Guia Mary Somerville 3r. Mostra. Matemàtiques

MATEMÀ -TIQUES

3

GUIA D’AULA ESO

Programa

Mary Somerville

Aquest projecte editorial de l’àmbit matemàtic ha estat elaborat d’acord amb les dimensions competencials i els continguts descrits en el decret d’ordenació curricular publicat pel Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya l’any 2015; aquest decret es fonamenta en la Llei d’educació de Catalunya i en les directrius de la Unió Europea, i respon al marc normatiu i a la legalitat vigent.

Equip editorial: Cap del projecte editorial: Montse Ballaró Coordinació editorial: Mario Suárez Edició: Mario Suárez i Agnès Toda Correcció: Immaculada Riera i M. Mercè Estévez Coordinació artística i disseny: Laura R. Dengra Coordinació tècnica: Mercedes F. Bravo i Gemma Vadillo Maquetació: Moelmo, SCP Aquesta guia d'aula correspon als continguts del llibre de Matemàtiques 3 (Programa Mary Somerville), de José Colera Jiménez, Ignacio Gaztelu Albero, Mª José Oliveira González i Ramón Colera Cañas. © 2020 d’aquesta edició: Editorial Barcanova, SA Rosa Sensat, 9-11, 4a planta. 08005 Barcelona Telèfon 932 172 054 barcanova@barcanova.cat www.barcanova.cat Primera edició: juliol de 2020 ISBN: 978-84-489-5082-8 DL B. 10214-2020 Printed in Spain

Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó i multes, a més de les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells que reproduïssin, plagiessin o comuniquessin públicament, totalment o parcialment, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà, sense l’autorització preceptiva.

» ÍNDEX » EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Presentació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

» UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Les competències, les rúbriques i les dianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Competències de l’àmbit matemàtic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Els objectius de desenvolupament sostenible (ODS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

» DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Índex de Matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Temporització orientativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Desenvolupament de les unitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Unitat 1. Fraccions i decimals. Potències i arrels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Unitat 2. Problemes aritmètics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Unitat 3. Progressions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Unitat 4. El llenguatge algebraic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Repte 1. Al supermercat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Unitat 5. Equacions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Unitat 6. Sistemes d’equacions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Unitat 7. Funcions i gràfiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Unitat 8. Funcions lineals i de proporcionalitat inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Repte 2. El dipòsit de reg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Unitat 9. Problemes mètrics en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Unitat 10. Cossos geomètrics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Unitat 11. Transformacions geomètriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Unitat 12. Estadística. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Unitat 13. Atzar i probabilitat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Repte 3. Daus, geometria i atzar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Resolució de problemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES

» PRESENTACIÓ

EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES

» PRESENTACIÓ El nou projecte per a l’Educació Secundària Obligatòria permet avançar des del marc de l’escola curricular fins a l’escola competencial, responent a la demanda de noves eines que aquest nou model necessita. Es tracta de formar alumnes competents a l’hora de connectar els continguts amb la informació que requereixen en cada moment per interactuar amb l’entorn, per donar-los un sentit d’utilitat transversal que els ajudi a resoldre els problemes i reptes que els planteja el seu procés d’aprenentatge i la societat en què vivim.

Per facilitar el procés d’aprenentatge competencial proposem un material educatiu amb un contingut teòric com a font d’informació de tot allò que estableix el currículum per a la matèria i el curs corresponent, i unes activitats perquè l’alumne aprengui a gestionar la informació i adquireixi la competència d’aprendre a aprendre. A més a més, el docent disposa d’un llibre digital descarregable, multisuport, multidispositiu i multiplataforma, que conté recursos exclusius, com ara suggeriments didàctics, vídeos i enllaços d’interès per ajudar a dinamitzar l’aula i motivar l’alumnat.

Aquesta Guia d’aula per a l’àmbit matemàtic, de Matemàtiques, forma part del projecte competencial elaborat per l’editorial seguint el currículum del Departament d’Ensenyament. Cobreix totes les necessitats del docent per afrontar el currículum competencial enfocat a treballar les competències pròpies de l’àmbit, agrupades per dimensions.

MATEMÀTIQUES

MATEMÀ-TIQUES 3 ESO

MATEMÀ-TIQUES 3

ITAL

ESO

DIG

LLIC IN ÈNC CLOU IA D IGIT AL

ESO

Programa

Mary Somerville

7

EL PROJECTE DE MATEMÀTIQUES El contingut de la guia està pensat per facilitar la tasca del professorat a l’aula: per això es presenta la reproducció de les pàgines del llibre amb la informació necessària per ser utilitzada en cada moment: • La temporització orientativa del contingut del llibre.

• Una proposta de programació didàctica de cada unitat.

• Els continguts clau de cada unitat.

• Les solucions de totes les activitats.

• La indicació de les activitats proposades per avaluar per dimensions i competències amb l’aplicació AvaluApp ( ).

• La indicació de les activitats relacionades amb els objectius de desenvolupament sostenible (ODS, ).

• La indicació de les pàgines on es poden treballar activitats amb GeoGebra ( DESENVOLUPAMENT DEL PROJEC TE

» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIV A El currículum estab leix 140 hores per a la matèria de establir una temp Matemàtiques de orització que sigui 3r d’ESO. Es fa aplicable a tots solen ser diversos. difícil els grups, perqu D’altra banda, pot è els ritmes d’apr haver-hi alguna terístiques, no treba enentatge part de l’alumnat lli tots els conti que, per les seves nguts porització que oferim i activitats que caracpresentem. És per aquí només és orien això que la temtativa.

Els tres reptes trimestrals que es presenten estan casa; tanmateix, pensats perquè en aquesta temp els alumnes els orització els destin comú a l’aula. L’apa facin a em 2 hores per rtat«Resolució de a una posterior problemes» tamb autònoma, aquí posada en é està pensat perqu destinem 4 hores è el facin de mane a la posada en comú ra .

UNITAT 1 Presentació. Resol 1. Nombres racion als 2. Operacions amb fraccions 3. Nombres decim als 4. Pas de decim al a fracció 5. Fraccions i decim als amb la calcula dora 6. Potenciació 7. Notació científ ica 8. Arrels i radica ls 9. Nombres racion als i irracionals Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova

UNITAT 2 Presentació. Resol 1. Aproximacions i errors 2. Càlcul amb percen tatges 3. Interès compo st 4. Problemes clàssic s 5. Proporcionali tat composta en problemes aritmè tics Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova

24

8

HORES LECTIVES

1h 1h 1h 1h

UNITAT 4

1h 1h

1h 1h

HORES LECTIVES 1h 1,5 h 1h 1,5 h 1h 1h 1h

UNITAT 3 Presentació. Resol 1. Successions 2. Progressions aritmètiques 3. Progressions geomètriques 4. Progressions geomètriques sorpre nents Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova

1h 1h 1h

Presentació. Resol 1. Expressions algebr aiques

2. Monomis 3. Polinomis

4. Identitats 5. Divisió de polino

mis 6. Factorització de polinomis 7. Fraccions algebr aiques Matemàtiques en context Taller de matem àtiques. Posa’t a prova Repte 1r trimestre.

El supermercat

HORES LECTIVES 1h 2h 2h 1h 1h 1h

HORES LECTIVES 1,5 h 0,5 h 1h 1h 1h 1h 1h 1h 1h 2h

).

Per tal de completar les eines per al professorat, el docent pot comptar amb material complementari preparat per ser fotocopiat. Aquest material el podrà descarregar des de l’espai personal del web www.barcanova.cat: • Avaluacions curriculars: tres propostes en tres nivells de dificultat.

• Avaluacions competencials: seguint el model de les proves PISA. • Activitats de reforç.

• Rúbriques i dianes d’avaluació.

MATEMÀTIQUES GUIA D’AULA.

MATEMÀ-TIQUES 3 GUIA D’AULA ESO

ESPAI PERSONAL

Programa

Mary Somerville

AVALUACIÓ CURRICULAR

AVALUACIÓ CURRICU

LAR. UNITAT 1

AVALUACIÓ CURR

ICULAR • MATEMÀTI

Nom:

QUES 3r ESO

Avaluació:

Grup: Data:

Unitat 1. Opció

QUALIFICACIÓ:

A

1. Fes el comú denominador

d’aquestes fraccion

s i ordena-les de

més petita a més

gran:

3 2 7 3 9 , , 17 4 3 , 12 , 5 , , 10 20 , → 60 , 60 60 , 60 , 60 , 60

<

2. Troba les fraccions irreduc

<

tibles i agrupa les

6 8

6 15

2 5

45 60

Tenen com a fracció

12 16

8 20

<

<

ents.

