EVALUARE NAȚIONALĂ 2024. MATEMATICĂ by Editura Litera

VREAU SĂ ȘTIU

P R E G ĂT E Ș T E -T E P E N T R U S U S Ț I N E R E A E VA LU Ă R I I N AȚ I O N A L E L A M AT E M AT I C Ă ! Lucrarea Evaluarea Naţională. Matematică, clasa a VIII-a reprezintă un real ajutor pentru elevi în pregătirea examenului. Auxiliarul cuprinde:

•B areme de evaluare şi de notare care oferă răspunsuri și sugestii de rezolvare pentru testele propuse în prima parte a lucrării, permițând autoevaluarea. M U LT S U C C E S !

BIBLIOTECATA TADIGITALĂ DIGITALĂ BIBLIOTECA cu cumii miide deebookuri, ebookuri, audiobookuri, audiobookuri,videobookuri videobookuri șișifișe fișede delucru! lucru!

TOT CE TREBUIE TOT CE TREBUIE SÃ SÃ ȘTII CA SÃ SÃ ȘTII CA FII AS LA FIIMATE AS LA MATE

Ghid de studiu complet pentru gimnaziu EBOOK Ghid de studiu complet pentru gimnaziu

EBOOK

EVALUAREA NAȚIONALĂ CLASA A VIII-A • MATEMATICĂ

• Teste de evaluare alcătuite după modelul celor realizate de Ministerul Educației pentru susținerea examenului de la finalul clasei a VIII-a. Problemele propuse au, în general, un caracter aplicativ și vizează formarea și dezvoltarea deprinderilor, precum și a abilităților matematice.

Evaluarea Națională CLASA A

VIII-A

Gheorghe Iacoviță

MATEMATICA T E S T E D E E VA LU A R E B A R E M E D E E VA LU A R E Ş I D E N OTA R E

Tradit, ie din 1989 ISBN 978-606-33-8390-8

TESTUL

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.

• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

SUBIECTUL I – Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect.

Cel mai mare divizor comun prim al numerelor 42 și 63 este: b) 7

a) 21 5p

b) –16 °C

d) 9

c) – 6 °C

d) 16 °C

Se dau numerele: a = 1,032; b = 1,0(32); c = 1,03(2); d = 1,(032). Ordinea crescătoare a acestor numere este: a) a, d, c, b

c) 3

Sub formă de fracție ireductibilă, 72% se scrie ca: 72 36 18 a) b) c) 7, 2 d) 100 50 25 Într-o noapte din luna februarie s-au înregistrat, la două ore diferite, temperaturile de –11 °C, respectiv –5 °C. Diferența dintre cea mai mică și cea mai mare temperatură este egală cu: a) 6 °C

(30 de puncte)

b) c, b, d, a

c) d, c, a, b

d) b, c, d, a

Maria, Călin, Alina și Gelu au calculat media aritmetică a numerelor a = 9 − 80 și b = 81 − 4 5 . Rezultatele obținute de ei sunt înregistrate în tabelul următor: Maria

Călin

Alina

Gelu

4 5

8 5

Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect este: a) Maria 5p

b) Călin

c) Alina

d) Gelu

În tabelul următor sunt înregistrate notele obținute de elevii unei clase la un test: Nota Nr. elevi

4 1

5 3

6 2

7 6

8 7

9 5

10 4

Procentul elevilor care au obținut nota 8 este egal cu: a) 28%

b) 14%

c) 25%

d) 28,5%

SUBIECTUL al II-lea – Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

În figura alăturată, un exemplu de unghi ascuțit este: a) FED b) ABC c) BCD d) CDE

Valoarea lui x din figura alăturată, pentru care dreptele a și b sunt paralele, este: a) 58°

b) X < Y

c) Y = 2·X

b) 37,5%

c) 50%

b) 73 p cm2

c) 45 p cm2

b) 45°

c) 60°

C D

d) X = Y E

C A M B

d) 75% A

Q O

d) 65 p cm2

În figura alăturată este reprezentată o piesă de lemn dintr-un joc, cu formă de piramidă triunghiulară regulată SABC, care are AB = 18 cm și SA = 9 2 cm. Cineva taie piesa în două jumătăți, obținând două piramide SABM și SACM și măsoară cu ajutorul unui raportor unghiul dintre SA și SM. Rezultatul corect al măsurătorii este: a) 30°

d) 148°

În figura alăturată, cercurile de centre O și respectiv Q sunt tangente interior în punctul A. Dacă punctul B este diameAC 3 tral opus punctului A, = , iar OQ = 5 cm, atunci suAB 8 prafața cuprinsă între cele două cercuri este egală cu: a) 55 p cm2

c) 48°

În figura alăturată este reprezentat un loc de joacă pentru co pii, sub forma hexagonului regulat ABCDEF cu AB = 12 m. Triunghiul MNP reprezintă o zonă cu nisip. Din suprafața locului de joacă, suprafața cu nisip reprezintă: a) 45%

b) 132°

132°

În figura alăturată, punctele A, B şi C reprezintă trei obstacole pe un traseu sportiv. Triunghiul ABC are unghiul ∢BAC = 2 · ∢ABC, iar AD este bisectoarea unghiului  BAC. Un sportiv aleargă pe traseul X: A → B → C → A, iar altul aleargă pe traseul Y: B → A → D → C → A. Între lungimile traseelor pe care aleargă cei doi sportivi există relația: a) X > Y

d) 90°

B S

A B

SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete. 1

(30 de puncte)

