Sophie Germain 4t. Mostra

MATEMÀTQUES IMATEMÀ

DOSSIER 4 ESO

Programa Sophie Germain

PRESENTACIÓ I ESTRUCTURA

BREU HISTÒRIA DE LES MATEMÀTIQUES

Una passejada per la història de la numeració, l’àlgebra, les funcions, la geometria i l’atzar i la probabiilitat,

SITUACIÓ

D’APRENENTATGE

Proposta de situació d'aprenentatge.

PENSEU-HI

Idees per encetar el debat i fer aflorar els coneixements previs.

Conceptes explicats de manera amena amb exemples i exercicis resolts.

Unitats del bloc.

Itinerari de la unitat.

APLICA

EL QUÈ HAS APRÈS

Proposta d’activitats per resoldre.

Problemes resolts per motivar la comprensió dels conceptes.

Espai per resoldre els exercicis i els problemes.

OBSERVA, RAONA I RESOL

Problemes de síntesi resolts.

Problemes que donen pistes de com resoldre la situació d’aprenentatge.

EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES

Exercicis i problemes per treballar el que has après al llarg de la unitat.

Activitats que donen peu a reflexionar sobre els objectius de desenvolupament sostenible de l’ONU.

Activitats al web per resoldre amb GeoGebra, fulls de càlcul i altres aplicacions.

TALLER DE MATEMÀTIQUES

Activitats de lògica, enginy i cultura matemàtica.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

Proposta per treballar els sabers i les competències matemàtiques dins un context social i cultural per analitzar i mirar de comprendre el món.

ANEM PAS A PAS

Treball pas a pas i en grups cooperatius de la situació d’aprenentatge plantejada a l’inici.

AMB

ULLS DE DONA

Articles, entrevistes i relats en què científiques de diversos àmbits transmeten la passió que senten per la seva professió.

POSA'T A PROVA Activitats per comprovar què has après.

RESOLEM

Resolució de la situació proposada i altres de similars.

PENSEM-HI

Activitats per debatre i reflexionar sobre la situació d’aprenentatge.

Reflexió sobre l’ODS relacionat amb la situació plantejada.

PROJECTE DIGITAL

Una resposta global per a un entorn educatiu divers

La proposta digital de Barcanova és EDUDYNAMIC , un projecte digital complet que dona una resposta global a un entorn educatiu divers i dinàmic. A partir d’una proposta senzilla i intuïtiva, EDUDYNAMIC és un projecte digital multidispositiu i multisuport que s’adapta i es visualitza en totes les plataformes i en tots els entorns virtuals d’aprenentatge (BlinkLearning, Moodle, Alexia, Google Classroom, Clickedu, Office 365…).

La diversitat i riquesa de recursos, des d’activitats interactives traçables a vídeos, presentacions i jocs, fan d’EDUDYNAMIC un projecte digital actualitzat i complet pensat per canviar amb tu.

Integració a totes les plataformes i entorns EVA.

Gestió en línia de les activitats i tasques assignades als alumnes.

Continguts i eines per treballar on-line i off-line

Compatibilitat i sincronització amb qualsevol dispositiu.

Amb suport paper o sense.

BLOC I. Numeració i àlgebra

Nombres reals

Els nombres naturals han estat utilitzats per totes les civilitzacions des de la més remota antiguitat.

El paper dels nombres negatius i, sobretot, del zero va resultar més difícil de concebre. Per això els nombres enters no van acabar d’agafar forma fins a finals del segle vii, a l’Índia. D’allà ens van arribar per mitjà de la cultura àrab al segle ix, juntament amb el sistema de numeració decimal-posicional.

Les fraccions es van començar a fer servir des de molt antic, però el seu ús tal com el coneixem actualment es va acabar de consolidar cap al segle xiv.

Els nombres irracionals van ser descoberts i identificats com a tals pels pitagòrics aproximadament al segle v aC. No obstant això, durant gairebé 2.000 anys no van ser tractats com a nombres, sinó com a magnituds geomètriques.

La idea que els nombres racionals i irracionals formen part d’un únic conjunt amb estructura i característiques molt interessants és molt recent. El concepte de nombre real, com ara el fem servir, es va anar concebent i construint en evolucionar l’estudi de les funcions. La seva formalització definitiva, el 1871, es deu a l’alemany Cantor.

Evolució de l’àlgebra com a simbolisme

El llenguatge algebraic actual és senzill, còmode i operatiu. Al llarg del trajecte per arribar-hi, cal considerar tres grans etapes:

• àlgebra primitiva o retòrica. Tot és descrit amb llenguatge ordinari. A Babilònia, a Egipte i a l’antiga Grècia la practicaven, i la cultura àrab, ja al segle ix, també la va fer servir.

• àlgebra sincopada. Diofant (segle iii) va ser-ne el precursor i va fer servir una sèrie d’abreviatures que facilitaven els processos. Durant el Renaixement (segles xv i xvi), l’àlgebra sincopada va millorar gràcies a la incorporació de nous símbols: operacions, coeficients, potències…

• àlgebra simbòlica. Consisteix en una simbolització completa. Vieta, a finals del segle xvi, va millorar tots els conceptes anteriors, de manera que el seu llenguatge algebraic va ser predecessor de l’actual, i Descartes, al segle xvii, el va acabar de perfeccionar.

1

Nombres reals

3

Polinomis i fraccions algebraiques

2 Equacions, inequacions i sistemes

Evolució de les tècniques de resolució

Al llarg de la història, les tècniques per a la resolució d’equacions han anat millorant. Vegem alguns dels protagonistes d’aquesta evolució:

• el pioner: Diofant va proposar problemes algebraics complexos i els va resoldre mitjançant mètodes originals i molt interessants. Però la seva aportació mancava de mètode general i va tenir poc valor pedagògic.

• la sistematització: Al-Hwarizmi (segle ix) va ser qui, per primera vegada, va fer un tractament sistemàtic i complet de la resolució d’equacions de primer i segon grau. El seu llibre Kitābal-mu htasarfihišabal-gabrwa-I-muqābala, elemental, didàctic i exhaustiu, va ser molt estudiat i, posteriorment, traduït a tots els idiomes.

• els italians del segle xvi: Al segle xvi, diversos algebristes italians (Tartaglia, Cardano…) van mantenir unes desenfrenades i fecundes discussions sobre la resolució de diferents tipus d’equacions cúbiques (de tercer grau). Tota aquesta activitat va servir per donar un gran impuls a la resolució d’equacions de grau superior.

Històricament, els sistemes d’equacions lineals no han estat un repte especialment difícil. Fa uns 4.000 anys, a Babilònia ja es van plantejar i resoldre per tempteig sistemes d’equacions lineals amb diverses incògnites. I al segle ii aC, a la Xina els resolien mitjançant un mètode elegant i potent, similar al que es fa servir actualment. Però aquell saber no va arribar a Occident fins molts segles més tard.

Emmy Noether (Alemanya, 1882-EUA, 1935) és considerada la mare de l’àlgebra moderna. Va ser una matemàtica reconeguda per les seves contribucions fonamentals en els camps de la física teòrica i l’àlgebra abstracta David Hilbert, Albert Einstein i altres grans personatges la van considerar la dona més important en la història de la matemàtica.

El teorema de Noether explica la connexió fonamental entre la simetria en física i les lleis de la conservació. La coneguda afirmació «l’energia ni es crea ni es destrueix, sinó que es transforma» es basa en aquest teorema.

Malgrat el seu gran reconeixement, a Emmy Noether se li va negar la possibilitat d’un lloc digne a la universitat pel fet de ser dona.

El 1933 va haver de fugir d’Alemanya a causa dels seus orígens jueus i va emigrar als EUA. Allà va fer classes a la Universitat de Princeton. Malauradament, però, va morir dos anys després a causa d’un càncer.

U N I T A T 1 NOMBRES REALS

LA PROPULSIÓ DE NAUS A L’ESPAI SENSE COMBUSTIBLE

Un mètode molt original de propulsió de naus a l’espai és el de les veles solars de fotons. Aquestes estructures són superfícies enormes i molt primes, de materials resistents i reflectores. Els fotons hi «xoquen» o hi són reflectits i les empenyen. Com que l’espai està buit, no ofereix resistència, i encara que aquest empenyiment és mínim, es va sumant fins a arribar a assolir velocitats fins i tot més grans de les que s’aconsegueixen amb motors de propulsió alimentats per combustible.

En no dependre de combustible, les naus són autònomes i permeten expedicions tan llargues com la que pretén dur a terme el projecte Breakthrough Starshot per explorar Alfa Centauri, el sistema estel∙lar més proper al Sol, a 4,37 anys llum de distància, amb un viatge de només 20 anys.

Els principis físics en els quals es basen les veles solars són complicats; les distàncies que es pretenen recórrer són inconcebibles; les velocitats assolides són enormes, i el gruix de les veles, ínfim.

PENSEU-HI!

• Us sembla interessant aquest mètode de propulsió? Per què?

Nombres irracionals

Nombres reals: la recta real

Nombres aproximats. Errors Nombres en notació científica. Control de l’error Logaritmes

Trams de la recta real: intervals i semirectes Arrels i radicals

1. NOMBRES IRRACIONALS

• Nombres racionals. Són els nombres que es poden obtenir com a quocient de dos nombres enters. La seva expressió decimal és exacta o periòdica.

• Nombres irracionals. Són els nombres no racionals, és a dir, els que no poden obtenir-se com a quocient de dos nombres enters. La seva expressió decimal és infinita no periòdica.

Exemple. 2 és un exemple d’irracional. El teorema de Pitàgores ens proporciona el valor de la diagonal d’un quadrat de costat 1:

d = 11 2 22+=

• Altres irracionals expressats mitjançant radicals.

– Si p no és una potència n-èsima exacta, np és un nombre irracional.

– El resultat d’operar un nombre racional amb un d’irracional és irracional (tret de la multiplicació per zero).

EXERCICIS RESOLTS

1. Demostra que 2 és irracional per reducció a l’absurd.

2. Prova que 4 – 10 5 és irracional basant-te en el fet que 10 5 ho és.

»

APLICA EL QUE HAS APRÈS

Suposem que 2 és racional.

En aquest cas, es podria escriure com a quocient de dos nombres enters: b a 2= Elevem al quadrat els dos membres: 2 = b a 2 2 → a 2 = 2b 2

Com que b 2 és un quadrat perfecte, conté el factor 2 un nombre parell de vegades. Per tant, 2b 2 té el factor 2 un nombre imparell de vegades, la qual cosa és impossible ja que 2b 2 = a 2 és un altre quadrat perfecte.

