e t Mau mà-
e q -t i s
4
GUIA D’AULA ESO
Programa
Ada Lovelace
Aquest projecte editorial de l’àmbit matemàtic ha estat elaborat d’acord amb les dimensions competencials i els continguts descrits en el decret d’ordenació curricular publicat pel Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya l’any 2015; aquest decret es fonamenta en la Llei d’educació de Catalunya i en les directrius de la Unió Europea, i respon al marc normatiu i a la legalitat vigent.
Equip editorial: Cap del projecte editorial: Montse Ballaró Coordinació i edició: Mario Suárez Correcció: Immaculada Riera Coordinació artística i disseny: Laura R. Dengra Coordinació tècnica: Mercedes F. Bravo Maquetació: Servei Gràfic NJR, SLU Aquesta guia d'aula correspon als continguts del llibre de Matemàtiques 4 (Programa Ada Lovelace), de José Colera Jiménez, Ignacio Gaztelu Albero, Mª José Oliveira González, Ramón Colera Cañas i Rosario García Pérez. © 2021 d’aquesta edició: Editorial Barcanova, SA Rosa Sensat, 9-11, 4a planta. 08005 Barcelona Telèfon 932 172 054 barcanova@barcanova.cat www.barcanova.cat Primera edició: juliol de 2021 ISBN: 978-84-489-5331-7 DL B. 13629-2021 Printed in Spain
Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó i multes, a més de les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells que reproduïssin, plagiessin o comuniquessin públicament, totalment o parcialment, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà, sense l’autorització preceptiva.
» ÍNDEX » EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Presentació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
» UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Les competències, les rúbriques i les dianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Competències de l’àmbit matemàtic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Els objectius de desenvolupament sostenible (ODS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
» DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Índex de Matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Temporització orientativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Desenvolupament de les unitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Unitat 1. Nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Unitat 2. Polinomis i fraccions algebraiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Unitat 3. Equacions, inequacions i sistemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Unitat 4. Funcions. Característiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Repte 1. Visita al museu de la ciència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Unitat 5. Funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Unitat 6. Semblança. Aplicacions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Unitat 7. Trigonometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Unitat 8. Geometria analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Repte 2. Preparació d’una missió espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Unitat 9. Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Unitat 10. Distribucions bidimensionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Unitat 11. Combinatòria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Unitat 12. Càlcul de probabilitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Repte 3. Organització de la setmana cultural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES
» PRESENTACIÓ
EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES
» PRESENTACIÓ El nou projecte per a l’Educació Secundària Obligatòria permet avançar des del marc de l’escola curricular fins a l’escola competencial, responent a la demanda de noves eines que aquest nou model necessita. Es tracta de formar alumnes competents a l’hora de connectar els continguts amb la informació que requereixen en cada moment per interactuar amb l’entorn, per donar-los un sentit d’utilitat transversal que els ajudi a resoldre els problemes i reptes que els planteja el seu procés d’aprenentatge i la societat en què vivim. Per facilitar el procés d’aprenentatge competencial proposem un material educatiu amb un contingut teòric com a font d’informació de tot allò que estableix el currículum per a la matèria i el curs corresponent, i unes activitats perquè l’alumne aprengui a gestionar la informació i adquireixi la competència d’aprendre a aprendre. A més a més, el docent disposa d’un llibre digital descarregable, multisuport, multidispositiu i multiplataforma, que conté recursos exclusius, com ara suggeriments didàctics, vídeos i enllaços d’interès per ajudar a dinamitzar l’aula i motivar l’alumnat. Aquesta Guia d’aula per a l’àmbit matemàtic, de Matemàtiques, forma part del projecte competencial elaborat per l’editorial seguint el currículum del Departament d’Ensenyament. Cobreix totes les necessitats del docent per afrontar el currículum competencial enfocat a treballar les competències pròpies de l’àmbit, agrupades per dimensions.
MATEMÀ-TIQUES 4
ITAL
GUIA D’AULA ESO
DIG
Maqtueemà-t i s 4
ESO
Programa
Ada Lovelace
7
EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES El contingut de la guia està pensat per facilitar la tasca del professorat a l’aula: per això es presenta la reproducció de les pàgines del llibre amb la informació necessària per ser utilitzada en cada moment: • La temporització orientativa del contingut del llibre. • Una proposta de programació didàctica de cada unitat. • Els continguts clau de cada unitat. • Les solucions de totes les activitats. • La indicació de les activitats proposades per avaluar per dimensions i competències amb l’aplicació AvaluApp ( ). • La indicació de les activitats relacionades amb els objectius de desenvolupament sostenible (ODS, ). • La indicació de les pàgines on es poden treballar activitats amb GeoGebra ( DESENVOLUPAMENT DEL PROJEC TE
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIV A
» DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS
El currículum estab leix 140 hores per a la matèria de establir una temp Matemàtiques de orització que sigui 4t d’ESO. Es fa aplicable a tots solen ser diversos. difícil els grups, perqu D’altra banda, pot è els ritmes d’apr haver-hi alguna terístiques, no treba enentatge part de l’alumnat lli tots els conti que, per les seves nguts porització que oferim i activitats que caracpresentem. És per aquí només és orien això que la temtativa. Els tres reptes trimestrals que es presenten estan casa; tanmateix, pensats perquè en aquesta temp els alumnes els orització els destin comú a l’aula. facin a em 2 hores per a una posterior posada en
UNITAT 1 1. Nombres irracio
nals 2. Nombres reals: la recta real 3. Trams de la recta real: intervals i semirectes 4. Arrels i radica ls 5. Nombres aproxi mats. Errors 6. Nombres en notaci ó científica. Contro de l’error l
UNITAT 3
2h 1h 1h
UNITAT 2
HORES LECTIVES
Presentació. Resol
1. Polinomis. Opera cions 2. Regla de Ruffini
1h
3. Arrel d’un polino mi. Cerca d’arrel s 4. Factorització de polinomis 5. Divisibilitat de polinomis 6. Fraccions algebr aiques 7. Descompond re una fracció algebr aica en fraccions elemen tals Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova
1h 2h 1h 1h 1h
1h 1h
C2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.
HORES LECTIVES
Presentació. Resol
1h
C4. Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes.
2h 1h 1h
1. L’alumne ha de ser capaç de resoldre problemes de la vida quotidiana, d’altres matèries i de les mateixes matemàtiques utilitzant diferents tipus de nombres (racionals i irracionals), símbols i mètodes algebraics, i avaluar altres mètodes de resolució possibles, com, per exemple, l’assaig error o bé el càlcul numèric amb mitjans tecnològics.
1.1. Tradueix un problema a llenguatge matemàtic utilitzant gràfics, expressions aritmètiques o expressions algebraiques senzilles.
Resol: 1
- Nombres racionals i irracionals. El nombre 2 . El nombre auri. El
Aplica el que has après: 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24
nombre π.
- Arrels i radicals. Forma exponencial. Potències.
Observa, raona i resol: 1, 2
Exercita les teves competències: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, - Propietats dels 20, 21, 22, 23, 24, 25, radicals. Operacions 26, 27, 28 amb radicals. Matemàtiques en Racionalització de dors. context: 1, 2, 3 denomina Posa’t a prova: 1, 4, 5 - Nombres aproximats. Error solució. absolut i error relatiu. 1.3. Genera preguntes o problemes que - Logaritmes. impliquin connexions Propietats dels i que siguin logaritmes. coherents amb el context en què es
1.2. Empra conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes, explicant el procés i comprovant la raonabilitat de la
2h 2h 1h 1h
Repte 1r trimestre: Visita al museu de la ciència
ACTIVITATS
CONTINGUTS
INDICADORS
CRITERIS
C1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.
3h
1. Conceptes bàsics 2. Com es presen ten les funcions 3. Domini de definic ió 4. Funcions contín ues. Discontinuïta ts 5. Creixement, màxim s i mínims 6. Tendència i period icitat Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova
problemes
Dimensió resolució de
3h 3h
UNITAT 4
1h 1h 1h
prova
d’aula Programació competencial nsions i concreció de les dime
HORES LECTIVES
Presentació. Resol 1. Equacions 2. Sistemes d’equa cions 3. Inequacions amb una incògnita Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova
1h 1h 2h
7. Logaritmes
» UNITAT 1. ELS NOMBRES REALS
COMPETÈNCIES
HORES LECTIVES
Presentació. Resol
Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a
planteja.
