Tehnoredactare: Banu Gheorghe, Codruț Radu Prepress: A.B.C. POINT DESIGN S.R.L
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României IACOVIŢĂ, GHEORGHE
Matematică: culegere de exerciţii, rezolvări: clasa 8/ Gheorghe Iacoviţă. București: Litera, 2024 ISBN 978 630 342 304 3 51
Cuvânt-înainte
Lucrarea de față, adresată elevilor de clasa a VIII-a, este a patra dintr-o serie de culegeri pentru gimnaziu, cu titlul Vreau să știu
Auxiliarul este realizat în conformitate cu Programa școlară în vigoare și poate fi folosit în completarea oricărui manual școlar de Matematică clasa a VIII-a, oferind o metodă excelentă de aprofundare și evaluare.
Prima parte a auxiliarului cuprinde cinci teste de evaluare inițială, concepute și structurate după modelele publicate de Ministerul Educației.
Fiecare capitol prezintă exerciții și probleme rezolvate și explicate, care sprijină elevii în clarificarea noțiunilor teoretice predate la clasă și au ca scop înțelegerea raționamentului matematic. Sunt propuse, de asemenea, exerciții care necesită cunoștințe extinse care, de obicei, se predau în cadrul orelor de pregătire opțională sau chiar la clasă, acolo unde colectivele de elevi sunt mai receptive.
Din dorința de a ușura atât munca profesorului, cât și a elevului, sunt concepute fișe de lucru, construite gradual, care pot fi folosite în timpul orei, dar și pentru teme individuale. În funcție de complexitatea lecțiilor, numărul fișelor variază și permit revizuirea și aprofundarea cunoștințelor
Fiecare capitol al cărții se încheie cu câte trei teste sumative, structurate după modelul celor date la examenele de Evaluare Națională la clasa a VIII-a. Acestea sunt însoțite de bareme de evaluare și notare. Ultimul capitol al cărții cuprinde cinci teste finale anuale.
Auxiliarul constituie un excelent instrument în pregătirea elevilor, pentru obținerea de bune rezultate la evaluările și examenele ulterioare.
Mult succes!
Cuprins
Cuvânt-înainte 3
TESTE INIȚIALE
I . INTERVALE DE NUMERE REALE . INECUAȚII ÎN ℝ . . 12
I .1 . Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor
Exerciții rezolvate .
Fișă de lucru
I .2 . Intervale numerice și reprezentarea lor pe axa numerelor; operații cu intervale
13
Exerciții rezolvate 14
Fișa de lucru 1 15
Fișa de lucru 2
Fișa de lucru 3
16
I .3 . Inecuații de forma ax + b ≥ 0 , (≤, <, >) , unde a, b ∈ ℝ
Exerciții rezolvate
Fișă de lucru
TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ
19
II 1 Operații cu numere reale reprezentate prin litere; reducerea termenilor asemenea
Exerciții rezolvate
Fișa de lucru 1
Fișa de lucru 2
Fișa de lucru 3 31
II .2 . Formule de calcul prescurtat
Exerciții rezolvate
Fișa de lucru 1
Fișa de lucru 2
Fișa de lucru 3
II .3 . Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în ℝ
Exerciții rezolvate
Fișa de lucru 1
Fișa de lucru 2
Fișa de lucru 3
Fișa de lucru 4
II 4 Fracții algebrice; operații Exerciții
II 5 Ecuații de forma ax2 + bx + c = 0, unde a, b, c ∈ ℝ
Exerciții rezolvate
Fișa de lucru 1
de lucru
TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ
III . FUNCȚII .
III .1 . Funcții definite pe mulțimi finite; graficul unei funcții; reprezentarea geometrică a graficului unor funcții numerice
Exerciții rezolvate
Fișă de lucru
III .2 . Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale și D este o mulțime finită de numere reale sau un interval nedegenerat
Exerciții rezolvate
III .3 . Elemente de statistică: indicatorii tendinței centrale (frecvență, medie, mediană, mod și amplitudine a unui set de date)
Exerciții rezolvate
IV ELEMENTE ALE GEOMETRIEI ÎN SPAȚIU 84
IV 1 Puncte, drepte, plane; determinarea dreptei și determinarea planului
Probleme rezolvate .
84
Fișă de lucru 85
IV 2 Corpuri geometrice: reprezentare, elemente caracteristice, desfășurări
Probleme rezolvate
Fișa de lucru 1 . . .
Fișa de lucru 2 .
87
89
90
Fișa de lucru 3 91
IV 3 Paralelism: drepte paralele, unghiul a două drepte, dreaptă paralelă cu un plan, plane paralele
Probleme rezolvate .
Fișa de lucru 1
Fișa de lucru 2
92
93
94
Fișa de lucru 3 95
IV .4 . Perpendicularitate: drepte perpendiculare, dreaptă perpendiculară pe un plan; plane perpendiculare
Probleme rezolvate .
. . 96
Fișa de lucru 1 98
Fișa de lucru 2
100
IV .5 . Proiecții de puncte, de segmente și de drepte pe un plan; unghiul dintre o dreaptă și un plan; unghi diedru; unghiul a două plane
Probleme rezolvate 102
Fișa de lucru 1
Fișa de lucru 2
IV .6 . Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanței de la un punct la o dreaptă; calculul distanței de la un punct la un plan; calculul distanței dintre două plane paralele
V .2 . Aria și volumul piramidei regulate (triunghiulare, patrulatere, hexagonale)
Probleme rezolvate
Fișa de lucru 1
Fișa de lucru 2 .
Fișa de lucru 3 .
Fișa de lucru 4
Fișa de lucru 5
V .3 . Aria și volumul trunchiului de piramidă regulată (triunghiulară, patrulateră, hexagonală)
132
134
104
106
Probleme rezolvate 109
Fișă de lucru
TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ
111
113
V . ARII ȘI VOLUME ALE UNOR CORPURI GEOMETRICE .119
V .4 . Aria și volumul cilindrului circular drept, conului circular drept și trunchiului de con circular drept
Probleme rezolvate
de lucru 1
Fișa de lucru 2
de lucru 3
Fișa de lucru 4
V .5 . Aria și volumul sferei
Probleme rezolvate
de lucru
TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ
TESTE FINALE ANUALE
RĂSPUNSURI
TESTE INIȚIALE
• Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din fiecare test se acordă 90 de puncte . Din oficiu se acordă 10 puncte .
• Toate subiectele sunt obligatorii . Timpul de lucru efectiv este de 50 de minute .
TESTUL 1
I Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect . (45p)
5p 1 . Rezultatul calculului
2
5p 2 . Fie mulțimea A 3241 3 9 16 13 ;; ;; ;, () . Card () A ∩ este egal cu:
6
4
2
5p 3 . Calculând 48271083 1 , se obține rezultatul:
3
6 C. 3
5p 4 . Numărul 2 este soluție a ecuației 3x – 2a = 2, dacă a este egal cu:
1
2
3
5p 5 . Dacă 12% dintr-un număr este egal cu 9, atunci acel număr este egal cu:
3
1
4
A. 1,08 B. 10,8 C. 75 D. 108
5p 6 . Perimetrul unui triunghi echilateral cu înălțimea de 43 cm este egal cu: A. 24 cm
28 cm
32 cm
5p 7 . Aria unui trapez isoscel ortodiagonal cu bazele de 8 cm și 4 cm este egală cu: A. 12 cm2
18 cm2
24 cm2
48 cm
36 cm2
5p 8 . Fie triunghiul ABC cu perimetrul egal cu 48 cm. Pe laturile AB și AC se iau punctele M și N astfel încât MN || BC, MN = 15 cm. Dacă perimetrul triunghiului AMN este egal cu 36 cm, atunci lungimea laturii BC este egală cu:
A. 12 cm B. 16 cm C. 18 cm
20 cm
5p 9 . În triunghiul ABC, dreptunghic în A, se știe că B = 60°, iar AB = 6 cm. Lungimea înălțimii din vârful A pe ipotenuza BC este egală cu:
A. 33 cm
B. 23 cm C. 3 cm D. 2 cm
II La următoarele probleme se cer rezolvări complete . (45p)
9p 1 . Calculați media aritmetică a numerelor a 23 2 și b 5 3 22 3 3 33 ,( ).
9p 2 . Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația: 23
xx
9p 3 . Aflați numerele raționale pozitive a și b știind că: 2418 63 23 2 ab ab
4 . În trapezul isoscel ABCD, AB || CD, AB > CD, BD AD, iar cos(A) = 0,6. Știind că diagonala AC are lungimea egală cu 20 cm, aflați:
6p a) aria trapezului ABCD; 6p b) distanța de la punctul C la diagonala BD; 6p c) cât la sută din aria triunghiului ABD reprezintă aria triunghiului BCD
TESTUL 2
I Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect . (45p)
5p 2 . Dacă ecuațiile (3 – a) · x + 5 = x – a și 2x
2024
= 3 · (x – 2) sunt echivalente, atunci numărul rațional a este egal cu:
5p 3 . Fie mulțimea M 2 9 25 09 314 32 4 8 2 3 4 2 ;; ;; ,; ;; () . Probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulțimea M, acesta să fie un număr natural este egală cu:
A. 37,5%
B. 50% C. 62,5%
5p 4 . Pentru ecuația 3x – 2y = 8, soluție este perechea de numere:
A. (2, –1)
B. (1, –2) C. (1, 2)
5p 5 . După ce s-a scumpit cu 16%, un obiect costă 87 lei. Prețul inițial este:
A. 103 lei
B. 91 lei
C. 78 lei
D. 75%
D. (–1, 2)
D. 75 lei
5p 6 . Într-un triunghi dreptunghic o catetă are lungimea egală cu 12 cm și lungimea medianei duse din unghiul drept de 10 cm. Perimetrul triunghiului este egal cu:
A. 24 cm
B. 36 cm
C. 48 cm
5p 7 . Aria rombului cu lungimile diagonalelor de 6 cm și 8 cm este egală cu:
A. 14 cm2
B. 18 cm2
C. 24 cm2
D. 56 cm
D. 32 cm2
5p 8 Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu 1 9 . Dacă lungimea înălțimii unui triunghi este de 4,8 cm, atunci înălțimea celuilalt triunghi dusă dintr-un vârf omolog are lungimea egală cu:
9,6 cm
12,8 cm
13,6 cm
14,4 cm
5p 9 . În triunghiul dreptunghic ABC, cu A = 90°, cos(C) = 7 9 , iar lungimea catetei AB este egală cu 82 cm. Aria triunghiului ABC este:
II La următoarele probleme se cer rezolvări complete . (45p)
10p 1 . Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 43 2 1 3 2 6 xx x .