10 25

irreductible…

3 4

IAL AVALUACIÓ COMPETENC

3. Expressa els nombres AVALUACIÓ

3 4

<

que siguin equival

a) 0,341 L. UNITAT

COMPETENCIA

següents en forma

de fracció. Simplifi

ca si és possible.

 b) 0,25

d) 2,8

e) –3,9 UES MATEMÀTIQ PETENCIAL • Grup: 4.COM Realitza les operaci AVALUACIÓ ons amb fraccion

(

Avaluació:

c)

)

(3

4

5+2 3 1 1 – 3 4

4

)

5

=

ies i arrels ls. Potènc d) 5 : 3 + 4 – 5 =

cions i decima

Unitat 1. Frac

f) 8,57

s següents, tenint en compte la priorita Data: t d’operacions: CIÓ: 2 IFICA b) QUAL +2 – 3 + 4

a) 2 · 3 + 3 = 5 2

Nom:

c)

ESO 3r 1,2 

2

7

3

2

es orta dues tercer 6 riu el ramal s’emp s. El primer Més endavant, ix en dos ramal orta la resta de l’aigua. a d’aquest on es divide ramal s’emp a part de l’aigu a un punt A t, re que l’altre Un riu arriba ó pren una seten s’emporta l’aigua restan a del riu, ment parts: la primera divisi a divisió, que parts de l’aigu d’aquest punt en tres

L’aigua d’un

ix B. Des parts i l’últim fins a un punt 50primer ramal esladivide a a caudues setenes a que hi circul segona pren nuar el seu curs , conti a part de l’aigu primer ramal original per perd una vuiten el segon ramal riu al mar, es s’uneix amb bocadura del B i fins a la desem d’altres ramificacions. ncia sa de la presè ma gràfic per

1. Elabora unó.esque

representar

les divisions

del riu i les parts

d’aigua que

s’empor-

ta cada divisi

tat 1

i ni nament ensió rao ió es, dim entac problem ació i repres ció de nic ió resolu ensió comu ns me Di ions i dim connex

UES • U

RÚBRIQ Pàgina

tivitat

36, Ac

1

Expert ) 4 (100 %

ssoliment Nivell d’a Aprenent 2 (50 %)

Avançat 3 (75 %)

sió

dimen prova,

2. Quina proporció

Novell 1 (25 %)

iat l’enunc Entenc blema d’un pro cultats. amb difi

Pes

s allò mé Sé triar es de nt de les dad importa d’un Sé triar d’un iat 25 % es iat l’enunc faig les dad n l’enunc nc ma i em Extrec a i ente proble de què iat d’u problem tació i l’enunc idea ana i què 1. Interpre ió de la de ma i faig què dem resoldre’l. una ana i de què proble ntació per dem identificac de fer rese cal ció per una rep dibuix, cal fer informa del uema, ’l. iat (esq ldre unc de reso l’en partir ma. etc.) a proble iat. el l’enunc Afronto , penso ma el proble es Estudio i penso nes ide ma en algu el proble ldre’l i Estudio , sèrie per reso ma en una el 25 % proble pla per un provo de par-les Estudio , ixo d’idees i provo olu ma estable ió ’l ’l i el desenv proble resoldre olupar2. Aplicac es resoldre un pla cultats. o difi per b eny env ègi am po. de des d’estrat per diss resoldre’l, el envolu àtiques b des per am les. po matem olu el desenv cop resoldre . tat i, un ure ma seg o el proble repass b resolt, per iment am cultats proced Tinc difi mar detall. nes transfor Faig algu ions macions express rmo es i transfor Transfo ressions s. aritmètiqu 15 % amb exp es i nes a resultat rmo algu bar nsfo tiqu arri ions ns Tra s aritmè ions express pressio resultat es en express arribo a senzills. es en 3. Ús d’ex es. aritmètiqu aritmètiqu en casos aritmètiqu es altres les altr uivalents i les lents i d’eq d’equiva b ulo am calc ent. tat. calculo i segure correctam agilitat n cas En algu cessos pro aç de aplico ent per Soc cap raonam ir int constru acions o de struir les itzo sov con 15 % prar Util cessos de nions. argument s a xo a em pro ves opi ent per me Tendei nam ent rao sos de raonam la ent de la proces r partir de que 4. Seguim de ent per analitza ció sos raonam una ció i informa proces informa ves litzar ent per rebo. raonam opinions. ana ació, extreure’n formar les me ir situ ció i constru nions. rma opi info la les meves formar opinions.

ors Descript

ACTIVITATS DE REFO

4 Sempre

DIANES • Unitat 1

ent i prova, problemes, dimensió raonam ntació Dimensió resolució de i represe dimensió comunicació dimensió connexions i

3

Gairebé sempre

2

De vegades

1

Mai

RÇ el riu té un cabal

3

segon

ACTIVITA TS DE REF

ORÇ • MA TEMÀTIQU

ES 3r ESO

Unitat 1.

Interpreto la informació continguda en l’enunciat del problema.

2

per cada 3 segon (és a dir, nt 20 m per d’aproximadame ran al punt B? s cúbics arriba

3

de fracci hi circulen itat en forma Expressa la quant

Nom:

4

al punt B?

punt A ests metre 3. Si en el 20 quants d’aqu m d’aigua), ó.

Pàgina 36, activitat 2

Represento nombres grans i petits en notació científica.

del riu arriba

de l’aigua total

Fraccions

Grup:

. Potèncie

168

Transformo expressions aritmètiques en altres d’equivalents més senzilles i en calculo el resultat.

Data:

i decimals

s i arrels

NOMBRE

S

ENTERS

El conjunt dels nom bres ente és Z = { rs

54

FRACCION Un nombre ARIS fracciona ri no és un escriure com enter, però a quocient es pot de

}.

RACIONA Es poden LS posar en forma de Es designen amb la lletra

1

• Simplifica OPERACIO r una fracc NS AMB ió és per un mate FRACCION S ix nombre.

• Una fracc el numerad ió que no or i el pot reduir-se • Dues fracc s’anomena ions que donen lloc a la mate ixa fracció .

36 exemples irreductib : = le es diu = 3 6 84 que són 14 Fracció

Raono les meves opinions i els procediments que utilitzo.

Efectuo operacions amb fraccions en situacions properes.

1

SUMA I RESTA

Les fracc ions mateix …… han de tenir el ………… …… . exemple : 3 2 9 + 5 3 = + 10 =

Faig servir argumentacions per justificar les meves afirmacions.

• Periòdic

pur: N = ) 3,27 · N = 327, 2727 ° ·N= ¢ £ Restem i aïllem N 8N=

PRODUC

TE

a c · b d = exemple

QUOCIEN

3 : · 2= 5 3

PAS DE DECIMAL

a c : b d = =

exemple

T

3 : : 2= 5 3

A FRACCIÓ

• Periòdic

mixt: N ) = 2,145 · N = 2 .145 ,4545 ° · N = 21,4 545 ¢ £ Restem i aïllem N 8N=

216

1

56

9

UN CURRÍCULUM

M T E CO P ENCIAL

» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES » COMPETÈNCIES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC » ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS)

UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL

» LES COMPETÈNCIES, LES RÚBRIQUES I LES DIANES Les competències Una competència és el resultat d’integrar coneixements, habilitats i actituds d’una manera pràctica i saber-les aplicar a contextos diversos, siguin de l’àmbit acadèmic o de l’àmbit no acadèmic.

Les competències són, per tant, combinacions de coneixements, habilitats i actituds adquirides que interactuen per donar una resposta eficient al treball o a l’activitat que es duu a terme.

L’objectiu principal de l’aprenentatge és el desenvolupament de les competències. La nomenclatura de les competències que utilitzem en aquesta Guia d’aula és la que estableix el Departament d’Ensenyament en el document Competències bàsiques de l’àmbit matemàtic.

Les competències s’han de considerar totalment integrades amb els continguts del currículum.

Per a l’adquisició de cada competència són necessaris continguts molt diversos que s’hauran d’anar assolint progressivament al llarg dels cursos. Les competències de cada àmbit de coneixement s’estableixen per a tota l’etapa educativa; per tant, la seva adquisició s’haurà d’anar consolidant amb els aprenentatges que es vagin aconseguint en els diversos cursos de l’ESO. Cal assenyalar que no totes les activitats que requereix un alumne per assolir plenament els continguts tenen un caràcter competencial. També són necessàries les activitats d’aplicació directa dels continguts.

En l’apartat d’aquesta guia «Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions» trobareu una relació de les activitats proposades en el llibre agrupades per dimensions. Sovint les activitats proposades es relacionen amb més d’una dimensió i posen en joc diverses competències, però en aquesta programació s’ha volgut indicar la dimensió que té més rellevància en cada activitat. En el cas de les activitats que pertanyen a la secció «Matemàtiques en context», excepcionalment indiquem totes les dimensions que hi intervenen, ja que proposem aquestes activitats per avaluar per dimensions mitjançant l’aplicació AvaluApp.



COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

DIMENSIÓ

      

      



       RAONAMENT   RESOLUCIÓ  I PROVA  DE PROBLEMES

CONNEXIONS

13

      

UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL

Les rúbriques Les rúbriques són eines d’autoavaluació dels alumnes que serveixen perquè siguin conscients del seu nivell d’aprenentatge, però també són una eina excel·lent per al docent per copsar la percepció que cada alumne té d’aquest aprenentatge i, si cal, establir estratègies perquè millorin.

Es poden fer servir en l’avaluació de determinades activitats i descriuen les característiques específiques d’aquella activitat en diversos nivells de rendiment, per tal d’aclarir allò que s’espera del treball de l’alumne, valorar-ne l’execució i facilitar el feedback (retroalimentació).

Així, doncs, la rúbrica és un instrument d’avaluació que no solament serveix per al docent, que la utilitza per mostrar a l’alumnat, d’una manera clara, el que es valorarà d’aquella tasca i com hi poden arribar, sinó també per a l’alumne, ja que facilita l’autoreflexió i la seva implicació activa i, per tant, és una eina per guiar-ne l’aprenentatge. A més, la rúbrica pot ser motivadora si orienta l’alumnat sobre com pot millorar.

Si es vol que sigui una eina potent per a l’aprenentatge de l’alumnat, cal involucrar-lo en la seva elaboració, posada en pràctica i revisió. En aquest programa de Matemàtiques posem a l’abast del docent diferents rúbriques perquè les pugueu fotocopiar, comentar i lliurar a cada un dels vostres alumnes abans de fer l’activitat a què es refereix i, si ho creieu convenient, modificar-la conjuntament, de manera que sigui una mena de contracte entre docent i alumnat.

Per a cada descriptor s’estableix una gradació en quatre nivells, cada un amb un valor: expert (4), avançat (3), aprenent (2) i novell (1), i s’estableix un percentatge per a cada ítem, de manera que, tots sumats, arribin a 100.

