Cuvânt-înainte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mulțimi de numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Elemente de logică matematică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Elemente de teoria mulțimilor 13 Inducția matematică 16 Șiruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Progresii aritmetice . Progresii geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Funcții numerice . Funcția de gradul întâi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Funcția de gradul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Vectori în plan . Paralelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Aplicații ale calculului vectorial în geometrie 49
Elemente de trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Funcții Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate 67 Funcția putere, funcția radical 74 Ecuații iraționale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Funcția exponențială . Funcția logaritmică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Forma trigonometrică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Funcții trigonometrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Ecuații trigonometrice 97 Probleme de numărare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Formula binomului lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Matematici financiare . Procente, dobânzi, T .V .A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Interpretarea datelor statistice prin parametrii de poziție: medii . . . . . . . . . . . . . 105
Elemente de teoria probabilităților . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Coordonate carteziene în plan 110 Ecuația dreptei în plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
CLASA A XI-A
Noțiuni preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Determinanți . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Aplicații ale determinanților 128
Rangul unei matrice . Matrice inversabilă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Sisteme liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Elemente de analiză matematică 133
Limite de funcții . Funcții continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Funcții derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Notiuni preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Lege de compozitie . Proprietăți . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Grupuri 164 Morfisme si izomorfisme de grupuri 172 Inele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Inele de polinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Polinoame cu coeficienti complecși . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Funcții care admit primitive Funcții integrabile 194
TESTE FINALE 201 INDICAȚII ȘI RĂSPUNSURI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Prezenta lucrare a fost concepută în conformitate cu programa școlară în vigoare pentru examenul de Bacalaureat, proba Matematică M2, folosindu-se notații și for mulări adecvate.
Lucrarea se constituie într-un ghid de pregătire continuă de-a lungul anilor de liceu și este structurată astfel:
l Clasa a IX-a – Algebră/Geometrie
l Clasa a X-a – Algebră/Geometrie
l Clasa a XI-a – Algebră/Analiză matematică
l Clasa a XII-a – Algebră/Analiză matematică
Fiecare temă din programa pentru Bacalaureat debutează cu o secțiune teoretică cuprinzând noțiuni esențiale, fiind urmată de exerciții și probleme. Au fost introduse numeroase probleme de tip exemple – contraexemple, care solicită atât verificarea unei bune asimilări a teoriei, cât și cunoașterea unui număr important de probleme standard.
Parcurgerea acestui auxiliar în mod sistematic, cu seriozitate și perseverență, ga rantează o excelentă pregătire la disciplina Matematică, reușita la susținerea exame nului de Bacalaureat, proba M2, cât și la admiterea în facultăți și universități.
Testele propuse, elaborate după modelul subiectelor date la Bacalaureat con form specificațiilor și programei de examen în vigoare, permit verificarea stadiului pregătirii.
Ultima parte a lucrării oferă soluții la exercițiile propuse și indicații de rezolvare.
Lucrarea poate servi ca un instrument eficient în evaluarea la clasă, pe tot parcur sul anilor de liceu.
Autorii, profesori cunoscuți pentru bogata lor activitate și pentru rezultatele ex cepționale obținute de elevii pe care aceștia i-au pregătit, vă recomandă călduros acest auxiliar și vă urează mult succes!
• Reamintim mulțimile de numere: N = {0, 1, 2, ..., n, ...}, mulțimea numerelor naturale (N de la inițiala cuvântului naturel (fr.) = „natural”); = ℕ ∪ (− ℕ) ( de la inițiala cuvântului Zahl (germ.) = „număr”. Consacrarea notației s-a realizat în semn de respect pentru matematicianul german C.F. Gauss. ℚ = { a b | a ∈ ℤ, b ∈ ℕ ∗ , (a, b) = 1}, mulțimea numerelor raționale (Q de la cuvântul quotient (fr.) = „cât”); R = mulțimea numerelor reale (R de la inițiala cuvântului réel (fr.) = „real”).
• Karl Weierstrass introduce numerele reale ca fracții zecimale infinite. Pentru a0 ∈ ℤ, ak ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, ∀ k ∈ ℕ ∗, numărul x = a0 , a1 a2 . . . a n . . . care este neperiodic sau este periodic (cu perioada diferită de 9) se numește număr real.
• Dacă x = a0 , a1 a2 . . . a n . . . și y = b0 , b1 b2 . . . b n . . . sunt două numere reale, atunci x = y ⇔ ak = bk, ∀ k ∈ ℕ.
• Dacă a0 ∈ ℕ numărul real x se numește pozitiv și – x se numește negativ. Pentru x, y ∈ ℝ +, vom spune că x < y dacă ∃ m ∈ ℕ astfel încât ak = bk, ∀ k ∈ {0, 1, 2, , m 1}, a m < b m
• Dacă x ∈ ℝ ∗ , y ∈ ℝ + ∗ , atunci x < y. Dacă x, y ∈ ℝ , atunci x < y ⇔ − y < − x, unde − x, − y se compară ca numere pozitive.
• Vom spune că x < y dacă x < y sau x = y.
• Numărul a = a0 , a1 a2 . . . a n este aproximarea numărului x prin lipsă cu o eroare mai mică decât 10 n . Numărul b = a + 10 n reprezintă aproximarea numărului x prin adaos, cu o eroare mai mică decât 10 n .
• Dacă x = 0, a1 a2 a p(a p+1 a p+2 a p+k), atunci x ∈ Q și 12 12 ... ... 99...9 00...0 pk p de k ori de p ori
aa aa aa x + = .
• Dacă x ∈ Q, atunci x reprezentat ca număr zecimal este finit sau periodic. Numerele reale neperiodice sunt numere iraționale.
1. a) Scrieți ca fracții ordinare următoarele fracții zecimale: 0,(3); 0,(23); 0,12(35). b) Scrieți ca număr zecimal fracția ordinară 1 7 .
2. Se consideră numărul real pozitiv α = 27,4139…. . Determinați truncherile aces tuia de ordin 0, 1, 2, 3.
3. Stabiliți dacă numărul x = 0,12112111211112…(după fiecare cifră de 2 numărul de cifre de 1 crește cu o unitate față de grupa precedentă) este: a) rațional; b) irațional.
4. Notăm ℚ(√ 2 ) = {a + b √ 2 | a , b ∈ ℚ}, ℚ(√ 3 ) = {a + b √ 3 | a, b ∈ ℚ}
a) Este adevărată afirmația √ 3 ∈ ℚ(√ 2 )?
b) Determinați ℚ(√ 2 ) ∩ ℚ(√ 3 ).
Fie x ∈ R
a) |x| = { x, x < 0 x, x ≥ 0 , se numește modulul numărului x b) [x] = max{m ∈ ℤ| m ≤ x}, adică cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x se numește partea întreagă a lui x. Pentru k ∈ ℤ are loc echivalența: [x] = k ⇔ x ∈ [k, k + 1) c) {x} = x [x], se numește partea fracționară a numărului x. Deducem că {x} ∈ [0, 1).
5. Arătați că:
a) | x | ≤ a ⇔ a ≤ x ≤ a, unde a ∈ ℝ +; b) | x | ≤ x ≤ | x |, ∀ x ∈ ℝ; c) | x | ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ; | x y | = | x | ⋅ | y | , ∀ x, y ∈ ℝ, | | x | | y| | ≤ | x y | ≤ | x | + | y |, ∀ x, y ∈ ℝ.
6. Determinați: a = | 3|, b = |7|, c = |1 + √ 2 √ 3 |, d = |1 + √ 2 √ 10 |.
7. Pentru diferite valori reale ale variabilelor, explicitați: a) |a + b| |b|; b) ||x| 1|; c) |x| |x 2|; d) a |a |a||.
8. Determinați toate numerele reale x pentru care au loc: a) |x 3| = 8 b) |x 3| < 8 c) |x + 4| < 2
d) |x 1| + |x 2| > 1 e) |x 1| + |x + 1| < 2
9. Unde este greșeala în următoarea ,,demonstrație”? ,,Fie x = y. Atunci: x 2 = xy, x 2 y 2 = xy y 2 , (x y)(x + y) = y(x y), x + y = y, 2y = y, 2 = 1. ”
10. Calculați [x] și respectiv {x} pentru numerele:
a) x = 0, 2; b) x = π; c) x = π; d) x = 1 + √ 2 ; e) 0,(9).
11. Rezolvați în ℝ ecuațiile:
a) [5x 1 3 ] = 7; b) [ x + 2 3 ] = x + 1 2 .
12. Pentru oricare x ∈ R au loc egalitățile:
a) [x] + [x + 1 2 ] = [2x] (Identitatea lui Hermite pentru n = 2); b) {x} + {x + 1 2 } = {2x} + 1 2
13. a) Fie y ∈ ℝ. Atunci are loc identitatea lui Hermite pentru n = 3: [y] + [y + 1 3] + [y + 2 3] = [3y]; b) Rezolvați în ℝ ecuația: [ 2x + 1 3x + 7 ] + [ 9x + 10 9x + 21 ] + [ 12x + 17 9x + 21 ] = 10
14. Demonstrați:
a) √ 2 ∉ ℚ; b) √ 3 ∉ ℚ; c) √ 2 + √ 3 ∉ ℚ; d) √ 2 + √ 3 + √ 5 ∉ ℚ.
15. Se consideră numărul A = 11 21 + 14 21. Cercetați care dintre afirmații este adevărată:
a) A⋮ 5; b) A⋮ 10.
Pentru a, b ∈ ℝ prin utilizarea proprietăților operațiilor cu numere reale se deduc identitățile: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3a b 2 + b 3 , (a + b) n pentru n ∈ ℕ cu ajutorul triunghiului lui Pascal: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
Binomul pentru n = 2 era cunoscut încă din Antichitate. Euclid (sec. III î.Hr.) îl utilizează în lucrarea sa Elemente. Matematicienii chinezi din secolul al XIV-lea, de exemplu, Ciju Şi Tze (1303), sau matematicienii persani Omar Khayyam și Al-Tusi cunoșteau regula de formare a coeficienților binomiali. De la ei au rămas dezvoltările scrise până la n = 8. În prima jumătate a secolului al XV-lea, în lucrarea Cheia aritmeticii, matematicianul și astronomul al-Kashi utilizează din nou triunghiul aritmetic. Mai târziu, a fost generalizată de către Blaise Pascal și Isaac Newton.
• Formule de calcul prescurtat în R: (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2; (a ± b) 3 = a 3 ± 3 a 2 b + 3a b 2 ± b 3 . (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc.
• Pentru a, b ∈ ℝ și n, k ∈ ℕ ∗ , n ≥ 2 se deduc identitățile:
a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + ... + a b n 2 + b n 1), a 2k+1 + b 2k+1 = (a + b)(a 2k a 2k 1 b + a 2k 2 b 2 ... a b 2k 1 + b 2k)
• Simbolurile ∑ și ∏
Pentru n ∈ ℕ ∗ și a1 , a2 , ... , a n ∈ ℝ se definesc: a1 + a2 + ... + a n = ∑ k=1
n ak, a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ a n = ∏ k=1
n ak
• Pentru t ∈ R, a1, a2, ..., a n, b1, b2, ..., b n ∈ R au loc egalitățile: ∑ k=1
n (ak + bk) = ∑ k=1
n ak + ∑ k=1
n bk, ∑ k=1
n t ⋅ ak = t ⋅ ∑ k=1
n ak bk = ∏ k=1
n ak ∏ k=1
n bk, ∏ k=1
n t ak = t n ∏ k=1
n ak
n ak ∏ k=1
16. Dezvoltați următoarele binoame cu ajutorul formulelor date mai sus:
a) (a + b) 3 , (a + b) 4 , (a + b) 5 b) (2x + 1) 3 , (3x + 2) 4 , (2x + 3) 5 c) (a b) 3 , (a b) 4 , (a b) 5 d) (2x 1) 3 , (3x 2) 4 , (2x 3) 5
17. Fie k ∈ N, n ∈ N*. Notăm cu Sk(n) = 1k + 2k + … nk. Calculați sumele: S0(n), S1(n), S2(n), S3(n).
18. Pentru n ∈ ℕ ∗, calculați sumele: a) 1 + 3 + 5 + + (2n 1); b) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + + (2n 1)2n(2n + 1); c) 1 1 ⋅ 4 + 1 4 ⋅ 7 + . . . + 1 (3n 2)(3n + 1) .
19. Pentru a ∈ ℝ\{1}, calculați produsul: P = (1 + a)(1 + a 2)(1 + a 4)(1 + a 8) ⋅ ... ⋅ (1 + a 2 n), n ∈ ℕ. 20. Calculați următoarele produse: a) ∏ k=1
n (1 1 (k + 1) 2 ); b) ∏ k=2
n k (2k 1) 2 (2k + 1) 2 ; b) ∑ k=1
n k 2 4 k 2 1 .
n k 3 1 k 3 + 1 . 21. Dacă x, y, z ∈ ℝ, demonstrați identitățile: a) (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx; b) x 3 + y 3 + z 3 3xyz = (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 xy yz zx) 22. Calculați suma: S4(n) = 1 4 + 2 4 + 3 4 + + n 4, unde n ∈ ℕ ∗ 23. Calculați sumele: a) ∑ k=1
24. Se consideră a, b, c ∈ ℝ \ ℚ a.î. a +b + c ∈ ℚ, a2 + b2 + c2 ∈ ℚ, atunci are loc echivalența: a 3 + b 3 + c 3 ∈ ℚ ⇔ abc ∈ ℚ.
25. a) Arătați că pentru a, b, c ∈ ℝ + are loc inegalitatea: a3 + b3 + c3 ≥ 3abc. b) Arătați că pentru oricare x, y, z ∈ ℝ + are loc inegalitatea 3 √ x ⋅ y ⋅ z ≤ x + y + z 3 .
26. a) Dacă a, b, c ∈ ℤ, 6 | a + b + c ⇒ 6| a 3 + b 3 + c 3 .
b) Dacă a, b, c ∈ ℤ, 9 | a + b + c, atunci cel puțin unul dintre numerele a, b, c se divide cu 3.
