau? Què cal tenir en compte perquè el negoci sigui rendible?

ANEM PAS A PAS

1. Observeu aquest gràfic que representa com es reparteixen els ingressos de la cafeteria de l’Esther: Lloguer del local → Sous → Proveïdors i altres despeses → Guanys →

A quants cèntims de cada euro ingressat correspon cada categoria?

2. La fruita • C onsumeixen 3 bosses de 40 kg d’una barreja de fruits vermells a la setmana, que paguen a 16 €/kg.

• Serveixen una mitjana de 95 begudes de fruits vermells cada dia. De cada deu, quatre són sucs, a 3,95 € la unitat, dos són batuts, a 4,15 €, i quatre són smoothies, a 4,50 €.

• Les tres begudes porten la mateixa quantitat de fruits vermells.

Calculeu: a) Els grams de fruits vermells que hi ha en cada beguda.

b) El cost de la fruita de cada beguda.

32

3. La llet • Reben la llet en packs de 3 litres, a 3,45 € el pack, i consumeixen 3 packs al dia.

• Els sucs només porten fruita i aigua i els smoothies porten el triple de llet que els batuts.

Calculeu el cost de la llet que porta cada beguda.

RESOLEM

4. A més de les dades que coneixeu, cal que sapigueu aquestes altres: • Les despeses generals de l’empresa (salaris, impostos, reparacions, etc.) s’estimen en les tres quartes parts del marge entre els ingressos en caixa i el cost de les matèries primeres.

• Les begudes de fruits vermells aporten les tres dècimes parts dels guanys nets de la cafeteria.

Calculeu: a) Els marges i el benefici mensuals per les begudes de fruits vermells. b) Els guanys nets mensuals de la cafeteria.

PENSEM-HI

R eflexioneu sobre l'ODS 12: Co nsum i producció re sponsables

.

Treballeu en equip.

Què heu apr ès?

Penseu-hi!

5. Quins tres sucs podrien oferir la Mònica i en Pau? Quina seria la rendibilitat de cada suc?

6. Què cal tenir en compte perquè un negoci sigui rendible?

33

UNITAT

2

FRACCIONS

I TU, QUANTES HORES DORMS? Tots som conscients de la importància de tenir cura de la salut, però de vegades oblidem que, quan parlem de salut, no només fem referència a la salut física, sinó que també hem de tenir en compte la salut mental. Has notat mai que els dies que dorms poc o malament estàs de més mal humor i et costa més concentrar-te? Això passa perquè el son és un aspecte molt important de la salut mental i de la qualitat de vida, i per sentir-nos bé hem de procurar dormir les hores necessàries.

La germana de l’Iris, que va néixer fa pocs dies, es passa gairebé tot el dia dormint. En canvi, el seu avi, que viu amb ells, es lleva abans que es faci clar i diu que ja no necessita dormir més. A l’Iris li sembla curiós que hi hagi persones amb necessitats de son tan diferents i ha decidit investigar una mica. El primer que fa es prendre dades reals i buscar estudis d’experts sobre el tema.

PENSEU-HI

• Quantes hores dormen a la setmana els membres de la vostra família? Dormen el mateix nombre d’hores tots els dies?

• Tenim hàbits de son saludables a la nostra societat?

34

Fraccions

Suma i resta de fraccions

Multiplicació i divisió de fraccions

Problemes amb fraccions

Potències i fraccions

Fraccions i nombres decimals

35

UNITAT 2 » FRACCIONS

1. FRACCIONS EQUIVALENTS • Dues fraccions equivalents expressen la mateixa porció d’unitat i tenen el mateix valor numèric. a = c ↔ a·d=b·c b d – Si es multipliquen els dos membres d’una fracció pel mateix nombre, s’obté una fracció equivalent.

– Si es divideixen els dos termes d’una fracció pel mateix nombre, s’obté una fracció equivalent. Aquesta transformació s’anomena simplificació de fraccions.

– Una fracció que no es pot simplificar s’anomena irreductible.

• Reducció de fraccions a denominador comú. Comparar, sumar i restar fraccions és molt més senzill si totes tenen el mateix denominador. Per reduir fraccions a comú denominador: – Es calcula el mínim comú múltiple dels denominadors.

– Es multipliquen els dos membres de cada fracció pel nombre que resulta de dividir el mínim comú múltiple entre el denominador corresponent.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

1.

Una persona dorm, de mitjana, 75.000 hores abans dels vint anys, 125.000 hores entre els vint i els seixanta anys i 50.000 hores després dels seixanta anys.

Indica, amb una fracció irreductible, la part de les hores de son de la vida que corresponen a cada etapa.

2. Divideix, expressa en forma decimal i comprova que

5. Completa per aconseguir fraccions equivalents amb el mateix denominador:

d , 7 ·d

2, 3 , 7 → 2 · 20 , 3 · 20 20 4 10

20

6. Redueix al denominador comú que s’indica: 3 , 5 , 2 → Denominador comú: 36 4 6 9

les fraccions 1 , 2 i 3 són equivalents.

4 8 12

3. Obtén en cada cas la fracció irreductible:

a) 15 = 18

b) 25 = 75

36

a) 1 , 2 4 5

b) 1 , 1 , 1 4 6 12

8. Redueix a denominador comú i ordena les fraccions

4. Calcula, en cada igualtat, el terme desconegut:

a) 8 = 10 20 x

7. Redueix a denominador comú:

b) x = 12 21 28

de la més gran a la més petita: 1, 3 , 4 , 8 , 7 6 10 15 25 30

FRACCIONS « UNITAT 2

2. SUMA I RESTA DE FRACCIONS • Per sumar o restar fraccions, primer les reduïm a denominador comú.

• Si algun dels sumands és un nombre enter (a), el transformem en una fracció amb el denominador igual a la unitat ba = a l.

1 • L’ús dels parèntesis en les sumes i les restes de fraccions segueix les mateixes regles que en els nombres enters.

