Emmy Noether 2n. Matemàtiques. Batxillerat

m ta e m a t i Q u e s ,

J. Colera Jiménez

M.ª J. Oliveira González

R. Colera Cañas

R. García Pérez

PRESENTACIÓ I ESTRUCTURA

INICIS DE BLOC

Eix cronològic, que assenyala els principals avenços en un dels camps de les matemàtiques i els situa en l’època en què es van produir.

Fets històrics i descobriments més rellevants de cada època.

OBERTURA DE LA UNITAT

Les dues primeres pàgines de cada unitat introdueixen els continguts més importants que es tractaran.

DESENVOLUPAMENT DELS CONTINGUTS

Presentació de la informació de manera rigorosa i estructurada.

Notes històriques, que es corresponen amb diferents camps de les matemàtiques.

RESOL

Activitat que pretén activar els coneixements previs de l’alumne.

EXERCICIS RESOLTS al llarg de la unitat que mostren com fer servir els procediments apresos.

EXERCICIS PROPOSATS al llarg de la unitat per aplicar els continguts treballats.

EXERCICIS RESOLTS I GUIATS

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS al final de la unitat, classificats per continguts.

EXERCICIS PROPOSATS

EXERCICIS I PROBLEMES GUIATS, amb indicacions per facilitar-ne la resolució. Inclouen la solució.

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS al final de la unitat, seqüenciats per continguts i per dificultat. Treball dels ODS amb l’objectiu de fomentar l’ús de l’esperit crític i de mostrar la necessitat d’actuar.

SITUACIONS D’APRENENTATGE

Que es plantegen a partir d’una situació real i impliquen un repte en forma de preguntes o problemes al qual cal donar resposta o sobre el qual s’ha d’intervenir. Els trobareu en l’espai personal del web www.barcanova.cat.

Autoavaluació de la unitat que permet, a l’alumne, comprovar l’assoliment dels continguts.

PROJECTE DIGITAL

UNA RESPOSTA GLOBAL PER A UN ENTORN EDUCATIU DIVERS

La proposta digital de Barcanova és EDUDYNAMIC, un projecte digital complet que dona una resposta global a un entorn educatiu divers i dinàmic.

A partir d’un entorn senzill i intuïtiu, EDUDYNAMIC és un projecte digital multidispositiu i multisuport que s’adapta i es visualitza a totes les plataformes i a tots els entorns d’aprenentatge virtual (Blink Learning, Moodle, Alexia, Google Classroom, Clickedu, Office 365…).

La diversitat i riquesa de recursos, des d’activitats interactives traçables a vídeos, presentacions i ludificació, fa d’EDUDYNAMIC un projecte digital actualitzat i complet pensat per canviar amb tu.

Compatibilitat i sincronització amb qualsevol dispositiu.

Integració a totes les plataformes i entorns EVA.

Gestió en línia de les activitats i tasques assignades als alumnes.

Continguts i eines per treballar on-line i off-line

Amb suport paper o sense.

LES CLAUS DEL PROJECTE DIGITAL

VERSÀTIL

El projecte, adaptat a diferents enfocaments i necessitats, es pot utilitzar com a complement del llibre imprès o bé com a model autònom per a les aules més digitalitzades.

ENTORN SENZILL I INTUÏTIU

Des d’on poder accedir i treballar amb continguts digitals.

INTEGRACIÓ I SINCRONITZACIÓ

Els canvis que fa l’usuari se sincronitzen automàticament en connectar qualsevol dels dispositius amb què es treballa.

ON-LINE I OFF-LINE

Són descarregables per poder treballar també sense connexió a la xarxa.

MULTISUPORT I

UNIVERSAL

Són responsive i ajusten el seu contingut a qualsevol dispositiu: mòbil, tauleta, ordinador...

Tots els projectes digitals de Barcanova s’adapten i es visualitzen a totes les plataformes i a tots els entorns virtuals d’aprenentatge (EVA).

DIVERSITAT I RIQUESA DE RECURSOS

Per millorar la comprensió dels continguts: activitats interactives traçables, vídeos, presentacions, imatges interactives, suggeriments didàctics, enllaços, ludificació i... molt més!

`

RESOLUCiO de PROBLEMES

ResoluciO de problemes

Què és un autèntic problema?

Segurament fa uns quants cursos que et trobes amb un apartat del teu llibre anomenat resolució de problemes, en el qual es presta atenció a aquests problemes especials, curiosos. Per resoldre’ls, no fa falta ser un gran expert, però sí pensar bé. Aquests autèntics problemes es distingeixen clarament dels simples exercicis.

Un problema autèntic és una situació que se’t presenta i saps, més o menys, on vols anar, però no saps com. La dificultat principal consistirà, precisament, a aclarir la situació i trobar algun camí adequat que et dugui a la meta.

La destresa per resoldre problemes genuïns és un veritable art que aprendràs amb paciència i amb un esforç considerable, si t’ho proposes, enfrontant-te a multitud de problemes diversos, tractant de treure’n el millor partit possible, tant si aconsegueixes resoldre’ls com si no.

En les pròximes pàgines t’oferirem unes quantes estratègies de pensament per a la resolució de problemes. Són algunes maneres de fer que solen donar bon resultat en aquesta tasca. Els exercicis que els acompanyen et facilitaran la feina de fer-te familiars les estratègies corresponents.

Entre els problemes proposats en aquesta secció en trobaràs alguns de fàcils, uns altres de menys fàcils i uns quants de clarament difícils. Pots treure un gran profit de tots, i és possible que més d’aquells que et resultin més durs, ja que t’obligaran a assajar més camins i mètodes de pensament. No consideris mai que és temps perdut el que empris resolent un problema, encara que no ho aconsegueixis.

Etapes en la resolució de problemes

Comprendre el problema

Llegir-lo atentament. Si fa falta, representar-lo esquemàticament. Tenir molt clar què es coneix, què es demana i quines són les condicions.

Concebre un pla

Aquesta és la fase més difícil. Haver resolt molts problemes proporciona recursos per afrontar-la amb desimboltura. Les estratègies per resoldre problemes descriuen alguns d’aquests recursos.

Executar el pla

Si el pla està ben concebut, l’execució sol ser relativament fàcil. No obstant això, és freqüent que quan s’executi el pla sigui necessari retocar el camí previst.

Reflexionar sobre la solució obtinguda

Aquest pas és molt important per millorar l’aprenentatge en la resolució de problemes.

Verificar si la solució aconseguida és raonable.

Reflexionar sobre el procés seguit, en què es podria haver millorat…

Potser convingui plantejar-se nous problemes relacionats amb el que tenim al davant, més senzills, més complexos…

Alguns consells per resoldre problemes (actituds)

Entén bé tots els termes del problema.

Assegura’t que entens cada dada, cada frase. Què et demanen, en què et pots basar… Si l’enunciat és una mica complicat, intenta explicar-te’l a tu mateix o a una altra persona.

Posa en tensió tots els teus ressorts mentals.

Concentra’t al màxim, ja que resoldre problemes és una activitat mental complexa.

Posa en joc bones dosis de paciència i constància.

No abandonis a la mínima dificultat. Cada problema requereix el seu temps.

Resol de nou els problemes complicats.

Si per resoldre un problema has necessitat ajuda, torna a provar-ho pel teu compte aquell mateix dia. I, novament, alguns dies després.

Reflexiona sobre altres formes de resolució.

Si et mostren una resolució diferent de la teva, posa-hi interès, intenta entendre-la. Després, prova de resoldre el problema per aquest altre camí.

Treu partit als bons problemes.

Els bons problemes són una font d’aprenentatge. Tornar a fer un problema millorant-ne la redacció, explicitant-ne algun pas, trobant-hi alguna drecera…, lluny de ser una pèrdua de temps, és un exercici magnífic.

I si el problema és interessant, és possible que puguis:

— Generalitzar.

— Inventar-ne un de semblant (més fàcil o més difícil).

— Qüestionar-te el que passaria si se suprimís una condició o una altra, si s’hi afegís aquesta altra…

Intercanvia conclusions amb els teus companys i companyes. Els problemes es pensen individualment. Només de vegades tindrà sentit fer un estudi en grup per buscar idees que s’encaminen a la solució, i això, després d’haver pensat individualment (per poder ser útil a un grup, s’ha d’estar preparat, i la preparació requereix esforç individual).

No obstant això, és molt profitós un intercanvi d’idees després d’haver resolt el problema. És beneficiós el costum de fer-ho sistemàticament.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Anàlisi d’algunes estratègies

Tempteja, analitza sistemàticament tots els casos

Sovint cal temptejar, analitzar cas a cas les diferents possibilitats que se’ns presenten. En aquesta recerca és fonamental:

• Delimitar el nostre camp d’indagació enfocant intel·ligentment el problema.

• Ser molt sistemàtic en la recerca.

Problema resolt

1 El primer dígit d’un nombre de sis xifres és 1. Si es mou a l’altre extrem, a la dreta, mantenint l’ordre de la resta de xifres, el nou nombre (també de sis xifres) és tres vegades el primer. Quin és el nombre original?

• Anomenem A el nombre original i B el nou nombre:

A : 1 a b c d e i B : a b c d e 1

B ha de ser el triple de A.

• Vegem quines són les diferents possibilitats que hi ha per a la darrera xifra del resultat de multiplicar un dígit per 3 (observa que en 3A no es repeteix cap xifra):

• Si la darrera xifra de B és un 1, la darrera xifra de A només pot ser un 7 (observa la taula: 3 · 7 = 21): e = 7. Llavors, la penúltima xifra de B també serà un 7:

A : 1 a b c d 7 i B : a b c d 7 1

• Si la penúltima xifra de B és un 7, la penúltima xifra de A, d, ha de ser un 5 (ja que 3 · 5 + 2 = 17; sumem el 2 perquè el dúiem del 21 d’abans).

Ja tenim que:

A : 1 a b c 5 7 i B : a b c 5 7 1

• Acaba tu el raonament per obtenir el nombre que busquem, que és el 142 857.

Atenció! Una altra manera de resoldre’l.

Pots resoldre aquest problema de forma ràpida i elegant. Fixa-t’hi:

1 a b c d e = 100 000 + a b c d e

a b c d e 1 = 10 · (a b c d e) + 1

Anomena a b c d e = x i relaciona algebraicament ambdues quantitats:

10x + 1 = 3 · (100 000 + x )

Acaba de resoldre’l tu mateix.

l’estratègia i resol

1 El matemàtic Hardy va visitar a l’hospital el matemàtic indi Ramanujan. Li va comentar: «He vingut amb el taxi 1 729, un nombre molt insípid.» «De cap manera» —va contestar Ramanujan—, «és un nombre molt interessant: és el més petit que es pot expressar com a suma de dos cubs de dues maneres diferents.» Demostra-ho.

2 El producte de quatre enters consecutius és 7 590 024. Quins nombres són?

3 Troba el nombre enter n més gran que compleixi aquesta desigualtat: n 200 < 5300

4 Quants nombres de quatre xifres que acabin en 45 són múltiples de 45? N’hi ha cap que comenci per 45? Explica la resposta.

5 Quina és la suma de tots els nombres capicua compresos entre 60 000 i 70 000?

6 Quants nombres més petits que 1 000 tenen la suma dels seus dígits igual a 7?

7 Quin és el darrer dígit (xifra de les unitats) de 3 857105?

Repàs: resolució de problemes analitzant tots els casos possibles.

Aplica

Problema resolt

1 Una banda de músics desfila formant una filera de 30 m de llargada. El director, que es trobava a l’altura del darrer, alleugereix el pas fins a arribar a la capçalera de la fila i, en aquest moment, es gira i retrocedeix sense variar el seu ritme fins a situar-se una altra vegada al costat del darrer.

Quina ha estat la distància que ha recorregut el director en aquest espai de temps, sabent que mentrestant la banda ha avançat 20 m?

Fer un esquema, dibuix o diagrama

Un bon esquema sempre és útil per resoldre un problema i, de vegades, facilita extraordinàriament la visió del camí que s’ha de seguir per resoldre’l.

A més, si un problema és similar a un altre, pots pensar en un esquema semblant.

Quan la fila avança d, el director avança 30 + d

Quan la fila avança 20 – d, el director retrocedeix 30 – (20 – d ) = 10 + d.

Els trams que recorren el director i la banda en ambdós intervals de temps són proporcionals. Per això:

El director recorre 30 + 13,03

10

13,03

Aplica l’estratègia i resol

8 En el problema resolt anterior, quina distància recorrerà el director si la fila avança 40 m en tot el procés?

9 Un beduí vol travessar un desert de 150 km de llargada on no hi ha pous d’aigua. El dromedari que munta pot caminar 50 km al dia carregat amb el beduí i el seu avituallament, més un pes extra de 50 kg. Això sí!, al vespre necessita beure 25 litres d’aigua.

Així, tarda tres jornades a fer el viatge. Quants dies tardaria a travessar un desert de 200 km de llargada? I si fes 250 km? I si…? Per a aquestes distàncies, el beduí utilitza l’estratègia de deixar gots pel camí per tornar a recuperar-los. Quan hagis resolt el problema, redacta la solució de manera que la pugui entendre qualsevol persona que no s’hagi plantejat el problema.

10 Una moto gasta 5 L de benzina per recórrer un tram de carretera situat entre dos punts. En el dipòsit hi caben 10 L i pot dur un bidó de 5 L en el seient. Com ho faries per recórrer aquesta carretera amb la moto? (A les benzineres, B, pots omplir el dipòsit i comprar bidons de 5 L .) Quants litres de benzina necessitaries per arribar d’una benzinera a una altra que disti n trams? Per recórrer quatre trams, hauràs d’anar prèviament a deixar un bidó en algun punt intermedi de la carretera. Per resoldre el problema per a cinc trams, t’ajudaria haver-lo resolt primer per a quatre?

11 Un pot conté una mescla d’alcohol i aigua en una proporció de 3 a 7. En un altre pot la proporció és de 2 a 3. Quantes cullerades hem de treure de cada pot per obtenir 12 cullerades d’una mescla en què la proporció alcoholaigua sigui de 3 a 5?

B B B B

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Fes servir un diagrama en arbre

Aquesta estratègia forma part de la que aconsella «fer un esquema, dibuix o diagrama». Però és tan important que mereix un apartat especial.

Problema resolt

1 El Barça i l’Espanyol han empatat a quatre (4-4). A aquest resultat s’ha pogut arribar de moltes maneres diferents. Per exemple: 0-1, 1-1, 2-1, 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 4-4.