Doi copii colecționează timbre. Dacă primul copil i-ar da 42 de timbre celuilalt, atunci ei ar avea un număr egal de timbre, iar dacă primul și-ar dubla numărul de timbre, atunci ar avea cu 4 mai multe decât triplul numărului de timbre pe care le are al doilea copil.

a) Arată că numărul de timbre pe care le are fiecare copil nu poate fi impar.

b) Află câte timbre are fiecare dintre cei doi copii. 2

Se consideră expresia E ( x) = (3 x − 1) 2 − (2 x + 1) 2 + ( x − 2) 2 , unde x este un număr real. a) Arată că E(x) = 6x2 – 14x + 4, pentru orice număr real x. b) Demonstrează că rezultatul împărțirii numărului natural N = E(n) + 2(n + 1) la 6 este un număr natural pătrat perfect, pentru orice număr natural n.

Se consideră funcția f :  → , f ( x) = ax − a − 2, a ∈ .

2p 3p

a) Găsește numărul real a știind că punctul A(1, –2) aparține graficului funcției f. b) Pentru a = 2, află tangenta unghiului format de graficul funcției cu axa absciselor.

3p 4

2p 5

C E

În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu perimetrul = 120°. BE și BF sunt bisectoare în triunde 32 cm și ABC ghiurile ABD și respectiv CBD, iar punctul T este simetricul B punctului B față de punctul F.

A E D

a) Arată că punctele A, D și T sunt coliniare. b) Demonstrează că aria triunghiului EFT este mai mică decât 21 cm2.

3p 6

a) Arată că BD = 25 dam. b) Calculează aria suprafeței DEC.

În figura alăturată, ABCD reprezintă un teren în formă de trapez dreptunghic, cu AB = 20 dam și AD = 15 dam. Diagonala BD a trapezului reprezintă o alee. Din punctul C, o persoană se deplasează pe drumul cel mai scurt până la BD, străbătând distanța CE = 6 dam.

În figura alăturată este reprezentată o cutiuță în formă de cub, notat ABCDEFGH. Distanța dintre M, mijlocul muchiei AD și N, mijlocul muchiei GH, este de 3 6 cm. a) Arată că muchia cubului este 6 cm. b) Dacă NP ⊥ DC , P ∈ DC și {= Q} MO ∩ BC , unde {O = } AC ∩ BD, află distanța de la punctul P la planul (NMQ).

C H

F M

C B

• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I și SUBIECTUL al II-lea • Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte. • Nu se acordă punctaje intermediare. SUBIECTUL al III-lea • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem. Notă: Orice altă rezolvare corectă, diferită de cea din barem, se punctează corespunzător.

TESTUL 1 SUBIECTUL I 1

(30 de puncte) 2

SUBIECTUL al II-lea 1

(30 de puncte) 2

SUBIECTUL al III-lea 1

(30 de puncte)

a) Notăm cu x și y numărul de timbre pe care le au primul, respectiv al doilea copil 1p și din a doua parte a problemei putem scrie: 3x = 2y + 4 3x = 2(y + 2); 2(y + 2) este par ⇒ 3x par, deci x par ⇒ nu pot avea numere impare 1p de timbre 1p b) x – y = 42 și 3x – 2y = 4 Rezolvă sistemul și găsește x = 248 (timbre) și y = 164 (timbre) 2p 1p a) E ( x) = 9 x 2 − 6 x + 1 − 4 x 2 − 4 x − 1 + x 2 − 4 x + 4

E ( x) = 6 x 2 − 14 x + 4 , pentru orice număr real x b) N = E (n) + 2n + 2= 6n 2 − 12n + 6

N = 6(n 2 − 2n + 1) = 6(n − 1) 2 ⇒ N : 6 = (n − 1) 2

1p 1p 2p 119

2 a) A(3, 2) ∈ G f ⇒ 3a − a − 2 = ⇔ 2a = 4 ⇔ a = 2 b) G f ∩ Ox : f ( x) = 0 ⇒ x = 2 ⇒ M (2, 0); G f ∩ Oy : x =0 ⇒ f (0) =−4 ⇒ N (0, −4) ON =2 tg(∢OMN) = OM

a) În ∆BAD: BD2 = AD2 + AB2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625

b) DC || AB, DB secantă ⇒ ABD ≡ CDE ⇒ DAB CED (U.U.)