D’aquesta manera, completem el raonament següent: «Si suposem que 2 és racional, arribem a un absurd.»

Anomenem N = 4 – 10 5 → 10 5 = 4 – N

Si N fos racional, 4 – N també ho seria. És a dir, 10 5 ho seria, la qual cosa és falsa.

1. Demostra que els nombres següents són irracionals:

a) 3 →

b) 4 3 →

c) 5 + 4 3 →

d) 8 →

e) 83 + →

• El nombre d’or, Φ 2 51 = + La diagonal d’un pentàgon de costat unitat és el nom-

bre irracional ( 5 + 1) : 2.

Els artistes grecs van considerar que les proporcions basades en el nombre Φ resultaven especialment harmonioses, per la qual cosa van anomenar Φ nombre auri o nombre d’or

• El nombre π. És la relació entre la longitud d’una circumferència i el seu diàmetre. Es tracta d’un nombre irracional, que, per tant, té infinites xifres decimals no periòdiques. No es pot representar de forma exacta sobre la recta real.

• El nombre e. El seu valor aproximat és 2,7182 i no es pot representar de forma exacta sobre la recta real.

S’utilitza en moltes situacions, com, per exemple, la descripció del procés de creixement d’una població animal o vegetal.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

2. Justifica que aquestes construccions donen un segment de mesura igual al nombre d’or Φ 2 51 2 5 2 1 = + =+ : a)

3. Demostra que el nombre auri, Φ, és irracional.

4. Aquest rectangle té la peculiaritat que, si en suprimim un quadrat, el rectangle que en resulta és semblant a l’inicial. Demostra que el seu costat més gran és x = Φ. x

b)

2. NOMBRES REALS: LA RECTA REAL » APLICA EL QUE HAS APRÈS

• Nombres reals. El conjunt format pels nombres racionals i els irracionals s’anomena conjunt dels nombres reals i es designa per Á. Amb el conjunt Á podem completar la taula de conjunts numèrics:

racionals Q

reals Á

enters Z

naturals N → 0, 4, 6 24 , 121

enters negatius → –11, – 3 27 , 3

fraccionaris → 5,84; 2 1 ; , 583 # ; – 10 3

irracionals → 2 , 3 , Φ, π, – 5 + 2 , 5 23 +

• Recta real. És la recta numèrica; a cada punt li correspon un nombre racional o un nombre irracional. La recta real és completa, és a dir, a cada punt de la recta li correspon un nombre real i a cada nombre real, un punt de la recta.

• Representació de nombres en la recta real. Els nombres reals poden ser representats en la recta real, segons els casos, de forma exacta o bé amb tanta aproximació com es vulgui.

– Representació de nombres fraccionaris mitjançant el teorema de Tales.

Exemple. 5 14 = 2 + 5 4

– Representació de radicals mitjançant el teorema de Pitàgores

Exemple. 32 1 2 2 =+ ` j 10 =+3122

– Representació aproximada de nombres reals.

Exemple. 842 5 = 3,8464…

5. Representa:

3. TRAMS DE LA RECTA REAL: INTERVALS I SEMIRECTES

• Interval obert (a, b). És el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b, sense incloure-hi ni a ni b : { x ∈ Á / a < x < b }.

Es representa així: ab

• Interval tancat [a, b]. És el conjunt de tots els nombres compresos entre a i

b, ambdós inclosos: {x ∈ Á / a ≤ x ≤ b }.

Es representa així: ab

La unió de dos intervals o semirectes es representa per ∪: (–∞, 2) ∪ (0, 5] = (–∞, 5]

La intersecció de dos intervals o semirectes es representa per ∩: (–∞, 2) ∩ (0, 5] = (0, 2)

• Interval semiobert (a, b]. És el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b, incloent-hi b però no a : {x ∈ Á / a < x ≤ b }. Es representa així: ab

• Interval semiobert [a, b). És el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b, incloent-hi a però no b : {x ∈ Á / a ≤ x < b }. Es representa així: ab

• Semirectes i recta real

(– ∞ , a) són els nombres més petits que a: {x ∈ Á / x < a} a

(– ∞ , a] són els nombres més petits que a i el mateix a: {x ∈ Á / x ≤ a} a

(a, +∞) són els nombres més grans que a: {x ∈ Á / x > a} a

[a, +∞) són els nombres més grans que a i el mateix a: {x ∈ Á / x ≥ a} a

La mateixa recta real es representa en forma d’interval així: Û = (– ∞, +∞).

Quan no hi ha cap nombre que compleixi una condició concreta, es representa mitjançant el conjunt buit, Ö.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

6. Escriu els conjunts en forma d’interval i represental’ls:

a) Compresos entre 5 i 6, ambdós inclosos.

b) Més grans que 7.

c) Més petits o iguals que –5.

7. Escriu en forma d’interval i representa:

a) {x ∈ Á / 3 ≤ x < 5}

b) {x ∈ Á / x ≥ 0}

c) {x ∈ Á / –3 < x < 1}

8. Escriu en forma de desigualtat i representa:

a) (–1, 4]

b) [0, 6]

c) (–∞, – 4)

4. ARRELS I RADICALS

• Arrel n-èssima o radical d’un nombre a, a n . És un nombre b que compleix la condició següent:

na = b si bn = a

on a s’anomena radicand, i n, índex de l’arrel.

– Si a ≥ 0, na existeix per a qualsevol valor de n.

– Si a < 0, només existeixen les seves arrels d’índex senar.

– En general, un nombre positiu, a, té dues arrels quadrades: a i – a

• Forma exponencial dels radicals. Els radicals es poden expressar com a potències:

na = an 1 , perquè (an 1 )n = an n = a1 = a

nam = an m , perquè nam = (am) n 1 = a m · n 1 = an m

Exemples.

273 6 2 3 6 2 = ` ` j j = (33/6)2 = 36/6 = 3

642 3 6 3 = = 26/3 = 22 = 4

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

9. Expressa en forma exponencial:

a) x 5 =

b) x 2 3 5 ` j =

c) a 6 15 =

d) a a 6 13 =

e) x x 6 2 3 =

f) x x 4 5 2 4 eo >H =

g) 3 3 5 -^ h =

h) a 4 =

i) a 5 15 =

CÀLCUL MENTAL

1. Digues el valor de k en cada cas:

a) k 3 = 2 b) 2433 k =

c) k 3 2 4 = d) .10242 k =

2. Calcula les arrels següents:

a) 3 b) 32 5

c) 5 d) 0 8

Els quadrats màgics.

10. Calcula:

a) 41/2 =

b) 1251/3 =

c) 6251/4 =

d) 82/3 =

e) 645/6 =

11. Expressa en forma radical:

a) x 7/9 =

b) (m 5 · n 5)1/3 =

c) a 1/2 · b 1/3 =

d) [(x 2)1/3]1/5 =

e) [(x 1/2)5]1/3 =

f) (y 3 · z 2)2/3 =

g) a / / 12 13 ^ h =

• Operacions amb radicals. Els radicals tenen una sèrie de propietats, conseqüència de les propietats de les potències, que permeten simplificar les operacions.

– Simplificació de radicals.

Exemple. 93 33 3 // 4 2 4 2412 = ===

– Reducció de radicals a índex comú.

– Extracció de factors fora d’una arrel.

–

i quocient de radicals amb el mateix índex.

·15201520300·==

– Simplificació de productes i quocients de radicals.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

12. Simplifica:

a) x 9 12 =

b) x 8 12 =

c) y 10 5 =

d) 8 6 =

e) 64 9 =

13. Compara:

a) 31 4 i 13 3 →

b) 51 3 i .132650 9 →

14. Redueix:

a) 22 3 5 =

b) · 63 3 6 =

c) ab46 10 =

Propietat 1

aanppn = , perquè: aaaa //npppnpn n 1 == =

Propietat 2

nabab nn = , perquè:

()abab / nn 1 ==

· ab//nn11 ==

nab n =

Propietat 3

b na n

b a

n = , perquè:

n 1 1 1 == =

15. Treu els factors del radical si és possible:

a) x32 4 3 =

b) abc81 35 3 =

c) 64 5 =

d) 75 162 =

– Potència d’un radical.

Exemples. 22 3 4 12 = ` j = 212/2 = 26 = 64

22 8 5 3 3 5 5 == ` j

– Arrel d’un radical.

Exemples. 22 3 6 =

55 3 4 12 =

– Suma i resta de radicals Dos radicals diferents no poden sumar-se si abans no se n’obtenen les expressions decimals aproximades. Únicament poden sumar-se directament radicals idèntics.

Exemples. 32 77 –3 + * Només es poden calcular de forma aproximada o deixar-les indicades.

Sí que pot simplificar-se l’expressió següent: 75 11175–55 +=

– Racionalització del denominador. És el procés pel qual es fa desaparèixer els radicals del denominador.

Exemples. ·

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

16. Simplifica:

a) 3 9 3 =

b) a 2 3 6 ` j =

c) xx 3 3 ` ` j j =

17. Resol:

a) 185028 + =

b) 8 75 2274 –+ =

Propietat 4

naapp n = ` j , perquè:

() aaaa // npnppnp n 1 == = ` j

Propietat 5

mnaa mn = , perquè:

() aaaa // /· · mnnmmnmn 11 1 == =

Recorda

Només es poden sumar els radicals idèntics.

Recorda

Racionalitzar és fer racional una cosa que no ho era.

Tingues en compte

• (a + b ) · (a – b ) = a 2 – b 2

• Conjugat de ab + : ab –

I a l’inrevés: ab + és el conjugat de ab –.

18. Racionalitza els denominadors:

5. NOMBRES APROXIMATS. ERRORS

• Xifres significatives. Són les xifres que s’utilitzen per expressar un nombre aproximat.

• Error absolut d’una mesura aproximada. És la diferència entre el valor real i el valor aproximat.

Error absolut = |Valor real – Valor aproximat|

El valor real, generalment, és desconegut. Per tant, també es desconeix l’error absolut, però és important delimitar-los amb una fita que s’obté a partir de l’última xifra significativa utilitzada: l’error absolut és més petit que…

• Error relatiu. És el quocient entre l’error absolut i el valor real. És tant més petit com més xifres significatives s’utilitzen. L’error relatiu també se sol expressar en tants per cent (%).

