EK BACH MATE 3 by Ek Editores

Autoría Hilda Victoria Infante Cosío Graciela Patricia Peña Flores Gerencia Editorial Salvador Yolocuauhtli Vargas Rojas Coordinación editorial Hilda V. Infante Cosío Edición Liliana Capulín Flores Corrección de estilo Rubén Cortéz Aguilar Asistencia Editorial Mónica I. Fuentes Pacheco Gerencia de diseño Marcela Novelo Coordinación de diseño Ivonne A. Lozano Rodríguez

Biología 1 Bachillerato, Tercer semestre Primera edición: julio de 2019 D. R. © 2018, Ek Editores, S. A. de C. V. Av. San Pío X núm. 1210, Col. Pío X Monterrey, Nuevo León, C. P. 64710 Tel.: (81) 83 56 75 05 y 83 35 17 04 Ciudad de México: Calle Sur 26 núm. 16, Col. Agrícola Oriental, Del. Iztacalco, C. P. 08500 Tel.: (55) 51 15 15 40 y 22 35 71 12 Lada sin costo: 01800 841 7005 www.ekeditores.com

Diseño de interiores y diagramación Claudia Cantú Itzel Davila V. Stephanie Mtz. Solis

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 3728

Diseño de portada Mauro Machuca Claudia Cantú

ISBN de la obra: 978-607-8521-87-6

Producción Ángel Calleja Bonilla Ilustración Hugo Miranda Ruíz Iconografía © Shutterstock, Inc. Créditos iconográficos: © Rvkamalov gmail.com / Shutterstock: 22 © JLwarehouse / Shutterstock: 56

Prohibida la reproducción y transmisión parcial o total de esta obra en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia o en cualquier sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico

Matemáticas 3 Bachillerato

José Luis Nuñez Mejía Kenya Verónica Espinosa Hurtado José Manuel Posada de la Concha Eugenia Álvarez Aceves José Luis Munzón Méndez

Diseño de interiores y diagramación Claudia Cantú Itzel Davila V. Stephanie Mtz. Solis

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 3728

Diseño de portada Mauro Machuca Claudia Cantú

ISBN de la obra: 978-607-8521-87-6

Presentación Estimado estudiante: Te presentamos el libro Matemáticas 3, con el que te mostraremos hechos, conjeturas y abstracciones que han estado por milenios en la mente de las personas; logros de civilizaciones enteras que han llegado hasta nuestros días mediante diversos hechos históricos, que han viajado de un lado al otro del mundo por las noticias, los conocimientos, y las ideas, de personas que vivieron en tiempos y lugares diferentes, sin entenderse ni conocerse, pero que compartieron y ampliaron el entendimiento de ese lenguaje que hoy denominamos matemáticas y que lo hicieron sin buscarlo, tan solo por el ánimo de comprender su mundo. El camino que este conocimiento siguió para llegar hasta nuestros días no fue simple, aunque ahora lo parezca porque podemos leer sobre Matemáticas en diversos medios y pasar mucho tiempo aprendiendo y admirándonos de lo que son y lo que se ha logrado con ellas. Para que esto fuera posible, muchas personas dedicaron su vida entera a estudiar lo que encontrarás aquí. Algunos, como Gauss, sobrevivieron invasiones a su ciudad; otros murieron quizá por su ensimismamiento en las matemáticas, como se cuenta que le ocurrió a Arquímedes; también hay historias de quienes salvaron la vida gracias a sus conocimientos matemáticos, como Igor Tamm. Así, lo que estudiarás en estas páginas es tan humano como cualquier otra actividad que te interese de tu cultura o de otra muy distante.

Pensarás que la geometría, que engloba la parte de las matemáticas que estudiarás en este libro, con tantos siglos de historia debe ser un asunto muy acabado, sin sorpresas por venir. Pero no es así: las personas siguen teniendo una fuente de inspiración en ella y los elementos necesarios para expresar cómo perciben el mundo, para comprenderlo y así transmitir a los demás sus pensamientos. Por ejemplo, Kandinsky estudió las composiciones entre elementos geométricos básicos, rectas y círculos; vio en ellas intensidad, color, temperatura y condensación, y lo plasmó en su obra, que fue precursora de movimientos artísticos hace algunas décadas. Hasta el momento, no se sabe de alguna otra corriente artística semejante en la historia. Ten presente que, además del lápiz, papel, estuche geométrico y la calculadora electrónica, debes aprender a usar las herramientas de tu tiempo, como aplicaciones digitales y páginas web, para construir tu conocimiento y relacionarlo con lo que ocurre en tu comunidad, en tu entorno social y ambiental. La geometría es un área de las matemáticas que se ha enriquecido con los nuevos recursos digitales. No te detengas, explóralos tanto como puedas. Seguro encontrarás elementos, sitios y aplicaciones que llamarán tu atención y, con un poco de empeño, te dejarán esa peculiar sensación de alegría de haber aprendido o descubierto algo nuevo. Esperamos que tu nuevo libro, Matemáticas 3, llegue a ser una guía que te encamine a un campo fértil en el cual puedas lanzar, con cuidado y buenas intenciones, ideas cual semillas que no necesiten más que un buen ambiente para germinar. Nosotros dejamos como buen abono lo que consideramos mejor, enriqueciéndolo con lo que aprendimos de este tiempo que te pertenece. Comparte con tus compañeros y docentes lo que descubras en sus páginas. Piensa que un sendero en compañía se disfruta de manera distinta que yendo a solas. Pero no dudes tampoco en la posibilidad de trabajar por tu cuenta. Pensamos que la propuesta que te hacemos en este libro te permite avanzar a tu propio ritmo. Al final, solo deseamos que disfrutes el trabajo planificado y, mejor aún, descubras un camino lleno de sorpresas, y más interesante conforme más tiempo insistas en seguirlo.

Los autores 3

Índice

Bloque

¿Cómo es mi libro? 6

Lugares geométricos en el plano

Línea recta

Evaluación diagnóstica 50 Secuencia 1 Lugar geométrico de la línea recta. Pendiente y ángulo de inclinación 52 Secuencia 2 Ángulo entre dos rectas 66 Secuencia 3 Formas de la ecuación de la recta 72 Secuencia 4 Distancia de un punto a una recta 84 Integro mis saberes 92

Bloque

Evaluación diagnóstica 12 Secuencia 1 Lugar geométrico de líneas rectas y curvas 14 Secuencia 2 Perímetros y áreas de figuras en el plano 34 Integro mis saberes 46

Bloque

Circunferencia

Bloque

Evaluación diagnóstica 96 Secuencia 1 Lugar geométrico de la circunferencia 98 Secuencia 2 Ecuación de la circunferencia 108 Integro mis saberes 124

Parábola

126

Bloque

Evaluación diagnóstica 128 Secuencia 1 Lugar geométrico de la parábola 130 Secuencia 2 Definición, elementos y trazado de la parábola 138 Secuencia 3 Ecuación de la parábola 148 Integro mis saberes 160

Elipse

162

Evaluación diagnóstica 164 Secuencia 1 Lugar geométrico de la elipse. Definición de elementos y trazado de la elipse 166 Secuencia 2 Ecuación de la elipse 176 Integro mis saberes 190 Bibliografía 192

¿Cómo es mi libro? Entrada de bloque Estas páginas indican las competencias genéricas y disciplinares que se abordarán con los contenidos del bloque.

Evaluación diagnóstica En este apartado podrás reconocer tus saberes respecto de los temas que revisarás en el bloque.

Los temas se desarrollan mediante secuencias didácticas, que se dividen en tres momentos: Para empezar, Avanza en tu aprendizaje y ¿Qué aprendí?

Para empezar Se presenta la secuencia con un número y el título. En este recuadro se incluye el tema que estudiarás y lo que se espera que aprendas durante su desarrollo. Iniciarás el tema con una actividad que te permitirá recuperar tus conocimientos mediante situaciones diversas.

Avanza en tu aprendizaje

Es la formalización de los conceptos, las habilidades y las actitudes. Se conforma de texto general, actividades y diversos recursos didácticos.

¿Qué aprendí? En este momento consolidarás tu aprendizaje; asimismo, reflexionarás en torno de lo que aprendiste del tema.

Para que logres los aprendizajes esperados, en todas las actividades del bloque observarás la relación de las competencias genéricas y disciplinares básicas e integrarás los conocimientos, habilidades y actitudes. También abordarás temas transversales, los cuales podrás ubicar mediante el logo y algunos contenidos los trabajarás de manera colaborativa con otras Transversalidad asignaturas, esta relación se denota mediante el logo Interdisciplina . Para contribuir al logro del perfil de egreso y fortalecer tu aprendizaje, se incluyen los siguientes recursos didácticos:

Es usual que en los textos que consultes no se establezca alguna distinción entre el térmiA propósito de no línea y el de recta. De hecho, se usan como si- Te proporciona infornónimos en varias áreas mación adicional sobre el tema abordado. de las matemáticas, aunque no en todas. Esto quizá se relaciona con los términos en inglés correspondientes a los elementos a los que nos referimos con ellos Glosario en español: line segment Comprende mejor los es “segmento rectilíneo”; temasen apoyándote en la cambio, straight line definición de algunas es “línea recta”.

palabras.

Glosario oblicuo: que tiene una posición entre la vertical y la horizontal.

En el mundo de las TIC Compara la información presentada en el ejemplo de esta página con un pequeño programa de En el mundo geometría dinámica, en de las TIC el que puedes manisugiere el uso de tecnopular los puntos y ver logías para el aprendizaje y un desarrollo análogo. el conocimiento (TAC), como Visita y trabaja con él en páginas web, teléfonos celulares, la página web: https://bit.ly/2HORFei

aplicaciones, software, videocámaras, cámaras fotográficas, reproductores multimedia, videojuegos, etcétera.

Si revisas libros o información en internet, te darás cuenta de que la misma expresión “división de un segmento Infórmate en una razón” se utiliza En esta sección encontrarás para desarrollar parte de recomendaciones de otras fuentes que puedes consultar, lo aquí expuesto. Más para ampliar tus conocimien- aún, las fórmulas que verás usarán también, tos sobre el tema que se en muchos casos, trata en la secuencia. subíndices para indicar las coordenadas de los diferentes puntos obteniSiente y expresa dos. Esto es así porque El contenido esta seces una manera de sencilla ción te ayudará a favorecer de relacionar el valor de el desarrollo de tus habilidades la razón con los puntos socioemocionales y afectivas en en que quedará dividido torno de la sociedad y la natuel segmento original. raleza, ya que también desde ¡Anímate a buscares inforlas emociones posible Siente y expresa mación para confirmar aprender. que comprendes las Se cuenta que René Desexpresiones y la simbocartes, el primero en usar logía empleada en estos un sistema de referencia temas de matemáticas! para describir puntos y curvas, cayó en la cuenta de que podía hacerlo y cómo formalizarlo, mienDescarga en tu cetras se reponía en cama lular o tableta un lector de uno de sus tantos de código QR. Después, problemas de salud que cuando encuentres estos lo aquejaron durante códigos en las cápsulas, toda su vida. ¿Has considerado que las adversidades también pueden ser fuente de logros o propiciar acciones o ideas? Reflexiona sobre situaciones en las que te has encontrado con problemas de salud o personales, y que te han servido para descubrir o comprender otros

escanéalos para resolver la actividad que te estamos proponiendo.