DE ⋅ CE CE DE CD 6 DE = 24 dam2 = = ⇒ = ⇒ DE = 8 dam, deci A∆DEC = 2 DA AB BD 15 20 a) ∆BDC echilateral, BF bisectoare ⇒ BF mediană ⇒ DF = FC și BF = FT ⇒ BCTD paralelogram ⇒ BC || DT și cum BC || AD ⇒ A, D, T coliniare

b) BE = BF și EBF= 60° ⇒ ∆BEF echilateral ⇒ EF = FE ⇒ ∆EFT isoscel BE = 2 3 cm Construim FS ⊥ ET , S ∈ ET ; FS linie mijlocie în ∆BET ⇒ FS = 2 A∆EFT = 6

ET ⋅ FS = 12 3 cm2;12 = 3 2

144 ⋅= 3

(

se obține: MN = MP + NP ; 3 6 54 =

)

1p 1p 1p 2p

432 < 441 = 21 ; A∆EFT < 21 cm2

a) Fie a muchia cubului; în ∆MPN,  P = 90°, aplicând teorema lui Pitagora, 2

a 2 2 =   + a (MP linie mijlocie în ∆ADC) 2  

a2 + a 2 ⇒ 3a 2 = 108 ⇔ a 2 = 36 ⇒ a = 6 2

b) PT ⊥ NO, T ∈ NO ; MQ ⊥ OP, MQ ⊥ NP, OP= ∩ NP {P}, OP, NP ⊂ ( NOP) ⇒ ⇒ MQ ⊥ ( NOP ); PT ⊂ ( NOP ) ⇒ MQ ⊥ PT ; NO, MQ ⊂ ( NMQ) ⇒ PT ⊥ ( NMQ) Află ON din ∆MON, ON = 3 5 cm;= PT

120

1p 1p

625 = 25 dam

BD =

1p 2p

PN ⋅ OP 6 ⋅ 3 6 5 cm = = ON 5 3 5

1p 1p

TESTUL

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de două ore.

SUBIECTUL I – Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect.

Rezultatul calculului 8 – (–4) : 2 este egal cu: a) 6 b) 2 c) 10

d) –6

Dintr-o clasă cu 24 de elevi, 8 sunt băieți. Raportul dintre numărul băieților și numărul fetelor din clasă este: 1 1 2 3 a) b) c) d) 3 2 3 4 Într-o noapte de martie, când „Baba Dochia își scutură cojoacele”, temperaturile înregistrate în două momente diferite au fost de –2 °C și –6 °C. Diferența dintre cea mai mică și cea mai mare temperatură a fost de: a) 4 °C b) 8 °C c) –4 °C d) –8 °C 4 8 4 8 Se consideră următoarele numere raționale: , , , . Ordinea crescătoare a celor 5 14 9 12 patru numere raționale este: 4 8 8 4 8 8 4 4 4 4 8 8 4 8 4 8 a) , , , b) c) , , , d) , , , , , , 9 14 12 5 14 12 9 5 5 9 12 14 5 12 9 14

Aurel, Bia, Crin și Daria au de calculat numărul: a =4 − 8 + obținute de cei patru elevi sunt trecute în tabelul următor: Aurel Bia Crin 8

Cel care a obținut rezultatul corect este: a) Aurel b) Bia c) Crin 5p

(30 de puncte)

2 2

2 . Rezultatele 3 2+4 Daria

2 d) Daria

Notele obținute de elevii unei clase la teza la matematică din semestrul I sunt prezentate în tabelul următor: Nota 5 6 7 8 9 10 Număr elevi 3 5 8 6 7 1 Media generală a clasei la teză a fost de: a) 7,25 b) 7,40 d) 7,60 c) 7,50

SUBIECTUL al II-lea – Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

În figura alăturată, punctele A, B, C și D sunt coliniare. Dacă AD = 8 cm, punctul B este mijlocul segmentului AC, iar punctul C este mijlocul segmentului AD, atunci A lungimea segmentului BD este egală cu: a) 6 cm b) 4 cm c) 7 cm d) 5 cm În figura alăturată, unghiul ∢BCD = 84°, iar CE este bisectoarea unghiului ∢BCD. Măsura unghiului ∢ACE este egală cu: a) 168° b) 126° c) 138° d) 159° În figura alăturată, punctele A, D, B, C, E reprezintă cinci jucători, A fiind coordonatorul de joc. Dacă triunghiul ABC este echilateral, iar DB = BC = CE, atunci măsura unghiului ∢DAE este egală cu: a) 100° b) 150° c) 105°

E B

C A

d) 120°

În figura alăturată, dreptunghiul ABCD reprezintă o alee, AB = 24 m și AD = 10 m. Aleea se acoperă cu dale de beton de formă dreptunghiulară, o dală având dimensiunile de 3 m și respectiv 2 m. Numărul minim de dale necesar pentru a acoperi în totalitate aleea este: a) 24 b) 40 c) 48 d) 36

10 m A

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și AB este de 60°, iar rază OA = 8 cm. Măsura arcului mic  punctul D este diametral opus punctului B. Se notează cu C simetricul punctului A față de O, centrul cercului. Aria patrulaterului ABCD este egală cu: a) 128 cm2 c) 64 cm2

24 m D 8

A 60° B

b) 128 3 cm2 d) 64 3 cm2

În figura alăturată este reprezentată o cutie din carton în formă de cub, ABCDMNPQ. În interiorul cutiei se află un băț care se sprijină de pereții cutiei în punctele E și F, mijloacele muchiilor AD, respectiv CP. Sinusul unghiului format de EF cu planul bazei este egal cu: 3 3 2 2 a) b) c) d) 3 4 3 4

Q M

P N

D A

F C

B 15

SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete. 1

Un turist parcurge un traseu în trei zile, astfel: în prima zi parcurge o treime din traseu și încă 2 km; a doua zi parcurge jumătate din distanța rămasă și încă 2 km, iar în a treia zi parcurge ultimii 32 km. a) Arată că numărul 32 are 6 divizori naturali. b) Află lungimea întregului traseu.