EXERCICI RESOLT

3. Expressa amb un nombre raonable de xifres significatives i dona una fita de l’error absolut i una fita de l’error relatiu comès en cada una de les valoracions.

a) Assistents a una manifestació: 234.590.

b) Nombre de bacteris en 1 dm3 d’un preparat determinat: 302.593.847.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

a) És impossible que algú hagi comptat els manifestants amb tanta precisió. Seria raonable dir, per exemple, «més de dos-cents mil» o bé «entre 200.000 i 250.000».

Error absolut < 50.000

Error relatiu < . 200000 50000 = 0,25 = 25 %

b) Una o, a tot estirar, dues xifres significatives és el que aquest tipus de quantitats permeten afinar: 3 centenars de milions de bacteris o 30 desenes de milions.

Error absolut < 0,5 desenes de milions = 5 milions

Error relatiu < 300 5 < 0,017 < 0,02 → E. R. < 0,02 = 2 %

19. Cert (C) o fals (F)? Justifica les teves respostes.

a) Dir que en una piscina hi caben 147.253.892 milers de gotes d’aigua és correcte si els mesuraments s’han fet amb molta precisió.

b) Si l’error relatiu comès en un cert mesurament és més petit que 0,019, podem dir que és més petit que el 19 %.

20. Per què no és raonable dir que un sac conté 11.892.583 grans d’arròs? Expressa-ho de forma adequada i delimita l’error absolut i l’error relatiu comès.

21. El Blackbird és un dels avions més ràpids del món: aconsegueix els 3.540 km/h. Quant temps es trigaria a arribar a Alfa Centauri amb aquest avió? Expressa el resultat amb un nombre raonable de xifres significatives i digues una cota de l’error comès.

6. NOMBRES EN NOTACIÓ CIENTÍFICA. CONTROL DE L’ERROR

• Els nombres expressats en notació científica.

– Estan descrits mitjançant dos factors: un nombre decimal i una potència de 10.

– El nombre decimal és més gran o igual que 1 i més petit que 10.

– La potència de 10 és d’exponent enter.

Exemples. 3,845 ·1015 9,8 · 10–11

• Avantatges de la notació científica.

– D’un sol cop d’ull s’aprecia la magnitud o «mida» del nombre, la qual s’adverteix gràcies a l’exponent del 10 del segon factor.

– Es constata la precisió amb què es dona la quantitat. Com més xifres significatives tingui el primer factor, amb més precisió es dona el nombre.

• Operacions amb nombres expressats en notació científica.

– Producte i quocient

S’operen, per separat, els components decimals, d’una banda, i les potències de 10, de l’altra. Després, es reajusta el resultat perquè adopti el format de la notació científica.

Exemple. (3,25 · 105) · (4,6 · 1011) = (3,25 · 4,6) · (105 · 1011) = 14,95 · 1016 = 1,495 · 1017

Per escriure un nombre en notació científica en la calculadora s’utilitza la tecla �.

Exemple. 7,6 · 108 → 7,6 � 8; 2,5 · 10–4 → 2,5 �f 4

– Suma i diferència

Cal preparar els sumands de manera que tinguin la mateixa potència de base 10 per a que sigui factor comú.

Exemple. 3,7 · 1011 + 5,83 · 108 – 4 · 109 = 3.700 · 108 + 5,83 · 108 – 40 · 108 = 3,66583 · 1011

EXERCICI RESOLT

4. Ens diuen que la població de la Xina és de 1.400 milions d’habitants.

a) Expressa la quantitat en notació científica.

b) És una quantitat exacta o aproximada?

c) Dona una fita de l’error absolut.

d) Dona una fita de l’error relatiu.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

a) 1.400 milions d’habitants = 1,4 · 109 habitants.

b) És una quantitat aproximada.

c) i d) Si en el mesurament només es controlen les dues primeres xifres, llavors:

Mesurament: 14 centenars de milions de persones.

Error absolut < 0,5 centenars de milions = 50.000.000.

Error relatiu < 0,5/14 < 0,036 = 3,6 %.

22. Calcula i comprova després amb la calculadora:

a) (6,4 · 105) · (5,2 · 10– 6) =

b) (2,52 · 104) : (4 · 10– 6) =

c) 6,43 · 1010 + 8,113 · 1012 – 8 · 1011 =

23. La distància mitjana de la Terra al Sol és de 149.000.000 km i a la Lluna és de 384.400 km. Expressa-les en notació científica.

7. LOGARITMES

• Logaritme en base a de P, loga P > 0. És l’exponent al qual cal elevar la base a per obtenir P (a > 0 i a ≠ 1).

logaP = x ⇔ ax = P

• Propietats dels logaritmes

– logaa = 1 – loga 1 = 0

– loga (P · Q ) = logaP + logaQ – logaQ P = logaP – logaQ

– logaPk = klogaP – logalo gPnP 1 n a =

a

– logbP = log log b P a

• Logaritmes decimals, log. Són els logaritmes en base 10. Exemple. log 10 = 1, log 100 = 2, log 1.000 = 3, log 0,0001 = – 4.

• Logaritmes neperians, ln x Són els logaritmes en base e. És a dir, logex = lnx

EXERCICI RESOLT

5. Troba, amb la calculadora, log2 1.024 de dues maneres: utilitzant la tecla j i mitjançant el canvi de base.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

24. Basa’t en la definició de logaritme i calcula:

a) log5 125 =

b) log5 0,04 =

c) log2 128 =

d) log2 0,0625 =

e) loga 1 =

f) log10 0,0001 =

25. Esbrina la base dels logaritmes següents:

a) loga 10.000 = 2 →

b) logb 216 = 3 →

c) logd 3 = 2 1 →

log2 1.024 → j 2 ”1.024 = 10

Logaritmes amb calculadora

Les calculadores que utilitzem actualment tenen tres tecles per calcular logaritmes: , j i k. Tanmateix, de vegades pot ser preferible fer un canvi de base, en lloc d’utilitzar la tecla j. Per a això, és millor utilitzar la tecla l ja que és directa.

log 5 2 →

jí2 ””5 = 4,64385619

log 5 2 = ln ln 2 5 →

l 5 )/lí 2 = 4,64385619

log2 1.024 = ln ln 2 1024 → l 1.024 )/l 2 = 10

26. Utilitza les tecles j i per calcular els logaritmes següents de les dues maneres que hem vist en l’exercici resolt 6:

a) log2 740 →

b) log3 100 →

c) log5 0,533 →

OBSERVA, RAONA I RESOL

1. POTÈNCIES I RADICALS

a) Simplifica l’expressió següent:

() 33 68 4 54 2 3 –++

b) Comprova que en reduir aquesta expressió s’obté 2 : 23 3 36 22 + +

a) Fem la multiplicació indicada: 32448 4 54 2 3 –++

Racionalitzem el denominador: · · 2 3 2 3 2 6 2 2 == .

Traiem de les arrels els factors que puguem:

b) Multipliquem el numerador i el denominador pel binomi conjugat del denominador:

Fes-ho tu

Simplifica: 21 4 2 162 –4 +

2. LOGARITMES

Troba el valor de x en cada cas:

a) 3 = 5 + log x

b) logx 36 = 2

c) log x + 2log 5 = 2

Fes-ho tu

Calcula x:

2logx – log 4 = –2

Apliquem la definició de logaritme en cada cas:

a) 3 – 5 = logx → x = 10–2

b) x 2 = 36 → x = 6 (x = – 6 no val)

c) Apliquem les propietats dels logaritmes:

logx + log 52 = 2 → log (x · 52) = 2 → 25x = 102 → x = 4

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES

Practica

Nombres racionals i irracionals

1. Classifica els nombres en el conjunt corresponent, N, Z, Q o Á:

– 4; 6 13 ; 5 ; , 27 ! ; 152; π; 2 13 + ; e

N Z Q Á

2. Situa els nombres en el diagrama següent:

1; , 723 # ; 1 – 2 ; 3,5; 9 11 ; 4 1 ; 6 ; 4 r ; –104

4. Representa en la recta real cada un dels intervals i de les semirectes següents:

a) A = [–2, 4]

c) C = [–7, –3)

3. a) Quins nombres irracionals representen els punts A, B, C i D ?

A = B = C = D =

1

b) B = (1, 6)

d) E = (– ∞, 1]

5. Representa gràficament i expressa com a interval o semirecta aquestes desigualtats:

a) –3 ≤ x ≤ 2 →

b) 5 < x →

c) x ≥ –2 →

d) –2 ≤ x < 3/2 →

6. Expressa com a interval o semirecta i com una desigualtat cada un dels conjunts de nombres representats:

a) –1 0 3 →

b) 1 5 →

c) –2 0 →

7. Si A = [–3, 7) i B = (5, +∞), expressa A ∪ B i A ∩ B com a interval i com a desigualtat.

8. Escriu en forma d’interval els nombres que verifiquen la desigualtat en cada cas:

a) –3 < x + 1 < 3 →

b) –1 ≤ x – 4 ≤ 7 →

23

Potències, arrels i radicals

9. Expressa en forma exponencial:

a) x 2 5 = b) 2 =

c) 10 6 3 = d) 20 2 4 =

10. Escriu en forma d’arrel:

a) 51/2 = b) (–3)2/3 =

c) 3 4 / 13cm = d) (a 3)1/4 =

11. Expressa com a potència i calcula:

a) · 24 3 =

b) 3 9 3 =

c) : 55 4 =

12. Expressa com a potències d’exponent fraccionari i simplifica:

a) · aa 2 5 =

b) x x 2 3 =

c) a 1 3 4 =

13. Expressa com a potència i calcula x en cada cas. Iguala els exponents dels dos membres.

a) 3 27 1 x 1 = + →

b) () 81 3 1 x–= →

14. Simplifica:

a) 3 2 4 =

b) a 8 12 =

c) a 15 5 =

d) ab24 8 =

15. Multiplica i simplifica:

a) 236 =

b) aaa 4 3 4 =

16. Extreu del radical els factors si és possible:

a)

