Guia Mary Somerville 1r. Mostra. Matemàtiques

MATEMÀ -TIQUES

1

GUIA D’AULA ESO

Programa

Mary Somerville

Aquest projecte editorial de l’àmbit matemàtic ha estat elaborat d’acord amb les dimensions competencials i els continguts descrits en el decret d’ordenació curricular publicat pel Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya l’any 2015; aquest decret es fonamenta en la Llei d’educació de Catalunya i en les directrius de la Unió Europea, i respon al marc normatiu i a la legalitat vigent.

Equip editorial: Cap del projecte editorial: Montse Ballaró Coordinació editorial: Alícia Almonacid Edició: Alícia Almonacid i Agnès Toda Correcció: M. Mercè Estévez Coordinació artística i disseny: Laura R. Dengra Coordinació tècnica: Mercedes F. Bravo i Gemma Vadillo Maquetació: Moelmo, SCP Aquesta guia d'aula correspon als continguts del llibre de Matemàtiques 1 (Programa Mary Somerville), de José Colera Jiménez, Ignacio Gaztelu Albero i Ramón Colera Cañas. © 2020 d’aquesta edició: Editorial Barcanova, SA Rosa Sensat, 9-11, 4a planta. 08005 Barcelona Telèfon 932 172 054 barcanova@barcanova.cat www.barcanova.cat Primera edició: juliol de 2020 ISBN: 978-84-489-5072-9 DL B. 15113-2020 Printed in Spain

Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó i multes, a més de les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells que reproduïssin, plagiessin o comuniquessin públicament, totalment o parcialment, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà, sense l’autorització preceptiva.

» ÍNDEX » EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Presentació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

» UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Les competències, les rúbriques i les dianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Competències de l’àmbit matemàtic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Els objectius de desenvolupament sostenible (ODS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

» DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Índex de Matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Temporització orientativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Desenvolupament de les unitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Unitat 1. Els nombres naturals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Unitat 2. Divisibilitat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Unitat 3. Els nombres enters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Repte 1. Disseny d’un gratacel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Unitat 4. Els nombres decimals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Unitat 5. Les fraccions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Unitat 6. Operacions amb fraccions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Repte 2. Producció de mel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Unitat 7. Proporcionalitat i percentatges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Unitat 8. Rectes i angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Unitat 9. Mesures. Àrees i perímetres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Unitat 10. Gràfics. Estadística i probabilitat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Repte 3. El món de la granja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Resolució de problemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES

» PRESENTACIÓ

EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES

» PRESENTACIÓ El nou projecte per a l’Educació Secundària Obligatòria permet avançar des del marc de l’escola curricular fins a l’escola competencial, responent a la demanda de noves eines que aquest nou model necessita. Es tracta de formar alumnes competents a l’hora de connectar els continguts amb la informació que requereixen en cada moment per interactuar amb l’entorn, per donar-los un sentit d’utilitat transversal que els ajudi a resoldre els problemes i reptes que els planteja el seu procés d’aprenentatge i la societat en què vivim.

Per facilitar el procés d’aprenentatge competencial proposem un material educatiu amb un contingut teòric com a font d’informació de tot allò que estableix el currículum per a la matèria i el curs corresponent, i unes activitats perquè l’alumne aprengui a gestionar la informació i adquireixi la competència d’aprendre a aprendre. A més a més, el docent disposa d’un llibre digital descarregable, multisuport, multidispositiu i multiplataforma, que conté recursos exclusius, com ara suggeriments didàctics, vídeos i enllaços d’interès per ajudar a dinamitzar l’aula i motivar l’alumnat.

Aquesta Guia d’aula per a l’àmbit matemàtic, de Matemàtiques, forma part del projecte competencial elaborat per l’editorial seguint el currículum del Departament d’Ensenyament. Cobreix totes les necessitats del docent per afrontar el currículum competencial enfocat a treballar les competències pròpies de l’àmbit, agrupades per dimensions.

MATEMÀTIQUES

MATEMÀ-TIQUES 1 ESO

MATEMÀ-TIQUES 1

ITAL

ESO

DIG

LLIC IN ÈNC CLOU IA D IGIT AL

ESO

Programa

Mary Somerville

7

EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES El contingut de la guia està pensat per facilitar la tasca del professorat a l’aula: per això es presenta la reproducció de les pàgines del llibre amb la informació necessària per ser utilitzada en cada moment: • • • • •

La temporització orientativa del contingut del llibre.

Una proposta de programació didàctica de cada unitat.

Els continguts clau de cada unitat.

Les solucions de totes les activitats.

La indicació de les activitats proposades per avaluar per dimensions i competències amb l’aplicació AvaluApp ( ).

• La indicació de les activitats relacionades amb els objectius de desenvolupament sostenible (ODS, ).

• La indicació de les pàgines on es poden treballar activitats amb GeoGebra ( DESENVOLUPAMENT DEL PROJEC TE

» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIV A El currículum estab leix 105 hores per a la matèria de tablir una temp Matemàtiques de orització que sigui 1r d’ESO. Es fa difícil aplicable a tots solen ser diversos. esels grups, perqu D’altra banda, pot è els ritmes d’apr haver-hi alguna terístiques, no treba enentatge part de l’alumnat lli tots els conti que, per les seves nguts porització que oferim i activitats que caracpresentem. És per aquí només és orien això que la temtativa.

Els tres reptes trimestrals que es presenten estan casa; tanmateix, pensats perquè en aquesta temp els alumnes els orització els destin comú a l’aula. L’apa facin a em 2 hores per rtat «Resolució a una posterior de problemes» ra autònoma, aquí posada en també està pensa destinem 4 hores t perquè el facin a la posada en comú de mane.

UNITAT 1

HORES LECTIVES

Presentació i activit ats 1. Sistemes de numer ació 2. Els nombres grans

1h

3. Aproximació

de nombres natura ls 4. Operacions bàsiqu es amb nombres naturals

5. Expressions amb operacions combinades 6. Potències 7. Potències de base 10. Aplicacions 8. Operacions amb potències 9. Arrel quadrada Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova

UNITAT 2 Presentació i activit ats 1. La relació de divisibilitat 2. Els múltiples i els divisors d’un nombre 3. Nombres primer s i nombres compo stos 4. Descomposició d’un nombre en factors primers

5. Mínim comú múltip le 6. Màxim comú divisor Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a

24

8

2h

3h

2h 1h 1h 1h 1h

HORES LECTIVES 1h 1h 1h 1h 1h 1h

prova

1h 1h 1h

UNITAT 3 Presentació i activit ats 1. Nombres positiu s i nombres negati us 2. El conjunt dels nombres enters 3. Sumes i restes de nombres enters 4. Sumes i restes amb parèntesis 5. Multiplicació i divisió de nombr es enters 6. Operacions combi nades 7. Potències i arrels de nombres enters Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova Repte 1r trimestre: Disseny d’un gratac el

HORES LECTIVES 1h 1h 1h 1h 1h 1h 1h 1h 1h 1h 2h

).

Per tal de completar les eines per al professorat, el docent pot comptar amb material complementari preparat per ser fotocopiat. Aquest material el podrà descarregar des de l’espai personal del web www.barcanova.cat:

MATEMÀ-TIQUES 1

MATEMÀTIQUES

• Avaluacions curriculars: tres propostes en tres nivells de dificultat.

• Avaluacions competencials: seguint el model de les proves PISA. • Activitats de reforç.

• Rúbriques i dianes d’avaluació.

GUIA D’AULA ESO

ESPAI PERSONAL

Programa

Mary Somerville

AVALUACIÓ COMPE

TENCIAL. TEMA 2

Nom:

AVALUACIÓ COM

PETENCIAL • MAT

EMÀTIQUES 1r ESO

Avaluació:

Grup: Data: QUALIFICACIÓ:

Tema 2. Divisibilitat

La cooperativa agríco la El Sindicat produ qualitat. Aquest oli eix cada any oli d’oliva es comercialitza verge extra ecològ en diferents forma ic de molt bona ts: Caixa 9 garrafes d’1 litre

Caixa 5 garrafes de 2 litres

Caixa 4 garrafes de 3 litres

2.1. Quina capacitat tenir, com 1r ESO una quantitat exacta ha deÀTI QUESa mínim , el dipòsit on s’emm de TEM caixes de agatzema l’oli per garrafes de cada tal d’omplir REFORÇ • MA tipus?

Grup: ACTIVITATS DEHa de tenir, com a mínim, litres d’oli.

Data:

Nom:

L 2.2. Enguany, la cooperativa ÉS ESSENCIA ha acons RDA EL QUE RECO eguit l’envasat, no els produir 1.350 litres sobri cap litre d’oli. d’oli. Volen que, Quina de les opcion s presentades hauran després de fer-ne de descartar? enORS caixes de DIVIS I 9 garrafe IPLES s d’1 litre.

EnvasaMÚLT r l’oli només en caixes de 5 garrafes de 2 Envasar l’oli només litres. en caixes de 4 garrafe s de 3 litres. … iple de ……

ilitat Envasar l’oli només Tema 2. Divisib 2.3.

a és múlt

Del magat

zem de la coope a ta ………… de rativa surt un camió de a : b és exaccada 90 minut s. A……… b és les 10:30 repartiment cada Si la divisió h, els dos camions 60 minuts i un altre coincidir els dos s’han trobat al magat camions?

• 2 4

6

0

4

zem. A quina hora

A les …… de 6.

24 és …………… hores i 24. ………… de 6 és ……… etc. …, …, …, són: 7, 14,

exemple:

de 7

• Els múltiples

e 12 són: 1, • Els divisors d 6

2, …, …, …

tornaran a

minuts.

i …. .

ORS PRIMERS SICIÓ EN FACT

DESCOMPO

AT

200 2 100 2

IBILIT RIS DE DIVIS

nitat 1

UES • U

RÚBRIQ

ensió es, dim problem entació ció de res ió resolu nicació i rep Dimens sió comu i dimen at 1

, activit

32 Pàgina

CRITE uan ............ múltiple de 2 q • Un nombre és .................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... uan ............ múltiple de 3 q • Un nombre és .................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... uan ........ ... múltiple de 5 q • Un nombre és .................... ..................... ..................... .................... ..................... .....................

ions

connex

ssoliment Nivell d’a Aprenent Avançat 2 (50 %) s allò mé 3 (75 %) Sé triar

Novell 1 (25 %)

Pes

DIANES • Unitat 1

4 Sempre 3

Gairebé sempre

iat ent i prova, 2 De vegades l’enunc problemes, dimensió raonam ntació Entenc Dimensió resolució de 1 Mai blema i represe del pro dimensió comunicació cultats. nt de dimensió connexions i amb difi importa del iat 30 % l’enunc i 33, activitat 2 32 i em faig Pàgines ma proble de què tació a una ide de 1. Interpre ió i icac demana i identif rmació fer què cal de la info iat ldre’l. unc per reso de l’en Uso diferents eines blema. del pro brinar i procediments per Miro d’es ressa com quant ing so fer els càlculs Estudio , pen r quant en Pau com idees esbrina en Pau, amb nombres enters.

Estudio algunes -ho % nt a en 30 qua ress r ing ldre com esbrina en Pau, idees per reso Estudio penso ressa de -ho r quant ing vo ió pla ldre rina i pro , esb ixo un per reso 2. Aplicac es olupar-les a en Pau estable de ègi -ho desenv ingress vo el ular ats. . pro i po d’estrat calc cult olu olupar-les àtiques b per amb difi olupo. desenv desenv matem iment am el desenv ldre 4 Interpreto proced cop i Faig servir per reso tat i, un ma. segure repasso. el proble la informació el cultats nombres grans resolt, Tinc difi r 3 sforma de l’enunciat nes per calcular el per tran s Faig algu cions ression ma del problema. les exp de sfor total per rmo nombre es s tran 15 % Transfo ression aritmètiqu ntes 2 amb exp es per qua rmo algunes matriculacions. calcular Transfo s ions aritmètiqu ntes ven ression express qua nes safates es per les exp calcular es per 3. Ús d’ei . aritmètiqu ntes ven iments en Pau aritmètiqu ntes 1 qua safates i proced qua calcular . càlculs calcular ven en Pau per fer ven en safates bres safates agilitat amb nom Pau. b quines en am clar Pau No tinc enters. tat. racions i segure cal les ope Crec que r i dividir són cal fer per ions operac multiplica quantes que er quantes 10 % Aplico er sab o per per sab ven ico, rest s diverses ven en safates Multipl quante safates . ixo per calcular icació ò no sé en Pau i divide ntes Pau, per 4. Identif es tes ven re qua safa er ord ide sab . en quin de les ven en Pau àtiques safates fer-ho. cal matem . ades en Pau relacion plicar, acions Provo d’ex ats, amb situ s. cult ane plicar amb difi quotidi Provo d’ex pot ulo el i com es 15 % d’una é com calc el benefic Explico i que obt calcular en Pau. benefic Uso potències de base é , d’una manera . que obt a com Explico Pau dor zilla Expresso de manera en ene i ent entació 10 per expressar el nera sen el benefic 5. Argum macions. ma b precisió, calculo en Pau. argumentada i precisa afir i am é nombre de matrícules de les ulo el que obt com calc quant temps ha de que i que es poden fer amb benefic passar fins que es Pau. obté en combinacions de quatre

ors Descript

Expert ) 4 (100 %

AVALUACIÓ

es les dad Sé triar del es unciat les dad de l’en i entenc Extrec del blema unciat de l’en faig pro demana ma i en proble ció. què cal fer per resenta i què una rep ’l. resoldre

1

comencin a matricular vehicles amb les quatre últimes xifres.

Nom: :

5 5 1 2 23 · 5 ·2·5·5= 200 = 2 · 2

CURRICULAR

OR

COMÚ DIVIS EL MÀXIM PER CALCULAR NOMBRES DE DIVERSOS

. TEMA 2

PER CALCULAR

Avaluació

50 2 25 5

EL MÍNIM COMÚ

rs primers. nen en facto .......

1. Es descompo ..................... els factors 2. Es prenen : MCD (18, 24)

RES SOS NOMB AVALUA IPLE DE DIVER MÚLTCIÓ rs primers.

CUenRR facto nen ICU LA.......

1. Es descompo R •.......

MATE rs ..............

le MÀ exemp TIQ UES 1r

els facto 2. Es prenen (15, 20) exemple: MCM 2 15 3 20 15 = 3 · 5 2 5 5 10 2 20 = 2 · 5 5 5 1 =…

MCM (15, 20) 1

Grup:

2.1. a) Troba

tres exemp

les de mú

2.2. Troba els a) Un mú

nombres

ltiple de 6

b) El divisor

ltiple de 7

cadascun

Ó:

dels nom

12:

bres següen

ts:

25:

de 30.

següents:

que tingui

de 60 que

c) Un mú

nombres i tres lletres.

ltiples de

10:

els divisors

18

QUALIFIC ACI

ció A

10

b) Troba tots

ES=O……………

……

24 = ……… =…

MCD (18, 24)

Data:

Tema 2. Op 6:

24

18

el 0 com

tingui 5 com

que tingui

a darrera

a darrera

el 5 com

xifra (és a dir,

la xifra de

les unitats

).

xifra.

a darrera

xifra.

2.3. Classifica

els següen ts nom es per mé s d’un nom bres segons siguin múltiples bre): de 2, de 3 12 o de 5 (alg 4 28 uns d’ells 35 poden 42 33 15 Múltiples 25 de 2 32 48 60 Múltiples de 3 Múltiples de 5

ser divisibl 20

2

25

9

UN CURRÍCULUM

M T E CO P ENCIAL

» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES » COMPETÈNCIES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC » ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS)

UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL

» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES Les competències Una competència és el resultat d’integrar coneixements, habilitats i actituds d’una manera pràctica i saber-les aplicar a contextos diversos, siguin de l’àmbit acadèmic o de l’àmbit no acadèmic.

Les competències són, per tant, combinacions de coneixements, habilitats i actituds adquirides que interactuen per donar una resposta eficient al treball o a l’activitat que es duu a terme.

L’objectiu principal de l’aprenentatge és el desenvolupament de les competències. La nomenclatura de les competències que utilitzem en aquesta Guia d’aula és la que estableix el Departament d’Ensenyament en el document Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic.

Les competències s’han de considerar totalment integrades amb els continguts del currículum.

Per a l’adquisició de cada competència són necessaris continguts molt diversos que s’hauran d’anar assolint progressivament al llarg dels cursos. Les competències de cada àmbit de coneixement s’estableixen per a tota l’etapa educativa; per tant, la seva adquisició s’haurà d’anar consolidant amb els aprenentatges que es vagin aconseguint en els diversos cursos de l’ESO. Cal assenyalar que no totes les activitats que requereix un alumne per assolir plenament els continguts tenen un caràcter competencial. També són necessàries les activitats d’aplicació directa dels continguts.

En l’apartat d’aquesta guia «Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions» trobareu una relació de les activitats proposades en el llibre agrupades per dimensions. Sovint les activitats proposades es relacionen amb més d’una dimensió i posen en joc diverses competències, però en aquesta programació s’ha volgut indicar la dimensió que té més rellevància en cada activitat. En el cas de les activitats que pertanyen a la secció «Matemàtiques en context», excepcionalment indiquem totes les dimensions que hi intervenen, ja que proposem aquestes activitats per avaluar per dimensions mitjançant l’aplicació AvaluApp.



COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

DIMENSIÓ

      

      



       RAONAMENT   RESOLUCIÓ  I PROVA  DE PROBLEMES

CONNEXIONS

13

      

UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL

Les rúbriques Les rúbriques són eines d’autoavaluació dels alumnes que serveixen perquè siguin conscients del seu nivell d’aprenentatge, però també són una eina excel·lent per al docent per copsar la percepció que cada alumne té d’aquest aprenentatge i, si cal, establir estratègies perquè millorin.

Es poden fer servir en l’avaluació de determinades activitats i descriuen les característiques específiques d’aquella activitat en diversos nivells de rendiment, per tal d’aclarir allò que s’espera del treball de l’alumne, valorar-ne l’execució i facilitar el feedback (retroalimentació).

Així, doncs, la rúbrica és un instrument d’avaluació que no solament serveix per al docent, que la utilitza per mostrar a l’alumnat, d’una manera clara, el que es valorarà d’aquella tasca i com hi poden arribar, sinó també per a l’alumne, ja que facilita l’autoreflexió i la seva implicació activa i, per tant, és una eina per guiar-ne l’aprenentatge. A més, la rúbrica pot ser motivadora si orienta l’alumnat sobre com pot millorar.