15p 2 . Arătați că numărul p este un număr natural pătrat perfect, unde p 26 3 8 5 12 3 1 10 1 15 30 27 1 2 :.
3 . Un trapez BCED, BC || DE, BC > DE, are aria egală cu 504 cm2 și înălțimea DD′ = 14,4 cm, D′∈BC. Știind că lungimile bazelor trapezului sunt proporționale cu numerele 4 și 10, aflați:
7p a) aria triunghiului ABC, {A} = BD ù CE;
7p b) perimetrul triunghiului ADE, dacă perimetrul triunghiului ABC este egal cu 120 cm.
6p c) Dacă AD = 12 cm, arătați că triunghiul ABC este dreptunghic.
TESTUL 3
I Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect . (45p)
5p 2 Fie numărul a = 3 7 . Zecimala de pe locul 2024 a lui a este egală cu:
A. 8
B. 7
C. 5
5p 3 Soluție a sistemului de ecuații 25 31 xy xy este perechea (x, y) egală cu:
A. (2, 1)
B. (–2, –1) C. (–2, 1)
5p 4 . După ce s-a ieftinit cu 12%, un obiect costă 26,4 lei. Prețul inițial este:
A. 14,4 lei
B. 30 lei
C. 38,4 lei
D. 0
D. 2
D. (2, –1)
D. 45 lei
5p 5 Dacă x + 3y = 11, iar 3x + 2y = 12, x și y numere reale, atunci 2x – y este egal cu:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5p 6 . Aria trapezului care are lungimea liniei mijlocii egală cu 10 cm și înălțimea de 4 cm este egală cu:
A. 20 cm2 B. 40 cm2 C. 44 cm2
48 cm2
5p 7 Aria rombului care are perimetrul egal cu 24 cm, iar una din diagonale egală cu latura, este egală cu:
A. 243 cm2
242 cm2
26 cm2
183 cm2
5p 8 . Un cerc are lungimea egală cu 14π cm. Aria discului corespunzător este egală cu:
A. 7π cm2 B. 28π cm2
49π cm2
56π cm2
5p 9 . Fie triunghiul ABC și punctele D și E pe laturile AB, respectiv AC, astfel încât DE || BC. Dacă AB = 12 cm, AC = 16 cm, BC = 24 cm, iar DE = 18 cm, atunci perimetrul triunghiului ADE este egal cu: A. 39 cm
36 cm
26 cm
24 cm
II La următoarele probleme se cer rezolvări complete . (45p)
10p 1 . Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația: 32 7 1 2 5 1421 xx x .
2 . Se consideră numerele reale: a 2 23 3 32 24 6 3 și b 23 2 .
10p a) Calculați a.
5p b) Calculați media aritmetică a numerelor a și b
3 . Triunghiul obtuzunghic ABC din figura alăturată are A = 105º, iar B = 30º. Înălțimea din vârful A, a triunghiului ABC, este AD = 62 cm, D ∈ BC. Aflați:
7p a) perimetrul triunghiului ABC;
7p b) aria triunghiului ADC;
6p c) distanța de la punctul B la AC
TESTUL 4
C
I Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect . (45p)
5p 1 Rezultatul calculului 4 3 5 12 2 3 este:
A. 2 B. 1 C. 0 D. –1
5p 2 . Cel mai mic număr natural mai mare decât 43 este: A. 42 B. 44 C. 7 D. 8
5p 3 . Media aritmetică a numerelor 20 32 și 18 25 + este egală cu: A. 33 B. 26 C. 25
5p 4 . Probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulțimea A 1 2 2 2 3 2 20 2 ,, ,...,, acesta să fie număr rațional este egală cu:
A. 0,2
B. 0,3 C. 0,4
D. 23
D. 0,5
5p 5 . O soluție pentru ecuația 4x – 7y – 1 = 0 este perechea de numere reale:
A. (1, 2)
B. (2, 2) C. (3, 2)
5p 6 . Dacă 18% dintr-un număr este 27, atunci numărul este egal cu:
A. 15
B. 45
D. (2, 1)
C. 150 D. 175
5p 7 . Într-un triunghi dreptunghic ABC, A = 90°, se știe că AB = 32 cm, iar sin(C) = 2 3
Lungimea ipotenuzei BC este egală cu:
A. 12 cm
B. 9 cm
C. 8 cm
D. 6 cm
5p 8 . Un triunghi isoscel ABC, AB = AC, are perimetrul egal cu 64 cm, iar înălțimea AD = 24 cm. Dacă BC = 14 cm, atunci distanța de la punctul B la latura AC este egală cu:
A. 13,44 cm
B. 12,44 cm C. 12,24 cm D. 12 cm
5p 9 . Aria unui trapez isoscel ortodiagonal cu lungimile bazelor de 10 cm și 24 cm este egală cu:
A. 120 cm2
B. 144 cm2
240 cm2
289 cm2
II La următoarele probleme se cer rezolvări complete . (45p)
10p 1 . Rezolvați, în mulțimea numerelor întregi, ecuația: x x 3 3 5 1
2 . Un obiect s-a scumpit cu 12%, iar după o perioadă s-a ieftinit cu 25%, ajungând să coste 189 de lei.
10p a) Aflați prețul inițial al obiectului.
5p b) Cu cât putea fi ieftinit de prima dată obiectul pentru a se ajunge la același preț?
7p a) aria rombului ABCD;
7p b) aria patrulaterului ABCE;
3 . În figura alăturată, ABCD este un romb cu perimetrul de 60 cm. Prin vârfurile A și D se construiesc paralele la BD și, respectiv AB, care se intersectează în punctul E, AE = 18 cm. Știind că aria triunghiului ADE este egală cu 108 cm2, aflați: A B C D E O
6p c) distanța dintre punctele B și E.
TESTUL 5
I Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect . (45p)
5p 2 . Media geometrică a numerelor a = 42 și b = 8 este: A. 8 B. 6 C. 4
2
5p 3 . Fie mulțimea A 432 10 1 234 ,, ,, ,, ,,
Cardinalul mulțimii A ⋂ ℤ este egal cu:
A. 3
B. 4
C. 5
5p 4 . Numărul 2 este soluție a ecuației 3ax – a = 5 dacă a este:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
D. 4
5p 5 . După ce s-a ieftinit cu 16%, un obiect costă 105 lei. Obiectul a costat inițial:
A. 225 de lei
B. 175 de lei
C. 150 de lei
D. 125 de lei
5p 6 . Dacă aria unui romb cu o diagonală de 30 cm este egală cu 600 cm2, atunci perimetrul rombului este egal cu:
A. 100 cm
B. 120 cm
C. 150 cm
D. 200 cm
5p 7 . Un pătrat cu perimetrul de 48 cm este echivalent cu un dreptunghi cu lățimea de 9 cm. Perimetrul dreptunghiului este egal cu:
A. 64 cm
B. 50 cm
C. 24 cm
D. 21 cm
5p 8 . Aria unui sector de cerc corespunzător unui unghi de 60º, care provine dintr-un cerc cu raza de 6 cm, este egală cu:
A. 9π cm2
B. 8π cm2 C. 7π cm2 D. 6π cm2
5p 9 . Un trapez ortodiagonal ABCD, are lungimile bazelor AB = 10 cm și DC = 5 cm, iar diagonala BD = 12 cm. Lungimea diagonalei AC este:
A. 9 cm
B. 8 cm C. 6 cm D. 4 cm
II La următoarele probleme se cer rezolvări complete . (45p)
10p 1 . Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația:
10p 2 . a) O persoană cheltuie o sumă de bani în trei zile. În prima zi, ea cheltuie 2 9 din sumă și încă
8 lei, iar a doua zi cheltuie 3 5 din suma pe care o mai avea și încă 8 lei, apoi constată că i-au mai rămas 140 de lei pe care-i poate cheltui în a treia zi. Ce sumă de bani a avut inițial persoana?
5p b) Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor soluțiilor corespunzătoare ecuațiilor 2x – y + 1 = 0 și 2x + y – 3 = 0.