2h
2h 1h 1h
24
27
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL CONT INGUT S
CLAU DE LES COMP ETÈNC IES
F
1. a) Per exemple:
Naturals: 2, 3, 4 Enters no naturals: -1, -7, -3 b) Per exemple: Racionals no enters: 3 1 -2 , 4 2, 3 No racionals: π; 2; 0,1010010001… 3 — 4
F
3
4
–3
x–1
— √27
— — √27 = √62 – 32
— √27
la proporció: 1 x x –1 = 1 D’aquí obtenim l’equac ió: x2 - x - 1 = 0 l’única solució positiv a de la qual és Φ.
— √40
0
GeoGebra. Represe ntació de nombre s en la recta real. Trobareu aquesta activitat en el web www.espaibarcanova.c at.
1
24
28
DISTÀNCIA (km)
2
1
-5 0-5 y2 - y1 = 16 Pendent CD = x - x 1 = 29 - 13 2 1 ; per tant, -5 8 1 1 que 2 Com que 2 = 16 , es compleix 16 que el de l’enlairament, petit més és descens del el pendent en la maniobra inicial des consisteix aquest que t consideran 2). (4, punt al fins 0) (0, punt del
Pàgina 193
1
pot representar una cir45. L’equació + + 25 = 0 noequació el radi seria igual cumferència perquè segons aquesta = ^-25h ) i aquesta arrel no a l’arrel d’un nombre negatiu (r x2
— √40 7
té solució real.
— √40 7
31
2
44. La c).
— √40
0
20
16
12
8
2
2
2 32 . 2 2 2 2 2 + 4 ; DE = 6; EF = 4 + 5 2 ; BC = 2 + 4 ; CD =
+ B a) OA = 3 + 2 ; AB = 2 2 2 2 2 A = 4 +3 . CD = 2 + 4 ; DE = 6; EF 4 5 20 + 6 + 25 = 28, 93 km. –6 –5 –4 –3 –2 M 1 2 3 + EF = 13 + 29 + 20 + C Per tant, OA + AB + BC + CD + DE 28, 93 km. = 25 + 6 D + 20 + –3 20 EF = 13 + 29 + OA + AB + BC + CD + DE + –4 iguals. són els pendents 2
6
D(29, 0)
B(7, 2)
2 5 2 = 29 = 5, 385 km + b) Distància al punt ^2, 5h = 2 2 2 2 = 20 = 4, 472 km + c) Distància al punt ^4, 2h = 4 en el gràfic de l’apartat a). d) La solució, AB , es mostra en el gràfic de l’apartat a). e) La solució, BC , es mostra y2 - y1 2 - 0 2 = 1 = f ) Pendent OA = x - x = 4 - 0 4 2
2.
3 2 1
— — √27 = √62 – 32
— √27
de A respecte de M.
1 y c - , -2 m -1 = 2 " y = -2 . Per tant, C 2
5. a) — √27
C(13, 5)
A(4, 2)
4
El vèrtex C és el punt simètric x - 3/ 2 " x = - 1 -1 = 2 2
queda així:
(km)
2
talla la recta
3 " A b- 2 , 0l
y=0 ( y = -2x - 3
2 6
ALTURA
BD
Aplica el que has après
b)
a) La representació de les maniobres
1 D és aquesta: y = 2 x - 0, 5 3 ular és aquesta: y = - 2x L’equació de la recta perpendic de resoldre el sistema: Per calcular el punt de tall hem
Pàgina 12
1
1. 2
2
B que passa pel punt mitjà entre recta que passa per B i D. de la recta que passa per B i M = ^-1, -1h → L’equació
2. NOMBRES REALS: LA RECTA REAL
0
MATEMÀTIQUES EN CONTEXT
d’abscisses 43. El vèrtex A serà el punt on l’eix i D i és perpendicular a la
De l’esquema obtenim
x
2 3= a →3= a → 2 3b = a2 b b2 Arribem a una contrad icció: 3b2 conté el factor 3 un nombre imparell de vegades, fet que contradiu que 2 a el contingui un nombre parell de vegade s. b) i c) Són el resultat d’operar racionals amb un irracional i, per tant, són nombr es irracionals. d) Raonant com a l’aparta t a, si 8 és raciona l: 8 = a → 8b2 = a2 → 23 · b2 = a2 b Arribem a una contrad icció, ja que 23 · b2 conté el factor 2 un nombre imparell de vegades, fet que contrad iu que a2 el contingui un nombre parell de vegades. e) És el resultat d’opera r un racional amb un irracional i, per tant, és un irracional.
3 és racional,
1
1
Pàgina 192
2 6 (2, 1h5)2 = 4 i - 9 - 1 = 0 " ^x + 3h + ^ y + ^x 2 + 6x + 9h + _ y + 2y + 1 + 6 4 2
2 2 1h2 = 4 2 2 i - 9 - 1 = 0 " ^x + 3h + ^ y + ^x 2 + 6x + 9h + _ y + 2y + 1 + 6 C ^-3, -1h; r = 2 u.
1
a 1 — 2
1 — 2
al. Contradicció.
4.
1. NOMBRES IRRACIONALS Aplica el que has après
0
a — √5 1 — b— 2 2
Φ=a+b= 1 + 5 2 2
–7
Pàgina 10
1. a) Si
42.
3. Si F fos racional, aleshores 2F - 1 seria raciona l. 2F - 1 = 5 , que és irracion
–1 2
1 — 2 F
13 unitats. 4
41. Exercici resolt en el llibre.
1
2
2,58 cm2 i la de la part acolorida 2 de 57,08 cm .
40. A (5, 5) i B (-2, -2)
b
5 b= 1 2 1/2 b Φ=a+b= 1 + 5 — 21 √ 5 2 — b
Resol
–2 — 3
a= 1 2
a 1/2 F a
de 46. L’àrea de la part acolorida de ladefigura la figura de la dreta és
AB = 13
65 AC = AB = 4 Per tant, és isòsceles. mesura L’altura relativa al costat desigual
2.
Solucionari
1 — 2
l’esquerra és de
39.
Aplica el que has après
Pàgina 9
c)
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 8
PROJECTE
Pàgina 11
CC1. Sentit del nombr e i de les operac ions. CC3. Càlcul (menta l, estimatiu, algorís ladora). mic, amb calcu-
8
).
110
y2
b) Seran paral·lels si y2 - y1 2 - 0 2 = Pendent OA = x - x 1 = 3 - 0 3 2 y2 - y1 -2 - 1 = -3 = 3 = 4 = EF Pendent x 2 - x 1 -7 - ^-3h -4
3 2 són paral·lels. ! " Els vectors OA i EF no 4 3 = 8, 944 km. c) Ruta BC + CD = 20 + 20 0,944 km. Ruta BD = 8 km. S’estalviarien
Per tal de completar les eines per al professorat, el docent pot comptar amb material complementari preparat per ser fotocopiat. Aquest material el podrà descarregar des de l’espai personal del web www.barcanova.cat: • Avaluacions curriculars: tres propostes en tres nivells de dificultat. • Avaluacions competencials: seguint el model de les proves PISA. • Activitats de reforç. • Rúbriques i dianes d’avaluació.