Si es vol que sigui una eina potent per a l’aprenentatge de l’alumnat, cal involucrar-lo en la seva elaboració, posada en pràctica i revisió. En aquest programa de Matemàtiques posem a l’abast del docent diferents rúbriques perquè les pugueu fotocopiar, comentar i lliurar a cada un dels vostres alumnes abans de fer l’activitat a què es refereix i, si ho creieu convenient, modificar-la conjuntament, de manera que sigui una mena de contracte entre docent i alumnat.

Per a cada descriptor s’estableix una gradació en quatre nivells, cada un amb un valor: expert (4), avançat (3), aprenent (2) i novell (1), i s’estableix un percentatge per a cada ítem, de manera que, tots sumats, arribin a 100.

Si d’una competència indiquem que té un percentatge del 5 %, l’alumne que marqui l’opció expert obtindrà el 100 % del percentatge de la nota, és a dir, un 5 %; el que hagi marcat l’opció avançat obtindrà un 75 % del 5 %, és a dir, un 3,75 ; l’aprenent, un 50 % del 5 %, és a dir, un 2,5 %, i el novell, un 25 % del 5 %, és a dir, un 1,25 %. Sumats els valors obtinguts per a cada ítem, tindrà el valor global d’assoliment d’aquella activitat i el percentatge corresponent a cada competència.

Tant els descriptors de les competències —o ítems— com RÚBRIQUES • Unitat 1 els percentatges que hem atorgat a cada un els podeu modificar segons el vostre criteri. El que cal és que, repartits els percentatges, el total faci 100. També, a partir d’aquests models, vosaltres mateixos podeu elaborar rúbriques per a altres activitats o treballs del vostre alumnat.

Dimensió resolució de problem es, dimensió connexions i dimensió comunicació i represen tació

Pàgina 32, activitat 1

Descriptors

1. Interpretació i identificació de la informació de l’enunciat del problema.

2. Aplicació d’estratègies matemàtiques per resoldre el problema.

3. Ús d’eines i procediments per fer càlculs amb nombres enters.

4. Identificació de les idees matemàtiques relacionades amb situacions quotidianes.

5. Argumentació de les afirmacions.

Expert 4 (100 %)

Extrec les dades de l’enunciat del problema i en faig una representació.

Estudio com esbrinar quant ingressa en Pau, desenvolupo el procediment amb seguretat i, un cop resolt, el repasso.

Transformo les expressions aritmètiques per calcular quantes safates ven en Pau amb agilitat i seguretat.

Multiplico, resto i divideixo per saber quantes safates ven en Pau.

Explico, d’una manera senzilla i amb precisió,

com calculo el benefici que obté en Pau.

Nivell d’assoliment Avançat Aprenent 3 (75 %) 2 (50 %)

Sé triar les dades de l’enunciat del problema i entenc què demana i què cal fer per resoldre’l.

Estudio com esbrinar quant ingressa en Pau, estableixo un pla per calcular-ho i el desenvolupo.

Transformo algunes expressions aritmètiques per calcular quantes safates ven en Pau.

Aplico operacions diverses per calcular quantes safates ven en Pau.

Explico d’una manera entenedora com calculo el benefici que obté en Pau.

Novell 1 (25 %)

Sé triar allò més Entenc l’enunciat important de del problema l’enunciat del amb dificultats. problema i em faig una idea de què demana i de què cal fer per resoldre’l.

Estudio com esbrinar quant ingressa en Pau, penso idees per resoldre-ho i provo de desenvolupar-les.

Faig algunes transformacions amb expressions aritmètiques per calcular quantes safates ven en Pau.

Miro d’esbrinar quant ingressa en Pau, penso en algunes idees per resoldre-ho i provo de desenvolupar-les amb dificultats.

Tinc dificultats per transformar les expressions aritmètiques per calcular quantes safates ven en Pau.

Crec que cal No tinc clar quines multiplicar i dividir són les operacions per saber quantes que cal fer per safates ven en saber quantes Pau, però no sé safates ven en quin ordre en Pau. cal fer-ho.

Provo d’explicar com calculo el benefici que obté en Pau.

Provo d’explicar, amb dificultats, com es pot calcular el benefici que obté en Pau.

Pes

30 %

30 %

15 %

10 %

15 %

1

14

Les dianes La diana d’autoavaluació és una altra eina que ens permet avaluar les competències d’una activitat que considerem rellevant, d’una manera ràpida i àgil, a partir de la percepció que l’alumne té del seu aprenentatge. És una eina més senzilla que la rúbrica però, de vegades, és suficient.

La representació de la diana presenta quatre cercles concèntrics, que determinen el grau d’assoliment de les competències que es volen avaluar, amb una numeració de l’1 al 4: al cercle més intern li correspon l’1 i al més extern, el 4. Vindrien a ser els graus d’assoliment de les rúbriques (expert, avançat, aprenent i novell).

Aquesta diana es divideix en tants sectors com descriptors de les competències o ítems es vulguin avaluar. Cada línia que separa els sectors representa un dels ítems. De vegades es posa el descriptor de la competència a la part externa del cercle o, si no hi ha espai, un número i la llegenda corresponent a cada un dels ítems al costat de la diana.

Per fer l’autoavaluació, l’alumne ha de valorar si l’ítem corresponent l’ha assolit de manera excel·lent (Sempre), bé (Gairebé sempre), suficient (De vegades) o cal que s’ho revisi (Mai) segons el que indiqui la llegenda de la diana, i marcar un punt en la intersecció entre la línia de l’ítem i el cercle de la numeració corresponent. Quan l’alumne ha valorat tots els ítems, ha de traçar una línia per unir tots els punts i pintar l’àrea del polígon resultant. Com més gran sigui l’àrea, més assoliment hi ha de les competències de l’activitat que s’avalua. Finalment, els alumnes poden comparar el dibuix resultant de la seva diana amb el de la resta dels companys i companyes.

pre 4 Sem

ireb é 3 Ga

1 • Unitat

ova, ment i pr ió sió raona DIANES , dimen ió i representac oblemes ac ció de pr ensió comunic olu res ió Dimens connexions i dim dimensió at 2 Pàgines

32 i 33,

2 1

sem pre

De veg ade

s

Ma i

activit

nts eines Uso difere per iments i proced culs fer els càl ters. mbres en no b am

DIANE

4 vir Faig ser grans nombres ar el per calcul total de nombre cions. matricula

ra de mane Expresso cisa tada i pre argumen ps ha de quant tem que es s fin r passa ular a matric comencin amb les vehicles es. imes xifr quatre últ

3

S • Un

ita

t1 Dimen si i dimen ó resoluci ó de pr sió co oblem munic Pàgina es ació i 33, ac repres , dimensió tivitat entaci raonam 3 ó ent

o Interpret ació la inform ciat de l’enun ma. del proble

2

4 Se mp re

i prov a

3 2 1

1

Plante jo a un compa ny una pregun ta nova relacion amb l’a ada ctivita t.

base cies de Uso potèn ressar el 10 per exp trícules de ma nombre amb fer n de que es po quatre acions de combin res. i tres llet nombres

Interpr et de l’enu o la inform ació nciat de l pr i en de strio les oblema dades relleva nts.

Practic o la mult iplicac ió i la divis ió de no mbres natura ls per re soldre el prob lema.

4 3 2 1

2

Aplico oper amb no acions mbres natura ls pe la capa r calcular citat de cambr la a frigo rífica.

Ga ire bé sem pre De ve ga de s

Ma i

Faig se el cone rvir ixemen matem t àtic pe r raon quante ar s caixe en la ca s caben mbra.

3

15

COMPETÈNCIES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC » MATEMÀTIQUES

C1

Competència 1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.

C2

Competència 2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.

C3

Competència 3. Mantenir una actitud de recerca davant d’un problema assajant estratègies diverses.

C4

Competència 4. Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes.

C5

Competència 5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

C6

Competència 6. Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics.

C7

Competència 7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.

C8

Competència 8. Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.

C9

Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.

C10

Competència 10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.

C11

Competència 11. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir coneixement a partir d’idees matemàtiques.

C12

Competència 12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.

DIMENSIONS

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

RAONAMENT I PROVA

CONNEXIONS

COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

16

UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL

» ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS) Els objectius de desenvolupament sostenible (ODS) són una crida universal per a l’acció per posar fi a la pobresa, protegir el planeta i garantir que totes les persones tinguin accés a l’educació, la igualtat, l’aigua, l’energia neta, la pau i la prosperitat.

Es tracta d’un pla de mesures amb 17 objectius i 169 metes per aconseguir un món més igualitari i habitable i que s’haurien de complir abans de 2030.

Aquests objectius porten implícit un esperit de col·laboració i pragmatisme amb la finalitat de millorar la vida, de manera sostenible, de les generacions futures.

A més, en si mateixos són una agenda inclusiva en tant que tracten les causes fonamentals de la pobresa i uneixen tots els estats que hi participen per aconseguir així un canvi positiu en benefici de les persones i del planeta.

La lluita contra el canvi climàtic és un element transversal i decisiu que influeix en tots els aspectes del desenvolupament sostenible i l’Agenda 2030.

Fer conscient l’alumnat dels reptes imminents plantejats en els objectius de desenvolupament sostenible en aquest programa pedagògic proporciona un marc de treball a partir del qual articular aprenentatges competencials que activin l’alumne, no tan sols quant al saber sinó també pel que fa al saber fer i al saber ser, i reforcin la seva preparació com a futurs ciutadans compromesos amb la realitat del seu temps. La primera forma de contribuir a la consecució d’aquests ODS és contribuir a augmentar la consciència pública d’aquests en tots els àmbits, i l’aula és un espai fonamental d’aprenentatge de la convivència de les generacions futures.

L’Agenda Educativa 2030, sorgida del Fòrum Educatiu Mundial celebrat a Inch’ŏn, República de Corea (UNESCO, 2015; Nacions Unides, 2015), va situar l’educació com una de les eines fonamentals per forjar un desenvolupament que sigui a la vegada sostenible, inclusiu, just, pacífic i cohesiu.

17

UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL

Els 17 objectius de desenvolupament sostenible

18

U S V DE EN OL PAMENT

O DEL PR JECTE

» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES » TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA » DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES

1 2 3

ELS NOMBRES NATURALS 1. Sistemes de numeració 2. Els nombres grans 3. Aproximació de nombres naturals 4. Operacions bàsiques amb nombres naturals 5. Expressions amb operacions combinades 6. Potències 7. Potències de base 10. Aplicacions 8. Operacions amb potències 9. Arrel quadrada Exercita les teves competències Matemàtiques en context. Distribució de mercaderies Taller de matemàtiques Posa’t a prova

DIVISIBILITAT 1. La relació de divisibilitat 2. Els múltiples i els divisors d’un nombre 3. Nombres primers i nombres compostos 4. Descomposició d’un nombre en factors primers 5. Mínim comú múltiple 6. Màxim comú divisor Exercita les teves competències Matemàtiques en context. Reformes en un restaurant Taller de matemàtiques Posa’t a prova

ELS NOMBRES ENTERS 1. Nombres positius i nombres negatius 2. El conjunt dels nombres enters 3. Sumes i restes de nombres enters 4. Sumes i restes amb parèntesis 5. Multiplicació i divisió de nombres enters 6. Operacions combinades 7. Potències i arrels de nombres enters Exercita les teves competències Matemàtiques en context. Rodatge d’un documental Taller de matemàtiques Posa’t a prova

» REPTE 1r trimestre: Disseny d’un gratacel 20

4 5 6

ELS NOMBRES DECIMALS 1. Estructura dels nombres decimals 2. Suma, resta i multiplicació de nombres decimals 3. Divisió de nombres decimals 4. Arrel quadrada i nombres decimals Exercita les teves competències Matemàtiques en context. Una dieta sana i equilibrada Taller de matemàtiques Posa’t a prova

LES FRACCIONS 1. El significat de les fraccions 2. Relació entre fraccions i decimals 3. Fraccions equivalents 4. Alguns problemes amb fraccions Exercita les teves competències Matemàtiques en context. Agricultura ecològica Taller de matemàtiques Posa’t a prova

OPERACIONS AMB FRACCIONS 1. Reducció a comú denominador 2. Suma i resta de fraccions 3. Multiplicació i divisió de fraccions 4. Operacions combinades 5. Alguns problemes amb fraccions Exercita les teves competències Matemàtiques en context. Un ofici per a bons olfactes Taller de matemàtiques Posa’t a prova

» REPTE 2n trimestre: Producció de mel 21

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

7 8 9 22

PROPORCIONALITAT I PERCENTATGES 1. Relació de proporcionalitat entre magnituds 2. Problemes de proporcionalitat directa 3. Problemes de proporcionalitat inversa 4. Percentatges 5. Augments i disminucions percentuals Exercita les teves competències Matemàtiques en context. La família Babot se’n va d’excursió Taller de matemàtiques Posa’t a prova

RECTES I ANGLES 1. Elements geomètrics bàsics 2. Dues rectes importants 3. Angles 4. Mesura d’angles 5. Operacions amb mesures angulars 6. Relacions angulars 7. Angles en els polígons 8. Angles en la circumferència 9. Simetries en les figures planes Exercita les teves competències Matemàtiques en context. Centre d’alt rendiment Taller de matemàtiques Posa’t a prova

MESURES. ÀREES I PERÍMETRES 1. El sistema mètric decimal 2. Unitats de mesura de les magnituds bàsiques 3. Canvis d’unitat 4. Quantitats complexes i incomplexes 5. Mesura de la superfície 6. Mesures en els quadrilàters 7. Mesures en els triangles 8. Mesures en els polígons 9. Mesures en el cercle Exercita les teves competències Matemàtiques en context. Arquitecta de l’Ajuntament Taller de matemàtiques Posa’t a prova

10

GRÀFICS. ESTADÍSTICA I PROBABILITAT 1. Coordenades cartesianes 2. Punts que transmeten informació 3. Punts que es relacionen 4. Interpretació de gràfics 5. Procés per realitzar un estudi estadístic 6. Freqüència i taules de freqüències 7. Gràfics estadístics 8. Paràmetres estadístics 9. Esdeveniments aleatoris. Probabilitat Exercita les teves competències Matemàtiques en context. Un estudi de l’aligot vesper Taller de matemàtiques Posa’t a prova

» REPTE 3r trimestre: El món de la granja » RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

23

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA El currículum estableix 105 hores per a la matèria de Matemàtiques de 1r d’ESO. Es fa difícil establir una temporització que sigui aplicable a tots els grups, perquè els ritmes d’aprenentatge solen ser diversos. D’altra banda, pot haver-hi alguna part de l’alumnat que, per les seves característiques, no treballi tots els continguts i activitats que presentem. És per això que la temporització que oferim aquí només és orientativa.

Els tres reptes trimestrals que es presenten estan pensats perquè els alumnes els facin a casa; tanmateix, en aquesta temporització els destinem 2 hores per a una posterior posada en comú a l’aula. L’apartat «Resolució de problemes» també està pensat perquè el facin de manera autònoma, aquí destinem 4 hores a la posada en comú.

UNITAT 1 Presentació i activitats 1. Sistemes de numeració 2. Els nombres grans 3. Aproximació de nombres naturals 4. Operacions bàsiques amb nombres naturals 5. Expressions amb operacions combinades 6. Potències 7. Potències de base 10. Aplicacions

1h 2h

3h

2h

8. Operacions amb potències

1h

9. Arrel quadrada

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

UNITAT 2

24

HORES LECTIVES

HORES LECTIVES

Presentació i activitats

1h

1. La relació de divisibilitat

1h

2. Els múltiples i els divisors d’un nombre

1h

3. Nombres primers i nombres compostos

1h

4. Descomposició d’un nombre en factors primers

1h

5. Mínim comú múltiple

1h

6. Màxim comú divisor

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

UNITAT 3

HORES LECTIVES

Presentació i activitats

1h

1. Nombres positius i nombres negatius

1h

2. El conjunt dels nombres enters

1h

3. Sumes i restes de nombres enters

1h

4. Sumes i restes amb parèntesis

1h

5. Multiplicació i divisió de nombres enters

1h

6. Operacions combinades

1h

7. Potències i arrels de nombres enters

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

Repte 1r trimestre: Disseny d’un gratacel

2h

UNITAT 4

HORES LECTIVES

UNITAT 7

HORES LECTIVES

Presentació i activitats

1h

Presentació i activitats

1h

1. Estructura dels nombres decimals

2h

2. Suma, resta i multiplicació de nombres decimals

1h

1h

1. Relació de proporcionalitat entre magnituds 2. Problemes de proporcionalitat directa

2h

3. Problemes de proporcionalitat inversa

1h

3. Divisió de nombres decimals 4. Arrel quadrada i nombres decimals

2h

4. Percentatges

2h

Matemàtiques en context

1h

5. Augments i disminucions percentuals

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

UNITAT 5

HORES LECTIVES

Presentació i activitats

1h

1. El significat de les fraccions

1h

2. Relació entre fraccions i decimals 3. Fraccions equivalents

3h

4. Alguns problemes amb fraccions

UNITAT 8

HORES LECTIVES

Presentació i activitats

1h

1. Elements geomètrics bàsics

1h

2. Dues rectes importants 3. Angles

1h

Matemàtiques en context

1h

4. Mesura d’angles

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

5. Operacions amb mesures angulars

1h

UNITAT 6

HORES LECTIVES

Presentació i activitats

1h

1. Reducció a comú denominador

1h

2. Suma i resta de fraccions

1h

3. Multiplicació i divisió de fraccions

1h

4. Operacions combinades 5. Alguns problemes amb fraccions

6. Relacions angulars 7. Angles en els polígons 8. Angles en la circumferència 9. Simetries en les figures planes

1h 1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

2h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

Repte 2n trimestre: Producció de mel

2h

25

UNITAT 9

UNITAT 10

Presentació i activitats

1h

Presentació i activitats

1. El sistema mètric decimal

1h

1. Coordenades cartesianes

2. Unitats de mesura de les magnituds bàsiques

1h

2. Punts que transmeten informació

HORES LECTIVES 1h 1h

3. Punts que es relacionen

1h

1h

4. Interpretació de gràfics

1h

5. Procés per realitzar un estudi estadístic

1h

5. Mesura de la superfície

2h

6. Freqüència i taules de freqüències

1h

6. Mesures en els quadrilàters

1h

7. Gràfics estadístics

2h

8. Paràmetres estadístics

1h

9. Esdeveniments aleatoris. Probabilitat

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

Repte 3r trimestre: El món de la granja

2h

Resolució de problemes

4h

3. Canvis d’unitat 4. Quantitats complexes i incomplexes

7. Mesures en els triangles 8. Mesures en els polígons

26

HORES LECTIVES

2h

9. Mesures en el cercle

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

» DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS » UNITAT 1. ELS NOMBRES NATURALS Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions Dimensió resolució de problemes COMPETÈNCIES

CRITERIS

C1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.