De quantes maneres diferents s’ha pogut arribar al resultat 4-4?

Descrivim el procés gol a gol:

Com veiem, el nombre total de camins és 70.

Cada un dels resultats parcials dona lloc a dues possibles continuacions, llevat dels que ja tenen un quatre. I també cada resultat, llevat dels que encara tenen un zero, pot provenir de dues situacions. Per exemple, 3-2 pot venir precedit de 3-1 o de 2-2.

En el gràfic de la dreta es comptabilitzen el nombre de camins que duen a cada resultat. Cada nombre s’obté sumant els dos que té a sobre, ja que, per exemple:

Aplica l’estratègia i resol

12 De quantes maneres es pot arribar al resultat 5-0? I de quantes es pot arribar al resultat 4-1? Per tant, de quantes es pot arribar a 5-1?

hi a3 1podem arribarper camins

a2 2podem arribarper camins 4 6 4

Aleshores, a 3-2 podem arribar-hi per 4 + 6 = 10 camins.

13 Si, a més de conèixer el resultat final del partit (4-4) sabem que s’hi va donar el resultat 3-1, de quantes maneres va poder evolucionar el marcador?

Repàs: resolució de problemes fent esquemes, dibuixos o diagrames.

Problema resolt

2 La Sandra va en cotxe de A a C seguint l’itinerari marcat en vermell.

Si mirem la quadrícula de la manera que apareix a sota, no és fàcil veure que es pot aplicar el mateix model de comptabilitat que hem fet servir en la pàgina anterior?

Però podria haver seguit molts altres itineraris.

a) Quants? (Només pot conduir cap a la dreta de la imatge i cap avall.)

b) I si passa primer per la benzinera B per proveir-se de carburant, quants?

Continua comptant i comprova que les solucions són a) 126 i b) 40.

14 El resultat d’un partit de bàsquet és, en aquest moment, 8-0. Si sabem que no s’ha marcat cap triple (tan sols cistelles d’1 i de 2), de quantes maneres s’ha pogut arribar a aquest resultat? (Comprova que en són 34.)

16 Comprova que, si durant un partit de bàsquet s’ha arribat al resultat 4-4, això ha pogut passar de 784 formes diferents (tenint en compte que s’han pogut marcar cistelles d’1, 2 i 3 punts).

17 L’Eva i en Moisès aposten cada un 40 euros en un joc en què serà vencedor el primer que guanyi tres partides. Quan l’Eva ha guanyat una partida i en Moisès encara no n’ha guanyat cap, han de suspendre el joc.

Com s’han de repartir els diners de manera justa?

15 Esbrina de quantes maneres es pot arribar al resultat 4-4 en un partit de bàsquet sense marcar triples. Aquest és el començament del recompte:

18 L’Anna i en Biel són els finalistes d’un torneig de tenis de taula que es juga al que guanya 3 partides seguides o al que en guanya 4 d’alternes.

Construeix un diagrama en arbre amb tots els possibles resultats dels partits.

Continua’l tu i comprova que hi ha 556 maneres, encara que sembli sorprenent.

Aplica l’estratègia i resol

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Tria una bona notació i encerta l’assignació d’incògnites

Hi ha problemes, en aparença molt complicats, que poden convertir-se en simples exercicis si som hàbils a l’hora d’escollir una notació apropiada.

Quan hem de traduir un enunciat al llenguatge algebraic, de vegades les incògnites es poden triar de diferents maneres. És fonamental encertar la més avantatjosa.

Problema resolt

1 Una escala mecànica té n esglaons visibles que baixen a velocitat constant.

L’Antoni i en Lluís baixen per l’escala també a velocitats constants. Sabem que en Lluís baixa al doble de velocitat que l’Antoni.

En Lluís arriba a baix després de passar per 27 esglaons i l’Antoni hi arriba després de passar per 18 esglaons. Quin és el nombre, n, d’esglaons visibles de l’escala?

En el mateix interval de temps que en Lluís baixa 27 esglaons, el mecanisme de l’escala en baixa n – 27.

Anàlogament, l’Antoni baixa 18 esglaons mentre que l’escala en baixa n – 18.

Anomenem a, la velocitat de baixada de l’Antoni; 2a, la d’en Lluís; b, la de l’escala.

Antoni-escala:

D’aquestes igualtats obtenim que:

L’escala té 54 esglaons visibles.

comprovació:

Quan en Lluís baixa 27 esglaons, l’escala en baixa 27 més. Per tant, la velocitat de l’escala és igual que la d’en Lluís i el doble que la de l’Antoni.

Per tant, quan l’Antoni baixa 18 esglaons, l’escala en baixa el doble, 36.

Aplica l’estratègia i resol

19 En una escala mecànica, la velocitat de pujada de l’Andrea és 10 vegades la de la seva germana petita, la Marta. L’Andrea arriba a dalt pujant 40 esglaons, mentre que la Marta ho fa pujant 10 esglaons.

Quants esglaons visibles té el tram d’escala en qüestió?

20 Resol el sistema d’equacions següent efectuant un canvi de variables adequat:

Repàs: resolució de problemes que requereixen triar una bona notació.

Problema resolt

2 En Felip tarda 30 s a recórrer un tram d’escala al metro i puja 60 esglaons.

L’Isidre tarda 36 s a recórrer el mateix tram i puja 48 esglaons. Un dia, el mecanisme de l’escala s’espatlla. Quant tardarà cada un a pujar-la?

Anomenem v la velocitat del mecanisme de l’escala (mesurada en esglaons per segon).

felip: 60 esglaons, 30 s → nre. d’esglaons visibles = 60 + 30v isidre: 48 esglaons, 36 s → nre. d’esglaons visibles = 48 + 36v Solucionem l’equació resultant: 60 + 30v = 48 + 36v → 6v = 12 → v = 2 esgl./s

Nre. d’esglaons visibles = 60 + 30 · 2 = 120

La velocitat d’en Felip és 30 60 = 2 esgl./s

La de l’Isidre és 36 48 3 4 = esgl./s.

Per tant: En Felip tarda a pujar 120 esglaons → 2 120 = 60 s = 1 minut.

L’Isidre tarda → / 43 120 = 90 s = 1 minut i mig.

21 La Letícia tarda 10 s a baixar 50 esglaons i completar, així, un tram d’escala mecànica. L’Eva, més pausada, tarda 20 s i baixa 30 esglaons en el mateix tram. Quants esglaons té aquest tram d’escala?

Quant tardaria cadascuna a baixar-la si estigués espatllat el mecanisme?

24 Resol aquest sistema:

22 En Pere puja per l’escala mecànica que va cap amunt i recorre un total de 60 esglaons. Però si puja per la de baixada, recorre 120 esglaons. Quants esglaons visibles tenen aquests trams? (Se suposa que ambdós trams tenen la mateixa longitud i que les seves velocitats són iguals.)

23 L’Ester fa 20 passes per travessar una cinta transportadora que es mou a velocitat constant. Anant a la mateixa velocitat però en sentit contrari a la cinta, n’ha de fer 60. Quantes passes haurà de fer si la cinta està aturada? Compara les velocitats de l’Ester i de la cinta.

25 Resol l’equació següent, fent el canvi de variable que sigui més adequat:

26 Tots els nombres capicues de 4 xifres tenen un divisor comú diferent d’1. Quin és?

27 Observa:

52

= 360 = 192 – 1

És veritat que el producte de quatre nombres naturals consecutius és sempre un quadrat perfecte menys 1? Si és així, expressa aquest quadrat en funció dels factors.

Observa que es tracta d’escollir una notació adequada per demostrar que el producte de quatre nombres naturals consecutius més 1 és un quadrat perfecte.

Aplica l’estratègia i resol

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Problemes diofàntics

Una equació diofàntica és una equació algebraica amb solucions enteres en la qual apareixen diverses variables.

Les equacions diofàntiques es classifiquen en funció del grau del polinomi que les expressa: poden ser lineals, quadràtiques… Vegem alguns exemples de problemes amb equacions diofàntiques.

Problema resolt

1 En un centre escolar decideixen preparar-se per a una gran nevada de què han estat alertats. Amb aquesta finalitat compren pales, sacs de graveta i bosses de sal. Els preus són 25 €, 5 € i 0,25 €, respectivament.

Es gasten 500 € exactament i, quina casualitat!, han adquirit entre pales, sacs i bosses 500 objectes.

Esbrina quants n’han comprat de cada tipus.

Aquest és el típic problema en el qual, en plantejar-lo, apareixen equacions diofàntiques. En aquest cas tenim un sistema de dues equacions lineals amb tres incògnites:

Aplica l’estratègia i resol

28 Per 100 llaminadures he pagat 5 euros. Les regalèssies gegants costen 50 cèntims; les gominoles, 10 cèntims, i les píndoles de regalèssia, 1 cèntim. Quantes llaminadures de cada classe he comprat?

29 L’Anna compra 40 productes en un basar i es gasta 100 €. Si només venen productes a 1 €, 4 € i 12 €, quants productes de cada classe s’ha endut l’Anna?

30 En Toni només porta a la cartera bitllets de 3 pesos i a la botiga d’il·luminació únicament tenen bitllets de 5 pesos. Com ho ha de fer per adquirir un llum de 19 pesos?

31 La Mireia compra 10 paquets de llapis de colors: uns són de 5 unitats, uns altres de 10 unitats i uns altres de 25. Si en total té 90 llapis de colors, quants paquets de cada classe ha comprat?

32 A la butxaca tenim monedes de tres classes: de 5 cèntims, de 20 i de 50. En total, 12 monedes amb un valor de 2 euros i 85 cèntims (285 cèntims). Quantes monedes hi ha de cada classe?

33 El producte de quatre nombres és igual que la seva suma, 6,75. Si un d’aquests és 1, quant valen els altres?

• Els nombres són 1; x ; y ; z = 5,75 – x – y

• 6,75 = 33 · 2 1 2dn

(Observa que hi ha un 4 en el denominador.)

• Per treballar amb nombres enters podem escriure: x' = 4x, y' = 4y, z' = 4z = 23 – x' – y'

• El seu producte és x' · y' · (23 – x' – y' ) = 24 · 33; a partir d’aquí és un problema diofàntic.

Observa

Una proposició hem de poder decidir si és certa o falsa, és a dir, hi ha una funció: {proposicions} → {C, F}

La demostració matemàtica

El procés deductiu

El raonament deductiu és el més emprat en matemàtiques. Es parteix de veritats conegudes i s’arriba a un nou resultat vàlid seguint un camí lògic.

Ara estructurarem aquestes afirmacions.

■ proposicions

Una proposició és una afirmació efectuada en termes clars, inequívocs, que pot ser certa o falsa però, amb seguretat, és una de les dues coses.

Per exemple: «Tot triangle equilàter és equiangle» és certa.

«Tot triangle equilàter és rectangle» és falsa.

Sovint s’utilitzen proposicions que depenen d’una variable.

Per exemple: «x és un nombre primer». Segons quin sigui el valor de x, la proposició és certa o falsa.

Les proposicions que depenen d’una variable o de més són, en realitat, famílies de proposicions. Per a cada valor concret de les variables, hi ha una proposició concreta que, ara sí, serà certa o falsa.

Hi ha proposicions complicades la veracitat de les quals costa comprovar.

Per exemple: Si x és un nombre real que compleix que ax 2 + bx + c = 0, llavors:

Una proposició complexa pot expressar-se per mitjà de proposicions més simples, sotmeses a certes operacions.

L’estudi de les operacions amb proposicions i l’anàlisi de la veracitat de les proposicions resultants és interessant i senzill, però molt llarg, de manera que s’escapa de les pretensions d’aquestes pàgines. Per això, ens limitarem a estudiar la implicació, que és l’operació bàsica entre proposicions per al raonament deductiu.

■ La impLicació

Expressa una implicació

Hi ha diferents formes:

• A ⇒ B

• Si A, llavors B

• A és una condició suficient perquè ocorri B

• Sempre que ocorri A, ocorre B

Si una proposició, A, duu com a conseqüència una altra proposició, B, es diu que A implica B i s’expressa així: A ⇒ B

En aquest cas, si A és certa, llavors B també ho és.

Per exemple, A : «x és múltiple de 6»; B : «x és múltiple de 2».

És clar que A ⇒ B, ja que «si x és múltiple de 6, llavors x és múltiple de 2».

Per tant, si A és certa (per exemple, si x = 12), també ho és B

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

■ cadena d’impLicacions

Si A ⇒ B i B ⇒ C, llavors A ⇒ C.

En general:

Si A1 ⇒ A2 i A2 ⇒ A3 i A3 ⇒ A4 … An – 1 ⇒ An , llavors A1 ⇒ An .

Per exemple: A: «n 3 – n 2 = (n – 1) n (n + 1)».

B: «n 3 – n 2 és el producte de tres nombres naturals consecutius».

C: «n 3 – n 2 és el producte de tres nombres naturals algun dels quals és parell i algun és múltiple de 3».

D: «n 3 – n 2 és múltiple de 6».

Com que A ⇒ B i B ⇒ C i C ⇒ D, llavors A ⇒ D.

I com que A és certa, es dedueix que D és certa.

■ eL mètode deductiu com a forma de demostració

Per demostrar que una proposició X és certa. Per a això, podem seguir els passos següents:

Vocabulari

La regla deductiva que hem descrit, és a dir, «Si A és certa i, a més, A ⇒ B, llavors B és certa», es coneix com a modus ponens.

Problemes resolts

1 Obtén la fórmula per resoldre una equació de segon grau; és a dir, prova que si:

2 + bx + x = 0, a ≠ 0 llavors:

Partim d’una proposició A, que sabem que és certa. Per mitjà d’una implicació, arribem a la veracitat d’una altra proposició B. (Si A és certa i A ⇒ B, llavors B és certa.) I així, successivament, per mitjà d’una cadena d’implicacions arribem a la proposició X. D’aquesta manera haurem demostrat que X és certa.

Ho multipliquem tot per a perquè el terme en x 2 sigui un quadrat perfecte.

Ho multipliquem tot per 4 perquè el segon terme es vegi com a doble producte.

Sumem b 2 en els dos membres per completar el quadrat d’una suma en el primer.

Passem 4ac al segon membre.

Extraiem l’arrel quadrada en els dos membres sense oblidar el doble signe en un dels dos.