a16 3 3 =

b) ab81 53 4 =

c) a8 5 =

d) a 24 4 3 =

17. Calcula:

a) 63 5 =

b) :2010 6 4 =

c) 3287 63 =

18. Introdueix dins l’arrel i simplifica:

a) 5 5 3 =

b) 3 18 =

c) 2 4 7 3 =

d) 2 12 5 4 =

19. Calcula:

a) 52 35 23 –+ ``jj =

b) 253–2 ` j =

c) 32 43 24 2 + ` j =

20. Simplifica:

a) 18 281 4 3 =

b) () a aa 2 84 5 4 2

2 3 =

21. Racionalitza i simplifica si és possible:

a) 3 3 =

b) 10 22 + =

c) 26 3 2 3 =

d) 13 3 + =

e) 12 12 –+ =

f) a a 1+ =

22. Simplifica:

a) 3 6 4 6 23 5 9 2 4 + =

b) 2 1 8 2 2 –6 3 + eo =

Nombres aproximats. Notació científica

23. Dona una fita de l’error absolut d’aquestes aproximacions i compara’n els errors relatius:

a) 8 · 105 →

b) 5,23 · 106 →

c) 2,5 · 10–4 →

24. Calcula mentalment:

a) (1,5 · 107) (2 · 105) =

b) (3 · 106) : (2 · 1011) =

25. Fes les operacions utilitzant la notació científica i dona una fita de l’error absolut comès:

a) (3,5 · 107) · (4 · 108) =

b) (1,2 · 107) : (5 · 10–6) =

c) 5,3 · 1012 – 3 · 1011 =

Logaritmes

26. Aplica la definició de logaritme i calcula:

a) log2 2 =

b) log3 27 1 =

c) log 0,001 =

27. Calcula la base dels logaritmes següents:

a) logb 10.000 = 2 →

b) logb 125 = 3 →

c) logb 4 1 = –1 →

28. Aplica la definició de logaritme i calcula:

log4 163 + log4 2 + log 0,0001 + log 100 10 3

Aplica els teus coneixements

29. Calcula el perímetre del triangle ABC. Expressa el resultat amb radicals.

4 u CI

30. Esbrina per a quins valors de x es poden calcular les arrels següents:

a) x 7– →

b) x 5– →

31. S’anomena entorn de centre M i radi r i es designa per E(M, r) l’interval obert el centre del qual és M i els extrems del qual són M – r i M + r.

Per exemple: E(0, 2) = (–2, 2) i E(2, 3) = (–1, 5). Expressa els entorns següents com a intervals:

a) E(0, 3) =

b) E(3, 5) =

c) E(–2, 1,5) =

32. Si logx = 1,3 i logy = 0,8, calcula:

a) log (x · y) =

b) log () xy =

c) log x y 2 =

d) log y x =

33. Transforma aquestes expressions en altres d’equivalents amb logaritmes, com en l’exemple:

7 Ax y 2 = → ln A = ln () 7x y 2 = ln 7 + 2ln x + 2 1 ln y

a) M = 10xy 3 →

b) N = x zy 2 3 →

c) P = x 2 yz →

Resol problemes

34. Una roca de pedra calcària pesa 830 g. La massa de cada molècula d’aquesta pedra és d’1,66 · 10–22 g. A causa de l’erosió, la pedra perd 1013 molècules cada segon. Si l’erosió es manté constant, quan desapareixerà la pedra completament? Dona una fita de l’error absolut.

35. Calcula l’altura d’un tetràedre regular de 8 cm d’aresta. Expressa el resultat amb radicals. h h/3 2h/3

36. Aquest és el logotip d’un club esportiu. La figura serà reproduïda en diferents grandàries.

a) Troba el radi de cada arc en un quadrat de costat 2 m.

A

BC D

b) Comprova que la relació entre els radis dels arcs és 2 – 1.

c) Troba el perímetre i l’àrea de la part blava en un quadrat de 2 m de costat.

37. El diàmetre de la Via Làctia és de 105.700 anys llum, i un any llum equival a 1,461 · 1012 km.

a) Quants quilòmetres de diàmetre té la nostra galàxia?

b) Quants mil·lennis tardaria una nau espacial a travessar-la si assolís una velocitat de 2.000 km/s?

c) Si el diàmetre d’un electró és de 4 · 10–15 m, quants electrons s’haurien de posar en fila per envoltar la Via Làctia? (Suposa que té forma de circumferència.)

38. Indica quins dels resultats d’aquesta anàlisi surten del rang dels valors de referència: Resultats Valors de referència Unitats

Leucòcits 3,16 (3,5-11) Ò 103 µL

Eritròcits 5,87 (4,3-5,9) Ò 106 µL

Plaquetes 1,9 (1,50-4,50) Ò 105 µL

Creatinina 0,68 (0,7-1,3) Ò 105 mg/dL

39. Troba el volum d’un octàedre regular l’aresta del qual mesura 6 cm. Expressa el resultat amb radicals.

40. En un triangle equilàter de 10 cm de costat, es tallen de les cantonades triangles equilàters de costat x i així s’obté un hexàgon. Calcula el valor de x perquè l’àrea d’aquest hexàgon sigui 10 3 cm2.

43. Cert (C) o fals (F)? Justifica la resposta.

a) abab ·· 3 6 =

b) · abab 122 4 3 =

c) log (a · b) = loga · logb

d) log (a 2 · b ) =2(loga + logb )

És el teu torn

44. Planteja una situació en que s’utilitzi un nombre de cinc xifres, però on sigui raonable fer una valoració amb dues xifres significatives. Després, dona una fita de l’error absolut i una fita de l’error relatiu comès en la valoració que has fet.

45. a) Proposa un interval semiobert A i un interval tancat B que verifiquin que A ∩ B = [0, 2].

b) A partir dels intervals que has proposat, determina A ∪ B.

c) Representa en la recta els intervals A, B, A ∪ B i A ∩ B dels apartats anteriors.

Reflexiona sobre la teoria

41. Inventa dos intervals, B i C, tals que:

a) B ∪ C = (–2, 7] →

b) B ∩ C = (–1, 0] →

42. Si x és un nombre de l’interval [–1, 3) i y és un nombre de l’interval (0, 4], explica en quin interval pot estar x + y

d) Compara els intervals A i B que has inventat amb els que han proposat els teus companys i companyes. Són iguals o diferents? És possible que siguin diferents i que, tot i així, tots siguin correctes? Comenteu en grup la resposta d’aquesta última pregunta.

TALLER DE MATEMÀTIQUES

» LLEGEIX I COMPRÈN

Rectangles auris

Es diu que un rectangle és auri quan entre els seus costats es compleix la proporció àuria; és a dir, si prenent el costat curt com a unitat, la mesura del costat llarg és el nombre d’or (F = 2 1 5+ = 1,618…) .

Aquests rectangles tenen una curiosa propietat: si els adosses un quadrat sobre el costat llarg, obtens un altre rectangle auri. Prova-ho: …

Φ Φ 1 1 1 1 51 2 + =+=+ + =

Φ

• I si continues adossant quadrats, cada vegada més grans, obtindràs una successió de rectangles auris sobre els quals es pot construir una bonica espiral formada per arcs de circumferència. Es tracta d’una espiral molt coneguda i estudiada en matemàtiques (espiral equiangular o espiral geomètrica). Però el més sorprenent és que apareix espontàniament, de forma natural, en nombroses espècies vegetals i animals (flors, fruits, closques de mol·luscos, etc.).

• Construeix, ara, la sèrie dels successius radis de l’espiral, que coincideixen amb els costats dels quadrats que es van adossant:

Trobes alguna relació entre la sèrie i la successió de Fibonacci?

» DESCOBREIX

Un mètode per calcular aproximacions d’arrels quadrades

En l’antiga Babilònia, quan encara no existien les calculadores, es feia servir aquest mètode per obtenir arrels quadrades.

Observa l’exemple de la dreta i prova d’entendre el procediment.

40 = ?

POSA’T A PROVA

1. Classifica els nombres següents en naturals, enters, racionals i reals. Quins són irracionals?

3 4 6 – ; 2π; , log 05 2 ; , 347 # ; 2,03333…; 81 ; 4 3 ; 3 5 ; – 9 13 ; – 8

NATURALS ENTERS RACIONALS REALS

Irracionals:

2. a) Escriu en forma d’interval els conjunts numèrics següents i representa’ls gràficament:

i) {x ∈ Á / –2 ≤ x < 7} →

ii) {x ∈ Á / x > –1} →

b) Escriu com a desigualtat aquests inter vals:

A = [–3, 4) →

B = (–∞, 3 ) →

c) Expressa A ∪ B i A ∩ B com a intervals i com a desigualtats.

3. Expressa en notació científica i opera amb ajuda de la calculadora. Escriu el resultat amb tres xifres significatives i dona una fita de l’error absolut i una altra de l’error relatiu del valor aproximat obtingut.

,( .) .. 0000072000 15000002510 ·· 4 17 =

4. Expressa en forma exponencial:

a) 5 6 3

b) 7 2 4

5. Extreu del radical tots els factors possibles:

z ab 16 81 4 25 3 =

6. Opera i simplifica:

a) () 3 32 3 2 + =

b) 54 26 150 –+ =

c) 50 5 2 2 – =

7. Calcula aplicant la definició de logaritme o amb la calculadora:

a) log3 9 1 3 =

b) log2 32 1 2 4 cm =

8. Expressa log 9 46 en funció de log 2 i log 3.

9. En un quadrat de 10 cm de costat, retallem en cada cantonada un triangle rectangle isòsceles de manera que obtenim un octàgon regular.

x x c c

a) Troba la mesura exacta del costat de l’octàgon.

b) Calcula’n l’àrea.

c) Troba’n el radi.

» LA PROPULSIÓ DE NAUS A L’ESPAI

SENSE COMBUSTIBLE

Els principis físics en els quals es basen les veles solars són complicats; les distàncies que es pretenen recórrer són inconcebibles; les velocitats que s’assoleixen són enormes, i el gruix de les veles, ínfim.

Compareu les distàncies i les velocitats recorregudes i el gruix de les veles solars amb valors més quotidians per fer més comprensibles aquestes dimensions i escriviu un article de divulgació científica sobre el tema.

Us sembla interessant aquest mètode de propulsió? Per què?

ANEM PAS A PAS

Busqueu dades i feu comptes:

1. Diem que Alfa Centauri està a 4,37 anys llum del Sol. La distància de la Terra al Sol és d’1,5 ∙ 108 km. Hi ha cap diferència entre expressar la distància d’Alfa Centauri al Sol o a la Terra tenint en compte la cota d’error que estem admetent?

2. Una de les veles solars utilitzada amb èxit tenia 7,5 micres de gruix. Un cabell humà mitjà té un gruix de 0,07 mm. Compareu els gruixos.