3 . Un paralelogram ABCD are perimetrul egal cu 100 cm, AD = 16 cm, iar AD DB (figura alăturată). Aflați:
7p a) aria paralelogramului ABCD;
7p b) perimetrul trapezului ABMD, unde punctul M este mijlocul laturii CD;
6p c) distanța MN, de la punctul M la diagonala BD
I . INTERVALE DE NUMERE REALE . INECUAȚII ÎN ℝ
I .1 . Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor
EXERCIȚII REZOLVATE
1 Se consideră mulțimea M 32 51 7 9 1 2 01 21 13 22 1 5 6 ;, ;; ;; ,; ,( ); ;; .
Scriem mulțimea M sub forma: M 32 5 4 3 1 2 01 1 4 3 2 11 5 6 ;, ;; ;; ,; ;; ;, pentru a ne
fi mai ușor să identificăm elementele și apartenența lor la mulțimile cerute. A 02,; B 30 2 ,, ; C 32 5 4 3 01 1 4 3 2 11 5 ;, ;; ;, ;; ;;
1 2 6 ,; E 25 4 3 11 4 3 11 5 ,; ;, ;; ; F 3.
2 Scrieți mulțimile următoare cu ajutorul unor proprietăți ale elementelor lor:
a) A 24 68 ,, ,; b) B 10 1 ,, ;
c) C 12,,,48,...; d) D 1 2 1 6 1 12 1 20 ,, ,, ....
Rezolvare:
a) Se observă că elementele mulțimii A sunt numere naturale pare (fără zero) mai mici decât 10, deci A = {x | x număr natural par, 0 < x < 10};
b) Putem da mai multe proprietăți comune elementelor mulțimii B. De exemplu, Bx x || ;1 .
c) Elementele mulțimii C sunt puteri ale lui 2: 20, 21, 22, 23, …, deci Cx xn n 2, ;.
d) Dx x nn n 1 1 () ,. *
Fișă de lucru
1 . Determinați valoarea de adevăr a propozițiilor:
a) –3 ∈ ℤ* ; b) 1,25 ∈ ℚ+;
c) 12 5 ∈ ; d) 6 3 ;
e) 24 03 , , ∈ ; f) 13 0 ,( ) ;
g) 32
2 . Fie mulțimea
A = 42 1 3 5 06 9 16 12 ;; ;; ,( ); ;; ;.
Determinați:
a) A ∩ ℕ; b) A ∩ ℤ; c) A ∩ ℚ; d) A ∩ (ℝ/ℚ).
3 . Fie mulțimea
A = 22 0 1 2 23 1216 501 ;; ;; ,( );;; ,.
Determinați:
a) A ∩ ℕ; b) A ∩ ℤ;
c) A ∩ ℚ; d) A ∩ (ℝ/ℚ).
4 Dintre numerele:
a) 264 și 216 ⋅ , cel irațional este ... ;
b) 327 și 520 , cel rațional este ... ;
c) 38 6 ⋅⋅ și 7144 ⋅⋅ , cel irațional este ... .
5 . Determinați mulțimile:
Ax x 11 32 ;
Bx x x * 21 1 ;
Cx x x 2 21 ;
Dx x x 32 23 .
6 . Scrieți două numere raționale cuprinse între:
a) 0,5 și 0,6; b) 1 3 și 1 2
• ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
• ℝ\ℚ – mulțimea numerelor iraționale
• M = {x ∈ ℝ | x are proprietatea P}
7 . Determinați mulțimile:
Ax x || 2 ;
Bx x || 21 1 ;
Cx x || 36 0 ;
Dx x || 3 ;
Ex x || 43 5 ;
Fx x || 13 7 .
8 . Determinați mulțimile:
Ax x || 41 9 ;
Bx x |, () |, () 03 16 ;
Cx x || 31 6 ;
Dx x 2 1 3 5 6
9 . Scrieți mulțimea M = {3, 8, 15, 24, …} cu ajutorul unei proprietăți comune elementelor sale.
10 . Se consideră mulțimile
Ax x || 31 5 și
Bx x x 3 21 .
Demonstrați că A = B
11 . Se consideră mulțimile
Ax x x 41 23 și
Bx x 10 35 2 2. Verificați
care din următoarele afirmații este adevărată:
a) A ⊂ B; b) A = B; c) B ⊂ A
12 Determinați mulțimea
Mx x 21 1 3 1 () .
I .2 . Intervale numerice și reprezentarea lor pe axa numerelor . Operații cu intervale
EXERCIȚII REZOLVATE
1 Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții:
a) 22 2, ; b) 2 5 0, ; c) 01 61 16 ,( ); , ;
d) 62 45 246 ,; , ; e) 53 2, ; f) ;,314
Rezolvare:
a) Fals, deoarece intervalul este deschis la stânga, deci nu-și atinge extremitatea.
b) Adevărat, deoarece 2 5 04 0 ,.
c) Adevărat, deoarece –0,1(6) se află pe axa numerelor, la dreapta lui –1.
d) Fals, deoarece 62 44 ,,245
e) Adevărat, 59 4,
f) Adevărat, deoarece 314,.
2 Reprezentați pe axa numerelor intervalele [–5, 2) și (–1, 3] și apoi efectuați reuniunea, intersecția și diferența dintre primul și al doilea interval.
Rezolvare: –∞ [ –5–123 ( ) ] +∞
Reuniunea lor este formată din elementele ce aparțin cel puțin unuia dintre intervale, deci: [–5, 2) ⋃ (–1, 3] = [–5, 3].
Intersecția lor este formată din elemente ce aparțin ambelor intervale, deci: [–5, 2) ⋂ (–1, 3] = (–1, 2).
Diferența dintre primul și al doilea interval este formată din elementele ce aparțin primului interval, dar nu aparțin celui de-al doilea interval. Deci, [–5, 2) \ (–1, 3] = [–5, –1].
3 Se consideră mulțimile: Ax x 1 32 4 35 , și Bx x || . 37 8
Aflați: A ⋃ B, A ⋂ B, A \ B, B \ A.
Rezolvare: Pentru a găsi elementele mulțimii A, trebuie să rezolvăm dubla inegalitate: 1 32 4 35 4 x , | · 4 –4 < 3x + 2 ≤ 14 | –2 6 < 3x ≤ 12 | : 3 2 < x ≤ 4 x ∈ {–2, 4] = A.
Analog, pentru a găsi elementele mulțimii B, avem de rezolvat inecuația |3x – 7| ≤ 8.
Din clasele anterioare, știm că | x | ≤ a –a ≤ x ≤ a, a > 0 În cazul nostru: || : 37 88 37 87 13 153 1 3 5 xx xx xB 1 3 5 ,.
AB BA (, ]; ,; \, ;\ (, ]. 25 1 3 42 1 3 45
Fișa de lucru 1
Intervale de numere reale
• Fie a și b numere reale, cu a ≤ b.
• ab , = xa xb
• ab xa xb ,
• ab xa xb ,; abab ba ba ba ;; ;; ;\
• ab xa xb ,; abab aa ba bb ;; ;; ;\
• a , = xx a ; a; = xx a ; a; = a; \ {a}
• , a = xx a ; ; a = xx a ; ; a = ; a \ {a)
• Conform definiției modulului, pentru un număr real pozitiv a, avem: xx aa a || , ; xx aa a || ,
1 . Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții:
a) 14,,22 ; b) 52;,24 ;
c) 3 ,; d) 1 3 03 1 ,( ); ;
e) 3 7 04 05 ,; ,; f ) 2 2 07 08 ,; ,;
g) 32 16 5 ,, ; h) 1 4 02,; ;
i) 83,.
2 . Calculați suma numerelor întregi din intervalul
5 2 3 2 ,.
3 . Calculați produsul numerelor naturale din intervalul (–∞; 3).
4 . Câte numere întregi se găsesc în intervalul
4 3 7 5 ,? Dar naturale? Dar raționale?
5 . Determinați mulțimile:
a) 1 7 3 ,; b) 22,;
c) ,. 0
6 . Fie mulțimile:
A = 30 1 1 5 22 19 5 ;, ;; ;, ();; ; și
Bx x |4 5
Calculați:
a) A ⋂ B; b) A ⋂ ℕ;
c) B ⋂ ℤ; d) A ⋂ (ℝ\ℚ).
7 . Puneți în evidență, pe axa numerelor, mulțimile:
Ax x 12 ;
Bx x 3;
Cx x 2;
Dx x || 32,;
Ex x || 25,;
Fx x || . 24 ;
Gx x 2 și x 0;
Hx x 3 și x 2.
8 . Scrieți sub formă de intervale mulțimile:
Ax x 21 ;
Bx x 02 ;
Cx x 11 ;
Dx x 25,,13 ;
Ex x 03 ,( ) ;
Fx x 5;
Gx x || 1 ;
Hx x || .0
9 . Scrieți sub formă de intervale mulțimile:
A = {x ∈ ℝ | |x – 1 | ≤ 2};
B = {x ∈ ℝ | |x – 3 | ≤ 1};
Fișa de lucru 2
Operații cu intervale de numere reale
• Dacă A și B sunt două mulțimi date, atunci:
• AB∪= { | xxA ∈ sau xB ∈ }
• A ∩ B = { | xxA ∈ și xB ∈ }
• \ AB = { | xxA ∈ și xB ∉ }
• Dacă 0 a ≥ , mulțimea { } ,|| xxxa ∈≥ este reuniunea intervalelor ( ] , a −∞− și
[ ) ;a +∞ , adică { } ,|| xxxa ∈≥ = ( ] , a −∞− ⋃ [ ) , a +∞ = ()\,aa și
{ } ,|| xxxa ∈> = () , a −∞− ⋃ () , a +∞ = []\,aa .