Se consideră expresia E(x) = (3x – 4)(x + 1) – (2x + 1)2 + (x – 2)2, pentru orice număr real x. a) Arată că E(x) = –9x – 1, pentru orice număr real x. b) Determină mulțimea valorilor reale ale lui x pentru care E(x) < 8.

Se consideră funcțiile f , g :  → , f ( x) =− x + a + 1 și g ( x) = 2 x + b − 1, a, b ∈ . a) Află numărul real a știind că punctul A(2, 1) reprezintă punctul de intersecție al graficelor celor două funcții. b) Pentru a = 2 și b = –2, află aria triunghiului format de graficele celor două funcții și axa ordonatelor.

În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A, ∢ACB = 30°, iar BD este bisectoarea unghiului ∢ABC, D ∈ AC. Punctul F este simetricul punctului D față de dreapta BC, DF ∩ BC = {E}. a) Arată că BDCF este romb. b) Demonstrează că aria triunghiului ABC reprezintă 75% din aria rombului BDCF.

2p 3p

2p 3p 2p 3p

2p 3p 5

2p 3p 6

2p 3p

(30 de puncte)

A B

E F

În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A, BC = 26 cm, iar AC = 10 cm. Pe AB se consideră punctul AD 1 D astfel încât = . Paralela prin D la BC intersec- B DB 3 tează paralela prin C la AB în F, DF ∩ AC = {E}. a) Arată că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 60 cm. b) Află aria patrulaterului BCFD. Un vas din sticlă este format din două prisme triunghiulare regulate lipite una de cealaltă, fața comună fiind BDHF, ca în figura alăturată, AB = AE = 6 dm. a) Arată că triunghiul AOH este dreptunghic. b) Verifică dacă într-o jumătate din acest vas (o prismă triunghiulară regulată) încap 94 de litri de apă (se consideră că 1, 73 < 3 < 1, 74).

C D

F D

C B

TESTUL 4 SUBIECTUL I 1

(30 de puncte) 2

SUBIECTUL al II-lea 1

(30 de puncte)

1p 1p

a) 32 = 25. numărul divizorilor = 5 + 1 = 6 1 x + 2 (km) 3 12 1 12   x A doua zi parcurge  x − 2  + 2 (km), deci x + 2 +  x − 2  + 2 + 32 = 23 3 23   1 x = 35 ⇒ x = 105 (km) 3

b) Notăm cu x lungimea traseului; în prima zi parcurge

a) E(x) = 3x2 – x – 4 – 4x2 – 4x – 1 + x2 – 4x + 4 = = –9x – 1, pentru orice număr real x b) – 9x – 1 < 8 ⇔ – 9x < 9 9x > –9 ⇔ x > –1 x ∈ (–1, ∞)

a) A(2,1) ∈ G f ⇒ f (2) = 1 ⇔ −2 + a + 1 = 1 ⇒ a = 2

2p 1p 1p 1p 1p 1p 1p

A(2,1) ∈ Gg ⇒ g (2) = 1 ⇒ 2 ⋅ 2 + b − 1 = 1 ⇒ b = −2

b) G f ∩ Oy : x = 0 ⇒ f (0) = 3 ⇒ B(0,3) ; Gg ∩ Oy : x =0 ⇒ g (0) =−3 ⇒ C (0, −3)

BC ⋅ d ( A, Oy ) 6⋅2 ; BC = |OB| + |OC| = 3 + 3 = 6 ⇒ A∆ABC = = 6 u.a. 2 2 a) ∆BDC isoscel ((∢DBC = ∢DCB, DE ⊥ BC ⇒ DE mediană ⇒ BE = EC și cum DE = EF ⇒ BDCF paralelogram + DF ⊥ BC ⇒ BDCF romb b) ∆ABD ≡ ∆BDE (I.U.) ⇒ A∆ABD = A∆BDE și A∆BDE = A∆CDE (DE mediană în ∆BDC) A∆ABC =

(30 de puncte)