Matuemà-t iq es 4 GUIA D’AULA ESO
ESPAI PERSONAL
Programa
Ada Lovelace
MATEMÀTIQUES
• 4t ESO • AVA
LUACIÓ CURRICU LAR
Nom:
Grup:
Avaluació:
Data:
QUALIFICACIÓ UNITAT 1 • NOM
BRES REALS
OPCIÓ A
Activitat 1 - Dime
nsió raonament
i prova i dimensió Classifica els nombr connexions es següents en racion als o irracionals. gran. Després, ordena’ls de a) 3π
∙ b) 8,56
d) √25 3
més petit a més
c) – 5 2
e) √80
∙ f ) –6,35
g) 12
Activitat 2 - Dime
nsió connexion s i dimensióETE IAL NC nicació i repre dels intervals següen COMP comu sentació ts amb la seva repres • AVALUACIÓ entació a la recta 4tb)ESO real: [–5, :
Relaciona cada un a) ES [–5,2]• MATEMÀTIQU I)
Nom: Avaluació:
@)
–5
II)
–5
III) IV)
Data:
–3
–2
–1
0
1
2
–4
–3
–2
IÓ QUALIFICAC
–1
0
1
2
–6
–5
–4
–3 S –2 RE–1 MB NO
–5
–4
–3
–2
UNITAT 1 •
itat ura de l’electric
La fact
A la factura
Grup d) (–5,2)
c) [– @, 2)
–4
els
de la llum tenim
–1
REALS
0
0
1
1
2
2
Càlcul
h 0,151425 €/kW 315 kWh × €/kW dia dies × 0,135713 contractada) 3,3 kW × nre. um + potència de (cost de cons 5,112696 % 6721 €/dia Nre. dies × 0,02 rior l’ante suma de tot 21 % sobre la
Concepte Consum
actada Potència contr l’electricitat Impost sobre ips de mesura Lloguer d’equ IVA
itat 1 UES • Un
nt i raoname dimensió entació RÚBRIQ blemes, res de pro nicació i rep olució mu sió res ensió co Dimen dim i s ion ent connex tat 1 d’assolim Pàgina
26,
Activi
Nivell t Avança 3 (75 %)
Aprenent 2 (50 %)
1. L’última factura
sió , dimen
prova
Novell 1 (25 %)
correspon a
,amb Entenc ts, allò més Expert dificulta del Sé triar iat ors es ) nt de l’enunc les dad importa del Descript 4 (100 % Sé triar blema. iat es l’enunc faig pro les dad 30 % sobre la a i em Extrec ació i problem prepar tació i de lots una idea de què sobre la 1. Interpre ribució del què de la ació i dist de i par ació iat pre ana lots unc identific re ció de nc dem per de l’en ció sob distribu iat del a i ente cal fer informa ació i problem ’l. l’enunc i què resoldre la prepar de lots de demana a i faig ció ió què problem per ntac distribu rese cal fer eix una rep ’l. que ofer del de resoldre el iat a partir Afronto l’enunc iat. a, penso a. l’enunc el s problem problem Estudio nes idee a, penso en algu el problem e rinar la Estudio sèri per esb lots a, en una ció de el problem un pla per distribu Estudio d’idees bleixo ges de a, esta mar ió la blem la r i els pro rina 30 % rinar pla vo de 2. Aplicac s per esb lots esb ribució de lots guany i pro enyo un ègie ció de ar-les dist d’estrat per diss esbrinar la ribu de olup es dist ges tiqu de desenv ultats. per de lots i els marges i els mar matemà de ribució i provo r la amb dific i el guany es. esbrina lots dist marges de guany olupar-l ció de i els olupo. desenv distribu amics i el desenv guany, entre els olupo amb ges de desenv i, un cop els mar at seguret asso el guany. rep resolt, iment amb ts per proced dificulta es r Tinc detall. tejar nov planteja Provo de guntes i plan tes i pregun algunes noves pre es. Plantejo i es problem tes problem noves 10 % pregun ats amb Plantejo i es relacion de tes problem ions eració pregun ats amb el express 3. Gen cion en es s rela i tes problem braique ions pregun ats amb el alge express d’una es en el relacion iques en context problem ions algebra d’una ativa express s en el context d’una cooper context braique ca. ativa a alge lògi per ativ eco coo d’una cooper ca. context ca. ecològi es ativa ecològi de quin cooper Dubto ca. racions cal ecològi les ope enc que r són fer per ons Ent tejar i realitza que cal operaci plan r la 15 % Aplico esbrina lots per algunes i resolc ció de per diverses distribu amics. Plantejo racions per r la ope de rina ació els esb e tificació de lots esbrinar la una equ 4. Iden lots entr ribució r la ció de s esbrina lots dist e els amics. distribu amics. les idee ció de entr tiques distribu amics. entre els matemà s amb els e ade entr relacion ultats per ns Tinc dific cions situacio nes.. lica fer exp càlculs. quotidia Provo anyar els sobre els anyo els d’acomp 15 % Acomp amb amb càlculs anyo els càlculs cions. Acomp cions explica amb explica ció dels càlculs ores. s 5. Explica ned cion nts explica i precises. ente raoname s tics per senzille matemà les obtenir del s solucion sobre la a problem en la compra ativa cooper ca. ecològi
ent i prova, problemes, dimensió raonam ntació Dimensió resolució de i represe dimensió comunicació dimensió connexions i
3
Gairebé sempre
2
De vegades
1
Mai
IVA
MATEMÀ TI
Nom:
Pàgina 36, activitat 2
iva xifra significat (pren com a ació de l’IVA s en l’aproxim 4t ESO absolut comè • AC
QUES •
2. Calcula l’error
TIVITATS
tèsima):
L’error absolut Interpreto la informació continguda en l’enunciat del problema.
és <
ITA és <T 1 • NO
3 2
CORDA
Transformo expressions aritmètiques en altres d’equivalents més senzilles i en calculo el resultat.
MBRES
EL QUE
1
REALS
ÉS ESSE
NCIAL
S REALS
NOMBRE
S RACIONA Són els que LS es poden expr .................. .................. essar com a ...... ... .................. .............. : 0,125 = 12,333… =
1
NOM
SIÓ
Raono les meves opinions i els procediments que utilitzo.
NOMBRE
S IRRACION
L’expressió ALS decimal d’un .................. nombre irrac .................. ional és .................. : z3 = ...... .............. .................. .................. .....
exemple
INTERVA
EXPRES
(a, b)
LS I SEM IREC
TES
NOMBRE
S QUE COM PRÈ
N
REPRES
ENTACIÓ
EXEMPL
E
[a, b] (a, b] [a, b)
properes.
2
:
NOMBRE
exemples
Efectuo operacions amb fraccions en situacions
RÇ
Grup:
relatiu L’errorRE
la cen-
DE REFO
l’IVA ació de Data:
s en l’aproxim
relatiu comè
ula l’error 3. CalcUN
4
Represento nombres grans i petits en notació científica.
o: a cèntims d’eur
actada Potència contr l’electricitat Impost sobre ips de mesura Lloguer d’equ
4 Sempre
DIANES • Unitat 1
s, aproximant
ula’n els total
61 dies. Calc
1
Total
Concepte Consum Pes
3
ents: conceptes segü
(– @, b) (– @, b] (a, + @) [a, + @)
Faig servir argumentacions per justificar les meves afirmacions.
1
1
9
UN CURRÍCULUM
M T E CO P ENCIAL
» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES » COMPETÈNCIES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC » ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS)
UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL
» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES Les competències Una competència és el resultat d’integrar coneixements, habilitats i actituds d’una manera pràctica i saber-les aplicar a contextos diversos, siguin de l’àmbit acadèmic o de l’àmbit no acadèmic. Les competències són, per tant, combinacions de coneixements, habilitats i actituds adquirides que interactuen per donar una resposta eficient al treball o a l’activitat que es duu a terme. L’objectiu principal de l’aprenentatge és el desenvolupament de les competències. La nomenclatura de les competències que utilitzem en aquesta Guia d’aula és la que estableix el Departament d’Ensenyament en el document Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic. Les competències s’han de considerar totalment integrades amb els continguts del currículum. Per a l’adquisició de cada competència són necessaris continguts molt diversos que s’hauran d’anar assolint progressivament al llarg dels cursos. Les competències de cada àmbit de coneixement s’estableixen per a tota l’etapa educativa; per tant, la seva adquisició s’haurà d’anar consolidant amb els aprenentatges que es vagin aconseguint en els diversos cursos de l’ESO. Cal assenyalar que no totes les activitats que requereix un alumne per assolir plenament els continguts tenen un caràcter competencial. També són necessàries les activitats d’aplicació directa dels continguts. En l’apartat d’aquesta guia «Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions» trobareu una relació de les activitats proposades en el llibre agrupades per dimensions. Sovint les activitats proposades es relacionen amb més d’una dimensió i posen en joc diverses competències, però en aquesta programació s’ha volgut indicar la dimensió que té més rellevància en cada activitat. En el cas de les activitats que pertanyen a la secció «Matemàtiques en context», excepcionalment indiquem totes les dimensions que hi intervenen, ja que proposem aquestes activitats per avaluar per dimensions mitjançant l’aplicació AvaluApp.
COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ
DIMENSIÓ
RAONAMENT RESOLUCIÓ I PROVA DE PROBLEMES
CONNEXIONS
13
UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL
Les rúbriques Les rúbriques són eines d’autoavaluació dels alumnes que serveixen perquè siguin conscients del seu nivell d’aprenentatge, però també són una eina excel·lent per al docent per copsar la percepció que cada alumne té d’aquest aprenentatge i, si cal, establir estratègies perquè millorin. Es poden fer servir en l’avaluació de determinades activitats i descriuen les característiques específiques d’aquella activitat en diversos nivells de rendiment, per tal d’aclarir allò que s’espera del treball de l’alumne, valorar-ne l’execució i facilitar el feedback (retroalimentació). Així, doncs, la rúbrica és un instrument d’avaluació que no solament serveix per al docent, que la utilitza per mostrar a l’alumnat, d’una manera clara, el que es valorarà d’aquella tasca i com hi poden arribar, sinó també per a l’alumne, ja que facilita l’autoreflexió i la seva implicació activa i, per tant, és una eina per guiar-ne l’aprenentatge. A més, la rúbrica pot ser motivadora si orienta l’alumnat sobre com pot millorar. Si es vol que sigui una eina potent per a l’aprenentatge de l’alumnat, cal involucrar-lo en la seva elaboració, posada en pràctica i revisió. En aquest programa de Matemàtiques posem a l’abast del docent diferents rúbriques perquè les pugueu fotocopiar, comentar i lliurar a cada un dels vostres alumnes abans de fer l’activitat a què es refereix i, si ho creieu convenient, modificar-la conjuntament, de manera que sigui una mena de contracte entre docent i alumnat. Per a cada descriptor s’estableix una gradació en quatre nivells, cada un amb un valor: expert (4), avançat (3), aprenent (2) i novell (1), i s’estableix un percentatge per a cada ítem, de manera que, tots sumats, arribin a 100. Si d’una competència indiquem que té un percentatge del 5 %, l’alumne que marqui l’opció expert obtindrà el 100 % del percentatge de la nota, és a dir, un 5 %; el que hagi marcat l’opció avançat obtindrà un 75 % del 5 %, és a dir, un 3,75 ; l’aprenent, un 50 % del 5 %, és a dir, un 2,5 %, i el novell, un 25 % del 5 %, és a dir, un 1,25 %. Sumats els valors obtinguts per a cada ítem, tindrà el valor global d’assoliment d’aquella activitat i el percentatge corresponent a cada competència. Tant els descriptors de les competències —o ítems— com RÚBRIQUES • Unitat 1 els percentatges que hem atorgat a cada un els podeu modificar segons el vostre criteri. El que cal és que, repartits els percentatges, el total faci 100. També, a partir d’aquests models, vosaltres mateixos podeu elaborar rúbriques per a altres activitats o treballs del vostre alumnat. Dimensió resolució de problem es, dimensió raonament i prova, dimensió connexions i dimensió comunic ació i representació
Pàgina 26, Activitat 1 Descriptors
1. Interpretació i identificació de la informació sobre la preparació i distribució de lots que ofereix l’enunciat del problema.
Expert 4 (100 %)
Extrec les dades sobre la preparació i distribució de lots de l’enunciat del problema i faig una representació a partir de l’enunciat.
2. Aplicació Estudio el d’estratègies problema, matemàtiques per dissenyo un pla esbrinar la per esbrinar la distribució de lots distribució de lots entre els amics i i els marges de els marges de guany, el guany. desenvolupo amb seguretat i, un cop resolt, repasso el procediment amb detall.
3. Generació de preguntes i problemes en el context d’una cooperativa ecològica.
4. Identificació de les idees matemàtiques relacionades amb situacions quotidianes..
5. Explicació dels raonaments matemàtics per obtenir les solucions del problema sobre la compra en la cooperativa ecològica.
Plantejo noves preguntes i problemes relacionats amb expressions algebraiques en el context d’una cooperativa ecològica.
Plantejo i resolc una equació per esbrinar la distribució de lots entre els amics.
Nivell d’assoliment Avançat Aprenent 3 (75 %) 2 (50 %)
Sé triar les dades sobre la preparació i distribució de lots de l’enunciat del problema i entenc què demana i què cal fer per resoldre’l.
Estudio el problema, estableixo un pla per esbrinar la distribució de lots i els marges de guany i el desenvolupo.
Plantejo algunes preguntes i problemes relacionats amb expressions algebraiques en el context d’una
cooperativa ecològica.
Aplico operacions diverses per esbrinar la distribució de lots entre els amics.
Acompanyo els Acompanyo els càlculs amb càlculs amb explicacions explicacions senzilles i precises. entenedores .
Novell 1 (25 %)
Sé triar allò més Entenc,amb important de dificultats, l’enunciat del l’enunciat del problema i em faig problema. una idea de què demana i de què cal fer per resoldre’l.
Estudio el problema, penso en una sèrie d’idees per esbrinar la distribució de lots i els marges de guany i provo de desenvolupar-les.
Afronto el problema, penso en algunes idees per esbrinar la distribució de lots i els marges de guany i provo de desenvolupar-les amb dificultats.
Provo de plantejar noves preguntes i problemes relacionats amb expressions algebraiques en el context d’una cooperativa ecològica.
Tinc dificultats per plantejar noves preguntes i problemes.
Pes
30 %
30 %
10 %
Entenc que cal plantejar i realitzar algunes operacions per esbrinar la distribució de lots entre els amics.
Dubto de quines són les operacions que cal fer per esbrinar la distribució de lots entre els amics.
Provo d’acompanyar els càlculs amb explicacions.
Tinc dificultats per fer explicacions sobre els càlculs.
15 %
15 %
2
14
Les dianes La diana d’autoavaluació és una altra eina que ens permet avaluar les competències d’una activitat que considerem rellevant, d’una manera ràpida i àgil, a partir de la percepció que l’alumne té del seu aprenentatge. És una eina més senzilla que la rúbrica però, de vegades, és suficient. La representació de la diana presenta quatre cercles concèntrics, que determinen el grau d’assoliment de les competències que es volen avaluar, amb una numeració de l’1 al 4: al cercle més intern li correspon l’1 i al més extern, el 4. Vindrien a ser els graus d’assoliment de les rúbriques (expert, avançat, aprenent i novell). Aquesta diana es divideix en tants sectors com descriptors de les competències o ítems es vulguin avaluar. Cada línia que separa els sectors representa un dels ítems. De vegades es posa el descriptor de la competència a la part externa del cercle o, si no hi ha espai, un número i la llegenda corresponent a cada un dels ítems al costat de la diana. Per fer l’autoavaluació, l’alumne ha de valorar si l’ítem corresponent l’ha assolit de manera excel·lent (Sempre), bé (Gairebé sempre), suficient (De vegades) o cal que s’ho revisi (Mai) segons el que indiqui la llegenda de la diana, i marcar un punt en la intersecció entre la línia de l’ítem i el cercle de la numeració corresponent. Quan l’alumne ha valorat tots els ítems, ha de traçar una línia per unir tots els punts i pintar l’àrea del polígon resultant. Com més gran sigui l’àrea, més assoliment hi ha de les competències de l’activitat que s’avalua. Finalment, els alumnes poden comparar el dibuix resultant de la seva diana amb el de la resta dels companys i companyes.
eració
m a de nu 1 • Sistem al • Unitat sim ge xa se DIANES a i sistem es decimal problem
pre 4 Sem
ireb é 3 Ga
2 1
DIANES • decimal Unitat 1 • Sist ema d i sist
sem pre
De veg ade
ema se Dimens xagesim e numeració ió reso luc dimens al ió conn ió de problem exions Pàgina i dimens es, dimensió 27, activ raonam ió comu itat 3 ent nicació i repres i prova, entació
s
Ma i
olució de
ió res Dimens
ivitat a 27, act
Pàgin
2
ació o la inform t del Interpret uncia da en l’en io les contingu i en destr rinar problema per esb s ant lev . dades rel les caixes sions de les dimen
o Transform s en altres fraccion s lents mé d’equiva en i es senzill at el result calculo el rar pa per com les volum de caixes.
o les Aproxim ns de les dimensio re un nomb caixes a de xifres nat mi deter no tives i do significa r absolut rro d’e fites relatiu. i d’error
4 3
Utilitzo ns expressio de la pròpies ia per geometr ea l’àr calcula de i el volum . les caixes
Expresso verbalm ent i pe r escrit, am b precisió, els meus res ultats i conclus ions.
Interpret o la inform conting ació ud problema a en l’enuncia t del i anoto les dade dona so s que bre la dis tribució focus en dels el sostr e del tún el.
4 3
2
2
1
1
Faig ser vir argumen tac per justifi ions car les meves afirmac ions.
Efectuo ns amb operacio per radicals les calcular ns de sio dimen . xes les cai
4 Sem pre 3 2 1
Ga ireb é sem pre De veg ade s
Ma i
Utilitzo expressi ons pròpies de la geometr ia per calcular la posició exacta dels foc us i el perímetr e de la secció que il·lumine n.
Faig ser vir el coneixe ment matem àtic per trobar la relac ió entre la superfície del tún i la secció el d’il·lumi nació de cada focus.
2
3
15
COMPETÈNCIES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC » MATEMÀTIQUES
C1
Competència 1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.
C2
Competència 2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.
C3 C2
Competència 3. Mantenir una actitud de recerca davant d’un problema assajant estratègies diverses.
C4
Competència 4. Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes.
C5
Competència 5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.