Aïllem, finalment, la x

Problemes resolts

2 Demostra la propietat següent:

BA'' AB 2 =és la paral·lela mitjana a AB en el triangle CAB. Per tant:

BA'' AB 2 = // AB i BA'' AB 2 =

El punt P en què es tallen dues mitjanes les divideix en dos segments, un dels quals és el doble de l’altre:

·' PA PA 2 = 'PPBB 2· =

Anomenem M el punt mitjà de PA i N, el punt mitjà de PB . Per tant, MN és la paral·lela mitjana de AB en el triangle PAB. Com a conseqüència:

MN // AB i MN AB 2 =

Hem provat que BA'' AB 2 = i MN són iguals i paral·lels. Per tant, el quadrilàter B'A'NM és un paral·lelogram i les seves diagonals es tallen en els seus punts mitjans:

'' PM PA PN PB i ==

Conclusió: ·· '' PA PA PB PB 22 i ==

Aplica l’estratègia i resol

34 Dedueix, pas a pas i justificadament, una fórmula per aïllar x en les equacions del tipus x 2 – mx + n = 0.

35 Demostra que, si x1 i x2 són les dues arrels de l’equació

36 Si x és la mitjana aritmètica de n nombres,

xn, prova que:

37 Observa les igualtats següents: 22 + 32 + 62 = 72 32 + 42 + 122 = 132 42 + 52 + 202 = 212

a) Generalitza el resultat.

b) Verifica’n la validesa.

38 Demostra que les tres mitjanes d’un triangle es tallen en un punt.

39 Justifica que la suma dels angles interiors d’un triangle és sempre 180°.

40 Prova que un angle inscrit en una semicircumferència és necessàriament recte.

41 Demostra sobre aquesta figura que: S1 = S2 + S3 S1

42 Prova que la superfície pintada de vermell coincideix amb la blava:

43 En un triangle rectangle, a i b són els catets i c és la hipotenusa. Anomena h l’altura.

Demostra que el triangle de costats h, (c + h) i (a +  b) és rectangle.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

■ equivaLència

Si A ⇒ B i, a més, B ⇒ A, llavors escrivim que A ⇔ B i podem afirmar que les dues proposicions són equivalents.

Per exemple: A : «un triangle x té els seus tres angles iguals».

B : «un triangle x té els seus tres costats iguals».

A ⇒ B, «si un triangle té els tres angles iguals, llavors té els tres costats iguals».

B ⇒ A, «si un triangle té els tres costats iguals, llavors té els tres angles iguals».

Per tant, A ⇔ B. Les proposicions A i B són equivalents.

Diem: «Un triangle té els tres angles iguals si i només si té els tres costats iguals»

O bé: «Una condició necessària i suficient perquè un triangle tingui els tres costats iguals és que tingui els tres angles iguals».

■ demostració per mitjà d’una cadena d’equivaLències

De vegades és difícil trobar una cadena de proposicions per la qual s’arribi a la proposició X que volem provar, però sí que podem trobar una proposició equivalent a X amb una veracitat més fàcil de provar. D’aquesta manera, s’arribaria a una proposició certa equivalent a X. Vegem-ho:

Si X ⇔ A ⇔ B ⇔ C i C és certa, llavors C ⇒ B ⇒ A ⇒ X i, per tant, X és certa.

Aquesta darrera desigualtat és certa, ja que el numerador és més gran o igual que 0, en ser un quadrat, i el denominador és més gran que 0 per hipòtesi (perquè així es diu en l’enunciat).

La cadena d’equivalències, llegida d’endarrere cap endavant, demostra que la primera desigualtat també és certa.

Contrarecíproc

És un altre mètode de demostració a partir d’una negació, que consisteix a fer servir l’equivalència entre les implicacions:

X ⇒ Y i no Y ⇒ no X

És a dir, per demostrar que X implica Y, es prova que (no Y ) implica (no X ).

Mètode de reducció a l’absurd

En matemàtiques, arribem a un absurd quan demostrem que una proposició és certa i falsa alhora. Com que aquesta situació no és acceptable, les condicions que ens hi han conduït han de ser falses:

Si volem demostrar una proposició X, podem començar suposant que la seva negació (no X ) és certa. Si d’aquesta manera deduïm un absurd, és a dir, si: no X ⇒ absurd

llavors, (no X ) ha de ser falsa i, per tant, X ha de ser certa.

La reducció a l’absurd, per tant, fa servir la negació d’una proposició per demostrar si és certa o no.

Problemes resolts

1 Demostra que hi ha infinits nombres primers.

Suposem que no és cert l’enunciat, és a dir, suposem que hi ha un nombre finit de nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …, P. Aquest darrer, P, seria el nombre primer més gran.

Amb tots els nombres primers, formem el nombre següent:

N = (2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · … · P ) + 1

N és el producte de «tots els nombres primers, més 1».

Però N no és divisible per 2, ni per 3, ni per 5, …, ni per P. Això significaria que N és un nombre primer. Però havíem suposat que P era el nombre primer més gran. Suposant que hi ha un nombre finit de nombres primers, hem arribat a una contradicció. Per tant, hi ha infinits nombres primers.

2 Tenim una circumferència de centre O i radi r i una recta, t, que només té un punt, T, en comú amb la circumferència. Demostra que la recta t és perpendicular al radi OT.

Suposem que OT no és perpendicular a t.

Tracem la perpendicular des de O fins a t : OS

Prenem un punt T' tal que ' ST ST =

Els dos triangles OST % i 'OST % són iguals perquè són rectangles i tenen els catets iguals. Per tant, les seves hipotenuses són iguals. Això vol dir que OT' = r (el radi) i, per tant, T' és un punt de la circumferència.

Però no havíem dit que T era l’únic punt en comú de la recta i la circumferència? Contradicció!

Per tant, OT ha de ser perpendicular a t

46 Demostra que si a i b són enters i es compleix que

b + b

llavors a és parell.

47 Si dues rectes coplanàries (no coincidents) són perpendiculars a una tercera recta, aleshores són paral·leles.

48 a) Prova que si a i b són racionals i c és irracional, llavors a + b · c és irracional.

b) Demostra que 5 és irracional i que, per tant, 3 – 2 5 també ho és.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Mètode d’inducció completa

Volem demostrar que una propietat P (n) és vàlida per a qualsevol nombre natural n. Per a això, seguim aquests passos:

a) Provem que es verifica per a n = 1: P (1) és certa.

b) Provem que, si fos certa per a un cert valor de n, llavors també seria certa per al següent, n + 1. És a dir, provem que: «P (n)

certa ⇒ P (n + 1) és certa»

[Observem que no es diu que P (n) sigui certa, sinó que, si ho fos, llavors també ho seria P (n + 1)]. P

hem de deduir que és certa per al següent, n +

2 Demostra que, per a qualsevol nombre natural n, 2 2n – 1 és múltiple de 3.

Per a n = 1, 22 – 1 = 3 sí que és múltiple de 3. Suposem que 22n – 1 és múltiple de 3. Vegem si ho és 22(n + 1) – 1:

Aplica l’estratègia i resol

49 Fes servir el mètode d’inducció completa per demostrar les igualtats següents: a) (1 + 2 + … + n)2 = 13 + 23 + … + n 3

c) 13 + 23 + … + n 3 = ()nn 4 1 22 +

de 7.

de 48, si n és parell.

Problema resolt

1 En una festa hi ha 50 persones. Demostra que almenys dues d’elles tenen el mateix nombre d’amics a la festa.

Principi del colomar

Un principi és una veritat inqüestionable que serveix de partida per obtenir altres conclusions.

El principi del colomar va ser dissenyat per Dirichlet i es pot enunciar en els termes següents: «Si una bandada de 21 coloms es fica pels 20 forats d’un colomar, segur que almenys dos coloms han entrat pel mateix forat.» Un enunciat tan senzill i evident serveix de base per fer demostracions, algunes de les quals són molt profundes.

Considerem que:

— Si A és amic de B, llavors B és amic de A.

— Una persona no és amiga de si mateixa.

Per tant, el nombre d’amics que, en principi, podria tenir cada una d’aquestes 50 persones és 0, 1, 2, 3, …, 49.

Ara bé, si hi ha algú que no té cap amic (això és, té 0 amics), llavors no pot haver-hi ningú amb 49 (és a dir, un individu que sigui amic de tots els altres). Consegüentment, si hi ha el 0, no hi és el 49 i si hi és el 49, no hi ha el 0.

Per tant, hi ha només 49 possibilitats per als 50 assistents. Aplicant el principi del colomar, ha d’haver-hi almenys dos assistents amb el mateix nombre d’amics a la sala.

50 En un institut de 450 estudiants n’hi ha almenys dos amb la mateixa data de naixement. Demostra-ho.

51 Els nombres secrets de les targetes de crèdit consten de quatre dígits. Per exemple, 2704, 0012 i 9461 són possibles nombres. Demostra que al nostre país, amb seguretat, hi ha dues targetes de crèdit que tenen el mateix codi.

52 Podries assegurar que a Catalunya hi ha, almenys, dues persones amb el mateix nombre de cabells? Argumenta la resposta.

53 Si ABC és un triangle equilàter el costat del qual fa 2 cm, demostra que, si es trien cinc punts de l’interior, llavors hi ha, com a mínim, dos d’aquests punts que disten menys d’1 cm.

54 Introduïm 26 ovelles en un camp quadrat de 35 m de costat perquè hi pasturin. Demostra que sempre hi ha, almenys, 2 ovelles que estan a menys de 10 m l’una de l’altra.

55 En la quadrícula 4 × 6 que apareix més avall hem acolorit alguns dels quadrats i d’altres els hem deixat en blanc. Això es pot fer de moltes maneres. Busca’n una en la qual no es pugui trobar cap rectangle amb els quatre vèrtexs del mateix color (en el dibuix de sota, per exemple, no passa això, com es veu en els quatre quadrats assenyalats en vermell).

No obstant això, si la quadrícula fos de 4 × 7, llavors no seria possible trobar una configuració en la qual no hi hagués un rectangle amb els quatre vèrtexs del mateix color. Demostra-ho.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Problemes per practicar

Tots els problemes que proposem a continuació estan resolts a www.barcanova.cat. A més, en molts s’ofereixen ajudes prèvies que t’orientaran en el procés de resolució. Quan els afrontis, et suggerim que, en primer lloc, t’esforcis a resoldre’ls pel teu compte. Si se te’n resisteix algun, ves a l’ajuda. I, finalment, contrasta la resolució que s’hi ofereix amb la teva.

Tots aquests problemes estan units amb un altre de similar o amb més d’un. Per exemple, els problemes 1 i 2 formen un grup; la resolució del problema 1 et servirà d’ajuda per resoldre el 2

1 Al calaix del meu armari tinc 6 mitjons grisos i 8 de negres, tots desparellats. Una nit, necessito uns mitjons del mateix color, però com que la bombeta s’ha fos no m’hi veig. Quants mitjons he d’agafar per estar absolutament segura que en tinc dos del mateix color?

2 D’una bossa que conté 20 boles vermelles, 10 de verdes i 5 de negres, es van agafant boles, una a una. Quantes extraccions s’han de fer per tenir la seguretat d’haver tret 4 boles del mateix color?

3 Enmig d’una selva hi ha dos pobles, que anomenarem V i M. Els habitants de V diuen sempre la veritat i els de M sempre menteixen. Com que són pobles pròxims, és molt freqüent trobar habitants de V a M i de M a V. Una exploradora perduda arriba a un dels pobles, però ignora quin és. Atura un transeünt i li pregunta:

— Vostè és d’aquí?

Per què amb la resposta que rebi sabrà, amb seguretat, si es troba a V o a M? Descriu el procés que has seguit per arribar a la solució i justifica’n els passos.

4 Sis robots dialoguen a la sala d’espera del psiquiatre. Estan afectats d’un mal estrany: només diuen mentides o només diuen veritats. Tots es coneixen perfectament. Tots sis parlen per torns, i afirmen:

— Aquí només hi ha un robot veraç.

— Almenys n’hi ha un de veraç.

— Només n’hi ha dos de veraços.

— Almenys dos són veraços.

— Només n’hi ha tres de veraços.

— Almenys n’hi ha tres de veraços.

Quins són els robots veraços i quins els mentiders?

5 Cinc esportistes comenten al seu entrenador el resultat de la darrera cursa:

carme: Aquesta vegada he arribat davant de l’Aina.

aina: La Tina ha arribat darrere de la Rosa.

tina: La Rosa no ha guanyat.

rosa: La Carme ha arribat quarta.

lluïsa: Avui feia un dia fantàstic per córrer.

Quin ha estat l’ordre d’arribada?

6 Estic jugant al punyet amb sis amics i, valent-me dels meus fabulosos dots psicològics, he arribat a aquestes conclusions:

— Hi ha quatre jugadors amb dues monedes.

— L’Antoni té les mateixes que la Beatriu, i el David, les mateixes que l’Elena.

— La Carme n’ha tret més que l’Elena, però menys que la Beatriu.

Quantes n’he de demanar jo, que tinc dues monedes a la mà, per encertar el joc?

7 En una sala de ball hi ha un cert nombre de persones (nois i noies). Ballen per parelles noia-noi: en un cert moment els 6/11 dels nois ballen amb els 4/5 de les noies. Quina proporció de persones hi ha sense ballar en aquest moment? Quina proporció hi ha de nois i de noies?

8 Disposem d’un nombre de llapis comprès entre 300 i 400 i d’un cert nombre de capses. En cada capsa hi caben 7 llapis. Si hem omplert les 5/6 parts de les capses amb les 3/5 parts dels llapis, quantes capses més necessitem perquè es puguin guardar tots els llapis?

9 Dos turistes que viatgen amb autobús volen comprar pernils i formatges. El conductor del vehicle els exigeix que les compres de cada un no excedeixin els 40 kg. Cada turista aconsegueix comprar 40 kg exactes. Entre tots dos porten 5 pernils, que pesen el mateix, i 5 formatges, que també pesen el mateix. El primer ha comprat el triple de pernils que de formatges i el segon, el doble de formatges que de pernils. Quant pesa cada pernil i cada formatge?

10 Una colla de segadors ha de segar dos prats. Un prat té el doble de superfície que l’altre. Durant mig dia treballen tots al gran. La resta del dia treballen la meitat al gran i l’altra meitat al petit. L’endemà, la superfície que quedava del prat petit la sega un únic treballador en tota una jornada. Quants segadors té la colla?