SUBIECTUL al III-lea 1

A∆ABC = 3 · A∆ABD, ABDCF = 4· A∆ABD ⇒ A∆ABC =

3 ⋅A = 75% · ABDCF 4 BDCF

2p 1p 1p 1p 2p

125

a) BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ AB 2 = BC 2 − AC 2 = 676 − 100 = 576 ⇒ AB = 24 cm P∆ABC = AB + BC + AC = 24 + 26 + 10 = 60 (cm) MB MD BD 90 b) Fie DM ⊥ BC, M ∈ BC ⇒ ∆MBD ~ ∆ABC ⇒ cm = = ⇒ DM = AB AC BC 13 90 = 180 cm2 ABCFD = BC · DM = 26 · 13

2p 1p

a) ABCD romb ⇒ AC ⊥ BD

HD ⊥ ( ADC ), DO ⊥ AC , DO = ∩ AC {O}, DO, AC ⊂ ( ADC ) ⇒ HO ⊥ AC , ∆AOH este dreptunghic

b) VABDEFH =

l2 3 36 3 = ⋅h = ⋅ 6 54 3 (cm3) 4 4

54 3 < 54 ⋅1, 74 = 93,96 < 94 . Nu încap 94 de litri de apă

126

1p 1p

2p 1p

TESTUL

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.

• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

SUBIECTUL I – Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect.

(30 de puncte)

Suma divizorilor proprii ai numărului 15 este divizibilă cu: a) 24 b) 16 c) 9 d) 8

Raportul numerelor a = 2,4 și b = 0,32 are aceeași valoare cu: 15 3 3 3 a) b) c) d) 2 4 8 16

Temperaturile minime înregistrate în lunile ianuarie și februarie dintr-un an au fost de –24 °C și respectiv –33 °C. Diferența dintre minima înregistrată în ianuarie și cea înregistrată în februarie a fost de: a) –11 °C b) –9 °C c) 9 °C d) 11 °C

Ordinea descrescătoare a numerelor a = − ; b = −0, 61; c = −

3 5

b) d, b, c, a c) b, c, d, a d) c, a, d, b a) a, b, c, d Călin, Mihai, Carla și Maria au de efectuat câtul numerelor a= 4 − 2 3 și = b Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt trecute în tabelul de mai jos. Călin Mihai Carla Maria 2

3 −1

Răspunsul corect a fost dat de: a) Călin b) Mihai 6

2 7 și d = − este: 10 3

–4

1− 3 c) Carla

3 − 1.

d) Maria

Într-un concurs școlar, la alergarea pe distanța de 1000 m, mai mulți elevi sportivi au obținut performanțele trecute în tabelul următor: Timp realizat (secunde) 255 260 264 266 270 Număr sportivi 6 4 8 5 7 Un observator afirmă că un număr de 7 elevi au obținut cea mai bună performanță. Afirmația este: a) adevărată b) falsă

SUBIECTUL al II-lea – Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

În figura alăturată, punctele A, B, C, D sunt coliniare, în această ordine. Punctul C este mijlocul segmentului AD, AD =10 cm, A iar BC = 3 cm. Lungimea segmentului AB este egală cu: a) 1 cm d) 4 cm b) 2 cm c) 3 cm În figura alăturată, punctele A, O, D sunt coliniare, ∢AOB = 40°, iar unghiul ∢BOC este drept. Măsura unghiului format de bisectoarele OM și ON ale unghiurilor ∢BOC și respectiv ∢COD este egală cu: a) 45° b) 50° c) 60° d) 70°

În figura alăturată, punctele A, B și C reprezintă trei statui dintr-un parc, iar punctul D reprezintă o bancă situată la mijlocul aleii BC. Un copil traversează parcul, pe drumul cel mai scurt, din punctul D până în punctul E, de pe aleea AC, unde se află un chioșc cu înghețată. Dacă aleea AB are lungimea egală cu 60 m, ∢CAB = 90°, iar ∢ACB = 30°, atunci lungimea segmentului DE este egală cu: a) 30 m b) 36 m c) 45 m d) 60 m În figura alăturată, dreptunghiul ABCD reprezintă o curte, AB = 9 m și AD = 4 m, iar punctul E, situat pe mijlocul laturii AB, reprezintă o poartă de acces în curte. Triunghiul CBF reprezintă un foișor, punctul F fiind simetricul punctului E față de dreapta CB. Perimetrul trapezului AFCD este egal cu: a) 30 m b) 31 m c) 31,5 m d) 32 m

În figura alăturată este reprezentată o vază pentru flori, sub forma prismei triunghiulare regulate ABCDEF, cu AB = 10 cm și BF = 26 cm. Volumul vazei este egal cu: a) 300 cm3 b) 300 3 cm3 d) 600 3 cm3

C C

În figura alăturată, cercurile de centru O și Q sunt secante în punc tele A și B, OA = 12 cm și QA = 9 cm, C (Q, AQ) ∩ OQ = {M}, iar C(O, AO) ∩ OQ = {N}. Dacă raza cercului mai mare este tangentă la cercul mai mic, atunci lungimea segmentului MN este egală cu: a) 5 cm b) 6 cm c) 7,5 cm d) 8 cm

c) 600 cm3

A O

B D

F E

C B

SUBIECTUL al III-lea – Scrie rezolvările complete. 1

2 din numărul fetelor. Dacă din 3 clasă ar pleca o fată și ar veni un băiat, atunci numărul baieților ar fi 75% din numărul

Într-o clasă de elevi, numărul băieților reprezintă fetelor. a) Verifică dacă în clasă pot fi 12 băieți. b) Află numărul fetelor din clasă.