C6
Competència 6. Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics.
C7
Competència 7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.
C8
Competència 8. Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.
C9
Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.
C10
Competència 10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.
C11
Competència 11. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir coneixement a partir d’idees matemàtiques.
C12
Competència 12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.
DIMENSIONS
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES
RAONAMENT I PROVA
CONNEXIONS
COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ
16
UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL
» ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS) Els objectius de desenvolupament sostenible (ODS) són una crida universal per a l’acció per posar fi a la pobresa, protegir el planeta i garantir que totes les persones tinguin accés a l’educació, la igualtat, l’aigua, l’energia neta, la pau i la prosperitat. Es tracta d’un pla de mesures amb 17 objectius i 169 metes per aconseguir un món més igualitari i habitable i que s’haurien de complir abans de 2030. Aquests objectius porten implícit un esperit de col·laboració i pragmatisme amb la finalitat de millorar la vida, de manera sostenible, de les generacions futures. A més, en si mateixos són una agenda inclusiva en tant que tracten les causes fonamentals de la pobresa i uneixen tots els estats que hi participen per aconseguir així un canvi positiu en benefici de les persones i del planeta. La lluita contra el canvi climàtic és un element transversal i decisiu que influeix en tots els aspectes del desenvolupament sostenible i l’Agenda 2030. Fer conscient l’alumnat dels reptes imminents plantejats en els objectius de desenvolupament sostenible en aquest programa pedagògic proporciona un marc de treball a partir del qual articular aprenentatges competencials que activin l’alumne, no tan sols quant al saber sinó també pel que fa al saber fer i al saber ser, i reforcin la seva preparació com a futurs ciutadans compromesos amb la realitat del seu temps. La primera forma de contribuir a la consecució d’aquests ODS és contribuir a augmentar la consciència pública d’aquests en tots els àmbits, i l’aula és un espai fonamental d’aprenentatge de la convivència de les generacions futures. L’Agenda Educativa 2030, sorgida del Fòrum Educatiu Mundial celebrat a Inch’ŏn, República de Corea (UNESCO, 2015; Nacions Unides, 2015), va situar l’educació com una de les eines fonamentals per forjar un desenvolupament que sigui a la vegada sostenible, inclusiu, just, pacífic i cohesiu.
17
UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL
Els 17 objectius de desenvolupament sostenible
18
U S V DE EN OL PAMENT
O DEL PR JECTE
» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES » TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA » DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES BLOC I. NUMERACIÓ I CÀLCUL
1
NOMBRES REALS
1. Nombres irracionals* 2. Nombres reals: la recta real 3. Trams de la recta real: intervals i semirectes 4. Arrels i radicals 5. Nombres aproximats. Errors 6. Nombres en notació científica. Control de l’error 7. Logaritmes* Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova
BLOC II. CANVI I RELACIONS
2 3 20
POLINOMIS I FRACCIONS ALGEBRAIQUES 1. Polinomis. Operacions 2. Regla de Ruffini 3. Arrel d’un polinomi. Cerca d’arrels 4. Factorització de polinomis 5. Divisibilitat de polinomis 6. Fraccions algebraiques 7. Descompondre una fracció algebraica en fraccions elementals Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova
EQUACIONS, INEQUACIONS I SISTEMES 1. Equacions 2. Sistemes d’equacions 3. Inequacions amb una incògnita* Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova
4
FUNCIONS. CARACTERÍSTIQUES
5
FUNCIONS ELEMENTALS
1. Conceptes bàsics 2. Com es presenten les funcions 3. Domini de definició 4. Funcions contínues. Discontinuïtats 5. Creixement, màxims i mínims 6. Tendència i periodicitat Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova
» REPTE 1r TRIMESTRE: Visita al museu de la ciència
1. Funcions lineals 2. La paràbola: una corba molt interessant 3. Funcions quadràtiques 4. Funcions amb valor absolut 5. Funcions radicals 6. Funcions de proporcionalitat inversa 7. Funcions exponencials 8. Funcions logarítmiques* Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova
BLOC III. ESPAI, FORMA I MESURA
6
SEMBLANÇA. APLICACIONS 1. Semblança 2. Homotècia 3. Rectangles de dimensions interessants 4. Semblança de triangles 5. La semblança en els triangles rectangles 6. Semblança de triangles rectangles en cossos geomètrics Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova
21
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
7
TRIGONOMETRIA* 1. Raons trigonomètriques d’un angle agut 2. Relacions trigonomètriques fonamentals 3. Utilització de la calculadora en trigonometria 4. Resolució de triangles rectangles 5. Resolució de triangles no rectangles 6. Raons trigonomètriques de 0° a 360° 7. Angles de mesures qualssevol. Raons trigonomètriques Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova
GEOMETRIA ANALÍTICA*
8
1. Vectors en el pla 2. Operacions amb vectors 3. V ectors que representen punts 4. Punt mitjà d’un segment 5. Comprovació que tres punts estan alineats 6. Equacions de la recta 7. Rectes. Paral·lelisme i perpendicularitat 8. Rectes paral·leles als eixos de coordenades 9. Posicions relatives de dues rectes 10. Distància entre dos punts 11. Equació d’una circumferència Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova
» REPTE 2n TRIMESTRE: Preparació d’una missió espacial
BLOC IV. ESTADÍSTICA I ATZAR
9 22
ESTADÍSTICA 1. L’estadística i els seus mètodes 2. Taules de freqüències 3. Paràmetres estadístics: x– i σ 4. Paràmetres de posició per a dades aïllades 5. Paràmetres de posició per a dades agrupades 6. Diagrames de caixa 7. Estadística inferencial 8. Estadística en els mitjans de comunicació Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova
10 11 12
DISTRIBUCIONS BIDIMENSIONALS 1. Distribucions bidimensionals 2. El valor de la correlació 3. La recta de regressió per fer estimacions 4. Reflexionem: la correlació significa causa-efecte? 5. Distribucions bidimensionals amb calculadora Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova
COMBINATÒRIA* 1. Estratègies basades en el producte 2. Variacions i permutacions (importa l’ordre) 3. Quan no hi influeix l’ordre. Combinacions 4. Un triangle numèric interessant Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova
CÀLCUL DE PROBABILITATS 1. Esdeveniments aleatoris 2. Probabilitats dels esdeveniments. Propietats 3. Probabilitats en experiències simples 4. Probabilitats en experiències compostes 5. Composició d’experiències independents 6. Composició d’experiències dependents* 7. Taules de contingència Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova
» REPTE 3r TRIMESTRE: Organització de la setmana cultural
*NOTA: Les unitats o apartats assenyalats amb un asterisc (*) són específics dels ensenyaments acadèmics.
23
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA El currículum estableix 140 hores per a la matèria de Matemàtiques de 4t d’ESO. Es fa difícil establir una temporització que sigui aplicable a tots els grups, perquè els ritmes d’aprenentatge solen ser diversos. D’altra banda, pot haver-hi alguna part de l’alumnat que, per les seves característiques, no treballi tots els continguts i activitats que presentem. És per això que la temporització que oferim aquí només és orientativa. Els tres reptes trimestrals que es presenten estan pensats perquè els alumnes els facin a casa; tanmateix, en aquesta temporització els destinem 2 hores per a una posterior posada en comú a l’aula.