1 . Se consideră mulțimile
A = { }|21|5xx∈−≤ și
B = { } |2|2.xx∈−>
Enumerați elementele mulțimii A ⋂ B
2 . Fie mulțimile
A = { } * |21|5xx∈+≤ și
{ } ||2.Bxx=∈<
Aflați cardinalul mulțimii A ⋂ B
3 . Efectuați:
a) ( ][ ) 4,12,3;−∪−
b) () 1 2,02,3;1; 3 −∪−
c) () []2,31,4−∪− ;
d) ) ()5,23,7 −∪− ;
e) ()( ] ,21,3;−∞∪−
f) [][ ) 3,10, −∪+∞ .
4 . Scrieți ca reuniune de intervale mulțimile: { }||2Axx=∈> ;
1 Determinați valorile întregi ale lui x pentru care 3 23 x x + ∈ +
Rezolvare:
Fracția este definită pentru orice număr întreg x. 3 32623323 2 23232323 xxxxx xxxx + + ++++ ∈⇒⋅∈⇔== ++++ 23 x + 33 1; 2323 xx +=+∈ ++
3 23{3,1,3}32{6,2,0}:2{3,1,0}. 23 xxx x ∈⇒+∈−−⇔∈−−⇔∈−− +
2 Amplificați fracția 2 . 1 x x + cu 2x – 1.
Rezolvare:
3 Calculați 2332 212 , 21 2 x xxxxxx −+ ++−++ stabilind mai întâi mulțimea de definiție a expresiei.
Rezolvare:
Descompunem numitorii celor două fracții și punem condiția ca ei să fie nenuli. Astfel:
x 2 + 2x + 1 = (x + 1)2 01; x ≠⇒≠− ()32 1(1)(1)00;101 xxxxxxxxxx −=⋅−=−+≠⇒≠−≠⇔≠ și 101;xx+≠⇔≠− x 3 + 2x 2 + x = x·(x + 1)2 00 x ≠⇒≠ și 1. x ≠− Prin urmare, mulțimea de definiție este \{1,0,1}. x ∈− (1)) 1) 1)
2332 2 2 212212
(1)(1) xxxxxx xxx
Descompunem expresia de la numărător:
x 2 – x –
Revenind, vom obține:
2332 (1) 212 21 2 x xxxxxxx + −+= ++−++ 2 (23) (1) x xx + 23 (1)(1) (1) x xxx x =
4 Simplificați fracția 2 2 425 42025 x xx++ stabilind domeniul de definiție al fracției.
Rezolvare:
Pentru a stabili domeniul de definiție va trebui să descompunem numitorul ei și să punem condiția ca el să fie nenul.
22 55 42025(25);250 \; 22 xxxxxx
++=++≠⇒≠−⇒∈−
2 2 (25)(25) 425 42025 xx x xx −+ = ++ 2 (25) x + 25 . 25 x x = +
5 Simplificați fracția 2 2 341 2 ,\1,. 3 352 xx x xx ++
Rezolvare:
Observăm că la numitorul fracției apare o expresie care conține radical. De regulă, în aceste situații, vom elimina radicalul de la numitor prin amplificarea fracției cu suma (diferența) termenilor de la numitorul fracției, astfel încât să putem folosi formula (a + b)(a – b) = a 2 – b2 . În cazul nostru, vom amplifica fracția cu 626 + (conjugata). Astfel:
Simplificați
b) Găsiți valorile întregi ale lui x pentru care R(x) ∈ℤ.
Rezolvare: a) 3x 2 + x – 2 = 3x 2 + 3x – 2x – 2 = 3x · (x + 1) – 2(x + 1) = (x + 1)(3x – 2); 2x 2 + 3x + 1 = = 2x 2 + 2x + x + 1 = 2x · (x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(2x + 1) (1) () x Rx + ⇒= (32) (1) x x + 32 21 (21) x x x = + + b) 3(21) 323264637 2 21212121 x xxxx xxxx ⋅+ +− ∈⇒⋅∈⇔== ++++ 21 x + 77 3 2121 xx −=−∈ ++ 7 21 2121 71 17 12 8 206 24 7 x xD xx x {, ,, }{ ,, ,} :{ , 10 3 ,, }.
E(x) = 2 (1)(1)(32)(32)1(2)(1) (32)(1) (32)(2) xxxxxxx xx xx +−+−+−+−+ ⋅⇔ −+ +−
E(x) = 2 x 1 9422 xx+−− 1+ (32)(1) xx−+ (2) x ⋅ (1) x + (32)(2) xx+− 2 94 () x Ex ⇔= 2 94 x 1; =
c) Expresia este definită pentru orice număr real x pentru care nu se anulează numitorii fracțiilor
care apar; vom pune condițiile: 2 320;101; 3 xxxx −≠⇒≠+≠⇒≠− x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2; 2 320; 3 xx+≠⇒≠− în final, x
1. Aflați valorile reale ale lui x pentru care raportul:
a) 1 1 x x + are sens;
b) 2 2 1 1 x x + nu are sens;
c) 2 21 3 x x + are sens.
2. Amplificați cu x + 1 rapoartele:
a) 1 ; 1 x b) ; 2 x x c) 2 1 ; 1 x x d) 2 . 21 x x +
3. Aduceți la același numitor fracțiile:
a) 1 26 x + ; 39 x x + ; b) 2 1 21 x xx + −+ ; 2 2 1 x x + ; c) 32 31 x xx + ; 32 31 2 x xxx −+
4. Simplificați rapoartele:
a) 3 9 ; 3 x x b) 32 23 2 6 xy xy ; c) () 2 24 2 xx xx ; d) 2 515 ; 9 x x + e) 32 3 242 44 xxx xx ++
Amplificarea și simplificarea fracțiilor algebrice
• Dacă * ,, abc∈∈ , atunci aac bbc ⋅ = • Dacă * ,, abc∈∈ , atunci : : a ac bbc = .
5. Simplificați rapoartele:
a) 2 2 441 41 xx x −+ ; b) 2 3 43 x xx + ++ ; c) 2 2 4129 49 xx x −+ ; d) 2 2 712 56 xx xx ++ ++ .
6. a) Simplificați raportul () 2 2 25 215 x Gx xx = .
b) Determinați mulțimea A = {x∈ℤ | G(x)∈ℕ}.
7. Fie expresia E(x) = 37 2 32 12 2 2 xx xx x ,\ , Aflați x∈ℤ pentru care E(x)∈ℤ
8. Simplificați fracțiile: a) 2 32 3522,\,1 3 3232 xx x xxx −+ ∈ −−+ ; b) 2 32 253 3 ,\1,1,. 2 2323 xx x xxx −+ ∈− −−+
III. FUNCȚII
III.1. Funcții definite pe mulțimi finite; graficul unei funcții; reprezentarea geometrică a graficului unor funcții numerice
EXERCIȚII REZOLVATE
1 Conform tabelului de mai jos, calculați f (3). x 1234
f (x) – 11...5
Rezolvare:
Se observă că 2 · 1 – 3 = –1, 2 · 2 – 3 = 1, ..., 2 · 4 – 5 = 3, deci regula de corespondență este f (x) = 2x – 3. Atunci f (3) = 2 · 3 – 1 = 6 – 1 = 5.
2 În figura alăturată avem reprezentată o funcție prin diagrama Venn-Euler. Găsiți legea de corespondență și scrieți sub forma f : A → B, f(x) =
Rezolvare:
Observăm că lui 3 îi corespunde 5, lui 5 îi corespunde 9, iar lui 7 îi corespunde 13, deci fiecărui element din prima mulțime îi corespunde dublul său micșorat cu 1, în a doua mulțime. Astfel, f : {3, 5, 7} → {5, 9, 13}, f(x) = 2x – 1.
3 Fie funcția f : {1, 2, 3} →ℕ, f (x) = –x + 3. Calculați, f 2(1) + f 2(2) + f 2(3).
Am obținut punctele: A(–1, 7); B(0, 5); C(1, 3) și D(2, 1).
Vom reprezenta punctele într-un sistem de axe coordonate xOy
Fișă de lucru
• f : A → B se citește „ f definită pe A cu valori în B”. Mulțimea A se numește mulțimea (domeniul) de definiție a funcției; mulțimea B se numește mulțimea în care funcția ia valori (codomeniu).
• Im f = {y ∈ B} | există x ∈ A astfel încât f(x) = y} se numește imaginea funcției f sau mulțimea valorilor funcției
• Gf = {(x, f(x)) | x∈ A} se numește graficul funcției f.
• Fie f : A → B o funcție numerică. Mulțimea punctelor M(x, y) din plan pentru care x ∈ A și y ∈ B, y = f(x), se numește reprezentarea geometrică a graficului funcției f (reprezentarea grafică a funcției).
• Două funcții f : A → B și g : C → D sunt egale dacă A = C, B = D și f (x) = g (x), oricare ar fi x ∈ A
1. Observați diagramele de mai jos.
a b c 1 2 3
Figura 1 a b c d e 1 2 3 4 Figura 2 a b c 1 2 3 Figura 3
Alege varianta corectă (este/nu este) și justifică alegerea răspunsului.
a) Diagrama din figura 1 este (nu este) funcție deoarece ... .
b) Diagrama din figura 2 este (nu este) funcție deoarece ... .
c) Diagrama din figura 3 este (nu este) funcție deoarece ... .
2. Dacă în tabelele de mai jos sunt descrise funcții, atunci legea de corespondență poate fi exprimată printr-o formulă, astfel:
a) x –2–1012
f (x) –3–1135
f (x) = ... ;
b) x –3–113
f (x) 102210
f (x) = ... ;
c) x 1 2 1 3 1 4 1 6 1 12
f (x) 64321
f (x) = ... .