3. Amb les veles solars s’han aconseguit acceleracions d’1 mm/s2. Amb aquesta acceleració, quant augmenta la velocitat (en km/h) al llarg d’un dia? Escriviu la solució amb una xifra significativa.

4. La sonda més ràpida, propulsada per motors, va aconseguir els 22,88 km/s. Quants dies necessita una vela solar amb l’acceleració de l’exercici anterior per aconseguir aquesta velocitat?

RESOLEM

5. Investigueu quins projectes amb veles solars s’han portat a terme fins ara i quins han tingut èxit i quins no. S’espera posar-ne en pràctica cap de nou en un futur?

6. Busqueu informació sobre l’ús de la papiroflèxia en el plegament i el desplegament de les veles solars. És molt interessant!

7. Amb totes aquestes dades i altres que descobriu al llarg de la vostra investigació, escriviu un article de divulgació científica en el qual feu èmfasi en els aspectes més impactants i singulars dels resultats que heu obtingut. Anoteu els punts clau de l’article.

PENSEM-HI

8. Us sembla interessant aquest mètode de propulsió? Per què?

Reflexioneu sobre l’ODS 7: Energia neta i assequible.

Treballeu en equip.

Què heu Penseu-hi!après?

U N I T A T POLINOMIS I FRACCIONS ALGEBRAIQUES 2

MATEMÀTICS PER UN DIA

La matemàtica està conformant, des de fa segles i a un ritme creixent, la civilització i influeix en àmbits tan diferents com la física, l’astronomia, la química nuclear i, fins i tot, les ciències de la vida (la biologia, la medicina, la psicologia, la sociologia, la lingüística, l’arquitectura, l’economia…) o la seguretat al ciberespai.

Sense anar més lluny, durant la pandèmia vam sentir a parlar de creixement exponencial, taxa de contagi, risc de rebrot o incidència acumulada, conceptes matemàtics que descrivien i modelaven la malaltia i que han passat a formar part del nostre dia a dia.

La nostra estructura mental està fortament influenciada per l’estil matemàtic: organització, generalització, definicions clares, processos perfectament perfilats...

Sigueu matemàtics per un dia i descobriu el paral·lelisme que hi ha entre l’estructura dels nombres enters (operacions, relacions de divisibilitat, fraccions, simplificació…) i els polinomis.

Sabríeu aplicar els coneixements sobre els polinomis a la criptografia i codificar missatges?

PENSEU-HI!

• R eflexioneu sobre la utilitat del mètode criptogràfic i penseu en quines situacions el podríeu fer servir en el vostre dia a dia.

Polinomis. Operacions Regla de Ruffini

Arrel d’un polinomi. Cerca d’arrels

Factorització de polinomis

Divisibilitat de polinomis

Fraccions algebraiques

Descomposició d’una fracció algebraica en fraccions elementals

1. POLINOMIS. OPERACIONS

• L’expressió següent és un polinomi:

Està compost per quatre monomis, 2x 5 , 7 3 x 3 , – 3 x 2 i 2,7, els graus dels quals són, respectivament, 5, 3, 2 i 0.

El grau del polinomi és 5.

La variable, x, s’anomena, també, indeterminada.

Els nombres 2, 3/7, – 3 i 2,7 són els coeficients. Com que no hi ha monomis ni de primer grau ni de quart grau, podem dir que el seus coeficients són 0.

En un polinomi, els coeficients són nombres reals qualssevol.

• Suma i producte de polinomis. El resultat de sumar o multiplicar dos polinomis entre si és un altre polinomi. Les propietats de la suma i el producte de polinomis són aquestes:

PROPIETATS DE LA SUMA DEL PRODUCTE

Associativa (P + Q ) + R = P + (Q + R ) (P · Q ) · R = P · (Q · R )

Commutativa P + Q = Q + PP · Q = Q · P

Distributiva

P · (Q + R ) = P · Q + P · R

La resta és un cas particular de la suma, per la qual cosa el resultat de restar dos polinomis és un altre polinomi:

P – Q = P + (–Q )

El polinomi –Q s’obté canviant de signe tots els monomis de Q.

• Divisió de polinomis. En general, el quocient de dos polinomis no és un polinomi.

Exemple. Dividim P

El resultat pot escriure’s d’una d’aquestes dues formes:

– Quan hi ha un residu diferent de zero, la divisió és entera.

– Quan el residu és zero, es diu que la divisió és exacta. En aquest cas, el dividend es pot descompondre en productes de factors.

2. REGLA DE RUFFINI

• Regla de Ruffini. Mètode que serveix per dividir un polinomi per x – a Exemple. Dividim P (x) = 3x 4 – 2x 3 – 10x + 7 entre x – 2:

3 –2 0 –10 7

2 6 8 16 12

3 4 8 6 19

Es tracta d’una divisió entera.

Quocient: 3x 3 + 4x 2 + 8x + 6 Residu: 19

Per tant, 3x 4 – 2x 3 – 10x + 7 = (x – 2)(3x 3 + 4x 2 + 8x + 6) + 19.

O bé: x xxx xxx x

1 2 32 07 34 86 2 19 ––––4 32 3 + =+ ++ +

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

1. Calcula el quocient i el residu de la divisió de x 4 + 3x 3 – 3x 2 + 3x – 4 entre els polinomis següents i indica si la divisió és entera o exacta:

a) x – 1

b) x + 1

c) x – 2

d) x – 4

Divisió de P(x) entre (mx + n)

mx + n = mx m n + bl

Per tant:

Fem la divisió P(x) : x m n + bl usant el mètode de Ruffini prenent a = –m n .

Quocient: Q(x) Residu: R

El resultat de la divisió P(x): (mx + n) és aquest:

Quocient: m 1 Q(x) Residu: R

2. Fes la divisió de P (x) = 4x 3 + 12x 2 + 5x – 6 entre cada un dels polinomis següents i expressa el resultat així: divisor dividend = quocient + divisor residu

a) x – 1

b) 2x – 1

c) x + 2

d) 2x + 4

• Valor numèric d’un polinomi, P (x), per a x = a, P (a). És el nombre que s’obté en substituir la x per a i fer les operacions indicades.

• Teorema del residu. El valor que pren un polinomi, P (x), quan x=a, coincideix amb el residu de la divisió P (x) : (x–a). És a dir, P (a) = r.

EXERCICI RESOLT

1. Calcula el valor del polinomi 7x 5 – 42x 4 + 190x2 – 13 per a x = 3 i per a x = –1,27.

7 –42 0 190 0 –13

3 21 –63 –189 3 9

7 –21 –63 1 3 –4

El valor del polinomi per a x = 3 coincideix amb el residu de la divisió entre x – 3. Per tant, P (3) = – 4.

Per a x = –1,27, és molt convenient fer servir la calculadora:

–1,27 * 7 = - 42 = * + 0 = * +190 = * + 0 = * -13 = 161,0633922

El resultat és 161,0633922…

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

3. a) Utilitza la regla de Ruffini per trobar P (a) en els casos següents, si P (x) = 7x 4 – 5x 2 + 2x – 24:

• a = 2

b) Llegeix i calcula el valor de a en cada cas:

i) La divisió del polinomi x 4 – 2x 3 + ax – 15 entre (x – 3) és exacta.

ii) Si dividim (3x 3 + 4x 2 – 3x + a) : (x + 2), el residu és 4.

• a = –5

• a = 10

iii) El valor numèric del polinomi x 5 – 8x 2 + ax – a, per a x = 2, és –3.

3. ARREL D’UN POLINOMI. CERCA D’ARRELS

• Arrel d’un polinomi P (x). És un nombre, a, tal que P (a) = 0.

Les arrels d’un polinomi són les solucions de l’equació P (x) = 0.

Per tant, si a és arrel de P (x), llavors P (x) = (x – a) Q (x).

– Perquè un polinomi amb coeficients enters sigui divisible per x – a, cal que el seu terme independent sigui múltiple de a (a enter).

Per tant, per buscar expressions x–a que siguin divisors d’un polinomi, provarem amb els valors enters de a (positius i negatius) que siguin divisors del terme independent.

EXERCICI RESOLT

2. Troba algun divisor x – a (en què a és un nombre enter) del polinomi:

P (x) = x3 + x 2 – 7x + 20

Atenció

Aquest criteri és molt útil per limitar la recerca de divisors d’un polinomi. Només és vàlid per a polinomis amb coeficients sencers i només serveix per localitzar els valors sencers de a.

Perquè P (x) sigui divisible per x – a, cal que a sigui divisor de 20. Provem, doncs, donant a a els valors ±1, ±2, ±4, ±5, ±10.

Per als nombres 1, –1, 2 i –2, no s’obté 0 de residu.

Provem ara per a a = 4. El residu no és 0. Per tant, P (x) tampoc no és divisible per x – 4.

1 1 –7 20

4 4 20 52

1 5 13 72

Tanmateix, per a a = – 4, la divisió sí que és exacta, ja que el residu és 0.

1 1 –7 20

– 4 – 4 12 –20

1 – 3 5 0

P (x) entre (x + 4) és x 2 – 3x + 5. atenció! Podria haver passat que P (x) no fos divisible per x – a per a cap a divisor del residu; és a dir, per a cap a enter.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

4. El polinomi x 4 + 3x 3 – 2x 2 – 10x – 12 és divisible per x – a per a dos valors enters de a Troba’ls i digues el quocient en ambdós casos.

5. A partir de l’activitat anterior, escriu dos polinomis primers i dos polinomis compostos.

EXERCICIS RESOLTS

3. Digues si x = 5 pot ser arrel de cada un d’aquests polinomis:

P1(x) = x5 – 11x 3 + 17x + 18

P2(x) = 2x 4 – 10x 3 – 2x 2 + + 12x – 10

P3(x) = 2x3 – 17x 2 + 23x + 40 En cas afirmatiu, comprova si realment ho és.

• P1(x) no pot ser divisible per x – 5 perquè el seu terme independent, 18, no és múltiple de 5.

• P2(x) podria ser divisible per x – 5 perquè el seu terme independent, –10, és múltiple de 5. Vegem si realment ho és:

2 –10 –2 12 –10

5 10 0 –10 10

2 0 –2 2 0

P2(x) sí que és divisible per x – 5:

P2(x) = (x – 5)(2x 3 – 2x + 2)

• P3(x) podria ser divisible per x – 5 perquè el seu terme independent, 40, és múltiple de 5. Vegem si realment ho és:

2 –17 23 40

5 10 –35 – 60

2 –7 –12 –20

4. Inventa un polinomi de tercer grau les arrels del qual siguin 0, 1 i 2.

5. Inventa un polinomi de tercer grau que no tingui arrels.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

La divisió no és exacta. Per tant, P3(x) no és múltiple de x – 5.