27. Dacă m ∈ ℕ, m ≥ 2 a . î. 2 m + 1 = prim, atunci există k ∈ ℕ ∗ pentru care m = 2 k .
• Multe din axiomele, definițiile și teoremele din matematică utilizează cuantificatorii: existențial (∃) sau universal (∀).
• Sunt două modalități de a crea alte propoziții plecând de la cele date.
1) Transformând o propoziție p în negația sa ¬p (se citește non p); 2) Combinând mai multe propoziții prin utilizarea conectorilor logici: a) conjuncția (notată ∧, se citește și); b) disjuncția (notată ∨, se citește sau); c) implicația (notată →, se citește implică); d) echivalența (notată ↔, se citește echivalent). p q ¬p p ∨ q p ∧ q p → q p ↔ q 0 0 1 0 0 1 1
valoarea de adevăr a următoarelor propoziții: a) ∃ x ∈ a.î. 2x + 7 = 0; b) ∃ y ∈ Q a.î. 2y + 7 = 0; c) ∀ x ∈ * , x2 ≥ 1;
d) ∀ x ∈ R, |x − 2| + |x − 10| ≥ 8; e) 1739 este număr prim; f) a = 0,(1) ∈ R \ Q. 29. Completați următoarele texte:
a) „Cornel susține că toate problemele propuse la extemporal au fost dificile. Andrei susține că Bogdan nu are dreptate, deoarece …” b) Negația enunțului „Există elevi ai clasei a IX-a B care iubesc muzica rock” este ... .
Prin negare, „orice” trece în „există”, „există” trece în „oricare” și ultima re lație se neagă.
30. Negați următorul enunț, care îi este atribuit lui Arhimede: „∀ x, y ∈ ℝ, y > 0 ∃ n ∈ ℕ ∗ a.î. x < n ⋅ y. ”
Pentru x ≤ 0 afirmația este evidentă, luând n = 1. Pentru x > 0, afirmația devine interesantă.
Arhimede (287–212 î. Hr.), unul din cei trei mari matematicieni ai ,,secolului de aur” ai matematicii grecești, a enunțat afirmația geometric. Putem spune „un ocean poate fi golit cu lingurița”, dacă x > 0 este cantitatea de apă din ocean și y este cantitatea de apă din linguriță.
• O propoziție compusă se numește tautologie dacă este adevărată indiferent de valorile de adevăr ale propozițiilor sale componente.
• O propoziție compusă se numește contradicție dacă este falsă, indiferent de valorile de adevăr ale propozițiilor sale componente.
• Două propoziții s1, s2 se numesc echivalente și scriem s1⇔ s2 dacă s1 este simul tan falsă sau simultan adevărată cu s2
• În general, o demonstrație este formată dintr-o listă de propoziții date, numite premise, și o propoziție numită concluzie. Dacă premisele sunt p1, p2, ... , pn și q este concluzia, vom avea: p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn → q (în ipoteză avem conjuncția a n premise).
31. Dacă propozițiile p, q sunt primitive astfel încât implicația p → q este falsă, aflați valoarea de adevăr pentru: a) p ∧ q; b) ¬p ∨ q; c) q → p; d) ¬q → ¬p.
32. Notăm cu T0 tautologia și cu F0 propoziția contradictorie. Cu ajutorul tabelelor de adevăr, demonstrați următoarele proprietăți ale algebrei propozițiilor:
1) ¬ ¬p ⇔ p (legea dublei negații);
2) ¬ (p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q, ¬ (p ∨ q) ⇔ ¬p ∧¬q (legile lui De Morgan);
3) p ∨ q ⇔ q ∨ p, p ∧ q ⇔ q ∧ p (legile comutativității);
4) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r, p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r (legile asociativității);
5) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (distributivitatea lui ∨ față de ∧); p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (distributivitatea lui ∧ față de ∨).
6) p ∨ p ⇔ p, p ∧ p ⇔ p (legile de idempotență).
7) p ∨ F0 ⇔ p, p ∧ T0 ⇔ p (legile elementelor neutre);
8) p ∨ (¬p) ⇔ T0, p ∧ (¬p) ⇔ F0 (legile inversării);
Repere din istoria matematicii
Probabil, cel mai amplu subiect posibil este infinitul. Oamenii de știință și teologii au încercat să-l descrie. În Antichitate, filosoful Parmenide pretindea că Universul constă dintr-un singur lucru care este veșnic și imuabil, mișcarea fiind iluzia la suprafața lucrurilor. Discipolul său, Zenon din Eleea (490–430 î.Hr.) a găsit argumente prin care să susțină teoriile lui Parmenide. „Paradoxurile” sale nu au putut fi respinse în Antichitate. Primul său paradox arată că mișcarea e impo sibilă, deoarece dacă vrei să ajungi dintr-un punct în altul, trebuie să parcurgi mai întâi jumătate din distanță, apoi jumătate din distanța rămasă, apoi jumătate din rest etc. și nu vei ajunge niciodată la destinație. ( 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + ... + 1 2 n < 1, ∀ n ∈ ℕ ∗)
Aristotel (384–322 î.Hr.), fost elev al lui Platon și profesor al lui Alexandru Macedon, a considerat că „infinitul există în potențialitate… Nu există un infinit în act” (real sau actual).
Geniul lui Georg Cantor (1845–1918) ne-a arătat calea de urmat pentru a rezolva paradoxurile infinitului pe care Galilei le identificase cu 300 de ani înainte. Cantor introduce în matematică infinitul actual prin utilizarea noțiunii de funcție bijectivă.
Pentru a percepe mai ușor și captivant primele rezultate asupra mulțimilor nu mărabile, David Hilbert a creat „povestea hotelului infinit”.
Paradoxuri, precum cel al lui B. Russell, i-au obligat pe matematicieni și pe logicieni să creeze un sistem axiomatic al teoriei mulțimilor care să evite astfel de cazuri. Ipoteza continuului spune că nu există un număr cardinal cuprins între cardinalul numerelor raționale și cardinalul numerelor reale. Matematicianul Kurt Gödel a demonstrat că dacă axiomele obișnuite care stau la baza teoriei mulțimi lor sunt necontradictorii, atunci sistemul lărgit de axiome, obținut prin adăuga rea ipotezei continuului, este de asemenea necontradictoriu. (Ipoteza continuului poate fi asemănată cu axioma paralelelor în geometrie.)
• O funcție f : A → B este injectivă dacă: ∀ x1, x2 ∈ A, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
Remarcă
Prin negare obținem: O funcție f : A → B nu este injectivă dacă ∃ x1 ∈ A, ∃ x2 ∈ A cu x1 ≠ x2 a.î. f(x1) = f(x2)
• Fiind dată o funcție f : A → B, au loc echivalențele: 1) f este injectivă; 2) dacă x1, x2 ∈ A cu f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2; 3) ∀ y ∈ B ecuația în f(x) = y are cel mult o soluție x ∈ A. (Dacă A, B ⊆ ℝ, atunci orice paralelă la axa OX prin punctele y ∈ B taie graficul Gf în cel mult un punct.)
• Dacă I1, I2 ⊆ ℝ, I1 ∩ I2 = ∅ și f : I1 ∪ I2 → ℝ este o funcție, atunci are loc echivalența: f este injectivă
• O funcție f : A → B se numește surjectivă dacă pentru oricare y ∈ B există x ∈ A pentru care y = f(x). Astfel, putem considera echivalența: f este surjectivă ⇔[∀ y ∈ B ecuația în f(x) = y are cel puțin o soluție x ∈ A]. Determinarea lui x se realizează efectiv sau prin utilizarea unei teoreme de tip existențial. (Dacă A, B ⊆ ℝ, atunci orice paralelă la axa OX prin punctele y ∈ B taie gra ficul Gf în cel puțin un punct.)
Remarcă
f : A → B este surjectivă ⇔ Im f = B. Amintim că „sur” în limba franceză se traduce prin „pe”. Din acest motiv, acum o jumătate de secol, o funcție surjec tivă se numea funcție definită pe A cu valori pe B.
• O funcție este bijectivă dacă și numai dacă este injectivă și surjectivă. Deci f : A → B este bijectivă ⇔ [∀ y ∈ B ∃! x ∈ A a. î. y = f(x)].
• O funcție f : A → B este inversabilă dacă există g : B → A a.î. g ∘ f = 1 A și f ∘ g = 1 B.
• O funcție cu proprietățile precedente, dacă există, este unică, se numește inversa funcției f și se notează g = f 1
• O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.
• Pentru funcțiile A f → B g → C și compusa A g ∘ f → C, au loc afirmațiile: a) Dacă f și g sunt injective, atunci g ∘ f este injectivă. b) Dacă f și g sunt surjective, atunci g ∘ f este surjectivă. c) Dacă f și g sunt bijective, atunci g ∘ f este bijectivă.
• Dacă f și g sunt bijective, are loc egalitatea: (g ∘ f ) 1 = f 1 ∘ g 1 .
• Fiind date două mulțimi A și B spunem că A este cardinal echivalentă cu B și notăm A ~ B dacă există o funcție f : A → B bijectivă.
• Pe clasa funcțiilor, relația de cardinal echivalență ~ este o relație de echivalență (reflexivă, simetrică și tranzitivă).
• O mulțime A este finită dacă A = ∅ sau, dacă A ≠ ∅, atunci există n ∈ N* a.î. A ~ {1, 2, …, n}. În caz contrar, A se numește infinită.
• Fiind dată o mulțime A, definim |A| = {B | B ~ A} cardinalul mulțimii A
• O mulțime B ~ se numește numărabilă.
• Pentru mulțimile finite, cardinalele lor sunt numere naturale. Pentru mulțimile infinite, cardinalele lor sunt numere transfinite.
• De exemplu: || = || = || = ℵ0 (alef 0) sunt numărabile, iar || = c, de puterea continuului. O mulțime finită sau numărabilă se numește cel mult numărabilă.
Remarcă
Meritul lui Georg Cantor este că s-a hazardat în domeniul mulțimilor infinite și a creat o nouă teorie matematică.
Se consideră două mulțimi A și B. Dacă fiecare dintre ele este cardinal echivalentă cu o submulțime a celeilalte, atunci mulțimile sunt cardinal echivalente.
Dacă A este o mulțime arbitrară, atunci nu există bijecție între A și mulțimea submulțimilor sale P(A).
1. Studiați injectivitatea funcțiilor:
a) f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3, ∀ x ∈ ℝ;
b) h : ℝ → ℝ, h(x) = ax + b, ∀ x ∈ ℝ, a, b ∈ ℝ; c) p : ℝ → ℝ, p(x) = a x 2 + bx + c, ∀ x ∈ ℝ, a, b, c ∈ ℝ; d) g : ℝ → ℝ, g(x) = x 5 4 x 3 + 7, ∀ x ∈ ℝ.
2.
a) Dacă A ⊆ , f : A → este strict monotonă, atunci f este injectivă. Reciproca este adevărată?
b) Studiați injectivitatea funcției f : → , f (x) = x5 + 4x3 + 1. c) Dacă f și g sunt funcții strict crescătoare (descrescătoare), atunci f + g este o funcție strict crescătoare (descrescătoare).
3. Studiați injectivitatea funcției: f : ℝ → ℝ, f (x) = { 2x + 1 , x ≤ 0 3x + a , x > 0 , unde a ∈ .
4. Se consideră funcțiile A f → B g → C și A g ∘ f → C.
a) Demonstrați că următoarele afirmații sunt adevărate. a1) Dacă f și g sunt injective, atunci g ∘ f este injectivă. a2) Dacă g ∘ f este injectivă, atunci f este injectivă.
b) Este adevărată implicația: g ∘ f injectivă ⇒ f injectivă și g injectivă?
5. Fie f : A → B o funcție. Demonstrați că are loc echivalența: f este injectivă ⇔ ∃ r : B → A astfel încât r ∘ f = 1 A r se numește retractă (inversă la stânga) a lui f; r nu este, în general, unică.
6. Fie f : A → B o funcție. Demonstrați că are loc echivalența: f este surjectivă ⇔ ∃ s : B → A astfel încât f ∘ s = 1 B s se numește secțiune (inversă la dreapta) a lui f; s nu este, în general, unică.
7. Determinați a ∈ ℝ pentru care funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = { x 2 , x ≤ 0 2x + a, x > 0 este: a) surjectivă; b) bijectivă. În acest caz aflați inversa f –1 .
8. Se consideră mulțimile A = {1, 2, 3} și B = {4, 5}.
a) Se poate construi o funcție injectivă f : A → B? b) Se poate construi o funcție surjectivă g : B → A?
c) Câte funcții injective h : B → A există? d) Câte funcții surjective s : A → B există?
9. Fie f : ℝ → ℝ o funcție care verifică relația funcțională f (f (x)) = 5x + 1, ∀ x ∈ ℝ. Arătați că f este bijectivă.
10. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 2x + 1.
a) Arătați că f este injectivă.
b) Arătați că f este surjectivă.
c) Arătați că f este inversabilă și calculați f –1
11. Arătați că funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x 2 + x + 1 nu este injectivă. Determinați o restricție injectivă a lui f.
12. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = {2x + 1, x ≤ 0 5 x 2 + 2, x > 0
Arătați că f este funcție injectivă și determinați o funcție r : ℝ → ℝ pentru care r ∘ f = 1 ℝ. Această funcție r nu este unică.
13. a) Stabiliți care dintre următoarele funcții sunt injective: a1) f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1; a2) f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, a, b ∈ ℝ; a3) f : ℝ → ℝ, f(x) = |x 2| + |4 x|. b) Pentru oricare a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = a x 2 + bx + c nu este injectivă. Dați exemple de restricții ale lui f ce sunt injective. Câte există?
14. Arătați:
a) Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 5 este surjectivă. Verificați că preimaginea elementului y este x = y 5 3 .
b) Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x 3 + 17x 5 este surjectivă. Preimaginea elemen tului y este asigurată de o teoremă cunoscută din cadrul polinoamelor ce au coeficienți reali, pe care se cere să o enunțați.
Remarcă
Determinarea preimaginii x a lui y se realizează: efectiv, adică prin determina rea sa, ca formulă, sau prin utilizarea unei teoreme de existență, care o asigură.
15. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f(x) =
{ 2x + 1 , x ≤ 0 5 x 2 2 , x > 0.
Arătați că f este funcție surjectivă și determinați o funcție s : ℝ → ℝ pentru care f ∘ s = 1 ℝ.
16. Construiți o funcție f : ℝ → ℝ pentru care f ≠ 1 ℝ, f ∘ f ≠ 1 ℝ, f ∘ f ∘ f = 1 ℝ.
17. Se consideră funcția f : [1, ∞) → B, f(x) = x + 1 x , ∀ x ≥ 1.
a) Arătați că f este injectivă pentru oricare B ⊇ [2, ∞).
b) Determinați B pentru care f este surjectivă. c) În cazul când f este inversabilă, determinați inversa f –1 .
18. Fie a, b, c, d ∈ ℝ, a < b, c < d. Construiți o funcție:
a) f : [a, b] → [c, d] bijectivă; b) g : [0, 1] → (0, 1] bijectivă.
19. Studiați surjectivitatea funcțiilor: a) f : ℕ × ℕ → ℕ, f(x, y) = 3x + y; b) g : ℤ × ℤ → ℤ, g(x, y) = 3x 7y.
20. Determinați (a, b) ∈ ℝ × ℝ astfel încât funcția f : [1, 3] → [2, 6], f(x) = ax + b să fie bijectivă.
21. Studiați bijectivitatea funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = x n + 2x + 3, n ∈ ℕ, n ≥ 2.
22. Fie f : X → Y o funcție. Demonstrați echivalența următoarelor afirmații: a) f este injectivă; b) ∀ A, B ∈ P(X), f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
23. Determinați o condiție necesară și suficientă pentru ca funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x 3 + a x 2 + bx + c, a, b, c ∈ ℝ, să fie bijectivă.
24. Fie A o mulțime finită cu n ≥ 2 elemente. Mulțimea P(A) înzestrată cu relația de incluziune ⊆ este o mulțime ordonată, astfel că perechile (P(A), ⊆), (ℕ, ≤) sunt mulțimi ordonate. Funcția f : P(A) → ℕ, f (B) = |B|, ∀ B ∈ P(A), este strict crescătoare, dar nu este injectivă. Care este explicația?
25. Dacă A, B ⊆ ℝ și funcția f : A → B este bijectivă și strict crescătoare (descres cătoare), atunci funcția inversă f 1 : B → A este bijectivă și strict crescătoare (descrescătoare).
26. Înzestrăm ℕ * cu relația de divizibilitate, |, și obținem mulțimea ordonată (ℕ * , |) Funcția identică 1 ℕ ∗ : (ℕ * , |) → (ℕ * , ≤), 1 ℕ ∗(n) = n, ∀ n ∈ ℕ * este strict crescătoare. Puteți explica de ce funcția f 1 nu este strict crescătoare?
27. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, (f ∘ f )(x) = 5x 1, ∀ x ∈ ℝ. Arătați că f este bijectivă.
28. Se consideră o mulțime finită A și f : A → A o funcție, atunci are loc echivalența: a) f este injectivă; b) f este surjectivă; c) f este bijectivă.
29. Se consideră funcția f : ℝ → ( 1, 1), f(x) = x 1 + |x| a) Trasați graficul funcției f. b) Demonstrați că f este bijectivă.
Sistemele liniare au fost cunoscute și studiate din vechime. De exemplu, ma tematicianul chinez Liu Hui1 (225–295 d.Hr.) studiază și rezolvă sisteme liniare până la 6 ecuații cu 6 necunoscute, utilizând metoda eliminării (sau a pivotului). Procedeul rămâne necunoscut savanților occidentali până la redescoperirea sa de către Carl Friedrich Gauss2 în anul 1810. Inginerul german Wilhelm Jordan3, răs pândește celebrul algoritm într-un articol de geodezie în anul 1888. În anul 1693, W. Leibniz inventează determinanții pentru a soluționa sistemele liniare. Maclaurin și Cramer dezvoltă proprietăți ale acestora între anii 1729–1750. Apoi, Vandermond (1772) și Cauchy (1812) tratează determinanții ca pe o temă aparte. Alte contibuții sunt aduse de Laplace, Jacobi și alții. Lagrange4 (1775) descoperă formula volumului unui paralelipiped cu ajutorul determinantului.
În anul 1949, un colectiv de cercetători de la Universitatea Harvard utilizează metoda lui Gauss-Jordan pentru analiza economică a SUA. Au programat un ordinator (Mark II) pentru a rezolva un sistem liniar cu 42 de ecuații și 42 de necunoscute. În prezent, tehnologia utilizează calculatoare ce rezolvă zilnic mii de sisteme liniare de mari dimensiuni.
• O ecuație liniară în necunoscutele x1, x2, …, x n este o expresie de forma a1x1 + … + a n x n = b, unde b, a1, …, a n ∈ ℂ, n ∈ ℕ ∗ .
• Un sistem de ecuații liniare (sau sistem liniar) este o mulțime finită de ecuații liniare. Forma sa generală este: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n x n = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n x n = b2 ⋮ a m1 x1 + a m2 x2 + + a mn x n = b m
, aij ∈ ℂ, b j ∈ ℂ, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m (1)
1 În lucrarea Cele 9 capitole ale artei matematicii, apărută în anul 263 d.Hr.
2 C.F. Gauss (1777–1855), matematician german, este considerat unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor.
3 Wilhelm Jordan (1842–1899), inginer german. A se vedea A.M.M. 1987, p.130-142, Gauss-Jordan Reduction.
4 Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) l-a succedat pe Leonhard Euler ca director al Academiei de Științe din Berlin.
• O soluție a sistemului (1) este un n-uplu (vector de dimensiune n): (s1, s2, …, s n) ∈ ℂ n care verifică toate ecuațiile sistemului. Mulțimea tuturor soluțiilor sistemului (1) se numește mulțimea soluțiilor.
• Două sisteme liniare sunt echivalente dacă au aceeași mulțime a soluțiilor.
• Informații importante asupra unui sistem liniar sunt date de matricea sistemului, respectiv matricea extinsă a sa.
• Se consideră R una dintre mulțimile ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, m, n ∈ ℕ ∗ fixate; atunci o funcție f :{1, 2, …, m} × {1, 2, …, n} → R, (i, j) → f(i, j) = aij ∈ R se numește matrice de tip m × n cu elemente ȋn R. Mulțimea tuturor acestor funcții se notează ℳ m × n (R).
• Pentru sistemul (1), A = ( a11 a1n ⋮ a m1 a mn) se numește matricea sistemului și A = ⎛ ⎜ ⎝
a11 … a1n b1 ⋮ … ⋮ ⋮ a m1 … a mn b m
⎞ ⎟ ⎠ se numește matricea extinsă
• Dacă A = (aij) ∈ ℳ m × n (R), B = (bij) ∈ ℳ m × n(R), atunci A = B ⇔ aij = bij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n (fiind egalitate de funcții).
• Se introduc operațiile de adunare, ȋnmulțire cu scalari pe mulțimea ℳ m × n(R). Dacă A = (aij) ∈ ℳ m × n(R), B = (bij) ∈ ℳ m × n(R), atunci A + B = (aij + bij) ∈ ℳ m × n(R) se numește suma matricelor A și B Se verifică următoarele proprietăți:
a) (A + B) + C = A + (B + C), ∀ A, B, C ∈ ℳ m × n(R); b) Există 0 ∈ ℳ m × n (R) a.î. 0 + A = A + 0 = A, ∀ A ∈ ℳ m × n (R).
0 este numită matricea nulă.
c) Oricare ar fi A ∈ ℳ m × n (R), ∃ ( A) ∈ ℳ m × n (R) a.î. A + ( A) = ( A) + A = 0. A este numită opusa matricei A. d) Oricare ar fi A, B ∈ ℳ m × n (R), B + A = A + B, adunarea matricelor este comutativă. • Dacă A = (aij) ∈ ℳ m × n(R), r ∈ R, atunci r ⋅ A = (raij)1<i<m 1< j <n . Se verifică proprietățile:
a) r (A + B) = rA + rB; c) r (sA) = (rs)A; b) (r + s)A = rA + sA; d) 1 ⋅ A = A, ∀ r, s ∈ R, ∀ A, B ∈ M m×n (R)
Între anumite matrice se poate defini și o ȋnmulțire. Dacă A = (aij) ∈ ℳ m × n (R), B = (bjk) ∈ ℳ n × p (R), atunci putem defini matricea C = A ⋅ B = (cik) ∈ ℳ m × p (R), unde cik = ∑ j 1
n aij ⋅ bjk, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ p.
Proprietățile înmulțirii a) (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C), ∀ A ∈ ℳ m × n (R), B ∈ ℳ n × p (R), C ∈ ℳ p × q (R). (asociativitatea înmulțirii). b) A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C, ∀ A ∈ ℳ m × n (R), B, C ∈ ℳ n × p (R). c) (A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C, ∀ A, B ∈ ℳ m × n (R), C ∈ ℳ n × p (R) (distributivitatea înmulțirii față de adunare). d) Pentru oricare A ∈ ℳ n (R), ∃ I n ∈ ℳ n (R), I n = (δ ij) i,j∈⟦1,n⟧ a . î. A ⋅ I n = I n ⋅ A = A, δ ij = {1, i = j 0, i ≠ j (existența elementului neutru pentru matricele pătrate).
Se pot ȋnmulți doar matricele pentru care numărul de coloane ale primei matrice coincide cu numărul liniilor ale celei de-a doua matrice. Dacă m = n, matricea A = ⎛ ⎜ ⎝
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n1 a n2 … a nn
⎞ ⎟ ⎠ se numește matrice pătrată și mulțimea acestora se notează cu ℳ n(R)
• Se disting submulțimile: ℳ n (ℤ) ⊂ ℳ n(ℚ) ⊂ ℳ n (ℝ) ⊂ ℳ n (ℂ).
• Sistemul ordonat (a11, a22, …, a nn) ∈ R n este diagonala principală, iar sistemul ordonat (a1n, a2n 1, …, a n1) ∈ R n este diagonala secundară a matricei A.
• Dacă n = 1, atunci matricea A = ⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠ ∈ ℳ m × 1(R) se numește matrice coloană, pe care o putem identifica cu un vector de lungime m (ca ȋn informatică).
a11 a21 ⋮ a m1
• Dacă m = 1, atunci matricea B = (b11 b12 ⋯ b1n) ∈ ℳ1 × n (R) se numește matrice linie, pe care o putem identifica cu un vector de lungime n (ca ȋn informatică).
• Transpusa matricei A = ⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠ ∈ ℳ m × n (R) este matricea A t = ⎛ ⎜ ⎝
a11 a21 … a m1 a12 a22 a m2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a1n a2n … a mn
a11 a12 a1n a21 a22 … a2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m1 a m2 … a mn
⎞ ⎟ ⎠ ∈ ℳ m × n (R)
Pentru ∀ A, B ∈ ℳ n (R), ∀ α ∈ au loc:
• (A + B) t = A t + B t; (αA) t = α ⋅ A t; (A ⋅ B) t = B t ⋅ A t .
• O matrice pătrată A = (aij) ∈ ℳ n (R) este simetrică dacă aji = aij, ∀ i, j ∈ 1, n}, adică A = A t .
• O matrice pătrată A = (aij) ∈ ℳ n (R) este antisimetrică dacă aji = aij, ∀ i, j ∈ 1, n}, adică A = A t
• Dacă A = (aij) ∈ ℳ n (R), numărul ∑ i=1
n aii = Tr(A) se numește urma matricei A (trace = „urmă” în franceză și engleză).
Dacă A, B ∈ ℳ n (R), α ∈ R, atunci au loc afirmațiile:
a) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B); b) Tr(αA) = αTr(A); c) Tr(AB) = Tr(BA); d) Tr(A) = Tr(A t)
Remarcă
Pentru matricea A = (aij) 1≤i≤m 1≤j≤n se mai utilizează notațiile A = [aij] 1≤i≤m 1≤j≤n
.
sau A = ‖aij‖ 1≤i≤m 1≤j≤n
• Pentru A ∈ ℳ n (R), n ∈ ℕ, n ≥ 2, definim A n = A n 1 ⋅ A.
• Dacă A, B ∈ ℳ p (R) a.î. A ⋅ B = B ⋅ A, atunci au loc: a) ∀ k, j ∈ ℕ ∗ , A k ⋅ B j = B j ⋅ A k; b) ∀ n ∈ ℕ ∗ , (A + B) n = C n 0 A n + C n 1 A n 1 B + C n 2 A n 2 B 2 + … + C n n 1 A B n 1 + + C n n B n (binomul lui Newton)
• Fie K una dintre mulțimile , sau . Matricele vor fi considerate cu elemente în K.
1. Se consideră matricele A = (1 5 6 0 3 10), B = ( 1 5 6 20 13 110) ∈ ℳ2×3(ℤ).
Calculați: A + B, 5 ⋅ A, A B. Putem defini produsul A ⋅ B?
2. Calculați; a) (3 2 5 4) ⋅ (3 4 2 5); b) (a b c d) ⋅ (α β γ δ ); c) (2 3 4 6) ⋅ (9 6 6 4); d) (4 3 7 5) ⋅ ( 28 93 38 126) ⋅ (7 3 2 1); e) (1 2 3 4) 3 ; f) (4 1 5 2) 5 ;
g) (2 1 3 2) n , n ∈ ℕ ∗ h) (cos t sin t sin t cos t ) n , n ∈ ℕ ∗ ; i) (a 0 0 b) n , n ∈ ℕ ∗ , a, b ∈ ℝ date. j) (1 1 0 1) n , n ∈ ℕ ∗ ; k) (b 1 0 b) n , n ∈ ℕ ∗ , b ∈ ℝ dat.
3. Calculați (17 6 35 12) 5 , utilizând egalitatea (17 6 35 12) = (2 3 5 7) ⋅ (2 0 0 3) ⋅ ( 7 3 5 2)
4. Se consideră matricea A = (1 2 3 4) ∈ ℳ2(ℝ). Determinați toate matricele X ∈ ℳ2(ℝ) pentru care A ⋅ X = X ⋅ A (matricele ce comută cu matricea A).