UNITAT 1 Presentació. Resol 1. Nombres irracionals
1h
UNITAT 3 Presentació. Resol 1. Equacions
HORES LECTIVES 3h
2. Nombres reals: la recta real
1h
3. T rams de la recta real: intervals i semirectes
2h
4. Arrels i radicals
2h
5. Nombres aproximats. Errors
1h
6. N ombres en notació científica. Control de l’error
1h
7. Logaritmes
1h
Presentació. Resol
Matemàtiques en context
1h
1. Conceptes bàsics
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
2. Com es presenten les funcions
2h
3. Domini de definició
1h
UNITAT 2 Presentació. Resol 1. Polinomis. Operacions
24
HORES LECTIVES
HORES LECTIVES 1h
2. Regla de Ruffini
1h
3. Arrel d’un polinomi. Cerca d’arrels
2h
4. Factorització de polinomis
1h
5. Divisibilitat de polinomis
1h
6. Fraccions algebraiques
1h
7. Descompondre una fracció algebraica en fraccions elementals
2h
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
2. Sistemes d’equacions
3h
3. Inequacions amb una incògnita
3h
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
UNITAT 4
HORES LECTIVES 1h
4. Funcions contínues. Discontinuïtats
1h
5. Creixement, màxims i mínims
2h
6. Tendència i periodicitat
2h
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
Repte 1r trimestre: Visita al museu de la ciència
2h
UNITAT 5 Presentació. Resol 1. Funcions lineals
HORES LECTIVES 2h
UNITAT 7 Presentació. Resol 1. Raons trigonomètriques d’un angle agut
HORES LECTIVES 2h
2. La paràbola: una corba molt interessant
1h
2. Relacions trigonomètriques fonamentals
1h
3. Funcions quadràtiques
2h
4. Funcions amb valor absolut
1h
3. Utilització de la calculadora en trigonometria
1h
5. Funcions radicals
1h
4. Resolució de triangles rectangles
1h
6. Funcions de proporcionalitat inversa
1h
5. Resolució de triangles no rectangles
1h
7. Funcions exponencials
1h
6. Raons trigonomètriques de 0° a 360°
2h
8. Funcions logarítmiques
1h
Matemàtiques en context
1h
7. Angles de mesures qualssevol. Raons trigonomètriques
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
UNITAT 6 Presentació. Resol 1. Semblança
HORES LECTIVES 1h
UNITAT 8 Presentació. Resol
HORES LECTIVES 1h
2. Homotècia
1h
1. Vectors en el pla
3. Rectangles de dimensions interessants
1h
2. Operacions amb vectors
1h
4. Semblança de triangles
2h
3. Vectors que representen punts
1h
5. La semblança en els triangles rectangles
2h
4. Punt mitjà d’un segment
1h
6. S emblança de triangles rectangles en cossos geomètrics
2h
5. Comprovació que tres punts estan alineats
1h
Matemàtiques en context
1h
6. Equacions de la recta
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
7. Rectes. Paral·lelisme i perpendicularitat
1h
8. R ectes paral·leles als eixos de coordenades
1h
9. Posicions relatives de dues rectes
1h
10. Distància entre dos punts
1h
11. Equació d’una circumferència
1h
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
Repte 2n trimestre: Preparació d’una missió espacial
2h
25
UNITAT 9 Presentació. Resol 1. L’estadística i els seus mètodes
1h
2. Taules de freqüències
1h
3. Paràmetres estadístics: x̄ i σ
1h
4. P aràmetres de posició per a dades aïllades
2h
UNITAT 11 Presentació. Resol 1. Estratègies basades en el producte
HORES LECTIVES 3h
2. V ariacions i permutacions (importa l’ordre)
2h
3. Quan no hi influeix l’ordre. Combinacions
2h
4. Un triangle numèric interessant
2h
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
5. P aràmetres de posició per a dades agrupades
2h
6. Diagrames de caixa
1h
7. Estadística inferencial
1h
8. E stadística en els mitjans de comunicació
1h
Presentació. Resol
Matemàtiques en context
1h
1. Esdeveniments aleatoris
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
2. P robabilitats dels esdeveniments. Propietats
1h
3. Probabilitats en experiències simples
1h
4. Probabilitats en experiències compostes
1h
3h
5. Composició d’experiències independents
1h
2. El valor de la correlació
2h
6. Composició d’experiències dependents
1h
3. L a recta de regressió per fer estimacions
7. Taules de contingència
1h
2h
Matemàtiques en context
1h
4. R eflexionem: la correlació significa causa-efecte?
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
1h
5. D istribucions bidimensionals amb calculadora
2h
1h
Repte 3r trimestre: Organització de la setmana cultural
Matemàtiques en context
1h
Taller de matemàtiques. Posa’t a prova
1h
UNITAT 10 Presentació. Resol 1. Distribucions bidimensionals
26
HORES LECTIVES
HORES LECTIVES
UNITAT 12
HORES LECTIVES 1h
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
» DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS » UNITAT 1. ELS NOMBRES REALS Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions Dimensió resolució de problemes COMPETÈNCIES
CRITERIS
C1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.
1. L’alumne ha de ser capaç de resoldre problemes de la vida quotidiana, d’altres matèries i de les mateixes matemàtiques utilitzant diferents tipus de nombres (racionals i irracionals), símbols i mètodes algebraics, i avaluar altres mètodes de resolució possibles, com, per exemple, l’assaig error o bé el càlcul numèric amb mitjans tecnològics.
C2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes. C4. Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes.
INDICADORS 1.1. Tradueix un problema a llenguatge matemàtic utilitzant gràfics, expressions aritmètiques o expressions algebraiques senzilles. 1.2. Empra conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes, explicant el procés i comprovant la raonabilitat de la solució. 1.3. Genera preguntes o problemes que impliquin connexions i que siguin coherents amb el context en què es planteja.
CONTINGUTS - Nombres racionals i irracionals. El nombre 2 . El nombre auri. El nombre π. - Arrels i radicals. Forma exponencial. Potències.
ACTIVITATS Resol: 1 Aplica el que has après: 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24 Observa, raona i resol: 1, 2
Exercita les teves competències: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, - Propietats dels radicals. Operacions 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 amb radicals. Racionalització de Matemàtiques en denominadors. context: 1, 2, 3 - Nombres aproximats. Error absolut i error relatiu.
Posa’t a prova: 1, 4, 5
- Logaritmes. Propietats dels logaritmes.
27
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 Dimensió raonament i prova COMPETÈNCIES
CRITERIS
C5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.
7. L’alumne ha de ser capaç de planificar i utilitzar processos de raonament i estratègies de resolució de problemes, com la realització de conjectures, la seva justificació i generalització, així com la comprovació, el tempteig i el contrast amb diverses formes de raonament al llarg de la història de les matemàtiques.
INDICADORS 7.1. Empra processos de raonament i estratègies de resolució de problemes per construir argumentacions matemàtiques, les expressa amb precisió i les contrasta amb les dels altres.
CONTINGUTS - Tipus de nombres. Significat dels nombres reals. - Significat de les potències i de les arrels.
ACTIVITATS Aplica el que has après: 1, 2, 3, 4, 19 Exercita les teves competències: 1, 2, 7, 30, 32, 33, 41, 42, 43 Taller de matemàtiques: Llegeix i comprèn. Descobreix Posa’t a prova: 7
7.2. Fa generalitzacions o concrecions tot realitzant conjectures, comprovant-les i justificant-les. 7.3. Identifica exemples o contraexemples per justificar o rebutjar afirmacions matemàtiques.
C6. Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics.
8. L’alumne ha de ser capaç d’analitzar i avaluar les estratègies i el pensament matemàtic dels altres, a través del treball per parelles o en grup o bé la posada en comú amb tota la classe.
8.1. Expressa amb precisió les seves argumentacions matemàtiques emprant els recursos adients. 8.2. Contrasta les argumentacions pròpies amb les dels altres. 8.3. Avalua les estratègies pròpies i dels altres i les incorpora al seu aprenentatge.
28
- Plantejament de problemes en situacions de la vida quotidiana. - Ús de potències, arrels i notació científica en situacions de la vida quotidiana.
Aplica el que has après: 20, 22 Matemàtiques en context: 1, 3
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE Dimensió connexions COMPETÈNCIES C7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.
C8. Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.
CRITERIS
INDICADORS
CONTINGUTS
ACTIVITATS
9. L’alumne ha de ser capaç d’usar les relacions entre les diverses parts de les matemàtiques (nombres i geometria), que afavoreixin l’anàlisi de situacions i el raonament.
9.1. Usa les relacions - Relació entre els entre les diverses diferents tipus parts de les de nombres matemàtiques per i les maneres analitzar situacions i d’expressar-los. construir raonaments. - Càlcul manual i 9.2. Empra mental. el llenguatge matemàtic, així com els conceptes i els procediments transversals, per analitzar situacions i construir raonaments.
Aplica el que has après: 9, 11
10. L’alumne ha de ser capaç de reconèixer models numèrics (racionals i irracionals) en contextos no necessàriament matemàtics o en d’altres matèries i utilitzar les seves característiques i propietats per resoldre situacions que apareixen en treballs per projectes realitzats des de la pròpia àrea o de manera interdisciplinària.
10.1. Reconeix models o estructures matemàtiques (especialment models numèrics) en contextos diaris, de l’entorn o d’altres disciplines.
Exercita les teves competències: 34, 38
- Models numèrics. - Processos de treball propis de les matemàtiques.
Exercita les teves competències: 9, 10, 29, 35, 36, 37, 39, 40 Matemàtiques en context: 1, 3 Posa’t a prova: 8
Matemàtiques en context: 4
- Aplicació de les matemàtiques a situacions reals.
10.2. Empra els coneixements, les eines i la forma de treballar de les matemàtiques per analitzar situacions quotidianes o relacionades amb altres matèries.
29
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 Dimensió comunicació i representació COMPETÈNCIES
CRITERIS
C10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.