Per tant, x = 5 només és arrel de P2(x).

P (x) = x(x – 1)(x – 2) compleix aquesta condició.

En general, la compleix qualsevol polinomi d’aquest tipus:

Kx (x – 1)(x – 2), amb K ≠ 0

Impossible! Un polinomi P (x) de grau senar segur que té, almenys, una arrel. La justificació no és senzilla, de manera que ens conformarem a saber-ho sense haver-ho demostrat.

6. El polinomi x 4 + 3x 3 – 2x 2 – 10x – 12 és divisible per x – a per a dos valors enters de a Localitza’ls i digues el quocient en ambdós casos.

8. Inventa un polinomi de tercer grau les arrels del qual siguin 3, –2 i –1.

9. Inventa un polinomi de quart grau que no tingui arrels.

10. Inventa un polinomi de quart grau que tingui només dues arrels: x = 2 i x = –3.

7. Comprova que el polinomi x 4 + x 3 + 7x 2 + 2x + 10 no és divisible per x – a per a cap valor enter de a.

11. Inventa un polinomi de segon grau que tingui com a arrel doble x = –3.

12. Hi ha cap polinomi de primer grau sense arrels? Justifica la resposta i posa’n un exemple.

4. FACTORITZACIÓ DE POLINOMIS

• Factoritzar un polinomi. És descompondre’l en un producte de polinomis (factors) del grau més petit possible. És un procediment similar a la descomposició d’un nombre enter en factors primers.

• Tècniques per factoritzar polinomis:

– Extreure’n factor comú, quan sigui possible.

– Utilitzar la regla de Ruffini per buscar arrels enteres del polinomi.

– Resoldre equacions per buscar arrels de polinomis de segon grau.

EXERCICIS RESOLTS

6. Factoritza i indica quines són les arrels del polinomi:

P (x) = 12x 5 – 36x 4 + 27x 3

7. Factoritza:

Q (x) = 4x 2 – 8x + 3

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

13. Factoritza els polinomis següents:

a) 3x 2 + 2x – 8

b) 3x 5 – 48x

Tots els sumands tenen el factor x 3. Els coeficients 12, –36 i 27 són múltiples de 3. Per tant, podem treure 3x 3 com a factor comú.

P (x) = 3x 3 (4x 2 – 12x + 9)

Observem que 4x 2 – 12x + 9 és igual a (2x – 3)2

P (x) = 3x 3 (2x – 3)2

Obtenim les arrels igualant a 0 cada factor. Les arrels de P (x) són 0 (arrel triple) i 3/2 (arrel doble).

Per buscar les arrels, igualem a 0 i resolem l’equació: 4x 2 – 8x + 3 = 0 → x = 2 1 ; x = 2 3

Per tant: Q (x) = 4 xx 2 1 2 3 c mc m o bé

Q (x) = xx 2 2 1 2 2 3 c c m m = (2x – 1)(2x – 3)

Factoritza i desenvolupa polinomis.

5. DIVISIBILITAT DE POLINOMIS

• Un polinomi, D (x), és divisor d’un altre, P (x), si la divisió P (x) : D (x) és exacta. En aquest cas, P (x) és múltiple de D (x), ja que P (x) = D (x) · C (x).

• Polinomi irreductible. És un polinomi que no té cap divisor de grau inferior al seu.

• La factorització d’un polinomi com a producte de polinomis irreductibles és similar a la descomposició d’un nombre en factors primers. I en el procés de localització d’arrels, podem disposar els resultats com fèiem amb els nombres.

Exemple. x 5 – x 4 – 7x 3 + 7x 2 – 36 x + 2

x 4 – 3x 3 – x 2 + 9x – 18 x + 2

x 3 – 5x 2 + 9x – 9 x – 3

x 2 – 2x + 3 x 2 – 2x + 3 1 ↑

No té arrels. Per tant, és irreductible.

1 –1 – 7 7 0 –36

–2 –2 6 2 –18 36

1 –3 – 1 9 –18 0

–2 –2 10 –18 18

1 –5 9 –9 0

3 3 –6 9

1 –2 3 0

x 5 – x 4 – 7x 3 + 7x 2 – 36 = (x + 2)2 (x – 3) (x 2 – 2x + 3)

Dos polinomis són primers entre si quan no hi ha cap polinomi divisor d’ambdós.

• Diem que D (x) és el màxim comú divisor de dos polinomis, P (x) i Q (x),

MCD [P (x), Q (x)] = D (x) si és divisor d’ambdós i no hi ha cap altre polinomi divisor comú de grau més gran que D (x).

• Diem que M (x) és el mínim comú múltiple de dos polinomis, P (x) i Q (x),

MCM [P (x), Q (x)] = M (x) si és múltiple d’ambdós i no hi ha cap altre polinomi múltiple comú de grau més petit que M (x).

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

14. Raona si existeix alguna relació de divisibilitat entre aquests parells de polinomis:

a) P (x) = x 3 – 7x 2 i Q (x) = x 3 – 7x

15. Indica quins d’aquests polinomis són irreductibles i descompon en factors els que no ho siguin:

a) x 2 – 3x + 2

b) x 2 – 5x + 6

b) P (x) = x 3 – 7x 2 i Q (x) = x 2 – 7x

c) 3x 2 + 5x

c) P (x) = x 4 – 3x – 10 i Q (x) = x – 2

16. Troba el MCD i el MCM de P i Q:

P (x) = x 2 – 9, Q (x) = x 2 – 6x + 9

6. FRACCIONS ALGEBRAIQUES

• Fracció algebraica. És el quocient indicat de dos polinomis () () Qx Px

Exemple. xx x 5 21 318 –2 + +

• Fracció irreductible. Fracció resultant de dividir el numerador i el denominador d’una fracció pel seu MCD.

Exemple.

• Fraccions equivalents. Dues fraccions algebraiques són equivalents si:

– Una s’obté simplificant l’altra.

– O bé, ambdues, en simplificar-se, donen lloc a la mateixa fracció.

Atenció

Un polinomi pot ser considerat com una fracció algebraica de denominador 1.

1. Simplifica aquestes fraccions:

a) xx x2 2 + b) () x x 1 1 2 + + c) x x 1 1 –2 + d) x xx 3 69 ––2 +

2. Digues si cada parell de fraccions són equivalents o no: a) xx x 3 3 ––2 i x x 2 b) x x 1–i x x 1–

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

17. Simplifica:

a)

–3

c) xx xxx 3 33 32 32 + ++ +

d) xxx xxx 1424 56 –32 32 + +

18. Comprova si cada parell de fraccions són equivalents: a) xx xx x x 3 33 – i –32 3 +

• Reduir a comú denominador fraccions algebraiques. És el resultat d’obtenir fraccions equivalents a d’altres fraccions que tinguin entre si el mateix denominador.

• Suma (o resta) de fraccions algebraiques. És el resultat de reduir-les a comú denominador i sumar-ne els numeradors.

• Producte de dues fraccions algebraiques. És el producte dels seus numeradors partit pel producte dels seus denominadors.

• Fracció inversa d’una altra. Fracció que s’obté en intercanviar el numerador i el denominador de la fracció inicial. En multiplicar una fracció per la seva inversa el resultat és sempre una fracció equivalent a 1.

Exemple. La fracció inversa de x xx 31 5 ––2 és xx x 5 31 ––2 , ja que el seu producte és una fracció equivalent a 1.

• Quocient de dues fraccions algebraiques. És igual al producte de la primera per la inversa de la segona.

EXERCICI RESOLT

8. Calcula: () x x xx x x x 7 1 2 1 21 –2 +

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

1. Redueix a comú denominador:

Hem de reduir a comú denominador les tres fraccions. El denominador comú és x (x + 1). Per tant:

19. Fes les operacions i simplifica’n el resultat:

a)

7.

DESCOMPOSICIÓ

D’UNA FRACCIÓ ALGEBRAICA EN FRACCIONS ELEMENTALS

• Fracció algebraica elemental. Fracció que té com a numerador un nombre i com a denominador un polinomi de primer grau del tipus x – a

Exemples. x 5 3 –

– Una fracció algebraica el denominador de la qual només tingui arrels simples es pot descompondre en la suma d’un polinomi i de fraccions elementals.

EXERCICI RESOLT

9. Descompon: xx x 6 711 –2

Les arrels del denominador són 3 i –2. Per tant: x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2).

La fracció es podrà descompondre així: xx AB 32 –+ + Hem de calcular A i B perquè sigui vàlida la descomposició:

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

S’ha de complir que:

7 23 11 += =

Resolem el sistema i obtenim que: A = 2, B = 5.

(coeficient de la x) (terme independent)

Per tant, s’arriba a la descomposició següent: xx x xx 6 711 3 2 2 5 –– 2 =+ +

20. Descompon aquestes fraccions algebraiques:

a) x x 3 34 + +

b) x xx 3 3 2 74 –2 + +

c) x xx35 1 4 ––2 +

OBSERVA, RAONA I RESOL

1. TEOREMA DEL RESIDU

Troba el valor de a i de b perquè el polinomi P (x) = 2x3 + ax2 + bx – 18 sigui divisible per x + 2 i x + 3.

Perquè P (x) sigui divisible per (x + 2) i per (x + 3), els residus de P (x) : (x + 2) i P (x) : (x + 3) han de ser 0.