Si d’una competència indiquem que té un percentatge del 5 %, l’alumne que marqui l’opció expert obtindrà el 100 % del percentatge de la nota, és a dir, un 5 %; el que hagi marcat l’opció avançat obtindrà un 75 % del 5 %, és a dir, un 3,75 ; l’aprenent, un 50 % del 5 %, és a dir, un 2,5 %, i el novell, un 25 % del 5 %, és a dir, un 1,25 %. Sumats els valors obtinguts per a cada ítem, tindrà el valor global d’assoliment d’aquella activitat i el percentatge corresponent a cada competència.

Tant els descriptors de les competències —o ítems— com RÚBRIQUES • Unitat 1 els percentatges que hem atorgat a cada un els podeu modificar segons el vostre criteri. El que cal és que, repartits els percentatges, el total faci 100. També, a partir d’aquests models, vosaltres mateixos podeu elaborar rúbriques per a altres activitats o treballs del vostre alumnat.

Dimensió resolució de problem es, dimensió raonament i prova, dimensió connexions i dimensió comunic ació i representació

Pàgina 36, Activitat 1

Descriptors

1. Interpretació i identificació de la informació de l’enunciat del problema.

2. Aplicació d’estratègies matemàtiques per resoldre el problema.

Expert 4 (100 %)

Extrec les dades de l’enunciat d’un problema i faig

una representació (esquema, dibuix, etc.) a partir de l’enunciat.

Estudio el problema, dissenyo un pla per resoldre’l, el desenvolupo amb seguretat i, un cop resolt, repasso el procediment amb detall.

Nivell d’assoliment Avançat Aprenent 3 (75 %) 2 (50 %)

Sé triar les dades de l’enunciat d’un problema i entenc què demana i què cal fer per resoldre’l.

Estudio el problema, estableixo un pla per resoldre’l i el desenvolupo.

3. Ús d’expressions Transformo Transformo aritmètiques. expressions algunes aritmètiques en expressions altres aritmètiques en d’equivalents i les altres calculo amb d’equivalents i les agilitat i seguretat. calculo correctament.

4. Seguiment de processos de raonament per construir opinions.

Tendeixo a emprar processos de raonament per analitzar una situació, extreure’n la informació i formar les meves opinions.

Utilitzo sovint processos de raonament per analitzar la informació i formar les meves opinions.

Novell 1 (25 %)

Sé triar allò més Entenc l’enunciat important de d’un problema l’enunciat d’un amb dificultats. problema i em faig una idea de què demana i de què cal fer per resoldre’l.

Estudio el problema i penso en una sèrie d’idees per resoldre’l i provo de desenvoluparles.

Faig algunes transformacions amb expressions aritmètiques i arribo a resultats en casos senzills.

Soc capaç de construir argumentacions o raonaments a partir de la informació que rebo.

Afronto el problema, penso en algunes idees per resoldre’l i provo de desenvolupar-les amb dificultats.

Tinc dificultats per transformar expressions aritmètiques i arribar a resultats.

En algun cas aplico processos de raonament per construir les meves opinions.

Pes

25 %

25 %

15 %

15 %

1

14

Les dianes La diana d’autoavaluació és una altra eina que ens permet avaluar les competències d’una activitat que considerem rellevant, d’una manera ràpida i àgil, a partir de la percepció que l’alumne té del seu aprenentatge. És una eina més senzilla que la rúbrica però, de vegades, és suficient.

La representació de la diana presenta quatre cercles concèntrics, que determinen el grau d’assoliment de les competències que es volen avaluar, amb una numeració de l’1 al 4: al cercle més intern li correspon l’1 i al més extern, el 4. Vindrien a ser els graus d’assoliment de les rúbriques (expert, avançat, aprenent i novell).

Aquesta diana es divideix en tants sectors com descriptors de les competències o ítems es vulguin avaluar. Cada línia que separa els sectors representa un dels ítems. De vegades es posa el descriptor de la competència a la part externa del cercle o, si no hi ha espai, un número i la llegenda corresponent a cada un dels ítems al costat de la diana.

Per fer l’autoavaluació, l’alumne ha de valorar si l’ítem corresponent l’ha assolit de manera excel·lent (Sempre), bé (Gairebé sempre), suficient (De vegades) o cal que s’ho revisi (Mai) segons el que indiqui la llegenda de la diana, i marcar un punt en la intersecció entre la línia de l’ítem i el cercle de la numeració corresponent. Quan l’alumne ha valorat tots els ítems, ha de traçar una línia per unir tots els punts i pintar l’àrea del polígon resultant. Com més gran sigui l’àrea, més assoliment hi ha de les competències de l’activitat que s’avalua. Finalment, els alumnes poden comparar el dibuix resultant de la seva diana amb el de la resta dels companys i companyes.

pre 4 Sem

ireb é 3 Ga

tat 1 ES • Uni

i prova, nament ensió rao entació DIAN lemes, dimnicació i repres de prob mu resolució s i dimensió co ió ns ion Dime connex dimensió Pàgin

ivitat a 36, act

2 1

DIANES

sem pre

De veg ade

• Unita t1

Dimens ió reso luc dimens ió conn ió de problem exions Pàgina i dimens es, dimensió 37, activ raonam ió comu itat 4 ent nicació i repres i prova, entació

s

Ma i

2

ació o la inform Interpret unciat da en l’en contingu ma. del proble

4 to Represen grans i nombres notació petits en . científica

3 2

o Transform ns expressio ques en aritmèti altres s lents mé d’equiva i en senzilles at. el result calculo

DIANES • Unitat 1

Ga ireb é sem pre De veg ade s

Ma i

4 Sempre

Dimensió resolució de problem es, dimensió raonament i prova, dimensió connexions i dimensió comunicació i representació

Pàgina 37, activitat 3

3

Gairebé sempre

2

De vegades

1

Mai

Opero amb nombres expressa ts en notació científic a en situa cions properes .

4 3 2 1

Interpreto la informació continguda en l’enunciat del problema. meves Raono les i els opinions ents procedim o. que utilitz

1

Tradueix o un pro blema a llengu atge matem àtic.

1

Efectuo ns operacio ccions amb fra ons en situaci . properes

4 Sem pre 3 2

Resolc probleme s utilitzan t els nombres racionals i les operacio ns matem àtiques.

Expresso verbalment i per escrit, amb precisió, els meus resultats i conclusions.

4 3

Calculo el resultat d’una expressió aritmètica.

2 vir Faig ser per tacions argumen les meves justificar ons. afirmaci

1

1

Efectuo càlculs de capacitat en situacions properes.

Explico , d’una manera entened ora, els conc eptes matem àtics i els procedim ents qu e faig ser vir.

Argume nto les meves afirmac ions i n’aporto exemples .

Faig servir el coneixement matemàtic per construir els meus raonaments.

Realitzo conjectures, les comprovo i les justifico.

3

2

15

COMPETÈNCIES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC » MATEMÀTIQUES

C1

Competència 1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.

C2

Competència 2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.

C3 C2

Competència 3. Mantenir una actitud de recerca davant d’un problema assajant estratègies diverses.

C4

Competència 4. Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes.

C5

Competència 5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques.

C6

Competència 6. Emprar el raonament matemàtic en entorns no matemàtics.

C7

Competència 7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar.

C8

Competència 8. Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.

C9

Competència 9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.

C10

Competència 10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.

C11

Competència 11. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir coneixement a partir d’idees matemàtiques.

C12

Competència 12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.

DIMENSIONS

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

RAONAMENT I PROVA

CONNEXIONS

COMUNICACIÓ I REPRESENTACIÓ

16

UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL

» ELS OBJECTIUS DE DESENVOLUPAMENT SOSTENIBLE (ODS) Els objectius de desenvolupament sostenible (ODS) són una crida universal per a l’acció per posar fi a la pobresa, protegir el planeta i garantir que totes les persones tinguin accés a l’educació, la igualtat, l’aigua, l’energia neta, la pau i la prosperitat.

Es tracta d’un pla de mesures amb 17 objectius i 169 metes per aconseguir un món més igualitari i habitable i que s’haurien de complir abans de 2030.

Aquests objectius porten implícit un esperit de col·laboració i pragmatisme amb la finalitat de millorar la vida, de manera sostenible, de les generacions futures.

A més, en si mateixos són una agenda inclusiva en tant que tracten les causes fonamentals de la pobresa i uneixen tots els estats que hi participen per aconseguir així un canvi positiu en benefici de les persones i del planeta.

La lluita contra el canvi climàtic és un element transversal i decisiu que influeix en tots els aspectes del desenvolupament sostenible i l’Agenda 2030.

Fer conscient l’alumnat dels reptes imminents plantejats en els objectius de desenvolupament sostenible en aquest programa pedagògic proporciona un marc de treball a partir del qual articular aprenentatges competencials que activin l’alumne, no tan sols quant al saber sinó també pel que fa al saber fer i al saber ser, i reforcin la seva preparació com a futurs ciutadans compromesos amb la realitat del seu temps. La primera forma de contribuir a la consecució d’aquests ODS és contribuir a augmentar la consciència pública d’aquests en tots els àmbits, i l’aula és un espai fonamental d’aprenentatge de la convivència de les generacions futures.

L’Agenda Educativa 2030, sorgida del Fòrum Educatiu Mundial celebrat a Inch’ŏn, República de Corea (UNESCO, 2015; Nacions Unides, 2015), va situar l’educació com una de les eines fonamentals per forjar un desenvolupament que sigui a la vegada sostenible, inclusiu, just, pacífic i cohesiu.