1. L’alumne ha de ser capaç de resoldre problemes de la vida quotidiana en els quals calgui la utilització de les quatre operacions amb nombres enters, fent ús de la forma de càlcul més apropiada i valorant l’adequació del resultat al context.

C2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.

INDICADORS 1.1. Entén el plantejament de problemes que inclouen operacions amb nombres naturals.

CONTINGUTS -- Operacions amb nombres naturals.

ACTIVITATS Exercita les teves competències: 61, 64, 69, 70, 71, 72, 75, 76, 78, 79, 80 Matemàtiques en context: 1, 2, 3 Posa’t a prova: 4

1.1. Aproxima nombres decimals a la unitat indicada.

1.2. Practica les operacions bàsiques amb nombres naturals.

1.3. Fa càlculs amb potències.

1.4. Practica el càlcul de les operacions combinades i coneix l’ordre en què han de fer-se les operacions.

-- Utilitat dels nombres.

-- Aproximació de nombres naturals.

-- Pràctica de les operacions bàsiques amb nombres naturals (suma, resta, multiplicació i divisió).

Fixa idees: F2, F6 Aplica el que has après: 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 37, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 48, 49

-- Càlcul d’arrels quadrades.

Exercita les teves competències: 7, 11, 13, 15, 16, 17, 22, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 43, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 59, 60, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 73, 74, 77, 85, 86, 92, 93, 94, 95, 99

-- Operacions combinades.

Matemàtiques en context: 1, 3

-- Càlcul de potències i operacions amb potències.

Posa’t a prova: 1, 2, 3, 6, 7, 8 2. L’alumne ha de ser capaç d’organitzar i interpretar informacions diverses mitjançant relacions simples, expressades amb taules i gràfics, en situacions quotidianes.

2.1. Interpreta taules -- Ús dels nombres i gràfics i resol les naturals en activitats plantejades. situacions quotidianes.

2.2. Identifica com s’escriuen els nombres en el sistema binari.

Exercita les teves competències: 10, 84, 89, 97, 100 Taller de matemàtiques: Entrena’t resolent altres problemes

27

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 COMPETÈNCIES C3. Mantenir una actitud de recerca davant d’un problema assajant estratègies diverses.

CRITERIS

INDICADORS

1. L’alumne ha de ser capaç de resoldre problemes de la vida quotidiana en els quals calgui la utilització de les quatre operacions amb nombres enters, fent ús de la forma de càlcul més apropiada i valorant l’adequació del resultat al context.

1.1. Sap emprar diferents sistemes per resoldre problemes i per comprovar solucions.

CONTINGUTS -- Ús de diferents eines i procediments per fer càlculs amb nombres enters.

ACTIVITATS Matemàtiques en context: 1, 2, 3

1.2. Revisa els procediments utilitzats i, si cal, els rectifica.

Dimensió raonament i prova COMPETÈNCIES

CRITERIS

C5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

6. L’alumne ha de ser capaç de fer conjectures, experimentar, comprovar, argumentar, generalitzar i particularitzar en contextos de la vida real relacionats amb els nombres.

INDICADORS 6.1. Entén el sistema de numeració decimal.

6.2. Identifica les propietats en els nombres naturals.

6.3. Treballa amb expressions amb operacions combinades.

6.4. Entén el concepte de potència.

6.5. Identifica diferents sistemes de numeració.

C6. Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics.

28

6.1. Utilitza el càlcul aritmètic en situacions properes.

CONTINGUTS

ACTIVITATS

-- Paper dels nombres naturals.

Avantatges del sistema de numeració decimal.

Fixa idees: F3, F4, F5

-- Propietats en els nombres naturals.

-- Jerarquia de les operacions. Ús de parèntesis.

Aplica el que has après: 6, 7, 27, 34, 35 Exercita les teves competències: 8, 9, 14, 21, 24, 25, 26, 27, 28, 44, 58, 81, 91, 98, 101

-- Significat de les potències i de les arrels quadrades.

-- Ús de les potències i de les potències de base 10 en contextos quotidians.

Exercita les teves competències: 83, 87, 88, 102, 103 Matemàtiques en context: 2, 3

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE Dimensió connexions COMPETÈNCIES

CRITERIS

INDICADORS

C7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.

7. L’alumne ha de ser capaç de reconèixer diferents tipus de nombres i usar les relacions entre ells per resoldre situacions diverses.

7.1. Sap construir nombres grans i els aplica en la vida quotidiana.

7.2. Entén la relació entre la suma i la resta de nombres naturals.

7.3. Practica el càlcul mental.

7.4. Identifica relacions entre els nombres.

CONTINGUTS -- Nombres grans aplicats a la vida quotidiana.

-- Operacions amb nombres naturals.

-- Càlcul mental.

-- Nombres imparells, quadrats i cubs.

ACTIVITATS Aplica el que has après: 8, 11, 13, 22 Exercita les teves competències: 12, 18, 20, 29, 41, 90, 96 Matemàtiques en context: 1, 2 Taller de matemàtiques: Investiga Posa’t a prova: 5

29

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 Dimensió comunicació i representació

30

COMPETÈNCIES

CRITERIS

C9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.

10. L’alumne ha de ser capaç de representar conceptes o relacions matemàtiques de diverses maneres, ser capaç de comprendre les dels altres i valorar la més adequada a cada situació.

INDICADORS 10.1. Representa conceptes vinculats als sistemes de numeració.

10.2. Representa operacions amb nombres enters i nombres grans.

CONTINGUTS -- Sistemes de numeració.

Presentació de la unitat: 1, 2, 3, 4, 5

-- Sistema de numeració decimal.

Fixa idees: F1

-- Expressions amb operacions combinades.

-- Nombres grans.

C11. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir coneixement a partir d’idees matemàtiques.

9. L’alumne ha de ser 9.1. Crea activitats capaç d’expressar a partir d’un model. oralment i per escrit raonaments, conjectures, relacions quantitatives i informacions que incorporin elements matemàtics, simbòlics o gràfics, valorant la utilitat del llenguatge matemàtic.

-- Operacions amb nombres naturals en situacions quotidianes.

C12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.

10. L’alumne ha de ser capaç de representar conceptes o relacions matemàtiques de diverses maneres, ser capaç de comprendre les dels altres i valorar la més adequada a cada situació.

-- Llenguatge intern de la calculadora i els ordinadors.

10.1. Empra la calculadora per comprovar resultats obtinguts manualment.

10.2. Utilitza programes de geometria dinàmica per consolidar els coneixements apresos.

ACTIVITATS

Aplica el que has après: 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 12, 33 Exercita les teves competències: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Matemàtiques en context: 1, 2, 3

-- Potències de base 10 en situacions quotidianes.

-- Ús d’eines digitals (programari lliure de geometria dinàmica GeoGebra).

Aplica el que has après: 38, 44, 46, 47 Exercita les teves competències: 33, 55, 82 Taller de matemàtiques: Llegeix i descobreix

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

UNITAT

1

ELS NOMBRES NATURALS DIMENSIÓ RESOLUCIÓ DE PROBLEMES • DIMENSIÓ RAONAMENT I PROVA DIMENSIÓ CONNEXIONS • DIMENSIÓ COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

Des de l’Índia es va propagar cap a la Mediterrània a través del poble àrab, i va arribar a Europa als segles ix i x.

Els avantatges d’aquest sistema van permetre el desenvolupament de noves estratègies de càlcul, precursores de les que utilitzem actualment.

Totes les civilitzacions han fet servir un sistema de numeració per representar quantitats. Des de la prehistòria fins als nostres dies, egipcis, babilonis, grecs, romans, xinesos, indis, àrabs, maies… van utilitzar sistemes de numeració molt diversos, que van passar d’uns pobles als altres i van evolucionar al llarg del temps.

Altres maneres de multiplicar Observa com en el passat la població hindú multiplicava 346 × 57.

Inicialment, els nombres s’utilitzaven per comptar quantitats naturals (ramats, fruits, monedes…), i els sistemes de numeració eren molt rudimentaris: es feien osques en un bastó, es dibuixaven dits i mans… Tanmateix, el progrés de les civilitzacions va portar a la introducció de símbols i normes que els van fer més complexos i pràctics.

6

5

3 0 7 2 0 4 2 1 5 2 8 2 2 1

4

3

1

12 9 6 1 2 1 9 7 2 2

Diferents maneres d’expressar els nombres Observa tres maneres diferents de representar el mateix nombre:

• Es parteix d’una taula, com en l’exemple, col·locant a les vores les xifres dels factors.

• Es completen les caselles amb els productes creuats dels dígits col·locats a les vores. Per exemple, en la casella acolorida: 4 × 7 = 28 • Se sumen els resultats en vertical. En cada columna només hi cap un dígit.

4. Fes, seguint aquest mètode, les multiplicacions següents: a) 208 × 34

1. De quin nombre es tracta? Com representaries, en cada cas, el nombre

següent?

b) 453 × 26

Amb els nombres i les operacions, calculem i obtenim dades noves útils en situacions quotidianes. Practica-ho en la proposta següent.

2. Quin o quins es basen en el sistema de numeració decimal?

3. De quina altra manera representaries aquest nombre?

Operacions combinades

5. Per participar en les escoles esportives municipals, cal pagar 20 € de ma-

Els sistemes de numeració són útils per escriure nombres i, així, recordar-los i transmetre’ls. Però han de servir, també, per fer operacions. Pensa en el sistema de numeració romà (que ja coneixes) i imagina com ho havien de fer per sumar. Per exemple:

trícula i 15 € al mes.

Què creus que es calcula amb cada una d’aquestes expressions?

(20 + 15) × 3

20 + 15 × 3

15 × 3

a) El pagament del segon trimestre.

MCCCXLVI + DCCCXXXIV És complicat, oi? Doncs imagina com havien de multiplicar.

b) El pagament del primer trimestre.

Els antics matemàtics hindús, al segle vi, van fer un gran pas endavant amb la invenció del sistema de numeració decimal posicional.

c) El pagament del primer mes per a tres germanes o germans.

8

Els nombres naturals no semblen obeir a cap «construcció» intel·lectual de l’ésser humà. Des de sempre i en totes les cultures sorgeixen de manera natural per comptar, ordenar, mesurar, etc.

Comencem contrastant alguns dels sistemes de numeració més coneguts. Així, a més de l’evolució històrica dels mètodes de representació, ens adonem que el concepte de nombre natural és el mateix en tots els casos, independentment de com s’expressi.

Un cop revisada l’estructura del sistema decimal i descoberts els avantatges respecte d’altres sistemes de numeració, treballem la lectura i l’escriptura de nombres de nou o més xifres. També recordem els procediments i els avantatges de l’aproximació dels nombres per arrodoniment.

Després, estudiem les operacions bàsiques amb nombres naturals i algunes de les seves propietats i, finalment, la resolució d’expressions amb parèntesis i operacions combinades.

Les operacions amb potències i radicals són eines matemàtiques que tindran aplicació en cursos superiors. No obstant això, convé que els alumnes iniciïn la construcció de conceptes bàsics i s’acostumin a utilitzar notacions, nomenclatures i procediments que els preparin el camí i els facilitin l’aprenentatge futur.

9

CO NTI NGUTS CLAU DE LE S CO M P E TÈ NCIES CC1. Sentit del nombre i de les operacions.

CC3. Càlcul (mental, estimatiu, algorísmic, amb calculadora).

Solucionari

1. És el nombre 3.059.

MMMLX

2. Els dos àbacs es basen en el sistema de numeració decimal.

3. Resposta oberta. Per exemple: egipci, maia…

4. a) 208 · 34 = 7.027 b) 453 · 26 = 11.778

5. a) 15 · 3; b) 20 + 15 · 3; c) (20 + 15) · 3 31

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

1. SISTEMES DE NUMERACIÓ Els nombres naturals (1, 2, 3…) van sorgir de la necessitat de comptar, i la seva representació va evolucionar adaptant-se a cada moment cultural i històric.

En la prehistòria ja utilitzaven algunes tècniques per comptar: comparaven amb els dits, feien osques en un bastó, enfilaven granadures en una corda, etc.

Recorda

El sistema de numeració decimal

Un nombre es pot descompondre segons els seus ordres d’unitats i segons el valor de posició de cada xifra: 27.473

El sistema de numeració que utilitzem actualment és el decimal. Consta de deu símbols o xifres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) i es regeix per aquestes normes:

Els símbols utilitzats per representar els comptatges, juntament amb les seves normes d’ús, formen un sistema de numeració.

Aquest home primitiu ha escrit el nombre 47. Sabries dir el valor de cada símbol?

• Deu unitats d’un ordre fan una unitat de l’ordre immediat superior.

• El valor d’una xifra depèn del lloc que ocupi (sistema de tipus posicional).

2 DM → 20.000 7 UM → 7.000 4C→ 400 7D→ 70 3U→ + 3 27.473

A mesura que la societat evolucionava, es va fer necessari utilitzar quantitats grans i representar-les de manera pràctica. Així, van aparèixer en diferents cultures els sistemes de numeració.

• Es defineixen ordres d’unitats: unitats, desenes, centenes…

Exemple: UMM

CM

DM

UM

C

D

4

7

8

4

3

0

↓

4.000.000 U

F1. Seguint el sistema de numeració decimal:

CM DM UM

b) Quantes centenes fan una desena de miler?

1

10

100

1.000

10.000

100.000

1.000.000

pal

nansa

corda

flor

dit

granota

home

La norma per escriure un nombre era senzilla: s’anaven afegint (sumant) els símbols necessaris fins a completar la quantitat desitjada.

Aquí apareix escrit el nombre 1.333.331.

Els sistemes de numeració, com l’egipci, en què es van afegint símbols i se sumen els valors, s’anomenen sistemes additius.

El sistema de numeració maia 2 7

3 8

El poble maia, a l’actual Guatemala i el sud de Mèxic, abans de l’arribada de Cristòfor Colom al continent americà, utilitzava només tres símbols per escriure els nombres:

4 9

(0) (0)

10 11 12 13 14

(1) (1)

(5) (5)

20 20

21 21

27 27

36 36

40 40

100 100

137 137

Com veus, un símbol té diferent valor segons el nivell en què es trobi, la qual cosa és característica dels sistemes de numeració posicionals. És a dir, el sistema maia era en part additiu i en part posicional.

C 10

1

D ×

0

U

10

0

1 UM = 100 D

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 1. Escriu d’acord amb el sistema de numeració egipci els nombres 19, 65, 3.412 i 2.523.

2. En un sistema additiu s’utilitzen aquests símbols:

5. Completa en el teu quadern: a) 500 D = … C = … UM b) 3.000 C = … UM = … DM c) 6 UM = … C = … D

1

5

10

100

3. Tradueix al sistema decimal aquests nombres del sistema

maia.

d) 8 CM = … DM = … D

6. Vertader o fals? a) Si canvies de lloc les xifres, canvia el valor del nombre. b) Si afegeixes un zero a la dreta d’un nombre, el seu valor es multiplica per 10. c) Si afegeixes un zero a l’esquerra d’un nombre, el valor es divideix entre 10.

Segon nivell (× 20) Primer nivell (× 1)

×

c) Quantes centenes hi ha en 5 unitats de milió?

• Escriu, seguint aquest sistema, els nombres 7, 12, 84 i 126.

En els nombres més petits que 20, com pots veure a l’esquerra, el sistema era additiu. Fins aquí, el primer nivell. Per escriure nombres més grans, se superposaven altres nivells, amb els mateixos símbols, però multiplicant-ne el valor per 20 en pujar cada esglaó.

15 16 17 18 19

4. Afegeix dos elements per la dreta i uns altres dos per l’esquerra a aquesta sèrie de nombres del sistema maia: Segon nivell → Primer nivell →

d) Mig miler equival a 5 desenes. e) Mil milers fan un milió.

7. Un nombre té cinc xifres que sumen 5. Si intercanvies les unitats amb les unitats de miler, augmenta 999 unitats.

Quin nombre és?

10

11

Solucionari

4. Per la dreta:

Fixa idees

Per l’esquerra:

5. a) 500 D = 50 C = 5 UM

F1. a) 3 milers fan 300 desenes.

b) 3.000 C = 300 UM = 30 DM c) 6 UM = 60 C = 600 D d) 8 CM = 80 DM = 80.000 D

b) 1 desena de miler fa 100 centenes. c) 5 unitats de milió fan 50.000 centenes.

Aplica el que has après

6. a) Vertader

1.

65 =

b) Vertader c) Fals d) Fals e) Vertader

3.412 =

7. El nombre és 40.001, ja que 41.000 – 40.001 = 999.

19 =

2.523 =

Notes

2.

7 = 12 = 84 = 126 =

3.

6

32

4U

A JUDA

a) Quantes desenes fan 3 milers?

6

4

↓

4.000 U

» FIXA IDEES

Els antics egipcis utilitzaven els símbols següents:

5

U

La xifra 4 té diferent valor segons l’ordre d’unitats que ocupa.

El sistema de numeració egipci

0 1

↓

11

120 126

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

2. ELS NOMBRES GRANS

3. APROXIMACIÓ DE NOMBRES NATURALS

Moltes quantitats i dades superen les nou xifres: el nombre d’habitants de la Terra (7.000.000.000), els segons que té un segle (3.153.600.000), els quilòmetres d’un any llum (9.460.800.000.000)…

Quan un nombre té moltes xifres, és difícil de recordar i incòmode per fer càlculs. Per això, l’acostumem a substituir per un altre, més manejable, de valor aproximat, acabat en zeros. Per exemple:

El sistema de numeració decimal permet representar quantitats tan grans com desitgem. Aprèn els ordres d’unitats relatius als nombres de més de nou xifres:

1

3

milions

8

0

0

0

de tomàquets.

milers

1

es van consumir 35.326.000 kg

milers de milions

bilions

…

L’any 2018, a Catalunya

c

d

u

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

35.326.000 són, aproximadament, trenta-cinc milions de kg de tomàquets.

La manera més freqüent i pràctica de fer aproximacions és l’arrodoniment.