17 Resol l’equació següent fent un canvi de variable adequat: (x 2 – 6x + 9)2 – 10(x – 3)2 + 9 = 0

18 Calcula l’alçada del petit Pau:

11 Una guineu, que fa 2 salts més 1/3 per segon, ha fet 30 salts més 3/4 quan un gos, que fa 4 salts més 1/2 per segon, la comença a perseguir. Quant temps trigarà el gos a atrapar la guineu, si 3 salts del gos equivalen a 2 salts de la guineu?

12 L’Anna i en Miquel concerten una cita a les vuit del vespre. El rellotge de l’Anna està endarrerit 10 minuts, però ella creu que està avançat 5 minuts. El rellotge d’en Miquel està avançat 5 minuts, però ell creu que està endarrerit 10 minuts. A quina hora real arriba cada un a la cita?

13 Un venedor de teles guanya el 44 % sobre el preu de cost. Però un dia descobreix un metre defectuós que fa que els seus beneficis augmentin al 50 %. Quant fa en realitat el metre defectuós?

14 Quin és el nombre que falta en el darrer triangle?

19 En una classe de ball hi ha 20 persones. Ballen per parelles noi-noia. L’Anna balla amb 7, la Llúcia amb 8, la Sònia amb 9... i la Pepa amb tots. Quants nois i quantes noies hi ha?

20 Un pastor va repartir entre els seus fills un ramat d’ovelles.

• El més gran es va endur una ovella més 1/7 de les restants.

• Al segon li van correspondre dues ovelles més 1/7 de les restants.

• El tercer va rebre tres ovelles més 1/7 de les que quedaven.

• I així successivament fins a arribar al més petit.

D’aquesta manera, tots van rebre la mateixa herència i no va sobrar cap ovella. Quants germans eren? Quantes ovelles hi havia al ramat?

21 La Virgínia compra 17 capses de llapis de colors: unes són de 12 unitats, unes altres de 8 unitats i unes altres de 5. Si en total té 121 llapis de colors, quantes capses de cada classe va comprar?

15 Troba les solucions del sistema següent:

16 En aquest triangle, el nombre tancat en un cercle és la suma dels vèrtexs corresponents.

Seguint aquesta mateixa llei, quin és el valor dels vèrtexs en aquest altre triangle? I en aquest rectangle?

22 En una butxaca tenim monedes de tres classes: de 5, de 20 i de 50 cèntims. En total, 20 monedes amb un valor de 4 euros i 15 cèntims (415 cèntims). Quantes monedes hi ha de cada classe?

23 L’Esther demana al seu amic Lluís que l’ajudi a preparar la comanda de canapès per a un bar. Entre tots dos tarden 1 h 40 min a preparar-la, i en Lluís ha fet 50 canapès. L’endemà, l’Esther demana ajuda a la Marta per preparar una comanda similar. Entre totes dues tarden 2 h 5 min, i la Marta ha fet 25 canapès. De quants canapès consta la comanda? Quant tardarien l’Esther, en Lluís i la Marta a preparar la comanda completa si treballesin sols?

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

24 Dues grangeres han venut les seves gallines al mercat i totes dues han obtingut la mateixa quantitat de diners.

— Si jo hagués venut les meves —diu la primera— al preu que tu has posat les teves, hauria obtingut 100 escuts.

— Si jo hagués posat el mateix preu que tu, només hauria obtingut 36 escuts —diu la segona. Quantes gallines ha venut cadascuna si en total no han arribat a la dotzena?

25 Un granger té un camp triangular envoltat de tres camps quadrats de manera que cada un d’aquests té un costat comú amb el triangle. Les superfícies dels camps quadrats són 4 225 m2, 1 369 m2 i 5 594 m2. Quina superfície té el camp triangular?

26 Les àrees de tres de les cares d’un ortoedre són 35 cm2, 60 cm2 i 84 cm2.

a) Quin volum té? b) Quina longitud té la diagonal?

27 Imagina que talles 20 triangles rectangles iguals amb catets que fan 2 cm i 1 cm. El problema consisteix a posar-los els uns al costat dels altres, de manera que entre tots formin un quadrat. La cosa no és tant fàcil com sembla.

30 En un quadrat de 4 cm de costat s’inscriu un cercle. Després, en el cercle s’inscriu un quadrat, i en aquest, un altre cercle, i així successivament i indefinidament.

Calcula l’àrea de la zona ombrejada i la de la zona en blanc.

31 Dos quadrats iguals en el pla es mouen de manera que un dels vèrtexs d’un és el centre de l’altre quadrat. Per a quina posició l’àrea de la intersecció dels quadrats és màxima?

32 Un rombe té una superfície de 120 cm2 i el quocient entre les seves diagonals és 2,4. Calcula l’àrea del cercle inscrit.

33 Una esfera recolzada a terra projecta una ombra que arriba fins a 10 m del punt on l’esfera toca el terra. En aquest moment, un pal vertical d’1 m d’alt produeix una ombra d’1 m. Calcula el radi de l’esfera.

28 Tres amics decideixen compartir una pizza. Un d’ells, un expert geòmetra, la talla seguint el procediment de la figura després d’haver dividit el diàmetre en tres parts iguals. És equitatiu el repartiment? Justifica la resposta.

29 Calcula l’àrea de cadascun dels tres triangles en què s’ha dividit un pentàgon regular de 10 cm de costat.

34 Una pilota de platja enorme, de 100 cm de radi, està recolzada sobre una paret que forma un angle recte amb el terra. r = 100 cm

Quin és el radi de l’esfera més gran que pot situar-se entre la paret, el terra i la pilota de platja?

35 Amb regle, compàs i cartabó, construeix un triangle del qual saps la longitud del costat a i la de les dues mitjanes mb i mc que parteixen dels seus extrems.

45 a) Demostra que hi ha dos nombres primers consecutius la diferència dels quals és més gran que 1 000.

b) Demostra que, per molt gran que sigui m, hi ha dos nombres primers consecutius amb una diferència més gran que m. (És a dir, prova que hi ha m nombres compostos consecutius.)

36 a) Explica per què si escollim sis nombres naturals entre 1 i 10, amb seguretat, dos d’aquests sumaran 11.

b) Inventa un problema similar amb nombres naturals del 55 al 111 i resol-lo.

37 El resultat de multiplicar 1 · 2 · 3 · 4 · … · 48 · 49 · 50 és un nombre enorme.

a) Quin lloc ocupa el primer dígit diferent de zero si comencem a comptar des de les unitats?

b) Quin és aquest dígit?

46 És veritat que sempre que A, B, C, D > 0 es verifica la desigualtat següent?

(1 + A)2 (1 + B )2 (1 + C )2 (1 + D )2 ≥ 24 ABCD

47 Si a i b són dos enters consecutius, llavors a 2 + b 2 + (ab )2 és sempre un quadrat perfecte. Per què?

Demostracions geomètriques

48 Fixa’t en el paral·lelogram ABCD següent, , AP CR BQ DS == , AP CR BQ DS == i demostra que PQRS també és un paral·lelogram.

38 Indica quin és el darrer dígit (xifra de les unitats) de cada un d’aquests nombres:

a) 284559 b) 328100 c) 153153

39 El nombre 248 – 1 és divisible per dos nombres compresos entre 60 i 70. Quins són aquests nombres?

40 El 1856 es va publicar un llibre (grossíssim) que contenia els quadrats dels nombres des de l’1 fins als 1 000 milions. Amb quina finalitat? Per multiplicar! Et toca a tu esbrinar i explicar com.

Per a això, relaciona el producte de dos nombres m · n amb la diferència dels quadrats de m + n i m – n Explica com es faria servir el llibre dels quadrats per fer el producte de dos nombres molt grans (per exemple, 57 839 · 8 756) per mitjà d’operacions més senzilles.

41 Què és més gran, log3 108 o log5 375?

Descompon els nombres en factors.

42 El nombre següent és enter. Quin és?

|| 40 257402 57 +

Demostracions

43 Demostra que:

a) Si m és imparell, llavors m 2 + 1 no és múltiple de 4.

b) Si l, m, n són enters consecutius, llavors el resultat de l 2 + m 2 + n 2 no és múltiple de 24.

44 Demostra que el nombre 365 és l’únic nombre natural que és suma dels quadrats de tres nombres consecutius i, a la vegada, suma dels quadrats dels dos següents.

49 Demostra que en tot triangle isòsceles la bisectriu de l’angle extern oposat als angles iguals és paral·lela al costat desigual.

50 Demostra que, si per un punt qualsevol de la bisectriu d’un angle es traça una paral·lela a un dels costats de l’angle, el triangle format és isòsceles.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

51 En un paral·lelogram ABCD, Q és el punt mitjà de AD i P és el punt mitjà de CB . Demostra que BQ i DP trisequen AC

57 Si a i b són dos nombres diferents i tots dos positius, verifica la igualtat següent:

ab ab ab 2 2 > + +

58 Si m ≥ 0 i n ≥ 0, demostra que ≤ mn mn 22 ++22

Reducció a l’absurd i contrarecíproc

52 Sobre el costat AB d’un triangle ABC s’agafa un punt qualsevol P. Després es disposen , AW WP PX XB == , , AZ ZC BY YC == Demostra que W XY Z =

59 Prova per reducció a l’absurd el mateix que has demostrat en l’exercici anterior.

60 Demostra que x + x 1 ≥ 2 per a qualsevol nombre real positiu x

61 Demostra que, si a, b són nombres reals positius tals que ≠, ab ab 2 + llavors a ≠ b.

62 Demostra que, si a, b i c són tres nombres imparells, llavors ax 2 + bx + c = 0 no pot tenir arrels racionals.

Mètode d’inducció

53 El triangle verd i el vermell es troben, respectivament, en els plans π i σ. Són paral·lels? Per deduir-ho, et serveix saber que els triangles tenen els seus costats paral·lels?

La diagonal del cub, BE , talla aquests dos plans en P i Q. Podries provar si es compleix que BP PQ QE == ?

Per a això, troba l’altura de BP del tetràedre BADG si el seu volum és 1/6 del volum del cub.

54 Demostra que, en aquesta figura, α = β + γ

63 Demostra que n 3 + 5n és múltiple de 6 per a qualsevol valor natural de n.

64 Aplica el mètode d’inducció completa i demostra que:

a) 2n > 2n + 1 per a qualsevol natural n ≥ 3.

b) 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + … + n · (3n + 1) = n · (n + 1)2 per a qualsevol n natural.

65 Fes servir el mètode d’inducció completa per demostrar aquestes igualtats per a n natural:

a) 1 + 3 + 6 + 10 + … + () () () nn nn n 2 1 6 12 + = ++

b) … ()nn n n 12 1 23 1 34 1 1 1 1 ++ ++ + = +

66 Observa que: 1 = 1

1 – 4 = – (1 + 2)

Intenta fer servir una quadrícula com la de la dreta per demostrar-ho.

Cadena d’equivalències

55 Demostra que per a tot x real es compleix que:

56 Prova que la mitjana aritmètica de dos nombres reals positius és més gran o igual que la mitjana geomètrica. És a dir:

1 – 4 + 9 = 1 + 2 + 3 …

Quina regla general segueixen aquestes igualtats? Expressaho en la notació convenient i demostra-ho.

67 Demostra que 62n – 1 és divisible per 35 per a qualsevol valor de n (natural).

68 Justifica que, si n ∈ , llavors n 5 – 5n 3 + 4n és múltiple de 120.

69 Demostra per inducció que: 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2

bloc bloc Algebra `

Notes histOriques. Algebra ` `

1 Al segle iii, Diofant d’Alexandria escriu el primer tractat d’àlgebra que coneixem. Hi proposa problemes i utilitza, en la resolució d’algun, el que ara anomenem equacions algebraiques, fent servir un simbolisme semblant a l’actual dels polinomis.

2 Hipàtia d'Alexandria (370-415) estudia la geometria, l’àlgebra i l’astronomia i millora el disseny de l'astrolabi (usat per determinar la posició i I’alçada de les estrelles). Tot i que només s’hagi conservat una mínima part dels seus escrits, la seva obra i la seva vida s’han conegut a través d’altres autors de la seva època, com ara una anotació que va fer en l’obra de Diofant. La seva figura s’ha mitificat i s’utilitza com a símbol de progrés i de la dona lliure.

3 Al-Khwarizmi (780-850), membre destacat de «La casa de la saviesa» de Bagdad, exposa la manera de resoldre sis tipus d’equacions de segon grau al començament de la seva obra Hisab al jabr wa’l muqabalab. Del títol d’aquest tractat es deriva l’actual denominació de l’àlgebra

4 Omar Khayyam (1050-1123) defineix l’àlgebra com la ciència de resoldre equacions. Aquesta definició es va mantenir fins a finals del segle xix

5 Cardano (1501-1576) publica el primer mètode general de resolució d’equacions de tercer grau, descobert per Tartaglia (1499-1557), i la solució de les equacions de quart grau, descoberta pel seu secretari Ludovico Ferrari (1522-1565).

6 Avança la notació simbòlica en l’àlgebra gràcies a Viète (15401603), que és el primer a fer servir les lletres per simbolitzar tant les incògnites com les constants, i a Descartes (1596-1650). Aquest darrer va tractar les propietats i les transformacions de les equacions algebraiques amb un simbolisme

molt semblant a l’actual.

Fundació del monestir de Santa Maria de Ripoll

Premi Nobel de medicina a Santiago Ramón y Cajal

del Francès

civil nord-americana

Marx

Cauchy Galois

9 Julia Robinson Apareix

Sylvester, Cayley 8

L’imperi carolingi es divideix en el Tractat de Verdun

El principal objectiu de l’àlgebra clàssica és la resolució d’equacions. Considerant-la així, l’àlgebra tindria més de 4 000 anys d’antiguitat. Però no és fins a l’edat mitjana (segle ix) que sorgeix l’àlgebra pròpiament dita, de la mà dels àrabs. Posteriorment, l’àlgebra àrab es va difondre, a través de la península Ibèrica, cap a Europa, on arriba a la majoria d’edat als segles xvi i xvii.

Ampliació de les notes històriques corresponents a

7 Gauss (1777-1855), un dels matemàtics més grans de tots els temps, amb només 22 anys, va fer la primera demostració del teorema fonamental de l’àlgebra: tota equació polinòmica té, almenys, una solució en el camp complex.

8 Galois (1811-1832) desenvolupa la teoria de grups, Hamilton (1805-1865), Sylvester (1814-1897) i Cayley (1821-1895) formalitzen la teoria de matrius i Cauchy (17891857) completa i formalitza la teoria de determinants.