3. Dacă f : {–1, 0, 1, 2}→ B, f(x) = 31 2 x , deter-
minați mulțimea valorilor funcției.
4. Dacă f : A → B, este o funcție și f (–2) = –8;
f (0) = – 2; f (2) = 4, atunci aflați:
a) domeniul A;
b) codomeniul B, cu un număr minim de elemente.
c) Dacă A = ℤ și B = ℤ, determinați funcția f (x).
5. Reprezentați geometric graficul funcției f, dată prin tabelul de mai jos: x –2124
10. Fie funcția f : {–3, 0, 2, 4} → ℤ, f(x) = –2x + 5.
Determinați graficul funcției f
11. Fie f : {–3, –2, –1} → ℤ, f(x) = 3x + 2.
Determinați graficul funcției f.
12. Aflați mulțimea valorilor funcției
f : {–2, –1, 0} → B, f (x) = –x + 1.
13. Funcția f : {–1, 1, 2} → ℤ este descrisă prin tabelul: x –112 f (x) –135
Scrieți funcția f printr-o formulă.
14. Fie funcția f : {0, 1, 2} → ℕ, f (0) = 1, f (1) = 3, f (2) = 5. Scrieți o formulă prin care poate fi exprimată funcția f
15. Fie funcția f : {–1, 1, 3} → {1, 3, 5}. Prin ce formulă poate fi exprimată funcția f ?
16. Fie funcția f : {–1, 0, 1} → ℤ, f (x) = 2x + 1.
Care este imaginea lui 0 prin funcția f?
17. Fie funcția f : {2, 3, 4} → ℤ, f (x) = 2x – 3. Scrieți Im f
18. Fie f : {–2, –1, 0, 1, 2} → ℝ, f (x) = ff xx :, ,, ,, () 21 01 2 1 2 1 . Care dintre punctele A(4, 3), B(2, 0) și C(6, 4) se află pe graficul funcției?
19. Dacă f este o funcție și punctul A(a, –3) ∈ Gf , fx x () 20, 5 aflați a
20. Verificați dacă funcțiile
ff xx :, ,, () 10 12 1 și
gg xx :, ,, () 10 12 1 3 sunt egale.
21. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei:
a) f : {0, 1, 2} → ℝ, f(x) = 2x – 5;
b) g : {0,(3); 0,75; 1,52} → ℝ, g(x) = 3x –1 4 ;
c) hh xx :, ,, () ; 1 6 1 3 1 2 65
d) i : {–3, –1, 1, 3} → ℝ, i(x) = 5 | x | –7.
22. Reprezentați geometric graficul funcției:
a) f : {–1, 0, 2} → ℝ, f (x) = 2x – 3;
b) g : {–1, 1, 3} → ℝ, g (x) = 3x – 4;
c) hh xx :{ ,, }, () ; 21 0 1 2 1
d) f : {–2, –1, 0, 3} → ℝ, i(x) = | x – 3 | – 1.
23. Funcţia f : {–2, –1, 0, 1, 2} → ℤ, are următorul tabel de valori: x –2–1012
f(x) –3–1135
1) Determinați:
a) domeniul de definiţie al funcţiei f ;
b) mulţimea în care funcţia ia valori;
c) mulţimea valorilor funcţiei f ;
d) valoarea funcţiei f în punctul x = 1;
e) formula prin care este descrisă funcţia f ;
f) graficul funcţiei f
2) Reprezentați geometric graficului funcţiei f
24. Fie funcția f : {–1, 0, 1, 3} → ℝ, f(x) = 3x + 1.
a) Calculați f (–1) + f (1).
b) Rezolvați ecuația f (a) = 10.
25. Se consideră funcția f : {–3, –2, 0, 1, 4} → ℝ,
fx xx xx () , , 23 0 40
a) Determinați Im f
b) Determinați graficul funcției f.
c) Reprezentați geometric funcția f (x).
d) Calculați: f (–2) + f (1).
26. Se dă funcția
ff xx :{ ,, ,, }, () 2 024 6 1 2 3
a) Determinați imaginea funcției f.
b) Reprezentați grafic funcția.
27. Verificați dacă perechea (–1, 3) aparține graficului funcției:
a) f : {–1, 0, 1, 2, 3} → ℝ, f (x) = –3x + 2;
b) f : {–2, –1, 0, 1, 2} → ℝ, f (x) = 4x + 7;
c) f : {–3, –1, 0, 4} → ℝ, f (x) = ff xx :{ ,, ,} ,( ), ; 31 04 3 4 375 ;
d) f : {–2, –1, 0, 3} → ℝ, f (x) = | x| + 2.
III.2. Funcții de forma f : D → ℝ, f (x) = ax + b, unde a și b sunt numere
reale
și D este o mulțime finită de numere reale sau un interval nedegenerat
EXERCIȚII REZOLVATE
1 Reprezentați grafic funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x – 1.
Rezolvare:
fA ()() , 12 11 21 31 3 ;
fB () (, ) 12 11 21 11 1 .
Punctele A(–1, –3) și B(1, 1) aparțin reprezentării grafice.
Dreapta AB (figura alăturată) este reprezentarea grafică a funcției.
Uneori, pentru a trasa graficul cât mai corect, se mai pot calcula coordonatele a încă unui punct, astfel că graficul funcției va trece prin cele trei puncte coliniare. Aceste date se mai pot trece sub forma unui tabel:
x –11…
f (x) –31…
2 Reprezentați grafic funcția ff x x :, ,( ) 22 2 2 .
Rezolvare:
Reprezentăm grafic funcția gg x x :, () 2 2 , așa cum am arătat în exemplul anterior.
Dacă x = –2, g(–2) = f (–2) = –3, deci avem un punct A(–2, –3), iar pentru x = 2 obținem g(2) = –1, însă acest punct B(2, –1) nu aparține graficului funcției f, deoarece x = 2 ∉ [–2, 2).
Deoarece orice „verticală” dusă printr-un punct de abscisă, cuprinsă între –2 și 2, intersectează reprezentarea grafică a funcției g, înseamnă că reprezentarea grafică a funcției f este segmentul AB, delimitat de „verticalele” prin punctele de abscisă –2 și 2.
Punctul A aparține graficului, dar punctul B nu aparține acestui grafic.
3 Reprezentați grafic funcția ff xx :, ,( ) 11 .
Rezolvare:
Reprezentăm grafic funcția g : ℝ → ℝ, g(x) = x – 1.
Dacă x = 1, f (1) = 0, deci avem un punct A(1, 0); dacă x = 0, f(0) = –1, deci avem un punct B(0, –1). Deoarece orice dreaptă „verticală” dusă printr-un punct de abscisă mai mică decât 1 (sau egală) intersectează reprezentarea grafică a funcției f, înseamnă că reprezentarea sa grafică este semidreapta AB care are originea în punctul A
IV. ELEMENTE ALE GEOMETRIEI ÎN SPAȚIU
IV.1. Puncte, drepte, plane; determinarea dreptei și determinarea planului
PROBLEME REZOLVATE
1 Î ntr-un plan se consideră punctele A, B, C și D, distincte două câte două și oricare trei necoliniare, ca în figura alăturată. Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții:
a) Prin A, B, C și D trec patru drepte distincte.
b) D ∈ (ABC ). c) (ACD) = (ABC ).
Rezolvare:
a) Propoziția este falsă. Prin cele patru puncte date se pot construi 6 drepte distincte: AB, BC, CD, DA, AC și BD.
2 Î n figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC și punctul
D în exteriorul planului triunghiului ABC.
a) Câte plane trec prin câte trei din cele patru puncte?
b) Arătați că (DAB) ≠ (DBC ).
Rezolvare:
a) Patru plane. Dintre acestea, trei sunt determinate de punctul D și câte o dreaptă din planul ABC: (D, AB) = (DAB), (D, AC ) = (DAC ) și (D, BC ) = (DBC ). Al patrulea plan este (ABC ).
b) C ∉ (DAB) și C ∈ (DBC ) (DAB) ≠ (DBC ).
3 Î n figura alăturată, dreptunghiul ABCD și pătratul CDEF sunt situate în plane diferite. Arătați că punctele:
a) A, B și E sunt coplanare;
b) A, B, E și F sunt coplanare;
c) A, B, D și E sunt necoplanare.
Rezolvare:
a) P unctele A și B determină dreapta AB, iar punctul E este exterior acestei drepte există planul (E, AB), deci punctele A, B și E sunt coplanare.
b) EF || DC (CDEF pătrat) și AB || DC (ABCD dreptunghi) AB || EF există planul (AB, EF ) deter minat de două drepte paralele punctele A, B, E și F sunt coplanare.
c) Dreapta AD și punctul E determină planul (ADE ), iar B ∉ (ADE ) punctele A, B, D și E sunt necoplanare.
Fișă de lucru
1. În figura de mai sus, ABCDA′B ′C ′D ′ este cub.