5. Se consideră matricea B = (7 3 5 2) ∈ ℳ2(ℝ). Determinați toate matricele X ∈ ℳ2(ℝ) pentru care B ⋅ X = X ⋅ B.
6. Calculați: a) (1 3 2 3 4 1 2 5 3) ⋅ (2 5 6 1 2 5 1 3 2); b) (5 8 4 6 9 5 4 7 3) ⋅ (3 2 5 4 1 3 9 6 5); c) ( 0 2 1 2 1 2 3 2 1) ⋅ ( 70 34 107 52 26 68 101 50 140) ⋅ ( 27 18 10 46 31 17 3 2 1 ); d) (a 0 0 0 b 0 0 0 c ) n , n ∈ ℕ ∗ , a, b, c ∈ ℝ date.
7. Calculați (4 3 3 2 3 2 4 4 3) 6 utilizând egalitatea: (4 3 3 2 3 2 4 4 3) = (1 3 1 2 2 1 3 4 2) ⋅ (1 0 0 0 2 0 0 0 1) ⋅ ( 0 2 1 1 1 1 2 5 4 );
8. Fie A = (1 1 4), B = ( 2 3 1 ). Calculați AB, BA, (AB) 2 , (BA) 2 (dacă există). Sunt adevărate egalitățile: (AB) 2 = A 2 ⋅ B 2 , (BA) 2 = B 2 ⋅ A 2?
9. a) Se consideră polinomul f(X) = X 2 2X + I2 și matricea B = ( 1 7 2 1). Calculați f (B), f (B + I2). b) Fiind date matricele A = (1 2 3 4 5 6), B = (3 5 7). Calculați: AB, BA (dacă există).
10. Se consideră matricele A = ( 3 0 1 4 0 1), B = ( 1 1 0 2 9 3 ), C = (2 5 3 1 1 1 ). Calculați, dacă există: a) A B + 3C, 2A + B + 2C; b) A ⋅ B t , C t ⋅ A, B ⋅ A
11.
a) Determinați x, y, z ∈ ℂ pentru care matricele A = (3x + 4 3 y 2 x 1), B = (7 y 8 z 3 + 124) sunt egale.
b) Determinați x, y, z ∈ ℝ pentru care sunt egale matricele A = ( 5x + 17 3 y 2 + x 1 ) și B = (22 y 8 z 3 + 124).
12. Se consideră matricele Ak = ( 1 k k 2 k 3), k ∈ ℕ ∗. Calculați ∑ k=1
n Ak.
13. Determinați cardinalul următoarelor mulțimi: A = ℳ2×3({ 1, 1}); B ∈ ℳ 2({ 1, 0, 1}); C ∈ {ℳ 3×2({0, 2, 4})| A = (aij), a11 + a12 = 2} 14. Fie A = ( 1 2 1 3 ) ∈ ℳ2(ℤ). Determinați matricele X ∈ ℳ2(ℤ) a.î. A ⋅ X = X ⋅ A 15 . a) Dacă pentru matricele A și B există AB, BA și AB = BA, atunci A și B sunt matrice pătrate de același tip.
b) Rămâne concluzia adevărată dacă renunțăm la condiția 3 din ipoteză?
16. Se consideră matricele A = (a b c d), B = (a′ b′ c′ d′) ∈ ℳ2(ℂ).
a) Calculați Tr(AB), Tr(BA), TR(AB BA). Deduceți că nu are loc egalitatea AB BA = I2. b) Dacă A, B ∈ ℳ n (ℂ), atunci egalitatea AB BA = I n este imposibilă.
17. Determinați toate matricele X ∈ ℳ2(ℂ) pentru care: a) X 2 = 0 2; b) X 2 = I2; c) X 2 = X
18. Pentru n ∈ ℕ ∗ se definesc S n (ℝ) = {A ∈ ℳ n (ℝ)| A t = A}, A n (ℝ) = {A ∈ ℳ n (ℝ)| A t = A}.
a) Descrieți mulțimile pentru n ∈ {2, 3, 4}. Arătați că: b) ∀ A, B ∈ S n (ℝ), ∀ α ∈ ℝ ⇒ A + B ∈ S n (ℝ), αA ∈ S n (ℝ); c) ∀ A, B ∈ A n (ℝ), ∀ α ∈ ℝ ⇒ A + B ∈ A n (ℝ), αA ∈ A n (ℝ); d) S n (ℝ) ∩ A n (ℝ) = {0 n}; e) ∀ C ∈ ℳ n (ℝ) ∃! A ∈ S n (ℝ), B ∈ A n (ℝ) a.î. C = A + B.
19. Fie A = (0 3 4 0 0 3 0 0 0) ∈ ℳ3(ℝ). a) Arătați că există k ∈ ℕ ∗ pentru care A k = 0 3. b) Calculați (I3 + A) n , n ∈ ℕ ∗ .
20. Determinați A n , n ∈ ℕ ∗ pentru matricea A = (1 1 a 0 1 1 0 0 1), a ∈ ℂ, apoi demonstrați prin inducție matematică afirmația.
21. Fie A = (1 0 0 0 2 0 0 0 3), n ∈ ℕ, n ≥ 2. Rezolvați ecuațiile: a) X n = A, X ∈ ℳ3(ℝ); b) Y n = A, Y ∈ ℳ3(ℂ).
22. Fie A = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ∈ ℳ3(ℤ). Calculați A n , n ∈ ℕ ∗ .
23. Fie A ∈ ℳ n (ℂ). Arătați că: a) dacă A este idempotentă, atunci 2A – I este involutivă; b) dacă A este involutivă, atunci 1 2 (A I) este idempotentă. (A este idempotentă dacă A 2 = A; A este involutivă dacă A 2 = I.)
24. Fie A = (a b c d) ∈ ℳ2(ℂ); atunci:
a) A 2 (a + d)A + (ad bc) I2 = 0 2; b) pentru oricare n ∈ ℕ ∗ există x n, yn ∈ ℂ a.î. A n = x n A + yn I2.
25. Fie A = (a b c d) ∈ ℳ2(ℝ), Tr(A) = a + d, det(A) = Δ = ad bc. Notăm λ 1, λ 2 rădăcinile ecuației caracteristice λ 2 Tr(A) ⋅ λ + Δ = 0. Demonstrați următoarele afirmații.
a) Dacă λ 1 ≠ λ 2, atunci A n = λ 1 n λ 2 n λ 1 λ 2 ⋅ A Δ ⋅ λ 1 n 1 λ 2 n 1 λ 1 λ 2 ⋅ I2, ∀ n ≥ 2. b) Dacă λ 1 = λ 2 λ, atunci A n = n λ n 1 ⋅ A (n 1) ⋅ Δ ⋅ λ n 2 ⋅ I2, ∀ n ≥ 2.
26. Calculați A n pentru:
a) A = (3 2 2 1); b) A = (1 1 1 3);
c) A = ( 2 4 5 7); d) A = ( 1 1 1 1).
27. a) Dacă A = (a b c d) ∈ ℳ2(ℂ), det(A) = 0, atunci A n = (a + d) n 1 ⋅ A. b) Calculați: (15 3 5 1) n ; ( 1 i i 1) n , n ∈ ℕ ∗ .
28. a) Dacă A = (a b c d) ∈ ℳ2(ℂ), Tr(A) = 0, atunci A 2n = ( det A) n ⋅ I2, A 2n+1 = ( det A) n ⋅ A, n ∈ ℕ ∗ . b) Calculați: (8 3 5 8 ) 2n ; ( i 1 + 2i 5 i i ) 2n+1 , n ∈ ℕ ∗
29. a) Fie α ∈ ℝ și A = (cos α sin α sin α cos α ). Calculați A n , n ∈ ℕ ∗ b) Fie a, b ∈ ℝ, cu a 2 + b 2 > 0 și B = (a b b a ). Calculați B n , n ∈ ℕ ∗ . c) Calculați (4 3 3 4 ) n , n ∈ ℕ ∗ . d) Calculați puterile naturale ale matricei A = ( 1 tgα tgα 1 ), unde α ∈ ℝ\{(2k + 1) π 2 | k ∈ ℤ}.
30. Fie A ∈ ℳ2(ℂ) și C(A) = {X ∈ ℳ2 | A ⋅ X = X ⋅ A}. Arătați că:
a) Dacă A = k ⋅ I2, k ∈ ℂ, atunci C(A) = ℳ2(ℂ). b) Dacă A ≠ k ⋅ I2, k ∈ ℂ, atunci C(A) = {αA + β I2 | α, β ∈ ℂ}.
31. Fie a, b, c, d ∈ ℝ, c ≠ 0 și funcția omografică f : ℝ\{ d c } → ℝ, f(x) = ax + b cx + d . Matricea Mf = (a b c d) este matricea atașată funcției f. a) Arătați că dacă funcțiile f, g sunt omografice, atunci f ∘ g este omografică și se verifică egalitatea Mf∘g = Mf ⋅ M g și pentru orice n ∈ ℕ ∗ , Mf n = (Mf) n, unde f n = f ∘ f ∘ … ∘ f de n ori .
• Fie I, M două mulțimi, P(M) mulțimea părților lui M. O funcție f : I → P(M), f(i) = Xi, ∀ i ∈ I se numește familie de submulțimi (sau părți) ale lui M și se notează (Xi) i∈I . Se definesc: Xx Mi Ix X i iI i ∈ =∈ ∃∈ ∈ {} |cu , numită reuniunea familiei (Xi) i∈I și Xx Mi Ix X i iI i ∈ =∈ ∀∈ ∈ {} |cu , numită intersecția familiei (Xi) i∈I .
• Caz particular: I = {1, 2, …, n}, atunci ∪ i∈IXi = X1 ∪ X2 ∪ … ∪ X n reuniunea a n mulțimi și Xx Mi Ix X i iI i ∈ =∈ ∀∈ ∈ {} |cu = X1 ∩ X2 ∩ … ∩ X n intersecția a n mulțimi. Pentru familia finită (Xk) 1≤k≤n de mulțimi se definește: X1 × X2 × … × X n = ={(x1, x2, …, x n)| x1 ∈ X1, …, x n ∈ X n} produsul cartezian al mulțimilor X1, …, X n .
• Caz particular: X1 = X2 = … = X n = X; atunci X1 × X2 × … × X n se notează X n . Un triplet (A, B, R) în care A, B sunt mulțimi și R ⊆ A × B se numește relație binară. Pentru A = B se numește relație omogenă. (a, b) ∈ R ⇔ aRb se citește „a este în relația R cu b”.
• Fiind date două relații R1, R2 între A și B, se definesc relațiile: R1 = A × B\ R1, R1 ∪ R2, R1 ∩ R2, R1 \ R2, R1 Δ R2 ca operații cu mulțimi. (B, A, R 1), relația definită prin (b, a) ∈ R 1 ⇔ (a, b) ∈ R, este inversa lui R.
• Fiind date relațiile binare (A, B, R1), (C, D, R2), relația (A, D, R2 ∘ R1), definită prin R2 ∘ R1 = {(a, d) ∈ A × D| ∃ c ∈ B ∩ C, (a, c) ∈ R1, (c, d) ∈ R2}, se numește compunerea acestora.
O relație omogenă (A, A, R) este: – reflexivă dacă ∀ a ∈ A, aRa; – simetrică dacă din aRb ⇒ bRa; – tranzitivă dacă din aRb și bRc ⇒ aRc;
– antisimetrică dacă aRb și bRa ⇒ a = b.
O relație omogenă (A, A, R) este de echivalență dacă R este r, s, t (reflexivă, simetrică și tranzitivă); dacă R este r, a, t (reflexivă, antisimetrică și tranzitivă) atunci este de ordine.
O relație binară (A, B, R) se numește relație funcțională sau funcție dacă: 1. ∀ a ∈ A ∃ b ∈ B a.î. aRb (orice element din A are cel puțin o imagine în B).
2. aRb, aRb' ⇒ b = b' (imaginea oricărui element a este unică).
Fiind dată o relație (A, A, R) de echivalență, pentru a ∈ A se definește C a = {x ∈ A| xRa} numită clasa de echivalență a elementului a. Mulțimea {C a | a ∈ A} a claselor de echivalență se notează A ⁄ R fiind numită mulțime factor (sau mulțime cât). ∅ ≠ S ⊆ A se numește sistem complet și independent de reprezentanți (SCIR) dacă: i) ∀ i, j ∈ S, i ≠ j ⇒ i nu este echivalent cu j ii) ∀ a ∈ A ∃ i ∈ S a. î. a ∼ i. Deducem că: A = ∪ a∈S C a . Fiind dată o mulțime nevidă A, o partiție a lui A este o submulțime nevidă Ρ ⊆ P(A)\{∅} care are proprietățile: a) ∀ C, D ∈ Ρ, C ≠ D ⇒ C ∩ D = ∅. b) A = ∪ B∈Ρ B. Orice relație de echivalență pe A induce o partiție și reciproc. Prin aplicarea axiomei alegerii putem selecta câte un singur element din fie care clasă a partiției (mulțime selectivă).
Fie n ∈ ℕ fixat, x, y ∈ ℤ. Spunem că x este congruent cu y modulo n dacă n|(x y).
Vom nota x ≡ y(mod n) sau uneori mai simplu x ≡ y(n). Pentru n = 0, x ≡ y(mod 0) ⇔ 0|(x y), adică x = y. Astfel, relația de congruență modulo 0 se reduce la relația de egalitate pe ℤ. Pentru n ∈ ℕ ∗ are loc echivalența: x ≡ y (mod n) ⇔ x = n q1 + r, y = n q2 + r, q1, q2, r ∈ ℤ, 0 ≤ r ≤ n 1
Se verifică proprietăți ale congruenței modulo n:
1) x ≡ x(mod n) (reflexivitate);
2) x ≡ y(mod n) ⇒ y ≡ x(mod n) (simetrie);
3) x ≡ y(mod n) și y ≡ z(mod n) ⇒ x ≡ z(mod n) (tranzitivitate).
Deci relația introdusă este o relație de echivalență.