– Si se suprimeix un parèntesi precedit del signe més, els signes interiors no varien.

– Si se suprimeix un parèntesi precedit del signe menys, els signes interiors es transformen; el més esdevé menys i el menys esdevé més.

» FIXA IDEES

F1. Observa, calcula mentalment i contesta amb una fracció: a) 1 – 1 = 3

b) 1 + 1 = 2

x

c) 3 – 1 = 4 8

d) 2 – 2 = 3

x

x x

F2. Redueix a denominador comú 30 i completa:

d

d d d d

7· 3· a) 3 + 7 = + = + = 10 15 10 · 3 15 · 2 30 30 30 1· b) 1 – 2 + 3 = 2 3 5 2·

d – 2 · d + 3· d = d – d + d = d d 3· d 5· d 30 30 30 30

F3. Relaciona cada pregunta amb les expressions de la dreta i calcula el resultat corresponent: Segons les estadístiques, al barri de la Marta les tres cinquenes parts de la població escolar fan Infantil o Primària, un terç fa Secundària i la resta, Batxillerat.

I 1– 3 a) Quina operació representa les etapes d’Infantil, Pri5 mària i Secundària?

II 3 + 1 5 3 b) Quina operació representa Secundària i Batxillerat? c) Quina operació representa Batxillerat?

III

3 – 15 5 100

d) Si sabem que els alumnes d’Infantil sumen el 15 %, quina fracció sumen els de Primària?

IV

1 – <3 + 1F 5 3

37

UNITAT 2 » FRACCIONS

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

9. Completa: a) 2 – 7

2

d

=0

b) 3 + 4

d =0 4

10. Opera i simplifica: a) 7 + 7 = 6 12

b) 1 + 3 = 5 10

13. Resol de dues formes: • Traient primer els parèntesis.

• Operant primer dins de cada parèntesi. a) d1 – 1 n – d1 – 5 n – d1 – 5 n = 4 9 6

b) d1 – 2 n – d 4 – 1 n + d 1 – 7 n = 3 5 3 5 15

c) 2 – 11 = 7 14

14. Calcula: 11. Redueix al denominador comú que s’indica i calcula:

a) 7 – >1 – d 2 – 3 nH = 3 4 12

a) 1 – 1 + 1 → Denominador comú: 8 2 4 8

b) 7 – 4 – 1 → Denominador comú: 45 9 15 5

b) >1 – d 2 + 3 nH – > 5 – d 1 – 1 nH = 3 4 12 3 8

12. Calcula i simplifica els resultats: a) 4 + 5 – 7 = 9 6 18

b) 5 – 1 – 1 = 6 10 5

38

15.

Segons un estudi de pediatria, un infant dorm, durant els primers dotze mesos, una de cada cinquanta de les hores que dormirà al llarg de tota la seva vida i, durant els quatre anys següents, dues de cada vint-i-cinc. Quina fracció del total d’hores de son gastem durant els cinc primers anys de vida?

FRACCIONS « UNITAT 2

3. MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE FRACCIONS • Per multiplicar fraccions: a · c = a · c → Es multipliquen els numeradors. b d b · d → Es multipliquen els denominadors.

• Per dividir dues fraccions: a : c = a · d → Es multipliquen els termes creuats. b d b·c

» FIXA IDEES

F4. Completa:

d = d c) 3 · 27 = 3 · 2 = 3 ·d = d 7 d 7 7 d d dd d d d) 2 : 5 = 2 · 7 = 14 e) 5 : 3 = 5·d = d = d f ) 11 : 5 = 11 : 5 = 11 = d 3 7 3· d d 4 2 d· d d d 2 2 d 2 · d d

a) 1 · 2 = 1 · 2 5 3 5·

=

2

b) 4 · 7 = 5 6

4·7 ·

F5. Completa i compara els resultats en cada apartat:

d d 1 ·d 1 · 1 n= 1 · 1 = d 2 3 5 2 15 d

a) d 1 · 1 n · 1 = 1 · 1 = 2 3 5 6 5

=

d d 1 :d 1 : 1 n= 1 : 5 = d 2 3 5 2 3 d

b) d 1 : 1 n : 1 = 3 : 1 = 2 3 5 2 5

• Què observes?

• La multiplicació de fraccions compleix la propietat associativa? I la divisió?

F6. Relaciona cada pregunta amb una de les expressions de la dreta i calcula’n el resultat: a) Quantes bosses de quart de quilogram s’omplen amb 7,5 kg de cafè?

b) La Marta va comprar la tercera part d’un formatge i n’ha consumit la cinquena part. Quina fracció de formatge ha consumit?

I

2· 1 ·5 15

II

d7 + 1 n : 1 2 4

III

1·1 3 5

c) En una festa d’aniversari el pastís es reparteix en 15 trossos i cada un dels cinc convidats se’n menja 2. Quina fracció de pastís s’han menjat entre tots?

39

UNITAT 2 » FRACCIONS

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

16. Multiplica i, si és possible, simplifica el resultat:

19. Calcula i compara els resultats de cada apartat: a) 5 · 2 – 3 = 2 5 10

a) 3 · 8 = 4

b) 5 · (–12) = 3

c) 2 · 9 = 9 2

d) (–3) · (–5) = 5 3

5 ·d2 – 3 n = 2 5 10

e) 4 · 15 = 5 2

f ) 4 · d– 10 n = 5 3

b) 15 · 1 – 2 = 4 3 5

17. Divideix: a) 4 : 1 = 3

b) 1 : 1 = 7 2

c) 2 : d– 3 n = 11 7

d) (–3) : 2 = 5 (–3)

18. Divideix i simplifica els resultats: a) 6 : 3 = 5

15 · d 1 – 2 n = 4 3 5

20. Opera:

a) d 3 – 1 n · 20 = 4 5

b) 3 : d 4 – 1 n = 21 7 3

21. Calcula:

b) 4 : (–2) = 7

a) 4 · d 2 + 1 n – d 2 – 4 n : 5 = 3 5 4 3 7 28

c) 1 : 1 = 3 3

b) d 3 – 7 n · > 5 : d 2 – 1 nH = 4 8 3 3 4

40

FRACCIONS « UNITAT 2

4. PROBLEMES AMB FRACCIONS A continuació hi ha una sèrie de problemes resolts, la comprensió dels quals et facilitarà el camí per resoldre, per analogia, moltes situacions amb fraccions.