2p 3p 2

(30 de puncte)

Se consideră expresia E(x) =

(

5 + 2 − 2x

)(

) (

)

5 − 2 + 3 2x +

10 x − 1 , x ∈ .

a) Arată că E(x) = [2(x + 1)]2, pentru orice număr real x. b) Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația E ( x) ≤ 6, x ∈ .

2p 3p 3

2p 3p 4

2p 3p

3 Se consideră funcția f :  → , f ( x) =− 4x a; a ∈ . 2 a) Află numărul real a știind că punctul A(1, 1) se află pe graficul funcției f. b) Pentru a = 2, află tangenta unghiului format de graficul funcției f cu axa ordonatelor.

În figura alăturată, dreptunghiul ABCD are perimetrul egal cu D 14 cm și lungimea diagonalei BD egală cu 5 cm. Dimensiunile dreptunghiului sunt exprimate prin numere naturale. a) Află aria dreptunghiului. b) Determină lungimea bisectoarei AE, E ∈ BD.

C E

A 5

2p 3p 6

2p 3p

D În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD, care are AB = 30 cm, BC = 20 cm, CD = 9 cm și DA = 13 cm. a) Calculează perimetrul trapezului ABCD. A b) Arată că aria trapezului ABCD este egală cu 234 cm2.

În figura alăturată este reprezentată o cutie din carton, sub forma paralelipipedului dreptunghic ABCDEFGH, AB = 16 cm, BC = 12 cm. În cutie se află o piesă din plastic, sub forma tri E unghiului echilateral MGH. a) Arată că înălțimea cutiei este egală cu 4 3 cm. A b) Determină măsura unghiului dintre planele (MGH) și (DCG).

B H

G F

C M

TESTUL 23 SUBIECTUL I 1

(30 de puncte) 2

SUBIECTUL al II-lea 1

a) Notăm b = numărul de băieți și f = numărul de fete;

3 ⋅ (18 − 1) fals, deci nu pot fi 12 băieți 4 b) 2 · f = 3 · b și 4 · (b + 1) = 3 · ( f – 1) 0 2 f − 3b = ⇒ f = 21  7 3 f − 4b =

2 ⋅ f = 12 ⇒ f = 18 3

a) E(x) = 5 − 10 + 3 10 x + 10 − 2 + 6 x − 10 x + 2 x − 6 x 2 + 10 x 2 − 2 10 x + 1 = = 4x2 + 8x + 4 = 4(x + 1)2 = [2(x + 1]2, pentru orice număr real x b)

(30 de puncte)

12 + 1 =

(30 de puncte)

SUBIECTUL al III-lea 1

E ( x) ≤ 6 ⇔ 4( x + 1) 2 ≤ 6 ⇔ 2⋅ | x + 1|≤ 6 ⇒| x + 1|≤ 3

1p 1p 1p 2p 1p 1p 1p

| x + 1|≤ 3 ⇔ −3 ≤ x + 1 ≤ 3 −1 ⇒ −4 ≤ x ≤ 2

x ∈ [−4; 2] a) A(1,1) ∈ G f ⇒ f (1) =⇔ 1

1p 1p

3 4 − a =1 ⇒ a =2 2

3  b) {M } = G f ∩ Ox : f ( x) = 0 ⇒ 4 x − 3 = 0 ⇒ M  , 0  4  {N } = G f ∩ Oy : x = 0 ⇒ f (0) = −3 = 0 ⇒ N ( 0, −3)

tg (ONM ) =

OM 3 1 1 = ⋅ = ON 4 3 4

1p 1p 1p

163

a) PABCD = 14 cm ⇒ L + l =7 și d 2 = L2 + l 2 = 25 ( L + l ) 2 = L2 + l 2 + 2 L ⋅ l ⇒ 49 = 25 + 2 AABCD ⇒ AABCD = 12 cm2

b) L, l ∈ ℕ ⇒ L = 4 cm și l = 3 cm DA DE Construim BF || EA, F ∈ DA ⇒ =(T. Thales) și cum ∆ABF isoscel AF EB

DA AE 3 AE 12 2 = ⇔ = ⇒ AE= cm DF BF 7 4 2 7 a) PABCD = AB + BC + CD + DA = = 30 + 20 + 9 + 13 = 72 cm b) Construim DE ⊥ AB, CF ⊥ AB, E, F, ∈ AB; notăm AE = x, FB = y, x + y = 21 (cm) În ∆AED, DE2 = 169 – x2; în ∆CFB, CF2 = 400 – y2 ⇒ y 2 − x 2= 231 ⇒ y − x= 11 ( AB + DC ) ⋅ DE x = 5 (cm) ⇒ DE = 12 cm; AABCD = = 234 cm2 2 AF = AB ⇒

1p 1p 1p 1p 1p 1p 1p

MB 2 + BC 2 ; MC = 4 13 cm a) M – mijlocul laturii AB; în ∆MBC: MC 2 =

2 = = − MC 2 ; CG 4 3 cm În ∆MCG: CG 2 MG b) (MGH) ∩ (DCG) = HG MN ⊥ HG, N ∈ HG, MN ⸦ (MGH) și PN ⊥ HG, P ∈ DC, PN ⸦ (DCG) ⇒

1p 1p

MP 3 = ⇒ ∢((MGH), (DCG)) = ∢(MN, PN) = ∢MNP; sin(∢MNP) = 2 MN ∢MNP = 60°

164

TESTUL

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.

• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

SUBIECTUL I – Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect.

(30 de puncte)

Cel mai mare număr natural format din două cifre distincte, divizibil cu 9, este: a) 63 b) 72 c) 81 d) 99

Dacă 25% dintr-un număr este egal cu 36, atunci numărul este egal cu: a) 144 b) 125 c) 112 d) 108

Diferența dintre numărul –7 și opusul numărului 9 este egală cu: a) 16 b) 2 c) –2 d) –16

Ordinea descrescătoare a numerelor a = 0,314; b = 0,3(14); c = 0,(314) și d = 0,31(4), este: a) d, c, a, b b) d, a, b, c c) d, c, b, a d) d, a, c, b

Alex, Costi, Tina și Daria, au calculat numărul q = Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul următor: Alex Costi Tina 3

9 − 1 − 16 + 16 + 3 ⋅ 6 . Daria

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Alex b) Costi c) Tina d) Daria 6

Se consideră mulțimea A = {x ∈ ℤ || x – 1 |≤ 1|}. Afirmația: „Mulțimea A are cardinalul egal cu 2” este: a) adevărată b) falsă

SUBIECTUL al II-lea – Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

În figura alăturată, punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine. Punctul C este mijlocul segmentului AD, iar A B AB 1 = . Dacă AB = 2 cm, atunci lungimea segmentului AD AC 3 este egală cu: d) 6 cm a) 12 cm b) 10 cm c) 9 cm

107

În figura alăturată, unghiurile ∢AOB și ∢BOC sunt adiacente B suplementare, iar OD și OE sunt bisectoarele acestor unghiuri. D Dacă ∢AOB = 52°, atunci ∢DOC are măsura egală cu: A a) 38° b) 128° c) 154° d) 308°

În figura alăturată, este reprezentat triunghiul dreptunghic ABC cu ∢BAC = 90°. Unghiul ∢DAM, format de înălțimea AD cu mediana AM, are măsura egală cu 30°. Dacă BC = 12 cm, atunci perimetrul triunghiului ABM este egal cu: B a) 36 cm b) 32 cm c) 24 cm d) 18 cm În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD, AB || CD, cu ∢A = ∢D = 90° și AB = 2AD = 2DC = 8 cm. Perimetrul trapezului ABCD este egal cu: a) 20 cm b) 16 + 4 2 cm c) 20 2 cm d) 16 + 8 2 dm

B B O

108

A C H

F D

C B

(30 de puncte)

Un turist parcurge un traseu în trei zile. În prima zi, turistul parcurge o treime din traseu și încă 2 km, a doua zi parcurge două cincimi din rest, iar a treia zi, restul de 18 km. a) Este posibil ca traseul să aibă 78 km? Justifică! b) Află lungimea traseului.

Se consideră expresia E(x) = (3x – 1)2 – 2(x + 1)(2x – 1) – (x – 2)2, pentru orice număr real x. a) Arată că E(x) = 4x2 – 4x – 1, oricare ar fi numărul real x. b) Rezolvă, în mulțimea numerelor întregi, ecuația E ( x) + 2 ≤ 3.

2p 3p

A SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete.

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și rază OB = 6 cm. AB și AC sunt tangentele din punctul A la cerc, iar  este egală cu 120°. Aria patrulaterului măsura arcului mic BC ABOC este egală cu: a) 36 3 cm2 b) 36 2 cm2 c) 18 3 cm2 d) 18 2 cm2 În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH. Se cunoaște că perimetrul bazei este egal cu 42 cm, BD = 15 cm, iar BH = 25 cm. Aria laterală a paralelipipedului dreptunghic ABCDEFGH este egală cu: a) 375 cm2 b) 630 cm2 c) 720 cm2 d) 840 cm2

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax – a + 1, a ∈ ℝ. a) Determină numărul real a știind că punctul A(2, 5) se află pe graficul funcției f. b) Află aria triunghiului ABC, unde am notat cu B și C punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa Ox și respectiv cu axa Oy.

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, AD ⊥ DB, care are aria egală cu 300 cm2 și perimetrul de 80 cm. Pe latura AD se consideră punctul M astfel încât M OM || AB, OM = 12,5 cm, AC ∩ BD = {O}. a) Arată că înălțimea paraleogramului este egală cu 12 cm. A b) Demonstrează că AC = 6·OQ, unde {Q} = AC ∩ BM.