17

UN CURRÍCULUM COMPETENCIAL

Els 17 objectius de desenvolupament sostenible

18

U S V DE EN OL PAMENT

O DEL PR JECTE

» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES » TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA » DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

» ÍNDEX DE MATEMÀTIQUES

1 2 3 4

» REPTE 1r TRIMESTRE: Al supermercat 20

FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS 1. Nombres racionals 2. Operacions amb fraccions 3. Nombres decimals 4. Pas de decimal a fracció 5. Fraccions i decimals amb la calculadora 6. Potenciació 7. Notació científica 8. Arrels i radicals 9. Nombres racionals i irracionals Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

PROBLEMES ARITMÈTICS 1. Aproximacions i errors 2. Càlculs amb percentatges 3. Interès compost 4. Problemes clàssics 5. Proporcionalitat composta en problemes aritmètics Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

PROGRESSIONS 1. Successions 2. Progressions aritmètiques 3. Progressions geomètriques 4. Progressions geomètriques sorprenents Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

EL LLENGUATGE ALGEBRAIC 1. Expressions algebraiques 2. Monomis 3. Polinomis 4. Identitats 5. Divisió de polinomis 6. Factorització de polinomis 7. Fraccions algebraiques Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

5 6 7 8

EQUACIONS 1. Equacions. Solució d’una equació 2. Equacions de primer grau 3. Equacions de segon grau 4. Equacions polinòmiques de grau més gran que dos 5. Resolució de problemes amb equacions Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

SISTEMES D’EQUACIONS 1. Equacions lineals amb dues incògnites 2. Sistemes d’equacions lineals 3. Sistemes equivalents 4. Tipus de sistemes segons el nombre de solucions 5. Mètodes de resolució de sistemes 6. Sistemes d’equacions no lineals 7. Resolució de problemes mitjançant sistemes Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

FUNCIONS. CARACTERÍSTIQUES 1. Les funcions i les gràfiques 2. Aspectes rellevants d’una funció 3. Expressió analítica d’una funció Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

FUNCIONS LINEALS I DE PROPORCIONALITAT INVERSA 1. Funció de proporcionalitat y = mx 2. Funció lineal y = mx + n 3. A plicacions de la funció lineal.

Problemes de moviments 4. Estudi conjunt de dues funcions lineals 5. Funcions de proporcionalitat inversa Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

» REPTE 2n TRIMESTRE: El dipòsit de reg 21

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

9 10 11 22

PROBLEMES MÈTRICS EN EL PLA 1. Relacions angulars 2. Semblança de triangles 3. Figures semblants. Escales 4. Teorema de Pitàgores 5. Aplicació algebraica del teorema de Pitàgores 6. Àrees dels polígons 7. Àrees de les figures corbes 8. Llocs geomètrics 9. Les còniques com a llocs geomètrics Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

COSSOS GEOMÈTRICS 1. Poliedres regulars i semiregulars 2. Truncant poliedres regulars 3. Plans de simetria d’una figura 4. Eixos de gir d’una figura 5. Superfície dels cossos geomètrics 6. Volum dels cossos geomètrics 7. Coordenades geogràfiques Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES* 1. Transformacions geomètriques 2. Moviments en el pla 3. Translacions 4. Girs. Figures amb centre de gir 5. Simetries axials. Figures amb eixos de simetria 6. Composició de moviments 7. Mosaics, sanefes i rosasses Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

12 13

ESTADÍSTICA 1. El procés que se segueix en estadística 2. Variables estadístiques 3. Població i mostra 4. Confecció d’una taula de freqüències 5. Gràfic adequat al tipus d’informació 6. Dos tipus de paràmetres estadístics 7. Càlcul de x– i σ en taules de freqüències 8. Interpretació conjunta de x– i σ 9. Obtenció de x– i σ amb la calculadora 10. Estadística en els mitjans de comunicació Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

ATZAR I PROBABILITAT* 1. Esdeveniments aleatoris 2. Probabilitat d’un esdeveniment 3. P robabilitat en experiències regulars.

Llei de Laplace 4. P robabilitat en experiències irregulars.

Llei dels grans nombres 5. Probabilitat en experiències compostes Observa, raona i resol Exercita les teves competències Matemàtiques en context Taller de matemàtiques Posa’t a prova

» REPTE 3r TRIMESTRE: Daus, geometria i atzar » RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

*NOTA: Les unitats 11 i 13 són específiques per als ensenyaments acadèmics. Tanmateix, l’alumnat d’ensenyaments aplicats haurà d’haver cursat aquests continguts en finalitzar l’ESO.

23

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

» TEMPORITZACIÓ ORIENTATIVA El currículum estableix 140 hores per a la matèria de Matemàtiques de 3r d’ESO. Es fa difícil establir una temporització que sigui aplicable a tots els grups, perquè els ritmes d’aprenentatge solen ser diversos. D’altra banda, pot haver-hi alguna part de l’alumnat que, per les seves característiques, no treballi tots els continguts i activitats que presentem. És per això que la temporització que oferim aquí només és orientativa.

Els tres reptes trimestrals que es presenten estan pensats perquè els alumnes els facin a casa; tanmateix, en aquesta temporització els destinem 2 hores per a una posterior posada en comú a l’aula. L’apartat«Resolució de problemes» també està pensat perquè el facin de manera autònoma, aquí destinem 4 hores a la posada en comú.

UNITAT 1

UNITAT 3

HORES LECTIVES

Presentació. Resol 1. Nombres racionals

1h

Presentació. Resol 1. Successions

1h

2. Operacions amb fraccions

1h

2. Progressions aritmètiques

2h

3. Nombres decimals

1h

3. Progressions geomètriques

2h

4. Pas de decimal a fracció

1h

4. Progressions geomètriques sorprenents

1h

5. Fraccions i decimals amb la calculadora

1h

Matemàtiques en context

1h

6. Potenciació

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

7. Notació científica

1h

8. Arrels i radicals

1h

9. Nombres racionals i irracionals

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

UNITAT 2 Presentació. Resol 1. Aproximacions i errors 2. Càlcul amb percentatges 3. Interès compost 4. Problemes clàssics

24

HORES LECTIVES

HORES LECTIVES 1h

UNITAT 4

HORES LECTIVES

Presentació. Resol 1. Expressions algebraiques

1,5 h

2. Monomis

0,5 h

3. Polinomis

1h

4. Identitats

1h

5. Divisió de polinomis

1h

6. Factorització de polinomis

1h

1,5 h

7. Fraccions algebraiques

1h

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

Repte 1r trimestre. El supermercat

2h

1,5 h

5. P roporcionalitat composta en problemes aritmètics

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

UNITAT 5

HORES LECTIVES

UNITAT 8

HORES LECTIVES

Presentació. Resol 1. Equacions. Solució d’una equació

1h

Presentació. Resol 1. Funció de proporcionalitat y = mx

1h

2. Equacions de primer grau

1h

2. Funció lineal y = mx + n

3h

3. Equacions de segon grau

1h

4. E quacions polinòmiques de grau més gran que dos

1h

3. Aplicacions de la funció lineal.

Problemes de moviments

1h

5. Resolució de problemes amb equacions

2h

4. Estudi conjunt de dues funcions lineals

1h

Matemàtiques en context

1h

5. Funcions de proporcionalitat inversa

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

Repte 2n trimestre. El dipòsit de reg

2h

UNITAT 6

HORES LECTIVES

Presentació. Resol 1. Equacions lineals amb dues incògnites.

1h

2. Sistemes d’equacions lineals

1h

3. Sistemes equivalents

1h

1h

4. T ipus de sistemes segons el nombre de solucions

Presentació. Resol 1. Relacions angulars

1h

2. Semblança de triangles

1h

5. Mètodes de resolució de sistemes

1h

6. Sistemes d’equacions no lineals

1h

7. R esolució de problemes mitjançant sistemes

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

UNITAT 7

HORES LECTIVES

Presentació. Resol 1. Les funcions i les gràfiques

2h

2. Aspectes rellevants d’una funció

2h

3. Expressió analítica d’una funció

2h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

UNITAT 9

3. Figures semblants. Escales

HORES LECTIVES

1h

4. Teorema de Pitàgores

0,5 h

5. Aplicació algebraica del teorema de Pitàgores

0,5 h

6. Àrees dels polígons

1h

7. Àrees de les figures corbes

1h

8. Llocs geomètrics

0,5 h

9. Les còniques com a llocs geomètrics

0,5 h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

UNITAT 10

HORES LECTIVES

Presentació. Resol 1. Poliedres regulars i semiregulars

1,5 h

2. Truncant poliedres regulars

0,5 h

3. Plans de simetria d’una figura 4. Eixos de gir d’una figura

1h 1h

5. Superfície dels cossos geomètrics

1,5 h

6. Volum dels cossos geomètrics

1,5 h

7. Coordenades geogràfiques

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

25

UNITAT 11

UNITAT 13

HORES LECTIVES

Presentació. Resol 1. Transformacions geomètriques

1,5 h

Presentació. Resol 1. Esdeveniments aleatoris

1h

2. Moviments en el pla

0,5 h

2. Probabilitat d’un esdeveniment

1h

3. Probabilitat en experiències regulars.

Llei de Laplace

2h

3. Translacions

1h

4. Girs. Figures amb centre de gir

2h

5. S imetries axials. Figures amb eixos de simetria

2h

4. Probabilitat en experiències irregulars.

Llei dels grans nombres

1h

6. Composició de moviments

1h

5. Probabilitat en experiències compostes

2h

7. Mosaics, sanefes i rosasses

1h

Matemàtiques en context

1h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

Repte 3r trimestre. Daus, geometria i atzar

2h

Resolució de problemes

4h

UNITAT 12

HORES LECTIVES

Presentació. Resol 1. El procés que se segueix en estadística

1,5 h

2. Variables estadístiques

0,5 h

3. Població i mostra

1h

4. Confecció d’una taula de freqüències

1h

5. Gràfic adequat al tipus d’informació

1h

6. Dos tipus de paràmetres estadístics 7. Càlcul de x– i σ en taules de freqüències

2h

8. Interpretació conjunta de x– i σ 9. Obtenció de x– i σ amb calculadora 10. E stadística en els mitjans de comunicació

26

HORES LECTIVES

1h 1h 0,5 h 0,5 h

Matemàtiques en context

1h

Taller de matemàtiques. Posa’t a prova

1h

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

» DESENVOLUPAMENT DE LES UNITATS » UNITAT 1. FRACCIONS I DECIMALS. POTÈNCIES I ARRELS Programació competencial d’aula i concreció de les dimensions Dimensió resolució de problemes COMPETÈNCIES

CRITERIS

INDICADORS

CONTINGUTS

ACTIVITATS

C1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats.