Stabiliți, pentru fiecare dintre propozițiile ur
mătoare, dacă este adevărată sau falsă:
a) punctele A, D, C sunt coplanare;
b) punctele A′ , A, C sunt coplanare;
c) punctele A, C, C ′ , A′ sunt necoplanare;
d) B ′C ′ ⊂ (BCD);
e) AB ⊄ (BCD);
f) AA′ ⊄ (DCC ′);
g) A ∈ (BCD);
h) C ′∉ (BCB ′);
i) D ∈ (CC ′D ′);
j) O ∈ (CC ′A′), unde {O} = AC ù BD
2. Folosind figura de mai sus, scrieți:
a) d reptele determinate de două din vârfurile cubului care conțin vârful D;
b) d reptele incluse în planul (BCC ′);
c) planele determinate de câte 3 dintre punctele A, B, D, C ′
3. Fie A, B, C, D patru puncte distincte două câte
două. Dacă prin A, B, C, D
a) t rece un singur plan, atunci cele patru puncte sunt ...;
b) t rec patru plane, atunci cele patru puncte sunt ...;
c) t rec o infinitate de plane, atunci cele patru puncte sunt ... .
Propoziții despre puncte, drepte și plane
• A1: Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una; orice dreaptă conține cel puțin două puncte distincte.
• A 2: Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan; orice plan conține cel puțin trei puncte necoliniare.
• A 3: Dacă două puncte distincte sunt situate într-un plan, atunci dreapta determinată de ele este inclusă în acel plan.
• A4: Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci intersecția lor este o dreaptă.
• A5: În spațiu există cel puțin patru puncte necoplanare.
Determinarea planului
1. Trei puncte necoliniare determină un plan.
2. O dreaptă și un punct care nu-i aparține determină un plan.
3. Două drepte concurente determină un plan.
4. Două drepte paralele determină un plan.
4. Folosind convențiile de desen și notații, descrieți figura de mai jos.
5. Fie A1, A2, ... , A2022 puncte distincte două câte două și oricare trei necoliniare, situate într-un plan. Câte drepte distincte trec prin aceste puncte?
6. Fie A1, A2, A3, A4 și A5 puncte distincte două câte două, nu toate coliniare. Care este numărul maxim de plane determinate de câte trei din aceste puncte? Dar numărul minim?
7. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH din figura de mai jos. Scrieți planul:
11. Folosind figura de mai jos, în care este reprezentat un paralelipiped dreptunghic
ABCDA′B ′C ′D ′, dați câte două exemple de drepte care sunt:
a) (ACG ), folosind o dreaptă și un punct exterior ei;
b) (BDH ), folosind două drepte paralele; c) (EFC ), folosind două drepte concurente.
8. Scrieți toate planele distincte determinate de câte trei vârfuri ale paralelipipedului dreptunghic din figura de mai sus.
9. Scrieți toate planele determinate de dreapta AB și un punct exterior ei, din figura de mai sus.
10. Fie o piramidă VABCD cu baza pătratul ABCD (figura de mai jos) și punctul {O} = AC ù BD.
a) concurente cu DD ′;
b) necoplanare cu AD;
c) concurente cu AC ′;
d) coplanare cu AD ′
12. Folosind figura de la problema 10, determinați dreapta de intersecție a planelor:
a) (VAD) și (VBA);
b) (VAC ) și (VBD);
c) (VAD) și (VBC );
d) (VBC ) și (ADC ).
13. În figura de mai jos este reprezentat cubul
ABCDEFGH. A B C D E H F G
Scrieți:
a) planele determinate de trei puncte diferite necoliniare;
a) Câte plane determinate de câte trei vârfuri ale piramidei includ dreapta AC ?
b) Care sunt planele determinate de câte trei vârfuri ale piramidei conțin punctul O ?
c) Câte plane determinate de câte trei vârfuri ale piramidei includ dreapta VO ?
b) planele determinate de o dreaptă și un punct exterior ei;
c) planele determinate de două drepte concurente;
d) planele determinate de două drepte paralele.
IV.2. Corpuri geometrice: reprezentare, elemente caracteristice, desfășurări
PROBLEME REZOLVATE
1 Un tetraedru regulat are lungimea muchiei de 12 cm. Aflați suma ariilor tuturor fețelor tetraedrului.
Rezolvare:
Ținând cont că tetraedrul regulat are toate fețele triunghiuri echilaterale, atunci suma tuturor ariilor fețelor tetraedrului va fi egală cu 4 · f, unde prin f am notat aria unei fețe.
2 Desfășurarea unei piramide patrulatere regulate este prezentată în figura alăturată. Dacă AB = BM, iar DB = 82 cm, aflați suma tuturor lungimilor muchiilor piramidei SABCD, de dinaintea desfășurării, unde punctul S, vârful piramidei coincide cu punctele M, N, P și Q (după înfășurare, S = M = N = P = Q).
Rezolvare:
Prin înfășurare, piramida SABCD are 8 muchii (4 muchii laterale și 4 muchii ale bazei), toate egale. Deci S m = 8 · m, unde prin S m am notat suma muchiilor și m = lungimea unei muchii.
Cum DB = 82 cm este diagonala pătratului ABCD AB = 8 cm, deci S m = 8 ·
3 O prismă patrulateră regulată are perimetrul bazei egal cu 24 cm, iar sinusul unghiului format de diagonala unei fețe cu muchia bazei este egal cu 0,8. Aflați suma lungimilor muchiilor laterale ale prismei.
Rezolvare:
Fie ABCDEFGH, prisma patrulateră regulată care are caracteristicile din enunț.
Atunci, sin(\(AB, AF )) = sin(\BAF ) = 8 () BF AF == 4 10 5 4 5 = . ABCD = 24 cm AB = 6 cm. În triunghiul BAF, \ABF = 90 °, cunoaștem sinusul unui unghi ascuțit și cateta alăturată acestui unghi, vom determina cosinusul acelui unghi folosind formula fundamentală a trigonometriei: sin 2 x + cos2 x = 1. În cazul nostru: 16 25 + cos2 (\BAF ) = 1 cos 2 (\BAF ) = 25) 169 1 2525 −=⇒ cos(\BAF ) 93 255 BAF ==⇒ 363 55 AB AFAF ⇒=⇔=⇒ AF = 6 = 2 5 3 ⋅ 1 10 == 10 (cm) 4 105 BF = BF = 410 ⋅ = 2 5 1 8 = = 8 (cm).
Deci, S m = 4 · BF = 4 · 8 = 32 (cm).
4 Un cub are suma lungimilor muchiilor egală cu 192 cm. Aflați aria unei fețe.
Rezolvare:
Cubul are 12 muchii de lungimi egale, deci m = 192 : 12 = 16 (cm). f = m 2 = 256 (cm 2).
5 Un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B ′C ′D ′ are aria bazei ABCD egală cu 108 cm 2 , aria feței ABB ′A′ egală cu 108 cm 2 , iar aria feței BCC ′B ′ egală cu 144 cm 2 . Aflați suma tuturor lungimilor muchiilor paralelipipedului.
Rezolvare:
ABCD = AB · BC = 108 cm 2 ; ABB ′A′ = AB · BB ′ = 192 cm 2 ; BCC ′B ′ = BC · BB = 144 cm 2 . Dacă AB = L, BC = l și BB ′ = h și înmulțim cele trei relații, membru cu membru, atunci:
= 26 · 33 = 64 · 27 = 1728 (cm 3). 108 · h = 1728 h = 1728 16 108 h ⇒=== 16 (cm); 192 · l = 1728 l = 1728 9 192 l ⇒= == 9 (cm) L = 1728 12 169 L ⇒=== 12 (cm).
Atunci S m = 4 · (L + l + h) = 4 · (12 + 9 + 16) = 4 · 37 = 148 (cm).
6 Un cilindru circular drept are diametrul bazei egal cu 6 cm, iar generatoarea este de 18 cm. Arătați că aria desfășurării suprafeței laterale a cilindrului este mai mică decât 340 cm 2 . Se consideră 3,141 < π < 3,142.
Rezolvare:
Desfășurarea cilindrului pe o suprafață plană este un dreptunghi cu dimensiunile 2π R
7 Un con circular drept are desfășurarea suprafeței laterale un sector de cerc cu aria egală cu 27π cm 2 , iar măsura arcului corespunzător egală cu 120°. Aflați lungimea înălțimii secțiunii VAB a conului.
Rezolvare:
Din aria sectorului de cerc vom găsi raza cercului din care provine acest sector. π2120 R 1 360 22 3 81π 27ππ81πRR π 81 R = 9 cm, care va fi
egală cu generatoarea conului obținut prin înfășurarea acestui sector. Apoi, lungimea arcului corespunzător sectorului este egală cu lungimea cercului de la baza conului. Deci: 9π120 2 1803 18π 2π rr 3 6π1 3 (cm). Secțiunea axială a conului este un triunghi isoscel. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul VAO, obținem: g 2 = h2 + r 2 și înlocuind, 81 = h2 + 9, adică h = 62 (cm).
Fișa de lucru 1
1. În figura de mai jos, ABCD este un tetraedru cu muchiile laterale DA, DB și DC perpendiculare
două câte două și lungimile DA = DB = 6 cm și
DC = 8 cm. Aflați:
a) lungimea muchiei AB;
b) lungimea muchiei AC;
c) lungimea muchiei BC; d) aria triunghiului ABC; e) măsura unghiului DAB
2. O piramidă hexagonală are baza un hexagon regulat și fețele laterale triunghiuri isoscele.
Dacă latura bazei este 12 cm, iar aria unei fețe laterale este egală cu 60 cm 2 , aflați:
a) înălțimea unei fețe laterale; b) aria bazei piramidei.
3. Fie ABCDA′B ′C ′D ′ un cub cu muchia AB = 6 cm (figura alăturată).
a) Calculați aria triunghiului ACD ′
b) Calculați suma ariilor fețelor tetraedrului D ′DAC.
4. SABCD este o piramidă patrulateră cu baza pătratul ABCD de latură AB = 6 cm. Triunghiurile SBA și SBC sunt dreptunghice, \SBA = 90°, respectiv \SBC = 90°.