Per tant, cal que P (–2) = 0 i P (–3) = 0:

Recorda el teorema del residu: P (x) x – a r = P (a) C (x)

() () Pab Pab 2164 2180 3549 3180 =+ = =+ = * → ; ab abab 217 324 73 ––– $ = = == ) → a = 7, b = –3

Fes-ho tu

Calcula el valor de k perquè aquesta divisió sigui exacta:

(2x 4 – 5x 3 + kx 2 – 12) : (x + 2)

2. OPERACIONS AMB FRACCIONS ALGEBRAIQUES

Opera i simplifica: xx

xx x 710 2 815

Descomponem

Reduïm a denominador comú i operem:

Opera

3. DESCOMPOSICIÓ DE FRACCIONS ALGEBRAIQUES

Descompon aquesta fracció algebraica com a suma de fraccions:

Factoritzem el denominador:

x3 + 3

2 – 9x + 5 = (x – 1)2(x + 5)

x x 39xx 5 3 –

2 32++ ++

Com que el denominador té una arrel doble, la descomposició és així:

Igualem numeradors: x2+ 2x + 3 = A(x – 1)(x + 5) + B(x

• Si –x = 1 → 6 = 6B → B = 1

• Si x = –5 → 18 = 36C → C = 1/2

• Si –x = 2 → 11 = 7A + 7B + C → 7A = 7/2 → A = 1/2 Obtenim

1)2

Fes-ho tu

Descompon aquestes fraccions algebraiques:

a) xx xx 34 35 ––32 2 + +

b) () x x 3 25 3 + +

EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES

Practica

Polinomis. Operacions

1. Donats els polinomis P (x) = x 3 – 5x 2 – 3, Q (x) = 3 1 – x 2 + 2x – 1 i R (x) = x 3 –2 1 x 2, calcula:

a) P (x) + Q (x) – R (x)

b) P (x) · Q (x)

2. Multiplica cada expressió pel MCM dels denominadors i simplifica:

a) () () () ()xxxxx 5 35 4 21 2 44 ––2 ++ + +

5. Treu factor comú i identifica els productes notables, com en l’exemple:

• 2x 4 + 12x 3 + 18x 2 = 2x 2 (x 2 + 6x + 9) = 2x 2 (x + 3)2

a) 20x 3 – 60x 2 + 45x =

b) 27x 3 – 3xy 2 =

c) 3x 3 + 6x 2y + 3y 2x =

6. Divideix i expressa cada divisió de la manera següent: divisor dividend quocient divisor residu =+

a) (3x 5 – 2x 3 + 4x – 1) : (x 3 – 2x + 1)

b) (x 4 – 5x 3 + 3x – 2) : (x 2 + 1)

c) (4x 5 + 3x 3 – 2x) : (x 2 – x + 1)

b) () () () () ()xxxxx

22 ++22 + +

3. Expressa com a producte de dos binomis:

a) 49x 2 – 16 =

b) 9x 4 – y 2 =

c) 81x 4 – 64x 2 =

4. Completa cada una d’aquestes expressions perquè sigui el quadrat d’un binomi:

a) 16x 2 + ( ) – 8xy b) ( ) + 25y 2 + 60xy

c) 16 9 x 2 + 4y 2 + ( ) d) ( ) + y xy 93 4 –2 2

7. Fes les divisions següents:

a) (2x 3 – x 2 + 3x – 1) : (2x 2 + 2x)

b) (x 4 – x 3 – 3x + 1) : (2x 2 – 1)

8. Troba, en cada cas, el valor de a perquè les divisions següents siguin exactes:

a) (x 4 + x 3 – 12x 2 + ax + 5) : (x 2 – 2x – 1)

11. Esbrina quins dels nombres 1, –1, 2, –2, 3, –3 són arrels dels polinomis següents:

a) P (x) = x 3 – 2x 2 – 5x + 6

b) (x 5 – 2x 4 + 4x 3 + ax2 + 2x + 2) : (x 2 – 2x + 2)

b) Q (x) = x 3 – 3x 2 + x – 3

Regla de Ruffini. Aplicacions

9. Esbrina si el polinomi P(x) = x 43 – 2x 2 + 3 és divisible per (x + 1).

12. Troba el quocient i el residu de cada una d’aquestes divisions:

a) (4x 2 – 8x + 3) : (4x – 2)

10. Utilitza la regla de Ruffini per calcular P (3), P (–5) i P (7) en els casos següents:

a) P (x) = 2x 3 – 5x 2 + 7x + 3

b) P (x) = x 4 – 3x 2 + 7

b) (2x 3 – 4x 2 + 3x – 2) : (2x – 3)

Factorització de polinomis

13. Treu factor comú i utilitza les identitats notables per factoritzar els polinomis següents:

a) 3x 3 – 12x=

b) 4x 3 – 24x 2 + 36x=

c) 45x 2 – 5x 4 =

d) x 4 + x 2 + 2x 3 =

14. Descompon en factors i digues quines són les arrels dels polinomis següents:

a) x 3 + 2x 2 – x – 2

b) 3x 3 – 15x 2 + 12x

c) x 3 – 9x 2 + 15x – 7

15. Escriu, en cada cas, un polinomi de tercer grau que tingui aquestes arrels:

a) 0, 1 i 2

b) –1 i 3

16. Escriu un polinomi que compleixi la condició donada:

a) Que tingui dues arrels dobles, 2 i –2.

b) Que sigui de tercer grau i tingui una sola arrel.

17. Indica el polinomi inicial i la seva descomposició factorial. Completa-la, si és possible, amb les arrels del polinomi de segon grau:

Fraccions algebraiques

18. Comprova si les fraccions són equivalents:

a) x x 312 4 3 1 –– i

b) x xxx 22 i 2 +

19. Descompon en factors i simplifica:

a) () x x 3 9–2 2 +

b) x x 4 2 –2 +

c) x xx 25 2510 ––2 2 + d) xxyy xxy 2–22 2 + +

–1 –1 –5 4 20

20. Simplifica:

a) xxx xx 2 4 ––32 3 + b) x xx 1 54 ––4 42 +

21. Redueix a denominador comú i opera:

a) xxx2 1 4 11 –+

b) xxx 1 3 11 –2 +

c) x x 2 3 1 –+

d) x x xx x 3 1 3 2 9 ––––2 + +

22. Resol:

x x xx x x 22 1 1 ––––22 2 + +

23. Opera i simplifica:

a) x x x x 1 1 3 1 –––2 + bl

b) : xxx 1 3 1 3 –2 + cm

24. Per quina fracció algebraica has de multiplicar el resultat de cada apartat de l’exercici anterior per obtenir 1? I per obtenir el polinomi x 2 + 1?

Descomposició de fraccions algebraiques

25. Descompon aquestes fraccions algebraiques:

a) () () x xx 2 25 3 –+ +

b) x x3 4– 2 3

c) xx x 1 2 2 + +

d) x xx35 1 3 3 -+

e) () x xx 2 35 1 ––3 3 +

Aplica els teus coneixements

26. Troba el MCM i el MCD d’aquests polinomis:

a) x 2 ; x 2 – x; x 2 – 1

b) x – 3; x 2 – 9; x 2 – 6x + 9

27. Troba l’expressió adequada perquè les fraccions siguin equivalents:

a) x xx x 1 1 –

–2 2 = + b) x xx 21 2 + =

28. Calcula el valor de a i b perquè el polinomi P (x) = 2x 3 + 7x 2 + ax + b sigui divisible per x – 1 i per x + 2.

31. Comprova si existeix alguna relació de divisibilitat entre els parells de polinomis següents:

a) P (x) = x 4 – 4x 2 i Q (x) = x 2 – 2x

29. Calcula el valor de m perquè les divisions següents tinguin el residu que s’indica en cada cas:

a) (x 2 – 5x + m) : (x – 2) Residu = 0

b) (x 3 – 2x 2 – x + m) : (x + 1) Residu = –1

30. Si P (x) = 3x 3 – 11x 2 – 81x + 245, troba els valors P (8,75), P (10,25) i P (–7) amb ajuda de la calculadora. Descriu la seqüència de tecles utilitzades, com en la pàgina 38.

b) P (x) = x 2 – 10x + 25 i Q (x) = x 2 – 5x

32. Treu factor comú:

a) (x + 2)(x – 3) + 2x(x + 2) =

b) (x – 2)(2x + 3) – (5 – x)(x – 2) =

c) (x + 5)(2x – 1) + (x – 5)(2x – 1) =

33. Simplifica:

a) xy xyxy 105 2 ––22

b) abab abab 36 36 ––32 2 22 3

Resol problemes

34. Es barregen x kg de pintura de 5 €/kg amb y kg d’una altra pintura de 3 €/kg. Quin serà el preu d’1 kg de la barreja? Expressa’l en funció de x i y.

35. El catet d’un un triangle rectangle mesura 14 cm. Expressa el perímetre i l’àrea del triangle en funció de la hipotenusa x.

36. Dos pobles, A i B, disten 60 km. De A surt un cotxe cap a B a velocitat v. Al mateix temps en surt un altre de B en direcció a A a velocitat v + 3. Expressa en funció de v el temps que tarden a trobar-se.

40. Cert o fals? Justifica la resposta i posa’n exemples:

a) Si un polinomi és de grau 3 i un altre és de grau 2, el seu producte és de grau 6.

37. Dividim un fil d’aram d’1 m de longitud en dues parts desiguals. Amb una d’aquestes parts formem un triangle equilàter i amb l’altra, un quadrat. Escriu la suma de les àrees d’ambdues figures.

b) Si P (0) = 1, aleshores P (x) és divisible per (x – 1).

c) Si sumem dos polinomis de tercer grau, sempre obtenim un polinomi de tercer grau.

És el teu torn

41. Planteja un hexàgon regular en el qual es compleixi que el perímetre és igual a 12x i l’àrea és igual a x 63 2 . Per saber si l’has plantejat bé, mostra l’hexàgon a un company o una companya i demana-li que n’obtingui les expressions de l’àrea i el perímetre. És correcte el teu hexàgon?

Reflexiona sobre la teoria

38. Les arrels de P (x) són 0, 2 i –3.

a) Escriu tres divisors de P (x) de primer grau.

b) Escriu un divisor de P (x) de segon grau.

39. Tenim un polinomi P (x) = (x – 1)2(x + 3). Cerca un polinomi de segon grau, Q (x), que compleixi les dues condicions següents:

MCD [P (x), Q (x)] = x – 1

MCM [P (x), Q (x)] = (x – 1)2(x 2 – 9)

42. Busca informació sobre el triangle de Tartaglia. Construeix-ne les sis primeres files i explica a un company o una companya el procediment per construir-lo i quina és la seva relació amb les potències de binomis.

43. Per què creus que una fracció algebraica el numerador i el denominador de la qual són primers entre si és irreductible?

TALLER DE MATEMÀTIQUES

» REFLEXIONA I EXPRESSA’T

Curiós!

Pensa tres dígits que no siguin iguals

Forma amb ells el nombre més gran possible xyz

Forma el més petit zyx

Per exemple, 5, 8 i 3.

El nombre més gran és 853.

El nombre més petit és 358.

Resta’ls xyz – zyx La diferència és 853 – 358 = 495.

• Comprova que la diferència és sempre múltiple de 9 i d’11.