Per arrodonir un nombre a un determinat ordre d’unitats: • Se substitueixen per zeros totes les xifres a la dreta d’aquest ordre.

Tingues en compte Als milers de milions també se’ls anomena miliards.

També es designen amb el prefix giga: 1.000.000.000 bytes = 1 gigabyte

• Si la primera xifra substituïda és igual a 5 o més gran, se suma una unitat a

la xifra anterior.

» FIXA IDEES L’univers es va originar fa tretze mil vuit-cents milions d’anys.

El cervell d’una persona jove té uns cent mil milions de neurones.

La Terra té un volum aproximat d’un bilió de quilòmetres cúbics.

F2. Completa per aproximar el nombre 384.523 a les centenes de miler, a les desenes de miler i als milers. centenes de miler

• Un milió ↔ Un 1 seguit de 6 zeros.

3 83 348 854 425 532 23 3

• Un bilió ↔ Un milió de milions ↔ Un 1 seguit de 12 zeros.

+1 +1 +1

• Un trilió ↔ Un milió de bilions ↔ Un 1 seguit de 18 zeros.

es llegeixen:

a) El nombre d’habitants de la Terra. b) El nombre de segons d’un segle.

5 ≥55≥55≥ 5

... ... ...0 0 00 00 0

14. Arrodoneix als milers aquests nombres: 15. Aproxima a les centenes i a les desenes de miler:

c) Un milió de milers fan un…

b) 7.280

c) 40.274

17. Aproxima als milions per arrodoniment:

b) Mil milions fan un…

d) 99.834

a) 530.298 b) 828.502 c) 359.481 d) 29.935.236

11. El cos humà té entre deu i setanta milions de milions de

a) Vint-i-vuit milions tres-cents cinquanta mil.

cèl·lules. Expressa aquestes quantitats en bilions.

b) Cent quaranta-tres milions.

12. Com llegiries el nombre expressat per un 1 seguit de 16

f ) Quinze bilions tres-cents cinquanta mil milions.

3 83 348 854 425 532 23 3 +1 +1 +1

a) 24.963

d) Un milió de milions és un…

e) Un bilió i mig.

4 <45<45< 5

... ...0... 0 00 00 00 0

a) Mil milers fan un…

c) El nombre de quilòmetres que té un any llum.

d) Setze gigues.

3 83 348 854 425 532 23 3 = = =

A JUDA

Aproximació del nombre 52.722: – A les desenes de miler → 50.000 – Als milers → 53.000

milers

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 10. Copia en el teu quadern i completa:

9. Escriu amb xifres: c) Dos mil set-cents milions.

8 ≥85≥85≥ 5

... ...0...0 00 00 00 00 0

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 8. Llegeix les primeres línies d’aquesta pàgina i escriu com

desenes de miler

zeros?

13. Les científiques i els científics calculen que els mars i oceans de la Terra contenen tres quadrilions de quilograms d’aigua. Què creus que és un quadrilió?

16. Llegeix aquesta notícia i aproxima el nombre de turistes als milions i la despesa als milers de milions.

8 L’any 201 itar van vis nya Catalu 000 19.196. s que turiste tar van gas ions mil 20.477 s. d’euro

a) 24.356.000

b) 36.905.000

c) 274.825.048

18. Fixa’t en les diverses aproximacions al preu d’un pis en venda: EN VENDA 138 290 € 138.290 €

138.000 € 138.300 € 140.000 €

a) Quina és més propera al preu real? b) Quina et sembla més adequada per a una informació col·loquial, si no es recorda la quantitat exacta?

19. Un ajuntament ha pressupostat 149.637 € per rehabilitar una àrea esportiva. Quina xifra donaries per comunicar aquesta dada en una conversa informal?

13

12

Aplica el que has après 14. a) 25.000

Solucionari

Aplica el que has après

b) 7.000 c) 40.000 d) 100.000

8. a) Set mil milions o set miliards

b) Tres mil cent cinquanta-tres milions sis-cents mil c) Nou bilions quatre-cents seixanta mil vuit-cents milions

15. a) 530.298 → 500.000 i 530.000

b) 828.502 → 800.000 i 830.000 c) 359.481 → 400.000 i 360.000 d) 29.935.236 → 29.900.000 i 29.940.000

9. a) 28.350.000; b) 143.000.000;

c) 2.700.000.000; d) 16.000.000.000; e) 1.500.000.000.000; f ) 15.350.000.000.000

10. a) …milió; b) …miliard; c) …miliard; d) …bilió 11. Entre 10 i 70 bilions de cèl·lules.

12. Deu mil bilions.

13. Un bilió de bilions.

16. El nombre de turistes va ser de 19 milions, aproximada-

Fixa idees

18. a) 138.300 €

F2.

centenes de miler

3 83 348 854 425 532 23 3 +1 +1CM +1 CMCM 8 ≥85≥85≥ 5

4 4040 00 00 00 00 0

ment. La despesa va ser de 20 milers de milions, aproxima­ dament.

17. a) 24.000.000 b) 37.000.000 c) 275.000.000

b) Resposta oberta. Per exemple, 138.000 €. desenes de miler

3 83 348 854 425 532 23 3 = = = DMDMDM 4 <45<45< 5

3 83 380 80 00 00 00 0

19. 150.000 €

milers

3 83 348 854 425 532 23 3 +1 +1 +1

5 ≥55≥55≥ UMUMUM

5

3 83 358 850 50 00 00 0

33

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

4. OPERACIONS BÀSIQUES AMB NOMBRES NATURALS Tot i que ja saps fer operacions amb nombres naturals, és important que en repassem alguns conceptes i algunes propietats.

AFORAMENT: 590 localitats Localitats ocupades Platea: 308 1r pis: 258

La multiplicació i les seves propietats Recorda que multiplicar és una manera abreujada de fer una suma repetida de sumands iguals.

16 × 55

La suma i les seves propietats Recorda que sumar és unir, ajuntar, afegir.

34 + 16 = 16 + 34 50

308 + 258 = 566 La suma compleix les propietats següents: • Propietat commutativa: El resultat de la suma no varia encara que canviem

l’ordre dels sumands.

50

15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 15 · 7 = 105 €

8 × 2 × 5 × 11

Per exemple, si volem saber el nombre de persones que hi ha al teatre que veus al marge, haurem de fer una suma:

Propietat commutativa

Per exemple, si una entrada per al teatre de la pàgina anterior costa 15 €, la recaptació de 7 entrades serà aquesta:

CÀLCUL MENTAL

La multiplicació compleix les propietats següents:

88 × 10

• Propietat commutativa: El producte no varia en canviar l’ordre dels factors.

880 La propietat associativa ens permet reagrupar els termes, i la commutativa, canviar-los d’ordre.

a·b=b·a

• Propietat associativa: El resultat d’una multiplicació és independent de la

forma com s’agrupin els factors.

(a · b) · c = a · (b · c) • Propietat distributiva: El producte d’un nombre per una suma (o resta) és

a+b=b+a

igual a la suma (o resta) dels productes del nombre per cada sumand.

• Propietat associativa: El resultat de la suma és independent de la forma

com s’agrupen els sumands.

Propietat associativa

21 + 17

18 + 20

38

38

a · (b + c) = a · b + a · c

(a + b) + c = a + (b + c)

(18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17)

La resta i les seves relacions amb la suma

Una colla d’amics i amigues van comprar dijous 7 entrades per al teatre i divendres, 3 entrades més. Quin va ser el cost de les entrades?

15 · 7 + 15 · 3 = 15 · (7 + 3)

Recorda que restar és treure, suprimir, trobar el que falta o el que sobra; és a dir, calcular la diferència.

Per exemple, per saber quantes localitats buides hi ha al teatre, hem de fer una resta:

105 + 45

15 · 10

150

150

Podem calcular el cost de les entrades de dues maneres: despesa de 7 entrades + despesa de 3 entrades ↔ despesa de (7 + 3) entrades 15 · 7 + 15 · 3 = 15 · 10

590 – 566 = 24

Recorda

Observa, a més, que 590 = 566 + 24 i que 566 = 590 – 24.

590 ← Minuend (M ) – 566 ← Subtrahend (S )

M =S +D Relacions entre la suma i la resta: M – S = D → * S=M –D

24 ← Diferència (D )

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 25. Completa en el teu quadern: a)

×

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 20. Calcula: b) 340 + 255 – 429

a) Aquesta suma en una resta: 48 + 12 = 60

c) 1.526 – 831 + 63

d) 1.350 – 1.107 – 58

b) Aquesta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14

23. Si l’Albert tingués 15 anys més, encara seria 18 anys

21. Estima la resposta i comprova-la després: La Carme compra una bossa de 167 €, una gavardina de 235 € i un mocador de 32 €. Quant s’ha gastat? a) S’ha gastat al voltant de 350 €.

més jove que el seu oncle Tomàs, que té 51 anys. Quants anys té l’Albert?

24. Si comprés només una rentadora, em sobrarien 246 €, però si comprés també un televisor, em faltarien 204 €.

Pots dir el preu d’algun d’aquests articles?

b) S’ha gastat, més o menys, 450 €. c) S’ha gastat al voltant de 550 €.

2

5

+ 9 0 1 2 6 0

22. Transforma:

a) 254 + 78 + 136

a · (b – c) = a · b – a · c

L’exemple següent t’ajudarà a comprendre el significat de la propietat distributiva:

9

b)

8

×

+

28. Fixa’t en els exemples i multiplica mentalment per 9 i per 11: • 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207

2 8 7 4 6 9 9 3 4

26.

Recorda que per multiplicar per 10, per 100, per 1.000… s’afegeixen un, dos, tres… zeros. Calcula: a) 19 · 10

b) 12 · 100

c) 15 · 1.000

d) 140 · 10

e) 230 · 100

f ) 460 · 1.000

27. Expressa amb una igualtat aritmètica: Multiplicar un nombre per vuit és el mateix que multiplicarlo primer per deu i després restar el doble d’aquest nombre.

Quina propietat s’aplica en aquesta igualtat?

• 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253 a) 12 · 9

b) 25 · 9

c) 33 · 9

d) 12 · 11

e) 25 · 11

f ) 33 · 11

29. Quantes voltes fa en un quart d’hora una roda que gira a 1.500 revolucions per minut? I en una hora? I en una hora i mitja?

30. Una agricultora té un hort amb 200 presseguers. Calcu-

la que amb cada arbre omplirà set caixes de cinc quilos de préssecs.

Quin benefici obtindrà si ven tota la producció a 2 € el quilo?

15

14

28. a) 12 · 9 = 12 · 10 – 12 = 120 – 12 = 108

Solucionari

Aplica el que has après 20. a) 468; b) 166; c) 758; d) 185 21. La resposta correcta és la b). S’ha gastat, més o menys, 450 €.

Comprovació: 167 + 235 + 32 = 434 €.

22. a) 48 + 12 = 60 → 60 – 48 = 12 o 60 – 12 = 48 b) 22 – 2 – 6 = 14 → 14 + 2 + 6 = 22

23. L’Albert té 51 – 18 – 15 = 18 anys.

24. El preu del televisor és: 204 + 246 = 450 €.

9 5 8 4 5 b) 25. a) 2 8 3 6 0 + 9 0 1 2 6 0 ×

×

7 3 2 8 7 4 + 6 7 0 6 6 9 9 3 4

26. a) 190; b) 1.200; c) 15.000;

d) 1.400; e) 23.000; f ) 460.000

27. a · 8 = a · (10 – 2) = a · 10 – a · 2 Hem aplicat la propietat distributiva.

34

b) 25 · 9 = 25 · 10 – 25 = 250 – 25 = 225 c) 33 · 9 = 33 · 10 – 33 = 330 – 33 = 297 d) 12 · 11 = 12 · 10 + 12 = 120 + 12 = 132 e) 25 · 11 = 25 · 10 + 25 = 250 + 25 = 275 f ) 33 · 11 = 33 · 10 + 33 = 330 + 33 = 363

29. En 15 minuts: 1.500 · 15 = 22.500 voltes.

En una hora: 22.500 · 4 = 90.000 voltes.

En una hora i mitja: 22.500 · 6 = 135.000 voltes.

30. Obtindrà un benefici de 200 · 7 · 5 · 2 = 14.000 €.

Notes

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

5. EXPRESSIONS AMB OPERACIONS COMBINADES

La divisió Recorda dues de les situacions que resol la divisió i que apareixen freqüentment en els problemes aritmètics:

Ordre en què han de fer-se les operacions

• S’han de repartir 375 bolígrafs en 5 capses iguals. Quants bolígrafs hi haurà en cada capsa?

375 25 0

5 75

⎯→

Quan resolguis expressions amb operacions combinades, has de tenir en compte les normes del llenguatge matemàtic. Aquestes normes asseguren que cada expressió tingui un significat i una solució únics.

Observa l’ordre d’actuació en les expressions següents. Els resultats són diferents malgrat que estan formades pels mateixos nombres i operacions.

375 : 5 = 75 bolígrafs en cada capsa

48 : 3 + 5 – 2 · 3

48 : (3 + 5) – 2 · 3

48 : 3 + (5 – 2) · 3

16 + 5 – 6

48 : 8 – 6

16 + 3 · 3

21 – 6

6–6

16 + 9

15

0

25

Dividir és repartir un tot en parts iguals per esbrinar quantes en toquen a cada un.

Divisió exacta 35 0

5 7

• Quantes capses de 75 bolígrafs omplirem amb 375 bolígrafs?

375 00

35 = 5 · 7

5 7

375 : 75 = 5 capses

• Després, les multiplicacions i les divisions.

• Finalment, les sumes i les restes.

Aprèn a fer servir la calculadora Introdueix en la calculadora aquesta seqüència: 2 + 3 * 4 = Tot i que et sembli estrany, segons la calculadora que facis servir pots obtenir dues solucions diferents: 20 o 14. {∫“≠} → La calculadora fa les operacions en l’ordre en què s’introdueixen.

(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20 {∫‘¢} → La calculadora fa, primer, el producte. És a dir, respecta la prioritat de les operacions.

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 Per tant, no totes les calculadores tenen la mateixa lògica interna. Esbrina de quin dels dos tipus és la teva i tingues-ho en compte quan la utilitzis.

• Divisió exacta (el residu és zero).

D 0

Tingues en compte

d q

⎯→ El dividend és igual al divisor multiplicat pel quocient.

D=d·q

• Divisió entera (el residu és diferent de zero).

8 4

·7

⎯→

• Primer, els parèntesis.

Una divisió pot ser exacta o entera depenent del valor del residu.

38 = 5 · 7 + 3

32 0

En les expressions amb operacions combinades, hem de resoldre:

Dividir és partir un tot en porcions iguals d’una determinada mida per esbrinar quantes porcions s’obtenen.

Divisió entera 38 3

75 5

D r

·7 224 56 00 4

d q

⎯→ El dividend és igual al divisor multipliat pel quocient més el residu.

D=d·q+r

Si en una divisió es multipliquen el dividend i el divisor pel mateix nombre, el quocient no varia.

El quocient no varia.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 33. Fixa’t en els exemples i fes les operacions: • 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4 • (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4 a) 8 + 5 · 2 d) (15 – 3) : 4

» APLICA EL QUE HAS APRÈS 31. Esbrina el quocient i el residu de cada divisió: a) 96 : 13

b) 713 : 31

c) 5.309 : 7

d) 7.029 : 26

e) 49.896 : 162

f ) 80.391 : 629

b) 15 – 10 : 5 e) (8 + 2) · 3

c) 4 · 6 – 13 f ) 18 : (10 – 4)

35. Resol, indicant els passos seguits, i comprova la solució que es dona a la dreta. Si no coincideix, revisa l’exercici. a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7)

⎯→ 14

b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5

⎯→ 2

c) 21 : (3 + 4) + 6

⎯→ 9 ⎯→ 7

e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3

⎯→ 1

32. Un granger recull 1.274 ous, els envasa en safates de

34. Resol mentalment i compara els resultats:

d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6

Quants ous queden sense completar una safata?

a) 2 + 3 · 4 b) 6 – 2 · 3 c) 18 – 10 : 2

f ) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) ⎯→ 11

30 i empaqueta les safates en capses de 10.

Quantes safates queden sense completar una capsa?

Aplica el que has après 31. a) q = 7; r = 5 b) q = 23; r = 0 c) q = 758; r = 3 d) q = 270; r = 9 e) q = 308; r = 0 f ) q = 127; r = 508

32. 1.274 : 30 → q = 42 i r = 14

Li queden 14 ous sense completar la safata.

42 : 10 → q = 4 i r = 2 Li queden 2 safates sense completar la capsa.

g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2)

⎯→ 0

17

16

Solucionari

(2 + 3) · 4 (6 – 2) · 3 (18 – 10) : 2

d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6 = 26 – 5 · 5 + 6 = 26 – 25 + 6 = 1 + 6 = 7 e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3 = 26 : 2 – 12 = 13 – 12 = 1 f ) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) = 2 · 10 – 3 · 3 = 20 – 9 = 11 g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2) = 30 – 6 · (13 – 8) = 30 – 6 · 5 = 30 – 30 = 0 Trobareu un gran nombre de tutorials sobre el funcionament de la calculadora Casio Classwiz en l’enllaç següent: https://www.edu-casio.es/recursos-didacticos/?product_cat= videotutoriales

Notes

33. a) 8 + 5 · 2 = 8 + 10 = 18 b) 15 – 10 : 5 = 15 – 2 = 13 c) 4 · 6 – 13 = 24 – 13 = 11 d) (15 – 3) : 4 = 12 : 4 = 3 e) (8 + 2) · 3 = 10 · 3 = 30 f ) 18 : (10 – 4) = 18 : 6 = 3

34. a) 2 + 3 · 4 = 14 i (2 + 3) · 4 = 20 b) 6 – 2 · 3 = 0 i (6 – 2) · 3 = 12 c) 18 – 10 : 2 = 13 i (18 – 10) : 2 = 4

35. a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7) = 24 – 2 · 5 = 24 – 10 = 14 b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5 = 24 – 2 – 20 = 22 – 20 = 2 c) 21 : (3 + 4) + 6 = 21 : 7 + 6 = 3 + 6 = 9

35

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

6. POTÈNCIES

7. POTÈNCIES DE BASE 10. APLICACIONS

Una potència és una manera abreujada d’escriure un producte de factors iguals: a · a · a · a · a = a5 En les potències, el factor repetit es diu base, i el nombre de vegades que es repeteix, exponent.

ab Nombres i geometria

exponent

5

El quadrat de 5 és: 52 = 5 · 5 = 25 (25 quadradets)

5

base

5

a) 73 = 7 · 7 · 7 = 343

Aquest recurs facilita l’expressió i la comprensió de nombres molt grans.