Clasa elementului x ∈ ℤ se notează x = {y ∈ ℤ| y ≡ x(mod n)} = x + nℤ. Mulțimea tuturor claselor de resturi modulo n se notează ℤ n = {0, 1, …, n 1 }, deoarece {0, 1, 2, , n 1} formează complet de resturi modulo n Alte proprietăți ale congruenței modulo n.
4) x ≡ y(mod n), x' ≡ y'(mod n) ⇒ x + x' ≡ y + y'(mod n), x ⋅ x' ≡ y ⋅ y'(mod n), x x' ≡ y y'(mod n)
5) x ≡ y(mod n), k ∈ ℕ ∗ ⇒ x k ≡ y k(mod n).
6) Dacă x ≡ y(mod n) și t ∈ ℤ ⇒ x ⋅ t ≡ y ⋅ t(mod n); dacă g ⋅ x ≡ g ⋅ y(mod n) și (g, n) = 1 ⇒ x ≡ y(mod n).
1. a) Determinați: P(∅), P({1}), P({1, 2}).
b) Pentru mulțimile A, B are loc echivalența: A ⊆ B ⇔ P(A) ⊆ P(B).
c) Dacă mulțimea A este finită, cu |A| = n, atunci |P(A)| = 2 n .
2. a) Determinați: 21
n AB n nn ≥≥
= =− .
111 0,, , nn
b) Scrieți ℝ\ℤ ca o reuniune de intervale deschise.
3. a) Fie A = {1, 2, 3, 4}. Stabiliți dacă R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, R2 = {(x, y)| x ≤ y} sunt reflexive pe A.
b) Dacă |B| = n, n ∈ ℕ ∗, câte relații reflexive se pot defini pe B? c) Dacă |B| = n, n ∈ ℕ ∗, câte relații se pot defini pe B?
4.
a) Fie A = {1, 2, 3}. Stabiliți dacă R1 = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)}, R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 3)} sunt simetrice pe A
b) Dacă |B| = n, n ∈ ℕ ∗, câte relații simetrice se pot defini pe B?
c) Dacă |B| = n, n ∈ ℕ ∗, câte relații se pot defini care să fie atât reflexive, cât și simetrice?
5.
a) Relația de divizibilitate pe ℕ este tranzitivă? Dar reflexivă sau simetrică sau antisimetrică?
b) Pe mulțimea A = {1, 2, 3, 4} relația {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (2, 4)} este tranzitivă?
c) Pe ℤ definim relația aRb ⇔ ab ≥ 0. Este tranzitivă?
6.
a) Fie M o mulțime nevidă. Pe mulțimea părților P(M) definim relația: (A, B) ∈ R ⇔ A ⊆ B Studiați proprietățile acestei relații.
b) Fie A = {1, 2, 3} și R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)}. Este R antisimetrică?
c) Dacă |B| = n, n ∈ ℕ ∗, câte relații se pot defini care să fie antisimetrice?
7. Fie A o mulțime finită cu n elemente. Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?
a) Dacă R este o relație reflexivă pe A, atunci |R| ≥ n.
b) Dacă R este o relație pe A cu |R| ≥ n, atunci R este reflexivă.
c) Dacă R1 ⊆ R2 sunt relații omogene pe A și R1 este reflexivă (simetrică, an tisimetrică, tranzitivă), atunci R2 este reflexivă (simetrică, antisimetrică, tranzitivă).
d) Dacă R este o relație de echivalență pe A, atunci n ≤ |R| ≤ n 2
8. Pe mulțimea A = {1, 2, 3, 4} definim relația R = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 2)}
Calculați R n , n ≥ 1.
9. Fie o mulțime A ≠ ∅ și ∼ o relație de echivalență pe A. Pentru a ∈ A definim C a={x ∈ A| x ∼ a}. Atunci au loc afirmațiile:
a) ∅ ≠ C a ⊆ A. c) a ∼ b ⇔ C a = Cb.
b) ∀ a, b ∈ A ⇒ C a ∩ Cb = ∅ sau C a = Cb. d) a aA AC ∈
= .
10. Fie D = mulțimea dreptelor din plan. Pentru oricare două drepte d, l ∈ D definim relația: d ∼ l ⇔ [d = l sau d | | l].
a) Arătați că relația ∼ este o relație de echivalență pe D. b) Deteminați o mulțime selectivă S.
11. Toate sălile de clasă ale unui liceu sunt ocupate cu elevii care învață în schimbul de dimineață. Astfel s-a realizat o partiție a mulțimii A formate din acești elevi. a) Definiți o relație de echivalență pe A astfel încât clasele de echivalență să coincidă cu elementele partiției. b) Determinați o mulțime S selectivă.
12. a) În mulțimea ℂ a numerelor complexe, definim relația ∼ prin: z1 ∼ z2 ⇔ ⇔ |z1| = |z2|. Arătați că ∼ este o relație de echivalență și determinați mulțimea factor (cât) ℂ ⁄∼.
b) În mulțimea ℝ a numerelor reale, definim relația ∼ prin: x ∼ y ⇔ x y ∈ ℤ. Arătați că ∼ este o relație de echivalență și determinați mulțimea factor (cât) ℝ ⁄∼. c) În mulțimea ℝ a numerelor reale, definim relația ∼ prin: x ∼ y ⇔ ∃ k ∈ ℤ a. î. x y = 2kπ. Arătați că ∼ este o relație de echivalență și determinați mulțimea factor (cât) ℝ ⁄∼
13. a) Fie o mulțime A cu n elemente, 1 ≤ k ≤ n Arătați că S(n, k) = numărul de partiții a n elemente în k clase este: S(n, k) = { 1, k = 1 sau k = n S(n 1, k 1) + k ⋅ S(n 1, k) , 2 ≤ k ≤ n 1. (numerele lui Stirling1 de-al doilea tip)
b) Pentru 2 ≤ k ≤ n, S(n + 1, k) = ∑ i=1
n C n i ⋅ S(i, k 1)
c) Verificați tabelul următor (numit triunghiul lui Stirling). S(n, k) n = 1 2 3 4 5 6 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6
1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 1 7 6 1 0 0 1 15 25 10 1 0 1 31 90 65 5 1
a) o funcție f : ℤ → ℤ care este injectivă și nesurjectivă; b) o funcție g : ℤ → ℤ care este surjectivă și neinjectivă; c) o funcție h : ℚ → ℚ care este surjectivă și h(n) = 0, ∀ n ∈ ℕ. (Admitere Facultatea de Matematică, București, 1993)
1 James Stirling (1692–1770), matematician englez.
15. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, a, b ∈ ℝ, a ≠ 0. Pentru n ∈ ℕ ∗ , Calculați φ n = f ∘ f ∘ … ∘ f n ori și φ n 1 . (Admitere Facultatea de Management, București, 1995) 16. Deduceți criteriile de divizibilitate în ℕ cu 2, 3, 4, 5, 9, 11 17. Să considerăm șirul lui Fibonacci (F n) n≥0 definit inductiv astfel: F0 = 0, F1 = 1, F n = F n 1 + F n 2, ∀ n ≥ 2. Determinați toți termenii șirului care se divid prin 5.
• Fie M o mulțime nevidă. O funcție f : M × M → M, (x, y) → f(x, y) se numește lege de compoziție internă (sau operație algebrică). Elementul f(x, y) se numește compusul lui x cu y.
• Notații ale compusului: x ∗ y; x ∘ y; x + y; x y etc.
• Cuplul (M, ∗) se numește grupoid.
• În cazul unui grupoid finit, pentru vizualizarea operației ∗, se utilizează tabla lui Cayley: ∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗
a aa aa aa aa aa aa aa aa a
aa aa aa aa aa aa a aa aa aa aa a a
jn jn jn i
12 11 11 21 1 22 12 22 2
la intersecția liniei i cu coloana j se află ai ∗ aj, tabla operației de compunere pe M.
ii ij in nn nn jn n
12 12
∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗
• Fie (M, *) un grupoid și ∅ ≠ H ⊆ M este parte stabilă a lui M în raport cu operația * (sau subgrupoid) dacă: ∀ x, y ∈ H ⇒ x * y ∈ H. În acest caz, funcția * : H × H → H se numește operația indusă pe H de operația * de pe M.
• Fie (M, *) un grupoid, n ∈ ℕ* , a1, a2, …, a n ∈ M. Atunci definim recurent compusul unei familii finite a1 ∗ a2 ∗ … ∗ a n = { a1 , n = 1 (a1 ∗ a2 ∗ ∗ a n 1) ∗ a n, n ≥ 2 Cazul a1 = … = a n = a, în notație aditivă este na și în notație multiplicativă este a n .
• O operație algebrică ∗ este asociativă pe M dacă ∀ x, y, z ∈ M ⇒ (x ∗ y) ∗ z = = x ∗ (y ∗ z).
Un grupoid (M, ∗) în care operația este asociativă se numește semigrup.
• Fie (M, ∗) un grupoid.
Dacă există e s ∈ M a.î. e s ∗ x = x, ∀ x ∈ M, atunci e s este element neutru la stânga pentru operația algebrică ∗
Dacă există ed ∈ M a.î. x ∗ ed = x, ∀ x ∈ M, atunci ed este element neutru la dreapta pentru operația algebrică ∗ Dacă există e ∈ M a.î. e ∗ x = x ∗ e = x, ∀ x ∈ M, atunci e este element neutru pentru operația algebrică ∗ (e este element neutru la stânga și la dreapta).
Un semigrup (M, ∗) care admite element neutru se numește monoid.
• Fie (M, ∗) un grupoid care admite pe e ca element neutru. Un element x ∈ M posedă un element x' ∈ M ca simetric la stânga (dreapta), dacă x' ∗ x = e, respectiv x ∗ x' = e. Dacă ∗ este asociativă, adică (M, ∗) este un monoid, atunci dacă x posedă un element simetric la stânga și un element simetric la dreapta, acestea sunt egale, fiind numit simetricul lui x. În notație multiplicativă simetricul lui x este x 1, iar în notație aditivă este −x.
• Dacă într-un monoid (M, ∗) elementele a și b sunt simetrizabile, atunci a ∗ b este simetrizabil și (a ∗ b)′ = b′ ∗ a′ .
• Dacă într-un grupoid (M, ∗), a ∗ b = b ∗ a, ∀ a, b ∈ M spunem că el este comutativ.
18. a) Dacă |M| = 2, câte operații se pot defini pe mulțimea M? b) Dacă |M| = n, n ∈ ℕ ∗, câte operații se pot defini pe mulțimea M?
19. a) Fie f, g : ℝ → ℝ, f(x) = x, g(x) = x, ∀ x ∈ ℝ, M = {f, g}. Alcătuiți tabla ope rației de compunere pe M. b) Alcătuiți tablele operațiilor de ∪ și ∩ pe mulțimea P(A), unde A = {1, 2}
20. Stabiliți care sunt grupoizi dintre: a) (ℕ, +); b) (ℕ, ); c) (ℕ, ⋅); d) (ℤ, +)); e) (ℤ, ); f) (ℚ, +); g) (ℚ, ); h) (ℚ, ⋅);
i) (ℚ, : ); j) (ℚ ∗ , +); k) (ℚ ∗ , ⋅ ); l) (ℚ + ∗ , +); m) (ℚ + ∗ , ); n) (ℝ\ℚ, +); o) (ℝ\ℚ, ⋅); p) (ℝ, +);
q) (ℝ, ⋅); r) (ℝ ∗ , ⋅); s) (ℝ + ∗ , +); t) (ℤ ∗ , +); u) (ℂ, +); v) (ℂ ∗ , +); w) (ℂ ∗ , ⋅).
21. Pentru n ∈ ℕ, se notează nℤ = {nk| k ∈ ℤ}. Stabiliți care dintre următoarele afirmații sunt adevărate:
a) 2ℤ este parte stabilă a lui ℤ în raport cu +. b) 3ℤ este parte stabilă a lui ℤ în raport cu +. c) nℤ este parte stabilă a lui ℤ în raport cu +. d) H = {z ∈ ℂ| |z| = 1} este parte stabilă a lui ℂ în raport cu . Dar în raport cu +? e) H = { 1, 1} este parte stabilă a lui ℤ în raport cu ⋅ . f) 2ℤ + 1 = {2k + 1| k ∈ ℤ} este parte stabilă a lui ℤ în raport cu ⋅. Dar în raport cu +?
22. Fie n ∈ ℕ ∗ fixat și ℤ n = {ˆ0, ˆ 1, , ˆ n 1 } mulțimea claselor de resturi modulo n Arătați că operațiile sunt corect definite:
a) ∀ ˆ a , ˆ b ∈ ℤ n ⇒ ˆ a + ˆ b = ˆ a + b . b) ∀ ˆ a , ˆ b ∈ ℤ n ⇒ ˆ a ⋅ ˆ b = ˆ a ⋅ b .
23. Este H = {ˆ0, ˆ 1, ˆ 2} parte stabilă a lui ℤ 4 în raport cu +? Dar în raport cu ⋅?
24. a) Pentru orice a ∈ ℝ considerăm matricea A(a) = (1 + 5a 10a 2a 1 4a). Arătați că H = {A(a)| a ∈ ℝ} este parte stabilă a lui ℳ2(ℝ) în raport cu înmulțirea matricelor.
b) Fie mulțimea M = {(a 0 0 b)| a, b ∈ ℤ}. Arătați că M este o parte stabilă a lui ℳ2(ℤ) în raport cu operațiile de adunare și de înmulțire a matricelor.
c) Fie L = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
⎛ ⎜ ⎝
1 0 a a 1 a 2 2 0 0 1
⎞ ⎟ ⎠ | a ∈ ℝ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ . Arătați că L este o parte stabilă a lui ℳ3(ℝ) în raport cu înmulțirea matricelor.
25. Arătați că mulțimea M este parte stabilă în raport cu operația algebrică specificată:
a) M = [3, + ∞), x ∘ y = xy 3x 3y + 12; b) M = [4, 6], x ∘ y = xy 5x 5y + 30; c) M = [ 1, 1], x ∗ y = xy √ x 2 y 2 x 2 y 2 + 1
26. Fie H = {a + b 3 √ 2 + c 3 √ 4 | a, b, c ∈ ℚ, a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0}. Arătați că H este parte stabilă a lui ℝ în raport cu înmulțirea.