1. L’alumne ha de ser capaç de resoldre problemes de la vida quotidiana, d’altres matèries i de les pròpies matemàtiques utilitzant diferents tipus de nombres (racionals) i símbols, i avaluar els mètodes de resolució possibles.

1.1. Empra conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.

Utilitza la simbologia adequada.

-S implificació de fraccions. Fraccions equivalents.

Operacions amb fraccions.

Aplica el que has après: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46

C2. Emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre problemes.

1.2. Avalua diferents mètodes de resolució. Justifica el procés que fa servir.

1.3. Comprova la correcció i raonabilitat de la solució.

-N ombres decimals exactes i periòdics.

Operacions amb nombres decimals.

-P as de fracció a decimal i de decimal a fracció.

-C àlculs amb potències.

Potències d’exponent zero i d’exponent negatiu.

Potències de base 10. Notació científica.

-A rrels exactes.

Radicals: propietats i càlculs.

-N ombres racionals i irracionals.

Observa, raona i resol: 1, 2, 3, 4 Exercita les teves competències: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 28, 32, 36, 37, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 76, 77, 78, 79, 80, 81 Matemàtiques en context: 1, 2, 3, 4 Posa’t a prova: 1, 3, 4, 5, 8, 9, 10

27

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 Dimensió raonament i prova COMPETÈNCIES

CRITERIS

INDICADORS

C5. Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques

7. L’alumne ha de ser capaç de planificar i utilitzar processos de raonament i estratègies de resolució de problemes, com la realització de conjectures, la seva justificació i generalització, així com la comprovació, el tempteig i el contrast amb diverses formes de raonament al llarg de la història de les matemàtiques.

7.1. Empra processos de raonament i estratègies de resolució de problemes per construir argumentacions matemàtiques.

-T ipus de nombres.

Paper dels nombres fraccionaris i decimals.

Classificació dels nombres en racionals i irracionals.

7.2. Fa generalitzacions o concrecions tot realitzant conjectures, comprovant-les i justificant-les.

-S ignificat de les potències i de les arrels.

8. L’alumne ha de ser capaç d’analitzar i avaluar les estratègies i el pensament matemàtic propi i dels altres, a través del treball per parelles, en grup o bé la posada en comú amb tota la classe.

8.1. Expressa amb precisió les seves argumentacions matemàtiques emprant els recursos adients.

ACTIVITATS Aplica el que has après: 16, 17, 18, 19, 20, 21, 27, 28, 43, 47 Exercita les teves competències: 6, 15, 22, 27, 38, 73, 74, 75, 82, 83, 84, 85, 86, 90, 91 Matemàtiques en context: 1, 2, 3, 4 Posa’t a prova: 2, 7

7.3. Identifica exemples o contraexemples per justificar o rebutjar afirmacions matemàtiques.

8.2. Contrasta les argumentacions pròpies amb les dels altres.

8.3. Avalua les estratègies pròpies i dels altres i les incorpora al seu aprenentatge.

28

CONTINGUTS

-P rocessos de raonament i argumentació matemàtica.

-T reball en equip.

Contrast de les argumentacions pròpies amb les dels altres.

Exercita les teves competències: 87, 88, 89, 92, 93, 94, 95 Taller de matemàtiques: Fes servir l’enginy

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE Dimensió connexions COMPETÈNCIES

CRITERIS

C7. Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar

9. L’alumne ha de ser capaç d’utilitzar models geomètrics per facilitar la comprensió de conceptes i propietats d’altres blocs de les matemàtiques (per exemple, numèrics) i per a la resolució de problemes en contextos d’altres disciplines. També d’usar altres relacions entre diverses parts de les matemàtiques que afavoreixin l’anàlisi de situacions i el raonament.

9.1. Usa les relacions - Operacions amb entre les diverses fraccions aplicades parts de les a la vida quotidiana. matemàtiques per - Càlcul manual i analitzar situacions i mental. construir raonaments.

En particular, utilitza models geomètrics per interpretar exemples numèrics.

10. L’alumne ha de ser capaç de reconèixer models numèrics (racionals) en contextos no necessàriament matemàtics o en d’altres matèries i utilitzar les seves característiques i propietats per resoldre situacions que apareixen en treballs realitzats des de la pròpia àrea o de manera interdisciplinària.

10.1. Reconeix models o estructures matemàtiques (especialment models numèrics) en contextos diaris, de l’entorn o d’altres disciplines.

C8. Identificar les matemàtiques implicades en situacions properes i acadèmiques i cercar situacions que es puguin relacionar amb idees matemàtiques concretes.

INDICADORS

CONTINGUTS

ACTIVITATS Aplica el que has après: 13, 14, 15 Exercita les teves competències: 9, 10, 50, 51, 52

9.2. Empra el llenguatge matemàtic, així com els conceptes i els procediments transversals, per analitzar situacions i construir raonaments.

9.3. Relaciona conceptes clau, com ara fraccions, decimals i percentatges.

- Models numèrics.

-P rocessos de treball propis de les matemàtiques.

-A plicació de les matemàtiques a situacions reals.

Matemàtiques en context: 1, 2, 3, 4 Taller de matemàtiques: Llegeix i calcula, Entrena’t resolent altres problemes

10.2. Empra els coneixements, les eines i la forma de treballar de les matemàtiques per analitzar situacions quotidianes o relacionades amb altres matèries.

29

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1 Dimensió comunicació i representació COMPETÈNCIES C9. Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic.

CRITERIS 11. L’alumne ha de ser capaç d’expressar verbalment i per escrit, amb precisió, raonaments, relacions quantitatives i informacions que incorporin elements matemàtics, simbòlics o gràfics, valorant la utilitat del llenguatge matemàtic i la seva evolució al llarg de la història.

INDICADORS 11.1. Expressa, verbalment i per escrit, conceptes i relacions matemàtiques fent servir el llenguatge matemàtic amb precisió.

11.2. Representa conceptes i relacions matemàtiques de diverses maneres i és capaç d’emprar els canvis de representació com a estratègia de treball matemàtic.

CONTINGUTS -R epresentació de fraccions i de nombres decimals en la recta numèrica.

-E xpressió oral i escrita dels conceptes associats a les operacions aritmètiques.

-E xpressió de nombres en notació científica.

ACTIVITATS Resol: 1, 2, 3 Aplica el que has après: 1, 2 Exercita les teves competències: 29, 30, 31, 48 Matemàtiques en context: 2, 3 Posa’t a prova: 6

11.3. Interpreta les representacions matemàtiques dels altres i les contrasta amb les seves pròpies.

C12. Seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.

30

12. L’alumne ha de ser capaç de seleccionar i usar tecnologies diverses per gestionar i mostrar informació, i visualitzar i estructurar idees o processos matemàtics.

12.1. Valora el potencial i les limitacions de diverses tecnologies per cercar, recollir, tractar i mostrar informació.

12.2. Selecciona tecnologies diverses amb criteris d’idoneïtat i les fa servir per gestionar i visualitzar la informació. En particular, utilitza de manera adequada la calculadora, així com cercadors d’internet i programes informàtics específics.

-C oneixement de l’ús Aplica el que has de la calculadora. après: 29, 30, 31, 32, 41 - Utilització de la calculadora per realitzar operacions amb fraccions i decimals i per expressar i operar nombres en notació científica.

-Ú s d’eines digitals (programari i lliure de geometria dinàmica: GeoGebra).

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

Amb aquesta unitat es pretén consolidar molts dels coneixements sobre nombres, els seus usos i la manera d’operar-hi.

Començarem revisant el concepte de fracció, i, a partir d’aquest concepte, construirem el de nombre racional. És important fomentar el càlcul mental, tant amb els nombres decimals com amb els fraccionaris, que tant ajuden a desenvolupar l’agilitat mental i la confiança dels alumnes.

La major part dels alumnes ja han utilitzat la calculadora, però aquest és el moment de conèixer aquest aparell en profunditat i valorar el seu enorme potencial en el tractament de les fraccions.

El fet d’aplicar les propietats de les potències a la simplificació d’expressions acostuma a presentar dificultats i convé tractar aquest procediment pausadament per tal d’assimilar-lo.

Es defineix el concepte d’arrel enèsima d’un nombre, com aquell que està associat al concepte de potència enèsima, i s’aplica al càlcul d’arrels exactes, que donen com a resultat nombres racionals, i al d’arrels no exactes, que ja podem identificar amb nombres irracionals.

No és l’objectiu d’aquest curs fer un estudi complet dels radicals. Per aquesta raó només es presenten algunes regles relatives al seu ús, amb la finalitat que l’alumnat no cometi errors en operar-hi.

El tractament teòric dels continguts es completa amb les peculiaritats dels nombres racionals (com ara fraccions i decimals) i amb l’existència de decimals no periòdics: els irracionals.