9 Julia Robinson (1919-1985), nascuda als EUA, és una de les grans matemàtiques del segle xx coneguda per les seves contribucions en el camp de la teoria de la complexitat computacional. Les seves aportaciones van tenir un paper crucial en la resolució del desè problema de Hilbert, que gira entorn de les equacions diofàntiques en termes de programació informàtica i té un gran interès en la matemàtica moderna.

10 Al segle xx sorgeix l’àlgebra abstracta, que es dedica a estudiar estructures algebraiques, és a dir, sistemes d’elements entre els quals es defineixen unes operacions que compleixen algunes propietats. Així, els teoremes demostrats sobre l’estructura abstracta són immediatament aplicables a qualsevol de les seves concrecions.

Invenció de la ballesta Carles II

Avicenna

Núñez de Balboa descobreix l’oceà Pacífic

Carles I

Els normands conquereixen Anglaterra

Guerra dels segadors

Unió d’Espanya i Portugal

Richelieu

Primera croada

Gran Cisma d’Orient

Regnes de Taifes Invenció del llapis Batalla de Lepant

7 Gauss

5 Cardano, Tartaglia, Ferrari

Descartes 6

Omar Khayyam 4

Viète 6

aquest bloc.

Unitat Algebra de matrius

L’àlgebra moderna

Les matemàtiques anteriors al segle xix s’ocupaven essencialment dels nombres (aritmètica) i de les figures (geometria). L’àlgebra era una eina vàlida per a les dues matèries i va resultar força útil tant en aspectes pràctics com científics. Al començament del segle xix, l’àlgebra, com altres branques de la matemàtica, evoluciona cap a noves idees. Apareixen, com a objectes d’aquesta, les matrius, els determinants, els vectors…

Hamilton i els quaternions

Les noves idees que sorgeixen al començament del segle xix van néixer inspirant-se en els nombres complexos. Recordem que un nombre complex a + bi és, en essència, un parell de nombres reals (a, b). El resultat de multiplicar per un nombre complex de mòdul 1 i argument α s’interpreta geomètricament com un gir d’angle α. Llavors, si les operacions amb parells de nombres reals es relacionen amb transformacions en el pla, per què no podem explorar l’àlgebra que sorgeix de les ternes de nombres reals?

Hamilton (1805-1865) va intentar donar sentit a les operacions amb ternes de la forma a + bi + cj, en què i i j tindrien un paper similar al de la unitat imaginària i, però no va aconseguir que allò funcionés. Després de quinze anys de molt discórrer i d’intents fallits, un dia del 1843, mentre passejava amb la seva dona per un pont de Dublín, va tenir la idea feliç de fer servir, en comptes de ternes, quaternes de la forma a + bi + cj + dk. Allò va funcionar a la perfecció. El mateix Hamilton va anomenar quaternions aquestes quaternes numèriques dotats d’estructura algebraica amb una fecunda interpretació geomètrica. Amb això es va obrir un camp immens a l’àlgebra en particular i a les ciències en general.

Per exemple, com que els quaternions serveixen per descriure la dinàmica del moviment en tres dimensions, s’han fet servir en els gràfics de realitats virtuals, en la programació de videojocs, en robòtica, en l’estudi de la geometria de l’espai-temps, en el programari de vol tant de l’aviació comercial com dels transbordadors espacials…

Matemàtic eminent, va fer també contribucions notables a la física (òptica, dinàmica, mecànica). Es diu que el seu prestigi a la universitat era tal que «se li permetia trepitjar la gespa dels jardins», una cosa rotundament prohibida. Segurament va passar que, alguna vegada, absort en les seves elucubracions, va caminar sobre la gespa sense adonar-se’n i, per descomptat, ningú no es va atrevir a retreure-li-ho.

Informació sobre el camp profesional del big data

Les matrius

Les matrius, com a caixes rectangulars de nombres, venen de molt antic. Ja els xinesos, al segle ii aC, plasmaven en taules els elements numèrics d’un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites i, per mitjà de transformacions d’aquests nombres, arribaven a la solució.

Podríem afirmar que el camp de les matrius estava desenvolupat i establert abans de crear-se, però la notació matricial, pròpiament dita, va ser utilitzada per primera vegada per Cayley el 1843. Cayley va introduir les matrius com a entitats independents i va desenvolupar l’àlgebra de matrius (suma i producte, matriu unitat, matriu nul·la, matriu inversa d’una altra). Va ser el primer a estudiar-les en profunditat i a publicar articles que hi estaven dedicats, per la qual cosa és reconegut com el creador de la teoria de les matrius. El 1858 va publicar una memòria sobre aquesta teoria que conté la primera definició abstracta de matriu.

El nom de «matriu» va ser encunyat pel seu gran amic Sylvester el 1850.

RESOL

Prestatgeries modulars

Una empresa ven tres models de prestatgeries modulars, E1, E2, E3, que, al seu torn, estan formades per quatre tipus de mòduls, M1, M2, M3, M4.

Els mòduls que formen cada model de prestatgeria es descriuen en el gràfic següent:

Aquesta informació es pot representar mitjançant aquesta taula:

Al seu torn, els mòduls estan formats per diferents components: elements de fixació, C1, peces de fusta grans, C2, i peces de fusta petites, C3.

Representa mitjançant una taula la informació recollida en el diagrama de components d’aquests mòduls.

Arthur Cayley (1821-1895)

Nomenclatura

La transposada de la matriu A també se sol designar per A' :

= At

Les taules numèriques següents són matrius:

Com veus, són caixes rectangulars formades per files i columnes

La primera és una matriu de 3 files i 4 columnes. La seva dimensió és 3 × 4.

La segona és una matriu de dimensió 1 × 5 (1 fila, 5 columnes). Aquest tipus de matriu s’anomena vector fila. Aquesta és un vector fila de dimensió 5.

La tercera és un vector columna de dimensió 4 (és una matriu 4 × 1).

La quarta és una matriu 3 × 3. S’anomena matriu quadrada d’ordre 3.

• Les matrius són taules numèriques rectangulars:

Aquesta és una matriu de m files i n columnes. És de dimensió m × n.

Els elements, aij , són nombres reals (aij ∈ Á).

En designar una matriu genèrica, com l’anterior, cada terme té dos subíndexs que indiquen la fila i la columna a què pertany. El terme a23 és el que es troba en la segona fila i la tercera columna. Per simplificar, la matriu anterior es pot designar així:

() a ,, ,, ij jn im 1 1 = = o bé A = (aij)m,n o, simplement, (aij)

Si m = n, es diu que la matriu és quadrada

• Dues matrius són iguals quan són de la mateixa dimensió i, a més, coincideixen terme a terme:

() () Aa Bb , ,

= = * → A = B ⇔ aij = bij

ij mn ij mn

• La transposada d’una matriu A = (aij)m,n és una altra matriu At = (aji)n,m que s’obté en canviar en A les files per les columnes i les columnes per les files.

• Una matriu A s’anomena simètrica si At = A. Perquè una matriu sigui simètrica, necessàriament ha de ser quadrada.

• La matriu següent s’anomena triangular perquè és quadrada i tots els elements que es troben per sota de la diagonal principal són iguals a zero:

Matrius amb GeoGebra.

Reflexiona

L’exemple 3 és molt ingenu, però podem imaginar una situació més real si tenim en compte els falsos positius, cada un dels diferents símptomes que poden presentar els pacients, etc.

I, d’altra banda, podríem considerar una enorme quantitat de localitats. Seria una immensa matriu amb moltíssimes files i columnes. Els ordinadors permeten no només emmagatzemar matrius d’aquest tipus, sinó, també, operar amb aquestes.

Observa els exemples següents:

1. La matriu transposada de A =

2. La matriu B

Exercicis proposats

1 Escriu les matrius transposades de:

.

3. En el seguiment de la pandèmia de la covid-19 s’han comptabilitzat els contagis, les noves hospitalitzacions i les altes hospitalàries de quatre localitats durant una setmana.

És clar que les dades configuren una matriu de 4 files i 3 columnes.

4. Una dona, directiva en una empresa, comptabilitza el nombre d’hores que ha dedicat cada dia d’una setmana a diverses tasques:

Es tracta d’una matriu 6 × 5.

2 Escriu una matriu X tal que X t = X; és a dir, que sigui simètrica.

3 Escriu una matriu que descrigui això:

Operacions

matrius.

Les matrius poden sumar-se, ser multiplicades per un nombre i multiplicar-se entre si. Observa a continuació com cada una d’aquestes operacions té les seves peculiaritats i la seva interpretació.

Suma de matrius

Perquè dues matrius puguin sumar-se, és necessari que tinguin la mateixa dimensió. En aquest cas, se sumen terme a terme:

3. Si en l’exemple 3 de la pàgina anterior tinguéssim les matrius de contagis, les hospitalitzacions i les altes hospitalàries corresponents a totes les setmanes que ha durat la pandèmia, la seva suma seria una matriu amb els contagis, les hospitalitzacions i les altes hospitalàries totals durant la pandèmia a cada localitat.

Producte d’un nombre per una matriu

Per multiplicar un nombre per una matriu, es multiplica pel nombre cada terme de la matriu:

k · (aij)m,n = (kaij)m,n

2. En l’exemple 4 de la pàgina anterior, la directiva pot suposar que les quatre setmanes que formen un mes determinat seran aproximadament iguals i, així, obtenir la matriu de dedicació mensual multiplicant per 4 la matriu de dedicació setmanal.

Nota

Aquesta definició és vàlida per al producte d’un vector fila per un vector columna, però no al contrari.

Producte d’una matriu fila per una matriu columna

El producte d’un vector fila per un vector columna, tots dos de la mateixa dimensió, és un nombre que s’obté multiplicant-los terme a terme i sumant-ne els resultats:

1 Efectua el producte F · C:

= () 51 42 , C =

2 En una oficina de canvi de divises avui ofereixen aquests preus:

$ = 0,85 €

1 ¥ = 0,008 €

Si una executiva que necessita euros arriba a l’oficina amb 70 $, 20 € i 15 ¥, amb quants euros sortirà?

de manera molt diferent, com veurem en la pàgina següent.)

Observa que la quantitat total canviada, en euros, es pot obtenir com a producte d’un vector fila per un vector columna:

3 En el problema de la fàbrica de prestatgeries modulars de l’inici de la unitat, volem esbrinar quants components C2 es necessiten per fabricar una prestatgeria E1

Prestatgeria Components

Com es pot descriure matricialment aquest càlcul?

Sortirà de l’oficina amb 79,62 € Fixa’t que aquest exercici podria haver-se resolt sense necessitat d’utilitzar matrius.

Podem fer-ho de la manera següent:

Nombre de mòduls (M1, M2, M3, M4) a la prestatgeria E1: (1 2 1 0)

Nombre de components C2 en cada un dels mòduls:

Nombre total de components:

Es necessiten 5 components del tipus C2 per fabricar una prestatgeria del tipus E1.

Practica la suma de matrius.

Molt important

El producte de matrius A · B pot fer-se si els vectors de cada fila de A són de la mateixa dimensió que els vectors de cada columna de B A B = C (m, n) (n, p) (m, p)

Producte de matrius

Perquè dues matrius A i B puguin multiplicar-se, A · B, és necessari que el nombre de columnes de la primera coincideixi amb el nombre de files de la segona. En tal cas, el producte A · B = C és una altra matriu els elements de la qual s’obtenen multiplicant cada vector fila de la primera per cada vector columna de la segona, d’aquesta manera:

en què cij és el producte de la fila i de A per la columna j de B:

La matriu C resultant té tantes files com A (m) i tantes columnes com B ( p).

Observa en aquests exemples la mecànica del producte de matrius:

Observa que C · F és una matriu 4 × 4. Calcula-la.

2. Una empresa de joguines ven tres capses temàtiques amb personatges, transports, accessoris i cabanes.

Matriu A: quantitat de personatges, Pe; transports, Tr; accessoris, Ac; cabanes, Cb, què inclou cada capsa temàtica: vaixell pirata, Vp; granja, Gr; hospital, H

Matriu B: preu, en euros, de cada un dels components, a dues fàbriques diferents, F1 i F2.

La matriu A · B determina el preu de cada una de les capses temàtiques a cada fàbrica.

Per exemple, la quantitat 57 vol dir que la fàbrica F2 cobrarà 57 € per fabricar la capsa temàtica del vaixell pirata.

Exercicis resolts

1 El problema de la fàbrica de prestatgeries modulars del començament de la unitat es resumeix mitjançant aquest gràfic:

El gràfic que descriu els mòduls, M, de què està composta cada prestatgeria, E, es resumeix a la matriu A

La matriu B descriu els components, C, de què està compost cada mòdul, M

Aplica el producte de matrius per obtenir el nombre de components de cada tipus que necessita cada model de prestatgeria, tenint en compte els mòduls de què està composta.

2 Una oficina de canvi treballa amb tres monedes diferents, euros, dòlars i iens. Pot rebre quantitats de diferents monedes i ha de donar el canvi en qualsevol d’aquestes.

1 € = 1,18 $ ↔ 1 $ = 0,85 €

1 € = 125 ¥ ↔ 1 ¥ = 0,0080 €

1 $ = 106 ¥ ↔ 1 ¥ = 0,0094 $

Un client disposa de 15 $, 27 € i

2 500 ¥. A quants dòlars equival el seu capital? I a quants euros? I a quants iens?

La taula que reflecteix els canvis de moneda és la següent:

Calculem el resultat del canvi de moneda de 15 $, 27 € i 2 500 ¥, en les tres monedes.

↑ ↑ ↑

de canvi a canviar

Exercicis proposats

5 Efectua tots els productes possibles entre les matrius següents:

monedes

6 Intenta aconseguir una matriu I3 de dimensió 3 × 3 que, multiplicada per qualsevol matriu quadrada A 3 × 3, la deixi igual.

És a dir:

La matriu I3 que verifica la igualtat anterior s’anomena matriu unitat d’ordre 3.

Una vegada que sàpigues quina és la seva fisonomia, sabràs obtenir la matriu unitat de qualsevol ordre.

3. PROPIETATS DE LES OPERACIONS AMB MATRIUS

Les operacions amb matrius tenen unes propietats que els confereixen una estructura interessant. Vegem-les.