Exemple. Fracció d’una quantitat L’empresa municipal de lloguer de bicicletes disposa d’un total de 1.155 unitats.

D’aquestes, 330 s’estan reparant o estan en reserva i la resta, en funcionament. Quina fracció de les bicicletes està en funcionament?

Fora de servei ⎯→

:3 :5 : 11 330 ⎯→ 110 ⎯→ 22 ⎯→ 2 : 3 : 5 385 77 : 11 7 1155

En funcionament ⎯→ 7 – 2 = 5 7 7 7 Solució: Estan en funcionament 5 de les bicicletes.

7

Exemples. Suma i resta de fraccions En una sala amb 300 butaques, s’han venut per internet dos cinquens de les entrades per a una sessió de teatre i un terç a la taquilla; la resta no s’ha venut. Quantes butaques han quedat buides?

Venudes ⎯→ 2 + 1 = 6 + 5 = 11 5 3 15 15 15 Buides ⎯→ 15 – 11 = 4 15 15 15 Nombre de butaques buides ⎯→ 4 de 300 = 4 · 300 = 80 15 15 Solució: Han quedat 80 butaques buides.

Exemples. Multiplicació i divisió de fraccions

Total: 300 butaques Per internet

2 =— 6 — 5 15

Buides?

1 =— 5 — 3 15 A la taquilla

• Cada càpsula d’un medicament porta 3/20 de gram del principi actiu. Quants grams de principi actiu hi ha en un pot de 30 càpsules?

3 · 30 = 3 · 30 = 90 = 9 = 8 + 1 = 4 + 1 20 20 20 2 2 2 2 Solució: En un pot de 30 càpsules hi ha quatre grams i mig de principi actiu.

• Cada càpsula d’un medicament porta 3/20 de gram del principi actiu. Quantes càpsules hi ha en un pot que conté en total quatre grams i mig de principi actiu?

Quatre grams i mig ⎯→ 4 + 1 = 8 + 1 = 9 2 2 2 2 Nombre de càpsules ⎯→ 9 : 3 = 9 · 20 = 180 = 30 2 20 2 · 3 6 Solució: En un pot amb quatre grams i mig de principi actiu hi ha 30 càpsules.

41

UNITAT 2 » FRACCIONS

Exemple. Fracció d’una altra fracció El mes passat un granger va lliurar 2/3 de la seva producció de llet a la cooperativa ramadera i va vendre 3/5 de la resta a la fàbrica de iogurt.

Amb els 12.000 L que li van quedar, va fer formatge. Quants litres va produir en total?

LLIURA

LI QUEDA

A LA COOPERATIVA

2 3

1 3

A LA FÀBRICA DE IOGURT

3 d’ 1 5 3

2 d’ 1 = 2 3 15 5

Li queden 2 del total, que són 12.000 L. 15 2 del total → 12.000 L 15 1 del total → 12.000 : 2 = 6.000 L 15 15 , és a dir, el total → 6.000 · 15 = 90.000 L 15

6.000 6.000

6.000

12.000 15

Solució: El granger va obtenir en total una producció de 90.000 L de llet.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

22. Calcula i contesta:

24. Una escola té matriculats 186 estudiants a primer ci-

En Robert ha fet 100 passos i ha avançat 80 m. Quina fracció de metre recorre en cada pas?

cle d’ESO, que són 2 del total. Quants estudiants són 9 en total?

186

100 passos

total?

23. Una escola té matriculats 837 estudiants, 29 dels

25. La setmana passada, una botiga de confecció va po-

quals estan a primer cicle d’ESO. Quants estudiants té a primer cicle d’ESO?

42

sar a la venda una partida de vestits de senyora. Ja n’han venut les dues cinquenes parts i encara li queden 60 unitats. Quants vestits ha venut?

FRACCIONS « UNITAT 2

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

26. En un hotel, la meitat de les habitacions són al pri-

mer pis; la tercera part, al segon pis, i la resta, a l’àtic, que té deu habitacions. a) Quina fracció del total de les habitacions és a l’àtic?

Pisos 1r i 2n 1+1 2 3

29. Un pot de suavitzant de dos litres i quart porta un

tap dosificador amb una capacitat de 3 de litre. Quan40 tes dosis conté el pot?

Àtic

d d

b) Quantes habitacions hi ha en total?

c) I en cada pis?

27.

En unes instal·lacions, 3 dels esportistes es8 2 tan practicant atletisme; juguen a tenis; una desena 5 part, a futbol, i els 16 restants fan tasques no esportives. Quantes persones hi ha a les instal·lacions?

30.

En una residència de gent gran, avui la meitat dels avis i les àvies han fet una migdiada d’una hora i tres de cada vuit, una migdiada de menys d’una hora.

Els 12 restants no han fet migdiada. a) Quina fracció dels avis i les àvies no han fet la mig­ diada? b) Quants avis i àvies hi ha a la residència?

31. Quantes ampolles de vi de tres quarts de litre s’om-

plen amb un barril de 1.800 L?

32.

28. Llegeix, observa i contesta: Un pot de suavitzant conté 30 dosis que s’administren amb el seu propi tap. Quina és la capacitat del pot si la del tap és de 3 de litre?

40

Un embassament és ple a començaments d’estiu. Al juliol perd 3 del seu contingut i a l’agost, 3 del 7 4 que li quedava. Quina fracció conserva a començaments de setembre?

tap = dosi

◊ 30 : 30

33. Els 34 dels empleats d’una empresa tenen contracte indefinit, 2 de la resta tenen contracte temporal i els al3 tres són eventuals. Quina fracció suposen els eventuals?