Piramida, tetraedrul
• O piramidă se numește regulată dacă baza ei este un poligon regulat, iar piciorul perpendicularei duse din vârf pe planul bazei este centrul bazei.
• După numărul laturilor poligonului de bază, piramida se numește triunghiulară, patrulateră, hexagonală etc.
• Tetraedrul regulat este o piramidă triunghiulară regulată cu toate fețele triunghiuri echilaterale.
Fie punctul M mijlocul laturii BC. Dacă
SB = 8 cm și SD = 2 34 cm, atunci:
a) stabiliți natura triunghiului SAD; b) calculați aria triunghiului SDC; c) calculați perimetrul triunghiului DMC; d) calculați perimetrul triunghiului SDM; e) calculați aria triunghiului SBD; f) calculați aria triunghiului SAC
5. În figura de mai jos, SABC este o piramidă care are ca bază triunghiul echilateral ABC, cu AB = 6 cm, iar SA = SB = SC = 5 cm. Dacă punctul M este mijlocul laturii AB, SO MC, unde O este centrul de greutate al triunghiului
ABC, calculați:
a) aria unei fețe laterale a piramidei; b) aria triunghiului SMC; c) raportul dintre ariile triunghiurilor SOM și
SOC.
TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ
(Ariile și volumele poliedrelor)
• Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor se acordă 90 de puncte.
Din oficiu se acordă 10 puncte.
• Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 50 de minute.
TESTUL 1
SUBIECTUL I – Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. Aria totală a unui tetraedru regulat cu muchia de 2 242 cm este egală cu: a) 43 cm 2 b) 63 cm 2 c) 83 cm 2 d) 123 cm 2
5p 2. Diagonala unui paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile de lungimi egale cu 2 cm, 3 cm, respectiv 6 cm, este de: a) 13 cm b) 11 cm c) 9 cm d) 7 cm
5p 3. Aria laterală a unei piramide patrulatere regulate, cu apotema de 15 cm și înălțimea de 12 cm, este egală cu: a) 540 cm 2 b) 480 cm 2 c) 450 cm 2 d) 420 cm 2
5p 4. Volumul cubului cu diagonala de 33 cm este egal cu: a) 81 cm 3 b) 72 cm 3 c) 54 cm 3 d) 27 cm 3
5p 5. Apotema unei piramide patrulatere regulate face cu planul bazei un unghi cu măsura de 60º. Dacă latura bazei este de 8 cm, atunci volumul piramidei este egal cu: a) 16 cm 3 b) 32 cm 3 c) 64 cm 3 d) 128 cm 3
5p 6. Volumul tetraedrului regulat cu muchia de 6 242 cm este egal cu: a) 64 cm 3 b) 72 cm 3 c) 84 cm 3 d) 92 cm 3
SUBIECTUL al II-lea – Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. O prismă patrulateră regulată are înălțimea egală cu diagonala bazei. Dacă diagonala prismei are lungimea egală cu 8 cm, atunci volumul prismei este egal cu: a) 642 cm 3 b) 562 cm 3 c) 482 cm 3 d) 402 cm 3
5p 2. Lungimea diagonalei cubului cu volumul de 216 cm 3 este egală cu: a) 43 cm b) 36 cm c) 62 cm d) 63 cm
5p 3. O prismă patrulateră ABCDA′B ′C ′D ′ are aria bazei egală cu 4,5 cm 2 și AA = 3 723 cm. Unghiul format de diagonala BD ′ cu planul bazei are măsura egală cu: a) 30° b) 45° c) 60° d) 75°
5p 4. O piramidă triunghiulară regulată are muchia laterală de 20 cm, iar muchia bazei de 24 cm. Aria laterală a piramidei este egală cu: a) 676 cm 2 b) 576 cm 2 c) 484 cm 2 d) 400 cm 2
5p 5. Aria laterală a unui paralelipiped dreptunghic este egală cu 280 cm 2 , iar înălțimea paralelipipedului este de 10 cm. Aria bazei este egală cu: a) 108 cm 2 b) 96 cm 2 c) 72 cm 2 d) 48 cm 2
5p 6. Înălțimea unui tetraedru regulat este egală cu 2 723 cm. Aria laterală a tetraedrului este egală cu: a) 1083 cm 2 b) 963 cm 2 c) 843 cm 2 d) 763 cm 2
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete. (30 p)
5p
5p
5p
5p
5p
5p
1. În cubul ABCDA′B ′C ′D ′ se știe că aria triunghiului A′BC este egală cu 12 723 cm 2 . Aflați: a) volumul cubului;
b) aria totală a piramidei B ′A′BC ′;
c) volumul piramidei B ′A′BC ′ .
2. Un vas din tablă are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată ABCDA′B ′C ′D ′, ca în figura alăturată. Se știe că înălțimea trunchiului este de 24 cm, AB = 20 cm, iar aria trapezului MNPQ este egală cu 648 cm 2 , punctele M, N, P, Q fiind mijloacele laturilor AD, BC, B ′C ′, respectiv A′D ′. Aflați:
a) volumul vasului (în litri);
b) suprafața de tablă necesară pentru confecționarea vasului; c) distanța de la punctul A′ la planul (BCC′).
TESTUL 2
SUBIECTUL I – Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. Suma lungimilor muchiilor unui cub este egală cu 120 cm. Volumul cubului este egal cu: a) 144 litri b) 96 litri c) 48 litri d) 1 litru
5p 2. O piramidă hexagonală regulată are raza cercului circumscris bazei de 6 cm, iar înălțimea de 9 cm. Volumul piramidei este egal cu: a) 1443 cm 3 b) 1623 cm 3 c) 1693 cm 3 d) 1963 cm 3
5p 3. Înălțimea tetraedrului regulat cu aria totală de 72 723 cm 2 este egal cu: a) 43 cm b) 63 cm c) 83 cm d) 93 cm
5p 4. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de lungimi egale cu 6 cm, 8 cm, respectiv 24 cm. Diagonala paralelipipedului este de: a) 12 cm b) 18 cm c) 26 cm d) 32 cm
5p 5. Lungimea muchiei tetraedrului regulat cu aria totală egală cu 81 723 cm 2 este de: a) 3 cm b) 6 cm c) 9 cm d) 12 cm
5p 6. O piramidă patrulateră regulată are secțiunea diagonală un triunghi echilateral de latură egală cu 62 cm. Volumul piramidei este egal cu:
a) 186 cm 3 b) 362 cm 3 c) 363 cm 3 d) 366 cm 3
SUBIECTUL al II-lea – Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 p)
5p 1. O prismă patrulateră regulată are diagonala de lungime 10 cm și aria bazei egală cu 18 cm 2
Volumul prismei este egal cu:
a) 482 cm 3 b) 542 cm 3 c) 642 cm 3 d) 722 cm 3
5p 2. Un tetraedru regulat are lungimea muchiei egală cu a. Sinusul unghiului format de o față laterală cu planul bazei este egal cu: a) 22 3 b) 3 2
2 2 d) 3 3
5p 3. Un cub ABCDEFGH are muchia AB de 12 cm. Distanța de la punctul B la diagonala AH este egală cu:
a) 26 cm b) 43 cm c) 46 cm d) 66 cm
5p 4. O piramidă patrulateră regulată, cu diagonala bazei egală cu 24 242 cm, are muchia laterală de 434 cm. Aria laterală a piramidei este egală cu: a) 1080 cm 2 b) 960 cm 2 c) 841 cm 2 d) 784 cm 2
5p 5. Lungimile diagonalelor fețelor unui paralelipiped dreptunghic sunt egale cu 6 cm, 2 210 cm și 217 cm. Diagonala paralelipipedului are lungimea egală cu: a) 47 cm b) 11 cm c) 82 cm d) 12 cm
5p 6. O piramidă hexagonală regulată are apotema bazei de 9 cm și unghiul format de o față laterală cu planul bazei egal cu 60°. Volumul piramidei este egal cu: a) 972 9613 cm 3 b) 961 9613 cm 3 c) 954 9613 cm 3 d) 948 9613 cm 3
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete. (30 p)
5p 5p
5p 1. Volumul prismei patrulatere regulate ABCDA′B ′C ′D ′, din figura alăturată, este de 323 cm 3, iar latura bazei este de 4 cm. Aflați: a) aria totală a prismei; b) aria totală și volumul piramidei O ′ABCD; c) măsura unghiului plan corespunzător diedrului format de planele (BCO ′) și (ABC ).
RĂSPUNSURI
TESTE INIȚIALE
TESTUL 1
I 1. A; 2. B; 3. D; 4. B; 5. C; 6. A; 7. D; 8. D; 9. A.
II 1. 2; 2. x = 2; 3. a = 1; b = 1 3 ; 4. a) 192 cm2; b) 4,2 cm; c) 28%.
TESTUL 2
I 1. B; 2. C; 3. B; 4. A; 5. D; 6. C; 7. C; 8. D; 9. A.
II 1. x = 1; 2. p = 9 = 32 ∈ ℕ; 3. a) 600 cm2; b) 48 cm; c) se folosește reciproca teoremei lui Pitagora.
TESTUL 3
I 1. C; 2. D; 3. D; 4. B; 5. A; 6. B; 7. D; 8. C; 9. A.
II 1. – 6; 2. a) 423 a =− ; b) 4; 3. a) ( ) 62326 ⋅++ cm; b) 36 cm2; c) ()613 ⋅+ cm.