Infórmate

A propósito de...

Integro mis saberes

En esta sección pondrás en juego tus aprendizajes al resolver distintas situaciones.

Bibliografía Incluye recomendaciones de libros y páginas de internet, además de las referencias empleadas para la elaboración del libro.

Bloque

Lugares geométricos en el plano

Propósito del Bloque

Ejemplifica lugares geométricos a través de cálculo de perímetros y áreas dentro del plano, favoreciendo la comprensión y reflexión para interpretar su entorno espacial en situaciones cotidianas.

Competencias Genéricas

Competencias Disciplinares Básicas

CG 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. CG 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

CDBM 1 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. CDBM 8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Resuelve las operaciones. a.

1 2 + = 5 3

8 1 − = 3 2

Encierra lo que se indica. a. El número natural. ■ 2

■ π

■ n

■

1 2

■ −10

b. El número que es entero positivo. ■ 3.1415

■

10 100

■ −2

■ 20.02

■4

■ −0.1

■

15 1

■ 2.4

■

11 3

■ 2.6

■

10 3

c. La fracción negativa. ■−

1 10

■ −π

d. El número que es mayor a ■

5 3

2 5

■

■ 5 . 2

100 10

■−

5 2

e. El número menor a −2.5. ■ −2.1

■−

7 2

■ 0.1

Simplifica las expresiones. a. 3x − 6x + 7x2 = b. 2(2x + 8x ) + 1 =

Encierra lo que se indica. a. El valor, en grados sexagesimales, del ángulo que representa un giro completo. ■ 90º

■ 180

c. 360º

π 2

e. π + 1

b. El valor en radianes que es igual a un ángulo de 90º. ■ 3.1415 rad ■

π rad 2

■ 9 rad

■

1 rad 2

■2

c. Las unidades de medida que pueden corresponder a un perímetro medido. ■ m2

■ L

■ 1/in

■ m/s

■ dm

d. Una cantidad que puede representar una medida de área. ■ 3.8 cm3

■ 2.4 m/s2

■ −10 L

■ 1.6 hm

■ 5 cm2

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

Responde lo que se pide.

e. El número que no puede obtenerse al calcular el perímetro o área de una figura. ■ Fraccionario ■ Positivo ■ Entero ■ Negativo ■ Irracional f. Nombre del triángulo cuyos lados tienen la misma medida. ■ Obtusángulo ■ Escaleno ■ Isósceles ■ Rectángulo ■ Equilátero g. Líneas con las que se forman, entre sus vértices, los polígonos. ■ Curvas ■ Rectas ■ Mixtas ■ Quebradas ■ Cóncavas h. A diferencia de las aristas, los vértices de un polígono son puntos que pueden describirse con… ■ longitudes ■ ángulos ■ coordenadas ■ un área ■ polilíneas

Calcula el perímetro y el área del siguiente poliígono.

La mejor estimación para la altura marcada en el siguiente triángulo es que su valor se encuentre entre…

1.5

15° 5

a. 0.8 y 1.2

7 8

b. 1.5 y 5

c. 2 y 3

d. 1.2 y 2

e. 0.5 y 0.8

¿Cuánto suman los ángulos internos del triángulo anterior?

Escribe cuál es el cateto opuesto y cuál es el cateto adyacente al ángulo mostrado. 4.5 2

APRENDIZAJE ESPERADO Usa los conceptos básicos de la Geometría Analítica, promoviendo el pensamiento reflexivo y lógico como una nueva forma de interpretar su entorno espacial; contribuyendo a la construcción de nuevos conocimientos que aplique en su vida cotidiana.

1. Lugar geométrico de líneas rectas y curvas Para empezar Cuando queremos describir algo, podemos hacerlo de muchas maneras diferentes, todo depende de la riqueza de nuestro lenguaje, pero también de otros conocimientos, como adjetivos, símiles e, incluso, tecnicismos. De este modo, la descripción de personas, objetos, situaciones o lugares, puede ser muy precisa o vaga… confusa o incomprensible. Considera lo que sabes de geometría. ¿Cómo emplearías tus conocimientos geométricos para describir de manera precisa el lugar donde te encuentras? Sin usarlos, ¿lograrías dar a los demás una imagen clara de lo que detallas? ¿Qué otros conocimientos, de lo que has estudiado en la escuela, te permiten explicar cómo es algo?

ACTIVIDAD 1

CG 5.6 CG 8.3

CDBM 8

1. Reúnete en un equipo de cinco integrantes para realizar lo que se indica. Trabajen de manera metódica y organizada.

b. Escribe una descripción breve, clara y lo más completa posible, de lo que dibujaste. 2. Reúnete con dos compañeros y hagan lo que se indica. a. Redacten una descripción de cada uno de los lugares que dibujaron, pero esta vez empleando la mayor cantidad posible de elementos geométricos de los que han aprendido en sus clases de Matemáticas. Anota aquí la descripción de tu lugar.

a. Dibuja en el recuadro un plano de tu casa o, si lo prefieres, de tu departamento ideal. Marca detalles importantes, como puertas, ventanas, nombre de los espacios y muebles.

Avanza en tu aprendizaje

Sistemas de coordenadas rectangulares En tu curso anterior de Matemáticas, cuando exploraste la relación del plano cartesiano con las funciones trigonométricas mediante triángulos rectángulos, aprendiste a identificar datos en figuras como las siguientes: Plano cartesiano 1

Se cuenta que René Descartes, el primero en usar un sistema de referencia para describir puntos y curvas, cayó en la cuenta de que podía hacerlo y cómo formalizarlo, mientras se reponía en cama de uno de sus tantos problemas de salud que lo aquejaron durante toda su vida.

Plano cartesiano 2

50 cm

40 cm

30 cm

20 cm

10 cm

Siente y expresa

10 cm 20 cm 30 cm 40 cm 50 cm 60 cm 70 cm

¿Has considerado que las adversidades también pueden ser fuente de logros o propiciar acciones o ideas?

Los planos cartesianos anteriores indican la escala y el nombre de cada eje coordenado (y, por tanto, lo que se mide en cada uno). Respecto a los vértices de los triángulos, podrías pensar que quizá no coincidan con los números enteros de los ejes coordenados. Por ejemplo, el vértice superior podría no estar en (5, 5) y en (50, 50), respectivamente; sin embargo, si ese fuera el caso, se trazarían líneas e indicarían los valores exactos.

Reflexiona sobre situaciones en las que te has encontrado con problemas de salud o personales, y que te han servido para descubrir o comprender otros eventos o hechos de tu vida. Compártelas con algunos compañeros.

Para ilustrar lo anterior, a continuación observa dos planos cartesianos diferentes, y cuatro puntos iguales en ambos para compararlos. y

y (5, 5)

3π/2

3.75 π

2.5

2.5 π/2

1.25

−5

−3.75 −2.5 −1.25 0

1.25

2.5

3.75

−3.75 −3π/2

−π

−1.25

(−4, −3)

−2.5

−π/2

π/2

3π/2

−π/2

(−4, −3) −π

−3.75 −5

−3π/2

En el plano cartesiano de la izquierda puedes observar que solo un punto tiene coordenadas que no coinciden con la cuadrícula correspondiente a las marcas en los ejes, y por ello las tiene anotadas junto a él. En cambio, en el plano cartesiano de la derecha, ninguno de los mismos cuatro puntos queda en la cuadrícula, así que sus coordenadas deben indicarse de alguna manera o en algún lugar (fuera del dibujo, por ejemplo, dándoles nombre e indicando sus coordenadas en un listado o una tabla). Revisa la sección Siente y expresa.

Sin importar la escala, las marcas en los ejes o el tipo de medida que se registrará en ellos, es imprescindible que recuerdes la forma convencional de anotar las coordenadas. Por ejemplo, ya sea (x, y), (1, 2), (a, b) o cualquier otro número o letra empleado, el primer valor corresponde a la medida en el eje horizontal, es decir, el eje de las abscisas, comúnmente llamado eje X; el segundo valor se mide en el eje vertical, esto es, el eje de las ordenadas, comúnmente llamado eje Y. Considerando lo anterior, puedes concluir que los ejes de las coordenadas cambian de nombre de acuerdo con las cantidades o los valores que se pretendan ubicar en el plano, pero ¿pueden cambiar los ejes de orientación?, ¿necesariamente deben ser perpendiculares entre sí? Los siguientes ejemplos de planos cartesianos muestran que, en efecto, es posible tener sistemas de coordenadas diferentes del convencional. v (m/s)

u T

P X Y

v t (min)

La utilidad de cada plano cartesiano dependerá de qué se pretenda hacer con ellos. Llegan a ser muy útiles en aplicaciones de las ciencias e ingeniería, porque permiten medir y registrar valores en distintas direcciones.

oblicuo: que tiene una posición entre la vertical y la horizontal.

También es posible tener ejes oblicuos. Sin embargo, cuando se trazan así, se pierde una característica importante: los datos registrados en cada eje ya no son independientes. Es decir, si se conoce una coordenada y el ángulo que forman los ejes, se puede calcular la otra coordenada. Esto ya sabes hacerlo, porque en tu curso anterior trabajaste con triángulos. En la siguiente figura se muestra un par de ejemplos de la dependencia de las coordenadas cuando los ejes donde se ubican no son perpendiculares.

Además de la información directa sobre lo que se ubica en un plano cartesiano, al aplicar tus conocimientos de geometría puedes obtener más información implícita. Por ejemplo, con los criterios de semejanza de triángulos se establecen relaciones que no se indiquen explícitamente, solo revisando medidas y distancias de acuerdo con la graduación del plano cartesiano. Aunque parezca que falta información en un plano cartesiano, el análisis de sus elementos y lo que esté representado en él lleva a resultados o conclusiones importantes o que permiten despejar dudas sobre las características de los trazos resultantes.

Glosario

Ejemplo 1 En el siguiente diagrama se muestran dos planos cartesianos, en los que parecen estar trazados dos polígonos regulares. Obsérvalos detenidamente. En realidad ninguno lo es porque, además de que se miden valores diferentes en los ejes, las escalas de ambos son distintas. y

20 m

20 °C

15 m

15 °C

10 m

10 °C

5 °C

ACTIVIDAD 2

CG 8.3

CDBM 1

CDBM 8

1. Junto con un compañero realiza lo que se pide. Después, consulten la sección A propósito de. a. Tracen en diferentes hojas los planos cartesianos que se describen a continuación. b. En ambos registren información de las cinco personas que están sentadas más cerca de ustedes: en el eje de las abscisas incluirán la edad, en meses enteros; en el eje de las ordenadas, uno de los planos registrará la estatura (en centímetros) y en el otro el peso aproximado (en este caso, la medida puede ser una estimación). c. En los dos planos cartesianos deben presentar los datos de las mismas personas y todos los elementos necesarios para que la información mostrada sea lo más completa posible. d. Elijan la orientación que prefieran utilizar para elaborar los ejes, puede ser la convencional o rotarlos. e. Al terminar, discute con tu compañero qué fue lo más difícil o importante de decidir para elaborar cada plano cartesiano. Anota a continuación algunas de las conclusiones que obtuvieron.