T I

I

I T ← → E

43

UNITAT 2 » FRACCIONS

5. POTÈNCIES I FRACCIONS • Potència d’una fracció. Per elevar una fracció a una potència, Exemples. s’eleven el numerador i el denominador a aquesta potència. n n 2 4 24 d n = 4 bal = an 3 b 3 b • Potència d’un producte de fraccions. La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors.

3 3 3 3 3 n n n d 5 n · d 3 n = d 5 · 3 n = d 15 n = d 1 n = 1 ba · c l =ba l ·b c l b d b d 6 5 6 5 30 2 8 • Potència d’un quocient de fraccions. La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor.

2

n n n ba : c l =ba l :b c l b d b d • Producte de potències de la mateixa base. Per multiplicar dues potències amb la mateixa base, se’n sumen els exponents.

2

2

2

2

d 3 n : d 6 n = d 3 : 6 n = d 15 n = d 1 n = 1 10 5 10 5 60 4 16

n m n+m ba l ·ba l =ba l b b b • Quocient de potències de la mateixa base. Per dividir dues potències amb la mateixa base, se’n resten els exponents.

3

4

3+ 4

=d2n 5

8

6

8–6

=d3n 5

d 2 n ·d 2 n =d 2 n 5 5 5

n m n–m ba l :ba l =ba l b b b • Potència d’una altra potència. Per elevar una potència a una altra potència, se’n multipliquen els exponents.

d 3 n :d 3 n =d 3 n 5 5 5

m

3

7

2

>d 1 n H = d 1 n = 1 2 2 29 3

n·m n =b a l G = b a l b b

9

» FIXA IDEES

F7. Redueix i calcula:

d d d 15 = 15 c) f p =d =d 5 d 4

a) d 1 n = 2

14

3

d dd d J N KdO f d p d 10 =K = d) O = 3 15 K O d LdP 3

b) d 1 n = 10

= 4 3

3

3

3

3

F9. Redueix a una sola potència i completa: a) x 3 · x 2 = x

44

d d = xd +

2

2

p =d =d do = f d 4

a) d 1 n · 8 3 = e 1 · 4 4

3

=

2

2

3

F8. Redueix i calcula:

13

6

4

2

2

b) d 1 n : d 1 n = f 1 6 3

:

1

d d

Nd –d J d K x dO

b) d x n : d x n = d n y y y

=K K L

O

d OP

2

p =f

3

d 3

2

p=

dp = d 2 d

dd

c) >d 1 n H = d 1 n a a 4

f

2

·

d

= d1n a

FRACCIONS « UNITAT 2 • Potències d’exponent zero (a0). La potència d’exponent zero val sempre 1 (per a qualsevol base diferent de zero). bal = 1 b 0

a 0 = 1

• Potències d’exponent negatiu. Una potència d’exponent negatiu és la inversa de la mateixa potència d’exponent positiu. n

–n bal =cbm b a

a –n = 1n a

• Potències negatives de base 10. Ens permeten estendre la descomposició polinòmica als nombres decimals.

10–1 = 0,1 10–2 = 0,01 10–3 = 0,001 …

• Tot el que hem vist fins ara ens proporciona un mètode per expressar amb comoditat nombres de moltes xifres: la notació científica. a , b c d … · 10n → 0,000225 = 2,25 · 0,0001 = 2,25 · 10–4 part entera (una sola xifra)

potència de 10 (amb exponent enter)

» FIXA IDEES

F10. Calcula:

d

d

a) 8 0 =

F11. Expressa en forma de fracció: a) (2) –1 =

0

1

b) (3) –1 =

d

d

c) d 1 n = 3

b) (–8) 0 =

d d

c) (–2) –1 =

F12. Expressa en forma de potència d’exponent positiu: 2

a) (5) –2 = f 1 p

d

–3

b) d 1 n = 2

d

3

–1

c) d 2 n = 3

d –2

d 2

0

d

d) (3) –1 =

d d

0

e) (10) –1 =

2

–2

d

e) d 3 n = 4

d) d– 1 n = 3

d) d 3 n = f 5 p 5

d

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

d d

JK K 3 e) d n = KK KK 4 L –4

d d

NOd OO OO O P

34. Escriu la descomposició polinòmica d’aquests nombres:

36. Expressa amb totes les xifres:

a) 72,605 =

a) 0,5 · 106 =

b) 0,63842 =

b) 1,34 · 107 =

35. Escriu amb totes les seves xifres la dada següent:

37. Expressa en notació científica:

La massa d’un àtom de plata és d’1,79 · 10 –22 g.

a) Un any llum equival a 9.460.800.000.000 km.

Quina forma és més pràctica, l’abreujada o l’estesa?

b) El radi d’un àtom d’oxigen mesura 0,000 000 066 mm.

45

UNITAT 2 » FRACCIONS

6. FRACCIONS I NOMBRES DECIMALS Les notacions fraccionària i decimal són formes numèriques i moltes quantitats es poden expressar tant en l’una com en l’altra.

• Tota fracció es pot passar a forma decimal, si dividim el numerador entre el denominador. Tanmateix, el contrari no és cert: només es poden passar a fracció els decimals exactes i els periòdics.

nombres racionals nombres enters

• Un decimal exacte es transforma en fracció si li traiem la coma i el dividim per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tenia.

nombres naturals

• La fracció irreductible que dona lloc a un decimal s’anomena fracció generatriu d’aquest nombre.

• Un decimal periòdic pur es transforma en fracció.

Exemple.

1 0 –2

A = 1,222…

_ 10A = 12, 222… b ! b – A = 1, 222… ` → 9A = 11 → A = 11 → 1,2 = 11 9 9 9A = 11, 000… b a • En el cas d’un decimal periòdic mixt.