75

• Descomponem en forma de producte → 95 · 100.000.000.000

F4. Quin és el valor de x en cada cas? x=…

b) 5x = 3.125

(112

92)

• Expressem el segon factor com una potència de base 10 → 95 · 1011

A JUDA

52 = 5 · 5 = 25 53 = (5 · 5) · 5 = 25 · 5 = …

54 = (5 · 5) · (5 · 5) = …

21 xifres

Descomposició polinòmica d’un nombre

En un gram

La descomposició d’un nombre segons el valor posicional de les xifres i el que has après sobre les potències de base 10 permeten la transformació de l’exemple següent. És la descomposició polinòmica del nombre.

d’oxigen hi ha 38 · 1021 àtoms.

Quant val x ?

Amb la calculadora senzilla:

836.279 =

7**=== {∫∫∫∫“¢≠‘}

62

– – = 2 · (121 – ) – 2· – = – =…

– 62 = 2 ·

39. Escriu com a potències de base 10:

36. Expressa amb una potència:

38. Copia la taula en el teu quadern i completa-la:

a) 6 · 6

b) 7 · 7 · 7

c) 4 · 4 · 4 · 4

d) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

37. Llegeix aquestes potències i expressa-les en forma de producte: e) 106

f ) 204

potència

base

exponent

26 … a4 …

…

5 … m

…

3 …

5

18

800.000 + 30.000 + 6.000 + 200 +

70

+ 9

8 · 105 + 3 · 104 + 6 · 103 + 2 · 102 + 7 · 10 + 9

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

d) 152

Un any llum equival a 95 · 1011 km.

37.638.383.060.000.000.000.000

F3. Completa en el teu quadern:

F4. 7x = 2.401

x=…

F5. Calcula i completa cada casella amb la quantitat que correspongui:

{∫∫∫«“|\°}

c) 93

Un any llum: 9.460.800.000.000 km. Observa les transformacions que fem perquè aquesta quantitat sigui més fàcil de llegir, d’escriure i de recordar: • Arrodonim i deixem dues xifres significatives → 9.500.000.000.000

= 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = (7 · 7) · (7 · 7) · 7 = = 49 · 49 · 7 = · 7 = …

a) x3 = 125

• Amb calculadora científica: 85 ⎯→ 8 ‰ 5 = {∫∫∫«“|\°} • Amb calculadora senzilla: 85 ⎯→ 8 * * = = = =

b) 27

Exemple

b) 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000

F3. Completa per calcular, amb llapis i paper, el valor de 75.

Potències amb la calculadora

a) Un miler. c) Mil milions.

42. Escriu la descomposició polinòmica dels nombres següents:

b) Un milió. d) Un bilió.

a) 74.238 c) 4.528.926

40. Expressa amb totes les xifres: a) 4 · 105

b) 15 · 109

41. Escriu el valor de

x en cada cas:

b) 680.290 d) 46.350.000

43. Escriu en forma abreujada les dades següents:

c) 86 · 1014

a) El nombre de molècules elementals en un litre d’aigua és 334.326.000.000.000.000.000.000.

10 x

a) 2.936.428 ≈ 29 · b) 3.601.294.835 ≈ 36 · 10 x c) 19.570.000.000.000 ≈ 20 · 10 x

b) L’estrella Alfa Centauri està a uns quaranta bilions de quilòmetres del Sol.

19

GeoGebra. Concepte de potència.

37. a) 3

Solucionari

= 3 · 3 · 3 · 3; b) 27 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2; c) 9 = 9 · 9 · 9; d) 152 = 15 · 15; e) 106 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10; f ) 204 = 20 · 20 · 20 · 20 4

3

Nombres i geometria 32 = 3 · 3 = 9

33 = 3 · 3 · 3 = 27

Fixa idees F3. 7

= 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = (7 · 7) · (7 · 7) · 7 = 49 · 49 · 7 = = 2.401 · 7 = 16.807 5

F4. a) x = 125 → x = 5 b) 5 = 3.125 → x = 5 F5. 2 · (11 – 9 ) – 6 = 2 · (121 – 81) – 6 = 2 · 40 – 36 = 3

x

2

2

2

= 80 – 36 = 44

3

= (5 · 5) · 5 = 25 · 5 = 125; 54 = (5 · 5) · (5 · 5) = 625

x

= 2.401 → x = 4

potència

base

exponent

26

2

6

5

3

5

3

a

4

a

4

m5

m

5

39. a) 10 ; b) 10 ; c) 10 ; d) 10 40. a) 400.000; b) 15.000.000.000; c) 8.600.000.000.000.000 41. a) x = 5; b) x = 8; c) x = 12 42. a) 74.238 = 7 · 10 + 4 · 10 + 2 · 10 + 3 · 10 + 8 3

6

9

2

c) 4 · 4 · 4 · 4 = 4 4

12

3

2

b) 680.290 = 6 · 105 + 8 · 104 + 2 · 102 + 9 · 10 c) 4.528.926 = 4 · 106 + 5 · 105 + 2 · 104 + 8 · 103 + 9 · 102 + + 2 · 10 + 6 d) 46.350.000 = 4 · 107 + 6 · 106 + 3 · 105 + 5 · 104

43. a) 33 · 10

; b) 40 · 1012

22

Aplica el que has après 36. a) 6 · 6 = 6

38.

4

Ajuda

36

Per exemple: 400.000 = 4 · 100.000 = 4 · 105

» FIXA IDEES

Com representaries geomètricament els nombres 32 i 33?

F3. 5 F4. 7

Els nombres acabats en zeros poden expressar-se com a producte d’un nombre per una potència de base 10.

En un gram d’oxigen hi ha 37.638.383.060.000.000.000.000 àtoms.

b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 → Dos elevat a cinc o dos elevat a la cinquena potència.

5

109 = 1.000.000.000 9 zeros

• Càlcul:

5

103 = 10 · 10 · 10 = 1.000

105 = 100.000

Expressió abreujada de nombres grans

a) 3 · 3 · 3 · 3 = 34 → Tres elevat a quatre o tres elevat a la quarta potència.

El cub de 5 és: 53 = 5 · 5 · 5 = 125 (125 cubets)

102 = 10 · 10 = 100

Una potència de base 10 és igual a la unitat seguida de tants zeros com indica l’exponent.

→ Es llegeix: a elevat a b.

• Expressió en forma de potència:

el cub

2

Ja saps que per multiplicar per 10 només has d’afegir un zero. Així:

Què és més còmode d’escriure? I d’interpretar?

1.000.000.000.000 ↔ 1012

Exemples

el quadrat

a) 34

Reflexiona

b) 7 · 7 · 7 = 73 d) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36

GeoGebra. Concepte de potència. Trobareu aquesta activitat en el web www.espaibarcanova.cat.

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

8. OPERACIONS AMB POTÈNCIES

Producte de potències amb la mateixa base En multiplicar dues potències del mateix nombre, s’obté una altra potència d’aquest nombre.

Ara aprendràs algunes propietats que faciliten el càlcul amb potències. Per això, és convenient que les entenguis, les memoritzis i n’assagis l’aplicació en diferents situacions.

54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57 ⎯→ 54 · 53 = 54 + 3 = 57 4 vegades

Potència d’un producte (Producte de potències amb el mateix exponent) No et confonguis (2 + 3)4 = 54 = 625 24 + 34 = 16 + 81 = 97 (2 + 3)4 ≠ 24 + 34 La potència d’una suma (o una resta) NO ÉS IGUAL a la suma de les potències dels sumands. (a + b)n ≠ an + bn (a – b)n ≠ an – bn

Per multiplicar dues potències amb la mateixa base, es deixa la base i se sumen els exponents.

Compara les dues expressions següents i observa que en ambdues s’obté el mateix resultat.

• (2 ·

3)3

=

63

= 6 · 6 · 6 = 216

→ (2 · 3)3 = 23 · 33

• 23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216 •

·

33

Recorda les relacions entre la multiplicació i la divisió i fixa-t’hi:

= (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = (2 ·

La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors.

3)3

⎯→ (a ·

b)n

5 4 · 53 = 5 7 ↔ =

an

·

bn

Per dividir dues potències de la mateixa base, es deixa la base i es resten els exponents.

Observa que aquestes dues expressions també tenen el mateix valor.

• (6 : 3)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 8 O també: • 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) = (6 : 3)3 La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor.

⎯→ (a : b)n = an : bn

a) 25 · 55 = (… · …)5 = …5 = … b) 184 : 94 = (… : …)4 = …4 = … c) 63 · 53 = (… · …)3 = …3 = (… · 10)3 = …3 · 103 = … · 1.000 = … d) (85 · 65) : 245 = (… · …)5 : 245 = …5 : 245 = (… : 24)5 = …5 = … e) (363 : 93) · 253 = (… : …)3 · 253 = …3 · 253 = (… · 25)3 = …3 = … f ) (542 : 32) : 22 = (… : …)2 : …2 = …2 : …2 = (… : …)2 = …2 = …

Per elevar una potència a una altra potència, es deixa la mateixa base i es multipliquen els exponents.

⎯→ (an)m = an · m

44. Reflexiona i calcula de la forma més senzilla:

46. Expressa amb una única potència:

a) 53 · 23 d) 203 · 53 g) 214 : 74

a) 26 : 22 c) 107 : 106

• (66 · 56) : 156 = (6 · 5)6 : 156 =

a) (6 + 4)2 62 + 42

26

2)6

106

= 24 · 104 = 16 · 10.000 = 160.000

= 306 : 156 = (30 : 15)6 = 26 = 64

b) 42 · 52 e) 165 : 85 h) 352 : 52

c) 252 · 42 f ) 183 : 63 i) 1003 : 503

45. Calcula i observa que els resultats no coincideixen: b) (5 + 2)3 53 + 23

b) 38 : 35 d) a10 : a6

47. Redueix a una única potència: a) (52)3 c) (103)3 e) (m2)6

b) (25)2 d) (a5)3 f ) (x4)4

GeoGebra. Producte de potències amb la mateixa base. Quocient de potències amb la mateixa base.

Potència d’una altra potència. Operacions amb potències.

46. a) 2

21

: 22 = 24 b) 3 : 3 = 33 c) 107 : 106 = 101 = 10 d) a10 : a6 = a4 6

8

Fixa idees F6. a) 2 · 5 = (2 · 5)

= 105 = 100.000 b) 18 : 9 = (18 : 9) = 24 = 16 c) 63 · 53 = (6 · 5)3 = 303 = (3 · 10)3 = 33 · 103 = 27 · 1.000 = = 27.000 d) (85 · 65) : 245 = (8 · 6)5 : 245 = 485 : 245 = (48 : 24)5 = 25 = 32 e) (363 : 93) · 253 = (36 : 9)3 · 253 = 43 · 253 = (4 · 25)3 = 1003 = = 1.000.000 f ) (542 : 32) : 22 = (54 : 3)2 : 22 = 182 : 22 = (18 : 2)2 = 92 = 81 5

5

4

(54)3 = 54 · 54 · 54 = 54 + 4 + 4 = 54 · 3 = 512 Observa que l’exponent final és el producte dels exponents de l’expressió inicial.

= 1.000.000 • · = (5 · = • 123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 27 • 54 · 44 = (5 · 4)4 = 204 = (2 · 10)4 =

56

Solucionari

5

La potència zero d’un nombre (diferent de zero) és igual a u.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

EXEMPLES

20

4

En elevar una potència a una altra potència, s’obté una nova potència de la mateixa base.

Tingues en compte

a0 = 1 (a ≠ 0)

» FIXA IDEES

⎯→ am : an = am – n

Potència d’una altra potència

→ (6 : 3)3 = 63 : 33

• 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8

57 : 53 = 54 ⎯→ 57 : 53 = 57 – 3 = 54 57 : 54 = 53 ⎯→ 57 : 54 = 57 – 4 = 53

Observa que l’exponent de cada quocient és la diferència entre l’exponent del dividend i l’exponent del divisor.

Potència d’un quocient (Quocient de potències amb el mateix exponent)

F6. Fixa’t en els exemples resolts a la dreta i, seguint els mateixos procediments, copia en el teu quadern i completa:

⎯→ am · an = am + n

Quocient de potències amb la mateixa base

O també: 23

3 vegades

Observa que l’exponent del producte final és la suma dels exponents dels factors.

4

Aplica el que has après

5

47. a) (5 )

= 52·3 = 56 b) (2 ) = 2 = 210 c) (103)3 = 103·3 = 109 d) (a5)3 = a15 e) (m2)6 = m12 f ) (x4)4 = x16 2 3

5 2

5·2

Notes

44. a) 5

· 23 = (5 · 2) 3 = 103 = 1.000 b) 42 · 52 = (4 · 5) 2 = 202 = 400 c) 252 · 42 = (25 · 4)2 = 1002 = 10.000 d) 203 · 53 = (20 · 5) 3 = 1003 = 1.000.000 e) 165 : 85 = (16 : 8)5 = 25 = 32 f ) 183 : 63 = (18 : 6) 3 = 33 = 27 g) 214 : 74 = (21 : 7)4 = 34 = 81 h) 352 : 52 = (35 : 5)2 = 72 = 49 i) 1003 : 503 = (100 : 50) 3 = 23 = 8 3

45. a) (6 + 4)

= 102 = 100 b) (5 + 2)3 = (7)3 = 343 62 + 42 = 36 + 16 = 52 53 + 23 = 125 + 8 = 133 2

GeoGebra. Producte de potències amb la mateixa base. Quocient de potències amb la mateixa base. Potència d’una altra potència. Operacions amb potències. Trobareu aquestes activitats en el web www.espaibarcanova.cat.

37

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

9. ARREL QUADRADA Exemples

Algorisme per al càlcul de l’arrel quadrada Per calcular amb llapis i paper una arrel quadrada, segueix els passos que s’indiquen a continuació.

Calcular l’arrel quadrada és fer l’operació inversa d’elevar al quadrat.

Exemple

b2 = a ) a = b

• 42 = 16 → 16 = 4 L’arrel quadrada de 16 és 4.

— √a = b

• 152 = 225 → 225 = 15 L’arrel quadrada de 225 és 15.

Calculem 105.674 :

arrel

1 Separem de dos en dos, des de la dreta, les xifres del radicand i calculem l’arrel del paquet de l’esquerra ` 10…j.

⎯→ Es llegeix: L’arrel quadrada de a és igual a b.

radicand

√10 . 56 . 74 3

3 · 3 → –9

Arrels exactes i arrels enteres No ho oblidis

• Els quadrats dels nombres naturals s’anomenen quadrats perfectes:

12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64

102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = …

92 = 81

182 = …

Per exemple, són arrels exactes les següents: 9=3

121 = 11

√10 . 56 . 74 3 400 = 20

–9 ↓↓

• Però l’arrel de la majoria de nombres no coincideix amb una quantitat exacta d’unitats senceres.

032 3 Pugem el valor c = 2 al camp de la solució, baixem el següent paquet (74) i repetim el procés.

El nombre natural que més s’aproxima, per sota, a l’arrel, l’anomenem arrel entera.

40 ≈ 6 → L’arrel entera de 40 és 6.

√10 . 56 . 74 32 –9

62

3.969 — √3.900 ↓

63

105674 $ → {«“∞…≠|∞………} • En d’altres, és la següent: $ 105674 = → {«“∞…≠|∞………}

a) 49 = 7 " … c) 81 = … " …

– 2 5 6 0 0

b) 64 = … " … d) 121 = … " …

Notes

Aplica el que has après 48. a) √49 = 7 → L’arrel quadrada de 49 és igual a 7. b) √64 = 8 → L’arrel quadrada de 64 és igual a 8. c) √81 = 9 → L’arrel quadrada de 81 és igual a 9. d) √21 = 11 → L’arrel quadrada de 121 és igual a 11.

49.

38

d =5

74

3.274

64 5 × 5 = 3.225 → –3.225 0049 4 Pugem el valor d = 5 al camp de la solució.

Solució: 105.674 = 325 Prova: 3252 + 49 = 105.674

b) √ 2 7 3 8 5 – 102 × 2 2 3 8 –

23

Solucionari

– 9 6 4 × 4 2 5 8

– 2 5 6

0 0 2

645 × 5 = 3.225

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

22

a) √ 1 1 5 8 3 4

32

CALCULADORA

62 × 2 = 124

–124

• En algunes calculadores, la successió

a) √ 1 1 5 8 4 – 6 ×

25 = 5 " L’arrel de 25 és igual a 5.

156

–124

» APLICA EL QUE HAS APRÈS •

–9

64 d × d

49. Copia en el teu quadern i completa les següents arrels resoltes mitjançant l’algorisme:

3900 ≈ 62 → L’arrel entera de 3.900 és 62.

48. Observa l’exemple, i copia i completa:

√10 . 56 . 74 32

62 × 2 = 124

156

de tecles per calcular 105.674 és la següent:

Calculem, per tempteig, 3.900 . _ 60 2 = 3.600 < 3.900b h h h b més petit que que63 6322..

Comoveus, veus,3.900 3.900ésésmés més gran gran que 622 i m és petit ` Com 62 2 = 3.844 < 3.900b 63 2 = 3.969 > 3.900b a L’arrel quadrada de 3.900 és un nombre comprès entre 62 i 63.

632

62 × 2 = 124

156

6 2 × 2 = 124 → –124

6 2 = 36 < 40 L’arrel quadrada de 40 és un 4 → 6 < 40 < 7 → nombre comprès entre 6 i 7.

7 2 = 49 > 40

Exemple

3.844

–9 c =2

Busquem, per exemple, l’arrel de 40:

Amb el que ja saps, pots calcular arrels per tempteig. Aquesta tècnica t’ajudarà a aclarir idees i a consolidar el concepte.

3.900 ↓

√10 . 56 . 74 3

6 c × c

1 56

Càlcul de l’arrel quadrada per tempteig

622

← A A = 10 = 3 i queda 1 de residu.

← B B: Escrivim el doble d’A.

2 Baixem el paquet següent (56) i busquem la xifra c , de manera que 6 c × c sigui tan proper a 156 com sigui possible, sense sobrepassar-lo.

L’arrel quadrada d’un quadrat perfecte és una arrel exacta.

És important memoritzar els primers quadrats perfectes:

6

1

b) √ 2 7 3 8 5 2

– 2 5 102 × 2

2 3 8 – 2 0 4 0 3 4

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Sistemes de numeració

9.