A propósito de... Es usual que en los textos que consultes no se establezca alguna distinción entre el término línea y el de recta. De hecho, se usan como sinónimos en varias áreas de las matemáticas, aunque no en todas. Esto quizá se relaciona con los términos en inglés correspondientes a los elementos a los que nos referimos con ellos en español: line segment es “segmento rectilíneo”; en cambio, straight line es “línea recta”.

2. Expongan ante el grupo sus planos y expliquen cómo fue su elaboración. a. Dediquen un tiempo a revisar el trabajo de sus compañeros. b. Entre todos, exploren de manera constructiva qué semejanzas, diferencias o mejoras observan. c. Conserven sus planos porque los usarán más adelante.

Transversalidad

Con la actividad anterior, puedes plantearte la validez de algunos hechos importantes respecto a la información que se registra en un plano cartesiano. El más notorio de todos es que al menos en un eje coordenado los datos quedan ordenados de menor a mayor. ¿Qué otras relaciones puedes arriesgarte a hacer sobre la actividad previa? Por ejemplo, tan solo con la revisión de los planos cartesianos expuestos, ¿podrías conjeturar en qué parte del salón se sientan los más altos? ¿O quiénes son las personas más saludables?

Salud

Incluso, podrían ser pertinentes suposiciones sobre cómo son las personas que se sientan enfrente: quizá sean las de menor estatura, mientras que las personas altas se concentran al final del salón. Si esto es así, quienes eligieron a aquellas que están en una esquina del frente del salón tendrán sus datos más organizados; o, si tuvieran un estudio de agudeza visual de cada persona, tal vez esa información sería la más organizada, en el sentido de que sus datos se verían de forma creciente o decreciente en sus planos cartesianos.

A propósito de... En geometría, se usa el término caso degenerado para indicar, en este caso, líneas que se alejan de lo que parece normal. Por ejemplo, un segmento muy corto, tanto que consta de un solo punto, es un caso degenerado; un arco de curva, al irse cerrando sobre sí mismo, puede convertirse en un segmento rectilíneo.

Por último, para terminar de hacer consideraciones a partir de la actividad anterior, reflexiona sobre el tipo de datos que registraron en sus planos cartesianos. Para empezar, la edad (en meses enteros) y la estatura (en centímetros) son datos llamados discretos, porque toman solo valores fijos, sin posibilidad de ser fracciones o valores intermedios a los establecidos. En cuanto al peso, sería posible obtener registros tan detallados que una medición podría ser indistinguible de otra: imagina que, al subirte en una báscula, inhalas y exhalas de manera continua, eso se vería reflejado en la medición. Precisamente a este tipo de registros se les denomina continuos, porque cambian de manera continua. Con lo anterior puedes plantear una situación complementaria a la anterior (recuerda, en los planos cartesianos anteriores registrabas datos y buscabas en ellos patrones, tendencias o explicaciones a la situación representada). Considera que ya tienes un plano cartesiano dibujado y en él, en lugar de puntos, una línea (recta o curvada, con puntos marcados en ella o solo la línea). Es decir, alguien ya recolectó los datos y los registró con un trazo resultante, como los siguientes: y

0 −4 −3 −2 −1 −1

(−3.5, 0)

(3.5, 0)

−4 −3 −2 −1 −1

−2

−3

−4

0 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−3 −4

De izquierda a derecha, observa que cada plano cartesiano tiene una línea, pero de la última hay menos información hasta este momento. En la primera, en cambio, están marcados seis puntos que coinciden con algún valor entero en los ejes coordenados. En el segundo plano, la línea recta tiene marcados dos puntos. Esta es más interesante, porque está trazada como si no tuviera inicio ni fin; es decir, pareciera que se puede extender aún más si el plano fuera más grande, o que seguiría viéndose igual el trazo aun cuando el plano cartesiano tuviera otra escala (lo único que cambiaría sería la distancia entre los dos puntos). Consulta la sección A propósito de.

En los dos planos de la derecha se pueden hacer más conjeturas por el comportamiento de los trazos, que aprenderás a interpretar conforme avances en tu curso. Por el momento, es suficiente con que tengas presente que una línea cualquiera en un plano cartesiano recibe el nombre de lugar geométrico. Por supuesto, para que adquieran relevancia (y su estudio tenga sentido para ti), deben estar relacionadas de algún modo con un hecho matemático, físico o datos experimentales. El caso más sencillo que cumple con lo anterior es el de la línea recta. Para estudiarla, no pierdas de vista que, como cualquier otra curva, cumple con una condición importante: representa una conjunto continuo e infinito de puntos, porque si eliges o indicas un punto en ella, es posible calcular (de algún modo) los valores correspondientes en cada eje coordenado. Más aún, en cada caso, deberás decidir si los valores que te interesan son exactos o aproximados, y para eso será necesario que consideres con qué información cuentas.

Glosario lugar geométrico: es un conjunto de puntos que cumple alguna condición dada. Por tal motivo, no requiere un plano cartesiano para definirse; sin embargo, con él se convierte en un lugar único porque cada punto tendrá una única pareja de coordenadas.

La línea recta como lugar geométrico Se trata del lugar geométrico más sencillo porque, además de otros hechos, visualmente presenta la relación más simple entre los datos medidos en los ejes de coordenadas. Solo se requiere conocer dos puntos para trazarlo. En una serie de datos desorganizados podría no notarse una relación entre ellos. Sin embargo, al ubicarlos en el plano cartesiano podría reconocerse información útil para comprenderlos mejor. Si dicha relación, vista como un lugar geométrico, es una recta, será mucho más comprensible. Ejemplo 2 Los registros que anotó una persona de su cuenta de banco, en un cierto periodo de tiempo, fueron los siguientes: Transversalidad

■ Mes 1, $6.45; mes 2, $5.21; mes 3, $3.79; mes 5, 1.49; mes 6, $0.25.

Social

A continuación, se muestran dos planos cartesianos que representan la información anterior: a la izquierda, solo están los datos; a la derecha, se agregó una línea recta que une el primer dato con el último. y

cantidad ($)

4 3

1 0

mes

Como puedes advertir, con la línea es más fácil analizar la relación que guardan los datos. Más aún, puedes aproximar rápidamente el valor faltante del cuarto mes; y, por si fuera poco, identificar que la persona cometió un error al anotar la cantidad correspondiente al tercer mes.

Puntos en una curva cualquiera Igual que ocurre con una línea recta, una curva en un plano cartesiano permite conjeturar u obtener información adicional sobre los datos (puntos) que la forman, lo cual sería difícil de hacer solo con las cantidades enlistadas aun cuando estuvieran ordenadas u organizadas. Ejemplo 3 En la curva que se muestra en el siguiente plano cartesiano puedes observar que, respecto al eje vertical: el valor mayor se encuentra en el punto W y el valor más bajo está entre los valores M y N. Además, el valor mayor en el eje horizontal es 2.8, que coincide con uno de los puntos finales de la curva. y

−3

−2

−1

Curvas como lugares geométricos En general, cualquier curva en un plano cartesiano representa un lugar geométrico. Por supuesto, según la situación que describan, serán más complicados o no de analizar, aunque también depende de la información que tengas sobre ellos y la habilidad que desarrolles para describirlos o explicarlos con palabras o analogías.

Interdisciplina

Física

En el siguiente diagrama hay un recipiente y junto a él está la curva que representa el cambio de altura de llenado si se suministra agua con un flujo constante. Observa que las unidades de medida de cada eje son diferentes, porque registran datos distintos: el eje vertical (h) indica la altura del recipiente (y, por tanto, cómo se va llenando); el eje horizontal (t), los minutos necesarios para llegar hasta la altura correspondiente. Por ejemplo, si miras con atención, verás que la parte ancha del recipiente se llena en tres minutos. h

4 dm

3 dm

2 dm

1 dm

t (min)

Ejemplo 4

Un aspecto más destacable del ejemplo anterior es el hecho de que la curva de llenado puede considerarse una serie de datos continuos, en la cual el cálculo de un determinado valor (por ejemplo, a qué altura se encuentra el agua cuando han transcurrido 2 segundos) solo depende de la habilidad, precisión e información que tenga la persona que haga dicho cálculo.

ACTIVIDAD 3

CG 5.6 CG 8.3

CDBM 1

CDBM 8

1. Reúnete con el compañero con quien colaboraste en la actividad anterior. a. Revisen los datos que registraron en los planos cartesianos de aquella actividad. b. Uno de ustedes deberá elaborar un nuevo plano cartesiano usando la estatura como dato en el eje x y el peso en el eje y, de las mismas personas que registraron antes. c. El otro intercambiará los datos para elaborar otro plano cartesiano (es decir, el peso irá en el eje x y la estatura en el eje y). d. Tracen sus planos en una hoja aparte, ordenando los datos según la variable que irá en el eje de las abscisas. e. Discutan cómo deberían quedar las líneas que (con un solo trazo) se ajustarían mejor a los puntos ubicados en cada plano, ya sea una recta u otros tipos de curva. Hagan los trazos que consideren necesarios. 2. Expongan su trabajo ante el grupo para comparar sus gráficas. a. Discutan cómo son los lugares geométricos que mejor se ajustan a sus datos. Anoten sus conclusiones.

Es posible llegar a conclusiones interesantes sobre cómo se relaciona o qué puede decirte un lugar geométrico acerca del fenómeno o de la situación que describe. A modo de ejemplo, en la curva de llenado del recipiente, si en algún momento la curva bajara en lugar de subir, significaría que a partir de ese momento el agua se está saliendo del recipiente y este flujo es mayor que el de entrada. En el caso de la relación estatura-peso, el índice de masa corporal (IMC) se elabora con dicha información y lo que puedes ver en tu plano cartesiano son los datos concretos de cómo es esa relación en ti y tus compañeros de clase.

Interdisciplina

Biología

Segmentos rectilíneos Un segmento rectilíneo es la línea recta de la que se conocen, con precisión (ya sea con valores o por nombre) los dos puntos que la delimitan. Su trazo es continuo entre esos puntos. Dos puntos en un plano cartesiano definen un segmento rectilíneo como un lugar geométrico, el cual es único. Por ello, es importante tener la información precisa de qué son esos dos puntos, cómo obtenerlos o a partir de qué otros valores pueden calcularse.

Ejemplo 5 A los lugares geométricos también se les puede dar nombre. En el plano cartesiano, cada segmento se denomina S1, S2, S3, S4 y S5. De este modo, se señala, por ejemplo, que en S5, a diferencia de S1, no se indican los nombres o las coordenadas de sus puntos limitantes, y por esta razón no es posible saber si S5 termina en (14, 3) o continúa más allá de este punto. Como te darás cuenta, puede haber segmentos bien definidos por los puntos que los delimitan o mal definidos o con información faltante o confusa. y

B = (−2, 4)

A = (−3, 1)

D −2

−1

0 −1

(−0.5, −1.5)

Por otro lado, observa que en S4 no se indican o describen los puntos en sus extremos, pero están marcados dos puntos interiores, K y L. Es decir, ellos definen su segmento rectilíneo, al que podríamos nombrar S6. Debido a que cualquier curva en el plano cartesiano tiene infinidad de puntos (siempre y cuando los ejes de coordenadas sean rectas numéricas de números reales), S6 tiene infinitos puntos, así como S4, aunque su trazo sea más corto. Esto es así por las propiedades de los números reales.