CO NTI NGUTS CLAU DE LE S CO M P E TÈNCIES CC1. Sentit del nombre i de les operacions.

CC3. Càlcul (mental, estimatiu, algorísmic, amb calculadora).

Solucionari Resol 29 + 44 = 3 + 2 + 29 + 44 = 1. 3 + 608 + 60 60 15 3.600 216.000 2

3

= 3 + 2 + 29 + 11 = 3,141592…

15 3.600 54.000

Sí. És el nombre π

2.

3.

60

1

1/60

780 = 60 · 13 3 = 36 5 60 1,6 = 1 + 36 60 602

60

1

1/60

1/602

= 4.395 = 5,5 = 1,0005

31

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1

Solucionari

8. MCM (12, 4, 6, …2, 4, 18) = 180

Aplica el que has après – 21 – 7 – 11 5 4 2

1.

–5 –4 –3 –2 –1

2. A: – 19 ; B: – 7

16 7

2 3

0

1

2

20 5

3

5 2 3 7 ; C: ; D: ; E: ; 4 3 2 3

3. 12 , 13 , 12 , 23 , – 23 , 34 , 23 ,– 23 , 4. a) III; b) I; c) IV; d) II 5. a) Vertader; b) Vertader; c) Vertader; d) Fals 6. a)

21 : 4 = 3 i 21 : 7 = 3 Són equivalents 20 : 4 5 35 : 7 5

12 · 35 = 420 = 20 · 21 Són equivalents

b) 36 : 6 = 6 i 78 : 13 = 6 Són equivalents 102 : 6

17

221 : 13

17

36 · 221 = 7.956 = 102 · 78 Són equivalents

60 : 3 = ; b) 60 : 6 = 7. a) 126 : 3 126 : 6

32

10 21

4

17 3

5

6

7 = 105 ; – 6 = – 220 ; 4 = 120 ; – 3 = – 48 12 180 4 180 6 180 15 180 5 = 100 ; – 1 = – 90 ; 3 = 135 ; 13 = 130 9 180 2 180 4 180 18 180 Evidentment: – 270 < – 90 < – 48 < 100 < 105 < 120 < 130 < 135 180 180 180 180 180 180 180 180 Per tant: – 6 < – 1 < – 3 < 5 < 7 < 4 < 13 < 3 4 2 15 9 12 6 18 4

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

Solucionari

Càlcul mental

Càlcul mental a) 3 = 1 ; b) 1 ; c) 3 ; d) 2 ; e) 2 ; f ) 2 4 3 3 3 5 5

Càlcul mental a) 7 ; b) 3 ; c) 6 ; d) 1 ; e) 2; f ) 1 ; g) 12 ; h) 2 2 3 13 5 5 5

Aplica el que has après 7 + 9.

11a)= 28 + 33 =6 61 ; b)= 24 – 11 = 13 – 11 3 · ;4c)= 12 4 4 4 9 12 36 36 36 4 5

5 4 :; 6e)= 4 · 1 = 4 = 2 ; f ) 4 : 1 = 4 · 6 = 24 6 : 4d)= 6 · 5 = 30 = 15 5 6 5 5 5 4 4 25 5 6 30 15

2 10. a) 1 ; b) 225 2

11. a) 3 ; b) 3

7 865 1 12. a) 1.788 ; b) – 12

a) 1 , 1 i 1 ; b) 2 , 1 i 1 2 4 4 3 6 6 c) 1 , 1 i 7 ; d) 1 , 1 , 1 i 1 4 6 12 2 4 8 8

Aplica el que has après 13. 5 · 216 km = 120 km

9 3 1 14. 11 dels meus estalvis són 3.900 € 8 són 1.300 €; 11 11 aleshores seran 14.300 €.

11

15. 1 de 5.250 l = 1 · 5.250 l = 1.750 litres

3 3 7 · 1.750 l = 1.225 litres que dedica als fruiters 10

Càlcul mental a) 260.000 €; b) 600.000 persones; c) 350 edificis

Càlcul mental a) Total = 700; b) Total = 600; c) Total = 500

33

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1

Solucionari

21. a) k = 21 8

Aplica el que has après 16. 3,52: Decimal exacte

b) k = 10 8

84 = 8,4 (decimal exacte) 10 [ 84 c) k = 9 8 = 9,3 (decimal periòdic) 9

[ \

2,8 : Decimal periòdic pur 1,54: Decimal periòdic pur 3 = 1,7320508… Decimal no exacte ni periòdic 2,7: Decimal exacte 3,5222… Decimal periòdic mixt π – 2 = 1,1415926… Decimal no exacte ni periòdic

17. 2,35[ < 2,5 < 2,505005… <2,5[

18. Per exemple: 2,5 < 2,51 < 2,52 < 2,52[

[ < 2,5

19. a) Vertader; b) Vertader; c) Vertader; d) Vertader 20. a) 22 8 75 = 5 75

2

· 3 8 Periòdic

b) 42 = 7 8 25 = 52 Exacte 150 25 c) 101 8 1.024 =→ 210 Exacte 1.024 d) 1.001 8 500 = 22 · 53 8 Exacte 500

34

84 = 4 (nombre enter) 21

Notes

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

Solucionari

Aplica el que has après 2.501 22.62 a)= 31 ; b) 63 ; c) ; d) 250 100 10 5 g) 23 ; h) 41.000 ; i) 39.988

99

999

999

c) 1.000N – 10N = 5.018 – 50 8 990 N = 4.968

990

; j) 54 ; k) 7.002 ; l) 99 = 1 9

& 23. 0,& 208 + 0,791 = 208 + 791 = 999 = 1 999 999 999

24. a)

8 N = 4.968 = 276

32 e) 1 ; f ) 25 ; 9 9 9 999

99

27. a) És racional.

55

351 100

b) No és racional. c) És racional. 498 = 166

99 33 [ 318 d) És racional. 0,321 = 53 990 165

32 + 175 – 2.101 = 35.375 9 99 999 10.989

e) No és racional.

b) 12 : 214 = 66 ] 9 99 107 _ f ) És racional.

7,4331= 74.257 # 9.990 bb 5, 48 8 100N – N = 543 8 N = 543 # # 99 25. a) 1.000N – 100N , 48 = 5, 484 # = 6.217 – 621 8 900N = 5.596 5 430 543 ` 5181 5.430 181 b 28. = 5 484 8 1000 M 10 M 5 430 8 M = = = = , b 33 ; 990 = 33 990 99 8 N = 5.526 = 1.399 a 900 225 b) 100.000N – 1.000N = 3 162 – 31 8 99.000N = 3.131 8 N = 3.131

99.000

26. a)100N – 10N = 625 – 62

8 90N = 563 8

N = 563

90 b) 1.000N – 100N = 1 – 0 8 900 N = 1 8 N =

1 900

35

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1

Orientacions metodològiques Trobareu un gran nombre de tutorials sobre el funcionament de la calculadora Casio Classwiz en l’enllaç següent: https://www.edu-casio.es/recursos-didacticos/?product_cat=videotutoriales

h) T 2 – 10 Y · 1 = – 32.768 = –3,538278…

7 3 8 9.261

Solucionari

Aplica el que has après 29. a) 35 ; b) 23 ; c) 95 ; d) 13 ; e) 27 ; f ) 321 4 1.000 100 .177 ; b) 1.486 ; c) 241 ; d) 1.832 ; e) 62 ; f ) 21 ; 30. a) 1500 10 9.900 495 495 495 g) 37 ; h) 10

300

31. – 135 154

9

>;;;;?

= –0, 8766233

>;;;;?

35 – 8 = 27 = 0, 96428571 28 28 ! b) 22 · –3 = – 22 = –1, 46 9 5 15 ! c) –8 : 2 = –40 = –20 = –6, 6 3 5 6 3 3 841 d) –2 = – 1.609 = 1,313469…

1.225 1.225

32. a)

36

>;;;;? e) 2 – 25 : 1 = 2 – 75 = –509 = –9, 089285714 8 7 8 3 7 56 & & f ) 0, 218 : 1 = 218 : 1 = 218 = 0, 654 3 999 3 333 ! g) –5 – 293 = –518 = –259 = –5, 75 2 90 90 45

Notes

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

Solucionari h)

Aplica el que has après 33. a) 4 ; b) 5 8

; c) 72; d) 53; e) 1010; f ) 1; g) 1; h) 611

18

(2 $ 3)2 $ (3)2 22 $ 36 34 81 = = = 23 $ 32 $ (2 2)2 27 $ 32 25 32

Notes

1 34. a) 5.000; b) 2; c) 27 ; d) 10.000; e) 1.000.000; f ) 2.000.000; g) 3; h) 1012

35. a) d– 1 n; b) d– 1 n2 = 1 ; c) 2

36. a)

2

4

1 ; d) 1 8 4

125 ; b) 1; c) 81 ; d) 125 16 27 27

37. a) 10

; b) 10–5; c) 106; d) 10–15

–1

38. a)

5 x 6 – 3 = x 3 = x ;b) y = y 9 ; c) 1 : 1 = a 9 = a 3 ; ( x 2) y x 2 y y a6 a9 a6 y –4

4 4 4 4 4 6 –2 d) 5 $ 5 = 5 –2 = 1 ; e) 6 2$ 34 = 2 $ 3 4 $ 3 = 2 4 25 (3 ) 3 56

f)

–6 5 $ (–3)5 35 35 = 1 = = (6 2)5 6 5 25 $ 35 32

g)

2 5 $ 35 $ (2 2)–1 23 $ 32 = 3 –2 = 3 4 = 81 2 3 $ (3 2)–1 2 $3

37

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1

Solucionari

Notes

Càlcul mental a) 103 · 105 = 108 b) 103 · 10-2 = 10 c) 103 : 10-2 = 105 d) 103 : 10-6 = 109 e) 103 · 10-6 = 10-3 f ) 10–4 · 10-2 = 10-6 g) 10–4 : 10-2 = 10-2

Aplica el que has après 39. a) n = 7; b) n = –5; c) n = 3; d) n = –9 40. a) 3,03875 · 10

; b) –2,627 · 105; c) 1,92 · 109

–7

d) 1,17 · 108

41.