1. Tradueix al sistema decimal aquests nombres de l’antic Egipte: B

A

a) Costa gairebé tres-cents mil euros.

D

C

2.

Escriu segons el sistema additiu egipci cada un d’aquests nombres: a) 48

3.

b) 235 b) 425

c) 2.600

4.

Escriu el nombre cinquanta-set, com a mínim, amb tres sistemes de numeració diferents.

5. Quantes xifres necessites per escriure un bilió? I un trilió? Quants zeros són en cada cas?

6.

b) Costa dos-cents mil euros i escaig. c) Costa dos-cents noranta mil euros.

10.

La taula conté algunes dades sobre el consum a Catalunya de productes de l’hort durant el 2018: pes (tones)

valor (milers d’€)

hortalisses fresques

476.717

889.501

patates

217.870

197.577

total

694.587

1.087.078

c) 2.130

Expressa en xifres romanes:

a) 87

Llegeixes, en un anunci, que un habitatge es ven per 293.528 €. Uns quants dies després ho comentes amb una amiga, però no recordes exactament el preu.

Quina de les expressions següents triaries per transmetre la informació? Explica per què.

Vertader o fals?

Repeteix la taula aproximant les dades a les centenes de milers de tones i a les centenes de milers d’euros.

Utilitats dels nombres

a) Un milió equival a mil centenes. b) Cent milions són mil centenes de miler. c) Mil vegades un milió fan un giga. d) Cent gigues fan un bilió. e) Un bilió té un milió de milions.

11.

Aquests són els números de diverses habitacions en un hotel de platja: 401; 235; 724; 231. a) Una de les habitacions és al final del passadís. Quina és? b) Una altra és a l’última planta. Quin número té?

Aproximacions

c) Quines habitacions són al mateix pis?

7.

Operacions

Copia en el teu quadern i completa la taula: aproximacions a les centenes de miler

als milions

2.830.554

…

…

19.270.000

…

…

399.675.000

…

…

nombre

8.

Suma i resta

12.

Calcula mentalment:

a) 5 + 7 – 3 – 4

b) 18 – 4 – 5 – 6

c) 10 – 6 + 3 – 7

d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5

e) 12 + 13 + 8 – 23

f ) 40 – 18 – 12 – 6

Segons va publicar un diari, la població de la capital d’Egipte, el juny de 2018, era de 19.487.245 habitants. Si et preguntessin per aquesta xifra i no recordessis la quantitat exacta, què respondries?

13.

• Quina creus que podria ser la xifra per a l’any 2100?

Calcula:

a) 47 – (35 – 28)

b) 52 – (36 – 27)

c) 128 – (86 – 45 – 12)

d) 237 – (152 + 48 – 14)

e) 348 – (148 – 86 + 29)

f ) 235 – (340 – 152 – 84)

24

Solucionari

8.

Exercita les teves competències

ODS (11) 19 milions d’habitants, aproximadament.

• Resposta oberta.

1. A: 57; B: 234; C: 2.540; D: 3.430.000 2. a) b) c)

9. a) Costa gairebé tres-cents mil euros.

10. pes

3. a) 87 = LXXXVII; b) 425 = CDXXV; c) 2.600 = MMDC 4. Sistema de numeració decimal: 57 Sistema de numeració romà: LVII Sistema de numeració egipci:

5. a) Un bilió → 1.000.000.000.000 → 13 xifres, 12 zeros

b) Un trilió → 1.000.000.000.000.000.000 → 19 xifres, 18 zeros

6. a) Fals; b) Vertader; c) Vertader; d) Fals; e) Vertader 7.

aproximacions nombre

a les centenes de miler

als milions

2. 830. 554

2.800.000

3.000.000

19. 270. 000

19.300.000

19.000.000

399. 675. 000

399.700.000

400.000.000

valor

(tones)

(milers de €)

hortalisses fresques

500.000

900.000

patates

200.000

200.000

total

700.000

1.100.000

11. a) 235; b) 724; c) 231 i 235 12. a) 5; b) 3; c) 0; d) 1; e) 10; f ) 4 13. a) 40; b) 43; c) 99; d) 51; e) 257; f ) 131 Notes

39

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

14.

Calcula i comprova el resultat amb les solucions del final de l’activitat: a) 5 – [7 – (2 + 3)] c) 2 + [6 + (13 – 7)] e) 20 – [15 – (11 – 9)]

b) 3 + [8 – (4 + 3)] d) 7 – [12 – (2 + 5)] f ) 15 – [17 – (8 + 4)]

21. Si en una divisió multipliques el dividend i el divisor pel mateix nombre, el quocient no varia. Però què li passa al residu?

Operacions combinades

Solucions: a) 3; b) 4; c) 14; d) 2; e) 7; f ) 10

22.

Multiplicació i divisió

a) 2 · (4 + 6)

b) 2 · 4 + 6

15.

c) 8 : (7 – 5)

d) 5 · 7 – 5

e) (5 + 6) · 4

f) 5 + 6 : 3

g) (19 – 7) : 2

h) 18 – 7 · 2

Multiplica:

a) 16 · 10 d) 17 · 100 g) 22 · 1.000

16.

b) 128 · 10 e) 85 · 100 h) 134 · 1.000

c) 60 · 10 f ) 120 · 100 i) 140 · 1.000

Calcula el quocient i el residu en cada cas:

a) 2.647 : 8 d) 7.482 : 174

17.

b) 1.345 : 29 e) 7.971 : 2.657

c) 9.045 : 45 f ) 27.178 : 254

Copia i completa en el teu quadern:

a) 8

b) 8 2

5 6

3

14 9

6

5 7 6

18.

Calcula mentalment:

a) 3 · (10 : 5) d) (30 : 5) · 3

b) (4 · 6) : 8 e) 10 : (40 : 8)

c) 20 : (2 · 5) f ) (40 : 8) : 5

23.

Fes els càlculs següents:

Calcula:

a) 8 + 7 – 3 · 4

b) 8 : 4 + 7 – 3

c) 15 – 2 · 3 – 5

d) 10 – 12 : 6 – 4

e) 22 – 6 · 3 + 5

f ) 8 + 10 : 5 – 10

g) 36 – 8 · 4 – 1

h) 11 – 2 – 9 : 3

i) 4 · 7 – 13 – 2 · 6

j) 15 : 3 + 7 + 4 : 2

k) 5 · 4 + 12 – 6 · 4

l) 12 : 4 – 1 – 6 : 3

m) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5

n) 9 : 3 + 8 : 4 – 7 : 7

o) 8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8

p) 18 : 2 – 12 : 3 – 6 : 2

24. Escriu una expressió amb els nombres 9, 3 i 1 el resultat de la qual sigui el pes que marca cada balança: A

B

19.

Calcula mentalment, tenint en compte que dividir entre 5 és igual que dividir entre 10 i, després, multiplicar per 2: :5

• 90 : 10

a) 60 : 5 d) 140 : 5 g) 210 : 5

20.

9

b) 80 : 5 e) 170 : 5 h) 340 : 5

18 ·2

c) 120 : 5 f ) 200 : 5 i) 420 : 5

Resol mentalment:

a) En un bidó d’aigua hi caben 5 litres. Quants bidons s’omplen amb 100 litres? b) Un quilo d’ametlles costa 12 €. Quant costa una bossa d’ametlles de 5 quilos? c) Una caixa de refrescos conté 24 ampolles. Quantes ampolles hi ha en 10 caixes? d) Canviar les dues rodes d’una bicicleta ha costat 240 euros. Quant ha costat cada roda?

25.

Calcula i comprova el resultat amb les solucions:

a) 30 – 4 · (5 + 2) b) 5 + 3 · (8 – 6) c) 5 · (11 – 3) + 7 d) 3 · (2 + 5) – 13 e) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4) f ) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7) g) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2) h) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3) Solucions: a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f) 14; g) 9; h) 11

25

19. a) 12; b) 16; c) 24; d) 28; e) 34; f ) 40; g) 42; h) 68; i) 84 20. a) 100 : 5 = 20 bidons; b) 12 · 5 = 60 €; c) 24 · 10 = 240 am-

Solucionari

14. a) 5 – [7 – 5] = 5 – 2 = 3 b) 3 + [8 – 7] = 3 + 1 = 4 c) 2 + [6 + 6] = 2 + 12 = 14 d) 7 – [12 – 7] = 7 – 5 = 2 e) 20 – [15 – 2] = 7 f ) 15 – [17 – 12] = 10

polles; d) 240 : 2 = 120 €

21. D = d · q + r

k · D = k · (d · q + r) = k · d · q + k · r La propietat distributiva diu que el residu queda també multiplicat pel mateix nombre.

15. a) 160; b) 1.280; c) 600; d) 1.700; e) 8.500;

22. a) 20; b) 14; c) 4; d) 30; e) 44; f ) 7; g) 6; h) 4 23. a) 3; b) 6; c) 4; d) 4; e) 9; f ) 0; g) 3; h) 6; i) 3;

f ) 12.000; g) 22.000; h) 134.000; i) 140.000

16. a) q = 330; r = 7

j) 14; k) 8; l) 0; m) 12; n) 4; o) 0; p) 2

b) q = 46; r = 11 c) q = 201; r = 0 d) q = 43; r = 0 e) q = 3; r = 0 f ) q = 107; r = 0

24. A. 9 + (3 – 1) = 11 25. a) 30 – 4 · 7 = 30 – 28 = 2

17. a) 8 1 6

0 6 6 1 6

2 5 b) 8 2 9 5 6 1 2 9 3 2 0 3 4 0 7 6 0 6

18. a) 6; b) 3; c) 2; d) 18; e) 2; f ) 1 40

14 5 9 2 5

B. 9 – (3 + 1) = 5

b) 5 + 3 · 2 = 5 + 6 = 11 c) 5 · 8 + 7 = 40 + 7 = 47 d) 3 · 7 – 13 = 21 – 13 = 8 e) 2 · 12 – 3 · 5 = 24 – 15 = 9 f ) 4 · 2 + 3 · 2 = 8 + 6 = 14 g) 15 – 3 · (10 – 8) = 15 – 3 · 2 = 15 – 6 = 9 h) 6 + 5 · (13 – 12) = 6 + 5 · 1 = 6 + 5 = 11

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

Interpreta, descriu, expressa’t

31.

26.

Relaciona cada enunciat amb dues de les expressions de sota: I. En un autobús urbà hi anaven 50 passatgers. En la primera parada en baixen 16 i en pugen 4.

b) 10x = 10.000

c) 7x = 2.401

d) 13x = 2.197

32.

33.

III. L’Ernest va comprar una samarreta de 16 € i una gorra de 4 € i va pagar amb un bitllet de 50 €.

34.

IV. A l’hotel hi ha 50 clients. Avui n’entren 16 de nous i en surten 4. b) 50 – 16 + 4

d) 50 – (16 – 4)

e) 50 + (16 – 4) f ) 50 + 16 – 4

a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2

b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2 d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)

28.

Llegeix l’enunciat del problema i fixa’t en la resolució. Després, explica el significat de cada operació i el resultat que s’obté en cada una.

En una granja hi ha cavalls, vaques i gallines. En total hem comptat 714 potes, 168 banyes i 137 becs. Quants cavalls hi ha a la granja?

Resolució

c) 110

b) 510

c) 453

35.

a1

a2

a3

a4

a5

3

…

…

…

…

…

…

16

…

…

…

…

…

…

1.000

…

…

…

…

…

…

16

…

…

…

…

…

…

1

Potències de base 10.

Expressió abreujada de nombres grans 36.

Escriu amb totes les xifres:

a) 102

37.

b) 106

c) 1010

c) Cent bilions.

d) Cent mil bilions.

38.

Transforma com en l’exemple:

• 180.000 = 18 · 104

4. 336 + 274 = 610

a) 5.000

6. 104 : 4 = 26

39.

Calcula mentalment:

30.

e) 300

Copia en el teu quadern i completa:

a)

3

= 8.000

b)

2

= 4.900

c)

4

= 10.000

d)

4

= 160.000

b) 1.700.000

c) 4.000.000.000

Arrodoneix a la centena de miler i escriu de manera abreujada amb el suport d’una potència de base 10 el nombre d’habitants de cada ciutat:

Càlcul de potències d) 204

e) 1016

b) Cent milions.

2. 84 · 4 = 336

c) 35

d) 1012

Escriu amb potències de base 10:

a) Cent.

5. 714 – 610 = 104

b) 63

e) 993

…

3. 137 · 2 = 274

a) 24

e) 164

Copia en el teu quadern i completa: a0

1. 168 : 2 = 84

29.

d) 153 d) 674

Escriu tots els quadrats perfectes compresos entre 1.000 i 1.500.

27. Quina o quines de les expressions aritmètiques responen a la solució d’aquest problema?

c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4

b) 95

Obtén amb la calculadora:

a) 412

c) 50 – (16 + 4)

En un supermercat s’han venut aquest matí 24 kg de pomes a 2 €/kg, 12 melons a 4 € la peça i 13 pinyes a 2 € cada una. Quant s’ha ingressat a la caixa per la venda d’aquestes fruites?

Calcula amb llapis i paper:

a) 55

II. La classe de música té 50 estudiants matriculats, però avui n’han faltat 4 i 16 han anat a un concert.

a) 50 – 16 – 4

Calcula l’exponent en cada cas:

a) 2x = 256

casablanca: 5.899.000 san francisco: 5.929.000

parís: 10.858.000 pequín: 21.009.000

40. Ordena, de la més petita a la més gran, aquestes quantitats: 8 · 109

17 · 107

98 · 106

1010

16 · 108

9 · 109

26

34. 32

Solucionari

26. I → b) i d) III → a) i c)

II → a) i c) IV → e) i f )

27. b) i c) 28. 1. Només les vaques tenen banyes; per tant, el nombre de

vaques és la meitat del nombre de banyes. → 168 : 2 = 84 2. Les potes de les vaques. → 84 · 4 = 336 3. El nombre de potes de gallina és el doble que el nombre de becs. → 137 · 2 = 274 4. El nombre de potes de vaca i potes de gallina. → 336 + 274 = 610 5. El nombre de potes de cavall és igual al total de potes menys les potes de gallina i les potes de vaca. → 714 – 610 = 104 6. El nombre de cavalls és el nombre de potes de cavall dividit per 4. → 104 : 4 = 26

29. a) 16; b) 216; c) 243; d) 160.000; e) 1 30. a) 20 = 8.000 b) 70 = 4.900 3

c) 10 = 10.000 4

2

d) 204 = 160.000

31. a) x = 8 b) x = 4 c) x = 4 d) x = 3 32. a) 3.125; b) 59.049; c) 1; d) 3.375; e) 65.536 33. a) 16.777.216; b) 9.765.625; c) 91.125;

= 1.024 35 = 1.225 382 = 1.444

332 = 1.089 362 = 1.296

2

2

35.

342 = 1.156 372 = 1.369

a0

a1

a2

a3

a4

a5

1

3

9

27

81

243

1

4

16

64

256

1.024

1

10

100

1.000

10.000

100.000

1

2

4

8

16

32

1

1

1

1

1

1

36. a) 100; b) 1.000.000; c) 10.000.000.000;

d) 1.000.000.000.000; e) 10.000.000.000.000.000

37. a) 10 b) 10 c) 10 38. a) 5 · 10 2

8

14

d) 1017

3

b) 17 · 105 c) 4 · 109

39. Casablanca: 5.899.000 → 5.900.000 i 59 · 10

5

París: 10.858.000 → 10.900.000 i 109 · 10 San Francisco: 5.929.000 → 5.900.000 i 59 · 105 Pequín: 21.009.000 → 21.000.000 i 21 · 106 5

40. 98 · 106 < 17 · 107 < 16 · 108 < 8 · 109 < 9 · 109 < 1010

d) 20.151.121; e) 970.299

41

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

41.

Escriu de manera abreujada, amb ajuda d’una potència de base 10:

48.

a) Vuit mil cinc-cents milions.

a) (a7 : a) · a3

b) (x9 : x4) : x3

c) (m2)5 : (m3)2

d) (a5)3 : (a4)3

e) (x3 · x7) : (x · x6)

f ) (m5 : m4) · (m4 : m3)

b) Dos bilions, tres-cents mil milions. c) Quatre trilions, nou-cents mil bilions.

Operacions amb potències 42.

Calcula:

a) 72 – 62 + 52 – 42

b) (5 – 4 + 2 – 1)3

c) (10 – 6)2 – (10 – 8)3

d) 34 – (5 – 3)2 – (23)2

e) (13 – 3)2 · (7 + 3)2 + (15 – 5)2 · 10

43.

Calcula de la manera més senzilla:

a) 82 · 52

b) 26 · 56

c) 253 · 43

d) 65 : 35

e) 153 : 53

f ) 204 : 54

44. Reflexiona sobre aquests enunciats i tradueix-los a igualtats o a desigualtats matemàtiques: a) Potència d’un producte. ↔ Producte de les potències dels factors. b) Potència d’una suma. ↔ Suma de les potències dels sumands. c) Producte de potències amb la mateixa base. ↔ La mateixa base elevada a la suma d’exponents. d) Potència d’una altra potència. ↔ La mateixa base elevada al producte dels exponents. e) Potència d’exponent zero. ↔ U.

45.

Redueix aquestes expressions:

a) x8 : x3 d) x5 · x5

b) m4 · m2 e) (m3)2

c) (k2)4 f ) k6 : k4

46.

Copia en el teu quadern i substitueix cada asterisc per l’exponent que correspongui:

a) 64 · 63 = 6* c) m3 · m* = m9 e) a9 : a8 = a* g) (42)3 = 4* i) (m4)* = m12

47.

b) a5 · a3 = a* d) 26 : 24 = 2* f ) m8 : m* = m6 h) (a2)2 = a* j) (x*)2 = x12

Calcula:

a) 184 : (24 · 34) c) (154 : 34) : 52 e) (62 · 65) : (63 · 64)

b) (35 · 33) : 36 d) (45)2 : (47 : 43) f ) (407 : 57) : (25 · 45)

49.