■ Por medio de los desplazamientos, horizontales y verticales, con los cuales se llega de un extremo a otro. ■ Con la longitud del segmento y otro dato que señale dónde o hacia dónde trazarlo. Ejemplo 6 De los siguientes enunciados, solo tres definen con claridad un segmento rectilíneo. a. Está comprendido entre los puntos (−3, 4) y (4, −1). b. Un extremo es el origen. El otro está en el valor 2.4 del eje y. c. Un segmento rectilíneo parte del punto (−4, −2); para llegar al otro extremo se realiza un desplazamiento de cinco unidades horizontales a la derecha y tres unidades verticales hacia arriba. d. Sus extremos están alejados dos unidades del origen de coordenadas, sobre cada eje coordenado. e. Mide cinco unidades de longitud, comenzando en el punto (3, 0). f. Desde el extremo izquierdo, se llega al derecho con un desplazamiento de tres unidades tanto horizontales como verticales.

En un segmento rectilíneo es posible localizar cualquier punto con poca información. Para esto basta con tener claro qué se sabe de dicho lugar geométrico. Los elementos básicos son, por supuesto, los dos puntos extremos, pero hay otras formas sencillas de definirlo. Por ejemplo:

Los primeros tres enunciados indican segmentos rectilíneos bien definidos. y

0 −4 −3 −2 −1 −1

−4 −3 −2 −1 −1

−2

−3

−4

En cambio, las últimas tres descripciones pueden definir distintos lugares geométricos. En cada caso, mostramos dos segmentos rectilíneos que cumplen con ellas. y

0 −4 −3 −2 −1 −1

−4 −3 −2 −1 −1

0 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−3

−4

Otra manera de definir un segmento rectilíneo es indicando su ángulo respecto a la parte positiva del eje x, longitud y punto de partida (un extremo). Para ello, primero revisa con atención el siguiente diagrama en que se muestran los ángulos de inclinación de las líneas que unen al origen de coordenadas con los puntos extremos de un segmento rectilíneo. y 3

153.43° −2

−1

36.87° 0

Como puedes notar en el diagrama anterior, hay dos elementos en común que tienen los ángulos marcados: ■ Una de las líneas es la parte positiva del eje x. ■ El vértice es el origen de coordenadas. La otra línea es el segmento que une al extremo con el origen de coordenadas, así que, en general, siempre serán diferentes esos ángulos. De modo que ese ángulo no se emplea para definir al segmento rectilíneo en cuestión, sino aquellos que cumplen con lo siguiente: ■ Su vértice es un punto del segmento rectilíneo. ■ Comienza en una recta paralela a la parte positiva del eje x y que se extiende en el mismo sentido que este. ■ Termina en el propio segmento rectilíneo.

A continuación, se muestran algunos ángulos que pueden trazarse con puntos del segmento rectilíneo del diagrama anterior. y 3

18.43°

18.43° 1

−2

−1

Contando con ese ángulo, para definir por completo al segmento rectilíneo de la imagen solo falta indicar cuál es su longitud y el punto de partida o inicial. Con base en esta información, el procedimiento para trazarlo sería el siguiente: 1. Identificar o averiguar los tres datos: ángulo, longitud y punto inicial. 2. Localizar el punto inicial en el plano cartesiano. 3. Medir el ángulo. No es necesario dibujar la línea paralela a la parte positiva del eje x. Basta con colocar el transportador de manera adecuada en el punto inicial. 4. Medir la longitud del segmento rectilíneo y trazarlo. Ejemplo 7 El siguiente diagrama muestra en imágenes, de arriba para abajo, los pasos necesarios para trazar los segmentos rectilíneos indicados en los recuadros. Punto inicial en (−3, −2), longitud de 6 unidades y ángulo de 30º y

−3

−2

−1

−4

−3

−2

−1

−4

−3

−2

−1

30°

−2

−1

30°

−2

−3

−2

−3

Punto inicial en (4, −1), longitud de 5 unidades y ángulo de 135º y

−3

−2

−1

0 −1 −2

135°

−3

−2

−1

0 −1 −2

135°

−3

−2

−1

0 −1

135°

−2

Igual que ocurre, por ejemplo, con los triángulos que estudiaste en el curso anterior, hay segmentos rectilíneos congruentes entre sí: son aquellos en los que el valor de su longitud es el mismo, aun cuando su ángulo sea diferente. Además, ten presente que esto implica que, como lugar geométrico, no es necesario que compartan algún punto.

−4

ACTIVIDAD 4

CG 8.3

CDBM 1

CDBM 8

1. Efectúa con un compañero lo que se indica. a. Cada uno trazará dos segmentos rectilíneos en una hoja en blanco o cuadriculada. b. Intercambien sus hojas y gradúen los bordes con alguna de las escalas que tenga su regla (centímetros, decímetros o pulgadas). La escala que elija uno deberá ser diferente de la que escoja el otro. c. Recuerden anotar los nombres de los ejes coordenados. d. Devuélvanse las hojas para que cada uno marque e indique los puntos extremos de los segmentos rectilíneos, con toda la precisión posible. e. Al terminar, de nuevo intercambien los planos cartesianos para que ahora midan la longitud y el ángulo de cada segmento rectilíneo. 2. Expongan sus trabajos en las ventanas, paredes o mesas de su salón. a. Reflexiona sobre los segmentos que fueron más difíciles de trabajar. Anota una idea o un argumento de por qué fue así o si, por el contrario, consideras que el procedimiento que seguiste es aplicable a cualquier segmento.

b. Conserva tu plano cartesiano. Lo usarás más adelante.

Distancia entre dos puntos

Uno de los hechos más importantes del estudio de un segmento rectilíneo es que mediante él se puede analizar y calcular la distancia entre dos puntos. Esto es relevante para resolver situaciones reales o hipotéticas cuando la graduación de los ejes de coordenadas del plano cartesiano por emplear tiene alguna unidad de longitud y cuando la escala empleada no permite un trazo exacto en una hoja de papel. Por ejemplo, si quieres calcular la distancia entre dos puntos del parque más grande de la comunidad donde vives, podría tratarse de una medida de varios metros, decenas de metros o incluso cientos. Un argumento válido sería buscarlo en una aplicación digital de mapas y así no hacer una medición directa. En efecto, esto es posible. Sin embargo, sin conocer los elementos básicos de una medición de ese tipo, es muy probable que cometas errores o no puedas siquiera decidir qué información requieres o cómo usarla. Ejemplo 8 En los siguientes diagramas se presentan dos puntos en planos cartesianos diferentes: ■ En el de la izquierda, las unidades de medida son micras (μm, es decir, las medidas son millonésimas partes del metro) que se emplean para medir objetos del tamaño de las bacterias o de las imperfecciones de las piezas metálicas de los automóviles, por ejemplo. ■ El de la derecha, el kilómetro se usa como unidad de medida; seguro imaginas varias cosas o lugares que puedes medir en él.

En ambos casos se muestran dos puntos, el segmento rectilíneo que los une y la longitud de este. y

3 μm

3 km

2 μm

2 km

6.7 μm

−2 km

−3 μm

−3 km

km 3

−1 km

−2 μm

x 1

−1

−2

−3

μm

μm 3

μm

x 2

−1 μm

7.8 km

1 km

μm

−1

−2

−3

μm

1 μm

Si las graduaciones en los planos cartesianos correspondieran con 1 cm de tu regla, el segmento de la izquierda mediría 6.7 cm y el de la derecha, 7.8 cm. Pero no es así, por tanto, se necesita conocer la escala en cada plano, lo cual hace que la medición se maneje con razones y proporciones, como las que estudiaste en tu curso anterior, al trabajar con funciones trigonométricas y el círculo unitario, por ejemplo. En estos planos cartesianos, puedes verificar que las graduaciones de los ejes están marcados cada 0.5 cm de tu regla, por lo que las razones son 0.5 cm : 1 μm y 0.5 cm : 1 km, respectivamente. Así que, al medir con tu regla las longitudes de los segmentos rectilíneos, obtendrás la mitad del valor indicado en su diagrama porque, usando las escalas, 3.35 cm equivalen a 6.7 μm y 3.9 cm a 7.8 km. La siguiente estrategia es mucho más interesante para calcular la distancia entre dos puntos sin importar la escala de cada eje coordenado, siempre y cuando se conozcan las coordenadas de cada punto: la aplicación del teorema de Pitágoras.

■ Que los puntos entre los que se calculará la distancia sean los extremos de la hipotenusa de un triángulo. ■ Que sus catetos sean paralelos a los ejes coordenados. y

Un esquema tradicional para representar la información anterior se ilustra en el plano de la derecha. Para los valores propuestos, la fórmula que se obtiene del teorema de Pitágoras es:

B = (x2, y2)

c = √a2 + b2

Observando que C = (x2, y1)

c = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

A = (x1, y1) 0

a 3

Como recordarás, es necesario identificar un triángulo rectángulo con la información disponible. Hecho esto, solo hay dos condiciones por establecer:

Los detalles más importantes que hay que considerar en esos resultados son: ■ Respecto a la notación, los subíndices indican valores distintos de x. Así, x2 (que se lee, “equis subíndice dos” o solo “equis dos”) no es la potencia segunda de la variable x, sino un valor sobre el eje x. ■ Respecto a los catetos: » a = x2 − x1, será un segmento paralelo al eje x, por lo general el horizontal, y la medida del cateto correspondiente. » b = y2 − y1 será el segmento paralelo al eje y, por lo general el vertical y la medida del cateto correspondiente. ■ El signo de estos valores no importa para el cálculo de la distancia, porque en la expresión se elevan al cuadrado y siempre quedará positivo. Teniendo presente lo anterior, siempre podrá calcularse la distancia entre dos puntos sin importar si están representados o no en un plano cartesiano. Más aún, si justo están indicados en uno, los cálculos son independientes de la escala de cada eje de coordenadas cartesianas. Ejemplo 9 Revisa las tres parejas de puntos representados en distintos planos cartesianos y los cálculos que permiten obtener la distancia que tienen entre sí. Recuerda que las líneas punteadas son auxiliares, así que no son imprescindibles de trazar. y 3

−1

(−1, −1)

b = 2.5 − (−1) = 3.5

−2

c = √22 + 3.52

(3, 2.5)

0 −1

(3, −1)

a=3−1=2

c = √4 + 12.25 c = √16.25 c ≈ 4.03

−2

y 15

10 5

(−2, 5) −2

−1

c = √62 + 102

b = 15 − 5 = 10

c = √36 + 100

(4, 5)

a = 4 − (−2) =6

(4, 15)

c ≈ 11.66

−5

(−10, 3)

c = √502 + 42

3 2 1

−10

(−10, −1)

0 −1

c = √2 500 + 16

b = 3 − (−1) = 4

−20

c = √136

a = 40 − (−10) = 50

(40, − 1)

c = √2 516 c ≈ 50.16

En el mundo de las TIC Compara la información presentada en el ejemplo de esta página con un pequeño programa de geometría dinámica, en el que puedes manipular los puntos y ver un desarrollo análogo. Visita y trabaja con él en la página web: https://bit.ly/2HORFei

Observa que cuando uno de los puntos tiene coordenadas negativas, la resta de los valores para calcular la longitud de los catetos se convierte en una suma. Este es un detalle básico, pero importante, para verificar que has realizado correctamente las operaciones. Con este método no es necesario ubicar los puntos en un plano cartesiano (lo cual no implica que el procedimiento sea independiente de él). Por ejemplo, revisa con atención el siguiente desarrollo en el que se usan como datos los puntos A = (−8,−2) y B = (12,−6): ■ Para empezar, es necesario conocer la medida de cada cateto del triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide la distancia buscada. Para ello, se usarán los valores que se obtienen al restar las coordenadas de los puntos, ya sea A − B o B − A: B − A = (12, −6) − (−8, −2) = (12−(−8), −6−(−2)) = (20, −4) ■ Con este resultado, la distancia buscada es: c = √202 + (−4)2 = √400 + 16 = √416 ≈ 20.4

ACTIVIDAD 5

cuadrante: en el plano cartesiano, se definen los cuadrantes como las cuatro regiones en las que los ejes coordenados tienen un solo signo. Se numeran en sentido contrario a las manecillas de un reloj, comenzando con el que corresponde a los valores positivos de los ejes, así que el cuarto cuadrante tiene valores positivos para el eje x y negativos para el y.