27. Fie ℤ[i] = {a + bi| a, b ∈ ℤ}, unde i 2 = 1. Dacă A ⊆ ℤ[i] este o parte stabilă în raport cu adunarea și { 1, 1, i, i} ⊂ A, atunci A = ℤ[i].
28. a) Fie H o parte stabilă a lui ℂ în raport cu adunarea. Dacă {z ∈ ℂ| |z| = 1} ⊂ H, atunci H = ℂ. b) Pentru n ∈ ℕ ∗, Arătați că U n = {z ∈ ℂ| z n = 1} este parte stabilă a lui ℂ în raport cu înmulțirea.
c) Determinați M, părțile finite ale lui ℂ, stabile în raport cu operația de înmulțire.
29. Fie n ∈ ℕ ∗ , U n = {z ∈ ℂ| z n = 1}.
a) Arătați că U n este parte stabilă a lui ℂ ∗ în raport cu înmulțirea numerelor complexe.
b) Reprezentați în planul complex U n pentru 1 ≤ n ≤ 10. c) Pentru ε 1 = cos 2π n + i sin 2π n ∈ U n, definim mulțimea ℤ[ε 1] = {a0 + a1 ⋅ ε 1 + a2 ⋅ · ε 1 2 + + a n 1 ⋅ ε 1 n 1 | ak ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ n 1}. Arătați că ℤ[ε 1] este parte stabilă a lui ℂ ∗ în raport cu operația de înmulțire.
30. a) Fie (M, ∗) un semigrup, m, n ∈ ℕ ∗ , a1, …, a n+m ∈ M. Atunci are loc egalitatea: a1 ∗ a2 ∗ … ∗ a n+m = (a1 ∗ a2 ∗ … ∗ a n) ∗ (a n+1 ∗ a n+2 ∗ … ∗ a n+m).
(Legea de asociativitate generalizată) b) Legea de asociativitate generalizată poate fi aplicată pentru un număr infinit de elemente ale unui semigrup?
31. a) Fie M = ( π 2 , π 2 ) și definim a ∗ b = arctg(tg a + tg b), ∀ a, b ∈ ( π 2 , π 2 ). Arătați că ∗ este asociativă. b) Pe ℝ definim operația algebrică a ∗ b = a ⋅ b + a + b. Arătați că ∗ este asoci ativă, apoi că G = ( 1, + ∞) este parte stabilă a lui ℝ în raport cu ∗.
32. Fie a, b, c ∈ ℤ, b ≠ 0. Se definește în ℤ operația algebrică x ∗ y = axy + b(x + y) + c. Arătați că ∗ este asociativă ⇔ b 2 b ac = 0
33. Fie (M, ∗) un grupoid ce admite e s, ed elemente neutre la stânga și la dreapta. Atunci e s = ed = e ∈ M este element neutru.
34. Demonstrați că, pentru n ∈ ℕ, n ≥ 2, (ℳ n (ℂ), ⋅) este monoid necomutativ.
35. Determinați elementele neutre (dacă există) din grupoizii: (ℕ, +); (ℕ ∗ , +); (ℤ, ⋅); (ℤ ∗ , ⋅); (ℤ, +); (ℂ, ⋅); (ℳ n (ℂ), +); (ℳ n (ℂ), ⋅).
36. Pe mulțimea ℚ a numerelor raționale este definită legea de compoziție internă x ∗ y = x + y + 3xy, ∀ x, y ∈ ℚ. Arătați că (ℚ, ∗) este un monoid comutativ.
37. Fie un monoid (M, ∗) cu e element neutru și H o parte stabilă a lui M în raport cu operația algebrică ∗ astfel încât dacă e ∈ H, atunci e este element neutru al lui H.
38. Fie H = {(a 5b b a )| a, b ∈ ℚ}. Arătați:
a) H este parte stabilă a lui ℳ2(ℚ) față de înmulțire. b) I2 ∈ H. c) I2 este element neutru al lui H.
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I 30 de puncte
5p 1. Considerăm progresia geometrică (a n) n≥1, de rație 2 astfel încât a1 + a3 = 15. Determinați a1. 5p 2. Rezolvați ecuația [3x] = 2, unde x ∈ ℝ. 5p 3. Demonstrați că funcția f : ℤ → ℤ, f(x) = 2x nu este surjectivă. 5p 4. Demonstrați egalitatea C5 3 C4 2 = 4. 5p 5. Considerăm vectorii → u = 2 → i + 3 → j și → v = → i + (m 1) → j. Determinați m ∈ ℝ astfel încât vectorii → u , → v să fie coliniari. 5p 6. Arătați că sin50° sin130° = cos2140°.
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1. Considerăm matricele A = ( 1 2 1 3), B = (1 1 0 1) și C = ( 6 1 1 4).
5p a) Demonstrați că rang(AB) = 2. 5p b) Demonstrați că 5AB = CA.
5p c) Calculați C n , unde n ∈ ℕ * .
2. Fie mulțimea G = {fa | fa : ℝ → ℝ, fa(x) = ax + a, a ≠ 0}. Definim fa * fb = fab , ∀ a, b ∈ ℝ *
5p a) Determinați valoarea lui k ∈ ℝ pentru care f2 * f 1 2 = fk .
5p b) Demonstrați că pentru orice funcție fa ∈ G, fa este funcție bijectivă.
5p c) Calculați inversa funcției fa ∈ G în raport cu legea „*”.
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1. Fie f : [ 0; ∞ ) → ℝ, f(x) = √ |x2 x|
5p a) Demonstrați că f '(x) = 2x 1 2 √ x 2 x , ∀ x > 1
5p b) Demonstrați că funcția f nu are derivată în x = 1.
5p c) Determinați punctele de extrem ale funcției f.
2. Fie f : ℝ → ℝ, f(x) = | x 2 1|
5p a) Demonstrați că ∫ 0
5p b) Calculați ∫ 0
2 f(x)dx = 2
2 x (f(x)) 5dx.
5p c) Demonstrați că nu există lim x→1 1 x 3 1 ∫ 0
x f(t) dt.
SUBIECTUL I 30 de puncte
5p 1. Determinați numerele reale, pentru care mulțimile A = {x ∈ ℝ| x 2 mx + 9 = 0} și B = {3} sunt egale.
5p 2. Rezolvați ecuația √ x + 2 = x
5p 3. Determinați elementele mulțimii A = {x ∈ ℤ| 2x x 2 + 1 ∈ ℤ}
5p 4. Fie mulțimea A = {0, 1, 2, …, 8, 9}. Alegem o submulțime a acestei mulțimi. Care este probabilitatea ca aceasta să aibă patru sau șase elemente?
5p 5. Dacă A(1; 2), B(–1; 3), C(2; –1), demonstrați că triunghiul ABC este obtuzunghic. 5p 6. Demonstrați că tg(arcsin 3 5 ) = 3 4 .
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1. Considerăm funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x 2 x 5 și x1, x2 soluțiile ecuației f(x) = 0. Fie A = (2 3 1 1 ) și f(A) = A2 – A –5I2
5p a) Demonstrați că f(A) = O2.
5p b) Arătați că x1, x2 sunt soluțiile ecuației det(xI2 – A) = 0.
5p c) Demonstrați că Tr( A3) = x1 3 + x2 3
2. Considerăm mulțimea G = {(a; b) ∈ ℤ × ℤ | a2 3 b2 = 1} și operația (a; b) ∗ (c; d) = (ac + 3bd; ad + bc)
5p a) Demonstrați că (7; 4) ∈ G.
5p b) Demonstrați că (a; b) ∗ (c; d) ∈ G, ∀ (a; b) , (c; d) ∈ G.
5p c) Arătați că mulțimea G are o infinitate de elemente.
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3 √ x 2 x
5p a) Demonstrați că 3 f 2(x)f′(x) = 2x 1, ∀ x ∈ ℝ∖{0; 1}.
5p b) Studiați derivabilitatea funcției f.
5p c) Determinați punctele de extrem local ale funcției f.
2. Considerăm funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ∫ –1
5p a) Demonstrați că f(1) = 0.
5p b) Calculați lim x→∞ f(x) x .
x t ln (4 + t2) dt.
5p c) Demonstrați inegalitatea f(x) ≥ x 2 2 ln 5 2 , ∀ x ∈ ℝ.
SUBIECTUL I 30 de puncte
5p 1. Determinați partea reală a numărului complex z = 1 2 i . 5p 2. Fie f : ℝ → ℝ, f(x) = x 3 x. Demonstrați că f nu este funcție injectivă. 5p 3. Rezolvați ecuația 4x + 3 · 2x = 4. 5p 4. Dacă x1 + x2 + ... + x10 ∈ {0; 1}, determinați numărul soluțiilor ecuației x1 + x2 + ⋯ + x10 = 2. 5p 5. Demonstrați egalitatea sin(2 arcsin 3 5 ) = 24 25 . 5p 6. Considerăm punctele A(1; 3) și B(–1; 1). Scrieți ecuația mediatoarei segmen tului [AB].
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1. Considerăm matricele A = ⎛ ⎜ ⎝
3 1 4 1
⎞ ⎟ ⎠ , B = (1 1 2 1) și C = A ⋅ B.
5p a) Demonstrați că Tr(C) = 9. 5p b) Demonstrați că C n = 9 n 1 ⋅ C, ∀ n ∈ ℕ* .
5p c) Demonstrați că I4 + C este inversabilă și ( I4 + C) 1 = I4 1 10 ⋅ C 2. Fie legea de compoziție x ∗ y = xy 5x 5y + 30, x, y ∈ ℝ Admitem că legea de compoziție „*” este asociativă.
5p a) Demonstrați că e = 6 este elementul neutru al legii de compoziție „*”. 5p b) Calculați 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ … ∗ 2022.
5p c) Rezolvați sistemul de ecuații ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
x * y = z z * x = y y * z = x , x, y, z ∈ ℝ
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x 2 x 4 + 6 .
5p a) Demonstrați că f '(x) = 6(1 x 4) (2 x 4 + 6) 2 , ∀ x ∈ ℝ
5p b) Determinați mulțimea valorilor funcției f.
5p c) Demonstrați că | f(x) f(y) | ≤ 1 4 |x y | , ∀ x, y ∈ ℝ
2. Considerăm I(n; j) = ∫ 0
1 (1 xj)n dx, n, j ∈ ℕ*
5p a) Demonstrați că I(1; 1) = 1 2
5p b) Utilizând, eventual, metoda integrării prin părți, demonstrați că: I(n; j) = nj 1 + nj I(n 1; j) , ∀ n, j ∈ ℕ* , n ≥ 2.
5p c) Demonstrați că I(n; n) = 1 1 + 1 n ⋅ 1 1 + 1 2n
⋅ … ⋅ 1 1 + 1 n 2 , ∀ ∈ ℕ* .
SUBIECTUL I 30 de puncte
5p 1. Dacă numărul complex z verifică condiția z 2 z + 2 = 0, demonstrați că z 2 + 4 z 2 = 3.
5p 2. Considerăm progresia aritmetică (a n) n��ℕ * care verifică condițiile a1 = 2 și a1 + a2 + + a10 = 110 Determinați valoarea elementului a2022 5p 3. Demonstrați că funcția f : ℝ∖{2} → ℝ∖{2}, f(x) = 2x 1 x 2 este bijectivă. 5p 4. Câte numere de forma abcd , care verifică condițiile b < a < d < c și 5|(abcd ), există?
5p 5. Fie punctele A( 1; 2), B(3; 4). Dacă punctul P(a, b) verifică egalitatea PA + PB = AB, demonstrați că a 2b + 5 = 0 5p 6. Rezolvați inecuația sin x ≥ √ 2 2 , unde x ∈ [0; 2π]
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte 1. Considerăm matricea A = ( 1 1 0 1 0 1 0 1 1) 5p a) Calculați matricea adjunctă a matricei A. 5p b) Dacă A * este matricea adjunctă a matricei A, demonstrați că (A + A *) 2022 = A 2022 + (A *) 2022 . 5p c) Dacă B = ( 0 2 1 2 1 0 1 0 2), calculați B 2022 2. Considerăm grupul (ℤ 6 , +). 5p a) Demonstrați că H = {0; 2; 4} este subgrup al grupului (ℤ 6 , +).
1. α = 0,(3); 10α = 3,(3) ⇒ 10α α = 3, de unde α = 3 9 = 1 3 ; β = 0,(23); 100β = 23.(23) ⇒ 100β β = 23, β = 23 99 . γ = 0, 12(35); 100γ = 12,(35), 10 000γ = 1235,(35) ⇒ ⇒ 10 000γ 100γ = 1235 12, γ = 1235 12 9900 2. 0,(142857). 3. b) 4. a) Falsă; b) ℚ. 5. Se explicitează modulul. 6. a = 3, b = 7, c = 1 + √ 2 √ 3 , d = √ 10 √ 2 1 7. c) { x x 2 , x < 0 x x 2 , x ≥ 0 . 8. a) x ∈ { 5, 11}; b) x ∈ ( 5, 11); c) x ∈ ( 6, 2); d) x ∈ ℝ\{1, 2}; e) ∅ 9. Am simplificat prin x y = 0, apoi am simplificat prin y, ce nu era presupus nenul.
10. a) 0 ≤ 0, 2 < 1 ⇒ [0, 2] = 0, {0, 2} = 0, 2; b) 3 ≤ π < 4 ⇒ [π] = 3, {π} = π 3; c) 4 ≤ π < 3 ⇒ [ π] = 4, { π} = π + 4; d) 1 ≤ √ 2 < 2 ⇒ [1 + √ 2 ] = 2, {1 + √ 2 } = √ 2 1; e) 0,(9) = 9 9 = 1 ⇒ [0,(9)] = 1, {0,(9)} = 0
11. a) 7 ≤ 5x 1 3 < 6 ⇔ x ∈ [ 4 3 , 17 15 ) b) Notăm [ x + 2 3 ] = x + 1 2 = k ∈ ℤ ⇔ x = 2k 1 , k ≤ x + 2 3 < k + 1. Vom obține echivalent: k ∈ { 1, 0, 1}, x = 2k 1, de unde x ∈ { 3, 1, 1} Valorile obținute verifică ecuația dată.