TESTUL 4
I 1. B; 2. C; 3. C; 4. A; 5. D; 6. C; 7. B; 8. A; 9. D.
II 1. {–6, 2}; 2. a) 225 lei; b) 16%; 3. a) 216 cm2; b) 324 cm2; c) 397 cm.
TESTUL 5
I 1. A; 2. C; 3. C; 4. A; 5. D; 6. A; 7. B: 8. D; 9. A.
II 1. –1; 2. a) 486 lei; b) 1 ,2 2 ; 3. a) 480 cm2; b) 84 cm; c) 8 cm.
I. INTERVALE DE NUMERE REALE. INECUAȚII ÎN ℝ
I.1. Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor
Fișă de lucru
1. a) A; b) A; c) F; d) A; e) A; f) A; g) F; 2. a) {} 1,2 ; b) { }4,1,1,2 ; c)
39 4;1;;0,(6);;1;2 516
39 4;1;;0,(6);;1;2 516 ; d) {} 2, −π ; 3. a) {} 0,16 ; b) {} 2,0,16; ; c) 1 2;0;;2,(3);16;5,01 2 ; d) {} 2,12 ; 4. a) 216 ⋅ ; b) 327 ⋅ ; c) 7144 ⋅⋅ ; 5. A = {–1, 3}; B = {2}; C = {0, 2}; D = {–8, –2, 5}; 6. a) de exemplu, 0,55 și 0,56; b) de exemplu, 0,4 și 0,41; 7. A = {2}; B = {0, 1}; C = {2}; D = {–3, 3}; E = {2}; F = {–2}; 8. A = {–2, –1, 0, 1, 2}; B = {–1, 0, 1, 2}; C = {–1, 0, 1, 2}; D = {–1, 0, 1, 2}; 9. Se observă că elementele mulțimii M se pot scrie ca produse de două numere naturale, astfel: 3 = 1 · 3, 8 = 2 · 4, 15 = 3 · 5, 24 = 4 · 6, ... . Deci elementele mulțimii M sunt de forma k · (k + 2), unde k este un număr natural nenul. Altfel, M = {x ∈ ℕ | x = k · (k + 2), k ∈ ℕ*};
41 11862 { 1}. 33 xxxM <<⇔−<<−⇔−<<−⇒∈−= x ∈ {–1} = M
I.2. Intervale numerice și reprezentarea lor pe axa numerelor; intersecția și reuniunea intervalelor
Fișa de lucru 1 – Intervale de numere reale
1. a) A; b) A; c) F; d) A; e) A; f) A; g) F; h) F; i) F; 2. –2; 3. 0; 4. trei numere întregi; două numere naturale; o infinitate de numere raționale; 5. a) {0, 1, 2}; b) {–2, –1, 0, 1}; c) [; 8. G = (–∞, –1] < [1, +∞); H = [; 9. A = [–1, 3]; B = [2, 4]; C = [–1, 2]; D = [–1, 1]; E = [–3, 4]; F = [–4, 5].
Fișa de lucru 2 – Operații cu intervale de numere reale
B = (–∞, –7) < (3, +∞); C = (–∞, –1] < [2, +∞); D = [ ) 5 ,3,; 3 D
< [3, +∞); 5. a) 5; b) 1; c) –5; d) 6; 6. a) (–1, 2); b) [– 2, , ) 3; ); c) (–2, 1]; d) (–2, –1); e) [2,2,8; ]; f) [; 7. a) 1; b) –3, c) 0; d) –3; 8. A = [–2, –1) < (1, 2]; B = (–1, 1); C = [– 2, , 2, ]; D = [; 9. a) [–4, 1); [3, 5]; b) [–3, 0]; [2, +∞); c) (–∞, –1); (2, +∞); d) [–5, 2]; [; e) (–∞, –3]; (–2, 5]; f) (–3, –1); [0, +∞); 10. a) –2; b) –1; c) –7; d) –5; 11. a) A = [–3, 8]; B = (–∞, –2) < (1, +∞); b) A < B = ℝ; A ù B = = (–3, –2] < (1, 8]; 12. a) (–3, 0]; b) [–5, 4); c) (–3, 2]; d) (0, 2]; e) {–8, –7,…,–3}; f) {0, 1, 2, 3}; 13. N = 6; 14. Se folosește faptul că –1 < x < 1 și –3 < y < 3; 15. a) a = 2, b = 3; b) a = – 2, b = 0; 16. i) A = [–3, 4]; B = [–5, 5); C = (–∞, –5] < [–2, +∞); D = (2, 5); ii) a) A; b) (2, 4]; c) D; d) [–2, 5) < {–5}; e) [–2, 4]; f) D; g) [–3, 5); h) ℝ; i) B; j) (–∞, –5] < [–3, +∞); k) [; l) (–5, 2]; m) [–3, –2); n) (–5, –2); o) [–5, 2] < (4, 5); p) [2, 4]; q) [–2, 2]; r) [–5, 2]. Fișa de lucru 3 – Recapitulare
1. 0, 1 și 2; 2. două; unul; 3. a) {0, 1, 2}; b) {–1, 0}; 5. A = {1, 2, 3}; B = (–3, 3) card(A ù B) = 2; 6. a) (–3, 3]; b) (–6, 1); c) (( 5,7 ]; d) (–∞, 8]; e) [–2, +∞); 7. a) 6; b) 4; 8. a) (–1, 3); b) [–() 0,23; , () 0,23; ); c) (–2, 1]; d) (0, 2 () 0,23; ); e) (2, 3]; 9. a) 0; b) –1; 10. A = [–3, 1) < (1, 3]; B = (–1, 1); C = [–1, 1]; D = [; 11. a) A = [–1, 3]; B = (–∞, –1) < < (2, +∞); b) ℝ; (2, 3]; 12. a) [0, 1); b) C; c) (–3, 3); d) (–3, 0); e) {–5, –4, –3}; f) {0, 1, 2, 3}; 13. A = [4, 5]; B = [–3, 3); A ù B = [; (B < C) \ A = [–1, 4) < (5, 6).
I.3. Inecuații de forma ax + b ≥ 0 , (≤, <, >), unde a, b ∈ ℝ
Fișă de lucru
1. a) –2, –1, 0, 1, 2; b) 0, 1, 2; c) 2; 2. Adevărat; 3. a) x ∈ 5 , 2 x ∈+∞ ; b) x ∈ (–∞, 2]; c) x ∈ 3 , 5 x ∈−∞ ; d) x ∈ (–∞, 2]; e) x ∈ (–∞, 3]; f) x ∈ (–∞, –1]; 4. A = [–2, 2]; B = ℝ; C = [–2, 3]; 5. a) x ∈ (–∞, 1); b) x ∈ [–3, +∞); c) x ∈ (–∞, 3); d) x ∈ (–∞, 3]; e) x ∈ (–∞, 2]; f) x ∈ (–∞, –6]; 6. a) x ∈ (–∞, 3]; b) x ∈ (–∞, 2]; c) x ∈ (–∞, 5]; d) x ∈ (–3, +∞);
e) x ∈ (–∞, –2); f) x ∈ (–∞, –1]; 7. a) x ∈ (–2, +∞); b) x ∈ (3, +∞); c) x ∈ (2, +∞); 8. a) x ∈ 4 ,2; 3 x ∈− ; b) x ∈ 5 3, 3 x ∈− ; c) x ∈ [–2, 3]; d) x ∈ [–1, 4]; e) x ∈ [2, 5]; f) x ∈ (–∞, –2) < (4, +∞); 9. a) x ∈ (–∞, ) 3; ]; b) x ∈ (–1, +∞); c) x ∈ [ ) 2,; x ∈+∞ , +∞); d) x ∈ [–3, –1]; e) x ∈ (–∞, –1]; 10. A = [–5, 2]; 11. a) x ∈ ℝ
=⇒=⇒∈− + ; b) x ∈ (–∞, –2); c) 36 3 2 x ≤≤ 3 2 12220,4. 2 x xx ≤⇔−≤−≤⇒∈ ≤ 1
TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ
TESTUL 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a) a)|21|552151 xx −≤⇔−≤−≤+ 426:2 x −≤≤ 23 x ⇒−≤≤ [2,3] x ⇒∈− = A
b) b)|2|22(,2)(2,)2 xx −>⇔−∈−∞−∪+∞+ (,0)(4,) x ∈−∞∪+∞ = B [ ) 2,0 AB∩=−
Se aplică teorema lui Pitagora în ∆CEB 85 BC ⇒= cm 11 38545 33 85 hrgg ggg HRG g ===⇔=⇔=+⇒= + (cm) 125 G ⇒= (cm)
l = πRG = 12 · 1251445 = (cm2)
c) 1 316824 163 h hhhH h =⇔=+⇒=⇒= + (cm)
= 2 14424 3 RH 8 3 1 = 1152π (cm3)
Notă: Orice altă rezolvare corectă, diferită de cea din barem, se punctează corespunzător.
TESTE FINALE ANUALE
TESTUL 1
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. b) 2. c) 3. b) 4. a)
c) 6. d)
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 2. d) 3. c) 4. a)
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a) Se notează prețul obiectului cu x; atunci, x + 15% · x = 115 23 100 20 23 20 xx = 2325 20 x 5 23 100 20 ⋅ 4 2769223276806927680320 xxxxx =⇔−=⋅⇔=⋅⇒= 1p 2p b) 320 100 p 5 320 16 2761616001380 p =⇔=− 220 16220 p p =⇒= 55 16 4 13,75 = . Se putea ieftini de prima dată cu 13,75%