Exemple.

0,5

2 5

–1

1 — 3

–5 3 –— 5

3 — 4

B = 0,7222… _ 100B = 72, 222… b ! b – 10B = 7, 222… ` → 90B = 65 → B = 65 = 13 → 0,72 = 13 18 90 18 90B = 65, 000… b a

• Es diu que un nombre és racional quan es pot expressar en forma de ­fracció. nombre racional =

nombre enter nombre enter

– Tots els nombres enters i, per tant, també els naturals són racionals.

– Els decimals exactes i els decimals periòdics també són racionals.

– Els decimals amb infinites xifres no periòdiques no són racionals.

– El conjunt dels nombres racionals es designa amb la lletra Q .

46

nombres enters

decimals exactes nombres decimals

nombres racionals

decimals periòdics nombres amb infinites xifres decimals no periòdiques

no són nombres

racionals

FRACCIONS « UNITAT 2

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

38. Expressa en forma decimal:

40. Expressa en forma de fracció:

a) 1 2

a) 0,8 =

b) 2 3

b) 1,6 =

c) 2 5

c) 1,35 =

d) 7 10

! d) 0,3 =

e) 2 9

! e) 2,13 =

f ) 17 110

# f ) 1,25 =

g)

5 11

h)

4 9

# g) 0, 24 = ! h) 0, 02 =

39. Relaciona cada fracció amb la seva forma decimal: 3 4

0,04

1 25

1,3

3 4

1 6

0,75

2 5

!

0, 16

3 7

13 10 5 11

41. Indica quins d’aquests nombres són racionals: # 0,37

–125

# 0, 45

0,00009

3

13,6

2

0,4

0,12345678910…

!

7,48

47

UNITAT 2 » FRACCIONS

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Fraccions

5.

1.

a) 5 minuts →

Calcula mentalment:

a) 2 de 60 = 3

Quina fracció d’hora són?

b) 24 minuts →

b) 1 de 90 = 10 c) 3 de 120 = 4

c) 360 segons →

2.

El diagrama informa sobre els esports preferits en una classe de 30 estudiants de 2n d’ESO: Futbol

Equivalència de fraccions

Bàsquet

6.

Voleibol Atletisme

Simplifica:

a) 12 = 16

Natació Dansa

Quina fracció de la classe...

b) 21 = 28

a) …practica futbol? b) …practica bàsquet? c) …no practica bàsquet?

c) 33 = 55

d) 42 = 99

d) …no practica ni futbol ni bàsquet?

3.

Quants grams són?

a) 3 de quilo = 4 b) 3 de quilo = 5 7 de quilo = c) 20

4.

Redueix a denominador comú: a) 2 , 1 , 1 3 6 9

b) 5 , 7 , 11 9 12 18

Quants minuts són?

a) 5 d’hora = 6 b) 3 d’hora = 12

48

7.

c) 2 , 4 , 7 5 15 10

FRACCIONS « UNITAT 2

8.

Aquests dos trossos de tela són igual de grans:

12.

Opera:

a) d3 – 1 n – d 3 – 3 n + d 1 – 7 n = 3 4 5 10 20

Quin dels dos té una porció més gran de blau?

Explica la transformació que proposa aquest gràfic per resoldre la pregunta: b) > 4 – d 3 – 1 nH – > 2 – d 7 – 5 nH = 3 8 6 5 8 6

9.

Calcula x en cada cas: a) 6 = 15 22 x

c) 7 – > 13 – d 1 + 8 nH – > 17 + d 1 – 23 nH = 12 20 5 15 30 2 30

b) 13 = 11 x 99

Suma i resta de fraccions 10.

Calcula mentalment: a) 1 – 1 = 10 b) 1 – 1 = 5 10 c) 1 + 1 = 3 d) 1 – 1 = 4 8

11.

Calcula i simplifica: a) 11 – 5 + 4 – 7 = 36 12 9 24 b) 17 – 11 + 13 – 9 = 40 30 20 8

c) 2 – 1 – 4 – 2 = 3 5 27 15

13. a)

Completa amb fraccions irreductibles:

d– 7 –1=1 d 15 5 6

b) 6 – 11 + 7 21

c) 5 – 9

d =1 d

d+ 5 =3 d 12 4

d) 2 – 7 = 3 + 24 8

d d 49

UNITAT 2 » FRACCIONS

Multiplicació i divisió de fraccions

18.

14.

a) 1 = 1 6

Cert o fals?

a) Les fraccions negatives tenen oposada però no inversa. b) Per a una fracció, l’oposada de la inversa és igual que la inversa de l’oposada. c) Tots els nombres racionals tenen oposat i també ­invers. d) Si a és un nombre positiu, el seu oposat és més petit que el seu invers. e) Si a és un nombre negatiu, el seu oposat és més gran que el seu invers.

15.

Calcula mentalment i per escrit:

a) El triple d’un terç.

Calcula i redueix:

b) 6 = 1 5 2 c) 5 = 4 3 d) 2 = 1 3

19.

Opera i redueix:

b) La quarta part d’un terç.

a) 8 · d 15 : 20 n = 9 26 30

16.

b) d 7 : 14 n · 4 = 20 15 9

Completa com en l’exemple:

• Multiplicar per 1 és igual que dividir entre 2.

2 . a) Multiplicar per 1 és igual que dividir entre 10 b) Dividir entre 1 és igual que multiplicar per .

10 c) Multiplicar per 2 és igual que dividir entre .

3 d) Multiplicar per 1 i dividir entre 5 és igual que divi3 dir entre 3 i multiplicar per .

17.

Calcula i simplifica:

a) 3 · 14 = 7 b) 2 : 4 = 5 c) 7 · 4 = 2 (–7) d) –3 : 28 = 8 (–9)

50

Potències i fraccions 20.

3

Calcula:

a) d 1 n = 2 6

b) d 1 n = 10

21.