12. a) Notăm [x] = k și se consideră cazurile: k ≤ x < k + 1 2 , k + 1 2 ≤ x < k + 1. b) Se utilizează a).
14. a), b) Mai general, dacă n ∈ ℕ ∗, are loc echivalența √ n ∈ ℚ ⇔ n = k 2. Într-adevăr, dacă n = k 2, atunci √ n = | k |, deci este rațional. Dacă √ n ∈ ℚ, presupunem că n ≠ k 2, adică n ≥ 2 și n are în descompunerea în factori primi cel puțin un factor prim p la o putere impară 2t + 1. Din ipoteză, √ n = a b , a, b ∈ ℕ ∗ , (a, b) = 1, de unde prin ridicare la pătrat obținem a2 = nb2. Contradicția se obține prin identi ficarea exponenților lui p în această ultimă egalitate (de parități diferite) și utiliza rea unicității descompunerii numerelor naturale în factori primi (T.F.A.).
c) Presupunem că √ 2 + √ 3 = a ∈ ℚ, atunci a 2 = 5 + 2 √ 6 sau √ 6 = a 2 5 2 . Conform rezultatului precedent, cum 6 ≠ k 2, rezultă √ 6 ∉ ℚ, iar a 2 5 2 ∈ ℚ
d) Presupunem că √ 2 + √ 3 + √ 5 = x ∈ ℚ sau echivalent √ 3 + √ 5 = x √ 2 . Prin ri dicare la pătrat obținem: √ 30 = x 4 20 x 2 24 8x , contradicție. (Membrul stâng este irațional, iar cel drept este rațional.)
15. a) Metoda 1. Ultima cifră a lui A este 5 deci A ⁝ 5. Metoda 2. 1121 + 1421 = (11 + 14)(1120 1119 ⋅ 14 + 1118 ⋅ 142 11 ⋅ 1419 + 1420), deci A ⁝ 5. Metoda 3. 11 ≡ 1(mod5), deci 1121 ≡ (mod5), apoi 14 ≡ –1(mod5), deci 1421 ≡ –1(mod5), de unde A ≡ 0(mod5) sau A ⁝ 5. b) A este număr impar, deci A nu se divide prin 2, așadar nici prin 10.
16. Utilizăm triunghiul lui Pascal și obținem coeficienții binomiali. Vom deduce: a) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2b + 3ab 2 + b 3; (a + b) 4 = a 4 + 4 a 3b + 6 a 2b 2 + 4ab 3 + b 4 . (a + b) 5 = a 5 + 5 a 4b + 10 a 3b 2 + 10 a 2b 3 + 5ab 4 + b 5 b) (2x + 1) 3 = (2x) 3 + 3 ⋅ (2x) 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (2x) ⋅ 1 2 + 1 3 = 8 x 3 + 12 x 2 + 6x + 1. (3x + 2) 4 = (3x) 4 + 4 (3x) 3 2 + 6 (3x) 2 2 2 + 4 (3x) 2 3 + 2 4 = = 81 x 4 + 216 x 3 + 216 x 2 + 96x + 16 (2x + 3) 5 = (2x) 5 + 5 ⋅ (2x) 4 ⋅ 3 + 10 ⋅ (2x) 3 ⋅ 3 2 + 10 ⋅ (2x) 2 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ (2x) ⋅ 3 4 + 3 5 = = 32 x 5 + 240 x 4 + 720 x 3 + 1080 x 2 + 810x + 243. c) (a b) 3 = a 3 3 a 2b + 3ab 2 b 3; (a b) 4 = a 4 4 a 3b + 6 a 2b 2 4ab 3 + b 4 . (a b) 5 = a 5 5 a 4 b + 10 a 3 b 10 a 2 b 3 + 5ab 4 b 5 d) (2x 1) 3 = (2x) 3 3 ⋅ (2x) 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (2x) ⋅ 1 2 1 3 = 8 x 3 12 x 2 + 6x 1. (3x 2) 4 = (3x) 4 4 (3x) 3 2 + 6 (3x) 2 2 2 4 (3x) 2 3 + 2 4 = = 81 x 4 216 x 3 + 216 x 2 96x + 16 (2x 3) 5 = (2x) 5 5 ⋅ (2x) 4 ⋅ 3 + 10 ⋅ (2x) 3 ⋅ 3 2 10 ⋅ (2x) 2 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ (2x) ⋅ 3 4 3 5 = 32 x 5 240 x 4 + 720 x 3 1080 x 2 + 810x 243. 17. S0(n) = 1 0 + 2 0 + ... + n 0 = 1 + 1 + ... + 1 de n ori
= n; S1(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n. Vom rescrie S1(n) = n + (n 1) + (n 2) + + 3 + 2 + 1, apoi prin adunare vom obține: 2 ⋅ S1(n) = n(n + 1), de unde rezultă: S1(n) = n(n + 1) 2 . Încercarea de a aplica aceeași metodă pentru calculul sumei S2(n) eșuează. Vom aborda calculul sumei S2(n) prin următoarea metodă. Plecăm de la dezvoltarea binomului (k + 1)3 = k3 + 3k2 + 3k + 1 sau echivalent: (k + 1)3 – k3 = 3k2 + 3k + 1. În această identitate, dând lui k valori de la 1 la n și însumând obținem S2(n) = n(n + 1)(2n + 1) 6
Pentru calculul lui S3(n), vom aplica aceeași metodă pe care am utilizat-o în calculul lui S2(n). Plecând de la dezvoltarea (k + 1)4, vom deduce identitatea: (k + 1)4 – k4 = 4k3 + 6k2 + 4k + 1. În această identitate, dând lui k valori de la 1 la n și însumând, obținem: S3(n) = n 2 (n + 1) 2 4 . 18. a) 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = ∑ k 1
n (2k 1) = 2 ∑ k 1
n k ∑ k 1
n k 0 = 2 S1(n) S0(n) = = n(n + 1) n = n 2; b) S = ∑ k 1
n k(4 k 2 1) = 8 S3(n) 2 S1(n) = = n(n + 1)(2 n 2 + 2n 1); c) S = ∑ k=1
n (2k 1) 2k(2k + 1) = 2 ∑ k 1
n 1 (3k 2)(3k + 1) = 1 3 ∑ k=1
n ( 1 3k 2 1 3k + 1 ) = 1 3 (1 1 3n + 1 ) = n 3n + 1 .
Descompunerea fracției 1 (3k 2)(3k + 1) în fracții „simple“ se realizează prin me toda coeficienților nedeterminați astfel: determinăm constantele A, B ∈ ℝ pentru care avem: 1 (3k 2)(3k + 1) = A 3k 2 + B 3k + 1 . Prin aducere la același numitor și prin identificarea coeficienților, obținem: 1 = 3(A + B)k + (A – 2B), de unde
{ A 2B = 1 A + B = 0 ⇔ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ A = 1 3 B = 1 3 , deci 1 (3k 2)(3k + 1) = 1 3 ( 1 3k 2 1 3k + 1 ).
Evident, se poate determina direct coeficientul parantezei ( 1 3k 2 1 3k + 1 ) ca fiind egal cu 1 3 , prin aducere la același numitor și identificare cu fracția dată. Metoda este mai rapidă.
19. Prin înmulțire cu 1 – a, vom obține: (1 a) ⋅ P = 1 a 2 n+1, de unde P = a 2 n+1 1 a 1 . 20. a) P = ∏ k=1
n (1 1 k + 1 )(1 + 1 k + 1 ) = ∏ k=1
n k k + 1 ⋅ ∏ k=1
n k + 2 k + 1 = = ( 1 2 ⋅ 2 3 ⋅ ... ⋅ n n + 1 )( 3 2 ⋅ 4 3 ⋅ ... ⋅ n + 2 n + 1 ) = n + 2 2(n + 1) b) P = ∏ k=2
n k 1 k + 1 ⋅ ∏ k=2
n k 2 + k + 1 k 2 k + 1 = ( 1 3 ⋅ 2 4 ⋅ 3 5 ⋅ ⋅ n 3 n 1 ⋅ n 2 n ⋅ n 1 n + 1 )⋅ ⋅ ( 7 3 ⋅ 13 7 ⋅ ... ⋅ n 2 + n + 1 n 2 n + 1 ) = 2 3 ⋅ n 2 + n + 1 n(n + 1) . 21. a) Metoda 1 (x + y + z) 2 = (x + y + z)(x + y + z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx Metoda 2. x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx = x 2 + 2x(y + z) + (y + z) 2 = (x + y + z) 2 . b) Metoda 1. Se dezvoltă membrul drept și se adună termenii asemenea. Metoda 2 x 3 + y 3 + z 3 3xyz = (x 3 xyz) + (y 3 xyz) + (z 3 xyz) =
= x(x 2 yz) + y(y 2 zx) + z(z 2 xy) = (x + y + z)(x 2 yz) (y + z)(x 2 yz) + (x + y + z)(y 2 zx) (x + z)(y 2 zx) + + (x + y + z)(z 2 xy) (x + y)(z 2 xy) = (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 xy yz zx)
22. Plecând de la dezvoltarea (k + 1)5, vom deduce identitatea: (k + 1)5 – k5 = 5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k + 1. În această identitate, dând lui k valori de la 1 la n și însumând, obținem: S4(n) = n(n + 1)(2n + 1)(3 n 2 + 3n 1) 30 .
23. a) S = 1 8 ⋅ ∑ k=1
n (2k + 1) 2 (2k 1) 2 (2k 1) 2 (2k + 1) 2 = n(n + 1) 2 ⋅ (2n + 1) 2 ; b) S = 1 4 ⋅ ∑ k=1
n 4 k 2 1 + 1 (2k 1)(2k + 1) = 1 4 (n + ∑ k=1
n 1 (2k 1)(2k + 1) ) = n 4 + n 4(2n + 1) .
24. ab + bc + ca = 1 2 [(a + b + c) 2 (a 2 + b 2 + c 2)] ∈ ℚ și aplicăm formula a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca)
25. a) a 3 + b 3 + c 3 3abc = 1 2 (a + b + c)[(a b) 2 + (b c) 2 + (c a) 2] ≥ 0 b) În a) notăm a = 3 √ x , b = 3 √ y , c = 3 √ z .
26. a) Cel puțin unul dintre a, b, c este par și utilizăm a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca). b) 3 012345678 011011011 t t . Pe prima linie am scris resturile posibile la împărțirea cu 9, pe a doua linie numerele congruente cu t3 modulo 9. Deducem că numerele care nu sunt multipli de 3 sunt de forma 9k ± 1, deci suma lor nu este multiplu de 9.
27. Reducere la absurd. Presupunem m are un divizor impar adică m = (2s + 1) · l, s ≥ 1, l ≥ 1, atunci 2 m + 1 = (2 l) 2s+1 + 1 = (2 l + 1)((2 l) 2s (2 l) 2s 1 + 1)⋮ (2 l + 1), deci nu este prim, contradicție.
28. a) F; b) A; c) A; d) A; e) F deoarece (37 · 47 = 1739); f) F; 10α = 1,(1); 9α = 1 ⇒ α = 1 9 ∈ ℚ 29. a) „există probleme propuse la extemporal care nu au fost dificile.” b) „Oricare elev al clasei a IX-a B nu iubește muzica rock.” 30. „∃ x, y ∈ ℝ, y > 0, ∀ n ∈ ℕ ∗ x ≥ n y ”
Remarcă
Pentru x ≤ 0 afirmația este evidentă, luând n = 1. Pentru x > 0, afirmația devine interesantă.
Arhimede (287–212 î.Hr.), unul din cei trei mari matematicieni ai ,,secolului de aur” ai matematicii grecești, a enunțat afirmația geometric. Putem spune că „un ocean poate fi golit cu lingurița”, dacă x > 0 este cantitatea de apă din ocean și y este cantitatea de apă din linguriță.
31. Cum p este adevărată și q este falsă, deducem: a) 0; b) 0; c) 1; d) 0. 33. ( ) 0001 0111 1011 1111
pqpqppq ∨→∨ ( ) 00100 01110 10000 11000
pqppqppq ¬¬∧∧¬∧ Prima propoziție este o tautologie, a doua este o contradicție. 34. a) 00111 01111 10000 11011
pqppqpq ¬¬∨→ b) Prin aplicarea unei relații a lui De Morgan, avem ( ) pqpq ¬¬∨⇔∧¬ 35. Falsă, deoarece (∀ y)(∃ x)p(x, y) este adevărată, (∃ x)(∀ y)p(x, y) este falsă.
36. a) Dacă x = u și y = v, atunci (x, y) = (u, v). Dacă (x, y) = (u, v), atunci din studiul celor patru posibilități ca {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}} deducem x = u și y = v; e) m · n.
37. a) A × B este suprafața dreptunghiulară OMNP, unde O(0, 0), M(1, 0), N(1, 2) P(0, 2).
A × A este suprafața pătrată OMTS, unde T(1, 1), S(0, 1).
B × A este suprafața dreptunghiulară OQRS, unde Q(2, 0), R(2, 1).
B × B este suprafața pătrată OQLP, unde L(2, 2).
A × C este reuniunea a două segmente închise [OM] ∪ [ST].
C × A este reuniunea segmentelor închise, verticale [OS] ∪ [MT].
C × C = {(0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0)} etc.
b) A × A × A este cubul de muchie 1 situat în primul octant cu O unul dintre vârfuri; A × A × B este un paralelipiped dreptunghic etc.