Propietats de la suma de matrius

Fixa-t’hi

La propietat associativa ens permet suprimir parèntesis:

(A + B) + C = A + B + C

Matriu antisimètrica

Una matriu quadrada s’anomena matriu antisimètrica quan la seva oposada és igual que la seva transposada. Per exemple:

A = f 0 2 7

Les matrius de dimensió m × n poden sumar-se, i el resultat és una altra matriu m × n. A més, la suma compleix les propietats següents:

1. Associativa: (A + B ) + C = A + (B + C )

2. Commutativa: A + B = B + A

3. Element neutre: La matriu 0m,n , els elements de la qual són tots 0, sumada amb qualsevol altra matriu de dimensió m × n, la deixa igual; és a dir, A + 0 = 0

A

A

4. Tota matriu, A, en té una d’oposada, –A: La matriu oposada de A = (aij ) és –A = (–aij ), perquè (aij ) + (–aij ) = (aij – aij ) = (0) = 0

Per exemple, la matriu oposada de

, perquè:

7 4 0 –

Nomenclatura

2 0 4

–– p; At = –A

S’anomena grup abelià un conjunt amb elements entre els quals hi ha definida una operació que compleix les propietats:

• Associativa

• Commutativa

• Element neutre

• Element oposat

1 Comprova la propietat 1 del producte de nombres per matrius per

Aquestes quatre propietats es resumeixen dient que el conjunt Mm,n de les matrius de dimensió m × n és un grup abelià respecte de la suma.

Propietats del producte de nombres per matrius

Si a, b ∈ Á i A, B ∈ Mm,n , es compleixen les propietats següents:

1. Associativa: a · (b · A) = (a · b) · A

2. Distributiva I: (a + b) · A = a · A + b · A

3. Distributiva II: a · (A + B) = a · A + a · B

4. Producte pel nombre 1: 1 · A = A

7 Comprova les propietats 2 i 3 del producte de nombres per matrius, si:

Molt important

En les matrius, en general A · B no és igual que B · A

Exercicis resolts

1 Comprova la propietat associativa per a

Propietats del producte de matrius

1. Associativa: (Am,n · Bn,p) · Cp,q = Am,n · (Bn,p · Cp,q)

Aquesta propietat ens permet prescindir de parèntesis quan multipliquem diverses matrius (sempre que, per les seves dimensions, cada una sigui multiplicable per la següent).

2. El producte de matrius no és commutatiu.

Com a conseqüència, hem de mantenir l’ordre en què apareguin les matrius que han de multiplicar-se. Per tant, farem servir expressions d’aquest tipus:

«La matriu M està multiplicada per l’esquerra (o per la dreta) per la matriu A

2 Comprova que el producte de matrius no és commutatiu fent servir alguns exemples.

3. Propietats distributives

Si A, B, C, D són matrius amb dimensions que permeten efectuar les operacions que s’indiquen, es compleixen les propietats següents:

4. MATRIUS QUADRADES

Les matrius quadrades d’un cert ordre, Mn,n , a més de sumar-se i multiplicar-se per nombres, poden multiplicar-se entre si. Aquestes operacions compleixen totes les propietats estudiades fins ara i algunes altres.

termes a11, a22, …, ann d’una matriu quadrada (aij)n,n formen l’anomenada diagonal principal. Per tant, la matriu In , els termes de la qual són tots 0 llevat dels d’aquesta diagonal principal, que són 1, presenta la propietat següent:

Nomenclatura

La matriu unitat s’anomena també matriu identitat

Qualsevol que sigui A ∈ Mn,n , A · In = In · A = A, per la qual cosa diem que In és la matriu unitat.

Matriu inversa d’una altra

Com que la multiplicació està definida en el conjunt Mn,n (és a dir, el producte de dues matrius quadrades d’ordre n és una altra matriu quadrada d’ordre n) i, a més, hi ha matriu unitat, sembla obligat fer-se la pregunta següent: tota matriu quadrada té inversa? És a dir, donada una matriu quadrada, A, n’hi ha una altra, A–1, tal que A · A–1 = A–1 · A = I ? Per exemple:

Nomenclatura

Les matrius quadrades que tenen inversa s’anomenen regulars

Les matrius quadrades que no tenen inversa s’anomenen singulars.

Inversa d'una matriu.

Justificació de la validesa del mètode de Gauss per a l’obtenció de la matriu inversa d’una altra.

La resposta és negativa. Algunes matrius quadrades tenen inversa, però d’altres no. A continuació, exposem un mètode per obtenir la inversa d’una matriu, si en té, o per descobrir que no té inversa.

Inversa d’una matriu pel mètode de Gauss

Per trobar la inversa, A–1, d’una matriu A, imposarem a la matriu unitat, I, els mateixos canvis a què s’ha de sotmetre la matriu A per obtenir la matriu unitat.

a certes transformacions

a les mateixes transformacions

En la pràctica, es col·loca la matriu A, i a la seva dreta, la matriu I. Fem les transformacions necessàries perquè A es transformi en I. Com a conseqüència, la matriu que s’obté a la dreta de I és A–1. Totes les transformacions que es facin seran idèntiques a les que vam fer servir el curs passat per resoldre un sistema d’equacions pel mètode de Gauss. Si a la part de l’esquerra apareix una fila de zeros, A no té inversa.

Exercicis proposats

9 Calcula, fent servir el mètode de Gauss, la inversa de cada una de les matrius següents en el cas que en tinguin:

10 Calcula la inversa de cada una de les matrius següents o esbrina que no en tenen:

Àlgebra de matrius quadrades d'ordre n

En el conjunt Mn,n de les matrius quadrades d’un ordre determinat n, hi ha dues operacions internes (tant la suma com el producte de dues matrius quadrades d’ordre n és una altra matriu quadrada del mateix ordre) i una operació externa (el producte d’un nombre real per una matriu quadrada és una matriu quadrada del mateix ordre).

■ propietats de les operacions internes Si A, B, C i I són matrius quadrades del mateix ordre, es compleix que:

Operació interna

Tant la suma com el producte de matrius són operacions internes perquè s’operen entre si elements del conjunt Mn,n (matrius), i el seu resultat també és un element de Mn,n

Operació externa

El producte d’un nombre per una matriu és una operació externa perquè s’operen elements de diferents conjunts, Á i Mn,n.

Gràcies a aquestes propietats podrem resoldre equacions del tipus AX +

= C, en què A, B i C són matrius conegudes d’ordre n × n i X és la matriu incògnita, de la manera següent (la matriu A ha de tenir inversa):

C →

■ propietats de l’operació externa Si A, B són matrius i a, b nombres reals, es compleix que:

Totes aquestes propietats confereixen al conjunt Mn,n una estructura anomenada àlgebra, cosa que permet que es pugui operar entre els seus elements fàcilment.

Exercicis resolts

2 Resol aquest sistema d’equacions matricials: X X Y Y A B 2 3 3 –+ = = )

Tingues en compte que:

Resulta favorable aplicar el mètode de reducció. Per a això, sumem les dues igualtats membre a membre:

Substituïm en la primera equació:

–

A = 20 2 5 15 –

B = 23 4 17 15

i que les incògnites X i Y són matrius d’ordre 2 × 2.

Exercicis proposats

11 Per a les matrius

comprova que:

a) A · (B + C ) = (A · B) + (A · C )

b) (A + B) · C = (A · C ) + (B · C )

c) A · (B · C ) = (A · B) · C

12 Si A = 3 5 0 –1 eo i B = 0 1 6 –3 eo , troba X que compleixi que

3 · X – 2 · A = 5 · B

13 Troba dues matrius, A i B, de dimensió 2 × 2 que compleixin que:

2A + B = 1 2 4 0 eo A – B = 1 1 2 0 –eo

14 Troba dues matrius X i Y que verifiquin que:

2X – 3Y = 1 4 5 2 eo X – Y = 1 3 0 6 –eo

15 Esbrina com ha de ser una matriu X a c b d = eo que compleixi la condició següent:

X · 1 0 1 1 1 0 1 1 = eeoo · X

16 Efectua les operacions següents amb aquestes matrius:

A = 1 0 2 3 eo B = 4 3 7 0 –eo C = 1 3 1 2 –eo

a) (A · B) + (A · C )

b) (A – B) · C

c) A · B · C

17 Donada la matriu A = 1 0 2 1 eo , comprova que (A – I )2 = 0.

18 Troba la inversa d’aquestes matrius:

c)

19 Resol aquestes equacions:

b)

c)

5. RELACIONS LINEALS ENTRE LES FILES D’UNA MATRIU

Les matrius són un suport importantíssim per a l’estudi, l’anàlisi i la resolució dels sistemes d’equacions. Amb aquesta finalitat, cal interpretar i usar el rang d’una matriu, concepte que aprendrem i utilitzarem en el pròxim apartat.

Per preparar el camí, en aquest apartat estudiarem les relacions que hi pot haver entre les files (o les columnes) d’una matriu i les fonamentarem dins del concepte d’espai vectorial.

Què és un espai vectorial

Els vectors no només són «fletxetes»

La idea de vector com a fletxa dona lloc a la d’espai vectorial: el conjunt de tots els vectors entre els quals es defineixen unes operacions que compleixen certes propietats. Però hi ha altres ens matemàtics amb les mateixes operacions i propietats. Per això, la definició d’espai vectorial és molt més àmplia i oberta que una col·lecció de «fletxes».

Tenim un conjunt, V, entre els elements del qual (que anomenarem vectors) hi ha definides dues operacions:

• suma de dos elements de V (+):

La suma de dos vectors és un altre vector.

si u , v ∈ V, llavors u + v ∈ V

• producte per un nombre real (·):

El producte d’un nombre real per un vector és un altre vector.

si a ∈ Á i u ∈ V, llavors a · u ∈ V.

Es diu que (V, + , ·) és un espai vectorial sobre Á si les operacions compleixen les propietats següents:

Recorda!

Quan parlem d’un vector i l’anomenem v , no ens estem referint, necessàriament, a una «fletxa», sinó a qualsevol element d’un espai vectorial.

)

distributiva i (a + b) · v = a · v + b · v

distributiva ii a · ( u + v ) = a · u + a · v

producte per 1 Si v ∈ V es compleix que 1 · v = v

■ combinació lineal de vectors

Donats n vectors v 1, v 2, v 3, …, v n i n nombres reals a1, a2, a3, …, an, el vector format de la manera següent:

a1 v 1 + a2 v 2 + a3 v 3 + … + an v n s’anomena combinació lineal (CL) dels vectors v 1, v 2, v 3, …, v n.

• Per exemple, trobem una combinació lineal de diversos vectors: 3(–2, 5, 8, 4) + 2(1, 7, 3, –1) – 4(0, 5, –1, –2) = = (– 6, 15, 24, 12) + (2, 14, 6, –2) + (0, –20, 4, 8) = (– 4, 9, 34, 18)

Per tant, el vector (– 4, 9, 34, 18) és combinació lineal de: (–2,

Dependència lineal de 0

Un únic vector v diferent de 0 és LI, ja que a v = 0 només és cert si a = 0.

El vector 0 és LD, ja que, per exemple, 7 · 0 = 0

És a dir, es pot obtenir 0 multiplicant 0 per un nombre diferent de 0.

■ dependència i independència lineal

Un conjunt v 1, v 2, v 3, …, v n de vectors es diu que són linealment dependents (LD) si algun d’aquests es pot expressar com a combinació lineal dels altres.

Un conjunt u 1, u 2, u 3, …, u n de vectors es diu que són linealment independents (LI) si cap d’aquests no es pot expressar com a combinació lineal dels altres.

L’espai vectorial de les n-uples de nombres reals

Exemples

Á2 és el conjunt de tots els parells de nombres reals. Per exemple: (3, 7), (2/3, 0).

Á3 és el conjunt de totes les ternes. Per exemple: (7, –1, 2 ), (0, 0, 0).

Á4 és el conjunt de quaternes. Per exemple: (4, –1, 0, 6), (3, 2/5, –7, 4).

Una col·lecció de n nombres reals donats en un cert ordre s’anomena una n-uple. El conjunt de totes les n-uples de nombres reals amb les operacions (+) i (·) formen un espai vectorial, el qual es designa Án .

Ens hi fixem, perquè tant les files com les columnes de les matrius són n-uples de nombres reals. Una n-upla de dos elements s’anomena parell, una de tres s’anomena terna i una de quatre, quaterna.

Dependència i independència lineal de n-uples

Els parells (2, 3) i (6, 9) són linealment dependents (LD) perquè (6, 9) = 3 · (2, 3).

Tanmateix, els parells (2, 3) i (6, 8) són linealment independents perquè cap dels dos no es pot obtenir multiplicant l’altre per un nombre. Vegem-ho intentant expressarne un a partir de l’altre:

(6, 8) = a · (2, 3) = (2a, 3a) → / aa aa 62 3 83 83 == == 4 → Impossible!

→ →

• Tres parells són, amb tota seguretat, linealment dependents. Per exemple:

(2, 3), (–1, 4), (14, –1). Per comprovar-ho, escrivim:

(14, –1) = a(2, 3) + b(–1, 4) = (2a – b, 3a + 4b)

Això dona lloc al sistema ab ab 214 34 1 ––

= += * , les solucions del qual són a = 5, b = –4.

És a dir, (14, –1) = 5 · (2, 3) + (– 4) · (–1, 4).

• Anàlogament, les ternes (1, 2, 0), (0, 3, 4) i (1, 0, 1) són linealment independents. Vegem que (0, 3, 4) no es pot expressar com a combinació lineal de (1, 2, 0) i (1, 0, 1).

(0, 3, 4) = a(1, 2, 0) + b(1, 0, 1) = (a + b, 2a, b) → ab a b

Z [ \

0 23 4

+= = =

] ] ] ] → a = 3/2

Però com que a + b = 3/2 + 4 ≠ 0, el sistema no té solució.

Nombre de n-uples LI

El màxim nombre possible de n-uples LI és n. És a dir:

• Dos parells poden ser LI, però tres parells són, amb seguretat, LD.

• Tres ternes poden ser LI, però quatre ternes són, amb seguretat, LD.

• Etcètera.

• Però quatre ternes segur que són linealment dependents. Comprova-ho amb aquestes: (1, 2, 0), (0, 3, 4), (1, 0, 1), (5, 1, –1). Si escrius la igualtat (5, 1, –1) = a (1, 2, 0) + b (0, 3, 4) + c(1, 0, 1), obtindràs com a solució a = 2, b = –1 i c = 3.

• I, pel mateix motiu, quatre quaternes poden ser independents, però cinc, amb tota seguretat, són dependents. Comprova-ho amb aquestes quaternes: (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) i (7, 2, –4, 3).