CDBM 1

CDBM 8

1. Realiza lo que se solicita con el plano cartesiano que elaboraste en la actividad anterior. Después, consulta la sección En el mundo de las TIC. a. Usa el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre los puntos extremos de los dos segmentos rectilíneos marcados en tu plano cartesiano. b. Si es necesario, marca en tu hoja las líneas auxiliares para identificar los catetos del triángulo rectángulo. Anota a continuación los dos resultados. Longitud del primer segmento

Longitud del segundo segmento

c. Discute con otro compañero sus resultados y analicen cuántas cifras decimales conviene considerar como resultado de sus cálculos. Escribe las ideas o los argumentos que consideres pertinentes.

2. Trabaja con un compañero para discutir y resolver, cada uno por su cuenta, lo siguiente. a. Dibujen un plano cartesiano en el que localicen cuatro puntos, uno en cada cuadrante. b. Una unidad de sus ejes coordenados debe ser de 0.5 cm. c. Marca dos segmentos rectilíneos, uno por cada par de puntos. d. Calcula la distancia entre esos pares de puntos mediante el procedimiento anterior. Anota el valor en cada segmento.

Glosario

CG 5.6

División de un segmento en una razón dada Un ejercicio tradicional, cuando se estudian los segmentos rectilíneos, es localizar el punto que se encuentra a la mitad, llamado punto medio; con él se obtienen dos segmentos de igual longitud (considerando que los dos puntos extremos del segmento rectilíneo original ya son conocidos). Buscar este punto es lo mismo que, dados dos puntos, localizar un tercero que sea equidistante a ambos. Ambos planteamientos, equivalentes entre sí, pueden resolverse con lo que has visto en las páginas anteriores. En cuanto al punto que divide un segmento rectilíneo en dos partes iguales, es posible localizarlo de la siguiente manera, considerando los puntos del diagrama. y

De acuerdo con el teorema de Tales:

B = (x2, y2)

AD AE = AC AB

A = (x1, y1)

Se necesita que AB = 2AC, así que la expresión anterior quedaría como:

AD AE = AC 2 AC

Simplificando se obtiene: AD = 2

En otras palabras, si la longitud horizontal de triángulo auxiliar se divide a la mitad, lo mismo ocurre con la longitud del segmento rectilíneo. Con una construcción parecida, es posible emplear el teorema de Tales para verificar que la misma relación se presenta con las líneas verticales. Este procedimiento sirve para obtener segmentos rectilíneos que tengan una medida específica respecto al original, por ejemplo:

Ejemplo 10 Si se tiene el segmento rectilíneo de la figura de la izquierda, al dividirlo en cinco partes iguales quedaría como la figura de la derecha, en la que se muestran las medidas y los puntos extremos de los triángulos rectángulos auxiliares.

−2

−1

B 0

1. 2

−3

−2

−1

1. 08

■ La tercera parte de la original o cualquier otra fracción deseada. ■ Una fracción mayor, es decir, ampliar o alargar el segmento original.

B 0

De la misma manera, ahora se muestra el segmento rectilíneo que es un sexto más largo que el mostrado a la izquierda. y

2 1

−2

−1

−2

−1

1.12

−1

−2

−3

−2

6.71 1

−3

Además, se observa una dificultad importante del procedimiento: no indica dónde están ubicados los puntos que dividen al segmento; aunque puedan medirse sus coordenadas en los ejes, estas serán solo una aproximación a los valores exactos. Más aún, el procedimiento no retoma las características del plano cartesiano, sino que, esencialmente, es un método que puede desarrollarse con regla y compás. Por lo mismo, es necesario un procedimiento que indique con exactitud los puntos que dividen al segmento (o aquellos que contienen otro segmento rectilíneo de longitud mayor al original). Para lograr esto, revisa el diagrama donde se marca el segmento rectilíneo y los triángulos auxiliares. Presta atención adicional a las coordenadas de los puntos, en páginas anteriores ya habías usado algunas de ellas. A la derecha se indica cómo calcular las coordenadas del punto medio mediante dos puntos auxiliares. y

A = (x1, y1)

B = (x2, y2)

x1 +

x2 − x1 2

Desarrollando se llega a la forma más sencilla de escribir esa expresión de las abscisas:

E = (x2, y1) x

x1 +

x2 x1 x1 x2 x1 + x2 − = + = 2 2 2 2 2

Del mismo modo, puede encontrarse una expresión para la ordenada del punto auxiliar G. La expresión que se obtiene es: y1 + y2 2

Las coordenadas del punto medio, C en el diagrama, se forman con los dos cálculos anteriores: C=(

x1 + x2 y1 + y2 , 2 2

)

F = (x1, y2)

El valor de la abscisa del punto auxiliar D es el importante, y se obtiene sumando a la abscisa de A la mitad de la distancia entre A y E:

Ejemplo 11 A continuación, se calcula el punto medio de dos segmentos diferentes trazados en el mismo plano cartesiano. Para el punto C, que es el punto medio entre A y B: y B

A −3

−2

−1

−4 + 4 1 + 3 2 , 2

)

C = (0, 2)

−4

C=(

En el caso de Q, el punto medio entre M y N, se obtiene: Q =(

−2

−3 + 4 −1 + (−2) 2 , 2

Q=( ,− 1 2

3 2

)

Como puedes observar, con el cálculo del punto medio no se obtiene la distancia entre los puntos extremos del segmento rectilíneo correspondiente. Sin embargo, puedes hacer este cálculo con la fórmula resultante del teorema de Pitágoras. Para aplicarla en el ejemplo anterior, en el cual ya se tienen todos los datos, lo que se obtiene es:

AB = √(4 −(−4))2 + (3 − 1)2 = √(8)2 + (2)2 = √68 ≈ 8.25

MN = √(4 −(−3))2 + ((−2) − (−1))2 = √(7)2 + (−1)2 = √50 ≈ 7.07

Respecto a este nuevo procedimiento para calcular el punto medio, cabe resaltar que, como ocurrió con la fórmula obtenida del teorema de Pitágoras, es independiente de la escala de cada eje, incluso cuando se obtuvo de un plano cartesiano con ejes de coordenadas de iguales unidades de medida. Consulta la sección En el mundo de las TIC.

En el mundo de las TIC Pon a prueba tu habilidad para identificar con rapidez datos y hacer operaciones sencillas mentalmente, como las necesarias para calcular el punto medio de un segmento, manipulando el programa en el sitio web: https://bit.ly/2Qfe7Bo

Dicho procedimiento puede generalizarse para dividir un segmento rectilíneo en varias partes iguales donde, para empezar, se considera la razón buscada, es decir, la relación que se cumplirá entre los segmentos (el original y el nuevo). Por ejemplo, para dividir el segmento del siguiente esquema en tres partes iguales, la razón es AB:AC = 3, la cual indica que la longitud de A a B es tres veces mayor que la de A a C. y

B = (x2, y2) D = (x4, y4) C = (x3, y3)

A = (x1, y1)

G x

Debido a que las abscisas son independientes de las ordenadas, esta relación puede desarrollarse por separado: x2 − x1 =3 x3 − x1

y2 − y1 =3 y3 − y1

Las coordenadas de C son el dato que se desconoce, y se obtiene despejándolas de esas ecuaciones anteriores:

Infórmate Si revisas libros o información en internet, te darás cuenta de que la misma expresión “división de un segmento en una razón” se utiliza para desarrollar parte de lo aquí expuesto. Más aún, las fórmulas que verás usarán también, en muchos casos, subíndices para indicar las coordenadas de los diferentes puntos obtenidos. Esto es así porque es una manera sencilla de relacionar el valor de la razón con los puntos en que quedará dividido el segmento original. ¡Anímate a buscar información para confirmar que comprendes las expresiones y la simbología empleada en estos temas de matemáticas!

x3 = x1 +

x2 − x1 y −y y3 = y1+ 2 1 3 3

Simplificando, y anotando los valores en coordenadas, quedan así: 2x1 + x2 2y1 + y2 , 3 3

(x3, y3) = (

)

Para calcular las coordenadas del punto D hay dos opciones: 1. Elegir como punto de partida a B, y no al punto A, como se hizo arriba. 2. Escribir la razón adecuada, que relacione la medida AD con AB. 2

Para la segunda opción, la razón AD:AB = . Aunque también es válida AB:AD = . Para 3 2 reforzar esto último, considera que, si la referencia es el segmento de A a D, el original (el que va de A a B) es 50% mayor. En ambos casos, el desarrollo es análogo a lo hecho para el punto C; las coordenadas que se obtienen para D son: x1 + 2x2 y1 + 2y2 , 3 3

(x4, y4) = (

)

Ejemplo 12 Para el segmento AB mostrado en el siguiente plano cartesiano, se calculan y muestran los puntos que lo dividen en tres partes iguales. y

−4

−3

−2

−1

C=(

−3

2(−2) + 4 2(−3) + 1 5 , = 0, − 3 3 3

) (

)

(

−2 + 2(4) −3 + 2(1) 1 , = 2, − 3 3 3

) (

)

Siguiendo los ejemplos y desarrollos anteriores, si la expresión para definir al punto C (el primero de los que dividen a un segmento, a partir del punto extremo A) es la razón AB:AC = k; se indica así la relación que guarda un segmento conocido con otro que cabe k veces en él. Al desarrollar la expresión para las abscisas se tiene: x2 − x1 (k − 1) x1 + x2 = k; que lleva a x3 = x3 − x1 k

De manera análoga, para las ordenadas queda: y3 = Consulta la sección Infórmate.

(k − 1) y1 + y2 k

−2

¿Qué aprendí? Por medio de elementos sencillos de la geometría, y las matemáticas en general, es posible hacer buenas descripciones de lugares y objetos, que sean comprensibles para los demás, usando con un lenguaje accesible conocimientos básicos o no demasiado complejos. Más aún, con esos conocimientos también pueden hacerse cálculos sencillos para indicar o descubrir direcciones, ubicaciones o distancias. En el caso particular de lugares (sean naturales o construcciones humanas), al relacionarlos con puntos, segmentos rectilíneos y la idea del plano cartesiano, es posible elaborar descripciones muy precisas y realizar, además, cálculos para identificar datos que no pueden adquirirse en el sitio por su tamaño o dificultad de acceso.