Calcula, com en l’exemple, pel camí més curt: 4

4 • 154 = d 15 n = 34 = 81 5 5 3

a) 123 = 4 4

b) 5 4 = 10

3

c) (– 4)3 · d 3 n = 4

FRACCIONS « UNITAT 2

22.

Redueix i calcula:

26.

4

Expressa sense utilitzar potències negatives:

4

–2

a) x =

b) x – 4 =

3

c) 1–2 = x

d) 1– 4 = x

a) 6 ·43 = 9 3

b) 3 · 33 = 12 2

27.

a) a 5 · a 2 =

2

c) 4 · (–23) = 18 5

Redueix a una potència única:

b) x 5 · x –3 =

5

d) (– 6) · (5–3) = 36

c) a 2 · 1–2 = a

23.

d) a ·5a = a

3

Calcula:

a) 20 =

b) 100 =

0

0

24.

x –1 f ) c y m : x –1 =

Calcula:

a) 2 =

b) (–2)–2 =

–2

–2

c) d 1 n 2

–2

d) d– 1 n 2

=

e) 2 =

f ) (–2) =

–3

–3

–3

a –4 g) a 5 : b l = b =

h) d– 1 n 2

=

Simplifica: 5

a) x 3 · d 1 n = x

Escriu la descomposició polinòmica d’aquests nombres:

b) 340,578 = =

29.

titats:

Escriu amb totes les seves xifres aquestes quan-

a) 3,28 · 1011 = b) 1,78 · 10–10 =

5

b) x 3 : d 1 n = x

7

c) (a 2)3 · d 1 n = a 3

28.

a) 0,07586 =

–3

g) d 1 n 2

25.

e) 12 · 14 = x x

d) d 3 n = 7

c) d 1 n = 5

4

3

d) d 12 n : d 13 n = a a

30.

Expressa en notació científica:

a) 61.500.000.000 = b) 0,000 000 128 =

51

UNITAT 2 » FRACCIONS

Fraccions i decimals 31.

Resolució de l’Olga • 3 + 1 = 15 + 4 = 19 4 5 20 20 • 20 – 19 = 1 20 20 20 • 1/20 de 180 = 180 : 20 = 9

Expressa en forma decimal:

a) 27 = 50

Indica el significat de cada operació i el resultat obtingut en cada cas.

b) 13 = 125

c) 26 = 13

Resol problemes

d) 15 = 12

32.

35.

Un incendi ha arrasat les tres dècimes parts d’una muntanya de 1.700 hectàrees. Quantes hectàrees s’han salvat de la crema?

Completa amb fraccions irreductibles:

0,1

0,2

1,5

0,05

0,16

0,55

1,25

2,5

1 10

33.

36.

Passa a forma fraccionària:

S’ha abocat un palet que tenia 5 caixes amb 30 dotzenes d’ous cada una i se n’han trencat dues cinquenes parts. Quants ous s’han salvat?

a) 0,008 = ! b) 0,8 =

37.

Interpreta, descriu i expressa’t 34.

Observa les resolucions d’en David i l’Olga:

Una empresa de vehicles usats rep un lot de 180 cotxes. El primer mes ven les tres quartes parts del lot i el mes següent, la cinquena part. Quants cotxes li queden encara per vendre?

Resolució d’en David • 3/4 de 180 = (180 : 4) · 3 = 135 • 1/5 de 180 = 180 : 5 = 36 • 135 + 36 = 171 • 180 – 171 = 9

52

Una bassa de reg té plenes les quatre setenes parts i conté 1.600 m3 d’aigua. Quants metres cúbics caben a la bassa?

38.

Quants litres de suc es necessiten per omplir 200 ampolles de 3/8 de litre cada una?

FRACCIONS « UNITAT 2

39.

Cinc vuitens dels avis i les àvies d’una residència de la tercera edat fan la migdiada.

Avui al migdia, hi ha 39 avis i àvies desperts. a) Quants avis i àvies hi ha a la residència?

b) Quina fracció del dia dedica a la migdiada una àvia que al migdia dorm 40 minuts?

43.

Les tres vuitenes parts de les persones residents en una població tenen més de 50 anys i una de cada vint té més de 80 anys. Quants residents té aquesta població si sabem que n’hi ha 48 que tenen més de 80 anys?

És el teu torn 44. Hem comprovat que la vida quotidiana està plena

I un avi que només dorm 10 minuts?

40.

Una planta potabilitzadora tracta 3 m3 d’aigua en 5 h. Quants metres cúbics d’aigua tracta en una hora i quart?

de fraccions. Explica una recepta i planteja un problema amb preguntes sobre els ingredients en què intervinguin fraccions. Intercanvia el teu problema amb un company o una companya i respon les preguntes que plantegi. Un cop resolt, afegeix un nou apartat al seu enunciat i tor­ na-­li perquè el resolgui.

Problema:

Resolució:

41.

A finals de maig un granger té unes reserves de 2.800 kg de pinso per alimentar el bestiar. Al juny gasta 3/7 de les existències i al juliol, 3/4 del que li quedava.

Quants quilograms de pinso té a principis d’agost?

Nou apartat:

42.

Un jardiner dilluns poda 2/7 dels seus rosers, dimarts poda 3/5 de la resta i dimecres, els 20 rosers que quedaven. Quants rosers té en total al jardí?

Resolució:

53

UNITAT 2 » FRACCIONS

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX I DESCOBREIX La utilitat de fer esquemes En la resolució d’alguns problemes és de gran utilitat l’elaboració d’esquemes per: – Ordenar i visualitzar globalment les dades.

– Organitzar les idees.

– Facilitar l’exposició del procés i de la solució.

• Analitza i interpreta l’esquema que explica aquest problema: Problema Una espelma crema mentre se’n consumeixen tres quartes parts.

Però el cap sobrant no el desaprofitem: amb quatre caps, fem una espelma nova.

3/4

Si cada espelma dura una nit, quantes nits ens podem il·luminar amb un paquet de 25 espelmes?