Obtenim els mateixos resultats. És de destacar el de l’apartat d).

38

GeoGebra. Practica amb potències de base 10. Practica l’escriptura en notació científica.

Practica la suma amb nombres en notació científica. Trobareu aquestes activitats en el web www.espaibarcanova.cat.

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

Solucionari

Aplica el que has après 42. a) 2; b) 6; c) 120; d) g) 12 · 106; h) 4,5 · 10– 6

k) R 6W7 = 67 = 63 6 = 216 6 ; l) `5 7j = 7 2 = 49 10

1 ; e) 4 = 2 ; f ) 15 = 3 ; 10 2 2 6 3

4 5 5 ; c)= 5 4 180 5 ; d)= 3 2 b) = 223 36 45. a) 33· 52 5=·75; 2

22 · 32 · 5 = 2 · 3 5

720 e) = 2 4 · 3 2 · 5 = 2 2 · 33 375 5 ; f )= 3 5 3 · 3 = 5 3 3

43. a) Fals; b) Vertader; c) Fals; d) Fals; e) Vertader; 3f )+Fals(3)3 + 3 46. · 2 2a)= Càlcul mental

3 + 332 3+ +3 2(2)34 =+ 63 23· ;3 3b)= 3 2 + 2 3 2 + 3 3 2 = 6 3 2

Notes

a) 100 = 10; b) 3 60

Càlcul mental a) 5 2 · 2 = 5 2 ;b) 3 2 3 · 3 = 2 3 3 ; c) 3 2 4 · 5 3 = 10 3 2

Càlcul mental a) 33 = 27; b) 22 = 4; c) 53 = 125

Aplica el que has après 44. a) No es pot simplificar; b) 3

55 ++ 44 353 == 77 55 ;

c) No es pot simplificar; d) No es pot simplificar; e) 6 · 7 = 42 ; f ) No es pot simplificar; 3432 = 3 73 = 7 g) 2 · 8 = 16 = 4 ; h) 3 7 · 3 49 = 33 7·7 i) No es pot simplificar; j) ` 5j = 5 5 10

39

7m 2

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1

Solucionari

Aplica el que has après 47. naturals, N enters,

Z

fraccionaris racionals,

Q

irracionals,

é

107; 36/9 = 4 107; –7; 36/9 = 4; – 36 = – 6 # 3,95; 3, 95 ; 4/9 = 2/3; 7/3 # 107; 3,95; 3, 95 ; –7; 36/9 = 4; 4/9 = 2/3; – 36 = – 6; 7/3 20 ; π – 3

106 – 104 = 102 · 104 – 104 = (102 – 1) · 104 = Observa, raona i resol (100 – 1) · 104 = 99 · 104 = 9,9 · 105 km diferència entre les dues distàncies serà l’espai recorregut 1. 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1La: 31 = 7 7 tenir 31contacte per ràdio 10 21 + 10 sense 3+ 5 3+ 5 3 + c5 : 7 m 3 + 7 5 7 1 2 + 6 1 9,9 · 10 – 5 · 105 = 4,9 · 105 km 3+ 2 2 són els quilòmetres que va recórrer sense ràdio =

1 1 = = 1 : 31 = 7 7 31 10 21 10 + 3+ 7 7

4. La diagonal és la hipotenusa d’un triangle rectangle, els

3. Abans de perdre el contacte per ràdio, havia recorregut:

1 · 106 = 0,5 · 106 = 5 · 105 km 2 Quan el recupera li falten 104 km per arribar al planeta. Per tant, ja ha recorregut

40

catets del qual són la base i l’altura. d 2 = a 2 + b 2 → ( 18)2 = ( 6)2 + b 2 → 18 = 6 + b 2 b 2 = 12 → b = 12 cm b = 2 3 cm Àrea = b ∙ h = 6 · 2 3 = 2 · 3 2 = 6 2 cm2 = 8,49 cm2 Perímetre = 2b + 2h = 4 3 + 2 6 = (4 + 2 2) · 3 = 11,83 cm

GeoGebra. Representació de nombres irracionals. Trobareu aquesta activitat en el web www.espaibarcanova.cat.

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

8. a) 129 ; b) 9

Solucionari

Exercita les teves competències 24 == 22 ;; 26 = 2 ; 225 = 9 ; 1. 24 60 36

35 65

5 400

26 = 2 ; 66 = 2 ; 343 = 7 16 39 3 165 5 539 11

9 ; 26 = 2 ; 66 = 2 ; 343 = 7 16 39 3 165 5 539 11

29 ; c) 2 ; d) – 90 165 3 3 2 ; c) ; d) 40; e) 9. a) 4 ; b) 15 2

10. a)

104 33 4 ; f) 8 7 3

1 ; b) 4 ; c) 33; d) 28 7 3

11. a)

, 10 , – 40 82. – 7 < – 5 < – 1 < 3 < 5 < 11 3 6 8 12 24 24 24 4

4. a) x = 15; b) x = 40

14 ; b) – 5 ; c) – 7 33 3 4 12 · 635 4 · 3 · 5 · 7 9 · 4 · 5 · 5a) · 5= ·72 ·;7f )= 1 5 · 5 13 9 · 20 90 · 14 3 · 206=· 53 · =412.

13 · 84 4 1 = =; b)= = ; c)= = ; d)·=4= ·593··2;7e) 315 · 12 3 · 4· 65 · 435 ·39··436 3· 3 ·12 5 · 21 5 · 3 7·57··36 57· 13 · 5 · 9 ·52 · 2 25 · 18 5 · 7616 · 37··27 ! 339 2969 122 ! !# # 7 ! 7 11 35 ,–42=2;+15 7=,6––=792 3, 5 + 2,3 = 35 +0,21 ,2+6=–a)1=,302 12 =– 01,13. b) ; c)= + ; d)= 11 10 9 2 3 90 6 109 909099 45 9

56 15 –20: d=12 –1– 8; nd)= 11 : 4 = 11 30–a)==60 17 4=–7+–22 3= =2=+–322+–;11–d)=7––=17–– 6:1–7;1e) 8 = 5 +5.315 :–d=240 – +8;9nc)= 11 == 3–2+–11–1 = 18 + 5=–14. ;5b) a)= 1=+ 83+16 ;7b)==1 +147+–;2c) 12 6 6 4 6 6 60 60 36 3 8 24 5 6 15 15 5 6 30 30 87 2 23 72 3 3 5 5 8 58 7 8 –np72 60 =– 12 –26– 8; nf =) –3 · 40 = –12 = –3 – 1 n = 5 : 6 – 3 =: 1– =3 20 f3 –– 312e) –=d 20 = –=3 –d52 d 2 + 4 n; –133 → 5 : d 26.+ 13n → – 3Exacte : d 1 – ;1 4n =→ 5 :Exacte : d 2Periòdic 8 5 20 8 20 8 20 16 4 6 3 4 2 2 45 4 4 4 4 6 6 9 7·11 → Periòdic ; 19 → Exacte ; 3·72·23→ Exacte 3·52 22·5 5·7

!

#

!

7. a) 3,5 < 3, 56 < 3,56 < 3, 56

! ! # b) –1,3 < –1,32 < –1, 32 < –1, 32 ! c) 21 < 32 < 2, 3 < 2, 34 < 8 10 15 3

41

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1

24. a) 2

Solucionari

∙ 32 = 576; b) 5 = 2,5; c) 13 = 0,125; d) 34 = 81 2 2 4 e) 35= 2,53125; f ) 3 = 1,5 2 2 6

15. a) Vertader; b) Fals; c) Fals.

16. a) –27; b) 16; c) –1/8; d) –9; e) –1/4; f ) 1; g) 8; h) 4; i) 1

25. a) 2

17. a) 2 ; b) 3 ; c) 2

26. a) n = –3; b) n = 8; c) n = –7; d) n = –12

; d) 3–1; e) –(3)–3; f ) 34 : 3–3 = 34 – (–3) = 34 + 3 = 37; g) 2–5 : 23 = 2–5 – 3 = 2–8; h) (2–3 : 2–2)–1 = (2–3 – (–2))–1 = (2–3 + 2)–1 = (2(–1))–1 = 2(–1) · (–1) = 21 = 2 6

5

–5

27. a) Vertader; b) Fals; c) Vertader; d) Vertader.

18. a) 11 ; b) a ; c) a ; d) a ; e) –2 ; f ) 2

28. a) 10

19. a) m

29. a) 40.000.000; b) 0,0005; c) 973.000.000; d) 0,0000085;

3

12

3

10

10

; b) a2; c) a4 · b–1; d) 1

1 20. a) 2; b) 49 3

e) 38.000.000.000; f ) 0,000015

2

; c) T 2 Y ; d) 2-3:2-4=2; e) T 3 Y ; f ) T 5 Y 3 2 3 3

2

22. a) Vertader; b) Fals.