ACTIVIDAD 6

CG 5.6 CG 8.3

CDBM 1

CDBM 8

1. Lleva a cabo con dos compañeros lo que se indica. a. Dibujen en el siguiente plano cartesiano un esquema de una parte de su escuela. Elijan un punto de referencia; puede ser la esquina de un edificio o un lugar accesible. Discutan, además, qué escala usarán en cada eje coordenado. b. Su esquema debe tener al menos dos edificios y algunas áreas comunes. De no ser posible, debe tener tantos espacios diferentes como sea posible (aulas, cafetería y jardines, por ejemplo). y

5 4 3 2 1

−4

−3

−2

−1

c. Midan y marquen las coordenadas de cinco o más objetos o lugares específicos. Usen un flexómetro para ser lo más precisos posible. d. Asignen un nombre a los puntos de las coordenadas que marcaron. Revisen que no se forme una sola línea recta con todos. e. Utilicen dos de los puntos más cercanos entre sí para trazar y calcular el ángulo del segmento rectilíneo que definen. Anoten aquí lo obtenido: f. Calculen el punto medio de dos parejas de puntos de los más alejados. Escriban las coordenadas y describan con detalle en qué lugar se encuentran: g. Reflexionen de manera grupal sobre la importancia y utilidad de los procedimientos estudiados en el cálculo de puntos o medidas como las que hicieron durante esta actividad.

APRENDIZAJE ESPERADO Emplea el cálculo de perímetros y áreas en el plano cartesiano para resolver creativamente, problemáticas de su contexto.

2. Perímetros y áreas de figuras en el plano Para empezar Anteriormente, revisaste algunas aplicaciones del plano cartesiano que permiten abordar o dar solución a situaciones reales. La mayoría se refiere a la ubicación de objetos en un lugar que se describe mediante dos datos, los cuales corresponden a valores sobre los ejes de coordenadas. Sin embargo, el uso de pares ordenados también permite describir o relacionar otro tipo de elementos, como viste en la secuencia anterior, por ejemplo, para localizar el punto medio entre dos puntos dados. Hay muchas más aplicaciones del plano cartesiano que irás descubriendo conforme avances en este curso. Algunas te sorprenderán más que otras porque parecerá que los datos que puede contener el plano cartesiano son insuficientes para hacer un cálculo y obtener un resultado concreto. Por ejemplo, el cálculo de volúmenes es uno de esos planteamientos en los que el uso del plano cartesiano permite resolver o aproximar una solución. Reflexiona sobre las siguientes preguntas:

Figura 2.1 Techo de lona

■ Observa la imagen de la izquierda. Considerando que solo interesa el volumen directamente bajo la lona, ¿cómo harías para indicar en un plano cartesiano la información necesaria para hacer una buena aproximación de ese volumen? ■ Si se tratara de la tomografía de una persona, que consta solo de imágenes 2D, ¿qué necesitarías saber para calcular o estimar el volumen de un posible tumor detectado por el aparato? Ahora, ¿te parece que esas dos situaciones tienen elementos en común? Respecto a estos, ¿consideras indispensable el uso del plano cartesiano?

ACTIVIDAD 1

CG 8.3

CDBM 8

Glosario imagen 2D: es una representación bidimensional, es decir, plana, de objetos reales o virtuales. De tal modo, engloba formatos, como una fotografía, pero también otros como diagramas o el resultado de trasladar información en tres dimensiones, como en los mapas cartográficos.

a. Comenten cómo responderían las preguntas planteadas arriba. Anota aquí algunas ideas. b. Discutan otros usos que en la actualidad tiene el cálculo del perímetro y el área. Anota los que te resulten más interesantes. c. Comenta con tus compañeros una aplicación que podrían tener esos cálculos. Escribe aquí lo que propongan y compartan con otros equipos sus ideas.

1. Reúnete con dos compañeros para llevar a cabo lo que se solicita.

Avanza en tu aprendizaje El estudio de las figuras en el plano cartesiano lleva directamente al cálculo de su perímetro y área. Para ello, primero es necesario establecer cómo son esas figuras.

Figuras en el plano En tu curso anterior aprendiste acerca de qué condiciones son necesarias para que una figura sea un polígono. Recuerda que estudiaste los polígonos clasificándolos en regulares e irregulares, y distinguiendo cuándo son convexos y cuándo no. Ejemplo 1 En el siguiente diagrama se muestran, de izquierda a derecha, una línea poligonal, una figura poligonal compuesta, un polígono irregular convexo y, finalmente, un polígono regular.

Es posible analizar una figura poligonal compuesta a partir de los polígonos que la forman, de ahí que el estudio del perímetro y área de estas figuras se centre en los polígonos simples. Entre los polígonos simples, como sabes ahora, los que requieren menos datos para trazarlos son los polígonos regulares. Solo debes saber cuántos lados tienen y cuánto mide uno de ellos. Sin embargo, si se trazan en un plano cartesiano, dicha información puede sustituirse por la siguiente:

Glosario polígono simple: es un polígono cuyos lados no se cruzan entre sí; solo lo hacen aquellos contiguos, formando los vértices.

■ coordenadas de dos vértices consecutivos, ■ número de lados del polígono regular.

Ejemplo 2 La siguiente figura muestra que, en referencia a los datos anteriores, para un pentágono regular con dos vértices consecutivos en A = (3.8, 1) y B = (4, 3), hay dos trazos posibles. y

A 0

x 1

Cada pentágono es distinto, es decir, representa un lugar geométrico diferente. Sin embargo, debido a los datos que comparten, es posible interpretar la información de diversas maneras; por ejemplo, uno puede considerarse como la figura simétrica del otro, y el eje de simetría sería la línea que pasa por los puntos A y B. También se puede concluir que usar un plano cartesiano es útil, o no, dependiendo de lo que se requiera. En el caso del trazo de polígonos regulares, los demás vértices no son sencillos de calcular, hasta ahora, mediante coordenadas. Así que esto podría tomarse como una desventaja; no obstante, conforme avances en el estudio de este tema podrás determinar qué tipo de situaciones o procedimientos son notoriamente más sencillos o, incluso, solo posibles gracias al empleo del plano cartesiano.

ACTIVIDAD 2

CG 5.6 CG 8.3

CDBM 1

CDBM 8

1. Discute con un compañero lo siguiente. Luego, haz lo que se indica. a. Dibuja a continuación un polígono irregular no convexo. b. También, dibuja el polígono regular que tiene menos lados.

A propósito de...

Como parte de las transformaciones geométricas, la simetría axial se exploró y desarrolló en la geometría proyectiva que a lo largo de la historia se ha usado en situaciones tan diversas, como el arte en el Renacimiento.

c. Ahora, en el siguiente plano cartesiano, dibuja un polígono regular de cuatro lados, indicando las coordenadas de sus vértices. y

3 2 1

−4

−3

−2

−1

2. Reúnanse con otra pareja y discutan en torno a las preguntas. Consulten la sección A propósito de. a. ¿Es más fácil trazar el polígono de cuatro lados sobre un plano cartesiano o sin uno? Anota tus conclusiones. b. ¿Ocurre lo mismo con el triángulo equilátero? Escribe tus conclusiones.

Hay diversos tipos de simetrías que pueden estudiarse en el plano. La que aquí se menciona es la simetría axial, que conserva distancias y solo requiere una línea (recta) para aplicarla a una figura dada. El resultado (la nueva figura) conserva el perímetro y área de la original.

Como revisaste en la secuencia anterior, al modificar la escala de los ejes de un plano cartesiano, puedes representar información que no corresponde directamente con las medidas reales y, según las escalas en los ejes, esto te ayudará a analizar otros elementos o propiedades de las figuras representadas, como los ángulos o las distancias no medidas en el objeto o lugar real. Ejemplo 3 De las siguientes imágenes, puedes suponer que en la que muestra la superficie con terrenos de cultivo es más fácil medir distancias entre puntos o longitudes de algunos elementos, porque es más pero en realidad puede ser todo lo contrario. Mira ESTADOSpequeña, UNIDOS DE AMÉRICA con atención. SIMBOLOGÍA

Mexicali

1. Aguascalientes 2. Ciudad de México 3. Pachuca de Soto 4. Toluca de Lerdo 5. Cuernavaca 6. Santiago de Querétaro, 7. Tlaxcala de Xicoténcatl 8. Heróica Puebla de los Ángeles

Hermosillo Chihuahua

Go lfo

Saltillo Monterrey

OCÉANO PA C Í F I C O

Culiacán Rosales

nia

for

li Ca

La Paz

Victoria de Durango Cd. Victoria

Zacatecas 1 Tepic Guadalajara Colima

San Luis Potosí

Guanajuato Morelia

Mérida 6

Golfo de México

3 4

2 5

7 8

Campeche

Xalapa Enríquez Villahermosa

Escala 1: 35 900 000 0

359

718

km 1077

C UB A

Chilpancingo de los Bravo

Oaxaca de Juárez

Chetumal

BELIZE

Tuxtla Gutiérrez

GUATEMALA

Mar Caribe

HONDURAS

EL SALVADOR

NICARAGUA

Si en las imágenes colocas sistemas de referencia, para trazar después figuras y acotar regiones o identificar puntos, el mapa de la República Mexicana COSTA RICA tiene la información necesaria para elaborarlo, porque la escala indicada permite decidir qué unidad de medida emplear y si esta es aplicable a toda la imagen. En cambio, la imagen del terreno de cultivo presenta varios inconvenientes. Los más importantes son:

■ No tiene una escala indicada. Aunque esto se resuelve si se conoce alguna medida de un elemento, por ejemplo, el largo del lado de uno de los terrenos. ■ La imagen está en perspectiva, lo que implica que las medidas reales tiene una escala diferente; en este caso, es menor en la parte inferior de la imagen y se incrementa hacia la parte superior. A continuación, se presentan cómo se verían los planos cartesianos de cada imagen, para que visualmente notes las diferencias entre ellos, que resultan de identificar la manera como aparecen las longitudes en cada imagen y, por tanto, las distancias entre puntos. Por supuesto, también el valor de cada unidad de medida sería distinto. y

Como puedes advertir, al trazar figuras, polígonos o no, se verán “distorsionados” en el plano cartesiano de la derecha, igual que los ángulos y las distancias entre puntos.

ACTIVIDAD 3

CG 5.6 CG 8.3

CDBM 1

CDBM 8

1. Reúnete con dos compañeros para efectuar lo que se solicita. a. Con un teléfono celular, tomen dos o tres fotografías de su salón de clases o escuela, sin mostrar personas; pueden ser paisajes o lugares con diversos objetos. b. Revisen en cuáles es posible usar un plano cartesiano con unidades de medida iguales en ambos ejes. c. Elijan una de esas fotografías y describan cómo sería ese plano cartesiano, así como cuáles serían su escala y sus unidades de medida. Anoten sus conclusiones. d. De las fotografías que no cumplieron con las condiciones del inciso b, elige una y elabora en una hoja aparte un plano cartesiano que te permita relacionar su cuadrícula con lo que se observa en la imagen. e. Marca toda la información pertinente, por ejemplo, nombres de los ejes, graduación y origen del sistema de coordenadas. f. Comparte el trabajo con tus compañeros y revisen qué elementos podrían faltar. Interdisciplina

Biología

Transversalidad

Salud

Transversalidad

Social

En general, los planos cartesianos con escalas diferentes en cada eje coordenado se emplean para representar información de dos magnitudes diferentes, lo cual implica que valores como la distancia entre puntos deben interpretarse conforme a cada aplicación particular. Ejemplo 4

Figura 2.2 Registro de electroafinidad

De las figuras que resultan de dichos fenómenos o eventos se pueden calcular y analizar datos como distancias, pero también brindan información cualitativa, por ejemplo, la periodicidad. A continuación, solo se trabajará con planos cartesianos en los que las magnitudes medidas en cada eje son iguales, así como la escala en ellos.