1/4

Esquema

25 espelmes

25 — 4

24 — 4 1 — 4

6

espelmes

6 — 4

4 — 4 2 — 4

1

espelma

1 — 4 2 — 4 1 — 4

Solució: 25 + 6 + 1 + 1 = 33 espelmes → Ens podem il·luminar 33 nits.

4 = — 4

1

espelma

• Construeix un esquema similar per al problema anterior, si ara de cada espelma se’n consumeixen només 2 .

3

» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES Fes comptes!

Avui és el darrer dia d’acampada i tenim botifarres per berenar. Som 18, tots tenim molta gana i només queden 30 botifarres. A mi m’ha tocat repartir. Quin és el mínim nombre de talls que necessito fer per donar-ne a tots la mateixa quantitat?

54

FRACCIONS « UNITAT 2

POSA’T A PROVA 1. Expressa cada decimal amb una fracció irreductible:

4. Redueix:

a) 0,05 =

a) c 2 m : b x l = x 2

2

3

b) >e 1 o H = y 2

! b) 0,36 =

2

5. Calcula: 3

a) d 2 n · 63 = 3 2

3

b) d 3 n : d 3 n = 5 5

2. Simplifica: a) 50 = 75

6. Expressa en notació científica: a) 2.470.000.000 = b) 0,000 000 0238 =

7. Un quiosc ha venut al matí 1/3 del total de diaris rebuts i a la tarda, 2/5 també del total. Si li queden per vendre 20 diaris, quants n’ha rebut? b) 210 = 180

3. Resol:

1 ·5 a) 3 = 1 · 10 6

b) d 1 + 1 n · d2 – 2 n = 2 3 5

8. En Manel surt a comprar i gasta 1/3 dels diners que porta en una americana i 2/5 del que li queda al mercat. Si encara té 30 €, amb quants diners ha sortit de casa?

9. En una bossa hi ha boles blanques, negres i vermelles. De blanques n’hi ha tres cinquens del total i de vermelles, dos terços de les negres. Quina fracció del total correspon a les negres?

55

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

SITUACIÓ D’APRENENTATGE 2

» I TU, QUANTES HORES DORMS? La germana de l’Iris, que va néixer fa pocs dies, es passa gairebé tot el dia dormint. En canvi, el seu avi, que viu amb ells, es lleva abans que es faci clar i diu que ja no necessita dormir més. A l’Iris li sembla curiós que hi hagi persones amb necessitats de son tan diferents i ha decidit investigar una mica. El primer que fa es prendre dades reals i buscar estudis d’experts sobre el tema.

Quantes hores dormen a la setmana els membres de la vostra família? Dormen el mateix nombre d’hores tots els dies?

Tenim hàbits de son saludables a la nostra societat?

ANEM PAS A PAS

1. L’Iris ha decidit anotar les seves hores de son durant els últims quatre dies.

• D ijous va dormir les mateixes hores que divendres i entre els dos dies, la meitat de les hores anotades.

• D issabte va dormir 2/5 de la resta.

• D iumenge, per començar bé la setmana, va dormir 12 hores. a) Observeu el gràfic en què l’Iris ha representat les hores de son i relacioneu cada color a un dels quatre dies:

b) Considereu com a total el nombre d’hores dels quatre dies i completeu la taula amb la fracció corresponent a cada dia:

DIJOUS

DIVENDRES

1 4

1 4

c) Quantes hores va dormir entre els quatre dies? I cada dia?

56

DISSABTE

DIUMENGE

RESOLEM

2. Durant la seva investigació, l’Iris ha trobat algunes dades interessants en un article del diari: Estudis recents estimen les dades següents pel que fa al son saludable en diferents etapes de la vida: • En el primer any, dormim una de cada cinquanta hores de les que dormirem en la vida.

• Entre l’any i els sis anys, dormim el quàdruple d’hores que en els dotze primers mesos.

• Entre els sis i els vint anys, el doble de tot el que hem dormit anteriorment.

• Entre els vint i els setanta anys, el triple que en l’etapa anterior. a) A partir de la informació anterior, representeu en el gràfic següent el total d’hores de son al llarg de la vida segons l’edat.

La part corresponent a la primera etapa ja està pintada.

Primer any 1-6 anys 6-20 anys

20-70 anys Més de 70 anys

b) Calculeu la fracció d'hores de son de cada etapa.

3. Si suposem que un avi de 80 anys dorm, al dia, unes 5 hores, calculeu el valor corresponent a l'es-

perança de vida que s'ha pres en aquest estudi.

PENSEM-HI

R eflexioneu sobre l’ODS 3: Salut i bene star.

4. Quantes hores dormen a la setmana els membres

Treballeu en equip.

Què heu apr ès?

Penseu-hi!

de la vostra família? Dormen el mateix nombre d’hores tots els dies?