2p 3p

2p 3p 5

2p 3p 6

2p 3p

În figura alăturată, rombul ABCD are AB = 12 cm și BD = 6 cm. Bisectoarea unghiului ∢ABD intersectează latura AD în punctul E, iar punctul F este simetricul punc A tului E față de dreapta BD. a) Arată că triunghiul BEF este isoscel. b) Demonstrează că aria triunghiului BEF este mai mică decât 20 cm2.

C O

O D

În figura alăturată este reprezentată piramida triunghiulară regulată SABC care are volumul egal cu 324 cm3, iar AM = 9 cm, punctul M fiind mijlocul laturii BC. a) Arată că latura AB are lungimea egală cu 6 3 cm. A b) Află aria laterală a piramidei.

C M

109

TESTUL 35 SUBIECTUL I 1

(30 de puncte) 2

SUBIECTUL al II-lea 1

SUBIECTUL al III-lea 1

a) 78 : 3 + 2 = 26 + 2 = 28 (km) 2 ⋅ (78 − 28) =2 ⋅10 =20 km; 28 + 20 + 18 = 66 km. NU 5 1 b) Fie x = lungimea traseului; x + 2 (lei) – a parcurs în prima zi 3 2  1 4  2 2  4 A II-a zi: ⋅  x − x − 2  = ⋅  x − 2  = x − 5  3 5  5 3  15 1 4 4 x + 2 + x − + 18 =x ⇒ 5 x + 4 x + 288 =15 x ⇔ 6 x =288 ⇒ x =48 (km) 3 15 5 Rezolvarea prin metoda mersului invers se punctează corespunzător a) E(x) = 9x2 – 6x + 1 – 4x2 – 2x + 2 – x2 + 4x – 4 E(x) = 4x2 – 4x – 1, pentru orice număr real x b)

(30 de puncte) 2

E ( x) + 2 ≤ 3 ⇔ (2 x − 1) 2 ≤ 3 ⇔| 2 x − 1|≤ 3

(30 de puncte)

1p 1p 1p 1p 1p 1p 1p 1p

−3 ≤ 2 x − 1 ≤ 3 +1 ⇔ −2 ≤ 2 x ≤ 4 : 2 ⇒ −1 ≤ x ≤ 2

x ∈ [−1, 2] ∩  ⇒ x ∈ {−1, 0,1, 2}

1p 1p 1p

a) A(2, 5) ∈ Gf ⇒ f(2) = 5 2a – a + 1 = 5 ⇒ a = 4

187

3  1p b) Fie {B}= G f ∩ Ox : f ( x) = 0; 4 x − 3= 0; B  , 0  ; {C} = G f ∩ Oy : x = 0; 4  f (0) = 3; C (0,3) A∆ABC = AAEOD – A∆AEC – A∆BOC – A∆ADB, unde d(A, Oy) = AE = 2 u.l., d(A, Ox) = AD = 5 u.l. 1p 3 5 EC = 2 u.l. și BD = AD – OB = 2 – = u.l. 4 4 9 25 34 30 15 A∆ABC = 10 – 2 u.l. – − 8– = = u.a. = 1p 8 8 8 8 4 4

a) O – mijlocul lui BD și OM || AB ⇒ OM linie mijlocie în ∆ADB ⇒ AB = 25 cm A = b · h; AABCD = AB · d(D, AB) ⇔ 300 = 25 · d(D, AB) ⇒ d(D, AB) = 12 cm

b) În ∆ADB, BM și AO sunt mediane ⇒ Q este centrul de greutate al triunghiului 1 1 1 1 1 OQ = ⋅ AO, AO = ⋅ AC ⇒ OQ = ⋅ ⋅ AC = ⋅ AC ⇒ AC =⋅ 6 OQ 3 2 3 2 6 5

a) BD este mediatoarea segmentului EF ⇒ ⇒ BE = BF ⇒ ∆BEF este isoscel b) Teorema bisectoarei în ∆ABD: AB AE AB + BD AE + ED 18 12 = ⇔ = ⇒ = ⇒ ED = 4 cm BD ED BD ED 6 ED 15 cm, În ∆AOD, AD2 = AO2 + OD2, de unde AO = 3 15 cm ⇒ EM = 2 2 2 unde {M} = BD ∩ EF ; în ∆EMD, ED = ME + MD , de unde MD = 1 cm ⇒ ⇒ BM = 5 cm BM ⋅ EF = BM ⋅ EM = 5 15 cm2 < 5 16 cm2 = 20 cm2 A∆BEF = 2

a) AM =

AB 3 2

AB 3 18 =⇒ 9 AB = = 6 3 cm 2 3 Ab ⋅ h l2 3 27 3 ⋅ SO ⇒ 324= ⇒ SO= 12 3 cm ; Ab = 3 4 3 În ∆SOM: SM 2 = SO2 + OM 2 = 432 + 9 = 441 ⇒ SM = 21 cm Pb ⋅ a p 3 ⋅ AB ⋅ SM = Al = = 189 3 cm2 2 2

b) V =

188

1p 1p 1p 2p 1p 1p 1p 1p

1p 1p 1p 1p 1p 1p