Redueix a una sola potència:

EXERCICI RESOLT

Redueix a una sola potència i, després, calcula: 210 : 44 210 : 44 = 210 : (22)4 = 210 : 28 = 22 = 4

50. Copia, substitueix cada asterisc pel nombre adequat i, finalment, calcula: a) 212 : 45 = 212 : (2*)5 = 212 : 2* = 2* = … b) 36 : 92 = 36 : (3*)2 = 36 : 3* = 3* = … c) 253 : 54 = (5*)3 : 54 = 5* : 54 = 5* = … d) 164 : 45 = (4*)4 : 45 = 4* : 45 = 4* = …

51. Copia, substitueix cada asterisc pel nombre adequat i, finalment, calcula: a) (55 · 53) : 253 = (55 · 53) : (5*)3 = … b) (23 · 42) : 8 = [23 · (2*)2] : 2* = [23 · 2*] : 2* = … c) (34 · 92) : 272 = [34 · (3*)2] : (3*)2 = [34 · 3*] : 3* = …

Expressa i calcula 52. Un restaurant ofereix a la seva carta nou primers plats, nou segons i tres postres. Expressa amb una potència i calcula el nombre de menús diferents que es poden triar.

53.

Escriu els exponents en el teu quadern i calcula:

a) La Montse té una capsa amb molts cubs de goma d’1 cm d’aresta. Construeix tres cubs iguals de 3 cm d’aresta.

Nombre de cubs utilitzats: 3 = … b) Un pagès planta enciams al seu hort.

Els distribueix en 25 solcs i en cada solc hi posa 25 enciams.

Nombre d’enciams: 25 = … c) Un camió de repartiment porta 6 palets de capses de llet. En cada palet hi ha 36 capses i en cada capsa, 6 brics de litre.

Nombre de litres: 6 = …

27

48. a) a

Solucionari

· a3 = a9 c) m : m6 = m4 e) x10 : x7 = x3

41. a) 8.500.000.000 = 85 · 10

8

b) 2.300.000.000.000 = 23 · 1011 c) 4.900.000.000.000.000.000 = 49 · 1017

49. Exercici resolt.

50. a) 2 : 4 = 2 : (2 )

42. a) 22; b) 8; c) 8; d) 13; e) 11.000 43. a) 40 = 1.600 b) 10 = 1.000.000 2

= 212 : 210 = 22 = 4 b) 36 : 92 = 36 : (32)2 = 36 : 34 = 32 = 9 c) 253 : 54 = (52)3 : 54 = 56 : 54 = 52 = 25 d) 164 : 45 = (42)4 : 45 = 48 : 45 = 43 = 64 12

6

c) 1003 = 1.000.000 e) 33 = 27

d) 25 = 32 f ) 44 = 256

45. a) x

46. a) 6

b) a5 · a3 = a8 e) a9 : a8 = a h) (a2)2 = a4

c) m3 · m6 = m9 f ) m8 : m2 = m6 i) (m4)3 = m12

· 63 = 67 d) 26 : 24 = 22 g) (42)3 = 46 j) (x6)2 = x12

47. a) 18

4

: 64 = 34 = 81 c) 5 : 5 = 52 = 25 e) 67 : 67 = 1 4

4

42

4

c) (k ) = k f ) k6 : k4 = k2

4

2

52. Es poden triar 3 · 3 · 3 = 3 = 243 menús diferents.

53. a) 3 = 81 cubs d’1 cm d’aresta 2

b) m · m = m e) (m3)2 = m6

5

2 5

· 53) : (52)3 = (58) : (52)3 = 58 : 56 = 52 = 25 b) [23 · (22)2] : 23 = [23 · 24] : 23 = 27 : 23 = 24 = 16 c) [34 · (32)2] : (33)2 = [34 · 34] : 36 = 38 : 36 = 32 = 9

:x =x d) x · x = x10 5

5

12

5

= am · bm m b) (a + b) ≠ a m + b m c) a m · a n = a m + n d) (a m)n = a m · n e) a0 = 1 m

3

5

51. a) (5

44. a) (a · b)

8

b) x5 : x3 = x2 d) a15 : a12 = a3 f ) m1 · m1 = m2

6

10

2

6

2 4

8

b) 38 : 36 = 32 = 9 d) 410 : 44 = 46 = 4.096 f ) 87 : 85 = 82 = 64

b) 252 = 625 enciams c) 64 = 1.296 litres

Notes

2

5

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

Arrel quadrada 54.

Calcula, per tempteig, l’arrel exacta o l’entera:

a) 90

55.

b) 121

d) 4.225

56.

c) 1.785

Resol amb la calculadora:

a) 655

b) 1.024

c) 1.369

e) 12.664

f ) 33.856

Copia en el teu quadern els quadrats perfectes: 1.000 3.364

1.225 3.540

1.600 3.773

1.724 3.844

1.601 4.000

2.464 5.625

57. Copia en el teu quadern i substitueix cada casella pel signe «=» o pel signe «≠» segons correspongui: a) 2 · 9

36

c) 5 · 16

20

e) 9 · 9

b) 3 · 4

18

12

d) 4 · 25

10

f) 4 · 4

16

58.

A partir del concepte d’arrel quadrada, podem dir el següent: a = b → b2 = a 2 4 ` aj = a 2 ` aj = b 2

Tenint en compte això, resol: a) 5 2 + 12 2 – ` 5j

2

b) ` 2j + ` 3j – 5 0 4

2

Resol problemes 59.

PROBLEMA RESOLT

Deixa clar el significat de cada pas, de cada operació i de cada resultat.

Un majorista d’alimentació compra 150 sacs de patates de 30 kg per 2.000 €. Després, en seleccionar la mercaderia, en llença 300 kg i n’envasa la resta en bosses de 5 kg, que ven a 4 € la bossa. Quin benefici obté?

— Quilos comprats (150 sacs de 30 kg): 150 · 30 = 4.500 kg — Quilos envasats (en llença 300 kg): 4.500 – 300 = 4.200 kg

— Bosses de 5 kg obtingudes: 4.200 : 5 = 840 bosses — Ingressos, en euros, per la venda de 840 bosses a 4 € cada una: 840 · 4 = 3.360 € — Beneficis (ingressos, 3.360€, menys despeses, 2.000 €): 3.360 – 2.000 = 1.360 € Solució: Guanya 1.360 €.

60. En una indústria de conserves es preparen 250 kg de melmelada de pruna, que s’envasen en pots de 200 g.

Durant el procés es rebutgen 17 pots perquè s’han trencat o perquè són defectuosos. Quants pots vàlids s’obtenen?

61. La construcció d’un xalet, A, va durar 14 mesos i va començar 4 mesos després que s’iniciessin les obres d’un altre xalet, B, la construcció del qual va durar 15 mesos.

Si A es va acabar al juny, quin mes es va acabar B? 62. Al viver d’una horta es preparen 50 safates amb 100 llavors cada una. En cada safata es fan malbé, de mitjana, 20 llavors. Quants plançons espera obtenir el pagès?

63.

A la prestatgeria dels refrescos del supermercat quedaven 7 capses de 6 llaunes i 4 llaunes soltes. Si en col·loquen 12 capses més, quantes llaunes hi ha ara?

64. La Neus ha enviat en l’última setmana 40 missatges amb el seu mòbil. Al seu germà Pep n’hi ha enviat cinc; als seus pares, tres més que a en Pep, i al grup de la seva colla, la resta. Quants missatges ha enviat a la colla?

65.

A la Clara li han pagat 28 euros per repartir 7 blocs de propaganda. Quant li haurien pagat si hagués repartit un bloc més?

66.

En una brioixeria fan cada dia cinc safates amb tres dotzenes de magdalenes cada una. Quantes magdalenes fan a la setmana, tenint en compte que el dilluns tanquen?

67.

En una granja hi ha el doble de vaques que de cavalls i en total són 36 caps de bestiar. Quantes vaques i quants cavalls hi ha?

68. Un camió transporta 15 caixes de refrescos de taronja i 12 de llimona. Quantes ampolles porta en total si cada caixa conté 24 ampolles?

28

59. Problema resolt.

60. 250 kg = 250 · 1.000 = 250.000 g de melmelada

Solucionari

54. a)

90 ≈ 9 → entera

b) 121 = 11 → exacta

250.000 : 200 = 1.250 pots de melmelada 1.250 – 17 = 1.233 pots de melmelada vàlids S’obtenen 1.233 pots de 200 g de melmelada.

c) 1.785 ≈ 42 → entera

55. a)

655 ≈ 25 → entera

61. La construcció del xalet B va començar al mes de desembre

b) 1.024 = 32 → exacta

i es va acabar al mes de març.

c) 1.369 = 37 → exacta d) 4.225 = 65 → exacta e) 12.664 ≈ 112 → entera f ) 33.856 = 184 → exacta

56. 1.225 = 35 ; 1.600 = 40 ; 3.364 = 58 ; 2

2

2

3.844 = 622; 5.625 = 752

57. a) 2 ·

9 = 36 3 · 4 ≠ 12 b)

Si hagués repartit un bloc més, li haurien pagat: 28 + 4 = 32 €.

66. Fan 5 · (3 · 12) · 6 = 5 · 36 · 6 = 1.080 magdalenes a la setmana.

c) 5 · 16 = 20

67. Hi hauria 12 cavalls i 24 (el doble) vaques.

68. Porta 24 · (15 + 12) = 648 ampolles.

d) 4 · 25 = 10 e) 9 ·

62. Espera obtenir 50 · (100 – 20) = 4.000 plançons.

63. Hi ha (7 · 6) + 4 + (12 · 6) = 118 llaunes.

64. Ha enviat 40 – 5 – (5 + 3) = 27 missatges.

65. Per cada bloc de propaganda li paguen: 28 : 7 = 4 €.

9 ≠ 18

f ) 4 · 4 = 16

58. a)

2

52 + 122 − ( 5 ) = 25 + 144 − 5 = 169 − 5 = 13 − 5 = 8 4

2

b) ( 2 ) + ( 3 ) − 50 = 2 2 + 3 − 1 = 6

43

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

69.

El pare de la família Smith, en Jonathan, cobra 1.940 dòlars al mes. Si guanya 720 dòlars més que en Jon, el fill gran, 880 més que la Cathy, la filla, i 280 menys que la Catherine, la seva dona, quins són els ingressos mensuals de la família?

70. La Rosa té dos anys més que el seu germà petit, en Julià, i dos menys que l’Albert, el seu germà gran. Si entre tots tres igualen l’edat de la seva mare, la Marta, que acaba de fer 42 anys, quants anys té cada un dels germans?

71.

Un tren de mercaderies, que avança a 55 km/h, es creua amb un de passatgers que avança per la via paral·lela a 105 km/h. Quina distància els separa mitja hora més tard?

79.

Un agricultor té 140 presseguers en un hort. Ell espera collir, de mitjana, 35 kg de préssecs de cada arbre.

La fruita s’envasa en caixes de 10 kg i es ven a 20 € la caixa. Quant guanyarà per la venda de la seva collita?

80. La Marta, en Pau i la Rosa van a comprar. La Marta gasta 30 € més que en Pau i 40 € menys que la Rosa. Si entre tots tres han gastat 208 €, quant ha gastat cada un?

81. Tens un munt de monedes de 50, 20 i 10 cèntims. De quantes maneres diferents pots fer 1 euro? Justifica la teva resposta.

82.

Utilitzant només zeros i uns, es poden construir quatre nombres diferents de tres xifres: 1a

72.

Un cotxe i una moto surten alhora d’una cafeteria d’una carretera en la mateixa direcció. El cotxe avança a 90 km/h i la moto, a 100 km/h. Quina distància els separa al cap d’una hora i mitja?

73.

Un camió porta 27 caixes de refrescos de 24 ampolles. En un accident es trenquen 311 ampolles. Esbrina si s’ha conservat més o menys de la meitat de la càrrega.

74.

Un autobús amb 54 turistes a bord pateix una avaria camí de l’aeroport. El responsable del grup decideix acomodar les viatgeres i els viatgers en taxis de quatre places. Quants taxis necessiten?

2a

3a 0 1 0 1

1

1

0

110 111 100 101

Quants nombres de quatre xifres tenen només zeros i uns? I de cinc xifres?

83.

La carta d’un restaurant ofereix cinc varietats de primer plat, tres de segon i dos de postres. De quantes formes pot triar el seu menú, un client que tria un plat de cada grup?

84.

L’Antoni, la Blanca, la Cristina i en David acaben d’entrar al cinema. De quantes formes diferents es poden asseure en les quatre butaques que els corresponen?

Fes, primer, un problema més fàcil: De quantes formes es podran asseure si l’Antoni ha ocupat ja la butaca núm. 1?

1a A

75.

La Marta té estalviats 162 € i vol comprar un monopatí que costa 199 €. Si aconsegueix estalviar de la seva paga 10 € cada setmana, quantes setmanes trigarà a comprar el monopatí?

76. Una fàbrica de cotxes ha produït 15.660 unitats entre gener, febrer i març. Quants cotxes fabrica, de mitjana, cada dia?

77.

El sector hoteler d’una localitat turística ha contractat 12.845 persones. Tres de cada cinc són dones.

Quantes dones ha contractat?

78.

En una escola que té 450 estudiants, dos de cada cinc estudien un segon idioma i, d’aquests, un de cada tres ha triat l’alemany. Quants estudien un segon idioma?

Quants estudien alemany?

2a

3a

4a

B B C C D D

C D B D B C

D C D B C B

85.

Una empresa organitzadora d’esdeveniments fa una comanda, a un magatzem de flors, de 150 dotzenes de roses. El magatzem disposa en aquell moment de 40 capses de 25 roses.

Quantes capses de 25 roses s’han de demanar per poder servir la comanda?

29

82.

Solucionari

1a

2a

69. Els ingressos mensuals de la família són 6.440 dòlars.

70. La Marta té 42 anys; la Rosa té 14 anys; en Julià, 12 i

3a 0

1

l’Albert, 16 anys.

1

1

71. La distància que els separa passats 30 min és de 80 km.

72. La distància que separa el cotxe i la moto una hora i mit-

0

0

1

ja més tard és de 150 – 135 = 15 km.

73. De les 648 ampolles que portava el camió, n’hi queden 337; per tant, ha conservat més de la meitat de la càrrega.

74. Necessiten 14 taxis.

75. Caldrà que estalviï 4 setmanes i encara li sobraran 3 €.

76. De mitjana fabrica 15.660 : 90 = 174 cotxes cada dia.

77. Han contractat (12.845 : 5) · 3 = 7.707 dones.

78. 180 estudien un segon idioma i 60 estudien alemany.

79. L’agricultor cull 140 · 35 = 4.900 kg de préssecs. Si s’envasen en caixes de 10 kg, farà 4.900 : 10 = 490 caixes. Si ven cada caixa a 20 €, guanyarà 490 · 20 = 9.800 €.

80. La Marta gasta 66 €, en Pau 36 € i la Rosa 106 €.

81. Hi ha 10 maneres diferents de fer 1 €: 10 ct.

44

0

1 2 3 4 5 6 8 10

20 ct.

0 5 2 4 1 3 0 2 1

0

50 ct.

0 2 1 0 1 0 1 0 0

0

4a 0 1 0 1 0 1 0 1

1.100 1.101 1.110 1.111 1.000 1.001 1.010 1.011

Hi ha 8 nombres de 4 xifres que només tenen 0 i 1. De nombres de 5 xifres amb aquestes condicions n’hi ha 16.

83. Hi ha 5 · 3 · 2 = 30 formes possibles.

84. Anomenem 1a, 2a, 3a i 4a les butaques i anomenem A l’Antoni, B la Blanca, C la Cristina i D en David: 1a

2a

3a

4a

A

B

C

D

A

B

D

C

A

C

B

D

A

C

D

B

A

D

B

C

A

D

C

B

Si l’Antoni ocupa la 1a butaca, els altres tres amics es poden asseure de 6 maneres diferents. Com que a la 1a butaca s’hi pot asseure qualsevol dels quatre, en total es poden asseure de 24 maneres diferents.

85. Si al magatzem hi ha 1.000 roses, han de demanar 32 capses de 25 roses per servir la comanda.

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

86.

La Valentina té una granja d’ànecs i oques. Avui ha venut 21 dels animals per 350 euros.

Entre els animals hi havia el doble d’ànecs que d’oques, i una oca val el triple que un ànec.

Quin preu té un ànec? I una oca?

87. Un cotxe triga 78 segons a travessar un tram de 2 km amb la velocitat limitada a 90 km/h. Creus que ha superat el límit permès? Per què?

92.

PROBLEMA RESOLT

Decideix els passos intermedis. Quines dades encara no coneixes, però necessites, per arribar a la solució?

La Marta ha comprat cinc paquets amb quaranta adhesius cada un i ha decorat el cub petit. Li queden prou adhesius per decorar de la mateixa manera el cub gran?

88.

En un camp rectangular de 150 m × 300 m es plantaran pollancres, en files i columnes paral·leles a les tanques, de manera que cada línia estigui a 5 metres de les del costat o de les vores. Quants pollancres tindrà el camp?

Dibuixa en una quadrícula casos més senzills. Per exemple: 20

15

30

20

15

20

30

20

89.

El gràfic informa de la distribució, per colors, dels 30.690 cotxes fabricats en un trimestre.

• Quants adhesius ha comprat?

Ha comprat 5 · 40 = 200 adhesius.

• Quants n’ha utilitzat per al cub petit?

En el cub petit ha utilitzat 6 · 32 = … adhesius.

• Quants adhesius li queden?

Li queden 200 – … = … adhesius.

• Quants en necessita per al cub gran?

Per al cub gran necessita…

Copia i completa la resolució en el teu quadern i escriu la solució.

93. Quines són les dimensions del terra quadrat més gran que es pot cobrir amb 200 rajoles quadrades de 20 cm de costat, sense partir-ne cap? Quantes rajoles sobren? gris blanc verd blau vermell altres Quants cotxes vermells s’han fabricat en aquest període?

90.

Per a l’elaboració d’una estadística sobre les vacances en una ciutat d’interior, s’ha fet una enquesta els resultats de la qual són els següents: — El 56 % ha estat a la platja.

— El 47 % ha passat uns dies al poble.

94. En Marc té una bossa amb 50 daus de fusta d’1 cm d’aresta. Quina és l’aresta del cub més gran que pot construir amb els daus? Quants daus sobren?

95. Una finca quadrada té 900 metres quadrats de superfície. Quants metres lineals de filat caldria comprar per tancar-la?

— El 23 % ha gaudit d’ambdues destinacions.

Quin tant per cent no ha estat ni a la platja ni al poble?

91. La Martina ha obtingut així la suma dels 7 primers nombres naturals: 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 8 · 7 = 56 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 14 56 : 2 = 28 8+8+8+8+8+8+8 Sabries calcular la suma de l’1 al 100?

30

91.

Solucionari

86. Ven 21 animals, entre els quals hi ha el doble d’ànecs que

d’oques: 21 : 3 = 7 → Ven 7 oques i 14 ànecs.