En general, el màxim nombre de n-uples linealment independents és n. És a dir, si tenim més de n n-uples, segur que són linealment dependents.

La manera més clara d’escriure n-uples linealment independents és aquesta: (1, 0, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), (0, 0, 1, …, 0), …, (0, 0, 0, …, 1)

Exercici resolt

1 Esbrina si aquestes ternes són LI o LD: (1, 6, 4), (2, 0, –1), (5, 6, 3)

Prenem tres paràmetres, x, y i z, i escrivim una combinació lineal de les ternes donades:

x(1, 6, 4) + y(2, 0, –1) + z(5, 6, 3) = (0, 0, 0)

Aquesta igualtat dona lloc a aquest sistema d’equacions:

Aquest sistema només té la solució x = 0, y = 0, z = 0.

Per tant, els vectors són linealment independents, ja que l’única combinació lineal d’aquests que dona lloc al vector zero és la que s’obté amb coeficients tots nuls.

Exercicis proposats

20 Considera u (7, 4, –2), v (5, 0, 6), w (4, 6, –3), a = 8, b = –5, elements de Á3 i de Á.

Comprova que compleixen les vuit propietats de la suma i el producte de vectors.

21 Indica en cada cas si són linealment dependents o independents:

a) (2, 3) i (–4, 6)

b) (1, –3) i (–2, 6)

c) (1, 2), (–3, –4) i (5, 6)

d) (–2, –3, 0) i (2, 3, 1)

22 Comprova que (2, 3, –1) no es pot escriure com a combinació lineal de (1, 2, 5) i (0, –1, 2).

23 Comprova que les ternes (2, –1, 0), (1, 0, –1), (–2, 3, 1) i (2, –3, 1) són LD. Per a això, troba el valor de a, b i c en aquesta igualtat:

(2, –3, 1) = a(2, –1, 0) + b(1, 0, –1) + c(–2, 3, 1)

24 Cert o fals?

a) Hi pot haver quatre parells linealment independents.

b) Tres ternes qualssevol són LI.

c) Quatre ternes qualssevol són de segur LD.

d) Dues quaternes poden ser LI; tanmateix, quatre quaternes són, amb tota seguretat, linealment dependents.

e) Les quíntuples (1, 0, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0, 0), (0, 0, –2, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1/2) i (0, 0, 0, 3 , 0) són LI.

f) Tot grup de n-uples que en tingui alguna amb totes les coordenades iguals a zero és linealment dependent.

6. RANG D’UNA MATRIU

Entre les files de les matrius (i també entre les seves columnes) pot haver-hi relacions de dependència lineal, el coneixement de la qual serà de gran importància en l’estudi dels sistemes d’equacions.

vectors fila en una matriu

Les files d’una matriu poden ser considerades vectors. És possible que siguin linealment independents (LI) i és possible que unes depenguin linealment d’unes altres.

Càlcul del rang d'una matriu.

Les dues primeres files són LI, però les altres dues depenen linealment de les primeres:

Dimensió i rang

El rang d’una matriu 3 × 5 és, com a màxim, 3. En general, el rang d’una matriu m × n és, com a màxim, el menor dels nombres m o n En la unitat 2 aprendrem a calcular el rang d’una matriu de manera més eficient. Per a això, farem servir una nova eina matemàtica: els determinants.

Anomenem rang d’una matriu A, ran(A), el nombre de les seves files que són linealment independents.

vectors columna en una matriu

També les columnes d’una matriu poden ser considerades vectors. I es podria definir el rang d’una matriu com el nombre de les seves columnes LI, però ens queda el dubte de si aquesta definició contradiu en algun cas l’anterior. És a dir: és possible que en una matriu el nombre de files LI sigui diferent del nombre de columnes LI? El teorema següent assegura que això no és possible.

Teorema

En una matriu, el nombre de files LI coincideix amb el nombre de columnes LI. Segons això, el rang d’una matriu és el nombre de files o de columnes LI.

Com que el rang de les tres matrius de dalt, A, B, C, és 2, totes tenen dues columnes linealment independents. Vegem-ho:

— En A, les dues primeres columnes són LI i

= 5 ·

Demostració que en una matriu el nombre de files linealment independents coincideix amb el de columnes linealment independents.

— En B, les dues columnes són LI.

= 4 ·

— En C, les dues primeres són LI i (3a) = –1 · (1a) – 1 · (2a) .

,

Matriu inversa

Ara podem donar el criteri següent: Una matriu quadrada d’ordre n té inversa sempre que el seu rang sigui n; és a dir, si totes les seves files són LI. 1 Troba el rang d’aquesta matriu:

Obtenció del rang d’una matriu pel mètode de Gauss

Recorda del curs passat el mètode de Gauss per resoldre un sistema. Consisteix a sotmetre’l a una sèrie de transformacions que el converteixen en esglaonat.

Si s’actua sobre una matriu qualsevol (no necessàriament lligada a un sistema d’equacions), seguint els mateixos passos que en el mètode de Gauss, en cada una de les transformacions a què se sotmet la matriu aquesta manté el rang, ja que es conserva la relació de dependència o independència lineal de la fila transformada respecte de les restants.

Per tant, per trobar el rang d’una matriu, podem «fer zeros» com en el mètode de Gauss. El rang de la matriu esglaonada final és, òbviament, el nombre de files diferents de (0 0 … 0).

El rang és 4, ja que les quatre files són LI. És fàcil veure, i recordar, que aquestes n-uples esglaonades són LI, ja que cap d’elles es pot expressar com a combinació lineal de les altres. Per això, per trobar el rang d’una matriu, la transformarem fins a arribar a la forma esglaonada.

25 Calcula el rang de les matrius següents:

La matriu final té les tres primeres files LI i les dues darreres en depenen linealment.

1. Matrius i gràfics. Interpretació

En un país A hi ha tres aeroports internacionals, A1, A2, A3, i en un altre país B n ’hi ha quatre, B1, B2, B3, B4

Una persona que dilluns vulgui anar de A a B disposa d’aquests vols:

a) La matriu M que ens dona la informació dels vols entre A i B és aquesta:

Aquesta matriu, N, representa els vols que permeten viatjar dimarts des de B fins a un altre país

a) Escriu la matriu que representa els vols que hi ha dilluns entre A i B.

b) Representa mitjançant un gràfic la informació dels vols que hi ha dimarts entre B i C.

c) Dibuixa el gràfic que descriu els vols entre A i C que passen per B.

d) Aplica el producte de matrius per obtenir el nombre de combinacions de vols per anar de cada aeroport de A a cada aeroport de C que passen per algun de B.

Troba dues matrius quadrades A i B d’ordre 2 que compleixin el següent:

• La seva suma és la matriu identitat d’ordre 2.

• En restar A – B s’obté la transposada de C = 1 2 3 4 eo .

d) El gràfic anterior descriu els vols que hi ha de cada aeroport de A als de B, que es resumeixen en la matriu M, i els del país B al país C, resumits en la matriu N. La matriu producte M · N representa el nombre de combinacions per anar de cada aeroport de A a cada aeroport de C passant per algun de B:

Fes-ho tu

Si A = x y 2 3 –fp , troba x i y de manera que es compleixi que A2 = A. Aquestes matrius s’anomenen idempotents.

Observa que la matriu M · N es correspon amb el gràfic de la resposta de l’apartat c).

Posem nom als elements de les matrius A i B:

Efectuem les operacions indicades i escrivim els resultats:

Obtenim quatre sistemes de dues equacions amb dues incògnites:

2. Operacions amb matrius. Igualtat

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

3. Matrius transposades

Donades les matrius següents:

A = 1 3 2 0 1 1 –eo B = 4 2 0 1 1 0 ––

C = f 2 1 0

1 0 3 – p comprova que:

a) (A + B) t = A t + B t

b) (A · C) t = C t · A t

c) Justifica si la matriu A · C és simètrica.

Fes-ho tu. Comprova que: (A + B)t C t = At · C t + B t · C t

4. Dimensió d’una matriu i de la seva transposada

Donades les matrius A = (–1, 0 ,1), B = (3, 0, 1) i C = (4, –2, 0), calcula la matriu X que verifica que B tAX + C t = X.

La dimensió de la matriu resultant del producte B tAX ha de ser igual a la de C t perquè es puguin sumar, és a dir, ha de ser 3 × 1. Perquè això sigui possible, la dimensió de la matriu X ha de ser 3 × 1.

Fes-ho tu. Troba la matriu X que verifica que X ∙ A = C t si A = 2 0 1 1 1 1 –eo i

C = f 2 1 3

–– p.

5. Operacions amb matrius

Donades A = 17 10 29 17

a) Les matrius A 2 i A 3

els elements d’una matriu amb els de l’altra

i I, calcula:

b) Els nombres reals m i n per als quals es verifica que (A + I) 3 = mI + nA.

Fes-ho tu. Troba els valors de a per als quals X = a 0 0 2 eo verifica l’equació

X 2 – 3X + 2I = 0

obtenim que

6. Matriu inversa

A i B són dues matrius regulars d’ordre n i I és la matriu identitat del mateix ordre.

Demostra que si A 2 = A i B = 2A – I, llavors B –1 = B.

Fes-ho tu. Prova que si A 2 = A + I, llavors A és invertible (aquí invertible és sinònim de regular).

7. Equació amb matrius

a) Donades aquestes matrius:

A = 4 3 5 4 eo B = 0 1 1 0 eo

Troba una matriu X tal que: AX + B = I

b) Donada la matriu A:

A = 1 30 3 eo

Calcula la matriu X que verifica aquesta equació:

XA – 2 X = A

Aïlla i calcula la matriu X

Si B –1 = B , aleshores el producte B · B seria igual a I (això és el que demostrarem).

B · B = (2A – I ) · (2A – I ) = 4A 2 – 2AI – I 2A + I 2

Tenint en compte que A 2 = A, que 2AI = I 2A i que I 2 = I, concloem que:

B · B = 4A – 4A + I = I

I, per tant, queda demostrat que B –1 = B.

a) X = a c b d eo és la matriu que busquem. Podem obtenir-la de dues maneres: operant amb els seus elements en la igualtat AX + B = I de manera que arribem a dos sistemes d’equacions amb dues incògnites o bé aïllant X multiplicant adequadament per la matriu inversa de A

Fes-ho tu. Determina la matriu X que compleix que AXA = 2BA si A = 2 3 1 2 eo i B = 1 2 0 3 eo .

(*)

b) Aïllem X traient factor comú en el primer membre; cal tenir en compte que 2X = 2XI = 2 IX → X(A – 2I) = A Multipliquem els dos membres per (A – 2I )–1 per la dreta. Per a això, calculem (A – 2I )

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

8. Factor comú. Matriu inversa

A és una matriu quadrada tal que A2 + 2A = 3 I, en què I és la matriu identitat.

a) Troba els valors de a i b perquè es compleixi aquesta equació: A–1 = a A + b I

b) Calcula els valors de p i q per als quals es compleix que A4 = p. A + q I.

Fes-ho tu. Expressa M –1 en funció de M i de I, sabent que M és una matriu quadrada que compleix aquesta igualtat:

M 2 – 5M = 2 1 I

a) Aïllem I en l’equació donada:

treure A com a factor comú, obtenim una matriu, no un nombre, per això escrivim 2I. A més,

escrita entre claudàtors és la matriu inversa de A ja que el seu producte és la matriu unitat.

9. Aïllar una matriu multiplicant per les inverses de dues més

a) Aïlla, multiplicant, la matriu X en l’equació C(A + X) B = I.

b) Obtén X si A = 3 1 4 2 eo , B =  1

i C = 1 1 0 1

Fes-ho tu. Determina la matriu X que verifica que AXB = A + B si A = 1 0 1 1 –eo

i B = 4 1 1 0 –eo

10. Matrius commutables

Donada la matriu A = 1 2 1 0 eo , obtén totes

les matrius B que commuten amb A, és a dir, que compleixen A · B = B · A.

Triem una matriu genèrica, B = a c b d eo . La condició requerida és aquesta:

→

Substituïm c = 2b en la tercera equació, 2a = 2b + 2d → a = b + d, i obtenim la segona. És a dir, els elements de B han de complir aquestes dues condicions:

Fes-ho tu. Donada la matriu següent:

A = 1 0 2 1 eo

determina totes les matrius B que commuten amb aquesta.

c = 2b i d = a – b

Per tant, hi ha infinites matrius que commuten amb A, totes de la forma:

B = a b b ab2–eo a, b ∈ Á

Per exemple, si a = 1 i b = 2 → B = 1 4 2 –1 eo

11. Potència d’una matriu

A partir d’un nombre natural qualsevol n i de la matriu A = 1 3 0 1 eo :

a) Calcula A n

b) Troba A 50 – A 20

Fes-ho tu. Si la matriu A = 1 1 1 1 eo , calcula A n

12. Rang d’una matriu

Estudia el rang de la matriu M segons els valors de a. Existeix algun valor de a per al qual sigui ran (M) = 1?

M = f a

a a 1 1 2 1 01 p

Fes-ho tu. Estudia el rang de la matriu

Transformem la matriu M per fer-hi tots els zeros possibles:

1 1

B = f m m

1 1 1

2 2 0 + p segons els diferents valors de m

El rang de M no pot ser igual a 1 per a cap valor de a, perquè les dues primeres files són linealment independents per a qualsevol a

EXERCICIS I PROBLEMES GUIATS

1. Matriu inversa igual a la transposada

Donada la matriu A = f a b 0

0 1 0

0 0 1 p, calcula els valors de a i b perquè la matriu inversa de A coincideixi amb la seva transposada.

2. Equació amb matrius

Calcula x, y, z tals que:

x y zy x z 11 5 0 0 5 = e f e o p o

Determina la matriu X que verifiqui que AXA – B = 0, si

A = 3 2 1 1 eo , B =  5 1 2 3 –eo

i 0 és la matriu nul·la d’ordre 2.

Estudia el rang de la matriu M segons els valors del paràmetre t.

• Si A –1 = A t, llavors s’ha de complir que A · A t = I, en què I és la matriu unitat d’ordre 3. Calcula el producte A · A t i iguala cadascun dels termes de la matriu resultant al que ocupa el mateix lloc en la matriu I.

• Resol el sistema obtingut.

Solució: Hi ha dues solucions: a = 1, b = 0; a = –1, b = 0.

• Transforma la igualtat en un sistema d’equacions multiplicant les matrius del primer membre i igualant terme a terme en la matriu del segon membre.