Figura 2.3 Registro de sismo

Perímetros de figuras El cálculo del perímetro de una figura geométrica poligonal se reduce al cálculo de las distancias entre los vértices y, por supuesto, la suma de estas distancias de acuerdo con el lado al que corresponda.

Figura 2.4 Registro de documento financiero

Pareciera que este cálculo se complica en lugar de simplificarse, porque lo que has visto en cursos anteriores es que basta con medir los lados de un polígono con tu regla; incluso si está a escala puedes calcular su perímetro. Eso es más rápido que aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos.

En las imágenes de la izquierda puedes ver, de arriba a abajo, planos cartesianos con escalas distintas en cada eje, aplicados a datos obtenidos de valores de electroafinidad, registro de un terremoto y variación de un documento financiero.

Sin embargo, con el plano cartesiano puedes proponer y trabajar con longitudes y posiciones exactas, sin necesidad de construirlas. Para comprender la importancia de esto, imagina por un momento que un compañero ha dibujado y recortado un polígono en una hoja de papel. Si mides y registras en una tabla las medidas de cada lado y ángulo interno, y otro compañero hace lo mismo posteriormente, se darán cuenta de que solo coincidirán en unas cuantas mediciones. Más aún, si tratan de ser más precisos y en lugar de medir milímetros enteros estiman fracciones de milímetros, es prácticamente un hecho que ninguna medida coincidirá. Lo anterior se evita proponiendo medidas y posiciones de los vértices en un plano cartesiano. Por supuesto, esto no significa que al recortar una figura trazada en un plano cartesiano las medidas serán exactas, sino que ya no dependen de la precisión de los cortes o trazos. ¿Por qué no seguir trabajando con regla y compás? Si, con estas herramientas se pueden trazar polígonos y, por tanto, figuras compuestas. Incluso es posible hacer representaciones que simulen las tres dimensiones. Pero hay que entender que no todos los números reales pueden representarse en una recta numérica. Tan importante es este hecho que a los números que sí pueden dibujarse se les denomina construibles. Como recordarás, no todo polígono es construible con regla y compás (por ejemplo, el heptágono regular). De ahí se desprenden un sinnúmero de circunstancias que llevan al reconocimiento de las limitaciones de estas herramientas. De tal modo, el uso del plano cartesiano representa un avance notorio en el estudio no solo de la geometría, sino también del álgebra, por la íntima relación entre estas dos áreas de la matemática.

Infórmate Si te interesa leer sobre la problemática inherente a la medición, puedes leer un breve texto que aparece en el libro De Arquímedes a Hawking, de Clifford Pickover. La sección se llama “Principio de interminación de Heisenberg”; ahí podrás leer cómo la medición de una variable depende del valor o medición de otra, así como el efecto de los instrumentos empleados o disponibles.

Ejemplo 5 Algunos ejemplos de números y figuras construibles, y no, con regla y compás son los siguientes:

■ El número pi (π) no se puede construir con regla y compás, aunque esté implícito al dibujar una circunferencia. ■ Un heptadecágono regular sí se puede construir; llevó un par de milenos, desde la época de los griegos, lograr dicha construcción. ■ El número irracional √2 sí se puede construir y muy fácil: tan solo dibujando un triángulo rectángulo con catetos de medida 1. ■ La trisección de un ángulo dado no es posible con regla y compás.

ACTIVIDAD 4

CG 8.3

CDBM 1

CDBM 8

1. Reúnete con dos compañeros y haz lo que se indica. a. b. c. d.

Tracen individualmente, en una hoja, un polígono de cuatro lados o más. Recórtalo y después mide sus lados y ángulos internos. Elabora, en el siguiente espacio, una tabla con los valores obtenidos. Intercambia tu figura con tus compañeros y, sin que ellos vean tus mediciones, anota en tu tabla las que ellos tomaron. e. Al terminar revisen los resultados de cada uno. f. Discutan qué hizo que algunas medidas fueran distintas, en cuáles (ángulos o longitudes) se presentaron más diferencias y por qué consideran que fue así. Escriban aquí algunas conclusiones y revisen la sección Infórmate.

Ahora que has revisado la pertinencia del plano cartesiano como herramienta para trabajar con figuras geométricas, puedes analizar el perímetro de polígonos simples. Observa el esquema, en el que se han nombrado e indicado las coordenadas de los vértices de un polígono simple. y P5 = (x5, y5) e P7 = (x7, y7) g

P6 =(x6, y6)

P8 = (x8, y8)

h P1 = (x1, y1) a b

c P3 = (x3, y3)

P2 = (x2, y2)

P4 = (x4, y4) x

Para empezar, algunos de los estilos más utilizados son: ■ Los puntos se nombran siguiendo un mismo sentido, ya sea conforme a la dirección de las manecillas del reloj, o al revés. ■ Se usan letras mayúsculas para los puntos y minúsculas para las longitudes. ■ Los subíndices no indican orden, sino la cantidad de elementos presentes para organizar mejor los datos. De la figura anterior, y de acuerdo con la notación, puedes reconocer y leer adecuadamente lo siguiente: ■ P4P5 es un segmento rectilíneo vertical. ■ Una diagonal del polígono es P4P6. ■ La longitud de P7P8 es igual a la de P8P1. Sus valores son g y h, respectivamente. ■ b = P2P3 = √(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2 Además, verás que son ciertas las siguientes afirmaciones o igualdades:

Respecto a las coordenadas, aun cuando no se indica el valor de las graduaciones en los ejes, es posible llegar a algunas conclusiones, por ejemplo: ■ y2 = 0 ■ x4 = x5 y y6 = y7 ■ y4 = y1 ■ x7 = x2 = x1 ■ x7 = −x6 ■ y3 es igual a la ordenada del punto medio de P1P2. Como puedes notar, las expresiones anteriores son independientes de la graduación de los ejes coordenados (aunque algunas son válidas solo cuando la escala sea la misma y otras cuando dicha graduación no sea variable, como se muestra en la figura). Además, con esas expresiones también se puede simplificar el cálculo del perímetro. En este caso, para la figura mencionada se calcula de la siguiente manera: P=a+b+c+d+e+f+g+h

■ g = P7P8 = h = P8P1 ■ P4P5 es paralelo a P1P2. A su vez, ambos son perpendiculares a P6P7. ■ a = f, y también se cumple que d = 2a. ■ e = 2c

Al sustituir por las igualdades identificadas, y simplificar, queda: P = a + b + c + 2a + 2c + a + g + g = 4a + b + 3c + 2g Al escribir estas longitudes como distancias entre puntos (los vértices respectivos) se obtiene: P = 4√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + √(x3 − x2)2 + (y3 − y3)2 + + 3√(x4 − x3)2 + (y4 − y3)2 + 2√(x8 − x7)2 + (y8 − y7)2 Esta última expresión no podría simplificarse más si no es porque ya se conocen los valores de las abscisas y ordenadas. Sustituyendo algunas, queda así: P = 4√(−y1)2 + √(x3 − x2)2 + (y3)2 + 3√(x4 − x3)2 + (y4 − y3)2 + 2√(x8 − x7)2 + (y8 − y7)2 Esta última expresión no es única, porque puedes intercambiar los elementos según las igualdades listadas anteriormente; por ejemplo, cambiar x7 por x1, pero no puede simplificarse mucho más. El único cambio notorio se presenta en el primer término:

En el mundo de las TIC Practica tu habilidad para calcular perímetros de polígonos simples. Ingresa en la siguiente página web y ponte retos a ti mismo, ya sea para hacer cálculos rápidamente o para escribir las expresiones del perímetro en cada caso. Incluso puedes realizar retos con tus compañeros, de acuerdo con los nuevos ejercicios que aparecen en la página: https://bit.ly/2Z0eJOz

4√(−y1)2 = |y1| Es decir, puedes aplicar la definición de valor absoluto. Aunque es un cambio importante porque, además, muestra que para el perímetro solo se suman números positivos, no reduce notoriamente la expresión: P = 4|y1| + √(x3 − x2)2 + y32 + + 3√(x4 − x3)2 + (y4 − y3)2 + 2√(x8 − x7)2 + (y8 − y7)2 Desde la primera expresión para calcular el perímetro podrías haber sustituido los valores de las coordenadas. Reducirla, y llegar en este caso al último resultado sirve para ahorrar cálculos o, mejor aún, para obtener resultados que en la expresión original no se observan con facilidad. Consulta la sección En el mundo de las TIC. Ejemplo 6

Enseguida se propone una graduación de los ejes para calcular el perímetro de la figura anterior. De acuerdo con la última expresión, y sustituyendo valores, el perímetro es: P = 4|4| + √(8 −(−2))2 + (2)2 + 3 + 3√(14 − 8)2 + (4 − 2)2 + 2 + 2√(−4 −(−2))2 + (6 − 8)2 Al simplificar: P = 16 + √100 + 4 + 3√36 + 4 + 2√4 + 4 P = 16 + √104 + 3√40 + 2√8 Aún se pueden simplificar las raíces cuadradas, pero no se reduce mucho más el resultado: P = 16 + 2√26 + 6√10 + 4√2 El valor aproximado del perímetro es 50.8286.

Áreas de figuras Para calcular el área de figuras geométricas, como la del ejemplo anterior, hay que averiguar cuántas unidades de área caben en la región acotada por los lados que forman el perímetro o contorno de la figura. Si en el caso anterior el uso del plano cartesiano ya facilita el trabajo con las figuras, ahora comenzarás a distinguir otras ventajas. Imagina que, si la figura anterior no estuviera dibujada en un plano cartesiano, sería difícil (o al menos no tan claro) identificar algunos hechos interesantes, por ejemplo: ■ El ∆P7P8P1, es decir, el triángulo que sobresale, tiene un área de 4 unidades cuadradas (observa que cada cuadrito de la cuadrícula tiene esa área). ■ La figura tiene un área mayor de 96 unidades, que es el área de los cuadritos completos dentro de ella; además, es menor que 160. Por supuesto, esto no es muy práctico para calcular el área exacta. Aunque sí permite hacer buenas estimaciones. Otro procedimiento es la descomposición en otras figuras interiores, esencialmente en cuadriláteros (y de ellos, lo más rápido es usar cuadrados, rectángulos y trapecios) y triángulos rectángulos. El empleo de estas figuras facilita identificar los datos necesarios (alturas y bases, por ejemplo). Sin embargo, en ninguno de los dos procedimientos es imprescindible el uso del plano cartesiano. Por tanto, a continuación te enfocarás en otros en los que sí se requiere y descubrirás las enormes ventajas que presentan respecto a los procedimientos anteriores.

Áreas de polígonos simples mediante sus vértices El siguiente procedimiento se conoce como fórmula con determinantes o fórmula de trapecios. Lo que se forman son trapezoides, pero el nombre tiene validez porque la fórmula para calcular el área de estas figuras es la misma.