11. L’alumne ha de ser capaç d’expressar verbalment i per escrit, amb precisió, raonaments, relacions quantitatives i informacions que incorporin elements matemàtics, simbòlics o gràfics, valorant la utilitat del llenguatge matemàtic i la seva evolució al llarg de la història.
11.1. Expressa, verbalment i per escrit, conceptes i relacions matemàtiques fent servir el llenguatge matemàtic amb precisió.
12. L’alumne ha de ser capaç de seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.
12.1. Valora el potencial i les limitacions de diverses tecnologies per cercar, recollir, tractar i mostrar informació.
C12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.
30
INDICADORS
11.2. Interpreta les representacions matemàtiques dels altres i les contrasta amb les seves pròpies.
12.2. Selecciona tecnologies diverses amb criteris d’idoneïtat i les fa servir per gestionar i visualitzar la informació. En particular, utilitza de manera adequada la calculadora, així com programari lliure de geometria dinàmica.
CONTINGUTS - Representació de nombres racionals i irracionals, així com d’intervals i semirectes, en la recta real.
ACTIVITATS Aplica el que has après: 5, 6, 7, 8 Exercita les teves competències: 3, 4, 5, 6, 8, 31
Matemàtiques en - Expressió oral context: 1, 3 i escrita dels conceptes associats Posa’t a prova: 2 a les operacions aritmètiques.
- Coneixement de l’ús Aplica el que has de la calculadora après: 21, 25 en mode notació Posa’t a prova: 3, 6 científica. - Coneixement de l’ús de les tecles de la calculadora per calcular logaritmes. - Ús d’eines digitals (cercadors d’internet i programari lliure de geometria dinàmica: GeoGebra).
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE Pàgina 11
C O N T I N G U T S C L A U D E L E S C O M P E T È NCI E S
Aplica el que has après
CC1. Sentit del nombre i de les operacions. CC3. Càlcul (mental, estimatiu, algorísmic, amb calculadora).
2.
Solucionari
1 2
F a b = 1
5 2
a b
1/2
Pàgina 9
5 1 Φ = a + b =— 1 + 2 √5 2 b
1. a) Per exemple:
2 3
–3
4.
a a2 → 3 = 2 → 3b2 = a2 b b 2 Arribem a una contradicció: 3b conté el factor 3 un nombre imparell de vegades, fet que contradiu que a2 el contingui un nombre parell de vegades. b) i c) Són el resultat d’operar racionals amb un irracional i, per tant, són nombres irracionals. d) Raonant com a l’apartat a, si 8 és racional: a 8 = → 8b2 = a2 → 23 · b2 = a2 b Arribem a una contradicció, ja que 23 · b2 conté el factor 2 un nombre imparell de vegades, fet que contradiu que a2 el contingui un nombre parell de vegades. e) És el resultat d’operar un racional amb un irracional i, per tant, és un irracional. 3=
1
Pàgina 12
2. NOMBRES REALS: LA RECTA REAL Aplica el que has après 5. a)
— √27
6
GeoGebra. Representació de nombres en la recta real. Trobareu aquesta activitat en el web www.espaibarcanova.cat.
— — √27 = √62 – 32
— √27
0
— √27
1
6
— √40
0
1
b)
— — √27 = √62 – 32
— √27
1
5 1 + 2 2
De l’esquema obtenim la proporció: 1 x = x –1 1 D’aquí obtenim l’equació: x x 2 - x - 1 = 0 x – 1 l’única solució positiva de la qual és Φ.
Aplica el que has après
0
a 1 — 2
2F - 1 seria racional. 2F - 1 = 5 , que és irracional. Contradicció.
1. NOMBRES IRRACIONALS 3 és racional,
1 — 2
1
3. Si F fos racional, aleshores
Pàgina 10
1. a) Si
1
a — 1 √5 b— — 2 2
Φ=a+b=
–7 4
— 2
F
–1
3 — 4
1 — 2
F
Naturals: 2, 3, 4 Enters no naturals: -1, -7, -3 b) Per exemple: 3 1 -2 Racionals no enters: , , 4 2 3 No racionals: π; 2; 0,1010010001… 1 — 2 –2 — 3
b
1/2
Resol
c)
a =
F
— √40
0
1
2 — √40 7
31
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 Pàgina 13
3. TRAMS DE LA RECTA REAL: INTERVALS I SEMIRECTES Aplica el que has après 6. a) [5, 6]
5
b) (7, +∞)
–3
0
1
4
0
c) {x / x 1 - 4}
–4
Càlcul mental b) k = 5
c) k = 16/81
d) k = 10
2. a) -2
b) 2
c) -2
d) 0
Aplica el que has après
2 e)
3
4
f )
x 24/5
f ) j) a 1/3
g)
b) 5 e) 32
a $ 3 b d)
31 > 3 13 28
9 5
4x
2 3
b)
51 > 9 132.650
3
3 $ 3 2 c)
b)
3
3
b) 3ab 3b 2 c 1 e ) 5 9 2
5
a2 b3
c) 2 5 2
3 2 b) 2
10
23
c) a 4 d)
6
x 11
b) 7 3
5 2 b) 2
5$ 7 7
c)
3
4 2
5
2 33 d) e) 4 _ 3 – 2 i 3
Pàgina 17
5. NOMBRES APROXIMATS. ERRORS
9. a) x 1/5 b) x 10/3 c) a 2/5
32
c) y 2
18. a)
1. a) k = 8
c)
a –3
x2
17. a) 5
4. ARRELS I RADICALS
x 7 b)
5
3
16. a) 3
Pàgina 14
11. a) 9
h )
Aplica el que has après
6
d) 4
y6 z4
Pàgina 16
b) {x / 0 # x # 6}
10. a) 2
3
x 3 b)
15. a) 2x 3 d)
–1
e) i) x -6/5
f )
Pàgina 15
14. a) 15
8. a) {x / -1 1 x # 4}
x 1/6
a
13. a) 4
5
0
c) (-3, -1)
3
d)
3
b) [0, +∞)
g)
x5
12. a) 4 –5
7. a) [3, 5)
6
Aplica el que has après
6
7
c) (- ∞, -5]
e)
d) a 7/2 h) a 1/4
(-3)3/5
(m $ n)5
5 3
x2 =
15
19. a) F
b) F
20.
c) 5 f ) 216 3
Aplica el que has après
x2
ODS (2) És impossible aconseguir tanta precisió en els mesuraments. Expressió més adequada: 12 milions. Error absolut 1 500.000 Error relativu 1 4,2 %
GeoGebra. Intervals en la recta real. Trobareu aquesta activitat en el web www.espaibarcanova.cat.
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE Pàgina 18
Pàgina 21
6. NOMBRES EN NOTACIÓ CIENTÍFICA. CONTROL DE L’ERROR
EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES
Aplica el que has après
1. - 4 ∈ Z
21. a) 3,328
! 13 ; 2, 7 ∈ Q 6 1+ 3 5 ; π; ;e∈Á 2
109
b) 6,3 ⋅ d) 7,3773 ⋅ 1012
c) 4,372 ⋅ 107
22. a) dTS = 1,49 ⋅ 108 km; dTL = 3,844 ⋅ 105 km
152 ∈ N
Pàgina 19
2.
b) dTS = 1,5 ⋅ 1013 cm; dTL = 3,8 ⋅ 1010 cm
1
√
) 7, 23 3,5
11 — 9
7. LOGARITMES Aplica el que has après 23. a) 3
b) -2 e) 0
d) - 4
24. a) 100
b) 6
c)
d) 9
3. a) A =
OBSERVA, RAONA I RESOL 1. 2 – 11 2 2.