4ab · 3a = 4a 2 ; b) b 3 · a 2 = b 3 = a–1b 3 a 3b a3 9b 2 4 4 3 c) 1 · 3–2a 4 = a 3 ; d) b 2 : (ab)2 = b4 2 = a–4b 2 6a 2·3 a a b

23. a)

30. a) 1,38 · 10 ; b) 5·10 7

21. a) T 4 Y ; b) 2 5

; b) 1012; c) 109; d) 10–16

10

–42

–8

42

· 3–5; b) 22 · 3–5

4

3

–6

e) 1,53 · 10 ; f ) 9,38 · 10 6

; c) 4,8 · 109; d) 1,73 · 10–5;

–3

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

43. a) 10

Solucionari

5 ; b) 28; c) 3 6; d) 2.205 3 ; e) 3 3 5 ; f ) 1963 100; 5 g) 3b 3 a ; h) 2a4 4 ab ; i) 2b2 a 2

31. a) 52,5; b) 0,2; c) 0,47; d) 2.340 33. a)

6 · 10 ; b) 3 · 10 ; c) 6,8 · 10 ; d) 4 · 10 ; e) 3 · 10–14; f ) 2,2 · 1013 17

–12

9

–5

44.

3b 2a

45. a)

75a 2 ; b) 13ba 5 ; c) 3 2a 4 b 3 ; d) 3 –24b 3 ; 5 = 3e) 42 320· 5; f=) 3 10 3 2 11 –9 8 13 c m · 34. a) 2 · 10 ; b) 6,25 · 10 ; c) 3,7 · 10 ; d) 6 · 10 3 4 3 3 · 2 2 27 3 2 5 3 · 3 2–8: 5 · 3 = 5–4 · 3 = 5 246. · 3a)= 5 3 ; b) 6; c) 50; d) –1 12 10 35. a) 3,2 · 10 ; b) 8,6 · 10 ; c) 7,5 · 10 ; d) 5,4 · 10 5 · 3 3

47. a) c) i d)2 No2 es poden simplificar.

36. a) 598.000.000.000; b) 0,00002138; c) 30.000.000.000 23 · 3 120/3 22 1/32 5 ((22 )· 3 ) : =2b) (2· )318;=e)= 8 2 2; f=) 2 2·3 37. a) 2; b) 4/5; c) 1/2; d) No es pot; e) 6; f ) –2; g) –3; h) 4; i) 2; j) –2; k) 5; l) No es pot; m) 5/2; n) –1

38. a) Entre 10 i 11; b) entre 4 i 5; c) entre 2 i 3; d) entre 38 i 39.

32 = 439.

2 53a)=8123=4200 23 3 4=b)=3 323 3· 5 250 25 2· 5=2d)4= 254 2· 3 2e)= 2 4 3 2 c)= 2=43 144 250 = 3 2 · 5 53f64 =) 5 =3 25 23 6243 g)= 2 =5 23 3 5h)= 3 3 342a 3 i)= 2a a 4

40. a)4; b) 4

5 +c) 23 ·20 5 =; d)5No + 2es·pot 5 =simplificar; (1 + 2) 5e) 3; f ) No es pot simplificar.

41. a) 2; b) 4; c) 2; d) 10 3 10 ; e) 2; f ) 9 43

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1

Solucionari

57. Hi va haver 150 assistents al congrés.

48. a) 3

1 58. Estalvia 10 de la paga.

2 ; b) No es pot simplificar, ja que no són radicals

iguals; c) – 2 ; d) No es pot simplificar, ja que no són radicals 2 iguals; e) 5 3 ; f ) 2 3

3 2 52–3=–37352=·3+–22832++7·37253 =3=2(–132+23 55332128 ·+3 27=: ·32522· 3=– =35 27·55· 33·22–3=35=2 737+53+25432·+237==235–5·3315

49. a)5 · 3; b) – 50. Queda

; c)

; d)

; e)

;32f)=) 85 3 3

pomes a la segona.

60. 3,154 · 10 segons en un any.

7

63,42 anys.

1 de dipòsit.

4

51. Li queden 3 dels diners.

61. 10

52. Es podran omplir 256 ampolles de 3 de litre.

62. 4,66 ·10

53.

63. Són necessaris 8 · 10

5

ODS (2)

9

55. 4 estudiants van treure un excel·lent. 12 estudiants van 2

és la superfície del solar.

46

64. 4,35 · 10

54. 600 places.

56. 4.500 m

km = 1,056· 109 anys llum.

13

800 mg és la quantitat de calci diària recomanada.

suspendre alguna assignatura.

22

molècules d’aigua a la Terra i 1,34 ·1025 en un got de 2 de litre.

5

4

44

59. Hi havia 20 kg de pomes a la primera caixa i 28 kg de

virus.

km; 2,42 · 105 hores = 27,63 anys.

65. a) 5,34 · 10

24

kg; b) 2.960 vegades.

5 3 · 3 2catet 2·3 =5 3 5 3 · 3 2 : 5 · 3 66. = L’altre = 5mesura 2 m. L’àrea del triangle mesura 6 m2.

5·3

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

Solucionari

77. El dipòsit tardarà 12 hores a buidar-se.

67. a) 4 · 10

kg; b) Distància d’aquesta galàxia a la Terra: 4,73 ·10 km; diàmetre del forat negre: 5,68 · 1014 km.

39

20

79. A la festa hi van assistir 45 persones.

68. 1.662,18 cm .

3

69. 3,476 · 10

3

11 78. 30

3 2 3 32 5 3 · 3 2 : 5 · 35 3= · 352 : · 53 · 3==80.

5 25·a)3·1+2 = 5 =3 cm; 5 2 · b) 3 =2+ 5 3 cm 5·3 5·3

km.

81. No és possible ficar-lo en un sobre quadrat de 16 cm de

70. 2,25 litres.

71. P = 8+6 2 cm; A = 7+7 2 cm2.

72. Podran produir 6,67·10

6

càpsules de 3.591,89 mm3 cada

diagonal però sí de 17 cm de diagonal.

Notes

una.

12 4 7 5 73. a) 77 ; b) ; c) ; d) 15 11 27 17 74. a) 2 · 23 + 103 = 30 5 b) 4 · 10 · 1 = 4 5 3 2 3

75. a)

1.225 = 35 o també 1.296 = 36; b) 2 · 18 = 6 ;

c) 64 + 36 = 10 ; d) 27 – 12 = 3

76. a) El fill tardarà 3 hores a fer-ho sol.

45

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1

Solucionari

93. a) n > n >

n >1/n b) 1/n > n > n > n2 2

82. a) 3.704 ; b) 7 ; c) 10.823 ; d) 977 333 3.330 45.000 9 83. Per exemple: 10 , 10 = 565 , 10 , 10 = 575 . N’hi ha in110 112 113 114 finites.

84. a) Vertader; b) Fals; c) Fals; d) Vertader; e) Fals; f ) Fals.

85. S’obtenen 10 decimals diferents periòdics purs. b) Sí que hi té a veure. = = c) 23:11 = 2,09 ; 40:11 = 3,63

86. El lloc 50 l’ocupa un 3, el lloc 100 l’ocupa un 4.

87. Únicament és vertadera l’afirmació a) 88. a) a = 4; b) a = 2

; c) a = 16 ; d) a = 1; e) a = 2; f ) a = –1 25

–1

89. a) Vertader; b) Vertader; c) Fals; d) Fals.

90. a) –8; b) 3; c) –1; d) 1; e) –3; f ) –2.

91. a) Fals; b) Vertader; c) Fals; d) Vertader; e) Fals; f ) Vertader.

92. Que els seus valors absoluts són iguals.

46

94. 1 95. El nombre de xifres de la potència de 10 és igual a la suma del nombre de xifres de les potències de 2 i de 5. La potència 10456 tindrà m + n xifres.

Notes

UNITAT 1 « DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE

Solucionari

Matemàtiques en context 1. a) En la cursa atlètica recorren 40 km.

Notes

b) Per dins dels boscos 16 km. c) Plou durant 12 km. d) Al principi ha recorregut 4 km.

2.

a) L’ordre és aquest: Júlia, Xavier, Bernat i Gemma. b) El volum de cada llauna és 32 π 10 cm3. c) En cada comprimit hi ha 2,5 · 10–3 g = 2,5 · 10–6 kg.

3.

a) En una hora s’omplen 2 del dipòsit.

5 b) Tarda a omplir-se 7,5 hores (7 h 30 min). Si s’hagués arreglat l’avaria, tardaria a omplir-se 5,45 hores (5 h 27 min). c) 1.250 m3 = 1,25 · 106 litres.

4.

a) 60 km. b) Sí, tardarà a atrapar-la 2 h i ho farà a 50 km de la sortida. c) La Júlia perd 1,62 · 10–2 litres al llarg de la cursa. La Júlia perd 1,2 · 10–3 litres més que la Gemma cada hora.

47

DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE » UNITAT 1

Solucionari

Llegeix i calcula

• El primer codi és 9788499351421. Comprovem que el dígit de control és 1. El segon codi és 8413240400295. Comprovem que el dígit de control és 5.

• Activitat oberta.

Fes servir l’enginy «CINC PER QUATRE COMA VINT MÉS UN VINT-IDOS» 5 · 4,20 + 1 = 22

Posa’t a prova 1. 11 6 89 , 23 2. Decimals exactes: 50 32

Decimals periòdics: 113, 18 12 7 3. –109 100 17 4. 18

5. 3 6. a) 7,58 · 10

; b) 3,5 · 1011; c) 1,01 · 1013; d) 1,001 · 10–8;

–3

Entrena’t resolent altres problemes • Els separen 35 km.

• La superfície és d’1,25 ha = 12.500 m2.

• Una possibilitat és formar un quadrat de 5 x 5 soldadets.

7. a) Vertader; b) Fals; c) Fals; d) Vertader.

8. a) 9; b) 3

2

3 ; c) 0; d) 3 2

9. Al bidó hi havia 36 litres.

Amb la resta de l’oli podré omplir 32 ampolles de 3/4 de litre.

10. Es podrà explotar aquest recurs energètic durant 50 anys.

Hi haurà 12 files: 5 d’horitzontals, 5 de verticals i 2 de diagonals.

48