38. a) P(A) = {∅, {1}}, P(B) = {∅,{1}, {2}, {1, 2}}.
b) i) n2; ii) 2n; Asociem fiecărei submulțimi B ⊆ {a1, …, an} o secvență ordonată de lungime n formată cu 0 și 1 astfel: dacă a1 ∈ B scriem 1, în caz contrar scriem 0, analog pentru celelalte n – 1 elemente. Această asociere este o bijecție (cores pondență unu la unu) între P(A) și n-uplurile ordonate formate cu 0 sau 1. iii) Fie B ⊆ A, C ⊆ A, B × C ⊆ A × A; iv) 2 sau 4 , deoarece pentru n ≥ 5, 2n > n2; d) P(A) = {A, {3}, {{1, 4}}, ∅}, deci |P(A)| = 4 = 2 2
39. a), b) Se demonstrează prin dublă incluziune. c) (A ∪ B) × (C ∪ D) = A × (C ∪ D) ∪ B × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (A × D) ∪ (B × C) ∪ ∪ (B × D).
SUBIECTUL I 30 de puncte 1. Avem a1 + a1 q 2 = 5 ⇔ 5 a1 = 5 ⇔ a1 = 1. 2. [3x ] = 2 ⇔ 3x ∈ [2; 3) ⇔ x ∈ [ 2 3 ; 1) 3. ∃ y = 1 ∈ ℤ astfel încât ∀ x ∈ ℤ, f(x) ≠ 1 ⇔ x ≠ 1 2 , ceea ce este adevărat pentru oricare număr întreg, deci funcția dată nu este surjectivă (sau ecuația f(x) = 1 nu are soluții întregi). 4. C5 2 C4 2 = 5 ! 2 ! ⋅ 3 ! 4 ! 2 ! ⋅ 2 ! = 4 ⋅ 5 2 3 ⋅ 4 2 = 4. 5. → u , → v sunt coliniari dacă și numai dacă 1 2 = m 1 3 , de unde obținem m = 1 2 . 6. sin 50° sin 130° = cos 80° cos 180° 2 = 1 + cos 80° 2 = cos 2 40° = ( cos (180° 40° )) 2 = = cos 2 140°.
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1. a) det (AB) = det (A) det (B) = 5 ≠ 0 ⇒ rang(AB) = 2 b) 5AB = 5 ⋅ ( 1 2 1 3) ⋅ ( 1 1 0 1) = 5 ⋅ ( 1 3 1 2). C ⋅ A = ( 6 1 1 4) ⋅ ( 1 2 1 3) = ( 5 15 5 10) = 5AB. c) CA = 5AB ⇒ C = 5 ⋅ ABA 1 ⇒ Cn = 5n ⋅ (ABA 1) n = 5 n(ABA 1) ⋅ (ABA 1) ⋅ ⋅ (ABA 1) = = 5 n A B n A 1 Avem B n = ( 1 n 0 1) (demonstrăm prin inducție) și A 1 = 1 5 ⋅ ( 3 2 1 1 ) Obținem că C n = 5 n ( 1 2 1 3) ( 1 n 0 1) 1 5 ( 3 2 1 1 ) = 5 n 1 ( n + 5 n n n + 5)
2. a) f2 ∗ f 1 2 = f1 = fa ⇒ a = 1.
b) Fie y ∈ ℝ; atunci fa (x) = y ⇒ x = y a 2 ∈ ℝ este soluție unică, deci f este funcție bijectivă. c) Arătăm că ∃ fe ∈ G astfel încât fa ∗ fe = fe ∗ fa = fa, ∀ fa ∈ G ⇔ fae = fea = fa, ∀ a ∈ ℝ * . Obținem că e = 1 ∈ ℝ* , deci fe = f1 ∈ G, f1 este elementul neutru al legii „*”. Determinăm fa' ∈ G astfel încât fa ∗ fa' = fa' ∗ fa = f1 ⇔ faa' = fa'a = f1. Obținem că a' = 1 a ∈ ℝ* , deci fa' = f 1 a ∈ G
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1. a) Pentru x > 1, avem f(x) = √ x 2 x , iar f '(x) 1 2 √ x 2 x ⋅ (2x 1) = 2x 1 2 √ x 2 x .
2.
b) fd' (1) = lim x↘1 f(x) f(1) x 1 = lim x↘1
√ x 2 x x 1 = lim x↘1 √ x(x 1) (x 1) 2 = ∞.
√ x x 2 x 1 lim x↗1 √ x(x 1) (1 x) 2 = ∞. Rezultă că nu există derivata lui f în x = 1.
fs' (1) = lim x↗1 f(x) f(1) x 1 = lim x↗1
c) Avem f '(x) = 1 2x 2 √ x x 2 , ∀ x ∈ (0; 1). Egalăm derivata cu zero, obținem x = 1 2 . Din tabelul de variație al funcției f rezultă că f este strict crescătoare pe [0; 1 2 ], strict descrescătoare pe [ 1 2 ; 1]și strict crescătoare pe [1; ∞) . Obținem că x = 0 este punct de minim local, x = 1 2 este punct de maxim local, x = 1 este punct de minim local. (Nu ne-am propus puncte de extrem global.)
a) ∫ 0
2 |x 2 1|dx = ∫ 0
1 (1 x 2)dx + ∫ 1
2 (x 2 1)dx = 1 1 3 + 7 3 1 = 2.
b) ∫ 0
2 x (|x 2 1|) 5 dx t = x 2 1 dt = 2xdx ∫–1
3 |t| 5 dt 2 = 1 2 ( ∫ –1
0 t 5 dt + ∫ 0
3 t 5 dt ) = 1 2 ( 1 6 + 3 6 6 )= 3 6 + 1 12 c) lim x↗1 1 x 3 1 ∫ 0
x f(t)dt = lim x↗1 1 x 3 1 ∫ 0
x (1 t 2)dt = lim x↗1
x x 3 3 x 3 1 = ∞, iar lim x↘1 1 x 3 1 ∫ 0
x f(t)dt = lim x↘1 1 x 3 1 (∫ 0
1 (1 t 2)dt + ∫ 1
x (t 2 1)dt) = = lim x↘1 1 x 3 1 ( 2 3 + x 3 3 x + 2 3 ) = ∞ De aici rezultă că nu există lim x→1 1 x 3 1 ∫ 0
x f(t)dt
2. a) 7 2 3 ⋅ 4 2 = 1 ⇒ (7; 4) ∈ G. b) (ac + 3bd) 2 3 (ad + bc) 2 = 1 ⇒ (a; b) ∗ (c; d) ∈ G. c) (7; 4) ∗ (7; 4) ∗ ⋯ ∗ (7; 4) ∈ G, rezultă că G este infinită. (Aceste elemente sunt dis tincte două câte două.)
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1. a) f 3(x) = x 2 x ⇒ 3 f 2(x) f '(x) = 2x 1. b) Funcția f nu este derivabilă în x = 0 și nici în x = 1. c) x = 1 2
2. a) g(t) = tIn(4 + t2), funcția este impară. Rezultă că ∫ –1
1 g(t) dt = 0 b) ∞. c) h(x) = f(x) x 2 2 + ln5 2 . Avem h'(x) = xln(4 + x 2) x, h(x) = 0 ⇒ x = 0. Rezultă h(x) ≥ h(0) , ∀ x ∈ ℝ Deoarece h(0) ≥ 0, rezultă inegalitatea căutată.
SUBIECTUL I 30 de puncte
1. z = 1 2 i = 2 + i 4 + 1 = 2 5 + 1 5 i ⇒ Re(z)= 2 5 .
2. Avem f(0) = f(1) = 0, rezultă că f nu este funcție injectivă.
3. Notăm t = 2x . Ecuația devine t 2 + 3t 4 = 0, Δ = 25, t1,2 = 3 ± 5 2 , t1 = 4, t2 = 1. Avem 2x = –4 care nu are soluții, respectiv 2x = 1, cu soluția x = 0. Deci, x = 0 este unica soluție a ecuației.
4. Deoarece x1 , x2 , , x10 ∈ {0; 1}, iar suma lor este 2, atunci două dintre ele vor fi egale cu 1 și celelalte vor fi 0. De aici rezultă că numărul soluțiilor ecuației este C10 2 = 45
5. sin(2arcsin 3 5 ) = 2sin(arcsin 3 5 )cos(arcsin 3 5 ) = 2 ⋅ 3 5 ⋅ √ 1 ( 3 5 ) 2 = 2 ⋅ 3 5 ⋅ 4 5 = 24 25 . 6. Fie M mijlocul segmentului [AB], atunci M(0; 2). Panta dreptei AB este mAB = yB yA xB xA = = 2 2 = 1. Fie d mediatoarea segmentului [AB], atunci d ⊥ AB ⇔ md ⋅ mAB = 1. Obținem md = –1, iar ecuația dreptei d este: y yM = md (x xM) ⇔ y 2 = x ⇔ x + y 2 = 0. SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte 1. a) C = ⎛ ⎜ ⎝
3 1 4 1
⎞ ⎟ ⎠ (1 1 2 1) =
b) C2 = (AB) · (AB) = A · (BA)B, dar B ⋅ A = (1 1 2 1) ⎛ ⎜ ⎝
3 1 4 1
⎞ ⎟ ⎠ = (9) ,
deci C2 = 9AB = 9C. Presupunem Ck = 9k – 1C și demonstrăm că Ck + 1 = 9kC. Ck + 1 = Ck · C = 9k – 1C · C = 9k – 1· 9C = 9kC. Deci, C n = 9 n 1 C, ∀ n ∈ ℕ* .
c) Avem ( I4 + C)(I4 1 10 C) = I4 1 10 C + C 1 10 C 2 = I4 1 10 C + C 9 10 C = I4 . Analog, (I4 1 10 C)( I4 + C) = I4 (nu este necesar). Din cele de mai sus, deducem că I4 + C este inversabilă și ( I4 + C) 1 = I4 1 10 C
2. a) x ∗ e = 6x 5x 30 + 30 = x și e ∗ x = 6x 30 5x + 30 = x, ∀ x ∈ ℝ, de unde rezultă că e = 6 ∈ ℝ este elementul neutru al legii de compoziție date. b) Avem 5 ∗ y = 5y 25 * 5y + 30 = 5 și y ∗ 5 = 5, ∀ y ∈ ℝ, de unde deducem că: (1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4) ∗ 5 * (6 ∗ ... ∗ 2022) ) = (1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4) ∗ 5 = 5. c) Deoarece x ∗ y = (x 5) (y 5) + 5, ∀ x, y ∈ ℝ, sistemul devine: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ (x ) (y 5) = z 5 (y 5) (z 5) = x 5 (z 5) (x 5) = y 5 , sau, notând x 5 = a, y 5 = b, z 5 = c, {ab = c bc = a ca = b , de unde obținem (abc)2 = abc.
Dacă a = 0, atunci bc = 0, de unde b = 0 sau c = 0. Dacă b = 0, atunci c = 0. Dacă c = 0, atunci b = 0. Obținem în acest caz că a = b = c = 0, adică x = y = z = 5 este soluție.
Dacă a ≠ 0, atunci bc ≠ 0, deci abc = 1, de unde ab = 1 c . Atunci c 2 = 1 ⇒ c = ± 1 Analog, a = ± 1 și b = ± 1
Dacă a = b = –1, c = 1, atunci x = y = 4, z = 6. Dacă a = c = –1, b = 1, atunci x = z = 4, y = 6. Dacă b = c = –1, a = 1, atunci y = z = 4, x = 6. Dacă a = b = c = 1, atunci x = y = z = 6. Soluțiile sistemului sunt (5; 5; 5), (4; 4; 6), (4; 6; 4), (6; 4; 4), (6; 6; 6).
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte 1. a) f '(x) = 2 x 4 + 6 x ⋅ 8 x 3 (2 x 4 + 6) 2 = 6 6 x 4 (2 x 4 + 6) 2 , ∀ x ∈ ℝ b) f '(x) = 0 ⇔ x = ± 1 sunt punctele critice ale funcției f. x –∞ –1 f' 0 + + + + + + + + 0– 0 f 0 –1 8 1 8 0
Din tabelul de variație, rezultă că Im (f) = [ 1 8 ; 1 8 ]
c) Pentru x = y, inegalitatea este evidentă. Pentru x ≠ 0, fie x < y Funcția este derivabilă pe [x, y], deci există c ∈ (x, y) astfel încât f(y) f(x) y x = f '(c) ⇒ |f(y) f(x) | = |f '(c) | |y x | Dar | f '(x) | = | 6 6 x 4 (2 x 4 + 6) 2 | ≤ 6 6 x 4 (2 x 4 + 6) 2 = 6 + 6 x 4 4 x 8 + 24 x 4 + 36 < 6 + 6 x 4 24 x 4 + 24 = 1 4 ⇒ ⇒ | f(x) f(y) | ≤ 1 4 ⋅ |x + y | .
2. a) I(1; 1) = ∫ 0
1 = 1 1 2 = 1 2 b) I(n; j) = ∫ 0
1 (1 x)dx = x| 0 1 x 2 2 | 0
1 (1 x j) n dx = ∫ 0
1 x′ (1 x j) n dx = = x (1 x j) n| 0 1 ∫ 0
1 x j (1 x j) n 1 dx = = nj ∫ 0
1 x ⋅ n (1 x j) n 1( j x j 1)dx = nj ∫ 0
1 (1 x j 1) (1 x j) n 1 dx = nj(∫ 0
1 (1 x j) n dx ∫ 0
1 (1 x j) n 1 dx ) = = nj I(n; j) + nj I(n 1; j) ⇒ (nj + 1) I(n; j) = nj I(n 1; j) ⇒ ⇒ I(n; j) = nj nj + 1 ⋅ I(n 1; j).
c) Avem I(k; n) = nk 1 + nk I(k 1; n), ∀ k ∈ 2, n Atunci ∏ k 2
n nk 1 + nk I(k 1; n) Dar I(k; n) ≠ 0, ∀ n ≥ 2, ∀ k ∈ ℕ* (deoarece I(k; n) > 0) și prin simplificare în cele două produse, obținem: I(n; n) = n 2 1 + n 2 ⋅ n(n 1) 1 + n(n 1) ⋅ … ⋅ 2n 1 + 2n ⋅ I(1; n), unde I(1; n) = ∫ 0
1 (1 x n)dx = 1 1 n + 1 = n n + 1 Atunci I(n; n) = 1 1 + 1 n + 1 1 + 1 2n + ⋯ + 1 1 + 1 n 2
4
.
n I(k; n) = ∏ k 2