• Resol el sistema obtingut.

Solució: Hi ha quatre solucions: (2, 2, –1), (2, –2, 1), (–2, 2, 1), (–2, –2, –1).

• Per aïllar X, passa B al segon membre i multiplica la igualtat per la dreta i per l’esquerra per A –1 .

• Troba A –1 aplicant la definició (A · A –1 = I ) o pel mètode de Gauss.

• Comprova que la matriu X obtinguda compleix la condició de l’enunciat.

Solució: X = 4 3 3 2 –eo

1 1 1

2 83

M = f t t

3 3 3

1 2 2 p

Donades les matrius A = 2 0 0 –1 eo i

B =  8 6 9 7 ––eo , troba una matriu X tal que

XAX –1 = B.

Aplica el mètode de Gauss, fent zeros en les files; per a això, resta a una fila una altra fila multiplicada per un nombre. Cadascuna d’aquestes transformacions manté el rang de la matriu.

Solució: ran (M ) = 2 per a qualsevol valor de t

• Multiplica els dos membres de l’equació per X per la dreta.

• Agafa X = a c b d eo i multiplica A i B per X en l’ordre adequat. Obtindràs dos sistemes d’equacions, un amb a i c i un altre amb b i d

• Comprova que tots dos sistemes són indeterminats. Expressa c en funció de a i b en funció de d i escriu X en funció de a i b

Solució:

Hi ha infinites solucions X = / a a b b 23 eo amb a ≠ 0 i b ≠ 0 perquè existeixi X –1

Si, per exemple, a = 3 i b = 1, llavors X = 3 2 1 1 eo .

3. Equació matricial

4. Rang d’una matriu

5. Equació amb infinites solucions

Per practicar

Operacions amb matrius. Matriu inversa

1 Donades les matrius

8 Donada la matriu A =

, prova que es verifica que A 3 + I = 0 i, després, obtén A 10 .

A = 1 2 3 0 –eo B = 2 0 10 14 –eo C = f 1 2

2 10 3 –– p calcula, si és possible, aquestes altres:

a) A ∙ B b) B ∙ C c) At ∙ C d) A ∙ B ∙ C e) B + C ∙ At

2 Donades les matrius següents:

A = 2 3 1 2 –eo B = 0 4 1 –2 eo calcula:

a) A · B b) B · A

c) B –1 d) (A + B )(A – B )

e) A 2 – B 2 f ) (A + B )2

g) A 2 + B 2 + 2AB

3 Donada la matriu quadrada A = f

, comprova que (A + I )2 = 0. Després, escriu A 2 com a combinació lineal de A i I

4 Donada la matriu A = 1 0 1 2 –eo , esbrina quina de les matrius següents és la seva inversa:

M = / / / / 32 12 32 12 eo N = / / 1 0 12 12 eo

5 Utilitza el mètode de Gauss per trobar la matriu inversa de cada una d’aquestes matrius: A =

Rang d’una matriu

9 Estudia el rang de les matrius següents:

10 Estudia el rang d’aquestes matrius i digues, en cada cas, el nombre de columnes que són LI:

11 Estudia el rang de les matrius següents segons els valors del paràmetre m:

b) Demostra després que la matriu I + A + A 2 és la matriu inversa de I – A.

7 a) Comprova que A 2 = 2A – I, si A =

i I és la matriu unitat d’ordre 3.

b) Fes servir la igualtat anterior per calcular A

Equacions amb matrius

12 Calcula les matrius X i Y que verifiquen les condicions següents:

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

13 Calcula X tal que 2X – B 2 = A · B, si: A

14 Resol aquest sistema donat en forma matricial:

21 Donada la matriu A = f 1 0 2

a) Calcula A –1

15

troba la matriu X que verifica que AX – A = B – C

16 Troba les matrius A i B tals que:

17

1 1 0

0 0 1 p:

b) Troba la matriu X que verifiqui AX + 2A = I.

22 Donades les matrius A = 3 2 1 0 eo , B = 1 1 2 1 –eo i C = 3 1 1 2 –

a) Aïlla la matriu X en l’equació XA – B = XC.

b) Calcula X.

23 Donades les matrius A = 2 3 3 5 ––eo i B = 1 9 4 5 ––eo :

a) Calcula les matrius X i Y que verifiquin que 2X – Y = A i X – 3Y = B

b) Troba la matriu Z tal que B + ZA – B t = 3I, en què I és la matriu unitat d’ordre 2.

24 Donada la matriu A = x y 1 –1 fp :

a) Calcula A 2 .

b) Determina x i y perquè A 2 =  x 1 2 2 1 ––+

.

dues matrius X i Y que verifiquin aquestes condicions: XM N MN YI 23 ––

= += *

18 Calcula una matriu X que commuti amb la matriu A, això

és, A · X = X · A, si A = 1 0 1 1 eo .

19 Donades les

a) Calcula B –1 pel mètode de Gauss.

b) Troba X tal que BX – A = C t

c) Determina la dimensió d’una matriu M per poder calcular AMC.

d) Quina ha de ser la dimensió de N perquè C tN sigui una matriu quadrada?

20

l’equació matricial AX – B + C = 0, en la qual

a) Calcula A –1 aplicant la definició.

b) Resol l’equació.

Per

resoldre

25 Donades les matrius

a) Troba per a quins valors de m existeix B –1 i calcula-la per a m = 1.

b) Per a m = 1, troba la matriu X tal que X · B + C = D.

26 Donades les matrius A =

–2 p i I (matriu unitat d’ordre 3):

a) Calcula les matrius (A – I )2 i A(A – I ).

b) Justifica que la matriu A és invertible.

c) Comprova que no existeix la matriu inversa de A – I

d) Determina el valor del paràmetre real λ per tal que es verifiqui que A –1 = λ(A – 2I ).

27 Donada la matriu A = 1 1 0 1 –eo , troba la matriu X tal que XA + A t = 2I

36 Troba totes les matrius X = a bc 0 eo amb a, b ∈ Á que satisfan l’equació matricial X 2 = 2X

37 Donades les matrius A =

troba la matriu X que verifica la relació següent:

XC + A = C + A 2

30 Determina, si és possible, un valor de k perquè la matriu (A – kI )2 sigui la matriu nul·la, si: A = f 0 1 1

1 0 1

2 2 3 – – p

31 Estudia el rang de les matrius següents segons el valor del paràmetre k:

38 Troba la matriu X que verifica l’equació AX + B = 3X, si A = 0 1 1 0 –eo i B = 1 3 2 4 eo .

39 a) Aïlla la matriu X en la igualtat següent:

AXA + B = B(2A + I )

b) Determina la matriu X en el cas que A = 1 0 1 1 –eo i B = 1 1 2 1 eo .

40 Una empresa conservera elabora tres tipus de llaunes de cranc, L1, L2 i L3. Per fer-ho necessita llauna, cranc, oli i sal. Dos magatzems s’encarreguen de distribuir el producte a les botigues. Considera les matrius següents:

A: Demanda dels magatzems

32 Calcula una matriu X que commuti amb la matriu A, això

és, A · X = X · A, si A = 1 0 1 1 eo . Després, calcula A 2 + 2A –1 · X

33 Donades les matrius A = 2 3 1 2 eo i B = 1 2 0 3 eo , determina la matriu X que verifiqui que AXA = 2BA.

34 Donades les matrius A i B :

A = f 5 2 0

2 5 0

0 0 1 p B = f a c b c 00

0 0 1 p

a) Troba les condicions que han de complir els coeficients a, b, c perquè es verifiqui que A · B = B · A.

b) Per a a = b = c = 1, calcula B 10 .

35 Una matriu quadrada s’anomena ortogonal quan la seva inversa coincideix amb la seva transposada.

Calcula x i y perquè aquesta matriu A sigui ortogonal: A = f / / y x

A = 100 120 200 250 150 100 eo

B: Quantitat de material en grams per llauna B

El cost, en euros, de cada gram de material és 0,01 la llauna; 0,05 el cranc; 0,04 l’oli i 0,001 la sal.

a) Escriu la matriu de costos C, de manera que puguis multiplicar-la per la matriu de materials.

b) Calcula i interpreta AB, BC i ABC.

41 En un centre d’idiomes, els estudiants d’anglès, francès i xinès es distribueixen en quatre nivells, com indica la matriu A

A més, les classes poden ser impartides en aules amb laboratori d’idiomes o sense. El preu per hora ve donat per la matriu B.

Calcula els diners que ingressa el centre per hora i per idioma segons que l’aula tingui laboratori o no.

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

42 A la unitat de cures intensives, UCI, d’un hospital, els pacients són classificats segons el seu estat en crítics, greus i estables. Aquesta situació és revisada cada dia per un metge intensivista d’acord amb l’evolució dels pacients. La probabilitat que un pacient passi d’un estat a un altre ve donada pel graf següent:

48 Demostra que, si A i B són invertibles, es verifica que (A ∙ B)–1 = B –1 ∙ A–1

49 Definim la traça d’una matriu quadrada A d’ordre 2 com a tr (A) = a11 + a22. Prova que si A i B són dues matrius quadrades d’ordre 2, llavors tr (A · B) = tr (B · A).

50 Prova que, si A és idempotent, llavors I – A també ho és. (Una matriu és idempotent si A2 = A.)

51 Cert o fals? Justifica la teva resposta i posa’n exemples.

a) Escriu la matriu de probabilitats.

b) Si un dia hi ha a l’UCI 20 malalts crítics, 35 de greus i 30 d’estables, quina serà la distribució que s’espera per a l’endemà?

43 a) Comprova que si A és una matriu quadrada tal que A 2 = 2A – I, en què I és la matriu identitat, aleshores A és invertible. Quina és l’expressió de A –1?

b) Fes servir l’apartat anterior per calcular la inversa de la

a) Si A és una matriu 2 × 2 amb rang 2, el seu rang no varia si li afegim una fila o una columna.

b) Si X – AX = B , llavors X = (I – A)–1B.

c) Si A = 1 3 2 1 ––eo , llavors (A + I )2 = 6I.

d) Si AB = BA , llavors (AB)t = (BA)t

e) Si a una matriu de 3 files i 3 columnes amb rang 3 li traiem una fila i una columna, llavors el seu rang serà 2.

f ) En una matriu antisimètrica (A t = –A ), els elements de la diagonal principal són tots 0.

g) El rang de M =

serà

quan k = 0.

que verifiqui l’equació XA + A = A –1

Qüestions teòriques

45 Si A és una matriu de dimensió 2 × 3,

a) Existeix una matriu B tal que A · B sigui una matriu d’una sola fila?

b) I per a B · A?

Posa un exemple per a cada cas.

46 Demostra que, si A és una matriu quadrada, sempre es verifica que:

a) A + At és simètrica.

b) A − At és antisimètrica. (Tingues en compte que una matriu B és antisimètrica si B = −B t.)

47 És possible trobar una matriu A no nul·la tal que A 2 sigui la matriu nul·la?

En cas afirmatiu, posa’n un exemple.

h) Si A és una matriu regular i (B – C )A = 0 (matriu nul·la), podem assegurar que B = C

Per aprofundir

52 Si A i B són dues matrius quadrades del mateix ordre, de la igualtat A · B = A · C no pot deduir-se, en general, que B = C.

a) Per provar aquesta afirmació, busca dues matrius B i C diferents tals que A · B = A · C, si A = 1 1 1 1 eo .

b) Quina condició ha de complir la matriu A perquè de A · B = A · C es pugui deduir que B = C ?

53 a) Si A és una matriu regular d’ordre n i B una matriu tal que AB + BA = 0, prova que BA –1 + A –1B = 0.

b) Si A = 3 4 2 3 eo , troba una matriu B ≠ 0 tal que AB + BA = 0.

54 Aïlla la matriu X en la igualtat (X + A)2 = X 2 + XA + I2

i obtén X en el cas que A = 1 1 2 0 –

55 Demostra que, si A és una matriu regular, en aïllar X en l’equació XA 2 + BA = A 2 s’obté que X = I – BA –1 .

56 Troba una matriu quadrada d’ordre 2 diferent de I i de –I i tal que la seva inversa coincideixi amb la seva transposada.

57 Obtén la forma general d’una matriu d’ordre 2 que sigui antisimètrica.

58 Una matriu quadrada és màgica de suma k quan la suma dels elements de cada fila, de cada columna i de les dues diagonals és, en tots els casos, igual a k. Quant val k si una matriu màgica és antisimètrica? Troba totes les matrius màgiques antisimètriques d’ordre 3.

59 Obtén totes les matrius màgiques simètriques d’ordre 3 per a k = 0.

60 Obtén totes les matrius màgiques simètriques d’ordre 3 per a k = 3.

61 A és una matriu quadrada que verifica la igualtat A 2 – 2A = 3I.

a) Demostra que A és invertible i expressa A –1 en funció de A i I

b) Expressa A 3 com a combinació lineal de A i I

c) Troba totes les matrius simètriques d’ordre 2 que verifiquen que A 2 – 2A = 3I.

Autoavaluació Resolucions d’aquests exercicis.

1 Estudia el rang de la matriu següent segons els valors del paràmetre a:

2 Si A és una matriu quadrada d’ordre 3, C una matriu de dimensió 3 × 2 i D una matriu quadrada d’ordre 2, quina dimensió ha de tenir la matriu B perquè l’equació matricial AB = CD tingui sentit?

3 Demostra que si A és una matriu quadrada d’ordre 2, llavors (A t )2 = (A 2) t

4 Donada la matriu A = 1 5 0 1 eo , calcula A n

5 Determina totes les matrius A tals que AX = XA, si

X = 1 1 1 1 eo .

6 Donada la matriu C = 1 1 2 1 eo , troba dues matrius X i Y tals que verifiquin les equacions següents:

X + Y –1 = C

X – Y –1 = C t

coincideix amb la seva oposada

62 Estudia per a quins valors de x la matriu inversa de A =  x x 5 –2

7 a) Troba la inversa d’aquesta matriu:

8 Raona si seria possible afegir una fila a aquesta matriu de manera que la nova matriu tingui rang 4:

9 Una associació de consumidors compara els preus, en euros, de quatre productes bàsics a tres supermercats diferents i obté aquestes dades:

Per comparar la despesa d’una família segons el supermercat triat, considerem la compra setmanal d’unitats de cada producte. Les quantitats corresponents són 2, 1, 3, 4.

Opera amb matrius per comparar la despesa setmanal d’una família segons el supermercat triat.