Com que 1 oca val el mateix que 3 ànecs, el preu de les 7 oques és equivalent al preu de 21 ànecs. És a dir, podem considerar que ven 21 + 14 = 35 ànecs.

Cada ànec val 350 : 35 = 10 €.

Cada oca val 3 · 10 = 30 €.

87. 90 km/h = 90.000 m/h = 1.500 m/min = 25 m/s En 78 segons, a 90 km/h, farà 78 · 25 = 1.950 m.

Sí, ha superat el límit de velocitat permès.

88. El camp tindrà (30 – 2) · (60 – 2) = 28 · 58 = 1.624 pollancres.

89. Nombre de caselles ocupades → 62 Cotxes fabricats per casella → 30.690 : 62 = 495 Cotxes vermells fabricats → 495 · 8 = 3.960

90. 100 – (33 + 23 + 24) = 100 – 80 = 20; el 20 % de la població no ha estat ni a la platja ni al poble.

Platja

Poble

56 % – 23 % = 33 % 23 % 47 % – 23 % = 24 %

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 100 + 99 + 98 + 97 + ... + 4 + 3 + 2 + 1 101 + 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101 + 101

101 · 100 = 10.100 10.100 : 2 = 5.050

92. Problema resolt.

Ha comprat 5 · 40 = 200 adhesius.

En el cub petit ha utilitzat 6 · 32 = 54 adhesius.

Li queden 200 – 54 = 154 adhesius.

Per al cub gran necessita 216 adhesius.

93.

200 ≈ 14 → 14 2 = 196 rajoles El terra més gran que podem cobrir amb 196 rajoles de 0,04 m2 és de 7,84 m2.

Sobren 200 – 196 = 4 rajoles.

94. 3

= 27 i 43 = 64 El cub més gran que pot construir és de 3 cm d’aresta.

Li sobren 50 – 27 = 23 daus.

3

95. Cada costat de la finca mesura

900 = 30 m.

Per tant, caldria comprar 4 · 30 = 120 m de filat per tancar la finca.

45

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

96.

Observa el cub de la il·lustració format per 5 × 5 × 5 cubs unitaris.

100.

Dels alumnes matriculats a 1r d’ESO, sabem que:

— 44 es queden al menjador, 58 utilitzen el transport escolar i 47 estan apuntats a extraescolars.

— 24 es queden al menjador i a extraescolars.

— 23 es queden al menjador i utilitzen el transport escolar; 25 utilitzen el transport i es queden a extraescolars.

— 11 utilitzen els tres serveis i 17 no n’utilitza cap.

Quants alumnes hi ha matriculats?

Et serviria, utilitzar un gràfic com aquest?

a) Suposa que el pintem de vermell. Quants cubs petits unitaris hauran quedat parcialment pintats?

1r ESO menjador

b) Suposa que el volem fer més gran, recobrint-lo completament amb una capa de cubs petits verds. Quants cubs petits verds necessitarem?

tr. escolar

97. Quants pares i quantes mares tenien entre tots els teus rebesavis? act. ext.

101. Quatre amics i amigues es pesen, per parelles, de totes les maneres possibles i anoten desordenadament els resultats que obtenen: 83 kg - 87 kg - 91 kg - 80 kg - 84 kg - 88 kg El que pesa més fa 46 kg. Quant pesa cada un per separat?

102.

L’Albert explica una notícia a l’Ignasi i la Sara.

Deu minuts després, l’Ignasi ja els l’ha explicat a la Raquel i a la Marta, a l’Ona, a la Rosa i a en Pau.

Problemes «+» 98.

Un nombre té quatre xifres que sumen 4. Si intercanvies les unitats amb les centenes, augmenta en 99.

Quin nombre pot ser? Intenta trobar més d’una solució.

99. L’Arnau i en Ferran viuen al mateix edifici i van a la mateixa escola. L’Arnau, quan va sol, triga 20 minuts a fer el recorregut de casa a classe. En Ferran, al seu pas, triga 30 minuts a fer el mateix trajecte. Avui, quan l’Arnau surt, fa ja cinc minuts que el seu company ha sortit.

Quant trigarà a atrapar-lo?

Al cap de deu minuts més, cada un d’aquests últims l’ha explicada a dues persones més.

Si la difusió de la notícia segueix al mateix ritme, quantes persones la sabran una hora després que se n’assabentessin l’Ignasi i la Sara?

103.

El terra d’una habitació quadrada està enrajolat amb 484 rajoles de 15 cm de costat. Són totes blanques, excepte les que estan a 15 cm de la paret, que formen un marc decoratiu de color vermell.

Quantes rajoles vermelles hi ha en aquest terra?

31

101. Anomenem 1 < 2 < 3 < 4 els quatre amics i amigues or-

Solucionari

96. a) Hauran quedat pintats 5

3

– 33 = 125 – 27 = 98 cubs

unitaris. b) Necessitarem 73 – 53 = 343 – 125 = 218 cubs unitaris verds.

97. Pare i mare → 2; Avis i àvies → 2

1+2 < 1+3 < 80 83

1+4 2+3

< 2+4 < 1+4 88 91

= 4; Besavis i besàvies → 2 = 8; Rebesavis i rebesàvies → 24 = 16.

Per tant, entre tots els teus rebesavis tenien 25 = 32 pares i mares.

4 → 46 kg 3 → 91 – 46 = 45 kg 2 → 88 – 46 = 42 kg 1 → 80 – 42 = 38 kg

98. Resposta oberta. Per exemple: 1.102, 2.011 o 3.001.

99. L’Arnau triga 10 minuts a recórrer la meitat del camí i en

102. Als 10 minuts que se n’assabenten l’Ignasi i la Sara, ho

100. Hi ha 8 + 13 + 12 + 21 + 14 + 9 + 11 + 17 = 105 alumnes

103. El costat de l’habitació té

2

3

Ferran, 15 minuts. Per tant, si en Ferran surt 5 minuts abans, l’Arnau l’atraparà a la meitat del camí, quan faci 10 minuts que camina. matriculats a 1r d’ESO.

1r ESO tr. escolar

menjador

44 – (13 + 12 + 11) = 8 24 – 11 = 13 17

46

denats per pes.

23 – 11 = 12 11

58 – (12 + 11 + 14) = 21

25 – 11 = 14

47 – (13 + 11 + 14) = 9

act. ext.

saben dues persones més, i cada 10 minuts es multipliquen per 2 les persones que ho saben. Una hora són 60 minuts i 60 : 10 = 6 trams de 10 minuts. Així que, al cap d’una hora, ho sabran 26 = 64 persones.

484 = 22 rajoles.

Si traiem les rajoles del voltant, ens queda un quadrat de 20 rajoles de costat; és a dir, un total de 202 = 400 rajoles (amb la vora vermella). El quadrat interior de rajoles blanques té 18 rajoles de costat; és a dir, 182 = 324 rajoles blanques.

Si al total de rajoles del quadrat interior hi restem el quadrat de rajoles blanques, tenim: 400 – 324 = 76 rajoles vermelles.

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

» MATEMÀTIQUES EN CONTEXT

Les quatre xifres i les tres lletres de les matrícules permeten un total de 8 × 107 matriculacions. (Començant amb el 0000 i fins al 9999, ens trobem 104 combinacions diferents de nombres amb quatre xifres. Pel que fa a les tres lletres, hi ha un total de 8 × 103 combinacions diferents.)

DISTRIBUCIÓ DE MERCADERIES

e) Escriu amb totes les xifres el nombre total de matriculacions i les combinacions que permeten els quatre nombres i les tres lletres.

La fruita conreada pels pagesos fa un llarg recorregut fins que arriba al consumidor: el pagès, el majorista, el transportista i el punt de venda.

f ) Escriu aquest nombre amb lletres. g) Si cada any es matriculen al voltant d’un milió tres-cents vint-i-un mil quatre-cents trenta-vuit vehicles, quant temps passarà fins que comencin a matricular vehicles amb les últimes quatre xifres?

En Pau és un majorista de fruita que es troba en les situacions següents.

1. Menys de 30 anys.

1.

Compra i venda

2. Entre 30 i 40 anys.

3. Més de 40 anys.

En Pau paga 1.500 € a un pagès per la compra de 200 caixes de peres.

Cada caixa té un pes mitjà de 18 quilos.

Quan arriba al magatzem les selecciona i n’aparta 300 quilos perquè són defectuoses. La resta, les envasa en safates de cartó de 3 kg.

3.

a) Quantes safates ven al supermercat? b) Quant ingressa per la venda de la mercaderia?

Dimensions i capacitat

Als supermercats, la fruita es conserva durant més temps si s’emmagatzema en cambres frigorífiques.

Finalment, les ven a una cadena de supermercats, a 2 € la safata.

En aquestes cambres es retarda la maduració mantenint la temperatura entre 13 °C i 1 °C i la humitat entre el 85 % i el 90 %.

3 kg

En un dels supermercats tenen una cambra frigorífica que fa 500 centímetres de llargària, 500 centímetres d’amplària i 500 centímetres d’alçària útils.

c) Quin benefici obté?

Les peres s’emmagatzemen en caixes cúbiques de 50 centímetres d’aresta.

• Quantes caixes de peres caben en l’espai útil de la cambra frigorífica?

2.

Nombres i matrícules

En Pau contracta un transportista que s’acaba de comprar una furgoneta nova, que té aquesta matrícula:

A partir de les dades d’aquesta activitat, pensa una altra pregunta per plantejar-la a un company o companya de classe.

Primer l’has de resoldre tu per comprovar que estigui ben plantejada i per saber quina és la resposta correcta.

Les matrícules dels vehicles s’ordenen d’acord amb un codi format per un nombre de quatre xifres, que comença per 0000 i acaba per 9999, seguit de tres lletres (val qualsevol lletra, excepte les vocals, les consonants Ñ i Q i els dígrafs CH, LL).

Així doncs, d’acord amb aquest codi les matrícules comencen per 0000 BBB i acaben en 9999 ZZZ. a) Quants vehicles matriculats porten, fins al moment, les mateixes lletres que el del transportista? b) Quants vehicles es matricularan abans que es canviï una lletra de la matrícula? c) Quants vehicles s’han matriculat, incloent-hi el del transportista, des que un company seu es va comprar un vehicle amb la matrícula 2581 LBS? d) Quants vehicles s’hauran matriculat abans que aparegui el primer amb la matrícula 4000 LBV?

33

32

Solucionari

Notes

Matemàtiques en context 1. a) 200 caixes · 18 kg/caixa = 3.600 kg de peres 3.600 kg – 300 kg = 3.300 kg de peres bones 3.300 kg : 3 kg = 1.100 safates de 3 kg b) 1.100 safates · 2 € = 2.200 € ingressats c) 2.200 – 1.500 = 700 € de benefici

2. a) 2.581, incloent-hi la furgoneta del transportista.

b) La lletra T s’acabarà quan s’arribi als 10.000; per tant, 10.000 – 2.581 = 7.419 vehicles. c) 7.419 + 2.581 = 10.000 vehicles d) 7.419 + 10.000 + 4.000 = 21.419 vehicles e) 8 · 107 = 80.000.000 matriculacions; 104 = 10.000 combinacions permeten els quatre nombres; les tres lletres permeten 8 · 103 = 8.000 combinacions. f ) Vuitanta milions; deu mil; vuit mil. g) Més de 40 anys (80.000.000 : 1.381.438 = 57,91 ≈ 58 anys).

3. • La cambra frigorífica fa 500 · 500 · 500 = (500)

3

=

= 125 · 10 cm .

Una caixa fa 50 · 50 · 50 = (50)3 = 125 · 103 cm3.

En l’espai útil de la cambra hi caben (125 · 106) : (125 · 103) = = 1.000 caixes de peres.

6

3

47

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX I DESCOBREIX ordres d'unitats

Nombres en els ordinadors

ordres d'unitats

23

22

21

20

23

22

21

20

8

4

2

1

8

4

2

1

0

0

0

0

0

8

1

0

0

0

1

9

2

… … … … … … … …

0

0

1

0

10

1

0

1

0

3

0

0

1

1

4

0

1

0

0

5

0

1

0

1

6

0

1

1

0

… …

13 …

14 …

… … … …

… … … …

… … … …

1

1

1

7

11

12

15

… … … …

1

Ja saps que nosaltres, per escriure els nombres, fem servir el sistema decimal, amb deu signes, del 0 al 9.

Els ordinadors i les calculadores, en el seu llenguatge intern, escriuen els nombres en el sistema binari; és a dir, utilitzant només dos signes: el 0 i l’1.

• Estudia i completa les taules en el teu quadern, seguint la lògica de les primeres files.

Quan hagis acabat, hauràs traduït al sistema binari els primers quinze nombres naturals.

La computació i, en general, les noves tecnologies, són un àmbit d’aplicació de les matemàtiquess amb molta diversitat de sortides professionals.

» INVESTIGA Nombres imparells, quadrats i cubs El món dels nombres presenta múltiples relacions, algunes de tan sorprenents que semblen màgia. Fixa’t en els exemples següents: ➜ Qualsevol nombre quadrat es pot expressar com la suma d’uns quants dels primers nombres imparells.

• Segons això, calcula: a) La suma dels set primers nombres imparells.

S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 b) La suma dels deu primers nombres imparells (S10).

• Com calcularies, de manera ràpida i senzilla, la suma dels cent primers nombres imparells?

S100 = 1 + 3 + 5 + … + 199

S1

S2

1

1+3

1

S3

1+3+5

4

12

22

S4

1+3+5+7

9

32

➜ En la suma dels nombres imparells, trobem la suma dels nombres cúbics.

64 27 8 1 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + …

23 13 33 43

• Esbrina quina porció de la suma anterior has d’agafar per obtenir 53 = 125.

34

Solucionari

Notes

Llegeix i descobreix ordres d’unitats

ordres d’unitats

23

22

21

20

23

22

21

20

8

4

2

1

8

4

2

1

0

0

0

0

0

8

1

0

0

0

1

0

0

0

1

9

1

0

0

1

2

0

0

1

0

10

1

0

1

0

3

0

0

1

1

11

1

0

1

1

4

0

1

0

0

12

1

1

0

0

5

0

1

0

1

13

1

1

0

1

6

0

1

1

0

14

1

1

1

0

7

0

1

1

1

15

1

1

1

1

Investiga • a) S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 72 = 49 b) S10 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 102 = 100 • S100 = 1 + 3 + 5 + … + 199 = 1002 = 10.000 • 53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29

48

S5

1+3+5+7+9

16

42

25

52

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

» ENTRENA’T RESOLENT ALTRES PROBLEMES Reflexiona i assaja • Escriu en el teu quadern els nombres de l’1 al 9, un per casella, de manera que tots els trios alineats sumin 15.

• En una safata hi havia diversos sandvitxos quadrats i n’hem partit uns quants per la meitat en forma de triangle. Si en total compto 18 puntes, quants sandvitxos estan sencers i quants estan partits?

T’ajudaria completar aquesta taula?

1

2

3

…

puntes

4

…

…

…

… …

resta de puntes

14

…

…

…

…

triangles

NO possible

…

…

…

…

←

quadrats

• Quants nombres de tres xifres es poden formar utilitzant només les xifres 1, 2 i 3?

» POSA’T A PROVA 1. Copia en el teu quadern i omple els buits:

5. Observa aquestes quantitats:

a) 18 ·

• L’extensió del Brasil és de vuit milions cinc-cents catorze mil vuit-cents setanta-set quilòmetres quadrats.

• La població mundial l’abril de 2018 era de 7.601.767.200 habitants. a) Expressa amb xifres la primera quantitat i amb lletres la segona.

= 180 · 100 = 27.000

b)

c) 4.000 :

= 40

: 10 = 38

d)

2. Copia i calcula els termes que falten: a) 154 · b)

= 462 : 27 = 98

c) 30.275 :

= 35

d) 1.508 =

· 125 + 8

b) Arrodoneix-les a les desenes de miler.

6. Calcula: a) 26

3. Fes les següents operacions combinades: a) 12 + 3 · 5 – 2

b) 53

c) 72

d) 106

7. Redueix a una sola potència: a) a3 · a2

b) x5 : x4

c) (a3)4

8. Quants daus de fusta, d’1 cm d’aresta, hi ha en 10 pa-

b) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7

quets com el que veus en la il·lustració?

c) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)]

4. En una cafeteria hi ha 60 seients. Si hi ha el triple de cadires que de banquetes, quantes n’hi ha de cada classe?

10 cm

10

cm

10 cm

35

2. a) 154 ·

Solucionari

3 = 462 b) 2.646 : 27 = 98 c) 30.275 : 865 = 35 d) 1.508 = 12 · 125 + 8

Entrena’t resolent altres problemes • 6

1

2

5

7 8

3. a) 12 + 3 · 5 – 2 = 12 + 15 – 2 = 12 + 13 = 25

3 4

9

• Hi ha tres opcions (1, 2 o 3) per a cada xifra. Per tant, es poden formar 3 · 3 · 3 = 27 nombres diferents.

• Hi ha 3 sandvitxos sencers (3 · 4 = 12) i 1 de partit (2 · 3 = 6).

1

2

3

4

5

puntes

4

8

12

16

20

14

10

6

2

NO possible

←

quadrats

resta de puntes triangles

NO NO possible possible

Posa’t a prova 1. a) 18 · 10 = 180

2

NO NO possible possible

b) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7 = 19 – 5 · 3 + 4 · 7 = 19 – 15 + 28 = 32 c) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 = 21 – 8 + 2 = 15 d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)] = 10 · [35 – (4 + 18)] = = 10 · [35 – 22] = 10 · 13 = 130

4. 60 : 4 = 15 banquetes

(60 : 4) · 3 = 15 · 3 = 45 cadires

5. a) L’extensió del Brasil és de 8.514.877 km .

2

La població mundial l’abril de 2018 era de set mil sis-cents un milions set-cents seixanta-set mil dos-cents habitants. b) L’extensió del Brasil és de 8.510.000 km2.

La població mundial l’abril de 2018 era de 7.601.770.000 habitants.

6. a) 2 = 64 b) 5 = 125 c) 7 = 49 d) 10 = 1.000.000 7. a) a · a = a b) x : x = x c) (a ) = a 8. Hi haurà 10 = 10.000 daus en total.

6

3

3

2

5

2

5

4

6

3 4

12

4

b) 270 · 100 = 27.000 c) 4.000 : 100 = 40 d) 380 : 10 = 38

49