P1 = (x1, y1)

c a

P3 = (x3, y3) b P2 = (x2, y2)

P3 = (x3, y3) P2 = (x2, y2) 0

(x1, 0)

(x2, 0)

(x3, 0)

P3 = (x3, y3)

P2 = (x2, y2) 0

(x1, 0)

(x2, 0)

(x3, 0)

P2 = (x2, y2) 0

(x1, 0)

(x2, 0)

(x3, 0)

Presta atención al nombre de los vértices. Este procedimiento muestra que es indispensable nombrarlos en el mismo sentido.

Revisa la siguiente serie de imágenes. En este caso, empezamos con el área del triángulo de la izquierda; luego, los trapezoides involucrados.

De las figuras anteriores, puedes notar que el área buscada se obtiene restando al trapezoide de la derecha el área de los dos trapecios menores. Ahora, se considera que el área de un trapezoide es la mitad de su altura multiplicada por la suma de sus bases; hay que observar que los trapezoides están “acostados”, es decir, aplicar la fórmula de su área considerando como altura la medida en el eje x. Con esto en mente, las áreas de los trapezoides, de izquierda a derecha, son: 1 (x − x1)(y1 + y2) 2 2 1 A23 = (x3 − x2)(y2 + y3) 2 1 A13 = (x − x1)(y1 + y3) 2 3

A12 =

El área buscada es At = A13 − A12 − A23.

Al sustituir las expresiones de cada área y simplificando se obtiene: At =

1 (x y + x 2 y 3 + x 3 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 1 y 3) 2 1 2

De este último resultado surge el otro nombre que recibe el procedimiento, porque tal expresión puede escribirse como una determinante, que es un elemento matemático que estudiarás en cursos posteriores. Por ahora, en lugar de determinantes, te proponemos otro arreglo similar al de las coordenadas que te permitirá memorizar y calcular rápidamente el área. Solo se considera lo que está entre paréntesis en la expresión anterior. Observa en el siguiente arreglo cómo las filas son las coordenadas de cada punto, repitiendo el primero en el último renglón: x1 x2 x3 x1

y1 y2 y3 y1

Ahora, para obtener el desarrollo buscado, se multiplican los valores como indican las flechas en cada caso y los resultados se suman. Consulta la sección A propósito de.

x1 x2 x3 x1

y1 y2 y3 y1

x1 x2 x3 x1

Se obtiene x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1.

y1 y2 y3 y1

Se obtiene x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3.

Al resultado del recuadro de la izquierda se le resta el de la derecha. Como puedes confirmar, así se obtiene una expresión equivalente a la buscada:

A propósito de... Si consultas la Wikipedia, verás la variedad de nombres que recibe el método presentado aquí (el artículo original lo llama Fórmula del área de Gauss). Por ejemplo, fórmula de la lazada o algoritmo de la lazada. Incluso en otros idiomas el nombre cambia: en inglés, se denomina shoelace formula (en referencia a cómo se amarran las agujetas de un zapato); en alemán, es gaußschen Trapezformel, que puede traducirse como “fórmula gaussiana del trapecio”.

x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 − (x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3) x1 1 x2 De este modo, el área del triángulo es At = 2 x3 x1

y1 y2 y3 y1

Considera que las líneas verticales funcionan como indicadores de valor absoluto, es decir, el resultado será siempre positivo. Todo lo anterior es válido sin importar de qué polígono simple se trate, lo cual significa que puede ser regular o no, convexo o no.

Áreas de polígonos simples empleando sus puntos internos y en bordes

Siente y expresa La vida del matemático al que hace honor el teorema aquí mencionado, Georg Alexander Pick, puede verse como una serie de eventos interesantes, desde el punto de vista histórico, porque convivió incluso con personajes como Albert Einstein. Sin embargo, como muchas otras personas a lo largo de la historia, tuvo una muerte trágica: en un campo de concentración nazi. Desde esa perspectiva, ¿qué has pensado sobre tu vida, tus metas e ilusiones? Toma un momento para recordar algo y compártelo con el grupo.

Para cerrar el estudio de los polígonos simples mediante el plano cartesiano, revisaremos el resultado conocido como teorema de Pick. Con él, igual que con el procedimiento o método anterior, se puede calcular el área de un polígono simple conociendo y usando algunos puntos. La gran diferencia es que ahora no se requieren estrictamente los vértices. El teorema dice: Al dibujar una retícula (cuadrícula de un plano cartesiano) en un polígono simple, su área será igual a Ci +

Cb − 1. Donde Ci es la cantidad de cruces de la retícula (puntos de 2

valores enteros en la cuadrícula) en el interior del polígono, y Cb son los cruces justo en

el borde (perímetro) del polígono.

Algunos de los hechos más sorprendentes de esto serían que: ■ no requiere las coordenadas de los puntos (cruces), solo contarlos. ■ podría suponerse que no precisa de un plano cartesiano, pero la retícula que se dibuja es una manera de representarlo. ■ el área tendrá como unidad de medida el tamaño de un cuadrito de la retícula dibujada. Ejemplo 7 La figura del ejemplo anterior se reproduce aquí marcando en rojo los cruces interiores y en azul los que están justo en el borde del polígono. y

e f

P6 =(x6, y6)

h c

a b

Como:

Ci = 26 Cb = 14

Entonces: At = 26 +

14 − 1 = 32 2

En dicho ejemplo se indicó que la cuadrícula está graduada de 2 en 2. Por tanto, cada cuadrito tiene área de 4 unidades cuadradas, así que el valor del área del polígono sería 32 × 4 = 128 unidades cuadradas. Revisa la sección Siente y expresa.

¿Qué aprendí? Los resultados, las fórmulas y los métodos en matemáticas se interrelacionan, ampliándose o transformándose, para usarlos en nuevos conceptos o procedimientos. Tal es el caso del plano cartesiano, que podría parecer más una herramienta; sin embargo, fue una idea que se consolidó y ahora tiene aplicaciones directas, incluso en la vida real. Por ejemplo, mediante él, en una imagen (fotografía) se puede proponer un polígono del cual es posible obtener su área (tanto con procesos manuales como digitales) y, con algunos datos más, calcular volúmenes de cuerpos geométricos con los que esté relacionado. Sus aplicaciones pueden ir desde áreas de terrenos a la aproximación de volúmenes de tumores.

ACTIVIDAD 5

CG 5.6 CG 8.3

CDBM 1

CDBM 8

1. En equipos de tres, discutan y lleven a cabo lo que se pide. a. Utilicen una aplicación digital de mapas para ubicar su escuela u otro lugar al que tengan fácil acceso. Decidan una zona para calcular su área empleando una imagen tomada de dicha aplicación. b. Dibujen individualmente un bosquejo sencillo de la zona en el siguiente espacio, indicando nombres y otros datos de ubicación.

Figura 2.5 En una tomografía se obtiene información de algo que no podemos ver a simple vista y que, con información complementaria, permite establecer con precisión datos del perímetro, área y volumen de zonas u objetos en el cuerpo de una persona. Transversalidad

Interdisciplina

Salud Biología

c. Aun cuando la aplicación indique la escala, vayan al lugar y midan un objeto para establecer la relación entre el sitio real y la imagen que tomaron. Marquen en su dibujo el objeto medido y la escala resultante. d. Elijan un objeto de la imagen para trazar sobre él un polígono simple de cinco lados o más. e. Seleccionen también un sistema cartesiano que convenga a dicho polígono; es decir, busquen que algunos de sus vértices coincidan con la graduación de sus ejes. f. Marquen el objeto y el plano cartesiano en su bosquejo anterior. g. En una hoja aparte calculen el perímetro real del polígono propuesto, usando los nombres y las coordenadas de los puntos. h, Calculen, en hojas separadas, el área con los dos métodos vistos (la fórmula con trapecios y el teorema de Pick). i. Finalmente, decide con tus compañeros qué hojas fueron mejor logradas y colaboren con ellas en una exposición grupal. De ser posible, agreguen la imagen del sitio, ya sea de forma impresa o mostrándola en un dispositivo electrónico.

ACTIVIDADES

a. Revisen con atención el siguiente plano de un departamento. b. Identifiquen las distintas áreas y hagan un listado aparte, dándoles nombres (como recámara 1, sala, etcétera).

c. Revisen las marcas de graduación que se encuentran en los bordes y úsenlas para proponer y marcar un plano cartesiano que corresponda con posibles medidas reales. Por ejemplo, la graduación horizontal podría ir de 0 a 18 m, es decir, que cada marca mayor sea de 1.2 m (usen una graduación distinta a esta). d. Supongan que deben indicar cómo será el plano eléctrico de la vivienda y ubicar todos los focos; dibujen los que consideren necesarios, marcándolos mediante puntos. Asígnenles un nombre y coordenadas según lo que estudiaron anteriormente. e. En el siguiente espacio, calculen la longitud del cable que se requeriría para unir los dos focos más alejados. Usen la fórmula de la distancia entre puntos.

f. Imaginen que quieren colocar un foco a la mitad de la distancia entre dos que estén en una misma área de la casa. Decidan entre cuáles y empleen la fórmula del punto medio. Desarrollen sus cálculos en el espacio e indiquen en el diagrama dónde quedará ubicado.

INTEGRO MIS SABERES

1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se indica.

2. Haz lo siguiente con dos compañeros. a. Observen la imagen y coméntenla. Se trata del negativo de una imagen de tomografía de una sección del cuerpo de una persona.

b. Con la escala indicada en la imagen, calculen cuál es la escala real en la que se presenta la sección del cuerpo. Anótenla. c. Propongan y tracen un plano cartesiano sobre la imagen y una cuadrícula que consideren adecuada para calcular el área de la sección del cuerpo mediante el teorema de Pick. No olviden trazar un polígono al contorno de la imagen. d. Anoten a cuánto equivale una unidad de la cuadrícula en centímetros. e. Calculen el área de la sección del cuerpo con el teorema de Pick y verifíquenla con la fórmula de trapecios, usando las unidades de medida de su cuadrícula (es decir, como si esa fuera la medida real). f. Utilicen las dos escalas que anotaron para calcular el valor del área en centíme-

Las tomografías que normalmente vemos son en fondo negro, como esta reproducción en miniatura que se usa en la actividad.

tros. Escríbanla. 3. Valora el trabajo que realizaste. a. Menciona en qué te desempeñaste mejor durante el bloque y qué hizo la diferencia con respecto de aquello en lo que tuviste un rendimiento más bajo.

b. Pide a un compañero con quien hayas trabajado en cada tema que marque con una ü si tu desempeño correspondió con lo que se indica. Considera que se trata de que tengas una perspectiva distinta de la tuya acerca de cómo fue tu desempeño. Aspecto

Logrado

Necesito apoyo

No logrado

Identifico las características de los diferentes lugares geométricos en el plano. Estimo la distancia entre dos puntos utilizando segmentos rectilíneos. Represento gráficamente las coordenadas del punto medio y una razón dada sobre un segmento rectilíneo. Analizo las diferentes estrategias para el cálculo de perímetros y áreas en el plano. Selecciono diferentes maneras para localizar puntos en el plano. Privilegio el diálogo para la construcción de nuevos conocimientos. Me relaciono con mis semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado. Aporto ideas en la solución de problemas promoviendo mi creatividad.