• Demostra, utilitzant el llenguatge algebraic, que l’observació anterior és certa per a qualsevol trio de xifres, x, y, z, si almenys dues són diferents.

xyz = 100x + 10y + z

zyx = 100z + 10y + x

» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES

• Substitueix cada lletra de cada expressió per una xifra diferent de zero.

yz yz yz yz + yz

xyz

ab x c de + fg hi

• Resol aquest problema sense utilitzar l’àlgebra: Un estany es proveeix d’aigua mitjançant dues boques. Obrint només la primera, l’estany s’omple en 8 hores i, obrint-les totes dues, en 3 hores. Quant tarda a omplir-se si s’obre només la segona boca?

POSA’T A PROVA

1. Determina els valors de a,b i c perquè es verifiqui la igualtat següent:

() ( axxbcxx 32 41 –)5–2 += +

2. Troba el quocient i el residu d’aquesta divisió:

(3x 4 – 5x 3 + 4x 2 – 1) : (x 2 + 2)

3. Calcula el valor del paràmetre m perquè el polinomi P (x ) = 7x 3 – mx 2 + 3x – 2 sigui divisible per x  + 1.

6. Calcula i simplifica, si és possible:

a) () x x x x 2 6 2 3 –––––2 2

b) aa a aa a 1 1 21 –23 + +

7. Descompon aquesta fracció com a suma de fraccions elementals:

() () ()xxx x 12 2 –96 + +

4. Descompon en factors els polinomis següents:

a) x 4 – 12x 3 + 36x 2

b) 2x 3 + 5x 2 – 4x – 3

5. Simplifica aquestes fraccions algebraiques:

a) xy xyxy 105 2 ––22

b) abab abab 36 36 ––32 2 22 3

8. Donat el polinomi P(x) = (x – 1)2(x – 3):

a) Inventa un polinomi Q(x) de segon grau tal que P(x) i Q(x) siguin primers entre si.

b) Busca un polinomi R(x) que compleixi que:

MCD [P(x), R(x)] = (x – 1)(x – 3)

MCM [P(x), R(x)] = (x – 1)2(x – 3)2(x + 2)

9. Troba a i b perquè en dividir x 3 + ax 2 + bx – 4 entre x + 1 el residu sigui –10 i en dividir-lo entre x – 2 el residu sigui 2.

» MATEMÀTICS PER UN DIA

La nostra estructura mental està fortament influenciada per l’estil matemàtic: organització, generalització, definicions clares, processos perfectament perfilats…

Sigueu matemàtics i matemàtiques per un dia i descobriu el paral·lelisme que hi ha entre l’estructura dels nombres enters (operacions, relacions de divisibilitat, fraccions, simplificació…) i els polinomis.

Sabríeu aplicar els coneixements sobre els polinomis a la criptografia i codificar missatges?

Reflexioneu sobre la utilitat del mètode criptogràfic i penseu en quines situacions el podríeu fer servir en el vostre dia a dia.

ANEM PAS A PAS

1. Entre els nombres enters hi ha una relació de divisibilitat (múltiples, divisors, nombres primers, descomposició d’un nombre en factors primers, màxim comú divisor i mínim comú múltiple de dos nombres). Us sembla raonable designar els polinomis x, x – 3 i x + 5 com a polinomis primers?

I els polinomis x2 + 1, x2 + 5 i x2 – 3x + 3?

Per què no són primers els polinomis x2 + x – 12 i x2 – 11x?

2. Trobeu el MCD i el MCM de:

x2 + 3x i x3 – 2x

x2 – 1 i x2 – x

Aprofundeix sobre:

• L’anell dels nombres enters

• L’anell dels polinomis

3. Investigueu sobre la similitud entre les fraccions numèriques i les fraccions algebraiques.

• Simplifiqueu: a) 28 42 = b) x2 – 1 x2 – x =

• Quin paper té el MCD del numerador i el denominador?

RESOLEM

4 . Apliqueu els coneixements sobre els polinomis a la criptografia i codifiqueu missatges, ja sigui de forma simple o complexa.

a) Escriviu l’abecedari i assigneu a cada lletra un nombre enter consecutiu. Escriviu, individualment, un missatge que vulgueu transmetre a un company o una companya del grup. Ara, apliqueu-hi la codificació donada pel polinomi x + 3 i transmeteu el nou missatge perquè el pugui desxifrar. Quin polinomi ha fet servir per desxifrar-lo?

b) Feu el mateix aplicant un altre polinomi semblant: un de vosaltres codifica un missatge i el passa a la resta per veure si el poden descodificar sense saber quin polinomi heu aplicat. És senzill de desxifrar?

c) Parleu de com podríeu complicar la codificació fent servir altres polinomis i de com hauríeu de transmetre el missatge i el codi per minimitzar el risc de ser desxifrat per algú altre.

PENSEM-HI

5. Reflexioneu sobre la utilitat del mètode criptogràfic i penseu en quines situacions el podríeu fer servir en el vostre dia a dia.

Reflexioneu sobre l’ODS 9: Indústria,infraestructures.innovació, Què heu Penseu-hi!après?

Treballeu en equip.

Amb ulls de dona

Les

matemàtiques al servei de la salut

Avui descobriràs com els nombres i el càlcul d’àrees que has après a les classes de matemàtiques són darrere de les capses negres dels sistemes d’imatge mèdica.

Els raigs s’absorbeixen en diferents quantitats segons la densitat del material a través del qual passen.

Però, abans de continuar, què és una capsa negra? Imagina que tens una capsa que és especial, no pots veure el que hi ha a dins, però pots observar com la capsa reacciona a diferents accions que facis amb ella.

En termes més complexos, una «capsa negra» és un dispositiu o sistema el funcionament intern del qual no és visible o no es comprèn completament des de l’exterior.

Hem sentit, de vegades, que un dispositiu o un programa és una «capsa negra»: sabem que funciona, però no sabem exactament com està programat o com realitza les accions.

Si us han fet mai una radiografia, ja sabeu que cal posar-se davant d’una màquina de raigs X. Però aquesta màquina és per a molts de nosaltres una capsa negra. És a dir, sabem que fa imatges de raigs X (observacions externes) quan ens col·loquem entre ella i una placa, però no coneixem exactament el que hi ha dins ni quins processos interns es produeixen.

Doncs bé, les màquines de raigs X tenen una placa plana que es col·loca darrere de la part del cos de la qual es vol obtenir la imatge. El tècnic ajusta la màquina per prendre la imatge i quan prem el botó d’inici aquesta emet una petita quantitat de raigs X que passen a través dels teixits i els ossos i arriben a la placa, on s’enregistren.

Segurament a les classes de Física t’han explicat que la densitat, D, relaciona la massa d’un objecte, m, amb el volum, V, que ocupa. Matemàticament, la densitat s’expressa com la massa dividida pel volum (D = m /V ).

Així, els materials més densos, com els ossos, apareixen de color blanc a les radiografies. L’aire als pulmons (amb una densitat molt més petita que els ossos) apareix de color negre. El greix, els músculs o la pell (amb una densitat intermèdia entre la dels ossos i la de l’aire dels pulmons) apareixen com ombres de color gris.

Tot plegat crea una imatge digital de tons grisos de les diferents parts del cos: la radiografia o imatge de raigs X.

Però, què és una imatge digital de tons grisos matemàticament parlant? Abans cal saber què és una imatge digital en blanc i negre.

Judit Chamorro Servent

Segur que de petit havies jugat a pintar les ca- selles d’una graella amb un cert valor en blanc i a deixar les de l’altre valor en negre (figura a). El resultat era una figura geomètrica o imatge (figura b). Bé, doncs quan mires una imatge digital en blanc i negre, cada quadre petit, anomenat píxel, és com una casella de la graella i pot prendre un valor 0 o 1. Si és un 0, s’entén que el quadrat es representa en color negre, i si és un 1, es representa en blanc. Per tant, matemàticament, les imatges digitals en blanc i negre es poden considerar com una llista enorme de zeros i uns (i així s’emmagatzemen in- ternament en un ordinador o màquina).

Imagina’t, ara, que tens una graella amb molts quadrats petits, els valors dels quals, però, no només són zeros o uns, sinó que són nombres compresos entre el 0 i el 255 (figura c). En aquest cas, podem considerar que cada quadrat petit de la graella és com un píxel que té un nombre que

determina el nivell o intensitat de gris que haurà de mostrar (figura d). Doncs mentre mireu una imatge digital de tons grisos, el que realment esteu veient són molts nombres, entre el 0 i el 255, guardats en una gran llista (figura c), i cada nombre indica quin serà el nivell de gris d’un petit quadrat, o píxel, de la imatge.

Però, com utilitza un metge o una metgessa el càlcul d’àrees per valorar l’abast d’una lesió mit­ jançant una imatge de raigs X? Ja hem vist que una imatge digital és com una graella amb molts quadrats petits, anomenats píxels. En aquesta imatge, un objecte ocupa uns quants píxels.

Saps que l’àrea d’un quadrat es mesura com el quadrat del seu costat: Aquadrat = c2. Per tant, si cada costat dels píxels de la figura d correspon a 50 centímetres en la realitat i hem comptat que la finestra ocupa 2 píxels, quant mesura l’àrea de la finestra de la furgoneta?

Gràcies a les matemàtiques, la màquina de raigs X retorna la radiografia i la mida del costat de cada píxel en la realitat. Amb aquesta infor- mació, el metge o la metgessa pot calcular l’àrea que ocupa una lesió i avaluar-ne la gravetat.

Les matemàtiques són més que nombres i figures geomètriques, tot i que, de vegades, el seu ús és dins de «capses negres», però constantment ens ajuden a entendre i solucionar problemes en molts àmbits de la vida quotidiana, incloent-hi la medicina.

Judit Chamorro Servent va estudiar Matemàtiques i és professora del Departament de Matemàti- ques de la UAB. Ha aplicat i aplica les matemàtiques en temes d’imatge i senyal mèdics a diferents llocs del món. L’any 2020 guanyà el premi Marie Skłodowska-Curie Actions per un projecte per detectar càncer amb microones.

(a) Llista de zeros i uns que definirien una imatge digital en blanc i negre. (b) Cada píxel de la imatge en blanc i negre es correspon amb un valor de la llista de zeros i uns de l’esquerra.

(c) Llista de valors entre 0 i 255 que definirien una imatge di- gital en tons grisos. (d) Cada píxel de la imatge en tons grisos es correspon amb un valor de la llista de nombres de l’esquerra.

(a) (b)

(c) (d)