1 5
2
2; B=
3; C=
1
2
5; D=
6
1
log2 740 = ln 740 → l 740 )/l 2 = 9.531381461 ln 2 b) log3 100 → j 3 ”100 = 4.191806549
Pàgina 20
— √6
b)
25. a) log2 740 → j 2 ”740 = 9.531381461
log3 100 = ln 100 → l 100 )/l 3 = 4.191806549 ln 3 c) log5 0,533 → j 5 ”0.533 = -0.390964976 ln 0, 533 log5 0,533 = → l 0.533 )/l 5 = -0.390964976 ln 5
π — 4
— 1 – √2
c) 7 f ) - 4 5
— 1 — 4
–104
0
—
3 √ 10
4. A B
4
-2 0
0 1 6
C D -7 -3 0
0 5
E F 0 1
5. a) -3 # x # 2 –3
0
-1 0 b) 5 1 x (5, +∞)
[-3, 2]
2
0
5
0 2+∞) d)0 -2 # x 1 c)–3x $ -2 [-2, –2
0
–2
0
–2
0
–2
0
0 0
4
–3
0
–3
0
4
3 3 5 <–2, m 2 22
3 = 1,5 — 22 3 = 1,5 — 2
4
5
4
5 4,1
4,2
4,3
4,1
4,2
4,3
33
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 6. a) [-1, 3]
b) (1, 5] -1 # x # 3 1 1 x # 5
c) [-2, +∞) d) (- ∞, 4) x $ -2 x14
7. A + B = [-3, +∞) = { x / -3 # x}
b) 1,5 ⋅ 10-5
25. a) 1,4 ⋅ 1016
b) 2,4 ⋅ 1012 c) 5 ⋅ 1012 d) 3,82 ⋅ 10-5 1 2
A + B = (5, 7) = { x / 5 1 x 1 7}
26. a) 6
b)
8. a) (- 4, 2)
27. a) 100
b) 5
b) [3, 11]
Pàgina 22
28.
9. a) x 2/5 10. a)
b) 21/2
c) 102
3
3
5 b)
11. a) 27/6
(–3) 2 c)
d) 201/2
4 d) 3
c) 35/3
b) 3
12. a) a 9/10 b) x 1/6
4
a3
14. a)
3 b)
15. a) 6
17. a) 10 d)
2
31. a) (-1, 1) d)
4
b) 3a ab 3 c) 2a2 2 2a d)
8.748 b)
15 b)
12
2 5
b) (-3, 3) c) (-2, 8) d) (-3,5; -0,5) 32. a) 2,1 b) 1,7 c) -1,8 d) 0,25
4
ab 2
33. a) 1 + log x + 3 log y
2 a
3
3 a
2 c)
14
d) 338
19. a) -7
b) 23 - 4 15
20. a) 21/4 ⋅ 35/6
b) 25/3 ⋅ a -4/3
c) 4 2
Pàgina 23
21. a) d) –
completament. Error absolut 1 5 ⋅ 1010
35.
20 3
4
b) 3 log z + log y - 2 log x 1 1 c) 2 log x + log y + log z 2 2
34. Tardarà, aproximadament, 5 ⋅ 1011 segons a desaparèixer
c) 2 7 3
3 b)
5 u
30. a) x ! [7, +∞) b) x ! (- ∞, 5]
d) 51/4
c) a -3/4
a 2 c) a 3
c) 4
Pàgina 24
b) a 2 12 a
16. a) 2a 3
18. a)
3
c ) -3 d) -3
5 6
29. Perímetre de ABC = 5 + 3
13. a) x = -7 b) x = - 8
2 10 + 20 c) 10
3
6 4
3 _1 – 3 i a– a e) -3 + 2 2 f ) 2 a –1
22. a) 2 3 3 b) 5 4 2 23. a) 5 ⋅ 104 b) 5 ⋅ 103 c) 5 ⋅ 10-6 d) 5 ⋅ 10-8 El menor error relatiu correspon a d), i el més gran a a ).
34
24. a) 3 ⋅ 1012
8 6 cm 3
36. a) R =
2 m; r = 2 - 2 cm r b) = 2 -1 R c) P = 4π m; A = 8 - 8π + 4π 2
37. a) 1,544 · 1017 km
b) La nau espacial tardaria 7,72 · 1013 segons a travessar la galàxia, o 2,45 mil·lenis. c) Aproximadament 1,2 · 1035 electrons.
Pàgina 25
38.
ODS (3)
Surten del rang de valors de referència els leucòcits i la creatinina.
UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE 39. 4
3 cm3
40. 2
5 cm
e) Una altra pregunta podria ser: Quin benefici obtenien quan el marge de guany era de 2 € per lot? Fes-ho per dos procediments diferents. Procediment 1: 42 · 2 = 84 € de benefici. Procediment 2: benefici = cobrat per lots - cost dels lots Benefici = 924 - (42 · 20) = 924 - 840 = 84 € de benefici.
41. Resposta oberta. Per exemple: a) B = (- 2, 0] i C = (0, 7] b) B = (- ∞, 0] i C = (- 1,+∞)
Pàgina 27
42. En (-1, 7). 43. a) F
b) V
c) F
d) F
44. Resposta oberta. 45. a) Resposta oberta. Per exemple: A = (-3,2] i B = [0,6]. b) Resposta oberta. Per als intervals de l’exemple: A , B = (-3, 6]. c) Resposta oberta. Per als intervals de l’exemple: A: B: A , B: A , B:
–3
6
–3 0
6 2
d) Sí es possible que intervals diferents siguin correctes.
Pàgina 26
MATEMÀTIQUES EN CONTEXT 1.
a) Base = 5 m = 2,24 m; E.A. 1 0,004; E.R. 1 0,002 Altura: ( 5 + 1) m = 3,24 m; E.A. 1 0,004; E.R. 1 0,002 Àrea: ( 5 + 5) m2 = 7,24 m2; E.A. 1 0,004; E.R. 1 0,0006 b) Volum P2: ( 5 + 5) · 3 5 = (15 5 + 15) m3 = 48,54 m3 c) Volum P1: 2 · 1 · ( 5 + 1) = 2( 5 + 1) m3 Comparació dels volums: 3 15 _ 5 + 1i m 3 15 V1 15 5 + 15 m = = = 7, 5 = 2 V2 2 _ 5 + 1i m 3 2 _ 5 + 1i m 3 3.
a) h =
a) 241,5 kg / 5,75 kg/lot = 42 lots. b) Elisenda: x lots; Toni: x + 3 lots; Bernat: x + 5 lots; Carla: x + 6 lots. Total lots: 4 x + 14 4 x + 14 = 42; x = 7 lots Elisenda: 7 lots; Toni: 10 lots; Bernat: 12 lots; Carla: 13 lots. c) Preu lot = Preu cost + marge de guany Preu lot = 20 + 2 = 22 €/lot. Elisenda: 7 · 22 = 154 € Toni: 10 · 22 = 220 € Bernat: 12 · 22 = 264 € Carla: 13 · 22 = 286 € Total: 924 € d) 241,5 · 5 = 1.207,5 € Guany = cobrat per lots - cost dels lots = 1.207 - (20 · 42) = = 367,5 € de guany
^4 2 - 2 2h =
12 m
c = _6 + ^ 12h i = 48 m PerímetreAFC = 48 + 4 + 4 = ( 48 + 8) m b) Com ja hem calculat, h = 12 m SAFC = (b · h)/2=(4 · 12 )/2 = 2 12 m2 c) Superfície secció túnel = 1/2 πr2 = 1/2 · 3,14 · 42 = 25,12 m2 Comparació de les superfícies: S 1 25, 12 m 2 25, 12 m 2 = = = 3, 63 S 2 2 12 m 2 6, 93 m 2 2
2
0
2.
2
Pàgina 28
TALLER DE MATEMÀTIQUES Llegeix i comprèn
2 _ 5 – 1i 1 U +1 2 =1+ =1+ =1+ = 4 U U 5 +1 1+ 5 = =Φ 2 La succesió de coeficients en la sèrie dels radis de l’espiral coincideix amb la successió de Fibonacci: 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - …
35
DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 Pàgina 29
Notes
POSA’T A PROVA 1. a) i b) 6
• 3 –4 ⇒ Real (irracional) • 2π ⇒ Real (irracional) log 2 0, 5 ⇒ No existeix # • 3, 47 ⇒ Racional • 2,0333… ⇒ Racional •
81 = 9 ⇒ Natural
• 3
4 ⇒ Real (irracional) 5 • ⇒ Real (irracional) 3 13 • – ⇒ Racional 9 • - 8 ⇒ Enter •
2. a) i) [-2, 7) 0 0
2 2
4 4
ii) (-1, +∞) –3 –3
b)0 A = {x2 / -3 # x 1 4}
6 6
B = {x / x 1
3}
c)0A , B2 = (-∞, 4) = { x / x 1 4}
A + B = [-3, 3 ) = { x / -3 # x 1
3}
3. 3,35 ⋅ 1015
E.A. 1 0,005 ⋅ 1015 E.R. 1 0,0015
4.
3b 2z
3
3a 2 b 2 2z
5. a) 7 + 2 6. a) – 23 7.
6
b) 6 6
c) 0
b) 2-3/4
5 3 ⋅ log 2 ⋅ log 3 2 2
8. a) c = 10 (
2 - 1) cm b) A = 200 ( 2 - 1) cm2 c) L’apotema de l’octàgon fa 5 cm i el radi (distància del centre al vèrtex) fa 5,4 cm.
36