5. Tenim hàbits de son saludables a la nostra societat?

57

a n o d e d lls

u b Am

n e s Ï i f n No co

! l l e v r e el teu c

Cèlia Ventura i Gabarró

res a encendre el els ulls… El cor se t’accelera i cor ra ja no hi és. En llum de l’habitació. Però la figu amb una jaqueta. el seu lloc hi ha un penja-robes aba de jugar una Però... Hi havia… El cervell t’ac nera que aplicava mala passada. De la mateixa ma d’entendre-la, en patrons a la paraula «pq» per tal ombres. Tot i que la foscor buscava patrons en les s res, ell t’ha engatu no li has demanat que busqué àries. nyat i t’ha fet veure coses imagin en situacions En moments determinats, o ir i veure amenad’emergència, val la pena preven podria haver un ces en cada ombra. Qui sap on hi casa teva no nelleó amagat! Però en el confort de uesta habilitat no cessites aquest estrès afegit. Aq por amb un soroll només pot fer que ens morim de at de tro- o un moviment que captem de reüll, sinó que a El nostre cervell té la capacit r-los, de vegades ens pot sortir ben cara. Literalment cara, eti rep rés sp de i ns tro pa r ba noserpreta- perquè hi ha qui sap que fàcil és confondre el int la in fac e qu ns mi ca r sca aquí bu ho utilitza per beneficiar-se’n. I i l vel cer tre a. ció més fàcil i ràpid entren en joc els nombres. des per s àrie ess nec es cer ble El cervell busca les dre ient. Els nombres són una espasa de do efic a ner ma de ho feri orn ent xifrar el nostre cta est òrgan ha tall. Per una banda, són l’eina perfe aqu nys d’a ers mil de ars ten cen Durant er fer la feina rà- per enganyar-nos i, per l’altra, poden anat evolucionant per tal de pod més baix. En el evitar-nos caure en paranys. pidament i amb el cost energètic podia determinar passat, una decisió de mig segon d’un lleó, així que que acabéssim dins de la panxa tic, aquest òrgan calia estar sempre a punt. Fantàs ò si és així, per què és genial i ens facilita la vida. Per Doncs perquè no diem que el cervell ens enganya? busqui patrons. sempre és positiu que el cervell pentes, intentes Et despertes a mitjanit. A les pal ines pel passaacostumar els ulls a la foscor i cam figura. Pots veudís fins que, de sobte, veus una els braços, la cara, re’n el perfil i fins i tot intuir-ne

stantmtent. Ho El teu cervell t’egnanya. Ho fa con i, fins i tot, quan fa quan compres, quan escirus lleigeixes. Ho has notat, oi? No? e anterior? Has Quants errors has vist en la fras que tingués erpogut llegir i entendre-la encara guit gràcies al fet rors? Si és que sí, ho has aconse interpretar i és un que el teu cervell és flexible, sap a habilitat et perexpert en patrons. De fet, aquest ts als teus amics i met escriure missatges simplifica » i que t’entenguin canviar un «perquè» per un «pq paraula constantigualment. Com que has llegit la que estigui mal ment un munt de vegades, encara i entendre i has escrita l’has poguda descodificar pogut continuar llegint.

84

ra’t, els estàs comprant perquè els vols o perquè et cal arribar a aquests 35 €? Si pagues l’enviament tal com tenies pensat al principi, realment t’estalviar às 10 €, però el teu cervell s’ha quedat enamorat de la paraula gratis.

Anem a pams… Deixa’m tornar a posar-te en una situació imaginària.

Entres en una botiga, portes 2 € a la butxaca i tens gana, així que vas cap al passadís de les galetes. Trobes dos paquets de galetes. Les galetes Varia valen 1,99 € i les galetes Besalú costen 2 €. Les galetes Varia són més barates. Molt més barates!

O això és el que et dirà el teu cervell ràpidament.

Si les galetes haguessin costat 1,34 € i 1,35 € potser no t’hauria semblat una diferència tan gran i t’hauries fixat més en altres detalls. Només hi ha un cèntim de diferència entre els dos preus i, tanmateix, els percebem ben diferents. Això és perq uè el nostre cervell ha vist els preus i s’ha quedat amb el primer dígit. Unes valen 1 i escaig i les altre s valen 2. En arrodonir-ne el valor, t’ha fet la sens ació que hi ha una disparitat enorme. Ara que t’has adonat d’aquest truc, comences a mirar els preu s dels productes del supermercat i t’adones que… el 99 és arreu! Les empreses utilitzen aquest truc per enganyar el nostre cervell, perquè ens sembli que un producte és molt més barat del que realment és i animar-nos a comprar-lo.

L’«enviament gratuït» és un altre exemple de com el cervell et juga males passades. Estàs com prant roba en línia i a la teva cistella virtual hi tens una compra de 20 €, més 5 € d’enviament. Està s a punt de pagar quan et surt aquest missatge: «Si gastes 35 €, l’enviament et sortirà gratis!» La paraula gratis anima el teu cervell: només cal escollir un parell més de productes per arribar als 35 € i ja no et caldrà pagar els 5 € d’enviament. Però, atu-

Que els nombres ens ajudin, però, és tan senzill com jugar una mica amb ells.

Quan entris en una botiga, abans que els 99 et robin l’atenció i el sentit crític, o quan t’aparegui un descompte o una oferta única, atura’t un moment.

Tornem a les galetes i pensem com podem frenar el nostre cervell abans no faci de les seves. Una bona idea és trobar una manera de comparar-les que no sigui directament a partir del preu. Para atenció a quants grams de galetes hi ha en cada paquet. I si les Varia, que són un cèntim més barates, tenen 20 grams menys que les Besalú? Aleshore s potser et replantejaràs la tria que estaves a pun t de fer. Una altra forma ben senzilla és saber què vols comprar abans d’entrar en una botiga (física o virtual). Pensa que un cop hi entris o facis el clic, hi haurà tot de mecanismes perquè gastis més del que tenies al cap, així que espera’t un segon per preparar el teu cervell.

Hem vist que el nostre cervell és un expert a trobar patrons. Aquesta habilitat pot ser genial, però també hem de tenir en compte que no la pode m apagar. Així que vigila la teva primera intuïció, ja que el món és ple de trampes per aprofitar-se de les dreceres del teu cervell. Davant d’una decisió, tant si involucra diners com si no, espera’t un minut i rumia bé. Que no t’enganyin!

Cèlia Ventura i Gabarró és biòloga hu-

mana de formació i té un màster en Salut Glob al de la Universitat d’Uppsala (Suècia). Actu alment treballa en una agència de la Unió Europea anomenada Centre Europeu de Prevenció i Cont rol de Malalties a Estocolm. Allà estudia les resistènci es antimicrobianes en tot l’àmbit europeu i contr ibueix a la lluita contra aquest fenomen. És una fervent defensora de la unió entre les ciències i les lletre si ha trobat una manera de treballar amb totes dues a través de la divulgació científica.

85